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[LE,RO]1 [LO] [RE]

Técnicas y Conceptos Básicos de Matemáticas.

Luis Cornelio Recalde Doris Hinestroza Jairo AlvarezMiguel Marmolejo Ernesto Acosta

11 de diciembre de 2007.

Contenido

1. LÓGICA Y CONJUNTOS 11.1. LA LÓGICA SIMBÓLICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Lenguaje cotidiano, Lógica y Lenguaje matemático . . . . . . . . . 11.1.2. Estructura Lógica de los Argumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3. Lógica Proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. LÓGICA DE PREDICADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.1. Algunas simbolizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.2. Otras simbolizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.3. Negación de los cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.1. Demostración directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3.2. Método del contrarrecíproco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.3. Método de demostración por contradicción o reducción al absurdo . 31

1.4. NOCIONES FUNDAMENTALES DE CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . 331.4.1. Sobre la definición de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.4.2. Cómo Referirse a Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.4.3. Principios básicos para la formación de conjuntos . . . . . . . . . . 351.4.4. Operaciones con Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.4.5. La intersección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.4.6. La diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.4.7. Complemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.4.8. El producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.4.9. Conjuntos coordinables, relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.4.10. Los Conjuntos de Números N, Z, Q, I, R, C . . . . . . . . . . . . . 48

2. LOS NÚMEROS REALES COMO SISTEMA MATEMÁTICO 612.1. LOS NÚMEROS COMO RESULTADO DE LA ACTIVIDAD DE MEDIR

Y CONTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS REALES . . . 64

2.2.1. La Recta Numérica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.2.2. Mediciones y Numerales Decimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.2.3. Aproximación de Números Reales por Racionales. . . . . . . . . . . 752.2.4. El Sistema binario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

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iv CONTENIDO

2.3. ESTRUCTURA ALGEBRAICA DE LOS NÚMEROS REALES . . . . . . 832.3.1. Componentes del Sistema Matemático de los Números Reales. . . . 832.3.2. La Estructura Algebraica de los Números Reales. . . . . . . . . . . 832.3.3. Inversos y Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.3.4. Algunos Teoremas sobre los Números Reales . . . . . . . . . . . . . 902.3.5. Potencias Enteras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.4. ESTRUCTURA DE ORDEN DE LOS NÚMEROS REALES . . . . . . . . 1012.4.1. Los Axiomas de Orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.4.2. Intervalos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.4.3. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.4.4. Valor Absoluto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.4.5. Propiedad del Superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102.4.6. La existencia de raíces n-ésimas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2.5. SISTEMAS MATEMÁTICOS Y SUBSISTEMAS DE LOS REALES . . . . 1222.5.1. El Subsistema de los Números Racionales (Q,+, x,<). . . . . . . . 1222.5.2. El Subsistema de los Números Enteros ( Z, +> x, <). . . . . . . . . 1232.5.3. Principio de inducción matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.6. SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1262.6.1. El Símbolo

P(El símbolo sumatoria) . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

2.6.2. Sucesiones Numéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282.6.3. Progresiones aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292.6.4. Progresiones Geométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312.6.5. Sumas de un número infinito de términos. Series Numéricas. . . . . 133

2.7. EXPONENCIACIÓN Y LOGARITMACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . 1392.7.1. Radicales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1392.7.2. Exponentes Racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1412.7.3. Exponentes Reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1442.7.4. Logaritmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1492.7.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

2.8. NÚMEROS COMPLEJOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1622.8.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1622.8.2. El Sistema de los Números Complejos; . . . . . . . . . . . . . . . . 1632.8.3. Representación Geométrica de los Números Complejos. . . . . . . . 167

3. ALGEBRA 1753.1. EL OBJETO DEL ÁLGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1753.2. EXPRESIONES MATEMÁTICAS VARIABLES . . . . . . . . . . . . . . . 179

3.2.1. Tipos de Expresiones Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1813.2.2. Operaciones con Expresiones Variables . . . . . . . . . . . . . . . . 1833.2.3. Suma y Resta de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1843.2.4. Productos de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

3.3. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN . . . . . . . . . . . . . . 1863.4. EL TEOREMA DEL BINOMIO. NÚMEROS COMBINATORIOS . . . . . 191

CONTENIDO v

3.5. OPERACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES Y VARIABLESEN GENERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1953.5.1. Racionalización de Denominadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993.5.2. DIVISIÓN DE POLINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2053.5.3. El Algoritmo de la División . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2073.5.4. La División Sintética (Regla de Rufini) . . . . . . . . . . . . . . . . 2103.5.5. El Teorema del Residuo y el Teorema del Factor. . . . . . . . . . . 2123.5.6. El Teorema Fundamental del Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 2143.5.7. Ceros Racionales de un Polinomio con Coeficientes Enteros . . . . . 218

3.6. ECUACIONES E INECUACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2243.6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2243.6.2. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2273.6.3. Ecuaciones Equivalentes. Transformación de Ecuaciones . . . . . . . 2303.6.4. Tipos de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2353.6.5. Solución de Algunas Ecuaciones Típicas . . . . . . . . . . . . . . . 2363.6.6. Solución de Ecuaciones Fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . 2423.6.7. Solución de Otros Tipos de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . 2433.6.8. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

4. FUNCIONES NUMÉRICAS 2594.1. EL DESARRO HISTORICO DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN . . . . . . 2594.2. DEFINICIÓN GENERAL DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN . . . . . . . 2604.3. DIVERSAS REPRESENTACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

4.3.1. Representación Simbólica Abstracta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2644.3.2. Representación Algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2654.3.3. Representación Sagital: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2654.3.4. Representación Tabular: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2674.3.5. Representación de Pares Ordenados definidos por extensión . . . . . 2674.3.6. Representación de pares ordenados por comprensión . . . . . . . . . 2684.3.7. Representación Cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

4.4. DIFERENTES TIPOS DE FUNCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2724.5. CALCULO DEL DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN . . . . . . . 2734.6. CLASES DE FUNCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

4.6.1. Funciones sobreyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2744.6.2. Funciones Inyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2744.6.3. Funciones Biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

4.7. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2754.8. FUNCIONES INVERSAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2774.9. FUNCIONES NUMÉRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

4.9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2834.9.2. Álgebra de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2844.9.3. Gráfica de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2854.9.4. Límites de una función. Asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

vi CONTENIDO

4.9.5. Transformación de gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3024.9.6. Crecimiento y decrecimiento de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 309

4.10. FUNCIONES POLINÓMICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3184.10.1. Funciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3184.10.2. Funciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

4.11. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS . . . . . . . . . . . 3274.11.1. Funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3284.11.2. Funciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

4.12. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3324.12.1. El origen de la trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3324.12.2. Medida de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3324.12.3. Relaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3344.12.4. Definición de las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . 3364.12.5. Inversas de las Funciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . 3424.12.6. Identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

Capítulo 1

LÓGICA Y CONJUNTOS

1.1. LA LÓGICA SIMBÓLICA

1.1.1. Lenguaje cotidiano, Lógica y Lenguaje matemático

Durante las primeras sesiones vamos a discutir algunos aspectos de la lógica conel propósito de familiarizarnos con los razonamientos típicos usados matemáticas.Precisaremos las nociones básicas que rigen la deducción tales como proposiciones,axiomas y teoremas. En este sentido, estableceremos distancia entre la manera como sevalidan los razonamientos cotidianos, que aparecen en nuestras relaciones interpersonales,y aquellos que pertenecen al ámbito matemático. Sin embargo, es conveniente aclarar quelos procesos lógicos no pertenecen exclusivamente a las matemáticas, ellos son elementosinmersos en nuestra cultura; forjados por la humanidad en largos períodos de tiempo.Cada uno de nosotros tiene ideas sobre la lógica y su uso, incluso sin haber abordado

estudios formales sobre el tema. Expresiones como “eso no es lógico”, “lógicamente”,“póngale lógica al asunto”, evidencian la presencia de una lógica que hace parte de nuestravida cotidiana. En palabras de Estanislao Zuleta:

La lógica no es una alternativa por la que podamos optar; no podemos decirsi vamos a emplearla o no. Resulta inevitable y está presente en cada fraseque pronunciamos ya que continuamente estamos enunciando proposicioneslógicas. Cuando decimos por ejemplo que algo es necesario, que una cosadepende de otra, cuando indicamos una contradicción o una imposibilidad, unaimplicación o una dependencia, estamos haciendo lógica, aunque no seamosconscientes de ello 1.

¿Qué es entonces la Lógica? No es fácil precisar una respuesta absoluta y universal aeste interrogante. En general, se acepta que la Lógica tiene por objeto el estudio de los

1Estanislao Zuleta (Medellín, 1935. Cali, 1990). Eminente filosósofo, profesor de la Universidad delValle. Fue un autodidacta infatigable que mantuvo una honda preocupación por la problemática socialy educativa en Colombia. La mayoría de sus publiciones corresponden a conferencias y clases que congran maestría impartía en la Universidad del Valle. Este parrafo corresponde a un fragmento de su libroLógica y crítica.

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2 1. LÓGICA Y CONJUNTOS

métodos y principios que permiten distinguir entre los buenos argumentos (argumentoscorrectos o argumentos válidos) y los malos argumentos (argumentos no correctos oargumentos inválidos).Cuando fijamos una posición o defendemos nuestras ideas, recurrimos a un

razonamiento o presentamos evidencia que respalda nuestras opiniones. Este razonamientoo evidencia presentada con el propósito de demostrar algo es un argumento. La cuestiónfundamental es determinar cuando un argumento es correcto o no.Es importante señalar que los estudios de lógica no nos proporcionan un método

universal para determinar si un argumento cualquiera es correcto o no. Tampoco existenfórmulas mágicas que nos revelen todos los secretos del buen razonamiento. Sin embargo,los estudios apropiados de la lógica nos proveen de muchas técnicas y métodos deverificación que han probado ser eficaces.

Definicion: En general un argumento está formado por un conjunto de una o másoraciones. La última de ellas se denomina conclusión; las anteriores se llaman premisas.

Intuitivamente, las premisas son la evidencia o razones que nos deben convencer dela veracidad de la conclusión. El argumento es la concatenación de las premisas con laconclusión.La lógica formal trata del estudio sistemático de los argumentos. La lógica formal

garantiza métodos seguros para la argumentación. Por ejemplo, en el argumento siguiente,en el cual la conclusión se ha separado de las dos premisas por medio de la linea horizontal,no se requiere más que el significado de términos como “todos”, y “es”, para aceptar quela conclusión es correcta; es decir, que el argumento es correcto.

Todos los filósofos griegos son conspicuosTeofrasto es un filósofo griegoLuego,Teofrasto es conspicuo

Podremos asegurar que cualquier argumento que presente la misma forma es unargumento correcto. Por ejemplo:

Todos los futbolistas son presumidosRonaldinho es futbolistaLuego, Ronaldinho es presumido

Obsérvese que la forma del argumento garantiza la validez del mismo, a pesar deldesconocimiento que se pueda tener acerca de los términos empleados en el mismo.Una generalización de los argumentos anteriores podria ser:

1.1. LA LÓGICA SIMBÓLICA 3

Todos los elementos de A son elementos de Bx es un elemento de A.Luego, x es un elemento de B.

Esta breve ilustración profiere gran aceptación a la definición “la lógica formal es laciencia que estudia la forma de los argumentos”.

1.1.2. Estructura Lógica de los Argumentos

Analicemos el siguiente argumento:

Todas las flores son rojas.Las margaritas son floresLuego las margaritas son rojas

Es un argumento igual al presentado en el ejemplo anterior, pues sigue los mismosdelineamientos; decimos que tiene la misma forma o estructura lógica. Formalmentehablando, debemos aceptar que también es correcto. Sin embargo, nos molesta el hechode que en el contexto habitual las margaritas no son rojas. Esto no debe confundirnos nipreocuparnos; una cosa es el proceso argumentativo y otra cosa es el significado de lo quese expresa en las premisas y en la conclusión. Saquemos nuestro primer principio de lalógica formal:

Lo correcto o no de un argumento depende de la forma en que se relacionanlas oraciones que los componen sin importar su significado.

El siguiente argumento (que es el mismo que hemos venido usando) es correcto, aunqueno sabemos ni pío de lo que se habla.

Todos los fulanos son menganoszutano es fulanoLuego, zutano es mengano

En este texto estudiaremos sólo una forma muy particular de argumentos; aquellossustentados desde la lógica clásica. A continuación iniciaremos un itinerario conceptualpor algunos aspectos de esta lógica.


1.1.3. Lógica Proposicional

La lógica proposicional trata acerca de las proposiciones.

Definicion: Una proposición es todo auqello que se expresa en un enunciado. Unenunciado es una oración declarativa que, expresada en un contexto particular, tienesentido preguntarse si es falso o verdadero.

Ejemplos:

1. La frase “Picasso pintó el Guernica” es un enunciado.

2. Las frases “¿Pintó Picasso el Guernica?”, y “Quiero aprender matemáticas” no sonenunciados.

Una proposición puede ser expresada por diferentes enunciados; por ejemplo: “JulioCésar fue asesinado por Bruto” y “Bruto asesinó a Julio César” expresan lo mismo.Más aún, un enunciado puede expresar diferentes proposiciones, de acuerdo al contexto

donde se presente; por ejemplo la frase “hoy es viernes” puede ser falsa o verdadera,dependiendo del día en que se enuncie. En matemáticas no nos interesan este tipo deproposiciones, ni aquellas que varíen de acuerdo a los cambios de lugar o de temperatura.A pesar de la dificultad misma de definir, en un contexto particular, los conceptos de

verdad y falsedad, una frase es una proposición cuando es posible darle una de estas dosasignaciones. En ocasiones ni siquiera tenemos una manera que nos permita escoger entrelas dos asignaciones de manera precisa, pero sabemos que se da una de ellas. Con estoqueremos decir que hay proposiciones verdaderas cuya verdad ignoramos. Esto significaque una cosa es el valor de verdad de una proposición (el que sea verdadera o falsa) yotra el conocimiento que tenemos de este valor de verdad.

Ejemplos:

1. La capital de Colombia es Caracas.

2. 2+3=5

3. El caballo es un animal mamífero y la gallina un animal ovíparo.

4. La ecuación x+ 4 = 6 tiene por solución x = 2.

5. 3 > 10

6. En una galaxia, diferente a la Vía Láctea, hay vida inteligente

Son ejemplos de proposiciones; la primera y la quinta son falsas, la segunda, terceray cuarta son verdaderas; la sexta es verdadera o falsa, pero no estamos en condiciones dedecidir cual asignación le corresponde.


Clasificación de las proposiciones

En lógica distinguimos dos tipos de proposiciones: simples o atómicas y compuestas omoleculares.las proposiciones atómicas son aquellas que corresponden a frases simples, careciendo

de términos de enlace o conectivos; por ejemplo:

1. La tierra es un planeta

2. El rio Nilo pasa por Egipto

Las proposiciones moleculares se componen de dos o más proposiciones simples ligadasa través de conectivos lógicos. En nuestro caso utilizarmos los siguientes conectivos lógicos.

a) “no es cierto que” [negación]b) “y” [conjunción]c) “o” [disyunción]d) “si, entonces” [condicional]e) “si y sólo si” [bicondicional]

La negación es un conectivo que no enlaza proposiciones, sino que “actúa"sobre unaproposición cambiándole el sentido y formando otra. En el lenguaje corriente este conectivose expresa mediante los términos: “no es cierto que”, “no ocurre que”, “no sucede que”,“es falso que”, o simplemente, “no”. Por ejemplo:

1. No es cierto que Homero no haya escrito la Iliada

2. El petroleo no es un hidrocarburo

3. No todos los colombianos cuentan con un empleo digno

La conjunción enlaza dos o más enunciados a través de términos como “y”, “sinembargo”, “pero”, “aunque”, “además”, . . . También el punto seguido y el punto y comase interpretan, en ocasiones, como conjunciones. Por ejemplo:

1. México es un país sudamericano y España es un país europeo.

2. Las rosas son rojas; las margaritas son amarillas.

3. El dos es número par, pero también es un número primo.

4. Las matemáticas alegran la vida, pero también nos hace mejores ciudadanos.

Es conveniente advertir que la presencia de la “y” no implica automáticamente queel enunciado sea compuesto, tal es el caso de la frase: “Efraín y María representan elprototipo del amor romántico.”Cuando dos proposiciones se combinan insertando el vocablo “o” se consigue una

proposición compuesta denominada disyunción. Las disyunciones pueden ser de dos tipos:inclusivas y exclusivas. En las exclusivas se interpreta que sólo uno de los enunciados secumple, mientrás que en las inclusivas se pueden dar los dos casos. Por ejemplo:


1. Colombia es una democracia o es una dictadura.

2. Pitágoras fue un científico o fue un filósofo.

3. Estoy vivo o estoy muerto.

4. O el dos es un número par o es un número primo.

Las proposiciones 1 y 3 son exclusivas, mientras que las proposiciones 2 y 4 soninclusivas.El conectivo condicional se utliza cuando aparece la acción de consecuencia. También

se denomina implicación. El condicional aparece enlazando dos proposiciones llamadasantecedente y consecuente, a través de las expresiones “si . . . entonces. . . ”, “siempre que”,“luego”, “si”, . . . según los esquemas:

1. si [antecedente], entonces [consecuente]: Si los satélites son planetas, entonces soncuerpos opacos.

2. [antecedente], luego [consecuente]: Maradona es Argentino, luego es un hombresencillo

3. [consecuente], si [antecedente]: Un estudiante gana una matería si su promedio esmayor o igual a 3

4. [consecuente] siempre que [antecedente]: Un cuerpo celéste es un planeta, siempreque no tenga luz propia..

Las implicaciones juegan un papel fundamental en los desarrollos lógicos, pues es através de éstas que se intenta caracterizar el sentido de consecuencia lógica.El bicondicional se expresa mediante la expresión “si y sólo” e indica una relación de

doble condicional entre los enunciados. Por ejemplo:

1. Al hombre se le define como una animal político si y sólo si vive en sociedad.

2. En Colombia tendremos elecciones democráticas si y sólo si no hay fraude electoral.

Simbolización

Los argumentos que se expresan en lenguaje cotidiano, en general, presentanlas ambigüedades propias de su naturaleza. Las palabras utilizadas tienen diversasconnotaciones y las frases pueden recargarse de emociones, deseos o ilusiones. Estascuestiones, unidas a los giros idiomáticos, en muchas ocasiones hacen difícil establecersignificados precisos. Una misma frase puede significar cosas diferentes, dependiendo si sedice con ironía, placer o alegría.Con el fin de eludir las dificultades periféricas propias del lenguaje ordinario, las

ciencias han desarrollado lenguajes técnicos especializados. Estos lenguajes permiten


economía de espacio y de tiempo, lo cual repercute en una mejor descripción y comprensiónde los eventos.Actualmente la lógica ha desarrollado un sistema simbólico que permite exhibir con

claridad los argumentos, cuya formulación en lenguaje ordinario sería muy abstrusa. Laincorporación y el uso de símbolos especiales facilita la evaluación de los argumentos yaclara el funcionamiento de los procedimientos deductivos.Otro de los aspectos que sustentan la necesidad de un lenguaje especial tiene que ver

con la facilidad operativa. Por lo menos nadie discute la potencia del lenguaje algebraicoen la solución de ecuaciones. Aclaremos este aspecto a partir de un ejemplo. Se nos pidecalcular la edad del gran matemático griego Diofanto conociendo los siguientes datos desu vida que aparecen en su tumba:

Esta tumba contiene a Diofanto. !oh gran maravilla! Y la tumba dice conarte la medida de su vida. Dios hizo que fuera niño una sexta parte de su vida.Añadiendo un doceavo, las mejillas tuvieron la primera barba. Le encendió elfuego nupcial después de un séptimo, y en el quinto año después de la bodaconcedió un hijo. Pero, !ay! niño tardío y desgraciado, en la mitad de la medidade la vida de su padre, lo arrebató la helada tumba. Después de consolar supena en cuatro años con esta ciencia del cálculo, llegó al término de su vida.

Este problema, que se torna extremadamente difícil de solucionar siguiendo proced-imientos retóricos se vuelve sencillo si acudimos a la maquinaria algebraica. Si se designarpor x a la edad de Diofanto, el problema consistirá en solucionar la ecuación:

16x+ 1

12x+ 1

7x+ 5 + 1

2x+ 4 = x.

En esta dirección estudiaremos ahora la lógica proposicional desde una presentaciónsimbólica moderna.

Sintaxis

Para la constitución de un lenguaje simbólico es necesario partir de una serie de reglasclaras y sencillas, que nos permitan manejar de manera adecuada los enunciados propiosde la lógica. El lenguaje de la lógica proposicional está conformado por varios símbolos,algunos de los cuales aparecen a continuación:

Símbolo Nombre Observaciones( Paréntesis izquierdo) Paréntesis derecho∼ negación español: no∨ disyunción español: o∧ conjunción español: y→ condicional español: si...entonces←→ bicondicional español: si y sólo sip, q, ... Símbolos proposicionales


Cualquier cadena de estos símbolos, repetidos o no, es lo que, de manera genéricase denomina una palabra del lenguaje proposicional. Al igual que en el idioma españolno todas las palabras (constituidas como antes) tienen sentido. Los cinco símbolos ∼ ,∨, ∧, →, ←→ se llaman conectivos lógicos. Por ello es necesario precisar algunas reglassintácticas para obtener las fórmulas proposicionales ó fórmulas bien formadas: fbf.Las fórmulas bien formadas (fbf) se construyen de acuerdo a las siguientes reglas:

1. Los símbolos proposicionales son fbf.

2. Si α es una fbf, también lo es ∼ (α).

3. Si α y β son fbfs, también lo son (α) ∨ (β), (α) ∧ (β), (α)→ (β), (α)↔ (β).

4. Sólo son fbfs las que se obtienen por los pasos anteriores.

Ejemplos:

1. ∼ (p) es una fbf.

2. ∼ (p) ∧ (q) es una fbf. En este caso α = ∼ (p), β = (q).3. (∼ (p)∧ (q)→ (r)) es una fbf., donde α = ∼ (p)∧ (q), β = r. Podemos sólo escribir(∼ p ∧ q)→ r.

4. (∼ (p)∧(q)∨(r))→ (∼ (∼ (q)→ (r))) es una fbf, en la cual: α = (∼ (p)∧(q)∨(r)),β = (∼ (∼ (q)→ (r))). α se obtiene de α1 = ∼ (p), α2 = (q) ∨ (r), cada una de lascuales son fbfs. A su vez β se obtiene de β1 = ∼ (q)→ (r), y ésta de β2 = ∼ (q), yβ3 = (r).

5. La expresión p ∨ ∧q no es una fbf, pues no se puede obtener aplicando las reglasdadas antes. Igual con las expresiones s→ (q ∼) y (↔)(q ∨ p).

En general, las denominaremos fbf, fórmulas proposicionales o simplemente proposi-ciones.

Semántica: asignaciones de verdad

En la lógica clásica, que es donde estamos, se fijan dos valores alternativos; V : llamadoverdadero, y F : llamado falso.Una vez fijados los valores V y F se busca asignar un valor de verdad a cualquier

fórmula bien formada conociendo los valores de las fórmulas atómicas. Esto que parecieramuy difícil de lograr, es relativamente simple a través de un proceso recursivo. A partirde la asignación de valores de verdad a los símbolos proposicionales, incorporamos unasreglas para la negación, la disyunción, la conjunción, el condicional y el bicondicional, quenos permita asignarles un único valor a cada fbf. Estas reglas son las siguientes:En muchas ocasiones se utilizan las tablas de verdad como herramientas que nos

permiten visualizar las asignaciones para una fbf. de una manera sencilla, aunque enocasiones dispendiosa. A continuación presentamos algunas de estas tablas.


1. La negación

Si p es verdadera entonces ∼ p es falsa. Si p es falsa, ∼ p es verdadera. La tabla deverdad quedaría:

p ∼ pV FF V

2. La conjunción

p∧ q es verdadera si y sólo si p y q son ambas verdaderas. La tabla de verdad de p∧ q(conjunción) está dada por:

p q p ∧ qV V VV F FF V FF F F

3. La disyunción

p ∨ q es verdadera si y sólo si p es verdadera o q es verdadera. La tabla de verdad dep ∨ q (disyunción) está dada por:

p q p ∨ qV V VV F VF V VF F F

4. La implicación

La proposición p→ q, (p implica q), se conoce como proposición condicional; a p se lellama antecedente y a q consecuente. Se acostumbra con esta implicación decir que

p es condición suficiente para q;q es condición necesaria para p.

De las reglas anteriores, p→ q es falsa únicamente en el caso en que p es verdadera yq falsa. Su tabla de verdad está dada por:


p q p→ qV V VV F FF V VF F V

También podemos decir que p es la hipótesis y q es la conclusión o que de p se sigue q.El hecho de que la implicación sea verdadera cuando p sea falsa y q verdadera, indica quede una falsedad se puede concluir una verdad. En esta misma dirección, el hecho de quetambién la implicación es verdadera cuando p es falsa y q falsa, nos lleva a concluir que deuna fasedad se puede concluir otra falsedad. Vale la pena reiterar que estas asignacionesno excluyen cierta arbitrariedad, pues se pueden dar ejemplos que no concuerdencon tal valoración. Sin embargo, ellas constituyen una herramienta fundamental en laimplementación de algunos aspectos teóricos básicos de las matemáticas. En particularesta interpretación de la implicación nos permite sustentar formalmente que el conjuntovacío es subconjunto de todo conjunto.

5. La equivalencia

La proposición p ↔ q será verdadera si p y q son verdaderas o p y q son falsas. Sutabla de verdad está dada por:

p q p↔ qV V VV F FF V FF F V

Si asignamos los valores de verdad a un conjunto de letras proposicionales, quedandeterminados, de manera única, los valores de verdad para cada fórmula que contengaalgunas de estas letras.

Ejemplos:

Sea el conjunto de letras proposicionales: {p, q, r, s}; sea la asignación p = V, q = F,r = F y s = V. Para las fórmulas: α = (∼ p→ r)∨ (p∧ s) y, β = (q∧ ∼ s)↔ p, tenemosque α = V y β = F.

Definicion: A la proposición q → p se le llama la recíproca de la proposición p→ q.Obsérvese que la veracidad p → q no garantiza la de q → p; como lo muestra el

siguiente caso:


Ejemplos:La proposición x = 3 → x2 = 9, es verdadera, mientras que la recíproca: x2 = 9 →

x = 3, es falsa puesto que x = −3 implica x2 = 9 y 3 6= −3 .

Definicion: A la proposición ∼ q → ∼ p se le llama la contrarecíproca de laproposición p→ q.La proposición: ∼ (x2 = 9) →∼ (x = 3) , equivalente a, x2 6= 9 → x 6= 3. es la

contra recíproca de la primera proposición presentada en el ejemplo anterior. Obsérveseque esta proposición también es verdadera. Más adelante mostraremos que este resultadose cumple en general.

Tautologías

Una fórmula proposicional es una tautología si es verdadera para todas las asignacionesde verdad de las letras proposicionales que la componen.

Ejemplos:

1. La doble negación

p ∼ p ∼ (∼ p) p↔∼ (∼ p)V F V VF V F V

2. La proposición (p→ q)↔ (∼ p ∨ q) es una taulología.

p q ∼ p ∼ p ∨ q p→ q ( p→ q ) ↔ ( ∼ p ∨ q )V V F V V VV F F F F VF V V V V VF F V V V V

3. Análogamente la proposición ∼ (p→ q)↔ (p∧ ∼ q) es una taulología. En este casodiremos que las proposiciones ∼ (p → q) y (p∧ ∼ q) son lógicamente equivalentes,para lo cual utilizamos la desginación ∼ (p→ q) ≡ (p∧ ∼ q).

En términos generales, dos fbfs, α y β, son lógicamente equivalentes cuando tienen lamisma tabla de verdad.

EjemplosA partir de la tabla de verdad podemos determinar la tautología y por consiguiente

que las proposiciones p→ q y ∼ q →∼ p son equivalentes.


p q ∼ p ∼ q p→ q ∼ q →∼ p (p→ q)↔ (∼ q →∼ p)V V F F V V VV F F V F F VF V V F V V VF F V V V V V

Demuestrar que una fbf es una tautología a través de las tablas de verdad puederesultar bastante dispendioso, especialmente si se tienen muchos símbolos proposicionales.En el caso de 2 símbolos proposicionales se tienen 4 casos; para 3 símbolos se tienen 8casos y para 4 símbolos, 16 casos. En el fondo no se necesita dar todas las asignaciones;basta con tener en cuenta ciertos casos. Por lo menos para demostrar que una fbf no esuna tautología es suficiente mostrar una asignación que la haga falsa.

Ejemplos:

1. La proposición, ((p→ q)∧r)→ (q∧r) no es una tautología porque para la asignaciónp = F , q = F r = V , ella es falsa.

p q r (p→ q) ∧ r ((p→ q) ∧ r)→ (q ∧ r)F F V V F

2. Para mostrar que la proposición (p→ q)→ (∼ p∨q) es una tautología, supongamosque para una asignación ella es falsa.

De acuerdo a las reglas de asignación expuestas antes, tenemos que:(p→ q) sería verdadera y (∼ p ∨ q) falsa.(∼ p∨ q) es falsa cuando ∼ p es falsa y q falsa, o sea, cuando p es verdadera y q falsa.

Pero eso significa que p→ q sería falsa; lo cual no puede darse porque habíamos partidode que era verdadera. Por lo tanto, no podrá ser nunca falsa, sino todo lo contrario. Esosignifica que es una tautología.

Contradicción

Cuando una proposición siempre es falsa obtenemos una contradicción.

Ejemplos

1. Considerando la tabla de verdad de la proposición p ∧ ∼ p tenemos unacontradición.

p ∼ p p∧ ∼ pV F FF V F


2. En general es inmediato ver que si una proposición α es una tautología, entonces sunegación ∼ α es una contradición (y viceversa).

Razonamientos

Definicion: Un razonamiento está dado por una cadena de proposiciones P1, P2, ...Pn (premisas), y C (conclusión). Es usual la notación:

P1P2...Pn

C

para para representar un razonamiento. Los razonamientos pueden ser válidos(correctos) o no válidos (incorrectos). Decimos que el razonamiento anterior es válidosi la implicación, P1 ∧ P2 ∧ . . .∧ Pn → C es una tautologia. En caso contrario se dice queel razonamiento no lo es.Generalmente, un razonamiento se presenta escribiendo de manera horizontal las

premisas e identificando la conclusión.

Ejemplos

1. El razonamiento

p→ qpq

consta de dos premisas: las proposiciones p→ q y la proposición p ; la conclusión es q.Es un razonamiento válido puesto que ((p→ q) ∧ p)→ q es una tautología. Se denominaModus Ponendo Ponens.

2. El razonamiento,

p→ r∼ p∼ r

No es válido, puesto que ((p→ r)∧ ∼ p))→∼ r no es una tautología.Para efectos de hacer deducciones es pertinente fijar unas reglas de inferencia, las cuales

se toman como punto de partida para demostrar ó refutar cualquier razonamiento. Parala lógica proposicional es suficiente la de Modus Ponendo Ponens, sin embargo listaremosalgunas de las más usadas.


Regla 1 (PP) Regla 2 (TT)(Modus Ponendo Ponens) (Modus Tollendo Tollens)

p→ qpq

p→ q∼ q

∼ p

Regla 3 (TP)Modus Tollendo Ponens

p ∨ q∼ pq

p ∨ q∼ q

p

Regla 4 (S)Simplificación

p ∧ qp

p ∧ qq

Regla 5 (DN)Doble negación

∼ (∼ p)p

Regla 6 (A)Ley de Adjunción

pqp ∧ q

qpq ∧ p

Regla 7 (HS) Regla 8 (DP)Silogismo Hipotético Simplificación disyuntiva

p→ qq → rp→ r

p ∨ pp

Regla 9 (De Morgans)∼ (p ∧ q)∼ p∨ ∼ q

∼ (p ∨ q)∼ p∧ ∼ q

Regla 10Leyes conmutativas

p ∧ qq ∧ p

p ∨ qq ∨ p

Ejemplos

1. Demostrar la validez del siguiente razonamiento:


Pedro estudiará matemáticas o ingeniería.Pedro no estudiará matemáticas.Si Pedro estudia ingenieria, añorará las matemáticasPedro añorará las matemáticas

El primer paso es simbolizar las proposiciones atómicas:

p : Pedro estudiará matemáticasq : Pedro estudiará ingenierías : Pedro añorará las matemáticasAsí el razonamiento quedará:

p ∨ q∼ pq → ss

Ahora identifiquemos las premisas y la conclusión; usaremos las abreviaciones P paralas premisas y C para la conclusión.

P1 : p ∨ qP2 :∼ pP3 : q → sC : s

Una manera de validar este resultado es demostrar que,

((p ∨ q) ∧ (∼ p) ∧ (q → s))→ s

es una tautología. Sin embargo, este proceso resulta como ya se ha señalado un pocoabstruso debido a que debemos manejar tres variables y combinar valoraciones. En estecaso vamos a validar el razonamiento, descomponiendo en pasos simples la inferencia,para después unirlos.Paso 1

P1 : p ∨ qP2 :∼ pC1 : q

Resultado que se obtiene aplicando la Regla 3, TP.Paso 2

C1 : qP3 : q → sC : s


El cual se obtiene aplicando la Regla 1, PPEn general, cada paso no se hace independiente sino que se presenta integrado,

escribiendo al lado la explicación pertinente:

P1 : p ∨ qP2 :∼ pP3 : q → sP4 : q TP P1, P2C : s PP P3, P4

2. Se nos pide demostrar la validez del siguiente razonamiento:

Si aplico las reglas de inferencia y tengo cuidado, entonces gano el examen o me sientobien. Si me siento bien o no tengo cuidado, entonces no aplico las reglas de inferencia.Aplico las reglas de inferencia. Por lo tanto: gano el examen.

El primer paso es simbolizar las proposiciones atómicas:

p : aplico las reglas de inferenciaq : tengo cuidador : gano el examens : me siento bien.

A continuación, identificamos las premisas y la conclusión:

P1 : (p ∧ q)→ (r ∨ s)P2 : (s∨ ∼ q)→∼ pP3 : pC : r

Reiteramos que una manera de validar este resultado sería demostrar que

(((p ∧ q)→ (r ∨ s)) ∧ ((s∨ ∼ q)→∼ p) ∧ p)→ r

es una tautología.Usando las reglas de inferencia se seguiría el siguiente proceso:El razonamiento a validar será, entonces, el siguiente:

P1 : (p ∧ q)→ (r ∨ s)P2 : (s∨ ∼ q)→∼ pP3 : pC : r


Inicialmente se tiene:

P2 : (s∨ ∼ q)→∼ pP3 : p

C1 :∼ (s∨ ∼ q)

Resultado parcial que se obtiene aplicando la Regla 2, TT. A continuación se aplicala Regla 9, De Morgan.

C1 :∼ (s∨ ∼ q)

C2 :∼ s∧ ∼ (∼ q)

A partir de la anterior y aplicando la Regla 4, S obtendremos:

C2 :∼ s∧ ∼ (∼ q)

C3 :∼ (∼ q)

C2 :∼ s∧ ∼ (∼ q)C4 :∼ s

Usando la Regla 5, DN, obtenemos:

C3 :∼ (∼ q)C5 : q

Por la Regla 6, A obtenemos:

C5 : qP3 : pC6 : p ∧ q

Combinando esta última con P1 y aplicando Regla 1, PP llegamos a:

C6 : p ∧ qP1 : (p ∧ q)→ (r ∨ s)C7 : r ∨ s

Finalmanete obtenemos la conclusión aplicando la Regla 3, TP:

C7 : r ∨ sC4 :∼ sC : r

Presentando el razonamiento integrado quedará:


P1 : (p ∧ q)→ (r ∨ s)P2 : (s∨ ∼ q)→∼ pP3 : pP4 :∼ (s∨ ∼ q) TT P2, P3P5 :∼ s∧ ∼ (∼ q) De Morgans P4P6 :∼ (∼ q) Simplificación P5P7 : q Doble Negación P6P8 : p ∧ q Adjunción P3, P7P9 : r ∨ s MP P1, P8P10 :∼ s Simplificación P5C : r TP P9, P10

3. Lea con cuidado el siguiente razonamiento. El objetivo es mostrar que la conclusión esconsecuencia lógica de las premisas (P). Aplique algunas de las reglas de inferencias.

Si Júan tiene 17 años, entonces Juan tiene la misma edad de María. Si Carlos no tienela misma edad que Juan, entonces Carlos tiene edad diferente de la de María. Juán tiene17 años y Carlos tiene la misma edad que María. Por lo tanto, Carlos tiene la misma edadque Júan y Júan tiene la misma edad que María.

Simbolizando convenientemente obtenemos,

P1 : p→ q PremisaP2 : ∼ r →∼ s PremisaP3 : p ∧ s PremisaP4 : p Regla 4 P3P5 : q Regla 1 P4 y P1P6 : s Regla 4 P3P7 : r Regla 5 P2C : r ∧ q Regla 6 P7 y P5

Como se puede observar, hemos llegado a la conclusión que queríamos.

Ejercicios

1. Lea detenidamente el siguiente párrafo:

Si los mejores equipos de fútbol del mundo están en Colombiay América es el campeón de Colombia, entonces América es elmejor equipo de fútbol del mundo.Trate de convencer a su compañero más cercano de que la conclusiónes correcta.


2. Analice el enunciado: “America es el mejor equipo de Colombia”. ¿Considera quees una proposición?

3. ¿Considera que el enunciado: “todo número par es igual a la suma de dos impares”es una proposición?

4. Un número natural p, mayor que uno, es primo si y soló si sus únicos divisores sonél mismo y la unidad. ¿Considera que el enunciado: “todo número par es la sumade dos primos” es una proposición?

5. De los siguientes enunciados diga cuáles son proposiciones:

a. el triángulo es más grande que el círculo

b. Si dos rectas son paralelas se interceptan

c. x2 + 2 = 0

d. Si x2 = 0, entonces x = 2

6. Argumentar en favor o en contra del siguiente enunciado: “el éxito del proceso depaz en Colombia no sólo depende de los negociadores de la guerrilla y el gobiernosino de la existencia y puesta en prática de unas políticas de justicia social” es unaproposición verdadera.

7. ¿Cree usted que toda oración del lenguaje ordinario corresponde a una proposición?¿Es la oración: “Ojalá el deportivo Cali quede campeón del fúltbol colombiano”,una proposición?

8. Dar cinco ejemplos de proposiciones compuestas que den cuenta de conjunciones

9. Dar cinco ejemplos de proposiciones compuestas que den cuenta de disyunciones

10. Dar cinco ejemplos de proposiciones compuestas que den cuenta de implicaciones

11. ¿La oración: “estudié y fuí a cine ayer”, es simple o compuesta? ¿Cómo identificausted las oraciones simples de las compuestas?

12. Dar cinco ejemplos de fórmulas proposicionales construidas a partir de las letrasproposicionales p, q y r.

13. Si simbolizamos por;

p : “Ana María se levanta tarde”

q : “Juan se levanta temprano”

r : “La madre de Juan y Ana María está enojada”

Simboliza las proposiciones siguientes:

a. Si Juan se levanta temprano o Ana María se levanta tarde entonces la madre deellos no está enojada.


b. Si Juan no se levanta temprano y Ana María se levanta tarde entonces la madrede ellos está enojada.

c. Si Ana María no se levanta tarde entonces Juan no se levanta temprano.

d. O la madre de juan y Ana María no está enojada o Ana María no se levantatarde.

e. Ana María no se levanta tarde y Juan se levanta temprano entonces la madre deellos no está enojada

14. Demuestre que las siguientes fórmulas son también tautologías:

a. Reducción al absurdo

(p→ q)↔ ((p∧ ∼ q)→ (r∧ ∼ r))

b. Leyes De Morgan

∼ (p ∨ q)↔ (∼ p∧ ∼ q)

∼ (p ∧ q)↔ (∼ p∨ ∼ q).

15. Muestre la proposición ∼ (p→ q)↔ (p∧ ∼ q) es una taulología.

16. Responder

a. ¿Qúe es una tautología?

b. ¿Cúando dos proposiciones son equivalentes?

c. ¿Cuándo decimos que una proposición es una contradicción?

17. En los siguientes razonamientos demostrar que las conclusiones son consecuencialógica de las premisas dadas.

a. Si José es más alto que Pedro, entonces María es más baja que Juana. María noes más baja que Juana. Si José y Luis tienen la misma estatura entonces José esmás alto que Pedro. Por lo tanto José y Luis no tienen la misma estatura.

b. Si esta es una sociedad matriarcal, entonces el hermano de la madre es la cabezade familia. Si el hermano de la madre es cabeza de familia entonces el padre no tieneninguna autoridad. Esta es una sociedad matriarcal. Por lo tanto el padre no tieneninguna autoridad.

18. En los siguientes ejercicios las premisas están dadas en forma simbólica. Dé unadeducción completa de la proposición que se quiere demostrar.

Demostrar s Demostrar ∼ s∨ ∼ tP1 : ∼ t ∨ rP2 : ∼ s→∼ rP3 : t

P1 : ∼ r ∧ tP2 : s→ r

1.2. LÓGICA DE PREDICADOS 21

Demostrar p ∧ q Demostrar ∼ tP1 : qP2 : q →∼ sP3 : ∼ s→ tP3 : ∼ t ∨ p

P1 : ∼ pP2 : q∨ ∼ rP3 : q ↔ pP4 : t→ r

Demostrar ∼ g Demostrar ∼ r ∨ uP1 : f →∼ tP2 : ∼ f → (h→∼ g)P3 : (∼ i∨ ∼ h)→∼ (∼ t)P3 : ∼ i∨ ∼ dP3 : d ∧ h

P1 : ∼ s→ (t→ u)P2 : s ∨ (∼ r ∨ t)P3 : ∼ s

19. Coloque los paréntesis adecuadamente de tal manera que podamos obtener laconclusión.

a.p→ r ∧ q premisap→ r

b.p→ q ∧ r∼ q ∧ r∼ p

c.p ∧ r ∨ q premisap

1.2. LÓGICA DE PREDICADOS

En el lenguaje usual nos enfrentamos a expresiones cuya simbolización no puede seracogida por el cálculo proposicional; dentro de éstas, las más conocidas son los llamadossilogismos. Veamos uno; si se quiere, el más típico:

Todo hombre es mortalSócrates es hombreSócrates es mortal

Si usamos una simbolización dentro del cálculo proposicional, tendríamos un esquemade la forma:

pqr


el cual no permite obtener la conclusión como consecuencia lógica de las premisas.Para lograr este objetivo será necesario estudiar la estructura interna de las proposiciones.Provisionalmente emplearemos la representación:

Todo H es Ms es H,

que sugiere una visión conjuntista “todo elemento de H es un elemento de M”, ó loque es lo mismo “H es un subconjunto de M”, y como “s es un elemento de H”, tenemospor conclusión que “s es un elemento de M”, que es lo que se quiere en el razonamiento.

Observacion: La lógica proposicional no es suficiente para analizar todos losrazonamientos. En ella se presentan unidades de información como un todo, no se distinguesus partes ó componentes. Para penetrar en la estructura interna de las proposiciones seintroduce la lógica de primer orden, es decir, se introducen variables y cuantificadores,donde los cuantificadores afectan únicamente a las variables.

En el ejemplo incorporamos las simbolizaciones:

H(x) = x es hombre.M(x) = x es mortal.

para así representar el razonamiento por:

∀x(H(x)→M(x))H(s)

M(s)

que permite apreciar en forma precisa la válidez del razonamiento.

Hemos introducido la notación prefija H(s) para referirnos a la proposición “Sócratesun hombre”, donde el símbolo H denota el predicado “es un hombre”, mientras ques denota el sujeto “Sócrates”. Esta idea se extiende a propociones donde aparecenpredicados referidos a más de un objeto, así por ejemplo la proposición “Mutis está entreBorges y Córtazar” se puede simbolizar por E(m, b, c). En el primer caso diremos que elsímbolo de predicado H es unario, y en el otro caso que E es ternario. Por otra parteen el ejemplo se simbolizó la proposición “Todo hombre es mortal”, en el cual el sujetode la proposición no aparece en forma explícita, pues el sujeto es un individuo variablesobre el conjunto de todos los hombres. Esto hace necesario introducir la variable x parahacer este sujeto explícito y acompañarlo de la expresión “para todo”, para lo cual se


introduce el símbolo ∀ (análogamente usaremos el símbolo ∃ para la expresión “existe almenos un”).

De esta forma usando el símbolo H para el predicado “es hombre”, y el símbolo Mpara “es mortal” tenemos la simbolización usada ∀x(H(x)→M(x)).

Observacion: Al utilizar simbolizaciones de la lógica de primer orden es indispensablefijar un universo ó dominio del discurso, es decir fijar el conjunto que “recorren” lasvariables.

1.2.1. Algunas simbolizaciones

Verificar el acierto de cada una las siguientes simbolizaciones; en las cuales sesobreentiende un universo previamente fijado.

1. Todos son buenos estudiantes: (∀x)(BE(x)).2. Juan tien un amigo: (∃x)(A(x)).3. Todos son amigos de Pedro.(∀x)A(x, p).4. Todas las águilas vuelan, usando “todas la aguilas ” como universo:

(∀x)(V (x)).5. igual al anterior, pero utilizando “todas las aves” como el universo:

(∀x)(A(x)→ V (x)).

6. Juan es hermano de Pedro y María: H(j, p) ∧H(j,m) ó también H(j, p,m).

7. Todos son hermanos de Pedro y María: (∀x)H(x, p,m).8. Existe al menos un hermano de Pedro y María: (∃x)H(x, p,m).9. Todos son hermanos de Juan y Roberto: (∀x)H(x, j, r).10. Todo lo que me gusta es inmoral ó ilegal ó engorda:

(∀x)(G(x)→ (I(x) ∨ In(x) ∨E(x))).11. Todo político honesto vota solamente por alguien diferente de si mismo:

(∀x)(PH(x)→ ((∀y)V (x, y)→ x 6= y)).


12. Todo A es B: ∀x(A(x)→ B(x)).

13. Algún A es B: ∃x(A(x) ∧B(x)).

14. Ningún A es B: ¬∃x(A(x) ∧B(x)).

15. Algún A no es B: ∃x(A(x) ∧ ¬B(x)).

1.2.2. Otras simbolizaciones

1. La tierra es un planeta : P (t).

2. La luna no es un planeta : ¬P (l).

3. La tierra gira alrededor del sol : R(t, s).

4. Todo planeta es un satélite : ∀x(P (x)→ S(x)).

Al afirmar que todo planeta es un satélite estamos afirmando que cualquier objetoque es un planeta es también un satélite, es decir, que para todo objeto x, si x esun planeta, entonces x es un satélite.

5. Todo planeta gira alrededor del sol : ∀x(P (x)→ R(x, s)).

Es decir, para todo objeto x, si x es planeta entonces x giral alrededor del sol.

6. Algún planeta gira alrededor de la luna : ∃x(P (x) ∧R(x, l)).Es decir, hay un objeto que es un planeta, y gira alrededor de la luna.

7. Hay por lo menos un satélite : ∃x(S(x)).

8. Ningún planeta es un satélite : ¬∃x(P (x) ∧ S(x)) ó ∀x(P (x) → ¬S(x)). Lo que sequiere expresar es que no hay objetos que sean al mismo tiempo un planeta y unsatélite. En la primera simbolización decimos directamente que no hay objetos conlas dos propiedades consideradas, y en la segunda que todo objeto que sea planetano es un satélite que obviamente es equivalente a la anterior.

9. Ningún objeto celeste gira alrededor de sí mismo : ¬∃x(R(x, x)).Señalemos que no es necesario expresar la propiedad de ser objeto celeste, puesto queel universo de la estructura, el dominio de los objetos que hablamos, es precisamenteel conjunto de los objetos celestes, de modo que al decir “para todo x”estamosdiciendo“para todo objeto celeste x”.

10. Alrededor de los satélites no giran objetos celestes :

∀x(S(x)→ ¬∃zR(z, x)) ó bien ¬∃x(S(x) ∧ ∃zR(z, x)).


11. Hay exactamente un satélite : ∃x(S(x) ∧ ∀y(S(y)→ x ≈ y)).

Para decir que x es el único satélite, decimos que x es un satélite y que todo satélitees igual a x.

1.2.3. Negación de los cuantificadores

Las negaciones de los cuantificadores estan dadas por las siguientes dos reglas:1. ¬(∀xP (x))⇔ ∃x¬P (x)2. ¬(∃xP (x))⇔ ∀x¬P (x)

EjemplosNegar cada una de las siguientes sentencias:

1. ϕ : Todos los filósofos son geniales.

¬ϕ : Existen algunos filósofos que no son geniales.2. ϕ : Todas las aves vuelan.

¬ϕ : Existen algunas aves que no vuelan.3. ϕ : Existen algunos filósofos son geniales, pero incoherentes.

¬ϕ : Todos los filósofos no son geniales ó no son incoherentes.4. ϕ : Todos los hombres que son idealistas alcanzan su felicidad.

¬ϕ : Existen hombres que no son idelistas y no alcanzan su felicidad.

En general un cuantificador universal no se puede conmutar con un cuantificadorexistencial. Es decir, la fórmula:

∀x∃yR(x, y)no siempre tiene la misma significación que la fórmula:

∃y∀xR(x, y)

Ejemplo

Si M(x, y) significa y es la madre de x, obsérvese que las siguientes dos sentencias noson equivalentes:


∀x∃yM(x, y):

Para todo ser humano existe una madre.

∃x∀yM(x, y)

Existe una madre para todo ser humano

Ejercicios

1. Simbolice completamente las siguientes proposiciones

a) Ningún hombre es a la vez loco y cuerdo.

b) Todo hombre es mortal

c) Ningún número es a la vez par e impar.

d) Todo número real es positivo si y sólo si es mayor que cero.

e) No todos los números reales son positivos.

2. Fijando como universo el conjunto de los seres vivos actualmente:

a. Simbolice los predicados:

i) x es hombre

ii) x es mujer

iii) x es madre de y

iv) x es padre de y

b. Con las simbolizaciones del item anterior, definir los predicados:

i) x es hijo de y

ii) x es abuela paterna de y

iii) x no tiene hijas

iv) x es hermano de y por parte de padre y madre

3. Traduzca a lenguaje simbólico las siguentes proposiciones y sus negaciones:

a) La ecuación x2 − x+ 1 = 0 tiene solución en R.b) Algún número entero es par

c) Todas las mascotas de los caleños son perros ó no son chiguiros

d) Existen personas que si alcanzan un cierto conocimiento entonces creen saberlotodo.

1.3. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN 27

4. Escriba la negación de las siguientes proposiciones cuantificadas e interprételas enel lenguaje ordinario, tome como referencia el universo de los números reales:

a. (∃x)(x2 + 5x+ 4 = 0)b. (∃x)(0,3 < x < 0,31)

c. (∀x)(∀y)(x+ y = y + x)

d. (∀x)(∃y)(x+ y = 0).

5. Usando predicados binarios, y asumiendo que la relación “ser amigo de” es simétrica.Es decir, si la simbolizamos por A(x, y), entonces para todos x, y se tiene queA(x, y) implica A(x, y) (léase este predicado binario por x es amigo de y,Simboliceel siguiente razonamiento:

Todo aquel que aprecie a Jorge escogerá a Pedro para su partido.Pedro no es amigode nadie que sea amigo de Juan Luis no acogerá a nadie para su partidoque no seaamigo de Carlos. Por lo tanto, si Carlos es amigo de Juan, entonces Luis no apreciaa Jorge.

6. Represente simbólicamente el siguiente razonamiento:

El papá de cada ser humano es uno de sus familiares. Patricia no es amiga de nadieque no sea más joven que ella ó que no tenga los ojos claros. Patricia es un serhumano, y el papá de todo ser humano no es más joven que éste. Nadie que tengalos ojos claros es familiar de Patricia. Por tanto, si Roberto es el papá de Patricia,entonces Patricia no es amiga de Roberto.

1.3. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN

Los orígenes de la lógica se remontan a la antiguedad griega. Aristóteles considerabala lógica como una propedeutica de la ciencia; esto es, una disciplina que debía cultivar elfilósofo, el astronómo y en especial, el matemático. Los princios lógicos constituyen la basela dermostración matemática. A través de la lógica se busca que las demostraciones esténlibres de incoherencias y subjetividades. Los procesos demostrativos en matemáticas nopueden depender del gusto o de sentimientos interiores; se trata de que los argumentos queusamos para demostrar las propiedades de los objetos matemáticos tenga validez pública.Los objetos matemáticos habitan un universo con unas características especiales. Son

entidades, como los números, las funciones, las ecuaciones, los puntos, las rectas, entreotros, que no tienen color, olor ni sabor; no suben de peso ni sufren depresiones. Sonentidades abstractas a las cuales no tenemos acceso a través de los sentidos, sino a travésde un proceso hipotético-deductivo, el cual se funda en el método axiomático. Un sistemaaxiomático consta de tres elementos básicos:

1. Los objetos matemáticos: dados a través de las definiciones o de manera nominal.


2. Algunas propiedades de los objetos que se toman como puntos de partida: lospostulados o axiomas.

3. Las proposiciones: los teoremas, corolarios y lemas.

Los objetos matemáticos se definen y se relacionan guardando tres grandes principios:

1. El principio de identidad

2. Principio de no contradicción

3. El tercero excluido.

Mediante el primero se pueden hacer sustituciones y equivalencias. El segundo prohíbeque los contrarios se den al mismo tiempo, mientras el tercero excluye términos intermediosentre los contrarios. Coloquialmente: el tercero excluso nos dice que un enunciado sólopuede ser falso o verdadero. ¿Cómo podría ser una proposición medio verdadera o untercio falsa? El principio de no contradicción impide la presencia de proposiciones quesean falsas y verdaderas a la vez: O se es o no se es. Ser o no ser, como lo inmortalizaraShakespeare.

Definicion: Un axioma es una proposición fundamental de un sistema axiomáticoque se toma como verdadera sin demostración alguna.

Para poder establecer propiedades de los objetos geométricos no basta con los axiomasy las definiciones; es necesario establecer los teoremas.

Definicion: Un teorema matemático es un enunciado sobre los objetos matemáticos,el cual debe ser demostrado.Todo teorema es de la forma:

HIPÓTESIS entonces TESIS,H =⇒ T

Definicion: Una demostración es un proceso deductivo, el cual tiene como punto departida las HIPÓTESIS y de tal suerte que usando las definiciones, los postulados y losteoremas previamente demostrados, se concluye la TESIS.

El proceso demostrativo se hace a través de la aplicación de los principios lógicos quehemos establecido. Esquemáticamente, un proceso demostrativo se puede sintetizar de lasiguiente manera:


H Hipótesis

Argumentación Lógica. Se usan: Definiciones Teoremas axiomas

T Conclusión

De esta forma, para demostrar un teorema, es decir un enunciado de forma H =⇒ Tse procede así:

1. Suponemos que las hipótesis H, se cumplen; es decir son enunciados matemáticosverdaderos.

2. A partir de la hipótesis construimos un proceso argumentativo, en el cual podemosutilizar las definiciones, los axiomas y teoremas ya demostrados, para obtener,mediante la aplicación de las reglas de deducción lógica, la validez de T.

3. En estas instancias concluye la prueba y queda establecida la validez de .H =⇒ T.

Como se puede observar la mayor dificultad estriba en el hecho de reconocer loselementos del apartado 2. Si bien no hay recetas mágica que nos permitan la conformaciónde los pasos sucesivos para llegar de la hipótesis a la tesis, hemos identificado algunosmétodos, más o menos canónicos, para hacer demostraciones, los cuales describimos acontinuación.

1.3.1. Demostración directa

Una demostración directa del teorema H =⇒ T consiste en exhibir un razonamientode la forma:

P1 : HP2 : H → h1P3 : h1 → h2...Pn : hn−1 → hnPn+1 : hn → TC : T


Analicemos un poco el funcionamiento del método. Partiendo de P1 se trata deestablecer P1, P2, . . . , Pn, Pn+1 que expresan implicaciones ya demostradas. Observemosque el razonamiento es válido puesto que la fórmula(H ∧ (H → h1) ∧ (h1 → h2) ∧ . . . (hn−1 → hn) ∧ (hn → T )) =⇒ Tes una tautología. Esto se debe a que tanto H como cada una de las premisas

P1, P2, . . . , Pn, Pn+1 son proposciones verdaderas, entonces podemos aplicar reiterada-mente modus ponendo ponens y obtener T.EjemploUsemos el método directo para demostrar la proposición: "la suma de dos números

apares es un n´´umero par".En el lenguaje ordinario encontramos los textos de los enunciados tal como está

presentado el ejemplo. Es necesario, en consecuencia, que podamos identificar en él laimplicación implícita con sus correspondientes antecedente y consecuente; de lo contrariono sería posible abordar su demostración. El enunciado anterior lo podemos presentar así:

Teorema: Si a, b son números pares, entonces a + b es un número par.

a par y b par Hipótesisa par y b par, entoncesa = 2n y b = 2k, con n, k enteros

Definición número par

a = 2n y b = 2k, entoncesa+ b = 2n+ 2k

Ley uniforme de la suma

a+ b = 2n+ 2k, entoncesa+ b = 2(n+ k)

Ley distributiva del producto

a+ b = 2(n+ k), entoncesa+ b par

Definición número par

a+ b es par

1.3.2. Método del contrarrecíproco

Supongamos que se quiere demostrar el teorema correspondiente a H → T y que alseguir los pasos del método directo no logramos llegar de la hipótesis H a la conclusión T .Se procede, entonces a demostrar, por el método directo, su contrarrecíproca ¬T −→ ¬H.Si logramos este acometido, hemos demostrado H → T . Esto se debe a que H → T y¬T −→ ¬H son lógicamente equivlentes, puesto que (H → T )←→ (¬T −→ ¬H).es unatautología.EjemploDemostrar el teorema: Si el cuadrado de un número es impar entonces el número es

impar.Empleando el método directo se tiene:

Teorema: Si a, b son números pares, entonces a+ b es un número par.


Demostración:

a2 es impar Hipótesisa2 = 2k + 1, k entero Definición número impara =√2k + 1 Tomando raíces en la ecuación anterior

Sin embargo, no podemos asignarle la característica de par o impar a al número√2k + 1. Al no haber logrado la conclusión aplicando las propiedades respectivas, nos

lleva a intentar demostrar el enunciado usando la contrarecíproca. El enunciado delcontrarrecíproco corresponde al siguiente teorema:

Teorema: Si a es par, entonces a2 es par

Demostración.

a es par Hipótesisa = 2k, k entero Definición número para2 = (2k)2 Ley uniforme(2k)2 = 4k2 = 2(2k2) Ley asociativaa2 = 2(2k2) Ley transitivaa2 es par Definición número par

1.3.3. Método de demostración por contradicción o reducciónal absurdo

El método de demostración por reducción al absurdo se fundamenta en el principio deno contradicción, propio de la actividad matemática. En términos generales, consiste ensuponer la negación de la proposición que se quiere demostrar y generar una contradicción.Esquemáticamente este método se puede describir de la siguiente manera:

1. Queremos demostrar el teorema H =⇒ T .

2. Suponemos que da su negación: ¬(H =⇒ T )

3. A partir de procesos deductivos intermedios obtenemos una proposición del tipoQ ∧ ¬Q

4. Como la teoría es consistente, entonces no puede darse ¬(H =⇒ T ), sino ¬¬(H =⇒T ) que es lógicamente equivalente a H =⇒ T , que es la proposición que queríamosdemostrar.

El método de reducción al absurdo se fundamenta en las dos siguientes equivalenciaslógicas:¬(H =⇒ T ) es equivalente a H ∧ ¬T , simbolicamente: ¬(H =⇒ T )) ≡ H ∧ ¬T )


H =⇒ T .es equivalente a H ∧ ¬T =⇒ Q ∧ ¬Q, simboólicamente; (H =⇒ T ) ≡(H ∧ ¬T =⇒ Q ∧ ¬Q)Ejemplo:Demostrar utilizando el método de reducción al absurdo el teorema: "Si a2 es par

entonces a es par".

a2 par y a imparAfirmación de hipótesis ynegación de la tesis

a = 2k + 1, k entero Definición número para2 = (2k + 1)2 Ley uniformea2 = 4k2 + 4k + 1 Productoa2 = 2(2k2 + 2k) + 1 Ley distributiva

s = 2k2 + 2k es enteroLey clausurativa de lasuma y el producto

a2 = 2s+ 1 Sustituyendoa2 impar Definición de impara2 par y a2 impar conjunción (contradicción)

Ejercicios

1. Identificar la hipótesis y la tesis de los siguientes enunciados:

a. Si un triángulo tiene dos lados desiguales, a mayor lado se opone el mayor ángulo.

b. Si dos circunferencias son tangentes exteriormente, la distancia entre sus centroses igual a la suma de sus radios.

c. Un número es divisible por dos si es términa en cero o cifra par

d. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

e. la suma de los ángulos interiores de un triángulos suman 180 grados.

f. Si un número divide a otros dos, divide a sus diferencias.

g.√2 es un número irracional.

2. Demuestre, usando el método directo, que: "la suma de tres enteros consecutivos esmúltiplo de tres".

3. Demuestre, usando el método del contrarecírpoco que: "Si el producto de dos enteroses par, al menos uno de ellos es par".

4. Demuestre, usando el método de reducción al absurdo que: "Para a, b númerosreales, si a.b = 0, entonces a = 0 ó b = 0”.

1.4. NOCIONES FUNDAMENTALES DE CONJUNTOS 33

1.4. NOCIONES FUNDAMENTALES DE CON-JUNTOS

1.4.1. Sobre la definición de conjuntos

En este capítulo nos proponemos hacer una exposición genérica de algunos nocionesbásicas de la teoría de conjuntos; disciplina que constituye la base teórica de diversasramas de la matemática. La idea de conjunto es una de las más intuitivas. Eso sedebe al hecho de que los seres humanos tenemos la capacidad de percibir “montones”o “agrupaciones” de objetos del entorno. Podemos pensar, por ejemplo, en colecciones delapiceros, colecciones de carros, de manzanas, etc. Pero también tenemos capacidad deconstruir mundos imaginarios poblados de objetos abstractos, que nos permiten hablarde conjuntos de números, puntos, líneas, etc.

Intuitivamente un conjunto es una agrupación de objetos, los cuales se denominanelementos del conjunto. Sin embargo, esta definición es circular porque la palabra“agrupación” es equivalente a la misma palabra conjunto.

Históricamente hablando, fue el matemático alemán, nacido en San Petersburgo,George Cantor (1845-1918), quien, a finales del siglo XIX, sentó las bases conceptuales dela teoría de conjuntos. Para Cantor, un conjunto era una colección de objetos diferenciadosclaramente por nuestra intuición. Sin embargo, como veremos más adelante, de estadefinición se derivan algunas paradojas.

Para evitar este tipo de percances, en matemáticas se incorporan los conjuntosa através de teorías axiomáticas. En nuestro caso incorporaremos los principios másgenerales, que permiten trabajar con cierta amplitud sin llegar a contradicciones.

A fin de evitar los problemas intrínsecos a las definiciones, las teorías axiomáticasparten de algunos términos indefinidos: en nuestro caso, los conceptos de conjunto yelemento. Simplemente diremos que los elementos pertenecen a los conjuntos o que losconjuntos están formados de elementos, sin detenernos a discutir su naturaleza.Definicion: Se hablará de conjuntos A,B,C . . . y de sus elementos x, y, z, . . .Se

escribe x ∈ A en los casos siguientes: x está en A, x pertenece a A ó x es un elemento deA.

Análogamente, se escribe x /∈ A en cualquiera de los casos siguientes: x no está en A, xno pertenece a A ó x no es un elemento de A.


1.4.2. Cómo Referirse a Conjuntos

Matematicamente hablando, los conjuntos son objetos abstractos y atemporales. Nopodemos referirnos a ellos como a los objetos físicos ya sea señalándolos, tocándolos odegustándolos. Sin embargo, dado que constituyen la materia prima de muchas ramasde las matemáticas, necesitamos hacernos de algunas formas para nombrarlos. Hay dosmaneras usuales: por comprensión cuando se da una regla que permite describir suselementos; y por extensión cuando se listan los elementos del conjunto. Las coleccionesse representan con letras mayúsculas. Los elementos de las colecciones se presentanencerrados entre llaves { } y separados por comas.

Ejemplos:

1. La colección de vocales se puede representar por:

A = {a, e, i, o, u}; en este caso, i ∈ A y z /∈ A.

2. La colección de los números naturales menores que 10 se puede representar así:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} por extensión, ó A = {x ∈ N : x < 10} por comprensión;se lee el conjunto de los x tales que x es natural y x es menor que 10.

3. La colección de los números naturales pares: B = {2, 4, 6, 8, ...} por extensión;B = {x ∈ N : x es par }, por comprensión.

4. La colección de los habitantes de Cali: C = {x : x es un habitante de Cali}.

5. La colección de los números reales mayores que 2:

D = {x ∈ R : x > 2}. Conjunto que corresponde al intervalo: (2,∞). En este caso,5 ∈ D, 0 /∈ D, −45 /∈ D, etc.

6. la colección de los número reales mayores o iguales a -5 y menores que 3:

E = {x ∈ R : x ≥ −5 y x < 3} = {x ∈ R : −5 ≤ x < 3} = [−5, 3).

EjerciciosDenote por extensión cada uno de los siguientes conjuntos:

1. El conjunto de los satélites naturales de la tierra.


2. El conjunto de los escritores que han recibido el Premio Nobel de literatura enColombia.

3. El conjunto de los escritores que han recibido el Premio Nobel de literatura enLatinamérica.

4. El conjunto de los números enteros.

5. El conjunto de los números racionales menores que 2 y mayores que 1.

1.4.3. Principios básicos para la formación de conjuntos

Como se ha enunciado antes, a través de las teorías axiomáticas se proporciona unasalida formal al problema de rigor en matemáticas. Para el caso de los conjuntos la teoríamás difundida fue instaurada por los matemáticos Ernest Zermelo y Abraham Fraenkel,la cual acoge el axioma de elección. Esta axiomática se designa como ZF (axiomática deZermelo-Frankel) y comenzó a difundirse a principios del siglo XX. En este texto nosbasaremos en los axiomas más generales los cuales describimos a continuación.

[1] Axioma de extensión: Si todo elemento de A pertenece a B y todo elementode B pertenece a A, entonces A = B.En este sentido: si A y B son el mismo conjunto, A y B tienen los mismos elementos.El axioma de extensión establece que un conjunto se encuentra determinado por sus

elementos. Con ello queremos decirr que no hay conjuntos distintos que tengan los mismoselementos. Más concretamente, el axioma de extensión plantea que si A y B tienen losmismos elementos, entonces A = B.En otras palabras, como dice P. Halmos en su libro Teoría intuitiva de conjuntos: “con

mayor ostentación y menos claridad: Un conjunto está determinado por su extensión”; demanera formal:

A = B si y sólo si A y B tienen los mismos elementos.

En este sentido, los siguientes conjuntos son iguales:

A = {a, b, c}, B = {a, a, b, c, c} y C = {a, a, b, c, c}.El principio de extensionalidad expresa que lo que importa de un conjunto no es cómo

lo definimos, sino cuáles son sus elementos.De acuerdo a este axioma se pueden demostrar los dos siguientes resultados para A,

B y C conjuntos:

1. A = B implica B = A.

2. A = B y B = C implica A = C.


La Relación de Inclusión

Definicion: Diremos que un conjunto B es subconjunto de otro conjunto A, si todoelemento de B, es un elemento de A.Usaremos la notación acostumbrada: B ⊂ A; así B ⊂ A, si y sólo si, cada x ∈ B

implica x ∈ A.

Para el caso en el cual B ⊂ A, pero B 6= A, se dice que B es un subconjunto propiode A.

EjemploSi A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 6}, C = {2, 3, 8} entonces B ⊂ A, pero C no está

contenido en A, pues 8 ∈ C y sin embargo, 8 /∈ A..

Basándonos en la definición de subconjunto se pueden demostrar las siguientespropiedades elementales de los conjuntos.

1. A ⊂ A.

2. Si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C.

3. A = B, si y solo si A ⊂ B y B ⊂ A.

Demostremos la segunda, es decir partiendo de que el conjunto A es un suconjunto deB y el conjunto B un suconjunto de C, se debe problar que A es subconjunto de C. Six ∈ A, entonces x ∈ B, pues A ⊂ B. Si x ∈ B, entonces x ∈ C dado que B ⊂ C.

Podemos también ilustrar la prueba acudiendo a los diramas de Venn:A ⊂ B se representa por:

AB

B ⊂ C se representa por:

BC


Combinando los dos diagramas anteriores obtenemos:

BC A

del cual se deduce:

C A

Principio de Separación

La noción tan libre e intuitiva de conjunto, como colección o reunión de elementos,llevó a resultados contradictorios que amenazaban resquebrajar uno de los pilares dela matemática como lo es la consistencia. Clásicamente, la consistencia es uno de losprincipios fundamentales de cualquier teoría; según este principio una cosa no puede sery no ser al mismo tiempo. Una proposición no puede ser falsa y no falsa a la vez. Nopuede suceder que un conjunto A pertenezca a otro conjunto B, y al mismo tiempo elconjunto A no pertenezca al conjunto B.

Con la idea de conjunto como colección arbitraria puede suceder que un conjunto seao no elemento de sí mismo. Por ejemplo, el conjunto de sillas no es un elemento de símismo, puesto que el conjunto de sillas no es en sí mismo una silla. En realidad casi todoslos conjuntos que uno piensa, no son elementos de sí mismos. El conjunto de mesas, elconjunto de números, el conjunto de palabras, etc. Sin embargo, existen algunos conjuntosque gozan de la propiedad de pertecerse a sí mismos; por ejemplo, el conjunto de ideas esuna idea, ¿El conjunto de todos los conjuntos es un conjunto?

Es famosa la Paradoja de Russell, que lleva el nombre de su descubridor. En estaparadoja, el matemático y filósofo inglés Bertrand Russell llama la atención en el hechoque hay colecciones que no se pertenecen a sí mismas y otras que se pertenecen. Porejemplo, la colección de todos los conjuntos, se contiene así misma.

De hecho, la mayoría de conjunto conocidos, no se pertenecen. Russell define elsiguiente conjunto:


Sea A el conjunto formado por aquellos conjuntos que no se pertenecen a sí mismos;simbólicamente:

A = {B, tales que B /∈ B}

En seguida nos preguntamos ¿A ∈ A?

Observemos que si A ∈ A, no puede ser un elemento de A, pues en A sólo están losque no se pertenecen a sí mismos. Por lo tanto, se tiene que,

A ∈ A implica que A /∈ A.

De otro lado, si A /∈ A, tendríamos que A es un elemento del mismo A. De esta formallegamos a la contradicción:

A ∈ A si y sólo si A /∈ A.

Por este motivo es preciso restringir la formación de conjuntos a través del siguienteprincipio.

[2] Axioma de la especificación ó de separación: Si A es un conjunto, existeotro conjunto, contenido en A, que satisface una propiedad determinada.

