物理数学 I 講義ノート1

伊藤洋介

2019年 11月 24日

1https://sasuke.hep.osaka-cu.ac.jp/∼yousukeitoh/md/

3

目 次

第 1章 フーリエ級数 11

1.1 この章のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 フーリエ級数：導入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 ダランベールの解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2 フーリエ級数による解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.3 周期関数への拡張 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 三角関数の直交関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 フーリエ級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.1 複素形式のフーリエ級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.2 一般区間のフーリエ級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5 近似式としてのフーリエ多項式、ベッセルの不等式、パーセ

ヴァルの等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6 区分的に連続な関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.7 例題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.8 フーリエ係数の大きさ、リーマン・ルベーグの補題 . . . . . . 36

1.9 フーリエ級数の収束定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.9.1 ディリクレ核 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.9.2 フーリエ級数の各点収束定理 . . . . . . . . . . . . . . 41

1.9.3 フーリエ級数の一様収束定理 . . . . . . . . . . . . . . 45

1.9.4 フーリエ級数の一様かつ絶対収束定理 . . . . . . . . . 46

1.9.5 一様収束級数、項別微分と項別積分 . . . . . . . . . . . 47

1.9.6 フーリエ級数の平均収束定理とフェイェールの定理 . . 49

1.9.7 ギブスの現象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.10 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.11 デルタ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

第 2章 境界値問題 63

2.1 考える偏微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.1.1 熱伝導方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.1.2 波動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.1.3 ラプラス方程式、ポアソン方程式 . . . . . . . . . . . . 70

2.2 フーリエ級数による解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.2.1 熱伝導方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4

2.2.2 波動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.2.3 ラプラス方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

第 3章 フーリエ積分 85

3.1 フーリエ変換の大きさ、リーマン・ルベーグの補題再び . . . . 87

3.2 フーリエ変換の有界性・連続性 . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.3 フーリエの積分定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.3.1 実数形式のフーリエ積分定理 . . . . . . . . . . . . . . 91

3.3.2 フーリエ余弦変換と正弦変換 . . . . . . . . . . . . . . 92

3.4 フーリエ変換の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.4.1 フーリエ変換の線型性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.4.2 実数値関数、複素数値関数のフーリエ変換 . . . . . . . 93

3.4.3 変数変換とフーリエ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.4.4 平行移動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.4.5 微分とフーリエ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.5 例題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.6 畳み込み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.7 デルタ関数再び . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.7.1 超関数のフーリエ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.7.2 階段関数のフーリエ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.7.3 フーリエ変換の基底関数系の直交性、フーリエの積分

定理とデルタ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

第 4章 フーリエ変換の応用 107

4.1 微分方程式の解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.2 分散関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

第 5章 グリーン関数 121

5.1 グリーンの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.2 ポアソン方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.3 ヘルムホルツ方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.3.1 3次元ヘルムホルツ方程式のグリーン関数 . . . . . . . 127

5.4 波動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.4.1 3次元空間における波動方程式のグリーン関数 . . . . . 132

5.5 熱伝導方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.5.1 3次元空間における熱伝導方程式のグリーン関数 . . . . 137

5.6 境界がある場合のグリーン関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.7 スツルム・リウヴィル方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.7.1 スツルム・リウヴィル方程式のグリーン関数の固有関

数展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5

5.7.2 同次方程式の解による非斉次スツルム・リウヴィル方

程式の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

第 6章 ラプラス変換 153

6.1 ラプラス変換の定義と性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.2 ラプラス逆変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.3 基本的な性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.4 例題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.5 ラプラス変換の応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

第 7章 その他の応用 169

7.1 サンプリング定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.2 線形システム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7.3 特性関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7.4 ラドン変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

付 録A より広いクラスの関数のフーリエ級数についての定理 183

A.1 有界変動関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

A.2 絶対可積分な関数に対するリーマン・ルベーグの補題 . . . . . 184

A.3 有界変動関数のフーリエ級数の収束定理 . . . . . . . . . . . . 186

付 録B 公式など 193

B.1 円柱座標・極座標のラプラシアン . . . . . . . . . . . . . . . . 193

B.2 変数分離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

B.3 積分順序の交換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

7

フーリエ級数・変換

様々な問題を解いて得られた解について、さらに積分や微分などの操作を

したり、解の様子を見たりしたいとする。このとき解がよく性質のわかって

いる簡単な関数の和や積分で表現できていると便利なことがある。三角関数

の和や積分によって様々な式を表現するフーリエ級数とかフーリエ変換は、

これを叶えてくれる手法の一つである。周期が T = 2π/ωの関数に対しては、

(難しい時間の関数) =a02

+ a1 cosωt+ b1 sinωt+ a2 cos 2ωt+ b2 sin 2ωt+ · · ·

=a02

+

∞∑n=1

(an cosnωt+ bn sinnωt),

となる。これをフーリエ級数（展開）と呼ぶ1。また、周波数 ωが連続的に変

化する場合には、積分で書かれるだろう。

(難しい時間の関数) =

∫(a(ω) cosωt+ b(ω) sinωt)dω,

こちらをフーリエ変換と呼ぶ。

またある現象についてその周期性を捉えたいことがある。周期性があると

いうことは、その現象に特徴的な時間や空間的スケールが存在することを意

味しており、現象を調べるヒントになるからである。フーリエの方法を使っ

て現象を表す式 f(t)を三角関数の和や積分によって表すと、ある特定の周期

Tc (あるいは周波数 ωc = 2π/Tc)、あるいはある特定の波長 λc、の寄与が他

と比べて大きいということがある2。

(現象の時間変動を表す式) = ac cosωct+ (他の周波数成分の寄与),

(現象の空間変動を表す式) = ac cos2πx

λc+ (他の波長成分の寄与),

このとき、この現象には細かく見ると様々なことがあるかもしれないけれど

も、大雑把には周期 ωcや波長 λcの時間的もしくは空間的な変動がまず重要

であることがわかる。

それからまた、物理学では微分方程式、積分方程式を扱うことが多いけれ

ども、マクスウェル方程式など、多くの方程式は線形である。空間 1次元、

1無限和になっていて自明ではない。収束性については追々説明する。2Tc の添え字 c は “characteristic” = 「特徴的な」という意味でつけてみた。

8

時間１次元の問題を考え、電磁場のある成分を ϕ(x, t)と書こう。真空中のマ

クスウェル方程式は、電磁場が

− 1

c2∂u(x, t)

∂t2+∂u(x, t)

∂x2= 0 (0.0.1)

という波動方程式にしたがうことを教えてくれる。初期条件や境界条件を無

視してしまうと、この方程式の解として三角関数 sin k(x− ct)や cos k(x− ct)が考えられることは代入することでわかる。さて、微分方程式が線形である

ということは、解の和もまた解であることを意味する。そこで、

u(x, t) =a02

+

∞∑n=1

(an cos kn(x− ct) + bn sin kn(x− ct)) (0.0.2)

という三角関数の線形和もまた解であろう。このような和における係数 an, bn

を適当に選んで初期条件や境界条件を満たすようにできれば問題の解が求

まるであろう。そこでたとえば t = 0 において初期条件が u(x, 0) = f(x),

u(x, 0) = g(x) 3と与えられたとすると、

u(x, 0) =a02

+

∞∑n=1

(an cos knx+ bn sin knx) = f(x), (0.0.3)

u(x, 0) =

∞∑n=1

(cknan sin knx− cknbn cos knx) = g(x) (0.0.4)

によって an, bnを決めればよい。のだけれども、ここで疑問も残る。任意に

与えた f(x), g(x)について an, bnを決めることができるのだろうか？逆にど

のような関数であれば、三角関数の和で表現できるのだろうか？実は三角関

数は、多くの有用な問題・関数を表現できることを以下見ていく。

さて、多くの関数が三角関数の和や積分で書かれることを認めたとする。

すると、上にあげた波動方程式の問題では三角関数が解 (特解)であったけれ

ども、三角関数が解でなかったとしても、解を三角関数の和や積分の形で書

けると仮定して係数を決めていくという解法も可能であることがわかる。和

3この文書ではドット () は時間微分を表す。つまり、

u(x, t) =∂u(x, t)

∂t

で、

u(x, 0) =∂u(x, t)

∂t

∣∣∣∣t=0

である。また、この文書では関数についたプライム (′)は空間微分もしくは引数についての微分を表すことが多い。

u′(x, t) =∂u(x, t)

∂x

ただし、独立変数についたプライム (′) は、少し異なる変数を意味することがある。たとえば、t′ は t の微分ではなくて、t と似たような性質を持つ変数を意味することがある。

9

や積分によって複雑な関数も表現できるという三角関数の特徴は、線形微分

方程式を解く上で非常に便利である。

以上、いくつかの例を簡単に見たけれども、物理学で出会う問題の多くで、

フーリエ級数展開や、フーリエ式の展開と呼ばれる手法が有効であることが

だんだんわかってくると思う。まずは三角関数の和で書く、フーリエ級数展

開の話から説明する。

この講義ノートの証明や問題は多くの箇所で文書末に掲げた参考文献 [1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]によっている。

11

第1章 フーリエ級数

1.1 この章のまとめ フーリエ級数展開とは有限区間 [a, b]において定義された関数 f(x)を三

角関数系で展開する手法である。

f(x) ∼ a02

+

∞∑n=1

(an cos

2πnx

L+ bn cos

2πnx

L

), (1.1.1)

an =2

L

∫ b

a

f(x) cos2πnx

Ldx, (1.1.2)

bn =2

L

∫ b

a

f(x) sin2πnx

Ldx, (1.1.3)

ただし、b − a ≡ Lとする。(1.1.1)式を f(x)のフーリエ級数(もしくは

f(x)のフーリエ級数展開)、an, bn をフーリエ係数と呼ぶ。 級数と f(x)の関係が、等号でなく、対応（∼）となっているのは、一般に級数が収束するかどうか、収束したとしてもとの関数 f(x)に収束するかど

うかはわからないからである。収束性について実用上以下の定理が有用であ

る1。

1. 有限区間における関数で、「区分的に連続な関数」に対して、三角関数

系は完備である。つまり平均収束し、以下の等式（パーセヴァルの等

式）が成り立つ。

2

L

∫ b

a

f(x)2dx =a202

+

∞∑k=1

(a2k + b2k

)(1.1.4)

2. 有限区間において「区分的に滑らかな関数」f(x) のフーリエ級数は、

f(x)の不連続点 x = cで (f(c + 0) + f(c − 0))/2に収束し、それ以外

では f(x)に収束する。

3. 「区分的に滑らかな関数」のフーリエ級数は不連続点を含まない区間に

おいて一様収束する。

1よくわからなかったら、まあだいたい物理で出会う関数はフーリエ級数が使えると思っておいたらとりあえず良い。

12 第 1章 フーリエ級数

「区分的に連続な（滑らかな）関数」の定義は 1.6節において与える。大雑把

に言って、「区分的に連続な関数」というのは、いくつかの点を除いて連続な

関数のことである。また不連続になる点でも発散しない関数である。「区分

的に滑らかな関数」というのは１階微分が区分的に連続な関数のことである。

一様収束するフーリエ級数は項別積分が可能である。また、項別微分した

級数が一様収束するなら、収束した先の関数は元の関数の微分になる。

1.2節は二章の先取りを含む。物理数学はある意味道具であるので、自在に

使えることが大切である。1.7節の例題や問題は全て手を動かしてやっておく

こと。実際に手を動かして計算の一つ一つのステップで論理を納得して、か

つ計算に慣れることが大切である。1.8節のリーマン・ルベーグの補題の説明

で述べる、「激しく正負に振動する関数とゆっくり変動する関数の積の積分が

ゼロになる」という話は、近似計算において良く出てくるので、記憶の隅に

おいて損はない。

この章では１次元の有限区間の話をするけれども、後の章では無限区間や

多次元での問題を扱う。

1.2 フーリエ級数：導入

２階の偏微分方程式の１種である波動方程式

− 1

c2∂2u(x, t)

∂t2+∂2u(x, t)

∂x2= 0 (1.2.1)

を考える2。この節では導入として２つの方法で波動方程式を解いてみる。１

つ目の方法がダランベールによる解法、２つ目の方法がフーリエ級数による

解法である。

1.2.1 ダランベールの解法

波動方程式 (1.2.1)式の独立変数は x, tの２つある。そうすると x, tから、

適当に２つの独立な変数を作ってやって問題を解いても良い。そこで独立な

２つの変数

ξ ≡ x− ct (1.2.2a)

η ≡ x+ ct (1.2.2b)

2以下この節の話は、参考文献 [2] によっている。

1.2. フーリエ級数：導入 13

を導入すると3、一階微分は以下のように書ける。

∂u

∂x=∂ξ

∂x

∂u

∂ξ+∂η

∂x

∂u

∂η=∂u

∂ξ+∂u

∂η(1.2.4a)

∂u

∂t=∂ξ

∂t

∂u

∂ξ+∂η

∂t

∂u

∂η= −c∂u

∂ξ+ c

∂u

∂η(1.2.4b)

さらに二階微分は

∂2u

∂x2=

(∂

∂ξ+

∂

∂η

)(∂u

∂ξ+∂u

∂η

)=∂2u

∂ξ2+ 2

∂2u

∂η∂ξ+∂2u

∂η2, (1.2.5a)

1

c2∂2u

∂t2=

(− ∂

∂ξ+

∂

∂η

)(−∂u∂ξ

+∂u

∂η

)=∂2u

∂ξ2− 2

∂2u

∂ξ∂η+∂2u

∂η2(1.2.5b)

となるので、元の偏微分方程式は以下のようにかける。

4∂2u

∂ξ∂η= 0 (1.2.6)

解は f と gを二階微分可能な任意の関数として、

u(x, t) = f(ξ) + g(η) = f(x− ct) + g(x+ ct) (1.2.7)

と求まる4。これは二階微分可能な２つの任意関数で表された時間 1次元・空

間 1次元の波動方程式の一般解で、ダランベールの解とよぶ。3なぜこういう組み合わせにするかというと、いろいろ言えると思うけれども、一つには、

−1

c2∂2

∂t2+

∂2

∂x2=

(−1

c

∂

∂t+

∂

∂x

)(1

c

∂

∂t+

∂

∂x

)(1.2.3)

と書けることがある。偏微分方程式の解き方についての教科書を読むと、一般論についての解説があるけれども、ここでは、良く出てくる時間 1次元・空間 1次元の波動方程式については、以下で見るように、(1.2.2) 式のように座標変換すると解けるのだとしておく。

4少し丁寧に説明すると以下のようになる。まず、

∂u

∂η≡ U(ξ, η) (1.2.8)

とおく。すると、(1.2.6) 式は

∂U

∂ξ= 0 (1.2.9)

と書けるので、U は実は ξ には依存せず、U = U(η) と書ける。U の定義に戻ると、

∂u

∂η= U(η) (1.2.10)

これを積分すると

u(ξ, η) =

∫ η

U(η)dη + f(ξ) (1.2.11)

を得る。η で微分してゼロになれば良いので、u は ξ にのみ依存する二階微分可能な任意関数f(ξ) を含む。第１項を g(η) とおくと、u = f(ξ) + g(η) を得る。

14 第 1章 フーリエ級数

さて、さらに以下のような境界条件と初期条件を課そう。

u(0, t) = 0, (1.2.12a)

u(L, t) = 0, (1.2.12b)

∂u(x, 0)

∂t= 0, (1.2.12c)

つまり、両端を固定端とする波を考えていて、初期速度は波のどの部分でも

ゼロであるとする。これらの境界条件から

u(0, t) = f(−ct) + g(ct) = 0, (1.2.13a)

u(L, t) = f(L− ct) + g(L+ ct) = 0, (1.2.13b)

∂u(x, 0)

∂t= −f ′(x) + g′(x) = 0 (1.2.13c)

最後の式から

−f(x) + g(x) = A (1.2.14)

このAは xに依らない定数 (積分定数)である。この式は、f(x)と g(x)は独立

には取れないということを表す。あるいは、ある１つの任意関数で f(x), g(x)

が書かれることを意味する。そこで F (x)を２回微分可能な関数として、

f(x) =1

2(F (x)−A), (1.2.15a)

g(x) =1

2(F (x) +A) (1.2.15b)

とおくことができて

u(x, t) =1

2F (x− ct) +

1

2F (x+ ct) (1.2.16)

と書ける（係数 1/2は後で初期条件を求めるときにちょうど u(x, 0) = F (x)

となるようにつけた)。境界条件から

F (x) = −F (−x), (1.2.17a)

F (L− ct) + F (L+ ct) = 0 (1.2.17b)

第１式は F (x)が奇関数であることを意味する。２つ目の式は F (L − ct) =

−F (ct− L)より

F (L− ct) + F (L+ ct) = −F (ct− L) + F (ct+ L) = 0 (1.2.18)

よって F (ct − L) = F (ct + L)で、これは x = ct − Lと置き直すと F (x) =

F (x+ 2L)と同値で、F (x)は周期 2Lの周期関数であることを意味する。ま

た、初期条件として

u(x, 0) = F (x) (1.2.19)

1.2. フーリエ級数：導入 15

を得る。

たとえば初期条件として、

u(x, 0) = F (x) =

· · · , · · · ,

x(L+ x), −L ≤ x < 0,

x(L− x), 0 ≤ x < L,

(L− x)(2L− x), L ≤ x < 2L,

(x− 2L)(3L− x), 2L ≤ x < 3L,

· · · , · · · ,

(1.2.20)

と選ぶことができる。この F (x)は周期 2Lの奇関数である。たとえば我々の

問題で関係のある範囲 0 ≤ x ≤ Lに注目すると

F (x) = x(L− x) = −(−x)(L+ (−x)) = −F (−x), (1.2.21a)

F (x+ 2L) = (x+ 2L− 2L)(3L− x− 2L) = x(L− x) = F (x) (1.2.21b)

(F (x)は１回微分まで連続で、端点では２回微分が不連続になる。数学的に

は端点を含む領域では微分方程式は満たさないけれども、不連続性は端点を

挟んでおこるので、端点の片側だけ考えるときには問題ないと考える。)

-1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

図 1.1: 青線は (1.2.20)式で定義されている F (x)、オレンジ色の線はその１

階微分、緑の線は 2階微分で不連続になっている。

1.2.2 フーリエ級数による解法

以上で問題は解けたのだけれども、この問題は、このノートの主題である

フーリエの方法を使って解くこともできる。そのために変数分離形を仮定し

て u(x, t) = X(x)T (t)とおく。

T ′′(t)

c2T (t)=X ′′(x)

X(x)= λ (1.2.22)

16 第 1章 フーリエ級数

左辺は xに依らず、右辺は tに依らないから両辺は定数に等しい。この定数

を分離定数と呼ぶ。ここではこれを λとおいた。解は A,B,C,Dを定数とし

て、λ = 0のとき

T (t) = At+B, (1.2.23a)

X(x) = Cx+D (1.2.23b)

の形に求まるが、境界条件により自明な解5(u(x, t) = 0)しかないので除外す

る6。λ = 0のときは7

T (t) = Ae√λct +Be−

√λct, (1.2.25a)

X(x) = Ce√λx +De−

√λx (1.2.25b)

境界条件から

u(0, t) = (C +D)(Ae√λct +Be−

√λct) = 0, (1.2.26a)

u(L, t) = (Ce√λL +De−

√λL)(Ae

√λct +Be−

√λct) = 0 (1.2.26b)

λ > 0では非自明な解はないが8、λ = −κ2 (κ > 0)とすると

κ =nπ

L, D = −C (n = 1, 2, · · · ) (1.2.28)

のとき解となる。また初期条件から A = B。よって解は

u(x, t) = A sin(nπxL

)cos

(nπct

L

)=

1

2A

(sin

(nπ(x− ct)

L

)+ sin

(nπ(x+ ct)

L

))(1.2.29)

の形に求まる9。しかるに重ね合わせの原理より任意の Aと nについて解に

なるから、三角級数の和である

u(x, t) =

∞∑n=1

An sin(nπxL

)cos

(nπct

L

), (1.2.30)

5恒等的にゼロである関数を自明な関数と呼ぶ。6実際、

u(x, t) = T (t)X(x) = (At+B)(Cx+D) (1.2.24)

と書いたときに u(0, t) = D(At + B) = 0 より D = 0 もしくは A = B = 0 であるが後者はu(x, t) = 0という自明な解しか与えない。D = 0のとき u(L, t) = (CL+D)(At+B) = 0より C = 0 となって結局自明な解しか存在しない。

7上で出てきた A,B,C,D とはまた別の適当な積分定数。いちいち他の記号を使うのが面倒なので、同じ記号を使う。

8最初の式から C = −D。このとき２つ目の式は、

u(L, t) = 2C sinh(√λL)(Ae

√λct +Be−

√λct) (1.2.27)

だが、sinh(x) は x = 0 以外で 0 にならない。9例によって積分定数をまとめて A と置いた。上の式の A,B,C,D とこの式の A には適当

な関係があるけれども、どのみち任意定数なのでどうでもよくて、改めて Aと書き直して良い。

1.2. フーリエ級数：導入 17

も解であるはずである。最初の解法では、境界条件から F (x)は周期 2Lの奇

関数とみなされたけれども、変数分離を使った解法でも、各項は xについて

周期 2Lの奇関数になることに注意しよう。

するともし An を適当に選んで u(x, 0) = F (x) とできれば２つの解き方

で解は一致する。F (x) は任意関数だったのだが、では An を適当に選んで

u(x, 0) = F (x)とできるのかどうか。たとえば、上にあげた F (x)は端点で

２回微分が不連続になっているのだが、そのような関数を無限回微分可能で

ある三角級数で展開できるのであろうか？

ジョゼフ・フーリエ (1768-1830)はこのような三角関数を使った級数展開

によって任意の関数を表現できると主張し、「熱の解析的理論」(1822年)に

おいて、三角関数を使った級数（現在ではフーリエ級数と呼ばれる）を使っ

て熱伝導のいろいろな境界値問題を解く方法を提案した10。実際、物理学で

現れる多くの実用的な問題でフーリエによる方法（フーリエ展開の方法）が

極めて有効であることが知られている。この講義ではフーリエ級数・フーリ

エ変換とその応用について学ぶ。

さて、最後にAnの決め方を書いてしまうと、式 (1.2.30)の級数が t = 0で

一様収束するなら項別積分できることを使うと、Anを求めることができる。

初期条件を満たすためには、(1.2.30)式は t = 0で

F (x) = u(x, 0) =

∞∑n=1

An sin(nπxL

), (1.2.31)

となっていてほしい。mを適当な非負整数としてこの式の両辺に

sin(mπx

L

)(1.2.32)

をかけて区間 [0, L]で積分してみよう。∫ L

0

sin(nπxL

)sin(mπx

L

)dx =

L

2δmn (1.2.33)

に注意すると∫ L

0

F (x) sin(mπx

L

)dx =

∞∑n=1

An

∫ L

0

sin(nπxL

)sin(mπx

L

)dx

=

∞∑n=1

AnL

2δmn =

L

2Am (1.2.34)

よって Am は

Am =2

L

∫ L

0

u(x, t) sin(mπx

L

)dx (1.2.35)

(m = 1, 2, · · · )と求まることがわかる。10歴史は面白いらしいし、フーリエ解析が現代数学に与えた影響も面白いらしいが、私には述べる能力も知識も欠くので割愛。

18 第 1章 フーリエ級数

1.2.3 周期関数への拡張

区間 a ≤ x < bで関数 f(x)が与えられたときに、−∞ < x <∞における周期 (b − a) = Lの周期関数 F (x)11を作り、a ≤ x < b12では元の関数 f(x)

に一致するように作るのは簡単である。nを整数として、

a+ nL ≤ x < a+ (n+ 1)L (1.2.36)

では

F (x) = f(x− nL) (1.2.37)

とすれば良い。

問題 1. 以下の問いに答えよ。

1. [0, π)で定義された関数 f(x) = xを周期 πの周期関数にせよ。

2. [0, π)で定義された関数 f(x) = xを奇関数に拡張し、さらに周期 2πの

周期関数にせよ。

3. [0, π)で定義された関数 f(x) = xを偶関数に拡張し、さらに周期 2πの

周期関数にせよ。

1.3 三角関数の直交関係

αを適当な実数とする。よく知られているように、∫ 2π+α

α

dx = 2π, (1.3.1a)∫ 2π+α

α

cosmxdx = 0, (1.3.1b)∫ 2π+α

α

sinmxdx = 0, (1.3.1c)∫ 2π+α

α

cosnx cosmxdx = πδmn, (1.3.1d)∫ 2π+α

α

sinnx sinmxdx = πδmn, (1.3.1e)∫ 2π+α

α

cosnx sinmxdx = 0 (1.3.1f)

である。これらの関係を三角関数系の直交性と呼ぶことがある。フーリエ級

数の計算で使うのは、基本的には三角関数系の直交性である。11ここでの f(x) や F (x) はすぐ前に現れたダランベールの解の f(x) や初期条件の F (x) とは関係がない。記号の数は限られているので、使いまわしている。場所場所によって、ある記号が何を意味しているのかは注意してほしい。

12細かい話だけど、a ≤ x ≤ bで関数が与えられて、f(a) = f(b)である場合、周期関数に拡張すると端点 a + nL で f(a), f(b) のどちらの値を採用するか不明確になる。その場合は問題に応じて適当に仮定する。

1.3. 三角関数の直交関係 19

関数系、直交性

関数系と直交性という言葉について、おおざっぱに説明してみよう。より

適用範囲の広い定義、すっきりした美しい解説、あるいは厳密な説明は適当

な教科書を読んでほしい。

「関数系」というのは関数の集まりのことである。[α, 2π + α]で便利な三

角関数系として、たとえば無限個の三角関数の集合1√2π,cosx√π,sinx√π,cos 2x√

π,sin 2x√

π,cos 3x√

π,sin 3x√

π· · ·

(1.3.2)

が考えられる。一般に係数13は任意だけれども、ここでは以下で定義する内

積を使ったときに、自分自身との内積が 1となるように、また関数系の異な

る要素同士の内積がゼロになるようしている14

関数 u(x)と関数 v(x)が「直交」するとは、これらの関数の「内積」がゼ

ロになることである。ここでは [α, 2π + α]で定義された実数値関数 u(x)と

v(x)の「内積」を、積分 ∫ 2π+α

α

u(x)v(x)dx (1.3.5)

で定義する。

関数の、自分自身との内積のことを、「ノルム」と呼ぶ。[α, 2π+α]で定義

された実数値関数 u(x)のノルムとは、∫ 2π+α

α

(u(x))2dx (1.3.6)

のことである。

内積という言葉は、ベクトルとの類推で理解できるかもしれない。成分

u1, u2, u3 を持つ 3次元の実ベクトル uと成分 v1, v2, v3 を持つ 3次元の実ベ

クトル vの内積は

u · v = u1v1 + u2v2 + u3v3 =

3∑i=1

uivi (1.3.7)

である。おおざっぱに言って積分は和∫ 2π+α

α

u(x)v(x)dx = ∆x∑i

u(xi)v(xi) (1.3.8)

131/√2π とか、1/

√π とかのこと。

14一般にはそうなってなくても別によい。たとえば、1, x, x2, x3, · · ·

(1.3.3)

という関数系も考えられる。また、関数を定義する区間も便利なように好きに決めて良くて、たとえば [−1, 1] で定義した

1, x,1

2(3x2 − 1),

1

2(5x3 − 3x), · · ·

(1.3.4)

という関数系も考えられる。これはルジャンドル多項式と呼ばれる。

20 第 1章 フーリエ級数

で近似できるから、似ていることがわかると思う (刻み幅∆x ≡ xi+1 − xiは

iによらず一定だとしている)。実際、関数の集合は、我々に馴染みのあるベ

クトルと似た性質を満たす。このことは線形代数の教科書などに書いてある

だろう。

ベクトルの内積がそうであるように、関数の内積も半正定値になっていて

ほしい。二つの実数値関数 u(x), v(x)の内積を記すのに、いちいち積分記号

を書くのが面倒なので、

(u, v) ≡∫ 2π+α

α

u(x)v(x)dx (1.3.9)

という記号を導入しよう。内積が半正定値であるというのは、自分自身との

内積が 0以上であるということである。

(u, u) ≥ 0 (1.3.10)

また、等号が成り立つとき u(x) = 0である。

半正定値性を要求すると、u(x)と v(x)が複素数値関数の場合は、内積は

(u, v) ≡∫ 2π+α

α

u∗(x)v(x)dx (1.3.11)

と定義できるだろう15。

ある関数系

ϕn(x)∞n=0 = ϕ0(x), ϕ1(x), ϕ2(x), · · · (1.3.13)

の相異なる要素同士の内積がゼロで、ノルムが 1であるとする。

(ϕm, ϕn) = δmn (1.3.14)

このとき、ϕn(x)∞n=0 は正規直交関数系 (正規直交関数列)をなすという。

問題 2. Eulerの公式を使って三角関数の和積の公式を導出せよ。

問題 3. 三角関数の和積の公式を使って上の直交関係を示せ。

1.4 フーリエ級数

以下とくに断らない限り、この章では実数値関数を考える16。

15もちろん

(u, v) ≡∫ 2π+α

αu(x)v∗(x)dx (1.3.12)

としても良いが、一度どちらかで定義したらその定義をずっと使うこと。16複素形式のフーリエ級数やフーリエ変換を考え始めると、複素数値関数を考えるようになる。

1.4. フーリエ級数 21

関数 g(x)を周期 Lの関数とする。つまり g(x+ L) = g(x)と仮定する。

f(x) = g

(L

2πx

)(1.4.1)

とすれば f(x)を周期 2πの関数にできるから、しばらくの間周期 2πの関数

を扱う。したがって、f(x+ 2π) = f(x)。

定義域 x ∈ [−π, π)における周期 2πの周期関数 f(x)のフーリエ級数展開

とは、三角関数の級数（三角級数）

a02

+

∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx) (1.4.2)

によって f(x)を近似しようというものである。

項別積分が可能であるとすると、三角関数の直交関係から、

an =1

π

∫ π

−πf(x) cosnxdx, (1.4.3a)

bn =1

π

∫ π

−πf(x) sinnxdx, (1.4.3b)

であることがわかる。

問題 4. 項別積分が可能として、式 (1.4.3a)、(1.4.3b)を示せ。

以上よりフーリエ級数展開の定義を以下のようにする。 定義 1 (フーリエ級数). 区間−π ≤ x < π において積分可能な関数 f(x)

を考える。

an =1

π

∫ π

−πf(x) cosnxdx, (1.4.4a)

bn =1

π

∫ π

−πf(x) sinnxdx (1.4.4b)

なる an, bn を f(x)のフーリエ係数という。このとき、

f(x) ∼ a02

+

∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx) (1.4.5)

と書き、右辺の三角級数を f(x)のフーリエ級数と呼ぶ。フーリエ級数は

必ずしも f(x)に収束するとは限らないので、対応の意味で ∼と書いている。

すぐ後で一般の区間のフーリエ級数を考える。

最初の項に 1/2がかかって a0/2となっているが、これは anの定義を n = 0

22 第 1章 フーリエ級数

でも成立させたかったからである。a0 の定義だけ別にして、

a0 =1

2π

∫ π

−πf(x)dx,

an =1

π

∫ π

−πf(x) cosnxdx, (n = 0),

とすれば

f(x) ∼ a0 +

∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx)

とすることもできる。どっちの定義を取るかは趣味の問題である。最後の結

果を級数で書く限り答えは一緒である。ただし、どちらに 1/2を押し付ける

にせよ、1/2を忘れてはならない。

1.4.1 複素形式のフーリエ級数

他の便利な表現として、複素形式のフーリエ級数がある。今、関数 f(x)を

実数値関数として、am, bm は実数であるとする。

cn =an − ibn

2(1.4.6)

とすると an = cn + c∗n, bn = i(cn − c∗n)で、b0 = 0より c0 + c∗0 = 2c0に注意

すると

f(x) ∼ c0 + c∗02

+

∞∑n=1

(cn(cosnx+ i sinnx) + c∗n(cosnx− i sinnx))

= c0 +

∞∑n=1

(cneinx + c∗ne

−inx)

= c0 +

∞∑n=1

cneinx +

−∞∑n=−1

c∗−neinx

=

∞∑n=−∞

cneinx (1.4.7)

ただし、c−n ≡ c∗n である。係数 cn は

1

2π

∫ π

−πeinxe−imxdx =

1, (m = n)

0, (m = n)(1.4.8)

を使って

cn =1

2π

∫ π

−πf(x)e−inxdx (1.4.9)

1.4. フーリエ級数 23

と求まる。

以上の考察からさらに複素数値関数に適用範囲を拡張して、複素形式のフー

リエ級数を以下のように定義する。 定義 2 (複素形式のフーリエ級数). 区間 −π ≤ x < πで定義される複素

数値関数のフーリエ級数を

f(x) ∼∞∑

n=−∞cne

inx, (1.4.10)

cn =1

2π

∫ π

−πf(x)e−inxdx (1.4.11)

によって定義する。 c∗n =

1

2π

∫ π

−πf∗(x)einxdx (1.4.12)

であるから、特に関数 f(x)が実数値関数のときには、cn = c∗−n である。

1.4.2 一般区間のフーリエ級数

周期 Lの関数 g(x)のフーリエ係数を考えよう。式 (1.4.1)より

an =1

π

∫ π

−πg

(L

2πx

)cosnxdx, (1.4.13a)

bn =1

π

∫ π

−πg

(L

2πx

)sinnxdx (1.4.13b)

ξ = L/(2π)xと変数変換すると

an =2

L

∫ L/2

−L/2g (ξ) cos

2πnξ

Ldξ, (1.4.14a)

bn =2

L

∫ L/2

−L/2g (ξ) sin

2πnξ

Ldξ (1.4.14b)

となる。

g(x)も cos(2πnx/L), sin(2πnx/L)も周期 Lの周期関数なので、積分領域

は b−a = Lであれば任意の実数区間 [a, b]で行っても積分結果は変わらない。

以上を以下の定義にまとめる。

24 第 1章 フーリエ級数 定義 3 (一般区間のフーリエ級数). 関数 g(x)がa ≤ x < b (b−a = L > 0)

で定義される周期 Lの周期関数なら、そのフーリエ級数は

an =2

L

∫ b

a

g (ξ) cos2πnξ

Ldξ, (1.4.15a)

bn =2

L

∫ b

a

g (ξ) sin2πnξ

Ldξ (1.4.15b)

というフーリエ係数によって

g(x) ∼ a02

+

∞∑n=1

(an cos

2πnx

L+ bn sin

2πnx

L

)(1.4.16)

と定義される。 例 1. a ≤ x < b (b− a = L > 0)で定義される関数

g(x) =

(x− a)(x− a− L/2), a ≤ x < a+ L/2

−(x− a− L/2)(x− b), a+ L/2 ≤ x < b(1.4.17)

を周期 Lの周期関数と考えてそのフーリエ級数を求めてみる。

a0 = 0, (1.4.18)

an =2

L

∫ b

a

g(x) cos2πnx

Ldx =

(1− (−1)n)L2

n3π3sin

2πna

L, (1.4.19)

bn =2

L

∫ b

a

g(x) sin2πnx

Ldx = − (1− (−1)n)L2

n3π3cos

2πna

L(1.4.20)

より、

g(x) ∼ −2L2

π3

∞∑n=1

1

(2n− 1)3sin

(2π(2n− 1)(x− a)

L

)(1.4.21)

さて、−π ≤ x < π で定義される関数

f(x) =

x(x+ π), −π ≤ x < 0

−x(x− π), 0 ≤ x < π(1.4.22)

を考える。もちろん

g(x) =L2

4π2f

(2π(x− a− L/2)

L

)(1.4.23)

となることを期待している。

f(x)のフーリエ級数を直接積分計算して求めてみると、

f(x) ∼ 8

π

∑n=1

sin(2n− 1)x

(2n− 1)3(1.4.24)

1.4. フーリエ級数 25

右辺は、L2/(4π2)をかけて x→ 2π(x− a− L/2)/Lと変数変換すると

L2

4π2× 8

π

∑n=1

1

(2n− 1)3sin

((2n− 1)

2π(x− a− L/2)

L

)

= −2L2

π3

∞∑n=1

1

(2n− 1)3sin

(2π(2n− 1)(x− a)

L

)(1.4.25)

となって期待通り g(x)のフーリエ級数と一致する。

実際の物理学の問題ではその問題に適切な区間を考えるから、ここで定義

した一般区間のフーリエ級数展開の表記が便利だけれども、以下では（表記

の）簡単のため、しばらくは区間 [−π, π)で考える。それで一般性を失わない。上の例で示したように区間の変更はもちろん簡単である。

-5 5

-2

-1

1

2

-5 5

-0.10

-0.05

0.05

0.10

図 1.2: 左図：緑線は (1.4.22)式で定義されている F (x)、オレンジ色の線は

フーリエ級数で最初の１項を書いたもの。もともと「sineっぽい」関数なの

でかなり良い近似になっている。右図：元の関数との差。青線は元の関数と

フーリエ級数の最初の 1項の差、オレンジ色は元の関数と 100 項まで足した

部分和との差。

例 2. 三角関数で書かれた一般区間におけるフーリエ級数展開より複素形式

のフーリエ級数展開を求める。xを実数、g(x)は実数値関数とすると、

g(x) ∼ a02

+

∞∑n=1

(an cos

2πnx

L+ bn sin

2πnx

L

)

=a02

+1

2

∞∑n=1

((an − ibn) exp

(i2πnx

L

)+ (an + ibn) exp

(−i2πnx

L

))

=

∞∑n=−∞

cn exp

(i2πnx

L

)(1.4.26)

ただし、cn は

cn =an − ibn

2=

1

2

(2

L

∫ b

a

g (ξ) cos2πnξ

Ldξ − i

2

L

∫ b

a

g (ξ) sin2πnξ

Ldξ

)

=1

L

∫ b

a

g (ξ) exp

(−i2πnξ

L

)dξ (1.4.27)

によって求まる。

26 第 1章 フーリエ級数

より一般に複素数値関数も含めて以下の定義にまとめておく。 定義 4 (一般区間の複素形式のフーリエ級数). [a, b]で定義された周期

L = b− aの関数 g(x)に対して、

g(x) ∼∞∑

n=−∞cn exp

(i2πnx

L

), (1.4.28)

cn =1

L

∫ b

a

g (ξ) exp

(−i2πnξ

L

)dξ (1.4.29)

によってフーリエ級数展開を定義する。 1.5 近似式としてのフーリエ多項式、ベッセルの不

等式、パーセヴァルの等式

フーリエ級数の定義式に現れる無限和が収束しない場合でも部分和には近

似式としての意味がある。

Sn(x) =a02

+

n∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx) (1.5.1)

このことを見るために、今趣向を変えて、三角多項式

Tn(x) =A0

2+

n∑k=1

(An cosnx+Bn sinnx) (1.5.2)

がもっとも良い近似になるように Am, Bmを決めることを考える。ここでは

Am、Bmがフーリエ係数になるとは仮定しないけれども、平均２乗誤差が最

小になるようにこれらを決めると、実はフーリエ係数になるという話である。

En =1

2π

∫ π

−πf(x)− Tn(x)2dx (1.5.3)

1.5. 近似式としてのフーリエ多項式、ベッセルの不等式、パーセヴァルの等式27

を最小にする係数 Am, Bm を求めてみよう。

En =1

2π

∫ π

−πf(x)2dx− 1

π

∫ π

−πf(x)Tn(x)dx+

1

2π

∫ π

−πTn(x)

2dx

=1

2π

∫ π

−πf(x)2dx

− A0

2π

∫ π

−πf(x)dx− 1

π

n∑k=1

∫ π

−πf(x)(Ak cos kx+Bk sin kx)dx

+A2

0

2

+1

2π

n∑k=1

n∑ℓ=1

∫ π

−π(Ak cos kx+Bk sin kx) (Aℓ cos ℓx+Bℓ sin ℓx) dx

=1

2π

∫ π

−πf(x)2dx− A0a0

2−

n∑k=1

(Akak +Bkbk) +A2

0

4

+1

2

n∑k=1

(A2k +B2

k

)(1.5.4)

Enの最小値を求めたいので EnをAm, Bmの関数と見てこれらで微分して 0

となる Am, Bm を求める17。

∂En∂Am

= 0, (1.5.6)

∂En∂Bm

= 0 (1.5.7)

実行すると、A0で微分して−a0/2+A0/2 = 0 より A0 = a0、Ai, Biで微分

して −ai + Ai = 0,−bi + Bi = 0より Ai = ai, Bi = bi のとき En は最小値

Eminn

En ≥ E(min)n =

1

2π

∫ π

−πf(x)2dx− a20

4− 1

2

n∑k=1

(a2k + b2k

)≥ 0 (1.5.8)

をとる。したがってフーリエ多項式は最小自乗法の意味で最良の近似三角多

項式である。

またさらに不等式

1

π

∫ π

−πf(x)2dx ≥ a20

2+

n∑k=1

(a2k + b2k

)(1.5.9)

17En は Am, Bm の２次関数で、明らかに下に凸なので極値が最小値を与える。たとえばある添え字 m を持つ係数 Am に着目すると、En は以下のように書ける。

En =1

2(Am − am)2 + C −

1

2a2m (1.5.5)

ただし C は Am に依存しない。こう書くと En は Am の２次関数で式 (1.5.6)、より直接的にAm = am が Am の関数としての En の最小値を与えることは自明である。

28 第 1章 フーリエ級数

を得る。左辺は nによらないので、

1

π

∫ π

−πf(x)2dx ≥ a20

2+

∞∑k=1

(a2k + b2k

)(1.5.10)

この不等式をベッセルの不等式と呼ぶ。左辺は有限なので、右辺は n → ∞の極限で収束する。したがってとくに任意の２乗可積分関数18について

limn→∞

an = limn→∞

1

π

∫ π

−πf(x) cosnxdx = 0, (1.5.11)

limn→∞

bn = limn→∞

1

π

∫ π

−πf(x) sinnxdx = 0 (1.5.12)

である。これをリーマン・ルベーグの補題という。

また、

limn→∞

∫ π

−πf(x)− Sn(x)2dx = 0 (1.5.13)

が成り立つ時、Sn(x)を部分和とするフーリエ級数は f(x)に平均収束すると

いう。これは各点 xでの収束

limn→∞

f(x)− Sn(x) = 0 (1.5.14)

と異なることに注意。

平均収束するとき

1

π

∫ π

−πf(x)2dx =

a202

+

∞∑k=1

(a2k + b2k

)(1.5.15)

この式をパーセヴァル (Parseval)の等式と呼ぶ。

後にこの章で説明するけれども、先に述べておくと、有限区間における関

数で、「区分的に連続な関数」に対して、三角関数系は完備である（つまり平

均収束し、パーセヴァルの等式が成り立つ）。また、「区分的に滑らかな関数」

f(x)は、フーリエ級数展開をすることができ、たとえば x = cで関数が不連

続とすると、フーリエ級数は x = cで (f(c+ 0) + f(c− 0))/2に収束し、そ

れ以外では f(x)に収束する。

例 3. パーセバルの等式が成り立ち、a0 = 0, ak = 0, bk = 0(k = 1, 2, · · · )であるなら、

1

π

∫ π

−πf(x)2dx = 0 (1.5.16)

より、区分的に連続な関数 f(x)は、ほとんどいたるところ f(x) = 0である。

18有限区間では２乗可積分なら可積分だから、以下は可積分関数について成り立つ。

1.6. 区分的に連続な関数 29

例 4. 区間 [a, b]で定義された区分的に滑らかな関数 f(x)について、複素形

式のフーリエ級数に対するパーセヴァルの等式を導出する。ただし項別積分

が可能であるとする。

f(x) =

∞∑n=−∞

cn exp

(2πinx

L

)(1.5.17)

より

1

L

∫ b

a

|f(x)|2dx =1

L

∞∑k=−∞

∞∑ℓ=−∞

∫ b

a

ckc∗ℓ exp

(2πi(k − ℓ)x

L

)dx

=

∞∑k=−∞

|ck|2 (1.5.18)

1.6 区分的に連続な関数

ある１変数関数が有限なある区間で区分的に連続であるというのは、その

区間を適当な有限個の区間に分けた時、そのおのおのの内部では連続であり、

内部から端に向かってとった極限値が存在する関数のことである。

ここで「存在する」という意味は、有限確定値をとるということで、区分

的に連続な関数は、不連続点で発散してはいけない。

右極限と左極限の差 (跳躍、ジャンプ)が有限である不連続点のことを第１

種不連続点という。以下、区分的に連続な関数の不連続点というときには、

第１種不連続点のことを指す。一方で、不連続点で関数が発散している場合

（右極限もしくは左極限もしくはその両方が発散している場合）、その点を第

２種不連続点と呼ぶ。区分的に連続な関数は第２種不連続点をもたない。

30 第 1章 フーリエ級数 定義 5. 有限区間 I の境界を x = a, b (a < b)とする。I 上で定義された

関数 f(x)に対して、I の内部に有限個の点

a = a0 < a1 < · · · < an = b (1.6.1)

が存在し、f(x)が閉区間 Ij = (aj−1, aj) で連続であり、j = 1, 2, · · · , nに対して

f(aj−1 + 0) = limx→aj−1+0

f(x), f(aj − 0) = limx→aj−0

f(x) (1.6.2)

が存在するとき、関数 f(x)は区間 I で区分的に連続であるという。

定義 6. 有限でない区間 I で関数 f(x)が区分的に連続であるとは、I に

含まれる任意の有限区間で区分的に連続であることを意味する。

定義 7. 有限区間 I で関数 f(x)が区分的に滑らかであるとは、I におい

て f(x)と f ′(x)がともに区分的に連続であることを意味する。

定義 8. 有限でない区間 I で関数 f(x)が区分的に滑らかであるとは、I

に含まれる任意の有限区間で区分的に滑らかであることを意味する。 例 5. 1. tanxは区間 [−π, π)で区分的に連続ではない。実際 x = π/2で

発散する。

2. |x|1/2は区間 [−π, π)で区分的に滑らかではない。実際 x = 0で１階微

分が発散する。

-3 -2 -1 1 2 3

-10

-5

5

10

15

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

4

図 1.3: 左図：tanx(青)とその微分 (オレンジ)。tanxは区間 [−π, π)で区分的に連続ではない。右図：|x|1/2(青)とその微分 (オレンジ)。x = 0で１階微

