chapitre iv- magnétostatique - enp-constantine.dz · dans le cas particulier d’un circuit...

CH. IV- Magnétostatique

Ecole Nationale Polytechnique de Constantine (ENPC) Pr. D. THABET-KHIREDDINE - 2017/2018 82

SOMMAIRE

CHAPITRE IV- Magnétostatique

IV.1- INTRODUCTION

IV.2- EXPRESSION DU CHAMP MAGNETIQUE

IV.2.1- CHAMP MAGNETIQUE CREE PAR UNE CHARGE PONCTUELLE EN MOUVEMENT

IV.2.2- CHAMP MAGNETIQUE CREE PAR UN ENSEMBLE DE CHARGES EN MOUVEMENT

IV.2.3- CHAMP MAGNETIQUE CREE PAR UNE DISTRIBUTION CONTINUE DE CHARGES

IV.2.4- CHAMP MAGNETIQUE CREE PAR UN COURANT ELECTRIQUE. LOI DE BIOT ET SAVART

IV.3- CIRCULATION DU CHAMP MAGNETIQUE. THEOREME D’AMPERE

IV.3.1- CIRCULATION DU CHAMP MAGNETIQUE LE LONG D’UN CONTOUR FERME

IV.3.2- THEOREME D’AMPERE

IV.3.3- EXPRESSION LOCALE DU THEOREME D’AMPERE

IV.4- FLUX DU CHAMP MAGNETIQUE

IV.4.1- LIGNES DE CHAMP MAGNETIQUE

IV.4.2- CONSERVATION DU FLUX MAGNETIQUE

IV.5- ACTION D’UN CHAMP MAGNETIQUE

IV.5.1- FORCE DE LORENTZ EXERCEE SUR UNE CHARGE ELECTRIQUE EN MOUVEMENT

IV.5.2- TRAJECTOIRE D’UNE CHARGE ELECTRIQUE PLACEE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE

IV.5.3- ACTION D’UN CHAMP MAGNETIQUE SUR UN CIRCUIT FERME PARCOURU PAR UN

COURANT : FORCE DE LAPLACE

IV.5.4- TRAVAIL DE LA FORCE MAGNETIQUE- THEOREME DE MAXWELL

IV.6- PHENOMENE D’INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE : LOI DE FARADAY-LENZ

IV.7- DIPOLE MAGNETIQUE

ANNEXE : POTENTIEL VECTEUR - DIPOLE MAGNETIQUE



CHAPITRE IV- Magnétostatique

IV.1- INTRODUCTION

*Le champ magnétique, représenté par B�

, est un champ vectoriel d’interaction dans l’espace au même

titre que le champ gravitationnel g�

ou le champ électrique E�

.

Ce champ B�

est produit dans la nature par certains minéraux, telle la magnétite ( 3 4Fe O ) qui est un

minerai ferromagnétique, que l’on appelle « aimants ». Il peut également être produit par un courant

électrique (charges en mouvement).

*Définition de la magnétostatique : la magnétostatique est l’étude des phénomènes magnétiques

stationnaires, générés par des courants en régime stationnaire (courants continus).

Expérience d’Oersted : Elle met en évidence la création d’un champ magnétique par un courant

électrique.

A l’instant initial, on place un fil électrique rectiligne parallèlement à l’aiguille d’une boussole qui

indique le Nord. Puis, faisons passer un courant électrique continu dans le sens Sud-Nord de la

boussole. On observe que l’aiguille a dévié : cela signifie qu’un nouveau champ magnétique s’est ajouté

au champ magnétique terrestre et que l’aiguille s’oriente selon la résultante vectorielle des deux champs.

Ce champ supplémentaire ne peut provenir que du passage du courant dans le fil. Remarquons que si on

inverse le sens du courant, la déviation de l’aiguille s’inverse également.

Nous allons étudier particulièrement le champ magnétique B�

induit par le courant électrique, c’est-à-

dire des charges en mouvement.

IV.2- EXPRESSION DU CHAMP MAGNETIQUE

IV.2.1- CHAMP MAGNETIQUE CREE PAR UNE CHARGE PONCTUELLE EN MOUVEMENT

Le champ magnétique créé en un point M par une charge ponctuelle q située en un point P et animée

d’une vitesse v�

dans un repère galiléen est :



o3

qv PMB(M)

4 PM

µ ∧=π

��

��

v�

, PM��

et B�

ne sont pas dans le même plan : B plan(v,PM)⊥��

.

*L’unité du champ magnétique est le Tesla (T) dans le Système International (SI).

Une autre unité peut être utilisée dans le système CGS, c’est le Gauss : 1 Gauss = 10-4 Tesla.

*Le facteur oµ est la perméabilité du vide : il décrit la capacité du vide à « laisser passer » le champ

magnétique. Sa valeur est : 7 1o 4 .10 H.m− −µ = π (H : Henry).

Remarques :

*On pose 2o oc 1µ ε =

Cela signifie qu’il y a un lien direct entre le magnétisme, l’électricité et la lumière. C’est ce qui a permis

de définir la valeur de la permittivité du vide (caractéristique décrivant sa capacité à affaiblir les forces

électrostatiques) : 9

1o

10F.m

36

−−ε =

π

*Deux propriétés importantes du champ magnétique :

-De même que pour le champ électrostatique E�

, le principe de superposition s’applique au champ

magnétique.

Si on considère deux particules chargées 1 et 2 en mouvement, le champ magnétique créé en un point M

quelconque de l’espace sera la somme vectorielle des champs créés par chacune des charges.

*Quelques ordres de grandeur du champ magnétique :

-Un aimant ordinaire : B 10 mT≃

-Un électroaimant ordinaire : B 1T≃

-Champ magnétique terrestre : perpendiculaire horizontalB 1,4 Gauss, B 0,3 Gauss≃ ≃ (1 Gauss= 10-4 T)



IV.2.2- CHAMP MAGNETIQUE CREE PAR UN ENSEMBLE DE CHARGES EN MOUVEMENT

Considérons n charges ponctuelles iq situées en des points iP et animées de vitesses iv�

.