Utilizando este axioma podemos formar otros conjuntos a partir de los ya establecidos.Esto quiere decir que si tenemos un conjunto, podemos obtener nuevos conjuntos de laspartes del conjunto dado.Generalmente, la propiedad se establece según formulaciones del cálculo de predicados:

Partiendo de un conjunto A determinado, se obtiene otro conjunto B, el cual es una partede A, y cuyos elementos cumplen una condición S(x). De manera simbólica:

B = {x ∈ A : S(x)}

Ejemplo: Sea el conjunto: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.A partir del conjunto A, formamos otros conjunto B cuyos elementos cumplan la

propiedad de ser pares.B = {x ∈ A : x es un número par }En este caso, S(x) corresponde a la propiedad: “ser par”. Entonces,


B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Este principio nos permite formar con tranquilidad otros conjuntos a partir de los yaestablecidos. En palabras simples: si contamos con un conjunto determinado, podemosobtener nuevos conjuntos de los subconjuntos del conjunto dado.

EjemplosSea el conjunto: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

A partir del conjunto A, formamos otros conjunto B cuyos elementos cumplan lapropiedad de ser pares.

B = {x ∈ A : x es un número par }.B = {x ∈ A : S(x)}.

En este caso, S(x) corresponde a la propiedad: “ser par”. Entonces,

B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

EjerciciosSean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {{1}, {3, 4}}, C = {{1, 2}, 3, {3}},

determine cuáles de las siguientes afirmaciones con verdaderas y cuáles son falsas:1 ∈ A, 1 ∈ B, 1 ∈ C, {1} ⊂ A, {1} ⊂ B, {1, 2} ⊂ A, {1, 2} ⊂ C, 3 ∈ C,

{3} ⊂ C, {3, 4} ∈ A, {3, 4} ⊂ B

El Conjunto Vacío

[3] Axioma del conjunto vacío: Existe un conjunto el cual no contiene elementos.

El conjunto vacío es, a primera vista, extraño porque parece escapar a nuestraintuición; sin embargo, desde el punto de vista teórico es muy importante para representarciertas situaciones y para poder definir algunas operaciones entre conjuntos.De manera simbólica:

∃B∀x(x /∈ B)

El conjunto vacío se representa por el símbolo: ∅.Ejemplo: El conjunto {x ∈ R : x > 10yx < 3} = ∅, puesto que no existe ningún

número real que cumpla las exigencias requeridas.

Una propiedad importante del conjunto vacío es que subconjunto de cualquierconjunto; es decir, para todo conjunto A. se tiene que:

∅ ⊆ A


La demostración de este enunciado resulta ser de una profunda sencillez: se trata deprobar que todo elemento de ∅ es un elemento de A, es decir, x ∈ ∅ implica que x ∈ A;pero como ∅ carece de elementos entonces x ∈ ∅ es una proposición falsa y por lo tantola implicación es verdadera. Luego la condición se cumple de manera inmediata.

Es necesario notar que esto funciona perfectamente pues la lógica subyacente ha sidodada para que funcione, recuérdese que estamos parados en la lógica clásica bivalente.

De otro lado es conveniente señalar que los conjuntos: ∅ y {∅} son diferentes, es decir,∅ 6= {∅}.[4] Axioma de Pares: Dados dos conjuntos cualesquiera, existe un conjunto cuyos

elementos son estos conjuntos.Este axioma permite obtener más conjuntos a partir de dos ya existentes. Simbólica-

mente:

∀A∀B∃C(x ∈ C ↔ x = A ∨ x = B)

Obviamente que el conjunto C contiene solamente a A y B como elementos, el cualno es otro que el conjunto: {A,B}.

Ejercicios

1. Dados los siguientes conjuntos, escriba los subconjuntos de cada uno de ellos

a. {2, 5} b. {∅, {1}, 1} c. {{a, b}, {a}} d. ∅2. Conteste Falso o Verdadero

a. x ∈ ∅ b. ∅ ⊂ {2, 3} c. 2 ∈ {{2, 3}} d. # {1, 2, 3} = 7 e. # (A∪B) = #(A)+#(B)f. ∅ ∈ ∅ g. ∅ ⊆ ∅ h. {2} ∈ {2, {2, 3}}

1.4.4. Operaciones con Conjuntos

En esta sección vamos a estudiar la conformación de nuevos conjuntos a partir de los yadeterminados. Ello se consigue combinando los elementos de los conjuntos ya establecidos;es decir, estableciendo operaciones entre conjuntos. La tres operaciones más simples sonla unión, la intersección y la diferencia que estudiaremos a continuación.

La unión

Definicion: La unión de dos conjuntos A y B, denotada por A∪B, se definine comoel conjunto formado por los elementos de A junto con los elementos de B.De esta forma,

A ∪B = {x ∈ A ∨ x ∈ B}


lo cual equivale a expresar que:

x ∈ A ∪B si y sólo si x ∈ A ∨ x ∈ B

Ejemplos

1. Sean A = {1, 2, 3, 4, 6} y B = {2, 3, 7, 8, 9}, entonces,A ∪B = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}.

2. Si C = {x ∈ R : −6 < x ≤ 3} y D = {x ∈ R : x > 2}.

En términos de intervalos se tiene que: C = (−6, 3] y D = (2,∞); entoncesC ∪D = (−6,∞).Basándonos en la definición de unión entre conjuntos se pueden demostrar las

siguientes propiedades elementales:

1. Idempotencia

A ∪A = A.

2. Conmutatividad A ∪B = B ∪A.

Asociatividad (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

3. Identidad A ∪ ∅ = A.

4. Otras propiedades

A ⊆ (A ∪B).Si A ⊆ B entonces A ∪B = B.

Como ejemplo ilustrativo, demostremos 2:

A∪B = B ∪A se basa en la equivalencia lógica de p ∨ q y q ∨ p. Debemos demostrarque x ∈ A ∪B si y sólo si x ∈ B ∪A.Observemos que el enunciado anterior es equivalente a:

x ∈ A ∨ x ∈ B ↔ x ∈ B ∨ x ∈ A


1.4.5. La intersección

Definicion: la intersección de dos conjuntos A y B, se define como el conjunto formadopor los elemntos comunes a A y B; se designa por A ∩B.En la notación usual;

A ∩B = {x ∈ A ∧ x ∈ B}Equivalentemente:

x ∈ A ∩B ↔ x ∈ A ∧ x ∈ B

Ejemplos

1. Sean A = {1, 2, 3, 4, 6} y B = {2, 3, 7, 8, 9}, entonces, A ∩B = {2, 3}2. Si C = {x ∈ R : −6 < x ≤ 3} y D = {x ∈ R : x > 1}.

En términos de intervalos se tiene que:

1. C = (−6, 3] y D = (1,∞); entonces C ∩D = (1, 3].

3. Si E = {x ∈ N : x es un número par} y F = {x ∈ N : x es un número impar};entonces E ∩ F = ∅.

Basándonos en la definición de intersección entre conjuntos se pueden demostrar lassiguientes propiedades elementales:

1. Idempotencia

A ∩A = A.

2. Conmutatividad

A ∩B = B ∩A.3. Asociatividad

( A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).4. Identidad

A ∩ ∅ = ∅.5. Otras propiedades

a. (A ∩B) ⊆ A.

b. Si A ⊆ B entonces A ∩B = A.


1.4.6. La diferencia

definicion: La diferncia de dos conjuntos A y B se define como el conjunto formadopor los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B; se denota como A−B.

Es decir,

A−B = {x ∈ A ∧ x /∈ B}

lo cual equivale a expresar que:

x ∈ A−B si y sólo si x ∈ A ∧ x /∈ B).

Ejemplos

1. Sean A = {1, 2, 3, 4, 6} y B = {2, 3, 7, 8, 9}, entonces, A−B = {1, 4, 6}.2. Si C = {x ∈ R : −6 < x 6 3} y D = {x ∈ R : x > 2}, entonces C −D = (−6, 2).3. Si E = {x ∈ N : x es un número par} y F = {x ∈ N : x es un número impar};

E − F = E.

Basándonos en la definición de diferencia entre conjuntos se pueden demostrar lassiguientes propiedades elementales:

1. A− (A−B) = A ∩B.2. A− ∅ = A.

3. ∅ −A = ∅.4. (A−B)− C = A− (B ∪ C).

Propiedades Distributivas

1. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).2. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).3. A− (B ∪ C) = (A−B) ∩ (A− C).

4. A− (B ∩ C) = (A−B) ∪ (A− C).


1.4.7. Complemento

Observacion: A partir de lo visto en la paradoja de Russell se demuestra que lacolección de todos los conjunto no es un conjunto.

Ello significa que no existe el conjunto de todos los conjuntos.

Verifiquemos este enunciado suponiendo que la colección de todos los conjuntos es unconjunto U . Y sea P (A) la propiedad que dice que el conjunto A se pertenece a si mismo.

Entonces por principio de separación:

B = {A ∈ U tales que P (A)}

Seria un conjunto, el cual ya mostramos que nos conduce a contradicción.A pesar de no existir el conjunto de todos los conjuntos, para efectos prácticos

siempre estaremos interesados en tratar con conjuntos de un cierto tipo. Por ejemplocuando hablamos de la aritmética estamos interesados en los numeros enteros, cuandohacemos consideraciones estadísticas nos limitamos a una población determinada. Engeneral fijamos un conjunto al que pertenecen los objetos en que estamos interesados, nosreferiremos a este como el universo y lo denotamos porX. Nosotros en general tomaremosa X como el conjunto de los números reales.

Definicion: Sea X un conjunto y A ⊂ X, definimos el complemento de A en Xcomo el conjunto X −A. El complemento de A en X se denota por CXA o simplementeA cuando se conoce cual es el conjunto X.

EjemploTomando como X el conjunto de números reales R, tenemos que para A = {x ∈ R :

x > 2} el complemento A0 = (−∞, 2].

EjerciciosBasándonos en la definición de complemento entre conjuntos se pueden demostrar las

siguientes propiedades elementales:

1. A ∪X = X.

2. A ∩X = A.

3. A ∪A0 = X.

4. ( A0)0 = A.

5. X 0 = ∅.6. ∅0 = X.

7. (A ∪B)0 = A0 ∩B0.


8. ( A ∩B)0 = A0 ∪B0.

1.4.8. El producto cartesiano

Definicion: Sean A y B conjuntos, y a ∈ A, b ∈ B definimos: El par ordenado (a, b),entendiendo que (a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = d. El producto cartesiano entre Ay B se define como:

A×B = {(a, b) : a ∈ A y b ∈ B}.

EjemploSi A = {u, v}, B = {u, v, w} entonces:

A×B = {(u, u), (u, v), (u,w), (v, u), (v, v), (v, w)}.Por otra parte:

B ×A = {(u, u), (u, v), (v, u), (v, v), (w, u), (w, v)}.Obsérvese que A×B 6= B ×A pues (v, w) ∈ A×B y (v, w) /∈ B ×A.

Ejercicios

1. Utilizando las propiedades de los conjuntos demuestre que:

a. (A ∪B0) ∩B = A ∩B.b. (A ∩B) ∪ (A ∩B0) = A.

c. A ∪ (A ∩B) = A y que A ∩ (A ∪B) = A.

d. A− (B − C) = (A−B) ∪ (A ∩ C).e. (A ∪B)−B = A, si y sólo si A ∩B = ∅.f. A− (A ∩B) = A−B.

g. A−B = B −A sii si A = B.

h. A−B = A sii A ∩B = ∅.i. A−B = B sii A = B = ∅.j. A ∩B = A ∪B sii A = B.

k. A ∩B = A−B sii A = ∅2. Sean A = {1, 5, 7}, B = {1, 3, 4, 8}, C = {5, 6, 8, 9}. Encuentre cada uno de lossiguientes conjuntos:

a. A ∪ C b. A ∩ C c. A ∪ (B ∩ C) d. B − A e. A× B f. B × A g. A × (B ∪ C) h.(A×B) ∪ (A× C)


1.4.9. Conjuntos coordinables, relaciones

Figura 1En la figura 1 aparecen representados dos conjuntos concretos: uno es el de mujeres y el

otros es el de perros. Se observa que cada mujer esta acompañada de su respectivo perro;es decir, a cada mujer le corresponde un perro o visceversa, a cada perro le correspondeuna mujer. Se dice que en este caso existe una correspondencia biunívoca entre el conjuntode las mujeres y el conjunto de los perros, o que los dos conjuntos son coordinables.

Figura 2

En la figura 2 se observa igualmente la presencia de un conjunto de mujeres y de unconjunto de perros; sin embargo hay perros solitarios. A cada mujer le corresponde unperro, pero a cada perro no se le puede hacer corresponder una mujer. En otras palabras,hay perros que no tienen mujer. Se dice que en este caso no existe una correspondenciabiunívoca entre el conjunto de las mujeres y el conjunto de los perros, o que los dosconjuntos no son coordinables.

En el primer caso, tenemos un conjunto de mujeres:

M = {Daniela, Erika, Carmen, Stella, V iviana}

y un conjunto de perros:

P = {pequines, chiguagua, dalmata, french, doberman}

y se estableció la correspondencia:

Daniela Erika Carmen Stella Viviana pequines chiguagua dálmata french doberman


Tenemos entonces que el conjunto M es coordinable con el conjunto P : a Danielale corresponde pequines, a Erika le corresponde chiguagua, a Carmen le correspondedalmata, a Stella le corresponde french y a Viviana le corresponde doberman. Si tomamoslas iniciales de cada uno de los componentes, tendremos que el conjunto: M = {D, E, C,S, V }, es coordinable con el conjunto P = {p, c, d, f, d}. En este caso: a D le correspondep, a E le corresponde c, a C le corresponde d, a S le corresponde f y a V le corresponded.

Haciendo la misma operación que en el segundo caso se tendrá el diagrama:

Daniela Erika Carmen

pequines chiguagua dalmata french doberman

En este caso tenemos que el conjunto de mujeres reducido R = {Daniela, Erika,Carmen} no es coordinable con el conjunto P, puesto que a pequines le correspondeDaniela, aChiguagua le corresponde Erika, a dalmata le correspondeCarmen, pero frenchy doberman no están relacionados con ninguna mujer. Tomando las iniciales de cada unode los componentes, como lo hicimos antes, tendremos que el conjunto: R = {D, E, C},es coordinable con el conjunto P = {p, c, d, f, d}. En este caso: a p le corresponde D, a cle corresponde E, a d le corresponde C, sin embargo a f y a d no les corresponde ningúnelemento.

Definicion: Dos conjuntos A y B son coordinables, cuando a cada elemento delconjunto A le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto B, y a cada elemento delconjunto B le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto B.

Ejercicios

1. Escriba una argumentación convincente para demostrar que los conjuntos siguientescon conjuntos coordinables.

a. Los números naturales pares y los números naturales.

b. Los números naturales pares y los números naturales impares

2. Un número infinito de matemáticos que celebraban un congreso muy especial,ocuparon todos los cuartos del Hotel Hilbert, que obviamente tenía tantos cuartoscomo números naturales. El problema de hospedaje se presentó cuando unperiodista, que no quería compartir cuarto, para cubrir el evento. Aparentemente elcaso era irresoluble. Sin embargo, después de unos instantes, uno de los matemáticosdio con una clave salvadora:

¿Cuál fue la solución dada por el prestigioso hombre de ciencia?


3. ¿Cómo se podría resolver el problema anterior si aparecieran veinte periodistas?

4. ¿Tendría el problema solución si aparecen tantos periodistas como númerosnaturales?

5. Al tener tanto éxito en su negocio, el dueño del Hotel Hilbert, decidió dar una copade vino a todos los huéspedes. Al ir a sentarse en la mesa (de infinitos puestos),algunos de los matemáticos encontraron la forma de acomodarse de tal suerte queno beberían una, sino cuatro copas del espumosos vino cada uno. ¿Cuál debería seresa manera de ubicarse para hacer esto posible?

6. ¿Puede haber una manera de ubicarse en la mesa de tal suerte que cada uno de losmatemáticos pueda tomar un número infinito de copas?

1.4.10. Los Conjuntos de Números N, Z, Q, I, R, CLos primeros conjuntos importantes en matemáticas son los números naturales. Los

cuales se representan por la sucesión de símbolos 0, 1, 2, 3, 4, ..., n, n+ 1, ...El conjunto delos naturales tiene infinitos elementos y por lo tanto no se puede decir que haya un últimonúmero natural o un número natural mayor que todos los demás. Utilizaremos el símboloN para referirnos al conjunto de números naturales.Los números enteros que se obtienen a partir de los números naturales (enteros

positivos) adicionándoles los llamados enteros negativos −1,−2,−3,etc. Los númerosenteros, que denotaremos con Z se representan por la sucesión 0, 1,−1, 2,−2, 3,−3, ...etc.A partir de los números enteros se construyen los números racionales. Los cuales

representan en la forma pq, donde p y q son números enteros y q 6= 0.

Un número racional puede ser representado por infinitas fracciones de enteros. Así porejemplo la fracción pk

qk, siendo k cualquier número entero no nulo, representa el mismo

número racional que pq. Sabemos que dos fracciones m

ny p

qrepresentan al mismo número

racional, esto es mn= p

q, si y sólo si mn = np.

Se dice que pq, con q > 0, es la fracción más simple que representa un determinado

número racional si p y q no tienen factores comunes, y por lo tanto no admitesimplificación.Ejemplos de números racionales −1

3, 12, 78, pero no lo es 1√

2pues no se puede expresar

como fracción de enteros. Tampoco lo serán 70, 50que son expresiones indefinidas.

Puesto que cualquier número entero p se puede expresar en la forma p1, se concluye

que todos los números enteros son racionales. Utilizaremos el símbolo Q para referirnosal conjunto de los números racionales. De acuerdo con las observaciones que hemos hechose puede escribir

N ⊂ Z ⊂ Q

Además de los números racionales, existen otros números que no son expresables comofracciones de enteros y que se llaman números irracionales. Utilizaremos el símbolo I para


referirnos al conjunto de estos números. Ejemplos conocidos de números irracionales sonπ, e,

√2,√3. Dijimos antes que 1√

2no era un número racional, pues no se puede expresar

como fracción entre enteros.Debe ser claro que, según la definición de número irracional,

I ∩Q = φ

Es decir, I y Q no tienen elementos comunes.El conjunto que resulta de la unión de los números racionales y los números

irracionales constituye el conjunto de los números reales que denotaremos con el símboloR. Consecuentemente:

R = Q ∪ I

Otro paso en la evolución del concepto de número llega a los llamados númeroscomplejos que se suelen representar en la forma a + bi, siendo a y b números reales ypor definición i2 = −1. La parte a se suele llamar la parte real del número complejo yb su parte imaginaria. Cuando el número es de la forma 0 + bi se considera igual a bi yse dice que es imaginario puro. Cuando es de la forma a + 0i se considera igual a a y sedice que el número complejo es real. Utilizaremos la letra C para representar al conjuntode los números complejos. Se puede escribir por lo tanto, con base en las consideracionesanteriores, que R ⊂ C. Son ejemplos de números complejos 1 + i, 1, 6i.

Numerales decimales.

Los números son ideas o conceptos que requieren de símbolos o numerales pararepresentarlos y para operar con ellos. De acuerdo con esta definición pueden existir,y de hecho existen, múltiples numerales para referirse a un mismo número.La representación y manejo usual de los números reales se hace utilizando el sistema

de numeración decimal que por utilizar la técnica del valor de posición hace posible quela representación de cualquier número real puede hacerse con un numeral construido apartir de los símbolos básicos 0, 1, 2, ....., 9 llamados dígitos.De acuerdo con esta técnica el valor numérico que representa un dígito varía según su

posición en el numeral, excepto el 0 que siempre representa el mismo valor (valor nulo).El valor de un dígito en un numeral se reconoce a partir de la forma como se definen estosnumerales. Así, el número real representado por el numeral 4832.51 está definido por lasiguiente expresión polinómica que permite reconocer el valor numérico que representacada dígito en el numeral:4832,51 = 4000 + 800 + 30 + 2 + 0,5 + 0,01

= 4× 103 + 8× 102 + 3× 10 + 2 + 5× 110+ 1× 1

102

O sea que el 4 representa cuatro mil unidades enteras; el 8, ochocientas unidadesenteras; el 3, treinta unidades enteras; el 2, dos unidades enteras. Los dígitos que aparecena la derecha del punto (llamado punto decimal) representan unidades fraccionarias. Asíel 5 representa cinco décimas, el 1, una centésima.


El numeral 4382,15 se escribe, como en el caso anterior,4382,15 = 4× 103 + 3× 102 + 8× 10 + 2 + 1× 1

10+ 5× 1

102

Obsérvese que en los ejemplos anteriores, el 8 aparece en ambos numerales y representaen ellos valores numéricos diferentes. En el primero ochocientas unidades enteras y en elsegundo ochenta. Igual sucede con el 5. En el primero representa cinco décimas y en elsegundo cinco centésimas. El dos por su parte representa en ambos numerales el mismovalor numérico por ocupar la misma posición.Es importante observar, que en el lenguaje ordinario, y por razones de comodidad,

los numerales se identifican con los números que representan y así se acostumbra decir .el

número 7851.en lugar de .el número representado por el numeral 7851". Consecuentementeuna expresión del tipo 3

4= 0,75, que suele leerse "tres cuartos igual a cero setenta y

cinco", debe entenderse en el sentido de que los numerales "342"0,75representan el mismo

número.Se puede generalizar las observaciones anteriores diciendo que todo número real admite

una representación por un numeral decimal que es de la forma:±anan−1 . . . . . . . . . a1a0.b1b2b3 . . .Donde los símbolos a0, a1, ..., an, b1, b2, b3, etc., son dígitos y los puntos suspensivos a la

derecha del numeral indican que la sucesión de dígitos puede continuar indefinidamente.El número real que representa este numeral está definido por la siguiente expresión

polinómica que a su vez permite reconocer el valor numérico que representa cada dígito:±anan−1 . . . . . . . . . a1a0.b1b2b3 . . . == ±(an × 10n + an−1 × 10n−1 + . . .+ a1 × 10 + a0 + b1 × 1

10+ b2 × 1

102. . .)

Observe la correlación entre el subíndice que identifica la posición del dígito en elnumeral y el exponente de la potencia de 10 asignada con el dígito.Cuando a partir de un determinado dígito en la parte decimal del numeral, todos los

dígitos son cero, se omite su escritura y el numeral es finito. Este es el caso del ejemploque hemos considerado anteriormente, se escribe 4832,51 como una forma simplificada delnumeral 4832,51000.... y es por lo tanto un ejemplo de numeral finito. Si identificamos losdígitos en este numeral de acuerdo con la notación generalizada obtenemos la siguientecorrespondencia:4 8 3 2 ,5 1 0 0a3 a2 a1 a0.b1 b2 b3 b4n = 3 y b3 = b4 = b5 = ... = 0Otros ejemplos de numerales decimales son los siguientes: (Damos a la derecha de cada

uno de ellos la expresión polinómica que lo define y que permite identificar al número realque representa).

a. −10923 ≡ −(1× 104 + 0× 103 + 9× 102 + 2× 10 + 3)= −(1× 104 + 9× 102 + 2× 10 + 3)

b. 2,75 = 2 + 7× 110+ 5× 1

102

c. 1,53232... = 1 + 5× 110+ 3× 1

102+ 2× 1

103+ 3× 1

104+ ...


d. 2,101001... = 2 + 110+ 0

102+ 1

103+ 0

104+ 0

105+ 1

106+ ... =

= 2 + 110+ 1

103+ 1

106+ 1

1010+ ...

La representación decimal permite caracterizar y distinguir los diferentes tipos denúmeros reales existentes. Las afirmaciones siguientes recogen resultados que el estudianteha debido estudiar en el Bachillerato.El conjunto de los numerales decimales de la forma ±anan−1 . . . . . . . . . a1a0.b1b2b3. . . se

pueden identificar con el conjunto de los números reales. Es decir, cada numeral de estetipo representa un número real y a su vez todo número real admite ser representado deesta manera.Cuando a partir de un dígito bk de la parte decimal de un numeral hay una repetición

indefinida de un grupo de dígitos, el numeral se dice que es periódico y el número querepresenta es un número racional. Cuando este no es el caso el número representado esun número irracional.Debe ser claro que los numerales que hemos llamado anteriormente finitos representan

números racionales, pues se trata de numerales periódicos en los cuales el grupo de dígitosque se repite está constituido por el 0. Debe ser igualmente claro que los numerales deltipo ±anan−1....a1a0 son caso especiales de este tipo de numerales y representan númerosenteros.Si en el caso de numerales periódicos identificamos con c1.....cm el grupo de dígitos que

se repite, el numeral se escribe de la siguiente forma:±anan−1 . . . . . . . . . a1a0.b1b2b3 . . . bkc1c2 · · · cmLa raya sobre el conjunto de dígitos c1c2....cm indica que el numeral se obtiene por la

repetición indefinida de dicho grupo de dígitos. El número m de dígitos en el grupo sellama período de la fracción decimal.Veamos los ejemplos de la página anterior. En el numeral 11,523232... = 11,523 el par

de dígitos 23 se repite indefinidamente y por lo tanto es un decimal periódico con período2. Así, 11,523 representa un número racional. En cambio 2,1010010001.... representa unnúmero irracional, pues es un numeral con infinitos dígitos que no es periódico en el sentidode la definición dada 2,75, por ser una fracción decimal finita, denota un número racional,mientras que −10923 denota obviamente un número entero negativo.En este contexto surge naturalmente el siguiente problema que el estudiante debe

poder resolver. Si un número racional puede representarse por una fracción entre enterosy también por un numeral decimal periódico, ¿cómo se puede pasar de una forma derepresentación a otra? En el ejercicio 29 de esta unidad se recuerda la manera de resolvereste problema y se proponen algunos ejercicios específicos.

Números irracionales.

Demostrar que un número dado es irracional no es, sencillo. Las demostraciones de lairracionalidad de π,

√2 y e, por ejemplo, fueron en su momento pasos importantes en el

desarrollo de las matemáticas.


La demostración clásica de la irracionalidad de√2 es la siguiente: Supongamos que√

2 no es irracional. Esto es, se puede expresar como una fracción pq, donde p y q son

enteros. Simplificando esta fracción, si fuese necesario, podemos suponer que p y q notienen factores comunes; o lo que es lo mismo, que la fracción ha sido reducida a su formamás simple. Se puede escribir:

(a) pq=√2

∴ p2

q2= 2

(b) p2 = 2q2

Se deduce de esta última expresión que p2 es par. Puesto que el cuadrado de un númeroimpar es un número impar, el que p2 sea par significa que p también sea par. Por lo tantop = 2r siendo r entero. Sustituyendo p2 por 4r2 en (b) se tiene

4r2 = 2q2

∴ 2r2 = q2

Es decir, que q2 también es par y, por la misma razón utilizada en el párrafo anterior,q también lo será. Consecuentemente, q es de la forma q = 2k, siendo k entero. Esteresultado permite concluir que 2 es un factor común de p y de q, contra el supuesto deque no tenía factores comunes. Esto es una contradicción. Se deduce, por lo tanto, que elsupuesto en la igualdad (a) no es válido y que

√2 no es racional.

Seguramente que no es difícil para el estudiante aceptar que hay numerosos (infinitos)números racionales. ¿Qué se puede afirmar de los irracionales? ¿No habrá más irracionalesque π, e,

√2? En realidad el conjunto de los números irracionales es infinito. Partiendo

de la irracionalidad de√2, no es difícil demostrar, por ejemplo, que si p

qes un numero

racional, pq+√2 es un número irracional. Para demostrarlo procedamos de nuevo en forma

indirecta. Afirmemos lo contrario de lo que queremos probar. Es decir, supongamos quepq+√2 es racional y que por lo tanto se puede expresar como una fracción de números

enteros mn. Podemos escribir:

pq+√2 = m

n

∴√2 = m

n− p

q= mq−np

nq

Pero mq−npnq

es un número racional pues, tanto mq − np, como nq son enteros. Pero

ésto es una contradicción, pues esta fracción de enteros es igual a√2 y demostramos,

anteriormente, que√2 es irracional. Se concluye, por lo tanto, que nuestra hipótesis de

trabajo es falsa y que pq+√2 no puede ser racional.

La gran abundancia de números irracionales se puede intuir también utilizandonumerales decimales y observando que serían inagotables las fracciones decimalesinfinitas no periódicas que podríamos construir. Ya vimos, por ejemplo, cómo el símbolo2,101001000100001... da claramente la ley de formación para una de tales fracciones yrepresenta, por lo tanto, un número irracional. En realidad, se demuestra en matemáticasque mientras es posible enumerar al conjunto de los números racionales poniéndolos encorrespondencia uno a uno con los números naturales, ésto no es posible con los númerosirracionales y no se pueden listar mediante enumeración. Es decir, que en la matemática,como en la vida real los "irracionales.abundan más que los racionales".


Ejercicios.En los ejercicios 1 a 20 responda verdadero o falso justificando su respuesta. Si requiere

de una demostración para las justificaciones, diga si esta es directa, indirecta o por elmétodo de contraejemplo,

1. Todo número natural es un número entero.

2. Todo número entero es un número racional.

3. Todo número racional es un número real.

4. Todo número real es un número complejo.

5. Todo número irracional es un número real.

6. Existen números racionales que son irracionales,

7. Existen números irracionales que son racionales:

8. Los siguientes ejercicios se relacionan con operaciones entre reales

a. n1 + n2 y n1 − n2 son naturales si n1 y n2 lo son.

b. n1.n2 es un número natural si n1 y n2 lo son.

c. n1n2es un número natural si n1 y n2 lo son.

d. r1 + r2, r1 − r2, r1.r2,r1r2son números racionales si r1 y r2 lo son.

e. α+ β o α.β son números irracionales si α y β lo son.

f. αβes un número irracional si α y β lo son.

9. Si r es racional y α irracional entonces r + α es irracional.

10. Si r es racional entonces r√2 es irracional.

11. Existen números irracionales α y β tales que α+ β es racional.

12. Existen números irracionales α y β tales que α.β es racional.

13.√17 es un número racional.

14. R = N ∪ Z ∪Q ∪ I15. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C16. 3

4= 0,75 = 7

10+ 5

102

17. 13= 0,33 = 3

10+ 3

102

18. 34= 15

20


19. El cuadrado de todo número impar es un número impar.

20. El cuadrado de todo número par es un número par.

21. Identifique como natural, entero, racional, irracional o complejo cada uno de lossiguientes números, justificando su respuesta:

13+4, 1

5+ 15, (−19)10, 8

2,−0,5+ 1

4, 1,251, (

√2)2, 3+2i, 1+

√2,−3,12112111211112 . . . ,

1,213− 0.33,√2 + 4i

22. Diga cuáles entre las siguientes fracciones reales representan un mismo número realo complejo y clasifique el número que representa.

12,√22, 3π, 120π

40, (√2)3

4, 50100

,√3

2√3, −11×0,25

110, i4, π0,3, −2

i

23. Describa por extensión, los conjuntos de números que se definen a continuación yclasifíquelos como enteros, racionales o irracionales.

a. {a4a3a2a1a0 : 1 ≤ a4 ≤ 3, a3 = 3a4, a2 = 2a4, a1 = a4, a0 = 0}b. {132.b13c1c2 : 4 ≤ b1 ≤ 5, 0 ≤ ci ≤ 2, i = 1, 2}c. {0.a1a2a3 . . . /1 ≤ a1 ≤ 2, a2 = 0, a3 = a4 = a1, a5 = 0, a6 = a7 = a8 = a1}

24 Dé la expresión polinómica de los numerales decimales correspondientes a losnúmeros que se indican a continuación.

125,31456 , 0,0093 , 2,5103, 3,42− 4,512 , 12,121221. . . . . . , 1,404004. . . .

25. Dado la expresión polinómica, hallar los numerales correspondientes:

a. 5× 102 + 6× 10 + 3 + 310+ 4

102+ 4

103+ 4

104+ . . .

b. 110+ 2

102+ 3

103+ 4

104+ 5

105+ 1

106+ 2

107+ 3

108+ 3

109+ 3

1010+ . . .

c. 3× 102 + 2× 10 + 5 + 110+ 2

102+ 1

103+ 1

104+ 2

105. . .

d. 110+ 3

103+ 4

105+ 5

107+ 6

109. . .

e. 7103+ 1

104+ 3

105+ 4

106+ 5

107+ 5

108+ 1

109. . .

26. Utilice el método indirecto para demostrar que si a es un número irracional entonces:

a. pq+ α es un número irracional. p y q son enteros (q 6= 0)

b. pq.α es un número irracional. p y q son enteros (p 6= 0 y q 6= 0)

27 Teniendo en cuenta lo visto en este capítulo y que las raíces inexactas son númerosirracionales clasifique los siguientes números:

√3,√7, 3√2, 0,25 + π, 2

3+√3,¡3√2¢9,

3π, 4.32.

√3


28. Diga para qué valores reales de x los siguientes numerales no representan un númeroreal.

(5x+2)x+1

, (x+3)2x+6

, 3√x, 0x2+10

, 6xx2+1

, (7x+2)0, (x+4)x2−16

29. a. Exprese los numerales decimales (fracción decimal) y su definición polinómicacorrespondiente a los números representados por los siguientes numerales:

. −34, 18,−1821, 4521

7(En los casos de fracciones realice la división entera para obtener

la fracción decimal pedida)

b. Encuentre fracciones entera (del tipo pqcon p y q enteros) que representen a los

números racionales −82,25, 13,2531, 131,2, 0,362, 0,412314

Ayuda:- En el caso de la fracción finita −82,25, observe que si N = −82,25 entonces:N × 100 = −8225 lo que permite escribir N como fracción entera.- En el caso de la fracción periódica 12, 2531, observe que si N = 13,2531 entoncesN × 100 = 1325.31N × 10000 = 132531.31∴ N × 9900 = 132531− 1325Lo que permite escribir a N como fracción entera.

Con base en estos ejercicios de una regla general para obtener una fracción entera querepresente al número racional simbolizado por el numeral

anan−1 . . . a1a0, b1b2 . . . bk c1c2 . . . cm

30. De las siguientes frases diga cuáles son proposiciones y cuáles no. Además diga cuálesson proposiciones abiertas.

a. El triángulo es más grande que el círculo,

b. 1 +√2 es un numero irracional.

c. Si dos rectas son paralelas se intersectan.

d. Existen infinitos números pares.

e. La suma de dos enteros impares es par.

f. 52 es par y 5 es par.

g. x2 + 2x+ 1 = 0.

h. Existe en R una solución de la ecuación x2 + 1 = 0.

i. Si x2 = 4 entonces x = 2.

j. Para todo x real, x2 > 0.k. Dado un número real x, positivo, negativo o nulo.


l. Para todo x, y en R , (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2.

m. a, b números reales. Si ab = 0 entonces a = 0 ó b = 0.

n. x numero real; 5x− 3 = x+ 5 si y solo si x = 2.

o. n número natural; n es divisible por 3 o es divisible por 2.

p. 328,5123 < 328,522.

q. (x− 1)(x+ 1) > 0.

31. En los casos que identificó como proposiciones en el ejercicio anterior, dé su negacióny diga cuál de las dos proposiciones es verdadera.

32. Dé la negación de las siguientes proposiciones cuantificadas:

a. (∃x ∈ R)(x2 + 5x+ 4 = 0)b. (∃x ∈ Q)(0,3 < x < 0,33)

c. (∀a ∈ R)(∀ b ∈ R)(a+ b = b+ a)

d. (∀x ∈ C)(∃y ∈ C)(x.y = 1)e. ( ∃x ∈ R)( ∀y ∈ R)(x+ y = y)

33. Traduzca al lenguaje simbólico las siguientes proposiciones y sus negaciones:

a. La ecuación x2 − x+ 1 = 0 tiene solución en R.b. Todo número racional a 6= 0 tiene otro número racional b 6= 0 tal que a.b = 1.c. Todo número entero n tiene en Z otro número m tal que m+ n = 0.

d. Algún número entero no es par.

e. Todo número entero se puede descomponer como producto de factores primos.

34. Dé la tabla de verdad de la doble implicación.

35. Demuestre que las siguientes expresiones proposicionales son tautologías y diga quéexpresa cada una de ellas:

a. ∼ (p ∧ q)←→∼ p∨ ∼ q

b. ∼ (p ∨ q)←→∼ p∧ ∼ q

c. ∼ (∼ p)←→ p

d. ((p −→ q) ∧ p) −→ q

e. ∼ (p −→ q)←→ p∧ ∼ q

36. Dé la negación, la contrarrecíproca y recíproca de las siguientes implicaciones y digacuál de las proposiciones es verdadera:


a. Si un número entero es primo, no es divisible por 3.

b. Dados a y b números reales, si a.b = 0 entonces a = 0 ó b = 0.

c. Dado x numero real, si 0 < x < 1 entonces 0 < x2 < x.

37. Escriba en forma simbólica las siguientes proposiciones, dé su negación y diga cuálesson falsas y cuáles verdaderas:

a.√3 es un número racional ó irracional.

b. 18 es divisible por tres y por seis.

c. Una condición necesaria para que 32 = 10 es que 8− 3 = 6.d. Una condición suficiente para que 2 < 3 es que 2 < 5.

e. Una condición necesaria y suficiente para que 0,75 sea un número racional es quese pueda escribir como fracción entre enteros.

38 Defina en forma comprensiva y en forma extensiva los siguientes conjuntos:

a. El conjunto de todos los naturales menores que 7.

b. El conjunto de todos los enteros pares.

c. El conjunto de todos los números naturales mayores que 13 y menores que 31.

d. El conjunto de todos los números naturales impares menores que 13.

39. Defina en forma comprensiva los siguientes conjuntos:

a. El conjunto de los números racionales.

b. El conjunto de los números complejos.

c. El conjunto de todos los números reales menores que −2 y mayores o iguales que5.

d. El conjunto de todos los números irracionales mayores que 0 y menores o igualesque −1.

40. Indique cuáles de los siguientes casos son verdaderos y cuáles falsos; justificando surespuesta:

a. 2 ∈ {2, 3}b. 3 ∈ {2, 3}c. 2 ⊂ {2, 3}d. {3} ⊂ {3, 4}e. {x, y} = {{y, x}}f. 7 = {7}


g. {∅} es el conjunto vacíoh. {1, 3} y {1, 5, 15} no tienen elementos en común.

41. Considere el siguiente conjunto: A = {12, 13, 14, . . . ,R,Q, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}. Diga cuáles

de los siguientes casos son verdaderos y cuáles falsos justificando su respuesta.

a.√2 ∈ A

b. R ⊂ A

c. Q ⊂ A

d. { 1n/n ∈ N} ⊂ A

e. N ⊂ A

f. R ∈ A

g. Q ∈ A

h. {pq: p, q ∈ Z, q 6= 0} ∈ A

i. N ∈ A

j. A ∈ A

k. A ⊂ A

l. R ∈ A

42. Sean A = {1, 5, 7} , B = {1, 3, 4, 7} y C = {5, 6, 7, 8}. Encuentre cada uno de lossiguientes conjuntos:

a. A ∪ Cb. A ∩ Cc. A ∩ (B ∪ C)d. B ∩ Ce. A ∪ (B ∩ C)f. CNA

g. CNB ∪ Ch. B −A

i. C −B

j. CN(A−B)

k. A×B

l. A× C

m. A× (B ∪ C)


n. (A×B) ∪ (A× C)

43. Sean A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8} y B = {x ∈ R : x2 − 9 = 0}. EncuentreA ∪B,A ∩B,A−B,B −A.

44. Sean A,B y C tres conjuntos, demuestre que:

a. A ⊂ B ∧B ⊂ C → A ⊂ C

b. A ∩B = B ∩Ac. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)d. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)e. A ∪B = B ∪A

45. Demuestre la segunda ley de De Morgan.

46. Demuestre que los siguientes conjuntos son coordinables con Z o con un subconjuntosuyo y por lo tanto que son enumerables,

a. Los números pares positivos.

b. Los números impares positivos.

c. Todos los enteros múltiplos de 5.

d. El conjunto de los números que se obtienen al elevar el −3 sucesivamente a laprimera potencia, a la segunda potencia, etc.

47. Indique la manera de establecer una correspondencia biunívoca entre los siguientesconjuntos:

a. El alfabeto español y un subconjunto de los números naturales,

b. Entre los números reales positivos y los números reales positivos mayores que 1.

c. Entre R×R y los puntos del plano.

Capítulo 2

LOS NÚMEROS REALES COMOSISTEMA MATEMÁTICO

2.1. LOS NÚMEROS COMO RESULTADO DE LAACTIVIDAD DE MEDIR Y CONTAR

La descripción que hemos hecho de los números reales, clasificándolos en naturales,enteros, racionales e irracionales, a pesar de lo breve y fácil que hoy puede parecer, es elproducto de un largo y difícil proceso de desarrollo del concepto de número.En las diversas etapas de la evolución del hombre los números han incidido de manera

significativa en el desarrollo del lenguaje y del pensamiento. Es conveniente advertir queaunque actualmente la secuencia de números naturales nos parece muy sencilla, debierontranscurrir grandes periodos de tiempo e innumerables vicisitudes para adoptar la formay significado como hoy los reconocemos:

1 : uno,2 : dos,3 : tres,4 : cuatro,5 : cinco,

.

.

Aunque es difícil establecer el surgimiento del concepto de número, el hombresiempre ha manejado la noción de contar. Sabemos que hace miles de años se utilizabanobjetos concretos; así, un pastor contaba sus ovejas colocándolas en correspondencia conpiedrecillas que guardaba con sus enseres. No es fortuito, entonces que la palabra cálculo,en latín, signifique piedra y de calculi se deriva calcular, que etimologicamente traducecontar por medio de piedras.Es importante advertir que un hecho determinante en el establecimiento del proceso

de contar fue el haber logrado establecer relaciones de correspondencia biúnivoca entre

61

62 2. LOS NÚMEROS REALES COMO SISTEMA MATEMÁTICO

grupos de objetos. En todo caso, desde tiempos prehistóricos, el hombre pudo percibirno sólo diferencias cualitativas, sino también diferencias cuantitativas que le permitieronestablecer diferencias entre uno y muchos objetos.Sin embargo, solo fue luego de muchos siglos que se logró establecer “equivalencias”

entre diferentes conjuntos de objetos, que permitieron descubrir propiedades cuantitativascomunes en agrupaciones, como las presentadas en la figura 3, que en la actualidadidentificamos con el número dos sin ninguna dificultad.

Figura 3

Dadas dos agrupaciones, no siempre basta con la sola percepción visual paradeterminar en cual de las dos hay mayor número de elementos; geneeralmente tenemosque realizar una operación. Por ejemplo, si queremos saber si hay más sillas que alumnos,basta hacer sentar a los alumnos de tal forma que si quedan alumnos parados habrámás alumnos que sillas. Pero no siempre es posible efectuar operaciones concretas paracuantificar agrupaciones; se hace necesario un aparato teórico que permita efectuar, demanera abstracta, la operación de comparar. Para ello hemos establecido los sistemas denumeración.El primero de tales sistemas corresponde a nuestros números naturales. Desde

la antiguedad griega sabemos que éstos se muestran limitados para resolver algunosproblemas de medición abstracta. Se hace perentorio, entonces, extender progresivamenteel concepto de número que incluya no sólo el cero sino también cantidades negativas,fraccionarias y también las llamadas magnitudes inconmensurables.El primer tratado en el que se formaliza un sistema numérico corresponde a los

Elementos de Euclides, el cual fue escrito en la antigua Grecia, hacia el siglo IV a. C.En este libro se define número como “una colección de unidades”. Esto implica que nose considera como números ni a los racionales ni a los irracionales. Sin embargo, Euclidesdesarrolla una teoría de razones y proporciones con el propósito de establecer una teoríade la medida para magnitudes no sólo conmensurables, sino también inconmensurables,

2.1. LOSNÚMEROSCOMORESULTADODELAACTIVIDADDEMEDIRYCONTAR63

como lo explicaremos más adelante. Con esto queremos decir que si bien las fracciones seutilizaban en los procesos de medición empírica, no poseían el estatus de número comotal. Tuvieron que transcurrir muchos siglos de desarrollo conceptual para representar lasfracciones mediante la expresión m

n, sin hacer alusión al proceso de medir. Esta separación

con el orden empírico fue constituyendo el sistema de los números racionales de manerapaulatina.El uso de la representación simbólica de cantidades que dieran cuenta del proceso de

medir, tuvo gran importancia en la creación de los números racionales. De un lado, apartir la introducción de la notación m

n, para dar cuenta de cierto tipo de mediciones,

permitió sustituir las operaciones de medición de magnitudes por la manipulación de lossímbolos e hizo posible definir entre ellos las operaciones de adición y multiplicaciónque hoy conocemos, con las mismas propiedades formales de las operaciones entrenaturales (conmutativa, asociativa, distributiva). De otro lado, la existencia de problemasmatemáticos propiamente dichos que tenían que ver con las limitaciones operativas de losnúmeros naturales. En la aritmética de los números naturales, mientras las operacionesde suma y multiplicación son siempre posibles no ocurre lo mismo con las operaciones dedivisión entera y resta. La división b÷a sólo tiene sentido cuando b es un múltiplo enterode a. La diferencia b− a sólo la tiene cuando b es mayor que a. La introducción primerode las fracciones y luego de los números negativos permiten resolver estas limitacionespasándose al sistema de los números racionales en los cuales las operaciones aritméticasbásicas de suma, multiplicación, sustracción y división (excepto por cero) son siempreposibles.Consideraciones semejantes a las anteriores son aplicables al desarrollo del sistema de

números irracionales como extensión del sistema de los números racionales. Por ejemplo,la evolución del concepto de raíz n-ésima y su relación con el problema de cantidadesinconmensurables condujeron paulatinamente a la identificación y perfeccionamiento delconcepto de número irracional y en general a la creación de los sistemas de números realesy números complejos. Sin embargo, es pertinente aclarar, que durante más de veintesiglos, no se dio una caracterización completa de los números irracionales, los cuales,generalmente, se trabajaban a través de aproximaciones de números racionales; pero sinuna base estructural sólida que proporcionara datos sobre sus propiedades o sobre lamanera de operar “rigurosamente” con ellos. Fue sólo hasta el siglo XIX, con GeorgeCantor y Richard Dedekind, que se logró una caracterización de los números irracionales.En resumen, la evolución del concepto de número se dio a partir del desarrollo

abstracto de las actividades de contar y medir. El desarrollo histórico de los sistemasnuméricos puede mirarse como el perfeccionamiento paulatino de un modelo conceptual ysimbólico, que debía permitir la descripción, representación y manipulación de operacionesde medición cada vez más complejas. En este sentido el sistema de los números reales, sibien puede considerarse como un modelo que representa y generaliza la noción de mediciónque se da en el mundo físico, constituye un universo de entes abstractos con su propialegilación. Dar cuenta de esa normatividad y determinar las complejas relaciones entre losobjetos matemáticos, en este caso los números reales, constituye la esencia de la actividadmatemática..


2.2. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LOSNÚMEROS REALES

Los problemas de medición que determinaron históricamente el desarrollo del conceptode número real tienen una interpretación geométrica. Medir es, esencialmente, unproceso de comparación de dos “cantidades” homogéneas una de las cuales se tomaarbitrariamente como patrón de comparación. Consecuentemente, no es difícil ver quecualquier medición física de carácter escalar (especialmente de magnitudes fundamentales)puede ser idealizada, en términos geométricos, mediante la comparación de dos segmentosde recta, uno de los cuales se toma arbitrariamente como patrón de medida.Esta idealización geométrica de cualquier medición escalar puede describirse de la

siguiente manera. Sean AB y CD dos segmentos de la recta L, tal como se indica en laFigura 4, de los cuales AB se toma arbitrariamente como patrón de medida.

A B C

L

patrón de medida

Figura 4

Al comparar las longitudes se presentan dos opciones según que el segmento AB puedao no acomodarse un número entero de veces en el segmento AC.En el primer caso la operación de medir se reduce a la de contar las veces que AB

se puede acomodar en AC. La medida de AC, respecto de AB, que denotaremos comom(AC|AB), estará dada por el número entero n de veces que AB cabe en AC, esto esAC = nAB, o lo que es lo mismo m(AC|AB) = n. Cuando el patrón de medida sesubentiende y no hay peligro de confusión escribiremos simplemente m(AC). En lo quesigue solo haremos referencia al patrón de medida cuando lo consideremos conveniente.En particular, puesto que AB cabe exactamente una vez en AB se tendrá que

m(AB) = 1. Podemos representar este hecho (Figura 5) en nuestra recta ideal tomandoel punto A como referencia, asociándole el numero 0 y asociándole a los puntos B y C losnúmeros enteros correspondientes a sus medidas m(AB) y m(AC) respecto de AB,

A B C

AB se acomoda en AC n veces

0 1 n

Figura 5

2.2. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS REALES 65

Medida de AB respecto de AB = m(AB) = 1Medida de AC respecto de AB = m(AC) = n

En la segunda opción (AB no puede acomodarse un número entero de veces enAC), la comparación se extiende introduciendo nuevas unidades (subunidades o unidadesfraccionarias) que se obtienen subdividiendo en partes iguales, digamos p, el patrónoriginal. En el modelo geométrico que estamos utilizando esta subunidad se puedeidentificar con el segmento AD, cuya medida respecto de AB se conviene en representarcon el símbolo 1

p. Es decir m(AD|AB) = 1

p(Ver Figura 6),

p unidades fraccionarias

s unidades fraccionarias

A D B C 0

p2 1=p

p ps p

1

Figura 6

De nuevo la operación de medición se reduce a determinar el número de veces que estasubunidad puede acomodarse en AC. Si éste es un número exacto e igual a s, el númerofraccionario s

nindicará este hecho y servirá para representar la medición de AC respecto

de AB. Simbólicamente m(AC|AB) = sn. También se podría escribir m(AC|AD) = s. Es

decir, que por definición, m(AC|AB) = m(AC|AD).m(AD|AB).El proceso de medición no se agota, sin embargo, con la introducción de unidades

fraccionarias. Por lo menos, desde un punto de vista teórico cabe la siguiente pregunta:Dado el segmento AC y el patrón de medida AB será siempre conmensurable respectode AB, es decir, será siempre posible encontrar una unidad fraccionaria AD de AB, quepueda acomodarse en AC un número exacto de veces?Obsérvese que dicha pregunta puede interpretarse también como una pregunta sobre

la suficiencia del conjunto de los números racionales para representar la totalidad deresultados posibles en un proceso de medición. Una respuesta positiva significa que todamedición puede representarse por un número fraccionario s

pmientras que una respuesta

negativa indicaría que existen mediciones que no pueden ser representadas por símbolosnuméricos de esta forma.Un respuesta satisfactoria a la pregunta propuesta se puede obtener con el modelo

geométrico que hemos venido utilizando para señalar las conexiones entre los problemas


de medición y el desarrollo del concepto de número real. En el fondo esta preguntaempezó a resolverse históricamente en la medida en que dicho modelo geométrico habíaalcanzado cierto desarrollo teórico y prácticamente había permitido ya establecer unateoría geométrica de los números.

EjemploConsidere en la Figura 7, el segmento AB que se toma como patrón de medida y

construya el cuadrado ABA0B0 tal como se indica.

A B C

A´ B´

Figura 7

Construya la diagonal AA0 y determine el segmento AC sobre la recta de referencia,trazando un círculo con radio AA0 , con centro en A. El segmento así construido serácongruente con la diagonal AA0.Aplicando el teorema de Pitágoras se puede escribir la siguiente relación entre las

medidas de AA0, AB y BA0 respecto de AB

m(AA0)2 = m(AB)2 +m(BA0)2

Puesto que ABA0B0 es un cuadrado y la longitud de su lado respecto de AB es 1, sepuede escribir

m(AA0)2 = 1 + 1 = 2m(AA0) = √2En la sección 1.4 demostramos que

√2 no puede tener forma fraccionaria.

En conclusión, y contrario a lo que puede indicar la intuición, hemos construído unsegmento AC que es inconmensurable respecto de un patrón de medida determinada,en el sentido de que no es posible encontrar una unidad fraccionaria de AB que puedaacomodarse en AC un numero exacto de veces y que, por lo tanto, su medición, puedaexpresarse como un número fraccionario m

n. La medición de este segmento AC respecto

de la unidad de medida AB será expresada por el número irracional√2.

Un caso similar se presenta cuando se relaciona la longitud de una circunferencia y sudiámetro, que da lugar al conocido número irracional π:


C

D CD

π=

π = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132...

2.2.1. La Recta Numérica.

Se puede decir que, en términos intuitivos y teniendo en cuenta su origen histórico,los números reales positivos pueden interpretarse como longitudes de segmentos respectode una unidad de medida determinada y que su clasificación en racionales e irracionalesresponde a la posibilidad teórica de dos resultados cualitativamente diferentes en todoproceso de medición. Los números racionales, incluidos los enteros, expresan la longitudde segmentos conmensurables respecto de la unidad de medida adoptada, mientras que losllamados nuneros irracionales expresan la longitud de segmentos que son inconmensurablesrespecto de dicha unidad.De acuerdo con lo anterior si tomamos una recta ideal en la cual se ha tomado un

punto A de referencia y un segmento arbitrario AB como patrón de medida y un sentidode medición, "positivo.a la derecha y ”negativo” a la izquierda, todo punto P sobre larecta determinará un segmento AP cuya medida relativa respecto del patrón AB seráun numero real x. Recíprocamente todo número real x corresponderá, por definición a lamedida de un segmento AP sobre la recta (Ver Figura 9).


A B P Positivo Negativo

Este número representa la medida del segmento AP respecto del patrón de medida AB. Simbólicamente m(AP/AB) = x

x

Figura 9

Si el punto P está a la derecha de A el numero real x asociado será positivo y seránegativo si P está a la izquierda de A. Los números racionales corresponderán a los puntosR tales que los segmentos AR son conmensurables respecto de la unidad de medida AB.Así, por ejemplo, los números enteros estarán asociados con los puntos que se obtienenal desplazar el patrón de medida AB a izquierda y derecha sucesivamente. El número 1

n

corresponderá al punto extremo de la unidad fraccionaria que se obtiene al dividir en npartes iguales al patrón de medida (Ver Figura 10)

0 1 2 3 1− 2− 31

32

32−

Figura 10

La figura 10 muestra la ubicación de los números racionales de la forma mn, para n = 3.

Desplazando esta unidad de medida fraccionaria a izquierda y derecha sucesivamentese obtienen los puntos correspondientes a los números fraccionarios de la forma m

n

Los números irracionales corresponderán a los puntos I tales que los segmentos AIson inconmensurables respecto del patrón de medida AB. Esta correspondencia biunívoca(o identificación) entre puntos de una recta ideal y números reales da origen al conceptode recta numérica que nos permite hablar indistintamente de "números.o "puntos 2quenos permite entender e interpretar muchas de las propiedades de los números reales entérminos de su representación como puntos de una recta.El número asociado a un punto P arbitrario se llama coordenada del punto. Si P1 y

P2 son dos puntos arbitrarios en la recta numérica con coordenadas x1 y x2 la medidarelativa de P1P2 se calcula mediante la expresión

m(P1P2) = x2 − x1

Consideremos el caso particular que se indica en la figura 11


A P2 P1

0 x1 x2 positivo negativo

Figura 11

Se puede escribir: m(AP2) = m(AP1) +m(P1P2): x2 = x1 +m(P1P2)∴ m(P1P2) = x2 − x1

Estudiando los otros casos posibles en lo que respecta a la ubicación relativa de lospuntos P1, P2 respecto del origen A se puede comprobar que la fórmula anterior siguesiendo válida (Ver ejercicios).La recta numérica permite visualizar igualmente el orden natural que se da entre los

números reales. Si x e y son números reales asociados con los puntos P y Q, x será menorque y (x < y) si P está a la izquierda de Q y por lo tanto m(PQ) = y − x es positivo.Se establece también de manera natural la noción de distancia entre dos números reales

sobre la recta numérica. Por definición la distancia entre dos puntos será la medida delsegmento determinado por ellos, en la dirección positiva de la recta y se llamará medidaabsoluta del segmento.Si P es un punto sobre una recta numérica y x es el número real asociado con él, tal

como se indica en la figura 8, definimos valor absoluto de x, y lo denotaremos |x| , comola distancia de P al origen.

0 x A P

A P

La distancia al origen está dada por xx =

0 x

La distancia al origen está dada por xx −=

Figura 12

Utilizando la definición de distancia dada anteriormente, se puede observar que si Pestá a la derecha del origen A, x es positivo y su distancia al origen estará dada por


m(AP ) = x − 0 = x, mientras que si P está a la izquierda de A, x será negativo y sudistancia al origen estará dada por m(PA) = 0− x = −x. Se puede concluir por lo tantoque:

|x| = x si x > 0

−x si x < 0

Si P1 y P2 son puntos arbitrarios sobre una recta numérica con coordenadas x1 y x2

respectivamente, la distancia entre P1 y P2 estará dada por m(P1P2) = x2−x1, si P1 estaa la izquierda de P2 (x1 < x2) y por m(P2P1) = x1 − x2, si P2 está a la izquierda de P1(x2 < x1). Así, la distancia entre P1 y P2 está dada por el valor absoluto de la diferenciade las coordenadas de los dos puntos. Se puede escribir por lo tanto:

Distancia entre P1 y P2 = |x2 −X1|

EjemplosDe acuerdo con las definiciones anteriores

¯12

¯=¯−12

¯= 1

2, lo cual se desprende

claramente del significado intuitivo que le hemos dado al valor absoluto de un númeroy que en este caso dice que la distancia al origen de los puntos marcados con 1

2y −1

2

es la misma. Por otra parte si P1 y P2 son puntos con coordenadas x1 = 34y x2 = −1

respectivamente, se tiene que la distancia entre P1 y P2 viene dada por la expresión

|x2 − x1| =¯−1− 3

4

¯=¯−7

4

¯= 7

4

2.2.2. Mediciones y Numerales Decimales.

En los procesos de medición física siempre se definen "sistemas de mediciónrespectode los cuales se realizan y se expresan tales mediciones. Un sistema de medida.estáconstituido básicamente por un "patrón"de comparación y un conjunto de unidades queson "múltiplos"ó "submúltiplos"del patrón de medida. Es decir, aquellos sistemas en loscuales las medidas de las diferentes unidades están ligadas entre sí por potencias de 10. Elsiguiente sistema definido en la recta numérica puede considerarse como una idealizaciónde este tipo de sistemas y por lo tanto tiene sentido llamarlo sistema de medición decimalabstracto.Sea la recta numérica en la cual se ha tomado el segmento AE0 como patrón de medida.

Tal como se ilustra en las figuras 13 y 14, se pueden considerar unidades de medida queson "múltiplos.o "submúltiplos"de 10 de la unidad y que llamaremos respectivamenteunidades enteras o fraccionarias.


Unidades enteras.

Unidad entera del orden 0:

Está dada por el segmento de recta que se tomaarbitrariamente como patrón de comparación yse denota AEo (Figura 13). Se tiene pordefinición que:

m(AEo|AEo) = 1

Unidad entera del orden 1:

Está dada por segmentos de recta que se obtienenyuxtaponiendo 10 unidades enteras de orden 0.Si se representa por el segmento AE2 (Figura 13)se tiene, por definición que:

m(AE1|AEo) = 10

Unidad entera de orden 2:

Está dada por segmentos de recta que se obtienenyuxtaponiendo 10 unidades enteras de orden 1 o,lo que es lo mismo, 102 unidades enteras deorden 0. Si se representa por el segmento AE2(Figura 13) se tiene, por definición que:m(AE2|AE1) = 10 y m(AE2|AE0) =m(AE2|AE1) m(AE1|AE0) = 102

Reiterando este proceso se tiene, en general, que una unidad entera de orden k seobtiene yuxtaponiendo 10 unidades enteras de orden k− 1 o yuxtaponiendo 10k unidadesenteras de orden 0. Se se representa por el segmento AEk, se tiene por definición que:

m(AEk|AEk−1) = 10 ym(AEk|AE0) = m(AEk|AEk−1)m(AEk−1|AE0) = 10×10k−1 =10k

unidad entera de orden 1 10 unidades enteras de orden 0

unidad entera de orden 2 10 unidades enteras de orden 1 100 unidades enteras de orden 0

A

E0

E1

E1

A

E2

0 1 1 0

0 1 0 102 = 100

Figura 13


Unidades fraccionarias:

Unidad fraccionaria de orden 1:

Está dada por segmentos de recta que seobtienen al subdividir en 10 partes igualesla unidad entera de orden 0.Si se representa por AF1 (Figura 14)se tiene por definición que:

m(AF1|AE0) = 110

Unidad fraccionaria de orden 2:

Está dada por segmentos de recta que seobtienen al subdividir en 10 partes igualesla unidad entera de orden 1, o lo que eslo mismo, de subdividir en 100 partesiguales una unidad entera de orden 0.Si se representa por AF2 se tiene pordefinición que:

m(AF2|AF1) = 110y m(AF2|AEo) =

1102

Reiterando este proceso se tiene, en general, que una unidad fraccionaria de orden kse obtiene de subdividir en 10 partes iguales una unidad fraccionaria de orden k− 1, o loque es lo mismo, de subdividir en 10k partes iguales una unidad entera de orden 0. Si serepresenta por el segmento AFk, se tiene por definición que:

m(AFk|AFk−1) = 110y m(AFk|AE0) = m(AFK |AFK−1) . m(AFK−1|AE0) = 1

10×

110k−1 =

110k

10 unidades fraccionarias de orden 1

10 unidades fraccionarias de orden 2

A

A

F1

F1

E0

F2

0 101

0

1

2101

101

Figura 14

Una medición respecto de un sistema dado, es un proceso de comparaciones sucesivasmediante el cual se trata de obtener una cantidad .equivalente.a la que se mide, a partirde unidades conocidas del sistema. Queremos mostrar cómo el numeral decimal de unnúmero real no es otra cosa que el registro del proceso de medición de cierto segmentoutilizando el sistema de medición decimal abstracto.


Sea x un número real y AP el segmento asociado con él en la recta numérica. Se tratade construir, con unidades de nuestro sistema abstracto, un segmento congruente con AP .La escogencia de unidades se hace en forma ordenada y en orden de magnitud decreciente,a partir de la unidad de orden mayor que puede acomodarse en AP por lo menos una vez.

Ejemplos1. Una medición particular puede conducir a un resultado del siguiente tipo: AP mide

"2 unidades enteras de orden 2, 1 unidad entera de orden 1, 6 unidades enteras de orden0, 1 unidad fraccionaria de orden 1, 7 unidades fraccionarias de orden 2 y 5 unidadesfraccionarias de orden 3". Esto quiere decir que al yuxtaponer, a partir del punto dereferencia A, las unidades descritas anteriormente se obtiene un segmento congruente conel segmento AP , tal como se visualiza en la figura 15.

2102× 101× 101 6 210

7 2105

2 u .e. de orden 2 1 u .e. de orden 1 6 u .e. de orden 0 1 u . f. de orden 1

7 u. f. de orden 2

5 u. f. de orden 3

200 210 216 216.1 216.17 216.175 0

A P1 P0 Q1P2 Q2 Q2

Figura 15

Si indicamos la posición de las diferentes unidades utilizadas tal como se indica en lafigura se puede escribir,

x = m(AP ) = m(AP2) +m(P2P1) +m(P1P0) +m(P0Q1) +m(Q1Q2) +m(Q2P ) == 2× 10 + 1× 10 + 6 + 1

10+ 7

102+ 5

103

que no es otra cosa que la expresión polinómica del numeral 216,175 y por lo tantopodemos escribir

x = m(AP ) = 216, 175.

Como puede apreciarse, la sucesión de dígitos que constituyen el numeral de x permitereconstruir el proceso de medición, pues permite identificar el orden y el número de


unidades utilizadas, sean enteras o fraccionarias, determinadas por la posición y el valordel dígito en el numeral. El punto decimal marca la transición en el uso de unidadesenteras y unidades fraccionarias.2. El caso que hemos considerado es muy particular pero las conclusiones que hemos

extraído respecto del significado geométrico de los dígitos que constituyen el numeraldecimal son perfectamente generalizables. Un caso más general se presentaría si el procesode medición no pudiese terminar después de un número finito de pasos y hubiese queseguir utilizando indefinidamente unidades fraccionarias de orden mayor, es decir cadavez más pequeñas. Así, por ejemplo, volviendo a nuestro ejemplo bien podría ocurrir queal utilizar las 5 unidades fraccionarias de orden 3 no se tuviese aún la medida exactadel segmento AP y hubiese que pasar a utilizar por ejemplo, 3 unidades fraccionarias deorden 4, después 2 unidades fraccionarias de orden 5 y así sucesivamente. Esto equivaldríaen nuestro modelo geométrico (Ver Figura 16) a determinar una sucesión de puntos Qk,cada vez más próximos a P , a medida que k crece. Específicamente m(QkP ) −→ 0 (se leetiende a cero) cuando k −→∞ (Se lee k tiende a ∞).

A P2 P1 P0 Q1 Q2 Q3 Q4 P

2 u. e. de orden 2 1 u. e. de orden 1

6 u. e. de orden 0

1 u. f. de orden 1

7 u. f. de orden 2

5 u. f. de orden 3

3 u. f. de orden 4

2 u. f. de orden 5

Figura 16

Analíticamente se puede escribir en este caso

x = m(AP ) = m(AP2)+m(P2P1)+m(P1P0)+m(P0Q1)+m(Q1Q2)+m(Q2Q3)+ . . .= 2× 102 + 1× 10 + 6 + 1

10+ 7

102+ 5

103+ 3

104+ 2

105+ . . .

O sea que x = 216,17532 . . .

Los puntos suspensivos indican que el proceso de medición continúa indefinidamentede acuerdo con el método de comparación y que los resultados obtenidos se van agregandoobteniendo valores cada vez más aproximados a la medida exacta.Esta manera de interpretar numerales decimales como formas de representar una

medición de un segmento en una recta numérica utilizando un sistema decimal abstractode medición, permite también ubicar números reales en una recta numérica a partir desu representación decimal. Por ejemplo, si se quiere ubicar el punto P que le correspondeal numero x = 31,52 en una recta numérica, después de adoptar un patrón de medida,se yuxtaponen a partir del origen tres unidades enteras de orden 1, una unidad entera deorden 0, cinco unidades fraccionarias de orden 1 y dos unidades fraccionarias de orden2. Se concluye, igualmente, que la ubicación de números representados por numeralesdecimales infinitos tendrá que ser muy aproximada.


2.2.3. Aproximación de Números Reales por Racionales.

Consideremos el número real x representado por el numeral 527,165411..., que puedeser finito o infinito. A x le corresponde un punto P sobre la recta numérica de origen A.De acuerdo con la interpretación geométrica que dimos a los numerales, el dígito 5 con queempieza el numeral indica que la longitud del segmento AP está entre 5 y 6 unidades deorden 2. Es decir que x se puede acotar entre 5× 102 = 500 y 6× 102 = 600. Teniendo encuenta que 5 unidades enteras de orden 2 son equivalentes a 50 unidades enteras de orden1, el dígito 2 que sigue en el numeral indica que en el proceso de medición la longitud delsegmento AP está entre 52 y 53 unidades enteras de orden 1. Por lo tanto, x se puedeacotar entre 52 × 10 = 520 y 53 × 10 = 530. Este proceso de razonamiento se puedecontinuar hasta incluir los dígitos que representan unidades fraccionarias. Por ejemplo,al llegar al dígito 6 se puede argumentar que la longitud del segmento AP está entre52716 y 52717 unidades fraccionarias de orden 2, por lo que se puede acotar a x entre52716× 1

102= 527,16 y 52717× 1

102= 527,17. Se puede por lo tanto escribir:

500 < 527,16541.... < 600 (Usando unidades enteras de orden 2).520 < 527,16541.... < 530 (Usando unidades enteras de orden 1).527 < 527,16451.... < 528 (Usando unidades enteras de orden 0).527,1 < 527,16541.... < 527,2 (Usando unidades fraccionarias de orden 1).527,16 < 527,16541... < 527,17 (Usando unidades fraccionarias de orden 2).

...

...

Las desigualdades anteriores permiten ver, que dado un número real cualquiera, esposible ir acotándolo entre parejas de números racionales cada vez más próximos a él,utilizando la interpretación geométrica del numeral decimal que lo representa. Respectode estas aproximaciones se pueden hacer las siguientes observaciones: Cuando acotamos ax utilizando unidades enteras de orden 2, quiere decir que aproximamos a x tomando unaunidad entera de este orden como medida del grado o nivel de aproximación que queremostener. Al hacer este primer acotamiento encontramos que x está entre 500 y 600, cuyadiferencia es 102, o sea la medida de una unidad entera de orden 2. Esto quiere decir,en particular, que si utilizamos a 500 o a 600 como valor aproximado de x, el error quecometemos es menor que 102 Es decir, en este caso:

|x− 500| < 102, |x− 600| < 102

Un análisis similar se puede realizar cuando acotamos a x utilizando unidades enterasde orden 1. En este caso aproximamos a x tomando una unidad entera de orden 1 comomedida del grado de aproximación que queremos tener. Al hacer este segundo acotamientoencontramos que x está entre 520 y 530 cuya diferencia es 10, o sea es la medida deuna unidad entera de orden 1. Esto significa que si utilizamos a 520 o 530 como valoraproximado de x, el error que cometemos no es mayor que 10. Es decir, en este caso:


|x− 520| < 10, |x− 530| < 10

El análisis anterior también es válido cuando queremos acotar a x utilizando unidadesfraccionarias. Si tomamos, por ejemplo, como medida del grado de aproximación unaunidad fraccionaria de orden 2, representadas en este caso por el dígito 6, encontramosque x está entre 527,16 y 527,17, cuya diferencia es 1

102, o sea la medida de una unidad

fraccionaria de orden 2. Esto implica que si utilizamos 527,16 o 527, 17 como valoraproximado de x, el error que cometemos es menor que 1

102. Es decir, en este caso:

|x− 527,16| < 1102, |x− 527,17| < 1

102

En el ejemplo que hemos venido considerando, las aproximaciones 500, 520, 527,16 sellaman aproximaciones por defecto pues son menores que x, y las aproximaciones 600,530, 517,17, se llaman aproximaciones por exceso, pues son mayores que x.Una pregunta surge naturalmente en este contexto. ¿Cuál de las dos aproximaciones

es mejor? Es decir, cuál de los dos valores es más cercano a x? Para saber si 500 está máscerca a x que 600 es necesario conocer el valor del dígito siguiente a 5 que da el númerode unidades de orden inmediatamente inferior utilizadas en el proceso de medición. Comodicho dígito es 2, x estaría entre 520 y 530, esto quiere decir que x está más cerca de500 que de 600. Debe ser claro entonces, que si en lugar del dígito 2 hubiera un dígitomayor que 5, x estaría más cerca de 600 que de 500. Si el dígito que siguiera a 5 fuese 5se requiere mirar los dígitos siguientes y si todos los siguientes fueran 0, 500 y 600, seríanequidistantes de x.Es importante observar que si aproximamos a x por 500 entonces se tiene la seguridad

que el error de aproximación es a lo sumo la mitad de una unidad entera de orden 2. Esdecir:

|x− 500| ≤ 102

2

En este caso se dice que 5 da el número de unidades enteras de orden 2 más próximoa x. Por lo tanto, cuando se toma x = 500 se dice que x se ha redondeado al númeromás próximo de unidades enteras de orden 2 (o a las centenas). Teniendo en cuenta lasconsideraciones anteriores y extendiéndolas a los dígitos que si gen en el numeral de x, sepuede escribir, si x = 527,16541:

530 redondea a x al número más próximo de unidades enteras de orden 1


(se suele decir, a la décima más próxima). En este caso |x− 530| ≤ 102

527 redondea a x al número más próximo de unidades enteras de orden 0(Se suele decir, al número entero más próximo). En este caso |x− 527| ≤ 1

2

527,2 redondea a x al número más próximo de unidades fraccionarias de orden 1.(Se suele decir a la décima más próxima). En este caso, |x− 527,2| ≤ 1

2

527,17 redondea a x al número más próximo de unidades fraccionarias de orden 2(Se suele decir, a la centésima más próxima). En este caso, |x−527,17| ≤ 1

2× 1102

etc.

