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7/25/2019 CF-Emprestimos.pdf

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Clculo Financeiro

5. Amortiza o de Em rstimos


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Empr stimo ou m tuo: contrato atrav s do qual uma

parte (o mutuante) cede a outro (o muturio) umadeterminada importncia, ficando este obrigado arestituir essa im ortncia acrescida de uros taxa

acordada

Mutuante: Aquele que concede o emprstimo;

.


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Prestao: pagamento destinado liquidao de um

emprstimo, sendo composta por duas parcelas: Quota-capital ou Principal (amortizao do capital):

Quota-juro (juro): juro devido sobre o capital emdvida.


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otaesotaes

D0 montante do emprstimo no momento 0;

D ca ital em dvida a s o a amento da resata o k;

i taxa anual efectiva;

pk prestao k; m uota-ca ital

jk quota-juro

n nmero de prestaes


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Permitem visualizar a evoluo do emprstimo,

incluindo:

;

a prestao;

a quota-capital;a quo a- uro


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EXEMPLOS REAIS


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Prestao Capital em dvida Quota Quota Prestao

N no nicio do

perodo (Dk-1)

juro (jk) capital

(mk)

(pk)

1 D0 j1 = D0 . i m1 p1 = j1+ m1

2 D = D m = D . I m = + m

3 D2 = D1 m2 j3 = D2 . i m3 p3 = j3+ m3

... ...

n-1 Dn-2 =

Dn-3

mn-2

jn-1 =

Dn-2

.i mn-1

pn-1

=jn-1

+mn-1

n Dn-1 = Dn-2 mn-1 jn = Dn-1 .i mn pn=jn+mn


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N no nicio do

perodo (Dk-1)

juro (jk) capital

(mk)

(pk)

1 D0 j1 = D0 . i m1 p1 = j1+ m1

2 D = D m = D . I m = + m

3 D2 = D1 m2 j3 = D2 . i m3 p3 = j3+ m3

... ...

n-1 Dn-2 =

Dn-3

mn-2

jn-1 =

Dn-2

.i mn-1

pn-1

=jn-1

+mn-1


Dn-1 tem que ser igual a mn


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N no nicio do

perodo (Dk-1)

juro (jk) capital

(mk)

(pk)

1 D0 j1 = D0 . i m1 p1 = j1+ m1

2 D = D m = D . I m = + m

3 D2 = D1 m2 j3 = D2 . i m3 p3 = j3+ m3

... ...

n-1 Dn-2 =

Dn-3

mn-2

jn-1 =

Dn-2

.i mn-1

pn-1

=jn-1

+mn-1


=k 0


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N no nicio do

perodo (Dk-1)

juro (jk) capital

(mk)

(pk)

1 D0 j1 = D0 . i m1 p1 = j1+ m1

2 D = D m = D . I m = + m

3 D2 = D1 m2 j3 = D2 . i m3 p3 = j3+ m3

... ...

n-1 Dn-2 =

Dn-3

mn-2

jn-1 =

Dn-2

.i mn-1

pn-1

=jn-1

+mn-1


SISTEMA DE AMORTIZAO ADOPTADO


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Existem muitas formas ou modalidades de amortizaode emprstimos. Vamos considerar apenas as trs mais

Sistema francs;

Sistema de amortizaes constantes; istema americano.

Cada um destes sistemas tem uma forma pura e

variantes.


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o sistema de amortizaes mais usado.

Consiste no pagamento de prestaes (de capital e juros)cons an es ao ongo o prazo o empr s mo.

Como cada uma das resta es contribui ara a

amortizao de uma parte da dvida, o capital em dvida.

Logo, se a taxa de juro se mantiver constante a parcelarelativa amortizao do capital vai aumentando e arelativa aos uros vai diminuindo.


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Comeamos pelo sistema francs puro:

Neste sistema as prestaes so constantes, postecipadas e.

perodo aps o emprstimo ter sido contrado.

No esquecer que tem que existir concondncia entre operodo de amortizao e o perodo a que est referida ataxa de juro.

,de termos postecipados constantes.


