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Definitions et generalitesLimite d’une suite reelle
Suites reelles monotones et consequencesSuites adjacentes
Suites extraitesSuite de Cauchy
Suite recurrente definie par une fonctionSuites geometriques et arithmetiques
Les suites reellescours MIP
Noureddine MOUSSAID
Faculte des Sciences et Techniques de MohammediaUniversite Hassan II de Casablanaca
2017–2018
Noureddine MOUSSAID Les suites reelles
Definitions et generalitesLimite d’une suite reelle
Suites reelles monotones et consequencesSuites adjacentes
Suites extraitesSuite de Cauchy
Suite recurrente definie par une fonctionSuites geometriques et arithmetiques
DefinitionSuites explicitesSuites definies par recurrenceSuites bornees
Plan1 Definitions et generalites
DefinitionSuites explicitesSuites definies par recurrenceSuites bornees
2 Limite d’une suite reelleDefinitions generalesProprietes des suites admettant une limiteLimites et ordre dans IROperations sur les limites: Les formes indeterminees ettableaux recaputilatifs
3 Suites reelles monotones et consequences4 Suites adjacentes5 Suites extraites6 Suite de Cauchy7 Suite recurrente definie par une fonction8 Suites geometriques et arithmetiques
Suites arithmetiquesSuites geometriquesSuites arithmetico-geometrique
Noureddine MOUSSAID Les suites reelles
Definitions et generalitesLimite d’une suite reelle
Suites reelles monotones et consequencesSuites adjacentes
Suites extraitesSuite de Cauchy
Suite recurrente definie par une fonctionSuites geometriques et arithmetiques
DefinitionSuites explicitesSuites definies par recurrenceSuites bornees
Definitions
DefinitionUne suite numerique d’elements reels est une application
u : IN→ IR
L’image u(n) est note un et appele terme general de la suite.
La suite est notee (un)n∈IN ou (un)n≥0.
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Definitions et generalitesLimite d’une suite reelle
Suites reelles monotones et consequencesSuites adjacentes
Suites extraitesSuite de Cauchy
Suite recurrente definie par une fonctionSuites geometriques et arithmetiques
DefinitionSuites explicitesSuites definies par recurrenceSuites bornees
Plan1 Definitions et generalites
DefinitionSuites explicitesSuites definies par recurrenceSuites bornees
2 Limite d’une suite reelleDefinitions generalesProprietes des suites admettant une limiteLimites et ordre dans IROperations sur les limites: Les formes indeterminees ettableaux recaputilatifs
3 Suites reelles monotones et consequences4 Suites adjacentes5 Suites extraites6 Suite de Cauchy7 Suite recurrente definie par une fonction8 Suites geometriques et arithmetiques
Suites arithmetiquesSuites geometriquesSuites arithmetico-geometrique
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Suites extraitesSuite de Cauchy
Suite recurrente definie par une fonctionSuites geometriques et arithmetiques
DefinitionSuites explicitesSuites definies par recurrenceSuites bornees
Suites explicites
DefinitionUne suite numerique d’elements reels est une suite explicite si
un = ϕ(n)
ϕ etant une application de IN dans IR.
Example1 un = (−1)n
2 un =1− n1 + n
3 un = cos(nπ)Noureddine MOUSSAID Les suites reelles
Definitions et generalitesLimite d’une suite reelle
Suites reelles monotones et consequencesSuites adjacentes
Suites extraitesSuite de Cauchy
Suite recurrente definie par une fonctionSuites geometriques et arithmetiques
DefinitionSuites explicitesSuites definies par recurrenceSuites bornees
Plan1 Definitions et generalites
DefinitionSuites explicitesSuites definies par recurrenceSuites bornees
2 Limite d’une suite reelleDefinitions generalesProprietes des suites admettant une limiteLimites et ordre dans IROperations sur les limites: Les formes indeterminees ettableaux recaputilatifs
3 Suites reelles monotones et consequences4 Suites adjacentes5 Suites extraites6 Suite de Cauchy7 Suite recurrente definie par une fonction8 Suites geometriques et arithmetiques
Suites arithmetiquesSuites geometriquesSuites arithmetico-geometrique
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Suite recurrente definie par une fonctionSuites geometriques et arithmetiques
DefinitionSuites explicitesSuites definies par recurrenceSuites bornees
Suites definies par recurrence
DefinitionSoit f une fonction de IR dans IR, et soit a un element de IR.On peut definir une suite (un)n≥0 de IR par :
La donnee de son terme initial u0 = a ;La relation de recurrence : ∀n ∈ IN, un+1 = f (un).
