積分の応用 - doshishakmizoha/analysis1/lecture8.pdf(1) 8 積分の応用 y= f(x)とx= 0,x=...
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(1)
8 積分の応用
y = f(x)と x = 0, x = Rと x軸で囲まれた
部分を y軸のまわりに回転すると， 得られた
回転体の体積は∫ R
0
2πxf(x)dx (バウムクーヘン)
[問題 ]これをどのように証明するか？
その前に次を示しておく．
a 5 x 5 bで f(x) > 0とする．
曲線 y = f(x)と x = a, x = b, x軸で囲まれた
部分の面積は∫ b
a
f(x)dx
これはよく知られているが, 面積とは何だろうか？
次を考えてみよう．
平面にAという領域を考える．
Aの面積はどう定義するか？
有限個の長方形からなる
図形でAに含まれるものを全て考え，
それらの面積がつくる集合の supを S とする (内面積とい
う)
有限個の長方形からなる
図形でAを含むものを全て考え，
それらの面積がつくる集合の infをSとする (外面積という)
一般に S 5 Sであるが
S = Sのとき，この値をAの面積という．
(2)
[a, b]を n等分して
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = bとする．
[xi−1, xi]での f(x)の最小値をmi
最大値をMiとする．
n∑i=1
mi(xi − xi−1) 5 S
かつn∑
i=1
Mi(xi − xi−1) = S
まとめるとn∑
i=1
Mi(xi − xi−1) = S = S =n∑
i=1
mi(xi − xi−1)
f(x)は [a, b]で連続なので一様連続
∀ε > 0 ∃δ > 0
|x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε
b− an∑
i=1
Mi(xi − xi−1)−n∑
i=1
mi(xi − xi−1)
=n∑
i=1
(Mi −mi)(xi − xi−1) 5∑ ε
b− a(xi − xi−1) = ε
(分割の幅
b− a
n< δとなるように nをとると
これを n1とする．
)すると∀ε > 0, S − S < ε ⇒ S = S
このとき
∣∣∣∣∣n∑
i=1
Mi(xi − xi−1)− S
∣∣∣∣∣ < ε
すると ∣∣∣∣S −∫ b
a
f(x)dx
∣∣∣∣ 5∣∣∣∣∣S −
n∑i=1
Mi(xi − xi−1)
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣n∑
i=1
Mi(xi − xi−1)−∫ b
a
f(x)dx
∣∣∣∣∣::::::::::::::::::::::::::::::::::::
ある n2が存在して n>n2ならεより小さいn>max(n1,n2) なら<2ε
n > max(n1, n2)なら < 2ε となる. まとめると ∀ε > 0∣∣∣∣S −∫ b
a
f(x)dx
∣∣∣∣ < 2ε⇒ S =
∫ b
a
f(x)dx
(3)
系 8.1 直線 x = a, x = bと y = f(x)と
y = g(x)が囲む部分の面積 Sは
S =
∫ b
a
(g(x)− f(x))dx
例 8.1 次の楕円の面積を求めよ．
x2
a2+y2
b25 1
y2
b2= 1− x2
a2=a2 − x2
a2
y2 = b2 − b2
a2x2
y = ± b
a
√a2 − x2
面積を Sとすると
S =
∫ a
−a
{b
a
√a2 − x2 −
(− b
a
√a2 − x2
)}dx
= 2b
a
∫ a
−a
√a2 − x2dx
= 4b
a
∫ a
0
√a2 − x2dx
x = a sin θとすると
= 4b
a
∫ π2
0
√a2 − a2 sin2 θ
dx
dθdθ
= abπ
(4)
体積について
体積の厳密な扱い方には重積分 (後期)が必要となる．
高校レベルで扱う体積
図のように断面積 S(x)がわかる場合
(但し S(x)は連続とする)
[問題 ]
x座標が aから xまでの範囲にある立体の体積
を V (x)とする．
V (b)を求めよ．
∆V = V (x+ dx)− V (x)とする．
[x, x+ dx]での S(x)の最大値をM，
最小値をmとする．すると，
m× dx 5 ∆V 5M × dx
m 5 ∆V
dx5M
中間値の定理より
∆V
dx= S(x+ θdx) (0 5 θ 5 1)
