Revista Mexicana de Física 23 (974) E 39 - E 48

CLASlCAS PARAOOj AS POR ORTOOOXOS OJANllCOS:LOS TEOREMAS DE EPR Y DE BELL

L. de la Peña y A.M. Celto

Instituto de Física. UNAMApartado Postal 20-364

.If éxico 20, D. F.

(Recibido: septiembre 25. 1974)

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ABSTRACT: The theorems of Einstein, PodolsL:y and Rosen and of Bell are

briefly analyzed; it is showo [ha[ [he paradoxical COO[CO[ [hat

is frcquendy aUribuud (Q [hem arises in thf' last instance from

the uoderlying episremological postulates. lo panicular, it is

concluded that from the poim ol view af these theorems the

statistical interpretation ofquaotum mechaoics is perfectlyconsistent and legitimate aod moreover, that ir offers [he ad.

vancage over [he orrhodox interpretaríon of being free (rom para.doxical aspects.

I.

Ni los más firmes y convencidos oponentes de las corrientes usualesde interpretación de la me<:ánica cuántica (MC) niegan que esta teoría repre.sente un avance muy importante en el conocimiento de la física; sería ingenuodudar de la validez y la consistencia del formalismo de la Me, tan ampliamenteconfirmado. Sin emhargo, el soporte teórico de la interpretación de la ~1C es

HO de la Peña )' ecuo

mucho más endeble y está lejos de satisfacer las demandas filosóficas quemuchos físicos suelen hacer a la ciencia, por lo que han surgido en formanatural objeciones que no hallan aún solución a pesar de muchos y profundosdebates sobre el tema. No se prevé tampoco un final cercano a estos debares,

dado que las interpretaciones confrontadas emanan, en última instancia, dediversas concepciones y premisas filosóficas cuya validez es difícil -yenocasiones hasta imposible - de confirmar o negar en definitiva en hase aargumentos estriceamentc científicos. En tanw que distintas interpretacionesde la Me no conduzcan a distintos resultados que sean discernibles expc.r¡mentalmente, los debates continuarán.

Quizá uno de los documentos mejor conocidos dentro de estas discu-siones es el famoso artículo de Einstein, Podolsky y Rosen (EPH)I,2, queresume en forma concreta algunos aspectos de la posición de Einstein y suscolaboradores frente a la metodología de la MC. El teorema de EPI{ (que co"múnmente es denominado paradoja por la forma tendcnciosa como se le prc"senta), y la respuesta a él dada por, Bohr3 permitieron evidenciar claramentedos concepciones conflictivas de realidad física, confrontación que nos llevaa una de las raíces más profundas del problema interpretativo de la ~tC, comotrataremos de mostrar a continuación.

Como punto de partida, conviene recordar que existen dos puntos devista esencialmente opuestos sobre el significado de la función de onda de•Schd.ldinger . Consideremos una partícula libre descrita por una función frestringida espacialmente -lo que usualmente se llama un paquete de ondas-;en este caso ni la posición ni el momento lineal de la partícula están biendefinidos. ¿En qué sentido representa esta función l.jJ el estado real de la par"tÍcula? He aquí las dos alternativas referidas:a) La partícula libre tiene en cada instante una posición y un momento lineal

bien definidos, aunque no estén determinados unívocamente por la función tjJ.Es decir, la función tjJ representa una descri¡x::ióo incompleta del estado real.

b) La partícula no tiene en realidad ni momento definido, ni posición defini ..da; la descripcÍón por la función tjJ es en principio completa. La realiza ..ción de una posición o de un momento definido al efectuarse una mediciónes un resultado inevitable de la operación de medición y por consiguiente,los valores obtenidos dependen no solamente de la situación de la partícula,sino también del mecanismo de medición. Este es el punto de vista comun-

Para manrener la sencillez de la exposición utilizaremos la función de onda, en elenlendimiento de que un análisis en términos del vector de estado llevaría a lasmismas conclusiones.

Clásicas pa,adojas ... E 41

mente aceptado por los físicos y adoptado en 10 fundamental por la llamadaescuela ortodoxa, mientras que el punto de vista a) es el que sustenta lallamada interpretación estadística de la MC, 'según la cual1./J contiene sóloinformación estadística de un ensemble de partículas equivalentes.

Pasemos ahora a analizar algunas implicaciones de los dos puntos devista anteriores utilizando el ejemplo propuesto por EPR l,2,4.