Podemos resumir de manera general las observaciones anteriores diciendo que, siempreque se redondea un número real a la unidad entera o fraccionaria de orden k más próxima,el error que se comete no es mayor que la mitad de la medida de dicha unidad. Así, si launidad es entera de orden k, el error no es mayor que 10k

2, o si es fraccionaria del mismo

orden, el error no es mayor que 12× 1

10k

2.2.4. El Sistema binario

Como se dijo antes, existen muchos sistemas de medición. El más utilizado es el sistemadecimal en donde los múltiplos y submúltiplos del patrón de medida están ligados entresí por potencias de 10, tal como se ha descrito.Otros sistemas de medición se pueden obtener estableciendo una relación diferente

entre los múltiplos y submúltiplos del patrón de medida. En lugar de estar ligados entre sípor potencias de 10 se pueden ligar por potencias de 2, 3, 4, etc.... obteniendo así sistemasde medición en base 2 (binario), base 3, base 4, etc... respectivamente. Veamos un pocomás de cerca el sistema de medición en base 2 o binario,El proceso de medición con el sistema de base 2 es exactamente el mismo que con el

sistema decimal, pero las unidades, enteras y fraccionarias, están ligadas por potencias de2 en lugar de potencias de 10.En el sistema de medición binario una unidad entera de orden k se obtiene por

yuxtaposición de 2 unidades enteras de orden k−1 o al yuxtaponer 2k unidades enteras deorden 0. De manera análoga una unidad fraccionaria de orden k se obtiene al subdividiren dos partes iguales una unidad fraccionaria de orden k − 1 , o lo que es lo mismo desubdividir en 2k partes iguales una unidad entera de orden 0.Debido a que 2 unidades enteras de orden k conforman 1 unidad entera de orden

k + 1 y 2 unidades fraccionarias de orden k conforman una unidad fraccionaria de ordenk − 1 , en cualquier medición con este sistema solo habrá 0 ó 1 unidad entera de ordenk y 0 ó 1 unidad fraccionaria de orden k , k = 1, 2, 3, ... Puesto que en este caso losnumerales binarios pueden interpretarse, como en el caso de los numerales decimales,como registros de los procesos de medición con un sistema de medición binario abstracto,lo dicho anteriormente significa que en los numerales binarios sólo pueden aparecer el 0 yel 1 como "dígito". Es decir son símbolos de la forma 10011,001, cuyo significado se definemediante la expresión polinómica x = 1× 24 + 0× 23 + 0× 22 + 1× 2 + 0

2+ 0

22+ 1

23.


Operaciones con binarios

Suma: Para sumar dos números en base 2 se siguen los mismos delineamientos debase diez. Por ejemplo para sumar 11012 con 1012 se tendrá:

Producto: No necesitamos sino las tablas del cero y del uno.

Se utiliza el mismo algoritmo que para el caso con base diez. Por ejemplo al multiplicar1102 con 112 se tendrá:

Como en el caso de los numerales decimales, los numerales binarios pueden ser finitoso infinitos y estos a su vez pueden ser periódicos (representan números racionales) o noperiódicos (representan números irracionales). Podemos concluir diciendo que un numeralbinario es un símbolo de la forma an.....a1a0.b1b2b3..., en el cual los ai y bj son ó 0 ó 1 yel numero real que representa está definido mediante la siguiente expresión


an....a1a0.b1b2b3... = an × 2n + . . .+ a1 × 2 + a0 +b12+ b2

22+ b3

23+ ...

Queda la pregunta de cómo pasar de un numeral binario a un numeral decimal yviceversa.El primer problema es fácil ya que, en el caso de un numeral binario finito, se puede

reconstruir la expresión polinómica del número (en potencias de 2).

Ejemplos1. si x = 11011,011 en binario, se puede escribir:x = 24 + 23 + 2 + 1 + 1

22+ 1

23

= 27,375 (en decimal)2. En el caso de un numeral binario infinito periódico, se procede de la misma forma que

cuando se busca la expresión racional de un decimal infinito periódico (Ver Ejercicio 29, de1.4.10). Para hacer ésto con numerales binarios, observe que el punto en cualquier numeralbinario se debe correr multiplicando por una potencia de 2. Así, si x = 111.01 en binario,entonces 22x = 11101.01, y de esta forma 22x−x = 11101.01−111.01 = 10110;pero 10110representa en binario el mismo entero que representa 22 en decimal. Así se tiene que:

x = 2223−1 =

223= 7.3

En el caso de un irracional, es decir, un binario infinito no periódico, se puede emplearel método usado en 2.2.3 tomando aproximaciones mediante numerales binarios finitos,para obtener aproximaciones mediante decimales finitos del número dado.Para pasar de un numeral decimal a uno binario se debe reconstruir el proceso de

medición en forma algebraica. Es decir, se debe escribir el numeral decimal como sumade potencias de 2.En esta sección, hemos visto de cerca el sistema de medición binario. Este sistema es

uno de los que utilizan los computadores para realizar internamente sus operaciones. Losotros sistemas de medición (base 3, 4, 5...etc) se comportan de la misma forma, pero raravez nos encontramos con éstos.

EjemploSi x = 33,375 en decimal, debemos encontrar la potencia más alta de 2 que es menor

o igual a 33,375. En este caso es 25 y por lo tanto

x = 25 + 1,375

Repetimos el procedimiento para el residuo

x = 25 + 20 + 0,375

y así sucesivamente:x = 25 + 20 + 1

22+ 0,125

x = 25 + 20 + 122+ 1

23

x = 1× 25 + 0× 24 + 0× 23 + 0× 22 + 0× 2 + 1× 20 + 0× 12+ 1× 1

22+ 1× 1

23

Es decir que el numeral binario correspondiente es


x = 100001,011,

es decir, 33,37510 = 100001,0112.En este caso hemos obtenido un numeral binario finito, sin embargo es posible que

aunque el numeral decimal sea finito, el numeral binario sea infinito. Esta misma técnicase puede emplear para numerales decimales infinitos, aunque el proceso es muy lento. Siel numeral decimal es periódico, en general, al pasarlo a binario el período se hace másgrande.

Ejercicios.En los ejercicios 1 a 15 responda verdadero o falso justificando su respuesta.

1. La medida de un segmento es independiente del patrón de medida que se escoja.

2. Siempre es posible encontrar un patrón de medida que se acomode un número enterode veces en un segmento de recta dado.

3. Dado un patrón de medida y un segmento de recta arbitrario, siempre es posibleencontrar un numero entero de unidades fraccionarias que se acomoden en elsegmento dado.

4. El conjunto de números racionales es suficiente para representar la totalidad deresultados posibles en un proceso de medición.

5. La diagonal de un cuadrado es inconmensurable con respecto al lado.

6. La longitud de una circunferencia es conmensurable con respecto a su radio.

7. El valor absoluto de un número real distinto de cero es un número real negativo.

8. No existe ningún numero racional a tal que |α− π| < 10−6

9. Una unidad fraccionaria de orden k (k − 2) equivale a 100 unidades fraccionariasde orden k.

10. Una unidad entera de orden k (k > 2) equivale a 100 unidades enteras de ordenk − 2

11. Dado el número x = 3671,1834 se tiene que 3671,1 redondea a x a la décima máscerca (unidad fraccionaria de orden 1).

12. Dados dos segmentos AB y AC tales que m(AC|AB) = r calcule m(AB|AC).13. Dados tres segmentos AB, AC y AD tales que m(AC|AB) = r y m(AD|AB) = s

calcule m(AC|AD) y m(AD|AC).14. Sobre una recta ideal, con un punto de referencia A y un segmento AB como patrón

de medida, construya puntos P tales que:


a. m(AP |AB) = 34

b. m(AP |AB) = −25

c. m(AP |AB) = 107

d. m(AP |AB) = −32

(Sugerencia: Aplique el Teorema de Thales construyendo una recta auxiliar que pasepor A).

19 Sobre una recta ideal, con un punto de referencia A y un segmento AB como patrónde medida, construya puntos P tales que

a. m(AP |AB) = √3b. m(AP |AB) = √5(Sugerencia: Utilice el procedimiento empleado en el texto para

√2)

20. Efectúe el siguiente cálculo:

a. |4− 9|b. |−3|− |−4|c. |4|+ |− 9|d. 3− |−3|e. −2

|−5|

f. −3. |5|21 Calcule las distancias de A a B , de B a C, de C a B y de A a C si A, B y C sontres puntos en una recta numérica con coordenadas respectivas

a. −6, −2, −4b. 3, 7, −5c. −1

2, 23, 34

d. 3,5, −7,23, −5,3222. Sobre una recta numérica represente el conjunto de puntos cuyas coordenadas x

satisfacen:

a. |3− x| = 1b. |x− 2| < 1

2


c. |x| = 6d.¯x+ 3

2

¯ ≤ 323. Dados los números reales 1

3, 22

7, π y

√5, encuentre respectivamente números

racionales que disten de cada uno de ellos menos de 10−3, 10−5 y 10−7.

24. Dados los siguientes numerales decimales, redondee a la unidad fraccionaria de orden3 más próxima:

a. 2,18531553

b. 103,215003

c. 35,3727542..

d. 0,000239

25. Si aproximamos 16mediante 0,16 y 0,17, estime el error que se comete en cada caso.

¿Cuál de estas aproximaciones es mejor?

28. Estime el error que se comete con una calculadora de 8 dígitos en pantalla cuandoda los números, π,

√2,√3, y e.

29. Calcule√2 con un error menor que 10−3 y

√7 con un error menor que10−4 (Use la

calculadora).

30. Utilizando las reglas para la multiplicación y adición de números reales expresadosmediante numerales binarios, efectúe los siguientes cálculos con numerales binarios:

a. 1011 + 11

b. 1001− 10c. 11× 11d. 1010× 111

32. Encuentre el numeral binario correspondiente a los siguientes numerales decimales:

a. 673

b. 41,25

c. 11

33. Encuentre el numeral decimal correspondiente a los siguientes numerales binarios;

a. 1101

b. 110.01

c. 111,11

d. 1.01

2.3. ESTRUCTURA ALGEBRAICA DE LOS NÚMEROS REALES 83

2.3. ESTRUCTURAALGEBRAICADE LOSNÚMEROSREALES

En las secciones anteriores hemos hecho una descripción de los números realesapoyándonos en el conocimiento intuitivo que el estudiante trae del bachillerato sobrelos diferentes tipos de números. Hemos discutido, igualmente, los problemas inherentesa los procesos de medición que han jugado un papel determinante en el desarrollo delconcepto de número real. En esta sección nuestro interés es hacer ver al estudiante, quealgo más que un conjunto de entes abstractos aislados, los números reales constituyenun sistema matemático que está definido por un conjunto de operaciones que permiterelacionarlos entre sí y en cuyo estudio se desarrolla la aritmética y el álgebra.Nuestro propósito es i) Presentar al estudiante una caracterización de este sistema,

ésto es, identificar un conjunto de propiedades básicas que lo definen, a partir de lascuales sea posible obtener las restantes propiedades del sistema mediante un razonamientodeductivo, ii) Repasar algunas propiedades básicas de las operaciones entre números deutilidad en su manejo aritmético y algebraico. iii) Ejemplificar en qué consiste el llamadométodo deductivo de las matemáticas.

2.3.1. Componentes del Sistema Matemático de los NúmerosReales.

En el estudio de los números reales, es importante distinguir dos aspectos fundamen-tales:

a. Los números reales se combinan mediante operaciones de suma y multiplicación y losresultados son números reales bien definidos. Estas operaciones básicas entre reales,con las propiedades formales o axiomas que ellos satisfacen, constituyen la estructuraalgebraica de los números reales.

b. Los números reales se comparan entre sí. Se habla de que un número es mayor, menoro igual que otro. En otras palabras existe un orden entre números reales que permitesu comparación. Este orden se visualiza claramente en la representación geométricade los números reales.

Estos dos aspectos, la estructura algebraica y el orden definen los aspectosfundamentales del sistema matemático de los números reales.

2.3.2. La Estructura Algebraica de los Números Reales.

Está definida por la adición (+) y multiplicación (×) y los siguientes axiomas opropiedades formales que dichas operaciones satisfacen. En lo que sj[ gue, las letrasa, b, c, d, etc, representan números reales arbitrarios. Cuando no hay lugar a confusiónutilizaremos indistintamente "x.o "."para indicar multiplicación.


0. Propiedad Uniforme

Sia = b y c = d entonces a + c = b + d y a.c = b.d. Esta propiedad, que se suelellamar propiedad uniforme indica, simplemente, que el ríe sultado de una suma o de unamultiplicación es un número real único.Se expresa también esta propiedad diciendo que si dos igualdades se suman o

multiplican miembro a miembro, se obtiene también una igualdad.Hemos visto que un número puede ser representado por símbolos o numerales diferentes

y que la igualdad a = b indica que ambos símbolos se refieren al mismo ente numérico. Enesta perspectiva se vé con mayor claridad la importancia de la propiedad uniforme, segúnla cual, los resultados de las operaciones entre reales son únicos y son independientes dela forma de representación de los números que intervienen en ellas. Así, el resultadodesumar 1

4+ 2

3será el mismo de sumar 0,25 + 4

6Igual sucede con la multiplicación

1. Propiedad Conmutativa

Para la suma : a+ b = b+ aPara la multiplicación: a.bEsta propiedad se expresa en el lenguaje ordinario diciendo que el .orden de los

sumandos no altera la suma11 y que el .orden de los factores no altera el producto".Puede pensar el estudiante que esta propiedad, por la familiaridad que tiene con ella, esuna propiedad común a todo operación entre números. No es éste el caso como se puedever con la división, ya que no es lo mismo, por ejemplo, dividir 10 por 2 (10 ÷ 2) quedividir 2 por 10 (2÷ 10)

2. Propiedad Asociativa

Los resultados de las operaciones se pueden combinar con otros números para obtenernuevos resultados. Rigurosamente hablando, la prelación en que se quieren efectuarlas operaciones debe ser indicada sin ambigüedades. Usualmente, esta prelación en lasoperaciones se indica utilizando paréntesis, llaves, corchetes y las operaciones se ejecutande adentro hacia afuera. Así, para calcular el resultado representado por expresiónsiguiente, es necesario transformarla de la manera que se indica©£¡

12+ 1

3

¢× 3¤+ 24

ª+ 5

3=£¡56× 3¢+ 2

4

¤+ 5

3=¡52+ 2

4

¢+ 5

3= 3 + 5

3= 14

3

Procedimiento de cálculo que es diferente, por ejemplo, al indicado a continuación:

©12+£¡13× 3¢+ 2

4

¤ª+ 5

3=£12+¡1 + 2

4

¢¤+ 5

3=¡12+ 3

2

¢+ 5

3= 2 + 5

3= 11

3


Teniendo la convención anterior, la propiedad asociativa se puede expresar simbólica-mente de la siguiente manera:

Para la suma : (a+ b) + c = a+ (b+ c)Para la multiplicación: (a.b).c = a.(b.c)

que en el lenguaje ordinario se puede expresar diciendo que el resultado de una suma omultiplicación de varios números no depende de la manera como se asocian los sumandoso los factores.Es esta propiedad la que hace que expresiones como 1

2+ 1

3+ 1 + (−4) + 3 ó

12× 1

3× 1 × (−4) × 3 no sean ambiguas, a pesar de que se puede proceder a su cálculo

asociando los números de diversas maneras.La importancia de esta propiedad, que en el cálculo ordinario pasa desapercibida por

nosotros, se puede ver con la división (÷) que no es asociativa. La expresión 16÷4÷3÷5,a diferencia de las dos anteriores, si es ambigua pues su resultado depende de la maneracomo se asocian los números.

Ejemplo(16÷ 4)÷ (3÷ 5) 6= 16÷ [(4÷ 3)÷ 5]

Una expresión como 8+5×7 es en principio, ambigua pues no es claro cuál operaciónprocede a cuál, es decir, si el 5 debe sumarse o multiplicarse primero. En la práctica,sin embargo, especialmente con el advenimiento de las máquinas de cálculo electrónico sehan impuesto ciertas prioridades en la ejecución de operaciones. Así, por ejemplo, se haestablecido la regla de que la multiplicación es precedente, lo cual elimina la ambigüedadde la expresión anterior. Es decir, 8 + 5 × 7 = 8 + 35 = 43. Este convenio hace queexpresiones del tipo −1 + 8 × 5 + 1

3+ 2 + 3

4× 7 dejen de ser ambiguas. Algo semejante

ocurre con la expresión 10 ÷ 4 ÷ 3 ÷ 5 que se ejecuta de izquierda a derecha. Es decir16÷ 4÷ 3÷ 5 = 4÷ 3÷ 5 = 4

3÷ 5 = 4

15

3. Propiedad de los Elementos Neutros

Para la suma: Existe un sólo número real que al sumarlo a cualquier número real nolo modifica (elemento neutro de la suma). Este elemento es el cero (0). Simbólicamente:

a+ 0 = 0 + a = a, para cualquier real a.

Para la multiplicación: Existe un sólo número que al multiplicar a cualquier númeroreal no lo modifica (elemento neutro de la multiplicación). Este elemento es el uno (1).Simbólicamente:

a,1 = 1.a = a, para cualquier real a.


4. Propiedad de los Inversos

Para la suma: Dado cualquier número real a existe un sólo número que sumado conél es igual a 0. Este número que se representa con −a se suele llamar inverso aditivo uopuesto de a.Para la multiplicación: Dado cualquier número real a, diferente de cero, existe sólo un

número que multiplicado con él es igual a 1. Este número que se representa como a−1 ó 1a

, se suele llamar inverso multiplicativo o recíproco de a.El opuesto de 2 es −2 (porque sumado con 2 da 0), mientras que su recíproco es

12(porque multiplicado por 2 da 1).El opuesto de −3

2es 3

2

¡−32+ 3

2= 0

¢y su recíproco −2

3(−3

2× (−2

3) = 1)

El opuesto de 0 es 0, puesto que 0 es el número que sumado con 0 da 0 (0 + 0 = 0).De esta manera −0 = 0. El 0 no posee recíproco. 0−1 ó 1

0no está definido.

El opuesto de π se simboliza como −π y su recíproco como 1π.

Observe que al escribir −a para denotar al opuesto de a no quiere decir que -a seun número negativo. Lo será si a es positivo, pero si a es negativo, como en el caso de−2, −a = −(−2) = 2 es positivo. De manera idéntica, el inverso multiplicativo no esnecesariamente una fracción. Si a = 1

2debe ser claro que a−1 = 1

a= 2.

Resta y División entre Reales: Utilizando la notación de opuesto y recípro coes posible definir resta y división entre números reales, en términos de las operaciones desuma y multiplicación. Así a− b se puede definir como la suma de a con el opuesto de b.Simbólicamente

a− b = a+ (−b)Se puede escribir, por lo tanto que:

12−√2 = 1

2+ (−√2) y que 4− (−1

2) = 4 + 1

2

Por su parte, si b 6= 0, a÷ b, se puede definir como el producto de a por el recíprocode b resultado que también puede representarse como la fracción a

bentre números reales.

Simbólicamente

a÷ b ≡ ab≡ a.b−1 ≡ a.1

b(≡ significa definición)

Consecuentemente, se puede escribir que√2 ÷√3 = √2 × (√3)−1 =

√2√3y 12÷ 1

π=

12× ( 1

π)−1 = π

2

La definición anterior generaliza el concepto de fracción racional. No es difícil ver quelas operaciones de suma y multiplicación entre fracciones reales se pueden efectuar comosi fuesen fracciones racionales. En particular se puede demostrar que

ab+ c

d= ad+cb

bdy a

b. cd= a.c

b.d

cumpliendo además las mismas propiedades formales.


5. Propiedad Distributiva de la multiplicaion respecto de la Suma

Esta propiedad, que muestra que hay una coherencia operativa entre la multiplicacióny la suma entre reales, se puede expresar de la siguiente manera:

a.(b+ c) = a.b+ a.c, para a, b, c números reales.O sea, que el producto de una suma por un número, es igual a la suma de los productos

de dicho número por los diferentes sumandos. La aplicación de esta propiedad de derechaa izquierda de la igualdad (sentido contrario de la distribución) se suele denominar .extraerfactor común". Así, por ejemplo, en la transformación

15× 110 = 15× (100 + 10) = 15× 100 + 15× 10 = 1500 + 150 = 1650Se utiliza la propiedad distributiva en forma directa, mientras que en la simplificación

de la fracción reala2+2aa+2

= a(a+2)a+2

= a si a + 2 6= 0, se aplica en sentido contrario, extrayendo a comofactor común.

Observacion:Las propiedades que hemos enunciado anteriormente, expresan las características

algebraicas esenciales de la suma y la multiplicación entre reales y caracterizan, porlo tanto, su estructura algebraica. Es decir, a partir de ellas, mediante razonamientodeductivo de carácter lógico, es posible construir y demostrar todos los conceptos ypropiedades que utilizamos en el manejo aritmético de los números reales y en generalen el álgebra. Ellas están, por lo tanto, en la base de todos los procesos aritméticos yalgebraicos que utilizamos, sólo que, por su familiaridad, tienden a pasar desapercibidas.El poder identificar el papel que ellas juegan en nuestros cálculos aritmeticos y

algebraicos es importante, no sólo desde un punto de vista formal, sino que también puedeconducir a agilizar y simplificar nuestras operaciones. Los ejemplos que se mencionana continuación muestran algunas situaciones de cálculo, familiares al estudiante, en lascuales alguna de las propiedades formales mencionadas juega un papel importante.

Ejemplos

1. Compruebe que si una persona en un primer período pierde el 30% de su peso y enun segundo período el 10%, el peso final de la persona será el mismo si se invierteel orden de los puntajes de reducción.

Si w es el peso inicial de la persona al término de la primera reducción su peso esw × 0,70 y al término de la segunda reducción es (w × 0,70)0,90. Combinando lapropiedad asociativa con la conmutativa, se puede escribir

(w × 0,70)0,90 = w(0,70× 0,90)= w(0,90× 0,70) = (w × 0,90)0,70

Pero la expresión (w × 0,90)0,70 da el peso final de la persona cuando pierde en elprimer período el 10% de su peso y en el segundo el 30%


2. Es interesante observar que la propiedad distributiva, y en general las diferentespropiedades formales, pueden ser utilizadas para facilitar un cálculo mental enalgunos casos específicos. Así la multiplicación 15 × 110 se puede expresar como15 × 100 + 15 × 10 que permiten un cálculo mental rápido de la multiplicaciónpropuesta. Otro caso semejante puede ser 201 × 35 = 200 × 35 + 35, en el cual laexpresión de la derecha es fácil de calcular mentalmente. En el caso 25× 17× 4 sise intenta en el orden propuesto es una multiplicación más o menos larga, pero sise conmuta el orden y se asocia 25 con 4 no es difícil ver, mente que el resultado es1700. Y así muchos casos más.

2.3.3. Inversos y Ecuaciones

Un uso importante de los inversos operativos de la suma y multiplicación entre realesse puede apreciar en la solución de ecuaciones. Tomemos el caso de una ecuación de primergrado en una incógnita cuyo método de solución debe conocer el estudiante. Por ejemplo,queremos calcular los números x , para los cuales se cumple que 1

3x+√2 = 1− 1

2x

Para resolver esta ecuación el estudiante procede agrupando en un lado de la ecuaciónlos términos afectados por x y en el otro los términos independientes o libres de x, paralo cual utiliza el principio formal de que un término que está sumando se puede pasar alotro lado de la igualdad cambiando su signo. Se tiene así la expresión

13x+ 1

2x = 5

6x = 1−√2

Despeja luego x, liberándolo de coeficientes numéricos, para lo cual utiliza el principioformal de que.un coeficiente que esté multiplicando pasa al otro lado de la igualdad adividir y si está dividiendo pasa a multiplicar. Obtiene, así, la expresión siguiente que dala solución de la ecuación

x = 65(1−√2)

Estas reglas utilizadas para "trasladar"términos de un lado a otro de la ecuación son,en realidad, aplicaciones directas de la propiedad uniforme y de la existencia de inversosoperativos, tal como se indica a continuación

13x+√2 = 1− 1

2x


Sumando a ambos lados de la igualdad 12x , o sea el opuesto de −1

2x, por la propiedad

uniforme, se obtiene la igualdad

(13x+ 1

2x) +

√2 = 1 + (−1

2x+ 1

2x)

Reiterando esta operación con −√2, o sea con el opuesto de √2 se obtiene la igualdad

5x6= 1−√2

Finalmente, multiplicando ambos lados de la ecuación por 65, es decir por el recíproco

de 56se obtiene la solución

x = 65(1−√2)

Este ejemplo se podría expresar en forma más general diciendo que gracias a laexistencia de los inversos operativos, la ecuación de primer grado de la forma ax + b =ex + d, con a 6= c, tiene siempre solución única en los reales, solución que está dada porla expresión x = b−d

a−c

Resumen.de propiedades algebraicas

En el capítulo sobre Álgebra haremos un tratamiento más sistemático sobre la soluciónde ecuaciones. La siguiente tabla resume las propiedades que definen la estructuraalgebraica de los números reales.

Para la suma Para el producto Nombre de la propiedad Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d

Si a = b y c = d, entonces a . c = b . d Uniforme

Para la suma

a + b = b + a (a . b) . c = b . (a . c)

Conmutativa a . b = b . a (a + b) + c = b + (a + c)

Asociativa

a + 0 = 0 + a = a a . 1 = 1 . a = a

Neutros operativos

a + (- a) = - a + a = 0 a .

a1 =

a1 . a = 1

Inversos operativos

a . ( b + c) = a . b + a . c Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma


2.3.4. Algunos Teoremas sobre los Números Reales

Un propósito muy importante en esta sección es el de ilustrar el método deductivo,con base en el cual se organiza (aunque no necesariamente se produce) el conocimientomatemático. Se aspira a que el estudiante aprenda a distinguir cuándo un determinadoresultado o teorema ha sido demostrado y cuándo no lo ha sido y a que amplié suexperiencia con diferentes tipos de demostración, especialmente el tipo directo, el métodode contraejemplo, y el indirecto sobre los cuales se trató en la Unidad 1.1.Por otra parte los resultados que se demuestran son importantes en sí mismos y han

de servir para fundamentar mejor nuestro razonamiento algebraicoTeorema No. 1: Para cualquier numero real a, a,0 = 0.a = 0En efecto, se puede escribir;a,0 + a,0 = a(0 + 0)Propiedad distributiva

= a,0 Propiedad del cero.Restando a,0 a ambos lados de la ecuación y utilizando la propiedad uniforme, se

obtiene

a,0 = 0

La igualdad a,0 = 0.a sigue directamente de la propiedad conmutativa.

Observación: El Teorema No. 1 es familiar al estudiante, y por ello mismo puedesorprenderle, o parecerle innecesario, que desde el punto de vista matemático requierade una demostración. Curiosamente, frente a expresiones del tipo 0√

2, por ejemplo, el

estudiante no siempre presenta la misma seguridad. Solo hay que observar que 0√2se

puede escribir como una expresión del tipo 0.a tomando a como 1√2. Por lo tanto

0√2= 0× 1√

2= 0

(Esta conclusión se puede obtener también aplicando directamente la definición de 0)

Teorema No. 2: Sean a y b números reales arbitrarios, entonces

i. −(−a) = a

ii. (−a)b = a(−b) = −abiii. (−1)a = −aiv. (−a)(−b) = ab

v. (−1)(−1) = 1De acuerdo con nuestras observaciones sobre el axioma de los inversos este Teorema

no es el que el estudiante conoce como ley de los signos, aunque lo incluye como casoparticular. En este sentido vale la pena subrayar que a y b son números reales arbitrariospositivos ó negativos.


i. Basta interpretar la propiedad del opuesto;

a+ (−a) = −a+ a = 0

En este caso la igualdad diría que el número que hay que sumarle a “−a” (y que por lotanto es su opuesto −(−a)} para obtener 0 es "a". Es decir a es el opuesto de −ay por lo tanto se puede escribir −(−a) = a.

ii. Se necesita demostrar que (−a)b es el opuesto de abt es decir que (−a)b+ ab = 0. Enefecto

(−a).b+ a.b = (−a+ a).b (Propiedad distributiva)= 0.b (Propiedad del opuesto)= 0 (Teorema No. 1).

La parte a(−b) = −ab se demuestra de la misma forma. (Hágalo)

iii. (−1)a = −(1.a) (Teorema No. 2 (ii))

= −a

iv. (−a)(−b) = a(−(−b)) (Teorema No. 2 (ii))

= ab (Teorema No. 2 (i))

v. (−1)(−1) = 1× 1 = 1 (Teorema No. 2 (iv))

En la demostración del teorema 1, se utilizan exclusivamente las propiedadesdistributiva, propiedad del cero y propiedad uniforme para alcanzar el resultado a,0 = 0.En la demostración del teorema 2, partes i) y ii), se utiliza además de algunas propiedadesformales dadas para los números reales, el Teorema 1, ya demostrado. En las partes 111),iv), v) las demostraciones se apoyan en los resultados parciales demostrados previamente.En la demostración del resultado siguiente, se procede también por demostración

directa.Teorema No 3: a.b = 0 si y solo si a = 0 ó b = 0Si a = 0 ó b = 0 entonces a.b = O, según lo afirma el Teorema No. 1 ya demostrado.

Se requiere demostrar, solamente, que si a.b = 0 es porque debe ser a = 0 ó b = 0.Se puede suponer que a 6= 0, pues si no lo fuese estaríamos en el caso anterior. Ahora

bien, si a 6= 0, entonces existe su inverso multiplicativo a−1 y, por lo tanto, multiplicandoambos miembros de la igualdad ab = 0 por él se puede escribir

a−1(ab) = a−1,0 = 0 (Teorema No. 1)


(a−1a)b = 0 (Propiedad Asociativa)1b = 0 (Propiedad del inverso multiplicativo).b = 0 (Propiedad del uno).El Teorema 3 tiene una aplicación importante en la solución de ciertas ecuaciones. Así,

por ejemplo, cuando se plantea una ecuación de la forma (x− 1)(x+ 12)(x−√2) = 0, se

pregunta por los valores de x que hacen válida la igualdad. El resultado que acabamos dedemostrar, dice que tales valores se encuentran igualando a cero los diferentes factores. Esdecir, que (x−1)(x+ 1

2)(x−√2) = 0 si y sólo sí (x−1) = 0 ó (x+ 1

2) = 0 ó (x−√2) = 0,

lo cual nos permite concluir que las soluciones de la ecuación propuesta vienen dadas porx = 1, x = −1

2, x =

√2

Se puede expresar esta observación en forma más general diciendo que para resolveruna ecuación de la forma p1(x) × p2(x) × ... × pn(x) = 0, sus soluciones se obtienenresolviendo separadamente las ecuaciones p1(x) = 0, ...pn(x) = 0.

2.3.5. Potencias Enteras.

En el proceso de desarrollar deductivamente la aritmética, y el álgebra, a partir de laspropiedades formales que caracterizan su estructura algebraica, se da también un procesoconstructivo con la definición de nuevos conceptos cuyas propiedades también son objetode demostración. El símbolo siguiente introduce una operación muy importante en lamatemática, la cual hemos de generalizar más adelante.Sea a un numero real arbitrario y n un entero no-negativo. Se define el significado de

los símbolos an y a−n de la siguiente manera:a0 = 1, cuando a 6= 0 (El símbolo 00 no se define)an = a× a× ....× a (n veces) para n > 0a−n = (an)−1 = 1

an. Es decir a−n es el recíproco de an

Ejemplo:(13)4 = 1

3× 1

3× 1

3× 1

3= 1

3×3×3×3 =181. Puesto que 3× 3× 3× 3 = 34, también se puede

escribir que (13)4 = 1

34.

(13)−4 se puede calcular de inmediato, conocido el resultado anterior, pues se sabe que

el recíproco de (13)4 es decir de 1

81. Por lo tanto (1

3)−4 = 81.

Aplicando la definición de a−n, se llega al mismo resultado de la siguiente manera:(13)−4 = 1

( 13)4

Como (13)4 = 1

3× 1

3× 1

3× 1

3= 1

81, se tiene

(13)−4 = 1

( 181)= 81

Observacion: Resulta útil observar los siguientes hechos que se desprendendirectamente de las definiciones dadas. Los símbolos a, b denotan números reales y nes un entero positivo.

1a−n = an


Puesto que por definición: 1a−n =

11an= an

(ab)n = an

bn

Puesto que por definición:(ab)n = a

b× ...× a

b= a×...×a

b×...×b =an

bn

(ab)−n = bn

an= ( b

a)n

Puesto que (ab)−n = 1

(ab)n= 1

an

bn= bn

an= ( b

a)n = a−n

b−n

Observe, finalmente, que como todo número entero negativo es de la forma −n, con nentero positivo, las expresiones anteriores definen el símbolo an, para cualquier entero ny cualquier real a, excepto el caso 00 que no tiene definición.Teorema No. 4: Sean a y b números reales y m y n enteros. Se tiene que:i) am.an = am+n

ii) (am)n = amn

iii) (ab)n = anbn

Es fundamental que el estudiante tenga una correcta interpretación de lo que afirmanestas igualdades, pues sobre ellas se fundamenta todo el cálculo con potencias y su validezsigue igual para las potencias con exponentes racionales e irracionales.

i. aman = am+n

Esta primera propiedad se puede expresar en lenguaje ordinario diciendo que el productode dos potencias de igual base es igual a la potencia que tiene igual base y cuyoexponente es la suma de los dos exponentes de los factores. Así

(12)3.(1

2)4 = (1

2)7, 72,7−5,73 = 72+(−5)+3 = 70 = 1.

Para demostrar esta propiedad se consideran diferentes casos:Caso 1: m = 0 ó n = 0. Suponiendo que m = 0am.an = a0.an = 1.an = an = a0+n = am+n

El caso n = 0 es exactamente igual.Caso 2: m y n positivos.am.an = (a× .....× a)× (a× ....× a) (Definición símbolo an)= a× .....× a = am+n (Propiedad Asociativa y Definición símbolo an)Caso 3: m y n negativosEn este caso m y n son de la forma m = −r y n = −s, siendo r y s enteros positivos.

Se puede escribiram.an = a−ra−s = 1

ar1as

(Definición símbolo an)= 1

aras= 1

ar+s(Producto entre fracciones y caso 2).

= a−(r+s) = a(−r)+(−s) (Definición símbolo a−n y representación de m y n )= am+n

Caso 4: m y n signos diferentes.


Suponiendo que m es positivo y n negativo de la forma n = −r y que m+ n = m− r espositivo, (m mayor que r). Se puede escribir

aman = ama−r = am

ar

=¡ar

ar

¢am−r = 1× am−r

= am+(−r) = am+n

Si m− r negativo (r −m positivo). Entoncesaman = ama−r = am

ar=¡am

am

¢1

ar−m

= 1ar−m = a−(r−m)

= am+(−r) = am+n

Esta propiedad dice, en el lenguaje ordinario, que el resultado de elevar una potenciaentera am a un exponente entero n es una potencia que tiene la misma base y cuyoexponente es el producto de los exponentes m y n.Así, (34)3 = 34×3 = 312, (34)−3 = 34×(−3) = 3−12 = 3(−4)×3 = (3−4)3

Dejamos la demostración de esta propiedad como ejercicio

(ab)n = anbn.

En el lenguaje ordinario esta propiedad expresa que el resultado de elevar una potenciaentera un producto de números reales es igual al producto de las potencias que se obtienende elevar cada factor a la misma potencia entera. Así:

¡3π2

¢5= 35π5

2

(3π−2)−5 = 3−5 (π−2)−5 = 3−5π(−2)×(−5) = 3−5π10 = π10

35

Para la demostración de esta propiedad se consideran diferentes casos como en i).

Caso 1: n = 0. Ambos lados de la igualdad son iguales a 1.

Caso 2: n positivo(ab)n = (ab)× ....× (ab) (Definición símbolo an)= (a× ......× a)(b× ...× b) (Propiedad Asociativa y Conmutativa).= anbn

Caso 3: n negativo.En este caso, n será de la forma n = −r, con r entero positivo. Se puede escribir(ab)n = (ab)−r = 1

(ab)r(Definición símbolo an)

= 1arbr

(Caso 1)= 1

ar1br= a−rb−r (Producto entre fracciones y Definición símbolo a−n).

= anbn

Ejemplos:Presentamos a continuación, algunos ejemplos en los cuales se combinan varias de

las propiedades anteriores. En cada caso, la expresión dada debe simplificarse lo máximoposible y en la expresión final solo deben aparecer exponentes positivos.

i. (4−3)6+4+4(6−2)

4−2×6−4 =(22)

−32×3+22+22.(2×3)−2(22)−2×(2×3)−4


= 2−6,2×3+22+22,2−2,3−2(22)−2×(2×3)−4

= 2−5×3+22+20,3−22−8,3−4

= (2−5 × 3 + 22 + 3−2) 28,34= 23,35 + 210,34 + 28,32 = 2332 (33 + 2732 + 25)

ii.³32

4´2+ 92

4= 32

4×2 + (32)24

= 325+ 32

5= 2,32

5

iii. 5−47+4+53,7−25−57−3 = (5−47 + 4 + 53,7−2) 55,73

= 5× 74 + 4× 55,73 + 58 × 7= 5× 74 + 4× 55 × 73 + 58 × 7

Ejercicios.En los ejercicios 1 al 23 responda verdadero o falso y justifique su res puesta.

1. Para todo a, b, c ∈ R, b 6= 0, ab+ c

b= a+c

b

2. Para todo a, b, c ∈ R, b 6= 0 6= d, ab+ c

d= a+c

bd

3. Para todo a, b, c ∈ R,(a− b)− c = a− (b− c).

4. La ecuación ax+ b = cx+ d siempre tiene solución en R

5. La fracción real 0√3no tiene sentido.

6. Para todo a, b, c ∈ R, (a+ b)÷ c = (a÷ c) + (b÷ c), c 6= 07. Para todo a, b, c ∈ R, a÷ (b+ c) = (a÷ b) + (a÷ c),

8. Para todo a ∈ R existe x ∈ R tal que 0.x = a.

9. El recíproco de 2− a, si existe, es 12− 1

a

10. El número 3+x2−x tiene recíproco para todo x ∈ R

11. El recíproco de todo número entero es un número entero.

12. El recíproco de todo número racional es un número racional.

13. El recíproco de todo número irracional es un número irracional.

14. Al efectuar el cálculo 3−11

3−1se obtiene 3−2.

15. La cuarta parte de la quinta parte de 20 es igual a la quinta parte de la cuarta partede 20.

16. 2n,2m = 4nm para todo n,m ∈ Z.


17. (3n)m = 3n+m para todo n,m ∈ Z.18. 3.(2)n = 3,2n para todo n,m ∈ Z.19. 2n + 2n = 2n+1 para todo n ∈ Z.20. 3n + 3n = 3n+1 para todo n ∈ Z21. Si n es un entero par, (−a)n = an para todo a ∈ R.22. Si n es un entero entonces (−a)n = −an para todo a ∈ R23. ( 7

17)−5 = 175

75

24. Calcule mentalmente los resultados de las siguientes operaciones y luego explicite,por escrito, el proceso seguido, indicando las propiedades formales utilizadas,

22× 125, 33× 12, 12× 17× 5, 27× 15 + 3× 15, 17× 18 + 3× 36.

25. Si la suma fuese distribuida respecto de la multiplicación cuál sería el resultado dela siguiente operación: 3 + (2

5× 1

4)

26. Determine si las siguientes igualdades son válidas. Si una igualdad es válida,establezca qué propiedades de los números reales la justifican, si no lo es diga quépropiedad ha sido mal utilizada.

a. 2 +¡√5− 1

3

¢= 2− ¡1

3+√5¢

b. (16÷ 7)÷ 23= 16÷ ¡7÷ 2

3

¢c. 1

2(a+ b) = 1

2a+ b

d. 1,5√2+ 3

5+ 2 = 2 + 1,5√

2+ 3

5

e. 12− ¡8− 14

¢= (12− 8)− 1

4

f.¡√3− 4

3

¢− 2 = 2− 1(√3− 4

3)−1

27. En cada caso, dé los inversos multiplicativos (recíproco) y aditivo (opuesto), siexisten, de los números que se indican a continuación. Las letras a y b denotannúmeros reales arbitrarios.

0, 1, 13,−1

2,−0,25, (0,25)2 ,√3,

p1 +√2¡14

¢5, (1 + a)2 , 2+a

1−b ,12− 1

a

28. De las siguientes fracciones cuáles representan un número real.

60, 06, 66, 6−16−1 ,

0

( 23)−1 ,

00


29. Diga cuáles de las siguientes propiedades son válidas para la resta entres reales: laasociativa, la commutativa, la distributiva de la multiplicación respecto de la resta.Justifique su respuesta.

30. Efectúe las operaciones indicadas (justifique cada paso),

i. (−2) [3(4− 2) + 6] + 5 [−2(−3 + 8) + 9]ii. 3

2

£16(−2 + 4)− 30(7

3− 9

3)¤+ 5

π[(4− 8) 6π − (9π − 4π) 3]

iii. (16÷ 8)÷ 2iv. −6 £3

4(28 + 24)− 12 ¡3

3− 8

3

¢¤− 4 [(7− 3) 9− 16]v.

1

1+12

1+13

vi. −·14+( 13+

24)

3+ 1

1+53

¸−131. Suponga que debe efectuar los cálculos que se indican utilizando una calculadora que

no tiene incorporado el sistema de prelación usual entre operaciones. Introduciendoparéntesis indique la manera como debería ordenar estos cálculos y efectué lasoperaciones utilizando "paréntesis.en la calculadora. Realice luego los mismoscálculos "de seguidoçon la calculadora y compare los resultados. Deben ser iguales.Para facilitar la escritura transforme las "barras"de las fracciones en el símbolo ÷.

i. 12+ 7

12× 3 + 2

4

ii. −1 + 8× 5 + 13+ 2 + 3

4× 7

iii. 120÷ 4÷ 6÷ 5

iv.34−2+8×5

12+35×4×1,5−4

v.1

1+0,32

1+ 11,17

+ 1,25× 0,68

32. En los siguientes ejercicios simplifique las expresiones dadas utilizando al máximolas propiedades de potencias. Dé las expresiones finales en términos de potenciasenteras con exponentes positivos.

a. 23,2−4

b. 36,3−5

c. b2.b−2 (b 6= 0)


d. 42,4−5,46

e. 52,5−4,56

f. (−2)4+(−4)2(−1)6

g. (−2)2+(−4)4(−1)

h. 4−2+2−48−1

i. 32+2−364−1

j. (8−2)−3

k. (3−5)4

l. (32,7−2)3

m. 32,7−3+3−6,723×7−1+3−7,74

n. 4×5−2+3×5−5+2×5−36×52+500×5−1

o. ¿Cuál es la repuesta en los casos l. y m. si 3 se sustituye por a y 7 se sustituye por b?

p. (−2a2bc−4) (5a−1b3c5)q. 3x2y3

4x3y2+ 2xy4

6x5

r. (7x2y + 3x−1y2)

s. (2rs2vp−1)3

(5r−3sv−2p)−2

33. Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones justificando los pasos:

5x+ 4 = 23,4x− 13 = 5x+ 8,(x+ 3)(x+ 2) = 0(3x− 8)(6x+ 7) = 0

34. En un zoológico hay 500 animales y el 20% de éstos son aves. Se sabe que el 30%de las aves son pericos.

a. ¿Cuántos pericos hay en el zoológico?

b. ¿Qué porcentaje de los animales del zoológico no son pericos?

c. ¿Qué porcentaje de las aves del zoológico no son pericos?


35. Veinte litros de una solución contienen 20% de cierta sustancia química. ¿Quécantidad de agua debe agregarse para que la solución restante contenga 15% dela sustancia química?

36. Demuestre utilizando la definición de recíproco que 1−1 = 1 (el recíproco de 1 es 1)y que (a−1)−1 = a.

Utilizando la definición de la resta a − b, las propiedades formales de la suma y lamultiplicación y los resultados sobre números reales estudiados en esta unidad, demuestreque

i. (a− b) + (b− c) = a− c

ii. −(a+ b) = −a− b

iii. −(a− b) = −a+ b

iv. a(b− c) = ab− ac

demostrar que am.an m, n enteros.

38. Siguiendo un procedimiento semejante al utilizado en esta unidad para demostrarque am.an = am+n. demuestre que (am)n = amn con a real.

Los ejercicios siguientes pueden ser utilizados para demostrar que las fracciones realestienen las mismas propiedades que las fracciones racionales.

39. Utilizando la definición que se da de la fracción real a/b demuestre las siguientesproposiciones:

i. −ab= −a

b= a

−b , b 6= 0ii. a

b= ac

bcb 6= 0 y c 6= 0

iii. ab+ c

d= ad+bc

bd, b 6= 0, d 6= 0

iv. ab× c

d= ac

bd, b 6= 0, d 6= 0

v.abcd= ad

bc, b 6= 0, c 6= 0, d 6= 0

vi. (ab)−1 = b

a, a 6= 0, b 6= 0

40. En cada uno de los ejercicios siguientes efectúe las operaciones que se indican hastaobtener una fracción real simplificada. Identifique las fracciones racionales.

i. 23(34+ 3

2)


ii. −√125(√2√3−√3√2)

iii.√5+√2

4(√5+√2

2+ 3√

5−√2)

iv. 410+ 3

6+ 2π

20

v.34√2√3

vi. 113× −4

21× 3

√7

44

vii. 0,752− 1

3+ (0,5)−1

viii. (0,16− 1).( 11−√0,16 +

11+√0,16)

2.4. ESTRUCTURA DE ORDEN DE LOS NÚMEROS REALES 101

2.4. ESTRUCTURADEORDENDE LOSNÚMEROSREALES

2.4.1. Los Axiomas de Orden.

El orden, que es el otro elemento constitutivo del sistema matemático de los númerosreales, es inherente al concepto mismo de número real.Cuando se dice que hay un orden en R se quiere decir que existe un criterio que

permite comparar números reales y decidir, de dos números arbitrarios diferentes, cuál esel "menor"(o .el mayor").En 2.2.1 hemos visto cómo, mediante la representación geométrica, se introduce un

orden natural en el conjunto de números reales. Recordemos que el cero en la rectanumérica divide al conjunto de números reales en tres conjuntos disjuntos: los realesa la derecha del cero, los reales a la izquierda del cero y el conjunto cuyo único elementoes el cero. A los reales ubicados a la derecha del cero se les denomina los reales positivos.Notemos que la ubicación de los números reales en la recta real

Si un número real x es positivo escribimos x > 0 y si es negativo, x < 0. (Figurasiguiente).

Reales Positivos Reales Negativos

b < 0 a > 0

a b 0

Hemos definidos el símbolo < de la siguiente manera; si x e y son dos números reales,x es menor que y (ó y es mayor que x), y escribimos x < y (o y > x), si y sólo si y− x espositivo. Simbólicamente:

x < y ↔ y − x > 0

En esta unidad veremos que con un pequeño número de propiedades se puedecaracterizar la relación de orden entre números reales, como en el caso de las operacionesde suma y multiplicación. Es decir, a partir de ellas, mediante razonamiento deductivo yutilizando las propiedades y teoremas ya establecidos de las operaciones entre reales, sepueden deducir las propiedades del orden.Las propiedades formales son tres; la ley de tricotomía, la propiedad clausurativa de

los números positivos y la propiedad del extremo superior (o supremo).


Presentaremos inicialmente las dos primeras dejando para más adelante la presentaciónde la última.La primera propiedad se refiere al hecho de que los números reales se clasifican en

positivos, negativos y cero. Este hecho, usualmente conocido como la ley de tricotomía,se enuncia de la siguiente manera:

Propiedad de la tricotomiadado un número real a arbitrario, a es positivo, a es negativo o a es cero.Simbólicamente se escribe:(∀a ∈ R) (a > 0 Y a < 0 Y a = 0)o equivalentemente(∀a ∈ R) (a > 0 Y−a > 0 Y a = 0)que se deduce de la anterior usando la definición del símbolo <.

Propiedad clausurativaCuando sumamos o multiplicamos dos números positivos obtenemos un número

positivo.Simbólicamente se escribe así:

a > 0 ∧ b > 0→ a+ b > 0 ∧ a.b > 0

En lo que sigue escribiremos a ≤ b para indicar que a < b ó a = b. También usaremosla abreviación a ≤ c ≤ b para indicar que a ≤ c y que c ≤ b.

2.4.2. Intervalos.

Utilizaremos la siguiente terminología para referirnos a los siguientes conjuntos denúmeros reales que se agrupan bajo el nombre genérico de intervalo.

Intervalos finitos cerrados:[a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}

Intervalos finitos abiertos:(a, b) = {x ∈ R|a < x < b}

Intervalo finito semiabierto o semicerrado:(a, b] = {x ∈ R|a < x ≤ b}[a, b) = {x ∈ R|a ≤ x < b}

Intervalos infinitos cerrados:(−∞, a] = {x ∈ R|x ≤ a}[a,∞) = {x ∈ R|x ≥ a}(−∞,∞) = R


2.4.3. Inecuaciones

Antecedemos la presentación de algunos teoremas sobre el orden con una observaciónque consideramos importante. En matemáticas las palabras relación de orden"tienen unsignificado muy preciso. El símbolo "≤", cuyo significado hemos definido anteriormente,es, matemáticamente, una relación de orden.en cuanto que permite establecer unaconexión específica entre pares de números reales que tiene las siguientes característicaso propiedades:

i. Propiedad Reflexiva: a ≤ a

ii. Propiedad Antisimétrica: a ≤ b y b ≤ a −→ a = b

iii. Propiedad transitiva: a ≤ b ∧ b ≤ c −→ a ≤ c

Estas propiedades son intuitivamente obvias para el estudiante y pueden parecerletriviales, pero son muy importantes desde el punto de vista lógico y están presentes enmuchas demostraciones matemáticas. Estas propiedades, en realidad, pueden presentarsecomo un primer teorema del orden entre reales que se deduce a partir de las dospropiedades formales que hemos enunciado. Omitiremos, sin embargo, esta demostración(Ver ejercicios).

Teorema 5

i. Si a ≤ b y c ≤ d entonces a+ c ≤ b+ d.

(Dos desigualdades se pueden sumar término a término sin que cambie el sentidode la desigualdad).

ii. Si a ≤ b y c ≥ 0 entonces ac ≤ bc.

(Los dos miembros de una desigualdad pueden ser multiplicados por un número nonegativo sin que cambie el sentido de la desigualdad).

iii. Si a ≤ b y cl 0 entonces ac ≥ bc,

(Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un número no positivo elsentido de la desigualdad se invierte).

iv. Si 0 ≤ a ≤ b y 0 ≤ c ≤ d entonces 0 ≤ a.c ≤ b.d.

v. Si a ≤ b ≤ 0 y c ≤ d ≤ 0 entonces a.c ≥ b.d ≥ 0.Demostración:

i. Por hipótesis se tiene que b− a ≥ 0 y d− c ≥ 0 y por la propiedad clausurativa de losreales positivos se concluye que (b− a) + (d− c) = (b+ d)− (a+ c) ≥ 0 o, lo quees lo mismo, que a+ c ≤ b+ d.


ii. Por hipótesis se tiene que c ≥ 0 y b − a ≥ 0 y por la propiedad clausurativa de losreales positivos se concluye que c(b− a) = cb − ca ≥ 0 o, lo que es lo mismo, queac ≤ bc.

iii. Por hipótesis se tiene que −c ≥ 0 y b− a > 0 y por la propiedad clausurativa de losreales positivos se concluye que −c(b− a) = ac− bc > 0 o, lo que es lo mismo, queac ≥ bc.

Las proposiciones iv) y v) que son consecuencias de la ii) y iii), las dejamos comoejercicio (Ver ejercicios).

EjemploConviene ilustrar aquí cómo el Teorema 5 tiene aplicaciones a la solución de

inecuaciones. Supongamos que se quieren determinar los valores que puede tomar x quehacen válida la siguiente desigualdad x

2+ 8 ≤ x

3+ 4. En términos conjuntistas se quiere

determinar el conjunto {x ∈ R|x2+ 8 ≤ x

3+ 4}.

La estrategia para resolver este tipo de ecuación lineal es igual a la que se sigue pararesolver una ecuación lineal y que consiste en primera instancia en trasladar todos lostérminos afectados por x a un lado de la desigualdad y los términos independientes de xen el otro lado. Luego se despeja x liberándola de su coeficiente para obtener la soluciónfinal.Las transformaciones anteriores se fundamentan en el Teorema 5 que acabamos de

demostrar y se pueden realizar de la siguiente manera: Por la parte i) del Teorema y lapropiedad reflexiva del orden se puede primero agregar a ambos lados de la desigualdad−x3y luego−8 sin que se modifique el sentido de la desigualdad para obtener los siguientes

resultados:x2+ 8 ≤ x

3+ 4

−x3≤ −x

3

sumando término a término se tiene x2− x

3+ 8 ≤ 4 luego x

2− x

3≤ 4− 8.

Obteniendo la desigualdad x6≤ −4

Utilizando la parte ii) del Teorema se puede multiplicar ambos lados de la ultimadesigualdad por 6 sin modificar el sentido de la misma, para obtener el siguiente resultado:

x ≤ −24Esto quiere decir que todo numero real x no mayor que −24, satisface la desigualdad

propuesta. En términos conjuntistas la respuesta se puede e cribir en la forma

{x ∈ R|x ≤ −24} = (−∞,−24]Vale la pena observar que en la primera transformación se ha podido trasladar el

término x2al lado derecho de la desigualdad y 4 al lado izquierdo para obtener:

8− 4 ≤ 13x− 1

2x

4 ≤ −x6


En este caso, si en lugar de multiplicar por 6, multiplicamos por −6, el sentido de ladesigualdad se invierte, de acuerdo con la parte iii) del Teorema 5 para obtener

−24 ≤ x

Que es, naturalmente, el mismo resultado anterior.Teorema 6.: Sean a, b números reales, entonces ab > 0 ↔ (a > 0 ∧ b > 0) ó

(a < 0 ∧ b < 0)El resultado consignado en este Teorema es el que el estudiante conoce como la ley de

los signos. Este dice que el producto ab de los números a y b es positivo sólo en el caso enque a y b posean el mismo signo.Demostración:Procederemos primero en la dirección ←. Se puede escribirSi a > 0 y b > 0 entonces ab > 0 (Segunda propiedad formal de orden)Si a < 0 y b < 0 entonces −a > 0 y −b > 0 (Ley de Tricotomía)∴ (−a) (−b) = ab > 0 (Teorema 2 y segunda propiedad formal de orden)Hemos demostrado que si a y b son del mismo signo entonces ab > 0.Demostramos ahora la proposición recíproca. Sea ab > 0, y asumamos que a > 0. Se

debe demostrar que b > 0.Si fuese b < 0, se tendría −b > 0 (Ley de Tricotomía)∴ a(−b) = −ab ≥ 0 (Teorema 2 y segunda propiedad formal de orden)∴ ab ≤ 0 (Teorema 5)Lo cual contradice la hipótesis sobre ab. Se concluye entonces que b > 0.

Asumamos ahora que a < 0. Procediendo como antes, demuestre como ejercicio quetiene que ser b < 0. No es difícil ver que la situación a = 0 no puede darse (porqué?). Enconclusión, si ab > 0 entonces una de las dos situaciones se cumple a > 0 y b > 0 ó a < 0y b < 0, que es justamente lo que se quería demostrar.

Corolario 6.1: Si a es número real diferente de 0, entonces a2 > 0, en particularse tiene que 1 > 0. (El cuadrado de todo número diferente de 0 es positivo).Demostración: Reemplazando b por a en el Teorema 6, es obvio que ambos factores

poseen el mismo signo. Por otro lado como 1 = 12 entonces 1 > 0

Corolario 6.2: a y a−1 son simultáneamente positivos o negativos.Demostración: El corolario es inmediato del Teorema 6 pues aa−1 = 1 > 0Este corolario se puede expresar también escribiendo

a > 0 sii 1a> 0

El Teorema 6 y sus corolarios tienen también implicaciones muy importantes en lasolución de inecuaciones que ilustramos con dos ejemplos sencillos.

Ejemplos


1. Supongamos que se quieren determinar los valores de x que hacen válida la siguientedesigualdad x(x + 1

2) ≥ 0. Es decir, se quiere determinar el conjunto {x ∈

R|x(x+ 12) ≥ 0}. Lo primero que se puede observar es que la igualdad x(x+ 1

2) = 0

es válida para los casos x = 0 ó x = −12.

Consideremos ahora x(x+ 12) > 0. Aplicando el Teorema 6 se puede escribir

x(x+ 12) > 0←→ (x > 0 y x+ 1

2> 0) ó

¡x < 0 y x+ 1

2< 0

¢Transformando cada uno de los términos a la derecha de la doble implicación se tiene

x > 0 y x+ 12> 0 ←→ x > 0 y x > −1

2←→ x > 0

0

x > 0

- ½

x > -½

x < 0 y x+ 12< 0 ←→ x < 0 y x < −1

2←→ x < −1

2

0

x < 0

- ½

x < -½

Se puede concluir entonces, incluyendo los valores x = 0 y x = −12, que si x ≥ 0 ó

x ≤ −12, la desigualdad propuesta es válida. En términos conjuntistas esto quiere

decir que


{x ∈ R|x ¡x+ 12

¢ ≥ 0} = {x ∈ R|x ≥ 0} ∪ {x ∈ R|x ≤ −12}

= [0.∞) ∪ (−∞,−12]

Gráficamente esta solución se puede visualizar en la recta numérica así

0- ½

0≥x

21≥x

Es importante observar que todo el proceso de transformaciones puede seguirsemanteniendo un lenguaje conjuntista, que aunque más tedioso, en lo que a escriturase refiere, ayuda a dar claridad a todo el proceso.

{x ∈ R/x(x + 12) ≥ 0} = {x ∈ R/x > 0 ∧ x + 1

2> 0} ∪ {x ∈ R/x < 0 ∧ x + 1

2<

0} ∪ {x ∈ R/x(x+ 12) = 0}

= {x ∈ R/x > 0 ∧ x > −12} ∪ {x ∈ R/x < 0 ∧ x < −1

2} ∪ {x ∈ R/x = 0 ∨ x+ 1

2= 0}

Transformando serparadamente cada conjunto se tiene:{x > 0 ∧ x > −1

2} = {x ∈ R/x > 0} ∩ {x ∈ R/x > −1

2} = {x ∈ R/|x > 0} = (0,∞)

{x ∈ R/x < 0 ∧ x < −12} = {x ∈ R/x < 0} ∩ {x ∈ R/x < −1

2} = {x ∈ R/x < −1

2} =

(−∞,−12)

{x ∈ R/x = 0 ∨ x+ 12= 0} = {0, 1

2}

De a cuerdo a lo anterior se tendría que:{x ∈ R/x(x+ 1

2) ≥ 0} = {x ∈ R/x > 0}∪{x ∈ R/x < −1

2}∪{0, 1

2} = (−∞, 1

2]∪ [0,∞)

2. Otro ejemplo puede ser la determinación de los valores de x que hacen válida lasiguiente desigualdad

1x+√2< 0

Puesto que x +√2 debe ser distinto de 0 para que la expresión esté bien definida,

utilizando el corolario 6.2. se puede escribir

1x+√2< 0←→ x+

√2 < 0

Lo cual permite concluir de inmediato que los x < −√2 hacen válida la desigualdadpropuesta.Presentamos un último resultado relacionado con el orden de bastante utilidad en el

manejo de los números reales.

Teorema 7: Sean a y c números reales.


i. Si 0 < c < 1 y a > 0 entonces ac < a. (Si un número positivo a se multiplica por unnúmero c positivo pero menor que 1 el producto ac es menor que a).

ii. Si c > 1 y a > 0 entonces ac > a. (Si un número positivo a se multiplica por unnúmero c positivo mayor que 1 el producto ac es menor que a).

Corolario 7.1. Si 0 < c < 1 entonces c > c2 > c3 > ....Si c > 1 entonces c < c2 < c3 < ...La demostración de este Teorema con sus corolarios los dejamos como ejercicio al

estudiante interesado.

2.4.4. Valor Absoluto.

En 2.2.1 introdujimos el concepto de valor luto de un número basándonos en lanoción de distancia en la recta numérica. En esta sección presentamos las propiedadesmás importantes del valor absoluto.Teorema 8: Sean a y b números reales y δ un número real positivo.

(i) |a| ≥ 0.(ii) |a| = 0 si y solo si a = 0.(iii) |a| = |− a|.(iv) −|a| ≤ a ≤ |a|(v) |a| ≤ δ si y solo si −δ ≤ a ≤ δ (lo cual significa que a ∈ [−δ, δ])(vi) |a| ≥ δ si y solo si a ≤ −δ ∨ a ≥ δ si y solo si a ∈ (−∞,−δ] ∪ [δ,∞)(vii) |ab| = |a||b|.(viii) |a± b| ≤ |a|+ |b|.(ix) ||a|− |b|| < |a± b|.

Demostración: Demostramos a continuación un par de las proposiciones riores dejandoalgunas de las restantes como ejercicio para el estudiante.Los casos (i), (ii), (iii) y (iv) son inmediatos a partir de la definición de valor absoluto.En términos intuitivos la proposición (v) es clara, pues si |a| es la distancia al origen

y |a| ≤ δ esto sólo puede ocurrir si y solo si a pertenece al intervalo [−δ, δ] centrado en elorigen, lo cual a su vez es equivalente a decir que −δ ≤ a ≤ δ.Primer criterio: El punto P pertenece al intervalo sii su distancia al origen es menor o

igual que δ, es decir si |m(P,O)| = |a| ≤ δ.Segundo criterio: El punto P pertenece al intervalo [−δ, δ] sii −δ ≤ a ≤ δUna demostración analítica de la proposición (v) puede ser la siguiente


P O

a 0 δδ−

O P

Figura 2.1:

Demostremos primeros que |a| < δ implica −δ < a < δSea |a| ≤ δSi a ≥ 0 entonces, por la definición de valor absoluto tenemos que |a| = a.De acuerdo a la hipótesis y lo anterior se tendrá que 0 ≤ a ≤ δ.Puesto que −δ ≤ 0 se tiene que 0 ≤ a ≤ δSi a < 0 entonces, por la definición de valor absoluto tenemos que |a| = −a,

0 ≤ −a ≤ δ.Como en el caso anterior tenemos que −δ ≤ −a ≤ δ.Si multiplicamos por −1 obtenemos δ ≥ a ≥ −δEs decir, que en cualquier caso, sea positivo o negativo, se tiene que |a| < δ implica

−δ < a < δ.Demostremos ahora que −δ < a < δ implica |a| ≤ δ.Si a ≥ 0 entonces |a| = a y por lo tanto |a| ≤ δSi a < 0 entonces |a| = −a. Pero de la hipótesis, multiplicando por −1, se concluye

que δ ≥ −a y por lo tanto δ ≥ |a|.En conclusión, en cualquier caso, sea a positivo o negativo se tiene que−δ ≤ a ≤ δ implica |a| ≤ δLa validez de la proposición (vi) se puede deducir de la siguiente manera. Si |a| ≥ δ,

quiere decir que la distancia de a al origen es mayor o igual a δ . Se concluye de inmediatoque esto ocurre si y solo si a está en alguno de los intervalos (−∞,−δ] ó [δ,∞).Las proposiciones (vi), (vii), (ix), se dejan como ejercicio (Ver ejercicio de esta Unidad)

.Observamos finalmente que las proposiciones v) y vi) son de mucha utilidad en la

solución de las inecuaciones del tipo |x−a| ≤ b o |x−a| ≥ b que se presentan con relativafrecuencia. Supongamos que se quieren determinar el conjunto {x ∈ R||x − 1| < 1

2}.

Transformando la condición se de escribir por la proposición v) en el Teorema 8Se puede escribir por lo tanto que

{x ∈ R||x− 1| ≤ 12} = {x ∈ R|1

2≤ x ≤ 3

2} = [1

2, 32]

Si el problema que se plantea es la solución |x− 1| ≥ 12aplicando la proposición vi), se

puede escribir que:

|x− 1| ≥ 12←→ x− 1 ≤ −1

2∨ x− 1 ≥ 1

2←→ x ≤ 1

2∨ x ≥ 3

2

o lo que es lo mismo:

{x ∈ R||x− 1| ≥ 12} = (−∞, 1

2] ∪ [3

2,∞)


2.4.5. Propiedad del Superior.

En lo que sigue presentaremos la propiedad del superior que viene a completar lacaracterización matemática del .orden.en el sistema matemático de los números reales.Cotas Superiores e Inferiores.Definicon: Sea A un conjunto no vacío de números reales y c un número real, que

de ser o no elemento de A . Se dice que:

i. c es una cota superior de A si c es mayor o igual que cualquier elemento de A.

Simbólicamente:c es cota superior de A, sii ∀x ∈ A; x ≤ c

ii. c es una cota inferior de A si c es menor o igual que cualquier elemento de A.

Simbólicamente:c es cota inferior de A, sii ∀x ∈ A;c ≤ x

Si A posee una cota superior se dice que A es acotado superiormente.Si A posee una cota inferior se dice que A es acotado inferiormente.Se dice que A es acotado cuando lo es superior e inferiormente.El siguiente dibujo ayuda a visualizar las definiciones anteriores

A

C

A es acotado superiormente. Todo elemento de A está a la izquierda de C

cota superior de A

Todo elemento de C a la derecha de todos los elementos de A es una cota superior de A.


A es acotado inferiormente. Todo elemento de A está a la derecha de C

Todo elemento de C que está a la izquierda de todos los elementos de A es una cota inferior de A.

A

C

A es acotado. Todo elemento de A está entre C y C .

Si C es cota inferior de A y C es cota superior de A, entonces A ⊂ [C, C ]

A

C C ´

- N no es acotado superiormente, pero lo es inferiormente. Los números 0, −1,−12y en

general cualquier número negativo es cota inferior de N- Z no es acotado superior, ni inferiormente.-Si a y b son números reales [a, b) es un conjunto acotado. Observe que b es cota superior

del conjunto, al igual que cualquier número mayor que b, pero que ningún número menorque b es cota superior para este conjunto. De manera similar se puede ver que a es cotainferior al igual que cualquier número menor que a, pero ningún número mayor que a escota inferior para este conjunto.- El conjunto [a,∞) es acotado inferiormente, pero no superiormente (−∞, a] es el

conjunto de sus cotas inferiores.- El conjunto { 1

n| n ∈ N} es acotado. Puesto que 2 ≥ 1

2, para cualquier n, 2 es cota

superior del conjunto; también lo será 1. Como todos los elementos del conjunto sonpositivos, cualquier número negativo es cota inferior, también lo será 0.La noción de cota superior e inferior, están presentes en el lenguaje ordinario. Es

común oír frases tales como: cuando fuimos a Bogotá viajamos entre 60 y 80 Km/h; eldollar no subirá este año más arriba de 200 pesos dollar; el pH de la solución está entre3,5 y 4,0; en las cuales no es difícil identificar tales nociones.


Cota Superior Mínima (extremo superior) y Cota Inferior Máxima(extremo inferior).Sea A un conjunto no vacío de R y M un elemento de R que puede ser o no elemento

de A. Se dice que M es la cota superior mínima o extremo superior de A si y solo si:

i. M es cota superior de A.

ii. M es la menor de las cotas superiores de A esto es, si dada una cota superior c de Aentonces M ≤ c.

Si M pertenece a A (M ∈ A) se dice que M es su elemento máximo.Similarmente, si m es un elemento de R, se dice que es la cota inferior máxima o

extremo inferior de A si y solo si:

i. m es cota inferior de A,

ii. m es la mayor de las cotas inferiores. Esto es si c es cota inferior de A entonces m ≥ c

Si m pertenece a A (m ∈ A) se dice que m es su elemento mínimo.Al extremo superior y al extremo inferior de un conjunto A también los llamaremos

supremo e ínfimo de A y los notaremos por supA e infA respectivamente.

Volviendo sobre los ejemplos anteriores podemos decir que:- Puesto que N no es acotado superiormente no tiene sentido hablar de su supremo. En

cuanto al ínfimo, es claro que es el 1 (infN = 1), pues es la mayor de sus cotas inferiores.En este caso el 1 es también el mínimo del conjunto.- Z no tiene supremo ni ínfimo.- En el caso del intervalo [a, b), a es su mayor cota inferior y es consecuentemente el

ínfimo del conjunto (inf [a, b) = a) Puesto que a ∈ [a, b) es también el mínimo, b es porsu parte, la menor de las cotas superiores res del conjunto y es por lo tanto el supremodel conjunto (sup[a, b) = b), sin embargo b /∈ [a, b) y consecuentemente [a, b) no tienemáximo.

En general para cualquier intervalo I del tipo (a, b), [a, b), (a, b] ó [a, b) se puede escribirque supI = b e infI = a y serán máximos o mínimos del intervalo según que pertenezcano no a él .Para el intervalo [a,∞), a es su ínfimo y elemento mínimo, mientras que no tiene

elemento supremo. En general para un intervalo I de la forma (a,∞) ó [a,∞) se puedeescribir queinfI = a.El conjunto A = { 1

n|n ∈ N} es acotado inferiormente y no es difícil ver que 0 es la

mayor de sus cotas inferiores pero 0 no es elemento del conjunto. Es decir 0 es el ínfimo(infA = 0) pero no es elemento mínimo del conjunto. Por lo tanto A no tiene elementomínimo. En cuanto al 1, siguiendo las definiciones dadas, se puede concluir que es tanto elsupremo como el elemento máximo del conjunto (supA = 1). La siguiente Figura ayudaa visualizar esta afirmación.


},,,1{}}0{/{ 31

211 K=−∈= NnA n

A está entre 0 y 1

0 1

A∉0 A∈1

El 0 es ínfimo pero no elemento mínimo

1 es supremo y elemento máximo

21 3

1 41

Es importante observar que en muestra definición hemos hablado de los supremo eínfimos, máximos y mínimos en un sentido único (el supremo de un conjunto, el ínfimode un conjunto). Este carácter único se desprende de las propiedades que los definen.La otra observación, fundamental para entender en todo su sentido la propiedad que

presentaremos más adelante, es que en nuestra definición de su premo o ínfimo no hemosdicho en qué condiciones existen estos números, sólo hemos establecido los requisitos quedebe llenar un número para ser el supremo o el ínfimo de un conjunto determinado.