dx→ 0とすると
limdx→0
∆V
dx= V
′(x) = S(x)
V (a) = 0より
V (b) =
∫ b
a
S(x)dx //
(5)
定理 8.1
y = f(x) (a 5 x 5 b) を x軸まわりに
回転して得られる回転体 (f は連続とする) の断面積 S(x)は
S(x) = π{f(x)}2
かつ S(x) は連続なので
体積= π
∫ b
a
{f(x)}2dx
Remark 回転体の側面積は (f(x)は微分可能とする)
側面積= 2π
∫ b
a
f(x)√1 + (f ′(x))2dx
(6)
例 8.2 (ドーナツの面積)
x2 + (y − c)2 = a2 (0 < a < c)
を x軸のまわりに回転してえられる回転体
表面積は
S = 2π
∫ a
−a
f1(x)√1 + (f
′1(x))
2dx+ 2π
∫ a
−a
f2(x)√
1 + (f′2(x))
2dx
まともに計算すると絶対にできない．方程式を使う．
x2 + (y − c)2 = a2
↓ yを xの関数とみなして両辺を xで微分
2x+ 2(y − c)dy
dx= 0 ⇒ dy
dx= − x
y − c
y
√1 +
(dy
dx
)2
= y
√1 +
(− x
y − c
)2
= y
√x2 + (y − c)2
(y − c)2
= y
√a2
(y − c)2
=
ay
y − c(y = c)
− ay
y − c(y < c)
すると，
2π
∫ a
−a
f1(x)√1 + (f
′1(x))
2dx
= 2π
∫ a
−a
ay
y − cdx
= 2π
∫ a
−a
(c+
√a2 − x2
)× a√
a2 − x2dx
= 2πa
∫ a
−a
(1 +
c√a2 − x2
)dx
= 4πa2 + 2π2ac
同様に，
2π
∫ a
−a
f2(x)√
1 + (f′2(x))
2dx
= −4πa2 + 2π2ac
従って表面積は 4π2ac //
[ポイント ]√ がでてきて難しい場合，方程式を用いるとうまくはずせる場合がある．
(7)
バウムクーヘン
f(x) = 0とする．
x軸，y軸，x = Rと y = f(x)で囲まれた
部分を y軸まわりに回転してえられる回転体
の体積を求めよ．
簡単のために f(x)は Lipshitz連続(∃L > 0, ∀x, ∀y |f(x)− f(y)| < L|x− y|)
f(x) ∈ C1 なら上の条件はみたす．(f と f′が連続)
[0, R]を n等分して dx =R
n
代表点が
区間の左端の階段関数
fn(x)を考える．
[x, x+ dx]上の f(x)を y軸のまわりに回転して
得られる回転体の体積を dV とする.
[x, x+ dx]上の fn(x)を y軸のまわりに回転して
得られる体積を dV∆とする．
すると，t ∈ [x, x+ dx]に対して |f(t)− fn(t)| = |f(t)− f(x)| < L|t− x| < Ldx
|dV − dV∆| 5 π{(x+ dx)2 − x2
}× Ldx
= 2πxL(dx)2 + πL(dx)3
すると，fn(x)を回転して得られる回転体の体積を V∆とすると，x < Rを用いて，
|V − V∆| 5R
dx︸︷︷︸×きざみの個数
{2πRL(dx)2 + πL(dx)3
}= 2πR2L(dx) + πRL(dx)2
→ 0 (n→ ∞ すなわち dx→ 0のとき)
よって V∆ → V (n→ ∞)
(8)
V∆を求めよう．
0 = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = Rとすると，
V∆ =n−1∑i=0
π{(xi + dx)2 − x2i
}f(xi)
=n−1∑i=0
2πxif(xi)dx︸ ︷︷ ︸1⃝
+n−1∑i=0
πf(xi)(dx)2
︸ ︷︷ ︸2⃝
1⃝ : 2πxf(x)の [0, R]でのリーマン和．
2πxf(x)は連続なので n→ ∞ のときリーマン和は∫ R
0
2πx× f(x)dx に収束する
2⃝ :
∣∣∣∣∣n−1∑i=0
πf(xi)(dx)2
∣∣∣∣∣ |f(x)| 5M とすると
5Mπn−1∑i=0
(R
n
)2
=MπR2
n→ 0 (n→ ∞)
99K 従って体積は
∫ R
0
2πx× f(x)dx
Remark f(x)は連続でもOK．(一様連続を使う．)なお，
y =√xは 0 5 x 5 1で一様連続であるが
Lipshitz連続でない．
Remark limx→0
f(x)
g(x)= 0のとき (f(x) → 0, g(x) → 0, (x→ 0) とする)
