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CORSO DI TOPOGRAFIA A A.A. 2006-2007

APPUNTI LEZIONI GPS PARTE I


1. Principi base del GPS Il sistema di posizionamento globale NAVSTAR GPS (NAVigation Satellite Timing And Ranging Global Positioning System) si basa sull'emissione, da parte di satelliti artificiali, di segnali radio che contengono informazioni sufficienti per poter ricavare la distanza satellite-ricevitore. Supposta nota istante per istante la posizione di ciascun satellite, è possibile determinare le coordinate del ricevitore con un'equazione del tipo:

( ) ( ) ( )2j

i2j

i2j

iij ZZYYXX −+−+−=ρ (1-1)

dove:

ρ ji = distanza tra il satellite i-esimo ed il ricevitore j-esimo; MISURATA

X ,Y ,Zj j j = coordinate del ricevitore j-esimo; INCOGNITE X ,Y , Zi i i = coordinate del satellite i-esimo; NOTE

Avendo a disposizione tre equazioni indipendenti del tipo (1-1) è teoricamente possibile, impiegando contemporaneamente le misure di distanza tra un ricevitore e tre satelliti, determinare la posizione del ricevitore. In realtà le equazioni che legano la distanza misurata alla posizione del ricevitore non sono mai così semplici, ma completate da incognite aggiuntive che modellano eventuali errori di misura o che rappresentano un numero intero di lunghezze d'onda contenuto nella distanza satellite-ricevitore. 2. Le componenti del sistema L'intero sistema di posizionamento GPS funziona grazie a tre componenti generalmente indicate col nome di segmenti: segmento spaziale, segmento di controllo, segmento di utilizzo o utente.

Figura 2.1: I tre segmenti


2.1 Il segmento spaziale Il segmento spaziale è costituito da una costellazione di 29 satelliti artificiali, distribuiti su sei piani orbitali egualmente spaziati in longitudine (ascensione retta) di 60 gradi. Le orbite sono pressoché circolari con un raggio di circa 26000 km (dal centro della terra) e presentano una inclinazione rispetto al piano equatoriale di 55 gradi.

Figura 2.1.1: La costellazione dei satelliti GPS Il periodo di rivoluzione di un satellite è di 12 ore siderali e a causa della differenza tra giorno sidereo e giorno solare medio, ciascun satellite sorge ogni giorno circa 4 minuti prima del giorno precedente. Ogni satellite è dotato del seguente equipaggiamento: • quattro oscillatori ad altissima precisione: 2 al Cesio, 2 al Rubidio, • razzi per effettuare le correzioni di orbita, • due pannelli solari, di area pari a 7,25 m2 per la produzione di energia, • batterie di emergenza per garantire l’apporto energetico nei periodi in cui il sole è eclissato; pesa circa 845 kg ed ha una vita media di progetto di 7,5 anni.

Figura 2.1.2: Schema di satellite GPS


I satelliti trasmettono varie informazioni all'utenza mediante l'invio di segnali complessi, ma nello stesso tempo ricevono informazioni dalle stazioni del segmento di controllo, che sono le uniche in grado di trasmettere segnali ai satelliti. 2.2 Il segmento di controllo Il segmento di controllo è costituito da cinque stazioni a terra equidistanti lungo l'equatore e di posizione nota con grande precisione. A seconda della funzione che svolgono, esse vengono classificate in: Monitor Stations (MSs), Master Control Station (MCS), Ground Control Station (GCS). Ogni stazione è dotata di apparecchiature per ricevere in continuo il segnale proveniente dai satelliti e per misurare i parametri atmosferici. Alla stazione principale di controllo (MCS), situata a Colorado Springs, confluiscono tutti i dati registrati dalle MSs che consentono, mediante opportuni trattamenti, la determinazione dei modelli per la correzione degli errori dovuti alla deriva degli orologi dei satelliti e la determinazione delle effemeridi dei satelliti (effemeridi predette o Broadcast Ephemerides) che vengono ricalcolate ogni 15 minuti interpolando i dati di posizione trasmessi dai satelliti combinati con misure da terra. I dati di navigazione così aggiornati, da parte delle stazioni di controllo, vengono inviati ai satelliti che a loro volta li ritrasmettono agli utenti.