Esta afirmación se hace más clara si observamos que las definiciones anteriores sepueden hacer relativas a un conjunto de números en particular. Por ejemplo, podríamoshablar de conjuntos de naturales acotados en H, de conjuntos de racionales acotados enQ etc. Así, por ejemplo, tiene sentido considerar el siguiente conjuntoA = {m

n∈ Q|m

n<√

2} = (−∞,√2 ∩ Q), Este conjunto, bien que se considere en Q o en R, es acotado

superiormente. En R no es difícil ver que√2 es la menor de sus cotas superiores; pero,

puesto que√2 /∈ Q, podemos coincluir que, aunque A es acotado en Q , no posee en Q

un superior. Es decir que aunque lo parezca no es ni inmediato, ni obvio que un conjuntode números acotados tengan que tener un superior. La proposición que enunciamos acontinuación afirma, a manera de axioma, que ésta es la situación en R para todo conjuntoacotado superiojr mente de números reales, lo cual, como ilustra el ejemplo, no es válidocuando nos restringimos a los números racionales.

Propiedad del Extremo Superior:Todo conjunto de números reales acotado superiormente posee en R extremo superior

(Propiedad del Supremo),o lo que es equivalenteTodo conjunto de números reales acotado inferiormente posee en R extremo inferior

(Propiedad del ínfimo)*Tal como mencionamos anteriormente, esta propiedad, conjuntamente con las

propiedades formales 1 y 2 caracterizan matemáticamente la relación de orden entre los


números reales. Es decir todas las propiedades relativas al orden entre números reales sepueden deducir a partir de estas 3 propiedades formales o axiomas del orden.Demostramos a continuación que la propiedad del supremo implica la propie^dad del

ínfimo dejando la implicación recíproca al estudiante interesado como un ejercicio.Propiedad del Supremo −→Propiedad del Infimo.Sea A un conjunto de números acotados inferiormente. Demostremos que ınf(A)

existe.

Sea B el conjunto de las cotas inferiores de A. Por hipótesis B 6= 0.Observemos que por la definición de B los elementos del conjunto A estarán en la recta

numérica a la derecha de los elementos de B y recíprocamente, los elementos de B estarána la izquierda de los elementos de A. La clave para entender el proceso de demostraciónes visualizar que el supremo de B tiene que ser el ínfimo de A.Demostremos pues que el infA = supB. Puesto que suponemos que la propiedad del

supremo se cumple, supB existe y es por definición, la menor de las cotas superiores deB. Como todo elemento de A es cota superior de B, entonces para cualquier elemento ade A supB ≤ a. Es decir supB es cota inferior de A. Demostremos que es la mayor. Sino lo fuese exitiría c cota inferior de A, es decir elemento de B tal que supB < c. Peroésto contradice el hecho de que supB es cota superior de B y por lo tanto supB ≥ b, paracualquier b ∈ B.

Algunas consecuencias Matemáticas de la Propiedad del Supremo.

La propiedad del supremo tiene una influencia fundamental en la caracterizaciónmatemática de los números reales y, como habremos de ver, en ella radica realmente ladiferencia matemática entre el sistema de los números racionales y el sistema más generalde los números reales.El estudiante conoce sin duda, implícitamente, algunas de las propiedades matemáticas

de los reales determinadas por esta propiedad. En lo que sigue enunciaremos algunas deellas pero sin entrar a demostrar como se pueden deducir a partir de la propiedad delsupremo.

Propiedad Arquimediana de los números reales.

Esta propiedad es intuitivamente obvia y va implícita en el modelo geométrico de losnúmeros reales. Se enuncia diciendo: Si a y b son dos números reales positivos existe unnúmero entero n positivo tal que na > b.Puesto que na = a+....+a, en términos analíticos la propiedad arquimediana se puede

interpretar diciendo que al sumar consecutivamente un número real positivo arbitrario aconsigo mismo su suma llega a superar cualquier otro número real b positivo por grandeque él sea.


En términos geométricos, ya la hemos utilizado, y se puede interpretar de la siguientemanera. Si convenimos en tomar b > a e identificamos b y a en la longitud de los segmentosAP2 y AP1 respectivamente, tal como se indica en la figura, la propiedad arquimediana

a 2a 3a na 0 b

A P1 P2

diría, que yuxtaponiendo segmentos de igual medida a AP1, a lo largo del segmento,eventualmente se tiene un segmento de mayor longitud que AP2.Es interesante observar que a partir de esta propiedad es posible deducir la siguiente

proposición:Dado cualquier número real positivo a es posible encontrar un número entero n, y por

tanto infinitos, tal que 0 < 1n< a.

Densidad de los números racionales en los reales.

Los conjuntos numéricos están llenos de sorpresas y en especial en relación con elorden, que desafían nuestra intuición. Ya hemos presentado algunas de ellas como porejemplo la enumerabilidad de los racionales y la no enumerabilidad de los irracionales.Una característica de mucha utilidad es la que se refiere a la "densidad"de los

números racionales y reales en general. Mientras que los números naturales y enterosson "separados", y se puede hablar de enteros consecutivos entre los cuales no hay otroentero ésto no es posible cuando habla mos de los racionales y de los reales. En efectosi α y β son números reales tales que α < β siempre será posible encontrar otro númeroreal entre ellos y por lo tanto infinitos! Basta observar que α+β

2es un número real y que

α < α+β2

< β. Este mismo argumento es válido si α y β son racionales. En este casoα+β2será también racional. Por esta razón se dice que los números reales y los números

racionales son densos en sí mismos. Pero lo que es aún más sorprendente y útil es que elconjunto de los números racionales es denso en el conjunto de los números reales en elsiguiente sentido: entre dos números reales cualesquiera sean ellos racionales o irracionalessiempre se podrá encontrar un número racional.

Esta propiedad se puede comprender fácilmente, si observamos como ya lo hicimos aldescribir las bases del sistema de numeración decimal, que si se conoce el numeral decimalde un número real cualquiera es posible encontrar números racionales menores o mayoresqu él tan próximos a él como se quiera, por ejemplo, si an . . . a1a0.b1b2b3 . . .es la expresióndecimal de a, los números αk = an . . . a1a0.b1b2b3 . . . bk y βk = an . . . a1a0.b1b2b3 . . . bk+

110k

son números racionales tales que

αk ≤ a ≤ βk


|βk − αk| ≤ 110k

|a− αk| ≤ 110k

|βk − a| ≤ 110k

Pero esta observación, de gran utilidad práctica, provee una demostración que dependede la forma de representación decimal de los reales pero la propiedad de densidad de losracionales en los reales es inherente al sis^tema matemático de los reales y no dependede su forma de representación. Dicha propiedad es en efecto una consecuencia directa dela propiedad ar-quimediana y por lo tanto de la propiedad formal del supremo. Damos lademostración para el estudiante interesado.Sean x e y dos números reales diferentes. Se puede asumir que ambos son positivos

y que x < y. Demostremos que existe un numero racional entre ellos. Puesto quey − x > 0, por la propiedad arquimediana sabemos que se puede encontrar n ∈ N talque 0 < 1

n≤ y − x. Aplicando de nuevo la propiedad arquimediana, al sumar 1

nconsigo

mismo un número suficiente de veces se tiene que la suma eventualmente es mayor que x.Existe, por lo tanto, un número m ∈ N tal que mx 1

n< x < (m+ 1)x 1

n. Se puede escribir

por lo tanto que:

x < (m+ 1) 1n= m

n+ 1

n< x+ (y − x) = y

Es decir que el número racional m+1nestá entre x e y.

El hecho de que el conjunto de los números racionales sea denso en el conjunto de losreales permite concluir que en general cualquier número real se puede considerar como elsupremo (o ínfimo) de un conjunto de números racionales. En particular se puede escribirque, si α es cualquier número real, entonces:

α = sup©mn∈ Q/m

n< α

ªα = ınf

©mn∈ Q/α < m

n

ªEsto significa que el supremo (o ínfimo) de ciertos conjuntos de números reales se

puede calcular considerando solamente números racionales.

2.4.6. La existencia de raíces n-ésimas.

El estudiante esta acostumbrado a hablar de raíz cuadrada (√a), raiz cúbica ( 3

√a) de

un número a positivo como el número que elevado al cuadrado ó al cubo según el caso,reproduce el número inicial a. Es decir, por (

√a)2 = a, ( 3

√a)3 = a. De igual manera se

puede extender esta definición para cualquier número natural n. Se puede definir, porejemplo, una raiz n− esima de un número real a (y es denotada como n

√a) el número que

elevado a la potencia n − esima da a. Es decir ( n√a)

n= a. ¿Pero quién garantiza que

tal número existe? Esta situación es semejante a la que obsérvanos al dar la definición desupremo e ínfimo. Una cosa es decir que un "tigre.es un "león de dos cabezas 2otra cosaes comprobar que en realidad existen "leones de dos cabezas". Así, por ejemplo, si nosrestringimos a considerar solamente números racionales es claro que 1

8tiene raíz cúbica en

los racionales y que 3

q18= 1

2, pero puesto que 3

√3 es irracional, 3 no tiene raíz cúbica enQ).

La propiedad del supremo en los reales garantiza que un número positivo real cualquiera


tenga por lo menos una raíz n − esima en R y justamente porque el conjunto de losnúmeros racionales no cumple dicha propiedad se explica que no siempre la raíz n− esimade un número racional positivo sea un número racional. El siguiente teorema establece laconsecuencia algebraica fundamental de los números reales que depende directamente dela propiedad del supremo. Lo damos sin demostración.Teorema 9:Sea a un número real no negativo y n un entero positivo. Existe una raíz n − esima

positiva única de a, que denotaremos n√a. Es decir existe un número real positivo n

√a

único tal que ( n√a)n = a.

Más aún:n√a = sup{x ∈ R+/xn ≤ a} = sup{x ∈ Q+/xn ≤ a}

= ınf{x ∈ R+/xn ≥ a} = ınf{x ∈ Q+/xn ≥ a}(R+ : reales positivos, Q+ : racionales positivos)Los términos de la derecha permiten calcular la expresión de n

√a.

Observe que la primera parte del Teorema podría expresarse diciendo que en R , laecuación xn− a = 0, donde a es real positivo siempre tiene solu¬cinenlosnmerosreales.Es conveniente también puntualizar que el teorema habla de raíces positivas de

números positivos. No es difícil ver que − n√a, cuando n es par, es también una raíz

n− esima de a, pues por ser n de la forma n = 2k, k natural, se puede escribir

(− n√a)n = [(− n

√a)2]k = [( n

√a)2]n = (− n

√a)n = a

Por lo anterior se suele hablar de raíz negativa 2raíz positiva", cuando n es par, peroel símbolo (− n

√a)n se reserva exclusivamente para la raíz positiva o raíz principal. Como

veremos en la Unidad 1.5, (− n√a)n puede representar un número negativo cuando a es

negativo y n es impar, por ejemplo ( 3√−2)n = −3.

Ilustramos, para terminar esta sección, la afirmación al final del teorema sobre la formade calcular la expresión decimal de (− n

√a)n. Consideremos el caso de

√2. Por el Teorema

se puede escribir:√2 = sup{m

n∈ Q+/(m

n)2 ≤ 2} = ınf{m

n∈ Q+/(m

n)2 ≥ 2}

De acuerdo con estas igualdades se puede escribir que 1 ≤ √2 ≤ 2 puesto que12 ≤ 2 ≤ 22.Se consideran los números racionales 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, etc, hasta que el cuadrado de

uno de ellos supere a 2. Se tiene1.4 < /2 < 1.5 puesto que 1.42 = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.52Se repite el procedimiento anterior con 1.41, 1.42, etc y se observa que 1.412 = 1.988

< 2 < 2.0164 = 1.422 se concluye por lo tanto que & debe estar entre 1.41 y 1.42. Asfsucesivamente para obtener los siguientes resultados:1,41 ≤ √2 ≤ 1,421,414 ≤ √2 ≤ 1,415 puesto que (1,414)2 < 2 < (1,415)21,4142 ≤ √2 ≤ 1,4143 puesto que (1,4142)2 < 2 < (1,4143)2La expresión decimal con cuatro cifras decimales es 1,4142.EjerciciosEn los ejercicios 1 a 21 responda verdadero o falso justificando su respuesta.


1. Para x ∈ R, 2 < x < 3⇒ 13< x−1 < 1

2

2. Para x, y ∈ R, 2 < x < 3 ∧ 0 < y < 5 =⇒ 0 < x.y < 15

3. Para x, y ∈ R,−4 < x < 2 ∧ 1 < y < 5 => −4 < xy < 10,

4. Para x, y ∈ R, −4 < x < 2 ∧ 1 < y < 5 => −3 < x+ y < 7,

5. Para x, y ∈ R,−4 < x < 2 ∧ 1 < y < 5 =⇒−5 < x− y < −36. Para x ∈ R, x2 < 1 => x < 1.

7. Para x ∈ R, x2 > 1 => x > 1.

8. Para a, b ∈ R, ab > 0 =⇒> a > 0 ∧ b > 0.9. Para x ∈ R, |x− 2| = |2− x|,10. Para x ∈ R, −x es un número real negativo.11. Para x ∈ R, |x2| = |x|2 = x2.

12. |8 + 7| = |8|+ |7|13. Para todo a, b ∈ R, |a+ b| = |a|+ |b|.14. Para x ∈ R, |x| ≤ 1 <=> x2 ≤ 1.15. -24 es una cota superior del conjunto A = [−300,−25).16. Una cota inferior del conjunto A = {x ∈ R : −5/3 < x < 1} es −7/8,17. Si A = {1, 1

2, 13, 14, . . . , 1

n, . . .} entonces sup A = 0 e ınf A = 1

18. El máximo del conjunto A = [−3, 15) es 15.

19.16Pk=2

³√k −√k − 1

´= 3

20. En cada caso, ordene de menor a mayor, el conjunto de números que se dan. Expliquelos criterios que utiliza para efectuar la comparación

a. 1,414,√21, 2

3, 1,414

b. 67, 34, 5.86,1.

c. 2,3× 10−4, 230× 10−6, (2,3× 10−4)2

d. −1117,−13

9,−1


23. Efectué los siguientes cálculos entre intervalos teniendo en cuenta que a < c < b < d:

a) [a, b) ∩ (c, d] =b) [a, b) ∪ (c, d] =c) [a, b)− (c, d] =

24. Complete la demostración del Teorema 5

26. Complete la demostración que se sugiere en el Teorema 6: Si ab > 0 y a < 0 entoncesb < 0.

27. Demuestre el Teorema 7.

28. Exprese en lenguaje ordinario las proposiciones del Teorema 8.

29. Demuestre los siguientes hechos referentes al orden entre los números reales:

a. La suma de dos números negativos es un número negativo.

b. Si a < b y b < c entonces a < c.

c. Si a < b, b < c y a = c entonces a = b.

d. Si a y b son números reales cualesquiera, se tiene a2 + b2 > O

e. No existe ningún número real a tal que x < a para todo real x .

f. Si x tiene la propiedad de que 0 < x < h, para cualquier h positivo, entonces x = 0.

31. Demuestre que no existe ningún número real x tal que x2 + 1 = 0.

32. Determine los valores que puede tomar x para que las siguientes igualdades seanválidas. En los casos a), c), e) siga las instrucciones de las inecuaciones utilizandolenguaje conjuntista.

a. 5x+ 4 ≤ 2x− 7.b. 6x− 5 ≥ 3x− 1.c. (2x+ 3)(5x− 1) > 0.d. (x+ 5)(x− 3) ≤ 0.e. 1

(x+π)(x−√3)≥ 0

f. x−5x−2 > 0

33. Escriba en términos de intervalos los conjuntos que se definen a continuación yrepreséntelos en la recta numérica.


a. {x ∈ R/|x| < a}b. {x ∈ R/ |x| > a}c. {x ∈ R/|x− a| ≤ b}d. {x ∈ R/|x− a| > b}

34. Probar las siguientes propiedades de valor absoluto

a. |x|2 = x2

b. |x| = √x2

c.¯xy

¯= |x|

|y|

35. Encuentre los valores que puede tomar x para que las siguientes desigualdades eigualdades sean válidas:

a.¯x− 1

2

¯< 3

b. |x− 2| ≥ 13

c. |x+ 10| ≥ 5d. |x− 0,3| < 0,1e. |2x+√2| = 4f. |x

3(x− 1| = 0

g. |x3+ 1| = −1

h. |2x (x− 1)| = 1

36. Diga cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsasjustificando su respuesta:

a. x < 5 implica |x| < 5b. |x− 5| < 2 implica 3 < x < 7

c. |1 + 3x| ≤ 1 implica x ≥ −23

d. No existe ningün número real x tal que |x− 1| = |x− 2|

37. Sea el conjunto A = (1, 50) ∪ [100,∞) en R

i. Es 70 cota inferior de A? ¿Es cota superior?


ii. Describa el conjunto de las cotas inferiores de A.

iii. Describa el conjunto de las cotas superiores de A.

iv. Encuentre c en R, tal que para cualquier x en A, |x| ≤ c.

38. Dé ejemplo de un conjunto A de números acotados tal que uno de sus elementos seacota superior pero que ninguno de ellos sea cota inferior

39. Diga si el conjunto (−∞, 0] ∪ [1,∞) es acotado en R.40. Dé un ejemplo de un conjunto A tal que para cualquier x en A, |x| ≤ 1

2.

41. Demuestre que un conjunto A es acotado sii existe M real tal que para cualquier xen A |x| < M .

42 a. Determine en R, si existen, el supremo, ínfimo, máximo y mínimo de cada unode los siguientes conjuntos:

i) Q, ü) ∅, iii) (O, 1], iv) [O, 1]v) (0, 1] ∩Q , vi) [0, 1] ∩Q, vii) { n

n+1/n ∈ N}

b. Determine en Q, si existen, el supremo, ínfimo, máximo y mínimo de cada uno delos siguientes conjuntos:i) (0, 1] ∩Q, ii) [0, 1] ∩Q , iii) { n

n+1/n ∈ N} iv) [0,√2] ∩Q.

43. Dé ejemplos de conjuntos en R tales que i) Poseen supremo pero no poseen máximo,ii) Poseen ínfimo pero no poseen mínimo.

44. Demuestre que la propiedad del inferior implica la propiedad del superior. (Imite lademostración dada en esta unidad de la implicación recíproca).

45. Desarrolle cada uno de los siguientes puntos:

a. Demuestre que si α y β son números reales arbitrarios tales que α < β entoncesα < α+β

2< β

b. Si α es un numero real arbitrario probar que existe un entero n tal quen < a < n+ 1.

c. Si α y β son números reales arbitrarios tales que α < β, demuestre que existe unnumero racional r tal que α < r < β

d. Si α y β son número reales arbitrarios tales que α < β , demuestre que existe unnumero irracional z tal que α < z < β

46. Calcular la expresión decimal de los siguientes números con tres cifras decimales,usando el procedimiento planteado en la unidad:

a)√3, b)

√3√2, c) 3√2, d)

√5. e)

√5√3Compare sus resultados con la calculadora.

47. Con el mismo procedimiento del ejercicio 46, calcule√1 y concluya que 1 = 0.9.


2.5. SISTEMASMATEMÁTICOSY SUBSISTEMASDE LOS REALES

En ésta y en la unidad anterior hemos venido estudiando los números reales comosistema matemático. Cuando se quiere destacar que nos referimos a los reales como sistemase suele escribir (R,+, x,≤). Un aspecto fundamental que hemos querido destacar es quelas propiedades de este sistema se pueden deducir mediante razonamiento lógico a partirde un conjunto pequeño de propiedades básicas que se dan sin demostración y que hemoslla mado propiedades formales o axiomas (asociativa, conmutativa, neutros, inversos,distributiva, tricotomía, clausurativa en los números positivos, propiedad del supremo). Eneste sentido se dice que la propiedades anteriores caracterizan matemáticamente el sistemade los números reales, lo que significa que cualquier sistema de objetos matemáticosque posea las mismas propiedades se comportará, para efectos matemáticos, de maneraidéntica a los números reales y no se podría, por lo tanto, distinguir matemáticamenteuno de otro sistema.Definicion: Un sistema matemático es un conjunto de elementos dotado de una o

varias operaciones binarias. Se dice que en un conjunto no vacío ha sido definida unaoperación binaria cuando existe una regla o ley de correspondencia que permite asignara cada par de elementos a, b del conjunto un elemento c bien definido, y sólo uno delmismo conjunto. Si la operación binaria se denota con el símbolo ∗ se puede escribir, parasimbolizar la correspondencia anterior a ∗ b = c (Ver Ejercicios 49 y 50).El sistema de los números reales no es el único sistema matemático que se puede

mencionar y en particular es útil observar que tanto los números naturales, como losenteros, como los racionales se pueden considerar en sí mismos como sistemas matemáticosdotados de los mismos elementos básicos: una estructura algebraica constituida en cadacaso por operaciones de suma y multiplicación y una relación de orden, sólo que en estecaso las propiedades formales o axiomas varían.En lo que sigue trataremos de identificar a grandes rasgos las principales diferencias

que existen entre estos sistemas destacando a la vez algunas propiedades de importancia.

2.5.1. El Subsistema de los Números Racionales (Q,+, x,<).¿Cuáles son las diferencias fundamentales entre el sistema de los números racionales

y los números reales y, por lo tanto, cuáles son las propiedades básicas del sistema de losreales que no son válidas en el caso de los racionales?Si se repasa la estructura algebraica no es difícil comprobar que las operaciones de

suma y multiplicación cumplen entre racionales las mismas propiedades formales queentre reales, y por lo tanto todos los Teoremas que se puedan demostrar con base en estaspropiedades son válidos en ambos sistemas.La diferencia fundamental está en el orden, y particularmente en la propiedad

del supremo que no se cumple en el sistema de los números racionales como yatuvimos oportunidad de ilustrar cuando les presentamos esta propiedad entre reales. La

2.5. SISTEMAS MATEMÁTICOS Y SUBSISTEMAS DE LOS REALES 123

consecuencia fundamental de esta diferencia se refleja en la imposibilidad de encontrarsiempre una solución en Q para el siguiente problema: Dado un numero a positivoencontrar un número α racional tal queαn = a. Es decir la obtención de la rafz n− esimade un número no siempre tiene sentido en el sistema de los números racionales.Vale la pena destacar aquí la propiedad de densidad de los racionales no sólo se

cumple en Q (entre dos racionales existe siempre un racional y por lo tanto infinitos)sino también en R (entre dos reales existe siempre un racional y por lo tanto infinitos)y que se traduce en la importante propiedad que hemos expresado anteriormente de lasiguiente manera: cualquier número real puede considerarse como el supremo o el ínfimode números racionales.

2.5.2. El Subsistema de los Números Enteros ( Z, +> x, <).

El sistema de los enteros presenta diferencias fundamentales con el siste^ma de losracionales y los reales.En la parte algebraica, relativas a las operaciones de suma y multiplicación se pueden

hacer las siguientes observaciones:En lo que respecta a la operación de suma, la suma entre enteros cúmplelas mismas

propiedades formales que la suma entre racionales y reales y consecuentemente todos losTeoremas que involucren sólo sumas y que se demuestren en tales sistemas serán tambiénválidos en el sistema de los enteros.En lo que respecta a la multiplicación no se cumple la propiedad del inverso (recíproco)

pues dado un entero n, n−1 = 1nno es en general un entero. Esto quiere decir en

particular que en el sistema de los enteros la división no siempre conduce a un enteroy que consecuentemente no siempre es posible resolver una ecuación tan simple como lalineal (ax+ b = 0, con a 6= 0).Al considerar las propiedades del orden en Z sorprendentemente se cumplen las tres

propiedades formales que hemos asociado con el orden en los reales. Pero es obvio que elordenamiento en los reales es bien distinto en los enteros pues se trata de un conjunto depuntos aislados. En realidad el orden en los enteros posee una propiedad formal distinta ala que hemos expresado respecto de los números reales, que establece la diferencia anotada,y a partir de la cual se puede deducir la propiedad del supremo para el sistema de losenteros.Esta propiedad se llama "del buen ordenamiento de los enteros".

2.5.3. Principio de inducción matemática

Propiedad del buen ordenamiento de los Enteros.

Todo conjunto de enteros no vacío acotado inferiormente posee un primer elemento.Es bien fácil comprobar que el orden en los racionales o en los reales no poseen esta

propiedad. Basta considerar el çonjunto de los números racionales mayores que 1"quesimbólicamente se puede expresar como (1,∞) ∩Q.


Es claro que este conjunto es acotado inferiormente y no posee un primer elemento. Siα fuese ese primer elemento entonces 1+α

2es también un número racional y 1 < 1+α

2< α,

lo cual contradice el supuesto de que α era el primer racional mayor que 1,No debe ser difícil para el estudiante repetir la argumentación en el sistema de los

números reales para demostrar que (1,∞) no tiene tampoco un primer elemento en estesistema.La fuerza e importancia del principio del buen ordenamiento de los enteros se pone en

evidencia en la siguiente demostración del principio de inducción que provee uno de losmétodos de demostración constructiva más importantes de la matemática.Teorema 10 (Principio de la Induccion Matematica).Sea una sucesión de proposiciones P1, P2, P3, ..., Pn, . . . Si se cumple que:1: P1 es verdadera2: Pk+1 es verdadera siempre que Pk lo esEntonces la proposición Pn es verdadera para cualquier n.Demostración:Suponga que existe un m ∈ N , tal que Pm es falsa. Esto es, el conjunto S = {j/Pj

es falsa} es un subconjunto de Z no vacío, acotado inferiormente. Posee por lo tanto unprimer elemento p, Puesto que P1 es verdadera p > 1. Puesto que p es el primer elementode S, Pp es falsa y consecuentemente Pp−1 tiene que ser verdadera.Utilizando la condición 2 tendríamos que si Pp−1 es verdadera entonces P(p−1)+p, o sea

la proposición Pp tiene que ser verdadera lo cual constituye una contradicción. Ello noslleva a concluir que no puede existir m ∈ N, tal que la proposición Pm es falsa,

EjemploDemostremos por inducción que1 + 2 + 3 + ...,+n = n(n+1)

2

(La suma de los primeros n números naturales es igual a n(n+1)2).

Empecemos por interpretar el ejercicio en términos del Teorema anterior de notandola proposición: 1+2+ ....+n = n(n+1)

2como Pn. El ejercicio se reduce ahora a probar que

para cualquier n la proposición Pn es verdadera.Comprobemos que P1 es verdadera.Puesto que P1 se expresa como 1 =

1(1+1)2, lo cual significa que P1 es verdadera.

Demostremos ahora que si Pk es verdadera entonces Pk+1, también lo será.Si 1+ 2+ ..+ k = k(k+1)

2y entonces agregando k+1 en ambos lados de la igualdad se

deduce que:1 + 2+ ..+ k+ (k+ 1) = k(k+1)

2+ (k+ 1) = (k+ 1)(k

2+ 1) = (k+1)(k+2)

2= (k+1)[(k+1)+1]

2

lo cual termina la demostración.EjerciciosEn los ejercicios 1 al 5 responda verdadero o falso justificando su respuesta.

1. La resta define una operación binaria entre naturales,

2. La resta define una operación binaria entre enteros,

2.5. SISTEMAS MATEMÁTICOS Y SUBSISTEMAS DE LOS REALES 125

3. La división define una operación binaria entre enteros,

4. La división define una operación binaria entre números reales no nulos.

5. La expresión n ∗m = nm define una operación binaria entre naturales.

6. Operaciones binarias pueden definirse sobre los más variados objetos. Considere uncuadrado como se indica en la figura

V D

D´

2 1

H

3 4

y considere los siguientes objetos abstractos llamados simetrías y rotaciones delcuadrado, así:

R1, R2, R3, R0 : Rotaciones de 90◦, 180◦, 270◦, 360◦ en el sentido de las agujasdel reloj. Así por ejemplo R convierte 1 en 2, 2 en 3, 4 en 1.

H: Simetría respecto del eje horizontal (reflexión) convierte 1 en 4, 4 en 1, 2 en 3,3 en 2,

V : Simetría respecto del eje vertical.

D: Simetría respecto del eje diagonal D.

D: Simetría respecto del eje diagonal D,

Sea S el conjunto de las simetrías del cuadrado y defina de la manera que juzguemás natural una operación binaria T entre ellas. ¿Qué propiedades tendría estaoperación? Construya una tabla de operación de T .

7. Considere el conjunto Z4 = {0, 1, 2, 3} y defina las siguientes operaciones binariasde la manera que se indica:

Suma (+) : a+ b = r, a, b, r, s Z4

Multiplicación (x) : a× b = s


Donde r, s son los restos que resultan de dividir por cuatro o a + b y abrespectivamente. Por ejemplo si a = 2 y b = 3 entonces 2 + 3 = 1 puesto que(2 + 3)÷ 4 es uno y deja de residuo 1, r = 1.2× 3 = 2 puesto que 2× 3 = 6 y el residuo de dividir 6 entre cuatro es dos, s = 2.Llene las siguientes tablas efectuando todas las operaciones posibles, dos a dos, deelementos de Z4,.

a) Diga cuáles de las propiedades formales estudiadas para la adición y multipli-cación de números reales se satisfacen y cuáles no en esta estructura algebraica.Justifique su respuesta.

b) Se podría definir un orden entre los elementos de Z4 compatible con la operaciónde + y ×?

8. Dé ejemplos:

a) De conjuntos de números racionales que tengan un primer elemento.

b) De conjuntos de números reales que no tengan primero o último elemento.

9. Demuestre que la propiedad del buen ordenamiento de los enteros implica que losenteros cumplen la propiedad del sup.

10. Demuestre por inducción las siguientes proposiciones:

a) 1 + 3 + 5 + ..+ 2n− 1 = n2 (suma de los n primeros números impares).

b) 12+22+ ...+n2 = n(n+1)(2n+1)6

(suma de los cuadrados de los n primeros númerosnaturales).

c) 13 + 23 + ... + n3 = n2(n+1)2

4(Suma de los cubos de los n primeros números

naturales).

2.6. SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS

2.6.1. El SímboloP(El símbolo sumatoria)

Con mucha frecuencia se hace necesario manejar expresiones donde una opera^cióndada se reitera un numero considerable de veces. Puede ocurrir que exista una ley de

2.6. SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS 127

formación para los términos que aparecen en tales expresiones o que simplemente sedé como conocida una enumeración de los términos. En estos casos es posible introducirabreviaciones en la notación que hacen más fácil el manejo algebraico de tales expresiones.El símbolo I es usado universalmente para abreviar expresiones donde se reitera la

operación "+",Así, por ejemplo, una suma de n números

C2 + C3 + . . . Cn

puede escribirse en forma compacta, usando el símboloP, así:

nPi=1

ci.

En la anterior expresión, la letra i se le llama índice de la sumatoria.Otros ejemplos que ilustran el manejo del símbolo

P, son:

1 + 2 + 3 + 4 + . . .+ 18 =18Pi=1

i

12 + 22 + 32 + 42 + . . .+ n2 =nPi=1

i2

113+ 1

23+ 1

33+ 1

43+ . . .+ 1

n3=

nPi=1

1i3

1− 2 + 3− 4 + 5− 6 + 7− 8 + 9− 10 + 11− 12 =12Pi=1

(−1)i+1i

5− 6 + 7− 8 + 9− 10 + 11− . . .+ 99− 100 =100Pi=5

(−1)i+1i.Emplearemos las siguientes propiedades de la notación

P:

(i)nPi=1

ci =nP

j=1

cj

(ii)nPi=1

(ai + bi) = (nPi=1

ai) + (nPi=1

bi)

(iii)nPi=1

rci = r.(nPi=1

ci)

(iv)nPi=1

ci =n+sPi=1+s

ci−s

La propiedad (i) establece que el índice de una sumatoria puede ser cambiado. Lapropiedad (ii) es una consecuencia de las propiedades asociativa y conmutativa de lasuma de números y la propiedad (iii) es una extensión de la propiedad distributiva de lamultiplicación sobre la suma. La propiedad (iv) establece que el índice de la sumatoria sepuede trasladar. Así por ejemplo.

5Pi=1

i4 = 14 + 24 + 34 + 44 + 54 =5P

j=1

j4

Otras alternativas para escribir la anterior suma, usando el símbolo y las propiedades(i) y (iv) son


14 + 24 + 34 + 44 + 54 =4P

k=0

(k + 1)4

14 + 24 + 34 + 44 + 54 =7P

t=3

(t− 2)4Ejemplos3P

i=1

(ai+bi) =(a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3) = (a1+a2+a3)+(b1+b2+b3) = (3P

i=1

ai)+(3P

i=1

bi)

6Pi=1

rai =ra1+ ra2+ ra3+ ra4+ ra5+ ra6) = r(a1+ a2+ a3+ a4+ a5+ ra6) = r.(6P

i=1

ai)

2.6.2. Sucesiones Numéricas.

Una sucesión numérica es una "lista"de números ordenada mediante una nume^raciónespecífica de sus elementos.Escribiremos:

a1, a2, a3,a4, ...

para referirnos en general a una sucesión numérica. El número simbolizado por ak sellama término k-ésimo de la sucesión.Una sucesión se llama finita si el número de términos es finito e infinita si el número

de términos es infinito. Cuando no haya peligro de confusión, o el carácter de la sucesiónno importe, hablaremos simplemente de “sucesiones”EjemplosLos siguientes listados corresponden a sucesiones numéricas:

i. 1, 3, 5, 7, 9.

ii. 1, 0, 1, 0, 1, 0, ....

iii. 3,01, 3, 01011, 3,010110111, ., ,

iv. 1, 103, 106, 109

v. 2,¡1 + 1

2

¢2,¡1 + 1

3

¢3, ...

En las sucesiones ii), iii) y v) los puntos suspensivos indican que los términos continúanindefinidamente. Es decir, estas son infinitas. Las sucesiones i) y iv) son finitas,No sobra observar que la sucesión i) tiene una ley de formación dada por la expresión

2k − 1, pues al reemplazar k por 1, 2, 3, 4 y 5 sucesivamente, se obtienen sus términos.Observe que k está indicando la posición del término dentro de la sucesión. La expresión2k+1 también permite generar todos los términos de la sucesión dada, pero en este caso


se debe tomar los valores 0, 1, 2, 3 y 4 y por lo tanto la posición de cada término en lasucesión estara dada por k + 1.La sucesión ii) tiene una ley de formación evidente y por ejemplo podemos ver

rápidamente que su décimo término es 0.La ley de formación de la sucesión iv) está dada por la expresión 103n donde

n = 0, 1, 2, 3, ... La ley de formación de la sucesión v) está dada por la expresión (1 + 1n)n

donde n = 1, 2, 3, ...Independientemente del gran uso teórico que tiene el concepto de sucesión en

matemáticas, las sucesiones de números se utilizan en la práctica para registrar los cambiosde cantidades cuyos estados numéricos varían discretamente o describir las tendencias decambio en cantidades que varían en forma continua. Por ejemplo, los valores en pesos delas exportaciones mensuales del país durante varios años, constituyen una sucesión quepermite estudiar el comportamiento de sus exportaciones; para analizar las condicionesfísico-químicas de una bahía, los biólogos marinos determinan en el tiempo, sucesionesde registros sobre temperatura, salinidad, oxígeno disuelto, etc, en puntos estratégicos dela bahía; las variaciones de población de un país se representan mediante sucesiones denúmeros que dan los estimativos de población por año. En general una sucesión puedeconsiderarse como un modelo matemático que permite representar y estudiar de manerageneral las variaciones de tales cantidades.

2.6.3. Progresiones aritméticas .

Una progresión aritmética es una sucesión numérica cuyos términos consecu tivosdifieren siempre en la misma cantidad d que llamaremos diferencia común. Si a1, a2, a3, ...es una progresión aritmética, por definición debe cumplirse que

a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = ...ak − ak−1 = ... = d

Consecuentemente cualquier término de una progresión aritmética se puede expresarutilizando únicamente el primer término de la progresión a , la diferencia común d y laposición del término en la sucesión:O sea que también se puede definir progresión aritmética como una sucesión de la

forma

a1 = a1, a2 = a1 + d, a3 = a1 + 2d+ . . . = d

cuya ley de formación está dada por la expresión

(i) ak = ak−l + d = a1 + (k − 1)d

Una propiedad útil en el manejo de progresiones aritméticas es que, con excepción delprimero y último (cuando existe último), cualquier término resulta ser la semisuma deltérmino que le antecede con el término que le sigue. En efecto:


ak+1+ak−l2

= ak+d+ak−d2

= ak

Un cálculo que se presenta con frecuencia es el de la suma de los n primeros términosde una progresión aritmética. Deducimos a continuación la fórmula que permite efectuardicho cálculo.Teorema 11: Sea a1, a2, a3, ...una progresión aritmética con diferencia común d,

entonces la suma Sn de sus primeros n términos está dada por la expresión

(ii) Sn = n2[2a1 + (n− 1)d] = n(a1+an)

2

Demostración:Se reduce a demostrar la primera igualdad. La segunda se concluye de inmediato a

partir de la primera puesto que an = a1 + (n− 1)d.Para demostrar la primera igualdad realizamos las transformaciones siguientes

expresando al frente su justificación.

Sn =k=nPk=1

ai =k=nPk=1

[a1 + (n− 1)d] Por definición de Sn y por fórmula (i)

= na1 + dk=nPk=1

(k − 1) = na1 +k=n−1Pk=0

k Aplicando propiedades de la sumatoria, la

ultima de las cuales es el cambio de índice.

= na1 + dk=n−1Pk=1

k = na1 +d(n−1)n

2El primer término en la sumatoria anterior es 0 y

se aplica la fórmula para calcular la suma de los n primeros números naturales= n

2[2a1 + (n− 1)d] - Sacando n

2como factor común.

Ejemplos

1. Los términos sexto y séptimo de una progresión aritmética son 2.7 y 5.2. Encuentreel primer término de la sucesión y la suma de sus primeros 10 términos.

Por definición de progresión aritmética sabemos que la diferencia de dos términosconsecutivos da la diferencia común d. Se tiene, por lo tanto, que d = 5,2−2,7 = 2,5.De otro lado, aplicando la fórmula ( 1.9 ), se puede escribir:

2,7 = a1 + 5× 2,5a1 = 2,7− 5× 2, 5 = −9,8La suma de los 10 primeros términos está dada por la expresión ( ii) con n = 10.Así

Sn =102[2× (−9,8) + 9× (2,5)]

=5[−19,6 + 22,5] = 14,5


2. Una Universidad cuando alcanza una población de 5.000 estudiantes decide controlarsu crecimiento admitiendo un número de estudiantes tal que el incremento neto enla matrícula total sea de 500 estudiantes. Si se sigue este modelo de crecimiento i)Cuál será la población estudiantil en quinto año de aplicar la política, ii) Cuál esel número promedio de estudiantes por año durante este lapso, iii) En qué año deaplicar la política la Universidad duplicará su población, iv) Si se establece que porcada 100 alumnos debe haber un profesor de tiempo completo, cuál es la sucesiónque permite describir el crecimiento de la población profesoral.

En el primer año de aplicada la política la población estudiantil será 5.500. En elsegundo año será 5,500 + 500. En el tercero será 6.000 + 500. Es decir, el crecimientode la población estudiantil se puede describir por una progresión aritmética cuyoprimer término a1 es 5.500, la diferencia común d = 500 y, por lo tanto, su términogenérico ak estará dado por la expresión ak = 5,500+(k−1)500. El término ak darála población estudiantil en el año k de aplicada la política.

De acuerdo con lo anterior en el año quinto de aplicada la política la poblaciónestudiantil estará dada por a5. Se tiene, por tanto, que:

a5 = 5,500 + 4× 500 = 7,500Para calcular el número promedio de estudiantes por año, durante este período sedebe sumar el número de estudiantes en cada uno de los cinco años y dividir por 5.Consecuentemente, aplicando la fórmula de la suma de términois de una progresiónaritmética, se puede escribir :

Promedio de estudiantes en el período de cinco años = S55= 5

2(5,500+7,500)

5= 6,500

Para calcular el año en el cual la población estudiantil se duplica basta resolver parak la siguiente ecuación;

10, 000 = 5,500 + (k − 1)× 500k − 1 = 10,000−5,500

500= 9

k = 10

Para calcular la sucesión que describe el crecimiento de la población profesoral, bastaobservar que si ak = 5,500 + (k − 1)500 es la población estudiantil en el período kentonces el número de profesores bken dicho período estará dado por la expresión

bk =ak100= 55 + (k − 1)5

Expresión que permite generar la sucesión pedida que resulta ser una progresiónaritmética con primer término bi = 55 y diferencia común 5. La sucesión queda:

55, 60, 65, 70......etc.

2.6.4. Progresiones Geométricas.

Una progresión geométrica es una sucesión numérica a1, a2, a3, . . . tal que la razónq = ak

ak−1entre dos términos consecutivos que llamaremos razón de la progresión es siempre


igual.De acuerdo con la definición anterior son válidas las siguientes igualdadesa2a1= a3

a2= a4

a3= . . . = q, lo cual permite calcular cualquier términode la progresión en

términos de la razón y del primer término de la progresión. Se tiene, por lo tanto que:a1 = a1, a2 = a1q, a3 = a1q

2, . . . , ak = a1qk−1, . . .

O sea que también se puede definir progresión geométrica como una sucesión de laforma

a1, a1q, q2, . . . , a1q

k−1, . . .cuya ley de formación esta dada por la expresión(i) ak = ak−1q = a1q

k−1

Otra propiedad útil en el manejo de las progresiones geométricas de términos positivoses que con la excepción del primero y el último (cuando existe último), cualquier términoresulta ser el promedio geométrico del término que le antecede y del término que le sigue.Es decir ak =

√ak−1ak+1. En efecto√

ak−1ak+1 =pa1qk−2a1qk =

pa21q

2(k−1) = a1qk−1 = ak.

Observe que si la progresión no es de términos positivos la expresión anterior quedará√ak−1ak+1 = |a1| |q|k−1 = |ak|.

Si todos los términos son negativos, q debe ser positivo y se tiene queak = −√ak−1ak+1Deducimos a continuación la fórmula que permite calcular la suma de los n primeros

términos de una progresión geométrica.Teorema 12: Sea a1, a2, a3, . . . una progresión geométrica con razón común q 6= 0

entonces la suma Sn de sus primeros n términos está dada por la expresión(ii) Sn =

a1(1−qn)1−q

Demostración:Realizamos las transformaciones siguientes que llevan directamente al resultado que

se quiere obtener justificando al frente cada transformación:

Sn =k=nPk=1

ak =k=nPk=1

a1qk−1 Por definición de Sn y por fórmula (iii)

Snq =k=nPk=1

a1qk Multiplicando ambos miembros de la igualdad anterior por q.

Sn(1 − q) =k=nPk=1

a1qk−1 −

k=nPk=1

a1qk = a1 − a1q

n Restando término a terminó los dos

anteriores y simplificando términos.

(iii)Sn =a1(1−qn)1−q .

Ejemplos

1. Encuentre el primero y séptimo términos de la progresión geométrica cuyos segundoy tercer términos son 2 y −√2. Calcule la suma de los 10 primeros términos.


De la definición de progresión geométrica se tiene que la razón común q está dada porla razón de dos términos consecutivos. Es decir q = a3

a2= −√2

2. Consecuentemente,

a2a1= q lo que permite despejar a1 para obtener

a1 =a2q= −2×2√

2= − 4√

2.

Utilizando la fórmula (ii) se puede calcular el séptimo término a7 Se tiene

a7 = a1q6 = − 4√

2× (−

√2

2)6 = −(√2)5

24=

√222.

Finalmente, utilizando la fórmula (iii) se puede calcular S10S10 = − 4√2.[1−(−

√2

2)10]

1−(−√2

2)=

− 4√2.[1−(

√22)10]

1+−√22

= − 23√2.(1− 1

25)

(2+√2)= − 31

22.√2(2+

√2)

2. Un grupo humano crece al 2% anual. Si en un momento dado la población es de100.000, dé la sucesión que describe el crecimiento anual de este grupo. Cual serala población del grupo al cabo de los 5 años y cuan to tiempo le tomará al grupoduplicar su población.

Si denotamos con a1 la población inicial, a2 será la población al cabo de un primeraño, a3 la población al cabo del segundo año, etc, por lo cual se puede escribir quea1 = 105, a2 = a1 × 1, 02 = 105 × 1,02, a3 = a2 × 1,02 = 105 × (1,02)2, . . . etc. Esdecir, que la sucesión que describe la población del grupo por años, es una progresióngeométrica con razón común q = 1,02 y

un primer término a1 = 105. Consecuentemente, el término genérico ak de laprogresión está definido por la expresión ak = 105 × (1,02)k−1 y representa lapoblación del grupo al cabo del año k − 1.De acuerdo con lo anterior la población del grupo al cabo de los 5 años es la siguiente

a6 = 105 × 1,025 = 110408.

Puesto que la población al cabo del año k está dada por el término para calcular elaño k en el cual se duplica la población habrá que ver k de la siguiente ecuación:

ak+1 = 200,000 = 105 × 1,02

(1, 02)k = 2.

Para calcular k hay que usar teoría de logaritmos, la cual explicaremos más adelante.

2.6.5. Sumas de un número infinito de términos. Series Numéri-cas.

Una situación que se presenta con relación a una sucesión numérica infinitaa1, a2, a3, . . . es el cálculo de la suma que se obtiene por adición sucesiva de sus términos.De hecho en 1.4, introdujimos expresiones tales como


16= 0,16 = 1

10+ 6

102+ 6

103+ . . .

donde los puntos suspensivos se interpretaban diciendo que la suma de términoscontinuaba indefinidamente. Esta es sin duda una manera muy vaga de definir elsignificado de esta “operación de suma” de infinitos términos. Es importante entenderque la suma entre números, a que estamos acostumbrados en la vida ordinaria, y a lacual hicimos referencia al definir la estructura algebraica de los números reales, es unaoperación que sólo permite realizar sumas finitas. Por lo tanto cuando se habla de sumascon infinitos términos es necesario darle un sentido matemático preciso.

En matemáticas una expresión de la forma∞Pk=1

ak (o suma de infinitos términos) se

llama serie infinita o simplemente serie. El significado de estas sumas está referido al

comportamiento a las sumas parciales Sn =nP

k=1

ak de los n primeros términos. Se tiene

así S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3, . . . , Sn = a1 + a2 + . . .+ an.Para facilitar nuestras explicaciones introducimos la siguiente terminología Diremos

que las sumas parciales Sn tienden a un número S o convergen a S y escribiremos Sn → S,cuando n→∞, si Sn toma valores cada vez más próximos a S (pudiendo ser iguales a S)cuando el numero de términos n crece sin límite. Esto es equivalente a decir también que|Sn − S| toma valores cada vez más próximos a 0 cuando n crece (|Sn − S| → 0 cuandon→∞).Se dice que la suma

∞Pk=1

ak, existe y es igual a S ó bien que la serie∞Pk=1

ak. converge

al numero S, si las sumas parciales Sn tienden a S cuando n crece indefinidamente.

Simbólicamente∞Pk=1

ak = S ⇐⇒ Sn → S, cuando n → ∞ ⇐⇒ |Sn − S| → 0 cuando

n→∞.Las series numéricas no siempre son convergentes. En otras palabras, la operación de

sumar infinitos términos no siempre conduce a un número real.

Ejemplos:

1. La serie∞Pi=1

ci, cuando c = 1 no es convergente, puesto que Sn =nP

k=1

1 = n y cuando

n→∞, Sn = n→∞. Es decir, Sn no tiende a ningún número real.

2. La serie∞Pi=1

(−1)i no es convergente. En efecto S1 = 1, S2 = 1−1 = 0, S3 = 1−1+1 =1, S4 = 0, S5 = 1, . . . etc.

Es decir Sn es 0 ó 1 dependiendo de n y por lo tanto Sn no se aproxima en el sentidode nuestra definición, ni a 0 ni a 1. Es claro que |Sn − 0| no converge a 0 cuandon→∞, y tampoco |Sn − 1| converge a 0 cuando n→ 0.

3. La serie∞Pi=1

ci, tal que ci = i hasta i = 10 y ci = 0 para i ≥ 11es convergente pues sereduce a una suma finita en este caso a partir de n = 10, todas las sumas parciales


son iguales a S10, cuyo valor es S10 = 10×112

= 55. Consecuentemente se puede decirque Sn → 55 cuando n→∞.

4. Consideremos el caso general de una progresión geométrica con razón común q 6= 1y primer término a. La progresión tendrá la forma a, aq2, aq3, . . .

Determinemos en qué casos la serie∞Pk=0

aqk es convergente. Miremos el compor-

tamiento de las sumas parciales. Por la fórmula Sn =a1(1−qn)1−q se puede escribir,

Sn =a(1−qn)1−q = a

1−q − aqn

1−qSi |q| < 1, por ser un número en valor absoluto menor que 1, qn → 0

ánn cuando n → ∞ y por lo tanto todo el término aqn

1−q → 0 cuando n → ∞. Esdecir S → a

1−q cuando n→∞.

Esto se comprueba observando que¯s− a

1−q

¯=¯

a1−q

¯→ 0 cuando n→∞.

En conclusión:

q < 1,∞Pk=0

aqk = a1−q .

1. De otro lado si |q| > 1 no es difícil ver que aqn

1−q crece en valor absoluto sin límites ypor lo tanto las sumas parciales no pueden converger a ningún número.

Un resultado que vale la pena destacar como un teorema y que garantiza que losnúmeros decimales considerados en la 1.4 definan verdaderamente números reales esel siguiente.

Teorema: Sea∞Pk=0

ak a. una serie de términos positivos tal que sus sumas parciales

son acotadas, entonces la serie es convergente.

No daremos la demostración de este Teorema. Indicaremos simplemente que por serak positivo las sumas parciales van creciendo o por lo menos no disminuyen cuando ncrece, pero por ser acotadas siempre permanecen menor que un determinado numero M .Se tiene por lo tanto

S1 ≤ S2 ≤ S3 ≤ ...... ≤ Sn < M

Por el principio del superior existe un número S que es el superior del

conjunto {S1, S2, S3, ...}. Se puede demostrar que∞Pk=0

ak = S. Es decir que el superior

S de las sumas parciales es el valor al cual converge la serie.Hemos visto, que en general la parte decimal de un número real es de la for ma

0.b1b2b3...., y que el número real que este numeral define está dado por la siguienteigualdad:


0.b1b2b3.... =b110+ b2

102+ b3

103+ . . .

Puesto que los bi son números entre 0 y 9 se puede escribir que

b110+ b2

102+ b3

103+ . . . ≤ 9

10+ 9

102+ 9

103+ . . .

Pero el término de la derecha se puede considerar como una progresión geométrica conprimer término 9

10y razón 1

10por lo cual es convergente.

En efecto:

910+ 9

102+ 9

103+ . . . =

910

1− 110

= 1

Por lo tanto, b110+ b2

102+ b3

103+ . . .es convergente y define un número real único.

Por Ejemplo, el numeral 1.32 define el número real asociado con la serie 1+ 310+ 2

102+

3103+ 2

104+ . . . . Para visualizar la convergencia de la serie se puede escribir como

1 + 310+ 2

102+ 3

103+ 2

104+ . . . . = 1 + 32

102+ 32

104+ . . . . = 1 +

32102

1− 1102= 131

99.

Ejercicios

1. Calcule cada una de las siguientes sumas:

a)5P

k=1

(2k − 7) b)4P

k=0

(k − 1)(k − 3)

c)5P

k=1

(−3)k−1 d)nP

k=1

(3k + 5)

2. Exprese las siguientes sumas mediante el símbolo de sumatoria:

a) 14+ 2

9+ 3

14+ 4

19b) 1 + 5 + 9 + 13 + 17

c) 1 + x+ x2

2+ x3

3+ . . . x

n

nd) 1− 1

2+ 1

3− 1

4+ 1

5− 1

6+ 1

7

3. Al igual que se definió el símboloPpara simplificar la escritura de sumas, se define

el símboloQpara productos: Compruebe las siguientes propiedades del producto

a)nQi=1

ai =nQ

j=1

aj b)nQi=1

ai.bi =nQi=1

ai.nQi=1

bi

c)nQi=1

aibi=

n

i=1ai

n

i=1bi

, bi 6= 0 d)nQi=1

ai =n+sQi=k+s

ai−s


4. Efectúe los siguientes productos:

a)5Q

i=1

i b)3Q

i=1

(3i− 2) c)5Q

i=1

3

5. Encuentre el término general de las suguientes sucesiones

a) 4, 7, 10, 13, 16, . . .

b) 0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, . . .

c) 7, 4, 1, 1,−1,−5,−8, . . .d) 1, 2

3, 47, 59, 611, . . .

e) a, a+ b, a+ 2b, a+ 3b, . . .

6. En las siguientes sucesiones se da el término n− esimo. Escriba los cinco primerostérminos de cada una de ellas;

a) an = 35n−2

b) an = 1 + (−1)nc) an es el cuadrado del n− esimo número primo.

d) an es el numero de enteros positivos menores que n

e) an = (−1)n 1n(n+1)

En las siguientes sucesiones se da el término n− esimo. Escribalos cinco primeros términos de cada una de ellas;

7. El número de bacterias que hay en cierto cultivo se duplica cada día. Si el númeroinicial de bacterias es 50, cuántas hay al cabo de un día?, de dos días?, de tres días?Encuentre una fórmula para el número de bacterias después de n días.

8. Encuentre los términos quinto, décimo y enésimo de las siguientes progresionesaritméticas:

a) 2, 6, 10, 14, ...

b) 16, 13, 10, 7, ..

c) −7,−3, 9,−0,8, 2,3d) −8,−3, 2, 7, ...

9. Encuentre el décimo segundo término de la progresión aritmética cuyos dos primerostérminos son 9,1 y 7,5.

10. Los términos sexto y séptimo de una progresión aritmética son 2,7 y 5,2. Encuentreel primer término, ¿Cuántos enteros entre 32 y 395 son divisibles por 6? Encuentrela suma de ellos.

11. Un hombre desea construir una escalera con nueve peldaños que disminuyenuniformemente desde 24 pulgadas en la base hasta 18 pulgadas en la parte superior.Determine la longitud de los siete peldaños intermedios.


12. Un cultivo de bacterias se incrementan 20% cada hora. Si el cultivo original tenía10.000 bacterias, encuentre una fórmula para determinar el número de bacteriasdespués de t horas. Cuántas bacterias habrá después de 10 horas?

13. Encuentre el quinto, octavo y enésimo términos de las siguientes progresionesgeométricas:

a) 4, 1,2, 0,36, 0,108, ..

b) 162,−54, 18,−6, ...c) 4,−6, 9,−13,5,d)√3, 3,√27, . . .

14. Encuentre el séptimo término de la progresión geométrica cuyos segundo y tercertérminos son 2 y

√2, respectivamente.

15. En condiciones especiales, una sociedad que crece sin control de su poblaciónduplicará el numero de sus habitantes cada 25 años.

a) Si se denota con No el número de habitantes en un momento dado, cuál será elnumero de habitantes Nk después de k cuartos de siglo?

b) Si N0 = 106 habitantes, ¿cuántos habitantes habrá a los 150 años?

c) Calcule el número promedio de habitantes durante estos 150 años.

16. Se deja caer una pelota de hule desde una altura de 10 metros. Si re bota la mitadde la distancia cada caída. Calcule la distancia total que recorre la pelota antes dedetenerse.

17. Encuentre cada una de las siguientes sumas:

a)10Pk=1

(k4+ 3) b)

12Pk=1

(7− 4k)

c)10Pk=1

3k d)9P

k=1

(−√5)k

18. Encuentre las sumas de las series geométricas siguientes:

a) 1− 12+ 1

4− 1

8+ . . .

b) 1,5 + 0,015 + 0,00015 + . . .

c) 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + . . .

d)√2− 2 +√8− 4 + . . .

19. Use series para hallar la fracción entre enteros que corresponde a cada uno de lossiguientes números racionales:

a) 0,23 b) 2,417 c) 10.55

d) 0.9 e) 0.98 d) 123,683

2.7. EXPONENCIACIÓN Y LOGARITMACIÓN 139

2.7. EXPONENCIACIÓN Y LOGARITMACIÓN

2.7.1. Radicales.

En 2.4.6 hemos establecido que dado cualquier número no negativo a y un númeronatural arbitrario n, existe un número positivo δ y sólo uno tal que δn = a. Este númerolo denotamos con el símbolo n

√a. No es difícil ver que el número − n

√a , cuando n es par,

es también una raíz n-ésima de a. Esto es (− n√a)

n= a. Este hecho lleva a que usualmente

hablemos de raíz negativa 2raíz positiva", cuando n es par, pero el símbolo n√ase reserva

exclusivamente para la raíz positiva o raíz principal.Debe ser claro que si n es impar y a positivo sólo podrá existir una raíz n − esima

que en este caso tiene que ser positiva.Cuando a es negativo cabe preguntarse por la existencia de raices n-ésimas. Si n es

par es decir n = 2k (k natural) no debe existir ningún δ real tal que δn = a, puesto queαn =

¡δk¢2es positiva. Es decir la raíz no existe como número real.

Si n es impar y a negativo es posible hablar de raíz n− esima de a. En este caso existesólo una raíz n − esima real y es negativa. Este hecho es familiar para el alumno, pueses bien conocido, por ejemplo, que 3

√−8 = −2. Puesto que −2 = − 3p−(−8) = − 3

√8, la

existencia de la raíz n-ésima de un número negativo y la forma de obtenerla cuando n esimpar se puede reducir a la existencia y obtención de la raíz de un número positivo.En efecto, cuando a es número real negativo y n impar se define, generalizando el

ejemplo anterior,

n√a = − n

√−a

Observe que−a es positivo y por lo tanto n√−a existe y es positivo. Consecuentemente,

− n√−a es un número real negativo bien definido. Se puede demostrar también, en forma

general, que en este caso − n√−a cumple la definición de raíz n-ésima de a. Es decir

(− n√−a)n = a (ver ejercicios).Las observaciones anteriores se pueden resumir de la siguiente manera:

a) El símbolo n√a, no necesariamente representa un número real, pero cuando lo hace

está definido por la siguiente relación básica

( n√a)n = a

b) El símbolo n√a define un número real solamente en los siguientes casos:

i. Cuando a ≥ 0 y n ∈ Z+.

En este caso n√a denota la raíz positiva (Teorema 9. Unidad 1.4).

Cuando n es par, − n√a es también raíz n-ésima de a. Se le llama la raíz negativa.

ii. Cuando al 0 y n impar.


En este caso n√a denota la única raíz n− esima que existe, que es negativa, y se

define n√a = − n

√−a

Ejemplos

1. 4√16 = 2 pues 2 ≥ 0 y 24 = 16. Por ser 4 un número par 16 posee también raíz 4a

negativa. Se escribe − 4√16 = 2.

2. 3√125 = 5 pues 5 ≥ 0 y 53 = 125

3. 3√−125 = − 3

p−(−125) = − 3√125 = −5

4. 4√−16 no representa un número real

Un hecho importante que puede prevenir errores es el siguiente. Si bien, ( n√a)n = a,

cuando la raíz n-ésima existe, no necesariamente se tiene que n√an = a. Por ejemplo, si

a = −3 y n = 2 entonces 2p(−3)2 = 2

√9 = 3; ésto es, 2

p(−3)2 6= −3.

En general se tiene el siguiente teorema:Teorema 13.

i. Si n es par, entonces n√an = |a|, a ∈ R.

ii. Si n es impar, entonces n√an = a.

Demostración:

i. Como n es par an ≥ 0 para todo a ∈ R. Por definición:

(I) Si a ≥ 0, n√an = a = |a| ¿Por qué?

(II) Si a < 0, n√an = −a = |a| ¿Por qué?

ii. Como n es impar; an ≥ 0 si a ≥ 0 y an < 0 si a < 0. Por lo tanto:

(I) Si a ≥ 0, n√an = a

(II) Si a < 0, n√an = − n

√−an = − np(−a)n = −(−a) = a. ¿Por qué?

Las siguientes constituyen propiedades básicas de los radicales que pueden obtenersede manera más o menos directa de su definición, y son válidas en los casos en que se puedagarantizar la existencia de las raíces involucradas.Teorema 14.

i. n√a.b = n

√a. n√b

ii. np

ab=

n√an√b

iii. m.n√a = m

pn√a = n

pm√a


Demostración:Para demostrar la relación i) basta observar que:³

n√a n√b´n= ( n√a)n.( n

√b)n Prop. de las potencias con exponentes enteros.

= a.b Por definición de raíz-enésima cuando éstasexisten.Es decir, que n

√a. n√b cumple la definición de raíz-enésima, y por la unicidad de la

raíz se desprende que debe ser igual a n√a.b que es la mannera usual de denotar a la

raíz-enésima de a.b.De manera semejante se demuestra la relación ii). Se tieneh

n√an√b

in=( n√a)

n

( n√b)n Prop. de las potencias con exponente entero.

= ab

Prop. de la raíz n− enesima.Dejamos la relación iii) como un ejercicio al estudiante. (Ver ejercicios)Ejemplos:Ilustramos la simplificación de algunas expresiones utilizando propiedades de los

radicales.

i. 5√20−√45 + 2√80 = 5√4× 5−√9× 5 + 2√16× 5

= 5√4.√5−√9.√5 + 2√16.√5

= 10√5− 3√5 + 8√5 = 15√5

ii. 3

q(3a−2b)4

(2ab−2)3=

3√(3a−2b)4

3√(2ab−2)3

=(3a−2b) 3

√3a−2b

2ab−2

= 32a−3b3 3

√3a−2b

2.7.2. Exponentes Racionales.

En la sección anterior hemos definido las condiciones en las cuales el símbolo n√a tiene

sentido como número real. A partir de esta sección utilizaremos también el símbolo a1n

para referirnos a la raíz n√a cuando existe. Aunque el significado de la expresión a

1n está

definido por n√a, tiene sentido referirnos a ella como potencia con exponente fraccionario

de la forma 1npues satisface las propiedades básicas de las potencias con exponente entero.

En efecto, se desprenden directamente de su definición y del Teorema 14 las siguientespropiedades:

Ejemplo

Example 1

i.³a1n

´n= a


ii. (an)1n = |a| si n es par

iii. (ab)1n = a

1n b

1n

iv.¡ab

¢ 1n = a

1n

b1n

v. a1mn =

³a1m

´ 1n

La definición anterior permite extender la definición de potencias con exponente enteroa potencias con exponente fraccionario de la siguiente manera:Definición: Sean m y n enteros con n > 0. Sea a un número real tal que n

√a esté

bien definido. Se tieneamn ≡ ( n

√a)m =

© a1n× m

......×a 1n si mm0

1

a1n× m.......

× 1

a1n

si ml0

ªYa que −(m/n) = −m/n , por definición a−(

mn ) = a−

mn .

Esta definición tiene una implicación inconveniente pues cuando a es negativo la buenadefinición de a

mn va a depender de la fracción m

n, n debe ser impar y no necesariamente

se cumple que amn = a

kmkn , para k entero, (como debería ser), a pesar de que m

ny

kmknrepresentan al mismo número racional. En efecto, (−27) 13 está bien definido pues

(−27) 13 = 3√−27 = −3, pero es claro que (−27) 26 = ¡ 6

√−27¢2 no existe como número realy por lo tanto no cumple que (−27) 13 = (−27) 26 . Se puede demostrar, sin émbargo, queamn = a

kmkn cuando ambos lados de la igualdad tienen sentido. Algunos autores obvian esta

"incomodidad"hablando de potencias de la forma amn sólo para valores positivos de a.

Es importante entender, por último, respecto de esta definición, y aunque no lodemostremos, que cuando m

n= k ∈ Z entonces la definición que hemos dado de potencia

con exponente fraccionario coincide con la definición de potencia con exponente entero ypor lo tanto a

mn = ak. Es decir, la definición que hemos dado no es más que una extensión

de la definición de potencia con exponente entero aunque con restricciones en el caso debases negativas.Las potencias con exponente racional obedecen las mismas propiedades formales que

las potencias con exponente entero.

Teorema 15.

i. (amn )n = am

ii. a−(mn) = 1

amn

iii. amn .a

rs = a

mn+ rs

iv. (amn )

rs = a

mrns

v. amn .b

mn = (a.b)

mn


Las propiedades se cumplen siempre que ambos lados de la igualdad representen unnúmero real.Demostración: Damos la demostración de algunas de las propiedades anteriores

dejando las restantes como ejercicio.

i. (amn )n =

h³a1n

´min(Definición de la potencia a

mn )

= (a1n )m.n (Prop. potencias con exponente entero)

= (a1n )n.m (Prop. conmutativa).

=h³

a1n

´nim(Prop. potencias con exponente entero).

= am (Definición de a1n ).

ii. a−(mn) = a−

mn (Por definición).

= (a1n )−m (Definición de la potencia a

mn ).

= 1

a1n

m (Definición potencia con exponente

entero negativo).= 1

amn

(Definición potencia amn ).

iii. amn .a

rs = a

msns .a

rnsn (Ver observación al final de la

demostración (∗)

=ha

1ns

ims

.ha

1ns

irn(Definición potencia a

mn ).

=ha

1ns

ims+rn

(Prop. potencias con exponente

entero).= a

mn+ rs (Prop. de las fracciones).

(*) Es importante entender que debido a la observación que hicimos sobre la definicióndel símbolo a

mn , al hacer la transformación a

mn .a

rs = a

msns .a

rnsn , debemos estar seguros que

tanto amsns , como a

rnsn representen números reales. Este es en efecto el caso. Si a > 0 no

hay ningún problema. Si a < 0, la buena definición de amn y a

rs implica que tanto n como

s son impares y por lo tanto n.s también lo será lo que garantiza la buena definición deamsns y a

rnsn

EjemplosSimplifiquemos las siguientes expresiones:


i)2( 3√3)4

2−1,32 =2×3 432−1,32 = 2× 2× 3

43 × 3−2 = 22,3 43−2

= 22,3−23

ii)p32√81 =

³32 (34)

12

´ 12= (32)

12 (32)

12 = 3× 3 = 32

iii) (a−4.b)− 12

(a2.b3)−13= (a−4.b)−

12 (a2.b3)

13 = a2.b−

12a

23 .b = a2+

23 .b1−

12

= a83 .b

12

iv)·3−

23 ,11

56

334 ,11

72

¸12= 3−8,1110

39,1142= 3−8,3−9,1110,11−42 = 3−17,11−32

2.7.3. Exponentes Reales.

En la definición del símbolo ax hemos seguido un proceso de extensiones sucesivas quehan permitido pasar de potencias con exponente entero (2.3.4) a potencias con exponenteracional (2.4.6) pero simultáneamente a medida que se ampliaba el conjunto de númerosque podían servir de exponente se restringía el conjunto de números que podrían servir debase. Así, para el caso de exponentes enteros cualquier número real puede servir de base,excepto por el caso 00 que no está definido, pero para el caso de exponentes racionales losnúmeros reales negativos no pueden servir de base para cualquier exponente racional.En esta sección se plantea, sin demostración, que es posible dar una definición de

potencia con exponente real y base positiva que conserva las mismas propiedades formalesde las potencias con exponente racional y que a su vez, viene a constituir una extensiónde la definición de potencia con exponente racional.

Teorema 16: Sea a un número real positivo y x un número real arbitrario. Existeun número real positivo ax que llamaremos potencia de base a y exponente x, que cumplelas siguientes propiedades:

ax.ay = ax+y

(1.14) (ax)y = ax.y

(a.b)x = ax.bx

Cuando x es un racional, ax coincide con el valor dado por la definición que apareceen la sección 2.4.6.Por definición a−x = 1

ax.


Es importante mantener presente que las propiedades (1.14), que satisfacen laspotencias con exponente real, son las mismas que satisfacen las potencias con exponenteracional o entero. Así, quien esté familiarizado con el manejo de estas últimas, lo estarátambién con el manejo de las potencias con exponente real. Ilustramos esta afirmacióncon la siguiente simplificación:

a

√22

b2π. b−π3

a23

√2= a

√22 .b−2π.b−

π3 .a−

23

√2

= a√22− 23

√2.b−2π−

π3

= a−√26 .b−

7π3

¿Como se puede interpretar el símbolo ax, cuando x es un número real arbitrario ya > 0?. Puesto que ax viene a ser una extensión de la definicion de potencia con exponenteracional, si x = m

n, ax puede interpretarse en el sentido de la definición dada en la sección

anterior. Cuando x es irracional, analizaremos dos ejemplos particulares, que esperamosayuden al estudiante a formarse una visión operativa del significado de ax.Consideremos el caso 3

√2 , El significado de esta potencia, es decir la manera como se

llega a calcular e identificar el número real representado por 3√2 se puede entender a partir

de las sucesiones de potencias 31, 31,4, 31,414... ó 32, 31,5, 31,42..., que son potencias biendefinidas y de significado conocido pues sus exponentes son racionales. La ley de formaciónde estas sucesiones está determinada por la ley de formación de sus exponentes, la cual estádefinida a su vez por la expresión decimal de

√2. (Es fácil comprobar con una calculadora

de mano de 10 dígitos en pantalla que√2 = 1,41421356...).

El número 3√2 se puede definir de las dos maneras siguientes:

3√2 = Sup{31, 31,4, 31,41, 31,414...}

ó

3√2 = Inf{32, 31,5, 31,42, 31,415...}

Si calculamos, con el auxilio de una calculadora de mano, algunas de las potenciasanteriores se observa rápidamente que la sucesión 31, 31,4, 31,414...es creciente y que lasucesión 32, 31,5, 31,42... es decreciente. Se puede observar también, aunque éste ya noes un hecho tan inmediato, que cualquier potencia en la primera sucesión es menor quecualquier potencia en la segunda sucesión. De esta manera, la definición propuesta sepuede reinterpretar en términos muy intuitivos diciendo el número real representado por3√2 es el número al cual se van aproximando las sucesiones anteriores, a medida que

los exponentes de las potencias se aproximan a√2. La primera sucesión se aproxima en

forma ascendente y la segunda se aproxima en forma descendente. 3√2 viene a ser el único

número o punto de separación entre las potencias de ambas sucesiones. Se puede escribir,por lo tanto, que


31l 31,4l 31,41 l ...l 3√2 l ...l 31,415 l 31,41 l 31,5 l 32

Si obtenemos las expresiones decimales de algunas de las potencias que conforman lassucesiones anteriores, empezando por 31,4 y 31,5, e incrementando de a dos dígitos en elexponente para acelerar el proceso de aproximación, podemos visualizar mejor la maneracomo las dos sucesiones de potencias aproximan a 3

√2 y la manera como va surgiendo la

expresión decimal de 3√2 en este proceso. Se puede escribir:

i) 4,6 ≤ 4,6555367 ∼= 31,4 < 3√2 < 31,5 l 5,1961521 ≤ 5,2

ii) 4,7 ≤ 4,7276950 ∼= 31,414 < 3√2 < 31,415 ∼= 4,7328918 ≤ 4,8

iii) 4,728 ≤ 4,7287850 ∼= 31,41421 < 3√2 < 31,41422 ∼= 4,7288378 ≤ 4,729

iv) 4,728804 ≤ 4,72880406 ∼= 31,4142135 < 3√2 < 31,4142136 ∼= 4,72880458 ≤ 4,728805

Estas desigualdades permiten ver qué tan próximas están las potencias que constituyenlas dos sucesiones a 3

√2 y qué tan rápida es su aproximación cuando los exponentes se

aproximan a√2. Se puede escribir, en efecto que

3√2 − 31,4 < 31,5 − 31,4 < 5,2− 4,6 = 0,6

31,5 − 3√2 < 31,5 − 31,4 < 5,2− 4,6 = 0,6

3√2 − 31,414 < 31,415 − 31,414 < 4,8− 4,7 = 0,1

31,4515 − 3√2 < 31,415 − 31,414 < 4,8− 4,7 = 0,1

3√2 − 31,41421 < 31,41422 − 31,41421 < 4,729− 4,728 = 0,001

31,41422 − 3√2 < 31,41422 − 31,41421 < 4,729− 4,728 = 0,001

3√2 − 31,4142135 < 31,4142136 − 31,4142135 < 4,728805− 4,728804 = 0,000001

31,4142136 − 3√2 < 31,4142136 − 31,4142135 < 4,728805− 4,728804 = 0,000001

Lo anterior quiere decir, en particular que si se aproxima a 3√2 por 31,414 (por defecto)

o por 31,415 (por exceso) el error que se comete es menor que 0,1 pero si se aproxima por31,41421 (por defecto) o por 31,41422 (por exceso) el error que se comete es menor que 0,001y así sucesivamente.Las primera desigualdades dan información sobre la manera de obtener la expresión

decimal de 3√2, de la siguiente manera:

La desigualdad i) permite concluir que es posiblemente el primer dígito de la expresióndecimal 3

√2.