11.

Consideremos una combinación de dos sistemas 1 y 11 que estuvieronen interacción durante un intervalo de tiempo O~ t ~ T. Si se conoc ían losestados de los dos sistemas antes de t:::; O, puede calcularse el estado delsistema combinado después de que ha cesado la interacción, o sea para t > T,mas no se puede~ calcular en general los estados de cada uno de los dossistemas por separado. Para conocer éstos es necesario efectuar algún tipode medición.

Si Xl denota las variables usadas para describir el sistema 1 y x2las

del sistema 111 la función \1' del sistema combinado puede expresarse, paraJ > T1 como una suma del tipo

(1)

donde las funciones ortogonales un (xl) son eigenfunciones de un cieno ope-rador Al que representa el observable Al (escogido arbitrariamente) del sis-tema J, y w., (x2) juega el papel de coeficiente del desarrollo. Supongamos quese mide Al y se obtiene el valor aJe' Se concluye entonces que después de lamedición, el sistema 1 se encuentra en.el estado descrito por la función~ (xl) y que el estado del segundo sistema está descrito por la función th. (x

2).

El conjunto de funciones un (xl) está determinado por la selección de lacantidad física que se quiere medir. Si en vez de Al optamos por medir 8

1,

cuyas eigenfunciones son v (x), utilizamos, en vez de la eco (1), el desarrollo• I

(2 )

Si al medir 81 se obtiene el 'valor b" se concluye que después de la mediciónlos sistemas 1 y II se encuentran descritos por v (xl) Y cP. (x') respectivamente., , -Por consiguiente, es posible asignar dos funciones de onda diferentes(tf; •. y f/J,) al mismo sistema 1I sobre el cual no se ha efectuado ninguna

E .12 de la Peña>, Ceuo

operación de medición.Ahora bien, puede suceder que Y;k y cP, sean eigcnfuncioncs de dos

operadores que no conmutan. Para demostrar esto veamos el siguiente cjeme

pino Sean los sistema I y II dos electrones; podemos considerar la (unción '1'del sistema combinado, digamos

'"'I'(x, ,x,) = J exp [¡(x, -x, +xo) p/1i] dp,__'"

(3)

como un desarrollo en términos de la base ortonormal de eigcnfunciones de Imomcn[() lineal p de la partícula 1:

Tratándose de una variable de espectro continuo la cc. (1) toma la forma

'"~'(xl'x,) = £",..pp (x,)up (x,)dp

donde, de acuerdo con (3) y (4),

( S)

(6)

(xo es una constante arbitraria), De la ee. (6) se concluye que Vj, (x2) es ('¡gen"

función del operador de momento, -i~%x2' y que el eigcnvalor correspondien-te es -p. Por consiguiente, cuando se encuentra experimentalmente (lo cualse puede hacer con precisión arbitraria) que el momento de la partícula 1 esp, se infiere que el momento de la partícula II es -p. (No podría esperarseotro resultado, dado que el momento lineal del sistema combinado es nulo entodo instante).

Si en vez del momento de la partícula 1 nos interesa conocer su coor.denada, nos conviene expresar la misma función '1' del sistema combinado entérminos de la base ortonormal de eigenfunciones del operador de posición dela partlcula 1, es decir,

'"11' (x,, x,) = £'" ePx(x,)vx(x¡)dxdonde

(8)

De las ees. (3), (7) y (8) eoncluimos que

Clásicas pa,ado;as ...

roejJ (x) = J exp ~(x+x -x )p/1;]dp = 27T1;Ó(x+xo -x,)x2 -ro 02 (9)

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es decir, que 1Jx es eigenfunción del operador x2y que el eigenvalor corres-

pondiente es x+xo. Consecuentemente, cuando se encuentra experimenralemenre(lo cual también se puede hacer con precisión arbitraria) que la coordenadade la partícula 1 es x, se infiere que la coordenada de la p.lrtícula 11es x+x

o'

Como los operadores p y x no conmutan, hemos demostrado que en efecto esposible determinar los eigenvalores correspondientes a dos variables no con-mutativas del sistemaII (llamémoslos Pie. y x,) sin interferir en lo absoluto coneste sistema.

1Il.