En vertu du principe de superposition, le champ magnétique créé en un point M est la somme vectorielle

des champs créés par chacune des charges iq :

no i i i

3i 1 i

q v PMB(M)

4 PM=

µ ∧=π∑

��

��

IV.2.3- CHAMP MAGNETIQUE CREE PAR UNE DISTRIBUTION CONTINUE DE CHARGES

Si le nombre de charges contenues dans un volume (V) est très grand, alors on considère une

distribution continue de charges avec une densité volumique ρ :

*un élément dq(P) (P)d= ρ τ , animé d’une vitesse moyenne v(P)�

, crée un champ magnétique

élémentaire dB(M)�

donné par (dτ étant un élément de volume) :

o3

dq(P)v(P) PMdB

4 PM

µ ∧=π

��

��

*Tout le volume chargé (V) crée au point M un champ B(M)�

:

o o3 3(V) (V)

dq(P)v(P) PM (P)v(P) PMB(M) d

4 4PM PM

µ ∧ µ ρ ∧= = τπ π∫∫∫ ∫∫∫

��

��



Le produit (P)v(P)ρ � est le vecteur densité volumique de courant j(P)

�.

On en déduit l’expression du champ magnétique créé par une distribution volumique de charges :

o3(V)

j(P) PMB(M) d

4 PM

µ ∧= τπ ∫∫∫

��

��

Ce résultat général est valable quelle que soit la forme du conducteur.

Remarques :

*Considérons α espèces de charges élémentaires différentes (ex : électrons, ions,…), chacune animée

d’une vitesse vα�

, de charge qα et de densité numérique nα (par unité de volume).

On peut écrire : dqv n q v dα α αα

= τ∑� �

(dq d n q d )α α α α= ρ τ = τ

-La somme sur α porte sur le nombre d’espèces différentes qui défilent dans le volume dτ et non sur le

nombre total de particules.

-Ici, l’expression du vecteur densité de courant j�

sera : j n q vα α αα

=∑� �

.

IV.2.4- CHAMP MAGNETIQUE CREE PAR UN COURANT ELECTRIQUE. LO I DE BIOT ET SAVART

Dans le cas particulier d’un circuit filiforme fermé, parcouru par un courant permanent I, la formule

précédente de B(M)�

constitue la loi de Biot et Savart :

dq Idt et vdt d= =��ℓ

o o o o3 3 3 3

dq(P)v(P) PM Idt.v(P) PM Id PM Id PMdB dB

4 4 4 4PM PM PM PM

µ ∧ µ ∧ µ ∧ µ ∧⇒ = = = ⇒ =

π π π π

�� ℓ ℓ

��

Loi de Biot et Savart :

Le champ magnétique en un point M, créé par un circuit parcouru par un courant permanent I est :

o3

circuit

Id PMB(M)

4 PM

µ ∧=π ∫

�� ℓ

��



Ou bien :

o3(V)

( j PM)B(M) d

4 PM

µ ∧= τπ ∫∫∫

��

�� avec d dS.d dS.dτ = =� �

ℓ ℓ

(S)o o o3 3 3(V)

circuit circuit

j.dS d PM( j PM) Id PMB(M) dS.d

4 4 4PM PM PM

∧µ ∧ µ µ ∧ = = =π π π

∫∫∫∫∫ ∫ ∫

�� ℓ� �� ℓ

ℓ��

Remarques :

*Le sens de d�ℓ est donné par le sens de I dans le circuit.

*Le sens de B�

est donné par la règle convenue dans le calcul du produit vectoriel.

Application :

Calcul de B(M)�

en un point M de l’espace, créé par un fil infini parcouru par un courant continu I.

Un élément d (P)ℓ de circuit parcouru par un courant I crée un champ dB�

au point M, donné par la loi

de Biot et Savart :

o3

I d PMdB

4 PM

µ ∧=π

�� ℓ

��

Exprimons cette relation dans le repère le plus adapté au fil, c’est-à-dire le repère cylindrique

r(u ,u ,k)θ

�� :

On a : rPM PO OM au zk= + = −��

et d dzk=��

ℓ

D’où : o o r o3 3 3

I d PM I dzk (au zk) IdB adzu

4 4 4 rPM PMθ

µ ∧ µ ∧ − µ= = =π π π

�� ℓ �

��

Pour simplifier les calculs, introduisons la variable α (voir figure ci-dessus) :

2

z atg z atg dz d

a cosα = ⇒ = α ⇒ = α

α



33

3

a acos r

r cosα = ⇒ =

α

3o o

2 3

I a cos IdB a d u dB cos d

4 4 acos aθ

µ α µ⇒ = α ⇒ = α α

π πα

� �

On intègre sur le fil infini, c’est-à-dire sur α entre 2

π− et2

π+ :

/ 2/ 2 o o o

/ 2/ 2

I I IB cos d sin

4 a 4 a 2 a

ππ

−π −π

µ µ µ = α α = α = π π π ∫

Soit finalement : oIB(M) u2 a

θµ=π

� �

En conclusion :

*�B(M) appartient aux plans

� �r θ(M,u ,u ) perpendiculaires au fil.

*Les lignes de champ, auxquelles B�

est tangent, sont des cercles centrés sur l’axe du fil et contenus

dans des plans perpendiculaires au fil. Le sens de B�

(ou des lignes de champ) est donné par la règle de

la main droite.

*B est indépendant de :

- z : car il y a invariance du courant (source) par translation le long de l’axe Oz.

-θ : car il y a invariance du courant par rotation autour du fil (Oz).

Donc B ne dépend que de la distance r du fil au point M où l’on calcule le champ, mais il est dirigé

suivant le vecteur uθ�

:

� � �oθ

µ IB(M)= B(r)= u

2πr

IV.3- CIRCULATION DU CHAMP MAGNETIQUE. THEOREME D’A MPERE

IV.3.1- CIRCULATION DU CHAMP MAGNETIQUE LE LONG D’UN CONTOUR FERME

Prenons le cas d’un champ B�

créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courant I. On sait que ce



champ en un point M vaut : oIB(M) u2 r

θµ=π

� �.

a/ Calculons la circulation de ce champ le long d’un contour fermé qui n’entoure pas le fil.