La desigualdad ii) permite concluir que 4,7 son necesariamente los dos primeros dígitosde la expresión decimal de 3

√2 .

La desigualdad iii) indica que los cuatro primeros dígitos de la expresión decimal de3√2 están dados por 4,728.


La desigualdad iv) indica, por último, que los siete primeros dígitos de la expresióndecimal de 3

√2 están dados por 4,728804.

Se puede comprobar estos resultados comparándolos con la expresión decimal4,728804388 de 3

√2 que da una calculadora de mano de 10 dígitos en pantalla.

Consideremos un segundo ejemplo: 0,5√2. Procediendo de manera similar al caso

anterior podemos considerar las sucesiones 0,51, 0,51,4, 0,51,41... y 0,52, 0,51,5, 0,51,42....En este caso, debido a que 0,5 < 1 la primera sucesión es decreciente y la segunda

creciente, pero como en el ejemplo anterior 0,5√2 se puede interpretar como el número real

al cual se van aproximando las potencias de ambas sucesiones a medida que sus exponentesse aproximan a

√2. La primera se aproxima en forma descendente y la segunda en forma

ascendente. Se puede escribir:0,5 > 0,51,4 > 0,51,41 > 0,51,414 > ... > 0,5

√2 > ... > 0,51,415 > 0,51,42 > 0,51,5 > 0,52

En este caso la definición matemática de 0,5√2 se podría dar de las dos maneras

siguientes:

0,5√2 = Inf{0,51, 0,51,4, 0,51,41, 0,51,414...}

0,5√2 = Sup{0,52, 0,51,5, 0,51,42, 0,51,415...}

Demanera similar al ejemplo anterior se pueden establecer las siguientes desigualdades:

i) 0,4 ≥ 0,3789291 ∼= 0,51,4 m0,5√2 m 0,51,5 ∼= 0,3585533 ≥ 0,3

ii) 0,376 ≥ 0,3752697 ∼= 0,51,414 > 0,5√2 m 0,51,415 ∼= 0,3750097 ≥ 0,375

iii) 0,37522 ≥ 0,3752151 ∼= 0,51,41421 > 0,5√2 m 0,51,41422 ∼= 0,3752125 ≥ 0,37521

iv) 0,375215 ≥ 0,3752142 ∼= 0,51,4142135 > 0,5√2 > 0,51,4142136 ∼= 0,3752141 ≥ 0,375214

Desigualdades que en este caso permiten estimar también el grado de aproximaciónde las diferentes potencias a 0,5

√2. Se puede afirmar, por ejemplo, que si se aproxima a

0,5√2 por 0,51,414 (por exceso) o por 0,51,415 (por defecto) el error que se comete es menor

que0,376− 0,375 = 0,001.También se puede observar la formación paulatina de la expresión decimal de 0,5

√2.

Así, por ejemplo, al mirar la desigualdad iv) se puede concluir que los 6 primeros dígitosde su expresión decimal están dados por 0,375214.Esta definición operativa por aproximación se puede generalizar en realidad a cualquier

potencia ax con exponente real. El entender estos procesos aproximativos es importantepara saber cómo seleccionar el número de dígitos en el exponente, y a veces en la base deacuerdo con el nivel de precisión que deseamos tener en nuestros cálculos (ver Ejercicio9).El siguiente Teorema que damos sin demostración describe una propiedad muy

importante de las potencias reales y en cierta medida puede considerarse una extensióndel teorema para exponentes racionales descrito antes.


Teorema 17.Sean a, b, x, y números reales.

i) a > 1, x < y sii ax < ay

ii) 0 < a < 1, x < y sii ax > ay

iii) 0 < a < b, ax < bx sii xm 0

ax m bx sii xl 0

Lo anterior se puede interpretar en lenguaje ordinario diciendo, que cuando a > 1,el valor de la potencia crece a medida que los valores del exponente x crecen, pero si0 < a < 1 los valores de la potencia decrecen cuando los valores del exponente x crecen.

De otro lado, si el exponente x es positivo y fijo y varían los valores de la base, losvalores de la potencia crecen cuando crecen los valores de la base. Pero si x es negativo,los valores de la potencia decrecen al crecer los valores de la base.Los siguientes casos particulares, que el estudiante puede comprobar con su calculadora

ilustran las variaciones mencionadas.Para el caso i) a > 1; a = 3,5(3,5)−

34 , (3,5)−

12 , (3,5)

14 , (3,5)

12 , (3,5)2, (3,5)3, (3,5)10

Calculando en su orden las potencias anteriores, y redondeando se tiene

0,39 < 0,53 < 1,9 < 1,36 < 12,5 < 42,9 < 275854,7

Lo cual permite observar que las potencias anteriores aumentan de izquierda a derechaal aumentar el exponente manteniendo fija la base mayor que 1.Para el caso ii) a < 1; a = 0,4

(0,4)−3, (0,4)−12 , (0,4)

12 , (0,4)

34 , (0,4)

√2, (0,4)3, (0,4)10

Calculando en su orden las potencias anteriores y redondeando se tiene

15,62 > 1,58 > 0,6325 > 0,5030 > 0,2737 > 0,0640 > 0,0001

Lo cual permite observar que las potencias anteriores decrecen de izquierda a derechaal aumentar el exponente manteniendo fija la base positiva pero menor que 1.Para el caso iii) 0 < a < b, a = 0,1, b = 0,2

(0,1)12 ∼= 0,3162 < 0,4472 ∼= (0,2) 12

(0,1)3 ∼= 0,001 < 0,008 = (0,2)3

(0,1)5 ∼= 0,0058 < 0,0273 ∼= (0,2)5(0,1)−3 ∼= 1,000 > 1,25 ∼= (0,2)−3(0,1)

12 ∼= 3,1623 > 2,2361 ∼= (0,2)− 1

2

Las tres primeras desigualdades dejan ver que cuando x > 0, las potencias ax y bx

conservan el sentido de la desigualdad entre a y b (ax < bx si a < b). Las tres últimaspermiten ver que este sentido se invierte cuando x < 0 (ax > bx si a < b).


Podría preguntarse el estudiante cuál puede ser el interés e importancia de extenderel concepto de potencia con exponente entero, cuyo significado intuitivo es más o menosclaro y que en términos generales puede interpretarse como una notación abreviada dela multiplicación, al concepto de potencia con exponente real cuyo significado aparecebastante abstracto y elusivo. En términos generales, podría decirse que las razones sonlas mismas que llevaron a los matemáticos a construir sucesivamente modelos de sistemasnuméricos más amplios a partir del concepto primitivo de número natural. De un ladonecesidades inherentes al desarrollo formal del cálculo matemático y de otro e íntimamenteunidas con aquellas necesidades del mundo físico. El siguiente ejemplo ayuda a ilustrareste punto de vista.

EjemploSupongamos que la población de un país crece al 2% anual. En una fecha determinada

la población es de Po habitantes. Se quiere calcular la población de dicho país al cabo deun número de años determinado. Si llamamos Pk, la población del país al cabo del año k,se puede escribir

P1 = Po + Po × 0,02 = Po × 1,02 (Población al cabo del 1er año)P2 = P1 + P1 × 0,02 = P1 × 1,02 = Po × 1,022 (Población al cabo del 2o año)P3 = P2 + P2 × 0,02 = P2 × 1,02 = Po × 1,023 (Población al cabo del 3er año)Siguiendo esta ley de formación se tiene que la población del país al cabo del año k se

puede calcular de la siguiente manera:

Pk = Pk−1 + Pk−1 × 0,02 = Pk × 1,02 = Po × 1,02k

Fórmula que en realidad se puede demostrar formalmente por inducción.Aunque de gran utilidad la fórmula que hemos deducido sólo puede aplicarse para

un número entero de años. Si el crecimiento de la población se considera un procesocontinuo tiene sentido preguntarse por la población del país al cabo de cualquier períodode tiempo que vendría a expresarse por un numero real t. La definición de potencias conexponente real viene a dar la salida a este problema de cálculo. Si el modelo de crecimientose considera el mismo en todos los períodos la fórmula anterior puede transformarse enPt = Po1,02

t, donde t es cualquier número real positivo que se interpreta como tiempo,medido en años, transcurrido desde la fecha en que la población del país era Poy Pt

representa la población del país al término de dicho período.

2.7.4. Logaritmos.

El Teorema 17 y los ejemplos con que hemos tratado de ilustrar su significado permitesacar conclusiones sobre el comportamiento de ax cuando x varía.Cuando a > 1 y x crece ax también crece llegando a tomar valores tan grandes como

se quiera si los x se toman suficientemente grandes. Se suele decir "ax tiende a infinitocuando x tiende a infinito". Cuando x decrece tomando valores negativos, ax decrece ysus valores se aproximan al valor 0. Se dice entonces que "ax tiende a 0 cuando x tiendea infinito negativo".


Algo similar ocurre cuando 0 < a < 1, pero el sentido de la variación de ax esdiferente. En este caso cuando x toma valores cada vez más grandes y positivos, ax decrecetomando valores positivos que se van aproximando a 0 y cuando x decrece, tomandovalores negativos cada vez menores y sin límite inferior, ax crece tomando valores positivosarbitrariamente grandes. Se dice entonces que "ax tiende a 0 cuando x tiende a infinito 2

que "ax tiende a infinito cuando x tiende a infinito negativo".El hecho fundamental, que se puede demostrar matemáticamente, es que al variar x

en R ax recorre todos los números reales positivos de suerte que dado un número positivomayor o menor que 1, la ley de correspondencia que a cada numero real x asigna el númeropositivo ax define una correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números realesR y el conjunto de los reales positivos R+. Se puede afirmar, por lo tanto, recíprocamenteque todo número real positivo b se puede expresar en la forma b = ay, siendo y un numeroreal único.Las observaciones anteriores permiten dar la siguiente definición.Definicion: Sean a y b números reales positivos con a 6= 1.De acuerdo con las observaciones anteriores existe un número real y (y solo uno) tal

que ay = b. Este número se llama "logaritmo en base a de b 2se denota con el símbolologa b. Se puede reescribir, por lo tanto, la igualdad anterior como a

loga b = b.Es decir que el "logaritmo de un número en una base dada, es el exponente al cual

hay que elevar la base para reproducir el número".Cuando a = 10 se habla de logaritmos vulgares o decimales. Cuando a = e los

logaritmos se llaman naturales y se escribe nb en lugar de loge b.

Ejemplos:loga1=0 pues a0 = 1, para cualquier base a.log05 0,25 = 2, pues 0,52 = 0,25log3

127= −3, pues 3−3 = 1

27

log10 102 = 2, pues 102 = 102

loga ak = k, pues obviamente ak = ak, para cualquier base a.

Expresamos en forma de Teorema las propiedades básicas de los logaritmos.Teorema 18.a, x, y números reales no negativos a 6= 1.

i) loga x.y = loga x+ loga y

ii) loga1x= − loga x

iii) logaxy= loga x− loga y

iv) loga xy = y loga x, en este caso y puede ser cualquier número real.

Demostración: Las demostraciones de las propiedades anteriores se reducen a unaaplicación directa de la definición de logaritmo.


i) aloga x+loga y = aloga x.aloga y (Propiedades de las potencias)

= x.y (Definición de logaritmo)

Puesto que el logaritmo de x.y es único y por definición es el número al cual hay queelevar la base a para obtener x.y. Se ha demostrado que este número es loga x+loga y.Por lo tanto, loga x.y = loga x+ loga y.

ii) aloga1x = 1

x= 1

aloga x(Aplicación sucesiva de la definición de logaritmo)

= a− loga x (Propiedad de los exponentes)∴ loga 1x = − loga x (Unicidad del logaritmo de 1

xo correspondencia

biunívoca entre potencias y logaritmos)

iii) alogaxy = x

y= aloga x

aloga y(Aplicación sucesiva de la definición de logaritmo)

= aloga x−loga y (Propiedad de las potencias reales)∴ loga

xy= loga x− loga y (Unicidad del logaritmo de y)

iv) aloga xy= xy = (aloga x)y (Aplicación sucesiva de la definición de logaritmo)

= ay loga x (Propiedad de las potencias reales)∴ loga x

y = y loga x (Unicidad del logaritmo de xy)Los siguientes ejemplos permiten ilustrar el uso de las reglas anteriores.

1. Calcule log1022516expresándolo inicialmente en términos de los factores primos de los

números involucrados y utilizando finalmente una calculadora dando el resultadofinal redondeado a milésimas.

log1022516= log10

52,32

24= log10 5

2,32 − log10 24 (Propiedad iii)

= log10 52 + log10 3

2 − log10 24 (Propiedad i)

= 2 log10 5 + 2 log10 3− 4 log10 2 (Propiedad iv)

= 1,1480625 (Leyendo de la calculadora)

= 1,148 (Redondeando a milésimas)

2. Calcular n3p52√56con un error no mayor de 10−4 empezando por expresar el

logaritmo pedido en términos de los logaritmos de los factores primos de los númerosinvolucrados

n3p52√56 = n

³52 (7× 23) 12

´ 13

(Expresando radicales en forma de

potencias y factorizando)

= 13n³52 (7× 23) 12

´(Propiedad iv)

= 13n52 + 1

3n(7× 23) 13 (Propiedad i)


= 23n5 + 1

6n7 + 3

6n2 (Propiedades i) y iv)

= 1,7438505 (Leyendo de la calculadora)

= 1,7439 (Redondeando a la diezmilésimas)

3. Escriba la expresión 2 logay3

x− 3 loga y + 1

2loga x

4y2 como un solo logaritmo.

2 logay3

x− 3 loga y + 1

2loga x

4y2 = loga

³y3

x

´2− loga y3 + loga (x4y2)

12

= loga

y3

x

2

(x4y2)12

y3= loga y

4

Logaritmación con operación inversa de la expomenciación.

Al hablar de la suma y la resta o de la multiplicación y la división entre reales se.diceque son operaciones inversas. El significado de operación inversa se puede explicar de lasiguiente manera.Para la suma y la resta:Si a es un número real y le sumo otro número real b obtengo a+ b. Si a este número le

resto b obtengo (a+ b)− b = a, es decir vuelvo a obtener el número inicial a. Este procesose puede repetir empezando por restar b de a, para obtener a − b y sumar luego b paraobtener (a−b)+b = a. Es decir, la resta es operación inversa de la suma y recíprocamente,la suma es operación inversa de la resta, en el sentido de que la una "deshace"lo que hacela otra. Esta interpretación se hace precisamente mediante la siguiente expresión analítica:

(a+ b)− b = a(a− b) + b = a

Análisis semejante es válido para las operaciones de multiplicación y división cuandose realiza entre reales diferentes de 0. Se puede escribir

(a× b)÷ b = a(a÷ b)× b = a

Este concepto de operación inversa se puede aplicar también a la radicación respectode la potenciación de números positivos a un exponente entero positivo dado. Asi, sia > 0, y lo elevamos a la potencia n para extraer luego raíz n-ésima obtenemos el númeroa inicial. Lo mismo ocurre si empezamos extrayendo raíz n-ésima y luego elevando a lapotencia n-ésima. Estas definiciones se pueden sintetizar simbólicamente de la siguientemanera:

n√an = a

( n√a)

n= a


Si consideramos la exponenciación (elevar a un exponente arbitrario x una base dadaa, en este caso no-negativa) y la logaritmación (calcular el logaritmo de un número xen una base a), como operaciones sobre un número x, se puede observar que se trata deoperaciones inversas, en el sentido dado anteriormente, de que una operación "deshace"loque hace la otra. Se puede escribirloga a

x = x (Propiedad iv. Teorema 18)aloga x = x (Definición de logaritmo)

Cambios de Base.

El siguiente Teorema expresa la manera como el logaritmo de un número se puedetransformar de una base a otra.Teorema 19:Sean a y b números reales positivos y x número real arbitrario, entonces:

logb x =loga xloga b

Demostración: Por la definición de logaritmo se puede escribir

x = blogb x

Tomando logaritmos en base a a ambos lados de la igualdad anterior, se tiene

loga x = loga¡blogb x

¢= logb x. loga b

∴ logb x =loga xloga b

Ejemplos:

i. log73√4 se puede expresar en términos de logaritmos en base 10 de la siguiente manera:

log73√4 = log10

3√4log10 7

La expresión de la derecha se puede evaluar con calculadora. Calculando dichoresultado con aproximación a las milésimas tendremos

log73√4 = log10

3√4log10 7

=13log10 4

log10 7∼= 0,237

ii. Calculemos el logaritmo anterior utilizando logaritmos naturales, que tambiénaparecen incorporados en las calculadoras científicas, y comparemos resultados

log73√4 = ln 3√4

ln 7=

13ln 4

ln 7∼= 0,237


Forma de Variación de los Logaritmos.

Utilizando la definición de logaritmo y las propiedades que hemos establecido daremosun teorema para logaritmos semejante al Teorema 17. En éste aparecen logaritmos conbase mayor que 1 que son los más utilizados.Teorema 20: Si a, x, y números reales positivos y a > 1, entonces log x < log y sii

x < yDemostración: Por definición de logaritmo se tiene

x = aloga x y y = aloga y

Utilizando el Teorema 14, se puede escribir

aloga x < aloga y sii loga x < loga y∴ x < y sii loga x < loga y

Se puede observar que la demostración anterior se apoya en el Teorema 17 y si elasunto se analiza más de cerca se llega a concluir que ambos Teoremas son equivalentes yque la clave de su conexión está en el hecho de que “exponenciación” y “logaritmación”son operaciones inversas. Para efectos prácticos ésto quiere decir que el comportamientode loga x al variar x se puede deducir del comportamiento de a

y al variar y.Consideremos el caso a > 1. Cuando x crece loga x también crece, y no es difícil

convencerse (ver ejemplo numérico) con la ayuda de una calculadora de mano que loga xpuede alcanzar valores tan grandes como se quiera incrementando adecuadamente losvalores de x.¡Qué se puede decir de loga x, cuando x se aproxima a 0 ?. Puesto que aloga x = x,

para que x tienda a 0 es necesario que el exponente de a tome valores negativos cadavez menores y sin limite. Se dice en este caso que cuando x se aproxima ó tiende a 0,loga xlogax tiende a infinito negativo.

Los siguientes valores numéricos para logaritmos de base 10 ayudan a visualizar elsignificado de éste Teorema.

log 4× 10−10, log 4× 10−3, log 4000, log 4× 1010

Calculando en su orden con ayuda de calculadora y redondeando a la unidadfraccionaria más cercana de orden 4 se tienen los siguientes resultados:

−9,3979 < −2,3979 < 0,6021 < 3,6021 < 10,6021

Que permite concluir que los logaritmos anteriores se ordenan de menor a mayor deizquierda a derecha a medida que el número x, al cual se calcula su logaritmo, crece.


Aplicaciones a la solución de Ecuaciones:

En los siguientes ejemplos ilustramos la aplicación de las propiedades de logaritmos ypotencias a la solución de ecuaciones.

i. Calcular los valores de x, para los cuales 2−x = 8. Utilizando logaritmos decimales sepuede escribir

log 2−x = log 8

−x log 2 = log 8∴ x = − log 8

log 2= −3

Este último cálculo se puede efectuar con la calculadora, o también mediante elsiguiente razonamiento

x = − log 8log 2

= − log 23log 2

= −3 log 2log 2

= −3Utilizando logaritmos en base 2 se puede escribir también

log2 2−x = log2 8−x = 3x = −3

ii. Resolver para x

42x+3 = 5x−2

Utilizando logaritmos decimales, se tiene

(2x+ 3) log 4 = (x− 2) log 52x log 4− x log 5 = −2 log 5− 3 log 4x(log42 − log 5) = log 5−2 + log 4−3

x log 165= log 5−2,4−3

x = log 5−2,4−3log 16

5

Cálculo Numérico con Potencias y Logaritmos.

Hacemos, por último, algunas observaciones sobre el cálculo numérico con logaritmosy potencias.Al tratar en la práctica con mediciones físicas o números aproximados involucrando

cálculos con potencias y logaritmos, los resultados obtenidos estarán también sujetos aerrores. Aplicando los Teoremas 17 y 20 es posible estimar tales errores.Supongamos que queremos calcular N = log x, donde x = 3,51± 0,01. Puesto que el

logaritmo en base 10 crece, al crecer x se tiene que el verdadero valor de N puede oscilarentre log 3,50 y log 3,52. Haciendo cálculos se tiene:


0,544068 ∼= log 3,50 ≤ N ≤ log 3,52 ∼= 0,546543

Se puede observar que log 3,52 − log 3,50 ∼= 0,002475 ≈ 0,0025. Esto implica que laincertidumbre, o posible error a que está sujeto este cálculo, sólo empieza a afectar en lasmilésimas. Se puede observar también que log 3,51 ∼= 0,545307 es prácticamente el puntomedio del intervalo [log 3,50, log 3,52] . Tiene sentido práctico por lo tanto tomar comovalor de N este valor medio y como incertidumbre del cálculo la diferencia positiva conlos extremos del intervalo, que puede aproximarse por exceso a 0,0013. Este posible errora que está sujeto el cálculo implica que el valor numérico de N no debe tener más de 3 oen el mejor de los casos 4 cifras decimales. Se podría escribir, por lo tanto, que

N = log(3,51± 0,01) = 0,5453± 0,0013

o también perdiendo un poco de precisión, que:

N = log(3,51± 0,01) = 0,545± 0,002

Es interesante observar que en términos absolutos el posible error a que está sujeto elcálculo de N es menor que el posible error de x y que en términos relativos ambos erroresson prácticamente iguales. Es decir que la operación "logaritmo"no incrementa o propagael error.Consideremos ahora el caso de la expresión y = ax, donde tanto x como a están sujetos

a errores o aproximaciones. Supongamos, por ejemplo, que a = 3,40± 0,01 y x = 2,2± 0,1.Por las propiedades de las potencias con exponente real, consignadas en el Teorema

17 se puede afirmar que el valor exacto de Y está entre 3,392,1 y 3,412,3. Haciendo cálculosse tiene:

12,9843 ∼= 3,392,1 ≤ Y ≤ 3,412,3 ∼= 16,8001

Se puede proceder como en el ejemplo anterior, para calcular tanto el valor asignadoY (promedio de valores extremos) como el error posible a que está sujeto el cálculo(diferencia con valores extremos). Para determinar el número de cifras que debe tenerN debe observarse que 3,412,3−3,392,1 ∼= 3,8158 ∼= 4. O sea que el posible error de cálculoafecta las unidades enteras y, por lo tanto, no tiene sentido expresar a N con fraccióndecimal. Se puede escribir, consecuentemente:

y = (3,40± 0,01)2,2±0,1 = 15± 2

Como se puede ver el error que afecta el cálculo Y es bastante grande, incluso entérminos relativos, si se compara con los errores que afectan la base a y al exponente x.Es decir errores pequeños en éstos tienen un impacto fuerte en el error que afecta a Y .


2.7.5. Ejercicios

En los ejercicios 1 a 22, responda V, ó F, justificando su respuesta.

1. Si x2 = 4 entonces x = 2 , x ∈ R2. Si x3 = −8 entonces x = −2, x ∈ R3. Si xn = a entonces x = n

√a, x ∈ R

4. n√an = |a|; a ∈ R

5. (an)1n = a; a ∈ R

6. 2√a2 + b2 = a+ b; a, b ∈ R

7. Para cualquier par de números reales a y b se tiene que 3√a.b = 3

√a. 3√b.

8. Para cualquier par de números reales a y b se tiene que (a.b)12 = a

12 − b

12 .

9. (16)32 = (16)

64

10. (−64) 13 = (−64) 26

11. (ax + a−x)2 = a2x + a−2x; am 0 , x ∈ R

12. 2√3 = sup{21, 21,7, 21,73, 21,732, ...}

13. log25√8− log4 2 + log8 4 = 23

30

14. 12xm 1 =⇒ 2x l 1; x ∈ R

15. 1log2 x

m 1 =⇒ log2 xl 1; x ∈ R+

16. log2 (x+ 1)m 0 =⇒ xm 0

17. log 12(x+ 1)m 0 =⇒ xm 0

18. log3 5log2 5

= log2 3

19. log2 3. log3 5 = log2 5

20. log (a− b) = log a− log b; am 0, bm 021. log a

log b= log a− log b; a > 0, b > 0

22. (22)3 = 223


23. Simplificar utilizando al máximo propiedades de los radicales y determinar, cuandose aplique, los signos que puede asumir a y b conjuntamente para que las expresionesinvolucradas tengan sentido.

a) 3√−27× 4

√250

b) 5√625× 3

p(0,5)6

c)√3× ab3c

√2a2bc4

√6a3b4c

d)√11664

e) 8

r6

q(a44b10)2

f)4√6a10b6

6√12a18b3

24. Demuestre:

a) La proposición iii) del Teorema 14.

b) Las proposiciones iv y v del Teorema 15.

c) Que para a negativo − n√−a es raíz n-ésima de a.

25. Compruebe con una calculadora en forma directa las propiedades

26. 5√0,5× 0,2 = 5

√0,5× 5

√0,2

27. 5

q0,50,2=

5√0,5√0,2

28. 6√0,5 = 3

p2√0,5

29. Simplifique las expresiones utilizando al máximo las propiedades de los exponentes

a) ((−27)a6) 23b) (a−3b9c−6)

−23

c) (0,000016)32

d)·h0,5

46 e

230,3

46 e

43

i 12

¸3e)·(a−8b2)

−14

(a4b6)−16

¸2f)ha12

b2

i4 ·b−16

a26

¸630. Utilice notación científica para realizar las operaciones que se indican.

a)√8100000

(0,0000002)3× (300000)4

(8000000)23

b)10√(0,00243)4(20000)3

(8000002)32


31. En el siguiente ejercicio simplifique la expresión utilizando al máximo laspropiedades de las potencias y efectúe finalmente la operación con una calculadora.Separadamente realice las operaciones con la calculadora sin efectuar simplificaciónpreliminar. Hay diferencias en los resultados?. Si las hay cómo se explica lasdiferencias en los resultados?·0,5

12

0,323

¸4.

·1

0,313×0,5 23

¸332. Repase el contenido del Teorema 13 tomando a =

√2, b = 1

3, x =

√3, y = 3

√2 ,

exprese las propiedades de las potencias con exponente real Utilizando calculadoracompruebe que las propiedades se cumplen.

33. Simplificar utilizando al máximo las propiedades las potencias

a)hh3

1√2a

√23

i h5

1√2a

3√4

ii√2b) (√3)

π2 ((√3)

π2 + (

√3)−

π2 )

c) 8π+1

4π+2

34. Determine el menor número de dígitos que es necesario utilizar en los numeralesdecimales de la base y del exponente de las siguientes potencias, que permitencalcular su valor con un error menor de 10−3. Explique el método que se sigue parallegar a la respuesta y en cada caso compruebe que el error está dentro de los limitesesperados

(13)π, (4

3)3√2, π

√2,√3√2, ( 1√

3)√2

(Sugerencia: Repase el método que aparece en esta Unidad para calcular 3√2 y

0,5√2).

35. Compruebe haciendo uso de calculadora que

a) e1,4 < e1,5 < e1,6

b) e−1,4 > e−1,5 > e−1,6

¿Qué teorema de los estudiados en esta Unidad permite preveer esta situación?.Explique por qué.

36. Compruebe la validez del Teorema 19 para los logaritmos en base natural observandocómo crece el logaritmo natural de x (lnx) a medida que x crece, en los siguientescasos:

ln 4× 10−10, ln 4× 10−3, log 4, ln 4000, ln 4× 1010(Utilice la calculadora redondeando a las milésimas),

37. ¿Qué logaritmos crecen más rápidamente los naturales o los decimales?


38. Haciendo uso de la calculadora calcule los siguientes logaritmos

log0,5 4× 10−10, log0,5 4× 10−3, log0,5 4, log0,5 4000, log0,5 4× 1010Redondee los resultados anteriores a centésimas y ordénelos de menor a mayor.Compare con el ejercicio y saque conclusiones.

39. Si 0 < a < 1 y x < y, qué símbolo de desigualdad hay que poner en el cajón de laexpresión siguiente para convertirla en una proposición verdadera. (Explique!)

logax ¤ logay

40. Calcule las expresiones dadas en las condiciones que se indican:

a) log5125, log 1000, log7

3√7, loge e

−10 sin calculadora.

b) log 73, log 2√

3, log6 63, log7 0,08 con aproximación a las milésimas.

c) 4log49 7, 16log8 2, 4log2 16 sin calculadora

d) log7√5 con calculadora

41. Antes del advenimiento de las calculadoras los logaritmos eran bastante utilizadospara agilizar el cálculo de expresiones del siguiente tipo 0,004810√

0,29. Si llamamos N

este número se tiene que logN = 10 log(0,00489) − 12log 0,29, utilizando tablas

se calculaba los logaritmos y luego tomando antilogaritmos se obtenía el valoraproximado de N . En los casos que siguen realice el calculo de la expresión quese indica siguiendo el método esbozado anteriormente pero utilizando calculadoraen lugar de tablas. Realice luego, sin uso de logaritmos el mismo cálculo con ayudade su calculadora y compare respuestas.

a) (0,0048)10

√0,29

b) 5

q0,0258,50

c) (2,73)(78,5)621

42. Antes de que se popularizaran las calculadoras el uso de logaritmos suponíautilización de tablas, que se referían a los logaritmos decimales o a los logaritmosnaturales. En el caso de los decimales una tabla de logaritmos de 1 al 10 permitecalcular el logaritmo decimal de cualquier número. En este contexto se introducenlos conceptos de características y mantisa. Podría explicar por qué ésto es posible?

Sugerencia: Observe que todo número por pequeño o grande que sea se puedeexpresar en notación científica.

43. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) log2(x− 5) = 4b) log6(2x− 3) = log6 12− log6 3c) log x+ log x+1

x= 2


d) log(log x) = 2

e) 34−x = 5

f) 42x+3 = 5x−2

g) x√log x = 108

h) log(x2 + 4)− log(x+ 2) = 3 + log(x− 2)44. Resuelva las siguientes inecuaciones:

a) 3x+4 ≤ 31−3xb)¡13

¢x+4 ≤ ¡13

¢1−3xc) 34−x > 5

d) log(x+ 13) ≤ log(l − 2x)

e) log x+ log(x− 3)f) log(2x− 1

2) > 2

g) 4log 1

2(2x+3)

45. Exprese en términos de log a, log b y log c el logaritmo dado

a) log a3b2

5

b) log√ab6

3

c) log 3pa2b√c

46. Escriba la expresión dada como un solo logaritmo

a) 2 loga x+13loga(x− 2)− 5 loga(2x+ 3)

b) 2 logay3

x− 3 loga y + 1

2loga x

4y2

c) log2y3

x− 3 log4 y + 1

2log8 x

4y2

47. Los químicos usan un número denotado pH para describir cuantitativamente laacidez o la basicidad de ciertas soluciones. Por definición pH = − log[H+], donde[H+] es la concentración de iones hidrógeno en moles por litro. Aproxime el pH delas siguientes soluciones dados sus correspondientes [H+] :

(a) Vinagre : [H+] = 6,3× 10−3(b) Zanahorias :[H+] = 1,0× 10−5(c) Agua de mar :[H+] = 5,0× 10−9

48. En cada una de las sustancias que se indican, calcule, con ayuda de calculadora,la concentración de iones hidrógeno H+. Dé su respuesta en notación científicaestimando el error a que está sujeto el cálculo de la concentración de iones hidrógeno.


a) Sustancia A : pH = 3,50

b) Sustancia B : pH = 7,21

49. Una solución es considerada acida si [H+] > 10−7 ó básica si [H] < 10−7. ¿Cuálesson las desigualdades correspondientes en relación al pH?

50. La intensidad del sonido que percibe el oído humano tiene diferentes niveles. Unafórmula para hallar el nivel de inteisidad a que corresponde a intensidad de sonidoI es

α = 10 log³

II0

´decibeles

Donde I0 es un valor especial de I que corresponde al sonido más débil que puedeser detectado por el ofdo bajo ciertas condiciones. Si I = 285,000 veces más grandeque I0, qué valor tiene α ?

51. Dada la expresión N = N0ax en la cual, N0 = 50± 1, a = 1,02± 0,005,x = 2,5± 0,1

estime el error a que puede estar sujeto el cálculo de N .

52. Si la población P da un pafs crece al 1,5% anual siguiendo el modelo P = P0at,

donde P0 es la población al inicio de un período determinado y t el tiempo medidoen años en dicho período. Calcule i) la constante a; ii) el tiempo que le toma a lasociedad duplicar su población; i i i) si P0 = 500000, cuál es la población de lasociedad al cabo de 2,5 años?

53. Si $1,000 se invierten al 12% anual y se acumulan los intereses mensualmente. ¿Cuáles el capital después de 1 mes?. ¿Cuál después de 6 meses?. ¿Cuál después de 1 año?

54. ¿Cuántos años tardará una inversión de $1000 en triplicarse si el interés se acumulaanualmente al 5%?.

2.8. NÚMEROS COMPLEJOS

2.8.1. INTRODUCCIÓN

En las unidades anteriores se ha estudiado el sistema matemático de los nú merosreales. Se ha visto que los números reales resultan adecuados para muchos problemasmatemáticos y prácticos, pero existe una limitación en el sistema cuando se trata dedar solución a algunas ecuaciones. Por ejemplo, sabemos que la ecuación x2 + 5 = 0 notiene solución real debido a que el cuadrado de todo número real es no negativo. Enmuchos problemas necesitamos de un sistema en el cual las ecuaciones de este tipo tengansoluciones. En esta unidad presentaremos el sistema de los números complejos, del cual elsistema de los números reales es un subsistema, y no tiene la limitación mencionada.Es importante observar que limitaciones semejantes son las que conducen desde el

punto de vista matemático a la construcción de los racionales y negativos a partir de losnaturales.

2.8. NÚMEROS COMPLEJOS 163

Debido a que el nuevo sistema servirá para resolver ecuaciones, en éste deberemosdefinir operaciones como la adición y multiplicación entre reales, que seguiremos notando+ y ., con las mismas propiedades formales.Veamos cuál es la esencia en la construcción del sistema de los números complejos

que anotaremos con el símbolo C. Queremos que las ecuaciones de la forma x2 = a cona < 0 tengan solución en C, en particular cuando a = −1. Es decir que debe haber algúnelemento en C que anotaremos i, tal que i2 = −1. Como queremos además que R estécontenido en C y que C sea cerrado bajo la multiplicación entonces, para todo b en R, b.idebe estar en C . Además C deberá ser cerrado bajo la adición, luego para todo a ∈ R,a + b.i deberá estar en C, De esta manera C deberá contener todos los elementos de laforma a+ b.i con a y b en R.Por último, si deseamos que la multiplicación y adición en C tengan las mismas

propiedades formales que en R (conmutatividad, asociatividad, distributividad, etc...)los elementos de C deberán sumarse y multiplicarse de la siguiente forma:(a+ b.i) + (c+ d.i) =(a+ b.i).(c+ d.i) =(a+ c) + (b.i+ d.i)(a+ c) + (b+ d)i(a+ b,1), c+ (a+ b.i)d.iac+ b.i.c+ a.d.i+ b.i.d.iac+ be.i+ ad.i+ bd.i2(ac− bd) + (be+ ad).iResumiendo, las siguientes reglas para la adición y multiplicación se deben tener en

C:(a+ b.i) + (c+ d.i) = (a+ c) + (b+ d).i(a+ b.i).(c+ d,1) = (ac− bd) + (ad+ be).iLa discusión anterior nos da la clave para definir la estructura de los números

complejos, como lo haremos en la siguiente sección.

2.8.2. El Sistema de los Números Complejos;

Comenzamos definiendo los elementos de (C como símbolos de la forma a+ bi dondea y b son números reales. En terminología conjuntista C se escribe así:

C = {a+ bi | a, b ∈ R}A los elementos de C los llamaremos números complejos. Al número a, en el símbolo

a+ bi, lo llamaremos parte real del complejo y al número b parte imaginaria del complejo.Para simplificar la escritura de algunos números complejos utilizamos la convención

a+ (−b)i = a− bi.Diremos que dos números complejos son iguales si sus partes reales e imaginarias

respectivas son iguales. Simbólicamente

a+ b.i = c+ d.i sii a = c y b = d

Para conformar el sistema de los números complejos, dotamos al conjunto C de lasoperaciones de adición (+) y multiplicación (.) definidos antes.El conjunto de números reales se puede ver como un subconjunto de los números

complejos utilizando la siguiente identificación:


a+ 0,1 ≡ a

Estas identificaciones hacen compatible las operaciones entre los sistemas (R,+, .) y(C,+, .) en el siguiente sentido:Si a+ 0.i ≡ a y b+ 0.i ≡ b, entonces(a+ 0.i) + (b+ 0.i) ≡ a+ b y (a+ 0.i).(b+ 0.i) ≡ a.b.En efecto(a+ 0.i) + (b+ 0.i) = (a+ b) + 0.i (Definición suma de complejos)

≡ a+ b (Por la identificación).y(a+ 0.i).(b+ 0.i) = (a.b) +O.i (Definición producto de complejos).

= a.b (Por la identificación).La estructura algebraica de los números complejos es la misma que la de los números

reales. Es decir, que la adición y multiplicación de los números complejos son conmutativasy asociativas, que la multiplicación distribuye a la adición, que hay elementos neutros paraambas operaciones y que todos los complejos tienen recíproco y opuesto.Sin embargo, el sistema de números complejos no tiene un orden que sea compatible

con las dos operaciones, como lo tiene el sistema de números reales, Si así lo fuera, setendría que i2 > 0 (el cuadrado de todo número es positivo, hecho que se deduce de laspropiedades de orden), es decir −1 > 0, lo que es una contradicción.Veamos ahora algunas de las propiedades de la multiplicación y la adición de complejos.

Dejamos el resto de ellas como ejercicio.El elemento neutro para la adición es 0 y para la multiplicación es 1. En efecto:

(a+ bi) + 0 = (a+ bi) + (0 + 0i) (Por la identificación).= a+ bi (Por la definición de la adición).

y,(a+ bi),1 = (a+ bi).(1 + 0.i) (Por la identificación).= ((a× 1)− (b× 0)) + ((b× 1) + (a ×0))i (Por definición de la multiplicación).= a+ bi.

El estudiante también puede comprobar que el inverso aditivo −(a+ bi), del complejoa+ bi, es −a− bi. Por lo tanto la resta de números complejos se puede definir así:

(a+ bi)− (c+ di) = (a+ bi) + [−(c+ di)]

Por ejemplo

(4 + 3i)− (5 + 2i) = (4 + 3i) + [−(5 + 2i)]= (4 + 31) + (−5 + (−2)i)= (4− 5) + (3− 2)i = −1 + iPor último, con las definiciones que hemos dado, veamos que i2 = −1 :i2 = (0 + 1.i)2 = (0 + 1.i).(0 + 1.i)


= (0× 0− (1× 1)) + (0× 1 + 1× 0).i= −1 + 0.i

= −1Para ejemplificar los cálculos en el sistema (C,+, .) de los números complejos

efectuemos las siguientes operaciones:

a) (5 + 2i) + (3− 4i),b) (2 + 1i)2,

c) 6.(5 + 2i)

d) (4 + 3i),5i.

a) (5 + 2i) + (3− 4i) = (5 + 3) + (2− 4)i = 8− 2ib) (2 + i)2 = 22 + 2× 2× i+ (i)2 = 4 + 4i− 1 = 3 + 4i.c) 6.(5 + 2i) = 6× 5 + 6× 2i = 30 + 12id) (4 + 3i),5i = 4× 5i+ 3i× 5i = 20i+ 15i2 = −15 + 20i.

Para comprobar la existencia del inverso multiplicativo introduciremos en la siguientesección el concepto de conjugado de un número complejo. Aunque este concepto no esestrictamente necesario para tal efecto, facilitará los cálculos de inversos y cocientes.

Conjugados y Recíprocos.

Dado un número complejo a + bi, definimos su conjugado a+ bi como el númerocomplejo a− bi.Simbólicamente:

a+ bi = a− bi

El conjugado de un número complejo nos servirá para calcular inversos, ya que elproducto de un número complejo por su conjugado es un número real. En efecto:(a+ bi).(a+ bi) = (a− bi).(a+ bi)

= (a2 + b2) + 0.i= a2 + b2

De aquí que, si a+ bi 6= 0 (es decir a 6= ó b 6= 0) entonces1

a2+b2

¡a+ b.i

¢. (a+ b.i) = 1


Por consiguiente el recíproco de a+ bi, si a+ bi 6= 0, que anotamos (a+ bi)−1 ó 1a+bi

,vendrá dado por

(1.26) 1a+bi

=¡

1a2+b2

¢(a− bi)

Conociendo el inverso de un número complejo distinto de cero, podemos definir elcociente de números complejos:

(1.27) a+bic+di

= (a+ bi).(c+ di)−1, c+ di 6= 0Explícitamente

a+bic+di

= (a+ bi).(c+ di)−1

= (a+ bi). 1c2+d2

(c− di)

= (a+ bi).¡

cc2+d2

− dc2+d2

.i¢

= ac+bdc2+d2

+ bc−adc2+d2

i

Veamos los siguientes ejemplos.Si queremos calcular 1

4+7i, basta aplicar la fórmula general para inversos (1.26) así:

14+7i

= 142+72

(4− 7i)= 1

65(4− 7i)

= 465− 7

65i

Por otro lado, también, podernos efectuar el cálculo así:1

4+7i= 1

4+7i.4−7i4−7i (Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado).

= 4−7i(4+7i)(4−7i)

= 4−7i42+72

(Propiedad del conjugado).= 4

65− 7

65i

Calculemos ahora 7−i3+5i

. Por definición de cociente entre complejos (1.27) se tiene que:7−i3+5i

= (7− 2i).(3 + 5i)−1= (7− 2i). 1

32+52(3− 5i)

= (7− 2i). ¡ 334

534i¢

= 1134− 41

34i

El estudiante puede hacer el mismo cálculo multiplicando numerador y denominadorpor el conjugado de 3 + 5i.Por último señalamos algunas propiedades del conjugado que consignamos en el

siguiente Teorema. Para simplificar la notación de los números complejos escribiremosz en lugar de a+ bi.

Teorema 16: Si z y w son números complejos entonces:

a) z + w = z + w

b) z.w = z.w

c)¡zw

¢= z

w


d) z = z si y solo si z es real.

Vamos a demostrar la parte d). El resto lo dejamos como ejercicio.Sea z = a+ bi y supongamos que z = z, es decir, a+ bi = a− bi. Sumando a ambos

lados de la igualdad el opuesto de a− bi obtenemos 2bi = 0. Por lo tanto b = 0 y z = aque es un número real.La otra implicación es evidente ya que si z es real,z = a+ 0i = a− 0i = z.Hemos construido un sistema (C, +, .) con las mismas propiedades formales que el

sistema (R, +, .) pero que no tiene la limitación del último. Es decir que en (C, +, .)podemos encontrar soluciones a todas las ecuaciones de la forma xn = a como lo veremosen la Unidad 3.2.

2.8.3. Representación Geométrica de los Números Complejos.

Ya hemos visto que los números reales se pueden representar por medio de puntos enla recta. También es posible tener una representación análoga para los números complejossólo que en lugar de una recta utilizaremos un plano con un sistema de coordenadascartesianas rectangulares.Observemos ante todo que todo número complejo a+bi determina un par ordenado de

números reales (a, b) y recíprocamente. Recordemos también que a todo punto P del planocoordenado le corresponde un par ordenado de números reales y viceversa. En consecuenciaa todo número complejo a+ bi le podemos asignar el punto P (a, b) con coordenadas (a, b)del plano coordenado y viceversa. Para subrayar esta asignación llamamos plano complejoal plano coordenado, en lugar de plano xy, el eje x lo llamaremos eje real y al eje y ejeimaginario..

b

a

Eje Imaginario

P(a b)= a+ bi

x

y


En esta representación geométrica de los números complejos, las operaciones de adicióny sustracción tienen una interpretación sencilla. Si dos números complejos z1 y z2 losrepresentamos mediante flechas que unen el origen con el punto z1 y z2, respectivamente,entonces la suma z1+z2 está determinada por la ley del paralelogramo. Es decir, la flechaque une el origen con z1 + z2 es una diagonal del paralelogramo determinado por 0, z1 yz2 . De la misma manera,la flecha de z1 a z2 es paralela y de igual longitud que la flechaque une a 0 con z2 − z1. La flecha en el sentido opuesto se relaciona de la misma formacon z2 − z1.

Recordemos que en la Unidad 1.4 definimos el concepto de valor absoluto |a| de unnúmero real a y observamos que geométricamente, |a| es la longitud del segmento APdonde A es el punto de referencia y P el punto con coordenada a en la recta numérica.Generalizamos este concepto a los números complejos definiendo el módulo |z| de unnúmero complejo z.De acuerdo con la interpretación que le dimos a los complejos para ver geométricamente

la adición y la sustracción, ésto lo podemos hacer así:

Módulo de z = longitud de la flecha de 0 a z

Si z = a + bi, la longitud de la flecha de 0B la podemos calcular usando el Teoremade Pitágoras, puesto que el triángulo OAB es rectánglo. Así se tiene que:

|z| = √a2 + b2


b a

P(a b)= a+ bi

x

y

O A

B

Veamos ahora que si calculamos el módulo |a| de un número real a (visto como númerocomplejo) éste coincide con el valor absoluto. En efecto, por la identificación que hemoshecho, a = a+ 0.i, entonces

|a| = √a2 + b2 (Definición de módulo)=√a2

= |a| (Teorema 13, Unidad 1.5)

Ahora veamos algunos ejemplos. Calculemos los módulos de 6 + 2.i, 3i y 5.

|6 + 2.i| = √62 + 22 = √40 = 2√10|3i| = |0 + 3i| = √02 + 32 = √9 = 3|5| = |5 + 0i| = √52 + 02 = √25 = 5

Al igual que el valor absoluto, el módulo tiene propiedades importantes queconsignamos en el siguiente Teorema.

Teorema 18: Si z y w son números complejos, entonces

a) |z| ≥ 0b) |z − w| = |w − z|c) |z.w| = |z|.|w|

d) | zw| = |z|

|w|

e) |z + w| ≤ |z|+ |w|f) z.z = |z|2


Vamos a demostrar la parte f). El resto lo dejamos como ejercicio.Sea z = a+ bi, entoncesz.z = (a+ bi)(a− bi) = (a2 + b2) + (ab− ab)i

= a2 + b2 =¡√

a2 + b2¢2

= |z|2

Para terminar, veamos los siguientes ejemplos de representación geométrica. Represen-temos geométricamente el conjunto de los z que hacen válida la igualdad |z−2i| = |z−2|.La solución la podemos interpretar como todos los puntos en el plano complejo que equidis-tan de 2i y de 2. Así, serán todos los puntos que están sobre la mediatriz del segmentoque une a 2i con 2.

2 i

2

Mediatriz

Representemos ahora el conjunto de los z que hacen válida la desigualdad |z| < 3. Esdecir, debemos representar todos los puntos del plano complejo cuya distancia al origenes menor que 3. Así, obtenemos un círculo con centro en 0 y radio 3 sin incluir los puntosdel borde.


x

y

3

3i

Ejercicios.En los ejercicios 1 a 10 responda verdadero o falso justificando su respuesta.

1. La suma de dos números complejos no siempre es un número complejo.

2. La multiplicación de dos números complejos no siempre es un número complejo.

3. El conjugado de un número complejo es el opuesto de éste.

4. El conjugado de un número complejo es el recíproco de éste.

5. Para todo número complejo z y todo número real a, az = az.

6. Para todo número complejo z y todo entero positivo n, zn = (z)n.

7. Para todo número complejo z, z = z

8. Para todo número complejo z, |zn| = |z|n

9. El recíproco de un número complejo z = a+ bi es 1a+ 1

bi.

10. El módulo del recíproco de un número complejo es el recíproco de su módulo.

11. Efectúe las siguientes operaciones entre números complejos:

a) (5 + 2i) + (7− i)

b) (7 + 2i) + (−8− 5i)c) −(3 + 3i)− (−5− 7i)d) (a+ bi) + (a− bi)

e) (a+ bi)− (a− bi)

12. Efectúe las siguientes operaciones entre números complejos.


a) (4 + 3i).(−3 + i)

b) (3− 6i).(2 + i)

c) 6i.(13 + 5i)d) (3 + 2i)2

e)¡−1

2− 3

2i¢3

f) i23

13. Encuentre los valores de x e y para que las siguientes igualdades seanválidas:

a) 5x+ 6i = −8 + 2yib) 7− 4yi = 9x+ 3ic) i(2x− 4y) = 4x+ 2 + 3yid) 2(x+ y) + (3x− 4y)i = (x− 2) + (2y − 5)i14. Demuestre que la adición y multiplicación de números complejos son

conmutativos y asociativos, que la multiplicación distribuye la adición.15. Efectúe los siguientes cálculos entre números complejos:a) 1

3+2i

b) 76−6i

c) 1(1+i)3

d) 1(3+2i)2

e)¡15i

¢316. Efectúe los siguientes cálculos entre números complejos.a) 6+4i

1−5ib) 4+3i

−1+2ic) 10+9i

−3id) 2−3i

1+i+ 7+4i

3+5i

e) 110−i + 5i

17. Calcule el módulo de los siguientes números complejos:a) 4 + 2ib) (1 + i)2

c) 8id) 1− i

e) 5 + 8if) −15ig) −6− 7ih) i7

i) 7


18. Represente geométricamente los siguientes complejos;a) 3− 4ib) 3− 5ic) −(3− 6i)d) −5− 3ie) −2 + 6if) (−3i)(2− i)

g) 4(1 + 2i)h) 4 + 2ii) 1 + i

19. Encontrar todos los números complejos que satisfacen cada una de lassiguientes igualdades:

a) 5z + 3i = 2iz + 4b) 2iz − 6 = 9i+ 2c) (z − 2i)2 = (z + 3i)2d) z(z + 41) = (z + 1)(z − 3i)20. Compruebe las siguientes afirmaciones:a)

√22+√22i, es una raíz cuadrada de i.

b)√32+¡12

¢i, es una raíz sexta de −1

c) 1, −12+³√

32

´i, −1

2−³√

32

´i, son raíces cúbicas de 1.

21. Demuestre los teoremas 16 y 18 de esta Unidad.22. Represente geométricamente el conjunto de los z que hacen válidas las

siguientes igualdades:a) |z| = 3b) |z − 3| = |z + 2|c) |2z + 4i| = 1d) z = z

e) z = −z23. Represente geométricamente el conjunto de los z que hacen valídalas

siguientes desigualdades:a) |z| ≤ 5b) |z| > 2c) |z − 1| < 1d) |z − 6i| > 4e) |2z + 3| ≤ 2

Capítulo 3

ALGEBRA

3.1. EL OBJETO DEL ÁLGEBRA

El Algebra se desarrolló a partir de las propiedades de las operaciones de la aritmética.El estudio de la aritmética comienza con la suma, la resta, la multiplicación y la divisiónde números, tales como

520 + 35, 48− 50, 72× 41, 60÷ 4.En álgebra se introducen letras u otros símbolos: a, b, x, y, w, etc. para denotar

números arbitrarios y con frecuencia se consideran expresiones generales, en lugar decasos especiales, como

a+ b, x− y, z × w,α÷ β

En el contexto matemático, la terminología del algebra es útil para abreviar ysimplificar la escritura de algunas expresiones largas y complicadas del lenguaje idiomáticoy para escribir la generalización de algunas situaciones y expresiones específicas.Para ilustrar ésto, recordemos que

4.(3 + 5) = 4,3 + 4,5, 7.(2 + 9) = 7,2 + 7,9, etc.

ejemplos que nos muestran la propiedad distributiva del producto sobre la suma denúmeros, la cual puede enunciarse así: dados tres números cualesquiera, el producto delprimero por la suma de los otros dos es igual a la surna de los productos del primeropor el segundo y del primero por el tercero. Esta larga descripción puede ser reducida yentendida fácilmente por medio de la expresión que ya utilizamos en el Capítulo 1,

x.(y + z) = x.y + x.z,

donde x, y y z denotan números arbitrarios.Una característica importante del lenguaje algebraico es que en una expresión como

la anterior las letras pueden ser cambiadas sin que cambie el significado de la expresión.Así por ejemplo la expresión

175

176 3. ALGEBRA

a.(b+ c) = a.b+ a.c

donde a, b y c denotan números arbitrarios, expresa exactamente lo mismo que laexpresión anterior.Algunos fórmulas usadas en la ciencia, la industria y otras ramas del saber y del

quehacer de la humanidad nos ilustran la generalidad del álgebra. Por ejemplo, si unautomóvil se desplaza a razón de 80 kilómetros por hora durante 2 horas, entonces ladistancia que recorre será

80× 2 = 160 kilómetrosAhora, si la velocidad es de 120 kilómetros por hora y el tiempo transcurrido es de 3

horas, entonces la distancia recorrida es120× 3 = 360 kilómetrosSi introducimos símbolos y denotamos con la letra V la razón constante, con la letra

T el tiempo transcurrido y con letra D la distancia recorrida, entonces, los dos ejemplosanteriores son casos especiales de la fórmula general, sustentada en la física,

V × T = D

Cuando se dan valores numéricos a V y a T , la distancia D puede ser calculadasustituyendo adecuadamente en la fórmula. Además, la fórmula se puede usar para resolverproblemas relacionados. Así por ejemplo, si la distancia entre dos ciudades es de 450kilómetros y deseamos conocer la velocidad constante a la cual un automóvil recorreríadicha distancia en un tiempo de 3 horas , entonces tenemos

D = 450 kilómetros y T = 3 horas

y el problema se reduce a calcular V . Ya que V × T = D, entonces

V = DT

(2,2)

y de esta última fórmula se tiene, en nuestro caso concreto,

V = 4503= 150 kilómetros/hora

es decir, si un automóvil se desplaza a razón de 150 kilómetros por hora, entoncesrecorrerá 450 kilómetros en 3 horas.Debe destacarse también que una fórmula como la (2.2) es en sí una relación numérica

abstracta en la cual se exige que T sea diferente de cero. Con esto queremos decir queella puede representar, en un momento dado otra situación. Por ejemplo, la ley de Boyleestablece que, .a temperatura constan te, el volumen que ocupa una cantidad fija de gas,es inversamente proporcional a la presión aplicada". Usando terminología algebraica estaley se puede expresar escribiendo la fórmula (2.2), si convenimos que en ella la letra Vdenota el volumen del gas en unidades cúbicas, la letra T la presión en unidades de fuerzapor unidad de área y la letra D denota la constante de proporcionalidad.En general en álgebra se consideran expresiones tales como

3.1. EL OBJETO DEL ÁLGEBRA 177

2 + 3x+ 2x2 + 7x3 − 5√2x75xy3+2yzx2+1

3√

xy2−3πsen(π/8)w3senx+cosx−7

s = s0 + v0t+12gt2

etc, las cuales pueden representar, en un momento determinado, situaciones específicas.En el álgebra se estudian en abstracto tales expresiones, sus propiedades y susinterrelaciones. Así por ejemplo, en álgebra se establece que las soluciones de la ecuaciónde segundo grado en la incógnita x,

ax2 + bx+ c = 0,

están dadas por

s1 =−b+√b2 − 4ac

2a

s2 =−b−√b2 − 4ac

2a

y que éstas son: reales e iguales, reales y diferentes ó complejos, según si el número(discriminante de la ecuación)

M= b2 − 4ac

es cero, positivo o negativo, respectivamente. Además, se establece que

s1 + s2 = − b

a

y

s1.s2 =c

a

sin interesarnos en lo que estas soluciones y sus propiedades puedan repre sentar enuna situación específica. Consecuentemente, este estudio nos permite resolver algunosproblemas concretos.Supongamos por ejemplo que un automóvil sale de la ciudad de Cali hacia la ciudad

de Bogotá a las 10 de la mañana con una velocidad constante de 60 kilómetros por horay que a los 30 minutos sale otro automóvil por la misma ruta a una velocidad constantede 150 kilómetros por hora y deseamos calcular la hora y la distancia recorrida por losdos automóviles en el momento en que el segundo pasa al primero, si es que lo pasa.Haciendo uso de la fórmula (2.1) con la salvedad de que denotamos por V1,T1 y D1

los datos referentes al primer automóvil y por V2, T2 y D2 los datos referentes al segundoautomóvil, se tiene

178 3. ALGEBRA

V1 × T1 = D1 (2.1)’V2 × T2 = D2 (2.1)”

Para resolver el problema debemos interrelacionar las fórmulas anteriores.Ahora bien, en el momento en que el segundo auto pasa al primero, la distan cia

recorrida por los dos es igual y por tanto D1 = D2. De aquí que

V1 × T1 = V2 × T2

ya que el segundo auto salió 30 minutos después que el primero, en ese mismo momentose tiene

T1 = T2 + 0,5 horas,

Reemplazando T1 de la última fórmula en la penúltima fórmula se llega a

V1 × (T2 + 0,5) = V2 × T2

fórmula que expresa lo mismo que las siguientes:

V1 × T2 + V1 × 0,5 = V2 × T2,V1 × T2 − V2xT2 = −V1 × 0,5(M1 − V2)× T2 = −V1 × 0,5

T2 =−V1×0,5V1−V2

Reemplazando en la ultima fórmula los datos numéricos correspondientes a V1 y a V2se llega a

T2 =−60×0,560−150 =

13hora,

es decir, el segundo auto se ha desplazado durante 20 minutos cuando pasa al primero.O sea, el segundo auto pasa al primero a las 10 y 50 minutos de la mañana. Paracalcular la distancia que deseamos basta sustituir en la fórmula (2.1)"los datos numéricoscorrespondientes a V2 y a T2. Haciendo ésto se llega a

150× 13= D2,

o sea,

50 = D2 .

Esto quiere decir que cuando el segundo auto pasa al primero, ambos han recorridouna distancia de 50 kilómetros.Es pues esencial contar con una base sólida en álgebra para un buen desempe ño en los

cursos avanzados de matemáticas, ciencias naturales, ingeniería, etc. Naturalmente, todasituación que requiera de procesos numéricos puede servirse de los métodos del álgebra.Desde luego, debemos mencionar que el álgebra a su vez tiene otras subramas, como porejemplo, la llamada álgebra lineal. En esta presentación sólo nos ocuparemos de la parteelemental que el estudiante debe conocer después del bachillerato.

3.2. EXPRESIONES MATEMÁTICAS VARIABLES 179

3.2. EXPRESIONESMATEMÁTICASVARIABLES

Una variable es un símbolo que se usa para representar los elementos de un conjuntodado. Al conjunto mencionado se le llama dominio de la variable. Generalmente lossímbolos que se usan para denotar variables, cuando su dominio es un conjunto denúmeros, son letras.Al combinar números y variables mediante operaciones de tipo numérico, obtenemos

expresiones que llamaremos expresiones matemáticas variables o simplemente expresionesvariables. Por ejemplo, la que sigue es una expresión variable

7x− 2y + 2x + log10 10.x2;x ∈ (0,∞) , y ∈ R

Cuando en una expresión variable le asignamos valores explícitos a las variables, desus respectivos dominios, y efectuamos las operaciones indica das, el número obtenidose llama valor numérico de la expresión variable para los valores explícitos dados. Porejemplo, si en la expresión variable anterior le asignamos a las variables x y y los valores10 y 1 respectivamente, encontramos que la expresión variable toma el valor numérico1095, pues

7× 10− 2× 1 + 210 + log10 103 = 1095

Así mismo, si le asignamos a las variables x y y los valores 1 y 7 respectivamente,encontramos que la misma expresión variable toma el valor numérico −4, pues

7× 1− 2× 7 + 21 + log1010,1 = −4

Cuando se escribe una expresión variable debe estar claro explícitamente oimplícitamente cual es el dominio de cada una de sus variables. En la práctica, el dominiode cada una de las variables de una expresión variable está determinado por las condicionesque se le impongan o por lo que ellas representen en el contexto en que se estén usando.Cuando no se da explícitamente el dominio de cada una de las variables, es por que

éstos son obvios a partir del significado de las variables o bien porque se supone que lasvariables pueden tomar todos los valores que hagan que las expresiones tengan sentido enR.En los siguientes ejemplos se ilustran estas observaciones.En la expresión variable

4x3+2y2

x4+7− 5.√

x2y2

3x; x, y ∈ R

aparece explícitamente el dominio en que se consideran cada una de sus variables.Si la expresión variable

x2y

180 3. ALGEBRA

está representando el volumen de una caja de base cuadrada de lado x unidades delongitud y altura y unidades de longitud, entonces se sobrentiende que x, y ∈ (0,∞)En la expresión variable

3√x+1

+ log¡x− 3

2

¢no aparece explícitamente el dominio de su única variable. En este caso, para que la

expresión tenga sentido en R debe tenerse quex + 1 > 0 y x − 32> 0 (¿Porqué?) o sea

x > −1 y x > 32. En consecuencia se sobre entiende que el dominio de la variable x es el

conjunto (32,∞).

En el cálculo algebraico con frecuencia es necesario reemplazar expresiones variablespor otras que se definen como equivalentes. Una expresión varia ble se dice que esequivalente a otra, si sus variables se consideran en los mismos dominios y ambasexpresiones toman iguales valores numéricos para todos los valores numéricos que asumansus variables. Por ejemplo, debe ser claro que la expresión x2 − y2 es equivalente a laexpresión variable (x − y).(x + y), pues sus valores numéricos son iguales independientemente de los valores que asuman x y y en sus dominios. Consecuentemente se puedeescribir

x2 − y2 = (x− y)(x+ y)

igualdad que se cumple para cualquier par de números x y y en el conjunto de losnúmeros reales el cual es el dominio implícito de ambas variables.

Asimismo, la expresión x√x;x ∈ (0,∞) es equivalente a la expresión √x;x ∈ (0,∞) y

por lo tanto se puede escribir

x√x=√x;x ∈ (0,∞)

De otro lado, las expresiones variables x + y y x − y no son equivalentes, pues siasignamos a las variables x y y los valores numéricos 4 y 6 respectivamente, encontramosde una parte que x+ y = 4 + 6 = 10 y de otra parte que x− y = 4− 6 = −2.

Observe que para comprobar que dos expresiones variables, con iguales varia bles, noson equivalentes, basta con demostrar que existen valores de las variables, en sus dominios,para los cuales los valores numéricos que toman las expresiones no son iguales.Sobre el concepto de expresiones variables equivalentes volveremos en la unidad

correspondiente a ecuaciones.


3.2.1. Tipos de Expresiones Variables

Expresiones variables particularmente importantes que el estudiante conoce delbachillerato son las expresiones algebraicas. Una expresión variable es algebraica si seobtiene combinando números y variables mediante un numero finito de las operacionesaritméticas: suma, resta, producto, división y radicación.A continuación damos ejemplos de expresiones algebraicas

2 + 3x− 5x3 + 8πx10,3xy3 + 2πx−2 − 21√z,(log3)xy

5√z2 − 3 cos

¡π8

¢3πzw2

Ciertas expresiones algebraicas tienen nombres especiales.Dada una colección finita de variables, por ejemplo x, y y z, un monomio (un sólo

término) en x, y y z es una expresión de la forma

axnymzt

donde a es un número no nulo y n,m y t son números naturales. Al número a se lellama coeficiente de xnymzt.Un polinomio en x, y y z es cualquier suma finita de monomios en x, y y z. La expresión

algebraica

7x3y2z3 − 5√2x3yz + 3√32− cos(π/6)yz

es un polinomio en x, y, z.Asimismo la expresión algebraica

4xw − 7x3w2 + 56w3 − (log10 2)xw5

es un polinomio en x,w.

Entre los polinomios son particularmente importantes los llamados polinomios en unavariable. Un polonimio de grado n en la variable x es una expresión de la forma

a0 + a1x+ a2x2 + ...+ an−1xn−1 + anx

n,

donde n es un número natural y los a1,i ∈ {0, 1, 2, 3, ..., n} son númeroscon an 6= 0En la definición anterior, cada una de las expresiones

aixi

182 3. ALGEBRA

es un término del polinomio. Si el coeficiente ai es cero, el término aixi no se escribe.Llamaremos polinomio nulo a la expresión 0 y no le asignamos grado.Damos a continuación algunos ejemplos de polinomios en una variable5i+ 2x+ 7x3 − 32x4 (grado 4)21z − 3z3 + 8z5 − 7cos(n/3)z6 (grado 6)(3 + i)w + w2 −√3w3 (grado 3)(4 + 2i) (grado 0)1 (grado 0)0 (no se le asigna grado)

Otro tipo de expresión algebraica a destacar son las expresiones racionales.Una expresión algebraica es racional si es el cociente de dos polinomios. Las siguientes

son expresiones racionales:

3+2x+x3−7x5x2+3x3−x72xy3z−3√2zw2+7zwx

como la expresión

1

es un polinomio de grado 0, entonces todo polinomio es una expresión racional. Asipor ejemplo, el polinomio

2− 5x+ 8x7

es una expresión racional, pues

2− 5x+ 8x7 = 2−5x+8x71

A las expresiones variables que no son algebraicas se les llama trascendentes Sonejemplos de expresiones trascendentes las siguientes:

senx+ 72x − 5x3log(z2 + 1),1 + x+ x2 + x3 + ...+ xn + ...cos 3x

En general al cociente de dos expresiones variables se les llama fraccionarias. Enparticular, las expresiones racionales son fraccionarias,Otros ejemplos de expresiones fraccionarias son

3√xy−7πx7w

4(x+1)

x2+2−7w3

senxcosx+33x+x7+log(x2+1)

5√xy+8

Nota : Se suele decir que una expresión variable como


(senx)(cosx) +√2(senx) + 5(senx)2 + 7(senx)3(cosx)7

es un polinomio trigonométrico en senx y cosx , pues si en ella hacemos z = senx yw = cosx, se obtiene la expresión.

zw +√2z + 5z2 + 7z3w7

que es un polinomio en z, w.Similarmente se dice que una expresión variable como

32

√xy + (

√xy)3 − 7π(√xy)7 − 4

6(√xy)8

es un polinomio algebraico en√xy, pues si en ella hacemos z =

√xy, obtenemos la

expresión32z + z3 − 7πz7 − 4

6z8

que es un polinomio en z.Asimismo se suele decir que la expresión fraccionaria

senx+ senx cosx+ 7

7π + (senx)2(cosx)3 + (cosx)5

es una expresión racional en senx y cosx, pues si en ella hacemos z = senx y w = cosx,obtenemos la expresión

z + zw + 7

7π + z2w3 + w5

que es una expresión racional en z, w.

3.2.2. Operaciones con Expresiones Variables

Puesto que una expresión variable y sus respectivas variables son símbolos que repre-sentan números, es posible definir operaciones entre expresiones variables considerándolascomo operaciones entre los números que representan. Se puede, por lo tanto, sumar, restar,multiplicar y dividir expresiones variables, estableciendo a veces ciertas restricciones enlos dominios de sus variables, mediante la aplicación de las propiedades de las operacionesentre números establecidas en el Capítulo 1.Estas operaciones ya están implícitas en los ejemplos de expresiones equivalentes dadas

anteriormente. Así, por ejemplo, si realizamos la multiplicación entre las expresiones x+yy x− y, considerando a x y a y como números y aplicando las propiedades que rigen susoperaciones, se puede escribir(x+ y)(x− y) = x(x− y) + y(x− y)

= x2 − yx+ yx− y2

= x2 − xy + xy − y2

= x2 − y2

lo que viene a ser una demostración de la equivalencia entre ambas expresiones.De manera semejante, si multiplicamos las expresiones x√

xy

√x√x, x ∈ (0,∞),

considerando a x como un número arbritrario positivo, se puede escribir

184 3. ALGEBRA

x√x=

x√x

√x√x=

x√x

x=√x

igualdades que son válidas para cualquier valor que tome x en el conjunto(0,∞) y que vienen a demostrar las equivalencias entre las expresionesque aparecen en los extremos de la anterior cadena de igualdades.En lo que sigue estudiaremos algunos casos particulares de operaciones entre

expresiones variables que son de importancia.

3.2.3. Suma y Resta de Polinomios

En los siguientes ejemplos hacemos uso de las propiedades conmutativas y asociativade la suma de números y la propiedad distributiva del producto sobre la suma de números.Si se quiere encontrar la suma de los polinomios en x

4 + 3x− 5x2 + 7x3 −√2x5 (grado 5)y

3x3 − 8x4 +√2x5 (grado 5)se aplican las propiedades mencionadas, para obtener¡4 + 3x− 5x2 + 7x3 −√2x5¢+ ¡3x3 − 8x4 +√2x5¢= 4 + 3x− 5x2 + 7x3 + 3x3 − 8x4 −√2x5 +√2x5= 4 + 3x− 5x2 + (7 + 3)x3 − 8x4 + ¡−√2 +√2¢x5= 4 + 3x− 5x2 + 10x3 − 8x4 (grado 4)Como otro ejemplo encontremos la suma de los polinomios en x5 + (2 + 3i)x− 3x3 + 8x4 − (7 + i)x5 (grado 5)y(3− i)− 5ix+ 3x4 (grado 4)Como en el ejemplo anterior, se tiene[5 + (2 + 3i)x− 3x3 + 8x4 − (7 + i)x5] + [(3− i)− 5ix+ 3x4]= [5 + (3− i)] + [(2 + 3i)− 5i]x+ (8 + 3)x4 − (7 + i)x5 − 3x3= (8− 1) + (2− 2i)x+ 11x4 − (7 + i)x5 − 3x3Los dos ejemplos anteriores ilustran el hecho de que la suma de dos polino mios en

x se puede obtener sumando coeficientes de la misma potencia de x. Además, ilustran lasiguiente regla general: el resultado de la suma de dos polinomios en x es un polinomioen x de grado menor o igual que el máximo de los grados de los sumandos. Esto es, dadoslos polinomios en x

a0 + a1x+ a2x2 + ...+ an−1xn−1 + anx

n, (grado n)

y

b0 + b1x+ b2x2 + ...+ bm−1xm−1 + bmx

m, (grado m)

Si n ≥ m, entonces, la suma de ellos está dada por el polinomio


(a0 + b0) + (a1 + b1) x+ (a2 + b2)x2 + ...+ (ak + bk)x

k (grado k)

donde

k ≤ n

De manera semejante se suman polinomios en varias variables.Sumemos los polinomios

4 + 3x2y3z − 5xy + 8z + 7z3

y

7− 4x2y3z + 4z − 8w2.