On dit alors que un est definie par recurrence.
Example1 u0 = 1 un+1 = 3un + 12 u0 = 1 un+1 = un +
√un
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DefinitionSuites explicitesSuites definies par recurrenceSuites bornees
REMARQUE :Si f n’est definie que sur une partie D de IR, il faut verifier, pourassurer l’existence de la suite que :
a ∈ D ;pour tout n de IN : un ∈ D ⇒ un+1 ∈ D.
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Plan1 Definitions et generalites
DefinitionSuites explicitesSuites definies par recurrenceSuites bornees
2 Limite d’une suite reelleDefinitions generalesProprietes des suites admettant une limiteLimites et ordre dans IROperations sur les limites: Les formes indeterminees ettableaux recaputilatifs
3 Suites reelles monotones et consequences4 Suites adjacentes5 Suites extraites6 Suite de Cauchy7 Suite recurrente definie par une fonction8 Suites geometriques et arithmetiques
Suites arithmetiquesSuites geometriquesSuites arithmetico-geometrique
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DefinitionSuites explicitesSuites definies par recurrenceSuites bornees
Suites bornees
DefinitionOn dit que un est majoree si et seulement si:
∃ M ∈ IR, ∀ n ∈ IN, un ≤ M
On dit que un est minoree si et seulement si:
∃ m ∈ IR, ∀ n ∈ IN, un ≥ m
On dit que un est bornee si et seulement si elle est a la foismajoree et minoree.
ATTENTION : M et m ne dependent pas de n.Noureddine MOUSSAID Les suites reelles
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DefinitionSuites explicitesSuites definies par recurrenceSuites bornees
Example
1 un = 1 +1
2n + 1est une suite majoree par 2 et minoree par 1, donc bornee
2 un = en
est une suite minoree par 0 et non majoree, donc n’est pasbornee.
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Suites extraitesSuite de Cauchy
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Definitions generalesProprietes des suites admettant une limiteLimites et ordre dans IROperations sur les limites: Les formes indeterminees et tableaux recaputilatifs
Plan1 Definitions et generalites
DefinitionSuites explicitesSuites definies par recurrenceSuites bornees
2 Limite d’une suite reelleDefinitions generalesProprietes des suites admettant une limiteLimites et ordre dans IROperations sur les limites: Les formes indeterminees ettableaux recaputilatifs
3 Suites reelles monotones et consequences4 Suites adjacentes5 Suites extraites6 Suite de Cauchy7 Suite recurrente definie par une fonction8 Suites geometriques et arithmetiques
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Definitions generalesProprietes des suites admettant une limiteLimites et ordre dans IROperations sur les limites: Les formes indeterminees et tableaux recaputilatifs
Limites d’une suite reelle
DefinitionOn dit que (un) tend vers +∞ (quand n tend vers +∞) si :
∀ A > 0, ∃ N ∈ IN, n ≥ N ⇒ un > A
On dit que (un) tend vers −∞ (quand n tend vers +∞) si :
∀ B > 0, ∃ N ∈ IN, n ≥ N ⇒ un < −B
On dit que (un) tend vers l (quand n tend vers +∞) si :
∀ ε > 0, ∃ N ∈ IN, n ≥ N ⇒ |un − l | < ε
On note limn→+∞
un = lNoureddine MOUSSAID Les suites reelles
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Definitions generalesProprietes des suites admettant une limiteLimites et ordre dans IROperations sur les limites: Les formes indeterminees et tableaux recaputilatifs
REMARQUE :Une suite peut tres bien ne posseder aucune limite.C’est le cas de la suite dite alternee, de terme general (−1)n.