Figura. 2.2-1 flusso di dati stazioni di controllo-utenti

La stazione MCS comanda inoltre i razzi che consentono la correzione della posizione dei satelliti che si trovano troppo lontani dalla loro orbita nominale. Le stazioni GCS costituiscono il collegamento tra la stazione MCS ed il segmento spaziale; sono infatti loro che trasmettono ai satelliti i dati provenienti dalla stazione di controllo. Attraverso un segnale di ritorno esse ricevono conferma dell'avvenuta ricezione dei dati stessi.


Figura. 2.2-2 Le stazioni di controllo

2.3 Il segmento di utilizzo o segmento utente Gli utenti del GPS, sia civili che militari, costituiscono il segmento utente. L'equipaggiamento di base per potere ricevere i segnali radio inviati dai satelliti è costituito da un'antenna ed un ricevitore. In funzione degli usi e delle precisioni che si intendono raggiungere nella misura ci possono essere vari modelli di ricevitore con diverse caratteristiche. Di seguito è mostrata la tipica configurazione “da Topografia”.

Figura. 2.3.1. Il segmento di utilizzo


3. Il segnale inviato dai satelliti Il segnale trasmesso dai satelliti è costituito da due onde portanti modulate mediante tre codici binari. La frequenza delle due portanti è ottenuta da una stessa frequenza fondamentale f0 = 10,23 MHz generata da quattro oscillatori di alta precisione in dotazione a ciascun satellite. Le due onde portanti sono generalmente indicate col nome di L1 ed L2 ed hanno le seguenti caratteristiche:

Onda portante Frequenza Lunghezza d'onda L1 f 154 f 1575.42 MHz1 0= ⋅ = λ1 19 cm= L2 f 120 f 1227.60 MHz2 0= ⋅ = λ 2 24 cm=

Tabella 3.1: Caratteristiche delle onde portanti

Queste due particolari frequenze sono state scelte perché in fase di sperimentazione è stata dimostrata la loro limitata risposta agli effetti perturbativi della ionosfera e della troposfera. Le due portanti vengono poi modulate mediante tre codici: il codice C/A, il codice P, il codice D. In generale, la determinazione della distanza, può essere ottenuta mediante una misura di tempo e mediante una misura di differenza di fase tra l’onda “entrante “ nel ricevitore ed un’onda uguale riprodotta all’interno del ricevitore stesso. La misura di distanza ottenuta dalla misura di tempo è tipicamente meno precisa rispetto a quella di fase. Entrambe le portanti (L1 e L2) sono utilizzabili dal sistema per il calcolo della distanza in base alla differenza di fase. I codici binari denominati C/A e P permettono la determinazione della distanza satellite-ricevitore mediante una misura di tempo e sono utilizzati soprattutto nel posizionamento di navigazione. Il codice P trasmette 10,23 Mbps e su di esso si basa la modalità del segnale trasmesso denominata PPS (Precise Positioning Service) che fornisce un elevato grado di precisione nel posizionamento assoluto per la navigazione. Purtroppo questo servizio non è accessibile dagli utenti civili perché il codice P, acquisito dai ricevitori di uso comune, è il segnale criptato del codice Y utilizzabile solo dai militari. Per ricavare dal codice P il codice Y e quindi accedere al PPS servono particolari decoder che fanno uso di regole ben precise e segrete attraverso le quali la formula matematica del codice Y è stata variata per ottenere il codice P. Questa tecnica prende il nome di AS (Anti-Spoofing). Il codice P è ottenuto sia dalla modulazione della portante L1 che della L2. Il codice C/A trasmette 1,023 Mbps e su di esso si basa la modalità del segnale trasmesso denominata SPS (Standard Positioning Service) accessibile a tutti gli utenti (civili e militari). A partire dal 02 maggio 2000 è stata tolta la degradazione della piena capacità del codice C/A che era ottenuta mediante l’introduzione di errori di orologio e di effemeridi nel codice D aumentando di fatto le precisioni del livello autorizzato di SPS da 100 m agli attuali 5-10 m. Il codice C/A è ottenuto attualmente solo dalla modulazione della portante L1. Sono già in commercio ricevitori in grado di ricever il codice C/A ottenuto anche dalla modulazione della L2, ma non ci sono ancora satelliti attivi che trasmettono tale codice sulla L2.