分が発散するので、|x|1/2 は区間 [−π, π)で区分的に滑らかではない。

区分的に連続な関数を考えると、有限個の点で一致しないような関数の

ペアを考えることができる。かなり人為的だけれども簡単な例は、たとえば

1.7. 例題 31

−π ≤ x < πで

f(x) = sinx, (1.6.3)

g(x) =

sinx, x = 0,

1, x = 0(1.6.4)

である。フーリエ係数は積分で定義されるから、−π ≤ x < π で有限個の点

を除いて一致するような２つの関数のフーリエ級数は一致するため、f(x)と

g(x)のフーリエ級数は一致する（そして sinxである）。ただ、そうやって求

めたフーリエ級数（この場合はただの sinxなのであんまり級数とは言わない

が）は、もちろん f(x)には一様収束するけれども、g(x)には一様収束しな

い（x = 0においてフーリエ級数の値は 0になる）。

1.7 例題

区間 [−π, π)で区分的に滑らかな関数 f(x)を与えられたとする。f(x)を周

期 2πの周期関数として扱った時、f(x)の不連続点以外では、そのフーリエ

級数はもとの関数 f(x)に一様収束する。

この節ではいくつかの簡単なフーリエ級数を計算する。収束性については

後の節で考える。

例 6. f(x)を区分的に滑らかな奇関数とする。つまり f(x) = −f(−x)である。このとき f(x)のフーリエ係数を求める。

an =1

π

∫ π

−πf(x) cosnxdx = − 1

π

∫ −π

π

f(−t) cosntdt

=1

π

∫ −π

π

f(t) cosntdt = − 1

π

∫ π

−πf(t) cosntdt = −an (1.7.1)

bn =1

π

∫ π

−πf(x) sinnxdx =

1

π

∫ π

0

f(x) sinnxdx+1

π

∫ 0

−πf(x) sinntdx

=1

π

∫ π

0

f(x) sinnxdx+1

π

∫ 0

π

f(−t) sinntdx

=1

π

∫ π

0

f(x) sinnxdx− 1

π

∫ 0

π

f(t) sinntdx

=1

π

∫ π

0

f(x) sinnxdx+1

π

∫ π

0

f(t) sinntdx =2

π

∫ π

0

f(x) sinnxdx

(1.7.2)

よって奇関数のフーリエ係数は一般に

an = 0, (1.7.3)

bn =2

π

∫ π

0

f(x) sinnxdx (1.7.4)

32 第 1章 フーリエ級数

問題 5. 区分的滑らかな偶関数のフーリエ係数が以下のようになることを示せ。

an =2

π

∫ π

0

f(x) cosnxdx, (1.7.5)

bn = 0, (1.7.6)

以上より、計算上有用なフーリエ級数の性質を得る。 区間 [−π, π)で定義された区分的滑らかな関数 f(x)を考える。f(x)を

周期 2πの周期関数と考えて f(x)のフーリエ級数を

f(x) ∼ a02

+

∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx) (1.7.7)

書いた時、f(x)が偶関数なら bn = 0、奇関数なら an = 0となる。 ある区間で定義された関数を周期関数としてどのように拡張するかには選

択肢がある。以下の方法はよく利用される。 定義 9 (フーリエ正弦級数・余弦級数). f(x)が区間 [0, π)において滑ら

かな関数であるとする。これを奇関数として [−π, π)に拡張したときのf(x)のフーリエ級数をフーリエ正弦級数、偶関数として [−π, π)に拡張したときの f(x)のフーリエ級数をフーリエ余弦級数と呼ぶ。

例 7. 区間 [0, π)で f(x) = sinxと関数が定義されているとする。奇関数とし

て [−π, π)に拡張すると、f(x) = sinxのままで、偶関数として拡張すると、

f(x) = | sinx|である。

例 8. フーリエ級数展開は線形操作である。つまり、以下で無限和が収束す

るとき

f(x) ∼ a02

+

∞∑n=0

(an cosnx+ bn sinnx), (1.7.8)

g(x) ∼ c02

+

∞∑n=0

(cn cosnx+ dn sinnx) (1.7.9)

のとき、κと λを定数とすると

κf(x) + λg(x) ∼ κa0 + λc02

+

∞∑n=0

(κan + λcn) cosnx+ (κbn + λdn) sinnx

(1.7.10)

例 9. 関数 f(x) = 1(−π ≤ x < π)のフーリエ級数を求める。偶関数だから、

bn = 0。

πan = 2

∫ π

0

cosnx =

2π, n = 0,

1n sinnx = 0, n = 0,

(1.7.11)

1.7. 例題 33

より

f(x) ∼ 1 (1.7.12)

例 10. 以下の関数のフーリエ級数を求める。

f(x) =

−1, −π ≤ x < 0,

1, 0 ≤ x < π(1.7.13)

奇関数だから、an = 0。

bn =2

π

∫ π

0

sinnxdx = − 2

π

cosnx

n

∣∣∣πx=0

=2

nπ(1− (−1)n) =

4nπ , n:odd,

0, n:even

(1.7.14)

より

f(x) ∼ limn→∞

Sn(x), (1.7.15)

Sn(x) =4

π

n−1∑k=0

sin(2k + 1)x

2k + 1(1.7.16)

右辺の級数は x = π, 0,−πでゼロになる。これは元の関数の不連続点の平均値である。

f(+0) + f(−0)

2= 0, (1.7.17)

f(π − 0) + f(π + 0)

2=f(π − 0) + f(−π + 0)

2= 0, (1.7.18)

-5 5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

図 1.4: (1.7.13)式で定義される f(x)のフーリエ級数の部分和 Sn(x)。オレ

ンジ色の線は S3(x)、緑色は S5(x)、赤色は S50(x)。

図 1.4からもわかるとおり、元の関数がある範囲で定義されているとす

ると、フーリエ級数はその関数を周期関数に拡張した関数を表す。

34 第 1章 フーリエ級数

例 11. 以下の関数のフーリエ級数を求める。

f(x) =

0, −π ≤ x < 0,

1, 0 ≤ x < π(1.7.19)

f(x) = 1のフーリエ級数と例 10の結果を足して２で割ると答えを得る。

f(x) ∼ limn→∞

Sn(x), (1.7.20)

Sn(x) =1

2+

2

π

n−1∑k=0

sin(2k + 1)x

2k + 1(1.7.21)

もともとの関数はそのままでは奇関数には見えないけど、定数 + 奇関数の

形であることに気づけば、定数項と正弦級数になることは事前にわかる。

-5 5

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

図 1.5: (1.7.19)式で定義されている f(x)のフーリエ級数の部分和 Sn(x)。オ

レンジ色の線は S1(x)、緑色は S5(x)、赤色は S50(x)。

例 12. f(x) = |x| (−π ≤ x < π)のフーリエ級数を求める。偶関数だから

bn = 0。

πa0 = 2

∫ π

0

xdx = π2 (1.7.22)

πan = 2

∫ π

0

x cosnxdx =2x

nsinnx

∣∣∣∣π0

− 2

n

∫ π

0

sinnxdx

=2

n2cosnx

∣∣∣∣π0

= − 2

n2(1− (−1)n) (1.7.23)

よって

f(x) ∼ limn→∞

Sn(x), (1.7.24)

Sn(x) =π

2− 4

π

n−1∑k=0

cos(2k + 1)x

(2k + 1)2(1.7.25)

1.7. 例題 35

-5 5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

図 1.6: f(x) = |x|のフーリエ級数の部分和 Sn(x)。オレンジ色の線は S1(x)、

緑色は S5(x)、赤色は S50(x)。

問題 6. 例 10のフーリエ級数と例 12 のフーリエ級数の関係を述べよ。

問題 7. f(x) = x (−π ≤ x < π)のフーリエ級数を求めよ。

-5 5

-4

-2

2

4

図 1.7: f(x) = xのフーリエ級数の部分和 Sn(x)。オレンジ色の線は S1(x)、

緑色は S10(x)、赤色は S100(x)。

問題 8. 問題 7では f(x) = x (−π ≤ x < π)のフーリエ級数を求めた。では、

問題 7の Sn(x)を項別微分した

S′n(x) = −2

n∑k=1

(−1)k cos kx (1.7.26)

は f ′(x) = 1のフーリエ級数と言えるか？たとえば x = 0として

S′n(0) = −2

n∑k=1

(−1)k (1.7.27)

が収束しないことに注意せよ。

36 第 1章 フーリエ級数

問題 9. 例 12と問題 7の答えを使って以下の f(x)のフーリエ級数を求めよ。

f(x) =

0, −π ≤ x < 0,

x, 0 ≤ x < π,(1.7.28)

-5 5

-2

2

4

図 1.8: 式 (1.7.28)で定義される f(x)のフーリエ級数の部分和 Sn(x)。オレ

ンジ色の線は S1(x)、緑色は S10(x)、赤色は S100(x)。

問題 10. f(x) = x2 (−π ≤ x < π)のフーリエ級数を以下の２通りの方法で

求めよ。

1. フーリエ係数の定義式

an =1

π

∫ π

−πx2 cosnxdx, (1.7.29)

bn =1

π

∫ π

−πx2 sinnxdx (1.7.30)

を直接計算する。

2. f(x) = x (−π ≤ x < π)のフーリエ級数を項別積分する。

1.8 フーリエ係数の大きさ、リーマン・ルベーグの

補題

f(x) = x(0 ≤ x < π)のフーリエ正弦級数、余弦級数は、例 12と問題 7

で与えられる。比べて見るとわかる通り、不連続な関数ではフーリエ係数が

1/mに比例するのに対して、連続な関数では、1/m2 に比例している。一般

に関数の不連続性はフーリエ係数の大きさに影響する。

これを見るためにまず以下の性質に注意する。f(x)が a ≤ x < bで区分的

に連続ならば、 ∫ b

a

f(x) cosλxdx,

∫ b

a

f(x) sinλxdx, (1.8.1)

1.8. フーリエ係数の大きさ、リーマン・ルベーグの補題 37

はいずれも λに関して有界である。したがって f(x)のフーリエ係数は有界で

ある。実際区分的に連続だから a ≤ x < bで f(x)は有界で、|f(x)| < M <∞である。よって∣∣∣∣∣

∫ b

a

f(x) cosλxdx

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f(x) cosλx| dx ≤∫ b

a

|f(x)| dx < M(b− a)

(1.8.2)

f(x)が区分的に滑らかであるとすると、f ′(x)は区分的に連続なので可積

分。不連続点を ci (i = 0, · · · , n, c0 = a, cn = b)として、∫ b

a

f(x) cosλxdx =

n∑i=1

f(x) sinλx

λ

∣∣∣∣ci−0

ci−1+0

− 1

λ

∫ b

a

f ′(x) sinλxdx (1.8.3)

よって以下を得る。 補題 1 (リーマン・ルベーグの補題). 区間 [a, b]で区分的に滑らかな関

数 f(x)について

limλ→∞

∫ b

a

f(x) cosλxdx = 0, (1.8.4)

limλ→∞

∫ b

a

f(x) sinλxdx = 0, (1.8.5)

つまり、フーリエ係数は 0に収束する。 リーマン・ルベーグの補題は直感的にも理解できる。区間 [a, b] を a =

x0, x1, x2, · · · , xn = bと分割すると、∫ b

a

f(x) cosλxdx =

n∑k=1

∫ xk

xk−1

f(x) cosλxdx (1.8.6)

ここで十分細かく分割すれば、微小区間に渡る積分においては f(x)がほとん

ど変化しないとして積分の外に出すことができる。一方で、λが十分大きい

とそのような小さな区間でも cosλxは非常に早く変動する。∫ b

a

f(x) cosλxdx =

n∑k=1

∫ xk

xk−1

f(x) cosλxdx ≃n∑k=1

f(xk)

∫ xk

xk−1

cosλxdx→ 0

(1.8.7)

これを見るとわかる通り、実は f(x)が区分的に連続であればフーリエ係数は

ゼロに収束する。

また以上より、以下を得る。

命題 1 (フーリエ係数の大きさ). f(x)を連続かつ区分的に滑らかな周期 2π

の関数とする。am, bm を f(x)のフーリエ係数、a′m, b′m を f ′(x)のフーリエ

38 第 1章 フーリエ級数

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-50

50

図 1.9: ゆっくり変化する関数 f(x)と激しく変化する三角関数 sinnxとの積。

ゆっくり変化する（正側の）緑色の線は f(x)で、（負側の）オレンジ色の線は

−f(x)、緑色の線は sinnxを表す。f(x) sinnxの積分は、緑色の領域の (正

負を考慮に入れた)面積を与える。三角関数が正負激しく振動する一方、ゆっ

くり変化する関数の値はほとんど変わらないので、積分値、つまり符号まで

考慮に入れた緑色の部分の面積は n→ ∞でゼロに近づく。

係数とすると、

a′0 = 0, am = −bmm

bm =a′mm

(1.8.8)

また f(x)が不連続な場合は、不連続点を ci (i = 1, · · · , n− 1)として、

am =

n−1∑i=1

sinmcimπ

f(ci − 0)− f(ci + 0) − b′mm, (1.8.9)

bm =

n−1∑i=1

cosmcimπ

f(ci − 0)− f(ci + 0)+ a′mm

(1.8.10)

π,−πが不連続なときには、bm には

(−1)m

mπf(π − 0)− f(−π + 0) (1.8.11)

が加わる。

高階微分について同様な計算ができて、f (k)(x) = dkf(x)/dxk で初めて不

連続になるのであれば、am, bm は 1/mk+1 に比例して小さくなる。つまり、

滑らかな関数であるほど概して収束が早い。

例 13. f(x) = x(π − x) (0 ≤ x < π)を奇関数に拡張した関数のフーリエ係

数を求める。奇関数への拡張は、−π ≤ x < 0に対して

f(x) = −f(−x) = −(−x)(π − (−x)) = x(π + x) (1.8.12)

によって求まる（が以下の計算に必要はない）。直接フーリエ係数を求める

1.9. フーリエ級数の収束定理 39

と、奇関数なので am = 0、

π

2bm =

∫ π

0

x(π − x) sinmxdx = − x(π − x) cosmx

m

∣∣∣∣π0

+1

m

∫ π

0

(π − 2x) cosmxdx

=1

m2(π − 2x) sinmx|π0 +

2

m2

∫ π

0

sinmxdx = − 2

m3cosmx|π0 =

2

m3(1− (−1)m)

(1.8.13)

よって

f(x) ∼∞∑m=0

8

(2m+ 1)3sin(2m+ 1)x (1.8.14)

さて、図 1.2.1 からわかるとおり、f(x) は１階微分が連続、２階微分が

x = −π, 0, πで不連続。

f(x) =

x(π + x) −π ≤ x < 0,

x(π − x) 0 ≤ x < π,(1.8.15)

f ′(x) =

π + 2x −π ≤ x < 0,

π − 2x 0 ≤ x < π,(1.8.16)

f ′′(x) =

2 −π ≤ x < 0,

−2 0 ≤ x < π,(1.8.17)

am は f(x)が奇関数なので計算しなくてもゼロとわかる。bm は命題 1より

bm =a′mm

= − b′′mm2

=1

m2

n−1∑i=1

cosλcimπ

f ′′(ci − 0)− f ′′(ci + 0)

+(−1)m

m3πf(π − 0)− f(−π + 0) − a′′m

m3

=4

m3π− (−1)m4

m3π=

4

m3π(1− (−1)m) (1.8.18)

より (もちろん)フーリエ係数を直接積分して求めたのと同じ答えを得る。

1.9 フーリエ級数の収束定理

1.9.1 ディリクレ核

以下の式で定義される関数をディリクレ核 (Dirichlet kernel)と呼ぶ。

Dn(x) =1

2+

n∑k=1

cos kx (1.9.1)

40 第 1章 フーリエ級数

-5 5

-2

2

4

6

8

10

-5 5

-20

20

40

60

80

100

図 1.10: 左図：ディリクレ核 D5(x)(青色)と D10(x)（オレンジ色）。右図：

D100(x)。作図の解像度の関係でD100(0) = 100+ 1/2になっていないように

見えるが、心眼で見て欲しい。

ディリクレ核は周期 2πの関数であり、偶関数である。

両辺に 2 sin(x/2)を掛けると

2 sin(x2

)cosmx = sin

(m+

1

2

)x− sin

(m− 1

2

)x (1.9.2)

より

2 sin(x2

)Dn(x) = sin

(x2

)+

(sin

3

2x− sin

x

2

)+

(sin

5

2x− sin

3

2x

)+ · · ·+

(sin

2n+ 1

2x− sin

2n− 1

2x

)= sin

(n+

1

2

)x (1.9.3)

よって sin(x/2) = 0のとき

Dn(x) =1

2

sin(n+ 1

2

)x

sin(x2

) (1.9.4)

x→ 2ℓπのとき右辺の極限値は

limx→2ℓπ

sin(n+ 1

2

)x

sin(x2

) =(−1)ℓ

(n+ 1

2

)(x− 2ℓπ)

(−1)ℓ(x− 2ℓπ)=

(n+

1

2

)(1.9.5)

これはDn(2ℓπ) = 1/2 +∑nk cos(2kℓπ) = n+ 1/2と一致している。

問題 11.

eix = cosx+ sinx (1.9.6)

より

Dn(x) =sin(n+ 1

2

)x

sin x2

(1.9.7)

を示せ。また、Dn(x)の定義式より

1

π

∫ π

−πDn(x)dx = 1 (1.9.8)

を示せ。

1.9. フーリエ級数の収束定理 41

この式の右辺は nによらず、任意の nについて成り立つので、

limn→∞

1

π

∫ π

−πDn(x)dx = 1 (1.9.9)

とできる。ここで和

limn→∞

Dn(x) (1.9.10)

自体は収束しないため存在しないので、式 (1.9.9)において積分と n→ ∞の極限の順番を交換してはいけない。

図 1.10や、n → ∞のときに Dn(0) = n + 1/2 → ∞ということ、また積分したら 1になるということから推測できるかもしれないが、あとで見るよ

うに、実はDn(x)は量子力学などで出てくるディラックのデルタ関数を周期

2πの周期関数に拡張した関数になっている。そしてこの性質が以下の各点収

束定理の証明で（隠に）出てくる。

1.9.2 フーリエ級数の各点収束定理

ここで区分的に滑らかな周期 2π の関数はフーリエ級数に展開できること

を証明する。 定理 1 (フーリエ級数の各点収束定理). f(x)を区分的に滑らかな周期

2πの周期関数とすれば、

limn→∞

Sn(x) =1

2(f(x+ 0) + f(x− 0)) (1.9.11)

ただし、Sn(x)はフーリエ級数の部分和で、

Sn(x) ≡a02

+

n∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx) , (1.9.12)

ak ≡ 1

π

∫ π

−πf(x) cos kxdx, (1.9.13)

bk ≡ 1

π

∫ π

−πf(x) sin kxdx, (1.9.14)

特に f(x)が連続な区間では、limn→∞ Sn(x) = f(x)である。

42 第 1章 フーリエ級数

証明. まず部分和 Sn(x)がディリクレ核Dn(x)でかけることを示す。

Sn(x) =a02

+

n∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx)

=1

π

∫ π

−πf(t)

(1

2+

n∑k=1

(cos kt cos kx+ sin kt sin kx)

)dt

=1

π

∫ π

−πf(t)

(1

2+

n∑k=1

cos k(t− x)

)dt

=1

π

∫ π−x

−π−xf(t+ x)

(1

2+

n∑k=1

cos kt

)dt

=1

π

∫ π

−πf(t+ x)Dn(t)dt (1.9.15)

最後の等式では f(x)とDn(x)が周期 2πの周期関数であることから、積分範

囲はどの区間をとっても、その長さが 2π であれば積分結果は同じであるこ

とを使っている。

次に x0 で f(x)が連続なとき

limn→∞

1

π

∫ π

−πf(t+ x0)Dn(t)dt = f(x0) (1.9.16)

を示す19。

limn→∞

1

π

∫ π

−πf(x0 + t)Dn(t)dt− f(x0)

= limn→∞

1

π

∫ π

−π(f(x0 + t)− f(x0))Dn(t)dt

= limn→∞

1

π

∫ π

−π

f(x0 + t)− f(x0)

2 sin(t/2)sin

(n+

1

2

)tdt

= limn→∞

∫ π

−πF (t) sin

(n+

1

2

)tdt (1.9.18)

ただし、

F (t) ≡ f(x0 + t)− f(x0)

2π sin(t/2)(1.9.19)

δ > 0として積分領域を３つに分ける20。∫ π

−π=

∫ −δ

−π+

∫ δ

−δ+

∫ π

δ

(1.9.20)

19基本的には、Dn(x) はデルタ関数のようなものだから、n→ ∞ のとき、

1

π

∫ π

−πf(t+ x0)Dn(t)dt→ f(x0) (1.9.17)

となるのは予想ができる。20被積分関数 F (t) は t = 0 での 1/ sin(t/2) の振る舞いが気になるため別個に扱う。

1.9. フーリエ級数の収束定理 43

すると F (t)は t = 0で滑らかな関数なので、リーマン・ルベーグの定理より

n → ∞で区間 [−π,−δ]と [δ, π)における積分値はゼロになる。−δ < t < δ

では

limt→0+

F (t) =1

πlimt→0+

t/2

sin(t/2)

f(t+ x0)− f(x0)

t=

1

πf ′(x0 + 0), (1.9.21)

同様に

limt→0−

F (t) =1

πlimt→0−

t/2

sin(t/2)

f(t+ x0)− f(x0)

t=

1

πf ′(x0 − 0), (1.9.22)

より F (t)の t = 0における左右極限が存在するので21、F (x)は区分的に連

続である。よって F (x)は有界で、あるM > 0があって |F (x)| < M。∣∣∣∣∣∫ δ

−δF (t) sin

(n+

1

2

)tdt

∣∣∣∣∣ < 2δM → 0 (as δ → 0) (1.9.23)

よって x0 で f(x)が連続なとき

limn→∞

1

π

∫ π

−πf(x0 + t)Dn(t)dt− f(x0)

= 0 (1.9.24)

である。

x0で f(x)が不連続のときには、図 1.11のように連続関数にしてしまうと

いう方法をとる。不連続点での関数の飛びの分だけかさ上げして、連続にし

てしまって、連続関数に対する各点収束定理を使うのである。つまり、

f(x) ≡ f(x)− h

2sgn(x− x0), (1.9.25)

h ≡ f(x0 + 0)− f(x0 − 0), (1.9.26)

と置く。ただし、

sgn(x) ≡

1 x ≥ 0,

−1 x < 0(1.9.27)

である22。すると、

f(x0 + 0) = f(x0 + 0)− h

2=f(x0 + 0) + f(x0 − 0)

2, (1.9.28)

f(x0 − 0) = f(x0 − 0) +h

2=f(x0 + 0) + f(x0 − 0)

2, (1.9.29)

21ここで f(x) が区分的に滑らかであることを仮定しているので、微分（少なくとも左微分、右微分）が存在する。

22引数の正負だけ考える関数なので、符号関数ともいう。英語で符号は sign なので、sgn と書く。”i”をなくす意味は大して無い気もするけど、英語では略記号にはよく母音を省くから？

44 第 1章 フーリエ級数

よって f(x0 +0) = f(x0 − 0)。したがって f(x)は x0で連続で、f(x)の性質

より f(x)は区分的に滑らか。以上より

limn→∞

1

π

∫ π

−πf(x0 + t)Dn(t)dt− f(x0)

= 0 (1.9.30)

ここでDn(x)は偶関数、sgn(x)は奇関数なので、

1

π

∫ π

−πsgn(t)Dn(t)dt = 0 (1.9.31)

に注意すれば、

limn→∞

1

π

∫ π

−πf(x0 + t)Dn(t)dt

=f(x0 − 0) + f(x0 + 0)

2(1.9.32)

を得る。

f(x)

f(x)

x0

h = f(x0-0)-f(x0+0)

図 1.11: f(x)の不連続点 x = x0で飛びの分だけ足し引きして x = x0近傍で

連続な関数 f(x)を作る。

最後に、和が収束しないので、

limn→∞

Dn(x) (1.9.33)

なる関数は存在しないことに注意。しかるに任意の nについて積分した値が

１になるので、

limn→∞

1

π

∫ π

−πDn(x)dx = 1 (1.9.34)

とは言える。それ自体は通常の意味の関数でないけれども、関数に作用して

なんらかの値を与えるモノを超関数と呼ぶ。量子力学で有用な超関数にディ

ラックの超関数とかディラックのデルタ関数と呼ばれるものがあって、良く

δ(x)と表記され、

δ(x) = 0, (x = 0) (1.9.35)

1.9. フーリエ級数の収束定理 45

a < x0 < bとして ∫ b

a

δ(x− x0)f(x)dx = f(x0), (1.9.36)

を満たす。limn→∞Dn(x)/πは関数ではないけれども、上記の性質を満たす

という意味で、周期関数に拡張したデルタ関数となっている。式 (1.9.16)は

まさに Dn(x)/π がデルタ関数のように振る舞うことを示しているのだと言

える。

1.9.3 フーリエ級数の一様収束定理 定理 2 (フーリエ級数の一様収束定理). 区分的に滑らかな関数のフー

リエ級数は、関数が不連続になる点を含まない閉区間において一様収束

する。 証明. フーリエ級数の各点収束定理の証明において使った式 (1.9.18)をもう

一度書き直すと、

|f(x)− Sn(x)| =∣∣∣∣∫ π

−πF (t) sin

(n+

1

2

)tdt

∣∣∣∣ (1.9.37)

ただし、

F (t) =f(x+ t)− f(x)

2π sin(t/2)(1.9.38)

となっている。ここで以前と同様に積分を３つにわけて、∣∣∣∣∣(∫ π

δ

+

∫ −δ

−π

)F (t) sin

(n+

1

2

)tdt

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣ 2

2n+ 1F (t) cos

(n+

1

2

)t

∣∣∣∣πδ

+2

2n+ 1F (t) cos

(n+

1

2

)t

∣∣∣∣−δ−π

− 2

2n+ 1

(∫ π

δ

+

∫ −δ

−π

)F ′(t) cos

(n+

1

2

)t

∣∣∣∣∣≤ 2

2n+ 1(2M + 2πM ′) (1.9.39)

ただし、区間 −π ≤ t ≤ −δ、δ ≤ t ≤ π で |F (t)| ≤ M、|F ′(t)| < M ′ とす

る。このM とM ′ は nや xに依存しない。

46 第 1章 フーリエ級数

区間 −δ ≤ x ≤ δ においては、平均値の定理23より |f(x + t) − f(x)| =|tf ′(x+ θt)| ≤ |t|M ′′、ただし、M ′′はこの区間における区分的に連続な関数

f ′(x)の上界。よって∣∣∣∣∣∫ δ

−δF (t) sin

(n+

1

2

)tdt

∣∣∣∣∣ ≤ M ′′

2π

∣∣∣∣∣∫ δ

−δ

t

sin(t/2)sin

(n+

1

2

)tdt

∣∣∣∣∣≤ M ′′

2

∣∣∣∣∣∫ δ

−δsin

(n+

1

2

)tdt

∣∣∣∣∣ ≤ δM ′′ (1.9.41)

となる24。以上より、

|f(x)− Sn(x)| ≤4

2n+ 1(M + πM ′) + δM ′′ (1.9.43)

だが、この式の右辺は x には依存しない。したがって δ → 0、n → ∞ でS(x) = limn Sn(x)は f(x)に一様収束する25。

1.9.4 フーリエ級数の一様かつ絶対収束定理 定理 3 (フーリエ級数の一様かつ絶対収束定理). 区分的に滑らかな周期

2πの連続関数のフーリエ級数は一様かつ絶対収束する。 周期性と連続性から f(x+ 2π) = f(x)となることに注意。

23ラグランジュの平均値の定理。f(x) は閉区間 [a, b] において連続、開区間 (a, b) において微分可能とする。このとき、

f(b)− f(a)

b− a= f ′(c), (a < c < b) (1.9.40)

なる c が存在する。24|x| ≤ π/2 で

x

sinx≤π

2(1.9.42)

を使っている。25無限級数の各項が x の関数であるとし、

Sn(x) =

n∑k=1

ak(x) (1.9.44)

limn→∞

Sn(x) = f(x) (1.9.45)

であるとする。任意の ϵ に対して、x によらない N があって n > N のときに

|Sn(x)− f(x)| < ϵ (1.9.46)

であるとき、無限級数 Sn(x) は f(x) に一様に収束するという。一様収束しない例として、区間 [0, 1] における fn(x) = xn がある。

limn→∞

fn(x) =

0, (0 ≤ x < 1),

1, (x = 1)(1.9.47)

である。0 ≤ x < 1において |xn − 0| = xn < ϵとなるためには、n > ln ϵ/ lnxが必要となり、したがって n は ϵ のみならず、x にも依存する。

1.9. フーリエ級数の収束定理 47

証明. この定理と定理 2の違いは、元の関数が連続かどうかである。連続な

関数 f(x)は、区分的に連続な関数 f ′(x)の積分で書くことができる26。

f(x) =

∫ x

f ′(x)dx (1.9.48)

f(x)と f ′(x)のフーリエ係数 (an, bn), (a′n, b

′n)の関係は f(x)の周期性を使

うと

a′n =1

π

∫ π

−πf ′(x) cosnxdx =

n

π

∫ π

−πf(x) sinnxdx = nbn, (1.9.49)

b′n =1

π

∫ π

−πf ′(x) sinnxdx =

−nπ

∫ π

−πf(x) cosnxdx = −nan, (1.9.50)

つまり、

an = −b′n

n, (1.9.51)

bn =a′nn, (1.9.52)

となる。いま、 ∣∣∣∣2a′nn∣∣∣∣ ≤ |a′n|2 +

1

n2(1.9.53)

に注意すると、f ′(x)のベッセルの不等式から、∑

(a′n)2と

∑(b′n)

2がそれぞ

れ収束することがわかっているので、∑

|a′n/n|、つまり∑

|bn|は収束する。同様に |an|についての和も収束する。以上より、

∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx) (1.9.54)

は一様かつ絶対に収束する。

1.9.5 一様収束級数、項別微分と項別積分

級数

f(x) = f1(x) + f2(x) + · · ·+ fn(x) + · · · (1.9.55)

を考える。この級数が一様収束するかどうかを判定する定理を述べる。

26区分的に連続な関数は積分可能である。また、区分的に連続な関数を不定積分してできた関数（原始関数）は連続になる。

48 第 1章 フーリエ級数

定理 4 (ワイエルシュトラス (Weierstrass)の定理). cn > 0 (n = 1, 2, · · · )とする。ある区間において常に |fn(x)| ≤ cn (n = 1, 2, · · · )で、

∞∑n=1

cn (1.9.56)

が収束するなら、級数

∞∑n=1

fn(x) (1.9.57)

はその区間において一様に収束する。

一様収束する級数にはいくつか便利な性質がある。

定理 5. 1. 級数∑n fn(x)が一様収束するとする。各項fn(x) (n = 1, 2, · · · )

が連続ならば、和 f(x)も連続である。

2. fn(x) (n = 1, 2, · · · )が微分可能で、∞∑n=1

f ′n(x) (1.9.58)

が一様収束するなら、f(x) は微分可能で、f ′(x) は式 (1.9.58) に一致

する。

3. 級数∑n fn(x)が一様収束するとする。fn(x) (n = 1, 2, · · · )が連続な

ら項別積分可能である。

さて我々は定理 2によって、区分的に滑らかな関数のフーリエ級数が、元

の関数の不連続点を含まない区間において一様収束することを学んだから、

以下のことがわかる。 系 1 (フーリエ級数の項別微分可能性). −π ≤ x < πで区分的に滑らか

な関数が連続で、f(−π + 0) = f(π − 0)であるとする。そのフーリエ級

数を項別微分したフーリエ級数が一様収束するなら、f ′(x)のフーリエ

級数となる。すなわち、

f(x) ∼ a02

+

∞∑m=1

(am cosmx+ bm sinmx), (1.9.59)

f ′(x) ∼∞∑m=1

(mbm cosmx−mam sinmx), (1.9.60)

この節の定理 5-2にもある通り、式 (1.9.60)の右辺の級数が収束するかどう

かは検討しないとならない。一般に係数 mがかかるから、収束性はわるく

なる。

1.9. フーリエ級数の収束定理 49 系 2 (フーリエ級数の項別積分可能性). −π ≤ x < πで区分的に連続な

関数 f(x)のフーリエ級数を項別積分した級数は、f(x)の積分に収束す

る。このとき、f(x)のフーリエ級数自体は収束しなくてもよい。有限区

間で区分的に連続な関数は積分可能で、積分すると −π ≤ x < πで連続

かつ区分的に滑らかな関数になる。したがってそのフーリエ級数は収束

する。

f(x) ∼ a02

+

∞∑m=1

(am cosmx+ bm sinmx), (1.9.61)

F (x) =

∫ x

f(x)dx =a02x+

∞∑m=1

(−bmm

cosmx+amm

sinmx) (1.9.62)

一般に項別積分すると係数 1/mがかかるから、収束性は良くなる。またなお、

F (π)− a02π −

(F (−π) + a0

2π)=

∫ π

−πf(x)dx− πa0 = 0 (1.9.63)

だから、F (x)− a0x/2は周期関数として全ての点で連続である。

最後に、三角関数の級数

A0

2+

∞∑n=1

(An cosnx+Bn sinnx) (1.9.64)

が区間 [−π, π)において一様収束するなら、それは収束先の関数 f(x)のフーリ

エ級数である。なんとなれば、一様収束するので項別積分が可能で、(Am, Bm)

はフーリエ係数になるからである。

1.9.6 フーリエ級数の平均収束定理とフェイェールの定理

ここではフーリエ級数の完備性（完全性、平均収束）に関する定理を述べ

る。結論は、「区分的に連続な関数に対して、フーリエ級数展開は平均収束す

る。（つまり、三角関数系は完備 (あるいは完全)である）」となる。

無限級数の部分和を Sn として

Um =1

m

m−1∑n=0

Sn (1.9.65)

を求める。

50 第 1章 フーリエ級数

Sn(x) =a02

+

n∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx)

=1

π

∫ π

−πf(t)

(1

2+

n∑k=1

(cos kt cos kx+ sin kt sin kx)

)dt

=1

π

∫ π

−πf(t)

(1

2+

n∑k=1

cos k(t− x)

)dt

=1

π

∫ π−x

−π−xf(t+ x)

(1

2+

n∑k=1

cos kt

)dt

=1

π

∫ π

−πf(t+ x)Dn(t)dt (1.9.66)

ここで

Dn(x) =1

2

sin(n+ 1

2

)x

sin x2

=1

2

sin x2 sin

(n+ 1

2

)x

sin2 x2

=sin x

2 sin(n+ 1

2

)x

1− cosx=

sin x2 sinnx cos x2 + cosnx sin2 x2

1− cosx

=12 sinx sinnx+ 1

2 cosnx(1− cosx)

1− cosx=

− cos(n+ 1)x+ cosnx

2(1− cosx)

(1.9.67)

よって

Sn(x) =1

2π

∫ π

−πf(t+ x)

cosnt− cos(n+ 1)t

1− cos tdt (1.9.68)

より

Um(x) =1

m(S0 + S1 + S2 + · · ·Sm−1) =

1

2πm

∫ π

−πf(t+ x)

1− cosmt

1− cos tdt

=1

2πm

∫ π

−πf(t+ x)

(sin mt

2

sin t2

)2

dt (1.9.69)

特に f(x) = 1とすると

a0 =1

π

∫ π

−πdx = 2, (1.9.70)

an =1

π

∫ π

−πcosnxdx = 0, (1.9.71)

bn =1

π

∫ π

−πsinnxdx = 0, (1.9.72)

より Sn = 1、Um = 1だから

1 =1

2πm

∫ π

−π

(sin mt

2

sin t2

)2

dt (1.9.73)

1.9. フーリエ級数の収束定理 51

(1.9.73)式の両辺に f(x)をかけて (1.9.69)式の両辺から引くと

Um(x)− f(x) =1

2πm

∫ π

−π(f(x+ t)− f(x))

(sin mt

2

sin t2

)2

dt (1.9.74)

今連続な関数 f(x)を考える。有限区間の連続関数の一様連続性より任意の

ϵに対して xに無関係にある δがあって

|t| < δ なるとき |f(x+ t)− f(x)| < ϵ (1.9.75)

とできる。そのような δを用いて (1.9.74)式の積分区間を以下のように３つ

に分ける。 ∫ π

−π=

∫ −δ

−π+

∫ δ

−δ+

∫ π

δ

(1.9.76)

すると

1

2πm

∣∣∣∣∣∫ δ

−δ(f(x+ t)− f(x))

(sin mt

2

sin t2

)2

dt

∣∣∣∣∣ < ϵ

2πm

∫ δ

−δ

(sin mt

2

sin t2

)2

dt < ϵ

(1.9.77)

また、[−π, π)における |f(x)|の上界をM とすれば、

1

2πm

∣∣∣∣∣∫ π

δ

+

∫ −δ

−π

(f(x+ t)− f(x))

(sin mt

2

sin t2

)2

dt

∣∣∣∣∣<

2M

2πm

∫ π

δ

+

∫ −δ

−π

(sin mt

2

sin t2

)2

dt <2M

m sin2 δ2(1.9.78)

よって

|Um(x)− f(x)| < ϵ+2M

m sin2 δ2(1.9.79)

ここでmを十分を大きくとれば以下の定理を得る。 定理 6 (フェイェール（Fejer） の定理). f(x)が区間 [−π, π)で連続で、f(π) = f(−π)ならば xに関して一様に、

limm→∞

Um(x) = f(x) (1.9.80) 今、Un(x)は三角多項式だから、フーリエ多項式の最小２乗誤差近似定理より、 ∫ π

−π(f(x)− Un(x))2dx ≥

∫ π

−π(f(x)− Sn(x))

2dx (1.9.81)

52 第 1章 フーリエ級数

よって f(x)が連続の場合には Fejer の定理により

limn→∞

∫ π

−π(f(x)− Sn(x))

2dx = 0 (1.9.82)

すなわちフーリエ級数は平均収束する（つまり完備である）。

次に任意の区分的に連続な関数 g(x) を考え、その不連続点を xk (k =

0, 1, · · · , n)とする。区間 [−π, π)で連続で、f(π) = f(−π)であり、不連続点xk の近傍以外では関数 g(x)と一致するような関数 f(x)を考える。たとえば

小さな δ > 0をとって不連続点の近傍 xk − δ ≤ x ≤ xk + δでは、

f(x) =1

2δ(g(xk + δ)− g(xk − δ))(x− (xk − δ)) + g(xk − δ) (1.9.83)

と1次関数でつなげば良い。このとき各区間では |f(x)| ≤ max[g(xk−δ), g(xk+δ)]である。

f(x)g(x)

xkxk-𝞭 xk +𝞭

図 1.12: g(x)の不連続点 xk の周り [xk − δ, xk + δ]でだけ異なる連続関数

f(x)を考える。f(x)は区間 [xk − δ, xk + δ]以外では g(x)に一致し、区間

[xk − δ, xk + δ]では直線になっている。

区間 [−π, π)における g(x)の最大値をMとすると、この区間で |f(x)| ≤M

で

||f − g||2 =

∫ π

−π(f(x)− g(x))2dx =

n∑k=1

∫ xk+δ

xk−δ(f(x)2 + g(x)2 − 2f(x)g(x))

≤n∑k=1

∫ xk+δ

xk−δ(|f(x)|2 + |g(x)|2 + 2|f(x)||g(x)|) ≤ 8nM2δ (1.9.84)

よって任意にとった ϵ1 > 0に対してある δが存在して ||f − g||2 < ϵ21とでき

る。次に Sfn(x)を f(x)のフーリエ級数の部分和とすると、Fejerの定理より

任意にとった ϵ2 > 0に対してあるN が存在して、n > N ならば∫ π

−π(f(x)− Sfn(x))

2dx < ϵ22, (1.9.85)

1.9. フーリエ級数の収束定理 53

そこで∫ π

−π(g(x)− Sfn(x))

2dx =

∫ π

−π(g(x)− f(x) + f(x)− Sfn(x))

2dx

=

∫ π

−π(g(x)− f(x))2dx+

∫ π

−π(f(x)− Sfn(x))

2dx

+ 2

∫ π

−π(g(x)− f(x))(f(x)− Sfn(x))dx

≤ ϵ21 + ϵ22 + 2||f − g||||f − Sfn|| ≤ ϵ21 + ϵ22 + 2ϵ3 (1.9.86)

よって任意にとった ϵ > 0に対してある δとN があって ||g − Sfn||2 < ϵとで

きる27。最後に g(x)のフーリエ級数の部分和 Sgn(x)は n次までの最小平均２

乗誤差近似を与えるから、

||g − Sgn||2 ≤ ||g − Sfn||2 < ϵ (1.9.87)

よって、区分的に連続な関数に対して、フーリエ級数展開は平均収束する。

（つまり、三角関数系は完備 (あるいは完全)である。）

1.9.7 ギブスの現象

区分的に滑らかな関数 f(x)のフーリエ級数が、元の関数の不連続点を含ま

ない区間で f(x)に一様収束することを見た。ここでは不連続点の近傍での

フーリエ級数の振る舞いを見る。1.7節「例題」の例 10の問題を思い出すと、

f(x) =

−1, −π ≤ x < 0,

1, 0 ≤ x < π(1.9.88)

のフーリエ級数は

f(x) ∼ limn→∞

Sfn(x), (1.9.89)

Sfn(x) ≡4

π

n−1∑k=0

sin(2k + 1)x

2k + 1(1.9.90)

のように求まった。右辺の級数は x = π, 0,−πでゼロになる。

27最後の不等式では、シュワルツの不等式を使っている。つまり、内積とノルムを

(u, v) ≡∫ π

−πu(x)v(x)dx,

||u|| ≡ (u, u)

で定義した上で、シュワルツの不等式

|(u, v)| < ||u||||v||

において、u(x) = g(x)− f(x), v(x) = f(x)− Sfn(x) としている。

54 第 1章 フーリエ級数

これは定理 2で述べた通り、元の関数の不連続点の平均値である。

f(+0) + f(−0)

2= 0, (1.9.91)

f(π − 0) + f(π + 0)

2=f(π − 0) + f(−π + 0)

2= 0. (1.9.92)

もちろん不連続点を含まない区間では Sfn(x)は n→ ∞で f(x)に一様収束す

るけれども、不連続点の周りではフーリエ級数はあまり良い近似を与えない

ことが知られている。その様子を描くと図 1.13のようになる。不連続点の周

りでのフーリエ級数のこのような振動は一般に見られる現象であり、ギブス

の現象 (Gibbs Phenomenon) と呼ばれる。

-3 -2 -1 1 2 3

-1.0

-0.5

0.5

1.0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

図 1.13: 左図：(1.9.88)式で定義される関数のフーリエ級数の部分和 Sfn(x)

（オレンジ色: n = 5、緑色: n = 15、赤色: n = 50）を示す。右図：x ≥ 0付

近の様子。

今、不連続点周り x ≥ 0の振動の様子を調べるために Sfn(x)を微分すると

dSfn(x)

dx=

4

π

n−1∑k=0

cos(2k + 1)x =2

π

sin 2nx

sinx(1.9.93)

よって x > 0で dSfn(x)/dx = 0となるのは x = mπ/(2n) (m = 1, 2, · · · , 2n−1)。極値は、

Sfn

(mπ2n

)=

2

π

∫ mπ/(2n)

0

sin 2nξ

sin ξdξ

=2

π

∫ mπ

0

sin t

t

t/(2n)

sin(t/(2n))dt→ 2

π

∫ mπ

0

sin t

tdt (1.9.94)

ここで n→ ∞のとき limx→0 x/ sinx = 1を使った。したがって、図 1.13の

右パネルの x = 0に近いピークは n → ∞の極限をとっても、１にも０にもならず、

2

π

∫ π

0

sinx

xdx = 1.17898... (1.9.95)

となる。つまり 18%ほど飛びがある。

さらに一般的に区分的に滑らかな関数 g(x)が x = aで不連続であるとし

て、g(x)のフーリエ級数の不連続点の周りでの振る舞いを調べよう。今、十

1.9. フーリエ級数の収束定理 55

分小さい δを取って区間 I ≡ [a− δ, a+ δ]を考える。g(x)から x = aにおい

て連続な関数 G(x)を

G(x) =

g(x)− hf(x− a), x = a,

g(a+ 0)− h, x = a(1.9.96)

のようにして作る。ただし、

h ≡ g(a+ 0)− g(a− 0)

2(1.9.97)

は関数の値の飛びの半分であり、f(x)は (1.9.88)式で定義されている。

区間 Iにおいて滑らかなG(x)のフーリエ級数は一様収束する。g(x)のフー

リエ級数の部分和を Sgn(x)、f(x)のフーリエ級数の部分和を Sfn(x)とすると、

任意の ϵに対してあるN があって n > N のとき、xに無関係に∣∣Sgn(x)− hSfn(x− a)−G(x)∣∣ < ϵ

2(1.9.98)

である。またG(x)は x = aで連続だから同じ ϵに対して十分小さい δがあっ

て xに無関係に

|G(x)−G(a)| < ϵ

2(1.9.99)

(有界区間における連続関数の一様連続性)である。以上より、∣∣Sgn(x)− hSfn(x− a)−G(a)∣∣

<∣∣Sgn(x)− hSfn(x− a)−G(x)

∣∣+ |G(x)−G(a)| < ϵ (1.9.100)

よって G(x)のフーリエ級数の部分和は g(x)の不連続点 x = aの周りで

Sgn(x) ≃ G(a) + hSfn(x− a)

=g(a+ 0) + g(a− 0)

2+g(a+ 0)− g(a− 0)

2Sfn(x− a) (1.9.101)

のように振る舞う。Sfn(0) = 0であるから、まず

Sgn(a) =g(a+ 0) + g(a− 0)

2(1.9.102)

となって、これは不連続点におけるフーリエ級数の収束値を示す。また、Sgn(x)