Considérons le contour fermé orienté représenté sur la figure : MNOPM et calculons la circulation de

B�

sur ce contour noté (C).

� �1 2 3 4(C) MN NO OP PM

B.d B(A )d B(A )d B(A )d B(A )d= + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫� � � � �� ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ�

(Attention ! Ici, d dr≡� �ℓ , un déplacement élémentaire sur le contour (C). Ce n’est pas l’élément du fil

parcouru par le courant, c’est-à-dire le d�ℓ considéré dans la loi de Biot et Savart)

2NO

B(A )d 0=∫��ℓ car 2B(A ) d sur la branche NO⊥

��ℓ

4PM

B(A )d 0=∫��ℓ car 4B(A ) d sur la branche PM⊥

��ℓ

� � �

� o o1 1 1 1 1

MN MN MN1

I IB(A )d B(A )d B(A ) d B(A ).MN . r .

2 r 2

µ µ= − = − = − = − θ = − θπ π∫ ∫ ∫

��ℓ ℓ ℓ ;

Le signe (-) car 1B(A ) // d��ℓ mais de sens opposé.

� � �

� o o3 3 3 3 2

OP OP OP2

I IB(A )d B(A )d B(A ) d B(A ).OP . r .

2 r 2

µ µ= = = = θ = θπ π∫ ∫ ∫

��ℓ ℓ ℓ ;

3B(A ) // d��ℓ de même sens.

D’où la circulation de B�

sur le contour (C) fermé : o o

(C)

I IB.d . . 0

2 2

µ µ= θ − θ =π π∫

��ℓ�



Conclusion : La circulation du champ magnétique le long d’un contour fermé n’entourant pas (ou

n’enlaçant pas) le fil parcouru par le courant I, est nulle.

b/ Calculons la circulation de ce champ le long d’un contour fermé qui entoure le fil parcouru par I.

Considérons le contour fermé orienté (C’) représenté sur la figure ci-dessous et calculons la circulation

de B�

sur ce contour.

2o o oo

(C') (C ') (C ') (C ') (C ') 0

I I IB.d Bu .(rdr rd u dzk) Bu .rd u .rd d d I

2 r 2 2

πθ θ θ θ

µ µ µ= + θ + = θ = θ = θ = θ = µπ π π∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

�� ℓ

Conclusion : La circulation du champ magnétique le long d’un contour fermé entourant le fil parcouru

par un courant I est égal à oIµ .

IV.3.2- THEOREME D’AMPERE

On peut généraliser les résultats précédents par le théorème d’Ampère:

En régime permanent, la circulation le long d’un contour fermé orienté (C) d’un champ magnétique B�

résultant d’une distribution de courants électriques, est égale au produit de la somme algébrique des

courants traversant la surface délimitée par le contour (C) et du coefficient de perméabilité oµ :

o traversant(C)

B.d I= µ ∑∫��ℓ�

*Les courants sont comptés positifs s’ils pénètrent la surface (S) du contour en suivant le sens de S�

et

vice-versa.

*Le sens du vecteur S�

résulte du sens d’orientation du contour (C) (règle du tournevis).

*Ce théorème est l’analogue au théorème de Gauss pour les champs électriques. Il permet de calculer,

indirectement, dans des cas simples, le champ magnétique B�

en un point M de l’espace. Pour cela, il

faut pouvoir trouver un contour (C) tel que :

- B�

est soit perpendiculaire, soit parallèle à l’élément d�ℓ du contour choisi,

- le module de B�

est constant sur les points du contour ce qui permet de le sortir de l’intégrale.



o 2 1 3 5 5 o 2 1 3(C)

B.d (I I I I I ) (I I I )= µ − − + − = µ − −∫��ℓ�

Application :

Calcul de B�

créé par un câble cylindrique rectiligne infini de rayon R, parcouru par un courant I, à

l’intérieur et à l’extérieur de ce conducteur.

L’étude du champ magnétique produit par un fil infini parcouru par un courant I a montré que :

* les lignes de champ étaient des cercles centrés sur le fil et orientées selon la règle de la main

droite,

* le module de B�

en un point M ne dépendait que de la distance r de M à l’axe du fil. B est donc

constant sur les points du cercle.



Dans le cas du câble, pour calculer la circulation de B�

, on considèrera donc des contours circulaires

fermés (C) de rayon r centrés sur le fil.

• Calcul de )1B(M�

à l’intérieur du câble :

Pour calculer la circulation de B�

à l’intérieur du câble, on considèrera donc un contour circulaire

fermé (C1) de rayon r < R :

o traversant(C )1

B.d I= µ∫��ℓ�

La section étant constante avec I courant continu constant, alors la densité volumique de courant est

uniforme : stej c= (Voir chapitre III). On peut calculer la fraction de courant qui traverse la surface (S’)

délimitée par (C1) ; on notera trav.I ce courant :

2 2 2trav. trav.

trav. o2 2 2 2 2(C )1o

I I I I r Ir rj I I B.d I

S S' R r R R R

π= = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = µπ π π ∫

��ℓ�

D’autre part : (C ) (C )1 1

B.d B(r)u .rd u B(r).2 rθ θ= θ = π∫ ∫�� ℓ� �

On en déduit : oint 1 2

IrB (M ) u

2 Rθ

µ=π

� �

Remarque :

2ème méthode pour calculer le courant trav.I , traversant la surface (S’) délimitée par le contour (C1) :

22 2

trav. 2 2(S') (S')

I rI j.dS' j dS' j r r I

R R= = = π = π =

π∫∫ ∫∫� �

• Calcul de )2B(M�

à l’extérieur du câble :

On considère le contour fermé (C2) de rayon r > R :

oB(r).2 r Iπ = µ (on prend tout le courant trav.I I= )

oext 2

IB (M ) u

2 rθ

µ=π

� �



IV.3.3- EXPRESSION LOCALE DU THEOREME D’AMPERE

Le théorème d’Ampère peut s’exprimer sous forme locale en utilisant le théorème de Stockes.