¿Cómo se ,interpreta el resultado anterior si se adopta el punto devista b) sobre el significado de la función de onda? Las eigenfunciones~1t.(x2) y eP,(x2) han resultado ser igualmente buenas para describir el estadodel sistema 11; sin embargo, según b) cada una de ellas describe completamenteel estado del sistema. Aparentemente hemos obtenido dos descripciones com-pletas dd mismo sistema que difieren entre sí, lo cual es inadmisible. Paracvitar esta conclusión y a la vez ser consistentes con la posición b), tcndremosque aceptar que los sistemas 1 y 11no son independientes, sea aÚn concep-tualmente, de manera que las mediciones sobre 1 afectan a II cualquiera quesea la distancia entre ambos sistemas. Es aquí precisamente donde apareceel aspecto paradójico del ejemplo EPR, pues esta explicación contradice laintuición física precuántica. En su respuesta a EPRJ, Bohr insiste en quesólo se puede decir que una cierta variable del sistema tiene un valor despuésde que se ha medido dicha variable. Por-lo tanto, aunque matemáticamente~11e. y cP, describan el estado del sistema, ninguno de los estados es real antesde haberse hecho una medición. Este razonamiento positivista efectivamente"resuelve" la contradicción, porque dado que no podemos medir simultánea-mente y con precisión arbitraria dos variables no conmutativas de un mismosistema tales como el momento y la posición, como resultado de la mediciónel estado del sistema estará descrito por tPle. o por 1J" pero no por ambas. Des .•Je el punto de vista de Bohr, efectivamente no hay interacción mecá,Jica con

*el segundo sistema; sin embargo, hay una "influencia sobre las condiciones

A.unque sí ha}' quienes han llegado al cXUemo de afirmar que la selección misma~el_mecan!smo de medición del sistema J afe,cea al.sistema IJ de cal forma qu.e [steultimo se Informa de lo que le hacemos al primero y responde en consecuenCia.

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mismas que definen los' posibles tipos de predicción que puedan hacerse sobreel comportamiento futuco del sistcma,,3. Cuando decidimos medir el momento

lineal, esta influencia nos obliga a renunciar a la posibilidad de medir la po-sición y viceversa. Así, pues, la nueva sieuación creada por la Me nos haobligado a sustituir el concepto de independencia de las rnrtes por el conceptode complementaridad que implica la indivisibilidad del sistema físico. Segúnesta interpretación, vivimos en un mundo indivisible, cuyas componentes(incluyendo al observador) son inseparables y, en consecuencia, no son sus-•ceptibles de ser analizados objetivamente.

IV.

Para mantenernos consistentcmente dentro de la interpretación b) hemoshecho uso implícito de nociones específicas de realidad, complctez, etc., através de concepl''Os tales como complementaridad e indivisibilidad de un sis-tema, nociones que no son de ninguna manera producto del formalismo de laMe sino, por el contrario, elementos que se-introducen para construir un ciertomarco interpretativo en torno al formalismo y que, por lo tanto, pueden selec-cionarse libremente. Haciendo uso de este margen de libertad, veamos comoun cambio en tales nociones, adoptando ahora posiciones objetivas, puedellevarnos a conclusiones enteramente diferentes, acordes con la interpre-tación a).

En su artículo, EPR parten de la premisa de que una teoría física escompleta sólo si cada elemento relevante de la realidad tiene una contraparteen la teoría, y proponen como un criterio suficiente de realidad física (nonecesariamente el único) el siguiente: "Si podemos predecir con certeza elvalor de una cantidad física sin perturbar el "sistema, entonces existe un ele-mento de la realidad que corresponde a dicha cantidad física" 1.** Si aplica-

• En la presente exposición 00 consideramos postclOnes aún más eXlremas de tiposolipsista -como por ejemplo la de que las dos funciones l/11ty <P son producto dedos estados mentales diferentes del observador -, por ser aJenas' al espíritu cien-tífico. Un hreve análisis de las posiciones idealistas respecto al mundo físr.co enla !\.tC puc..'deencontrarse en la ref. 6 •

•• Es conveniente insistir en que se trata sólo de un criterio y no de una definiciónde elemento de la realidad. En ningún caso se presupone que el acto de mediciónsea necesario para la existencia de tai elemento de realidad. Este criterio, pro-puesto por EPR con el propósito específico de establecer la incompletez de la \tC,ha sido objeto de discusiones y críticas filosóficas -en ocasiones malinterprc.tá.odo.lo -, lo que m.u~stra su carácter no trivial. Un ejemplo de análisis de esteCriterIO, desde poslcJOnes ortodoxas, se puede ver en la re£. 7a, mientras que lare£. lb presenta un eSludio más general de criterlo de realidad y de orros proble-mas relacionados. -