の x = a周りでのGibbs現象による振動の振幅は、g(x)の左極限と右極限の

差に比例する。

56 第 1章 フーリエ級数

1.10 問題

1. 以下の関数のフーリエ級数を求めよ。

f(x) = (π − |x|)x, (x ∈ [−π, π)), (1.10.1)

f(x) = ex, (x ∈ [−π, π)), (1.10.2)

f(x) = x2, (x ∈ [−L/2, L/2)), (1.10.3)

f(x) = sinλx, (x ∈ [−π, π)), (1.10.4)

f(x) = | sinx|, (x ∈ [−π, π)), (1.10.5)

ただし、λ =整数とする。

2. 以下の関数のフーリエ級数を求めよ。

f(x) =

−ℓ− x, (−ℓ ≤ x < −ℓ/2),

x, (−ℓ/2 ≤ x < ℓ/2),

ℓ− x, (ℓ/2 ≤ x < ℓ),

(1.10.6)

3. 以下の関数のフーリエ級数を複素形式で求めよ。

f(x) = x, (x ∈ [−π, π)), (1.10.7)

f(x) = ex, (x ∈ [−π, π)), (1.10.8)

4. 区間 [−π, π)において区分的に滑らかな実数値関数 f(x), g(x)のフーリ

エ係数を (am, bm),(cm, dm)とするとき、

1

π

∫ π

−πf(x)g(x)dx =

1

2a0c0 +

∞∑n=1

(ancn + bndn) (1.10.9)

が成り立つことを示せ。

5. 1.7節「例題」の例 10の関数

f(x) =

−1, −π ≤ x < 0,

1, 0 ≤ x < π(1.10.10)

のフーリエ級数は

S(x) =4

π

∞∑k=0

sin(2k + 1)x

2k + 1(1.10.11)

と求まった。この式から

π

4= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ · · · (1.10.12)

を示せ。

1.11. デルタ関数 57

6. 前問の f(x)に対するパーセヴァルの等式を求め、

∞∑k=0

1

(2k + 1)2=π2

8(1.10.13)

を示せ。

7. 区間 [−π, π) において、x に対するフーリエ級数を xについて項別積分

して x2に対するフーリエ級数を求めよ。また、ζ(2) = π2/6を示せ28。

8. 前問の結果に対するパーセヴァルの等式を求め、

∞∑k=1

1

k4=π4

90(1.10.15)

を示せ。

9. フレネル積分

S(x) =

∫ x

0

sin t2dt (1.10.16)

を使って区間 [−π, π) において連続な関数 |x|1/2 のフーリエ級数を求めよ。

10. ワイエルシュトラスの定理 (定理 4)を使って、前問のフーリエ級数が

一様収束することを示せ。なお、フレネル積分は |S(x)| < 1である。

11. 区間 [−π, π)において連続関数 |x|1/2 は区分的に滑らかな関数か？

12. 連続な周期関数でフーリエ級数が発散するものがあるか、調べよ。

1.11 デルタ関数

Dを 0を含む任意の領域として、Dにおいて連続な任意の関数 f(x)に対

して ∫D

f(x)δ(x)dx = f(0) (1.11.1)

となり、さらに

δ(x) = 0 when x = 0 (1.11.2)

28

ζ(s) =∞∑

n=1

1

ns(1.10.14)

をリーマンのゼータ関数と呼ぶ。

58 第 1章 フーリエ級数

となるような「関数」をディラックのデルタ関数とか、ディラックの δ関数

と呼ぶ。デルタ関数の n階微分は、任意の Cn級関数29に対して30∫D

f(x)dnδ(x)

dxndx = (−1)n

dnf

dxn(0) (1.11.5)

となると定義される31。

デルタ関数は、ある座標における値を取ってきてくれる便利な「関数」で

ある。例えば量子力学や場の量子論、物理数学でいうとグリーン関数の理論

を習うときに非常に便利に使うはずである。

さて、積分領域Dはゼロを含めば任意なので、任意の ϵ1, ϵ2 > 0に対して∫ ϵ2

−ϵ1δ(x)dx = 1 (1.11.6)

が ϵ1, ϵ2 → 0でも成り立つわけで、デルタ関数を絵で書くと「幅」がない。

幅がないのに積分が１になるから実は「高さ」は無限大になっている。とい

うわけで、デルタ関数は普通の意味での関数でなくて、積分記号の下でしか

実際的な意味がない。そのため「超関数」と呼ばれることがある32。

積分区間を a < 0 < bとして∫ b

a

f(x)δ(−x)dx =

∫ −a

−bf(−t)δ(t)dt = f(0) (1.11.7)

より δ(x)は偶関数的である。

問題 12. δ′(x)が奇関数的に振る舞うこと (δ′(−x) = −δ′(x))と、xδ′(x) +δ(x) = 0を示せ。

また、任意の実定数 α > 0と任意の関数 f(x)に対して a < 0, b > 0, a <

29n 階微分が可能で、かつ n 階微分して得られた関数が連続関数である関数。30念のため、

df

dx(0) (1.11.3)

というのは、f(x)を xで１階微分した後で、x = 0を代入した結果という意味である。同様に、ある x = a での微係数を

f ′(a),df

dx(a),

df(a)

dx(1.11.4)

と表記したりする。微分する前に 0 や a を代入してはいけない。31この公式は部分積分を繰り返すして境界項を無視すれば出ることは出る。参考にした多くの教科書ではこの式を、任意の Cn 級関数に対してデルタ関数の満たすべき定義式にしているのだけれども、シュワルツの教科書 [11]には明示的に n− 1階微分が境界で 0である Cn 級関数を対象にすることにしている。シュワルツの教科書の方が納得がいく。ついでに言うと、シュワルツは、デルタ関数が作用すべき関数 f(x) が無限遠でゼロであるべしとしている。

32ディラック (P. A. M. Dirac) が物理で便利だというので提案した「関数」で、提案当初は数学的に厳密な定義はなかった。そのため、後に超関数の理論が建設・発展されることになるが、その説明は私の手に余るので、割愛する。

1.11. デルタ関数 59

c < bとして∫ b

a

f(x)xδ(x)dx = 0× f(0) = 0, (1.11.8)∫ b

a

f(x)δ(αx)dx =1

α

∫ αb

αa

f

(t

α

)δ(t)dt =

1

|α|f(0), (1.11.9)∫ b

a

f(x)δ(x− c)dx =

∫ b−c

a−cf(t+ c)δ(t)dt = f(c), (1.11.10)

が言える。さらに a < −c < c < b, c = 0、a < 0, b > 0とすると −c < d < c

なる dを取って∫ b

a

f(x)δ(x2 − c2)dx =

∫ b

a

f(t)δ((x− c)(x+ c))dx

=

∫ d

a

f(t)δ((x− c)(x+ c))dx+

∫ b

d

f(t)δ((x− c)(x+ c))dx

=1

2|c|(f(−c) + f(c)) (1.11.11)

あるいは以上の性質を「関数」的に書くと

δ(−x) = δ(x), (1.11.12)

xδ(x) = 0, (1.11.13)

δ(αx) =1

|α|δ(x), (1.11.14)

δ(x2 − c2) =1

2|c|(δ(x− c) + δ(x+ c)) (1.11.15)

問題 13. 関数 g(x)は n個の点 xi (i = 1, 2, · · · , n)でゼロになるとする。また、g′(xi) = dg(xi)/dx = 0 (i = 1, 2, · · · , n)とする。このとき

δ(g(x)) =

n∑i=1

1

|g′(xi)|δ(x− xi) (1.11.16)

を示せ。

デルタ関数を使うと「撃力」を簡単に扱える。

例 14. 高さ hにあった物体が t = 0から初速度 0で自由落下する。t = T で

撃力 I を与えたときの運動を求める。

d2z

dt2= −g + Iδ(t− T ) (1.11.17)

変形して

d2

dt2

(z +

g

2t2)= Iδ(t− T ) (1.11.18)

60 第 1章 フーリエ級数

積分すると、

d

dt

(z +

g

2t2)= I

∫ t

0

δ(ξ − T )dξ = IΘ(t− T ) (1.11.19)

ただし、初速度 0を使い、

Θ(t) =

1, t > 0,

0, t < 0(1.11.20)

はヘビサイドの階段関数 (Heaviside step function)である。

∫ t

0

Θ(ξ − T )dξ =

∫ tTdξ = t− T, t ≥ T,

0, t < T,(1.11.21)

より

z = I

∫ t

0

Θ(t− T )dt+ h− g

2t2

= IΘ(t− T )(t− T ) + h− g

2t2 (1.11.22)

を得る。

ここでデルタ関数について重要な性質が２つでてきた。第１に、運動方程

式に現れた「撃力」I の次元は力積のそれ (「力」掛ける「時間」)である。

運動方程式は

d2

dt2

(z +

g

2t2)= Iδ(t− T ) (1.11.23)

であり、右辺を t > T のとき積分すると∫ t

0

Iδ(t− T )dt = I (1.11.24)

となるが、左辺は tについての積分により運動量と同じ次元 (力積の次元)を

持つからである。運動方程式に立ち返ると左辺は力の次元を持つので、デル

タ関数は時間の逆数の次元を持つことになる。一般に xの次元を [x]と書く

と、デルタ関数 δ(x)の次元は [1/x]となる。

第２に、デルタ関数を積分するとヘビサイドの階段関数になる（ヘビサイ

ドの階段関数を微分するとデルタ関数になる）。実際、適当な a < 0を取って∫ x

a

δ(x)dx =

1, x > 0,

0, x < 0(1.11.25)

また、 a < 0 < bとして∫ b

a

f(x)dΘ(x)

dxdx = f(x)Θ(x)|ba −

∫ b

a

df(x)

dxΘ(x)dx (1.11.26)

1.11. デルタ関数 61

a < 0より Θ(a) = 0なので

= f(b)−∫ b

0

df(x)

dxdx = f(b)− (f(b)− f(0)) = f(0) (1.11.27)

さて、点 ci で不連続になる区分的に連続な関数 f(x) は、連続な関数

g(x) とヘビサイドの階段関数 Θ(x)、さらに x = xi における関数値の飛び

di = f(xi + 0)− f(xi − 0)を使って

f(x) = g(x) +∑i

diΘ(x− xi) (1.11.28)

と書ける。このことと、ヘビサイドの階段関数とデルタ関数との関係から、

f(x)の微分は

f ′(x) = g(x) +∑i

diδ(x− xi) (1.11.29)

となることがわかる。もちろん x = xi で f ′(x)は発散しているので x = xi

において普通の意味での関数ではないけれども、積分などをするときには便

利な表記である。

例 15. 関数

f(x) =

−1, x < 0,

1, x > 0(1.11.30)

は f(x) = −1 + 2Θ(x)と書ける。

例 16. 関数

f(x) =

x2, x < 0,

x+ 3, x > 0(1.11.31)

は f(x) = g(x) + 3Θ(x)と書ける。ただし、

g(x) =

x2, x < 0,

x, x > 0(1.11.32)

例 17. デルタ関数のフーリエ級数を求める。デルタ関数自体は周期的な関数

ではないので、これを周期 2πに拡張して、

δp(x) =

∞∑n=−∞

δ(x− 2πn) (1.11.33)

62 第 1章 フーリエ級数

-3 -2 -1 1 2 3

2

4

6

8

10

図 1.14: 青色は x+3 (x > 0)、オレンジ色は g(x) (x < 0)で、緑色は階段関

数 3Θ(x)。

のフーリエ級数を求めると考える。計算は簡単で、

an =1

π

∫ π

−πδx cosnx =

1

π, (1.11.34)

bn =1

π

∫ π

−πδx sinnx = 0, (1.11.35)

よってディレクレ核Dn(x)を使って

δp(x) =1

2π+

1

π

∞∑n=1

cosnx =1

πlimn→∞

Dn(x) (1.11.36)

と求まる33。もちろん実際には右辺の級数は発散するから、通常の意味での

関数にはなっていないが、ディレクレ核の性質で述べたとおり、∫ π

−π

dx

πDn(x) = 1 (1.11.37)

が nの値によらず成り立つから、このフーリエ級数は δp(x)の性質を再現し

ている。

33今まで無限和が発散するかもとか言って対応関係 ∼ を使っていたのに、ここにきて等号を使っているのは少し気持ち悪いけど、これは超関数の意味で同じ性質を持つ、という意味の等号だと思ってほしい。

63

第2章 境界値問題

この章ではフーリエ級数の重要な応用である偏微分方程式の解法について

考える。もともとフーリエがフーリエ級数を考えたのは、熱伝導の問題を解

くためであった。

証明や問題は多くの箇所で参考文献 [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]によっている。

2.1 考える偏微分方程式

偏微分方程式の話は大変なので、ここでは物理でよく出てくる２階偏微分

方程式である波動方程式、熱伝導方程式（もしくは拡散方程式）、ラプラス方

程式の話をする。

波動方程式

− 1

v2∂2u(x, t)

∂t2+∂2u(x, t)

∂x2= 0, (2.1.1)

− 1

v2∂2u(x, t)

∂t2+∆u(x, t) = 0, (2.1.2)

熱伝導方程式 (拡散方程式)

−∂u(x, t)∂t

+ k∂2u(x, t)

∂x2= 0, (2.1.3)

−∂u(x, t)∂t

+ k∆u(x, t) = 0, (2.1.4)

ラプラス方程式

∂2u(x, y)

∂x2+∂2u(x, y)

∂y2= 0, (2.1.5)

∆u(x) = 0, (2.1.6)

それぞれ最初の式は２変数の場合、２つ目の式は３次元空間の場合（波動方

程式と熱伝導方程式では (t, x, y, z)の４変数、ラプラス方程式では (x, y, z)の

３変数）である1。k > 0や v > 0は定数で、熱伝導の効率に関わる定数で1３次元のラプラシアンは

∆u(x) =∂2u(x)

∂x2+∂2u(x)

∂y2+∂2u(x)

∂z2(2.1.7)

と定義される。u(x) の引数がベクトル (つまり太字) になっていることに注意。

64 第 2章 境界値問題

あったり、波が伝搬する速度であったりする。なお、ラプラス方程式で源が

ある場合（非斉次項がある場合）に、ポアソン方程式と呼んだりする。αを

適当な実定数として、

ポアソン方程式

∂2u(x, y)

∂x2+∂2u(x, y)

∂y2= αρ(x, y), (2.1.8)

∆u(x) = αρ(x), (2.1.9)

常微分方程式を解く際に境界条件や初期条件を与えて解いたように、偏微

分方程式を解く際にも境界条件や初期条件を与えて解く。拡散方程式や波動

方程式では初期条件を与える必要がある。境界条件については３種類の偏微

分方程式ともに考える必要がある。境界条件の代表的な与え方には以下の分

類がある。

ディリクレ問題 (Dirichlet boundary value problem) 境界における関数

値を与える。たとえば弦の振動における固定端の問題

u(0, t) = u(L, t) = 0 (2.1.10)

一般には領域Dにおいて問題を解く際にDの境界 ∂Dにおいて、x∂D

をDの境界上の空間座標として、

u(x∂D, t) = f(x∂D) (2.1.11)

などとする。f(x)は適当な関数。これをディリクレ (境界)条件 (Dirichlet

boundary condition)または第 1種境界条件と呼ぶ。

ノイマン問題 (Neumann boundary value problem) 境界における関数

の微分値を与える。たとえば弦の振動における自由端の問題

∂u(0, t)

∂x=∂u(L, t)

∂x= 0 (2.1.12)

一般には ∂Dにおいて

n · ∇u(x∂D, t) = g(x∂D) (2.1.13)

などとする。g(x)は適当な関数で、nは ∂Dの法線ベクトル。これを

ノイマン (境界)条件 (Neumann boundary condition)または第 2種境

界条件と呼ぶ。

ロビン問題 (Robin boundary value problem) ディリクレ問題とノイマ

ン問題の和でかける境界条件を与える問題。たとえば a, b, cを定数とし

2.1. 考える偏微分方程式 65

て

au(0, t) + b∂u(0, t)

∂x= c, (2.1.14a)

bu(L, t) + b∂u(L, t)

∂x= c, (2.1.14b)

一般には ∂Dにおいて

h(x∂D)u(x∂D, t) + i(x∂D)n · ∇u(x∂D, t) = j(x∂D) (2.1.15)

などとする。h(x), i(x), j(x)は適当な関数。これをロビン (境界)条件

(mixed boundary condition)または第３種境界条件と呼ぶ。

混合問題 (mixed boundary value problem) ディリクレ問題とノイマン

問題の混合問題。たとえば a, bを定数として

u(0, t) = a, (2.1.16a)

∂u(L, t)

∂x= b, (2.1.16b)

一般には ∂Dを ∂D1 と ∂D2 に分割して2

u(x∂D1, t) = h(x∂D1

), (2.1.17)

n · ∇u(x∂D2, t) = i(x∂D2

) (2.1.18)

などとする。h(x), i(x)は適当な関数。これを混合 (境界)条件 (mixed

boundary condition)または第 4種境界条件と呼ぶ。

2.1.1 熱伝導方程式

比熱 C、密度 ρ、断面積 Aの、x方向に延びた十分長い棒を考える。棒の

表面からのエネルギー流出入はないものとし、さらに x方向の温度変化のみ

を考えて、各点での温度を u(x, t)とする。

温度勾配に比例して熱の流れ qがある。そこで κ > 0を定数として

q(x, t) = −κ∂u(x, t)∂x

(2.1.19)

は温度の高い方から低い方への単位時間当たりの熱の流れを表すとする (負

号に注意)。棒の微小領域∆ = x : [x, x+ δx]を考えると、∆に含まれる熱

エネルギー δE は

δE(x, t) = CρAδxu(x, t) (2.1.20)

2∂D1 や ∂D2 はそれぞれ連続した領域である必要はない。

66 第 2章 境界値問題

熱の流入によって δE が時間変化するので

∂δE(x, t)

∂t= q(x, t)− q(x+ δx, t) ≃ −∂q(x, t)

∂xδx = κ

∂2u(x, t)

∂x2δx (2.1.21)

よって基本的な方程式は

∂u(x, t)

∂t= k

∂2u(x, t)

∂x2(2.1.22)

(ただし、k ≡ κ/(CρA) > 0は定数)と書かれる。熱伝導方程式はまた濃度の

拡散など様々な物理現象を記述する。

３次元の場合、熱流速が

q(x, t) = −κ∇u(x, t) (2.1.23)

とベクトルになり、

∂u(x, t)

∂t= k∆u(x, t) (2.1.24)

となって右辺がラプラシアンになる。

典型的な問題としてたとえばある空間領域Dにおいて以下の問題

∂u(x, t)

∂t= k∆u(x, t), (2.1.25a)

u(x∂D, t) = f(x∂D), (2.1.25b)

u(x, 0) = g(x), (2.1.25c)

を考える3。この問題の解はもし存在するなら唯一つに定まる。実際、同一の

境界条件と初期条件を満たす解が u1, u2の２つあったとすると u1 = u2とな

ることは以下のようにわかる。u1, u2 は以下を満たす。

∂u1(x, t)

∂t= k∆u1(x, t), (2.1.26a)

∂u2(x, t)

∂t= k∆u2(x, t), (2.1.26b)

u1(x∂D, t)|∂D = f(x∂D), u1(x, 0)= g(x), (2.1.26c)

u2(x∂D, t)|∂D = f(x∂D), u2(x, 0) = g(x) (2.1.26d)

よって U ≡ u1 − u2 は、

∂U(x, t)

∂t= k∆U(x, t), (2.1.27a)

U(x∂D, t) = 0, U(x, 0) = 0 (2.1.27b)

3∂D は D の境界の意味。

2.1. 考える偏微分方程式 67

を満たす。このとき

J(t) =1

2

∫D

d3xU(x, t)2 ≥ 0 (2.1.28)

を考えると、

dJ

dt=

∫D

d3xU∂U

∂t= k

∫D

d3xU∆U

= k

∫∂D

U∇UdS − k

∫D

d3x (∇U)2= −k

∫D

d3x (∇U)2 ≤ 0 (2.1.29)

となる。最後の等号では U |∂D = 0を使った。dJ/dt < 0であるから J(t) ≥ 0

は単調に減少するか、一定になるかである。一方で初期条件から J(0) = 0で

J(t) ≥ 0は負になれないから、J(t) = 0となり、したがって U(x, t) = 0で

なくてはならない。つまり u1 = u2 で、解は存在するなら一つである。

話の筋からわかる通り、ノイマン問題の場合にも n · ∇U |∂D = 0であるか

ら解の唯一性が保証される。

2.1.2 波動方程式

弦の振動、音波、電磁波、重力波など、多くの波動現象は以下の波動方程

式にしたがう。

− 1

v2∂2u(x, t)

∂t2+∆u(x, t) = 0, (2.1.30)

場の量子論で出てくるクライン・ゴルドン方程式もこの形である。およそ世

の中波で書かれる現象は多いので、非常に重要な方程式である。

典型的な問題としてたとえばある空間領域Dにおいて以下の問題

− 1

v2∂2u(x, t)

∂t2+∆u(x, t) = 0, (2.1.31a)

u(x∂D, t) = f(x∂D), (2.1.31b)

u(x, 0) = g(x), (2.1.31c)

∂u(x, 0)

∂t= h(x), (2.1.31d)

を考える。この問題の解はもし存在するなら唯一つに定まる。実際、同一の

境界条件と初期条件を満たす解が u1, u2の２つあったとすると u1 = u2とな

ることは以下のようにわかる。u1, u2 は以下を満たす。

− 1

v2∂2u1(x, t)

∂t2+∆u1(x, t) = 0, (2.1.32a)

u1(x∂D, t) = f(x∂D), (2.1.32b)

u1(x, 0) = g(x), (2.1.32c)

∂u1(x, 0)

∂t= h(x), (2.1.32d)

68 第 2章 境界値問題

− 1

v2∂2u2(x, t)

∂t2+∆u2(x, t) = 0, (2.1.32e)

u2(x∂D, t) = f(x∂D), (2.1.32f)

u2(x, 0) = g(x), (2.1.32g)

∂u2(x, 0)

∂t= h(x), (2.1.32h)

よって U ≡ u1 − u2 は、

− 1

v2∂2U(x, t)

∂t2+∆U(x, t) = 0, (2.1.33a)

U(x∂D, t) = 0, (2.1.33b)

U(x, 0) = 0, (2.1.33c)

∂U(x, 0)

∂t= 0, (2.1.33d)

を満たす。このとき

J(t) =1

2

∫D

d3x

((∂U(x, t)

∂t

)2

+ (v∇U(x, t))2

)(2.1.34)

を考えると4、

dJ(t)

dt=

∫D

d3x

(∂U(x, t)

∂t

∂2U(x, t)

∂t2+ v2∇U(x, t)

∂∇U(x, t)

∂t

)= v2

∫D

d3x

(∂U(x, t)

∂t∆U(x, t) +∇U(x, t)

∂∇U(x, t)

∂t

)= v2

∫D

d3x∇(∇U(x, t)

∂U(x, t)

∂t

)= v2

∫∂D

dS · ∇U(x, t)∂U(x, t)

∂t(2.1.35)

今、ディリクレ問題では U(x∂D, t) = 0 であるから、∂U(x∂D, t)/∂t = 0、

よって J(t) =(定数) である5。一方で初期条件から J(0) = 0 であるから、

J(t) = 0。よって

∂U(x, t)

∂t= 0,

∂U(x, t)

∂x= 0, (2.1.36)

となる。これと初期条件 U(x, 0) = 0より U(x, t) = 0が結論される。

最後に１次元波動方程式の初期値問題については一般解が求まることを述

4J(t) は波のエネルギーに比例する。以下、波に含まれる全エネルギーは境界から出て行くエネルギーがなければ時間的に一定になるということを示す計算と同じことをしている。

5ノイマン問題では n · ∇U(x∂D, t) = 0より J(t) =(定数)である。ただし、nは ∂D の法線ベクトル。

2.1. 考える偏微分方程式 69

べる6。

− 1

v2∂2u(x, t)

∂t2+∂2u(x, t)

∂x2= 0, (2.1.37a)

u(x, 0) = f(x), (2.1.37b)

∂u(x, 0)

∂t= g(x) (2.1.37c)

について、２回微分可能な任意の関数 U(x)と V (x)をもってくれば、

u(x, t) = U(x− vt) + V (x+ vt) (2.1.38)

が波動方程式の解であることは、１章で示したとおり。なおこの解をダラン

ベールの解と呼ぶ。さて初期条件から

U(x) + V (x) = f(x), (2.1.39)

− vU ′(x) + vV ′(x) = g(x), (2.1.40)

２番目の式を積分して、積分定数を C として、

− U(x) + V (x) =1

v

∫ x

0

g(x)dx+ 2C (2.1.41)

よって、

U(x) =1

2f(x)− 1

2v

∫ x

0

g(x)dx− C (2.1.42)

V (x) =1

2f(x) +

1

2v

∫ x

0

g(x)dx+ C (2.1.43)

したがって、

u(x, t) =1

2f(x− vt) +

1

2f(x+ vt) +

1

2v

∫ x+vt

x−vtg(x)dx (2.1.44)

が初期条件を満たす解である。この式をストークスの式と呼ぶ。

問題 14. 1次元波動方程式の解のうち、

f(x) =

1, |x| < 1,

0, |x| > 1, (2.1.45)

g(x) = 0, (2.1.46)

を満たす解を求め、様々な tにおける波の様子を図示せよ。また、

f(x) = 0, (2.1.47)

g(x) =

1, |x| < 1,

0, |x| > 1(2.1.48)

はどうなるか？6伝搬速度 v は場所や時間に依存しないことに注意。

70 第 2章 境界値問題

2.1.3 ラプラス方程式、ポアソン方程式

電荷分布 ρが存在するときの電位分布（電気ポテンシャル）ϕは

∆ϕ(x, t) = − ρ

ϵ0(2.1.49)

というポアソン方程式にしたがう。また真空中 (ρ = 0)では ϕはラプラス方

程式にしたがう。

ラプラス方程式の解を調和関数と呼ぶ。調和関数には面白い性質があって、

領域Dにおける調和関数の最大値（もしくは最小値）は境界 ∂Dでとる。こ

れを最大値（あるいは最小値）の原理と呼ぶ7。これは大雑把には以下のよう

に理解できる8。最大値をとる点 xm が Dにあるとする。関数は xm で極値

をとっており、∇ϕ(xm) = 0である。さらに最大値ならその２階微分はその

点で負になるのだが、そうすると∆ϕ(xm) < 0となって9、xmではラプラス

方程式を満たさない。したがって xm はDに存在しえない。

グリーンの公式

ガウスの定理より、Dを３次元領域、∂Dをその表面、nを ∂Dの単位法

線ベクトルとして、 ∫D

∇ · ud3x =

∮∂D

u · ndS (2.1.50)

が成り立つ。ここで適当な関数 f(x), g(x)に対して、

u(x) = f(x)∇g(x) (2.1.51)

とおくと、∫D

∇f · ∇gd3x+

∫D

f∆gd3x =

∮∂D

f∇g · ndS (2.1.52)

を得る。これをグリーンの第１公式と呼ぶ。

グリーンの第１公式において、f = gとし、さらに f が調和関数であると

する。 ∫D

(∇f)2d3x =

∮∂D

f∇f · ndS (2.1.53)

したがって、領域 D において f が調和関数で、表面 ∂D において f = 0な

ら、領域Dにおいて f = 0である。同様に、領域Dにおいて f が調和関数

で、表面 ∂Dにおいて∇f ·n = 0なら、領域Dにおいて f =(定数)である。

7∆ϕ(x) = 0なら −ϕ(x)もラプラス方程式の解で、どちらか一方は境界で最大値をとり、片方は最小値をとる。

8式を使った説明は以下の節参照。9最小値の場合は ∆ϕ > 0 となる。

2.1. 考える偏微分方程式 71

グリーンの第１公式において f と gを交換すると、∫D

∇g · ∇fd3x+

∫D

g∆fd3x =

∮∂D

g∇f · ndS (2.1.54)

両辺を引くと、∫D

(f∆g − g∆f)d3x =

∮∂D

(f∇g − g∇f) · ndS (2.1.55)

これをグリーンの第２公式と呼ぶ。第２公式で g = 1とし、さらに今、f が

調和関数であるとすると、 ∮∂D

∇f · ndS = 0 (2.1.56)

したがって、調和関数の法線方向微分の表面積分はゼロになる。ラプラス方

程式のノイマン問題で与える条件はこの式を満たす必要がある。ただし、こ

れは内部ノイマン問題に限る。すなわち、Dが閉じた領域の内側である場合

に限る。Dが閉じた領域の外側であるばあい、たとえば原点を含む球を考え、

その外側をDとして、f = 1/rとすると、Dで∆f = 0となって確かに f は

Dで調和関数となる。しかし、∮∂D

∇f · ndS =

∮∂D

−1

r2dS = −1 (2.1.57)

であるから外部ノイマン問題においては (2.1.56)式は満たされない。

さて、第２公式でD内部に適当に点 x0 を取り、

g =1

4πr, (2.1.58)

r = |x− x0| (2.1.59)

とすると、

∆1

4πr= −δ(x− x0)δ(y − y0)δ(z − z0) ≡ −δ(x− x0) (2.1.60)

であるから、グリーンの第２公式は、

−f(x0)−∫D

∆f

4πrd3x =

∮∂D

(f∇

(1

4πr

)− 1

4πr∇f)· ndS (2.1.61)

あるいは、

f(x0) = − 1

4π

∫D

∆f

rd3x+

∮∂D

(1

4πr∇f − f∇

(1

4πr

))· ndS (2.1.62)

を得る。

ここで f が∆f = −4πρ というポアソン方程式にしたがうとする。領域D

を無限にとって、さらに f が無限遠で r−1より早く減衰するという境界条件

を課すと、

f(x0) =

∫ρ(x)

|x0 − x|d3x (2.1.63)

72 第 2章 境界値問題

という見慣れた式を得る。

一方また調和関数だとすると、

f(x0) =

∮∂D

(1

4πr∇f − f∇

(1

4πr

))· ndS (2.1.64)

となる。この式は、Dでラプラス方程式を満たす関数のD内部の値は、Dの

表面での関数の値とその微分の値が決まれば決まることを示している10。

D内部に点 x0 を中心とする半径 Rの球 σを考えてこの式を適用すると、

f(x0) =

∮∂σ

1

4πR∇f · ndS −

∮∂σ

f

(−R

4πR3

)· ndS (2.1.65)

σについてはR = Rnであるから、式 (2.1.56)も使うと、

f(x0) =1

4πR2

∮∂σ

f(x)dS (2.1.66)

を得る。したがって、ある点における調和関数の値は、この点を中心とする

球面上の関数値の平均に等しい。これから最大・最小の原理を得る。 定理 7 (最大・最小の原理（最大値・最小値の原理）). 領域Dの調和関

数は、その最大値・最小値を境界上でとる。 証明. f がD内の点 x0 で最大値 fmax をとるとする。

f(x0) = fmax, (2.1.67)

D内部に x0 を中心とする半径 Rの球を考えると、式 (2.1.66)より、

f(x0) =1

4πR2

∮∂σ

f(x)dS ≤ fmax

4πR24πR2 = fmax (2.1.68)

等号は球内部で常に f = fmax であるときに成り立つ。このような球の中心

点から少しずれた点を中心として同様の議論をおこなうと、f が一定である

ような球によって領域 D を覆い尽くすことができる。これよりもし f が D

内部で最大値をとるなら、D内部で f は一定になる。最小値については、−fについて考えればよい。

以上の議論はもちろん f が D 内部で発散するとき成り立たない。D 内部

に質点や点電荷があるときの重力ポテンシャルやクーロンポテンシャルはそ

のような例で、D内部の質点や点電荷の位置で関数は発散する。

最後に、(2.1.53)式を使うとポアソン方程式のディリクレ問題の解は、も

し存在するなら唯一であることが示される。領域 Dにおける調和関数 ϕ(x)

を考える。ϕ(x)は実数値をとるとする。Poisson方程式の Dirichlet問題

∆u(x) = ρ(x) (x ∈ D), u(x) = a(x) (x ∈ ∂D) (2.1.69)

10任意に与えられるのは、∂D における関数値かその微分値のどちらかである。両方ともに任意に指定することはできない。

2.2. フーリエ級数による解法 73

を考えよう。解が u1, u2 の２つあるとすると、これらは

∆u1(x) = ρ(x) (x ∈ D), u1(x) = a(x) (x ∈ ∂D), (2.1.70)

∆u2(x) = ρ(x) (x ∈ D), u2(x) = a(x) (x ∈ ∂D) (2.1.71)

を満たす。したがって U(x) ≡ u1(x) − u2(x) を定義すると、U(x) は斉次

Dirichlet境界条件を満たす調和関数となる。

∆U(x) = 0 (x ∈ D), U(x) = 0 (x ∈ ∂D) (2.1.72)

(2.1.53)式で f(x) = U(x)とすると、境界条件より左辺はゼロであるから、

右辺より領域 D上 ∇U(x) = 0を得る。また一方 ∂D上 U(x) = 0であるか

ら領域D上 U(x) = 0を得る。よってD上 u1(x) = u2(x)である。

問題 15. Poisson方程式の Neumann問題の解は、存在するなら定数を除い

て一意に決まることを示せ。

2.2 フーリエ級数による解法

2.2.1 熱伝導方程式

例題として境界で常に温度がゼロになると設定した場合の熱伝導の方程式

を解く。

∂u(x, t)

∂t= k

∂2u(x, t)

∂x2, (2.2.1a)

u(x, 0) = f(x), (0 ≤ x ≤ L), (初期条件) (2.2.1b)

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, (境界条件) (2.2.1c)

ただし、f(x) は事前にわかっているものとし、境界条件と適合するために

f(0) = f(L) = 0を満たすとする。

この問題を、ここでは変数分離法を使って解くことを試みる。

u(x, t) = X(x)T (t) (2.2.2)

と仮定してみる。方程式は、

X(x)∂T (t)

∂t= kT (t)

∂2X(x)

∂x2, (2.2.3)

あるいは、

T ′(t)

kT (t)=X ′′(x)

X(x), (2.2.4)

74 第 2章 境界値問題

とできて、右辺は xに依存しない tだけの関数、左辺は xだけの関数になるか

ら、これらが等しくなるためには両辺は定数でないとならない。これを−λ2

とおくと、

T ′(t) = −kλ2T (t), (2.2.5a)

X ′′(x) = −λ2X(x), (2.2.5b)

という２つの方程式を得る11。

まず λ = 0のとき、X(x) = Ax + B だが、境界条件より A = B = 0と

なって非自明な解が得られない。−λ2 ≡ κ2 > 0のとき、

X(x) = Aeκx +Be−κx (2.2.6)

だが境界条件X(0) = 0より A = −B、X(L) = 0より

X(L) = A(eκL − e−κL) = 2A sinhκL (2.2.7)

よって、A = 0となってこれも非自明な解がない。λ2 > 0のとき、

T (t) = e−kλ2t, (2.2.8a)

X(x) = A cosλx+B sinλx, (2.2.8b)

を得る。これと境界条件X(0) = 0より A = 0、X(L) = 0より

λ =πn

L, (n = 1, 2, · · · ) (2.2.9)

となって、任意の整数 nについて境界条件を満たす非自明な解

A exp

(−kπ

2n2t

L2

)sin

πnx

L(2.2.10)

を得る。

さて、考えている熱伝導方程式は線形なので、得られた解 (2.2.10)の線形

重ね合わせも解になる12。

u(x, t) =

∞∑n=1

An exp

(−kπ

2n2t

L2

)sin

πnx

L(2.2.11)

この事実を使って初期条件に合うように An を決める。初期条件は、

u(x, 0) =

∞∑n=1

An sinπnx

L= f(x) (2.2.12)

11線形代数で行列 A に対して Av = σv なる方程式を満たす σ を固有値、v を固有ベクトルと呼んだ。同様に、関数に作用するある演算子 Aがあって、Af = σf を満たすとき、σ を固有値、f を固有関数と呼ぶ。なので、ここでは T (t), X(x) は固有関数、−kλ2, λ2 は固有値と呼ばれる。

12ここは無限和が収束するととりあえず仮定して話を進めている。すぐ下でこのことを問題にしている。また、n は正の整数としているが、負の場合は A に符号が吸収されるのでこの表式で問題ない。

2.2. フーリエ級数による解法 75

よって、

An =2

L

∫ L

0

f(x) sinπnx

Ldx (2.2.13)

によって An を決定すればよろしい。以上より解は

u(x, 0) =

∞∑n=1

An sinπnx

L= f(x) (2.2.14)

と求まるが、これは形式的な計算をして得られた解という意味で形式解と呼

ばれる。というのは、無限和が収束して、２階微分可能で 0 ≤ x ≤ Lで熱伝

導方程式を満たし、境界条件と初期条件を満たすかどうか、確認していない

からである ((2.2.10)式の段階では境界条件を満たすけれども、無限和になる

と満たすとも限らない。)。

これらを示すために f(x)の満たすべき性質を考える。まず f(x)は区分的

に滑らかだとフーリエ級数は収束するので、必要条件というわけではないけ

ども、実用上十分ということでこれを仮定する。また f(x)は連続であると

し、フーリエ級数 u(x, 0)は一様収束するとする。さて区分的に連続な関数の

フーリエ係数は有界なので、|An| < M とし、また適当にとった 0 < t0 ≤ t

なる t0 を考えると、∑n

∣∣∣∣An exp(−kπ2n2t

L2

)sin

πnx

L

∣∣∣∣ < M∑n

exp

(−kπ

2n2t0L2

)(2.2.15)

よってこの級数は t > t0 で一様かつ絶対収束する。t0 は任意で、t = 0での

収束性は f(x)が連続かつ区分的に滑らかであるという仮定から満たされるの

で問題ない。また、この級数は一様収束するので、以上より t ≥ 0で境界条

件を満たす。形式的に項別微分すると

∞∑n=1

π2n2

L2An exp

(−kπ

2n2t

L2

)sin

πnx

L(2.2.16)

という級数が現れるが、

∞∑n=1

n2 exp

(−kπ

2n2t

L2

)(2.2.17)

は上と同様の議論により t ≥ t0で一様収束するので、項別微分は許されてい

る。よって各 nごとに微分方程式が満たされていればよく、これは (2.2.10)

を求める過程から明らかである。以上より、求めた解はこの問題の解である。

以下面倒なので、波動方程式、ラプラス方程式含め、解が本当に解であるか

の吟味は省く。場合によってはいくつかの点で解でない（方程式・条件を満た

さない）ということもあるが、ほとんどの領域で解であれば十分有用である。

76 第 2章 境界値問題

例 18. 0 ≤ x ≤ Lにおいて温度についての初期条件を以下のように与えたと

きの、その後の温度の時間発展を求めよ。

f(x) =

cx, (0 ≤ x ≤ L/2),

c(L− x), (L/2 ≤ x ≤ L),(2.2.18)

ただし、境界条件としてディリクレ条件 (u(0, t) = 0 = u(L, t))をとる。

(答) この節で求めた解から

An =2

L

∫ L

0

f(x) sinπnx

Ldx

=2c

L

∫ L/2

0

x sinπnx

Ldx+

2c

L

∫ L

L/2

(L− x) sinπnx

Ldx

=2c

nπ

[− x cos

πnx

L

∣∣∣L/20

+

∫ L/2

0

cosπnx

Ldx− (L− x) cos

πnx

L

∣∣∣LL/2

−∫ L

L/2

cosπnx

Ldx

]

=4cL

n2π2sin

nπ

2(2.2.19)

したがって、

u(x, t) =

∞∑n=1

4cL

n2π2sin

nπ

2exp

(−kπ

2n2t

L2

)sin

πnx

L

=

∞∑k=0

4(−1)kcL

(2k + 1)2π2exp

(−kπ

2(2k + 1)2t

L2

)sin

(2k + 1)πx

L(2.2.20)

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

図 2.1: 左図：青線は (2.2.18) 式で定義されている f(x)、緑線はフーリエ

級数の５項目までとったもの、オレンジ色は初項のみ。もともと「sineっぽ

い」関数なのでかなり良い近似になっている。右図：式 (2.2.20)で与えられ

る時間発展の様子。青線 t = 0、オレンジ色 t = 0.02(L2/π2/k), 緑色 t =

0.05(L2/π2/k)後。両図ともに横軸に ζ = x/Lをとり、縦軸は u/(cL)とし

ている。exp(−(定数)× n2) という係数のために、大きな nを持つ項から振

幅が減少していくから、だんだん「丸く」、正弦関数っぽくなっていく。

作図について注意。作図するときにいちいち異なる L, k, cの値を考えて作

図する必要はない。物理には特徴的な長さや次元が出てくることが多い。こ

の問題の場合、長さは Lで、時間は L2/k/π2、温度は cLである。そこでこ

2.2. フーリエ級数による解法 77

れらの量で時間や長さを測ってやる（規格化する、無次元化する）といろん

なことが読みとりやすいし、様々な L, k, cの値に対して正しい図を与える。

この問題では、ζ = x/L, τ = t/(L2/k/π2), T = u/(cL)とすると13、

T (ζ, τ) =

∞∑n=0

4(−1)n

(2n+ 1)2π2e−(2n+1)2τ sin(2n+ 1)πζ (2.2.21)

となる。実際の問題ではこのように無次元化した曲線を描いておいて、のち

に縦軸や横軸がどのような単位で書かれているか注意すると良い。

問題 16. 左端で一定温度 T0、右側で 0度の場合の熱伝導方程式

∂u(x, t)

∂t= k

∂2u(x, t)

∂x2, (2.2.22a)

u(x, 0) = f(x), (0 ≤ x ≤ L), (初期条件) (2.2.22b)

u(0, t) = T0, u(L, t) = 0, (境界条件) (2.2.22c)

の解を求めよ。また、

f(x) = T0

(L− x

L

)3

(2.2.23)

のときに、結果を図示せよ。

問題 17. 一様な金属の輪っかがあったとする。円周上の角度座標を xで表す

と、境界条件は周期境界条件となる。

∂u(x, t)

∂t= k

∂2u(x, t)

∂x2, (2.2.24a)

u(x, 0) = f(x), (0 ≤ x < 2π), (初期条件) (2.2.24b)

u(0, t) = u(2π, t),∂u(0, t)

∂x=∂u(2π, t)

∂x, (境界条件) (2.2.24c)

このときの解を求めよ。

問題 18. 左端から熱流入がなく、右端で温度一定温度 T0 である場合の熱伝

導方程式

∂u(x, t)

∂t= k

∂2u(x, t)

∂x2, (2.2.25a)

u(x, 0) = f(x), (0 ≤ x ≤ L), (初期条件) (2.2.25b)

∂u(0, t)

∂x= 0, u(L, t) = T0, (境界条件) (2.2.25c)

の解を求めよ。また、初期条件として

f(x) = −T0( xL

)2+ 2T0 (2.2.26)

をとったときの具体的な計算をおこない、結果を図示せよ。13τ の定義に 1/π2 を入れたのはここでは趣味の問題。

78 第 2章 境界値問題

問題 19. 半無限の固体 (0 ≤ x < ∞)の表面の平均温度からのずれが周期的

に変わる場合を考える。

∂u(x, t)

∂t= k

∂2u(x, t)

∂x2, (2.2.27a)

u(0, t) = ∆T0 sinωt, limx→∞

u(x, t) = 0, (境界条件) (2.2.27b)

としたときの解を求めよ14。また、様々な tについて図を描け。

2.2.2 波動方程式

例題として両端で開放端（自由端）をとるような音波の問題を考える。

− 1

c2s

∂2u(x, t)

∂t2+∂2u(x, t)

∂x2= 0, (2.2.28a)

u(x, 0) = f(x),∂u(x, 0)

∂t= g(x), (0 ≤ x ≤ L), (初期条件) (2.2.28b)

∂u(0, t)

∂x= 0,

∂u(L, t)

∂x= 0, (境界条件) (2.2.28c)

ただし、csは音速で f(x), g(x)は事前にわかっているものとし、境界条件と適

合しているとする。（つまり、∂f(0)/∂x = ∂f(L)/∂x = 0を満たすとする。)

また、開口端補正は考えていない。

この問題を、ここでは変数分離法を使って解くことを試みる。

u(x, t) = X(x)T (t) (2.2.29)

と仮定してみる。方程式は、

X(x)

c2s

∂2T (t)

∂t2= T (t)

∂2X(x)

∂x2, (2.2.30)

あるいは、

T ′′(t)

c2sT (t)=X ′′(x)

X(x), (2.2.31)

とできて、右辺は xに依存しない tだけの関数、左辺は xだけの関数になるか

ら、これらが等しくなるためには両辺は定数でないとならない。これを−λ2

とおく。

T ′′(t) = −c2sλ2T (t), (2.2.32a)

X ′′(x) = −λ2X(x), (2.2.32b)

まず λ = 0のとき、

T (t) = At+B, (2.2.33a)

X(x) = Cx+D (2.2.33b)

14この ∆ は T0 と合わさって温度の変化量という意味で、ラプラシアンではない。

2.2. フーリエ級数による解法 79

だが、このとき境界条件より定数解 X(x) =(定数)しか存在しない。λ2 = 0

のとき、

T (t) = Aeiλcst +Be−iλcst (2.2.34a)

X(x) = Ceiλx +De−iλx (2.2.34b)

これは

X ′(0) = iλ(C −D) = 0, (2.2.35a)

X ′(L) = iλ(CeiλL −De−iλL) = 0, (2.2.35b)

よって C = D、および e2iλL = 1あるいは nを整数として

λ =nπ

L(2.2.36)

のとき解である。そこで境界条件を満たす解は、改めて A,B,C,Dを定義し

なおして、線形和をとって、

u(x, t) =a02

+

∞∑n=1

(an cos

nπcst

L+ bn sin

nπcst

L

)cos

nπx

L(2.2.37)

である。ここでさらに初期条件を課すと、

u(x, 0) =a02

+

∞∑n=1

an cosnπx

L= f(x), (2.2.38a)

∂u(x, 0)

∂t=

∞∑n=1

nπcsL

bn cosnπx

L= g(x) (2.2.38b)

よって

an =2

L

∫ L

0

f(x) cosnπx

Ldx, (2.2.39)

bn =2

nπcs

∫ L

0

g(x) cosnπx

Ldx, (2.2.40)