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Definitions generalesProprietes des suites admettant une limiteLimites et ordre dans IROperations sur les limites: Les formes indeterminees et tableaux recaputilatifs
Suite convergente ou divergente
DefinitionSoit (un) une suite numerique.
On dit que (un) est convergente si elle admet une limitedans IR.Dans le cas contraire, on dit que (un) est divergente.
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Example
1 un =1n
limn→+∞
un = 0
2 un = (−1)n limn→+∞
un n’existe pas
3 un =1− n1 + n
limn→+∞
un = −1
4 un = n2 limn→+∞
un = +∞
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Example
Montrer a l’aide de la definition que limn→+∞
(1 +1n) = 1
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Unicite de la limite
PropositionLa limite d’une suite, lorsqu’elle existe, est unique.
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2 Limite d’une suite reelleDefinitions generalesProprietes des suites admettant une limiteLimites et ordre dans IROperations sur les limites: Les formes indeterminees ettableaux recaputilatifs
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Proposition
Toute suite convergente est bornee.
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REMARQUE :La reciproque est fausse comme le montre l’exemple de lasuite alternee de terme general (−1)n.
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Proposition
Si un est une suite bornee et vn est une suite de limite nullealors
limn→+∞
unvn = 0
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Example
1 un = sinn, vn =1n
, limn→+∞
unvn = limn→+∞
sinnn
= 0
2 un = n, vn =1n
, limn→+∞
unvn = limn→+∞
n.1n6= 0
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2 Limite d’une suite reelleDefinitions generalesProprietes des suites admettant une limiteLimites et ordre dans IROperations sur les limites: Les formes indeterminees ettableaux recaputilatifs
3 Suites reelles monotones et consequences4 Suites adjacentes5 Suites extraites6 Suite de Cauchy7 Suite recurrente definie par une fonction8 Suites geometriques et arithmetiques
Suites arithmetiquesSuites geometriquesSuites arithmetico-geometrique
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Proposition
Soit un et vn deux suites reelles de limites respectives l et l ′.S’il existe un entier n0 tel que (n ≥ n0 → un ≤ vn), alors l ≤ l ′.
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REMARQUES :L’inegalite devient large par passage a la limite.(n ≥ n0 → un < vn), alors l ≤ l ′
Cas particulier : Si (n ≥ n0 → un ≤ λ), alors l ≤ λ
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Proposition
Soit un une suite numerique telle que limn→+∞
un = l .
1 Si a < l alors ∃ N > 0, n > N ⇒ a < un
2 Si b > l alors ∃ N > 0, n > N ⇒ b > un
3 Si a < l < b alors ∃ N > 0, n > N ⇒ a < un < b
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Proposition
Soit un une suite numerique telle que limn→+∞
un = l .
1 Si il existe N tel que ∀ n > N, un < a alors l ≤ a2 Si il existe N tel que ∀ n > N, un > b alors l ≥ a3 Si il existe N tel que∀ n > N, a < un < b alors a ≤ l ≤ b
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Theoreme des gendarmes
Proposition
Soit (un), (vn) et (wn) des suites reelles telles quevn ≤ un ≤ wn.
1 Si limn→+∞
vn = limn→+∞
wn = l alors limn→+∞
un = l
2 Si limn→+∞
vn = +∞ alors limn→+∞
un = +∞
3 Si limn→+∞
wn = −∞ alors limn→+∞
un = −∞
Example
Soit (un) une suite definie par un = E(n)n , calculer lim
n→+∞un
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Suites telles que | un+1un|< l < 1
Proposition
Soit (un) une suite de reels non nuls. On suppose qu’il existeun reel tel que pour tout entier naturel n (ou seulement a partird’un certain rang) on ait :
| un+1
un|< l < 1, Alors lim
n→+∞un = 0.