f(x) = o · (g(x)) x→ 0 と表わす↑
スモールオー（ランダウの記号）
次のように考えるとわかりやすい．
dV = 2πxf(x)dx+ o(dx)
誤差
積分 ↓∫dV
=
V
=
∫ R
0
2πxf(x)dx+
∫ R
0
o(dx)dx:::::::::::::
=
0
このように適当に近似して 誤差が o(dx) となるようにとるとOK
(9)
Remark 近似には良い近似と悪い近似がある．
例 8.3 次の円錐の体積を求めよ．
体積 V =1
3πr2h
xと x+ dxの間にある体積を dV とする．
dV を円柱で近似しよう．
dV∆を円柱の体積とする．
dV∆ =r2x2
h2πdx
この近似の精度を求める．
dV =1
3π
(r · x+ dx
h
)2
(x+ dx)− 1
3π(r · x
h
)2
x
|dV − dV∆| =πr2x
h2(dx)2 +
πr2
3h2(dx)3
5 M(dx)2 (dxを小さくすると)∣∣∣∣∣V −∑
dV∆::::::::
∣∣∣∣∣円柱による近似
5 h
dx×M(dx)2
円柱の個数
= Mhdx→ 0 (dx→ 0)
実際
limdx→0
∑dV∆ =
∫ h
0
r2πx2
h2dx =
1
3πr2h
(10)
(次は悪い例)
例 8.4 円錐の側面積を求めよ．
S = πr√r2 + h2
これを円柱の側面積で近似する．
xと x+ dxの間にある側面積を dS
円柱の側面積を dS∆とする．
当然 dS∆ → dS (dx→ 0)
limdx→0
∑dS∆ =
∫ h
0
2πr × x
hdx = πrh
全くちがう
何故か？誤差評価すると
dS =πr
√r2 + h2
h2(2xdx+ (dx)2
)dS∆ = 2πr × x
hdx
|dS − dS∆| < M2dx ̸= o(dx)(|dV − dV∆| < M1(dx)
2 = o(dx))∣∣∣S −
∑dS∆
∣∣∣ < h
dxM2dx ⇐悪い近似
=M2h
⇒ dx→ 0 のとき 0となるとは限らない．
dSを次で近似する．
dS∆ =
√r2 + h2
hdx× 2π
xr
h
=rπ
√r2 + h2
h2xdx
|dS − dS∆| =rπ
√r2 + h2
h2
dx で割って dx→0 とすると 0 に収束↓
(dx)2 = o(dx)::::::
↑これになったら良い近似
⇐良い近似
S = limdx→0
∑dS∆ =
∫ h
0
rπ√r2 + h2
h22xdx
= rπ√r2 + h2
(11)
極座標の方程式
r = f(θ)とする．
面積 S =
∫ θ2
θ1
1
2r2dθ =
∫ θ2
θ1
1
2(f(θ))2dθ
[証明 ] dS =1
2r2dθ + o(dθ)
:::::
=
0
例 8.5 レムニスケート
r2 = a2 cos 2θ (a > 0)
S = 4×∫ π
4
0
1
2a2 cos 2θdθ
= a2
曲線の長さ
y = f(x)は f(x)と f′(x)が連続とする．
曲線の長さ=
∫ b
a
√1 + {f ′(x)}2dx
Remark 曲線の長さの厳密な話は
笠原晧司 (1974)『微分積分学』 サイエンス社（サイ
エンスライブラリ―数学） P209 にあり．
(12)
パラメータ表示の場合
曲線が x = ϕ(t), y = ψ(t)
とパラメータ表示される場合．
曲線の長さ=
∫ b
a
√{ϕ′(t)2}+ {ψ′(t)2}dt
例 8.6 アステロイド（星芒体）
x23 + y
23 = a
23
全長を求めよ．
全長 = 4
∫ a
0
√1 +
(dy
dx
)2
dx L99 √ が出たらいきなり計算しないこと！
x23 + y
23 = a
23
↓ yを xの関数とみなして xで微分2
3x−
13 +
2
3y−
13 · dydx
= 0
dy
dx= −x
− 13
y−13
= −y13
x13
1 +
(dy
dx
)2
= 1 +y
23
x23
=x
23 + y
23
x23
=a
23
x23
全長 = 4
∫ a
0
√1 +
(dy
dx
)2
dx
= 4
∫ a
0
(ax
) 13dx
= 4a13
∫ a
0
x−13dx = 6a
(別解) パラメータ表示するとうまくいく場合あり．
x = a cos3 θ, y = a sin3 θ とすると，(dx
dθ
)2
+
(dy
dθ
)2
= 9a2 cos2 θ sin2 θ
全長 = 4
∫ π2
0
√9a2 cos2 θ sin2 θdθ
= 4
∫ π2
0
3a cos θ sin θ −→ cos θ sin θ =sin 2θ
2= 6a