Como los ejemplos anteriores, se tiene(4 + 3x2y3z − 5xy + 8z + 7z3) + (7− 4x2y3z + 4z − 8w2)= 4 + 7 + 3x2y3z − 4x2y3z − 5xy + 8z + 4z + 7z3 − 8w2= (4 + 7) + (3− 4)x2y3z − 5xy + (8 + 4) z + 7z3 − 8w2= 11− x2y3z − 5xy + 12z + 7z3 − 8w2Asi como la resta de números se reduce a una suma de números, la resta de polinomios

se reduce a una suma de polinomios como se ilustra en el siguien te ejemplo.La diferencia

(7 + 20x3 + 8x4)− (5− 7x2 + 14x3)

es igual a la suma

(7 + 20x3 + 8x4) + (−5 + 7x2 − 14x3)

la cual da como resultado

2 + 7x2 + 6x3 + 8x4

3.2.4. Productos de Polinomios

Para multiplicar dos polinomios usamos las leyes conmutativa y asociativa de la sumade números, las leyes conmutativa y asociativa del producto de números, la ley distributivadel producto sobre la suma de números y las leyes de los exponentes. Por ejemplo, paraencontrar el producto de los polinomios en

4 + 3x− 7x3 (grado 3)

y

2− 7x2 + x3 (grado 3)

186 3. ALGEBRA

se usan las leyes mencionadas asi:(4 + 3x− 7x3).(2− 7x2 + x3) == 4.(2− 7x2 + x3) + 3x.(2− 7x2 + x3)− 7x3.(2− 7x2 + x3)= 8− 28x2 + 4x3 + 6x− 21x3 + 3x4 − 14x3 + 49x5 − 7x6= 8 + 6x− 28x2 + (4− 21 + 14)x3 + 3x3 + 49x5 − 7x6= 8 + 6x− 28x2 − 31x3 + 3x4 + 49x5 − 7x6 (grado 6)El ejemplo anterior ilustra la siguiente regla general: el resultado del producto de dos

polinomios en x es un polinomio en x de grado igual a la suma de los grados de los factores.Esto es, dados los polinomios en x

a0 + a1x+ a2x2 + ...+ an−1xn−1 + anx

n, (grado n)

y

b0 + b1x+ b2x2 + ...+ bm−1xm−1 + bmx

m, (grado m)

su producto está dado por el polinomioa0b0 + (a0b1 + b0a1)x+ (a0b2 + b0a2 + a1b1)x

2 + ...+ anbmxm+n (grado m+ n)

Podemos observar que en el resultado anterior la ley de formación del xk coeficiente dex está dada por la suma de los productos aibi, donde i+ j = k. Por ejemplo, el coeficientede x2 es la suma de los productos a0b2, b0a2 y a1b1De manera análoga se multiplican polinomios en varias variables, como los siguientes:

w + z y w2 − wz + z2

Efectuemos la multiplicación(w + z).(w2 − wz + z2)

= w(w2 − wz + z2) + z(w2 − wz + z2)= w3 − w2z + wz2 + zw2 − wz2 + z3

= w3 − w2z + w2z + wz2 − wz2 + z3

= w3 + z3

3.3. PRODUCTOSNOTABLESYFACTORIZACIÓN

En este apartado veremos algunos productos que ocurren con frecuencia en álgebra,que suelen llamar productos notables, y el llamado proceso de factorización.Con frecuencia se nos presentan polinomios o expresiones variables en gene ral

que, por conveniencia, queremos escribir como producto de expresiones variables mássencillas. El proceso para tal efecto es llamado factoriza ción (proceso inverso de lamultiplicación) y en él los productos notables tienen un papel destacado. En las Unidadesposteriores se encontrarán pro blemas que se podrán simplificar mediante factorización.En particular, veremos la utilidad de la factorización cuando se trate de resolver ecuaciones y desigualdades o cuando se estudien funciones.

3.3. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN 187

A continuación escribimos la lista de los productos notables más usuales. En ellos lasletras representan números.(3.3.1) (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2

(3.3.2) (x− y)2 = x2 − 2xy + y2

(3.3.3) (x+ y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(3.3.4) (x− y)3 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3

(3.3.5) (x− y)(x+ y) = x2 − y2

(3.3.6) (x− y)(x2 + xy + y2) = x3 − y3

(3.3.7) (x+ y)(x2 − xy + y2) = x3 + y3

(3.3.8) (x+ α)(x+ β) = x2 + (α+ β)x+ α.βLa verificación de la igualdad (3.3.1) se realiza efectuando la multiplicación de (x+ y)

por (x+ y) tal como se indica a continuación;(x+ y)2 = (x+ y)(x+ y)

= x(x+ y) + y(x+ y)= x2 + xy + yx+ y2

= x2 + xy + xy + y2

= x2 + 2xy + y2

La verificación del resto de los productos notables queda a cargo del estudiante.Queremos enfatizar que cada una de las anteriores igualdades se usan, según lo

que se quiera, reemplazando el miembro de la izquierda por el miembro de la derecha(multiplicación) o visceversa (factorización) pues las expresiones que aparecen en éstasson equivalentes.De otro lado, dado que las letras usadas en las fórmulas anteriores representan números,

éstas pueden sustituirse por expresiones variables en general, como ilustramos con lossiguientes ejemplos. Si queremos encontrar el producto

(25a2b4 + 3c2).(25a2b4 − 3c2),

podemos usar la fórmula (3.3.5) con x = 25a2b4 y y = 3c2, para obtener(25a2b4 + 3c2).(25a2b4 − 3c2) = (25a2b4)2 − (3c2)2 = 625a4b8 − 9c4.Si queremos factorizar el polinomio

4z2w4 + 4zw2b3 + b6

en principio, usamos las leyes de los exponentes para escribir

4z2w4 + 4zw2b3 + b6 = (2zw2)2 + 2.(2zw2)b3 + (b3)2

Ahora usamos el producto notable (3.3.1) con x = 2zw2 y y = b3, para obtener4z2w4 + 4zw2b3 + b6 = (2zw2 + b3)2.Para encontrar el producto

(a13 − b

13 )[(a

13 )2 + (a

13 ).(b

13 ) + (b

13 )2]

188 3. ALGEBRA

podemos usar el producto notable (3.3.6) con x = a13 y y = b

13 , para obtener

(a13 − b

13 )[(a

13 )2 + (a

13 ).(b

13 ) + (b

13 )2] = (a

13 )3 − (b 13 )3= a− b

Factoricemos el polinomio en x de grado dos

x2 − 4x+ 3

Según el producto notable (3.3.8).x2 − 4x+ 3 = (x+ α)(x+ β) , donde los números α y β son tales que

α+ β = −4 y α− β = 3

Haciendo varios ensayos para calcular α y β se llega a que α = −1 y β = −3, es decir

x2 − 4x+ 3 = [x+ (−1)][x+ (−3)] = (x− 1)(x− 3).

Factoricemos el polinomio en x de grado dos

2x2 + x− 3

Escribiendo2x2 + x− 3 = 2

2[2x2 + x− 3]

= 12

£(2x)2 + (2x)− 6¤

y procediendo como en el ejemplo anterior, se tiene

12

£(2x)2 + (2x)− 6¤ = 1

2[(2x) + α] [(2x) + β]

donde los números α y β son tales que

α+ β = 1 y αβ = −6

Experimentando se encuentra que α = 3 y β = −2.Consecuentemente,2x2 + x− 3 = 1

2[(2x) + 3].[(2x)− 2]

= 12(2x+ 3)2(x− 1)

= (2x+ 3)(x− 1)Factoricemos el polinomio

x2 + 3xy − 10y2

Considerando la anterior expresión como el polinomio en x de grado dos

x2 + bx+ c,

donde b = 3y y c = −10y2, y procediendo como en los ejemplos anteriores, se tiene

3.3. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN 189

x2 + (3y)x+ (−10y2) = (x+ α)(x+ β).

donde α y β son tales que

α+ β = 3y y αβ = −10y2

Sin mucha dificultad se encuentra que α = 5y y β = −2y. En consecuenciax2 + 3xy − 10y2 = [x+ 5y] [x+ (−2y)]

= (x+ 5y)(x− 2y)Factoricemos el polinomio en x de grado dos

x2 + 4x− 1

Si seguimos el esquema de los ejemplos anteriores, se tiene

x2 + 4x− 1 = (x+ α)(x+ β),

donde los números α y β son tales que

α+ β = 4 y αβ = −1

Esta vez ensayando es en realidad muy difícil encontrar dichos números. En particular,podemos concluir que α y β no son números enteros. En efecto, si α y β son númerosenteros tales que

αβ = −1 ,

entonces necesariamente α = 1 y β = −1 ó α = −1 y β = 1 cualquier caso no setendría

α+ β = 4

que es la otra condición que deben cumplir los números α y β. Para factorizar elpolinomio en consideración, escribimos

x2+4x− 1 = x2+4x+4− 4− 1, (sumamos y restamos 4) con el objeto de completarun cuadrado perfecto.Así:

x2 + 4x− 1 = (x+ 2)2 − 5 = (x+ 2)2-

Usando ahora el producto notable (3.3.5), obtenemosx2 + 4x− 1 = (x+ 2)2 − (√5)2

=£(x+ 2)−√5¤ £(x+ 2) +√5¤

El polinomio ha quedado factorizado.La técnica del ejemplo anterior se puede generalizar para factorizar cualquier polinomio

de grado dos en x,

190 3. ALGEBRA

ax2 + bx+ c; a 6= 0.Para ello escribimos

ax2 + bx+ c = a

·x2 +

µb

a

¶x+

c

a

¸= a

"x2 +

µb

a

¶x+

µb

2a

¶2−µ

b

2a

¶2+

c

a

#

= a

"µx+

b

2a

¶2−µ

b

2a

¶2+

c

a

#

= a

"µx+

b

2a

¶2− b2

4a2+4ac

4a2

#

= a

"µx+

b

2a

¶2−µb2 − 4ac4a2

¶#

= a

"µx+

b

2a

¶2−¡√

b2 − 4ac¢24a2

#= a

·¡x+ b

2a

¢− √b2 − 4ac2a

¸ ·¡x+ b

2a

¢+

√b2 − 4ac2a

¸= a

·x+

b−√b2 − 4ac2a

¸"x+

b+√b2− + 4ac2a

#Esto es

ax2 + bx+ c = a (x+ α) (x+ β) , a 6= 0donde

α =b−√b2 − 4ac

2a(3.3.9)

y

β =b+√b2 − 4ac2a

(3.3.10)

Sobre la fórmula anterior volveremos en la unidad correspondiente a ecuacio nes.Si analizamos los números α y β que aparecen en la fórmula (3.3.9) podemos observar

que si el número

4 = b2 − 4ac,llamado el discriminante del polinomio correspondiente, es menor que cero, entonces

tanto α como β son números complejos. Si éste es el caso, decimos que el polinomio no sepuede factorizar en los reales. Es decir, si dado el polinomio

ax2 + bx+ c; a, b, c,∈ R,no existen polinomios de grado uno

3.4. EL TEOREMA DEL BINOMIO. NÚMEROS COMBINATORIOS 191

x+ α y x+ β,

donde α ∈ R y β ∈ R, tales que

ax2 + bx+ c = a(x+ α)(x+ β),

se dice que el polinomio no se puede factorizar en los reales. Así por ejemplo, elpolinomio

x2 + x+ 1

no se puede factorizar en los reales. Pues si usamos la formula (2.14), tenemosa = 1, b = 1 y c = 1 y por lo tanto

α =+1−√12−4,1,12,1

= +1−i√32

y

β =+1+√12−4,1,12,1

= +1+i√3

2

En este caso α y β son números complejos. De todas formas, el polinomio dado sf sepuede factorizar en los complejos, obteniéndose

x2 + x+ 1 =hx+

³+1−i√3

2

´i hx+

³+1+i

√3

2

´iEn general, el problema de la factorizacion de polinomios no es fácil y será tratado en

forma más sistemática más adelante.

3.4. EL TEOREMA DEL BINOMIO. NÚMEROSCOMBINATORIOS

Es frecuente encontrar situaciones en las que debemos calcular la potencia n-ésima dela suma de dos números a y b, (a+ b)n

El teorema del binomio, del cual los productos notables (3.3.1), (3.3.2), (3.3.3) y (3.3.4)son casos particulares, establece una fórmula para calcular la expansión de (a+ b)n.En la presentación que haremos del teorema del binomio requeriremos de los llamados

números combinatorios, los cuales se definen en términos de los símbolos 0!, n! y¡nk

¢como

también de algunas de sus propiedades. Estos símbolos representan números que sedeterminan como se indica a continuación:0! = 1 (0! se lee cero factorial)n! = 1,2,3...(n− 1).n;n ∈ N (n! se lee ene factorial)¡nk

¢= n!

(n−k)!k! ; 0 ≤ k ≤ n¡¡

nk

¢se lee n combinado k

¢Los números

¡n0

¢,¡n1

¢, ...¡

nn−1¢,¡nn

¢se suelen llamar números combinatorios de orden n.

Según lo expresado antes se tiene que:

192 3. ALGEBRA

4! = 1,2,3,4 = 24.6! = 1,2,3,4,5,6. = 720.¡

52

¢= 5!

(5−2)!2! =5!3!2!= 1,2,3,4,5

1,2,3,1,2= 10

De otro lado, de la definición del símbolo n! se tiene que:(n+ 1)! = 1,2,3...(n− 1).n.(n+ 1)

= [1,2,3...(n− 1).n](n+ 1)= n!(n+ 1),

así por ejemplo,

7! = (6 + 1)! = 6!715! = (14 + 1)! = 14!15.

Entre las propiedades más importantes de los números combinatorios están lassiguientes:(3.4.1)

¡nn

¢= 1 =

¡n0

¢;n ∈ N

(3.4.2)¡nk

¢=¡

nn−k¢;n, k ∈ N; 0 ≤ k ≤ n

(3.4.3)¡nk

¢+¡

nk−1¢=¡n+1k

¢;n, k ∈ N; 0 ≤ k ≤ n

Haciendo uso de la propiedad de los números combinatorios¡nk

¢+¡

nk−1¢=¡n+1k

¢podemos generar, en foema inductiva, a partir de lso números

¡10

¢y¡11

¢, los números

combinatorios de orden 2, 3, 4,... tal como aparece en el siguiente diagrama triangular¡00

¢ ← n = 0¡10

¢ ¡11

¢ ← n = 1¡20

¢ ¡21

¢ ¡22

¢ ← n = 2¡30

¢ ¡31

¢ ¡32

¢ ¡33

¢ ← n = 3¡40

¢ ¡41

¢ ¡42

¢ ¡43

¢ ¡44

¢ ← n = 4

......

......

Observe que la propiedad de los números combinatorios mencionada se refleja en elanterior triángulo, en el hecho de que cada número que aparece en éste se obtiene sumandolos dos números que aparecen inmediatamente sobre él, excepto los que están sobre loslados del triángulo que son siempre iguales a

¡n0

¢y¡nn

¢respectivamente.En particular, el

número¡42

¢que aparece en la fila cuarta se obtiene sumando los números

¡31

¢y¡32

¢los

cuales son los que aparecen inmediatamente sobre él,

3.4. EL TEOREMA DEL BINOMIO. NÚMEROS COMBINATORIOS 193¡31

¢+

¡32

¢¡42

¢Puesto que

¡n0

¢= 1 =

¡nn

¢para todo n = 0, 1, 2, .., calculando los números del anterior

triángulo, haciendo uso de su ley de formación, obtenemos

1 ← n = 0

1 1 ← n = 1

1 2 1 ← n = 2

1 3 3 1 ← n = 3

1 4 6 4 1 ← n = 4

......

......

En este arreglo triangular de números también se refleja la propiedad de los númeroscombinatorios ¡

nk

¢=¡

nn−k¢

pues el triángulo es "simétricorespecto de su .altura".También se observa que hay n+ 1 números combinatorios de orden n, pues en la fila

n-ésima del triángulo aparecen n+ 1 números.Volviendo al problema que nos ocupa, de encontrar una fórmula para calcular la

expansión de (a+ b)n, un cálculo directo nos muestra que:(a+ b)0 = 1 ← n = 0

(a+ b)1 = 1a + 1b ← n = 1

(a+ b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 ← n = 2

(a+ b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3 ← n = 3

(a+ b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4 ← n = 4

......

......

El matemática francés B. Pascal observó que los coeficientes que aparecen en lasexpansiones de (a+ b)n tienen cierta ley de formación y los dispuso como se indica en elsiguiente esquema, denominado el triángulo de Pascal.

194 3. ALGEBRA

1 ← n = 0

1 1 ← n = 1

1 2 1 ← n = 2

1 3 3 1 ← n = 3

1 4 6 4 1 ← n = 4

......

......

Este triángulo es precisamente el triángulo que obtuvimos al generar los númeroscombinatorios y tiene las mismas características de éste.Por lo tanto, podemos escribir(a+ b)0 =

¡00

¢(a+ b)1 =

¡10

¢a +

¡11

¢b

(a+ b)2 =¡20

¢a2 +

¡21

¢ab +

¡22

¢b2

(a+ b)3 =¡30

¢a3 +

¡31

¢a2b +

¡32

¢ab2 +

¡33

¢b3

(a+ b)4 =¡40

¢a4 +

¡41

¢a3b +

¡42

¢a2b2 +

¡43

¢ab3 +

¡44

¢b4

......

......

En general, el teorema del binomio establece que si a y b son números y n ∈ N ,entonces(a+ b)n =

¡n0

¢anb0 +

¡n1

¢an−1b1 +

¡n2

¢an−2b2 + ...+

¡nk

¢an−kbk + ...+

¡nn

¢a0bn

o lo que es lo mismo,

(a+ b)n =nP

k=0

¡nk

¢an−kbk (3.4.4)

Debe observarse que la expansión de (a+b)n tiene n+1 sumandos, los cuales se puedenordenar así: ¡

n0

¢anb0,

¡n1

¢an−1b,

¡n2

¢an−2b2, ...,

¡nn

¢a0bn

Consecuentemente, podemos decir que el término k+1 de la expansión de (a+ b)n es¡nk

¢an−kbk

3.5. OPERACIONESCONEXPRESIONESRACIONALESYVARIABLES ENGENERAL195

Asi por ejemplo, la expansión de (a+b)20 tiene 21 sumandos y el término 17 está dadopor¡

2016

¢a20−16b16 = 20!

(20−16)!16!a20−16b16

= 20!4!16!

a4b16 = 4845a4b16

Como un ejemplo de la aplicación del teorema del binomio, hagamos la expansión de(x2 + y−3)5, y 6= 0.(x2 + y−3)5 =

5Pk=0

¡5k

¢(x2)

5−k(y−3)k

=¡50

¢(x2)

5(y−3)0+

¡51

¢(x2)

4(y−3)1+

¡52

¢(x2)

3(y−3)2+

¡53

¢(x2)

2(y−3)3+

¡54

¢(x2)

1(y−3)4+¡

55

¢(x2)

0(y−3)5

=¡50

¢x10 +

¡51

¢x8y−3 +

¡52

¢x6y−6 +

¡53

¢x4y−9 +

¡54

¢x2y−12 +

¡55

¢y−15

= x10 + 5x8y−3 + 10x6y−6 + 10x4y−9 + 5x2y−12 + y−15

3.5. OPERACIONESCONEXPRESIONESRACIONALESY VARIABLES EN GENERAL

Puesto que las expresiones fraccionarias son cocientes que contienen símbolos querepresentan números, pueden aplicarse las propiedades de las fracciones reales que sevieron en el Capítulo 1. En problemas de simplificación es de particular importancia lasiguiente formula, ya vista en el Capítulo 1.

adbd= a

b

donde a, b y d representan números con b 6= 0 y d 6= 0. Esta regla se enuncia a vecesasí: un factor común no nulo en el numerador y en el denominador puede ser canceladoen el cociente.Para usar esta propiedad en expresiones fraccionarias se factoriza el numerador y

el denominador de la expresión y se cancelan los factores comunes que aparezcan en elnumerador y en el denominador. Por ejemplo, consideremos la siguiente expresión racionalen y

3y2 − 5y − 2y2 + y − 6

Factorizando el numerador y el denominador y cancelando los factores comunesobtenemos

3y2−5y−2y2+y−6 = (3y+1)(y−2)

(y+3)(y−2) =3y+1y+3

En este ejemplo se canceló el factor común (y − 2). Es decir, dividimos numerador ydenominador por y − 2. Esta simplificación es válida únicamente si y − 2 6= 0, o sea, siy 6= 2. Por lo tanto 2 no está en el dominio de la última expresión pues en caso contrarioel denominador de la expresión original se anularía cuando se sustituya y por 2. Estasrestricciones se darán por sentadas cuando se simplifiquen expresiones fraccionariasSimplifiquemos ahora la expresión fraccionaria

196 3. ALGEBRA

sen4x− 1sen2x+ 1

Factorizando el numerador y cancelando factores comunes, se llega a

sen4x− 1sen2x+ 1

=(sen2x− 1) (sen2x+ 1)

sen2x+ 1= sen2x− 1

Usando la identidad trigonométrica sen2x+ cos2x = 1, se puede escribir

sen4x− 1sen2x+ 1

= − cos2 x

La multiplicación y la división de expresiones fraccionarias se efectúan haciendo usode las reglas para la multiplicación y división de fracciones reales. La fracción obtenida sesimplifica como ya se ha explicado.Recordemos que a

b× c

d= ac

bd

Como un ejemplo efectuemos la siguiente multiplicación entre dos expresionesracionales.³

x2−6x+9x2−1

´ ¡2x−2x−3

¢=(x2−6x+9)(2x−2)(x2−1)(x−3)

= (x−3)22(x−1)(x−1)(x+1)(x−3)

= (x−3)2(x+1)

Ilustremos ahora la división de expresiones fraccionarias efectuando la operación¡x+22x−3

¢÷ ³ x2−42x2−3x

´. Recordemos que

ab÷ c

d= a

b× d

c.

Entonces¡x+22x−3

¢÷ ³ x2−42x2−3x

´=¡x+22x−3

¢.³2x2−3xx2−4

´= x+2

2x−32x2−3xx2−4

= (x+2)x(2x−3)(2x−3)(x−2)(x+2)

= xx−2

Veamos este otro ejemplo:hx2+3yx−10y2

x+1

i÷hx2−x+1x−2y

i=(x2+3yx−10y2)(x−2y)

(x+1)(x2−x+1)= (x−2y)(x+5y)(x−2y)

(x+1)(x2−x+1) = (x−2y)2(x+5y)x3+1

Para sumar o restar dos expresiones fraccionarias, se recomienda encontrar undenominador común y aplicar las siguientes reglas:

ad+ c

d= a+c

d, ad− c

d= a−c

d


Si los denominadores son diferentes, se puede obtener un denominador común,multiplicando el numerador y el denominador de cada una de las fracciones dadas porexpresiones apropiadas. Para ello se busca el mínimo común denominador de las dosfracciones. El mínimo común denominador se puede encontrar, mediante la factorizaciónde cada denominador y luego multiplican do los factores distintos usando el mayorexponente que aparezca en cada factor. Ilustramos el método efectuando la siguienteoperación y simplifi cando el resultado:

1124+ 7

18

Las factorizaciones primas de los denominadores son: 24 = 23,3 y 18 = 2,32 Paraencontrar el mínimo común denominador hacemos el producto de los diferentes factoresprimos, usando el mayor exponente asociado con cada factor. En este caso el mínimocomún denominador es

23,32 = 72.

Escribiendo cada fracción con denominador 72 y usando una de las reglas dadas antes,se tiene:

1124+ 7

18= 11,3

24,3+ 7,4

18,4= 33

72+ 28

72= 33+28

72= 61

72

Otra alternativa es usar las siguientes reglas para la suma y diferencia de fracciones

ab+ c

d= ad+cb

bd, ab− c

d= ad−cb

bd

El método para encontrar el mínimo común denominador para expresiones fraccionar-ias es análogo al ilustrado en el ejemplo numérico. Como un ejemplo efectuemos la sigu-iente suma y simplifiquemos la respuesta:£

7x−2x2+6x+9

¤+£

xx2+2x−3

¤Factorizando los denominadores, se obtienex2 + 6x+ 9 = (x+ 3)2 y x2 + 2x− 3 = (x+ 3)(x− 1)Observe que el mínimo común denominador es (x + 3)2(x − 1). Multiplicando el

numerador y el denominador de la primera fracción por (x − 1) y los de la segundapor (x+ 3), y sumando se obtiene

7x−2x2+6x+9

+ xx2+2x−3 =

7x−2(x+3)2

+ x(x+3)(x−1)

= (7x−2)(x−1)(x+3)2(x−1) +

x(x+3)(x+3)(x−1)(x+3)

= (7x−2)(x−1)+x(x+3)(x+3)2(x−1)

= 8x2−6x+2(x+3)2(x−1)

Cuando los denominadores no son muy difíciles de factorizar se recomienda calcularel mínimo común denominador.Los siguientes ejemplos ilustran otros aspectos sobre las operaciones entre expresiones

fraccionarias.Efectúe y simplifique:

198 3. ALGEBRAh2√x−1

i− £ 1

x−1¤

Factorizando el denominador de la segunda expresión, se obtiene x−1 = (√x−1)(√x+1).Ya que el mínimo común denominador es (

√x−1)(√x+1), multiplicamos el numerador

y el denominador de la primera expresión por√x+ 1, se resta y se obtieneh

2√x−1

i− £ 1

x−1¤=

·2(√x+1)

(√x−1)(√x+1)

¸− £ 1

x−1¤

=h2√x+2

x−1i− £ 1

x−1¤

= 2√x+2−1x−1 = 2

√x+1

x−1En algunos casos es necesario simplificar cocientes antes de efectuar las operaciones,

como se ilustra en los siguientes ejemplos:Efectúe y simplifique:

h1− 2

x+1

x− 1x

i+h

2x

1− 1x

iEmpezamos simplificando cada una de las expresiones, así:

1− 2x+1

x− 1x

=(x+1)−2x+1

x2−1x

=x−1x2+1

x2−1x

= x−1x+1

· xx2−1 =

(x−1)x(x+1)(x−1)(x+1)

= x(x+1)(x+1)

= x(x+1)2

2x

1− 1x

=2x

x−1x

= 2x· xx−1 =

2x−1

Ahora escribimosx

(x+1)2+ 2

x−1 =x(x−1)

(x+1)2(x−1) +2(x+1)2

(x+1)2(x−1)= x(x−1)+2(x+1)2

(x+1)2(x−1)= 3x2+3x+2

(x+1)2(x−1)Efectúe y simplifique:

"2x√1−x2− x3√

1−x21−x2

#+

·3x3

(1−x2) 32

¸Simplificando el numerador de la primera expresión, se llega a

2x√1− x2 − x3√

1−x2 =2x√1−x2√1−x2−x3√

1−x2

=2x(1−x2)−x3√

1−x2 = 2x−3x3√1−x2

De aquí que la primera expresión es igual a


2x−3x2√1−x21−x2 = 2x−3x3√

1−x2(1−x2) =2x−3x3(1−x2) 32

Por tanto la suma pedida es

2x−3x3(1−x2) 32

+ 3x3

(1−x2) 32= 2x

(1−x2) 32

3.5.1. Racionalización de Denominadores

En algunos casos los denominadores de ciertas expresiones fraccionarias contienensumas o restas que incluyen radicales y pueden ser racionalizadas, ésto es; podemosencontrar otra expresión fraccionaria equivalente a la dada cuyo denominador no contengaradicales. En este proceso de racionalización es importante tener presentes los productosnotables. Ilustramos ésto con algunos ejemplos.Veamos primero un ejemplo numérico en el que usamos el producto notable

7√3−√2 =

7(√3+√2)

(√3−√2)(√3−√2) =

7(√3+√2)

(√3)2−(

√2)2 =

7(√3+√2)

3−2

= 7(√3 +√2)

Obsérvese que el mismo procedimiento se puede emplear para racionalizar la siguienteexpresión fraccionaria:

2y√x+2+

√x−1 =

2y(√x+2−√x−1)

(√x+2+

√x−1)(

√x+2−√x−1)

=2y(√x+2−√x−1)

(√x+2)

2−(√x−1)2

=2y(√x+2−√x−1)

(x+2)−(x−1) =2y(√x+2−√x−1)

3

En este ejemplo usaremos el producto notable (2.9)

21+ 3√x =

2 1− 3√x+( 3√x)2

(1+ 3√x) 1− 3√x+( 3√x)2

=2 1− 3√x+( 3√x)2

13+( 3√x)

3

=2 1− 3√x+( 3√x)2

1+x

Por último, queremos hacer notar que con frecuencia hay que hacer uso de las leyes delos exponentes en la simplificación de resultados, como se ilustra en el siguiente ejemplo:Para efectuar y simplificar la suma:·

(√a−√b)3+2a2√

a+b√b

a√a+b

√b

¸+h3√ab−3ba−b

iSe escriben las expresiones con exponentes fraccionarios, así:

200 3. ALGEBRA

(a1/2−b1/2)3+2a3/2+b3/2a3/2+b3/2

+3(a1/2b1/2−b)

a−b

El numerador de la primera expresión es igual a¡a1/2 − b1/2

¢3+2a3/2+ b3/2 =

h¡a1/2

¢3 − 3 ¡a1/2¢2 ¡b1/2¢+ 3 ¡a1/2¢ ¡b1/2¢2 − ¡b1/2¢3i+2a3/2 + b3/2

= a3/2 − 3ab1/2 + 3a1/2b − b3/2 + 2a3/2 + b3/2

= 3a3/2 − 3ab1/2 + 3a1/2b= 3a1/2

¡a− a1/2b1/2 + b

¢y el de la segunda es igual a3(a1/2b1/2 − b) = 3b1/2(a1/2 − b1/2).

Factorizando los denominadores de las dos expresiones, se tienea3/2 + b3/2 = (a1/2)3 + (b1/2)3

= [a1/2 + b1/2][(a1/2)2 − a1/2b1/2 + (b1/2)2]= (a1/2 + b1/2)(a− a1/2b1/2 + b)

ya− b = (a1/2)2 − (b1/2)2 = (a1/2 + b1/2)(a1/2 − b1/2).

Por tanto la suma pedida se obtiene así:3a1/2(a−a1/2b1/2+b)

(a1/2+b1/2)(a−a1/2b1/2+b) +3b1/2(a1/2−b1/2)

(a1/2+b1/2)(a1/2−b1/2)= 3a1/2

a1/2+b1/2+ 3b1/2

a1/2+b1/2

= 3a1/2+3b1/2

a1/2+b1/2=

3(a1/2+b1/2)(a1/2+b1/2)

= 3

Ejercicios

1. Responda V o F. Justificando si respuesta

a) Las expresiones a (b+ c) = a.b + a.c; a, b, c ∈ R y a (b+ c) = a.b + a.c;a, b ∈ R. Expresan lo mismo.

b) Dada la expresión variable a(z−1)√x√3x−5+√x−2−3 +

log(x+1)|x|−2 + 8z3+1

z4−16

1) El número 3 está en el dominio de la variable x.2) El número 2 está en el dominio de la variable x.3) El número 18 está en el dominio de la variable x.4) El número -4 está en el dominio de la variable x.5) El número -2 está en el dominio de la variable x.6) El número 2 está en el dominio de la variable z.7) El número -2 está en el dominio de la variable z.8) El número 1 está en el dominio de la variable z.

c) Los siguientes pares de expresiones variables son equivalentes


1) (x+ y)2 y x+ 2x+ y2

2) x3 + y3 y (x+ y)(x2 − xy + y2)

3) (1− x)(1 + x+ x2 + ...+ xn) y 1− xn+1

4) (x−√x)(x+√x) y x(x− 1); x > 0

5) x2−1x−1 y (x+1)(x−2)

(x−2) , x 6= 1, x 6= 26) x− y y (x1/3 − y1/3)(x2/3 + x1/3y1/3 + y2/3)

7) x2 + 4xy + 4y2 − y4 y (x+ 2y + y2)(x+ 2y − y2)

d) Las expresiones variables√3x− 5 y 3−√x− 2; x > 2. Son equivalentes, pues

cuando x = 3 se tiene√3x− 5 = √4 = 2 = 3− 1 = 3−√x− 2

e) El grado del polinomio que resulta de sumar dos polinomios en una variable esla suma de los grados de los polinomios sumandos.

f ) El grado del polinomio que resulta de multiplicar dos polinomios en unavariable es la suma de los grados de los polinomios factores.

g) La expansión de (x3 − x7)8 tiene 9 sumandos.

h) El tercer término de la expansión de (x+ 1x3)5 está dado por

¡52

¢x3¡1x3

¢2= 10x−3

2. Exprese en terminología algebraica las siguientes expresiones idiomáticas.

a) Cinco veces un número natural arbitrario más el número raiz cuadrada de dosmultiplicado por la semisuma del mismo número natural con ocho.

b) El producto de tres números impares consecutivos es igual a siete veces la sumade los mismos.

c) El área de un terreno rectangular que tiene veinte metros más de largo que deancho es de doscientos metros cuadrados.

3. Consideremos el siguiente pasaje de "The Hunting of the Snark"por Lewis Carrol 1."Tomando el número tres como punto de partida, para poder descubrir otro que yodesconozco, sumo siete y sumo diez y multiplico después por un millar menos ocho.Acto seguido, divido este resultado por novecientos más noventa y dos. Luego restodiez y siete y la respuesta será cierta y exacta a perfección". Si el punto de partidaes cinco, ¿cual será la respuesta exacta y verdadera a la perfección?

4. Suponga que un alambre de veinte metros de longitud se corta en dos pedazos. Conuno de ellos se debe formar un triángulo equilátero y con el otro se debe formar unacircunferencia. Exprese en terminología algebraica la suma de las áreas encerradaspor las dos figuras en términos de la longitud del pedazo de alambre con que seforma el triángulo.

5. Se va a fabricar una caja de base cuadrada y sin tapa, con una hoja cuadrada deveinte metros de lado, cortando cuadrados iguales de cada esquina de la hoja ydoblando los lados. Encuentre la expresión variable que da el volumen de la caja entérminos de la longitud del lado del cuadrado que se corte.

202 3. ALGEBRA

6. Dé el valor numérico que toma la expresión variable x2+ 72yx+ 8

7;x, y ∈ R. Cuando

asignamos a las variables x y y los valores:

a) 0 y 1957 respectivamente

b) 25 y 0 respectivamente

c)√2 y√2 respectivamente

d)√2 + 1 y

√2− 1 respectivamente

e) 3√2 y√2 respectivamente

7. Clasifique las siguientes expresiones en: algebraicas, monómicas, polinómicas,racionales, trascendentes o fraccionarias.

a)√2x3 + 7πx4 + cos(π

4)x7

b) 4xy − 7sen2(π8)xyzw

c)√7x2y−5x3

+ 13

d)√7x2y−5x3

+ 13

e) 3+sen2xcosx

f ) log x+72x

g) 5√x+ 8x− 5√x3 − 5πx2

h) cos2x+ senx− 5sen2x cosxi) 3 + (2 + i) z + (3− 5i) z5

8. Efectúe las operaciones indicadas y exprese el resultado en forma polinómica

a) (4 + 7x− 3x2 + x4)(−3− 4x+ 3x2 + x3)

b) (2z4 − 4z + 5) + z(z3 + 3z + 3z − 4)c) (√2xy − w + 7w3)− (5 +√2xy + w2 − w3)

d) (2 + z + z3 − z4).(5− 4z)e) (zw − w3 + 7w3).(w − xy + 5w)

f ) [(2 + 3i)x+ 1].[5− (4 + 2i)x3]

9. Use los productos notables para efectuar las operaciones indicadas

a) (x+x−1)2

b)³2√a+√b´3

c) (x+ y + z).(x+ y − z)


d) (1 + x+ x2 + x3 + ...+ x6).(1− x)

e) (senx+ cosx).(senx− cosx)

f ) (x2 + y2 − w2)2

g)¡a1/2 − b1/5

¢ ¡a4/5 + a3/5b1/5 + a2/5b2/5 + a1/5b3/5 + b4/5

¢h) (4zw2 + y7).(4zw2 − y7)

i) (√2xy + 3)(

√2xy − 7)

j ) (5zy2 + 1).(25z2y4 − 5zy2 + 1)k) [z − (3 + i)].[z − (3− i)]

l) [1 + i]3 + [1− i]3

10. Use los productos notables para factorizar

a) x2 − 7b) 8x6 − 27y9c) x8 − 16d) (x+ y)3 − 27z6e) a− b

f ) 25x4y6 − 30x2y3z + 9z2g) x2 + 2x− 3h) x2 + 2wx− 15w2i) 2z2 − z − 1j ) sen2x− 2senx− 15k) cos2x− 4wcosx− 21w2l) a2x6 − a2 + 2asx6 − 2as+ b2x6 − b2

m) 22x + 3,2x − 40n) 1

2w2 + 2xw + 2x2 − 2x4

ñ) x2 + 1

o) 1 + 3x+ 3x2 + x3

11. Use el producto notable (2.12) para calcular la suma 1 + 2 + 22 + ...+ 219

12. Demuestre por inducción sobre n que el número¡nk

¢; 0 ≤ k ≤ n es un número

natural.

13. Encuentre el quinto término en la expansión de (3a2 +√6)9

14. Halle, si existe, el coeficiente de x6 en la expansión de (x+ 12x)12 ; x ∈ R,x 6= 0

204 3. ALGEBRA

15. Halle, si existe, el coeficiente de y6 en la expansión de (y2 − y−1)10; y ∈ R,y 6= 016. Demuestre que

a) 1 +¡41

¢+¡42

¢+¡43

¢+¡44

¢= 24

b)Pn

k=0

¡nk

¢= 2n

c)Pn

k=0 (−1)k¡nk

¢= 0

17. Sume los cuatro primeros términos del desarrollo de (1 + 0,02)10.Use luego unacalculadora para calcular (1.02)10 y compare sus respuestas. ¿Qué puede usted deciracerca de esta comparación? ¿Por qué? Estime el error que se comete al escribir(1 + 0,02)10 =

P3k=0

¡10k

¢(0,02)k

18. Efectúe las operaciones indicadas y simplifique

a) 2x+12x−1 +

x−1x+1

b) 2w+3w2−1 − 4w+12

2w2+5w+3

c) 3a−1 +

2a+1− 5a+1

a2−1d) 3x+3

2x2+6− x−4

x2−x−12 +x+1

3x2−12xe) z+6

z− z+7

z+1+ 6

z2+3z+2

f )w2−5w2−1−

1w−1

1− 4w+1

+ 2−ww+1

g)£a−1a3−1

¤× ha2+a+1a3+1

ih)hz2+3z+2

z+3

i÷ £ z+2

z2+7z+12

¤i)h√

zw+1√zw−1 +

√zw−1√zw+1

i÷h

2√z2w2−1

ij )·

1x2+ 1y2

1xy

− x2

xy

¸ hx2+x2

i19. Racionalice los denominadores de las siguientes expresiones

a) 1+√5

3−√5b) 2√

a+√3b

c)√x+y−√x−y√x+y+

√x−y

d) 1√2+√3+√5

e) x√y+y

√x

y√x−x√y

f ) 1

1+ 3√2


g) 23√x+ 3√

y2

h) 4

1− 5√w2

20. Simplifique la expresión 2a+√1+x2

x+√1+x2

. Si x = 12

¯pab−q

ba

¯(0 < b < a)

21. Simplifique la expresión x√1−x2 +

√1−x2x

. Si x =q

m−√m2−42m

22. Simplifique la expresión n

s2n

3 · 1282n+1 + 43n+1

; n ∈ N

23. Demuestre que si x y y son números reales tales que x+y = 2, entonces x2+y2 ≥ 2.(Sugerencia. Escriba x = 1+r y y = 1−r, r ∈ R y use algunos productos notables).

24. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba, desde el suelo, con una velocidadinicial de 20 metros por segundo.La fórmula d = 20t− 5t2 expresa la distancia, enmetros, dirigida desde el suelo hasta la pelota cuando han transcurrido t segundos.La fórmula v = 20− 10t. Expresa la velocidad instantánea, en metros por segundo,de la pelota cuando han transcurrido t segundos. Halle:

a) La velocidad instantánea de la pelota cuando ha transcurrido 1 segundo.

b) La velocidad instantánea de la pelota cuando han transcurrido 3 segundos.

c) El tiempo que se tarda la pelota en alcanzar el punto más alto.

d) La altura máxima que alcanza la pelota.

e) La velocidad instantánea de la pelota cuando llega al suelo.

3.5.2. DIVISIÓN DE POLINOMIOS

En esta Unidad trabajaremos sólo con polinomios en una variable.Aunque en el apartado 3.2 hemos escrito algo sobre polinomios, es necesario que

empecemos ajustando la terminología básica que utilizaremos en esta Unidad.Para referirnos a polinomios en x escribiremos: p(x), q(x), r(x), etc.Diremos que un polinomio en x, p(x), tiene coeficientes enteros, racionales, reales ó

complejos si todos los coeficientes de p(x) lo son. En los siguientes ejemplos ilustramosésto.

206 3. ALGEBRA

Polinomio Variable Grado Coeficientes

2 + 3x− 5x3 + 8x7 x 7 enteros

35− 5w2 + 8

3w3 + w5 w 5 racionales

47+ 7√2z2 + 8z6 z 6 reales

4 + (2 + i)α+ 5α3 α 4 complejos

3√2 Indeterminada 0 reales

0 Indeterminada No se define enteros

Puesto que Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, entonces todo polinomio con coeficientes enteros estambién un polinomio con coeficientes racionales. A la vez, todo polinomio con coeficientesracionales es un polinomio con coeficientes reales, etc. Pero, un polinomio con coeficientesreales no necesariamente es un polinomio con coeficientes racionales ó enteros.Usaremos el siguiente criterio de igualdad de dos polinomios: Dos polinomíos en x,

p(x) y q(x), son iguales si los coeficientes de p(x) y q(x) correspondientes a la mismapotencia de x son iguales. De este criterio se sigue que dos polinomios iguales deben tenerigual grado. Por lo tanto, podemos escribir: dos polinomios en x de grado n

p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ an−1xn−1 + anx

n

y

q(x) = b0 + b1x+ b2x2 + ...+ bn−1xn−1 + bnx

n

son iguales, es decir p(x) = q(x), sii a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2,...,an = bn

Anotamos que si dos polinomios p(x) y q(x) son iguales, entonces las expresionesvariables p(x) y q(x) son equivalentes. Recíprocamente, se puede demostrar que si lasexpresiones polinómicas p(x) y q(x) son equivalentes, entonces los polinomios p(x) y q(x)son iguales en el sentido anterior.Dado un polinomio p(x) y un número c, el valor numérico que toma la expresión

polinómica p(x) al sustituir x por c lo denotaremos por p(c), Así por ejemplo, dado elpolinomio

p(x) = 1 + 2x2 − x3

el valor numérico que toma la expresión polinómica p(x) al sustituir x por el número5 es −74, es decir, p(5) = −74, pues

p(5) = 1 + 2,52 − 53 = −74.


Asimismo, p(1) = 2, pues

p(1) = 1 + 2,12 − 13 = 2

En particular, dado un polinomio p(x) y un número c, si se tiene que p(c) = 0,entonces diremos que el número c es un cero de p(x). Por ejemplo, el número 2 es un cerodel polinomio pues

p(x) = −8− 10x− x2 + 2x3 + x4

pues

p(2) = −8− 10,2− 22 + 2,23 + 24 = 0 ,

pero el número 3 no es un cero del polinomio dado, pues

p(3) = −8− 10,3− 32 + 2,33 + 34 = 88 6= 0.

Los polinomios en una variable tienen muchas propiedades algebraicas comunes conlos números enteros. Haremos notar ésto en el desarrollo de esta Unidad.

3.5.3. El Algoritmo de la División

En el bachillerato vimos que: dados dos números enteros f y g, existen dos númerosenteros únicos q y r tales que

(3.5.1) f = g × q + r,

donde 0 ≤ r < g. Esto es, f es múltiplo de g (si r = 0) ó f está entre dos múltiplosconsecutivos de g (si r 6= 0).El algoritmo para encontrar los números qy r, que aparecen en (3.5.1) es el proceso

familiar de la división que disponemos así:

f gr q

En este proceso al número f se le llama dividendo, al número g divisor, al número qcociente y al número r residuo.En particular, dados los números f = 19 y g = 7, encontramos que q = 2 y r = 5,

19 75 2

En consecuencia,

208 3. ALGEBRA

19 = 7× 2 + 5.

Se puede mostrar que asimismo: dados dos polinomios f(x) y g(x), existen dospolinomios únicos q(x) y r(x) tales que

(3.5.2) f(x) = g(x).q(x) + r(x),

donde; o bien r(x) = 0 ó el grado r(x) es menor que el grado de g(x).Similarmente, cuando en (3.5.2) r(x) = 0, entonces se dice que f(x) es múltiplo de

g(x) ó que g(x) es un factor de f(x).El algoritmo para encontrar los polinomios q(x) y r(x) que aparecen en (2.20) es

similar al caso de números enteros y los disponemos así:

f (x) g (x)r (x) q (x)

En este proceso al polinomio f(x) se le llama dividendo, al polinomio g(x) divisor, alpolinomio q(x) cociente y al polinomio r(x) residuo.Ilustramos tal proceso con el siguiente ejemplo: Consideremos los polinomios

f(x) = −5 + 8x+ 17x2 + 4x3

y

g(x) = 3 + x.

y encontremos los polinomios q(x) y r(x) tales quef(x) = g(x).q(x) + r(x); r(x) = 0 ó gradr(x) < gradg(x)El cálculo requerido se hace así:

4x3 + 17x2 + 8x − 5 x + 34x3 + 12x2 4x2 +5x − 7

5x2 + 8x − 55x2 + 15x

−7x − 5−7x − 21

16 ← r (x)

El estudiante puede verificar que

4x3 + 17x2 + 8x− 5 = (x+ 3)(4x2 + 5x− 7) + 16


esto es, f(x) = g(x).q(x) + r(x)Los pasos a seguir en el proceso de la división de dos polinomios, pueden resumirse

así:

1. Escribimos los términos del dividendo y del divisor de izquierda a derecha de acuerdoa las potencias descendentes de la variable, dejando espacio para los términos concoeficiente nulo.

2. Obtenemos el primer término del cociente dividiendo el término inicial del dividendoen el término inicial del divisor.

3. Multiplicamos el divisor por este término del cociente y restamos el producto deldividendo.

4. Usamos el residuo de esta resta como nuevo dividendo y repetimos los pasos 2) a 4)

5. Cuando el residuo tenga grado menor que el de divisor o sea el polinomio nulo, elproceso ha terminado.

Otros ejemplos que ilustran el proceso son los siguientes.Consideremos los polinomios

f(x) = 3 + 2x− x4

y

g(x) = x+ 3x2

y encontremos los polinomios q(x) y r(x) tales quef(x) = g(x).q(x) + r(x); r(x) = 0 ó gradr(x) < gradg(x)

−x4 + + 2x + 3 3x2 + x−x4 − 1

3x3 4x2 +5x − 713x3 + 2x + 313x3 + 1

9x2

−19x2 + 2x + 3

−19x2 − 1

27x

5527x + 3 ← r(x)

Por lo tanto,

−x4 + 2x+ 3 = (3x2 + x).(−13x2 + 1

9x+ 1

27) +

¡5527x+ 3

¢esto es, f(x) = g(x).q(x) + r(x)

210 3. ALGEBRA

3.5.4. La División Sintética (Regla de Rufini)

La división sintética es un método simplificado para dividir un polinomio f(x) por unpolinomio g(x) de la forma

g(x) = (x− c)

Para explicar en qué consiste el método, consideremos el caso particular en que f(x)es un polinomio de grado tres, o sea

f(x) = a3x3 + a2x

2 + a1x+ a0.(a3 6= 0)

Al efectuar la división f(x) por g(x) usando el algoritmo visto en la sección anterior.setienen que,Cociente q(x) = a3x

2 + (a2 + ca3)x+ (a1 + ca2 + c2a3)residuo r(x) = a0 + a1c+ a2c

2 + a3c3.

Observe que el residuo r(x) de tal división es un número, que es precisamente f(c),pues

r(x) = a0 + a1c+ a2c2 + a3c

3 = f (c)

Sobre este aspecto volveremos en la siguiente sección.Ahora bien; existe una ley de formación de los coeficientes del cociente y del residuo.

Para deducirla y facilitar su escritura, denotemos el cociente de la división por

q(x) = b2x2 + b1x+ bo

y el residuo por

r(x) = r.

Así tenemos que

q(x) = b2x2 + b1x+ bo = a3x

2 + (a2 + ca3)x+ (a1 + ca2 + c2a3)

y

r(x) = r = a0 + a1c+ a2c2 + a3c

3

De ésto sigue que b2 = a3, b1 = a2 + ca3, bo = a1 + ca2 + c2a3Lo que permite visualizar la mencionada ley de formación.Con el objeto de agilizar los cálculos, indicamos dicha ley de formación como aparece

en el siguiente diagrama:


a3 a2 a1 a0+ + +

×c a3c (a2 + ca3)c (a1 + ca2 + c2a3)c↓ ↓ ↓

a3 a2 + ca3 a1 + ca2 + c2a3 a0 + a1c+ a2c2 + a3c

3 = f (c)

Este diagrama nos permite calcular en forma rápida una de tales divisiones,Ilustramos el método con el siguiente ejemploConsideremos el polinomio

f(x) = 2x3 + 4x2 − 3xy efectuemos la división de f(x) por el polinomio g(x) = (x − 7) usando la división

sintética.

2 4 −3 1+ + +

×7 14 126 861↓ ↓ ↓

2 18 123 862 = f (7)

Consecuentemente

f(x) = (x− 7).(2x2 + 18x+ 123) + 862.Anotamos que para el uso correcto de la división sintética debe tenerse en cuenta que,

en el diagrama dado antes, escribimos los coeficientes de los términos del dividendo deizquierda a derecha según las potencias descenden tes de la variable, colocando cero paralos términos con coeficiente nulo. Los coeficientes del cociente aparecen abajo ordenadosde igual forma. El último número que parece en la parte de abajo es el residuo de larespectiva división. Además, si el dividendo tiene grado n, entonces, en este caso especial,el cociente tiene grado n− 1.Otro ejemplo que ilustra el proceso es el siguiente:Consideremos el polinomio

f(w) = 4w5 − w3 + 2w + 3,

y efectuemos la división def(w) en el polinomio

g(w) = (w + 2) = w − (−2)4 0 −1 0 2 3

+ + +× (−2) −8 16 −30 60 −124

↓ ↓ ↓4 −8 15 −30 62 −121 = f(−2)

En consecuencia

f(w) = (w + 2)(4w4 − 8w3 + 15w2 − 30w + 62) + (−121)

212 3. ALGEBRA

3.5.5. El Teorema del Residuo y el Teorema del Factor.

En esta sección presentamos dos teoremas, uno de los cuales establece una estrecharelación entre factores de grado uno y ceros de un polinomio. Como veremos; si conocemostodos los ceros de un polinomio, entonces conocemos su factorización en factores de gradouno y viceversa.Teorema 3.1 (T. del Residuo)Dados el polinomio f(x) y el número c, el residuo que se obtiene al dividir f(x) por el

polinomio g(x) = (x− c) es f(c).

Demostración: Puesto que g(x) = (x− c) es un polinomio de grado uno, el residuo quese obtiene al dividir f(x) en g(x) es un polinomio r(x) de grado cero o bien r(x) = 0. Detodas formas r(x) = r es un número. Si q(x) es el cociente de tal división, entonces

f(x) = (x− c)q(x) + r.

Por lo tanto

f(c) = (c− c).q(c) + r = 0.q(c) + r = 0 + r = r,

que era lo queríamos demostrar.En el siguiente ejemplo verificamos el resultado del teorema anterior.Consideremos el polinomio

f(x) = x3 + 2x2 − x+ 1

y el número c = 2.

Efectuemos la división de f(x) por g(x) = (x − c) = (x − 2). Usando la divisiónsintética, se tiene

1 2 −1 1+ + +

×2 2 8 14↓ ↓ ↓

1 4 7 15 → residuo

Por el teorema del residuo se tiene que

f(2) = 15

Haciendo el cálculo directamente se obtiene

f(2) = 23 + 2,22 − 2 + 1 = 15


Teorema 3.2 (T. del Factor)Dados el polinomio f(x) y el número c, f(c) = 0 sii g(x) = (x − c) es un factor de

f(x).

Demostración: Por el teorema del residuo,f(x) = (x− c)q(x) + f(c) para algún cociente q(x). Ahora, si f(c) = 0, entoncesf(x) = (x − c)q(x),es decir, g(x) = (x − c) es un factor de f(x). Recíprocamente, si

g(x) = (x− c) es un factor de f(x), entonces

f(x) = (x− c)p(x),

para algún polinomio p(x). En consecuencia

f(c) = (c− c)p(c) = 0.p(c) = 0

El teorema queda demostrado. Ilustramos el resultado del teorema anterior con lossiguientes ejemplosConsideremos el polinomio

f(x) = x3 − 4x2 + 3x+ 2

El polinomio g(x) = (x−2) es un factor de f(x) puesto que f(2) = 23−4,22+3,2+2 = 0.El estudiante puede verificar que

f(x) = (x− 2)(x2 − 2x− 1).

Dado el polinomio

f(x) = x5 − 2x4 + x3 − 2x2 − 2x+ 4,

Si sabemos que f(x) se factoriza así:

f(x) = (x− 2)(x− 1)(x+ 1)(x− i√2)(x+

√2)

por el teorema del factor, inmediatamente podemos decir que los ceros de f(x) sonc1 = 2c2 = 1c3 = −1c4 = i

√2

c5 = −i√2

De otro lado, si sabemos que los ceros de un polinomio f(x) sonc1 = 3c2 = −2c3 =

√2

entonces, por el teorema del factor, necesariamente f(x) es de la forma

214 3. ALGEBRA

f(x) = c(x− 3)(x+ 2)(x−√2)

donde c es un número diferente de cero.El problema de encontrar los ceros de un polinomio es de gran importancia en el

estudio de las funciones polinómicas y racionales. Desafortunadamente, a excepción dealgunos casos, es difícil calcular los ceros de un polinomio.Más adelante daremos un método efectivo para calcular los ceros racionales, si los hay,

de un polinomio con coeficientes enteros.

3.5.6. El Teorema Fundamental del Álgebra

A pesar de la dificultad práctica para calcular los ceros de un polinomio, se puedeprogresar en la teoría de tales ceros.En esta sección veremos esencialmente dos teoremas. El primero de ellos, conocido

como el teorema fundamental del álgebra, nos permite determinar la cantidad de ceros,reales o complejos, que puede tener un polinomio, pero no nos indica cómo calcular dichosceros. El segundo de ellos nos muestra una propiedad que tienen los ceros complejos depolinomios con coeficientes reales.

Teorema 3.3 (T. Fundamental del Álgebra)Si un polinomio f(x) tiene coeficientes complejos y tiene grado mayor que cero,

entonces f(x) tiene al menos un cero complejo.

La demostración usual de este teorema requiere de resultados del campo de lamatemática denominado variable compleja. No haremos su demostración.Como caso particular, si todos los coeficientes de f(x) son reales y f(x) tiene grado

mayor que cero, entonces f(x) tiene al menos un cero complejo. Hacemos notar que sia+ bi es un cero complejo de un polinomio, puede suceder que b = 0, en cuyo caso a+ bise reduce al número real a y nos referiremos a éste como un cero real.Combinando el teorema del factor y el teorema fundamental del álgebra se obtiene el

siguiente corolario.

Corolario N◦ 3.3.1. Todo polinomio con coeficientes complejos que tenga gradomayor que cero, tiene necesariamente un factor de la forma g(x) = (x− c), donde c es unnúmero complejo.

Haciendo uso reiterado del corolario anterior, podemos expresar, en teoría, cualquierpolinomio f(x) de grado n, n > 0, como un producto de n polino mios de grado 1. Enefecto; si f(x) tiene grado n, n > 0, por el corolario anterior podemos escribir

f(x) = (x− c1)q1(x),

donde c1 ∈ C y q1(x) es un polinomio de grado n−1. Si n−1 > 0, aplicamos de nuevoel corolario al polinomio q1(x), para obtener


q1(x) = (x− c2).q2(x),

donde c2 ∈ C y q2(x) es un polinomio de grado n− 2. Por tanto

f(x) = (x− c1) (x− c2) q1(x)

Continuando con el proceso, después de n etapas llegamos a un polinomio q(x) degrado cero, digamos que

qn(x) = c,

donde c ∈ C, c 6= 0. Podemos por lo tanto escribir

f(x) = (x− c1) (x− c2) ... (x− cn) c

donde c1, c2, ..., cn., c ∈ C.Este resultado lo podemos sintetizar en el siguiente corolario así:

Corolario N◦ 3.3.2. Si f(x) es un polinomio con coeficientes complejos y el grado def(x) es n, n > 0, entonces existen números complejos c1, c2, ..., cn, c tales que

f(x) = (x− c1) (x− c2) ... (x− cn) c

Anotamos que en el enunciado del corolario anterior no necesariamente los números c.son diferentes. Si un factor (x− ci) aparece m veces en la factorización, entonces decimosque el número c. es un cero de multiplicidad m de f(x). Si un cero de multiplicidad mes contado como m ceros, entonces el corolario anterior establece que un polinomio f(x)de grado n, n > 0, tiene exactamente n ceros complejos. Los siguientes ejemplos ilustranesta observación.El polinomio

f(x) = x5 − x3 − 2x2 − 2x+ 4

se puede factorizar, como producto de polinomios de grado uno, así

f(x) = (x− 2)(x− 1) (x+ 1) ¡x− i√2¢ ¡

x+ i√2¢

En este caso f(x) tiene tres ceros reales de multiplicidad uno, a saber:c1 = 2c2 = 1c3 = −1

y dos ceros complejos de multiplicidad uno, a saberc4 = i

√2

c5 = −i√2

Veamos otro ejemplo, el polinomio

216 3. ALGEBRA

f(x) = (x− 3)2(x+ 1)3 (x− i) (x+ i)4 [x+ (2 + i)]

es de grado 11 y tiene dos ceros reales diferentes: c1 = 3 de multiplicidad dos yc2 = −1 de multiplicidad tres, y tres ceros complejos diferentes: c3 = i de multiplicidaduno, c4 = −i de multiplicidad cuatro y c5 = −(2 + i) de multiplicidad uno.

Teorema 3.4Si f(x) es un polinomio con coeficientes reales de grado n, n > 0, y si c es un

cero complejo de f(x) entonces necesariamente el conjugado de c, c, es también un cerocomplejo de f(x).

Demostración: Supongamos que el polinomio

p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ an−1xn−1 + anx

n

tiene coeficientes reales, es decir,a0, a1, ..., an ∈ R.Si c es un cero complejo de f(x), entonces

f(c) = a0 + a1c+ a2c2 + ...+ anc

n = 0

Ya que dos números complejos iguales tienen conjugados iguales, entonces

a0 + a1c+ a2c2 + ...+ ancn = 0

Como el conjugado de una suma de números complejos es igual a la suma de losconjungados de dichos números y el conjugado de un producto de números complejos esigual al producto de los conjungados de dichos números, se tiene que

a0 + a1c+ a2c2 + ...+ ancn = 0

Ya que el conjugado de un número real es igual así mismo, entonces

f(c) = a0 + a1c+ a2c2 + ...+ anc

n = 0

La última igualdad establece que c es un cero de f(x), que era lo que queríamosdemostrar.

Veamos el siguiente ejemplo.Encontramos un polinomio f(x) con coeficientes reales de grado 4, sabiendo que

ci = 2 + i y c2 = −3i son ceros de f(x).Por el teorema anterior, los números c1 = 2− i y c2 = 3i también son ceros de f(x).

Por el teorema del factor, f(x) tiene por factores a(x− c1) = [x− (2 + i)](x− c2) = [x− (−3i)](x− c1) = [x− (2− i)](x− c2) = [x− (3i)]


Multiplicando estos factores encontrarnos el polinomio buscado. Así,f(x) = [x− (2 + i)][x− (−3i)][x− (2− i)][x− 3i)]

= [x− (2 + i)][x− (2− i)][x+ 3i][x− 3i)]= (x2 − 4x+ 5)(x2 + 9)= x4 − 4x3 + 14x2 − 36x+ 45.

Corolario N◦ 3.4. Todo polinomio con coeficientes reales de grado n, n > 0, puedeexpresarse como un producto de polinomios de grado uno y de grado dos con coeficientesreales, donde los factores de grado dos no tienen ceros reales.

Demostración: Por el Corolario N◦ 2.3.2 , f(x) se puede expresar así:

f(x) = (x− c1) (x− c2) ... (x− cn) c

donde c1, c2, ..., cn., c ∈ C.De la igualdad anterior se sigue que c es el coeficiente del término de f(x) de grado n y

por lo tanto c ∈ R Ahora bien, algunos de los números c1, c2, ..., cn pueden ser reales; éstoes,.sus partes imaginarias pueden ser cero. En tales casos obtenemos los factores de gradouno mencionados en el enunciado del teorema. Si uno de los números ci no es real, por seréste un cero de f(x) entonces por el teorema anterior ci. es también un cero de f(x). Estoimplica, por el teorema del factor, que (x− ci) y (x− ci) aparezcan en la factorizacion def(x). Si estos factores se multiplican, obtenemos

(x− ci)(x− ci) = x2 − (ci + ci)x+ ci ci

el cual es un polinomio de grado dos con coeficientes reales, pues ci + ci y ci ci sonnúmeros reales. De esta forma, los ceros complejos de f(x) y sus conjugados dan origena polinomios de grado dos con coeficientes reales los cuales no tienen ceros reales. Estocompleta la demostración.Expresemos el polinomio con coeficientes reales

f(x) = x4 − 2x2 − 3,

1. Como producto de polinomios de grado uno con coeficientes complejos,

2. Como producto de polinomios de grado uno y de grado dos concoeficientes reales.Con la condición que los de grado dos no tengan ceros reales.

Haciendo w = x2, obtenemos

x4 − 2x2 − 3 = w2 − 2w − 3.

Usando el producto notable (2.10) se tiene

w2 − 2w − 3 = (w − 3)(w + 1),

218 3. ALGEBRA

o sea

x4 − 2x2 − 3 = (x2 − 3)(x2 + 1)

En consecuencia,

1. x4 − 2x2 − 3 = (x−√3)(x+√3)(x+ i)(x− i)

y

2. x4 − 2x2 − 3 = (x−√3)(x+√3)(x2 + 1)

3.5.7. Ceros Racionales de un Polinomio con CoeficientesEnteros

Como ya hemos dicho, generalmente es difícil encontrar los ceros de un polinomio degrado grande. Sin embargo, daremos un método efectivo para para calcular los cerosracionales, si los hay, de un polinomio con coeficientes enteros. Como veremos, estemétodo nos permitirá también calcular los ceros racionales, si los hay, de un polinomiocon coeficientes racionales. El método se deduce del teorema siguiente

Teorema 3.5 (T. de los Ceros Racionales)Sea el polinomio en x de grado n con coeficientes enteros

f(x) = anxn + an−1xn−1 + ...+ a2x

2 + a1x+ a0.

Si pqes un cero racional de f(x), donde p y q no tienen factores primos comunes,

entonces p divide a a0 y q divide a an.

Demostración: Demostremos que p divide a0 , o lo que es lo mismo, que p es un factorde a0. Si p = ±1, entonces p es un factor de a0 pues 1 y −1 son factores de cualquiernúmero. Si p 6= ± 1, entonces p/q 6= ± 1, pues si p/q = ± 1 se tendrá que p = ±q, y comop y q no tiene factores primos comunes, ésto implica que p = ±q = ± 1, lo cual contradiceel hecho de que p 6= ± 1. Suponemos en lo que sigue que p 6= ±1 y por lo tanto, quep 6= ±q.Puesto que p/q es un cero de f(x), se tiene que

f(p/q) = an(p/q)n+ an−1(p/q)n−1...+ a2(p/q)

2 + a1(p/q) + a0 = 0

Multiplicando ambos miembros de la anterior igualdad por qn se obtiene,

anpn + an−1pn−1q + ...+ a2p

2qn−2 + a1pqn−1 = 0− a0q

n

Sumando −a0qn en los dos miembros de la última igualdad se obtiene,


anpn + an−1pn−1q + ...+ a2p

2qn−2 + a1pqn−1 = −a0qn

a lo que es lo mismo,

p [anpn−1 + an−1pn−2q + ...+ a2pq

n−2 + a1qn−1] = −a0qn

Esto nos indica que p es un factor del entero−a0qn. Si descomponemos p en sus factoresprimos, digamos que p = p1.p2...pk, entonces observamos que cada uno de los primospi(i = 1, 2, ..., k) es también un factor de −a0qn. Por hipótesis ninguno de los primospi(i = 1, 2..., k) es factor de q. Esto implica que cada uno de los primos pi(i = 1, 2, ..., k)es un factor a0, o sea, p es un factor de a0.Argumentando en forma similar se demuestra que q divide a an. El siguiente ejemplo

ilustra el resultado del teorema anterior. Dado el polinomio con coeficientes enteros

f(x) = 6x3 + 11x2 − 4x− 4,encontremos todos los ceros racionales, si los hay, de f(x)De acuerdo con el teorema anterior, si p/q es un cero racional de f(x), donde p y q

no tienen factores primos comunes, entonces p divide a a0 = −4 y q divide a a3 = 6.Por lo tanto, los posibles valores de p son:±1,±2 y ±4, y los posibles valores de q son:±1,±2,±3 y ±6. En consecuencia, los ceros racionales de f(x), si los hay, estarán entrelos números

±1,±2,±4,±1/2,±1/3,±1/6,±2/3 y ±4/3Es necesario comprobar cuáles de estos números son ceros de f(x). Para tal efecto se

recomienda usar la división sintética; recordemos que por el teorema del factor, p/q es uncero de f(x) sii (x − p/q) es un factor de f(x). Veamos en primer lugar si c = 1 es uncero de f(x), o lo que es lo mismo, si (x − 1) es un factor de f(x). Haciendo la divisiónsintética de f(x) en (x− 1) se encuentra que

f(x) = (x− 1)(6x2 + 17x+ 13) + 9,lo cual demuestra que c = 1 no es un cero de f(x), pues f(1) = 9 6= 0. Ensayando

ahora con c = −2, se tienef(x) = [x− (−2)][6x2 − x− 2] = (x+ 2)(6x2 − x− 2),

lo cual demuestra que c = −2 es un cero de f(x).Ya tenemos una factorización de f(x). Los restantes ceros de f(x) deben ser ceros del

segundo factor,

q(x) = 6x2 − x− 2,y por lo tanto podemos usar el polinomio q(x) para calcular el resto de ceros de f(x).

Haciendo la división sintética de q(x) en (x+ 1/2) obtenemos

220 3. ALGEBRA

q(x) = (x+ 12)(6x− 4),

o sea,

f(x) = (x+ 2)(x+ 1/2)(6x− 4) = (x+ 2).(x+ 1/2),6(x− 2/3).

El método descrito antes para calcular los ceros racionales, cuando los hay, de unpolinomio con coeficientes enteros se pueden extender a polinomios con coeficientesracionales. Esta extensión se basa en la siguiente observación:

Observación: Si k es un número no nulo y f(x) es un polinomio cualquiera, entoncesel número c es un cero de f(x) sii el número c es un cero del polinomio g(x) = k.f(x). Enefecto; si k 6= 0,

g(c) = k.f(c) = 0 sii f(c) = 0

Así, si f (x) es un polinomio con coeficientes racionales y k es el mínimo comúndenominador de todos los coeficientes de f(x), entonces g(x) = kf(x) es un polinomiocon coeficientes enteros. Para calcular los ceros de g(x), los cuales son los mismos cerosde f(x), usamos el método ejemplificado antes. Ilustramos lo dicho antes con el siguienteejemplo.

Dado el polinomio con coeficientes racionales

f(x) = 2/3x4 + 1/2x3 − 5/4x2 − x− 1/6,

encontremos todos los ceros racionales, si los hay, de f(x). En este caso el mínimocomún denominador de todos los coeficientes de f(x) es k = 12. Por lo antes discutido,los ceros de f(x) son los ceros del polinomio con coeficientes enteros

g(x) = 12.f(x) = 8x4 + 6x3 − 15x2 − 12x− 2

Ahora bien, si p/q es un cero racional de g(x), donde p y q no tienen factores primoscomunes, entonces las posibilidades para p son: ±1 y ±2 y las posibilidades para q son:±1 y ±2,±4 y ±8. En consecuencia, los posibles ceros racionales de g(x) son:

±1,±2,±1/2,±1/4 y ±1/8.

Ensayando a través de de división sintética tenemos que c = −1/2 es un cero de g(x).Así:

g(x) = (x+ 1/2)(8x3 + 2x2 − 16x− 4) = (x+ 1/2).q(x)

Si usamos la división sintética con los coeficientes del cociente q(x), obtenemoses decir, c2 = −1/4 es un cero de q(x) y por lo tanto de g(x)Además,


q(x) = (x+ 1/4)(8x2 − 16)En consecuencia,g(x) = (x+ 1/2)(x+ 1/4)(8x2 − 16)

= 8(x+ 1/2)(x+ 1/4)(x2 − 2)= 8(x+ 1/2)(x+ 1/4)(x−√2)(x+√2).

De la última igualdad se desprende que el resto de ceros de g(x) son c3=√2 y c4 = −

√2

En resumen, los ceros def(x) son: c1 = −1/2, c2 = −1/4, c3 =√2 y c4 = −

√2.

Además,

g(x) = 12.f(x) = 8(x+ 1/2)(x+ 1/4)(x−√2)(x+√2).o sea

f(x) = 2/3(x+ 1/2) (x+ 1/4)¡x−√2¢ ¡x+√2¢

Esta sección no nos da información para la obtención de ceros irracionales de unpolinomio. Los ejemplos dados no representan problemas típicos de aplicación. De hecho,es lo más común que un polinomio con coeficientes racionales no tenga ceros racionales.Afortunadamente, existen métodos para dar un valor aproximado de los ceros irracionalescon el grado de exactitud que se desee. En la práctica, tal aproximación se efectúa usandouna calculadora o una computadora.En el capítulo dedicado al estudio de las funciones elementales veremos uno de tales

métodos.Ejercicios

1. Responda V o F Justificando su respuesta.

a) Todo polinomio con coeficientes racionales es un polinomio con coeficientesreales.

b) Dados el polinomio f(x) y el número c, el residuo que se obtiene al dividir f(x)por g(x) = (x− c) es f(c).

c) Dados el polinomio f(x) y el número c, f(c) = 0 sii g(x) = (x− c) es un factorde f(x)

d) Todo polinomio f(x) de grado n con coeficientes complejos tiene exactamenten ceros complejos.

e) Si f(x) es un polinomio con coeficientes reales y el número complejo c es talque f(c) = 0, entonces f(c) = 0.

f ) Todo polinomio f(x) con coeficientes reales puede escribirse en la formaf(x) = c(x−c1)(x−c2)...(x−ck)(a1x2+b1x+d1)(a2x2+b2x+d2)...(ajx2+bjx+dj)donde los números c, c1, ...ck, a1, b1, d1, ...aj, bj, dj son reales.

g) Los posibles ceros racionales del polinomio f(x) = x3+2x2+4x son: 0,±2,±4y ±1.