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Sistemas francs SFClculos no sistema francs puro:

0

:momen onov aaa or

= apD n i

0

:prestaodaValor

= D

:kprestonacontidoJuro an i

1

:kprestaonacontidaoAmortiza

= kk

:perodocadadenicionodvidaemCapital

= kk jpm

121

=

kkk

mDD


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Exemplo:

Considere um emprstimo de 120 000 Euros no sistema francsuro a amoritizar em seis resta es anuais taxa anual de 7%.

Construa o quadro de amortizao.

O primeiro passo calcular o valor da prestao:

:prestaodaValor

D

120000

=a

pn i

525175

76654,4

=

=p


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Exemplo:



perodo (Dk-1)

k

(mk)k

0

j1 = 0

. i m1

p1

= j1

m1

2 D1 = D0 m1 j2 = D1 . I m2 p2 = j2+ m2

3 D2 = D1 m2 j3 = D2 . i m3 p3 = j3+ m3

... ...5 Dn-2 = Dn-3 mn-2 jn-1 = Dn-2 .i mn-1 pn-1=jn-1+mn-1

n-1 = n-2 n-1 n = n-1 . n n n n


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Exemplo:



perodo (Dk-1)

k

(mk)k

0= ,2

3

4

5


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Exemplo:


Prestao Capital em Quota juro Quota Prestao

do perodo (Dk-

1)

k

(mk)k

1 120 000 j1 = D0 . i =120000*0,07

m1 25175,5

=8400


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Exemplo:


Prestao

N

Capital em dvida

no nicio do

Quota juro (jk

) Quota

ca ital m

Prestao

perodo (Dk-1)

j1 = 0

. i =120000*0,07=8400

m1= ,

8400=16775 5

,


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Exemplo:


Prestao

N

Capital em dvida

no nicio do

Quota juro (jk

) Quota

ca ital m

Prestao

perodo (Dk-1)

j1 = 0

. i =120000*0,07=8400

m1= ,

8400=16775 5

,

2 120000

16775,5 =

j2 =

103244,5*0,07=

m2=25175,5

7225,72=

25175,5

103224,5 7225,72 17949,78


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Exemplo:



perodo (Dk-1)

k

(mk)k

, ,

2 103224,5 7225,72 17949,78 25175,5

3 85274,72 5969,23 19206,27 25175,5

4 66068,45 4624,79 20550,71 25175,55 4517,74 3186,24 21989,26 25175,5

, , , ,


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Exemplo:



perodo (Dk-1)

k

(mk)k

, ,

2 103224,5 7225,72 17949,78 25175,5

3 85274,72 5969,23 19206,27 25175,5

4 66068,45 4624,79 20550,71 25175,55 4517,74 3186,24 21989,26 25175,5

, , , ,


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Exemplo:



perodo (Dk-1)

k

(mk)k

, ,

2 103224,5 7225,72 17949,78 25175,5

, , , ,

4 66068,45 4624,79 20550,71 25175,55 4517,74 3186,24 21989,26 25175,5

6 23528,48 1646,99 23528,48 25175,5

120 000


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No sistema francs as amortizaes de capital crescem medida que o tempo passo de acordo com uma

ro resso eomtrica de razo i ual a 1+i :

=

+

,partir da expresso:

1)1( += ipmn


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Exemplo:



perodo (Dk-1)

k

(mk)k

, ,

2 103224,5 7225,72 17949,78 25175,5

, , , ,

4 66068,45 4624,79 20550,71 25175,55 4517,74 3186,24 21989,26 25175,5

6 23528,48 1646,99 23528,48 25175,5


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Tambm existem frmulas que permitem calcular o valor docapital em dvida num determinado momento, recorrendo

ao que aprendemos sobre rendas e equivalncia de capitaisapD k =n-k i

siDDou

k+= 1

De igual forma, podemos calcular o valor da dvida jk i

amort za a num a o momento:

11 + ki

1)1(00

+

=nk

i


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Finalmente, podemos calcular o valor dos juros suportadonum emprstimo, supondo que no ocorre qualquer

alterao no valor das prestaes, por exemplo devido aalteraes da taxa de juro:

0D-pnjuros =


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Variaes do sistema fracs puro:

introduo de um prazo de carncia (h

m n d r m n h m r iz dcapital);

ntro uo e um prazo e er mento uranteo qual no h qualquer pagamento);

considerao de prestes antecipadas;

oca o nance ra eas ng necess a e e

introduzir o valor residual);


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Comeamos pelo sistema puro:

Neste sistema as prestaes tambm so constantes mas-

capital). O juro calculado sobre o capital em dvida econsequen emen e va m nu n o.