Example
Soit (un) une suite definie par un = 1x3x5....(2n+1))1x4x7....x(3n+1) , calculer
limn→+∞
un
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Plan1 Definitions et generalites
DefinitionSuites explicitesSuites definies par recurrenceSuites bornees
2 Limite d’une suite reelleDefinitions generalesProprietes des suites admettant une limiteLimites et ordre dans IROperations sur les limites: Les formes indeterminees ettableaux recaputilatifs
3 Suites reelles monotones et consequences4 Suites adjacentes5 Suites extraites6 Suite de Cauchy7 Suite recurrente definie par une fonction8 Suites geometriques et arithmetiques
Suites arithmetiquesSuites geometriquesSuites arithmetico-geometrique
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Definitions generalesProprietes des suites admettant une limiteLimites et ordre dans IROperations sur les limites: Les formes indeterminees et tableaux recaputilatifs
Addition
limn→+∞
un l l ±∞ ±∞lim
n→+∞vn l ′ ±∞ ±∞ ∓∞
limn→+∞
(un + vn) l + l ′ ±∞ ±∞ FI
F.I. : Forme Indeterminee
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Produit
limn→+∞
un l l > 0 l < 0 0 ±∞ ±∞lim
n→+∞vn l ′ ±∞ ±∞ ±∞ ±∞ ∓∞
limn→+∞
(un × vn) l × l ′ ±∞ ∓∞ FI +∞ −∞
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Quotient
limn→+∞
un l l 6= 0 0 l ±∞lim
n→+∞vn l ′ 6= 0 0 0 ±∞ ±∞
limn→+∞
un
vn
ll ′
±∞ FI 0 FI
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Suite monotone
DefinitionSoit (un) une suite reelle.
1 (un) est dite croissante (resp. strictement croissante) ssi∀ n ∈ IN un+1 ≥ un (resp. ∀ n ∈ IN un+1 > un)
2 (un) est dite decroissante (resp. strictement decroissante)ssi ∀ n ∈ IN un+1 ≤ un (resp. ∀ n ∈ IN un+1 < un)
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Monotonie et convergence
Proposition
Soit (un) une suite croissante.1 (un) est majoree⇔ (un) converge.2 (un) est non majoree⇒ lim
n→+∞un = +∞
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Monotonie et convergence
Proposition
Soit (un) une suite decroissante.1 (un) est minoree⇔ (un) converge.2 (un) est non minoree⇒ lim
n→+∞un = −∞
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Monotonie et convergence
Example
1 un =n∑
k=1
1n + k
2 un =n∑
k=1
1k
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Suites adjacentes
DefinitionSoient (un)n et (vn)n deux suites reels. On dit que (un)n et (vn)nsont adjacentes si est seulement si
X (un) est croissante et (vn) est decroissante,X ∀n ≥ 0,un ≤ vn.X (un − vn))n tend vers 0 quand n tend vers +∞.
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Suites adjacentes
TheoremSi les suites (un)n et (vn)n sont adjacentes, elles convergentvers la meme limite.
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Suites extraites
DefinitionSoit (un) une suite numerique. On dit que (vn) est une suiteextraite (ou sous-suite) de (un) ssi il existe une application
ϕ : IN→ IN
strictement croissante telle que vn = uϕ(n)
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Suites extraites
Example1 u2n u3n+1 un2 u6n+13 sont des suites extraites.2 u1/n u−n2−3n u−3n−1/2 ne sont pas des suites extraites.
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Suites extraites
Proposition
Soit (un) une suite numerique telle que limn→+∞
un = l , alors toute
sous suite de (un) converge vers la meme limite l.
REMARQUE :Dans la pratique, pour montrer qu’une suite diverge, on utilisela contraposee de la proposition.
S’il existe deux sous-suites de (un) de limites differentes,alors la suite (un) diverge. un = (−1)n et un = cos(nπ/2)S’il existe une sous-suite de (un) divergente, alors la suite(un) diverge. un = (n)n
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Suites extraites
Proposition
Soit (un) une suite numerique telle que limn→+∞
un = l , alors toute
sous suite de (un) converge vers la meme limite l.
REMARQUE :Dans la pratique, pour montrer qu’une suite diverge, on utilisela contraposee de la proposition.