Théorème de Stockes : (C) (S)

A.d rotA.dS=∫ ∫∫��

ℓ�

Donc : (C) (S)

B.d rotB.dS=∫ ∫∫��

ℓ�

où (S) est une surface s’appuyant sur le contour fermé (C). Le théorème d’Ampère va s’écrire :

o(C) (S)

B.d rotB.dS I= = µ∫ ∫∫��

ℓ�

Où I est le courant traversant la surface délimitée par le contour fermé (C), ou encore la surface (S)

s’appuyant sur le contour (C) (cf. figure ci-dessus).

En écrivant (S)

I j.dS= ∫∫� �

, on en déduit :

* o(S) (S)

rotB.dS j.dS= µ∫∫ ∫∫��

o(S)

(rotB j).dS 0⇒ − µ =∫∫��

On en déduit l’expression locale du théorème d’Ampère :

orotB j= µ��

*D’autre part, la relation : o(C) (S)

B.d j.dS= µ∫ ∫∫��

ℓ�

représente l’équation de Maxwell-Ampère.

IV.4- FLUX DU CHAMP MAGNETIQUE

IV.4.1- LIGNES DE CHAMP MAGNETIQUE

Définition : Les lignes de champ d’un espace champ magnétique sont des courbes tangentes en chacun

de leurs points au vecteur champ magnétique B�

; on leur attribue un sens, celui du vecteur B�

.



Le sens de B�

est donné par le pôle Nord d’une aiguille aimantée, libre de se mouvoir autour de son

centre de gravité, c’est-à-dire que le vecteur B�

a pour support l’axe Sud-Nord de l’aiguille et pour

direction S N→ (de l’aiguille).

Exemples de lignes de champ magnétique :

En explorant l’espace au moyen d’une aiguille aimantée libre de se mouvoir, on peut donc réaliser une

cartographie des lignes de champ, appelée « spectre magnétique ».

Barreau aimantée.

Aimant en U.

Fil rectiligne parcouru par un courant I.

Boucle (spire) parcouru par un courant I.



Bobine (solénoïde) parcouru par un courant I.

Terre.

IV.4.2- CONSERVATION DU FLUX MAGNETIQUE

entrant sortantS S1 2(S)

B.dS 0φ = = = φ + φ∫∫��

� car les lignes qui rentrent sont forcément celles qui ressortent.

Avec :

(S ) 11 (S )1B.dS 0φ = <∫∫��

car l’angle entre B�

et dS�

est obtus.

(S ) 22 (S )2B.dS 0φ = >∫∫��

car l’angle entre B�

et dS�

est aigu.

Théorème de Green-Ostrogradsky : (S) (V)

B.dS divB.dVφ = =∫∫ ∫∫∫��

�



(V) étant le volume délimité par la surface fermée (S).

D’où : divB = 0�

: Equation de conservation du flux (de B�

).

Conséquences :

*Le flux de B�

à travers toute surface fermée est nulle.

*Il n’existe pas de monopôle magnétique : il y a toujours un pôle N et un pôle S (Si on casse un aimant,

on retrouve deux aimants).

Cela signifie que les lignes du champ B�

qui rentrent dans une surface fermée doivent ressortir.

On dit que le champ magnétique est un dipôle (2 polarités), ceci à l’inverse du champ

électrostatique pour qui une charge constitue un monopôle électrique. Les lignes de champ E�

peuvent en

diverger vers l’infini ou y converger et le flux à travers une surface fermée peut être seulement entrant

ou sortant.

IV.5- ACTION D’UN CHAMP MAGNETIQUE

Le courant étant un déplacement de charges élémentaires dans le circuit, la force s’exerçant sur une

particule chargée sera posée en premier, ensuite on exprimera la force s’exerçant sur le circuit.

IV.5.1- FORCE DE LORENTZ EXERCEE SUR UNE CHARGE ELECTRIQUE EN MOUVEMENT

Considérons une particule chargée se déplaçant à la vitesse v�

dans un espace où règnent un champ

électrique E�

et un champ magnétique B�

. La force électrique et magnétique totale exercée sur la

particule q considérée est donnée par la loi de Lorentz :

e mF q(E v B) F F= + ∧ = +� � � � ��

e

m

F qE : composante électriqueoù

F qv B : composante magnétique

=

= ∧

� �

� ��

La force de Lorentz est une force « électromagnétique ». La composante magnétique de la force de

Lorentz (parfois appelée force magnétique) possède des propriétés importantes :

a/ La force magnétique ne fournit pas de travail : si on applique le Principe Fondamental de la

Dynamique à cette particule de masse m et de charge q, en supposant que la particule n’est soumise qu’à

la force magnétique, on a :

dvqv B m

dt∧ =

��

2d 1 d m dv dvmv v.v mv. v.m v.(qv B) qv.(v B) 0

dt 2 dt 2 dt dt

⇒ = = = = ∧ = ∧ =

� ��

(car v (v B)⊥ ∧��

)



L’énergie cinétique est conservée, ce qui implique que le travail de cette force est nul (Théorème de

l’énergie cinétique).

b/ Violation du Principe de l’action et de la réaction :

Cas simple : soit une particule 1q se dirigeant vers une particule 2q à la vitesse 1v�

.

Le champ 1B�

créé par 1q est nul en 2A (emplacement de 2q ).

o 1 121 2 1 2

1 2

(v u )B (A ) q 0

4 A A

µ ∧= =π

� ��

�� 12 2 2 1 1F q (v B ) et B 0⇒ = ∧ = ⇒ 12F = 0� ��

Mais si la particule 2q ne se dirige pas vers 1q , alors :

o 2 2121 1 1 2 2 2

2 1

(v u )F q (v B ) et B q 0

4 A A

µ ∧= ∧ = ≠ ⇒π 21F 0

� ��

�� ≠≠≠≠

IV.5.2- TRAJECTOIRE D’UNE CHARGE ELECTRIQUE PLACEE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE

Soit un électron de charge q e= − , de masse négligeable, placé dans un champ uniforme B�

.

