corelab courses · feedbackvertexset-undirected...
TRANSCRIPT
Παραδείγματα Αναγωγών
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
ΣΗΜΜΥ
27 Φεβρουαρίου 2014
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 1 / 10
MAXSAT
Είσοδος: Λογική Πρόταση σε CNF μορφή και φυσικός αριθμός K
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 2 / 10
MAXSAT
Είσοδος: Λογική Πρόταση σε CNF μορφή και φυσικός αριθμός K
Ερώτηση: Μπορούν να ικανοποιηθούν ≥ K clauses;
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 2 / 10
MAXSAT
Είσοδος: Λογική Πρόταση σε CNF μορφή και φυσικός αριθμός K
Ερώτηση: Μπορούν να ικανοποιηθούν ≥ K clauses;
Θεώρημα
Το MAXSAT είναι NP-Complete
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 2 / 10
MAXSAT
Είσοδος: Λογική Πρόταση σε CNF μορφή και φυσικός αριθμός K
Ερώτηση: Μπορούν να ικανοποιηθούν ≥ K clauses;
Θεώρημα
Το MAXSAT είναι NP-Complete
Απόδειξη
Πιστοποιητικό: Ανάθεση αληθοτιμών στις μεταβλητές. ΑραMAXSAT∈ NP
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 2 / 10
MAXSAT
Είσοδος: Λογική Πρόταση σε CNF μορφή και φυσικός αριθμός K
Ερώτηση: Μπορούν να ικανοποιηθούν ≥ K clauses;
Θεώρημα
Το MAXSAT είναι NP-Complete
Απόδειξη
Πιστοποιητικό: Ανάθεση αληθοτιμών στις μεταβλητές. ΑραMAXSAT∈ NP
MAXSAT γενίκευση SAT
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 2 / 10
HAMILTON PATH
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 3 / 10
HAMILTON PATH
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G
Ερώτηση: Υπάρχει μονοπάτι που καλύπτει όλες τις κορυφές(HP);
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 3 / 10
HAMILTON PATH
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G
Ερώτηση: Υπάρχει μονοπάτι που καλύπτει όλες τις κορυφές(HP);
Θεώρημα
Το HAMILTON PATH είναι NP-Complete
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 3 / 10
HAMILTON PATH
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G
Ερώτηση: Υπάρχει μονοπάτι που καλύπτει όλες τις κορυφές(HP);
Θεώρημα
Το HAMILTON PATH είναι NP-Complete
Απόδειξη
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 3 / 10
HAMILTON PATH
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G
Ερώτηση: Υπάρχει μονοπάτι που καλύπτει όλες τις κορυφές(HP);
Θεώρημα
Το HAMILTON PATH είναι NP-Complete
Απόδειξη
Πιστοποιητικό: Hamilton Path. Αρα HP∈ NP
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 3 / 10
HAMILTON PATH
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G
Ερώτηση: Υπάρχει μονοπάτι που καλύπτει όλες τις κορυφές(HP);
Θεώρημα
Το HAMILTON PATH είναι NP-Complete
Απόδειξη
Πιστοποιητικό: Hamilton Path. Αρα HP∈ NP
HAMILTON CYCLE ≤ HAMILTON PATH
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 3 / 10
HAMILTON PATH reduction
Σχήμα: Reduction
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 4 / 10
HAMILTON PATH reduction
Σχήμα: Reduction
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 4 / 10
HAMILTON PATH reduction
Σχήμα: Reduction
Αν έχουμε HC:u-y -P-x-u, τότε έχουμε HP w -u-y -P-x-u′-z
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 4 / 10
HAMILTON PATH reduction
Σχήμα: Reduction
Αν έχουμε HC:u-y -P-x-u, τότε έχουμε HP w -u-y -P-x-u′-zΑν έχουμε HP τότε θα είναι της μορφής w -u-y -P ′-x-u′-z . Αρα ο HCu-y -P ′-x-u
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 4 / 10
Min Leaf Spanning Tree
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK , 2 ≤ K ≤ |V |
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 5 / 10