Il codice D, anche chiamato segnale telemetrico, contiene una gran quantità di informazioni che il segmento di controllo trasmette all’utenza sfruttando il segnale GPS. Tra queste le più importanti sono: le correzioni di orologio tra l’orologio dei satelliti e il tempo GPS delle stazioni di controllo (più precise nel caso di PPS rispetto a SPS), le effemeridi trasmesse (broadcast ephemeris), i termini di correzione dell’errore dovuto alla ionosfera, i coefficienti per convertire il tempo GPS in tempo assoluto (Universal Coordinated Time), i dati di almanacco e le notizie sullo stato di salute dei satelliti. La modulazione delle portanti per ottenere i codici binari è ottenuta marcando ogni passaggio da +1 a 0 mediante uno sfasamento della portante di 90° la quale rimane sfasata fino al nuovo passaggio da +1 a 0 .

Figura 3.2: Modulazione della portante

4 Misure di pseudo-range La misura di pseudo-range è una misura della distanza tra il satellite e il ricevitore ottenuta tramite una misura di tempo che intercorre tra l’istante di emissione e l’istante di ricezione del segnale. La misura di pseudo-range è normalmente applicata sia sul codice C/A che sul codice P L'osservabile, nelle misure di pseudo-range è una differenza di tempo dτ tra l'istante t che chiameremo "istante di inizio trasmissione", misurato rispetto al sistema di riferimento temporale del satellite e l'istante T di ricezione, misurato rispetto al sistema di riferimento temporale del ricevitore . Poiché i due tempi T e t sono riferiti a sistemi di riferimento temporali diversi data l'elevata qualità e precisione degli oscillatori degli orologi in dotazione ai satelliti rispetto agli oscillatori degli orologi dei ricevitori, la loro differenza (T-t) contiene errori dovuti alla mancata sincronizzazione delle scale temporali.


Orologio del satellite

Orologio GPS

Orologio del ricevitore

t

T

dt dT

(τ )a

(τ )b

aτ τ b

d = p / cτ

/ cρ

Figura 4-1: Le diverse scale dei tempi

Possiamo esprimere l'equazione di pseudo-range come segue:

ερτ ddTcdcp tropion +++∆⋅+=⋅= (4-1) dove:

( ) =−=∆ dTdtT errore di sincronizzazione degli orologi d dion trop, = errori sulla distanza che si commettono nell'ipotesi che la velocità di propagazione c sia costante negli strati della ionosfera e della troposfera (ritardi). ε = errori casuali dovuti soprattutto a multipath

Figura 4-2: Schema di multipath


L’errore dovuto alla ionosfera è esprimibile in funzione della lunghezza d’onda delle portanti mentre l’errore dovuto alla troposfera dipende piuttosto da parametri atmosferici quali temperatura e umidità dell’aria in quota. L’effetto di multipath è dovuto alla riflessione del segnale GPS da parte di superfici riflettenti prossime alla posizione del ricevitore GPS. E’ quindi un errore sulla misura della distanza satellite-ricevitore tipico del sito. In generale, e per quanto possibile durante le operazioni di rilevamento, è buona norma non posizionare il ricevitore in prossimità di corpi metallici, di pareti verticali o di specchi d’acqua. Volendo esprimere l'equazione 4-1 in funzione delle coordinate cartesiane geocentriche del ricevitore, principali incognite del problema, si dovrà far riferimento all'equazione 1-1 e ricordando inoltre che le coordinate del satellite sono note con un certa incertezza otteniamo:

(4-2) dove:

= rr

vettore posizione del satellite rispetto all’origine del sistema di riferimento = R

r vettore posizione del ricevitore rispetto all’origine del sistema di riferimento

dρ = errore dovuto all'incertezza nella determinazione delle effemeridi dei satelliti X ,Y ,Zj j j = coordinate del ricevitore j-esimo; INCOGNITE X ,Y , Zi i i = coordinate del satellite i-esimo all’istante di “inizio trasmissione”; NOTE

Sostituendo la 4-2 nella 4-3 si ottiene:

ερ ddTcdRrp tropion +++∆⋅++−=rr (4-3)

che rappresenta l'equazione di osservazione di pseudo-range. Per ogni coppia satellite-ricevitore esiste quindi una equazione del tipo 4-3 che lega le coordinate incognite del ricevitore a terra (contenute nel modulo del vettore Rr

rr− ) e di tempo dovute agli

errori di sincronizzazione degli orologi (rappresentate dal valore ∆T) alla quantità misurata p. Quando la distanza satellite-ricevitore è calcolata mediante differenza di fase, l'osservabile è una differenza tra le fasi dell'onda portante generata dal satellite e di un'onda uguale generata all'interno del ricevitore.