Dans un repère cartésien (O, i , j,k)� � �

, prenons B�

parallèle à l’axe Oz : B Bk=��

et considérons le cas

particulier où la vitesse initiale de la particule est perpendiculaire au champ magnétique : A ot 0= ,

o o ov(t ) v v j= =��

. La particule est soumise à la force magnétique F qv B ev B= ∧ = − ∧� � ��

.

Appliquons le Principe Fondamental de la Dynamique : m ev Bγ = − ∧��

, soit :

x i j k mx eBy

m y e x y z my eBx

z 0 0 B mz 0

= − = − ⇒ =

=

� � �ɺɺ ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ ɺ ɺ ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺɺ

La 3ème équation z 0=ɺɺ implique que stez zz v v (0) c 0= = = =ɺ car ov k⊥

�� et donc que stez c= , que l’on

peut prendre égale à 0 : z 0= . Donc, le mouvement s’effectue dans le plan (xOy) perpendiculairement

au champ B�

.

Il faut résoudre le système d’équations différentielles :



eBx y

meB

y xm

− = =

ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ

, soit, en posant eB

mω = :

x y

y x

= −ω = ω

ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ

C’est un système d’équations couplées dont les conditions initiales sont :

A t 0 := (x 0, y 0, z 0)= = = et x y zo(v 0, v , v 0)= = .

On résout ce système en utilisant les nombres complexes.

Posons (u x iy)= + ∈ℂ , l’ensemble des nombres complexes, alors :

u x iy y i x i (x iy) i u= + = −ω + ω = ω + = ωɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ (sachant que : 2i 1= − )

i tdu dui u i dt u Ae

dt uω= ω ⇒ = ω ⇒ =

ɺ ɺɺ ɺ

ɺ, avec A ∈ℂ .

Conditions initiales : t 0 := o x y yo o ou(t 0) u v iv iv= = = + =ɺ ɺ , soit : yoA iv= et i tyou iv eω=ɺ

yi t i t i toy yo o

ivduiv e du iv e dt u e B

dt iω ω ω= ⇒ = ⇒ = +

ω, avec B∈ℂ .

Conditions initiales : t 0 := o o ou(t 0) u x iy 0= = = + = , soit : yovB = −

ωet y i tov

u (e 1)ω= −ω

yo

yi t o

yo

vx (cos t 1)

ve cos t isin t u (cos t 1 isin t) x iy

vy sin t

ω

= ω − ω= ω + ω ⇒ = ω − + ω = + ⇒ ω = ω ω

On en déduit l’équation suivante :2 2

y y2o ov vx y + + = ω ω

C’est l’équation d’un cercle de rayon yovR =

ω et de centre C( R,0)− . La particule décrit cette

trajectoire dans le champ magnétique B�

avec une pulsation ceB

mω = ω = , appelée « pulsation

cyclotron ». Le rayon de la trajectoire y yo oL

v mvR R

eB= = =

ω est appelé « rayon de Larmor ».

Le rayon de Larmor est la « distance » maximale que peut parcourir une particule dans la direction

transverse, qui rentre dans un champ magnétique, avant d’être déviée de sa trajectoire : on l’appelle

« distance de piégeage ». Si cette particule ne reçoit pas de l’énergie cinétique supplémentaire, elle reste

piégée dans le champ B�

.



Remarques :

*A partir de la relation F ev B= − ∧� ��

, la règle du tire-bouchon donne le sens de rotation de la particule.

*

y yo o

yoo yo

y y yo o o

v vx (cos t 1) x sin t x v sin t

v v vv v y v cos t

y sin t y cos t

= ω − = − ω ω = − ω ω ω⇒ ⇒ ⇒ = = = ω = ω = ω ω

ω ω

ɺɺ � �

ɺɺ

IV.5.3- ACTION D’UN CHAMP MAGNETIQUE SUR UN CIRCUIT FERME P ARCOURU PAR UN COURANT :

FORCE DE LAPLACE

Considérons une portion de circuit électrique parcouru par un courant permanent I et placé dans un

champ magnétique extérieur B�

.

Ce champ B�

agit sur la portion de fil d�ℓ , parcouru par I, avec une force élémentaire : dF Id B= ∧

�� ℓ .

Tout le circuit fermé est soumis à la force totale donnée par : circuit

F Id B= ∧∫�� ℓ�

Cette force est appelée « force de Laplace ».

Remarques :

• Le circuit est considéré comme un solide (fil rigide).



• Cette expression est vraie dans le régime stationnaire.

• La force de Laplace satisfait le Principe de l’action et de la réaction (à l’inverse de la force de

Lorentz qui, elle, ne le satisfait pas).

Application 1 :

Une résistance électrique assimilée à une mince tige rectiligne ab, de longueur L, est posée sur des rails

dans l’entrefer d’un aimant. Elle est parcourue par un courant continu d’intensité I. Le champ

magnétique de l’aimant est constant et perpendiculaire au plan des rails. Calcul de la force exercée sur la

tige métallique.

dF Id B dF IBd= ∧ ⇒ =�� ℓ ℓ (B d )⊥

��ℓ

Après intégration, la force exercée sur le fil est : F ILB= . Le point d’application de F�

est le centre de

gravité de la tige ab.

Application 2 :

Considérons le cas de deux fils infinis, parallèles, parcourus par des courants 1I et 2I et séparés par une

distance d. Détermination des actions mutuelles des deux fils l’un sur l’autre.