によって係数を決めればよい。

問題 20. ここで求めたフーリエ級数による解の表示と式 (2.1.44)で与えられ

たストースクの式との関係を述べよ。

f(x)と g(x)が２回微分可能、区分的に滑らかな関数で級数が収束するな

ら、この問題の結果と合わせて、構成した解が波動方程式の解であることが

わかる15。

15不連続点では一様収束せず、そのような点では初期条件を満たさないが、それ以外の “ほとんどの領域で”解になっている。また、そのような点でも級数が収束する関数の引数が x± ctとなっているのでダランベールの解の形になっており、その収束した先の関数が２回微分可能なら、波動方程式自体は満たす。

80 第 2章 境界値問題

問題 21. (2.2.28c)式で f(x), g(x)を

f(x) =

0, 0 ≤ x < L/4

x− L/4, L/4 ≤ x < L/2

−x+ 3L/4, L/2 ≤ x < 3L/4

0, 3L/4 ≤ x < L

(2.2.41)

g(x) = 0, (2.2.42)

のときに解いて結果を図示せよ。

問題 22. 辺の長さ Lx, Ly の長方形の膜を張った太鼓の振動を考える。微分

方程式は、

− 1

c2s

∂2u(x, y, t)

∂t2+∂2u(x, y, t)

∂x2+∂2u(x, y, t)

∂y2= 0, (2.2.43a)

u(0, y, t) = u(Lx, y, t) = u(x, 0, t) = u(x, Ly, t) = 0, (境界条件) (2.2.43b)

変数分離を仮定して、

u = T (t)U(x, y) (2.2.44)

とおくと、

T ′′(t) + c2sλ2T (t) = 0, (2.2.45a)

∆U(x, y) + λ2U(x, y) = 0, (2.2.45b)

この２番目の U(x, y, z)に対する方程式をヘルムホルツ (Helmholtz)の方程

式と呼ぶ。さらに U = X(x)Y (y)として、フーリエ級数の形で解を求めよ。

問題 23. 2.1.2節で述べたように J(t)はエネルギーに比例する。

J(t) =1

2

∫ L

0

dx

((∂u(x, t)

∂t

)2

+ c2s (∇u(x, t))2

)(2.2.46)

(2.2.38a),(2.2.38b)式を使って J(t)を計算して、

J(t) =L

4

∞∑n=1

ω2n(a

2n + b2n) (2.2.47)

を示せ。ただし、ωn = nπcs/Lである。an, bnは無次元の量で tに依存しない定

数である。よってこの表式では J(t) =(一定)は読み取りやすい。ωn = nπcs/L

はこの系の固有振動数と呼ばれる特徴的な周波数である。

さて、バネ振動の運動方程式を考えると、

md2x

dt2= −kx (2.2.48)

2.2. フーリエ級数による解法 81

でこの解は

x = a cosωt+ b sinωt (2.2.49)

(ω2 = k/m)である。また、この系では

E =1

2m

(dx

dt

)2

+1

2kx2 (2.2.50)

が保存することを知っている。ここで解を代入すると、

E =1

2m

(dx

dt

)2

+1

2kx2 =

1

2mω2(a2 + b2) (2.2.51)

となる。sinと cosという２つの独立な運動に対応して２つの振幅 a, bの２乗

が現れ、それぞれがエネルギーに寄与する。ωaや ωbは速度の次元を持つか

ら、E は正しくエネルギーの次元を持つ。

同様にここで考えた波動方程式では、可算無限個の振動数が現れ、それぞれ

に２つの独立な振動が許されるため、全エネルギーは (2.2.47)式に比例する。

問題 24. 真空中のマクスウェル方程式16

∇×B =1

c

∂E

∂t, ∇×E = −1

c

∂B

∂t, (2.2.52)

∇ ·B = 0, ∇ ·E = 0 (2.2.53)

から電場と磁場がそれぞれ波動方程式を満たすことを示せ。

2.2.3 ラプラス方程式

領域D = (x, y)|0 ≤ x ≤ Lx, 0 ≤ y ≤ Lyにおいてラプラス方程式のディリクレ問題

∂2u(x, y)

∂x2+∂2u(x, y)

∂y2= 0, (2.2.54)

u(0, y) = u(Lx, y) = u(x, Ly) = 0, u(x, 0) = f(x) (2.2.55)

を考える。変数分離 u = XY を仮定して解を求めてみる。

Y X ′′ +XY ′′ = 0 (2.2.56)

より、

X ′′ = −λ2X, X(0) = X(Lx) = 0, (2.2.57)

Y ′′ = λ2Y, Y (Ly) = 0, (2.2.58)

16ここに書いているのは CGS単位系でのマクスウェル方程式。各自好きな単位系で問題を解いてください。

82 第 2章 境界値問題

を得る。λ = 0のときは、X = Ax + B, Y = Cy + D だが、境界条件より

A = B = 0となる。λ = 0のときは

X = a cosλx+ b sinλx (2.2.59)

Y = c coshλy + d sinhλy (2.2.60)

X については境界条件より、a = 0, λ = nπ/Lx。Y について Ly での条件

より、

c coshnπLyLx

+ d sinhnπLyLx

= 0, (2.2.61)

あるいは、

c = −d tanh nπLyLx

, (2.2.62)

よって

X = b sinnπx

Lx(2.2.63)

Y = d

(− tanh

nπLyLx

coshnπy

Lx+ sinh

nπy

Lx

)=

d

cosh(nπLy/Lx)sinh

(nπ

Lx(y − Ly)

)(2.2.64)

以上より、

u(x, y) =

∞∑n=1

bn sinnπx

Lxsinh

(nπ

Lx(y − Ly)

)(2.2.65)

ただし、係数を適当に再定義している。係数 bn は

u(x, 0) = −∞∑n=1

bn sinnπx

Lxsinh

(nπLyLx

)= f(x) (2.2.66)

より、

bn = − 2

sinh(nπLy/Lx)

∫ Lx

0

f(x) sinnπx

Lxdx (2.2.67)

によって定める。

さて、1.8 節で述べた通り f(x) のフーリエ係数は有界であり、ある実数

0 < M <∞があって、|f(x)| < M である。よって十分大きな nでは

|bn| < e−nπLy/LxMLx (2.2.68)

十分小さい y0 を取ると、十分大きな nでは、∣∣∣∣bn sin nπxLx sinh

(nπ

Lx(y − Ly)

)∣∣∣∣ < e−nπy/LxMLx < e−nπy0/LxMLx

(2.2.69)

2.2. フーリエ級数による解法 83

u(x, t)のフーリエ級数の１階、２階微分を計算するとフーリエ級数の各項に

nや n2 がかかるが、ne−nπy/Lx ,n2e−nπy/Lx は収束するので、フーリエ級数

の各項を１階、２階微分した級数は収束する。また、任意にとった十分小さ

い y0 について、y0 ≤ y ≤ Ly, 0 ≤ x < Lx で級数は一様収束する。

例 19. 円盤上のディリクレ問題

半径 Lの円盤を考え、ラプラス方程式のディリクレ問題を解く。内部で発

散しない解を求めたい。動径座標を ρ、角度座標を ϕとする極座標をとると、

1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂u(ρ, ϕ)

∂ρ

)+

1

ρ2∂2u(ρ, ϕ)

∂ϕ2= 0, (2.2.70)

u(L, ϕ) = f(ϕ), (2.2.71)

また、明らかに u(ρ, ϕ+ 2π) = u(ρ, ϕ)でないとならない。

変数分離を仮定して、u(ρ, ϕ) = R(ρ)Φ(ϕ)とおく。

ρd

dρ

(ρdR(ρ)

dρ

)= λ2R(ρ), (2.2.72)

d2Φ(ϕ)

dϕ2= −λ2Φ(ϕ) (2.2.73)

λ = 0のとき、

R(ρ) = A ln ρ+B, (2.2.74)

Φ(ϕ) = Cϕ+D, (2.2.75)

ρ = 0で発散するので A =として、定数項のみ解を構成する線形和に残す。

λ < 0のときは Φ(ϕ)が境界条件を満たさない。λ > 0のときは２番目の式よ

り、λ = nで、

R(ρ) = Aρn +Bρ−n (2.2.76)

Φ(ϕ) = C cosnϕ+D sinnϕ (2.2.77)

ρ−n の解は ρ = 0で発散するので B = 0とする。よって、λ = 0のときの定

数解も加えて、

u(ρ, ϕ) =a02

+

∞∑n=1

ρn(an cosnϕ+ bn sinnϕ) (2.2.78)

係数は

u(L, ϕ) =a02

+

∞∑n=1

Ln(an cosnϕ+ bn sinnϕ) = f(ϕ) (2.2.79)

から、

an =1

πLn

∫ π

−πf(ϕ) cosnϕdϕ, (2.2.80)

bn =1

πLn

∫ π

−πf(ϕ) sinnϕdϕ, (2.2.81)

84 第 2章 境界値問題

と求めれば良い。すると、

u(ρ, ϕ) =1

2π

∫ 2π

0

dψf(ψ)

+

∞∑n=1

( ρL

)n ∫ π

−πdψf(ψ) cosn(ψ − ϕ) (2.2.82)

フーリエ係数の有界性より、ある有限の実数M があって |an| < M/Ln, |bn| <M/Ln より、任意の 0 < ρ0 < Lに対して、0 ≤ ρ < ρ0 なら∣∣∣∣( ρL)n

∫ π

−πdψf(ψ) cosn(ψ − ϕ)

∣∣∣∣ < M(ρ0L

)n(2.2.83)

よって右辺は 0 ≤ ρ < ρ0 で一様収束する。これより項別積分可能で、

u(ρ, ϕ) =1

2π

∫ π

−πdψf(ψ)

1 + 2

∞∑n=1

( ρL

)ncosn(ψ − ϕ)

=1

2π

∫ π

−πdψf(ψ)

L2 − ρ2

L2 − 2Lρ cos(ψ − ϕ) + ρ2(2.2.84)

この最後の式をポアソン積分と呼ぶ。

問題 25. 領域 D = (x, y)|0 ≤ x ≤ Lx, 0 ≤ y ≤ Lyにおいてラプラス方程式の境界値問題

∂2u(x, y)

∂x2+∂2u(x, y)

∂y2= 0, (2.2.85)

u(0, y) = 0, u(Lx, y) = 0, (2.2.86)

∂u(x, 0)

∂y= 0,

∂u(x, Ly)

∂y= sin

πx

Lx(2.2.87)

を解け。

85

第3章 フーリエ積分

フーリエ級数は周期関数を三角関数の集合で展開するものだった。有限区

間で定義されている関数も、適当に周期化して周期関数だと仮定して展開す

るものだった。

実は周期を持たない関数についても三角関数の集合で展開することができ

る。しかしこの場合、フーリエ級数で現れた和は積分になる。これ以外は多

くの点でフーリエ級数と似た議論ができる。

区間 [a, b]で定義された周期 L = b− aの周期関数 f(x)の複素フーリエ級

数は

f(x) ∼∞∑

n=−∞

1

L

∫ b

a

f(ζ) exp

(i2nπ(x− ζ)

L

)dζ (3.0.1)

いま、kn ≡ 2nπ/L、∆k ≡ kn+1 − kn = 2π/Lとすると、

f(x) ∼∞∑

n=−∞

∆k

2π

∫ (a+b)/2+π/∆k

(a+b)/2−π/∆kf(ζ)eikn(x−ζ)dζ (3.0.2)

ここで L → ∞ とする、つまり周期が無いような一般の関数を考えると、∆k → 0となって和が積分に移行すると考えられる。

f(x) ∼∫ ∞

−∞

dk

2π

∫ ∞

−∞f(ζ)eik(x−ζ)dζ ≡

∫ ∞

−∞f(k)eikxdk (3.0.3)

ここで f(k)は、

f(k) ≡ 1

2π

∫ ∞

−∞f(x)e−ikxdx (3.0.4)

て定義される。式 (3.0.4)で定義される f(x)から f(k)への変換のことをフー

リエ変換、式 (3.0.3)で定義される f(k)から f(x)への変換のことをフーリエ

逆変換と呼ぶ1。この章ではこのようなフーリエ変換・逆変換を扱う。

1呼ぶことがあるが、算数としては関数を k を使って書いても x を使って書いても同じなので、どっちが順でどっちが逆とかどうでも良い気がする。数値的に高速フーリエ変換を計算してくれる FFTWなどを使う際など、実用上は名前をつけた方が便利なので、使う人は使うときに覚えることになる。

86 第 3章 フーリエ積分

定義の任意性と記号

最初に複素形式のフーリエ級数を

f(x) ∼∞∑

n=−∞cn exp

(i2nπx

L

), (3.0.5)

cn =1

L

∫ b

a

f(ζ) exp

(−i2nπζ

L

)dζ (3.0.6)

と定義したけれども、実は指数関数の肩の正負を逆転させて

f(x) ∼∞∑

n=−∞cn exp

(−i2nπx

L

), (3.0.7)

cn =1

L

∫ b

a

f(ζ) exp

(i2nπζ

L

)dζ (3.0.8)

と定義しても問題なかった。関係して

f(x) ∼∫ ∞

−∞f(k)e−ikxdk, (3.0.9)

f(k) ≡ 1

2π

∫ ∞

−∞f(x)eikxdx (3.0.10)

と定義しても良い。また、

f(x) ∼∫ ∞

−∞

dk

2π

∫ ∞

−∞f(ζ)eik(x−ζ)dζ (3.0.11)

が基本となる式で、この式からフーリエ変換 f(k)を定義したので、実はα = 0

を定数として

f(x) ∼ α

2π

∫ ∞

−∞f(k)eikxdk, (3.0.12)

f(k) ≡ 1

α

∫ ∞

−∞f(x)e−ikxdx (3.0.13)

と定義しても良い。ソフトウェアによっては対称な定義

f(x) ∼ 1√2π

∫ ∞

−∞f(k)eikxdk, (3.0.14)

f(k) ≡ 1√2π

∫ ∞

−∞f(x)e−ikxdx (3.0.15)

が使われている。また f(x)のフーリエ変換を f(k)でなく、F (k)と表記する

こともある。

フーリエ変換の引数には kを使っているが、特に理由はない。空間座標 x

の関数のフーリエ変換には kを使い、時間座標 tの関数のフーリエ変換には

3.1. フーリエ変換の大きさ、リーマン・ルベーグの補題再び 87

ωや f を使うことが多いようだが、これは波の物理や、時系列解析から来て

いると思われる2。

最後に、「フーリエ変換をする」、「フーリエ逆変換をする」ということを

記号 F を使って

F [f(x)](k) = f(k), (3.0.16)

F−1[f(k)](x) ∼ f(x) (3.0.17)

と書くことがある。

3.1 フーリエ変換の大きさ、リーマン・ルベーグの

補題再び

関数 f(x)が (−∞,∞)で絶対可積分とする。すると、任意の ϵに対して十

分大きな a > 0があって ∫ ∞

a

|f(x)|dx < ϵ

2, (3.1.1)∫ −a

−∞|f(x)|dx < ϵ

2, (3.1.2)

とできるはずである。いまそのような aをとって区間 [−a, a]における f(x)

のフーリエ係数を考えると、

cn =1

2a

∫ a

−af(x) exp

(− inπx

a

)dx (3.1.3)

となる。有限区間で絶対可積分なので２乗可積分で、よって有限区間の関数

についてのリーマン・ルベーグの補題が使えて limn→±∞ cn = 0である。こ

こで

k ≡ (n+ h)π

a, (0 < h < 1) (3.1.4)

のように kをとって以下の積分を考えると∫ a

−af(x)e−ikxdx−

∫ a

−af(x) exp

(− inπx

a

)dx

=

∫ a

−af(x)

(exp

(−ihπxa

)− 1

)exp

(−inπxa

)dx→ 0 as n→ ±∞

(3.1.5)

2電磁波など波のように振る舞う物理量を表現するときに、λ を波長、f を周波数としてk = 2π/λや ω = 2πf を使って ei(ωt−kx) などと書く教科書が多い (ように思う)。付随してそれらの量のフーリエ変換に ω や k が出てくる。

88 第 3章 フーリエ積分

n→ ±∞のとき k → ±∞でもあるから、

limk→±∞

∫ a

−af(x)e−ikxdx = 0, (3.1.6)

よって [a,∞)と (−∞, a]における積分結果を加えて

limk→±∞

∫ ∞

−∞f(x)e−ikxdx = 0, (3.1.7)

である。この結果もリーマン・ルベーグの補題と呼ばれる。また、このこと

とフーリエ変換の定義より、

limk→±∞

f(k) = 0, (3.1.8)

である。

3.2 フーリエ変換の有界性・連続性

定理 8. 絶対可積分な関数 f(x)のフーリエ変換は有界かつ連続。

証明.

f(k) ≤∣∣∣∣ 12π

∫ ∞

−∞f(x)e−ikxdx

∣∣∣∣ ≤ 1

2π

∫ ∞

−∞|f(x)|dx (3.2.1)

より有界。連続性は、

f(k + h)− f(k) =1

2π

∫ ∞

−∞f(x)e−ikx(e−ikh − 1)dx (3.2.2)

f(x)の絶対可積分性より、任意の ϵに対して十分大きな a > 0, b > 0があって∫ −a

−∞dx|f(x)| < ϵ, (3.2.3)∫ ∞

b

dx|f(x)| < ϵ, (3.2.4)

(3.2.5)

とできる。また、hを十分小さく取れば同じ ϵに対して

|e−ikh − 1| < ϵ

とできるので、

|f(k + h)− f(k)| < 1

2π(4π + b+ a)ϵ (3.2.6)

より f(k)は kの関数として連続である。

3.3. フーリエの積分定理 89

3.3 フーリエの積分定理 定理 9 (フーリエの積分定理). 関数 f(x)が、

1. 全区間 (−∞,∞)で区分的に滑らかで、かつ

2. 絶対積分可能であるとする。つまり、∫ ∞

−∞|f(x)|dx (3.3.1)

が収束するとするa。

このとき、

1

2(f(x+ 0) + f(x− 0)) =

∫ ∞

−∞f(k)eikxdk, (3.3.2)

f(k) ≡ 1

2π

∫ ∞

−∞f(x)e−ikxdx (3.3.3)

である。f(x)の連続点では f(k)のフーリエ逆変換は f(x)に一致する。

aより細かくは「広義絶対可積分」。積分範囲が無限大なので「広義」とつく。 まず、f(k)は連続関数なので有限区間なら積分可能である。そこでこの定

理の証明を考えるために以下のような有限区間の積分を考える。

Sλ(x) ≡∫ λ

−λf(k)eikxdk =

1

2π

∫ λ

−λdk

∫ ∞

−∞f(ξ)eik(x−ξ)dξ (3.3.4)

|f(ξ)eik(x−ξ)| ≤ |f(x)|で、f(x)は絶対可積分なので、ξに関する積分は一様収束し、その結果は kの連続関数となる。また、kについての積分は収束す

るので積分順序を交換できて3、

Sλ(x) =1

2π

∫ ∞

−∞f(ξ)dξ

∫ λ

−λdkeik(x−ξ)

=1

π

∫ ∞

−∞dξf(ξ)Dλ(x− ξ)

=1

π

∫ ∞

−∞dξf(x+ ξ)Dλ(ξ) (3.3.5)

ただし、Dλ(x)は

Dλ(x) =1

2

∫ λ

−λdkeikx =

1

2ix(eiλx − e−iλx) =

sinλx

x(3.3.6)

3積分の順序交換については、付録 B.3 節を参照のこと。

90 第 3章 フーリエ積分

で定義される偶関数であり、フーリエ級数の場合のディリクレ核に対応する。

たとえば、a < 0 < bとして

limλ→∞

1

π

∫ b

a

Dλ(x)dx = 1 (3.3.7)

が成り立つ。なぜなら∫ b

a

sinλx

xdx =

∫ λb

λa

sin ζ

ζdζ →

∫ ∞

−∞

sin ζ

ζdζ = π (3.3.8)

ディリクレ核はデルタ関数を周期的に拡張したもののように振る舞ったが、

Dλ(x)はデルタ関数のように振る舞うことが後でわかる。

あとは、

limλ→∞

Sλ(x) = limλ→∞

1

π

∫ ∞

−∞f(x+ ξ)Dλ(ξ)dξ =

1

2(f(x+ 0) + f(x− 0))

(3.3.9)

が成り立つことを示せばよい。まず関数 f(x)が x0で連続だとする。x0に対

して −a < x0 < aなる a > 0をとって積分区間を∫ ∞

−∞=

∫ ∞

a

+

∫ a

−a+

∫ −a

−∞(3.3.10)

のようにわける。∣∣∣∣∫ ∞

a

f(x0 + ξ)sinλξ

ξdξ

∣∣∣∣ < 1

a

∫ ∞

a

|f(ξ)|dξ (3.3.11)

f(x)は絶対可積分なので、a → ∞でこの積分の寄与はゼロになる。同様に[−a,−∞)における積分の寄与もゼロになる。[−a, a]における積分について、フーリエ級数のときのように以下を考える。

1

π

∫ a

−af(x0 + ξ)Dλ(ξ)dξ − f(x0)

=1

π

∫ a

−af(x0 + t)Dλ(t)dt− 1

π

∫ a

−af(x0)D

λ(t)dt

=

∫ a

−aF (t) sinλtdt (3.3.12)

ただし、

F (t) =f(x0 + t)− f(x0)

πt(3.3.13)

この F (t)は tの関数として t = 0以外で区分的に滑らか、t = 0で少なくと

も区分的に連続である。実際、f(x)は仮定から区分的に滑らかなので、

limt→+0

F (t) =1

πf ′(x0 + 0), (3.3.14)

limt→−0

F (t) =1

πf ′(x0 − 0), (3.3.15)

3.3. フーリエの積分定理 91

より F (t)は左右両極限が t → ±0で存在する。このことと、f(x)の絶対可

積分性より、F (t)も絶対可積分で、よってリーマン・ルベーグの補題 (再び)

より

1

π

∫ a

−af(x0 + ξ)Dλ(ξ)dξ − f(x0) =

∫ a

−aF (t) sinλtdt→ 0, as λ→ ∞

(3.3.16)

まとめると

limλ→∞

1

π

∫ ∞

−∞f(x0 + ξ)Dλ(ξ)dξ = f(x0) (3.3.17)

である。f(x)が x0 で連続でないときには、有限区間の問題と同じように

f(x) ≡ f(x)− h

2sgn(x− x0), (3.3.18)

h ≡ f(x0 + 0)− f(x0 − 0), (3.3.19)

と置いて、t = 0(つまり x = x0)でも連続な関数 f(x)を定義して今得られた

結果を適用してやれば良い。結果、

limλ→∞

1

π

∫ ∞

−∞f(x0 + ξ)Dλ(ξ)dξ =

1

2(f(x0 + 0) + f(x0 − 0)) (3.3.20)

を得る。

フーリエ級数のときと同様に連続かつ区分的に滑らかな関数のフーリエ逆

変換は一様収束する。したがって積分順序の交換や微分と積分の順序の交換

などが可能となる。

3.3.1 実数形式のフーリエ積分定理

ここまで複数形式のフーリエ級数展開からフーリエ変換の話を始めて、複

素形式でのフーリエの積分定理について述べたけれども、同じことを実数形

式のフーリエ級数展開から進めて書くこともできる。

定理 10. フーリエの積分定理 (実数形式) 関数 f(x)が、

1. 全区間 (−∞,∞)で区分的に滑らかで、かつ

2. 絶対積分可能であるとする。つまり、∫ ∞

−∞|f(x)|dx (3.3.21)

が収束するとする。

このとき、

1

2(f(x+ 0) + f(x− 0)) =

1

π

∫ ∞

0

dk

∫ ∞

−∞f(ξ) cos k(x− ξ)dξ (3.3.22)

が成り立つ。

92 第 3章 フーリエ積分

3.3.2 フーリエ余弦変換と正弦変換

f(x)が偶関数のときは

f(k) ≡ 1

2π

∫ ∞

−∞f(x)e−ikxdx =

1

π

∫ ∞

0

f(x) cos kxdx (3.3.23)

となる4。これをフーリエ余弦変換と呼ぶ。f(k)は偶関数になるので、

1

2(f(x+ 0) + f(x− 0)) =

∫ ∞

−∞f(k)eikxdk = 2

∫ ∞

0

f(k) cos kxdk,

(3.3.24)

が逆変換になる。

同様に f(x)が奇関数のときは

f(k) ≡ 1

2π

∫ ∞

−∞f(x)e−ikxdx =

1

πi

∫ ∞

0

f(x) sin kxdx (3.3.25)

となる。f(k)は奇関数になるので、

1

2(f(x+ 0) + f(x− 0)) =

∫ ∞

−∞f(k)eikxdk = 2i

∫ ∞

0

f(k) sin kxdk,

(3.3.26)

が逆変換になる。ただし、係数は自由に選べるので、通常は虚数単位 iを相

殺して、

f(k) ≡ 1

π

∫ ∞

0

f(x) sin kxdx, (3.3.27)

1

2(f(x+ 0) + f(x− 0)) = 2

∫ ∞

0

f(k) sin kxdk, (3.3.28)

と定義する。これらをそれぞれフーリエ正弦変換、フーリエ正弦逆変換と呼ぶ。

3.4 フーリエ変換の性質

3.4.1 フーリエ変換の線型性

ほとんど自明だが、α, β を定数として

F [αf(x) + βg(x)] = αF [f(x)] + βF [g(x)] (3.4.1)

4f(x) は (広義) 絶対可積分であるとしている。

3.4. フーリエ変換の性質 93

3.4.2 実数値関数、複素数値関数のフーリエ変換

f(x)が実数値関数のときは

f∗(k) =1

2π

∫ ∞

−∞f(x)eikxdx = f(−k) (3.4.2)

つまり f∗(−k) = f(k)である。これはよく使うので覚えておくこと。

複素数値関数のフーリエ変換については

F [f∗(x)](k) =1

2π

∫ ∞

−∞f∗(x)e−ikxdx

=

[1

2π

∫ ∞

−∞f(x)eikxdx

]∗= (f(−k))∗ = f∗(−k) (3.4.3)

である。

3.4.3 変数変換とフーリエ変換

αを定数とすると、

F [f(αx)] =1

|α|f

(k

α

)(3.4.4)

実際、

f(k) =

∫ ∞

−∞f(x)e−ikxdx (3.4.5)

のとき、 ∫ ∞

−∞f(αx)e−ikxdx = lim

a→−∞limb→∞

1

α

∫ b/α

a/α

f(ξ)e−ikξ/αdξ

=1

|α|f

(k

α

)(3.4.6)

3.4.4 平行移動

∫ ∞

−∞f(x+ α)e−ikxdx = eikα

∫ ∞

−∞f(ξ)e−ikξdξ

= eikαf(k) (3.4.7)

より

F [f(x+ α)] = eikαf(k) (3.4.8)

94 第 3章 フーリエ積分

最後に ∫ ∞

−∞eiαxf(x)e−ikxdx =

∫ ∞

−∞f(x)e−i(k−α)xdx

= f(k − α) (3.4.9)

つまり、

F [eiαxf(x)] = f(k − α) (3.4.10)

この種の性質は計算過程で当たり前のように使っていく。が、忘れても定

義式から自分で導出できる。

3.4.5 微分とフーリエ変換

f(x)と f ′(x)がともに絶対可積分なら

f(k) =1

2π

∫ ∞

−∞f(x)e−ikx (3.4.11)

のとき f ′(x)のフーリエ変換は

ikf(k) =1

2π

∫ ∞

−∞f ′(x)e−ikx (3.4.12)

である。証明には limx→±∞ f(x) = 0を使う。

この性質は微分方程式を考えるときに非常に有益である。

3.5 例題

例 20. a > 0として

f(x) = e−a|x| (3.5.1)

のフーリエ変換を求める。

f(k) =1

2π

∫ ∞

−∞dxe−a|x|−ikx =

1

2π

∫ ∞

0

dxe−(a+ik)x +1

2π

∫ 0

−∞dxe(a−ik)x

=−1

2π(a+ ik)e−(a+ik)x

∣∣∣∣∞0

+1

2π(a− ik)e(a−ik)x

∣∣∣∣0−∞

=a

π(k2 + a2)

(3.5.2)

1

π

γ

x2 + γ2(3.5.3)

3.5. 例題 95

の形の関数をコーシー分布、ローレンツ分布、またはブライト・ウィグナー

分布などと呼び、物理 (原子が放射性崩壊するときやバネが減衰するときな

ど)や確率論で出てくる関数である。

フーリエ逆変換は、

a

π

∫ ∞

−∞dk

eikx

k2 + a2=

1

2πi

∫ ∞

−∞dkeikx

(1

k − ia− 1

k + ia

)(3.5.4)

x > 0のとき、複素平面上半面に積分経路を足して複素積分をおこなう。こ

のとき k = iaの極が寄与し、

1

2πi

∫ ∞

−∞dkeikx

1

k − ia=

1

2πi(2πi)Resk=iae

ikx = e−ax (3.5.5)

x < 0のとき、複素平面下半面に積分経路を足して複素積分をおこなう。こ

のとき k = −iaの極が寄与し、

−1

2πi

∫ ∞

−∞dkeikx

1

k + ia=

−1

2πi(−2πi)Resk=iae

ikx = e−ax (3.5.6)

最後に x = 0のときはどちらの経路を足しても結果は同じで 1になる。以上

より、 ∫ ∞

−∞dkeikxf(k) = e−a|x| = f(x) (3.5.7)

問題 26. コーシー分布

f(x) =1

π

γ

x2 + γ2(3.5.8)

について xの平均を求めよ。つまり、∫ ∞

−∞xf(x)dx (3.5.9)

を計算せよ。

例 21. a > 0として

f(x) = e−ax2

(3.5.10)

のフーリエ変換を求める。

f(k) =1

2π

∫ ∞

−∞dxe−ax

2−ikx =1

2π

∫ ∞

−∞dx exp

(−a(x+

ik

2a

)2

− k2

4a

)=

=1

2√πae−

k2

4a (3.5.11)

ただし、 ∫ ∞

−∞dxe−ax

2

=

√π

a(3.5.12)

96 第 3章 フーリエ積分

を使っている。フーリエ逆変換は、

1

2√πa

∫ ∞

−∞dx exp

(−k

2

4a+ ikx

)=

1

2√πa

∫ ∞

−∞dx exp

(− 1

4a(k + 2iax)

2 − ax2)

= e−ax2

(3.5.13)

ガウス関数をフーリエ変換するとガウス関数になるという性質は覚えてい

て良い事柄である。

例 22. a > 0として

f(x) =

1/a, −a < x < a,

0, |x| > a(3.5.14)

のフーリエ変換を求める。

f(k) =1

2π

∫ a

−adx

1

ae−ikx =

1

2πa

1

−ik(e−ika − eika) =

sin ka

πka≡ 1

πsinc(ka)

(3.5.15)

最後の関数を “シンク”関数と呼んだりすることがある。

フーリエの積分定理より、

∫ ∞

−∞

1

π

sin ka

kaeikxdk =

1a , |x| < a,

12a , |x| = a,

0, |x| > a

(3.5.16)

を得る。ここで a = 1、x = 0と取るならば、覚えていて良い積分公式∫ ∞

−∞

sinx

xdx = π (3.5.17)

を得る。

例 23. f(x)を (−∞,∞)で定義された関数とする。以下の級数

g(x) ≡∞∑

n=−∞f(x+ 2πn) (3.5.18)

を考える (無限和は一様収束するとする)。すると、

g(x+ 2π) = g(x) (3.5.19)

であるから、g(x)は周期 2πの周期関数である。そこで g(x)をフーリエ級数

3.5. 例題 97

展開をすると、

1

2π

∫ π

−πdxe−inx

∞∑ℓ=−∞

f(x+ 2πℓ)

=1

2π

∫ π

−πdxe−inxf(x)

+1

2π

∫ π

−πdxe−inxf(x+ 2π) +

1

2π

∫ π

−πdxe−inxf(x− 2π)

+1

2π

∫ π

−πdxe−inxf(x+ 4π) +

1

2π

∫ π

−πdxe−inxf(x− 4π) + · · ·

=1

2π

∫ π

−πdxe−inxf(x)

+1

2π

∫ 3π

π

dte−in(t−2π)f(t) +1

2π

∫ −π

−3π

dte−in(t+2π)f(t)

+1

2π

∫ 5π

3π

dte−in(t−4π)f(t) +1

2π

∫ −3π

−5π

dte−in(t+4π)f(t) + · · ·

=1

2π

∫ π

−πdxe−inxf(x)

+1

2π

∫ 3π

π

dte−intf(t) +1

2π

∫ −π

−3π

dte−intf(t)

+1

2π

∫ 5π

3π

dte−intf(t) +1

2π

∫ −3π

−5π

dte−intf(t) + · · ·

=1

2π

∫ ∞

−∞dxe−inxf(x)

= f(n) (3.5.20)

よって∞∑

ℓ=−∞

f(x+ 2πℓ) =

∞∑ℓ=−∞

f(ℓ)eiℓx (3.5.21)

この式をポアソンの和公式と呼ぶ。

問題 27. 次の関数のフーリエ変換を求めよ。

1.

f(x) =

−1, −1 < x < 0,

1, 0 < x < 1,

0, |x| > 1

(3.5.22)

2.

f(x) =

x, |x| < 1,

0, |x| > 1(3.5.23)

98 第 3章 フーリエ積分

3.

f(x) =

|x|, |x| < 1,

0, |x| > 1(3.5.24)

4.

f(x) =

x2, |x| < 1,

0, |x| > 1(3.5.25)

5.

f(x) =

12 (x

2 − 1), |x| < 1,

0, |x| > 1(3.5.26)

問題 28. この節の問題 5のフーリエ逆変換の表式を微分することで、問題 2

のフーリエ変換を求めよ。問題 4の結果に ikを掛けても問題 2のフーリエ変

換が得られないのはなぜか？

3.6 畳み込み ２つの関数 f(x)と g(x)で定義される以下の積分

(f ∗ g)(x) ≡ 1

2π

∫ ∞

−∞f(x− y)g(y)dy (3.6.1)

を畳み込み (たたみこみ)積分とか、合成積、英語では convolution と

かいうa。aここの ∗ 記号はもちろん複素共役では無い。

定義から明らかに

(f ∗ g)(x) = (g ∗ f)(x) (3.6.2)

である。定義式の 1/(2π)は例によって趣味でつけている。ここでつけないと

次のフーリエ変換との関係についての公式に 2πがかかる。

有用な性質として以下の関係がある。 畳み込み積分のフーリエ変換は、f と gのフーリエ変換の積になる。

F [(f ∗ g)(x)] = f(k)g(k) (3.6.3) 積分が積になるという、いろんなことを簡単にしてくれる有用な公式である。

3.6. 畳み込み 99

これを確かめるには直接計算すればよくて、

F [(f ∗ g)(x)](k) = 1

2π

∫ ∞

−∞dxe−ikx

1

2π

∫ ∞

−∞dyf(x− y)g(y)

=1

2π

∫ ∞

−∞dyg(y)e−iky

1

2π

∫ ∞

−∞dxf(x− y)e−ik(x−y)

= f(k)g(k) (3.6.4)

逆変換は

F−1[f(k)g(k)](x) =

∫ ∞

−∞dkeikxf(k)g(k)

=

∫ ∞

−∞dkeikx

1

2π

∫ ∞

−∞f(y)e−ikydy

1

2π

∫ ∞

−∞g(z)e−ikzdz

=1

2π

∫ ∞

−∞dy

∫ ∞

−∞dzf(y)g(z)

1

2π

∫ ∞

−∞dkeik(x−y−z)

=1

2π

∫ ∞

−∞dy

∫ ∞

−∞dzf(y)g(z)δ(x− y − z)

=1

2π

∫ ∞

−∞dyf(x− y)g(y) = (f ∗ g)(x) (3.6.5)

となる。

例 24. ２つの関数の積 f(x)g(x)のフーリエ変換をそれぞれのフーリエ変換

f(k), g(k)で表す。

F [f(x)g(x)](k) =1

2π

∫ ∞

−∞f(x)g(x)e−ikxdx

=1

2π

∫ ∞

−∞dxe−ikx

∫ ∞

−∞f(ℓ)eiℓxdℓ

∫ ∞

−∞g(m)eimxdm

=

∫ ∞

−∞f(ℓ)dℓ

∫ ∞

−∞g(m)dmδ(ℓ+m− k)

=

∫ ∞

−∞f(k − ℓ)g(ℓ)dℓ = 2π(f ∗ g)(k) (3.6.6)

複素数値関数f(x)にこの結果を適用し、g(x) = f∗(x)とする。F [f∗(x)](k) =

f∗(−k)なので、

1

2π

∫ ∞

−∞|f(x)|2e−ikxdx =

∫ ∞

−∞f(k − ℓ)f∗(−ℓ)dℓ (3.6.7)

k = 0として改めて積分変数 ℓを kと置き直すと 1

2π

∫ ∞

−∞|f(x)|2dx =

∫ ∞

−∞|f(k)|2dk (3.6.8)

この式を (も)パーセヴァルの等式と呼ぶ。

100 第 3章 フーリエ積分

問題 29. λ0 > 0, ω0 ≫ λ0 として以下の微分方程式を考える。

x+ 2λ0x+ ω20x = 0, (3.6.9)

ただし、x = dx/dt、x = d2x/dt2 である。両辺に xをかけると、

d

dt

(1

2x2 +

ω20

2x2)

= −2λ0x2 < 0, (3.6.10)

したがって、速度に比例する項は単振動のエネルギーが摩擦などによって失わ

れていく効果を示していると考えられる。この方程式を解くために、x ∝ eγt

とおくと、

γ2 + 2λ0γ + ω20 = 0 (3.6.11)

あるいは、

γ = −λ0 ± i√ω20 − λ20 ≃ −λ0 ± iω0 (3.6.12)

したがって解は

x(t) = Ae−λ0 cosω0t+Be−λ0 sinω0t (3.6.13)

という減衰振動となる。次節で見る通り、λ0 = 0のとき x(t)のフーリエ変換

はデルタ関数になる。ここでは λ0 = 0として、以下の関数のフーリエ変換を

求めよ。

f(t) =

e−λ0t sinω0t, t > 0,

0 t < 0(3.6.14)

また、フーリエ変換 f(ω)の絶対値の２乗をとって ω の関数として、いくつ

かの λ, ω0 について図を描け。

例 25. 3.5節例題 22で述べたように、a > 0として

f(x) =

1/a, −a < x < a,

0, |x| > a, (3.6.15)

f(k) =sin ka

πka(3.6.16)

の関係がある。

これから

1

2π

∫ ∞

−∞dx|f(x)|2 =

1

π

∫ a

0

dx1

a2=

1

πa, (3.6.17)

よって ∫ ∞

−∞dx

(sin ax

ax

)2

=π

a(3.6.18)

3.7. デルタ関数再び 101

問題 30. 3.5節例題 20で述べたように、a > 0として以下の関係がある。

f(x) = e−a|x|, (3.6.19)

f(k) =a

π(k2 + a2)(3.6.20)

これから ∫ ∞

−∞

dx

(x2 + 1)2=π

2(3.6.21)

を示せ。

3.7 デルタ関数再び

連続な関数 f(x)を考える。フーリエの積分定理より

f(x) =

∫ ∞

−∞dkeikx

1

2π

∫ ∞

−∞dξf(ξ)e−ikξ

=

∫ ∞

−∞dξf(ξ)

1

2π

∫ ∞

−∞dkeik(x−ξ) (3.7.1)

よって

δ(x) =1

2π

∫ ∞

−∞dkeikx (3.7.2)

と考えられる。ただし

1

2π

∫ ∞

−∞dkeikx = lim

a→∞limb→∞

∫ b

−adkeikx = lim

a→∞limb→∞

1

2π

eibx − e−iax

ix

(3.7.3)

は確定値に収束しないので、あくまで積分の中でしか意味がない表現である。

それでも上のように考えると便利なことが多い。

また、b = aとした

δ(x) = lima→∞

sin ax

πx(3.7.4)

や、他の表現

δ(x) = limn→∞

√n

πe−nx

2

, (3.7.5)

δ(x) = limϵ→+0

1

π

ϵ

x2 + ϵ2, (3.7.6)

などもある。上記の表現における極限はすべて積分後に行う。

102 第 3章 フーリエ積分

デルタ関数のフーリエ変換は

δ(k) =1

2π

∫ ∞

−∞δ(x)e−ikxdx =

1

2π(3.7.7)

と、定数になる。定数だから広義積分不可能で、ここにもデルタ関数の特殊

性が現れている。勘違いしてはいけないが、δ(k)と k空間のデルタ関数 δ(k)

は違うものである。k-空間のデルタ関数は∫ ∞

−∞f(k)δ(k)dk = f(0), (3.7.8)

δ(k) = 0, (k = 0) (3.7.9)

を満たす超関数として定義されているものであって定数ではない。

フーリエ変換は偶関数的なので、指数関数の正負は問わない。

δ(x) =1

2π

∫ ∞

−∞dke−ikx (3.7.10)

時間の関数としてのデルタ関数のフーリエ変換の少し異なる表現として、

ω = 2πf と変数変換することで、

δ(t) =1

2π

∫ ∞

−∞dωeiωt =

∫ ∞

−∞dfe2πift (3.7.11)

という形も良く使われる。

３次元のデカルト座標 x = (x1, x2, x3)におけるデルタ関数は、

δ(x) =1

(2π)3

∫d3keik·x = δ(x1)δ(x2)δ(x3) (3.7.12)

となる5。一般の n次元への拡張は自明だろう。

３次元極座標 r = (r, θ, ϕ)におけるデルタ関数は、∫ ∞

0

r2dr

∫ ϕ

0

dθ sin θ

∫ 2ϕ

0

dϕδ(r, r0) = 1 (3.7.13)

と定義するならば6、

δ(r, r0) =1

r2 sin θδ(r − r0)δ(θ − θ0)δ(ϕ− ϕ0) (3.7.14)

あるいは、µ = cos θとして∫ ∞

0

r2dr

∫ 1

−1

dµ

∫ 2ϕ

0

dϕδ(r, r0) = 1 (3.7.15)

と定義するならば、

δ(r, r0) =1

r2δ(r − r0)δ(µ− µ0)δ(ϕ− ϕ0) (3.7.16)

5一次元と見間違えるようなら、δ(3)(x) や δ3(x) などと次元を明記することがある。6δ(r − r0) と表記することが多い。

3.7. デルタ関数再び 103

最後に ∫ ∞

0

dr

∫ π

0

dθ

∫ 2ϕ

0

dϕδ(r, r0) = 1 (3.7.17)

と定義するならば、

δ(r, r0) = δ(r − r0)δ(θ − θ0)δ(ϕ− ϕ0) (3.7.18)

となる。

3.7.1 超関数のフーリエ変換

必要な階数微分可能で、それらの微分が全て連続、無限遠で多項式と同程

度かそれより早く 0に近づく関数を良い関数と言う。超関数をこのような良

い関数に作用する “モノ”とすると、xn(n > 1)など絶対可積分でない関数も

フーリエ変換できる。

まず、3.6節で∫ ∞

−∞dkeikxf(k)g(k) =

1

2π

∫ ∞

−∞dyf(x− y)g(y) (3.7.19)

を示した。x = 0とすると、∫ ∞

−∞dkf(k)g(k) =

1

2π

∫ ∞

−∞dyf(−y)g(y) (3.7.20)

ここで

g(k) =1

2π

∫ ∞

−∞dxg(x)e−ikx ≡ F [g(x)](k), (3.7.21)

f(−y) =∫ ∞

−∞dkf(k)eik(−y) = 2πF [f(k)](y) (3.7.22)

よって ∫ ∞

−∞dkf(k)F [g(x)](k) =

∫ ∞

−∞dxF [f(k)](x)g(x) (3.7.23)

さて f(k)と f(x)がそれぞれ k、xの関数としてともに良い関数であり、左辺、

右辺ともに積分が可能であるとする。すると、g(x)のフーリエ変換F [g(x)](k)

が右辺によって定まる。

例えば、デルタ関数のフーリエ変換は、∫ ∞

−∞dkf(k)F [δ(x)](k) =

1

2π

∫ ∞

−∞dxf(−x)δ(x) = f(0) =

1

2π

∫ ∞

−∞dkf(k)e−ik0

(3.7.24)

104 第 3章 フーリエ積分

したがって、

F [δ(x)](k) =1

2π(3.7.25)

となり、直接に計算したものと同じになる。xnのフーリエ変換は、F [f(k)](x) =

f(−x)/(2π)に注意すると、∫ ∞

−∞dkf(k)F [xn](k) =

1

2π

∫ ∞

−∞dxf(−x)xn

=1

2π

∫ ∞

−∞dxxn

∫ ∞

−∞dkf(k)e−ikx

=1

2π

∫ ∞

−∞dkf(k)

∫ ∞

−∞dxxne−ikx

=1

(−i)n

∫ ∞

−∞dkf(k)

dn

dkn1

2π

∫ ∞

−∞dxe−ikx

= in∫ ∞

−∞dkf(k)

dnδ(k)

dkn(3.7.26)

したがって、

F [xn](k) = indnδ(k)

dkn(3.7.27)

3.7.2 階段関数のフーリエ変換

ヘヴィサイドの階段関数 Θ(x)のフーリエ変換を考える。aを実数として

F [Θ(x− a)](k) =

∫ ∞

−∞

dx

2πΘ(x− a)e−ikx (3.7.28)

右辺の積分が収束しないので通常の意味では計算できない。そこで ϵ > 0を

微少な定数として

F [Θ(x− a)](k) = limϵ→0+

∫ ∞

−∞

dx

2πΘ(x− a)e−ϵx−ikx

= limϵ→0+

∫ ∞

a

dx

2πe−ϵx−ikx

= limϵ→0+

e−ϵa−ika

2πi(k − iϵ)

=e−ika

2πi(k − iϵ)(3.7.29)

と考えよう。このときフーリエ逆変換∫ ∞

−∞dk

eik(x−a)

2πi(k − iϵ)(3.7.30)

3.7. デルタ関数再び 105

を考えると、極 k = iϵは複素 k面上半面に存在する。また x > aのとき複素

k面の上半面で積分路を閉じ、x < aのとき複素 k面の下半面で積分路を閉

じれば ∫ ∞

−∞dk

eik(x−a)

2πi(k − iϵ)= Θ(x− a) (3.7.31)