( ) ( )Tt ikk

i Φ−Φ=Φ=Φ (4-4) Φk = fase dell'onda trasmessa dal satellite k-esimo a partire dall'istante di inizio trasmissione t Φ i = fase dell'onda generata all'interno del ricevitore i-esimo a partire dall'istante di ricezione T La fase totale è perciò composta da una misura di frazione di fase e da un numero intero di cicli. compresi tra l'istante T e l'istante t1 di termine della sessione di misura (istante in cui si spegne il ricevitore) a cui si deve aggiungere il numero intero di cicli contenuti nell'intervallo di tempo compreso tra l'istante t di partenza del segnale dal satellite e l'istante T . Quest'ultimo numero intero, detta ambiguità iniziale di fase N, è incognito.

( ) ( ) ( ) ρρρ dZZYYXXdRr 2j

i2j

i2j

i +−+−+−=+−=rr


Esprimendo la differenza di fase in metri, l’equazione che la lega alla distanza è:

ελρ ddNTcd+Rr~tropion +++⋅+∆⋅+−=Φ

rr (4-5)

La misura di fase, viene espressa con un’equazione del tutto analoga a quella relativa alle osservazioni di pseudorange. L'equazione 4-5 lega la distanza misurata Φ~ , ottenuta mediante la lettura di differenze di fase, con le incognite di posizione del ricevitore a terra (contenute nel fattore ρ), l'incognita di tempo (rappresentata da ∆T), l'incognita dell'ambiguità di fase iniziale (rappresentata dal valore N). 5. Il sistema di riferimento WGS84 per le misure GPS Le misure GPS forniscono un posizionamento globale del punto ovvero non viene separato il problema del posizionamento planimetrico da quello altimetrico come invece accade nei rilievi classici. Il risultato più generale di una misura GPS è costituito dalle coordinate di un punto posto sulla superficie terrestre rispetto ad un sistema di riferimento denominato WGS84. Il WGS84 (World Geodetic System) è costituito da una terna cartesiana O, X, Y, Z con origine nel centro di massa convenzionale della terra, asse Z diretto verso il Polo Nord convenzionale terrestre, asse X intersezione del piano meridiano zero passante per Greenwich con il piano equatoriale passante per il centro convenzionale di massa terrestre, asse Y a completamento di una terna ortogonale destrorsa. Il centro di massa convenzionale della terra, il Polo Nord convenzionale ed il meridiano zero passante per Greenwich sono stati definiti dal BIH (Bureau International de l'Heure) nel 1984. A tale sistema è associato un ellissoide, con centro nell'origine del sistema di riferimento ed assi coincidenti con quelli della terna, i cui parametri geometrici assumono i seguenti valori: a = 6378137 m e2 = 0,0094379990 Il WGS84 è l'ultima evoluzione di una serie di sistemi di riferimento geodetici simili ricavati con tecnologie sempre più evolute negli anni denominati WGS60, WGS66 e WGS72; esso fornisce un riferimento di base per definire la geometria e per costruire un modello gravimetrico dell'intero globo. Sistemi con tali caratteristiche, nati negli anni 60 per esigenze di tipo militare, sono oggi adottati nelle applicazioni di posizionamento mediante satellite come il GPS; infatti la posizione dei satelliti stessi nel tempo è conosciuta rispetto al WGS84.