La force exercée par 1B�

créé par le fil 1 sur l’élément d�ℓ du fil 2 est : 12 2 1dF I d B= ∧

�� ℓ

et la force exercée par 2B�

créé par le fil 2 sur l’élément d�ℓ du fil 1 est : 21 1 2dF I d B= ∧

�� ℓ

avec :



o 11 2

IB (M ) u

2 dθ

µ=π

� � : le champ magnétique créé par le fil 1 au point 2M du fil 2.

et o 22 1

IB (M ) u

2 dθ

µ=π

� � : le champ magnétique créé par le fil 2 au point 1M du fil 1.

o 1 o 1 212 2 r

I I I ddF I d k u u

2 d 2 dθ

µ µ= ∧ = −π π

�� ℓ� �ℓ

De même : o 2 o 1 221 1 r

I I I ddF I d k u u

2 d 2 dθ

µ µ= ∧ =π π

�� ℓ� �ℓ

et l’on a : 12 21dF = -dF� �

Cette force est attractive si les deux courants sont dans le même sens et répulsive si les deux courants

sont en sens inverse.

IV.5.4- TRAVAIL DE LA FORCE MAGNETIQUE- THEOREME DE MAXWELL

Un circuit fermé parcouru par un courant permanent I, placé dans un champ magnétique ext.B�

(qui peut

être créé par un autre circuit) est soumis à la force de la Laplace telle que chaque élément d�ℓ de ce

circuit est soumis à : dF Id B= ∧�� ℓ

Pour déplacer le circuit de dr�

, la force de Laplace fournit un travail :

dW dF.dr (Id B).dr I(dr d ).B= = ∧ = ∧� �� ℓ ℓ

(on applique :(a b).c (c a).b∧ = ∧� ��

, permutation circulaire)

cdW IdS.B IB.dS Id= = = φ� ��

cW IB.dS I B.dS I= = = φ∫∫ ∫∫� ��



Théorème de Maxwell :

Le déplacement d’un circuit fermé, dans un champ magnétique extérieur, engendre un travail de la force

magnétique égal au produit du courant permanent traversant le circuit par le flux coupé par ce circuit au

cours de son déplacement : cW I= φ

IV.6- PHENOMENE D’INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE : LOI DE FARADAY-LENZ

On appelle induction électromagnétique (ou induction magnétique), un phénomène physique conduisant

à l’apparition d’un courant dans un circuit mobile dans un champ magnétique constant (ou immobile

dans un champ variable). On parle alors de courant « induit ».

1- Expérience mettant en évidence la loi de Faraday :

Figure 1 :

*Considérons un solénoïde branché à un milliampèremètre. Sur son axe et à l’extérieur, est placé un

aimant, initialement immobile. Son pôle Nord fait face au solénoïde, les lignes du champ magnétique B�

de l’aimant sont représentées comme sur la figure. Notons B(M)�

ce champ en un point M de l’axe du



solénoïde. Initialement, le milliampèremètre n’indique aucun courant.

*Approchons l’aimant du solénoïde: durant toute la durée du mouvement de celui-ci, on constate que

l’aiguille du milliampèremètre a dévié vers la droite. Un courant I circule donc dans les spires du

solénoïde dans le sens indiqué sur la figure. On appelle ce courant « courant induit » c’est-à-dire généré

par le champ magnétique (inducteur) de l’aimant en mouvement.

*Ce courant induit, d’après la règle du tournevis ou de la main droite, produit un champ magnétique

induit en M, noté b(M)�

, de sens opposé à B(M)�

: le champ à l’intérieur du solénoïde se voit diminuer.

*Le courant induit cesse dès que cesse le déplacement de l’aimant.

Figure 2 :

*Si l’on éloigne l’aimant du solénoïde, on constate, au cours du mouvement, l’apparition d’un courant

induit dans le sens contraire du précédent, indiqué par le milliampèremètre.

*Le champ magnétique induit b(M)�

créé par ce courant induit est dirigé dans le sens de B(M)�

et donc

le champ à l’intérieur du solénoïde se voit augmenter.

2- Interprétation du phénomène :

Dans le premier cas (figure 1), lorsque l’aimant se rapproche du solénoïde, l’intensité du champ B�

de

l’aimant augmente à l’intérieur du solénoïde. Cela revient à dire que le flux de B�

à travers les spires du

solénoïde croît en valeur absolue : c’est cette variation du flux à l’intérieur du solénoïde qui est la cause

de l’apparition du courant induit dans les spires, courant qui disparait dès que cesse le mouvement de

l’aimant, c’est-à-dire que le flux redevient constant.

3- Loi fondamentale de l’induction de Faraday:

L’apparition d’un courant induit I dans un circuit fermé traversé par un flux de champ magnétique

variable est attribuable à une force électromotrice d’induction e proportionnelle à la variation du flux

inducteur et inversement proportionnelle à la durée de cette variation du flux :

de

dt

Φ=

On vérifie que ce rapport est homogène à une tension (V) : 2 2

2 3 1W m .kg.sm .kg.s .A V

t I.t As

−− −Φ = = = =

4- Loi de Lenz :

Le sens du courant induit est toujours tel qu’il va s’opposer à la variation du flux qui lui a donné

naissance.



Cette loi complète la loi de Faraday (qui, elle, exprime la valeur de la f.e.m. d’induction e) en précisant

le sens dans lequel le courant circule du fait de cette f.e.m. (traduit par le signe (-)) :

de

dt

Φ= −

Applications :

Détermination du sens du courant induit I , du sens de la force électromotrice induite e et du sens du

champ magnétique induit b�

.

Considérons une spire dont le contour est orienté positivement dans le sens anti-horaire.

1er cas :

Approchons le pôle Nord d’un aimant.

Il s’agit de calculer le flux de B�

de l’aimant à travers la section de la spire et de déterminer la variation

de ce flux pendant le déplacement de l’aimant.

*(S)

B.dS 0ϕ = >∫∫��

car le produit scalaire B.dS 0>��

.

*Lorsqu’on rapproche l’aimant de la spire, l’intensité de B�

à travers la spire augmente, donc ϕ est une

fonction croissante du temps au cours du mouvement.