222 3. ALGEBRA

h) Los posibles ceros racionales del polinomio f(x) = 23x4 + 1

2x3 − 5

4x2 − x − 1

6

Son: ±1,±2,±12;±1

4y ±1

8.

i) Los posibles ceros racionales de f(x) = x3 + 2√2x+ 4. Son: ±1;±2 y ±4.

1. Diga cuál es el grado de los polinomios s(x) = f(x) + g(x) y p(x) = f(x).g(x), si:

a) f(x) = 2 + 3x3 − 5x4 y g(x) = 2x+ 5x4b) f(x) = 1

2x− 5

3x3 y g(x) =

√2− x4

c) f(x) = (x2 − 1)2(x+ 2) y g(x) = (3− x2)(x− 2)3d) f(x) = (2 + i)x2 y g(x) = 7

2. Clasifique los polinomios del problema anterior como polinomios con coeficientesenteros, racionales, reales 6 complejos.

3. Dado el polinomio f(x) = 3x4 + 14x3 + 14x2 − 8x− 8.

Calcule f(−2), f(−23),f(0), f(1) y f(

√3− 1)

5 Sea f(x) el polinomio del problema 3. ¿Es c = −2 un cero de f(x) ? ¿Es c = −23un

cero de f(x)? ?Es c = 0 un cero de f(x)? ¿Es c = 1 un cero de f(x)? ¿Es c =√3−1

un cero de f(x)?

6. Encuentre el cociente q(x) y el residuo r(x) de la división de f(x) en g(x), si:

a) f(x) = x4 + 3x3 − 2x+ 5 y g(x) = x2 + 2x− 4b) f(x) = 5x3 − 2x y g(x) = x2 − 5xc) f(x) = 2x y g(x) = x+ 1

d) f(x) = 5x− 3 y g(x) = 3x2 − 2x+ 1e) f(x) = (1 + i)x3 + (3i)x2 + 2 y g(x) = x+ (3 + i)

7. Use la división sintética para efectuar:

a) (3x3 − 4x2 − x+ 8)÷ (x− 2)b) (4z4 − 5z2 + 1)÷ (z − 1/2)c) (3w5 + 6w2 + 7)÷ (w + 2)d) (3x+ 1)÷ (x+ 1)e) (xn + 1)÷ (x+ 1), n ∈ Nf ) (xn − 1)÷ (x+ 1) , n ∈ Ng) (z3 + (2 + i)z2 − 7)÷ (z − i)


8 Use la división sintética y el teorema del resto para calcular f(c), si:

a) f(x) = x4 − 4x3 + x2 − 3x− 5 y c = −2b) f(z) = 0,3z3 + 0,04z − 0,034 y c = 0,2c) f(w) = w3 − 3w2 − 8 y c = 1+√2

9. Use la división sintética para comprobar que c es un cero de f(x), si:

a) f(x) = 4x3 − 6x2 + 8x− 3 y c = 1/2b) f(x) = 3x4 + 8x3 − 2x2 − 10x+ 4 y c = −2c) f(x) = x4 − 4x3 + 14x2 − 36x+ 45 y c = 3i

10. Determine el valor de k que hace que f(x) = x3 + kx2 − kx + 10 sea divisible porg(x) = (x+ 3)

11. Determine todos los valores de k que hacen que f(z) = k2z3 − 4kz − 3 sea divisiblepor g(z) = z − 1

12. Dé el residuo que se obtiene al dividir f(x) = 3x80 + 5x75 − 4x28 + 2x17 − 6 porg(x) = (x+ 1).

13. Dé un polinomio de grado cuatro que tenga a c1 = 4 como un cero de multiplicidaddos y a c2 = −3 como un cero de multipli cidad dos.

14. Encuentre un polinomio de grado siete tal que c1 = 1 sea un cero de multiplicidadtres y c2 = 0 sea un cero de multiplicidad cuatro.

15. Dé el grado, los ceros y la multiplicidad de tales ceros para los polinomios:

a) f(x) = (x+ 3)2(x− 1)b) f(x) = (x+ 3)3(x2 − 1)c) f(x) = (x2 + 2x− 3)(x+ 2)4

16. Compruebe que c = 3 es un cero de multiplicidad dos del polinomio f(x) =x4 − 6x3 + 4x2 + 30x − 45, y factorice a f(x) como un producto de factores degrado uno.

17. Compruebe que c = −1 es un cero de multiplicidad cuatro de f(x) = x6 + 4x5 +x4 − 16x3 − 29x2 − 20x− 5 y calcule el resto de ceros de f(x).

18. Encuentre, si los hay, todos los ceros racionales de los polinomios:

a) f(x) = 2x3 − 3x2 − 17x+ 30b) f(z) = z4 − 2z3 + 10z2 − 18z + 9

224 3. ALGEBRA

c) f(w) = 2w2 + 5w − 3d) f(x) = x3 +

¡116

¢x2 − ¡2

3

¢x− 2

3

e) f(a) =¡13

¢a3 − 3a2 + ¡23

3

¢a− 5

19. Dé un polinomio con coeficientes reales de grado 4, tal que c1 = 1 + i y c2 = i√2

sean ceros de él.

20. Use el teorema N◦ 2.5 (T. de los ceros racionales) para demostrar que:

a)√2 ∈ I. (Sugerencia: Considere el polinomio p(x) = x2 − 2)

b) 14√25 ∈ I. (Sugerencia: Considere el polinomio p(x) = x14 − 25)

21. Considere los polinomios en ex, f(ex) = e4x+2e3x−5e2x−7ex+3 y g(ex) = 2e2x−1.Efectúe la operación f(ex)÷ g(ex)

22. Considere los polinomios en senx, f(senx) = sen3x + 3sen2x − 5senx + 1 yg(senx) = senx− 3. Efectúe la operación f(senx)÷ g(senx).

23. Encuentre, si existen, constantes A,B y C. tales que:

a) 2x2 − 3x+ 1 = A(x2 + 2) +B(x− 1)b) 4x2+13x−9

x3+2x2−3x =Ax+ B

x+3+ C

x−1

c) x2−x−212x3−x2+8x−4 =

A2x−1 +

Bx+Cx2+4

d) 5x2−4x2(x+2)

= Ax+ B

x2+ C

x+2

e) 5x2−4x3(x+2)

= Ax+ B

x3+ C

x+2

3.6. ECUACIONES E INECUACIONES

3.6.1. Introducción

En el Capítulo 1 tratamos algunas ecuaciones y algunas inecuaciones. Esto se hizo conel fin de ejercitar el uso de propiedades algebraicas y de orden de los números reales, y depropiedades de ciertas operaciones tales como: |x| , ax, loga x, etc.En esta Unidad estudiaremos de una manera sistemática las ecuaciones y las

inecuaciones.A través del desarrollo del curso hemos usado los símbolos "=", "<", "<",“≤” y "≥çon

distintos fines y en diferentes contextos.Consideremos, por ejemplo, las expresiones(1) x2 − y2 = (x− y)(x+ y), x, y ∈ Ry(2) (logx)2 = 2.(logx3)− 8, x ∈ R+

3.6. ECUACIONES E INECUACIONES 225

Como sabemos, la igualdad que aparece en la expresión (1) es válida para cualesquierasean los valores numéricos que se le asignen a las variables x y y. Es decir, independientede los valores que asuman x y y los valores numéricos de x2 − y2 y (x − y)(x + y) soniguales. En este caso el símbolo "="que parece en la expresión (1) se usa para indicarque las expresiones variables x2-y2 y (x− y)(x + y) son equivalentes. Sin embargo, en laexpresión (2), la igualdad es válida sólo para algunos valores numéricos de x. En efecto,si en la expresión (2) asignamos a la letra x el valor número 1, obtenemos

(log1)2 = 2.(log13)− 8

o sea

0 = −8,

que no es una igualdad válida. Pero, si en la expresión (2) asignamos a la letra x elvalor numérico 104, obtenemos

(log104)2 = 2.[log(104)3]− 8

o sea

16 = 16

que es una igualdad válida. En este caso, la frase: .Encontremos los valores numéricosde x tales que "junto con la expresión (2), se usa para indicar que estamos enfrentadosal problema de hallar los valores numéricos de x que hacen que en (2) se obtenga unaverdadera igualdad numérica.De manera análoga, en las expresiones(3) x2 ≥ 0, x ∈ R(4) x− 3x− 5 ≥ 0, x ∈ Rel símbolo "≥.es usado con diferentes propósitos.

Como sabemos, la desigualdad que aparece en la expresión (3) es válida para cualquiervalor numérico real que se le asigne a la letra x. En este caso la expresión (3) es usadapara expresar en terminología algebraica lo que en lenguaje ordinario se puede expresarasí: .E l cuadrado de todo número real es siempre mayor o igual a cero".De otra parte, como veremos a continuación, la desigualdad que aparece en la expresión

(4) no es válida para todos los valores numéricos de x. En efecto, si en ésta asignamos ala letra x el valor numérico 0, obtenemos

0− 3,0− 5 ≥ 0

o sea

−5 ≥ 0

226 3. ALGEBRA

que no es una desigualdad verdadera. Sin embargo, si en la expresión (4) le asignamosa la letra x el valor numérico 5, obtenemos

52 − 3,5− 5 ≥ 0

o sea

5 ≥ 0

que es una desigualdad válida.

En este caso, la frase: .Encontramos los valores numéricos de x tales que"junto conla expresión (4), se usa para indicar que estamos enfrentados al problema de hallar losvalores numéricos de x que hacen que en (4) se obtenga una desigualdad válida.Otros usos de los símbolos mencionados, aparecen ilustrados en los siguientes ejemplos.Al escribir

ab = 0↔ a = 0 ∨ b = 0, a, b ∈ R

estamos indicando en terminología algebraica lo que en lenguaje corriente se puedeexpresar así: "Para que el producto de dos números reales sea cero es necesario y suficienteque uno de los factores sea cero".Al escribir

|x| = © x si x≥0−x si x<0

ªutilizamos el símbolo "="para definir el símbolo que aparece a la izquierda: El valor

absoluto de un número real, en términos de los símbolos de la derecha.Al escribir

logax < logay ↔ x < y, a > 1, x, y ∈ R+

utilizamos los símbolos "< 2">"para indicar una propiedad de los logaritmos, referentea su variación.En esta unidad trataremos los símbolos -", "<", ">", "<_ 2">.en el contexto de

ecuaciones e inecuaciones.En el desarrollo del resto de la unidad haremos uso de la siguiente notación:

Para referirnos en general a expresiones variables en una colección finita de variablesx, y, z, ..., w, escribiremos p(x, y, z, ..., w), q(x, y, z, .., w), f(x, y, z, ..., w), etc.

Al no ser de que se diga lo contrario, supondremos que los dominios de las variablesde una expresión variable está constituido por todos los números para los cuales lasoperaciones que los involucren tengan sentido en el conjunto de los números reales. Algunasveces se tomará el sentido de las operaciones con referencia al conjunto de los númeroscomplejos, en cuyo caso lo haremos saber explícitamente.


3.6.2. Ecuaciones

Sean p(x, y, z, ..., w) y q(x, y, z, ..., w) expresiones variables en x, y, z..., w. Una ecuaciónen dichas variables es una proposición abierta de la forma

p(x, y, z, ..., w) = q(x, y, z, ..., w).

Cuando la igualdad anterior se hace válida para todos los valores numéricos de losdominios de las variables se dice que la expresión es una identidad.Se suele hablar de ecuación en una variable, ecuación de dos variables, etc., según el

número de variables que en ésta aparezcan.

Las siguientes expresiones son ecuaciones2x+ 3 = 5xx2 + y2 = 25− 2x− 4y√3x− 5 +√x− 2 = 3

22w − 2w = z(x+ y)2 = x2 + 2xy + y2

sen2x+ cos2 x = 1x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2).

En particular, las últimas tres expresiones son identidades. (¿Por qué ?). Dada laecuación en una variable x, digamos

p(x) = q(x),

se llama solución de ésta a todo número s tal que

p(s) = q(s)

es una verdadera igualdad numérica.

Al conjunto de todas las soluciones de la anterior ecuación se le llama conjunto soluciónde la misma. Si denotamos con S a tal conjunto, entonces se tiene que

S = {s/p(s) = q(s)}

Análogamente, dada una ecuación en n variables x, y, z., ., w, digamos:

p(x, y, z, ..., w) = q(x, y, z, ..., w)

se llama solución de esta a toda n-upla ordenada de números (s1, s2, ...sn) tal que

p(s1, s2, ...sn) = q(s1, s2, ...sn)

228 3. ALGEBRA

es una igualdad numérica válida.Asimismo, al conjunto de todas las soluciones de la ecuación anterior se le llama

conjunto solución de la misma. Si denotamos con S a este conjunto,se tiene que

S = {(s1, s2, ...sn)|p(s1, s2, ...sn) = q(s1, s2, ...sn)}

Resolver una ecuación es dar su conjunto solución. Ilustramos ésto con los siguientesejemplos.Consideremos la ecuación en la variable x

x2 − 4 = 0.

El número s = 2 es solución de la ecuación, pues al sustituir este número en ella, seobtiene la igualdad válida:

22 − 4 = 4− 4 = 0

Por el contrario, el número s = 7 no es solución de ella, ya que al sustituir este númeroen ella, se obtiene

72,4 = 49,4 = 45 6= 0

Ahora bien, haciendo uso de la identidad

x2 − 4 = (x− 2)(x+ 2)

es claro que la ecuación original tiene las mismas soluciones de la ecuación

(x− 2).(x+ 2) = 0

las cuales son: 2 y −2. Por lo tanto el conjunto solución de la ecuación original es

S = {2,−2}

Consideremos ahora la ecuación en las variables x y y

x− 3y = 2.

Esta ecuación tiene infinitas soluciones. En efecto, para cada valor numérico de yexiste un respectivo valor numérico de x que hace válida la igualdad. Por ejemplo, si leasignamos a la letra y el valor numérico 1, se obtiene la ecuación en x

x− 3,1 = 2

Sumando 3 a los dos miembros de la anterior igualdad se llega a que


x = 5

Es decir, si asignamos a la letra y el valor numérico 1, entonces existe un valor numéricode x que hace válida la igualdad original y es precisamente 5. Por lo tanto, el par ordenadode números (S1, S2) = (1, 5) es una solución de la ecuación en consideración.

Argumentando en forma similar se muestra que si le asignamos a la letra y el valornumérico s , entonces existe un valor numérico de s que hace válida la igualdad originalel cual es 2 + 3s. Esto nos muestra que el conjunto solución de la ecuación dada, S, tieneinfinitos elementos, y además nos permite expresar éste por comprensión de la siguientemanera:

S = {(2 + 3s, s) : s ∈ R}

Por último, consideremos la ecuación en las variables x y y

x2 + y2 = −1.

Puesto que para cualesquiera sean los valores de x y y siempre se tiene que x2 ≥ 0 yy2 ≥ 0, entonces

x2 + y2 ≥ 0 > −1.

En consecuencia, la ecuación dada no tiene solución. Podemos escribir que el conjuntosolución de esta ecuación es

S = φ

En lo que sigue, al considerar ecuaciones, explicitaremos cuáles letras representanvariables, ya que puede ocurrir, que en éstas figuren, además de las variables otrasletras que se suponen que representan números fijos. Estas otras letras son denominadasparámetros de la ecuación. Por ejemplo, al considerar la expresión

ax+ b = 7

como una ecuación en la variable x, en ésta las letras a y b son parámetros.De igual forma, en la ecuación en la variable x

ax2 + bx+ c = O,

las letras a, b y c son parámetros de ésta.

230 3. ALGEBRA

3.6.3. Ecuaciones Equivalentes. Transformación de Ecuaciones

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.Los siguientes ejemplos ilustran esta definición.Las ecuaciones

3x = 6

y

3x+ 5 = 11

son equivalentes, pues el conjunto solución de cada una de ellas es

S = {2}

Las ecuaciones

x+ 1x= 2x+ 1

x

y

x = 2x

no son equivalentes, pues x = 0 está en el conjunto solución de la segunda más no en elconjunto solución de la primera. Por consiguiente, el conjunto solución de estas ecuacioneses diferente.

En la práctica, al resolver una ecuación, es preciso transformar ésta en otra u otrasque sean equivalentes en lo posible, cuyo conjunto solución sea fácil de obtener o seconozca. Cuando las transformaciones conllevan a ecuaciones que no estamos seguros sonequivalentes es necesario verificar las soluciones. Pues, puede suceder que se "ganen.o se"pierdan"solucio nes.A continuación veremos las reglas de las transformaciones más usuales.Con el objeto de simplificar el trabajo consideremos ecuaciones en una variable. El

tratamiento con ecuaciones en varias variables es igual.

Regla de Transformación I. Sustituir un miembro de una ecuación por unaexpresión equivalente.

Al aplicar esta regla de transformación siempre se obtiene una ecuación equivalente.En efecto, dada la ecuación(A) p(x) = q(x),si las expresiones p(x) y p ∗ (x) son equivalentes, entonces la igualdad

p(x) = p ∗ (x)


es válida para todos los valores numéricos del dominio de la variable x. Por esta razón,toda solución de la ecuación (A) es solución de la ecuación(B) p ∗ (x) = q(x)y viceversa.Ilustramos ésto con el siguiente ejemplo.Resolvamos la ecuación(A) x2 + x− 6 = 0.Ya que las expresiones variables x2+x− 6 y (x+3)(x− 2) son equivalen tes, entonces

la ecuación (A) es equivalente a la ecuación(B) (x+ 3)(x− 2) = 0.Ahora bien, para que la última igualdad sea válida es necesario que

x+ 3 = 0 ó x− 2 = 0,

o sea, que

x = −3 ó x = 2

En consecuencia, el conjunto solución de las anteriores ecuaciones es

S = {−3, 2}.

Regla de Transformación II. Sumar a los dos miembros de una ecuación una mismaexpresión variable en la misma variable de la ecuación.

CASO (1).Cuando se suma a los dos miembros de una ecuación una expresión polinomica siempre

se obtiene una ecuación equivalente. En efecto, dada la ecuación(A) p(x) = q(x)y la expresión polinomica f(x), es claro que toda solución de la ecuación (A) es solución

de la ecuación.(B) p(x) + f(x) = q(x) + f(x)y viceversa. (¿Por qué?).

CASO (2).Cuando se suma a los dos miembros de una ecuación una expresión variable no

polinomica, como veremos en los ejemplos, no siempre se obtiene una ecuación equivalente.Ejemplo (1). Resolvamos la ecuación en x(A) x2 + x− 5 = x2 + 7.Sumando a los dos miembros de ésta la expresión polinomica

−x2 + 5

232 3. ALGEBRA

obtenemos la ecuación equivalente(B) x = 12cuyo conjunto solución es obviamente S = {12}.Ejemplo (2). Resolvamos la ecuación en w(A) w2 − 1

w= 2w − 1

w

Al sumar a los dos miembros de ésta la expresión variable no polinómica

−2w + 1w

se obtiene la ecuación(B) w2 − 2w = OObserve en este caso, toda solución de la ecuación (A) debe estar en el conjunto

R− {0}, mientras que toda solución de la ecuación (B) debe estar en el conjunto R. Porlo tanto, toda solución de la ecuación (A) es solución de la ecuación (B) y si hay algunasolución de la ecuación (B) que no sea solución de la ecuación (A) ésta debe ser el número0

Ahora, como las expresiones variables

w2 − 2w y w.(w − 2)

son equivalentes, entonces la ecuación (B) es equivalente a la ecuación(C) w.(w − 2) = 0.Para que la última igualdad sea válida es preciso que

w = 0 ó w − 2 = 0

o sea que

w = 0 ó w = 2.

En consecuencia el conjunto solución de las ecuaciones (B) y (C) esS1 = {0, 2} y el conjunto solución de la ecuación (A) es

X = {2}.

En este caso las ecuaciones (A) y (B) no son equivalentes.

En general, si la expresión que se suma es de tipo fraccionaria, la diferencia entre lassoluciones de una y otra ecuación está entre los números que anulan los denominadoresde la expresión que se suma.

Regla de Transformación III. Multiplicar ambos miembros de una ecuación por unmismo número diferente de cero o por una misma expresión variable en la misma variablede la ecuación.


CASO (1).Cuando se multiplican los dos miembros de una ecuación por un mismo número

diferente de cero, siempre se obtiene una ecuación equivalente. En efecto, dada la ecuación(A) p(x) = q(x)y el número h 6= 0, debe ser claro que toda solución de la ecuación (A) es también

solución de la ecuación(B) p(x).h = q(x).h y viceversa. (¿Por qué?).

CASO (2).Cuando se multiplican los dos miembros de una ecuación por una misma expresión

variable en las mismas variables de la ecuación, no siempre se obtiene una ecuaciónequivalente.

Si multiplicamos los dos miembros de la ecuación(A) p(x) = q(x)por la expresión variable f(x), obtenemos la ecuación(B) p(x).f(x) = q(x)f(x).Al usar esta regla de transformación, se "ganan"soluciones cuando los valores

numéricos de x que anulan la expresión variable f(x) no son soluciones de la ecuaciónoriginal. (¿Por qué?). Se pierden soluciones cuando hay soluciones de la ecuación originalque no están en el dominio de la expresión variable f(x). (¿Por qué?).Los siguientes ejemplos ilustran ésto.

Ejemplo (1). Resolvamos la ecuación(A) 2x

x−5 =10x−5

Si multiplicamos los dos miembros de la ecuación por (x− 5) se llega a la ecuación(B) 2x = 10.En este paso es posible que se haya "ganado"la solución 5 pues éste es el único número

que anula la expresión por la que se multiplicó.

Ahora, multiplicando los dos miembros de la ecuación (B) por el número 1/2 se llegaa la ecuación(C) x = 5que es equivalente a la ecuación (B).Asi, las ecuaciones (B) y (C) tienen por conjunto solución a S = {5}.Sin embargo, el número 5 no es solución de la ecuación (A) pues al reemplazar x por

5 en ésta se llega a

2,55−5 =

105−5 =

100

expresión que no tiene sentido. En conclusión, el conjunto solución de la ecuación (A)es S = φ

Ejemplo (2). Resolvamos la ecuación

234 3. ALGEBRA

(A) (w − 1)2(w − 3) = (w − 1)(w − 3)Observe que toda solución de ésta debe estar en RAhora, si multiplicamos los dos miembros de la ecuación por la expresión 1

w−1 se llegaa la ecuación(B) (w − 1)(w − 3) = (w − 3).En este paso es posible que se haya "perdido"la solución 1, pues el dominio de la

expresión variable por la que se multiplicó es R− {1}.Resolviendo la ecuación (B) se tiene:

(w − 1)(w − 3) = (w − 3)(w − 1)(w − 3)− (w − 3) = 0(w − 3)(w − 2) = Ow − 3 = 0 ó w − 2 = 0

esto es, el conjunto solución de la ecuación (B) es S = {3, 2}, que no contiene elnúmero 1.Sin embargo el número 1 es solución de la ecuación (A), pues

(1− 1)1 (1− 3) = 02.− 2 = 0 = 0 = 0.− 2 = (1− 1)(1− 3).

Así que el conjunto solución de la ecuación (A) es S = {1, 2, 3}.

Regla de Transformación IV. Elevar a una misma potencia n los dos miembros deuna ecuación.

Con este tipo de transformación, en general, se pueden "ganar"solucionesEn efecto, dada la ecuación(A) p(x) = q(x),al elevar a una misma potencia n los dos miembros de ésta, se obtiene la ecuación(B) [p(x)]n = [q(x)]n

Ahora si el número s es solución de la ecuación (A), entonces

p(s) = q(s)

y por lo tanto

[p(s)]n = [q(s)]n

es decir, el número s es también solución de la ecuación (B).

Como veremos en los ejemplos, puede suceder que hayan soluciones de la ecuación (B)que no sean soluciones de la ecuación (A).

Ejemplo (1). Resolvamos la ecuación(A)

√x− 1 = 2,


Elevando al cuadrado los dos miembros de éste se obtiene la ecuación(B) x− 1 = 4.Claramente la ecuación (B) tiene por conjunto solución a S = {5}. Como en este

tipo de transformación se pueden ganar soluciones, es necesario verificar si el número 5 essolución de la ecuación (A).Reemplazando x por 5 en la expresión (A) obtenemos

√5− 1 = √4 = 2

En consecuencia, el conjunto solución de la ecuación (A) es S = {5},Ejemplo (2). Resolvamos la ecuación(A) 2w =

√w2 + 3

Elevando al cuadrado los dos miembros de la expresión (A) se obtiene la ecuación(B) 4w2 = w2 + 3.Resolvamos, usando las anteriores reglas de transformación, la ecuación (B)

4w2 = w + 33w2 − 3 = 03 (w − 1) (w + 1) = 0

De aquí que el conjunto solución de la ecuación (B) es S = {1,−1}.Ya que, como hemos dicho, al elevar a una misma potencia n los dos miembros de una

ecuación se pueden "ganar"soluciones, es preciso verificar si 1 y −1 son soluciones de laecuación (A).El número 1 es solución de la ecuación (A), pues

2,1 = 2 =√12 + 3.

Pero, el número -1 no es solución de la ecuación (A), pues

2.(−1) = −2 6= 2 =p(−1)2 + 3.Por lo tanto el conjunto solución de la ecuación (A) es S = {1}En este caso particular se "ganóüna solución.

3.6.4. Tipos de Ecuaciones

Algunas ecuaciones tienen nombres especiales.Sea p(x) un polinomio en la variable x. Toda ecuación que sea equivalente a una

ecuación de la formap(x) = 0es una ecuación polindmlca en xAlgunas ecuaciones polinómicas que tienen nombres particulares. Por ejemplo, las

ecuaciones polinómicas en x de la formaax+ b = 0 (a 6= 0)

236 3. ALGEBRA

ax2 + bx+ c = 0 (a 6= 0)ax3 + bx2 + cx+ d = 0 (a 6= 0)

se suelen llamar, lineal, cuadrática y cúbica respectivamente,Ilustramos ésto en los siguientes ejemplos.2x+ 3 = 5 lineal (polinómica)3x2 + 5x = 2x− 7 cuadrática (polinómica)5x3 + 8 = 3x2 + 1 cúbica (polinómica)En general, dependiendo del tipo de operaciones en que intervienen las variables de

una ecuación, ésta deriva su nombre. Así por ejemplo, las ecuaciones3√2x+ 5 = x+ 1√x+ 1−√x− 5 = y

5√x = 32

son ecuaciones radicales.Las ecuaciones

2x+32−x =

5−x2

x2x= 3 + 2x

2x+1x+y2= 5√

y

son ecuaciones fraccionarias.Las ecuaciones

2senxcosx = 0sen2x+ 3senxcosx+ 1 = O,tan2x+ 2tanx− 5 = 4tanx

son ecuaciones trigonométricas.Las ecuaciones

(logx)2 − 3logx = 5logx2y

log(x2 − 3) = 8son ecuaciones logarítmicas.

3.6.5. Solución de Algunas Ecuaciones Típicas

En general el problema de resolver una ecuación es difícil. En muchos casos hay querecurrir a métodos numéricos para obtener soluciones aproxi madas de ciertas ecuaciones.En esta Sección consideramos algunos tipos de ecuaciones e ilustramos las transfor-

maciones vistas en la Sección 2.3.2.

Solución de Ecuaciones Polinómicas.Dada una ecuación polinómica en x de la formap(x) = 0, x ∈ D,donde p(x) es un polinomio de grado n con coeficientes reales o complejos Por la teoría

vista en la Unidad 2.2 sabemos que p(x) se puede expresar en la forma


p(x) = c(x− c1)(x− c2)(x− c3)...(x− cn), donde

los números c. (i = 1, 2, ..., n) son en general complejos.Por lo tanto, la ecuación

p(x) = 0, x ∈ D

es equivalente a la ecuación

c(x− c1)(x− c2)(x− c3)...(x− cn) = 0, x ∈ D

Observe, que según el teorema del factor, las soluciones de esta ecuación sonprecisamente los ceros de p(x) que están en D. Por lo tanto, resolver una ecuaciónpolinómica, de esta forma, es equivalente a encontrar los ceros de p(x).Veamos los siguientes ejemplos. Resolvamos la ecuación polinómica en x

p(x) = 23x4 + 1

2x3 − 5

4x2 − x− 1

6= 0, x ∈ R

Usando la teoría vista en la Sección 2.2.5, podemos factorizar a p(x) y concluir quelas expresiones

p(x) y 23

¡x+ 1

2

¢ ¡x+ 1

4

¢ ¡x−√2¢ ¡x+√2¢, x ∈ R

son equivalentes y, por lo tanto, que la ecuación dada es equivalente a la ecuación

23

¡x+ 1

2

¢ ¡x+ 1

4

¢ ¡x−√2¢ ¡x+√2¢ = 0, x ∈ R

En consecuencia, los ceros de p(x) son: −12, −1

4,√2 y −√2, y el conjunto solución de

la ecuación es

S = {−1/2,−1/4,√2,−√2}

Resolvamos ahora, la ecuación polinómica en x

p(x) = x4 − 2x2 − 3 = 0, x ∈ R

Factorizando el miembro izquierdo de la ecuación, obtenemos la ecuación equivalente,

(x−√3)(x+√3)(x+ i)(x− i) = 0.

En consecuencia, los ceros de p(x) son: c1 =√3, c2 = −

√3, c3 = −i y c4 = i. Ya que

el dominio de la variable de la ecuación dada en R, entonces el conjunto solución de laecuación es

S = {√3,−√3}.

238 3. ALGEBRA

Observamos en particular que la factorización de p(x) en R está dada por la expresión

p(x) = x4 − 2x2 − 3 = (x−√3)(x+√3)(x2 + 1).

De otro lado, la misma ecuación polinómica en x, pero considerada en C

x4 − 2x2 − 3 = 0, x ∈ C

por tener la variable como dominio al conjunto C, tiene por conjunto solución a

S = {√3,−√3, i,−i}.

Solución de Ecuaciones Cuadráticas

A continuación deduciremos una fórmula para resolver cualquier ecuación cuadráticaen x(1) ax2 + bx+ c = 0, a, b, c ∈ R, a 6= 0, x ∈ CComo vimos en la Sección 2.1.3 (página 2.26), la expresión variable ax2 + bx + c

factoriza así:

ax2 + bx+ c = a

·x+

b−√b2 − 4ac2a

¸"x+

b+√b2− + 4ac2a

#

Por lo tanto la ecuación (1) es equivalente a la ecuación

a

·x+

b−√b2 − 4ac2a

¸"x+

b+√b2− + 4ac2a

#= 0

Ahora, para que la última igualdad sea válida es preciso que

x+b−√b2 − 4ac

2a= 0 ó x+

b+√b2 − 4ac2a

= 0

o sea, que

x = −b−√b2 − 4ac2a

ó x = −b+√b2 − 4ac2a

En consecuencia, las soluciones de la ecuación (1) están dadas por la fórmula

x =−b±√b2 − 4ac

2a

Además; denotando por ∆ al número b2 − 4ac, el cual se denomina discriminante dela ecuación (1), se concluye que:


i) Si ∆ = 0, entonces la ecuación (1) tiene solución única real

x = − b2a

ii) Si ∆ > 0, entonces la ecuación (1) tiene dos soluciones reales diferentes.

x1 =−b+√b2−4ac

2cy x2 = −b−√b2−4ac

2c

iii) Si ∆ < 0, entonces la ecuación (1) tiene dos soluciones complejas conjugadas.

x1 =−b+i√−(b2−4ac)2a

y

x2 =−b−i√−(b2−4ac)2a

= x1Veamos los siguientes ejemplos.Resolvamos la ecuación cuadrática

2x2 + 6x+ 3 = 0, x ∈ C

Usando la fórmula, encontramos que las soluciones están dadas por

x = −6±√62−4×3×22×2 = −6±√12

4

= −6±2√34

= −3±√32

El conjunto solución de la ecuación es

S =n−3+√3

2; −3−

√3

2

oResolvamos ahora la ecuación cuadrática

3x2 − x+ 1 = 0, x ∈ C

Usando la fórmula, encontramos que las soluciones están dadas por

x = 1±√12−4×3×12×3 = 1±√−11

6

= 1±i√116

El conjunto solución de la ecuación es

S =n1+i

√11

2, 1−i

√11

2

oSolución de Ecuaciones RadicalesPara resolver ecuaciones radicales se usan varias de las transformaciones vistas antes,

en particular la regla de transformación IV. Ilustramos ésto con los siguientes ejemplos.Resolvamos la ecuación radical en x

240 3. ALGEBRA

(1) 3√−2x3 + 11x2 − 4x− 4 = −2x

Usando la regla de transformación IV, elevando al cubo ambos miembros de la ecuacióndada, se obtiene la ecuación.

(2) −2x3 + 11x2 − 4x− 4 = −8x3

cuyo conjunto solución contiene las soluciones de la ecuación (1).Usando ahora la regla de transformación II, sumando a los dos miembros de la ecuación

(2) la expresión polinómica 8x3, obtenemos la ecuación equivalente a la (2)

(3) 6x3 + 11x2 − 4x− 4 = 0,

Factorizando el miembro izquierdo de la ecuación (3), encontramos que las expresiones

6x3 + 11x2 − 4x− 4 y 6(x+ 2)(x+ 12)(x− 2

3)

son equivalentes. En consecuencia, la ecuación (3) es equivalente a la ecuación

(4) 6(x+ 2)(x+ 12)(x− 2

3) = 0

que tiene por conjunto solución a

S = {−2,−12, 23}.

Verifiquemos si cada uno de los números que aparecen en el conjunto S es solución dela ecuación original.El número s1 = −2 es solución de la ecuación (1), pues

3

q−2 (−2)3 + 11 (−2)2 − 4 (−2)− 4 = 3

√64 = 4 = −2 (−2)

El número s2 = −12 es solución de la ecuación (1), pues

3

q−2 ¡−1

2

¢3+ 11

¡−12

¢2 − 4 ¡−12

¢− 4 = 3√1 = 1 = −2 ¡−1

2

¢El número s3 = 2

3es solución de la ecuación (1), pues

3

q−2 ¡2

3

¢3+ 11

¡23

¢2 − 4 ¡23

¢− 4 = 3

q−6427= −4

3= −2 ¡2

3

¢El conjunto solución de la ecuación (1) es por lo tanto

S = {−2,−12, 23}.

Resolvamos la ecuación radical


(1)√2x− 3 = √x+ 7− 2,

usando la regla de transformación IV, elevando al cuadrado ambos miembros de laecuación anterior se obtiene la ecuación

(2) 2x− 3 = (x+ 7)− 4√x+ 7 + 4,

cuyo conjunto solución contiene las soluciones de la ecuación (1).Usando la regla de transformación II, sumando en ambos miembros de (2) la expresión

polinómica −x− 11 obtenemos la ecuación equivalente a la (2),

(3) x− 14 = −4√x+ 7 ,

usando de nuevo la regla de transformación IV, elevando al cuadrado ambos miembrosde (3), se obtiene la ecuación

(4) x2 − 28x+ 196 = 16(x+ 7),

cuyo conjunto solución contiene las soluciones de la ecuación (3).Usando la regla de transformación I y la regla de transformación II, obtenemos las

siguientes ecuaciones equivalentes a la (4)x2 − 28x+ 196 = 16x+ 112x2 − 44x+ 84 = 0(x− 42)(x− 2) = 0.

Las soluciones de la última ecuación son

s1 = 42 y s2 = 2.

Veamos ahora si estos números son soluciones de (1). El número s = 42 no es soluciónde (1), pues

√2,42− 3 = √81 = 9 6= 5 = √49− 2 = √42 + 7− 2

El número x = 2 es solución de (1), pues

√2,2− 3 = √1 = 1 = 1 = √9− 2 = √2 + 7− 2

En consecuencia, el conjunto solución de la ecuación (1) es

S = {2}.

242 3. ALGEBRA

3.6.6. Solución de Ecuaciones Fraccionarias

Resolvamos la ecuación en la variable x.

(1) 5xx−3 = 4 +

15x−3

Usando la regla de transformación III, multiplicando ambos miembros de (1) por laexpresión variable (x− 3), obtenemos la ecuación

(2) 5x = 4(x− 3) + 15.

Note que toda solución de la ecuación (1) debe estar en el conjunto R− {3} mientrasque toda solución de la ecuación (2) debe estar en el conjunto R. Por lo tanto, si hay unasolución de (2) que no sea solución de (1) ésta debe ser el número 3,Ahora, la ecuación (2) es equivalente a la ecuación

(3) x = 3

cuyo conjunto solución es S = {3}.Verifiquemos ahora si el número 3 es solución de la ecuación (1). Al sustituir en (1) x

por 3 se obtiene

5·33−3 = 4 +

153−3

o sea

150= 4 + 15

0

lo cual no tiene sentido.

En realidad la ecuación (1) no tiene solución. Pues si existe algún valor de x quehaga válida la igualdad (1) éste debe ser 3, pero,como hemos visto, 3 no es solución de laecuación (1).Resolvemos ahora la ecuación en la variable z

(1) 32(z−2) − 5

z+3= 2

z−2

Multiplicando ambos miembros de (1) por el mínimo común denominador de losdenominadores que aparecen en (1): 2(z − 2)(z + 3), obtenemos la ecuaciónEjemplo

Example 2

(2) 3(z + 3)− 5,2(z − 2) = 2,2(z + 3).


Observe que si s es solución de la ecuación (1), entonces s ∈ R − {2,−3}, mientrasque si s es solución de (2), entonces s ∈ R. Por lo tanto si hay alguna solución de (2) queno sea solución de (1) ésta debe estar en el conjunto {2,−3}.

Ahora, la ecuación (2) es equivalente a las ecuaciones3z + 9− 10z + 20 = 4z + 123z − l0z − 4z = 12− 20− 9−11z = −17z = 17

11.

En consecuencia, el conjunto solución de las ecuaciones (1) y (2) es

S = {1711}.

3.6.7. Solución de Otros Tipos de Ecuaciones

Se dice que una ecuación es de "tipoçuadrática si se puede expresar en la formaau2 + bu+ c = 0, donde a 6= 0 y u representa una expresión variable.Encontrando las soluciones en términos de u, entonces las soluciones de la ecuación en

cuestión se obtienen por referencia a la forma específica de u,En los siguientes ejemplos ilustramos ésto.Resolvamos la ecuación

x2/3 + 5x1/3 + 6 = 0, ∈ R

Si hacemos u = x1/3 , entonces la ecuación se puede escribir en términos de u así:

u2 + 5u+ 6 = O

Esta última ecuación tiene las soluciones

u = −3 y u = −2.

Puesto que u = x1/3 , tenemos que

x13 = −3 ó x

13 = −2

Usando la regla de transformación IV, elevando al cubo, se obtiene

x = −27 ó x = −8.

Verificando en la ecuación original, encontramos que el conjunto solución de ésta es

S = {−27,−8}

244 3. ALGEBRA

Resolvamos ahora la ecuación

(log x)2 − 3 log x2 − 7 = 0.

Si hacemos u = log x, entonces la ecuación dada se puede escribir en términos de uasí:

u2 − 6u− 7 = 0

ecuación que tiene las soluciones

u = +7 y u = −1

Ya que u = log x, tenemos que

log x = 7 ó log x = −1

De donde se concluye que

x = 107 ó x = 10−1

Verificando en la ecuación original, encontramos que el conjunto solución de ella es

S = {107, 10−1}.

Resolvamos ahora la ecuación en la variable w

|w − 9|+ |w − 4| = 5, w ∈ R

Para resolver esta ecuación podemos hacer uso de la interpretación geométrica delvalor absoluto. Para ello procedemos así:

d1 = |w− 9| = distancia del punto de la recta real asociado con el número w al puntoasociado con el número 9.

d2 = |w− 4| = distancia del punto de la recta real asociado con el número w al puntoasociado con el número 4.La ecuación en términos de distancia se plantea así:

d1 + d2 = 5.

Según lo que observamos en el gráfico anterior:

i) Si w < 4, entonces d1 + d2 > 5. Esto quiere decir que ningún número real w < 4 essolución de la ecuación.

ii) Si 4 ≤ w ≤ 9, entonces d1 + d2 = 5. Esto quiere decir que todo número real w tal que4 ≤ w ≤ 9 es solución de la ecuación.


ii) Si w > 9, entonces d1 + d2 > 5. Esto quiere decir que ningún número real w > 9 essolución de la ecuación.

Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es

S = [4, 9]

Otra forma de resolver la ecuación planteada se logra haciendo uso de la definición devalor absoluto. Según esta definición:

|w − 9| =½w − 9 si w ≥ 99− w si w < 9

|w − 4| =½w − 4 si w ≥ 44− w si w < 4

Puesto que |w − 9| çambia"de signo en w = 9 y |w − 4| çambia"de signo en w = 4,entonces debemos analizar los siguientes casos:

Caso 1. w < 4, Caso 2.4 ≤ w ≤ 9, Caso 3.w ≥ 9

Caso 1. w < 4. En este caso:

|w − 9| = 9− w y |w − 4| = 4− w

La ecuación queda entonces así:

9− w + 4− w = 5

que es equivalente a las siguientes

13− 2w = 5−2w = −8w = 8

2

w = 4

Puesto que estamos resolviendo la ecuación para el caso en que w < 4, entonces elconjunto solución en este caso es

S1 = ∅

Caso 2. 4 ≤ w < 9. En este caso:

|w − 9| = 9− w y |w − 4| = w − 4


246 3. ALGEBRA

9− w + w − 4 = 5

o sea

5 = 5

Esto quiere decir, que para cualquier w tal que 4 ≤ w < 9, siempre se tiene que

|w − 9|+ |w − 4| = 5

Por lo tanto, el conjunto solución en este caso es

S2 = [4, 9).

Caso 3. w ≥ 9. En este caso:

|w − 9| = w − 9 y |w − 4| = w − 4.


w − 9 + w − 4 = 5

que es equivalente a las siguientes

2w = 18

w = 9

Puesto que estamos resolviendo la ecuación para el caso en que w ≥ 9, entonces elconjunto solución en este caso es

S3 = {9}.

En consecuencia, el conjunto solución de la ecuación es

S = S1 ∪ S2 ∪ S3 = φ ∪ [4, 9) ∪ {9} = [4, 9].

Algunas ecuaciones trigonométricas serán vistas en el próximo Capítulo.


3.6.8. Inecuaciones

Sean p(x, y, z, ..., w) y q(x, y, z, ..., w) expresiones variables. Una inecuación enlas variables x, y, z..., w es una proposición abierta en donde aparezcan relacionadasexpresiones variables como las anteriores por medio de uno de los símbolos ” > ”, ” ≥ ”,” < ” ó ” ≤ ”, como por ejemplo:

p(x, y, z, ...., w) > q(x, y, z, .....w).

Si la desigualdad que figure en ella es válida para todos los valores numéricos de losdominios de las variables, se suele decir que la expresión es una desigualdad universal.Como en el caso de ecuaciones, según el número de variables que estén en una

inecuación se dice que ésta es una inecuación en una variable, una inecuación en dosvariables, etc.Las siguientes expresiones son inecuaciones

2x+ 3 > 1 + z5x ≤ 2 + y√x2 + 1 < 24

33x − 3x+1 − 4 ≥ 0log(y + 3) > 6.x2 + y2 ≥ 2xy

xy + yz + zx ≤ x2 + y2 + z2

|x| ≥ 0

En particular, las últimas tres son desigualdades universales (¿Por qué?)Dada una inecuación en una variable, por ejemplo,

p(x) ≤ q(x),

se llama solución de ésta a todo número s tal que

p(s) ≤ q(s)

es una desigualdad numérica válida.Al conjunto de todas las soluciones de una inecuación se le llama conjunto solución de

la misma. Simbólicamente, el conjunto solución de la inecuación dada es

S = {s : p(s) ≤ q(s)}.

Dada la inecuación en n variables, como por ejemplo

p(x1, x2, ..., xn) > q(x1, x2, ..., xn),

se llama solución de ésta a toda n-upla ordenada de números (s1, s2, ..., sn) tal que

248 3. ALGEBRA

p(s1, s2, ..., sn) > q(s1, s2, ..., sn)

es una verdadera desigualdad numérica.Al conjunto de todas las soluciones de la anterior inecuación se le llama conjunto

solución y puede ser expresado así:

S = {(s1, s2, ..., sn) : p(s1, s2, ...sn) > q(s1, s2, ..., sn)},

Resolver una inecuación es dar su conjunto solución.Dos inecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.En general, el problema de resolver una inecuación es más difícil que el problema de

resolver una ecuación. Como en el caso de ecuaciones, al resolver una inecuación, algunasveces es necesario transformar ésta en otra u otras que sean equivalentes en los posible,pero que sean fáciles de resolver o cuya solucisea obvia. Cuando las transformacionesconllevan a inecuaciones que no estamos seguros son equivalentes, es preciso verificar lassoluciones. Ya que se puedan "ganar.o "perder"soluciones.

En los ejemplos y en los ejercicios consideramos inecuaciones en una sola variable.Usando las mismas reglas de transformación se pueden tratar inecuaciones en variasvariables, pero, por lo general, se necesitan argumentos geométricos para encontrar yrepresentar el conjunto solución. Como un ejemplo analicemos la siguiente inecuación:

x2 + y2 ≤ 1

Con referencia a un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, es bien conocidoque el conjunto solución de esta inecuación es el conjunto de "puntos"del círculo de radio1 con centro en el origen de coordenadas. Veamoslo en el siguiente gráfico:

Como lo muestra el argumento geométrico, la inecuación dada tiene infinitassoluciones. De hecho, podemos indicar el conjunto solución de tal inecuación en términosconjuntistas, y de una manera tautológica, así:

S = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}

En lo que se refiere a las reglas de transformación usadas para resolver inecuaciones;las reglas de transformación I y II para ecuaciones se usan de manera análoga y con lasmismas restricciones. Damos ejemplos de ésto a continuación.

Ejemplo 1. Las inecuaciones en la variable x

x2 − 2 ≤ 0

y ¡x−√2¢ ¡x+√2¢ ≤ 0


son equivalentes, pues x2 − 2 = (x −√2)(x +√2), y tienen por conjunto solución aS =

£−√2,√2¤. (¡Verifíquelo!)Ejemplo 2. Dada la inecuación en la variable z

z2 + 2z − 5 ≥ 10,al sumar a los dos miembros de ésta el número (−10) se llega a la inecuación equivalente

z2 + 2z − 15 ≥ 0.Al factorizar la expresión z2 + 2z − 15 se obtiene

z2 + 2z − 15 = (z + 5)(z − 3)De aquí que la última inecuación es equivalente a la inecuación

(z + 5)(z − 3) ≥ 0que tiene por conjunto solución a S = (−∞,−5] ∪ [3,∞). (¡Veríquelo!)Ejemplo 3. Al sumar a los dos miembros de la inecuación en la variable w

(A) w2 − w − 1w≤ − 1

w

la expresión variable 1w, se obtiene la inecuación

(B) w2 − w ≤ 0.Observe que toda solución de la inecuación (A) debe estar en el conjunto R − {0},

mientras que toda solución de la inecuación (B) debe estar en R. Por tanto es posible queen esta transformación se haya "ganado"la solución s = 0.Ahora bien, como w2−w = w(w− 1), la inecuación (B) es equivalente a la inecuación

(C) w.(w − 1) ≤ 0que tiene por conjunto solución a S = [0, 1]. (ÍVerifíquelo!).En consecuencia, el conjunto solución de la inecuación (B) es S = [0, 1] y el conjunto

solución de la (A) es S = (0, 1]. En este caso se "ganó"la solución s = 0.

En lo que atañe a la transformación III correspondiente a ecuaciones, para inecuacionesno es válida en general. En particular:

Al multiplicar los dos miembros de una inecuación por un mismo número positivo, seobtiene una inecuación equivalente. Por ejemplo, dada la inecuación(A) p(x) < q(x)al multiplicar ambos miembros de ella por el número positivo h, obtenemos la

inecuación(B) p(x).h < q(x).h

250 3. ALGEBRA

Notation 3

que es equivalente a la inecuación (A)

En efecto, si p(s) < q(s), es decir, si s es una solución de la inecuación (A) entonces,si h > 0 p(s).h < q(s).h. Es decir s es también solución de la inecuación (B).

Recíprocamente si p(s).h < q(s).h entonces, puesto que 1h

> 0,por ser h > 0,p(s).h× 1

h< q(s).h× 1

h, lo cual permite concluir que si s es solución de la inecuación

(B) también lo será de la inecuación (A).

ii) Al multiplicar los dos miembros de una inecuación por un mismo número negativo, seobtiene una inecuación de "signo contrario.equivalente a la dada. Es decir, dad unainecuación, por ejemplo

p(x) < q(x)

Si h < 0, entonces ésta es equivalente a la inecuación

p(s).h > q(s).h

La verificación de que esto es cierto se hace en la forma análoga al caso en que h > 0.

iii) Cuando se multiplican los dos miembros de una inecuación por una mismaexpresión variable en las mismas variables de la inecuación, deben tenerseen cuenta los aspectos vistos en (i) y (ii). Esto es, dada una inecuación porejemplo

p(x) < q(x)

al multiplicar los dos miembros de ella por la expresión variable f(x), entonces

p(x).f(x) < q(x).f(x)

solamente para aquellos valores numéricos de la variable x para los cuales

f(x) > 0

y

p(x)f(x) > q(x)f(x)

Solamente para aquellos valores numéricos de la variable x para los cuales

f(x) < 0.

Veamos el siguiente ejemplo.Dada la inecuación en la variable x


(A) P (x) = 2xx−1 < −x = q(x),

al multiplicar los dos miembros de ésta por la expresión variable f(x) = x− 1, dadoque

f(x) = x− 1 > 0 si x > 1yf(x) = x− 1 < 0 s i x < 1entonces la inecuación (A) es equivalente a la inecuaciónEjemplo

Example 4

(B) p(x).f(x) = 2x < −x(x− 1) = q(x)f(x) si x > 1

y a la inecuación

(B)* p(x)f(x) = 2x > −x(x− 1) = q(x)f(x) si x < 1

Por lo tanto, al resolver la ecuación (A) se deben analizar los dos siguientes casos:Caso 1. x > 1. En este caso, como hemos dicho, la inecuación (A) es equivalente a la

inecuación(B) 2x < −x(x− 1).Sumando en ambos miembros de ella la expresión variable x(x − 1) se obtiene la

inecuación equivalente a la (B)

2x+ x(x− 1) < 0

o lo que es lo mismo,

x(x+ 1) < 0.

sin dificultad se encuentra que el conjunto solución de esta última inecuación es elintervalo I = (−1, 0). (iVerifíquelo!).En vista de que estamos resolviendo la inecuación (A) para el caso en que x > 1,

entonces el conjunto solución de ella en este caso es

S1 = ∅

Caso 2. x < 1. En este caso, la inecuación (A) es equivalente a la inecuación(B)* 2x > −x(x− 1)Sumando en ambos miembros de ésta la expresión variable x(x − 1) se llega a la

inecuación equivalente a la (B)*2x+ x(x− 1) > 0

o lo que es lo mismox(x+ 1) > 0

Fácilmente se encuentra que el conjunto solución de la inecuación anterior es

252 3. ALGEBRA

I2 = (−∞,−1) ∪ (0,∞). (¡Verifíquelo!)

Ya que estamos resolviendo la inecuación (A) para el caso en que x < 1, entonces elconjunto solución de ella en este caso es

S2 = (−∞,−1) ∪ (0, 1).

Consecuentemente, el conjunto solución de la ecuación (A) es

S = S1 ∪ S2 = ∅ ∪ (−∞,−1) ∪ (0, 1) = (−∞,−1) ∪ (0, 1).

Por último, en lo tocante a la regla de transformación IV para ecuaciones, parainecuaciones no es válida en general. Veamos el siguiente ejemplo numérico para mostrarque al elevar a una misma potencia n los dos miembros de una desigualdad válida, se puedeobtener una desigualdad falsa. Al elevar al cuadrado los dos miembros de la desigualdadverdadera

−4 < 1,

obtenemos la desigualdad no válida

16 < 1.

Cuando al resolver una inecuación sea necesario elevar a una potencia n los dosmiembros de una inecuación, se debe tener presente las propiedades de orden vistas en elcapítulo 1.En particular, las siguientes reglas son muy utilizadas:

i) 0 ≤ a < b sii an < bn, a, b,∈ R, n ∈ N.ii) a < b sii an < bn, a, b ∈ R, n impar.

Estas reglas se deducen del Teorema 5 del Capítulo 1,A continuación ilustramos ésta.Ejemplo 1. Resolvamos la inecuación

√3x− 1 < √x

En primer lugar observe que el dominio de la variable x que aparece en esta inecuaciónes [1

3,∞) (¿Por qué?). En segundo lugar, por definición de raíz cuadrada de un numero

real,

0 ≤ √3x− 1 < √x

Usando la regla (i), elevando al cuadrado ambos miembros de la inecuación, obtenemosla inecuación


3x− 1 < x,

la cual tiene por conjunto solución a

S = (−∞, 1/2)

Puesto que el dominio de la inecuación en consideración es [1/3,∞), entonces elconjunto solución de ella es

S = (−∞, 12) ∩ [1

3,∞) = [1

3, 12).

Ejemplo 2. Resolvamos la inecuacion

3√x− 2 > √2

Usando la regla (ii), elevando al cubo ambos miembros de ésta se llega a la inecuaciónequivalente (¿Por qué?)

x− 2 > 2√2

la cual tiene por conjunto solución a

S = (2 + 2√2,∞) (¡Verifíquelo!)

Dado que las inecuaciones son equivalentes, el anterior es el conjunto solución de lainecuación original.Ejercicios

1. Responda V. o F. justificando su respuesta.

a) Cada una de las siguientes expresiones son identidades

1) logx2.y2 = 2logx+ 21ogy.

2)√x2 = |x|

3) log x2

log y2= 2 (log x− log y)

4) 3√x3 = |x|

b) El número s = 2 es una solución de la ecuación;√2z − 3 + 2 = √z + 7

c) El par ordenado de números (s1, s2) = (−27, 3) es una solución de la ecuaciónx yy; yx

23 − 5yx1

3 − 6 = y

d) Existen ecuaciones en una variable que tienen infinitas soluciones.

e) Al sustituir un miembro de una ecuación por una expresión equivalente siemprese obtiene una ecuación equivalente.

254 3. ALGEBRA

f ) Al multiplicar o sumar a los dos miembros de una ecuación una expresiónvariable siempre se obtiene una ecuación equivalente.

g) Al elevar a una potencia n los dos miembros de una ecuación nunca se"pierden"soluciones.

h) Si p(x) es un polinomio de grado n con coeficientes complejos, entonces laecuación p(x) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas.

i) Al multiplicar los dos miembros de una inecuación por un mismo número nonulo siempre se obtiene una inecuación equivalente.

j ) Al elevar a una potencia n los dos miembros de una inecuación siempre seobtiene una inecuación equivalente.

k) El número s = −8 es solución de la inecuación |x|x23−1

< 125

l) El par ordenado de números (s1, s2) = (−1, 15) es una solución de la inecuaciónen x y z; 3x

2+2zz2

< 1z

2. Hallar el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones, señalandoen cada paso la regla de transformación útilizada. (Revise si se pierden o ganansoluciones).

a) x+43− 7 = 3− x+2

4

b) 63y−1 − 1

y= 4

y(3y−1)

c) 2r2+2r

+ 1r+2

= 1r

d) x+1x+2

+ x+1x= 0

e) 25x2 + 4 = 20x

f ) x2 − y = 0

g) x4 − 5x2 = −6xh)√x+ 1 + 1 = −x

i)√y + 2 +

√y + 14 = 6

j )√x2 + x+ 5 = 2 +

√x2 + x− 11

k) (x+2)x−1 +

6x1−x2 =

2x−1x+1

l)¡w−1w

¢+ 2 = +

¡w

w−1¢

m) (log x)3 + (log x)2 − 4 (log x)− 4 = 0n) |x+ 3| = 5 |x− 2|+ 3ñ) y2+1

y+ 4y

y2+1= 4

o) y−4 + 10y−2 + 9 = 0

p)√2y + 3 =

√y + 1 +

√y − 2


q) log x = 3− 2log x

r) 2− 1ey= ey

3. Explique la equivalencia de los siguientes pares de ecuaciones

a) x−56+ 1

2= 4x+2

9, 3 (x− 5) + 9 = 2 (4x+ 2)

b) 1− 2x−11x−2 = 7

x−2 ,1

x−2 = 0

c) 3x2 + 2x− 2 = 0, ¡x+ 1

3

¢2= 7

9

d)√3x+ 1−√x+ 4 = 1, (x− 5)2 = 0

4. Para cada una de las siguientes ecuaciones, dé dos soluciones

a) x2 + y2 − z2 = 16

b) xx − 3y = 5x

c)√t2 + 3 = 2t

logw2

5. Ejercicios de Planteo.

a) Un tanque A contiene a litros de solución de alcohol al 50%. Un tanque Bcontiene b litros de otra solución de alcohol al 20%. Exprese: en términos de ao b o como un número lo siguiente:

1) (a) El número de litros de alcohol en el tanque A,2) (b) el número total de litros de alcohol en los tanques A y B,3) (c) el número de litros de alcohol en 9 litros de solución sacada del tanqueB,

4) (d) el número total de litros de alcohol contenidos en una mezcla de 10litros extraídos del tanque A y 20 litros extraídos del tanque B.

b) El perímetro de un terreno rectangular es de 490m. Su longitud es 70m. menorque el doble de su ancho. Hallar sus dimensiones.

c) El Sr. González invirtió una parte de $170,000 al 6% y el resto al 8%. Suingreso anual por concepto de ambas inversiones es de $11,120. ¿Cuánto invirtióen cada casa?

d) Un muchacho monta una bicicleta colina abajo, hacia la farmacia a unavelocidad de 15 km. por hora, espera 10 minutos a que le surtan su recetay regresa colina arriba a 5 km por hora. Si el tiempo total de viaje fue de 18minutos, ¿qué tan lejos está su casa de la farmacia?

e) Se dice que la forma ideal de un rectángulo utilizado en el dibujo artístico esla del rectángulo de oro, usado por los griegos. Si se corta un cuadrado en unextremo, se obtiene un rectángulo menor, pero se conserva la misma razón delargo a ancho que el rectángulo original (véase la figura). Hallar la longitud deun rectángulo de oro de 1m de ancho.

256 3. ALGEBRA

f ) Hallar los números que son una unidad menos que sus respectivos cuadrados.

g) Hallar los números que son una unidad mayores que sus recíprocos respectivos.

h) La suma de dos números reales positivos es 1. El producto de sus cuadradostambién:es 1. Hallar los dos números.

i) Se hace un corte cuadrado de 2cm. de largo en cada esquina de una piezarectangular de hojalata, cuyo largo es 4cm mayor que su ancho. Después loslados se voltean hacia arriba para formar una caja abierta. Si el volumen dela cada es de 192cm3, ¿cuáles eran las dimensiones de la pieza original dehojalata?

6. De las siguientes expresiones diga cuáles de ellas son desigualdades universales.Justifique su respuesta.

a) x2 + y2 > 1

b) 3x2 + y2 > −1c) x+ 1

x≥ 2

d) x2

1+x4≤ 1

2

e) 5 |x|+ x2 ≥ 0f ) −2 (x− 3)4 ≤ 0g) log x

log 12x< 0

h) 5.ex

2−x ≥ 0

7. Resuelva las siguientes inecuaciones justificando cada paso

a) 5(x− 1) > 2(3x− 4)b) x

2+ x

5+ 6 < x− x

10

c) 5+x5−x ≥ 0

d) (x− 1) (x+ 3) > 0e) x+ 1

x< 1

f ) 4x2 + 20x+ 24 < 0

g) x4 + 3x2 > 4

h) x3 − x2 − 4x+ 4 ≥ 0i) x2−x−2

x2−4x+3 ≥ 0j )¯x+43

¯ ≤ 2k) 3

|5−2x| ≤ 1l) 2− 1

x< 1 + 4

x


m)√x+ 1 <

√3x+ 2

n) 3√x+ 1 ≥ 1

ñ) 32x+3

< 1x−2

o) |x+ 3| < 2 |x− 5|p) 2

log8(x−7) > 3

q) 22x−162x−8 ≥ 0

258 3. ALGEBRA

Capítulo 4

FUNCIONES NUMÉRICAS

4.1. EL DESARRO HISTORICO DEL CONCEPTODE FUNCIÓN

Las funciones tienen sus antecedentes en las variables relacionadas y más específica-mente, en las cantidades que dependen de otras cantidades. Se puede evidenciar el usode variables relacionadas en muchas situaciones de la cotidianidad, desde las matemáti-cas babilonias y egipcias, pasando por las matemáticas griegas, las árabes y sobre todo,en el renacimiento; sin embargo, las funciones, como objetos matemáticos, emergen dedos necesidades básicas: los problemas de encontrar áreas de figuras no rectilíneas y labúsqueda de la matematización del movimiento.Sabemos que uno de los problemas centrales del siglo XVII consisitía en dar una

explicación descriptiva del movimiento. La mayoría de problemas prácticos que se lepresentaban al hombre europeo del siglo XVII, tenían relación, de una u otra manera,con el movimiento. Más allá de entender las leyes fundamentales del movimiento queregían, por ejemplo, los planetas, se precisaba una astronomía que resolviera el problemapráctico de navegación marina a gran escala; se requería de métodos que dieran respuestaal problema de las trayectorias de los barcos cuando debían surcar grandes distancias. Apartir del siglo XVI se generalizó el uso de las tablas. A través de tabulaciones sucesivasse describían las direcciones seguidas por un movil en diferentes momentos. Es así comoaparecen las tablas de datos de las variables posición y tiempo aplicadas al movimientode los planetas, el movimiento de proyectiles y el movimiento de caída libre.La determinación de las diversas posiciones de una trayectoria, con las variaciones

del tiempo, constituye el elemento conceptual primitivo del concepto de relación entrevariables (la posición varía respecto al tiempo). El mismo uso de la palabra “variable”tiene su procedencia en las variaciones de una cantidad debido a los diferentes valoresdel tiempo, que luego se generalizan en la cuantificación de otras magnitudes como áreas,volúmenes, y más tarde en la interpretación del fenómeno del calor por parte de Fourier.De esta manera, así como el concepto de función es pariente del movimiento, elde variable lo es del tiempo.

259

260 4. FUNCIONES NUMÉRICAS

En 1667 en su libro Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura, James Gregory, aventurauna primera definición de función como una cantidad que se obtiene de otras cantidadesmediante una serie de operaciones algebraicas o mediante cualquier otra operación. Por lamisma época, Newton utilizó el término “fluentes” para designar las variables dependientesdel tiempo, que modernamente reconocemos como funciones paramétricas. Leibniz utilizóexplícitamente la palabra función para designar cualquier cantidad que varía de un puntoa otro en una curva. Sin embargo, lo que podríamos llamar la conciencia de la emergenciade un nuevo objeto matemático, función, con su simbología y significado propio se da apartir de los trabajos del matemático suizo Leonard Euler y del francés Augustin-LouisCauchy. El paso definitivo, de una función como una relación especial arbitraria, se dahacia principios del siglo XX con la adopción de la teoría de conjuntos y el empleo de loscuantificadores del cálculo de predicados.

4.2. DEFINICIÓN GENERAL DEL CONCEPTODE FUNCIÓN

Como se dijo antes, la noción de función constituye la salida conceptual en lamodelación matemática de fenómenos que contenían variable relacionadas. Especialmenteen la matemátización del movimiento donde cada tiempo t determinado se relacionaba conuna posición única r(t). Decimos que la posición depende del tiempo o que la posición se daen función del tiempo. Notémos el lenguaje sugestivo subyacente, especialmente por el usode las palabras como “relación” y “función”, que luego lograran su ciudadanía matemática,constituyéndose en objetos matemáticos propiamente dichos. De esta manera, se volvióuna práctica común definir función como una cierta relación.No es extraño para ninguno de nosotros ver gráficas, fórmulas y tabulaciones que

muestran ciertas relaciones especiales entre los elementos de dos conjuntos. La palabramisma función la encontramos vinculada a muchas actividades que ya hemos desarrolladoo de las cuales tenemos alguna idea. Veamos algunas de ellas:

1. Expresamos la distancia que recorre un cuerpo en FUNCIÓN del tiempo.

2. El área de un cuadrado está en FUNCIÓN de su lado: A = l2

3. La longitud de la circunferencia está en FUNCIÓN de su radio: L = 2πR

En términos generales nos interesa que se reconozca la existencia de relaciones entrelos elementos de dos conjuntos que cumplen dos propiedades:

1. Todo elemento del conjunto de partida tiene una imagen en el conjunto de llegada.

2. Cada elemento del conjunto inicial tiene UNA Y SOLO UNA IMAGEN.

A este tipo de relaciones entre conjuntos se denominan FUNCIONES.Un esquema nos puede esclarecer lo anterior:

4.2. DEFINICIÓN GENERAL DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN 261

CONJUNTO DE PARTIDA

CONJUNTO DE LLEGADA RELACIÓN

Definicion: Una función es una ley de correspondencia o ley de apareamiento, entreelementos de un conjunto X y un conjunto Y , que asocia a cada elemento x del primeroun único elemento y del segundo llamado imagen de x. El conjunto X se llama dominiode la función. El conjunto Y se llama codominio de la función y el conjunto de elementosde Y , que son imagen de algún elemento de X, se llama rango o recorrido de la función.Las funciones se suelen denotar mediante letras (minúsculas o mayúsculas según las

conveniencias). Se dice, por ejemplo, "Sea f una función"ó bien "Sea f una función".Con esta notación, la imagen y de un elemento x, según la función f , se denota comof(x) y se escribe y = f(x) para indicar que y es la imagen de x según f . Con frecuenciautilizaremos los símbolos Df , Cf y Rf para referirnos al dominio, co dominio y al rango,respectivamente, de la función f . De acuerdo con la definición de rango se puede escribirque

Rf = {y ∈ Y |y = f(x), para algún x en X}

También se suele utilizar la expresión y = f(x) para referirse a la función f . En estecaso se dice "sea la función y = f(x)".Es también común encontrar la notación f : X −→ Y ó x −→ f(x).De acuerdo con nuestra definición, dos funciones son iguales si y solo si tienen el

mismo dominio y asignan a cada elemento del dominio la misma imagen en el codominio.Simbólicamente: Sean f y g funciones con demonios Df y Dg respectivamente. Entonces:

f = g ⇐⇒ Df = Dg ∧ (∀x ∈ Df) (f (x) = g (x))

Las siguientes observaciones son pertinentes respecto de la función anterior.

Los conjuntos X e Y pueden ser de cualquier naturaleza y no tienen que sernecesariamente conjuntos numéricos. Puede ocurrir, además, que X = Y .

La correspondencia puede tener formas y significados diferentes Puede estardeterminada por una ley científica, por una fórmula matemática o por una asignaciónarbitraria.

La forma como se define explícitamente la ley de correspondencia de una funciónpuede adoptar expresiones diferentes, pero en todo caso debe ser tal que dadocualquier elemento x en el dominio se pueda determinar unívocamente su imagenf (x)


De acuerdo con nuestra definición de función y con el criterio de igualdad que hemosestablecido entre ellas, dos funciones pueden ser iguales sin tener codominios iguales.

Ejemplos:

1. La regla que asocia a cada número real x el número real x2 define una funciónf : X −→ Y donde

X = Df = RY = Cf = R

La ley de correspondencia o nexo funcional, como también se suele decir, estaríadefinida por la expresión f(x) = x2

Rango de f = Rf = {f (x) /x ∈ R} = {x2/x ∈ R} = R+0(Por definición R+ = conjunto de números reales positivos y R+0 = R+ ∪ {0})Es importante tener conciencia que las dos primeras igualdades son el resultado de

aplicar la definición de rango y la definición de f . La última igualdad, sin embargo,es una afirmación, que a lo mejor el estudiante acepte fácilmente, pero que no estádemostrada. Para demostrarla constatemos que simultáneamente se cumplen las dosinclusiones Rf ⊂ R+0 y R+0 ⊂ Rf y por lo tanto se cumple también la igualdad Rf = R+.La primera inclusión es inmediata de la definición de f pues sus imágenes son númerosal cuadrado (f(x) = x2) y por lo tanto no pueden ser números negativos. Para constatarla segunda inclusión se re quiere comprobar que si a es un elemento cualquiera de R+0entonces a ∈ Rf , es decir que existe x en R, tal que f(x) = x2 = a. Esto es inmediato,pues si en la última ecuación se despeja x se tiene x = ±√a en R y se cumple quef(√a) = f(

√a) = a. Es decir a ∈ Rf . De acuerdo con la definición de f se puede escribir

lo siguientef(−3) = (−3)2 = 9 = 32 = f(3)

f¡√2¢=¡√2¢2= 2

f (x) = 25 sii x = 5 o x = −5Observe, finalmente, que la ecuación f(x) = −4 no tiene solución. Es decir que no

existen un número real x tal que x2 = −4, pues el cuadrado de todo número real esno-negativo. Esto también se puede interpretar diciendo que −4 /∈ Rf .

2. La suma, la multiplicación y la resta entre números reales definen funciones entreparejas de números reales. Así, por ejemplo, la suma define una función f : R2 −→ Rde la siguiente manera:

Df =Todas las parejas de números reales = {(a, b) /a ∈ R, b ∈ R} = R2Cf = RLa ley de correspondencia está definida de la siguiente manera f(a, b) = a+ b.En este casoRf es igual al codominio. Es decirRf = R. Para demostrar esta afirmación

se procede como en el caso anterior. Se observa primero, que por la definición de f susimágenes son números reales y,por lo tanto, Rf ⊂ R. Se demuestra luego, que R ⊂ Rf

4.2. DEFINICIÓN GENERAL DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN 263

es decir, que cualquier número real se puede obtener como imagen de f , En efecto, sea acualquier número real. Es claro que f(0, a) = 0+ a = a. En otras palabras a es la imagende la pareja (0, a). Se concluye, por lo tanto, que R ⊂ Rf y consecuentemente R = Rf .De acuerdo con la definición de f se puede escribir:f¡4,−1

2

¢= 4 +

¡−12

¢= 7

2

Si f(x, y) = 1 entonces x+ y = 1. Es decir que la solución de la ecuación f(x, y) = 1está dada por el conjunto {(x, 1− x) /x ∈ R}.