Min Leaf Spanning Tree
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK , 2 ≤ K ≤ |V |
Ερώτηση: ΄Εχει το G συνδετικό δέντρο με K ή λιγότερα φύλλα;
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 5 / 10
Min Leaf Spanning Tree
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK , 2 ≤ K ≤ |V |
Ερώτηση: ΄Εχει το G συνδετικό δέντρο με K ή λιγότερα φύλλα;
Θεώρημα
Το MLST είναι NP-Complete
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 5 / 10
Min Leaf Spanning Tree
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK , 2 ≤ K ≤ |V |
Ερώτηση: ΄Εχει το G συνδετικό δέντρο με K ή λιγότερα φύλλα;
Θεώρημα
Το MLST είναι NP-Complete
Απόδειξη
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 5 / 10
Min Leaf Spanning Tree
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK , 2 ≤ K ≤ |V |
Ερώτηση: ΄Εχει το G συνδετικό δέντρο με K ή λιγότερα φύλλα;
Θεώρημα
Το MLST είναι NP-Complete
Απόδειξη
Πιστοποιητικό: Το συνδετικό δέντρο. Αρα MLST∈ NP
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 5 / 10
Min Leaf Spanning Tree
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK , 2 ≤ K ≤ |V |
Ερώτηση: ΄Εχει το G συνδετικό δέντρο με K ή λιγότερα φύλλα;
Θεώρημα
Το MLST είναι NP-Complete
Απόδειξη
Πιστοποιητικό: Το συνδετικό δέντρο. Αρα MLST∈ NP
MLST γενίκευση HP (K = 2)
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 5 / 10
LONGEST PATH
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο συνεκτικό γράφημα G (V ,E )
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 6 / 10
LONGEST PATH
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο συνεκτικό γράφημα G (V ,E )
Ερώτηση: Υπάρχει στο G μονοπάτι τουλάχιστον |V |/4;
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 6 / 10
LONGEST PATH
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο συνεκτικό γράφημα G (V ,E )
Ερώτηση: Υπάρχει στο G μονοπάτι τουλάχιστον |V |/4;
Θεώρημα
Το LONGEST PATH είναι NP-Complete
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 6 / 10
LONGEST PATH
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο συνεκτικό γράφημα G (V ,E )
Ερώτηση: Υπάρχει στο G μονοπάτι τουλάχιστον |V |/4;
Θεώρημα
Το LONGEST PATH είναι NP-Complete
Απόδειξη
Πιστοποιητικό: Το μονοπάτι. Αρα LONGEST PATH∈ NP
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 6 / 10
LONGEST PATH
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο συνεκτικό γράφημα G (V ,E )
Ερώτηση: Υπάρχει στο G μονοπάτι τουλάχιστον |V |/4;
Θεώρημα
Το LONGEST PATH είναι NP-Complete
Απόδειξη
Πιστοποιητικό: Το μονοπάτι. Αρα LONGEST PATH∈ NP
HAMILTON PATH ≤ LONGEST PATH
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 6 / 10
Longest Path REDUCTION
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 7 / 10
Longest Path REDUCTION
Προσθέτουμε σε κάθε κορυφή γείτονες βαθμού 1.
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 7 / 10
Longest Path REDUCTION
Προσθέτουμε σε κάθε κορυφή γείτονες βαθμού 1.
Αν έχουμε μονοπάτι Hamilton στο G , τότε θα υπάρχει μονοπάτιμήκους |V |+ 2 στο G ′
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 7 / 10
Longest Path REDUCTION
Προσθέτουμε σε κάθε κορυφή γείτονες βαθμού 1.
Αν έχουμε μονοπάτι Hamilton στο G , τότε θα υπάρχει μονοπάτιμήκους |V |+ 2 στο G ′
Θέλουμε αυτό να είναι τουλάχιστον το 1/4 του συνολικού αριθμούτων κορυφών του G ′
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 7 / 10
Longest Path REDUCTION
Προσθέτουμε σε κάθε κορυφή γείτονες βαθμού 1.