*d

0dt

ϕ >

*d

e 0dt

φ= − < (négatif par rapport au sens d’orientation de la spire). Cette f.é.m. correspond à la f.é.m.

d’un générateur imaginaire qui produirait le courant induit I dans le circuit de la spire. I va donc sortir

par la borne + du « générateur », il est donc dirigé dans le sens inverse du sens positif choisi.

*Ce courant induit I va générer un champ magnétique induit b�

dont le sens est donné par la règle de la

main droite, c’est-à-dire le sens opposé à B�

.



2ème cas :

Eloignons le pôle Nord d’un aimant.

Il s’agit de calculer le flux de B�

de l’aimant à travers la section de la spire et de déterminer la variation

de ce flux pendant le déplacement de l’aimant.

*(S)

B.dS 0ϕ = >∫∫��

car le produit scalaire B.dS 0>��

.

*Lorsqu’on éloigne l’aimant de la spire, l’intensité de B�

à travers la spire diminue, donc ϕ sera une

fonction décroissante du temps au cours du mouvement.

*d

0dt

ϕ <

*d

e 0dt

φ= − > (positif par rapport au sens d’orientation de la spire). Cette f.é.m. correspond à la f.é.m.

d’un générateur imaginaire qui produirait le courant induit I dans le circuit de la spire. I va donc sortir

par la borne + du « générateur », il est donc dirigé dans le sens positif choisi pour le contour de la spire.

*Ce courant induit I va générer un champ magnétique induit b�

dont le sens est donné par la règle de la

main droite, c’est-à-dire le sens de B�

.

Remarques :

1/ On appelle face nord d’un solénoïde (ou d’une spire), la face par laquelle sortent les lignes de champ

créées par le courant traversant le solénoïde, et la face sud, la face par laquelle rentrent les lignes de

champ. Autrement dit, on comptera positivement le flux qui traverse le solénoïde de la face sud vers la

face nord et inversement.

2/ L’aimant peut être remplacé par un autre solénoïde parcouru par un courant (et donc produisant un

champ magnétique B�

), on observe les mêmes effets. Il suffit de préciser les faces sud et nord du

solénoïde.



IV.7- DIPOLE MAGNETIQUE

Considérons une spire circulaire parcourue par un courant permanent I. Le champ magnétique induit par

ce courant en un point M de l’axe de la spire et éloigné de O (z a>> ), centre de la spire, est :

2 2o o o o o o

3 3 3 3 2 2 3/ 2 3

I a I a I M M MB k k S

2 2r r 2 r 2 r 2 (z a ) 2 z

µ µ π µ µ µ µ= = = = = ≅π π π π + π

� � ��

M IS=��

est le moment dipolaire magnétique de la spire (unité : A.m2)

Pour un point M pris hors de l’axe Oz et éloigné de O:

On montre que B�

s’écrit dans le plan polaire r(u ,u )θ� �

comme suit (voir annexe):

o or3 3

2Mcos MsinB u u

4 4r rθ

µ θ µ θ= +π π

� � �

Remarque :

On constate une analogie parfaite avec l’expression du champ E�

du dipôle électrique :

r3 3o o

1 2 os 1 sinE u u

4 4r rθ

µ θ µ θ= +πε πε

� � �

où µ = µ� et iµ =��ℓ (voir chapitre 1, Electrostatique).



ANNEXE

Potentiel vecteur - Dipôle magnétique 1/ POTENTIEL VECTEUR

Nous avons montré, dans le chapitre sur l’Electrostatique, qu’une distribution de charges électriques est

à l’origine d’un champ électrique E�

auquel nous pouvons associer une quantité scalaire appelée

potentiel électrostatique V tel que :

E V GradV= −∇ = −��

.

Le champ E�

étant à circulation conservative le long d’un contour (C) fermé, on a:

(C)E.d 0=∫��ℓ�

et avec E GradV= −��

, on vérifie que l’on a bien :

(C) (C)GradV.d dV 0− = − =∫ ∫��

ℓ� �

Dans ce chapitre, on a vu qu’une distribution de sources magnétiques crée un champ magnétique B�

. On

peut associer au champ magnétique B�

une quantité vectorielle appelée potentiel vecteur A�

tel que

B RotA=��

. Le champ B�

étant à flux conservatif : divB .B 0= ∇ =� � �

, et on vérifie que l’on a bien :

.RotA .( A) ( ).A 0∇ = ∇ ∇ ∧ = ∇ ∧ ∇ =��

.

Recherche de l’expression du potentiel vecteur A�

:

On considère une distribution volumique de courant : o3(V)

j(P) PMB(M) d

4 PM

µ ∧= τπ ∫∫∫

��

(1)

En coordonnées sphériques, on a :

r r r2 3

1 1 1 1 1 1 1 1 rGrad u u u u u

r r r r r rsin r r r r rθ ϕ

∂ ∂ ∂ ∂ = + + = = − = − ∂ ∂θ θ ∂ϕ ∂

��

M3

PM 1Grad

PMPM⇒ = −��

��

On notera MGrad��

, MDiv , MRot��

pour bien montrer que les dérivées partielles se font par rapport aux

coordonnées du point M (et non du poin P).

→Calculons Mj(P)

RotPM

��

:

On applique la relation : Rotfa Gradf a f Rota= ∧ +��

où f est un champ scalaire et a�

un champ vectoriel.

Dans notre cas, 1

PM constitue le champ scalaire et j(P)

� le champ vectoriel. On a alors :



M M Mj(P) 1 1

Rot Grad j(P) Rot j(P)PM PM PM

= ∧ +�

��

j(P)�

est indépendant des coordonnées de M, d’où : MRot j(P) 0=��

M M 3 3

j(P) 1 PM j(P) PMRot Grad j(P) j(P)

PM PM PM PM

∧⇒ = ∧ = − ∧ =

��

(2)

(1) et (2) o oM M

(V) (V)

j(P) j(P)B Rot d Rot d RotA

4 PM 4 PM

µ µ⇒ = τ = τ =

π π∫∫∫ ∫∫∫� �

��

o

(V)

j(P)A(M) d

4 PM

µ⇒ = τ

π ∫∫∫�

�, ceci pour une distribution volumique de courant.