S’il existe deux sous-suites de (un) de limites differentes,alors la suite (un) diverge. un = (−1)n et un = cos(nπ/2)S’il existe une sous-suite de (un) divergente, alors la suite(un) diverge. un = (n)n
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Suites extraites
Proposition
Soit (un) suite numerique1 Si (u2n) et (u2n+1) convergent vers la meme limite l alors
(un) converge vers la limite l.
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Theoreme de Bolzano-weistrass
TheoremDe toute suite bornee on peut extraire une sous-suiteconvergente.
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Critere de Cauchy
Definitionsoit (un) suite numerique, on dit que (un) est une suite deCauchy ssi
∀ ε > 0, ∃ N(ε) > 0, ∀ p,q > N(ε) |up − uq| < ε
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Suite recurrente definie par une fonctionSuites geometriques et arithmetiques
Proposition
Pour montrer qu’une suite (Un)n∈IN est de Cauchy, il suffit demontrer qu’elle verifie l’assertion suivante:
∀ ε > 0, ∃ N(ε) > 0, ∀ n > N(ε), ∀ p > 0 |un+p − un| < ε
Proposition1 Toute suite de Cauchy est bornee.2 (un) est de Cauchy si et seulement si (un) est convergente.
Noureddine MOUSSAID Les suites reelles
Definitions et generalitesLimite d’une suite reelle
Suites reelles monotones et consequencesSuites adjacentes
Suites extraitesSuite de Cauchy
Suite recurrente definie par une fonctionSuites geometriques et arithmetiques
Suites recurente
DefinitionSoit f : IR→ IR une fonction. Une suite recurrente est definiepar son premier terme et une relation permettant de calculerles termes de proche en proche :
u0 ∈ IR et un+1 = f (un) pour n ≥ 0.
La suite s’ecrit ainsi :u0, u1 = f (u0), u2 = f (u1) = f (f (u0)), u3 = f (u2) =f (f (f (u0))), . . .
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Suites recurente : Cas d’une fonction croissante
Commencons par remarquer que pour une fonction croissante,le comportement de la suite (un) definie par recurrence estassez simple :
Si u1 ≥ u0 alors (un) est croissante.Si u1 ≤ u0 alors (un) est decroissante.
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Suites recurente : Cas d’une fonction croissante
Proposition
Si f : [a,b]→ [a,b] une fonction continue et croissante, alorsquelque soit u0 ∈ [a,b], la suite recurrente (un) est monotone etconverge vers l ∈ [a,b] verifiant f (l) = l .
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Suites recurente : Cas d’une fonction croissante
Afin de determiner la limite l de la suite (un) on doit la localiserpar:
♣ Determiner un intervalle [a,b] stable par f(f ([a,b]) ⊂ [a,b] qui contient les termes de lasuite.
♣ Determiner les points fixes de f .
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Suites recurente : Cas d’une fonction croissante
Soit (un) la suite definie par
u0 = 1
un+1 =√
2 + un pour n ≥ 1.
♣ Montrer que la suite (un) est croissante et majoreepar 2.
♣ Calculer limn→+∞
un.
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Suites recurente : Cas d’une fonction decroissante
Si f : [a,b]→ [a,b] est une fonction continue et decroissante.Soit U0 ∈ [a,b] et la suite recurrente (Un) definie parUn+1 = f (Un).Alors
g = f ◦ f est croissante.On definit deux nouvelles suites (Vn) et (Wn) par:
V0 = U0, Vn+1 = g(Vn) ⇒ Vn = U2n, (1)
W0 = U1, Wn+1 = g(Wn) ⇒Wn = U2n+1. (2)
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Suites recurente : Cas d’une fonction decroissante
1 Si les deux suites (Vn) et (Wn) sont convergentes vers lameme limitel = f ◦ f (l), alors la suite (Un) converge aussi vers l .
2 Sinon, la suite (Un) diverge.
Remarque:La sous-suite (u2n) converge vers une limite l verifiantf ◦ f (l) = l .La sous-suite (u2n+1) converge vers une limite l ′ verifiantf ◦ f (l ′) = l ′.