Αν έχουμε μονοπάτι Hamilton στο G , τότε θα υπάρχει μονοπάτιμήκους |V |+ 2 στο G ′
Θέλουμε αυτό να είναι τουλάχιστον το 1/4 του συνολικού αριθμούτων κορυφών του G ′
Θα προσθέσουμε αρκετές καινούργιες κορυφές ώστε να έχουμε|V ′| = 4|V |+ 8
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 7 / 10
DENSE SUBGRAPH
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικοί αριθμοίK , B
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 8 / 10
DENSE SUBGRAPH
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικοί αριθμοίK , B
Ερώτηση: Υπάρχει σύνολο S ⊂ V ώστε το επαγόμενο υπογράφηματου G που ορίζεται απ΄ τις κορυφές του S να έχει τουλάχιστον Bακμές;
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 8 / 10
DENSE SUBGRAPH
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικοί αριθμοίK , B
Ερώτηση: Υπάρχει σύνολο S ⊂ V ώστε το επαγόμενο υπογράφηματου G που ορίζεται απ΄ τις κορυφές του S να έχει τουλάχιστον Bακμές;
Θεώρημα
Το DS είναι NP-Complete
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 8 / 10
DENSE SUBGRAPH
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικοί αριθμοίK , B
Ερώτηση: Υπάρχει σύνολο S ⊂ V ώστε το επαγόμενο υπογράφηματου G που ορίζεται απ΄ τις κορυφές του S να έχει τουλάχιστον Bακμές;
Θεώρημα
Το DS είναι NP-Complete
Απόδειξη
Πιστοποιητικό: Το S . Αρα DS∈ NP
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 8 / 10
DENSE SUBGRAPH
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικοί αριθμοίK , B
Ερώτηση: Υπάρχει σύνολο S ⊂ V ώστε το επαγόμενο υπογράφηματου G που ορίζεται απ΄ τις κορυφές του S να έχει τουλάχιστον Bακμές;
Θεώρημα
Το DS είναι NP-Complete
Απόδειξη
Πιστοποιητικό: Το S . Αρα DS∈ NP
DS γενίκευση του Clique (B = K(K−1)2 )
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 8 / 10
FEEDBACK VERTEX SET - UNDIRECTED
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 9 / 10
FEEDBACK VERTEX SET - UNDIRECTED
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK
Ερώτηση: Υπάρχει σύνολο κορυφών ανάδρασης με Κ ή λιγότερεςκορυφές;
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 9 / 10
FEEDBACK VERTEX SET - UNDIRECTED
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK
Ερώτηση: Υπάρχει σύνολο κορυφών ανάδρασης με Κ ή λιγότερεςκορυφές;
Σύνολο κορυφών ανάδρασης: είναι υποσύνολο των κορυφών τουγραφήματος που αν αφαιρεθούν κάνουν το γράφημα ακυκλικό.
Θεώρημα
Το FVC-U είναι NP-Complete
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 9 / 10
FEEDBACK VERTEX SET - UNDIRECTED
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK
Ερώτηση: Υπάρχει σύνολο κορυφών ανάδρασης με Κ ή λιγότερεςκορυφές;
Σύνολο κορυφών ανάδρασης: είναι υποσύνολο των κορυφών τουγραφήματος που αν αφαιρεθούν κάνουν το γράφημα ακυκλικό.
Θεώρημα
Το FVC-U είναι NP-Complete
Απόδειξη
Πιστοποιητικό: Σύνολο κορυφών ανάδρασης. Αρα FVC-U∈ NP
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 9 / 10
FEEDBACK VERTEX SET - UNDIRECTED
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK
Ερώτηση: Υπάρχει σύνολο κορυφών ανάδρασης με Κ ή λιγότερεςκορυφές;
Σύνολο κορυφών ανάδρασης: είναι υποσύνολο των κορυφών τουγραφήματος που αν αφαιρεθούν κάνουν το γράφημα ακυκλικό.
Θεώρημα
Το FVC-U είναι NP-Complete
Απόδειξη
Πιστοποιητικό: Σύνολο κορυφών ανάδρασης. Αρα FVC-U∈ NP
VERTEX COVER ≤ FVC-U
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 9 / 10
FVC-U reduction
VERTEX COVER
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 10 / 10
FVC-U reduction
VERTEX COVER
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK
Ερώτηση: Υπάρχει σύνολο κορυφών που καλύπτουν όλες τις ακμέςμε Κ ή λιγότερες κορυφές;
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 10 / 10
FVC-U reduction
VERTEX COVER
Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK
Ερώτηση: Υπάρχει σύνολο κορυφών που καλύπτουν όλες τις ακμέςμε Κ ή λιγότερες κορυφές;
Σχήμα: Reduction
(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 10 / 10