6. Posizionamento GPS per la navigazione Per le applicazioni che richiedono basse precisioni e risultati in tempo reale, vengono solitamente sfruttate le equazioni di pseudorange. Note le effemeridi, l’errore di orologio del ricevitore e la posizione del ricevitore a terra, sono le uniche incognite. Tipicamente infatti, nella navigazione si trascurano gli errori di orologio del satellite (dt) continuamente aggiornati e in parte già corretti dal segmento di controllo. Tali correzioni sono poi trasmesse agli utenti tramite il codice D. Gli errori dovuti alla ionosfera ed alla troposfera sono calcolati in base ad opportuni modelli, che come già detto sono funzione della lunghezza d’onda delle due onde portanti, L1 ed L2, nel caso della ionosfera e dei parametri atmosferici in quota nel caso della troposfera. Gli errori casuali sono trascurati in questo tipo di applicazioni. Se il ricevitore osserva contemporaneamente quattro satelliti si possono scrivere quattro equazioni del tipo:

( ) ( ) ( ) dTcZZYYXXdcp 2j

i2j

i2j

i ⋅+−+−+−=⋅= τ (6-1)

Figura 6-1: Posizionamento di navigazione o assoluto Nella quale le uniche quattro incognite sono rappresentate dall’errore di orologio dT e dalle coordinate X, Y, Z del ricevitore.


Figura 6-2: Applicazioni di navigazione

La precisione del posizionamento in tempo reale dipende soprattutto dalla precisione con cui sono note le effemeridi dei satelliti (dρ). Ricordiamo che le migliori effemeridi disponibili in tempo reale sono quelle contenute nel codice D, aggiornate ogni 15’ dalle stazioni di controllo (Broadcast ephemeris). Il posizionamento GPS ha una precisione maggiore sul codice P mentre sul codice C/A, la precisione raggiunge i 5-10 m. 6.1 Effetto della geometria dei satelliti sulla precisione delle misure Un importante indice legato alla precisione del posizionamento di navigazione è il DOP (Diluition Of Precision). Matematicamente, esso è definito come: PDOP X

2Y2

Z2= + +σ σ σ Position DOP

2dT

2Z

2Y

2X cGDOP σσσσ ⋅+++= Time Position DOP

Si tratta quindi della radice quadrata dei valori di varianza di ciascuna coordinata. La varianza è un valore istantaneo che varia ad ogni ricalcolo della posizione di navigazione e quindi il DOP varia nel tempo.


Figura 6.1-1: Cattiva geometria dei satelliti-DOP alto

Figura 6.1-2: Buona geometria dei satelliti-DOP basso

DOP è un indice fortemente correlato alla geometria dei satelliti come mostrato in figura 6.1-1, 6.1-2 In generale minore è il DOP, migliore è la configurazione dei satelliti ai fini del posizionamento e migliore è la qualità del posizionamento di navigazione. Il valore massimo di DOP accettato e generalmente pari a 6-8. 7. Combinazioni lineari delle osservazioni In fase di trattamento dei dati è possibile combinare in modo diverso i valori osservati. A titolo di esempio, tratteremo solo le differenze prime, ovvero la differenziazione dei valori di distanza satellite-ricevitore tra diversi ricevitori che ricevono il segnale dei medesimi satelliti.


Tali processi differenziali consentono, l'eliminazione o la riduzione in valore degli errori comuni ad ogni equazione giungendo alla determinazione della posizione relativa relativa tra i due punti espressa come componenti del vettore (∆X, ∆Y, ∆Z) che unisce due punti in cui sono operativi contemporaneamente due GPS. La riduzione e l’eliminazione degli errori, migliora la precisione di posizionamento dai 5-10m della navigazione a pochi centimetri. Uno dei due punti (inteso come punto di riferimento) dovrà avere coordinate WGS84 note. Questo vettore viene tipicamente indicato come baseline.

Figura. 7-2: posizionamento differenziale

Con le tecniche di posizionamento differenziale è immediata la determinazione della distanza reale tra i due punti in cui si posizionano i ricevitori.

222 ZYXD ∆+∆+∆= 7.1 Differenze prime tra due ricevitori Due stazioni vengono osservate contemporaneamente dallo stesso satellite.

