colloque gretsi, paris, 8-11 septembre 2003 sur la décomposition modale empirique p. flandrin (cnrs...
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Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003
Sur la Décomposition Modale Empirique
P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)
plan de l’exposé
• la « Décomposition Modale Empirique »– principe– mise en œuvre– exemple
• deux interprétations– stochastique et fréquentielle– déterministe et temporelle
• conclusion et perspectives
idée de base• principe : « signal = oscillations rapides superposées à
des oscillations lentes »• méthode (N.E. Huang, 1998) : « Décomposition Modale
Empirique » (ou « EMD » pour « Empirical Mode Decomposition »)– identifier localement l’oscillation la plus rapide – soustraire au signal et itérer sur le résidu
adaptation locale sur des échelles multiples et « naturelles » (pilotage par les données )
l’algorithme de Huang
• calculer 2 enveloppes (1 supérieure et 1 inférieure) par interpolations entre les extrema du signal– soustraire au signal de départ la moyenne de
ces enveloppes– itérer jusqu’à ce que cette moyenne = 0 et
#{extrema} = #{passages à zéro} ± 1
• soustraire du signal le mode (IMF) ainsi obtenu et itérer sur le résidu
en pratique
tone
chirp
tone + chirp
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-2
-1
0
1
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IMF 1; iteration 0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
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IMF 1; iteration 0
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IMF 1; iteration 0
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IMF 1; iteration 0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
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IMF 1; iteration 0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-2
-1
0
1
2
IMF 1; iteration 0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-2
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0
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IMF 1; iteration 0
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0.5
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IMF 1; iteration 1
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1.5
IMF 1; iteration 1
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1
1.5
IMF 1; iteration 1
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1.5
IMF 1; iteration 2
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residue
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
IMF 1; iteration 2
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IMF 1; iteration 2
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-0.1
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-0.2
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-0.2
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-0.1
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-0.1
0
0.1
0.2
residue
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
IMF 4; iteration 8
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
residue
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
IMF 4; iteration 9
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
residue
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
IMF 4; iteration 10
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
residue
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
IMF 4; iteration 11
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120-0.2
-0.1
0
0.1
0.2residue
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120-0.2
-0.1
0
0.1
0.2IMF 4; iteration 12
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120-0.2
-0.1
0
0.1
0.2residue
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120-0.2
-0.1
0
0.1
0.2IMF 4; iteration 13
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120-0.2
-0.1
0
0.1
0.2residue
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120-0.2
-0.1
0
0.1
0.2IMF 4; iteration 14
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120-0.2
-0.1
0
0.1
0.2residue
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120-0.2
-0.1
0
0.1
0.2IMF 4; iteration 15
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
residue
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
IMF 4; iteration 16
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
residue
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
IMF 5; iteration 0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
residue
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
IMF 5; iteration 1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
residue
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
IMF 5; iteration 2
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
residue
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
IMF 5; iteration 3
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
residue
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
IMF 5; iteration 4
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
residue
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
IMF 5; iteration 5
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
residue
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
IMF 5; iteration 6
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
residue
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
IMF 5; iteration 7
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
residue
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
IMF 5; iteration 8
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
residue
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
IMF 5; iteration 9
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
residue
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
IMF 5; iteration 10
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
residue
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
IMF 5; iteration 11
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
residue
imf1
Empirical Mode Decomposition
imf2
imf3
imf4
imf5
imf6
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
res.
un exemple FM
• oscillations localement quasi-sinusoïdales• filtrage variant dans le temps et auto-adaptatif• exemple : 2 FM sinus + 1 logon gaussien
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-1
-0.5
0
0.5
1
EMD
signature temps-fréquence
signature temps-fréquence
signature temps-fréquence
signature temps-fréquence
problèmes ouverts• algorithme ?
– intuitif mais ad-hoc et pas unique– paramètres à la discrétion de l’utilisateur
• interprétation ?– modes (IMF) vs. Fourier, ondelettes, …?– quelles échelles « naturelles » ?
• performances ?– évaluation difficile (pas de définition analytique) – recours à des simulations numériques
problèmes abordés ici• algorithme ?
– intuitif mais ad-hoc et pas unique– paramètres à la discrétion de l’utilisateur
• interprétation ?– modes (IMF) vs. Fourier, ondelettes, …?– quelles échelles « naturelles » ?
• performances ?– évaluation difficile (pas de définition analytique) – recours à des simulations numériques
interprétation 1 (stochastique et fréquentielle)
• modèle : bruit gaussien fractionnaire (fGn)– exposant de Hurst 0 < H < 1
• H = 1/2 : bruit blanc• H ≠ 1/2 : corrélation
– densité spectrale de puissance (DSP) ~ f 1-2H
• simulations : DSP estimées des modes pour H = 0.1 à 0.9 et 5000 réalisations de N = 512 points
fGn : DSP des modes
• structure de banc de filtres • passe-haut pour k = 1 et passe-bande pour k > 1• décomposition « spontanée » de type ondelettes
passages à 0 & renormalisation
• passages à 0 = mesure de fréquence moyenne• distribution quasi-dyadique• DSP renormalisables sur une « fonction de transfert » unique
densité de proba. des modes
• IMF (k > 1) : gaussienne
• IMF (k = 1 et H = 1/2) : proche d’un bruit blanc gaussien filtré passe-haut
variance-covariance
• variance (IMFk) : loi d ’échelle
• covariance (IMFk, IMFk’) : faible k, k’ > 1
• estimation de H par pente
interprétation 2 (déterministe et temporelle)
• modèle : « impulsion » idéalisée selon s(t) = (t) + n(t), avec n(t) bruit blanc gaussien et 0+.
• simulations : calcul de la moyenne d’ensemble des EMD pour 5000 réalisations de N = 2048 points
EMD moyenne
loi d ’échelle & renormalisation
conclusions et perspectives sur l’EMD
• méthode attrayante car naturellement multi-échelles et pilotée par les données
• organisation spontanée en banc de filtres (dyadiques) dans des situations « stationnaires » et « transitoires », stochastiques (fGn) ou non (impulsions)
• définition par un algorithme : quel cadre théorique au-delà des simulations numériques ?
(p)ré-tirages, codes Matlab et démos
www.ens-lyon.fr/~flandrin/emd.html