Assim, cada prestao contm duas parcelas: uma constantee outra decrescente.

.


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Sistemas de amortiza es constantesClculos no SAC:

0 nmD =

)1(

1 mikpp k =

)1(

:pres onacon ouro

1 mikjj k =

:presta onacont aomort za

0D

m =

:pagosjurosdosTotal

n

2

0 m

njuros

+=


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No sistema de amortizaes constantes puro o uro e asprestaes decrescem de acordo com uma progresso

aritmtica de razo i ual a -mi:


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Exemplo:

Considere um emprstimo de 20 000 Euros amortizvelatravs de 5 anuidades postecipadas, onde as amortizaes de capitalso constantes. A taxa de juro anual de 10%. Construa o quadro de

amortizao.PrestaoN

Capital em dvida

no nicio do

Quota

juro (jk)

Quota

capital

Prestao

(pk)

k-1 k

1 D0 j1 = D0 . i m1 p1 = j1+ m11 = 0 1 2 = 1 . 2 2 2 2

3 D2 = D1 m2 j3 = D2 . i m3 p3 = j3+ m3... ...5 Dn-2 = Dn-3 mn-2 jn-1 = Dn-2 .i mn-1 pn-1=jn-1+mn-1

n-1 = n-2 mn-1 n = n-1 . mn pn= n mn


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Exemplo:

Considere um emprstimo de 20 000 Euros amortizvel atravs de 5anuidades postecipadas, onde as amortizaes de capital soconstantes. A taxa de juro anual de 10%. Construa o quado de

amortizao.

0=D

m

20000

=m

n

4000=m


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Exemplo:


no n c o o

perodo (Dk-1)

uro k cap a

(mk)

pk

1 D0= 20 000 4000

2

34

5


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Exemplo:

Prestao

Capital em Quota juro Quota Prestao

do perodo

(Dk-1)

k

(mk)k

1 20 000 j1 = D0 . i =20000*0,1=

4000 4000+2000=6000

2000


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Exemplo:

Prestao

Capital em Quota juro Quota Prestao

do perodo

(Dk-1)

k

(mk)k

1 20000 j1 = D0 . i =20000*0,1= 4000 4000+2000=60002000

2 20000 4000 = j2 = D1 . i = 4000 5600, =

1600


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Exemplo:

Prestao

Capital em dvida Quota Quota Prestao

perodo (Dk-1)

k

(mk)k

2 16000 1600 4000 5600

3 12000 1200 4000 5200

4 8000 800 4000 48005 4000 400 4000 4400


38/46

Exemplo:

Prestao


perodo (Dk-1)

k

(mk)k

2 16000 1600 4000 5600

3 12000 1200 4000 5200

4 8000 800 4000 48005 4000 400 4000 4400


39/46

Exemplo:

Prestao


perodo (Dk-1)

k

(mk)k

2 16000 1600 4000 5600

3 12000 1200 4000 5200

4 8000 800 4000 48005 4000 400 4000 4400

20 000


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Exemplo:

Prestao


perodo (Dk-1)

k

(mk)k

2 16000 1600 4000 5600

3 12000 1200 4000 5200

4 8000 800 4000 48005 4000 400 4000 4400


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Variaes do sistema:

considerao de juros pagos cabea;

considerao de juros pagos no final do prazo;


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Comeamos pelo sistema puro que tambm conhecidopor Fundo de Amortizao ou Sinking Fund.

final do prazo e o muturio paga, no fim de cada perodo,apenas o uro o cap a em v a.

Como o capital em dvida sempre o mesmo at ao final doprazo, os juros pagos em cada perodo so sempre iguais.

do emprstimo de uma s vez. O muturio pode prepararessa quan a cr an o um un o e mor za o.


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De forma a constituir esse fundo so realzados n depsitosconstantes de valor igual a m, nos mesmos momentos em

ue se rocede ao a ameto dos uros. O valor de cada umdos depsitos calculado da seguinte forma:

sDm 0=

n

Assim, em cada perodo o muturio suporta o valor

0


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Variaes do sistema:

considerao de juros pagos cabea;

considerao de juros pagos no final do prazo;


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