Figura 7.1-1: Singole differenze tra due ricevitori


L'equazione generale può essere indicata come segue:

( ) ( ) ( ) 1 RICEVITORE2 RICEVITORE •∆−•∆=•∆ (7.1-1) Se vengono eseguite misure di pseudorange utilizzando il codice P o il codice C/A, l'equazione differenziale è del tipo:

ερ ∆+∆+∆+∆⋅−∆=∆ tropion dddTcp (7.1-2) se invece vengono eseguite misure di fase l'equazione differenziale assume la seguente forma:

ελρ ∆+∆+∆+∆⋅+∆⋅−∆=Φ∆ tropion ddNdTc~ (7.1-3) Questa procedura differenziale consente di ottenere una equazione dipendente dalla posizione relativa dei due ricevitori, di eliminare gli errori di sincronizzazione dell'orologio del satellite e gli errori di incertezza di orbita, comuni alle due equazioni differenziate. Inoltre viene ridotto l'effetto di tutti gli altri errori correlati spazialmente per i due ricevitori: ritardi ionosferico e troposferico (si tenga infatti presente l'esigua distanza tra i due ricevitori rispetto alla distanza dal satellite). 8. Modalità statica di posizionamento GPS La modalità di posizionamento statica, impone la permanenza su un punto per un tempo variabile in funzione della lunghezza della base da misurare. Se due ricevitori GPS sono contemporaneamente attivi, è possibile lavorare su dati contemporanei con i metodi differenziali illustrati. Il risultato, ottenuto da elaborazioni successive generalmente effettuate con software commerciali, è la misura di distanza che collega i due punti espressa in termini di componenti ∆X, ∆Y, ∆Z nel sistema WGS84.

Figura 8-1: Risultato dell’elaborazione di una base. Sono visibili le componenti ∆X, ∆Y e ∆Z ottenute dall’applicazione dei metodi di posizionamento differenziale.


Entrambe i ricevitori, dovranno ricevere il dato dai medesimi satelliti in modo da poter applicare alle equazioni di posizionamento le combinazioni lineari dei metodi di posizionamento differenziale. La tecnica di posizionamento statico viene spesso utilizzata per misure geodetiche. La configurazione “a rete” dell’area di rilievo, permette di avere determinazioni ridondanti della posizione di ciascun punto e garantisce il posizionamento stesso in caso di presenza di errori grossolani nella misura di una singola base.

Figura 8-2: Esempio di rete geodetica di inquadramento 9. L’uso del GPS in modalità RTK (Real Time Kinematic): cenni operativi La messa a punto dei procedimenti di calcolo e di apparati di trasmissione dati sempre più efficaci, ha consentito il raggiungimento di precisioni dell’ordine di pochi centimetri anche per le misure in tempo reale. L’uso del GPS in modalità RTK si sta quindi diffondendo rapidamente avendo ormai raggiunto un certo grado di affidabilità. La figura 9-1 schematizza l’apparato operativo di un rilievo RTK. La stazione fissa (master station) è posizionata in un punto di coordinate WGS84 note rispetto al quale viene determinata la posizione della stazione in movimento (rover station).


Figura 9-1: schema di posizionamento RTK

Le equazioni per la determinazione in tempo reale della posizione relativa del rover rispetto al master, fanno capo alle differenze di fase, alle equazioni di pseudorange ed anche a combinazioni lineari delle due (in alcuni casi anche miste: fase e pseudorange). I procedimenti di calcolo in genere sono validi per zone di ridotta entità (15-20 km di raggio) all’interno delle quali l’entità di errori quali i ritardi di attraversamento della ionosfera e della troposfera da parte del segnale GPS sono correlati per il master e per il rover e quindi il loro effetto è ridotto (o annullato) nelle varie combinazioni lineari delle equazioni differenziali. L’inizializzazione di un rilievo cinematico, implica la determinazione dell’ambiguità di fase N. Numerosi sono i metodi che negli anni si sono susseguiti per determinare tale valore; tra tutti il più efficace e il più utilizzato nei sistemi commerciali, è il metodo OTF (On The Fly) che consente, mediante opportuni algoritmi, una rapida determinazione del valore incognito di N purché siano visibili almeno 5 satelliti sia dal master che dal rover. Il calcolo in tempo reale della posizione relativa del rover rispetto al master, richiede che i dati acquisisti dal master vengano trasmessi al rover in tempo reale. Il link è generalmente costituito da radio/modem o modem GSM o GPRS con tutti i problemi relativi alla trasmissioni radio di dati (interferenze, cadute di segnale, ecc.) o alla mancanza di segnale.

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