ClJsicas pa,adojas •.• E 4S

mos este criterio de realidad al ejemplo de las dos partículas, debemos acep-rar que tanto la coordenada de posición x como el momento lineal p del siste-ma II son reales, puesto que los podemos predecir sin afectar el sistema. Perola función de onda ljJ", o cP, nos da información sólo sobre una u otra variabley por lo tanto, un elemento de la realidad queda necesariamente excluido encada descripción. De aquí se concluye que ninguna de las dos descripcionespuede ser completa, lo cual contradice .la interpretación b). Esta demostraciónde la incompatibilidad entre el criterio de realidad y la noción de completezde la MC propuestos constituye precisamente el teorema EPR. La contradic-ción se elimina adoptando el punto de vista a) sobre el significado de la fun-ción ljJ, es decir, aceptando explícitamente el carácter incompleto de la des-cri pción de la MC.

En su respuesta a EPR, Bohr objeta los criterios de completez y derealidad física usados por estos autores, pero no propone definiciones alter-nativas que sí lleven a demostrar que la descripción de la Me es completa.Una demostración convincente de la invalidez (física, no formal) del teoremaEPR tendría que:8 i) proponer definiciones alternativas de completez y derealidad física; Íi) demostrar que estas definiciones son más satisfactoriasque las propuestas por EPR y que, por lo tanto, dehen preferirse a estas úl-timas, y iii) demostrar que usando las nuevas definiciones no es posibleestablecer el teorema EPR, es decir, que no son contradictorias con la nociónde completez de la MC. Este programa no ha sido desarrollado, hasta dondeestamos informados.

Muchos trabajos han sido publicados ca favor y en Contra e inclusivese han propuesto experimentos9 para demostrar la validez o invalidez de laparadoja EPR; sin embargo, ninguno de estos experimentos nos llevará a fa-vorecer la interpretación de Einstein o la de Bohr, dado que ambas aceptan elformalismo de la Me y, en consecuencia,'sus predicciones numéricas son lasmismas en todos los casos.

v.

La interpretación de Bohr se sostuvo durante largo tiempo sólo comouna posición de principios; sin embargo, en años recientes se ha tratado dedarle forma rigurosa con ayuda del teorema de BeU.IO Este teorema estable-ce, a partir de consideraciones matemáticas muy simples y generales, que nopuede construirse una teoría de variables ocultas* iocates que sea enteramenteconsistente con la MC •

•Se habla de variables ocuhas refiriéndose a parámetros que no aparecen explícita-mente en la descripción actual de la Me.

E46 de la Peña y eeuo.

Si aceptamos este resultado, nos encontramos necesariamente antela siguiente disyuntiva:

i) El que se realice uno y no otro de los eigenvalores al hacer unamedición no obedece a causa alguna: el electrón (y por ende cual.quier otro sistema cuántico) es esencial e irreductiblemente acau-sal (pues no existen variables ocultas que determinen su compor-tamiento en cada caso específico).

ii) No es posible concebir como independientes entre sí dos electro-nes "libres" que alguna vez hayan interaccionado (porque las va-riables ocultas que determinan el resultado de la medición son nolocales y establecen una conexión instantánea entre ambos elec-trones a distancias arbitrarias - por ejemplo, uno en Londres yotro en Tokio -).

No cabe duda de que cualquiera de estas dos conclusiones es difícil-mente aceptable para un físico formado dentro de la tradición racional quenos heredan siglos de experiencia científica: el teorema de Bell nos estáinvitando a renunciar a toda una concepción general de la naturaleza. Dadassus profundas implicaciones, es claro que sólo puede ser aceptado si demues-tra estar fundamentado en bases extraordinariamente sólidas. Sin embargo,hemos dicho que se deriva a partir de consideraciones matemáticas muy sim-ples - de hecho, tan simples que solamente son aplicables a un tipo particu-lar de variables ocultas.

Efectivamente, es posible demostrar que si la acción del instrumentode medición ocasiona una modificación de aquellas variables ocultas que de-terminan el resultado de la medición, entonces las expresiones que utilizaBell para establecer su teorema dejan de ser aplicables-y desaparece todaincompatibilidad con las predicciones de la Me.u Esta observación nospermite recuperar el aliento: la Me no ha demostrado aún que la naturalezasea acausal o gruesamente no-local.