となって式 (3.7.29)が正しく階段関数Θ(x− a) のフーリエ変換を与えている

ことがわかる。

3.7.3 フーリエ変換の基底関数系の直交性、フーリエの積分定理とデルタ関数

唐突だが、x空間、k空間における内積を以下のように定義する7。

(u, v) ≡ 1

2π

∫ ∞

−∞u∗(x)v(x)dx, (3.7.32)

⟨u, v⟩ ≡ 1

2π

∫ ∞

−∞u∗(k)v(k)dk (3.7.33)

この内積の元で、関数の (非可算) 集合 e−ikx の直交性は、デルタ関数のフーリエ変換表示を使うと、

(e−ikx, e−ikx) =1

2π

∫ ∞

−∞eikxe−iℓxdx = δ(k − ℓ), (3.7.34)

⟨e−ikx, e−ikx⟩ = 1

2π

∫ ∞

−∞eikxe−ikydk = δ(x− y), (3.7.35)

などとなる。

フーリエ級数のときには kが可算無限個だったので右辺にクロネッカーの

デルタが出て来たが、kが連続変数になるとデルタ関数が出てくる。

また、連続関数 f(x)はそのフーリエ変換

f(k) =1

2π

∫ ∞

−∞dyf(y)e−iky (3.7.36)

によって

f(x) =

∫ ∞

−∞dkeikxf(k), (3.7.37)

7以下２つの記号 (·, ·)と ⟨·, ·⟩を定義しているけれども、容易にわかる通り、(u, v) = 2π⟨u, v⟩である。

106 第 3章 フーリエ積分

と書かれる（展開できる）というフーリエの積分定理は、∫ ∞

−∞dkeikxf(k)

=

∫ ∞

−∞dkeikx

1

2π

∫ ∞

−∞dyf(y)e−iky

=

∫ ∞

−∞dyf(y)

1

2π

∫ ∞

−∞dkeik(x−y)

=

∫ ∞

−∞dyf(y)δ(x− y) = f(x) (3.7.38)

と理解できる。

107

第4章 フーリエ変換の応用

4.1 微分方程式の解法

例 26. x ∈ (−∞,∞)、f(x)をフーリエ変換可能な関数、κ > 0として

− d2u(x)

dx2+ κ2u(x) = f(x), (4.1.1)

limx→±∞

u(x) = 0, limx→±∞

u′(x) = 0, (4.1.2)

を解く。

微分方程式の両辺をフーリエ逆変換する。

u(x) =

∫ ∞

−∞dku(k)eikx, (4.1.3)

f(x) =

∫ ∞

−∞dkf(k)eikx (4.1.4)

すると、 ∫ ∞

−∞dk(k2u(k) + κ2u(k)− f(k)

)eikx = 0, (4.1.5)

関数 eikxの直交性から各フーリエ係数 u(k), f(k)ごとに以下の式が成り立つ

はずである。

u(k) =f(k)

k2 + κ2, (4.1.6)

さて、合成積に関する定理より

F−1

[f(k)

k2 + κ2

](x) =

1

2π

∫ ∞

−∞dyf(x− y)F−1

[1

k2 + κ2

](y) (4.1.7)

であり、3.5節の例題 20より

F−1

[1

k2 + κ2

](x) =

π

κe−κ|x| (4.1.8)

である。よって、

u(x) =1

2κ

∫ ∞

−∞dyf(y)e−κ|x−y| (4.1.9)

108 第 4章 フーリエ変換の応用

なる解を得る。これは特解であるが、同時に x→ ±∞で u(x) → 0となるの

で、境界条件を満たすため、求める解である1。

(別解) 微分方程式の両辺をフーリエ変換する。まず２階微分項のフーリエ

変換は、

u(k) =1

2π

∫ ∞

−∞dxu(k)e−ikx, (4.1.10)

f(k) =1

2π

∫ ∞

−∞dxf(x)e−ikx (4.1.11)

1

2π

∫ ∞

−∞dxe−ikx

d2u(x)

dx2=

1

2π

[e−ikx

du(x)

dx

∣∣∣∣x=±∞

− (−ik)∫ ∞

−∞dxe−ikx

du(x)

dx

]

=1

2π

[ike−ikxu(x)

∣∣x=±∞ − ik

∫ ∞

−∞dx(−ik)e−ikxu(x)

]= −k2u(k) (4.1.12)

ただし途中で境界条件を使っている。よって

k2u(k) + κ2u(k) = f(k) (4.1.13)

あとは前の解法と同じである。違いは境界条件を最初から明示的に与えられ

るところにある。

例 27. 点電荷が作る電位が満たすポアソン方程式を考える。

∆ϕ(x) = −ρ(x)ϵ0

(4.1.14)

ここで電荷密度 ρを x0 にある電荷 eの点電荷によって表すと、

ρ(x) = eδ(x− x0) (4.1.15)

である。よって、

∆ϕ(x) = − e

ϵ0δ(x− x0) (4.1.16)

を解く。まず以下のようにフーリエ変換を定義しておく。

ϕ(k) =

∫d3x

(2π)3ϕ(x)e−ik·(x−x0), (4.1.17)

ポアソン方程式の左辺をフーリエ変換すると、∫d3x

(2π)3e−ik·x∆ϕ(x) =

∫dS

(2π)3e−ik·x∇ϕ(x)−

∫d3x

(2π)3e−ik·x(−ik) · ∇ϕ(x)

= −∫

dS

(2π)3(−ik)e−ik·xϕ(x) +

∫d3x

(2π)3(−ik)2e−ik·xϕ(x)

=

∫d3x

(2π)3e−ik·x(−k2ϕ(x)) = −k2ϕ(k) (4.1.18)

1特解が境界条件を満たさなかった場合は、斉次解を足して満たすようにする。それが不可能なら、そもそも問題に解がない。

4.1. 微分方程式の解法 109

ここで無限遠で ϕ(x) = 0,∇ϕ(x) = 0を仮定している。また、k = |k|である。ポアソン方程式の右辺のフーリエ変換は∫

d3x

(2π)3e−ik·x

(− e

ϵ0δ(x− x0)

)= − e

(2π)3ϵ0e−ik·x0 (4.1.19)

以上より、

−k2ϕ(k) = − e

(2π)3ϵ0e−ik·x0 (4.1.20)

を得る。r ≡ |x− x0|としてフーリエ逆変換すると、

ϕ(x) =e

(2π)3ϵ0

∫d3k

eik·(x−x0)

k2

=e

(2π)2ϵ0

∫ ∞

0

dk

∫ π

0

sin θdθeikr cos θ

=e

(2π)2ϵ0

∫ ∞

0

dkeikr − e−ikr

ikr

=e

2π2ϵ0r

∫ ∞

0

dξsin ξ

ξ

=e

4πϵ0r(4.1.21)

ただし、積分公式 ∫ ∞

0

dksin kr

kr=

π

2rsgn(r) (4.1.22)

と、r > 0を使っている。

例 28. 半無限区間 (−∞ < x < ∞, 0 ≤ y < ∞)における 2次元ラプラス方

程式を考える。

∂2u(x, y)

∂x2+∂2u(x, y)

∂y2= 0, (4.1.23)

u(x, 0) = f(x), (4.1.24)

limy→∞

u(x, y) = 0, (4.1.25)

境界条件を満たす特解は e−|k|y+ikx である。よって

u(x, y) =

∫ ∞

−∞dke−|k|yc(k)eikx (4.1.26)

とおいてみる。

u(x, 0) =

∫ ∞

−∞dkc(k)eikx = f(x) (4.1.27)

110 第 4章 フーリエ変換の応用

より

c(k) =1

2π

∫ ∞

−∞dxf(x)e−ikx = f(k) (4.1.28)

したがって形式解は、

u(x, y) =

∫ ∞

−∞dke−|k|yeikx

1

2π

∫ ∞

−∞dξf(ξ)e−ikξ (4.1.29)

積分順序を交換できるとすると、

u(x, y) =

∫ ∞

−∞dξV (x− ξ, y)f(ξ)

V (x, y) ≡ 1

π

y

x2 + y2(4.1.30)

この V (x, y)という関数には面白い性質があって、∫ ∞

−∞dxV (x, y) = 1, (4.1.31)

limy→0+

V (x, y) = δ(x) (4.1.32)

である2。このことから、

limy→0+

u(x, y) =

∫ ∞

−∞dξδ(x− ξ)f(ξ) = f(x) (4.1.33)

となって境界条件が満たされることがわかる。

例 29. 無限空間 (−∞ < x < ∞, t > 0)における 1次元拡散方程式の有界な

解を考える。

∂u

∂t= k

∂2u

∂x2, (4.1.34)

u(x, 0) = f(x) (4.1.35)

変数分離形 u = T (t)X(x)を仮定すると、

T ′(t) = −kλ2T (t), (4.1.36)

X ′′(x) = −λ2X(x) (4.1.37)

より、無限遠で有界な解は

u(x, t) =

∫ ∞

−∞dωc(ω)e−kω

2teiωx (4.1.38)

ここで c(ω)は

u(x, 0) =

∫ ∞

−∞dωc(ω)eiωx = f(x) (4.1.39)

2極限は例によって積分後にとると約束する。

4.1. 微分方程式の解法 111

から、

c(ω) =1

2π

∫ ∞

−∞dxf(x)e−iωx = f(k) (4.1.40)

によって求まる。すなわち、

u(x, t) =1

2π

∫ ∞

−∞dωe−kω

2teiωx∫ ∞

−∞dξf(ξ)e−iωξ (4.1.41)

が形式解である。ここで f(x)が絶対可積分であるとする。すると積分の順序

が交換できて、

u(x, t) =

∫ ∞

−∞dξf(ξ)

1

2π

∫ ∞

−∞dωe−kω

2teiω(x−ξ) (4.1.42)

２つ目の積分はガウス積分のフーリエ逆変換で、これは 3.5節の例題 21で計

算している。∫ ∞

−∞dωe−kω

2teiω(x−ξ) =

∫ ∞

−∞dωe−kt(ω−

i(x−ξ)2kt )

2

e−(x−ξ)2

4kt

=

√π

kte−

(x−ξ)2

4kt ≡ 2πW (x− ξ, t) (4.1.43)

2πは積分すると１になるように、また以下に示すように t→ 0+でデルタ関

数になるようにつけた3。 ∫ ∞

−∞W (x, t)dx = 1, (4.1.44)

limt→0+

W (x, t) = δ(x) (4.1.45)

以上より、

u(x, t) =

∫ ∞

−∞dξf(ξ)W (x− ξ, t) (4.1.46)

を得る。この解はW (x, t)の性質から

limt→0+

u(x, t) = f(x) (4.1.47)

となって確かに初期条件を満たす。

最後に η ≡ (ξ − x)/√4ktとおいて変数変換すると、

u(x, t) =1√π

∫ ∞

−∞dηf(x+

√4ktη)e−η

2

(4.1.48)

を得る。

問題 31. 例題 29において初期に f(x) = T0δ(x)であるときに温度変化を求

めて図示せよ。3あくまで積分後に極限をとる。

112 第 4章 フーリエ変換の応用

例 30. 半無限区間 (0 < x <∞, t > 0)における 1次元拡散方程式の有界な解

を考える。境界 x = 0では温度一定であるとする。このとき形式解を求める。

∂u

∂t= k

∂2u

∂x2, (4.1.49)

u(x, 0) = f(x), (4.1.50)

u(0, t) = T0, (4.1.51)

変数分離して、

u(x, t) = T0 +

∫ ∞

−∞dωc(ω)e−kω

2t sinωx (4.1.52)

を得る。c(ω)は、

c(ω) =1

π

∫ ∞

0

dξ sinωξ(f(ξ)− T0) (4.1.53)

より求まって、

u(x, t) = T0 +1

π

∫ ∞

0

dξ(f(ξ)− T0)

∫ ∞

−∞dωe−kω

2t sinωξ sinωx

= T0 +1

2π

∫ ∞

0

dξ(f(ξ)− T0)

∫ ∞

−∞dωe−kω

2t (cosω(x− ξ)− cosω(x+ ξ))

= T0 +

∫ ∞

0

dξ(f(ξ)− T0) (W (x− ξ, t)−W (x+ ξ, t)) (4.1.54)

ただし、W (x, t)は例題 29で計算したガウス関数のフーリエ変換である。

W (x, t) =

√1

4πkte−

x2

4kt (4.1.55)

ここで例えば f(x) = T0e−x/L とすると、

u(x, t)

T0= 1 +

√1

4πkt

∫ ∞

0

dξ(e−ξ/L − 1)

(e−

(x−ξ)2

4kt − e−(x+ξ)2

4kt

)= 1 +

1√πτ

∫ ∞

0

dζ(e−ζ − 1)

(e−

(χ−ζ)2

τ − e−(χ+ζ)2

τ

)(4.1.56)

ただし、ζ = ξ/L、χ = x/L、τ = 4kt/L2 としている。積分は誤差関数

Erf(x) =2√π

∫ x

0

e−t2

dt (4.1.57)

を使って表すことができる。たとえば、

1√πτ

∫ ∞

0

dζe−ζe−(χ−ζ)2

τ =1√πτ

∫ ∞

0

dζ exp

(−1

τ(ζ2 − 2χζ + χ2 + τζ)

)=

1√πτ

∫ ∞

0

dζ exp

(−1

τ

(ζ2 − 2

(χ− τ

2

)ζ + χ2

))=

1√πτ

∫ ∞

0

dζ exp

(−1

τ

((ζ −

(χ− τ

2

))2+ χ2 −

(χ− τ

2

)2))= e−χ+

τ4

1√πτ

∫ ∞

0

dζ exp

(−1

τ

(ζ −

(χ− τ

2

))2)

4.1. 微分方程式の解法 113

η ≡ (ζ − (χ− τ/2))/√τ とおくと、

= e−χ+τ4

1√π

∫ ∞

−(χ−τ/2)/√τ

dηe−η2

= e−χ+τ4

(1

2+

1√π

∫ 0

−(χ−τ/2)/√τ

dηe−η2

)

=1

2e−χ+

τ4

(1 +

2√π

∫ (χ−τ/2)/√τ

0

dηe−η2

)

=1

2e−χ+

τ4

(1 + Erf

(2χ− τ

2√τ

))(4.1.58)

などとなる。まとめると4、

u(x, t)

T0= 1 + e

τ4 sinhx− Erf

(χ√τ

)− 1

2e

τ4−χErf

(−2χ+ τ

2√τ

)+

1

2e

τ4+χErf

(2χ+ τ

2√τ

)(4.1.59)

Erf(0) = 0に注意すると、

u(0, t)

T0= 1 (4.1.60)

Erf(∞) = 1に注意すると、

limτ→0+

u(x, t)

T0= e−χ (4.1.61)

また、変数変換した

4∂u

∂τ=∂2u

∂χ2, (4.1.62)

(4.1.63)

の解であることは代入すればわかる。

例 31. 無限区間における１次元の波動方程式を考える。

1

c2∂2u(x, t)

∂t2=∂2u(x, t)

∂x2, (4.1.64)

u(x, 0) = f(x),∂u(x, 0)

∂t= g(x) (4.1.65)

を解いて解を求める。

eik(x−ct), eik(x+ct) (4.1.66)

は波動方程式の解であるから、

u(x, t) =

∫ ∞

−∞dk(c(k)eik(x−ct) + d(k)eik(x+ct)) (4.1.67)

4以下、誤差関数が奇関数であること (Erf(−x) = −Erf(x)) を使っている。

114 第 4章 フーリエ変換の応用

2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

図 4.1: 指数関数的な初期温度分布が拡散方程式にしたがって時間変化していく

様子。u(x, t)/T0を図示している。振幅が小さい方から 4kt/L2 = 1/4, 1, 4, 16

を示す。

と置いて係数 c(k), d(k)を決めることを考える。

u(x, 0) =

∫ ∞

−∞dk(c(k) + d(k))eikx = f(x), (4.1.68)

∂u(x, 0)

∂t=

∫ ∞

−∞dkik(−c(k) + d(k))eikx = g(x) (4.1.69)

よって

c(k) + d(k) =1

2π

∫ ∞

−∞dxf(x)e−ikx, (4.1.70)

ik(−c(k) + d(k)) =1

2π

∫ ∞

−∞dxg(x)e−ikx (4.1.71)

あるいは、

c(k) =1

4π

∫ ∞

−∞dxf(x)e−ikx − 1

4πik

∫ ∞

−∞dxg(x)e−ikx

=1

2f(k)− 1

2ikg(k), (4.1.72)

d(k) =1

4π

∫ ∞

−∞dxf(x)e−ikx +

1

4πik

∫ ∞

−∞dxg(x)e−ikx

=1

2f(k) +

1

2ikg(k), (4.1.73)

よって

u(x, t) =1

2

∫ ∞

−∞dkf(k)(eik(x−ct) + eik(x+ct))

+1

2

∫ ∞

−∞dkg(k)

ik(−eik(x−ct) + eik(x+ct)) (4.1.74)

4.2. 分散関係 115

右辺第２項は ∫ t

0

dt∂

∂t

1

2

∫ ∞

−∞dkg(k)

ik(−eik(x−ct) + eik(x+ct))

=1

2

∫ t

0

dt

∫ ∞

−∞dkg(k)(eik(x−ct) + eik(x+ct))

=1

2

∫ t

0

dt(g(x− ct) + g(x+ ct))

= − 1

2c

∫ x−ct

x

dξg(ξ) +1

2c

∫ x+ct

x

dξg(ξ)

=1

2c

∫ x+ct

x−ctdξg(ξ) (4.1.75)

まとめると、

u(x, t) =1

2(f(x− ct) + f(x+ ct)) +

1

2c

∫ x+ct

x−ctdξg(ξ) (4.1.76)

という、2.1.2節の式 (2.1.44)でも紹介したストークスの式を得る。

4.2 分散関係

例 32. 星と星の間にはガスが漂っていて、ガスの密度にはムラがある。ガス

が多く集まっているところはガス雲と呼ばれ、光り輝くとき星雲として観測

される。星雲の中でとくに密度が濃いところはガス自身の重力作用によって

収縮していき、やがて星が生まれる。どれくらいのスケールの天体が生まれ

るかを考えるために、簡単なモデルを考えよう。

圧力 P (x, t)、密度 ρ(x, t)、速度 v(x, t)を持つ自己重力ガス雲を考える。

∂v

∂t+ (v · ∇)v = −1

ρ∇P −∇Φ, (4.2.1)

∂ρ

∂t+∇(ρv) = 0 (4.2.2)

Φは重力ポテンシャルで、ポアソン方程式

∆Φ = 4πGρ (4.2.3)

で決まる。さて、このガス雲が最初静止した平衡状態にあるとする。平衡状

態における物理量を添え字 0をつけて考える。

∇P0 = −ρ0∇Φ0, (4.2.4)

∆Φ0 = 4πGρ0 (4.2.5)

116 第 4章 フーリエ変換の応用

自然界には完全な平衡状態というのはないから、少しずれがあると考える。

ρ = ρ0 + ϵρ1, (4.2.6)

v = ϵv1, (4.2.7)

P = P0 + ϵP1, (4.2.8)

Φ = Φ0 + ϵΦ1, (4.2.9)

ϵは小ささを表す 0 < ϵ ≪ 1というパラメータである。摂動量が満たすべき

方程式は、

∂v1

∂t= − 1

ρ0∇P1 +

ρ1ρ20

∇P0 −∇Φ1, (4.2.10)

∂ρ1∂t

+∇(ρ0v1) = 0, (4.2.11)

∆Φ1 = 4πGρ1 (4.2.12)

ここでズルをして、ガス雲は平衡状態では一様であるとしてしまう。すると

∇P0 = 05。

さて摂動量のしたがう方程式は線形方程式だから、その解には重ね合わせ

の法則が成り立つはずである。フーリエ変換の考え方を使うと、実際実現す

る解は、expi(ωt−kx)という波の重ね合わせで表現できるはずである。なので、摂動量がすべて expi(ωt− kx)にしたがって変動すると仮定しよう。

iωv1 =ikP1

ρ0+ ikΦ1, (4.2.13)

iωρ1 − iρ0k · v1 = 0, (4.2.14)

− k2Φ1 = 4πGρ1 (4.2.15)

第１式に kをかけて第２、３式を使い、さらに波の速度 c2s が

c2s = P1/ρ1 (4.2.16)

で決まるとすると6

ω2 = c2sk2 − 4πGρ0 (4.2.18)

このような ω(周波数)と k(波数)の関係式を波の分散関係式と呼ぶ。重力を

無視できるとき、ガス雲の密度ムラは ω = cskという簡単な分散関係にした5これがズルであるのは、仮に∇P0 = 0とすると、∇Φ0 = 0となってしまい、よって ρ = 0

となるからである。にもかかわらず以下の議論や式は大雑把にはうまく現象を表していると考えられている。

6音速 (sound velocity) は

c2s =

(∂P

∂ρ

)s

(4.2.17)

でエントロピー s を一定にしたときの密度変化に対する圧力変化で定義される。ここでは大雑把に c2s = P1/ρ1 としておく。

4.2. 分散関係 117

がって波として伝搬するが、これは音波だと考えられる。重力が強いとき、

ω2 < 0となる。ω2 = −κ2 とすると、密度の摂動には

ρ ∝ eκt (4.2.19)

で成長するモードが存在し、これが重力によるガス雲の自己収縮をあらわす

と考えられる。このような不安定現象がおこる特徴的な波長 λは ω2 < 0を

代入して

λ > λJ ≡ cs√4πGρ0

(4.2.20)

である。つまり、λJ よりも大きいスケールの密度ムラは重力によって自己収

縮を始める。

さて、唐突だが球対称な密度 ρ0の一様ガス球の中を自由落下していく状況

を考える。

d2r

dt2= −4πGρ0

3r (4.2.21)

この式は簡単に解けて、その特徴的な時間、つまり落下するのにかかる時間は

tff =

√3

4πGρ0(4.2.22)

であるとわかるはずである。この時間を自由落下時間 (free-fall time)と呼ぶ。

すると、

λJ ≃ cstff (4.2.23)

となる。音波は密度ムラを均してしまう。したがって、ガス雲が重力によっ

て自由落下して収縮するのにかかる時間の間に、音波によって密度ムラが均

されなければ、ガス雲は収縮できるということである。

最後に具体的な数字をみておく。星が生まれるようなガス雲の密度を n ≃103cm−3、音速を 200m/sとする。宇宙に存在するのはほとんど水素だから、

全て水素だとしてしまうと ρ ≃ 1.67× 10−21gcm−3。すると、

tff ≃ 1.5× 106年, (4.2.24)

λJ ≃ 0.3pc (4.2.25)

(パーセク (pc)は距離の単位で、光の速さで進んで 3.26年かかる距離。) 重

力崩壊する球に含まれる質量は、

MJ ≡ 4π

3ρ0λ

3J ≃ 3(太陽質量) (4.2.26)

となって、太陽ぐらいの重さの星ができると期待される。

118 第 4章 フーリエ変換の応用

例 33. 地球の大気上層 60km-800kmには電離圏 (ionosphere)と呼ばれる層

があり、大気が一部イオン化している。電離層は、ある周波数よりも低い周

波数の電磁波は通り抜けられない。地上から上空に出した電磁波は反射され、

地上に戻ってくるため、ある種の電磁波は地球上の遠方まで届くことができ

る。この現象を以下のようなモデルによって考えてみよう。

マクスウェル方程式は

divE = 4πρ, divB = 0, (4.2.27)

rotE = −1

c

∂B

∂t, rotB =

1

c

∂E

∂t+

4π

cj, (4.2.28)

全ての量が expi(ωt− k · x)のように変化すると考える。すると、

− ik ·E = 4πρ, −ik ·B = 0, (4.2.29)

− ik ×E = − iωcB, −ik ×B =

iω

cE +

4π

cj, (4.2.30)

陽子は電子の 2000倍ほどの重さがあるので、電子の方がずっと運動しやす

い。プラズマ雲内の電子 (電荷 −e < 0)の運動は、

mdv

dt= −eE (4.2.31)

これより、

v = − eE

imω(4.2.32)

虚数があるということは、単振動する電磁波の電磁場Eに対して電子の単振

動運動の位相が eiπ/2 = iだけずれると考えられる。たとえば E ∝ cosωtで

あれば、v ∝ sinωtと振動することになって、エネルギーの時間変化

d

dt

(1

2mv2

)= −eE · v ∝ cosωt sinωt (4.2.33)

の時間平均はゼロになる。つまり時間平均すると入ってきた電磁波によって

電子はエネルギーを得ないし、入射電磁波はエネルギーを失わない。

入射電磁波がエネルギーを失う効果を考えるには、運動電荷の電磁放射を

考える必要がある。この効果を大雑把7に見てみよう。まず電荷の運動速度が

光速 cより十分小さければ

Erad =

[−eRc2

n× (n× v)

](4.2.34)

ただし、v = dv/dtは電荷の加速度、R = Rnは電荷から観測者のへの相対

位置ベクトル、角括弧 [·]内の物理量は遅延時間で測定する。入射する E に

7以下の議論は電子やイオンの相互作用や乱雑な運動はもちろん、遅延時間や、電子の寄与を足し合わせるとどうなるかなどの議論をしていない。

4.2. 分散関係 119

よってエネルギーを供給された電荷は放射 Erad をおこなってエネルギーを

失う。

一方、電離層での全電磁波はEtotal = E+∑全電子E各電子rad となる。一つの電

荷からの電磁波の寄与を考える。運動方程式から、v ∝ −eEであるから、観測者が電荷の運動と直交する方向にいたとするとErad ∝ e2n× (n×E) ∝ −E

となって元の入射電場と逆位相になることがわかる。つまり、入射電場は電

荷による放射によって弱まると考えられる。これが以下で見る、ある周波数

以下の電磁波が電離層に進入できなくなる現象の微視的な理由である。ま

た、たとえば z 軸正方向に進行する電磁波が電離層に進入しようとすると、

Etotal ∝ (E +E全電子) cos(k(z − ct))となって電磁波は弱まるが、反射波は、

Etotal ∝ E全電子 cos(k(z + ct))となって、入射電磁波に比べて位相が πだけ

ずれて出てくることに注意しよう。

さて電子の個数密度を nとすると、電流は

j = −nev =ne2

imωE (4.2.35)

最後に電荷保存則

∂ρ

∂t+ divj = 0 (4.2.36)

あるいは、

iωρ− ik · j = 0 (4.2.37)

より

ρ =k · jω

= − ne2

mω2ik ·E (4.2.38)

を得る。

ここで電離層の効果を誘電率 ϵに押し込めて、見かけ上あたかも真空中で

あるかのようにマクスウェル方程式を書き直すことができる。すなわち

ϵ = 1− 4πne2

mω2(4.2.39)

のように定義してやれば、

− ik · ϵE = 0, −ik ·B = 0, (4.2.40)

− ik ×E = − iωcB, −ik ×B =

iω

cϵE, (4.2.41)

と書き直せる。左下の方程式に −kを外積としてかけると

k × (k ×E) = −ω2

c2ϵE, (4.2.42)

120 第 4章 フーリエ変換の応用

左辺は

[k × (k ×E)]i = ϵijkkjϵklmk

lEm = ki(k ·E)− k2Ei = −k2Ei (4.2.43)

よって電子によって影響を受けた電磁波の分散関係

c2k2 = ϵω2 = ω2 − ω2p, (4.2.44)

ω2p =

4πne2

m(4.2.45)

を得る。この式からただちにω < ωpであるような低周波の電磁波は k2 < 0と

なって、電離層に進入できないことがわかる8。ωp(または fp ≡ ωp/(2π))をプ

ラズマ周波数とよぶ。電離層のF 層でn ∼ 106cm−3程度なので、ωp ∼ 60MHz

ほどである。

問題 32. 例題 33で、プラズマ中では位相速度が

vph =ω

k=

c√1− ω2

p/ω2

(4.2.46)

となることがわかった。したがって位相速度は光速 cを超える。これは特殊

相対性理論に反しないのだろうか？また、群速度、先端速度について調べよ9

8k2 = −κ2 < 0 とすると、E ∝ e±κx。上述の議論より電磁波は減衰すると考えられるので、負号をとる。

9群速度も場合によっては光速を超えるが、それでも情報伝達速度は光速を超えないという特殊相対論には反しない。

121

第5章 グリーン関数

初期値問題や境界値問題は、大雑把に言って原因や制約条件がわかってい

るときに、その帰結を知るという問題だと言うことができる。グリーン関数

による微分方程式の解法はこれを数学的に直接的に表現できる。

グリーン関数の一般論は大変なので、ここではフーリエ変換を使ってグリー

ン関数を求める話をする。その前にまず準備から。

5.1 グリーンの定理

Aij , Bi, C を n次元空間 x ≡ xii=ni=1 の関数として1、以下の微分式を考

える。

O[u] =

n∑i=1

n∑j=1

Aij∂2u

∂xixj+

n∑i=1

Bi∂u

∂xi+ Cu (5.1.1)

またこの Oに対して P を、

P [v] =

n∑i=1

n∑j=1

∂2(Aijv)

∂xixj−

n∑i=1

∂(Biu)

∂xi+ Cv (5.1.2)

と定義する2。すると、任意の 2階微分可能な関数 u, vに対して、

vO[u]− uP [v]

=

n∑i=1

n∑j=1

vAij∂2u

∂xixj+

n∑i=1

vBi∂u

∂xi−

n∑i=1

n∑j=1

u∂2(Aijv)

∂xixj+

n∑i=1

u∂(Biv)

∂xi

=

n∑i=1

∂

∂xi

n∑j=1

Aij

(v∂u

∂xj− u

∂v

∂xj

)− ∂Aij

∂xjuv

+Biuv

(5.1.3)

1ここでの座標 x のうち一つは時間座標でも構わない。つまり、x = (x1, x2, · · · , xn−1, ct)でも構わない。光速 c は次元を合わせるために (趣味で) 入れている。

2内積 (·, ·)が定義された空間でその元に作用する演算子Rを考える。この内積空間の元 uにRが作用してできるR[u]はまたもとの内積空間の元であるとする。この空間の任意の元 u, v に対して (v,Ru) = (Rv, u)が成り立つ時 Rを内積 (·, ·)に関するRの随伴演算子 (もしくは共役演算子、adjoint operator)という。内積を

∫V uvdnxと定義するとき、本文すぐあとで定義する

Qの表面積分がゼロであるなら、P は O の随伴演算子となっている。また、(v,Ou) = (Ov, u)であるとき、O は自己随伴 (self-adjoint)であるという。このことからわかる通り、２つの演算子が互いに随伴かどうかは境界条件に依存することがある。量子力学で観測量に対応する演算子として重要なエルミート演算子はある種の自己随伴演算子である。

122 第 5章 グリーン関数

n次元空間の体積 V で積分すると、ガウスの定理3より ∫V

dnx(vO[u]− uP [v]) =

∫∂V

dS ·Q, (5.1.4)

Qi =

n∑j=1

Aij

(v∂u

∂xj− u

∂v

∂xj

)− ∂Aij

∂xjuv

+Biuv (5.1.5)

と求まる。この式はグリーンの定理と呼ばれる。この式は本質的にグリーン

の第２公式 (2.1.55)と同じものである。

例 34. 1. ３次元のラプラス方程式

∆u =

3∑i=1

3∑j=1

δij∂2u

∂xixj= 0, (5.1.6)

は、n = 3, Aij = δij , Bi = 0, C = 0。

2. ３次元のヘルムホルツ方程式

∆u+ k2u = 0, (5.1.7)

は、n = 3, Aij = δij , Bi = 0, C = k2。

3. ３次元の波動方程式

u =

3∑i=1

3∑j=1

δij∂2u

∂xixj− 1

c2∂2u

∂t2= 0, (5.1.8)

は、n = 4, Bi = 0, C = 0、

Aij =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 −1

(5.1.9)

4. ３次元の熱伝導方程式（拡散方程式）

∆u− k∂u

∂t= 0, (5.1.10)

は、n = 4, C = 0、

Aij =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

(5.1.11)

B = (0, 0, 0,−ck) (5.1.12)3ガウスの定理は３次元で習うことが多いだろうけど、n 次元でも成り立つ。

5.2. ポアソン方程式 123

5.2 ポアソン方程式

αを定数、ρ(x)を既知の関数として、領域Dにおけるポアソン方程式の境

界値問題を考える。

∆u(x) = −αρ(x), x ∈ D (5.2.1)

A(x)u(x) +B(x)n · ∇u(x) = C(x), x ∈ ∂D (5.2.2)

C(x) = 0のときの境界条件を同次 (斉次)境界条件、C(x) = 0のときの境界

条件を非同次 (非斉次)境界条件と呼ぶ。ラプラス方程式、もしくはポアソン

方程式のグリーン関数とは、任意の ξに対して同次境界条件と以下の微分方

程式を満たす関数をいう。

∆xG(x, ξ) = −δ(x− ξ), x ∈ D (5.2.3)

A(x)G(x, ξ) +B(x)n · ∇xG(x, ξ) = 0, x ∈ ∂D (5.2.4)

ただし、∆x,∇xは xに関するラプラシアン、ナブラである。グリーン関数は

xと ξの両方に依存するので、しばらく明示しておく。

さて O[u] = ∆u、u(x) = G(x, ξ)、v(x) = G(x, ζ)とするとグリーンの定

理より ∫∂D

dSx · (G(x, ξ)∇xG(x, ζ)−G(x, ζ)∇xG(x, ξ))

=

∫D

dnx(G(x, ξ)∆xG(x, ζ)−G(x, ζ)∆xG(x, ξ))

= −G(ζ, ξ) +G(ξ, ζ) (5.2.5)

同次境界条件の元で左辺はゼロになる。実際、∂D上A(x) = 0である領域で

n · ∇xG(x, ξ) = 0, n · ∇xG(x, ζ) = 0より

G(x, ξ)n · ∇xG(x, ζ)−G(x, ζ)n · ∇xG(x, ξ) = 0, (5.2.6)

∂D上 A(x) = 0である領域で

G(x, ξ) = −B(x)

A(x)n · ∇xG(x, ξ), (5.2.7)

G(x, ζ) = −B(x)

A(x)n · ∇xG(x, ζ) (5.2.8)

より

n · ∇xG(x, ζ)−G(x, ζ)n · ∇xG(x, ξ)

=B(x)

A(x)(−(∇xG(x, ξ))(∇xG(x, ζ)) + (∇xG(x, ζ))(∇xG(x, ξ))) = 0,

(5.2.9)

124 第 5章 グリーン関数

以上より

G(ζ, ξ) = G(ξ, ζ) (5.2.10)

つまり、（ラプラシアンの）グリーン関数は１番目と２番目の引数について対

称である。この性質を（ラプラシアンの）グリーン関数の相反性と呼ぶ。

また u はポアソン方程式を満たし、v(x) = G(ξ,x) をラプラシアンのグ

リーン関数とすると、グリーンの定理とグリーン関数より、∫∂D

dSx · (G(ξ,x)∇xu(x)− u(x)∇xG(ξ,x))

=

∫D

dnx(G(ξ,x)∆xu(x)− u(x)∆xG(ξ,x))

= −∫D

dnxG(ξ,x)αρ(x) + u(ξ) (5.2.11)

あるいは、

u(x) = α

∫D

dnξG(x, ξ)ρ(ξ)

+

∫∂D

dSξ (G(x, ξ)n · ∇u(ξ)− u(ξ)n · ∇G(x, ξ)) (5.2.12)

ここで ∂D上 B(x) = 0の領域 ∂DD では G(x, ξ) = 0で表面項は

−∫∂DD

dSξu(ξ)n · ∇G(x, ξ) = −∫∂DD

dSξC(ξ)

A(ξ)n · ∇G(x, ξ) (5.2.13)

となって境界における u(x)の値によって決まる。また ∂D上B(x) = 0の領

域 ∂DM では表面項は∫∂DM

dSξG(x, ξ)

(n · ∇u(ξ) + u(ξ)

A(ξ)

B(ξ)

)=

∫∂DM

dSξG(x, ξ)C(ξ)

B(ξ)(5.2.14)

とくに A(x) = 0のときには境界における n · ∇u(x)の値によって決まる。以上からわかるとおり、同次境界条件の元でのラプラシアンのグリーン関

数がわかると、非斉次境界条件 (ディリクレ、ノイマン、混合)、非斉次方程

式の解が式 (5.2.12) によって与えられる。

無限遠でゼロになるべしという境界条件の元での３次元ラプラシアンのグ

リーン関数は 4.1節の例題 27でフーリエ変換を使ってすでに求めている。す

なわち、

G(x, ξ) =1

4π|x− ξ|(5.2.15)

で、確かに相反性や境界条件を満たしている。

5.2. ポアソン方程式 125

微分方程式を満たすものの、境界条件については問わない場合の

∆G0(x, ξ) = −δ(x− ξ), (5.2.16)

の解を基本的なグリーン関数とか主要解などと呼ぶ。主要解が求まると、斉

次方程式と相反性を満たす解 g(x, ξ)を足して境界条件を満たすグリーン関数

を構成できることがある。

∆g(x, ξ) = 0, (5.2.17)

G(x, ξ) = G0(x, ξ) + g(x, ξ) (5.2.18)

例 35. 2次元ラプラシアンの主要解を求める。(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)G(x,x0) = −δ(x− x0)δ(y − y0) (5.2.19)

原点を x0 にとった極座標 ρ, ϕを考える。境界を考えなくて良いので特別

な方向というのはないから、G(x,x0) = G(ρ)であると考えられる。

1

ρ

d

dρ

(ρdG(ρ)

dρ

)= −1

ρδ(ρ)δ(ϕ) (5.2.20)

両辺積分すると、 ∫ ρ

0

∫ 2π

0

dρdϕd

dρ

(ρdG(ρ)

dρ

)= −1 (5.2.21)

より、

dG(ρ)

dρ= − 1

2πρ(5.2.22)

積分すると、

G(x,x0) = − 1

2πln ρ (5.2.23)

右辺の関数は実際 ρ = 0(つまり少なくとも x = x0 もしくは y = y0)とき(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)ln ρ = 0 (5.2.24)

であることを確かめられる。また、ln ρ は x = x0 かつ y = y0 のとき発散

する。

例 36. 1次元ラプラシアンの主要解を求める。

d2

dx2G(x, x0) = −δ(x− x0) (5.2.25)

a < x0 < bなる a, bで積分すると、

d

dxG(b, x0)−

d

dxG(a, x0) = −1 (5.2.26)

126 第 5章 グリーン関数

さらに積分すると、

G(b, x0)−G(a, x0) = −b+ a (5.2.27)

よって接続条件

limx→x0−

dG(x, x0)

dx− limx→x0+

dG(x, x0)

dx= 1, (5.2.28)

limx→x0−

G(x, x0) = limx→x0+

G(x, x0) (5.2.29)

を得る。

また x = x0 の領域で

G(x, x0) =

A(x− x0) +B, x < x0,

C(x− x0) +D, x > x0(5.2.30)

とおける。これを接続条件に代入すると

A− C = 1, (5.2.31)

B = D (5.2.32)

主要解は境界条件を問わないので、A = −C = 1/2, B = D = 0として

G(x, x0) = −1

2|x− x0| (5.2.33)

を得る。この主要解は x = x0 でも連続である。

5.3 ヘルムホルツ方程式

αを定数、ρ(x)を既知の関数として、領域Dにおけるヘルムホルツ方程式

(Helmholtz equation)の境界値問題を考える。

∆u(x) + Ω2u(x) = −αρ(x), x ∈ D (5.3.1)

A(x)u(x) +B(x)n · ∇u(x) = C(x), x ∈ ∂D (5.3.2)

ヘルムホルツ方程式は波動方程式

u(x, t) = −αρ(x, t), x ∈ D (5.3.3)

で、時間成分のみをフーリエ変換

u(x, ω) =

∫ ∞

−∞

dω

2πu(x, t)e−iωt, (5.3.4)

ρ(x, t) =

∫ ∞

−∞

dω

2πρ(x, t)e−iωt (5.3.5)

5.3. ヘルムホルツ方程式 127

をして得られる方程式であるとも考えられる。

ヘルムホルツ方程式のグリーン関数とは、任意の ξに対して同次境界条件

と以下の微分方程式を満たす関数をいう。

(∆ + Ω2)G(x, ξ) = −δ(x− ξ), x ∈ D (5.3.6)

A(x)G(x, ξ) +B(x)n · ∇G(x, ξ) = 0, x ∈ ∂D (5.3.7)

ポアソン方程式の場合と同様にヘルムホルツ方程式のグリーン関数は相反性

を満たす。

G(ζ, ξ) = G(ξ, ζ) (5.3.8)

またヘルムホルツ方程式を満たす関数 uはグリーン関数によって源泉項と

境界項から表すことができる。

u(x) = α

∫D

dnξG(x, ξ)ρ(ξ)

+

∫∂D

dSξ (G(x, ξ)n · ∇u(ξ)− u(ξ)n · ∇G(x, ξ)) (5.3.9)

5.3.1 3次元ヘルムホルツ方程式のグリーン関数

特別な方向や境界のない 3次元空間におけるヘルムホルツ方程式のグリー

ン関数を求める。

(∆ + Ω2)G(x,x0) = −δ(x− x0), x ∈ D (5.3.10)

フーリエ変換

G(x,x0) =

∫d3kG(k)eik·(x−x0) (5.3.11)

を仮定してヘルムホルツ方程式に代入してフーリエ係数を求めると、xが十

分大で G(x,x0)が 0であると仮定して、

(−k2 +Ω2)G(k) = − 1

(2π)3(5.3.12)

を得る。k2 = Ω2 のときにはたんに割れば良いが、あとでフーリエ逆変換の

積分しなくてはならなくて、そのときに k2 = Ω2をまたいで積分をする必要

があり、問題になる可能性がある4。そこで一般解として γ を未定定数とし

て、xδ(x) = 0を使って

(−k2 +Ω2)G(k) = −P 1

(2π)3+

γ

(2π)3(−k2 +Ω2)δ(k2 − Ω2) (5.3.13)

4ラプラス方程式のときには、−k2G(k) = 1/(2π)3 となってそのまま両辺を k2 で割っていた。k = 0 の発散は体積積分要素 d3k = k2 sin θdkdθdϕ の中の k2 と相殺して問題にならなかった。

128 第 5章 グリーン関数

と考える。これを解いて5

G(k) = P 1

(2π)31

k2 − Ω2+

γ

(2π)3δ(k2 − Ω2) (5.3.14)

フーリエ逆変換すると、

G(x,x0) = P∫d3k

eik·(x−x0)

(2π)31

k2 − Ω2+ γ

∫d3k

eik·(x−x0)

(2π)3δ(k2 − Ω2)

= P∫ ∞

0

dk

(2π)2k2

k2 − Ω2

∫ 1

−1

dµeikrµ

+ γ

∫ ∞

0

k2dk

(2π)21

2|Ω|(δ(k − Ω) + δ(k +Ω))

∫ 1

−1

dµeikrµ (5.3.15)

だたし、µ = cos θは kと x− x0 のなす角の余弦であり、r = |x− x0|である。右辺第２項は Ω > 0のとき

γΩ

2(2π)2

∫ 1

−1

dµeiΩrµ =γ

4π2rsinΩr (5.3.16)

Ω < 0のとき

− γΩ

2(2π)2

∫ 1

−1

dµe−iΩrµ =γ

4π2rsinΩr (5.3.17)

である。右辺第１項は

P∫ ∞

0

dk

(2π)2ir

k(eikr − e−ikr)

k2 − Ω2

= P∫ ∞

0

dk

(2π)2ir

keikr

k2 − Ω2− P

∫ ∞

0

dk

(2π)2ir

ke−ikr

k2 − Ω2(5.3.18)

第２項で k = −ℓとして

= P∫ ∞

0

dk

(2π)2ir

keikr

k2 − Ω2− P

∫ −∞

0

dℓ

(2π)2ir

ℓeiℓr

ℓ2 − Ω2

= P∫ ∞

−∞

dk

(2π)2ir

keikr

k2 − Ω2

= P∫ ∞

−∞

dk

2(2π)2ir

(1

k − Ω+

1

k +Ω

)eikr =

1

4πrcosΩr, (5.3.19)

以上より、

G(x,x0) =1

4πrcosΩr +

γ

4π2rsinΩr (5.3.20)

これが解であることを確かめる。

∆1

4πr= −δ(x− x0), (5.3.21)

5P はコーシーの主値積分 (Cauchy Principal Value Integral) を表す。

5.3. ヘルムホルツ方程式 129

と、r = |x− x0|のみの関数に対して

∆u(r) =1

r2d

dr

(r2du(r)

dr

)=d2u(r)

dr2+

2

r

du(r)

dr, (5.3.22)

を使うと、

∆

(1

4πre±iΩr

)=

(1

4πr

)d2e±iΩr

dr2+ 2

(d

dr

1

4πr

)de±iΩr

dr+ e±iΩr

(d2

dr21

4πr

)+

2e±iΩr

r

(d

dr

1

4πr

)+

(1

4πr

)2

r

de±iΩr

dr

= −δ(x− x0)−Ω2

4πre±iΩr (5.3.23)

したがって、

(∆ + Ω2)

(e±iΩr

4πr

)= −δ(x− x0), (5.3.24)

(∆ + Ω2)

(cosΩr

4πr

)= −δ(x− x0), (5.3.25)

(∆ + Ω2)

(sinΩr

4πr

)= 0 (5.3.26)

であり、式 (5.3.20)は確かに解である。また、未定定数 γ に比例する項は同

次方程式の解 (同次解、homogeneous solution)であり、γ は問題の設定条件

(ヘルムホルツ方程式では境界条件)によって定まることがわかる。

よく採用される境界条件は、γ = ±iπで、このとき、

G(x,x0) =1

4πrcosΩr +

±1

4πr

eiΩr − e−iΩr

2=

1

4πre±iΩr (5.3.27)

これは、eiΩt という時間依存性があると考えると、内向き・外向き球面波を

表す境界条件であると言える。この境界条件は

G(k) = P 1

(2π)31

k2 − Ω2± iπ

(2π)3δ(k2 − Ω2) =

1

(2π)31

k2 − Ω2 ∓ iϵ

(5.3.28)

とも書き直され、最後の表現はヘルムホルツ方程式以外でもよく使われる6。

6積分操作の中で意味がある以下の公式がある。

1

x± iϵ= P

1

x∓ iπδ(x) (5.3.29)