Pour une distribution surfacique de courant : o

(S)

j(P)A(M) dS

4 PM

µ=π ∫∫

��

Pour une distribution linéique de courant : o

(C)

Id (P)A(M)

4 PM

µ=π ∫

�� ℓ

2/ DIPOLE MAGNETIQUE

Considérons une petite boucle (ou spire) circulaire de rayon a, de centre O, parcourue par un courant I

dans le plan (xOy) d’un trièdre direct (Oxyz) et déterminons le champ magnétique produit en un point

M éloigné de O.

On travaille dans un repère sphérique de base r(u ,u ,u )θ ϕ� � �

. Pour simplifier les calculs, choisissons ce

repère tel que le point M (xOz)∈ . L’axe Oz est l’axe de la boucle (Voir figure).

Le plan (xOz) est un plan de symétrie de la boucle : la demi-spire crée un champ magnétique 1B�

, l’autre

demi-spire crée un champ magnétique 2B�

qui est symétrique de 1B�

par rapport au plan (xOz) : leur

somme 1 2B B B= +� � �

appartient au plan (xOz). Donc : r rB B u B uθ θ= +� � �

, avec B 0ϕ = . Avec ces

considérations, cela revient à travailler dans le plan polaire r(u ,u )θ� �

. Remarquons que u jϕ ≡��

.



*Déterminons le potentiel vecteur o

(C)

Id (P)A(M)

4 PM

µ=π ∫

�� ℓ

� avec r a>> :

( ) 1/ 2 1/ 21 2 1/ 2 2 21 21(PM) PM PM (OM OP) OM OP 2OM.OP

PM

− −− −− = = = = − = + − ��

[ ]1/ 221/ 22 2

3 3

1 1 a OP.rr a 2OP.r 2

PM r r r

−−

= + − = + −

��

OP a cste= =��

, 3 2

OP.r 1

r r

��

∼ ; alors 3

1

r négligeable devant

1

r et

2

1

r

3

1 1 OP.r

PM r r⇒ ≈ +

��

en appliquant n(1 ) 1 n+ ε ≈ + ε .

o o o

(C) (C) (C)

Id (P) I 1 I OP.rA(M) d (P) d (P)

4 PM 4 r 4 r

µ µ µ⇒ = = +

π π π∫ ∫ ∫��

� � �ℓℓ ℓ� � �

o o

(C) (P C)

I 1 Id (P) d (P) 0

4 r 4 r ∈

µ µ= =π π∫ ∫

� � �ℓ ℓ� � o

(C)

OP.rA(M) d (P)

4 r

µ⇒ =

π ∫��

� �ℓ�

* OP a cos i asin j= ϕ + ϕ��

* OP.r a cos i.r (r j r. j 0)= ϕ ⊥ ⇒ =��

OP.r arcos cos arcos sin2

π = ϕ − θ = ϕ θ

��

* d ( asin i acos j)d= − ϕ + ϕ ϕ� ��

ℓ

2 2 2o o 2

3 3(C) 0 0

I Isin a r sin 2A(M) arcos sin ( asin i a cos j)d d i cos d j

24 r 4 r

π πµ µ θ ϕ = ϕ θ − ϕ + ϕ ϕ = − ϕ + ϕ ϕ π π∫ ∫ ∫� � � ��

�

2o o o

3 3 3

( a )Irsin SIrsin MrsinA(M) j j j

4 r 4 r 4 r

µ π θ µ θ µ θ= = =π π π

� � ��

⇒ o3

A(M) M r4 r

µ= ∧π

� � �

2S a= π : surface de la spire, IS = M : moment dipolaire magnétique, M Mk=��

: vecteur moment

dipolaire magnétique perpendiculaire à la spire.

o2

MA(M) sin u A(M) A (r, )u

4 rϕ ϕ ϕ

µ⇒ = θ ⇒ = θ

π

� ��

En coordonnées sphériques :



r rr

(A sin ) (rA )1 1 A 1 A 1 1 (rA ) 1 ARotA u u u

rsin rsin rsin r r r r rϕ ϕθ θ

θ ϕ∂ θ ∂∂ ∂ ∂ ∂ = − + − + − θ ∂θ θ ∂ϕ θ ∂θ ∂ ∂ ∂θ

��

Avec : rA 0= et A 0θ = , le rotationnel devient :

r(A sin ) (rA )1 1

RotA u ursin r r

ϕ ϕθ

∂ θ ∂⇒ = −

θ ∂θ ∂

�� avec : o

2

M sinA

4 rϕ

µ θ=π

*2

o o2 2

(A sin ) M (sin ) M2sin cos

4 r 4 rϕ∂ θ µ ∂ θ µ= = θ θ∂θ ∂θπ π

* o o2

(rA ) Msin 1 Msin

r 4 r r 4 rϕ∂ µ θ ∂ µ θ = = − ∂ π ∂ π

o or2 2

1 M 1 MsinB 2sin cos u u

rsin r4 r 4 rθ

µ µ θ ⇒ = θ θ − − θ π π

� � �

Finalement : o or3 3

2Mcos MsinB(M) B(r, ) u u

4 4r rθ

µ θ µ θ= θ = +π π

� � � �

Soit les composantes de B�

dans le plan polaire r(u ,u )θ� �

:

or 3

o3

2McosB

4 rMsin

B4 r

θ

µ θ = π µ θ = π

On a une parfaite analogie avec le champ du dipôle électrique où qµ = ℓ , le moment dipolaire

électrique (voir chapitre 1):

r3 3o o

1 2 cos 1 sinE(M) E(r, ) u u

4 4r rθ

µ θ µ θ= θ = +πε πε

� � � �

chapitre iv- magnétostatique - enp-constantine.dz · dans le cas particulier d’un circuit...

Documents