Sin embargó, el teorema de Uell ha gozado de una amplia aceptación,sobre todo entre los partidarios de la escuela de Copenhague, es decir, en-tre quienes a priori están de acuerdo con sus implicaciones*. Bell ha con-tribuido con su teorema a formalizar la interpretación de Bohr e inc1usÜ". sise quiere, a precisarla; pero en ningún caso podemos extraer de él la conclu-sión de que dicha interpretación sea la correcta o la única posible, como frc.

La aceptación del rcorema de Bell ha implicado una revitalización y modernizaciónde las ideas de Bohr: los elementos de la teoría cuántica, aunque no coincidan conlos de la naturaleza misma, nos proporcionan una descripci.ón lo más completa posi-ble; la (eoría cuántica, se dice, ('s pragmáticamente comple(a.12

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cuentemente se pretende. Para ver esto más claramente, preguntémosnosqué sentido adquiere el teorema de Bell dentro del espíritu de la interpreta-ción a). Aceptando como premisa el caráter estadístico de la descripcióncuántica, nuestra conclusión es que, si en efecto hay variables ocultas aso •.ciadas al comportamiento aleatorio del sistema -como demandaría una teoríacausal de la MC - entre ellas deberá haber al menos algunas que sean afec ..tadas por el acto de medición, para no entrar en contradicción con el teoremade Bell; en tal caso, este teorema no pone en peligro la consistencia internade la interpretación a)*. Naturalmente, en ningún caso podemos pretenderhaber demostrado con esto que dicha interpretación sea la correcta.

VI

Hemos visto que para interpretar los resultados de un cierto formalis-rrH) teórico es nec~sario introducir elementos epistemológicos, ajenos al (orO'malismo en sí. Estas nociones metafísicas •• existen fuera de una teoría par.ticular, pero constituyen parte necesaria de sus premisas; por ejemplo, no esposible pensar en hacer mecánica de la partícula sin las nociones previas deespacio, tiempo, materia, movimiento, etc., nociones que no son privativasdel dominio de la mecánica, ni siquiera de la física. En el caso de la ~1Cseha insistido tradicionalmente en el error de tratar de ocultar elementos meta.físicos bajo un ropaje aparentemente físico en un afán por extraer a partir delformalismo, conclusiones epistemológicas favorables a la corriente neopositi.vista dominante durante el desarrollo de la tcoría cuántica. Este procedimien.to es evidentemente vicioso, dado que presenta como conclusión lo que se haintroducido Como premisa.

En resumen, nuestra conclusión es. la siguiente: posiciones materia.listas ante el mundo físico, según las cuales éste existe independientementede nuestras teorías y de nuestro conocimiento, no son compatibles con la no"ción de completez de la MC. O visto al revés: la hipótesis de completez dela Me está en contradicción con el criterio empírico de la analizabilidad delmundo físico en partes independientes, además de que se opone a la nociónde la inagotabilidad del conocimiento científico. La selección en[fe una al ..ternativa u otra, por más que se le disfrace de física, obedece en última ins"

Dcsde estc punto de \'iSt3, t'i teoc("ma de Bell nos demuestra que las c\.entuales va .•riables ocultas de la .\-te son (Ongeneral afectada~ por la medición.

" I.a palabra m(.tafísica se utiliza aquí en su sentido directo y no en el sentido aris.totélico ni en relación al método.

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(aneia, al menos hoy en día, a una coma de posición filosófica.

REFERENCIAS

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10. J.S. Bell, Physics I (1964) 195.11. L. de la Peña, A.~l. Cet!o y T. A. Brody, Let!, Nuovo Cimento S (1972)

199.12. Véase, p. ej.,Il.P. S,app, Am. J. Phys. 42 (1973) B3.

RESUMEN

Se analizan brevemcncc los teoremas de Einstein, Podolsky y Roseny de Bell y se hace ver que el contenido paradójico que frecuentemente seles atribuye proviene, en última instancia, de los postulados epistemológi-cos subyacentes. En particular, se muestra que desde el punto de vista deestos teoremas la interpretación estadística de la mecánica cuántica c,o;¡ per-fectamente consistente y legítima y GUC, además, ofrece la ventaja sobre lainterpretación ortodoxa de estar librc de aspectos paradójicos.