Il se peut que l= l ′ ou l 6= l ′.Noureddine MOUSSAID Les suites reelles
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Suites recurente : Cas d’une fonction decroissante
Remarque:Pour etudier la convergence d’une suite recurrenteUn+1 = f (Un), on suit les etapes suivantes:
Determiner un intervalle stable par f pour deduire que lasuite est bien definie.Etudier la monotonie de la fonction f .Determiner les points fixes de f .
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Suites recurente : Cas d’une fonction decroissante
Exercice:On considere la suite (Un) definie par{
U0 = 1Un+1 = 1 + 1
Un∀n ∈ N
1 Etudier la monotonie des deux sous-suites (U2n)n et(U2n+1)n.
2 Montrer que ∀n ∈ IN,
U2n ≤ U2n+1.
3 Determiner un intervalle [a,b] tel que ∀n ∈ IN, Un ∈ [a,b].Verifier que f ([a,b]) ⊂ [a,b].
4 Deduire la convergence de la suite (Un)n.Noureddine MOUSSAID Les suites reelles
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Suites arithmetiquesSuites geometriquesSuites arithmetico-geometrique
Plan1 Definitions et generalites
DefinitionSuites explicitesSuites definies par recurrenceSuites bornees
2 Limite d’une suite reelleDefinitions generalesProprietes des suites admettant une limiteLimites et ordre dans IROperations sur les limites: Les formes indeterminees ettableaux recaputilatifs
3 Suites reelles monotones et consequences4 Suites adjacentes5 Suites extraites6 Suite de Cauchy7 Suite recurrente definie par une fonction8 Suites geometriques et arithmetiques
Suites arithmetiquesSuites geometriquesSuites arithmetico-geometrique
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Suite arithmetique
DefinitionOn dit que un est une suite arithmetique, de raison r ∈ IR et depremier terme u0, si un verifie la relation de recurrence :
un+1 = un + r .
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Terme general d’une suite arithmetique
On a :un = u0 + nr .
D’une maniere generale, on a :
un = up + (n − p)r .
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Somme des n premiers termes d’une suitearithmetique
Soit un une suite arithmetique de raison r et de premier termeu0, on note Sn la somme des n premiers termes. On a :
Sn = n(u0 + un−1
2).
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Limite d’une suite arithmetique
PropositionLa suite un = u0 + nr
1 Diverge vers +∞ si et seulement si r > 0.2 Diverge vers −∞ si et seulement si r < 0.
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Suite geometrique
DefinitionOn dit que un est une suite geometrique, de raison q ∈ IR et depremier terme u0, si un verifie la relation de recurrence :
un+1 = qun.
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Terme general d’une suite geometrique
On a :
un = qnu0.
D’une maniere generale, on a :
un = q(n−k)uk .
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Somme des n premiers termes d’une suitegeometrique
Soit un une suite geometrique de raison q et de premier termeu0, on note Sn la somme des n premiers termes.
Sn = u01− qn
1− q.
En particulier, on a:
n−1∑k=m
qk = qmn−1−m∑
k=0
qk = qm 1− qn−m
1− q.
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Limite d’une suite geometrique
Proposition
La suite un = qnu0
1 Converge vers 0 si et seulement si |q| < 1.2 Converge vers u0 si et seulement si q = 1.3 Diverge vers +∞ si et seulement si q > 1.4 Ne possede pas de limite si et seulement si q ≤ −1.
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DefinitionSuites explicitesSuites definies par recurrenceSuites bornees
2 Limite d’une suite reelleDefinitions generalesProprietes des suites admettant une limiteLimites et ordre dans IROperations sur les limites: Les formes indeterminees ettableaux recaputilatifs
3 Suites reelles monotones et consequences4 Suites adjacentes5 Suites extraites6 Suite de Cauchy7 Suite recurrente definie par une fonction8 Suites geometriques et arithmetiques
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Suites arithmetico-geometrique
DefinitionOn dit que un est une suite arithmetico-geometrique, toute suitede la forme un+1 = aun + b.
1 Si b = 0 c’est une suite geometrique de raison a.2 Si a 6= 1, alors la suite vn = (un − b
1−a) est une suitegeometrique de raison a .
3 Si a = 0 c’est une suite constante .
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