ただし、ϵは積分計算後にゼロにする。この式の両辺は「良い」関数 f(x)に作用する作用素（超関数）であるとみなしている。

130 第 5章 グリーン関数

確認のためにこの式を使って直接計算してみる7。

G(x,x0) =

∫d3k

(2π)31

k2 − Ω2 ∓ iϵeik·(x−x0)

=

∫ ∞

0

k2dk

(2π)21

k2 − Ω2 ∓ iϵ

∫ 1

−1

eikrµ

=1

4iπ2r

∫ ∞

0

dkk

k2 − Ω2 ∓ iϵ(eikr − e−ikr)

=1

8iπ2r

∫ ∞

0

dk

(1

k − Ω∓ iϵ+

1

k +Ω± iϵ

)(eikr − e−ikr)

被積分関数は偶関数だから、

=1

16iπ2r

∫ ∞

−∞dk

(1

k − Ω∓ iϵ+

1

k +Ω± iϵ

)(eikr − e−ikr)

r > 0なので eikr 項は複素上半面、e−ikr 項は複素下半面に積分経路をとる。

=1

4πre±iΩr (5.3.30)

となって期待した結果を得る。

5.4 波動方程式

ある空間領域 Dと時間領域 I(Ω ≡ D × I)において波動方程式を考える。

面倒なので (x, ct)をまとめられるときにはたんに xと書く。

u(x) = −s(x), x ∈ Ω (5.4.1)

A(x)u(x) +B(x)n · ∇u(x) = C(x), x ∈ ∂D, t ∈ I (5.4.2)

u(x, ts) = f(x), x ∈ D (5.4.3)

∂u(x, ts)

∂t= g(x), x ∈ D, (5.4.4)

nは ∂Dの法線ベクトルで、tsは初期値を与える初期時刻である。ポアソン方

程式と同様に、C(x) = 0のときの境界条件を同次 (斉次)境界条件、C(x) = 0

のときの境界条件を非同次 (非斉次)境界条件と呼ぶ。波動関数の (遅延)グ

リーン関数とは、任意の x0 ∈ Ωに対して同次境界条件と以下の微分方程式

7計算途中で (k − Ω∓ i

ϵ

2Ω

)(k +Ω± i

ϵ

2Ω

)= k2 − Ω2 ∓ iϵ+O(ϵ2)

を使って ϵ の定義をしなおしている。

5.4. 波動方程式 131

を満たす関数をいう。

G(x, x0) = −δ(x− x0), x ∈ Ω (5.4.5)

A(x)G(x, x0) +B(x)n · ∇G(x, x0) = 0, x ∈ ∂D, (5.4.6)

G(x, t,x0, t0) = 0, x,x0 ∈ D& t < t0 (5.4.7)

(5.4.8)

最後の条件は遅延条件と呼ばれ、因果律を表す8。

さて O[·] = 、u(x) = G(x, t,x0, t0)、v(x) = G(x,−t,x1,−t1)とする。グリーンの定理より

1

c

∫D

dn−1x

[G(x, t,x0, t0)

∂G(x,−t,x1,−t1)∂t

−G(x,−t,x1,−t1)∂G(x, t,x0, t0)

∂t

]∂I

+

∫I

cdt

∫∂D

dS · (G(x, t,x0, t0)∇G(x,−t,x1,−t1)−G(x,−t,x1,−t1)∇G(x, t,x0, t0))

=

∫Ω

dnx(G(x, t,x0, t0)G(x,−t,x1,−t1)−G(x,−t,x1,−t1)G(x, t,x0, t0)

= −G(x1, t1,x0, t0) +G(x0,−t0,x1,−t1) (5.4.10)

ポアソン方程式のときと同様に、左辺第２項はグリーン関数に対する同次境界

条件よりゼロになる。左辺第１項の被積分関数は、I = [ts, te]、ts ≤ t0, t1 ≤ te

とすると[G(x, t,x0, t0)

∂G(x,−t,x1,−t1)∂t

−G(x,−t,x1,−t1)∂G(x, t,x0, t0)

∂t

]tets

(5.4.11)

さて、遅延条件より、

G(x, ts,x0, t0) = 0 =∂G(x, t,x0, t0)

∂t

∣∣∣∣t=ts

(5.4.12)

である。また、−ts ≤ −t1 ≤ −ts に注意すると遅延条件より

G(x,−te,x0,−t1) = 0 =∂G(x, t,x1, t1)

∂t

∣∣∣∣t=−te

(5.4.13)

よって (5.4.10)式の左辺第１項はゼロになる。以上より、波動方程式の遅延

グリーン関数の相反関係

G(x1, t1,x0, t0) = G(x0,−t0,x1,−t1) (5.4.14)

8なお、

G(x, t,x0, t0) = 0, x,x0 ∈ D& t > t0 (5.4.9)

を課すこともできてこの場合、先進グリーン関数を得る。

132 第 5章 グリーン関数

を得た9。

さて今度はグリーンの定理を、波動方程式を満たす u(x)とダランベルシア

ン ()のグリーン関数 G(x0, x)に適用すると、

1

c

∫D

dn−1x

[u(x)

∂G(x0, x)

∂t−G(x0, x)

∂u(x)

∂t

]∂I

+

∫I

cdt

∫∂D

dS · (u(x)∇G(x0, x)−G(x0, x)∇u(x))

=

∫Ω

dnx(u(x)G(x0, x)−G(x0, x)u(x))

= −u(x0) +∫Ω

dnxG(x0, x)s(x) (5.4.15)

ここで左辺第１項について遅延条件より[u(x)

∂G(x0, x)

∂t−G(x0, x)

∂u(x)

∂t

]t=te

= 0 (5.4.16)

に注意すると、

u(x) =

∫ t

ts

cdt

∫D

dn−1xG(x, x)s(x)

+1

c

∫D

dn−1x

[G(x, x)

∂u(x)

∂t− u(x)

∂G(x, x)

∂t

]t=ts

+

∫ t

ts

cdt

∫∂D

dS · (G(x, x)∇u(x)− u(x)∇G(x, x)) (5.4.17)

第１項は源泉 s(x)の影響を表す。時間積分が初期時刻 ts から場を計算する

時刻 tまでとなっているのは、因果律のためである。第２項は初期面での関

数値（つまり初期条件）の影響を表す。第３項は境界面での影響を表す。非

斉次境界条件・非斉次項 (源泉 s(x))の影響が同次境界条件を満たすグリーン

関数で書けているところに注目してほしい。グリーン関数はある場所 xにお

ける「原因」を場を計算したい場所 xへ伝達する役割を果たすと言える。

ポアソン・ラプラス方程式のときと同様に、境界項では∇uと uを独立に

任意に与えることはできない。与えられるのはどちらか一方（ディリクレ問

題、ノイマン問題）か、混合したもの（混合問題）である。

5.4.1 3次元空間における波動方程式のグリーン関数

特別な方向も境界もない３次元空間で、時間的な境界もないという条件の

元で遅延グリーン関数を求めてみる。境界がないのでグリーン関数 G(x, x0)

は x− x0 の関数であると仮定する。

G(x, x0) = −δ(x− x0), x ∈ Ω, (5.4.18)

G(x, t,x0, t0) = 0, x,x0 ∈ D& t < t0, (5.4.19)

9先進グリーン関数でも全く同じ相反関係を得る。

5.4. 波動方程式 133

以下の形のフーリエ変換を仮定する。

G(x,x0, ω) =

∫ ∞

−∞

dt

2πG(x, t,x0, t0)e

−iω(t−t0), (5.4.20)

グリーン関数の満たすべき非斉次波動方程式の両辺をフーリエ変換すると、(∆+

ω2

c2

)G(x,x0, ω) = − 1

2πδ(x− x0) (5.4.21)

ただし、時間的な無限遠での条件

limt→±∞

G(x, t,x0, t0) = 0, (5.4.22)

limt→±∞

∂G(x, t,x0, t0)

∂t= 0 (5.4.23)

を仮定している。グリーン関数 G(x,x0, ω)は式 (5.3.20)でヘルムホルツ方程

式のグリーン関数として求めていて、γ を未定定数として

G(x,x0, ω) =1

4πrcos

ωr

c+

γ

4π2rsin

ωr

c(5.4.24)

である。したがって、

G(x, t,x0, t0) =

∫ ∞

−∞dωG(x,x0, ω)e

iω(t−t0)

=1

4πr

∫ ∞

−∞dωeiω(t−t0)

(cos

ωr

c+γ

πsin

ωr

c

)=

1

8πr

(1 +

γ

iπ

)δ(t− t0 +

r

c

)+(1− γ

iπ

)δ(t− t0 −

r

c

)(5.4.25)

t < t0 ではグリーン関数がゼロになってほしいという遅延条件を実現するに

は、右辺第１項がゼロになるように γ = −iπとなっていれば良い。このとき

Gret(x, t,x0, t0) =1

4πrδ(t− t0 −

r

c

)(5.4.26)

となる。

これが解であることを確かめる。まず、r = 0のとき f(x)を任意の (２回

微分可能な)関数として、

1

4πrf(t− r

c

)(5.4.27)

という関数は斉次波動方程式を満たすから、式 (5.4.26)のグリーン関数は (デ

ルタ関数の２回微分を許すとして)確かに r = 0では斉次波動方程式を満た

す。さらに r = 0近傍で10、∫ ϵ

0

4πr2dr

(∆

1

4πr

)δ(t− t0 −

r

c

)= −δ (t− t0) (5.4.28)

10この式の積分上限の ϵ は任意の小さい数という意味で、いままで出てきた ϵ とは関係がない。

134 第 5章 グリーン関数

より確かにグリーン関数となっている。

この遅延グリーン関数は

Gret(x, t,x0, t0) =

∫ ∞

−∞dω

1

4πreiω(t−t0−

rc ) (5.4.29)

と書くこともできる。これは時刻 t0 に x0 を起点として放射され、tに xを

含む半径 r = |x− x0|の球面まで広がるような、様々な周波数 ωを持つ外向

き球面波の線形結合を表す。

応用としてたとえばローレンツゲージにおいて電磁場のベクトルポテンシャ

ルが満たす波動方程式

A(x, t) = −4π

cj(x, t) (5.4.30)

の、無限遠でゼロになるという境界条件の元での遅延解は式 (5.4.17) に式

(5.4.26)を代入して

Aret(x, t) =4π

c

∫dt

∫d3xGret(x, t, x, t)j(x, t)

=1

c

∫d3x

j(x, t− |x− x|)|x− x|

(5.4.31)

である11。

遅延条件、先進条件

式 (5.4.25)では遅延条件を課して γ = −iπ としたが、γ = iπ を取ること

もできて、このとき先進波解

Gadv(x, t,x0, t0) =1

4πrδ(t− t0 +

r

c

)(5.4.32)

を得る。

先進波解と遅延解の平均

G(x, t,x0, t0) =1

2Gret(x, t,x0, t0) +

1

2Gadv(x, t,x0, t0) (5.4.33)

などもグリーン関数である。

γ の選び方は複素平面上での極 ω2 = c2k2 のずらし方に対応していた。ず

らし方には他にもあって、対応したグリーン関数を求めることができる。先

進グリーン関数やこれらのグリーン関数は古典物理学の範囲ではあまり利用

する場面はないかもしれないが、場の量子論などではこれらのグリーン関数

が活躍することになる。

11このノートでは単位系は CGS を使っているので、MKSA を使いたい人は適宜係数を読み替えること。

5.4. 波動方程式 135

例 37. ２次元空間における波動方程式の遅延グリーン関数 G2(x, 0)を求め

る (表記の簡単のため、第２引数を原点にとる）12。(− 1

c2∂2

∂t2+

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)G3(x, 0) = −δ(t)δ(x)δ(y)δ(z) (5.4.34)

の両辺を z積分すると、(− 1

c2∂2

∂t2+

∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)G2(x, 0) +

∫ ∞

−∞

∂2

∂z2G3(x, 0)dz = −δ(t)δ(x)δ(y)

(5.4.35)

左辺第２項は、∫ ∞

−∞

∂2

∂z2G3(x, 0)dz =

∂

∂zG3(x, 0)

∣∣∣∣z=±∞

= 0, (5.4.36)

より３次元のグリーン関数と２次元のグリーン関数とは

G2(x, 0) =

∫ ∞

−∞G3(x, 0)dz (5.4.37)

の関係がある。よって、ρ2 = x2 + y2 として

G2(x, 0) =

∫ ∞

−∞dz

c

4π√ρ2 + z2

δ(√ρ2 + z2 − ct)Θ(t)

=

∫ ∞

−∞dz

c

4π√ρ2 + z2

Θ(t)

(∣∣∣∣∣ 2z√ρ2 + z2

∣∣∣∣∣)−1

δ(z ±√c2t2 − ρ2)Θ(ct− ρ)

=c

4π√c2t2 − ρ2

Θ(ct− ρ)Θ(t) (5.4.38)

例 38. 1次元空間における波動方程式の遅延グリーン関数G1(x, 0)を求める

2次元と同様にして、

G1(x, 0) =

∫ ∞

−∞G2(x, 0)dy =

c

2Θ(ct− |x|) (5.4.39)

このグリーン関数を使うと、

u(x, t) = 0, (5.4.40)

u(x, 0) = f(x), (5.4.41)

∂u(x, 0)

∂t= g(x) (5.4.42)

の解は式 (5.4.17)より、

u(x) =1

c

∫ ∞

−∞dx

[G1(x, x)

∂u(x)

∂t− u(x)

∂G1(x, x)

∂t

]t=0

=1

2

∫ ∞

−∞dx

[Θ(c(t− t)− |x− x|)∂u(x)

∂t+ u(x)cδ(ct− ct− |x− x|)

]t=0

=1

2

∫ x+ct

x−ctdxg(x) +

1

2f(x− ct) +

1

2f(x+ ct) (5.4.43)

12以下、３次元の座標を文字 x, y, z と書いて文字 xを使いつつ、４つの変数 x, y, z, tをまとめて x とも書くので文字 x は２つの意味を持つことになるけれども、混乱しないように。

136 第 5章 グリーン関数

よって再び 2.1.2節の式 (2.1.44)でも紹介したストークスの式を得る。

5.5 熱伝導方程式

ある空間領域Dと時間領域 I(Ω ≡ D× I)において熱伝導方程式を考える。面倒なので (x, ct)をまとめられるときにはたんに xと書く。αを定数として、

∆u(x, t)− α∂u(x, t)

∂t= −s(x), x ∈ Ω (5.5.1)

A(x)u(x) +B(x)n · ∇u(x) = C(x), x ∈ ∂D, t ∈ I (5.5.2)

u(x, ts) = f(x), x ∈ D (5.5.3)

nは ∂Dの法線ベクトルである。ポアソン方程式と同様に、C(x) = 0のとき

の境界条件を同次 (斉次)境界条件、C(x) = 0のときの境界条件を非同次 (非

斉次)境界条件と呼ぶ。波動関数の (遅延)グリーン関数とは、任意の x0 ∈ Ω

に対して同次境界条件と以下の微分方程式を満たす関数をいう。

∆G(x, x0)− α∂G(x, x0)

∂t= −δ(x− x0), x ∈ Ω (5.5.4)

A(x)G(x, x0) +B(x)n · ∇G(x, x0) = 0, x ∈ ∂D, (5.5.5)

G(x, t,x0, t0) = 0, x,x0 ∈ D& t < t0 (5.5.6)

(5.5.7)

最後の条件は遅延条件と呼ばれ、因果律を表す13。

さて O[·] = ∆ − α∂/∂t、u(x) = G(x, t,x0, t0)、v(x) = G(x,−t,x1,−t1)とする。グリーンの定理より∫D

dxn−1 [−αG(x, t,x0, t0)G(x,−t,x1,−t1)]t=tet=ts∫I

cdt

∫∂D

dS · (G(x, t,x0, t0)∇G(x,−t,x1,−t1)−G(x,−t,x1,−t1)∇G(x, t,x0, t0))

=

∫Ω

dnx(G(x, t,x0, t0)O[G(x,−t,x1,−t1)]−G(x,−t,x1,−t1)O[G(x, t,x0, t0)]

= −G(x1, t1,x0, t0) +G(x0,−t0,x1,−t1) (5.5.9)

ポアソン方程式のときと同様に、左辺第２項はグリーン関数に対する同次境

界条件よりゼロになる。また第１項は遅延条件からゼロである。

13なお、

G(x, t,x0, t0) = 0, x,x0 ∈ D& t > t0 (5.5.8)

を課すこともできてこの場合、先進グリーン関数を得る。

5.5. 熱伝導方程式 137

さて今度はグリーンの定理を、波動方程式を満たす u(x)と熱伝導方程式の

グリーン関数 G(x0, x)に適用すると、∫D

dxn−1 [−αu(x)G(x0, x)]t=ts

+

∫I

cdt

∫∂D

dS · (u(x)∇G(x0, x)−G(x0, x)∇u(x))

=

∫Ω

dnx(u(x)O[G(x0, x)]−G(x0, x)O[u(x)])

= −u(x0) +∫Ω

dnxG(x0, x)s(x) (5.5.10)

あるいは

u(x) =

∫ t

ts

cdt

∫D

dn−1xG(x, x)s(x)

+

∫ t

ts

cdt

∫∂D

dS · (G(x, x)∇u(x)− u(x)∇G(x, x))

+ α

∫D

dxn−1 [G(x, x)u(x)]t=ts (5.5.11)

右辺第１項の源泉項の影響について積分区間が初期時刻 tsから tまでなのと、

右辺最後の項が初期面のみの影響を考えているのは、遅延条件による。

5.5.1 3次元空間における熱伝導方程式のグリーン関数

特別な方向も境界もない３次元空間で、時間的な境界もないという条件の

元で遅延グリーン関数を求めてみる。境界がないのでグリーン関数 G(x, x0)

は x− x0 の関数であると仮定する。(∆− α

∂

∂t

)G(x, x0) = −δ(x− x0), x ∈ Ω, (5.5.12)

G(x, t,x0, t0) = 0, x,x0 ∈ D& t < t0, (5.5.13)

以下の形のフーリエ変換を仮定する。

G(k, ω) =

∫ ∞

−∞

dt

2π

∫d3x

(2π)3G(x, t,x0, t0)e

−iω(t−t0)−ik·(x−x0), (5.5.14)

グリーン関数の満たすべき非斉次波動方程式の両辺を時間についてフーリエ

変換すると、 (−k2 − iαω

)G(x,x0, ω) = − 1

(2π)4(5.5.15)

138 第 5章 グリーン関数

ただし、無限遠での条件

limt→±∞

G(x, t,x0, t0) = 0, (5.5.16)

limx→±∞

G(x, t,x0, t0) = 0, (5.5.17)

limx→±∞

∂G(x, t,x0, t0)

∂x= 0 (5.5.18)

を仮定している。フーリエ逆変換により、

G(x, t,x0, t0) =

∫ ∞

−∞

dω

2π

∫d3k

(2π)31

k2 + iαωeiω(t−t0)+ik·(x−x0), (5.5.19)

ω 積分では、t > t0 のとき複素平面上半面に積分経路をとり、t < t0 のとき

複素平面下半面に積分経路をとる。極は上半面にしかないので、

G(x, t,x0, t0) =1

iα

∫d3k

(2π)3

∫ ∞

−∞

dω

2π

1

ω − ik2/αeiω(t−t0)+ik·(x−x0)

=1

α

∫d3k

(2π)3e−

k2

α (t−t0)+ik·(x−x0)Θ(t− t0)

=1

α

∫dkx(2π)

e−k2xα (t−t0)+ikx(x−x0)

∫dky(2π)

e−k2yα (t−t0)+iky(y−y0)

×∫

dkz(2π)

e−k2zα (t−t0)+ikz(z−z0)Θ(t− t0) (5.5.20)

ここで次の積分 ∫ ∞

−∞dke−ak

2+ibk =

√π

ae−

b2

4a (5.5.21)

を使うと、

G(x, t,x0, t0) =1

αΘ(t− t0)

(α

4π(t− t0)

)3/2

exp

(− αr2

4(t− t0)

)(5.5.22)

これが r = 0、t = t0 のときの同次解であることは、

f(x, t) =1

t3/2e−

αr2

4t (5.5.23)

とすると、

∂f

∂t=

(− 3

2t5/2+

αr2

4t7/2

)e−

αr2

4t , (5.5.24)

∂f

∂r= − αr

2t5/2e−

αr2

4t , (5.5.25)

∂2f

∂r2=

(− α

2t5/2+α2r2

4t7/2

)e−

αr2

4t , (5.5.26)

から、

∂2f

∂r2+

2

r

∂f

∂r=

(− 3α

2t5/2+α2r2

4t7/2

)e−

αr2

4t = α∂f

∂t(5.5.27)

5.6. 境界がある場合のグリーン関数 139

よりわかる。また、

−α∂G(x, t,x0, t0)

∂t= −∂Θ(t− t0)

∂t

(α

4π(t− t0)

)3/2

exp

(− αr2

4(t− t0)

)= −δ(t− t0)

(α

4π(t− t0)

)3/2

exp

(− αr2

4(t− t0)

)= −δ(t− t0)δ(x− x0) (5.5.28)

より、確かにグリーン関数になっている14。

最後にグリーン関数を体積積分すると、∫ ∞

−∞dx

(α

4π(t− t0)

)1/2

exp

(− αx2

4(t− t0)

)= 1 (5.5.30)

より ∫d3xG(x, t,x0, t0) =

1

αΘ(t− t0) (5.5.31)

である。

例 39. 構成から明らかなように時間 1次元、空間 d次元におけるグリーン関

数は、座標を (t, x1, x2, · · · , xd)として、

G(x, t,x0, t0) =1

αΘ(t− t0)

(α

4π(t− t0)

)d/2exp

(− αr2

4(t− t0)

)(5.5.32)

ただし、r2 = x21 + x22 + · · ·+ x2d である。

例 40. 4.1節の例題 29で調べた無限空間における 1次元拡散方程式の解で

現れた関数W (x, t)は拡散方程式の１次元グリーン関数である。

5.6 境界がある場合のグリーン関数

ここまで境界がない場合のグリーン関数を求めてきたが、ここでは境界が

ある場合のグリーン関数を考える。解法としてはいくつか知られているが、こ

こではフーリエ級数による展開によって求める15。他の方法については、[9]

など参照。

14通常の関数の極限によってデルタ関数を表現する方法の一つ、

limϵ→0+

(1

πϵ

)exp

(−x2

ϵ

)= δ(x) (5.5.29)

を使っている。15一般には固有関数による展開。1次元スツルム・リウビル問題におけるグリーン関数の固有関数展開については 5.7 節を参照。

140 第 5章 グリーン関数

例題として境界で常に温度がゼロになると設定した場合の熱伝導の方程式

を解く。

∂u(x, t)

∂t= k

∂2u(x, t)

∂x2, (5.6.1a)

u(x, 0) = f(x), (0 ≤ x ≤ L), (初期条件) (5.6.1b)

u(0, t) = T0, u(L, t) = TL, (境界条件) (5.6.1c)

ただし、f(x)は事前にわかっているものとし、境界条件と適合しており、f(0) =

T0, f(L) = TL とする。この問題は、2.2.1節の例題 16 と基本的に同じ問題

である。ここではグリーン関数を使ってこの問題を解いてみる。(∂

∂t− k

∂2

∂x2

)G(x, t, ξ, τ) = −δ(x− ξ)δ(t− τ), (5.6.2a)

G(x, t, ξ, τ) = 0, (τ > t), (遅延条件) (5.6.2b)

G(0, t, ξ, τ) = 0, G(L, t, ξ, τ) = 0, (境界条件) (5.6.2c)

この問題を解くためにまずグリーン関数と同じ同次境界条件を満たす同次

方程式の解を考える。(∂

∂t− k

∂2

∂x2

)ϕ(x, t) = 0, (5.6.3a)

ϕ(0, t) = 0, ϕ(L, t) = 0, (境界条件) (5.6.3b)

変数分離を仮定して、

ϕ = e−n2π2

L2 kt sinnπx

L(5.6.4)

が解と求まる。ここで sin nπxL は (奇関数に対して)完全系をなすから、同じ

境界条件を満たすグリーン関数についても、[−L,L]において奇関数に拡張すると考えれば、空間部分については sin nπx

L によって展開できるはずである。

そこで境界条件を考慮して、時間についてはフーリエ変換、空間については

フーリエ級数を仮定して

Gn(ω) =

∫ ∞

−∞

dt

2π

2

L

∫ L

0

dxG(x, t, ξ, τ)e−iω(t−τ) sinnπx

L(5.6.5)

とおく。微分方程式の両辺をフーリエ変換・級数展開すると、∫ ∞

−∞

dt

2π

2

L

∫ L

0

dxe−iω(t−τ) sinnπx

L

(∂

∂t+ k

∂2

∂x2

)G(x, t, ξ, τ) = − 1

πLsin

nπξ

L

(5.6.6)

より16 (iω + k

n2π2

L2

)Gn(ω) = − 1

πLsin

nπξ

L(5.6.9)

16時間微分項を部分積分すると、

e−iω(t−τ)G(x, t, ξ, τ)∣∣∣t=∞

t=−∞= 0 (5.6.7)

5.6. 境界がある場合のグリーン関数 141

よって

G(x, t, ξ, τ) =1

πL

∞∑n=1

sinnπx

Lsin

nπξ

L

∫ ∞

−∞

idω

ω − ik n2π2

L2

eiω(t−τ)

=−2Θ(t− τ)

L

∞∑n=1

e−kn2π2

L2 (t−τ) sinnπx

Lsin

nπξ

L(5.6.10)

を得る。

よって式 (5.5.11)より

u(x, t) = k

∫ t

0

dt

[u(x, t)

∂G(x, t, x, t)

∂x

]x=Lx=0

−∫ L

0

dx [G(x, t, x, t)u(x, t)]t=0

(5.6.11)

ここで

k

∫ t

0

dt

[u(x)

∂G(x, t, x, t)

∂x

]x=Lx=0

= k

∞∑n=1

∫ t

0

dt−2nπ

L2e−k

n2π2

L2 (t−t) sinnπx

L((−1)nTL − T0)

=

∞∑n=1

2

nπ(e−k

n2π2

L2 t − 1) sinnπx

L((−1)nTL − T0) (5.6.12)

よって

u(x, t) =

∞∑n=1

2

nπ(e−k

n2π2

L2 t − 1) sinnπx

L((−1)nTL − T0)

+2

L

∞∑n=1

e−kn2π2

L2 t sinnπx

L

∫ L

0

dxf(x) sinnπx

L(5.6.13)

この段階で x = 0, Lを代入すると、sinnπx/Lがゼロとなるため、u(x, t) = 0

となって境界条件を満たさないように見える。しかし、この段階では級数の

一様収束性が吟味されていないので、各項に x = 0, Lを代入するわけにはい

かない。実際以下に見るように、第１,２項ともに x = 0, Lで不連続な関数

のフーリエ級数であり、x = 0, Lで一様収束していない17。

十分離れた時刻ではゼロと仮定して、t = ∞ でゼロ。実際すぐ下で見るように得られた解はこれを満たす。t = −∞ では遅延条件によりゼロ。空間微分項を部分積分すると、∫ L

0dx sin

nπx

L

∂2

∂x2G(x, t, ξ, τ) = sin

nπx

L

∂

∂xG(x, t, ξ, τ)

∣∣∣∣x=L

x=0

−∫ L

0dxnπ

Lcos

nπx

L

∂

∂xG(x, t, ξ, τ)

= −nπ

Lcos

nπx

LG(x, t, ξ, τ)

∣∣∣x=L

x=0−

∫ L

0dxn2π2

L2sin

nπx

LG(x, t, ξ, τ) (5.6.8)

ここでディリクレ条件の元では G(x, t, ξ, τ)|x=Lx=0 = 0であることを使えば境界項はゼロになる。

17しかしそうすると、なぜその前の段階で x = 0, L を代入してよかったのだろう？

142 第 5章 グリーン関数

ここで

2

L

∫ L

0

dx(− x

LT0 + T0

)sin

nπx

L=

2T0nπ

, (5.6.14)

2

L

∫ L

0

dxx

LTL sin

nπx

L=

2TLnπ

(−1)n+1 (5.6.15)

に注意すると、

u(x, t) =x

LTL − x

LT0 + T0

+2

L

∞∑n=1

Ane−k n2π2

L2 t sinnπx

L(5.6.16)

ただし、

An =

∫ L

0

dx(f(x)− x

LTL +

x

LT0 − T0

)sin

nπx

L(5.6.17)

を得る。[0, L]における 1次関数は周期関数に拡張すると x = 0, L不連続に

なることに注意しよう。一方で An は周期関数に拡張したときに x = 0, Lで

も連続な関数のフーリエ係数である。

最後のコメントとして、この答えはもちろん 2.2.1 節の例題 16 の答えと

TL = 0のとき一致する。

問題 33. 左端から一定の熱流入があり、右端で温度一定温度 TLである場合

の熱伝導方程式

∂u(x, t)

∂t= k

∂2u(x, t)

∂x2, (5.6.18a)

u(x, 0) = f(x), (0 ≤ x ≤ L), (初期条件) (5.6.18b)

∂u(0, t)

∂x= q0, u(L, t) = TL, (境界条件) (5.6.18c)

の解を求めよ。

問題 34. 両端から一定の熱流入がある場合の熱伝導方程式

∂u(x, t)

∂t= k

∂2u(x, t)

∂x2, (5.6.19a)

u(x, 0) = f(x), (0 ≤ x ≤ L), (初期条件) (5.6.19b)

∂u(0, t)

∂x= q0,

∂u(L, t)

∂x= qL, (境界条件) (5.6.19c)

の解を求めよ。

5.7 スツルム・リウヴィル方程式

ここまで偏微分方程式について説明してきたが、ここではスツルム・リウ

ヴィル方程式 (Sturm-Liouville) のグリーン関数と固有関数展開の話を述べ

5.7. スツルム・リウヴィル方程式 143

る。スツルム・リウヴィルの微分方程式というのは、

S[u(x)] ≡d

dx

(p(x)

d

dx

)+ q(x)

u(x) = f(x) (5.7.1)

と書かれる２階の線形常微分方程式で、x = a, bで適当な境界条件を与えて

問題を解く。このとき重要な役割を果たすのがスツルム・リウヴィル演算子

S の固有値 λで、スツルム・リウヴィルの固有値問題とは、

S[u(x)] = −λr(x)u(x) (5.7.2)

という方程式が、ある特定の λで解が存在するという問題である。

同次境界条件を課し、実数値関数 p(x), q(x), r(x)は連続でさらに p(x)は

微分可能、p(x), r(x) > 0であるとき正則なスツルム・リウヴィル系といい、

このような問題をここでは扱う。

境界条件としてはディリクレ条件、ノイマン条件、混合条件などが考えら

れる。まとめて書くと ca, da, cb, db, Ba, Bb を実数定数として

cau(a) + dau′(a) = Ba, cbu(b) + dbu

′(b) = Bb, (5.7.3)

正則な問題ではBa = Bb = 0である。また、周期境界条件を課すこともある。

u(a) = u(b), (5.7.4)

p(a)u′(a) = p(b)u′(b) (5.7.5)

スツルム・リウヴィル方程式の応用範囲は広い。実際任意の実数値連続関

数 a2(x) > 0、a1(x)、a0(x) を係数とする２階線形微分方程式を考えてみる。(a2(x)

d2

dx2+ a1(x)

d

dx+ a0(x)

)u(x) = g(x) (5.7.6)

この式の両辺に

µ(x) =1

a2(x)e∫ a1(x)

a2(x)dx

(5.7.7)

をかけると、左辺は

e∫ a1(x)

a2(x)dx d

2u(x)

dx2+a1(x)

a2(x)e∫ a1(x)

a2(x)dx du(x)

dx+ µ(x)a0u(x)

=d

dx

(e∫ a1(x)

a2(x)dx du(x)

dx

)+ µ(x)a0(x)u(x) (5.7.8)

したがって p(x) = a2(x)µ(x), q(x) = µ(x)a0(x), f(x) = µ(x)g(x)とみなせ

ばスツルム・リウヴィル方程式を得る。

今まで偏微分方程式の境界値問題を解く際に変数分離法を使っていたが、

そこで得られる方程式は大体スツルム・リウヴィル方程式になっていたこと

からも、スツルム・リウヴィル方程式の有用性がわかるだろう。

144 第 5章 グリーン関数

正則なスツルム・リウヴィル問題の S は自己随伴

２階微分可能な関数 u, vを考える。スツルム・リウヴィル方程式より u(x)

と v(x)の複素共役 v∗(x)について

v∗(x)S[u(x)]− S[v∗(x)]u(x) = d

dx

(p(x)

(v∗(x)

du(x)

dx− dv∗(x)

dxu(x)

))(5.7.9)

両辺を [a, b]で積分すると∫ b

a

dx(v∗(x)S[u(x)]− S[v∗(x)]u(x)) = p(x)

(v∗(x)

du(x)

dx− dv∗(x)

dxu(x)

)∣∣∣∣ba

(5.7.10)

２つの関数が同じ境界条件にしたがうとする。同次境界条件の場合、つまり

Ba = Bb = 0ならば右辺はゼロである。今、

⟨v, u⟩ ≡∫ b

a

dxv∗(x)u(x) (5.7.11)

によって内積を定義するならば18、S は同次境界条件の元で自己随伴演算子であることがわかる。

なお、周期境界条件の元でも右辺はゼロになるので自己随伴である。

固有値が実数であること

u(x)が S の固有関数であったとする。

S[u(x)] = −λr(x)u(x) (5.7.12)

このとき複素共役 u∗(x)もまた固有関数で、その固有値は λ∗である。すると、

⟨u,Su⟩ = −λ⟨u, ru⟩ = ⟨Su, u⟩ = −λ∗⟨ru, u⟩ (5.7.13)

したがって

(λ∗ − λ)

∫ b

a

dxr(x)|u(x)|2 = 0 (5.7.14)

仮定より r(x) > 0なので、λ∗ = λ、つまり固有値は実数である。これは自己

随伴演算子であれば成り立つので、同次境界条件でも周期境界条件でも成り

立つ。

18最初に v(x)の複素共役でなくて v(x)そのものを考えた場合は、被積分関数が v(x)u(x)になる。でも、複素数値関数まで考える場合、(u(x))2 は必ずしも非負ではないので、内積としてうれしくない。それで複素共役を考えた。

5.7. スツルム・リウヴィル方程式 145

固有値が 0より大きくなる場合

u(x)が S の固有関数であったとする。

S[u(x)] = −λr(x)u(x) (5.7.15)

このとき u∗(x)をかけて積分すると、∫ b

a

u∗(x)S[u(x)]dx = −λ∫ b

a

dxr(x)|u(x)|2 (5.7.16)

左辺は、∫ b

a

u∗(x)S[u(x)]dx =

∫ b

a

(u∗(x)

d

dx

(p(x)

du(x)

dx

)+ q(x)|u(x)|2

)dx

= u∗(x)p(x)du(x)

dx

∣∣∣∣ba

+

∫ b

a

(−p(x)

∣∣∣∣du(x)dx

∣∣∣∣2 + q(x)|u(x)|2)dx (5.7.17)

したがって、p(x) > 0, q(x) < 0かつ

p(a)u∗(a)du(a)

dx= p(b)u∗(b)

du(b)

dx(5.7.18)

であれば λ > 0である。

相異なる固有値に属する固有関数が直交すること

同次境界条件を課したスツルム・リウヴィルの固有値問題の、相異なる固

有値に属する２つの解 u1(x), u2(x)を考える。

⟨u1,Su2⟩ = −λ2⟨u1, ru2⟩ = ⟨Su1, u2⟩ = −λ1⟨ru1, u2⟩ (5.7.19)

より

(λ1 − λ2)

∫ b

a

dxr(x)u∗1(x)u2(x) = 0 (5.7.20)

仮定より λ1 = λ2 であるから、固有関数は重み関数 r(x)を考慮した内積

(u, v)r ≡∫ b

a

dxr(x)u∗(x)v(x) (5.7.21)

の元で直交する。

(u1, u2)r = 0 (5.7.22)

これは自己随伴演算子であれば成り立つので、同次境界条件でも周期境界条

件でも成り立つ。

146 第 5章 グリーン関数

正則なスツルム・リウヴィル固有値問題の固有値に属する固有関数は一つに

限られる

u(x), v(x)がともに固有値 λに属する S の固有関数であったとする。

S[u(x)] = −λr(x)u(x), (5.7.23)

S[v(x)] = −λr(x)v(x), (5.7.24)

このとき、

v(x)S[u(x)]− u(x)S[v(x)] = v(x)(−λr(x))u(x)− u(x)(−λr(x))v(x) = 0

(5.7.25)

一方また

v(x)S[u(x)]− u(x)S[v(x)] = d

dx

(p(x)

(v(x)

du(x)

dx− u(x)

dv(x)

dx

))(5.7.26)

よって

p(x)

(v(x)

du(x)

dx− u(x)

dv(x)

dx

)(5.7.27)

は定数である。しかるに同次境界条件よりこの定数はゼロであるから、仮定

p(x) > 0より

v(x)du(x)

dx− u(x)

dv(x)

dx= 0 (5.7.28)

これは解くことができて、

d ln |u(x)|dx

=d ln |v(x)|

dx(5.7.29)

すなわち C を定数として

v(x) = Cu(x) (5.7.30)

であり、たかだか定数倍しか異ならない。または、(v, v)r = 1 = (u, u)r = 1

のように規格化された固有関数を考えると、位相程度の違いしかない (つま

り、θを適当な実定数として C = eiθ。)。さらに v(x) = u∗(x)とすればわか

るとおり、正則なスツルム・リウヴィルの固有値問題の固有関数は本質的に

実数関数である。

この定理は周期境界条件では成り立たない。すなわち、u(x)が固有値 λに

属する固有関数であれば、u∗(x)もまた同じ固有値 λに属する固有関数であっ

て、これらは互いに独立である。

5.7. スツルム・リウヴィル方程式 147

正則なスツルム・リウヴィル固有値問題の固有値が可算無限個あること

定理 11. 正則なスツルム・リウヴィル方程式の固有値は可算無限個あり、

λ0 < λ1 < λ2 < · · · (5.7.31)

のように順番づけることができる。また、

λ∞ = ∞ (5.7.32)

である。

証明は省略する。周期境界条件の場合、λi < λi+1が λi ≤ λi+1などとなる。

固有関数系によるフーリエ式展開

次の定理は有用である。

定理 12. [a, b] において重み r(x) の元での任意の２乗可積分関数 f(x) ∈L2(r)[a, b]に対して正則なスツルム・リウヴィル方程式の固有関数 ui(x)は完

全で、以下のようにフーリエ式に展開できる。

f(x) ∼∑k

ckuk(x), (5.7.33)

ck =(uk, f)r(uk, uk)r

(5.7.34)

対応関係 ∼は平均収束の意味での対応を表す。f(x)が区分的に滑らかであれば、級数は

1

2(f(x+ 0) + f(x− 0))

に収束する。また、区分的に滑らかかつ連続であれば、級数は f(x)に一様収

束する。

証明は省略する。

f(x)が区分的滑らかかつ連続のとき等号が成り立つので、

f(x) =∑k

(uk, f)r(uk, uk)r

uk(x) =1

(uk, uk)r

∫ b

a

dyf(y)r(y)∑k

u∗k(y)uk(x)

(5.7.35)

よって

r(y)

(uk, uk)r

∑k

u∗k(y)uk(x) = δ(x− y) (5.7.36)

である。

周期境界条件を課しても同様の定理が成り立つ。

148 第 5章 グリーン関数

5.7.1 スツルム・リウヴィル方程式のグリーン関数の固有関数展開

スツルム・リウヴィル方程式に、さらに非同次境界条件と源泉項も考えた

方程式を解くことを考える。

S[u(x)] ≡d

dx

(p(x)

d

dx

)+ q(x)

u(x, x) = −f(x), (5.7.37)

cau(a) + dau′(a) = Ba, cbu(b) + dbu

′(b) = Bb, (5.7.38)

ただし、正則なスツリム・リウヴィル系と同じく、q(x)と p(x) > 0は連続な

関数で、p(x)は微分可能とする。また、ca, cb, da, db, Ba, Bbは全て実定数と

する。この方程式をグリーン関数の方法を使って解くことを考える。

グリーン関数のしたがう方程式は、

S[G(x, y)] ≡d

dx

(p(x)

d

dx

)+ q(x)

G(x, y) = −δ(x− y), (5.7.39)

caG(a, y) + daG′(a, y) = 0, cbG(b, y) + dbG

′(b, y) = 0, (5.7.40)

である。

さて、正則なスツリム・リウヴィル系の固有値問題の正規化された19解の

集合を ϕkとする。

S[ϕk(x)] = −λkr(x)ϕk(x), (5.7.41)

caϕk(a) + daϕ′k(a) = 0, cbϕk(b) + dbϕ

′k(b) = 0, (5.7.42)

(ϕk, ϕℓ)r = δkℓ (5.7.43)

ここでもやはり正則な問題を考えて、r(x) > 0は連続な関数とする。また、

正則な問題を考えているので固有関数は実数関数で、内積は

(v, u)r =

∫ b

a

dxr(x)v(x)u(x) (5.7.44)

と定義する。

この解の集合によってグリーン関数を展開することを考える。すなわち、

G(x, y) =∑k

ck(y)ϕk(x), (5.7.45)

このとき係数 ckは yの関数である。スツルム・リウヴィル演算子を作用させ

ると、

S[G(x, y)] = −∑k

λkck(y)r(x)ϕk(x) = −δ(x− y), (5.7.46)

(5.7.47)

19「正規化された」= 「ノルムが 1 の」

5.7. スツルム・リウヴィル方程式 149

両辺に ϕℓ(x)をかけて xで積分すると20、

λkck(y) = ϕ(y), (5.7.48)

よって λk = 0であれば21

ck(y) =ϕk(y)

λk, (5.7.49)

よって

G(x, y) =∑k

ϕk(x)ϕk(y)

λk, (5.7.50)

である。グリーン関数の相反性G(x, y) = G(y, x)もわかる。また、グリーン

関数は固有関数 ϕk(x)と同じ同次境界条件を満たす。

さて∫ b

a

dy(G(x, y)S[u(y)]− S[G(x, y)]u(y)) =∫ b

a

dy(−G(x, y)f(y) + δ(x− y)u(y))

= −∫ b

a

dyG(x, y)f(y) + u(x)

(5.7.51)

であるが、一方∫ b

a

dy(G(x, y)S[u(y)]− S[G(x, y)]u(y))

=

∫ b

a

dy

(G(x, y)

d

dy

(p(y)

du(y)

dy

)− u(y)

d

dy

(p(y)

dG(x, y)

dy

))=

[p(y)G(x, y)

du(y)

dy− p(y)u(y)

dG(x, y)

dy

]y=by=a

(5.7.52)

よって

u(x) =

∫ b

a

dyG(x, y)f(y) +

[p(y)

(G(x, y)

du(y)

dy− u(y)

dG(x, y)

dy

)]y=by=a

(5.7.53)

もちろん u(x)が同次境界条件にしたがうのなら、最後の境界項はゼロである。

例 41.

d2u(x)

dx2= f(x), (5.7.54)

u(0) = 0, u(L) = 0 (5.7.55)

20周期境界条件のときには ϕ∗ℓ (x) をかける。21ある k について λk = 0 であるとき、グリーン関数は求まらない。しかしこの場合、広義グリーン関数というものを定義できて、グリーン関数として利用できる。詳しくは [5]を参照のこと。

150 第 5章 グリーン関数

を解く。同次方程式の固有関数は

d2ϕ(x)

dx2+ λϕ(x) = 0, (5.7.56)

ϕ(0) = 0, ϕ(L) = 0 (5.7.57)

を満たし、

ϕ(x) = A sinnπx

L, (5.7.58)

λ =n2π2

L2(5.7.59)

である。係数 Aは

1 =

∫ L

0

ϕ2(t) =LA2

2(5.7.60)

より定める。グリーン関数は、

G(x, y) =

∞∑n=1

2L

n2π2sin

nπx

Lsin

nπy

L(5.7.61)

と求まるので、

u(x) =

∫ L

0

dyf(y)

∞∑n=1

2L

n2π2sin

nπx

Lsin

nπy

L(5.7.62)

となる。

5.7.2 同次方程式の解による非斉次スツルム・リウヴィル方程式の解

さて、また式 (5.7.38)に戻ろう。いま、f(x) = 0とした同次方程式を考え、

境界条件を無視してしまうと２階線形微分方程式なので、線形独立な２つの

解 ψ1(x), ψ2(x)が存在する。すると非斉次方程式の特解は実は、

u(x) = ψ1(x)

∫ x

a

f(y)ψ2(y)

p(y)W (ψ1, ψ2)dy + ψ2(x)

∫ b

x

f(y)ψ1(y)

p(y)W (ψ1, ψ2)dy (5.7.63)

とかけることが知られている。ただし、W (ψ1, ψ2) はロンスキアン (Wron-

skian)で、

W (ψ1, ψ2) =

∣∣∣∣∣ψ1(x)dψ1(x)dx

ψ2(x)dψ2(x)dx

∣∣∣∣∣ = ψ1(x)dψ2(x)

dx− ψ2(x)

dψ1(x)

dx(5.7.64)

である。また、

dp(x)W (ψ1, ψ2)

dx= ψ1(x)S[ψ2(x)]− ψ1(x)S[ψ1(x)] = 0 (5.7.65)

5.7. スツルム・リウヴィル方程式 151

であることに注意。

式 (5.7.63)が特解であることを確かめよう。

du(x)

dx=dψ1(x)

dx

∫ x

a

f(y)ψ2(y)

p(y)W (ψ1, ψ2)dy +

f(x)ψ1(x)ψ2(x)

p(x)W (ψ1, ψ2)

+dψ2(x)

dx

∫ b

x

f(y)ψ1(y)

p(y)W (ψ1, ψ2)dy − f(x)ψ2(x)ψ1(x)

p(x)W (ψ1, ψ2)

=dψ1(x)

dx

∫ x

a

f(y)ψ2(y)

p(y)W (ψ1, ψ2)dy +

dψ2(x)

dx

∫ b

x

f(y)ψ1(y)

p(y)W (ψ1, ψ2)dy

(5.7.66)

d2u(x)

dx2=d2ψ1(x)

dx2

∫ x

a

f(y)ψ2(y)

p(y)W (ψ1, ψ2)dy +

dψ1(x)

dx

f(x)ψ2(x)

p(x)W (ψ1, ψ2)

+d2ψ2(x)

dx2

∫ b

x

f(y)ψ1(y)

p(y)W (ψ1, ψ2)dy − dψ2(x)

dx

f(x)ψ1(x)

p(x)W (ψ1, ψ2)

=d2ψ1(x)

dx2

∫ x

a

f(y)ψ2(y)

p(y)W (ψ1, ψ2)dy +

d2ψ2(x)

dx2

∫ b

x

f(y)ψ1(y)

p(y)W (ψ1, ψ2)dy

− f(x)

p(x)(5.7.67)

よって

C1(x) ≡∫ x

a

f(y)ψ2(y)

p(y)W (ψ1, ψ2)dy, (5.7.68)

C2(x) ≡∫ b

x

f(y)ψ1(y)

p(y)W (ψ1, ψ2)dy (5.7.69)

とおくと、

p(x)d2u(x)

dx2+dp(x)

du(x)dx+ q(x)u(x)

= C1(x)p(x)d2ψ1(x)

dx2+ C2(x)p(x)

d2ψ2(x)

dx2− f(x)

+dp(x)

dx

(C1(x)

dψ1(x)

dx+ C2(x)

dψ2(x)

dx

)+ q(x) (C1(x)ψ1(x) + C2(x)ψ2(x))

= −f(x) (5.7.70)

仮定より ψ1,2(x)は同次方程式の解であることに注意しよう。

境界条件について考えておこう。今得られた解は特解だが、D1, D2を定数

として、これに以下のように同次解を加えてもやはり方程式を満たす。

u(x) = C1(x)ψ1(x) + C2(x)ψ2(x) +D1ψ1(x) +D2ψ2(x) (5.7.71)

これより u(x)の満たすべき境界条件からD1, D2を決めれば求めるべき解が

得られる。表記上の違いだが、C1,2(x)の定義式の積分を原始関数として

u(x) = ψ1(x)

∫ x f(y)ψ2(y)

p(y)W (ψ1, ψ2)dy − ψ2(x)

∫ x f(y)ψ1(y)

p(y)W (ψ1, ψ2)dy (5.7.72)

152 第 5章 グリーン関数

とかけば、積分定数D1,2 に対応する定数は自動的にこの表式に含まれる22。

さて最後に f(x) = δ(x− ξ)とおくとグリーン関数 (正確には主要解)が得

られる。

C1(x) =

∫ x

a

δ(y − ξ)ψ2(y)

p(y)W (ψ1, ψ2)dy =

ψ2(ξ)

p(x)W (ψ1, ψ2)Θ(x− ξ), (5.7.77)

C2(x) =

∫ b

x

δ(y − ξ)ψ1(y)

p(y)W (ψ1, ψ2)dy =

ψ1(ξ)

p(x)W (ψ1, ψ2)Θ(ξ − x) (5.7.78)

に気をつけると、

G(x, ξ) =1

p(x)W (ψ1, ψ2)(ψ1(x)ψ2(ξ)Θ(x− ξ) + ψ2(x)ψ1(ξ)Θ(ξ − x))

(5.7.79)

ただしこれは主要解であって、ψ1,2(x)の満たす境界条件に対応する境界条件

を満たすものであることに注意。

22最初に C1 の積分下限と C2 の積分上限を a, bととったことは u(x)に対して特定のディリクレ境界条件をとったことに対応している。実際、

C1(a) = 0, (5.7.73)

C2(b) = 0 (5.7.74)

であるから、

u(a) = C2(a)ψ2(a), (5.7.75)

u(b) = C1(b)ψ1(b) (5.7.76)

である。逆にディリクレ問題の場合で u(a), u(b) が与えられた場合は、対応する境界値を持つψ1,2(x) を用いても境界条件を満たす解が得られる。

153

第6章 ラプラス変換

物理の問題ではある時刻以降のことやある境界以降のことを問題にしたり

することが多い。たとえば、

d2z(t)

dt2= −g, (6.0.1)

z(0) = z0, (6.0.2)

dz(0)

dt= v0, (6.0.3)

などである。この章で説明するラプラス変換はこのような初期値問題に適し

た積分変換である。f(t)のフーリエ変換は ωを実数として (−∞,∞)での積

分が必要だった。

f(ω) = F [f(t)](ω) =

∫ ∞

−∞

dt

2πf(t)e−iωt (6.0.4)

ラプラス変換では、ωを複素数に拡張して s = σ+ iω (ただし、σ > 0は実数)

とおいてその代わり積分範囲を [0,∞)にする。e−σtという収束因子によって

デルタ関数などの超関数を使わなくても多くの関数 f(t)について積分に意味

を持たせることができる。先取りすると、

f(s) ≡ L[f(t)](ω) ≡∫ ∞

0

dtf(t)e−st (6.0.5)

を f(t)のラプラス変換1という2。最初の自由落下の例なら、両辺をラプラス

変換すると、

L[d2z(t)

dt2

]=

∫ ∞

0

dtd2z(t)

dt2e−st

=dz(t)

dte−st

∣∣∣∣∞0

+ s

∫ ∞

0

dtdz(t)

dte−st

= −v0 − sz0 + s2z(s), (6.0.6)

L [−g] = −g∫ ∞

0

dte−st =−gs

(6.0.7)

1より細かくは片側ラプラス変換。2フーリエ変換とは因子 2π の付け方が異なるが、ラプラス変換の場合こちらの方が楽な気が

する。もちろん、ラプラス変換とラプラス逆変換のどちらにどのような割合でつけても構わない。

154 第 6章 ラプラス変換

ただし、z(t)e−σt や dz(t)/dte−σt はある大きな実数 σ > 0について t → ∞で収束するとする。よって

z(s) =v0s2

+z0s

− g

s3(6.0.8)

さて nを自然数として

In ≡ L[tn](s) =∫ ∞

0

dttne−st

=1

−stne−st

∣∣∣∣∞0

+n

s

∫ ∞

0

dttn−1e−st

=n

sIn−1 =

n!

snI0 =

n!

sn+1(6.0.9)

なので、

z(t) = v0t+ z0 −g

2t2 (6.0.10)

を得る。tnのフーリエ変換は通常の意味では定義できないことに注意しよう。

また得られた解について、z(t)e−σtや dz(t)/dte−σtは任意の σ > 0について

t→ ∞で収束する。

6.1 ラプラス変換の定義と性質 定義 10 (ラプラス変換の定義). 関数 f(t)に対して、複素数 sがあって

f(s) = L[f(t)](s) =∫ ∞

0

dtf(t)e−st (6.1.1)

が存在するとき、f(s)を f(t)のラプラス変換 (Laplace Transformation)、

正確には片側ラプラス変換という。また、∫ ∞

−∞dtf(t)e−st (6.1.2)

が存在するとき、この結果を両側ラプラス変換という。 以下、片側ラプラス変換を考え、たんにラプラス変換というときには片側ラ

プラス変換を意味するものとする。

σ, ωを実数として、s = σ + iωとおくと

f(s) = L[f(t)](s) =∫ ∞

0

dtf(t)e−σte−iωt

= (2π)F [f(t)e−σtΘ(t)](ω) (6.1.3)

であり、ラプラス変換についてはフーリエ変換の公式や定理の多くが使える。

6.2. ラプラス逆変換 155

ラプラス変換では σ > 0ととることが多い。このときフーリエ変換よりも

多くの関数に対して積分が存在するからである。たとえば f(x) = 1のフーリ

エ変換は通常の意味では存在しない（デルタ関数になる）が、

L[1](s) =∫ ∞

0

dte−st =1

s(6.1.4)

となってラプラス変換は存在する。もちろん t→ ∞で e−st よりも早く発散

する関数のラプラス変換は存在しない。

一般にラプラス変換が s = s0 で存在するとき、Re[s] > Re[s0]なる全ての

sで存在する。実際、実数 T > 0, σ > σ0 > 0, ω に対して、s = σ + iω とお

くと、∣∣∣∣∣∫ T

0

dtf(t)e−σt−iωt

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∫ T

0

dtf(t)e−σ0t−iωte−(σ−σ0)

∣∣∣∣∣ <∣∣∣∣∣∫ T

0

dtf(t)e−σ0t−iωt

∣∣∣∣∣(6.1.5)

で、右辺が T → ∞で有界なら左辺も有界である。ラプラス変換が収束する複素領域のことを収束領域と呼ぶ。たとえば、

f(x) = 1のラプラス変換の 1/sの収束領域は Re[s] > 0である。

6.2 ラプラス逆変換

関数 f(t)のラプラス変換は、f(t)e−σtΘ(t) (σは実数)のフーリエ変換とみ

なせる。したがって、f(t)が区分的に滑らかかつ絶対可積分なら、∫ ∞

−∞dωeiωt

∫ ∞

−∞

dτ

2πf(τ)e−στΘ(τ)e−iωτ =

e−σt

2f(t+ 0) + f(t− 0)

(6.2.1)

が成り立つ（フーリエ変換の定義から ωは実数とする。）。よって、∫ ∞

−∞dωe(σ+iω)t

∫ ∞

0

dτ

2πf(τ)e−στe−iωτ =

1

2f(t+ 0) + f(t− 0) (6.2.2)

左辺で σ + iω = sと積分変数を変更すると、 1

2πi

∫ σ+i∞

σ−i∞dsestf(s) =

1

2f(t+ 0) + f(t− 0) (6.2.3)

というラプラス逆変換の公式を得る。

σは通常、f(s)のすべての特異点 s = ss の実数部よりも大きくとる。

ラプラス逆変換の操作を L−1 と書く。

L[f(t)](s) = f(s), (6.2.4)

L−1[f(s)](t) =1

2(f(t+ 0) + f(t− 0)), (6.2.5)

156 第 6章 ラプラス変換

6.3 基本的な性質

a, bを定数、f(t), g(t)のラプラス変換が存在すると仮定する。以下のほと

んどの性質・公式は定義より自明。

1. 定義より明らかにラプラス変換は線形変換である。

L[af(t) + bg(t)](s) = aL[f(t)](s) + bL[g(t)](s) (6.3.1)

2. 変数の伸縮：a > 0とすると、

L[f(at)](s) = limT→∞

∫ T

0

f(at)e−stdt = limT→∞

1

a

∫ T/a

0

f(ξ)e−sa ξdξ

=1

af( sa

)(6.3.2)

3. 平行移動

L[eatf(t)](s) =∫ ∞

0

f(at)e−(s−a)tdt

= f (s− a) (6.3.3)

4. a > 0のとき、

L[f(t+ a)](s) = esaf(s)−

∫ a

0

f(ξ)e−sξdξ

, (6.3.4)

L[f(t− a)](s) = e−saf(s) +

∫ 0

−af(ξ)e−sξdξ

, (6.3.5)

実際、

L[f(t+ a)](s) =

∫ ∞

0

f(t+ a)e−stdt = esa∫ ∞

a

f(ξ)e−sξdξ

= esaf(s)−

∫ a

0

f(ξ)e−sξdξ

(6.3.6)

L[f(t− a)](s) =

∫ ∞

0

f(t− a)e−stdt = e−sa∫ ∞

−af(ξ)e−sξdξ

= e−saf(s) +

∫ 0

−af(ξ)e−sξdξ

(6.3.7)

5. べき関数のラプラス変換：

L[tnf(t)](s) = (−1)ndnf(s)

dsn(6.3.8)

実際、

dnf(s)

dsn=

dn

dsn

∫ ∞

0

f(t)e−stdt =

∫ ∞

0

(−1)ntnf(t)e−stdt (6.3.9)

6.3. 基本的な性質 157

6. 微分のラプラス変換：

L[f ′(t)](s) =∫ ∞

0

f ′(t)e−stdt = f(t)e−st∣∣∞t=0

+ sf(s)

= sf(s)− f(0) (6.3.10)

さらに、

L[dnf(t)

dtn

](s) = snf(s)− sn−1f(0)− sn−2 df(0)

dt− · · · − dn−1f(0)

dtn−1

(6.3.11)

この式は微分方程式の初期値問題をラプラス変換を使って解くときに有

用である。

7. 積分のラプラス変換：式 (6.3.10)より、

L[d

dt

∫ t

0

f(τ)dτ

](s) = sL

[∫ t

0

f(τ)dτ

](s) (6.3.12)

したがって、

L[∫ t

0

f(τ)dτ

](s) =

1

sf(s) (6.3.13)

8. 合成積のラプラス変換：f+(t) ≡ f(t)Θ(t)と g+(t) ≡ g(t)Θ(t)の合成積

(f+ ∗ g+)(τ) = (f(t)Θ(t) ∗ g(t)Θ(t))(τ) =1

2π

∫ ∞

−∞dρf(τ − ρ)Θ(τ − ρ)g(ρ)Θ(ρ)

=1

2π

∫ τ

0

dρf(τ − ρ)g(ρ) (6.3.14)

のラプラス変換は、

L[(f+ ∗ g+)(τ)](s) =1

2π

∫ ∞

0

dτe−sτ∫ ∞

0

dρf+(τ − ρ)g+(ρ)

=1

2π

∫ ∞

0

dτe−s(τ−ρ)f+(τ − ρ)

∫ ∞

0

dρe−sρg+(ρ)

=1

2πf+(s)g+(s)

=1

2πf(s)g(s) (6.3.15)

9. 積のラプラス変換：fσ(t) ≡ f+(t)e−σ1t ≡ f(t)e−σ1tΘ(t) と gσ(t) ≡

e−σ2tg+(t) ≡ e−σ2tg(t)Θ(t)の積のフーリエ変換を考える。

1

2π

∫ ∞

−∞fσ(t)gσ(t)e

−iωtdt =

∫ ∞

−∞f+(ω − Ω)g+(Ω)dΩ (6.3.16)

158 第 6章 ラプラス変換

左辺は、s ≡ σ1 + σ2 + iωとして

1

2π

∫ ∞

0

f+(t)g+(t)e(σ1+σ2−iω)tdt =

1

2πL[f+(t)g+(t)](s) =

1

2πL[f(t)g(t)](s)

(6.3.17)

右辺は、∫ ∞

−∞f+(ω − Ω)g+(Ω)dΩ =

1

(2π)2

∫ ∞

−∞f+(σ1 + iω − iΩ)g+(σ2 + iΩ)dΩ

=1

(2π)2i

∫ σ2+i∞

σ2−i∞f+(s− s2)g+(s2)ds2

(6.3.18)

よって、記号を適当に定義しなおして、

L[f+(t)g+(t)](s) =1

2πi

∫ σ+i∞

σ−i∞f+(s− ρ)g+(ρ)dρ (6.3.19)

定理 13 (初期値定理と最終値定理). 以下が成り立つ。

1. 最終値定理：limt→∞ f(t) が存在するならば、

limt→∞

f(t) = lims→0

sf(s) (6.3.20)

2. 初期値定理 lims→∞ sf(s) が存在するならば、

f(0) = lims→∞

sf(s) (6.3.21) 証明.

sf(s) =

∫ ∞

0

sf(t)e−stdt

= − f(t)e−st∣∣∞0

+

∫ ∞

0

df(t)

dte−stdt = f(0) +

∫ ∞

0

df(t)

dte−stdt

(6.3.22)

ここで s→ 0の極限をとると

lims→0

sf(s) = f(0) +

∫ ∞

0

df(t)

dtdt = lim

t→∞f(t) (6.3.23)

また、s→ ∞の極限をとると f(0)。

最終値定理を使うと、関数 f(t)の t → ∞での値をラプラス変換から求めることができる。ただし、仮定に注意。たとえば、

f(t) = cosωt, (6.3.24)

f(s) =s

s2 + ω2(6.3.25)

6.4. 例題 159

だが、

lims→0

sf(s) = 0 (6.3.26)

は最終値ではない（limt→∞ cosωtは存在しない）。

6.4 例題

例 42. eat のラプラス変換は、

L[eat](s) =∫ ∞

0

dteate−st =1

s− a(6.4.1)

ただし、Re[s] > Re[a]。

例 43. ωを実数として sinωt, cosωtのラプラス変換は、

L[sinωt](s) = L[eiωt − e−iωt

2i

](s)

=1

2i

(1

s− iω− 1

s+ iω

)=

ω

s2 + ω2(6.4.2)

L[cosωt](s) = L[eiωt + e−iωt

2

](s)

=1

2

(1

s− iω+

1

s+ iω

)=

s

s2 + ω2(6.4.3)

収束領域は Re[s] > 0。

例 44. a > 0を実数として sinh at, cosh atのラプラス変換は、

L[sinh at](s) = L[eat − e−at

2

](s)

=1

2

(1

s− a− 1

s+ a

)=

a

s2 − a2(6.4.4)

L[cosh at](s) = L[eat + e−at

2

](s)

=1

2

(1

s− a+

1

s+ a

)=

s

s2 − a2(6.4.5)

収束領域はともに Re[s] > a。

160 第 6章 ラプラス変換

例 45. tn のラプラス変換は、

L[tn](s) = (−1)ndn

dsn1

s= (−1)n

dn−1

dsn−1

−1

s2=

n!

sn+1(6.4.6)

収束領域は Re[s] > 0。

例 46.

f(s) =1

s− a(6.4.7)

のラプラス逆変換は、

L−1

[1

s− a

](t) =

∫ σ+i∞

σ−i∞

ds

2πi

est

s− a

s = σ + iξ、ただし、σ, ξは実数として

= eσt∫ ∞

−∞

dξ

2πi

eiξt

ξ − i(σ − a)(6.4.8)

t > 0のとき複素上半面に積分経路をとり、t < 0のとき複素下半面に積分経

路をとって複素積分を実行する。σ > Re[a]のとき被積分関数の極は複素上

半面に存在することに注意すると、

L−1

[1

s− a

](t) = eσte−(σ−a)Θ(t) = eatΘ(t) (6.4.9)

を得る3。

例 47. nを非負整数 (0, 1, 2, · · · )として

f(s) =1

(s− a)n+1(6.4.11)

のラプラス逆変換を計算する。ただし、aは複素数。

Ress→a

[est

(s− a)n+1

]=tneat

n!(6.4.12)

なので、

L−1

[1

(s− a)n+1

](t) =

tneat

n!Θ(t) (6.4.13)

を得る。3σ < Re[a] ととってしまうと −eatΘ(−t) を得る。これは両側ラプラス変換∫ ∞

−∞dt(−eatΘ(−t))e−st = −

∫ 0

−∞dteate−st = −

e(a−s)t

a− s

∣∣∣∣∣0

−∞

(6.4.10)

が Re[s] < a のときに 1/(s− a) となることに対応する。

6.4. 例題 161

例 48. ただし a = bとして

f(s) =1

(s+ a)(s+ b)(6.4.14)

のラプラス逆変換を求める。ただし、a, bは複素数。

f(s) =1

b− a

(1

s+ a− 1

s+ b

)(6.4.15)

より、

L−1[f(s)](t) =1

b− a

(L−1

[1

s+ a

]− L−1

[1

s+ b

])=

1

(b− a)(e−at − e−bt)Θ(t) (6.4.16)

例 49.

f(s) =1

(s+ a)2(6.4.17)

のラプラス逆変換を求める。

f(s) = limb→a

1

(s+ a)(s+ b)(6.4.18)

より、

L−1[f(s)](t) = limb→a

e−at

(b− a)(1− e(a−b)t) = te−atΘ(t) (6.4.19)

例 50. 一般の有利関数

f(s) =N(s)

D(s)=sm + b1s

m−1 + b2sm−2 + · · ·+ bm

sn + a1sn−1 + a2sn−2 + · · ·+ an(6.4.20)

(ただし n,m整数で n > m ≥ 0)を考える。D(s) = 0に重解がないとしてそ

の解を λ1, λ2, · · ·λn とすると、

f(s) =R1

s− λ1+

R2

s− λ1+ · · ·+ Rn

s− λn(6.4.21)

と書ける。ただし、Ri は λi に対応する留数で、

Ri = lims→λi

[(s− λi)f(s)

]=N(λi)

D′(λi)(6.4.22)

である。したがって、

f(t) = L−1[f(s)](t) =

n∑i=1

RieλitΘ(t) (6.4.23)

この式から、Re[λi] < 0なら limt→∞ f(t) = 0であることがわかる。関数

f(t)は t → ∞に対して |f(t)| → 0となるとき安定であるという。したがっ

て f(t)が一般の有利関数の形でかけるとき、そのすべての極の実部がすべて

負なら f(t)は安定である。

162 第 6章 ラプラス変換

問題 35. 以下の関数のラプラス変換を求めよ。ただし、a, bは実数とする。

また必要ならガンマ関数

Γ(z) =

∫ ∞

0

tz−1e−tdt, (Re[z] > 0), (6.4.24)

を使うこと。

1. f(t) = ta (a > −1)

2. f(t) = taebt (a > −1)

3. f(t) = eat cos bt

4. f(t) = eat sin bt

5. f(t) = Θ(t− a) (a > 0)

6. f(t) = δ(t− a) (a > 0)

例 51. 関数 f(t)を t ≥ 0で定義された周期 T の周期関数とする (T は実数)。

また、

g(t) =

f(t), 0 ≤ t ≤ T,

0, それ以外(6.4.25)

とする。このとき、f(t)のラプラス変換は、

L[f(t)](s) =∫ ∞

0

f(t)e−stdt =

∞∑n=0

∫ (n+1)T

nT

f(t)e−stdt

=

∞∑n=0

∫ (n+1)T

nT

g(t− nT )e−stdt =

∞∑n=0

∫ T

0

g(η)e−s(η+nT )dη

=

∞∑n=0

e−sTn∫ T

0

g(η)e−sηdη = L[g(t)](s)∞∑n=0

e−sTn (6.4.26)

したがって、

L[f(t)](s) = L[g(t)](s)1− e−sT

(6.4.27)

問題 36. 以下の関数のラプラス変換を求めよ。

f(t) =

1, (0 ≤ t ≤ L),

0, (L < t < 2L), (6.4.28)

f(t+ 2L) = f(t) (6.4.29)

問題 37. 以下の関数のラプラス逆変換を求めよ。nを非負整数、a, bを複素

定数として

f(s) =1

(s− a)(s− b)n+1(6.4.30)

6.5. ラプラス変換の応用 163

問題 38. 6.3節のラプラス変換の性質 5によると

L[tf(t)](s) = −f ′(s) (6.4.31)

である。このことを使うと、g(s) = f ′(s)なる g(s)のラプラス逆変換が

L−1[g(s)](t) = −tL−1

[∫ s

g(s)ds

](6.4.32)

と求まる。g(s)のラプラス逆変換を求めるのは難しいけれども、その積分の

ラプラス逆変換を求めることが可能なときには有用である。

このことを使って以下の関数のラプラス逆変換を求めよ。ωを実定数として

f(s) =2ωs

(s2 + ω2)2(6.4.33)

6.5 ラプラス変換の応用

例 52. 以下の２階微分方程式の初期値問題を解く。

d2x(t)

dt2+ a

dx(t)

dt+ bx(t) = f(t), (6.5.1)

x(0) = x0, (6.5.2)

dx(0)

dt= v0 (6.5.3)

6.3節の性質 6を参照して微分方程式をラプラス変換すると、

s2x(s)− sx(0)− dx(0)

dt+ a (sx(s)− x(0)) + bx(s) = f(s), (6.5.4)

x(s)について解いて

x(s) =1

s2 + as+ b

(f(s) + x(0)s+

dx(0)

dt+ ax(0)

)=

1(s+ a

2

)2+ b− a2

4

(f(s) +

(s+

a

2

)x(0) +

dx(0)

dt+a

2x(0)

)(6.5.5)

ここで 6.3節の性質 3と例題 43により

L−1

[1(

s+ a2

)2+ b− a2

4

]= e−

a2 tL−1

[1

s2 + b− a2

4

]=

e−a2 t√

b− a2

4

sin

√b− a2

4t,

(6.5.6)

L−1

[s+ a

2(s+ a

2

)2+ b− a2

4

]= e−

a2 tL−1

[s

s2 + b− a2

4

]= e−

a2 t cos

√b− a2

4t

(6.5.7)

164 第 6章 ラプラス変換

さらに 6.3節の性質 8 により、

L−1

[f(s)(

s+ a2

)2+ b− a2

4

]=

∫ t

0

dτe−

a2 (t−τ)√b− a2

4

sin

√b− a2

4(t− τ)f(τ)

(6.5.8)

以上より、

x(t) = e−a2 t

1√b− a2

4

(v0 +

a

2x0

)sin

(t

√b− a2

4

)+ x0 cos

(t

√b− a2

4

)+

∫ t

0

dτe−

a2 (t−τ)√b− a2

4

f(τ) sin

((t− τ)

√b− a2

4

)(6.5.9)

この解に t = 0を入れると x(0) = x0。また、

dx(t)

dt= −a

2x(t)

+ e−a2 t

[(v0 +

a

2x0

)cos

(t

√b− a2

4

)−√b− a2

4x0 sin

(t

√b− a2

4

)]

+

∫ t

0

dτe−a2 (t−τ)f(τ) cos

((t− τ)

√b− a2

4

)(6.5.10)

より、

dx(0)

dt= v0 (6.5.11)

となって境界条件を確かに満たす。微分方程式を満たすことは直接代入する

ことでわかる。

問題 39. 以下の微分方程式を解け。

d2x(t)

dt2+ 4

dx(t)

dt+ 3x(t) = sinωt, (6.5.12)

x(0) = x0, (6.5.13)

dx(0)

dt= v0 (6.5.14)

問題 40. 以下の微分方程式を解け。

d2x(t)

dt2+ 4

dx(t)

dt+ 4x(t) = 0, (6.5.15)

x(0) = x0, (6.5.16)

dx(0)

dt= v0 (6.5.17)

6.5. ラプラス変換の応用 165

問題 41. 以下の微分方程式を解け。

d2x(t)

dt2+ 3

dx(t)

dt+ 2x(t) = e−3t, (6.5.18)

x(0) = 0, x′(0) = 0 (6.5.19)

問題 42. 以下の微積分方程式を解け。

dx(t)

dt+ 9

∫ t

0

x(t)dt =1

3sin 3t, (6.5.20)

x(0) = 0, (6.5.21)

例 53. 1次元波動方程式をラプラス変換を使って解く。例として以下の問題

を考える。

∂2u(x, t)

∂t2= c2

∂2u(x, t)

∂x2, (6.5.22)

u(x, 0) = f(x) = sinπx

L,

∂u(x, 0)

∂t= 0, (6.5.23)

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, (6.5.24)

tについてのラプラス変換

ut(x, η) =

∫ ∞

0

dte−ηtu(x, t) (6.5.25)

により、

η2ut(x, η)− ηu(x, 0)− ∂u(x, 0)

∂t= c2

∂2ut(x, t)

∂x2(6.5.26)

左辺第２項は −ηf(x)に等しく、第３項は初期条件によりゼロ。

η2ut(x, η)− ηf(x) = c2∂2ut(x, η)

∂x2(6.5.27)

次に xについてラプラス変換すると、

η2u(ξ, η)− ηf(ξ) = c2(ξ2u(ξ, η)− ξut(0, η)−

∂ut(0, η)

∂x

)(6.5.28)

右辺第２項は境界条件によりゼロ。第３項を h(η) ≡ ∂ut(0, η)/∂xと置くと、

(η2 − c2ξ2)u(ξ, η) = ηf(ξ)− c2h(η) (6.5.29)

ξについてラプラス逆変換をすると、

ut(x, η) = −1

c

∫ x

0

sinhη

c(x− y)f(y)dy +

c

ηsinh

ηx

ch(η) (6.5.30)

境界条件 u(L, t) = 0により h(η)を解く。

h(η) =1

sinh ηLc

η

c2

∫ L

0

sinhη

c(L− y)f(y)dy (6.5.31)

166 第 6章 ラプラス変換

ここで積分を計算すると、∫ x

0

sinhη

c(x− y) sin

πy

Ldy =

cL

L2η2 + π2c2

(−Lη sin πx

L+ πc sinh

ηx

c

)(6.5.32)

よって、

h(η) =πLη

L2η2 + π2c2(6.5.33)

h(η)を元の式に戻して

ut(x, η) = − L

L2η2 + π2c2

(−Lη sin πx

L+ πc sinh

ηx

c

)+

πcL

L2η2 + π2c2sinh

ηx

c

=L2η

L2η2 + π2c2sin

πx

L(6.5.34)

ηについてラプラス逆変換して答えを得る。

u(x, t) = sinπct

Lsin

πx

L(6.5.35)

例 54. 未知関数が積分内に含まれている方程式を積分方程式という。K(x, y), f(x)

を既知関数、ϕ(x)を未知関数として、よく研究されている有名な型の積分方

程式に以下のものがある。

ヴォルテラ (Volterra)の第 1種積分方程式∫ x

a

K(x, y)ϕ(y)dy = f(x), (6.5.36)

ヴォルテラ (Volterra)の第 2種積分方程式

ϕ(x)−∫ x

a

K(x, y)ϕ(y)dy = f(x), (6.5.37)

フレドホルム (Fredholm)の第 1種積分方程式∫ b

a

K(x, y)ϕ(y)dy = f(x), (6.5.38)

フレドホルム (Fredholm)の第 2種積分方程式

ϕ(x)−∫ b

a

K(x, y)ϕ(y)dy = f(x), (6.5.39)

フレドホルム型とヴォルテラ型では、積分が定積分か不定積分かが異なる。

K(x, y)を積分核と呼ぶ。積分核がK(x, y) = K(x− y)のように書かれる

とき、畳み込み積分を含む方程式となるため、フーリエ変換やラプラス変換

が便利である。

6.5. ラプラス変換の応用 167

たとえば、t < 0ではゼロとなる関数 ϕ(t),K(t)について以下を解く。

ϕ(t) +

∫ t

0

K(t− τ)ϕ(τ)dτ = t, (6.5.40)

K(t) = t, (6.5.41)

ラプラス変換すると、

ϕ(s) +ϕ(s)

s2=

1

s2(6.5.42)

よって

ϕ(s) =1

s2 + 1(6.5.43)

ラプラス逆変換すると、

ϕ(t) = Θ(t) sin t (6.5.44)

を得る。

例 55. ラプラス変換は差分方程式を解くときに使えることがある。例として

以下の差分方程式をラプラス変換を使って解く。

f(t+ 2) + 3f(t+ 1) + 2f(t) = t, (6.5.45)

f(t) = 0, (0 ≤ t ≤ 2) (6.5.46)

ラプラス変換すると、

e2s(f(s)−

∫ 2

0

f(ξ)e−sξdξ

)+ 3es

(f(s)−

∫ 1

0

f(ξ)e−sξdξ

)+ 2f(s) =

1

s2

(6.5.47)

積分は条件 f(t) = 0 (0 ≤ t ≤ 2)より消える。f(s)について解くと、

f(s) =1

s2(e2s + 3es + 2)=

1

s2(es + 2)(es + 1)

=1

s2

(1

es + 1− 1

es + 2

)=e−s

s2

∞∑n=0

(−1)ne−ns − e−s

s2

∞∑n=0

(−1)n2ne−ns

(6.5.48)

ここで

L[(t− a)Θ(t− a)] =

∫ ∞

0

dt(t− a)Θ(t− a)e−st =

∫ ∞

a

dt(t− a)e−st

= − t− a

se−st

∣∣∣∣∞a

+1

s

∫ ∞

a

dte−st = − e−st

s2

∣∣∣∣∞a

=e−sa

s2(6.5.49)

168 第 6章 ラプラス変換

に注意すると、

f(t) =

∞∑n=0

(−1)n(1− 2n)(t− n− 1)Θ(t− n− 1)

= (t− 2)Θ(t− 2)− 3(t− 3)Θ(t− 3) + 7(t− 4)Θ(t− 4)− · · ·(6.5.50)

を得る。表式より明らかに 0 < t < 2で f(t) = 0であり、

f(t+ 2) + 3f(t+ 1) + f(t)

= tΘ(t)− 3(t− 1)Θ(t− 1) + 7(t− 2)Θ(t− 2)− · · ·

+ 3(t− 1)Θ(t− 1)− 9(t− 2)Θ(t− 2) + 21(t− 3)Θ(t− 3)− · · ·

+ 2(t− 2)Θ(t− 2)− 6(t− 3)Θ(t− 3) + 14(t− 4)Θ(t− 4)− · · ·

= tΘ(t) (6.5.51)

となるので元の差分方程式を満たす。

169

第7章 その他の応用

7.1 サンプリング定理

原理的にはフーリエ級数展開やフーリエ変換は、物理・工学・経済など文理

問わず幅広く、様々な分野の解析に応用できるが、実際の問題では計算は複

雑・面倒になる。そこで計算機を利用して数値的に解くことが考えられ、高

速フーリエ変換など非常に有用なアルゴリズムが開発され、簡単に利用でき

るようになっている。

さて時刻 tごとにデータ uを取得して時間変動 u(t)を求めることを考える。

このようなデータのことを時系列信号とか、時系列データとかよぶ。たとえ

ば時刻ごとの大阪の温度・湿度、飛行機内の気圧、星の明るさ、株価、生物の

個体数、猫の居場所 (家からの距離)などである。フーリエ変換というのは、

こういった量の周期的な変化をとらえるのに便利である。たとえばある場所

の温度であれば、２４時間周期、１年周期などがあらわれるだろう。

温度 (t) =

∫ ∞

−∞dωu(ω)eiωt

∼ (温度の日変化成分の大きさ) sin2πt

24時間

+ (温度の年変化成分の大きさ) sin2πt

1年

+ · · · (7.1.1)

連続してデータを取得するのは結構大変なことがあって、得られるデータ

も莫大になってしまう。そこでズルをして、間隔をあけてデータを取得した

い。こういう操作をサンプリング（標本化）とよぶ。連続的な時間変化をす

る元のデータから離散的な時間間隔でサンプルを取ってくるという意味であ

る。このとき、どの程度の時間間隔でサンプリングすれば問題ないであろう

か？この問いに答えるのがサンプリング定理（標本化定理）である。

さて唐突だが、今時系列データは周波数 |ω| > ω0の成分を持たないとする。

u(ω) = 0 (|ω| > ω0) (7.1.2)

あるいは、

u(t) =

∫ ω0

−ω0

dωu(ω)eiωt (7.1.3)

170 第 7章 その他の応用

我々は有限区間 [−L/2, L/2]で定義された関数 f(x)を周期関数に拡張して

フーリエ級数展開すると、

f(x) =

∞∑n=−∞

fne− 2πin

L x, (7.1.4)

fn =1

L

∫ L/2

−L/2f(x)ei

2πnL xdx (7.1.5)

となることを知っている1。そこで同様に、有限周波数 [−ω0, ω0]で定義され

た関数 u(ω)を周期関数に拡張してフーリエ変換することができるだろう。

u(ω) =

∞∑n=−∞

Une− 2πin

2ω0ω, (7.1.6)

Un =1

2ω0

∫ ω0

−ω0

u(ω)ei2πn2ω0

ωdω (7.1.7)

式 (7.1.3)より

Un =1

2ω0u

(nπ

ω0

)(7.1.8)

式 (7.1.6)、(7.1.8)を式 (7.1.3)に戻すと、

u(t) =

∫ ω0

−ω0

dωeiωt∞∑

n=−∞e−

2πin2ω0

ω 1

2ω0u

(nπ

ω0

)

=

∞∑n=−∞

1

2ω0u

(nπ

ω0

) 2i sin(t− nπ

ω0

)ω0

i(t− n π

ω0

) (7.1.9)

π/ω0 ≡ ∆tとおくと、

=

∞∑n=−∞

u(n∆t)sinπ

(t∆t − n

)π(t∆t − n

) (7.1.10)

この式は連続データから∆tごとに標本を取得した離散化時系列データから、

元の連続時系列データを再現できることを示している。和がマイナス無限大

から無限大までとなっており、ある時刻 tのデータを得るのに無限のデータ

が必要な式のようになっている。しかし、たとえば t/∆t = m =(整数)のと

きには、

limt→m∆t

sinπ(t∆t − n

)π(t∆t − n

) =

1, n = m,

0, n = m,(7.1.11)

1今までと指数関数の肩が正負逆にしている。1/2π をフーリエ変換、逆変換のどちらにつけるかの問題と同じで、定義の問題である。また、今までの定義を使っても、途中の表記がちょっと変わるだけで、結論は変わらない。

7.1. サンプリング定理 171

となって無限和は必要がない。また、nの系列としての

sinπ(t∆t − n

)π(t∆t − n

) (7.1.12)

は、m∗ ≡ round[ t∆t ]で鋭いピークを持ち、急激に減少する関数であり、和に

おいては、整数m∗ の近傍の整数からの寄与を考えれば十分である。

以上より以下の定理を得る。 定理 14 (シャノン (Shannon)-染谷のサンプリング定理). x(t)のフー

リエ変換 X(ω) に、|ω| > ω0 以上の高周波数成分がないとき、x(t) の

情報は ∆t = π/ω0 以下の時間間隔でサンプルされた x(t)の値 x(n∆t)

(n = · · · ,−1, 0, 1, · · · ) から再現できる。 予め高周波成分 (激しく時間変動する成分)がないとわかっている場合には、

サンプルする時間間隔をあけても良いということを意味している。サンプリン

グ定理は標本化定理ともいう。ω = 2πf と周波数 f を定義するとき2、fNy =

ω0/(2π)のことをナイキスト (Nyquist)周波数とよぶ。フーリエ変換の最大

の周波数が予めわかっているとし、これをω0とする。∆t = π/ω0 = 1/(2fNy)、

つまりナイキスト周波数の 2倍以上の速さでサンプリングすれば3、元の時系

列データを再現できる。

さて、∆t = π/ω0の時間間隔でサンプルを取得したとする。もし元のデータ

に ω > ω0の周波数を持つ成分が存在しなかったとすると、式 (7.1.6)、(7.1.7)

と (7.1.8)は、元のデータのフーリエ変換 u(ω)が、離散時系列 u(n∆t)から

u(ω) =1

2ω0

∞∑n=−∞

u(n∆t)e−inω∆t (7.1.13)

と計算できることを意味する。そこでもし元のデータに ω > ω0 の周波数を

持つ成分が存在したとすると、何が起きるだろうか？このような時系列デー

タ v(t)があったとする。∆tごとに取得されたサンプル v(n∆t)は n ∈ Zとして

v(n∆t) =

∫ ∞

−∞dωv(ω)einω∆t (7.1.14)

積分区間を · · · , [−π, π], [π, 3π], · · · のように幅 2πの区間に分割して、

=

∞∑ℓ=−∞

∫ (2ℓ+1)π/∆t

(2ℓ−1)π/∆t

dωv(ω)einω∆t (7.1.15)

2今まで ω のことをたんに周波数と呼んできたが、ω は一般には角周波数と呼び、f を周波数と呼ぶ。周波数は (時間)−1 の次元を持つ。

3平たく言うと、「データを記録すれば」。

172 第 7章 その他の応用

ω = Ω+ 2ℓπ/∆tと変数変換して

=

∞∑ℓ=−∞

∫ π/∆t

−π/∆tdΩv

(Ω+

2ℓπ

∆t

)einΩ∆t (7.1.16)

あるいは、積分変数 Ωを改めて ωと書くと、ω0 = π/∆tに注意して

v(n∆t) =1

2ω0

∫ ω0

−ω0

dω2ω0V (ω)einω∆t, (7.1.17)

V (ω) ≡∞∑

ℓ=−∞

v (ω + 2ℓω0) (7.1.18)

式 (7.1.17)はフーリエ級数展開として

V (ω) =1

2ω0

∞∑n=−∞

v(n∆t)e−inω∆t, (7.1.19)

と書けることを意味している。したがって式 (7.1.13)と比べると、標本u(n∆t)

(n = · · · ,−1, 0, 1, · · · )から得られるフーリエ変換は v(ω)でなく、V (ω)であ

ることになる。

さて、

V (ω) = · · ·+ v(ω − 2ω0) + v(ω) + v(ω + 2ω0) + · · · (7.1.20)

である。たとえば音声データの中に 440Hz の成分、あるいは ω440 = 2π ×440Hz = 880πcycle/sがどの程度あるか知りたいとして、ω0 = π×(1kHz)、つ

まり、1ミリ秒間隔で標本化したとする。このとき本当に知りたいのは v(ω440)

だけれども、我々が得るのは、

V (ω440) = · · ·+ v(−ω560) + v(ω440) + v(ω1440) + · · ·

= · · ·+ v∗(ω560) + v(ω440) + v(ω1440) + · · · (7.1.21)

であり、高周波数成分が低周波数成分に混ざってくる。この現象を信号処理

の分野ではエイリアシング (Aliasing)と呼ぶ。この問題ではナイキスト周

波数が fNy = ω0/(2π) =500Hzであり、500Hz以上の成分が低周波数成分に

混ざってきていることに注意しよう。

エイリアシングを防いで、ある周波数成分が欲しいときには、まず知りた

い成分の周波数がナイキスト周波数よりも低いことを確認する。その上で、

ナイキスト周波数よりも高周波の成分を、サンプリングする前に、つまり飛

び飛びの時刻にデータを取得する前に、低減させておけば良い。低減する方

法としてもとの連続データに適当な操作をすることが考えられる。たとえば、

元のデータを x(t)とするとき、適当な関数を持ってきて

xh(t) ≡∫ ∞

−∞h(t− τ)x(τ)dτ (7.1.22)

7.1. サンプリング定理 173

を定義する。このような操作をフィルタリングとよび、h(t)のことをフィル

ターと呼ぶ。さて、xh(t)のフーリエ変換は

xh(ω) = h(ω)x(ω) (7.1.23)

であるから、最も簡単な方法として

h(ω) =

1, |ω| ≤ ω0,

0, |ω| > ω0

(7.1.24)

としてしまえば xh(ω)あるいは xh(t)には ω0 よりも高周波の成分は含まれ

なくなる。このように高周波成分を低減させるフィルターのことをローパス

フィルター (low pass filter、低域通過フィルター)とよぶ。またエイリア

シングを防ぐためのフィルターということで、アンチエイリアシングフィル

ターとも呼ぶ。ここでは最も簡単なフィルター式 (7.1.24)を使ったが、ロー

パスフィルターには様々なものが提案されていて、目的や状況によって使い

分けられている。

例 56. (7.1.24) 式で与えられる h(ω) にフーリエ逆変換を使って h(t) を求

める。

h(t) =

∫ ∞

−∞dωh(ω)eiωt =

∫ ω0

−ω0

dωeiωt =2 sinω0t

t(7.1.25)

よって xh(t)は

xh(t) =

∫ ∞

−∞x(τ)

2 sinω0(t− τ)

t− τdτ

=

∫ ∞

−∞x(t− τ)

2 sinω0τ

τdτ (7.1.26)

よってたとえば t = 0における xh(0)を得るには t = 0までに蓄積した過去

のデータ x(t) (t < 0)に加えて未来のデータ x(t) (t > 0)のデータも必要と

なる。

例 57. 人間の可聴域は個人差、年齢による変化があるものの、だいたい 20Hz

から 20kHz程度と言われている。したがって電話などの通信においては 20kHz

以上の信号は必要ないと考えられるので、その 2倍程度、40kHz程度 (ある

いは、1/40000 = 25マイクロ秒間隔)で標本化すれば可聴域の音声を再現で

きる。もし 20kHzよりも高周波の音（超音波）が含まれるようなら、標本化

する前にアンチエイリアシングフィルターをかける必要がある。

例 58. いわゆるハイレゾ音源を除くと、CDやデジタル音楽の標本化周波数

は 44.1kHzである。

174 第 7章 その他の応用

7.2 線形システム

データに対するなにがしかの操作をする。この操作をここでは T と書こう。y(t)を出力、x(t)を入力とすると、

y(t) = T [x(t)] (7.2.1)

を書ける。この操作、あるいは処理をハードウェアかソフトウェアを使って

おこなうわけだが、この操作、処理、ハードウェア、ソフトウェアを総称し

て、システムと呼ぶ。

線形システムとは、a, bを定数、x1(t), x2(t)を入力として、

T [ax1(t) + bx2(t)] = aT [x1(t)] + bT [x2(t)] (7.2.2)

を満たすものを言う。

さて積分は本質的に和だから、

y(t) = T [x(t)] = T[∫ ∞

−∞x(τ)δ(t− τ)dτ

]=

∫ ∞

−∞x(τ)h(t− τ)dτ (7.2.3)

ただし、

h(t) = T [δ(t)] (7.2.4)

この h(t)をインパルス応答と呼ぶ。ひとたびインパルス応答がわかると、任

意の入力 x(t)をシステム T で処理したときの結果 y(t)は、実際に T で入力x(t)を処理しなくても、畳み込みで計算できる。同じことだが、x(t)をシステ

ム T で実際に処理することに時間やコストがかかったり、あるいは困難だったりする場合、事前にインパルス応答さえ分かって入れば、計算機で畳み込

みを計算すれば結果を予想できるということである。

例 59. コンサートホールの音響効果を知るには、原理的には、δ(t)のような

瞬間的な音を出して、その反響の様子を知ればよい4。

デルタ関数のフーリエ変換表現を使うと、

h(t) = T[∫ ∞

−∞

dω

2πeiωt

]=

∫ ∞

−∞

dω

2πT [eiωt] ≡

∫ ∞

−∞

dω

2πH(ω) (7.2.5)

ここで T [eiωt]/(2π)を h(ω)と書かなかったのは、H(ω)が分野によっては重

要な役割を果たすからで、H(ω) = T [eiωt]をシステムの周波数応答と呼ぶ。

周波数応答がわかると、システム出力を

y(t) =

∫ ∞

−∞dωx(ω)H(ω)eiωt (7.2.6)

のように得ることができる。4非線形効果がある場合は除く。

7.3. 特性関数 175

7.3 特性関数

X を確率変数、P (X ≤ x)を X が x以下となる確率とする。X が連続的

に (−∞,∞)の範囲の数値を取りうるとする。

P (X ≤ x) =

∫ x

−∞p(x)dx (7.3.1)

と書けるとき p(x)を X がしたがう確率密度関数とか、X の分布 (関数)と

呼ぶ。

定義より ∫ ∞

−∞p(x)dx = 1 (7.3.2)

である。X の平均を µX、分散を σ2X と書くと、

µX ≡∫ ∞

−∞xp(x)dx, (7.3.3)

σ2X ≡

∫ ∞

−∞(x− µ)2p(x)dx (7.3.4)

と計算される。このとき p(x)のフーリエ変換に 2πをかけたもの5

ϕX(k) =

∫ ∞

−∞dxp(x)e−ikx (7.3.5)

をX、あるいはX の分布の特性関数 (characteristic function)とよぶ。

基本的に特性関数は確率密度関数のフーリエ変換であるから、確率変数X、

Y の確率密度関数が連続かつ区分的に滑らかであり、X と Y の特性関数が同

じであるなら、確率変数X、Y の確率密度関数は等しい6。

(連続かつ区分的に滑らかな) 関数 f(x) のフーリエ変換 f(k) が元の関数

f(x)の情報を全て持っているように、特性関数は元の確率密度関数の情報を、

(元の確率密度関数が連続かつ区分的に滑らかなら)全て持っている。確率密

度関数の性質を知る上で、確率密度関数そのものを直接調べるよりも、特性

関数を使った方が便利なことがある。

例 60. xについての積分と k についての微分が可換であるとき、平均と分

散は、

µX = iϕ′X(0), (7.3.6)

σ2X = −ϕ′′X(0) + (ϕ′X(0))2 (7.3.7)

と計算できる。

52π をかけるかどうかは趣味だし、フーリエ逆変換で定義しても良い。6ϕX(k) = ϕY (k) なら pX(·) = pY (·)。ただし、pA(·) は A = X,Y の確率密度関数。

176 第 7章 その他の応用

例 61. 離散確率分布の場合には、積分を和でおきかえる。２項分布 B(n, p)

の特性関数は、

ϕ(k) =

n∑ℓ=0

e−iℓknCℓpℓ(1− p)n−ℓ

=

n∑ℓ=0

nCℓ(e−ikp)ℓ(1− p)n−ℓ = pe−ik + (1− p)n (7.3.8)

問題 43. パラメータ λ > 0を持つポアソン分布

p(ℓ) =λℓ

ℓ!e−λ (7.3.9)

(ℓは非負整数) の特性関数を求めよ。

問題 44. ２項分布とポアソン分布の平均と分散を求めよ。 定理 15. 互いに独立な確率変数X と Y の分布を pX(x), pY (y)、特性関

数を ϕX(k)と ϕY (k)とする。Z = X + Y の確率分布関数は

pZ(z) =

∫ ∞

−∞dx

∫ ∞

−∞dypX(x)pY (y)δ(x+ y − z)

=

∫ ∞

−∞pX(z − y)pY (y)dy (7.3.10)

と計算できるので、その特性関数は

ϕZ(k) = ϕX(k)ϕY (k) (7.3.11)

である。

7.3. 特性関数 177 定理 16. 確率変数Xの特性関数がϕX(k)であるとき確率変数Y = aX+b

(a, bは実数)の特性関数は

ϕY (k) =

∫ ∞

−∞dxpX(x)e−ik(ax+b) = e−ikbϕX(ak) (7.3.12)

である。このことからまた、Y の確率密度関数が

pY (y) =

∫ ∞

−∞

dk

2πϕY (k)e

iky

=

∫ ∞

−∞

dk

2πϕX(ak)eiky−ikb

=

∫ ∞

−∞

dℓ

2π|a|ϕX(ℓ)eiℓ

y−ba

=1

|a|pX

(y − b

a

)(7.3.13)

と求まる。 例 62. 確率変数 X が平均 µ、分散 σ2 の正規分布 N(µ, σ2)にしたがうとす

る。X の特性関数は、

ϕX(k) =

∫ ∞

−∞dx

1√2πσ2

e−(x−µ)2

2σ2 e−ikx

=

∫ ∞

−∞dx

1√2πσ2

exp

− (x− µ+ iσ2k)2

2σ2− σ2k2

2− iµk

= e−

σ2k2

2 −iµk (7.3.14)

とくに平均 0、分散 1の規準正規分布N(0, 1)の特性関数は、e−k2/2である。

178 第 7章 その他の応用 定理 17 (正規分布の再生性). n 個の互いに独立な確率変数 Xi (i =

1, 2, · · · , n)が平均 µi、分散 σ2i の正規分布N(µi, σ

2i )にしたがうとする。

ai, b (i = 1, 2, · · · , n)を実数として

Y ≡n∑i=1

aiXi + b (7.3.15)

の特性関数は

ϕY (k) = e−ibkn∏i=1

ϕi(aik)

= exp

−k

2

2

n∑i=1

a2iσ2i − ik

(n∑i=1

aiµi + b

)(7.3.16)

となる。したがって Y は正規分布

N

(n∑i=1

aiµi + b,

n∑i=1

a2iσ2i

)(7.3.17)

にしたがう。 例 63. ある実験で得られる物理量X の測定値が平均 µ、分散 σ2の正規分布

にしたがうとする。n回実験をおこなって n個の測定値Xi (i = 1, 2, · · ·n)を得たとして、その標本平均を以下のように求める。

X =1

n

n∑i=1

Xi (7.3.18)

各実験結果Xi が互いに独立だとすると、X は

N

(µ,σ2

n

)(7.3.19)

にしたがう。

例 64. n回実験をおこなって n個の測定値 Xi (i = 1, 2, · · ·n)を得たとする。i番目の実験で得られる物理量 Xi の測定値は平均 µ、分散 σ2

i の正規分

布にしたがうとする。µ、σ2i が既知のときに物理量Xi (i = 1, 2, · · · , n)を範

囲 [xi, xi + dxi] (i = 1, 2, · · · , n)に得る同時確率分布は

p(x1, x2, · · · , xn)dx1dx2 · · · dxn

=

n∏i=1

1

(2πσ2i )

1/2exp

− (xi − µ)2

2σ2i

dxi (7.3.20)

である。

7.3. 特性関数 179

ここで趣向を逆転させて、µが未知であるときに µを推定する問題を考え

る。xi (i = 1, 2, · · · , n)の関数としての確率密度関数を尤度関数と呼ぶ。尤度は英語で Likelihoodというので、ここでは記号 Lを使う。

L(x1, x2, · · · , xn)

=

n∏i=1

1

(2πσ2i )

1/2exp

− (xi − µ)2

2σ2i

(7.3.21)

そして尤度関数が最大になるような µ を探し出し、それをデータ xi (i =

1, 2, · · · , n)が与えられたときの推定量とする。このような推定量を最尤推定量と呼ぶ。

尤度そのものよりは対数を取った方が便利なことが多いので、以下対数尤

度関数を考える。

lnL(xi) = −n∑i=1

(xi − µ)2

2σ2i

−n∑i=1

lnσi + (constant) (7.3.22)

σ2i (i = 1, 2, · · · , n)が全て既知のとき µの最尤推定量 µは

0 =∂ lnL(xi)

∂µ

∣∣∣∣µ=µ

=

n∑i=1

(xi − µ)

σ2i

(7.3.23)

より

µ =

(n∑i=1

1

σ2i

)−1 n∑i=1

xiσ2i

(7.3.24)

である。したがって µは平均 µ、分散 σ2 の正規分布

N(µ, σ2

), (7.3.25)

にしたがう。ただし、

1

σ2≡

n∑i=1

1

σ2i

(7.3.26)

である。

180 第 7章 その他の応用 定理 18 (中心極限定理). X1, X2, · · · , Xnはすべて、平均値 µ、分散 σ2

を持つ同一の確率分布 p(x)にしたがう、互いに独立な確率変数とする。

また、3次のモーメントが存在するとする。∣∣∣∣∫ ∞

−∞(x− µ)3p(x)dx

∣∣∣∣ <∞ (7.3.27)

このとき

X =1

n

n∑i=1

Xi (7.3.28)

は n→ ∞のときに平均 µ、分散 σ2/nの正規分布にしたがう。 元の分布が正規分布でなくても十分たくさんの標本 (サンプル)を持ってくる

とその標本平均は正規分布にしたがうということである。

証明. 正規化した変数

Z =1√nσ

n∑i=1

(Xi − µ) (7.3.29)

を考え、Z が平均 0、分散 1 の正規分布にしたがうことを示す。Xi (i =

1, 2, · · · , n)の特性関数を ϕ(k)と書くと、Z の特性関数 ψ(k)は定理 16より

ψ(k) =

eik µ√

nσ ϕ

(k√nσ

)n(7.3.30)

である。

さて、∣∣∣∣ei kµ√nσ ϕ

(k√nσ

)−(1− k2

2n

)∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫ ∞

−∞e−i k(x−µ)√

nσ p(x)dx−∫ ∞

−∞

(1− ik(x− µ)√

nσ− k2(x− µ)2

2nσ2

)p(x)dx

∣∣∣∣=

∣∣∣∣ C1

n3/2

∫ ∞

−∞(x− µ)3p(x)dx

∣∣∣∣ = C2

n3/2<∞ (7.3.31)

と書ける。ただし、C1, C2は適当な正定数である。また、式展開では、指数

関数を k についてマクローリン展開している7。よって nが十分大きいとき7少なくとも３回微分可能な関数について

f(x) = 1 + xf ′(0) +1

2x2f ′′(x) +R3(x), (7.3.32)

R3(x) =

∫ x

0f (3)(ζ)

(x− ζ)2

2!dζ =

x3

3!f (3)(c) (7.3.33)

ただし、第２式の最後の等号では平均値の定理を使っており、0 < c < xである。また、f (n)(x)は f(x) の n 階微分を表す。

7.4. ラドン変換 181

C3 を適当な正定数として∣∣∣∣ei kµ√nσ ϕ

(k√nσ

)− 1

∣∣∣∣ ≤ C3

n(7.3.34)

とできる。すると、nが十分大きいとき8、

ln

ei kµ√

nσ ϕ

(k√nσ

)= ln

1−

(1− e

i kµ√nσ ϕ

(k√nσ

))= −

(1− e

i kµ√nσ ϕ

(k√nσ

))− 1

2

(1− e

i kµ√nσ ϕ

(k√nσ

))2

+ · · ·

= −(1− e

i kµ√nσ ϕ

(k√nσ

))+O

(1

n2

)(7.3.36)

よって C4 を適当な正定数として∣∣∣∣lnei kµ√nσ ϕ

(k√nσ

)+

(1− e

i kµ√nσ ϕ

(k√nσ

))∣∣∣∣ ≤ C4

n2(7.3.37)

以上より、nが十分大きいとき∣∣∣∣lnψ(k)− (−k22)∣∣∣∣ = ∣∣∣∣n lnei kµ√

nσ ϕ

(k√nσ

)+k2

2

∣∣∣∣≤

n∑i=1

∣∣∣∣lnei kµ√nσ ϕ

(k√nσ

)+k2

2n

∣∣∣∣≤

n∑i=1

∣∣∣∣lnei kµ√nσ ϕ

(k√nσ

)+

(1− e

i kµ√nσ ϕ

(k√nσ

))+ e

i kµ√nσ ϕ

(k√nσ

)−(1− k2

2n

)∣∣∣∣≤

n∑i=1

(C4

n2+

C2

n3/2

)≤ C5√

n(7.3.38)

ただし、C5は適当な正定数。以上より n→ ∞で ψ(t) → e−k2/2となるので、

Z は平均 0、分散 1の正規分布にしたがう。

7.4 ラドン変換

物体にX線を当てて撮影をおこなうことを考える。z軸を鉛直方向、x− y

平面を水平面とする。X線を物体に照射すると、物体のある部分は X線を部

分的に吸収し、ある部分は X線が素通りする。そしてこのような吸収率の差

の分布 ρ(x, y, z)を反映した 2次元の画像が得られる。たとえば y軸に平行に

8−1 ≤ x < 1 で

ln(1− x) = −x−1

2x2 + · · · (7.3.35)

を使っている。

182 第 7章 その他の応用

X線を照射すると、x − z 平面に平行なスクリーンに投影された 2次元画像

が得られる。

I(x, z) =

∫ ∞

−∞dyρ(x, y, z) (7.4.1)

なるイメージを得る。積分区間は実際にはもちろん有限だけれども、物体が

十分小さければ無限大に取っても良いだろう。

さて x− y平面に平行に物体に照射させることは続けるけれども、今度は

y軸に平行ではなく、y軸から θだけ傾いた軸に平行に照射してみる。すると

傾けた軸を u, vとして

I(u, θ, z) =

∫ ∞

−∞dvρ(u cos θ − v sin θ, u sin θ + v cos θ, z), (7.4.2)

u = x cos θ + y sin θ, (7.4.3)

v = −x sin θ + y cos θ, (7.4.4)

を得る。この ρ(x, y, z)から I(u, θ, z)への変換をラドン (Radon)変換と呼ぶ。

uについてフーリエ変換すると、

I(k, θ, z) =

∫ ∞

−∞

du

2πe−ikuI(u, θ, z)du

=

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

dudv

2πe−ikuρ(u cos θ − v sin θ, u sin θ + v cos θ, z)

=

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

dxdy

2πe−ikx cos θ−iky sin θρ(x, y, z)

=

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

dxdy

2πe−ikxx−ikyyρ(x, y, z) (7.4.5)

ただし、kx = k cos θ, ky = k sin θとおいた。これは本質的に ρ(x, y, z)の x, y

についての 2次元フーリエ変換とみなせる。よって

ρ(x, y, z) =1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞dkxdkye

ikxx+ikyy I(k, θ, z)

=1

2π

∫ ∞

0

kdk

∫ 2π

0

dθeikx cos θ+iky sin θ I(k, θ, z) (7.4.6)

ラドン変換から、ある zでいろんな方向から 2次元画像を撮ることで断面図を

得ることができ、さらに zについてスキャンすることで物体全体の内部の様子

を知ることができることがわかる。これがコンピュータ断層撮影 (Computer

Tomography, CT)の原理である。

183

付 録A より広いクラスの関数のフーリエ級数についての定理

フーリエ級数の収束に関する定理は多くの場合、滑らかな関数よりもより

広いクラスの関数に対して成り立つ。ここでは有界変動関数について考えて

みる。

ここで考える関数は実数１変数の実数値関数とする。

A.1 有界変動関数

定義 11. 有限区間 I で関数 f(x) が有界変動 (a function of bounded

variation)であるとは、I = [a, b]を

a = x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn = b (A.1.1)

と分割したときに、ある正数 V が存在し、任意の分割についてn∑j=1

|f(xj)− f(xj−1)| < V (A.1.2)

となることを意味する。

例 65. I で単調で有界な関数 |f(x)| < M は有界変動である。

例 66. 有限区間 I を有限個の部分区間に分割したときに、各部分区間で単調

な関数（区分的に単調である関数）は有界変動関数である。たとえば、

x ∈ [−π, π], f(x) = |x|1/2 (A.1.3)

は区分的に滑らかではないが、有界変動関数である。

例 67. 有界変動な関数の和、差、積は有界変動関数である。

例 68. 有界な連続関数が有界変動関数とは限らない。たとえば x sin(1/x) (た

だし、x ∈ [0, 1/π])は有界な連続関数だが、有界変動関数ではない。実際端

点以外の分割点を

xj =2

(2j + 1)π(j = 1, 2, · · · ) (A.1.4)

184 付 録 A より広いクラスの関数のフーリエ級数についての定理

と定義すると、

∞∑j=1

∣∣∣∣ 2

(2j + 1)/π(−1)j − 2

(2j − 1)/π(−1)j−1

∣∣∣∣=

4

π

(1

3+

1

5+ · · ·

)(A.1.5)

となって発散するので有界変動ではない。なお、x sin(1/x)の微分は x → 0

で発散する。

例 69. 区間 [a, b]において f(x)が積分可能ならば、積分関数

F (x) =

∫ x

a

f(x)dx (A.1.6)

は有界変動である。なぜなら

f(x) = f+(x)− f−(x), (A.1.7)

f+(x) = Max(f(x), 0) ≥ 0, (A.1.8)

f−(x) = −Min(f(x), 0) ≥ 0 (A.1.9)

とすると

F (x) =

∫ x

a

f+(x)dx−∫ x

a

f−(x)dx (A.1.10)

有界な関数の積分は単調増加で、F (x)はその差なので有界変動である。

もし区間 [a, b]で f(x)が区分的に滑らかなら

f(x) =

∫ x

a

f ′(x)dx+ f(a) (A.1.11)

より f(x)は有界変動である。

A.2 絶対可積分な関数に対するリーマン・ルベーグ

の補題

補題 2 (リーマン・ルベーグの補題). 関数 g(x)が区間 [a, b]で絶対可積分と

する。すると、

limλ→∞

∫ b

a

g(x) sinλxdx = 0 (A.2.1)

証明. 絶対可積分なので、任意の ϵに対して、ある分割P = a = x0, x1, · · · , xn =

bがあって、

|S∗(g, P )− S∗(g, P )| <ϵ

2(A.2.2)

A.2. 絶対可積分な関数に対するリーマン・ルベーグの補題 185

ただし

S∗(g, P ) =

n∑i

Mi(xi − xi−1), (A.2.3)

S∗(g, P ) =

n∑i

mi(xi − xi−1), (A.2.4)

Mi = sup[xi,xi−1]g, (A.2.5)

mi = inf [xi,xi−1]g (A.2.6)

となる1。一方、∣∣∣∣∣∫ xi

xi−1

sinλxdx

∣∣∣∣∣ = | cosλxi − cosλxi−1|λ

≤ 2

λ(A.2.7)

よって ∣∣∣∣∣∫ b

a

g(x) sinλxdx

∣∣∣∣∣ ≤n∑i=1

∣∣∣∣∣∫ xi

xi−1

g(x) sinλxdx

∣∣∣∣∣≤

n∑i=1

∫ xi

xi−1

|g(x)−mi| sinλxdx+

n∑i=1

∣∣∣∣∣∫ xi

xi−1

mi sinλxdx

∣∣∣∣∣

≤n∑i=1

∫ xi

xi−1

(Mi −mi)dx+

n∑i=1

|mi|

∣∣∣∣∣∫ xi

xi−1

sinλxdx

∣∣∣∣∣≤ S∗(g, P )− S∗(g, P ) +

2

λ

n∑i=1

|mi| (A.2.8)

よって ϵ,mi に対して定まる不等式

λ >4

ϵ

n∑i=1

|mi| (A.2.9)

を満たす十分大きな λについて∣∣∣∣∣∫ b

a

g(x) sinλxdx

∣∣∣∣∣ ≤ ϵ (A.2.10)

となる。

1ここでの ∗ は複素共役の意味ではない。

186 付 録 A より広いクラスの関数のフーリエ級数についての定理

A.3 有界変動関数のフーリエ級数の収束定理

区間 −π ≤ x ≤ π において積分可能な関数 f(x)のフーリエ多項式を考え

る。

an =1

π

∫ π

−πf(x) cosnxdx, (A.3.1a)

bn =1

π

∫ π

−πf(x) sinnxdx (A.3.1b)

より

Sn(x) =a02

+

n∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx)

=1

2π

∫ π

−πf(x)dx

+

n∑k=1

1

π

∫ π

−πf(y) cos ky cos kxdy +

1

π

∫ π

−πf(y) sin ky sin kxdy

=1

π

∫ π

−πf(y)

1

2+

n∑k=1

cos k(x− y)

dx

=1

π

∫ π

−πf(y)Dm(y − x)dy

=1

π

∫ π−x

−π−xf(t+ x)Dm(t)dt

=1

π

∫ π

−πf(t+ x)Dm(t)dt

=1

π

∫ π

0

f(t+ x)Dm(t)dt+1

π

∫ 0

−πf(t+ x)Dm(t)dt

=1

π

∫ π

0

f(t+ x)Dm(t)dt− 1

π

∫ 0

π

f(−t+ x)Dm(−t)dt

=1

π

∫ π

0

(f(x− t) + f(x+ t))Dm(t)dt (A.3.2)

定理 19. f(x)を区間 [−π, π]で可積分とする。ある 0 ≤ δ ≤ πに対して

limm→∞

∫ δ

0

(f(x− y) + f(x+ y))Dm(y)dy (A.3.3)

が存在するのなら、f(x)のフーリエ級数は xにおいてその値に収束する。

証明.

1

π

∫ π

0

(f(x− y) + f(x+ y))Dm(y)dy =1

π

(∫ δ

0

+

∫ π

δ

)(f(x− y) + f(x+ y))Dm(y)dy

(A.3.4)

A.3. 有界変動関数のフーリエ級数の収束定理 187

1

π

∫ π

δ

(f(x− y) + f(x+ y))Dm(y)dy =1

π

∫ π

δ

f1(y) sin

(m+

1

2

)ydy,

(A.3.5)

ただし、

f1(y) =f(x− y) + f(x+ y)

sin y2

(A.3.6)

関数 f1(x)は [δ, π]において絶対可積分なのでリーマン・ルベーグの補題より

m→ ∞でゼロになる2。よって

limm→∞

Sn(x) = limm→∞

∫ δ

0

(f(x− y) + f(x+ y))Dm(y)dy (A.3.7)

である。

定理 20 (ディ二 (Dini)の定理). f(x)を区間 [−π, π]で可積分関数とする。もし ∫ δ

0

∣∣∣∣f(x− y) + f(x+ y)− 2S

y

∣∣∣∣ dy ≤ ∞ (A.3.8)

がある δ (0 < δ ≤ π)と S ∈ Rに対して存在するなら、点 xにおいて f(x)の

フーリエ級数は S に収束する。

証明.

Sm − S =1

π

∫ π

0

(f(x− y) + f(x+ y))Dm(y)dy − 2

π

∫ π

0

SDm(y)dy

=2

π

∫ π

0

f(x− y) + f(x+ y)− 2S

y

y2

sin y2

sin(2m+ 1)y

2dy

=2

π

(∫ δ

0

+

∫ π

δ

)f(x− y) + f(x+ y)− 2S

y

y2

sin y2

sin(2m+ 1)y

2dy

(A.3.9)

(f(x− y)+ f(x+ y)− 2S)/ sin(y/2)は可積分なので、リーマン・ルベーグの

補題より [δ, π]の積分はm→ ∞でゼロになる。(f(x− y)+ f(x+ y)− 2S)/y

は絶対可積分、(y/2)/ sin(y/2)と sin((2m+ 1)y/2)は [0, π]において有界な

連続関数なのでその積は絶対可積分。よって

limm→∞

S(x) = S. (A.3.10)

21/ sin(y/2) は δ = 0 なら発散しないので有界区間で有界連続。よって可積分。有限区間を考えているので、可積分な関数は絶対可積分。

188 付 録 A より広いクラスの関数のフーリエ級数についての定理

補題 3 (ディリクレ・ジョルダン (Dirichlet-Jordan)の補題). g(x)を区間

(0, σ)で有界変動関数とする。

limλ→∞

∫ σ

0

g(y)sinλy

ydy =

π

2g(0+) (A.3.11)

である3。

証明.∫ σ

0

g(y)sinλy

ydy =

∫ σ

0

g(0+)sinλy

ydy +

∫ σ

0

[g(y)− g(0+)]sinλy

ydy

(A.3.15)

第１項は、λ→ ∞の極限で∫ σ

0

g(0+)sinλy

ydy = g(0+)

∫ λσ

0

sin z

zdz = g(0+)Si (λσ)

→ g(0+)π

2(A.3.16)

最後の等式

Si(x) ≡∫ x

0

sin t

tdt, (A.3.17)

limx→∞

Si(x) =π

2(A.3.18)

は複素関数論を習うと簡単に求まる。他の求め方として、

I(a) =

∫ ∞

0

e−x cos(ax)dx = [−e−x cos(ax)]∞0 + a

∫ ∞

0

e−x sin(ax)dx

= 1 + a

([−e−x sin(ax)]∞0 + a

∫ ∞

0

e−x cos(ax)dx

)= 1 + a2I(a)

(A.3.19)

よって

I(a) =1

1 + a2(A.3.20)

3g(0+) というのはゼロに正から近づいていった極限ということ。つまり

g(0+) ≡ limx→0,x>0

g(x) (A.3.12)

なお、点 a に x > a から近づくとき g(a + 0) と書き、x < a から近くとき g(a − 0) と書く。それぞれ右極限、左極限と呼ぶ。数式で書くとそれぞれ h > 0 として

g(a+ 0) = limh→0

g(a+ h), (A.3.13)

g(a− 0) = limh→0

g(a− h) (A.3.14)

ということ。

A.3. 有界変動関数のフーリエ級数の収束定理 189

式 (A.3.20)を aについて両辺 2回積分して

(左辺) =

∫ a

0

∫ b

0

I(c)dcdb =

∫ ∞

0

e−x(1− cos ax)

x2dx, (A.3.21)

(右辺) =

∫ a

0

∫ b

0

I(c)dcdb = a arctan(a)− 1

2log(1 + a2) (A.3.22)

a = 1/bとして

(左辺) =

∫ ∞

0

e−x(1− cos(x/b))

x2dx =

∫ ∞

0

e−bt(1− cos t)

bt2dt, (A.3.23)

(右辺) =

∫ a

0

∫ b

0

I(c)dcdb =1

barctan

(1

b

)− 1

2log

(1 +

1

b2

)(A.3.24)

両辺で bを払って∫ ∞

0

e−bt(1− cos t)

t2dt = arctan

(1

b

)− b

2log

(1 +

1

b2

)(A.3.25)

b→ 0の極限を取る。 ∫ ∞

0

(1− cos t)

t2dt =

π

2(A.3.26)

左辺を部分積分すると∫ ∞

0

(1− cos t)

t2dt =

[−1− cos t

t

]∞0

+

∫ ∞

0

sin t

tdt (A.3.27)

第１項はゼロになるので、求める式を得る。

さて式 (A.3.15)の第２項では∫ σ

0

[g(y)− g(0+)]sinλy

ydy = 0 (A.3.28)

を示したい。

Si(x) =

∫ x

0

sin y

ydy (A.3.29)

を考える。L = supx≥0|Si(x)|とすると Si(x)は有界関数なので、0 ≤ L <∞。今、0 < δ < σなる δが存在して任意の ϵ > 0に対して 0 < y < δなら

|g(y)− g(0+)| < ϵ

8L(A.3.30)

とできる。0 < η < δなる ηをもって∫ σ

0

[g(y)− g(0+)]sinλy

ydy =

(∫ η

0

+

∫ σ

η

)[g(y)− g(0+)]

sinλy

ydy

(A.3.31)

190 付 録 A より広いクラスの関数のフーリエ級数についての定理

[η, σ]の積分はリーマン・ルベーグの補題より λ→ ∞でゼロになる。よってあるM があって λ > M なら、∣∣∣∣∫ σ

η

[g(y)− g(0+)]sinλy

ydy

∣∣∣∣ < ϵ

2(A.3.32)

もう一つの寄与について、g(x)は有界変動なので、単調増加関数P (x), N(x)の

差でかける。g(y)−g(0+) = P (x)−N(x)−P (0+)+N(0+) = g+(x)−g−(x)。すると g±(x) ≥ 0, g±(0+) = 0。それぞれについて積分についての第２平均

値の定理より∫ η

0

g±(y)sinλy

ydy = g±(0+)

∫ ξ

0

sinλy

ydy + g±(η − 0)

∫ η

ξ

sinλy

ydy

= g±(ξ)(Si(λη)− Si(λξ)) (A.3.33)

ここで g±(0+) = 0を使った。以上より、∣∣∣∣∫ η

0

g±(y)sinλy

ydy

∣∣∣∣ = |g±(ξ)(Si(λη)− Si(λξ))| ≤ ϵ

8L× 2L =

ϵ

4(A.3.34)

よって ∣∣∣∣∫ σ

0

g(y)sinλy

ydy

∣∣∣∣ ≤ ϵ (A.3.35)

また、以上の証明により、単調増加関数 f(x) ≥ 0に対して、

limλ→∞

∫ a

0

f(x) sinλx

xdx = 0 (A.3.36)

がわかった。

定理 21 (ディリクレ・ジョルダン (Dirichlet-Jordan)の定理). 区間 [−π, π]において有界変動関数 f(x)は Fourier式に三角級数に展開される。ただし、

f(x)の不連続点においては、

limn→∞

Sn =f(x+ 0) + f(x− 0)

2(A.3.37)

となる。

証明. フーリエ級数の部分和を Sn(x)とすれば、式 (A.3.2)より

Sn(x) =1

π

∫ π

0

(f(x− t) + f(x+ t))Dm(t)dt (A.3.38)

今、sin(t/2)を t/2で置き換えたものとの差を考える。∫ π

0

f(x+ t)sin(m+ 1

2

)t

sin t2

dt−∫ π

0

f(x+ t)sin(m+ 1

2

)t

t/2dt

=

∫ π

0

f(x+ t)

t

(t

sin t2

− 2

)sin

(m+

1

2

)tdt→ 0 (A.3.39)

A.3. 有界変動関数のフーリエ級数の収束定理 191

ここで t/ sin(t/2)− 2 ≥ 0は単調増加で t→ 0のときに 0になる関数なので、

式 (A.3.36)よりm→ ∞の極限でゼロになる4。よってこのことと式 (A.3.11)

より ∫ π

0

f(x+ t)sin(m+ 1

2

)sin t

2

dt→ π

2f(x+ 0) (A.3.40)

同様に、 ∫ π

0

f(x− t)sin(m+ 1

2

)sin t

2

dt→ π

2f(x− 0) (A.3.41)

したがって

limn→∞

Sn =f(x+ 0) + f(x− 0)

2(A.3.42)

となる。

4f(x + t) は有界変動関数なので、単調増加関数の差でかける。つまり適当な単調増加関数P (x), N(x) によって、f(x) = P (x)−N(x) とかける。この P (x) と N(x) それぞれについて考えれば良い。

193

付 録B 公式など

B.1 円柱座標・極座標のラプラシアン

ここでは円柱座標・球座標のラプラシアンを計算する。

３次元空間において添え字 i, j, k · · · は 1, 2, 3という値をとり、座標を表す

とする。x1 = x, x2 = y, x3 = zなどである。一つの項に２つ添え字があって

片方は上付き添え字、もう片方は下付き添え字なら、（記号の節約のため）和

記号を書かずに自動的に和をとると約束する。これをアインシュタインの (和

の)規約と呼ぶ。

uivi = u1v

1 + u2v2 + u3v

3,

Aii = A11 +A2

2 +A33

などである。ただし、上付き添え字に同じアルファベットが現れてはならな

いし、下付き添え字も同様である。また１つの項に３つ以上同じアルファベッ

トの添え字が現れてはならない。

uiviwiありえない!

uiviwix

iありえない!

これも記号の節約だが、∂i と書いて i座標方向への偏微分を表す。

∂i ≡∂

∂xi

さて、３次元空間で x, y, zから x+ dx, y + dy, z + dzまでの距離の２乗は

ピタゴラスの定理より、

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 ≡ gijdxidxj , (B.1.1)

と書かれる。ここで記号の節約のため、計量 (もしくは計量テンソル)とよば

れる行列を定義した。

gij =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(B.1.2)

194 付 録 B 公式など

ここで円柱座標 (polar coordinates)に座標変換する。

x = ρ cosϕ, (B.1.3)

y = ρ sinϕ, (B.1.4)

z = z, (B.1.5)

ρ =√x2 + y2 (B.1.6)

微小長さは、

dx = dρ cosϕ− ρ sinϕdϕ, (B.1.7)

dy = dρ sinϕ+ ρ cosϕdϕ, (B.1.8)

dz = dz (B.1.9)

よって、

ds2 = dx2 + dy2 + dz2

= cos2 ϕdρ2 − 2ρ cosϕ sinϕdρdϕ+ ρ2 sin2 ϕdϕ2

+ sin2 ϕdρ2 + 2ρ cosϕ sinϕdρdϕ+ ρ2 cos2 ϕdϕ2 + dz2

= dρ2 + ρ2dϕ2 + dz2 (B.1.10)

これより円柱座標 (cylindrical coordinates)での計量を得る。

gcij =

1 0 0

0 ρ2 0

0 0 1

(B.1.11)

対角行列なので逆行列は簡単に求まる。逆行列を gijc と書くと、

gijc =

1 0 0

0 ρ−2 0

0 0 1

(B.1.12)

実際、

gijc gcjk = δik (B.1.13)

を満たす。また行列式も簡単に求まって、√gc = ρ である。

ここで有用なのは、計量が求まったときにラプラシアンを計算できる以下

の式である。

∆u(ρ, ϕ, z) =1√g∂i(g

ij√g∂ju(ρ, ϕ, z)) (B.1.14)

B.1. 円柱座標・極座標のラプラシアン 195

この式の導出は、一般相対論を習うとできるようになる。これを適用すると1、

∆u(ρ, ϕ, z) =1√gc∂i(g

ijc

√gc∂ju(ρ, ϕ, z))

=1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂u(ρ, ϕ, z)

∂ρ

)+

1

ρ

∂

∂ϕ

(1

ρ2ρ∂u(ρ, ϕ, z)

∂ϕ

)+

1

ρ

∂

∂z

(ρ∂u(ρ, ϕ, z)

∂z

)=

1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂u(ρ, ϕ, z)

∂ρ

)+

1

ρ2∂2u(ρ, ϕ, z)

∂ϕ2+∂2u(ρ, ϕ, z)

∂z2

(B.1.15)

となって円柱座標におけるラプラシアンを得る。

同様にして球座標 (spherical coordinates)での座標変換は、

x = r cosϕ sin θ, (B.1.16)

y = r sinϕ sin θ, (B.1.17)

z = r cos θ, (B.1.18)

r =√x2 + y2 + z2 (B.1.19)

微小長さは、

dx = dr cosϕ sin θ − r sinϕ sin θdϕ+ r cosϕ cos θdθ, (B.1.20)

dy = dr sinϕ sin θ + r cosϕ sin θdϕ+ r sinϕ cos θdθ, (B.1.21)

dz = dr cos θ − r sin θdθ (B.1.22)

よって、

ds2 = dx2 + dy2 + dz2

= cos2 ϕ sin2 θdr2 + r2 sin2 ϕ sin2 θdϕ2 + r2 cos2 ϕ cos2 θdθ2

− 2r cosϕ sinϕ sin2 θdrdϕ+ 2r cos2 ϕ sin θ cos θdrdθ − 2r2 sinϕ cosϕ sin θ cos θdϕdθ

+ sin2 ϕ sin2 θdr2 + r2 cos2 ϕ sin2 θdϕ2 + r2 sin2 ϕ cos2 θdθ2

+ 2r cosϕ sinϕ sin2 θdrdϕ+ 2r sin2 ϕ sin θ cos θdrdθ + 2r2 sinϕ cosϕ sin θ cos θdϕdθ

+ dr2 cos2 θ + r2 sin2 θdθ2 − 2r cos θ sin θdrdθ

= dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdϕ2 (B.1.23)

この式から球座標における計量を得る。

gsij =

1 0 0

0 r2 0

0 0 r2 sin2 θ

(B.1.24)

1この書き方だと ∂i の i がどの座標をさすのか、x, y, z か、ρ, ϕ, z か明示されていないのでわからない。ここでは ρ, ϕ, z である。自分がどの座標を使っているは覚えておく必要がある。

196 付 録 B 公式など

逆行列は、

gijs =

1 0 0

0 r−2 0

0 0 (r2 sin2 θ)−1

(B.1.25)

行列式は、√gs = r2 sin θである。

以上より、球座標におけるラプラシアンの表現を得る。

∆u(r, θ, ϕ) =1√gs∂i(g

ijs

√gs∂ju(r, θ, ϕ))

=1

r2 sin θ

∂

∂r

(r2 sin θ

∂u(r, θ, ϕ)

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(1

r2r2 sin θ

∂u(r, θ, ϕ)

∂θ

)+

1

r2 sin θ

∂

∂ϕ

(1

r2 sin θr2 sin θ

∂u(r, θ, ϕ)

∂ϕ

)=

1

r2∂

∂r

(r2∂u(r, θ, ϕ)

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂u(r, θ, ϕ)

∂θ

)+

1

r2∂2u(r, θ, ϕ)

∂ϕ2

(B.1.26)

最後に、問題が球対称で、求める解が θ, ϕに依存しない場合、ラプラシア

ンは

∆u =1

r2d

dr

(r2du(r)

dr

)(B.1.27)

となる。ここで u(r) = f(r)/rとおくと左辺は

1

r2d

dr

(rdf(r)

dr− f(r)

)=

1

r

d2f(r)

dr2(B.1.28)

よってこの問題のラプラス方程式の一般解は、

u(r) =A

r+B (B.1.29)

になる。r = |x|に注意するとラプラシアンの表式から、

∆1

4πr= −δ(x)δ(y)δ(z) = −δ(x) (B.1.30)

もわかる。実際、r = 0で

1

r2d

dr

(r2d

dr

(1

r

))= 0 (B.1.31)

一方で r = 0を中心とする半径 Rの微小球体積で両辺を積分すると、半径の

大きさによらず∫d3x∆

1

r=

∫4πr2dr

1

r2d

dr

(r2d

dr

(1

r

))= 4π

∫dr

d

dr

(r2d

dr

(1

r

))= 4πr2

d

dr

(1

r

)= −4π (B.1.32)

B.2. 変数分離 197

よってデルタ関数の性質を満たす。

u(r, t)が波動方程式にしたがうときは、

− 1

c2∂2f(r, t)

∂t2+∂2f(r, t)

∂r2= 0 (B.1.33)

より、一般解は、

u(r, t) =h(r − ct)

r+k(r + ct)

r(B.1.34)

となる。これは球面波を表し、1/rで減衰する。

B.2 変数分離

A,B,C を関数として n次元偏微分方程式を考える。

O[u] =

n∑i=1

n∑j=1

Aij∂2u

∂xixj+

n∑i=1

Bi∂u

∂xi+ Cu = 0 (B.2.1)

x1成分に注目して u = X1(x1)Xr(x

2, x3, · · · , xn)と変数分離が可能かどうか考えてみる。

XrA11 d

2X1

d(x1)2+

(2

n∑k=2

A1k ∂Xr

∂xk+B1Xr

)dX1

dx1

+

n∑i=2

n∑j=2

Aij∂2Xr

∂xixj+

n∑i=2

Bi∂Xr

∂xi+ CXr

X1 = 0 (B.2.2)

つまり、x1 = ξ, xi = ηi (i = 2, · · · , n)と変数をおきなおすならば、a, b, cをξ,ηに依存する関数として

a(ξ,η)d2X1

dξ2+ b(ξ,η)

dX1

dξ+ c(ξ,η)X1 = 0 (B.2.3)

と書ける。a(ξ,η) = 0, b(ξ,η) = 0のとき、

1

X1

dX1

dξ= −c(ξ,η)

b(ξ,η)(B.2.4)

c/bが c/b = (ξの関数)× (ηの関数) のように掛け算でかけるときに変数分離

が可能である2。とくに Aij , Bi, C が ξ の関数でなければ変数分離が可能で

ある。

a(ξ,η) = 0, b(ξ,η) = 0のとき、

1

X1

d2X1

dξ2= − c(ξ,η)

a(ξ,η)(B.2.5)

2ξ に依存しない定数でも良いし、η に依存しない ξ だけの関数でも良い。

198 付 録 B 公式など

となって同様の議論ができる。

a(ξ,η) = 0, c(ξ,η) = 0のとき、

d2X1

dξ2= − b(ξ,η)

a(ξ,η)

dX1

dξ(B.2.6)

となって同様の議論ができる。

a(ξ,η) = 0, b(ξ,η) = 0, c(ξ,η) = 0のとき、

1

X1

d2X1

dξ2+b(ξ,η)

a(ξ,η)

1

X1

dX1

dξ= − c(ξ,η)

a(ξ,η)(B.2.7)

c/aが c/a = (ξの関数)× (ηの関数)のようにかける。かつ、b/aが ηに依存

しない。もしくは、c/aが ηに依存しない。かつ、b/aが b/a = (ξの関数)×(ηの関数)のようにかける。という２通りが考えられる。特に定数係数、つ

まり Aij , Bi, C が定数のとき、

1

X1

d2X1

dξ2+b(η)

a(η)

1

X1

dX1

dξ= − c(η)

a(η)(B.2.8)

もしくは (dX1

dξ

)−1d2X1

dξ2+

(dX1

dξ

)−1c(η)

a(η)X1 = − b(η)

a(η)(B.2.9)

となるので、c/aもしくは b/aが定数になっていれば良い。

例 70.

O[u] =

n∑i=1

n∑j=1

Aij∂2u

∂xixj+

n∑i=1

Bi∂u

∂xi+ Cu = 0 (B.2.10)

Aij が実数関数のとき、実対称行列なので対角化できて直交行列Rと対角行

列ΛによってA = RΛRt のように書ける。y = Rtxと変数変換すると、

∂

∂xi=

n∑k=1

∂yk

∂xi∂

∂yk=

n∑k=1

(Rt)ki∂

∂yk=

n∑k=1

Rik ∂

∂yk(B.2.11)

∑i,j

Aij∂

∂xi∂

∂xj=∑i,j,k,ℓ

AijRikRj

ℓ ∂

∂yk∂

∂yℓ+∑i,j,k,ℓ

AijRik ∂Rj

ℓ

∂yk∂

∂yℓ

=∑i,j,k,ℓ

(Rt)kiAijRj

ℓ ∂

∂yk∂

∂yℓ

+∑

i,j,k,ℓ,m,n

(Rt)kiAijRj

m(Rt)mn ∂Rn

ℓ

∂yk∂

∂yℓ

+∑

i,j,k,ℓ,m,n

(Rt)kiAijRj

m(Rt)mn ∂Rn

ℓ

∂yk∂

∂yℓ

=

n∑i=1

Λi∂2

∂(yi)2+∑i,j,k

Λi(Rt)ij ∂Rj

k

∂yi∂

∂yk(B.2.12)

B.2. 変数分離 199

よって一般に Aij が実数関数なら

O[u] =

n∑i=1

Λi∂2u

∂(yi)2+

n∑i=1

Bi∂u

∂yi+ Cu = 0 (B.2.13)

と言う形に変形できる。Λ, Bi は元々の Aij , Bi から構成される。

例 71.

∂2u(x, y)

∂x2+∂2u(x, y)

∂x∂y+∂2u(x, y)

∂y2= 0 (B.2.14)

は u(x, y) = X(x)Y (y)とおくと、

X ′′

X+X ′Y ′

XY+Y ′′

Y= 0 (B.2.15)

となってこのままでは変数分離できない。しかるに α, βを x2 + x+1 = 0の

解とすると、α+ β = −1, αβ = 1。よって

∂2u(x, y)

∂x2+∂2u(x, y)

∂x∂y+∂2u(x, y)

∂y2

=

(∂

∂x− α

∂

∂y

)(∂

∂x− β

∂

∂y

)u(x, y) (B.2.16)

とかける。この方程式の一般解は u(x, t) = f(αx+ y) + g(βx+ y)と求まる。

また、

A =

(1 1/2

1/2 1

)(B.2.17)

なので、

R =

(1 1

1 −1

)(B.2.18)

によって

RtAR =

(1 1

1 −1

)(1 1/2

1/2 1

)(1 1

1 −1

)

=

(3/2 3/2

1/2 −1/2

)(1 1

1 −1

)=

(3 0

0 1

)(B.2.19)

より、

ξ = Rt

(x

y

)=

(x+ y

x− y

)(B.2.20)

200 付 録 B 公式など

すると

∂

∂x=∂ξ1

∂x

∂

∂ξ1+∂ξ2

∂x

∂

∂ξ2=

∂

∂ξ1+

∂

∂ξ2, (B.2.21)

∂

∂y=

∂

∂ξ1∂ξ1

∂y+

∂

∂ξ2∂ξ2

∂y=

∂

∂ξ1− ∂

∂ξ2, (B.2.22)

より

∂2u(x, y)

∂x2+∂2u(x, y)

∂x∂y+∂2u(x, y)

∂y2

=

(∂

∂ξ1+

∂

∂ξ2

)(∂

∂ξ1+

∂

∂ξ2

)u+

(∂

∂ξ1+

∂

∂ξ2

)(∂

∂ξ1− ∂

∂ξ2

)u

+

(∂

∂ξ1− ∂

∂ξ2

)(∂

∂ξ1− ∂

∂ξ2

)u

= 3∂2u(ξ1, ξ2)

∂(ξ1)2+∂2u(ξ1, ξ2)

∂(ξ2)2= 0 (B.2.23)

これは変数分離法を使える。

B.3 積分順序の交換

以下の定理の説明、証明については、[12]の 47章を参照。

定理 22. −∞ < a, b, c, d < ∞は定数とする。x ∈ [a, b], y ∈ [c, d]の関数

f(x, y)が連続なら、∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y)dy

)dx =

∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y)dx

)dy (B.3.1)

定理 23. −∞ < x, y <∞の関数 f(x, y)が連続で、

1.∫∞−∞ |f(x, y)|dyが xの連続関数かつ

2.∫∞−∞ |f(x, y)|dxが yの連続関数

であり、さらに

3.∫∞−∞

(∫∞−∞ |f(x, y)|dx

)dyが収束する

なら ∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞f(x, y)dx

)dy =

∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞f(x, y)dy

)dx (B.3.2)

201

関連図書

[1] 『定本　解析概論』(岩波書店) 高木貞治

[2] 『新数学シリーズ１１　物理数学』(陪風館) 高橋健人

[3] 『サイエンスライブラリ　理工系の数学１２　フーリエ解析とその応用』

（サイエンス社）洲之内源一郎

[4] 『詳解　物理応用　数学演習』（共立出版）後藤憲一、山本邦夫、神吉健

（共編）

[5] 『東京大学工学教程　基礎系　数学　フーリエ・ラプラス解析』（丸善出

版）加藤雄介、求幸年

[6] 『理工系の数学入門コース６　フーリエ解析』（岩波書店）大石進一

[7] 『岩波講座 応用数学 [方法４] Fourier-Laplace 解析』(岩波書店) 木村

英紀

[8] 『理工学者が書いた数学の本３ 偏微分方程式』(講談社) 神部勉

[9] 『物理と数学シリーズ４ 物理とグリーン関数』(岩波書店) 今村勤

[10] 『物理・工学のためのグリーン関数入門』(東海大学出版会) 松浦武信、

吉田正廣、小泉義晴

[11] 『物理数学の方法』(岩波書店) L. Schwartz (吉田耕作・渡辺二郎 訳)

[12] “Fourier Analysis” (English edition/1st edition), T. W. Korner (Cam-

bridge University Press); 翻訳がある。