3. La expresión f(x, y) = (x− y, x+ y) define una función f tal que

Df = R2Cf = R2

¿Qué se puede decir en este caso de Rf =? Por definición es claro que Rf ⊂ R2.Pero, ¿se cumple que Rf = R2 ? Para afirmarlo habría que de mostrar que para cualquier(a, b) en R2, existe (x, y) en R2 tal que f(x, y) = (x− y, x + y) = (a, b). Igualdad que setransforma en el siguien te sistema de ecuaciones.

x− y = ax+ y = b

Este sistema siempre tiene solución (única), dada por las expresionesx = a+b

2

y = b−a2

En conclusión Rf = R2De acuerdo con la definición de f se puede escribir quef¡14, 12

¢=¡−1

2, 34

¢f(x, y) = (0, 0)←→ (x, y) = (0, 0)

4. Debe mantenerse presente que no toda regla de correspondencia entre elementos dedos conjuntos define una función.

Asi por ejemplo, si a cada x en R+ le hacemos corresponder los y en R tales quey2 = x, esta ley de correspondencia no define una función de R en R. En efecto, paradeterminar que valores “y” están asocia dos con cada "x.en R , se requiere despejar “y”del la ecuación y2 = x. Se tiene, y = ±√x. Esto quiere decir, que a cada x correspondemás de una imagen, o sea que no cumple la definición de función.

5. La Ley de correspondencia que define una función no tiene que comportarse delmismo modo para todo elemento del dominio y no tiene, por lo tanto, que serdescrita por una sola expresión matemática. Por ejemplo, la expresión

f (x) =

½x2, si x ≤ 1x4, si x > 1


define una función de R en R cuyo comportamiento varía si x ≤ 1 o x > 1. Paracalcular f(a) es necesario saber en que parte del dominio esta a. Así, por ejemplo, sia = −2, f(−2) = (−2)2 = 4. Si a = 2, f(2) = 24 = 16.Los problemas de la forma "hallar los x en el dominio tal que f(x) = b", pueden

presentar dificultades con estas funciones. Por ejemplo, en el caso en que b = 6 hay queplantear dos ecuaciones

x2 = 6x4 = 6

y se deben escoger las soluciones que concuerden con la definición de la función. Eneste caso son

x = −√6x = 4√6

Obsérvese que x =√6 no es solución ya que

√6 ≥ 1 y por lo tanto f

¡√6¢=¡√

6¢4= 36 6= 6. Lo mismo sucede si x = − 4

√6, ya que − 4

√6 ≤ 1 y por lo tanto

f(− 4√6) = (− 4

√6)2 =

√6 6= 6

Dada la pertinencia de resaltar el conjunto de partida y de llegada, denotaremos lafunción f como:

f : A→ B ó Af→ B

Recordemos que las funciones son relaciones especiales, en las cuales a cada elementodel conjunto A le corresponde un sólo elemento del conjunto B. Esto nos permite citarla imagen que la función f le asigna al elemento x por f(x) (se lee f de x). Al valor dex se le llama la entrada y a y la salida. A x se le llama la variable independiente y a y lavariable dependiente. Se dice que y es la imagen de x por medio de f .

4.3. DIVERSAS REPRESENTACIONES

Muchas veces es útil reconocer las diversas maneras en las que se pueden representarlas funciones. A continuación presentamos las más usuales a partir de algunos ejemplos:

4.3.1. Representación Simbólica Abstracta

Esta representación está asociada a las expresiones simbólicas presentadas en ladefinición matemática. En general, cuando se está trabajando en un dominio específico,

4.3. DIVERSAS REPRESENTACIONES 265

no hay necesidad de reiterarlo. Por ejemplo, la expresión f (x) = −2x+5 representa unafunción tal que a cada x ∈ R le hace corresponder el número real −2x+ 5; así,

f (3) = −2× 3 + 5 = −1, f (−3) = −2× (−3) + 5 = 11.

4.3.2. Representación Algebraica

Cuando se presentan en forma de ecuaciones con variables reales. En este caso seacostumbra a despejar la variable y y se determina si es función de la variable x.

1. y3 − x− 1 = 02. y2 + x2 − 4 = 03. y = ±√x+ 94. y = 2x− 5

En este caso, 2 y 3 no corresponden a funciones.

Para 1, se tiene que f (x) = 3√x+ 1; para 4: f (x) = 2x+ 5.

4.3.3. Representación Sagital:

Esta representación se da cuando se definen las funciones utilizando flechas que unenlas variables relacionadas. Se utilizan en el caso de funciones con dominio finito. Veamosalgunos ejemplos.

Sean X = {a, b, c, d}, Y = {1, 2, 3, 4},

1. La relación definida por el diagrama:

ab c

d

12 3 4

corresponde a una función en la cual:


f(a) = 4, f(b) = 2, f(c) = 1, f(d) = 4.

Df = {a, b, c, d}Rf = {1, 2, 4}

2. la relación definida por el diagrama:

abc

d

12 3 4

no es una función pues el elemento a no está relacionado con ningún elemento; notiene imagen.

3. La relación definida por el diagrama:

abc

d

12 3 4

no es función pues el elemento d tiene dos imágenes.


4.3.4. Representación Tabular:

Cuando se presentan los valores correspòndientes a través de tablas:

Los datos correspondientes a las tablas 1 y 2 definen una función de los respectivosdominios, pues a cada elemento del conjunto X le corresponde un sólo dato del conjuntoY . La tabla 3, en la cual se relacionan las edades (en años) y las estaturas (en metros),no representa una función puesto que al 43 le corresponden dos valores; es claro que estoes congruente con la realidad ya que sabemos que dos individuos de 43 años pueden tenerdiferente estatura.

4.3.5. Representación de Pares Ordenados definidos por exten-sión

Sean X = {a, b, c, d}, Y = {1, 2, 3, 4, 5}. Consideremos los siguientes conjuntos deparejas:

1. {(a, 1), (b, 2), (c, 2), (d, 5)}

2. {(a, 5), (a, 1), (b, 3), (c, 5), (d, 4)}

3. {(a, 1), (b, 2), (d, 4)}

4. {(a, 4), (b, 4), (c, 4), (d, 4)}

1 y 4 representan funciones, mientras que 2 y 3 no representan funciones. Nótese que2 no es función pues el elemento a tendría dos imágenes, lo cual está en contra de ladefinición. 3 no es función porque el elemento c del dominio no tiene imagen; sin embargo,si tomamos ahora el conjunto X 0 = {a, b, d} como dominio y el mismo codominio Y , 3representaría una función. De esta manera, la representación de una función por mediode pares ordenados, no es en sí misma completa, es necesario precisar el dominio.


4.3.6. Representación de pares ordenados por comprensión

Supongamos que X = Y = R, conjunto de los números reales, y consideremos lossiguientes conjuntos de parejas definidas según la ley establecida:

1. {(x, y) : y = 3x}

2. {(x, y) : y = x2}

3. {(x, y) : y = 1/x}

4. {(x, y) : x2 + y2 − 1 = 0}

Solamente 1 y 2 representan funciones. 3 no representa una función puesto que noexiste ninguna pareja que tenga como primer componente el número real 0, esto se debela operación 1/0 no está definida. 4 no es función pues las parejas (0, 1) y (0,−1) cumplencon la propiedad exigida, lo cual significaría que el 0 tendría dos imágenes.

4.3.7. Representación Cartesiana

Un plano cartesiano está formado por dos rectas perpendiculares entre sí, denominadosejes coordenados. Al eje horizontal se le denomina eje de las abcisas y cada uno de suspuntos se simboliza por la letra x. Al eje vertical se le denomina eje de las ordenadas ycada uno de sus puntos se simboliza por la letra y. En el eje de las abcisas se representa lavariable independiente y en el eje de las ordenadas la variable dependiente. En términosgenerales, la pareja (x, y) ∈ R2 está determinada por un único punto P en el planocartesiano; recíprocamente, dado un punto en el plano cartesiano, se le puede adoptaruna pareja (x, y) de números reales.Toda relación de R en R tiene una representación gráfica cartesiana. Una manera

intuitiva de determinar cuando una grafica en el plano cartesiano corresponde a unafunción es trazando rectas paralelas al eje y, y si alguna de ellas toca a la gráfica en másde un punto, entonces no corresponde a una función, es lo que se conoce como la pruebade la vertical.

Ejemplos:

1. Tomemos A = B = [−2, 2]. La gráfica cartesiana


corresponde a una función.

2. Tomemos A = [−2, 2], B = R. La siguiente gráfica no corresponde a una función.

3. A = B = R. La siguiente gráfica no corresponde a una función.

4. A = B = R. La siguiente gráfica corresponde a una función, se supone que si bien soloaparece una porción de la gráfica, se puede interpolar la parte restante.


5. Consideremos la función f (x) = x. Los puntos sobre su gráfica son del tipo (x, x). Laprimera coordenada debe ser igual a la segunda. Así, f (1) = 1, f (−1) = −1.

f (x) = x

x

y

6. Sea f(x) = −x.


f (x) = - x

x

y

7. Sea f(x) = |x|. Cuando x ≥ 0, f(x) = x. Cuando x < 0, f(x) = −x. De donde f(x)es combinación de las gráficas precedentes. .

f (x) = |x|

x

y

8. Sea f(x) = 2, una función constante para todo número real x. Los puntos de la gráficason (x, 2). La gráfica es una recta horizontal que interseca al eje y en el punto (0, 2).


y

f (x) = 2

x

Sea f(x) = x2. La gráfica consta de todos las parejas (x, x2) como (1, 1), (2, 4),(−1, 1), (3, 9), (−3, 9), etc.La gráfica es la siguiente, junto con los puntos que se dieroncomo ejemplo:

y=x2

4.4. DIFERENTES TIPOS DE FUNCIONES

De acuerdo con las características de su dominio y codominio las funciones se suelenclasificar en grupos para facilitar su estudio: Así, por ejemplo,

4.5. CALCULO DEL DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN 273

Si tanto el dominio como el codominio de la función son subconjuntos de B, lafunción se suele llamar numérica o función real de una sola variable. Funciones delos ejemplos 3 y 4 son casos típicos.

Si el codominio es un subconjunto de R y el dominio un subconjunto de Rn (n = 2, 3,etc) la función se llama real de varias variables. La función del ejemplo 5 es de estetipo con n = 2.

Si el codominio es un subconjunto de Rn (n = 2, 3, etc) y el dominio un subconjuntode P se dice que la función es de valor vectorial y de variable real. En los ejemplosconsiderados no hay funciones de este tipo.

Si tanto el codominio como el dominio son subconjuntos de Rn (n = 2, 3, etc) lafunción se llama de valor y de variable vectorial. La función del ejemplo 6 es de estetipo con n = 2.

Si tanto el codominio como el dominio son subconjuntos de los números complejosse habla de funciones complejas. En los ejemplos considerados no hay funciones deeste tipo pero las hay en los ejercicios propuestos al final de la unidad.

Existen muchas otras clasificaciones de funciones que no es del caso presentar aquí.En este capítulo nos centraremos principalmente en el estudio de las funciones numéricas,aunque en esta sección estudiamos el concepto de función desde un punto de vista general.

4.5. CALCULO DEL DOMINIO Y RANGO DEUNA FUNCIÓN

No siempre nos es dado de manera explícita el dominio de una función. En ocasiones,conocemos la relación entre las variables dependiente e independiente a través de unaecuación, pero se sabe que el dominio no corresponde a la totalidad de los reales puestoque existen valores para los cuales la función no estaría definida. Un problema interesanteen estos casos es el cálculo de dominios. A continuación daremos algunos ejemplos de ello.

Ejemplo 1.

Sea f(x) = 1x; a cada número real x le hace corresponder su inverso. Dado que el 0 es

el único número real que no tiene inverso (no existe ningún número real que multiplicadocon 0 de 1), el dominio de f son todos los números reales diferentes de 0. En particular,f (1) = 1, f (1

2) = 2, f (

√2) = 1√

2. Puesto que 1

xes siempre diferente de cero, el rango

de f es el conjunto de los números reales y 6= 0. Así podemos decir

Df = R−{0}, Rf = R−{0}


Ejemplo 2.

Sea g(x) =√x+ 1. Recordemos que la raiz cuadrada sólo está definida para los

números reales mayores o iguales a cero. Esto significa que el dominio de g está consituidopor los x ∈ R, tales que x+ 1 ≥ 0, o sea x ≥ −1. Ademas como la raíz cuadrada siemprees positiva, entonces

√x+ 1 ≥ 0. De esta forma,

Df = [−1,∞), y Rf = [0,∞)

En particular, g(−1) = 0, g(0) = 1, g(2) = √3.Ejemplo 3.

Sea f(x) = 1√1−x + 2

Observemos que√1− x tiene sentido si 1 − x ≥ 0, o sea si x ≤ 1. Para x = 1,√

1− x = 0 y su inverso no tiene sentido. Así que el Df = {x : x < 1} = (−∞, 1).Cuando x varía de −∞ hasta 1,

√1− x toma valores positivos y del mismo modo su

inverso. Así Rf = {y : y > 2} = (2,∞).

4.6. CLASES DE FUNCIONES

Sea f : x −→ y una función arbitraria. Sea Rf su rango.

4.6.1. Funciones sobreyectivas

Por definición, el rango R,. es un subconjunto del codominio Y (Rf ⊂ y). Cuandoel rango coincide plenamente con el codominio (Rf = Y ), se dice que f es sobreyectiva,En otras palabras, una función f es sobreyectiva cuando todo elemento del codominio esimagen de algún elemento en el dominio. Simbólicamente:

f es sobreyectiva sii (∀ y ∈ Y )(3x ∈ x)(y = f(x))

4.6.2. Funciones Inyectivas

La definición de f como función, excluye que puedan existir elementos x en el dominiocon dos o más imágenes en el codominio, esto es, que existan elementos y1, y2(y1 6= y2) enY tales que y1 = f(x) y y2 = f(x). No excluye la definición de función, sin embargo, quepuedan existir elementos diferentes en X, digamos x1 y x2, que tengan la misma imageny en Y , es decir tales que f(x1) = f(x2) = y. Las funciones en las que esta situación nose presenta se llaman inyectivas o uno a uno. En otras palabras, una función es inyectivacuando elementos diferentes en el dominio tienen imágenes diferentes en el rango (VerFigura 4.4). Simbólicamente

4.7. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 275

f es inyectiva ⇔ (∀(x1, x2), x1 ∈ Df , x2 ∈ Df)(x1 6= x2 → f(x1) 6= f(x2))

Expresión que también se puede escribir equivalentemente mediante el uso de lacontrarecíproca en la siguiente forma

f es inyectiva ⇔ (∀(x1, x2), x1 ∈ Df , x2 ∈ Df)(f(x1) = f(x2)→ x1 = x2)

4.6.3. Funciones Biyectivas

Cuando una función es inyectiva y sobreyectiva se dice que es biyectivaEn el Capitulo I, Unidad 1.1, hablamos de correspondencia biunivoca entre conjuntos.

Esta correspondencia se puede visualizar como una función biyectíva. No es difícil ver quesi entre los conjuntos X e Y existe una correspondencia biunívoca, esta correspondenciadefine una función biyectiva de X en Y . Recíprocamente, la manera de establecer unacorrespondencia biunivoca entre dos conjuntos X e Y es definiendo una función biyectivade X en Y .Ejemplos

1. Si X = {1, 2, 3} y Y = {a, b, c, d} y definimos f : X → Y tal que

2. f (1) = a = f (2), f(3) = b. Claramente f no es inyectiva ni sobreyectiva. Sinembargo, si definimos f (1) = a, f (2) = b, f (3) = c entonces f es inyectiva másno sobreyectiva. ¿Podríamos definir f : X → Y que sea sobreyectiva?

3. La función f (x) = x2 definida sobre los reales no es inyectiva puesto que 5 6= −5,y sin embargo, f (5) = f (−5). Puesto que f (X) = {x : x ≥ 0} no es todo Rentonces f tampoco es sobreyectiva.

4. La función lineal, f(x) = mx + b (m 6= 0) es inyectiva y es sobreyectiva. Por lotanto es biyectiva. Puesto que si x1 6= x2 entonces mx1 + b 6= mx2 + b, o sea quef(x1) 6= f(x2), esto implica que f es inyectiva y por otro lado si y es cualquiernúmero real necesitamos probar que existe un x real tal que f(x) = y, equivalentea resolver la ecuación mx+ b = y, resolviendo obtenemos mx = y − b y puesto que

m 6= 0, hallamos que x = y − b

m, así f es sobreyectiva y por lo tanto biyectiva.

4.7. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Sean f : A→ B y g : C → D dos funciones, tales que el rango de f esté contenido enel dominio de g, Rf ⊆ Dg, es posible construir a partir de las dos primeras funciones unatercera h : A→ D, según el siguiente esquema:


Rf

A

Rgof

Rg

D

C

B

g f

h = gof

dado que para cada x ∈ A, su imagen pertenece al dominio de g, f(x) ∈ Dg, es posiblecalcular g(f(x)). Se define, entonces;

h(x) = (gof)(x) = g(f(x)).

es costumbre denominar a gof : “f compuesto g”.Ejemplo1Sean,

f(x) = x+ 1

g(x) = x2

Dado que se cumplen los requerimientos, entonces:

f ◦ g(x) = f(g(x)) = f(x2) = x2 + 1.De esta manera, f ◦ g(3) = f(g(3)) = f(9) = 9 + 1.

En otras palabras la función f ◦ g comienza con elevar al cuadrado y a continuaciónañade 1.

Por otro lado, g ◦ f(x) = g(f(x)) = g(x+1) = (x+1)2. La función g ◦ f comienza porañadir 1 y a continuación elevar al cuadrado.De esta manera, g ◦ f(3) = g(f(3)) = g(3 + 1) = 42 = 16.Ejemplo 2Sean

4.8. FUNCIONES INVERSAS 277

f(x) =1

x2

g(x) =1√x− 1

Los dominios y rangos de f y g son respectivamente,

Df = R− {0}, Dg = {x > 1} = (1,∞)Rf = (0,∞), y Rg = (0,∞).

Puesto que Rg ⊂ Df se puede definir,

f ◦ g : (1,∞)→ (0,∞)

donde fog(x) = f (g(x)) = f (1√x− 1) =

1

x− 1 ,

Observe que fog(12) = f (g(1

2)) no existe, pero si tomamos fog(x) =

1

x− 1 , fog(12) sí

está definida.Por otro lado, g ◦ f no es posible definirla, puesto que Rf = (0,∞) * Dg = (1,∞).

Sin embargo en algunas ocasiones se restringe el dominio de f , al conjunto cuya imagendirecta sea un subconjunto del dominio de g; así, se puede derfinir el dominio de g ◦ fcomo Dg◦f = {x ∈ Df : f(x) ∈ Dg}. Si x ∈ Df , entonces x 6= 0. Si f(x) ∈ Dg entonces1

x2> 1, lo cual implica que x2 < 1, o sea −1 < x < 1 con x 6= 0. de esta forma, se puede

definir gof con Dg◦f = (−1, 0) ∪ (0, 1).

4.8. FUNCIONES INVERSAS

Hemos dicho que una función es una ley de correspondencia entre los ele mentos de unconjuntoX y elementos de un conjunto Y . En esta definición el orden en que se consideranlos conjuntos no se puede modificar y por ello toman nombres distintos. Se podría pensar,sin embargo, que si f es una función de X en Y , al existir una ley de correspondenciaque asocia a cada x en X un elemento y en Y y más específicamente en el rango Rf , sepodría usar esa misma correspondencia en sentido contrario, es decir invirtiéndola, paraestablecer una correspondencia entre los elementos de Rf , que ahora sería el dominio de


la relación y elementos de X que ahora sería el codominio y rango de la nueva ley decorrespondencia.En realidad dicha correspondencia inversa se puede obtener, como se visualiza en la

gráfica siguiente, pero no necesariamente define una función pues en el caso de funcionesque no son inyectivas un elemento del nuevo dominio podría tener más de una imagen.

f

Nueva correspondencia

La nueva correspondencia no necesariamente define una función

Resulta claro intuitivamente, por lo tanto, que solo en el caso de funciones inyectivasla ley de correspondencia que se obtiene de invertir el sentido de la ley de correspondenciade f , define una función. Esta función toma el nombre de función inversa de f . Sila denotamos con g su ley de correspondencia resulta definida, consecuentemente, entérminos de f de la siguiente manera: “x” es la imagen de “y”, segúng(x = g(y)) si ysólo si “y” es la imagen de “x”, según f(y = f(x)) Se cumple además, que Dg = Rf yDf = Cg = Rg, lo cual permite considerar las funciones compuestas g ◦ f de X en X : talque g(f(x)) = x y f ◦ g de Rf en Rf tal que f(g(y)) = yLas consideraciones anteriores se pueden formalizar de la siguiente manera.Definición: Sea f una función de X en Y . Sea Rf su rango. Se dice que f posee inversa

si existe una función g de Rf en X tal que g(f(x)) = x, para todo x en X y f(g(y)) = y,para todo Y en Rf . Si existe, g es única y por lo tanto se habla de la función inversa de


f . Esta es, en realidad, una proposición que debería demostrarse pero que dejamos comoun ejercicio.

TEOREMA:Una función f posee inversa sii f es inyectiva.

Demostración:→) Suponemos que f posee inversa para demostrar que f es inyectiva.Basta demostrar que si x1 y x2 son elementos arbitrarios en el dominio de f , tales quef(x1) = f(x2), entonces x1 = x2. ¿Porqué? En efecto, si g es la inversa de f , por definición,se tiene que g(f(x1)) = g(f(x2)) y como g(f(x1)) = x1 y g(f(x2)) = x2 , se concluye laigualdad buscada.

←) Supongamos ahora que f es inyectiva para demostar que posee inversa. Comof es inyectiva, para todo elemento y en Rf existe un elemento x en Df , único, tal quey = f(x). Si se define la ley de correspondencia g de R.p en D de suerte que g(y) = x,g es una función bien definida (a cada y en Rf solo corresponde un x en Df). Además,g(f(x)) = g(y) = x pata todo x en Df y f(g(y)) = y para todo y en R+. Es decir, gcumple la definición de función inversa de f .Con el fin de ayudar a precisar aspectos operativos y conceptuales de la definición

de función inversa volvemos con algunas observaciones sobre los ejemplos de la sección4.1.1 que hemos venido considerando a lo largo de esta unidad. No sobra decir que lasfunciones inversas son de uso extendido en el cálculo matemático tal como se desprendede su incorporación a las calculadoras manuales de tipo científico.

1. La función f(x) = x2 de R en R+0 no es inyectiva. Por lo tanto, no posee funcióninversa. Sin embargo, si consideramos su restricción a R+0 , sabemos que es inyectiva.Al despejar x en la expresión y = x2 permite encontrar la expresión que define laley de correspodencia de la inversa. Se tiene x =

√y(¿Porque se omite −√y ?).

Compruebe que la función g(y) =√y cumple la definición de ser función inversa de

f cuando se restringe R+0 .

3. La función f(x, y) = x+ y de R+ en R no es inyectiva y no tiene, consecuentementefunción inversa.

4. La función f(x, y) = (x− y, x+ y) de R2 en R2 es inyectiva y sobreyectiva y por lotanto posee función inversa g de R2 en R2 . Para encontrar la ley de correspondenciaque define a ges importante tener presente que las imágenes de f son parejas denúmeros (a, b), que se obtienen a partir de la pareja (x, y) mediante la expresión(a, b) = f(x, y) = (x−y, x+y). Por lo tanto, para obtener en forma explícita la ley decorrespondencia que define a g se debe expresar la pareja (x, y) en términos de (a,b)a partir de la ecuación ante rior. Utilizando los resultados obtenidos al presentareste ejemplo en la Sección 4.1.1, página 4-9, se puede escribir que (x, y) = (a+b

2, b−a2)

y por lo tanto se puede concluir que


(x, y) = g(a, b) = (a+b2, b−a2)

Quizás sea más coherente con la notación que hemos utilizado para funciones de unavariable describir a f como (y1, y2) = f(x1, x2) = (x1−x2, x1+x2), en cuyo caso su inversag se describiría como (x1, x2) = g(y1, y2) = (

y1+y22

, y2−y12)

Es importante que el estudiante pueda comprender que el procedimiento seguido eneste ejemplo es, en realidad, el mismo que el utilizado en la ilustración del numeral 3.En ambos casos se trata de despejar x de la expresión que se simboliza como y = f(x)

para obtener una expresión x = g(y) que permite obtener x en términos de y. Solo queen el numeral mencionado x e y representan números, mientras que el ejemplo presenterepresenta parejas de números.Terminamos esta sección con la siguiente observación sobre notación.La Notación f−1

Es muy común utilizar el símbolo f−1 para denotar la función inversa de f cuandoexiste. Consecuentemente, f(f−1(x)) = x, x ∈ Rf y f−1(f(x)) = x, x ∈ Df . Cuando seencuentre con esta notación es importante que el estu diante tenga presente que el “−1”nose trata de un exponente y que no vaya a caer en la tentación de escribir f−1(x) = 1

f(x)

Es común también encontrar en libros de matemáticas expresiones de la forma f−1 (A)donde A es un conjunto en el codominio de f . En este caso f−1(A) se llama imagen inversade A según f y se define como

f−1 (A) = {x ∈ Df |f(x) ∈ A}

En este contexto, esta notación es aplicable a cualquier función aún así no sea inyectivay no debe asociarse, por lo tanto, con una supues ta función inversa. Por ejemplo, sif(x) = x4 de R en R, se tiene que:

f−1 ([0,1]) = {x ∈ R/f (x) = x4 ∈ [0,1]}= {x ∈ R/0 ≤ x4 ≤ 1}= [−1,1]

Obsérvese que en este caso f no posee inversa.Ejercicios

1. Determine si las siguientes proporciones son falsas o verdaderas justificando surespuesta.

a) Entre dos funciones arbitrarias f y g siempre se puede definir la funcióncompuesta f ◦ g.

b) Las funciones f(x) = x2 de {0, 1, 2, 3, 4} en R es igual a la función definida porel conjunto de parejas {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)}.

c) De R en {1, 2} solo se pueden definir dos funciones.d) Existe una función que no posee inversa.

e) f y g funciones. Si f ◦ g y g ◦ f existen entonces f ◦ g = g ◦ f


f ) Las funciones f : R→ R tal que f(x) = senx y g:R→ [1, 1] tal que g(x) = senxno son iguales.

g) La función f(x) = x−1x2−1 y g(x) =

1x+1

son iguales

h) Toda función se puede hacer sobreyectiva.

i) No toda función inyectiva posee inversa.

j ) f y g funciones de R en R. Si f(g(x)) = x, para todo x en R entonces g = f−1

2. Explique si la ley de correspondencia que se describe en cada uno de los numeralessiguientes define una función. a) Si la respuesta es positiva determine su dominio ycodominio. b) Si la respuesta es negativa explique si una adecuada restricción deldominio en que se considera la ley de correspondencia permite generar una función.

a) La ley de correspondencia que asigna a cada estudiante regular de Univalle sucódigo y su plan de estudios.

b) A = πr2

c) x2 − y + 1 = 0 (y como función de x)

d) x2 + y2 = 1 (y como función de x)

e) x2 + 4xy − x+ y − 6 = 0 (x como función de y)f ) x+ y + z = 1 (z como función de x e y)

g) f : C→ R, f(z) = |z|h) A cada polinomio de coeficientes reales se le asigna su grado.

i) f(x, y) = (y, x) de R2 en R2

j ) {(x, y)|y =p|x|+ 1, x ∈ R}k) y = f(x) = 1

(x−1)(x+1)

3. En cada una de las siguientes funciones determine, si es posible:

a) El tipo de función (numérica de una variable, de varias varables, compleja, devalor vectorial, etc.)

b) El dominio

c) El valor f(a)

d) Si b ∈ Rf Justifique sus respuestas.

1) f : R→ R, f (x) = x2 + 1 (a = 0,1, t+ 1) (b = 2, 0, 6= 0)2) f (x) = 1√

x2−4¡a =√3, 3

2

¢(b = 1, 0)

3) f (x, y) = xyx2+y2

¡a = (1, 1), (

√t,√t)¢(b = 0, 1)

4) {(1, 1) , (2, 4) , (3, 9) ...} (a = 5, (k + 1)) (b = 24, 49)


5) f (x) =

½x, si x ≤ 0

x+ 1, si x > 0(a = −1, 0, 1) (b = 2, 0,5, 2)

4. En cada caso determine si la función que se da es inyectiva. Calcule también surango. Si la función es inyectiva calcule su función inversa comprobando que es suinversa.

a) f(x) = x2 + 1

b) f : R+0 → R+0 tal que f(x) = x4

c) f (x) = x3 − 1d) f (x) = 1

x−1e) f (x) = 1√

x2−4f ) f (x, y) = xy

g) f (x) =

½x, si x ≤ 0

x+ 1, si x < 0

5. Explique de que manera las operaciones multiplicación,división y resta entrenúmeros reales pueden considerarse funciones. (Determine dominio, codominio yrango).

6. En cada uno de los siguientes casos encuentre una función que exprese:

a) El radio de una circunferencia en términos de su perímetro.

b) El volumen de un paralelepípedo rectangular en términos de las longitudes desus aristas.

c) El volumen de un cilindro circular recto en términos de su radio y de su altura.

7. Si 60 personas o menos realizan un viaje, una agencia cobra 3,000 pesos por persona.Si viajan más de 60 personas el precio reduce en 100 pesos por persona que excedalas 60. Si el cupo en un viaje es de 100 personas encuentre una función que expreseel costo total en términos del número de personas que hacen el viaje.

8. Encuentre una función que exprese el número de funciones que se pueden definir deun conjunto de n elementos en un conjunto de m elementos en términos de n y m.

9. Encuentre una función que exprese el número de subconjuntos de k elementos deun conjunto de n elementos en términos de n y k.

10. Encuentre una función que exprese el número de subconjuntos de un conjunto de nelementos en términos de n.

11. En cada uno de los siguientes casos calcule f ◦ g si g ◦ f si es posible; determinandolos casos de funciones inversas que se presenten. Calcule igualmente (f ◦ g)(a) parael a que se indica

4.9. FUNCIONES NUMÉRICAS 283

a) f (x) = 12x−5 , g (x) =

1x2, a = 1

2

b) f(x) = 3x2 + 2x, g(x) = 2x− 1; a = 2c) f(x) = x3 + 1, g(x) =

√x− 1; a = |t+ 1|

d) f(x) = 3, g(x) = 4; a = 0

12. En cada una de las funciones numéricas h que se dan trate de hallar funciones f yg tales que h = f ◦ g.

a) h(x) = (x− 1)3b) h(x) = 10x+1 − 1c) h(x) = 2

¡1

x−2¢3+¡

1x−2¢2+ 1

13. Suponga que dada una función f de X en Y , existe una función g de Rf en Df talque g(f(x)) x para todo x en Df y f(g(x)) = x para todo x ∈ Rf . Demuestre queg es única

4.9. FUNCIONES NUMÉRICAS

4.9.1. Introducción

En esta unidad nos centraremos en el estudio de las funciones numéricas. Recordemosque una función se llama numérica si tanto su dominio como codominio son conjuntos denúmeros reales.El concepto de función, y más específicamente el de función numérica, está presente

en todos los capítulos que hemos estudiado. Cuando en el Capítulo II se habla devalores numéricos de expresiones matemáticas que se determinan a partir de valores delas variables, se está hablando de una correspondencia que define una función de valornumérico, en una o varias variables, cuyos dominios son los dominios de las expresionesmatemáticas correspondientes. Consecuentemente, la clasificación que dimos de dichasexpresiones induce, a su vez, una clasificación similar en las funciones definidas por ellas.Una función de valor numérico será algebraica o trascendente según que esté definida poruna expresión matemática algebraica o trascendente. A su vez, una función algebraicaserá polinómica si está definida por un polinomio, racional si está definida por unaexpresión algebraica racional. Son ejemplos de funcjones algebraicas f(x) = x3 + x − 1,f(x) = x−1

x+1, f (x) =

√x

x+1. Son ejemplos de funciones trascendentes f(x) = ex, f(x) = logx,

f(x) = cosx. En ambos ambos casos los dominios están determinados por los dominiosde definición de las expresiones matemáticas correspondientes.En el ejercicio 1 de esta unidad se proponen algunas funciones para clasificar.


4.9.2. Álgebra de funciones

Como hemos dicho anteriormente, las funciones son objetos matemáticos que sepueden combinar mediante reglas especiales para producir nuevas funciones. En la sección4.2.1 introdujimos la operación general de composición. Para las funciones numéricas sepueden introducir también “operaciones aritméticas” que permiten hablar de “suma”,“multiplicación” etc. de funciones. Estas operaciones se definen de la siguiente manera.Sean f y g dos funciones numéricas con dominio común D.

Función suma f + g:Es la función definida en el dominio de f y g, cuya ley de correspondencia se establece

de la siguiente manera:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

No es difícil ver que ésta operación de suma tiene las mismas propiedades formales dela suma entre números: Asociativa, conmutativa, etc. En particular, el elemento neutroserá la función 0 que a cada x es el dominio considerado asocia el número cero. Estoes 0(x) = 0. Consecuentemente, si f es una función numérica, la función opuesta sepuede denotar como −f y su ley de correspondencia estará definida por la expresión(−f)(x) = −f (x)

Función diferencia f − g:Como en el caso de los números, la resta en tre funciones f − g se puede considerar

como un caso particular de suma definida f − g = f + (−g). Se puede definir tambiéncomo la función en el dominio común de f y g, cuya ley de correspondencia se establecede la siguiente manera

(f − g)(x) = f(x)− g(x)

Función Producto f.gEs la función definida en el dominio común de f y g, cuya ley de correspondencia se

estable ce de la siguiente manera:(fg)(x) = f(x)g(x).Esta operación de multiplicación entre funció nes goza de algunas, pero no de todas,

las pro piedades formales de la multiplicación entre números.

Función Cociente f/g :Esta operación supone que g(x) 6= 0 para todos los x del dominio considerado. En este

caso, la función cociente es la función definida en el dominio común de f y g, cuya ley decorres pendencia se establece de la siguiente maneraEsta operación se podría plantear, como en la división entre números, y de manera

similar a la suma, como un caso particular de la multiplicación. (Ver Ejercicio N◦ 2 deesta unidad).


Es común encontrar funciones que se presentan como cf , f ± c, 1cf , siendo c una

constante.

Estas funciones son, en realidad, resultados particulares de las operaciones entrefunciones definidas anteriormente, en los cuales una de las funciones involucradas, esconstante. Basta tomar en las definiciones dadas g(x) = c, para todo x es el dominiocomún.

Es importante destacar que las operaciones que hemos definido, aunque se apoyanen las operaciones entre números, son operaciones entre funciones que son objetosmatemáticos distintos de los números. Por lo tanto, así como hablamos que los conjuntosde números tenían una estruc tura algebraica, podemos afirmar que ciertos conjuntos defunciones numéricas se pueden dotar también de una estructura algebraica: (Ver EjercicioN◦2).

Utilizando las definiciones que hemos dado, una función determinada se puede mirarcomo el resultado de combinar algebraicamente varias funciones. Por ejemplo si h(x) =x2+xx+1

se podría pensar por ejemplo que h = h1+h2h3

donde h1(x) = x2, h2(x) = x yh3(x) = x+ 1, en el dominio R− {1}. De manera recíproca si f(x) = ex y g(x) = x2, lafunción h = gf estará definida por la expresión h(x) = x2ex.

4.9.3. Gráfica de una función

De la geometría analítica sabemos, que mediante un sistema de coordena dascartesianas rectangulares, es posible establecer una correspondencia biunívoca entreel conjunto de parejas de números reales (R2) y los pun tos del plano. En estacorrespondencia, si (x, y) es una pareja de núme ros el punto asociado se denota P (x, y).La pareja (x, y) se llama coor denadas del punto P . Como hemos visto, una función f noes más que un conjunto de parejas de la forma (x, f(x)), que en el caso de las funcio nesnuméricas son parejas de números. Tiene sentido, por lo tanto, ha blar de representacióngráfica o simplemente gráfica Gf de una función numérica f , que naturalmente vendríadada por el conjunto de puntos con coordenadas del tipo (x, f(x)). Simbólicamente:

Gráfica de la función f = Gf = {P (x, y)|y = f(x), x ∈ Df} = {P (x, f(x))|x ∈ Df}Gf constituye una representación intuitiva de la función f que permite visualizar su

comportamiento matemático y, en especial, la forma como la variación de x (variableindependiente), afecta la variación de y (variables dependiente). Por esta razón, la"Gráfica.es un instrumento de gran utilidad en el estudio y aplicación de las funcionesnuméricas.

Esbozaremos a continuación algunos pasos o principios útiles en la construcción de lagráfica de una función. En lo que sigue, Gf se refiere al gráfico de una función numéricaarbitraria f . Ilustraremos inicialmente tales principios discutiendo, simultáneamente, laconstrucción de la gráfica de la función, g(x) = |x|.


1.Identificación de Simetrías

Algo que puede simplificar considerablemente el trazado de la gráfica de una funciónes la identificación de alguna simetría, ya que permite reducir la zona o dominio en que seestudia la forma de la gráfica. El resto de ella se obtiene aplicando la simetría identificada.Damos a continuación, los criterios para determinar cuando la gráfica de una función essimétrica respecto al eje y ó al origen.

Respecto al eje y: La gráfica Gf es simétrica respecto al eje y si dado un punto P (x, y),arbitrario en Gf , el punto P (−x, y) también está en Gf (Ver Figura siguiente). Puestoque un punto P (x, y) está en la gráfica de f si y solo si y = f(x), la definición anterior esequivalente a decir que:

Gf es simétrica respecto al eje y sii f(x) = f(−x) para todo x en el dominio de f

x

y

P (x, y) P (-x, y)

Puntos simétricos respecto al eje y


x

y

(x, f(x)) (-x, f (-x))

Porción de gráfica simétrica respecto al eje y

Si Gf es simétrica respecto al eje y, basta estudiar la forma de Gf a la derecha (oizquierda) del eje y. El resto de la gráfica se puede obtener por simetría.Si aplicamos este criterio a nuestro ejemplo de referencia se tiene

g(x) = |x| = |−x| = g(−x)

O sea que la gráfica de g es simétrica respecto del eje y.Respecto del origen: La gráfica Gf es simétrica respecto al origen si dado un punto

P (x, y), arbitrario enGf , el punto P (−x,−y) también esta enGf . En el lenguaje funcionalesto es equivalente a decir

Gf es simétrica respecto al origen sii f(−x) = −f(x) para todo x en el dominio de f

Si Gf es simétrica respecto al origen, basta estudiar la forma de a la derecha o laizquierda del origen. El resto de la gráfica se puede obtener por simetría.En el caso de nuestro ejemplo de referencia no hay simetría respecto del origen, puesto

que:

g(−x) = |− x| = |x| 6= −g(x)

Respecto al eje x: La gráfica de una función no puede ser simétrica respecto al eje x.¿Porqué?Observe, igualmente, que una función no puede ser simétrica respecto al eje y y respecto

al origen simultáneamente. (¿Porqué?).


x

y

(x, f (x))

(-x, f (-x))

Porción de gráfica simétrica respecto al origen

Figura 4.1:

2. Determinación de los puntos de corte de la gráfica con los ejes

Con el eje x : Para calcular los posibles puntos de corte de Gf , con el eje x, bastadeterminar los x en Df , tales que f(x) = 0. Es decir, son los puntos (x, 0) que pertenecena la gráfica. En el ejemplo que nos ocupa, g(x) = |x| = 0 sii x = 0. O sea, que Gg cortaal eje de x en el origen.

Con el eje y: Para que Gf corte el eje y, el 0 debe pertenecer a Df . El punto de cortetendrá coordenadas (0, f(0)). En el ejemplo de referencia, el punto de corte con el eje yse confunde con el punto de corte con el eje x, puesto que g(0) = |0| = 0. O sea que elpunto de corte es también el origen.

Es importante observar que mientras los puntos de corte con el eje x pueden ser másde uno, existe, a lo sumo, un punto de corte con el eje y.

3. Tabla de Valores

Adicionalmente a los puntos de corte con los ejes puede ser útil disponer de algunospuntos en Gf , para lo cual es necesario construir una tabla con las coordenadas de talespuntos. La tabla se construye dando a x algunos valores en el dominio, convenientementeescogidos, y calculando los valores f(x) correspondientes. En nuestro ejemplo de referencia,como la gráfica de la función simétrica respecto al eje y, es suficiente asignar a x valoresno-negativos.


y

x 0 1 2 3

1

2

3

x x 0 0 1 1 2 2 3 3

La gráfica de una función usualmente contiene infinitos puntos, por lo que una tabla devalores, asi sea muy grande, constituye una ayuda muy precaria en la construcción de lamayoría de las gráficas. Sinembargo, muchas veces, como en el ejemplo que nos ocupa, esposible intuir la forma de la gráfica a partir de una tabla bien construida y,por lo general,es esto lo que se busca.Terminamos esta sección resumiendo la información que hemos obtenido sobre la

función g(x) = |x| y trazando su gráfica que aparece en la Figura siguiente. La formade su gráfica se intuye fácilmente de la simetría respecto al eje y.

x

y

y = x

Otros ejemplos:Gráfica de la función y = f(x) = x3

Para la determinación de su gráfica seguimos los pasos esbozados anteriormente.


SimetríasPuesto que y = f(−x) = (−x)3 = −x3 = −f(x), se deduce de inmediato que la

función no es simétrica respecto al eje y pero lo es respecto al origen.

Puntos de corte con los ejesPuesto que f(x) = x3 = 0 si y solo si x = 0, se concluye que los pun tos de corte con

los ejes coordenados coinciden y están en el origen.

Tabla de ValoresLa simetría de la función respecto al origen permite reducir el estudio de la gráfica

para valores de x a la derecha del origen, incluyéndolo. (Ver Figura siguiente y tablacorrespondiente).

x

y

x f (x) = x3

0 0 0.75 0.422

1 1 2 8

Observe que al crecer x, f(x) = x3 crece muy rápidamente, por lo que es necesarioutilizar en el eje y una escala más çomprimida"que en el eje x. Los puntos consignadosen la Figura anterior y la simetría respecto al origen, sugieren que la forma de la gráficaes la que se indica en la Figura siguiente.


52.50-2.5-5

20

10

0

-10

-20

x

y

x

y

Gráfica de la función y = f(x) =

½−3, si x < −2[x] , si x ≥ −2

Donde [x] se suele nombrar como “mayor entero contenido en x”. Por definición [x] = nsiendo n tal que n ≤ x < n+ 1.En general, siempre es importante entender bien lo que dice la defini ción de una

función, antes de intentar el trazado de su gráfica. Esto es particularmente claro en elejemplo que nos ocupa, porque entender su definición, es suficiente para vislumbrar laforma de su gráfica.Si se medita un poco en la definición de [x] , se llega rápidamente a la conclusión que

[x] permanece constante cuando x varía entre dos enteros. Se puede escribir, por lo tanto,que:[x] = −2 si − 2 ≤ x < −1[x] = −1 si − 1 ≤ x < 0

[x] = 0 si 0 ≤ x < 1

[x] = 1 si 1 ≤ x < 2

[x] = 2 si 2 ≤< x < 3

Puesto que f(x) = −3 cuando x < −2 y f(x) = [x] cuando x > −2, debe ser claroque la gráfica de f es la dada en la Figura siguiente, sin necesidad de ninguna otraconsideración.


1 2 3 4

1

2

3

4

-1-2

-1

-2

-3

x

y

4.9.4. Límites de una función. Asíntotas

Solo en unos pocos casos las técnicas que esbozamos en la sección anterior, sonsuficientes para completar con éxito el estudio de la gráfica de una función. En realidad, eldesarrollo de una metodología efectiva en este sentido solo se irá alcanzando en la medidaen que se avanza en el estudio de otras técnicas, que se estudian principalmente en loscursos de cálculo.En esta sección introduciremos, de manera intuitiva, algunas técnicas de utilidad en la

determinación de las llamadas asíntotas de una curva que, a la vez, permiten realizar unaprimera aproximación al concepto de límite de una función que es estudiado de maneramás sistemática en los cursos de cálculo.Al estudiar una función numérica, y en particular la construcción de su gráfica, es

necesario, con mucha frecuencia, analizar su comporta miento en zonas especiales. Estaszonas pueden estar determinadas por puntos en los cuales la función no está definida, sonextremos de in tervalos que forman parte del dbminio de la función considerada.Estas zonas pueden incluir también los extremos del eje x, cuando tales extremos son

parte del dominio de la función.Por ejemplo, si queremos estudiar la gráfica de la función f(x) = 1

x−1 es claro quex = 1 no es un elemento del dominio de la función pero todos los puntos a su al rededor silo son, y para visualizar la forma que adquiere la gráfica, cuando x toma valores cercanosa x = 1, se hace necesario estudiar el comportamiento de f alrededor de x = 1, De lamisma manera, para tener una imagen global de su gráfica, resulta también útil observarel comportamiento de los valores de f al alejarnos del origen en la dirección de los extremos


de la recta real, o como se suele decir cuando x tiende a ∞ o −∞.Para ilustrar la manera de hacer estos análisis, necesitamos introducir los siguientes

convenios y nociones.

Recordemos, para empezar, que en la recta numérica existe una noción de distanciaque nos permite hablar indistintamente de la distancia entre dos puntos o entre dosnúmeros. Si a y b son dos números reales y denotamos en d(a, b) la distancia entre ellos,sabemos que d(a, b) = |a − b| = |b − a|. De acuerdo con esta noción tiene sentido decirque una variable x, en R se aproxima o tiende a un número a, tomando valores cada vezmás próximos, queriendo significar con ello que su distancia d(x, a) se hace cada vez máspequeña tendiendo a 0, (d(x, a)→ 0).De acuerdo con lo anterior podemos introducir los siguientes convenios. Escribiremos:

x → a− : Para indicar que la variable x toma valores próximos a "a.en el sentidoanterior pero menores que a. Esto es, d(x, a)→ 0 con x < a Se suele decir: x tiende a “a”por la izquierda.

x −→ a+: Para indicar que la variable x toma valores próximos a “a” en el sentidoanterior, pero mayores que a. Esto es, d(x, a) → 0 con x > a. Se suele decir: x tiende a“a” por la derecha.

x −→ a : Para indicar que la variable x toma valores próximos a “a”, en el sentidoanterior, pero indistintamente mayores o menores que a. Esto es, d(x, a) −→ 0, con x 6= a.Se dice simplemente: x tiende a “a”.

En este contexto podemos decir también que una variable x se aleja del origen haciael infinito, positivo o negativo, queriendo decir con esto que su distancia al origen, d(x, 0),supera cualquier número por grande que él sea (d(x, 0) −→ ∞). De acuerdo con estoescribiremos:

x −→ ∞ : para indicar que la variable x toma valores arbitrariamente grandes a laderecha del origen, en el sentido anterior. Esto es, d(x, 0)→∞ con x > 0. Se suele decir:x tiende a infinito.

x → −∞ : Para indicar que la variable x toma valores arbitrariamente grandes envalor absoluto, a la izquierda del origen, en el sentido anterior. Esto es, d(x, 0) −→∞ conx < 0. Se suele decir: x tiende a menos infinito.

Podemos utilizar convenios semejantes con los valores de una función. Cuando losvalores de x tienden a un número “a” o a infinito, los valores f(x) pueden tender o notender a un número determinado L en el sentido ya expresado para una variable cualquiera,


esto es, d(f(x), L) → 0, Las diferentes situaciones que se pueden presentar en este casose re gistran de la siguiente manera:

i. f(x)→ L si x→ a+ ó " lımx→a+

f(x) = L",

para indicar que los valores de f tienden a L, cuando los valores de x tienden a a porla derecha. Se dice,en este caso„que “L es límite de f cuando x tiende a a por la derecha”.Se demuestra que cuando este es el caso L debe ser único.

De manera similar se interpretan las expresiones:

ii. “f(x)→ L si x→ a−” ó “ lımx→a−

f(x) = L”

iii. “f(x)→ L si x→ a” ó “ lımx→a

f(x) = L”

iv. “f(x)→ L si x→∞” ó “ lımx→∞

f(x) = L”

v. “f(x)→ L si x→−∞” ó " lımx→−∞

f(x) = L”

Asíntotas Horizontales

Los límites contemplados en las expresiones iv y vs cuando existen, arrojan informaciónimportante sobre la gráfica de una función f y se utilizan para definir el concepto deasíntota horizontal. Observe, por ejemplo, que lım

x→∞f(x) = L quiere decir que cuando x

toma valores cada vez más grandes, los correspondientes valores de f se aproximan a Ltomando valores mayores que L. En el lenguaje geométrico significa que los puntos dela gráfica de f se acercan a la gráfica de la recta y = L, por encima de ella, pero sinalcanzarla (Ver Figura 4.17). Se dice, en este caso, que la recta y = L es una asíntotahorizontal, por arriba, de la gráfica de la función, cuando x tiende a infinito. De otro lado,si el límite es de la forma lım

x→∞f(x) = L−, ello quiere decir que cuando x tiende a infinito

los valores de f se aproximan al, tomando valores menores que L y por consiguiente lospuntos de la gráfica de f se acercan a la gráfica de la recta y = L, por debajo de ella, perosin alcanzarla (Ver Figura 4.18). Se dice, en este caso, que la recta y = L es una asíntotahorizontal por debajo,cuando x tiende a infinito.Definiciones similares de asintotas horizontales, por arriba o por abajo dan las

expresiones lımx→−∞

f(x) = L+, lımx→−∞

f(x) = L−. Cuando una recta y = L es asíntota

cuando x tiende a infinito positivo y cuando x tiende a infinito negativo se dice que esuna asíntota horizontal doble.


y

x

y = L

Gráfica

x → ∞

(a) Asíntota horizontal por arriba lím f (x) = L+

x → ∞

x

y = L

Gráfica

x → ∞

(b) Asíntota horizontal por arriba lím f (x) = L-

x →∞

x

y = L Gráfica

x → -∞

(d) Asíntota horizontal por arriba lím f (x) = L-

x →-∞

x

y = L

Gráfica

x → -∞

(c) Asíntota horizontal por arriba lím f (x) = L+

x →-∞


x

y = L Gráfica

(f) Asíntota doble

x Gráfica

y = L

Gráfica

(e) Asíntota doble

Gráfica

Estas situaciones se ilustran fácilmente en la función f(x) = 1x−1 .

Si tomamos a = 0, se puede escribir:Si x→ 0+ entonces x− 1→ −1 y por lo tanto 1

x−1 →−1 Esto es, lımx→0+f(x) = −1

Si x→ 0− entonces x− 1→ −1 y por lo tanto 1x−1 →−1. Esto es, lımx→0+

f(x) = −1Es decir, el límite de f , cuando x tiende a 0 por la izquierda, existe y coincide con el

limite de f , cuando x tiende a 0 por la derecha, que también existe. Se puede escribir, porlo tanto, que:

lımx−→0+ f(x) = lımx−→0− f(x) = lımx−→0 f(x) = −1Cuando x→∞, se puede escribirSi x→∞ entonces x− 1→∞ y por lo tanto 1

x−1 → 0+ . Esto es, lımx→∞

f(x) = 0+ .

O sea que la recta y = 0 es una asíntota horizontal, por arriba, de la gráfica de f .De otro lado, si x→−∞ entonces x−1→−∞ y, consecuentemente, 1

x−1 → 0−. Estoes, lım

x→−∞f(x) = 0−. Esto quiere decir que la recta y = 0 es también

una asíntota horizontal, por debajo de la gráfica f , y, en consecuencia, una asíntotahorizontal doble.

Asíntotas Verticales

Al considerar límites del tipo i), ii), iii) descritos en la pagina 4-52, ocurre confrecuencia que los valores de la función no tienden a un número real L sino a ∞ ó −∞.Estos casos son de mucha importancia porque, como en el caso de los límites contempladosen los numerales iv y v, arrojan información útil sobre la gráfica de una función y se utilizanpara definir el concepto de asíntota vertical. En este contexto se pueden presentar lossiguientes casos.


i. f(x) −→∞ si x→ a+ , esto es lımx→a+

f(x) =∞,para indicar que los valores de f tienden a ∞ cuando los valores de x tienden a “a”

por la derecha. En el lenguaje geométrico significa que los puntos de la gráfica de f seacercan a la gráfica de la recta x = a, por la derecha de ella, pero sin alcanzarla (VerFigura siguiente (a)). Se dice en este caso que la recta x = a es una asíntota vertical, porla derecha de la gráfica de la función.La interpretación de los siguientes casos se pueden deducir de la hecha en i) y de las

gráficas 4.24, 4.25, 4.26.

ii. f(x) −→∞ si x→ a− , esto es lımx→a−

f(x) =∞,La recta x = a es asíntota vertical por la izquierda, (Figura (b))

iii. f(x) −→ −∞ si x→ a+ , esto es lımx→a+

f(x) = −∞,La recta x = a es asíntota vertical por la derecha, (Figura (c)).

iv. f(x) −→ −∞ si x→ a− , esto es lımx→a−

f(x) = −∞,La recta x = a es asíntota vertical por la izquierda, (Figura (d).Cuando la recta x = a es asíntota vertical por la derecha y por la izquierda se dice

que es asíntota vertical doble.


La gráfica de la función f(x) = 1x−1 posee una asíntota vertical doble como se deduce

del siguiente análisis del comportamiento de la función cuando x toma valores alrededorde x = 1.

Si x→ 1+ entonces x− 1→ 0+ y por lo tanto 1x−1 →∞. Esto es, lım

x→1+f(x) =∞. Es

decir, la recta x = 1 es una asíntota, por la derecha, de la gráfica de la función.

De otro lado, si x → 1− entonces x − 1 → 0− y por lo tanto 1x−1 → −∞. Esto es,

lımx−→1−

f(x) = −∞.Es decir, la recta x = 1 también es una asíntota vertical por la izquierda y

consecuentemente una asíntota doble (Ver Figura siguiente). En esta gráfica se recogetambién la información que obtuvimos anteriormente sobre las asíntotas horizontales deesta función.


Completamos la información sobre la gráfica de f estudiando las simetrías y los puntosde corte con los ejes.Se puede ver fácilmente que la gráfica de f no posee simetrías. En efecto

f(−x) = 1−x−1 = − 1

x+16=½

f (x) : no hay simetría respecto al eje y−f (x) : nohay simetría respecto al origen

Por otro lado, como f(0) = −1, el punto (0,−1) es el punto de corte con el eje y, yno hay puntos de corte con el eje x pues la ecuación 1

x−1 = 0 no tiene solución.Se calculan algunos puntos (x, f(x)), dando valores a x para afirmar el trazado de la

gráfica, pero realmente no son muy necesarios para deducir la forma de esta. (Ver Figurasiguiente).


El cálculo de asíntotas es particularmente útil para trazar las gráficas de funcionesracionales. El siguiente ejemplo nos ayuda a consolidar las técnicas esbozadas anterior-mente.

Gráfica de la función y = f(x) = x−1(x+2)(x−3)

El dominio de la función es R−{−2, 3} = (−∞,−2)∪ (−2, 3)∪ (3,∞) y, por lo tanto,las asíntotas verticales deben buscarse en las rectas x = −2 y x = 3.Si x→−2−entonces

x− 1→−3−

x− 3→−5−

x+ 2→ 0−

Consecuentemente f(x) = x−1(x+2)(x−3) →−∞

(Observe que f toma valores negativos para x < −2)Esto es lım

x−→−2−f(x) = −∞. Es decir la recta x = −2 es una asíntota vertical por la

izquierda (Figura siguiente)

Si x→−2+entoncesx− 1→−3+

x− 3→−5+

x+ 2→ 0+

Consecuentemente f(x) = x−1(x+2)(x−3) → +∞

(Observe que f toma valores positivos para x > −2)Esto es lım

x−→−2+f(x) =∞ . Es decir x = −2 es también asíntota vertical por la derecha

y por lo tanto asíntota vertical doble. (Ver Figura siguiente).

Haciendo análisis semejantes se concluye que

lımx→3−

f(x) = −∞

lımx→3+

f(x) =∞

La recta x = 3 es una asíntota vertical doble (Ver Figura siguiente).


Las asíntotas horizontales se descubren observando el comportamiento de la funcióncuando x tiende a ∞ ó −∞. Para hacer este estudio es más cómodo expresar enforma polinómica, tanto el numerador como el denominador, efectuando las operacionesindicadas y luego dividiendo numerador y denominador por x2, por ser el término en xde potencia más alta en la expresión. Se tiene así:

f(x) = x−1(x+2)(x−3) =

x−1x2−x+6 =

1x− 1x2

1− 1x+ 6x2

Si x→∞ no es muy difícil ver que el numerador 1x− 1

x2→ 0+ y que el denominador

1− 1x+ 6

x2→ 1−. Consecuentemente f(x)→ 0+

1− = 0+. Esto es, lım

x→∞f(x) = 0+. Es decir, la

recta y = 0 es una asíntota horizontal por arriba, de la gráfica de la función (Ver Figuraanterior).Si x → −∞ se comprueba en este caso que el numerador 1

x− 1

x2→ 0− y que

el denominador 1 − 1x+ 6

x2→ 1+. Consecuentemente f(x) → 0−

1+= 0−.Esto es

lımx→−∞

f(x) = 0−. Es decir, la recta y = 0 es una asíntota horizontal por debajo, de

la gráfica de la función. (Ver Figura anterior).La información suministrada por la identificación de las asíntotas y que se consigna

en la Figura anterior, prácticamente revela la forma global de la gráfica.Es claro que no hay simetrías respecto del eje y o del origen, puesto que:

f(−x) = (−x−1)(−x+2)(−x−3) =

(x+1)(2−x)(x+3) 6= f (x) (No hay simetrías respecto al eje y)

6= −f(x) (No hay simetrías respecto al origen)Los puntos de corte sobre el eje x, se obtienen resolviendo la ecuación x−1

(x+2)(x−3) = 0,que tiene x = 1 como solución única. O sea que (1, 0) es el punto de corte con el eje x.El 0 pertenece al dominio de la función y f(0) = 1

6, por lo que el punto de corte

con el eje y es (0, 16). Si se calculan puntos adicionales sobre la gráfica, especialmente en


el intervalo (−2, 3), y consideramos la información de la Figura anterior y los datos queacabamos de obtener, se intuye sin mayor dificultad que la forma de la gráfica es la quese presenta en la Figura siguiente.

4.9.5. Transformación de gráficas

Las técnicas que describimos a continuación son útiles para construir rápidamente lagráfica de ciertas funciones que están relacionadas con otras más simples y de las cualesconocemos su gráfica. Estas técnicas consisten en hacer transformaciones a la gráfica deuna función conocida para obtener la gráfica de la función que queremos representar.

Las gráficas de y = f(x) y de y = a.f(x).Dada una función y = f(x) definimos una nueva función y = g(x) multiplicando por

una constante a 6= 0 los valores de f :

y = g(x) = a.f(x)

Suponga que conocemos la gráfica de f y que queremos hacer la gráfica de g.Si a ≥ 1 entonces


Figura 4.2:

f(x) ≤ af(x) = g(x) si f(x) ≥ 0y

f(x) ≥ af(x) = g(x) si f(x) < 0.

En ambos casos se tiene quelo que quiere decir que la ordenada g(x) (en valor absoluto) es más grande que

la ordenada f(x) (en valor absoluto) y que por lo tanto la gráfica de g se obtendrá.estirando"la gráfica de f en sentido vertical a partir del eje x (Ver Figura 4.33).Si 0 < a < 1 se puede comprobar, de la misma manera, que

|g (x)| = |af (x)| ≤ |f (x)|lo que significa que el gráfico de g se obtiene a partir del gráfico de f por “compresión”

vertical hacia el eje x (Ver Figura siguiente).

Es importante destacar que en ambos casos los puntos de corte con el eje x no varían.Cuando a < 0 no es difícil ver la gráfica de f se refleja respecto al eje x y, dependiendo

del valor absoluto de a, la “expansión” o “compresión” vertical siguen válidas (Ver Figurasiguiente).


Las gráficas de y = f(x) y de y = f(x) + c

En este caso la obtención del gráfico de y = g(x) = f(x) + c a partir del gráfico de fes inmediata. Si c > 0, todos los valores f(x) se incrementan en c unidades para obtenerg(x), de donde el gráfico de g se obtiene desplazando el gráfico de f verticalmente haciaarriba c unidades. Si c < 0 el gráfico de g se obtendrá desplazando el gráfico de f ,|c|unidades hacia abajo. (Ver Figura siguiente)

Las gráficas de y = f(x) y de y = f(ax) (a 6= 0).Cómo se puede obtener en este caso la gráfica de y = g(x) = f(ax) a partir de la

gráfica de f? Observemos que si se evalúa g en xase tiene,

g¡xa

¢= f(a.x

a) = f(x).

Esta igualdad permite decir que la función g toma el valor f(x) en la abscisa xa. Si

a ≥ 1 esta abscisa está más cerca del origen que x, o sea que la gráfica de g se obtiene porcompresión del gráfico de f en sentido horizontal hacia el eje y. Si 0 < a < 1, la abscisaxaestá más lejos del origen que x, o sea que en este caso la gráfica de g se obtiene por.expansión"de la gráfica de f en sentido horizontal a partir del eje y, (Ver Figura siguiente).


Observe que en este tipo de transformación cuando a < 0, la gráfica de f se reflejarespecto al eje y y de la .expansión.o çompresión"horizontal siguen siendo válidas segúnque el valor absoluto de a sea mayor o menor que uno, (Ver la Figura siguiente).Las gráficas de y = f(x) y de y = f(x+ c)Un análisis semejante al anterior se puede hacer en este caso para construir la gráfica

de y = g(x) = f(x+ c). Si evaluamos g en x− c,

se tiene

g(x− c) = f(x− c+ c) = f(x)

Es decir, la función g toma el valor f(x) en la abscisa x − c. Si c ≥ 0, x − c está ala izquierda de x y por lo tanto el gráfico de g se obtiene desplazando el gráfico de f cunidades hacia la izquierda. Cuando c < 0; se desplaza el gráfico de f, |c| unidades a laderecha para obte ner el gráfico de g. (Ver Figura siguiente).


El siguiente ejemplo ilustra cómo las transformaciones anteriores pueden ser utilizadaspara tener rápidamente la forma cualitativa de la gráfica de una función a partir de lagráfica de una función conocida.Tracemos la gráfica de la función g(x) = |2x+1|+1. Primero obsérvese que la expresión

de g se puede escribir también en la forma

g(x) = 2¯x+ 1

2

¯+ 1

La siguiente secuencia de gráficos indica el procedimiento de transfor mación de lagráfica de f(x) = |x| aplicando las reglas anteriores, hasta obtener la gráfica de g.


Las gráficas de y = f(x) y de y = f−(x)

Sean f una función inyectiva y f−1 su inversa. Las coordenadas (a, b) de un punto Pen la gráfica de f no solamente indican que a y b están en correspodencia por la ley quedefine a f , sino también que b y a están en correspondencia por la ley que define a f−1.Esto quiere decir que la gráfica de f es también una representación gráfica de f−1. (VerFigura siguiente).

P b = f (a)

a

a = f -1(b)

P b

Se podría decir que la gráfica de f es la misma gráfica de f−1, teniendo en cuentaque para f la variable independiente está en el eje horizontal y que para f−1 la variableindependiente está en el eje vertical.

Sin embargo, por costumbre, se suele hacer la gráfica de una función tomando siemprela variable independiente en el eje horizontal. En términos de coordenadas esto quieredecir que en la pareja (x, y), x representa siempre la variable independiente e y la variabledependiente. Debemos entonces, dado un punto P (a, b) en la gráfica de f , encontrar elpunto Q(b, a) que será un punto sobre la gráfica de f−1.

No es difícil ver que Q es el simétrico de P con respecto a la recta con ecuación y = x(Ver Figura siguiente) Por consiguiente todo punto sobre la gráfica de f−1 se obtienebuscando el simétrico con respecto a la recta y = x de algún punto en la gráfica de f.


Esto sugiere que para obtener la gráfica de f−1 a partir de la gráfica de f , se trace lagráfica de f con tinta mojada y se doble el papel a lo largo de la recta y = x. La tintahúmeda trazará la gráfica de f−1 automáticamente (Ver Figura siguiente).

Como un ejemplo representamos la gráfica de f−1 (x) = 3√x a partir de la gráfica de

f(x) = x3.


4.9.6. Crecimiento y decrecimiento de funciones

Un aspecto importante en el estudio del comportamiento de las funciones numéricas esel de crecimiento y decrecimiento. Una función tiene un comportamiento de crecimiento(resp. decrecimiento) cuando al aumentar el valor de la variable independiente, los valoresde la variable dependiente aumentan (resp. disminuyen).

Más precisamente, una función numérica f es creciente en un intervalo I, si paracualquier par de números a y b en I con a < b, se tiene que f(a) < f(b); y es decrecienteen I si para cualquier par de números a y b en I con a < b, se tiene que f(a) > f(b) (VerFigura siguiente).

Si en lugar de escribir f(a) < f(b) (resp. f(a) > f(b)) en la definición anterior,escribimos f(a) ≤ f(b) diremos que f es no decreciente en I (resp. no creciente en I).

El intervalo I se llamará intervalo de crecimiento o de decrecimiento de la función f ,según que f sea creciente o decreciente en I.Si una función es creciente o decreciente en todo su dominio, se dirá simplemente que

es creciente o decreciente.Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función a partir

de su definición se necesitan herramientas de cálculo diferencial. Sin embargo, al conocerla forma de la gráfica podemos encontrar de manera más o menos precisa los intervalosde crecimiento y decrecimiento de la misma. (Ver Figura siguiente).


Ejemplos

1. Consideremos la función

f(x) = x2

definida en el intervalo [−2, 2].La gráfica de f (Ver Figura 4.46) indica que ésta es creciente en [0, 2] mientras que es

decreciente en [−2, 0].En efecto, para a y b en [−2, 0] con a < b, se tiene que 0 ≤ −b < −a y por lo tanto

b2 < a2. Para a y b en [0, 2] con a < b se tiene que a2 < b2.

2. La gráfica de la función g(x) = 3x+ 2 indica que g es creciente en todo R, como seobserva en l figura siguiente.


52.50-2.5-5

15

10

5

0

-5

-10

x

y

x

y

En efecto, si a < b se tiene que; 3a < 3b (3 > 0) y por lo tanto 3a+ 2 < 3b+ 2.

3. La gráfica de la función h(x) = 2 indica que h no es creciente ni decreciente.

52.50-2.5-5

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y

El concepto de crecimiento (o decrecimiento) es útil en algunos casos para determinarcuándo una función es invertíble o no. En efecto, veamos el siguiente teorema.


Teorema 4.2Una función creciente (o decreciente) en todo su dominio es inyectiva y por lo tanto

invertíble.

Demostración:Supongamos que f es una función creciente y que x1 y x2 son dos elementos distintos

en el dominio de f con x1 < x2. Debido al crecimiento de f se tiene que f(x1) < f(x2) ypor lo tanto f (x1) debe ser distinto de f(x2).Podemos concluir que f es inyectiva y que por lo tanto tiene inversa f−1. No debe ser

difícil para el estudiante reproducir las demostraciones para funciones decrecientes.Ejemplos

4. La función g del ejemplo 2 es creciente en R, por lo tanto tiene inversa en R

5. Obsérvese que el recíproco del Teorema 4.2 no es cierto, por ejemplo la funciónf(x) = 1

x, x 6= 0, no es creciente ni decreciente en todo su dominio. Sin embargo f

es invertible.

6. El contrarrecíproco del Teorema 4.2 se puede usar para mostrar que una función noes creciente (o decreciente) en todo su dominio. La función f(x) = x2 del ejemplo1 no es invertible (no es inyectiva) y por lo tanto no es creciente ni decreciente entodo su dominio.

En el estudio del comportamiento de una función numérica es importante detectarcierto tipo de puntos “críticos”. Por ejemplo, puntos donde la función cambia de crecientea decreciente, puntos donde la función alcanza valores máximos o mínimos.Aunque el estudio más completo de estos tipos de comportamiento requiere de las

herramientas del cálculo, presentamos las definiciones de extremo absoluto y de extremolocal.

Extremos Absolutos

Sea f una función real. Si existe c en Df tal que

f(c) ≥ f(x) (resp, f(c) ≤ f(x))

para todo x en Df , se dice que f(c) es el máximo (resp. mínimo) absoluto de f en S.Se suele decir también que f alcanza en c su máximo (resp. mínimo) absoluto.

Por ejemplo, el máximo y el mínimo absolutos de la función f(x) = x2 del ejemplo 1son respectivamente 4 = f(2) = f(−2) y 0 = f(0). La función g(x) = 3x+ 2 del ejemplo2 no tiene máximo ni mínimo absolutos


Extremos Relativos o Locales

Sea f una función real y c un elemento en Df . Se dice que f tiene en c un extremolocal o relativo, si existe un intervalo abierto I que contiene a c y está contenido en Df ,tal que f(c) es un extremo absoluto de f restringida a I . El valor f(c) se llama extremolocal o relativo de f .La definición anterior no es aplicable a un punto c en los extremos de intervalos de

definición de f . Por ejemplo si el dominio de f es [a, b], f(a) o f(b) no pueden ser extremoslocales en el sentido de la definición anterior (¿Porqué?). Sin embargo puede ocurrir queexista un intervalo J = [a, d] contenido en Df tal que f(a) es extremo absoluto de fcuando se restringe a J . Algo semejante puede ocurrir en el punto b.Cuando esto ocurre tenemos también que f(a) o f(b) son extremos locales o relativos

de f , o equivalentemente que f tiene en a o en b un extremo local.En los puntos c1, c3 , y b la función f alcanza los valores máximos relativos. Obsérvese

que en los puntos c1 y c3 se aplica la primera parte de la definición, mientras que en b seaplica la segunda.

En los puntos a, c2 y c4 la función f alcanza los valores mínimos relativos. En estecaso se aplica la primera parte de la definición a c2 y c4y la segunda a a.Por otro lado se puede ver que en los puntos c1, c2, c3 y c4, la función ha tenido un

cambio en su comportamiento, de creciente a decreciente o viceversa.El uso de la palabra relativo o local se debe a que un valor extremo de este tipo no es

necesariamente el valor más grande o el más pequeño que puede tomar una función. Másaún la función puede tener extremos relativos sin alcanzar nunca un valor máximo ni unvalor mínimo (Ver ejercicio 11). Sin embargo, si la función tiene extremos absolutos, estosse encuentran entre los extremos relativos. Por ejemplo, el valor máximo absoluto de lafunción de la Figura 4.48 corresponde al máximo de los máximos relativos:


Máximo absoluto de f = max {f (c1) , f (c3) , f (b) , f (d)} = f(b)El mínimo absoluto de f es el mínimo de los mínimos relativos:Mínimo absoluto def = mın {f (a) , f (c2) , f (c4) , f (d)} = f(c2)Ejercicios

1. Clasifique las siguientes funciones en algebraicas y trascen dentes, polinómicas yracionales, y determine los dominios de cada una de ellas

a) f (x) =3√x−12

b) f (x, y) = xy3+x2

y+1

c) g (x) = 4 + 3x− 5x3d) g (z) = log2 (z

2 + 1)

e) h (t) = 2sen¡t+ π

2

¢f ) h (w) = 5,3w + 7

g) f (x) = senxx

2. De acuerdo con la definición dada en la Sección 4.2.1 de esta unidad, demuestre que:

a) La suma de funciones de R en E es asociativa, conmutativa, posee elementoneutro y cada función posee elemento opuesto.

b) El producto de funciones de R enR es asociativa conmutativa, y posee elementoneutro. Qué se puede decir del reciproco?

3. Considere las funciones f(x) = x+ 2, g(x)3 = (x− 1) y h(x) = x13 + 1. Diga cuales

de las siguientes igualdades son válidas:

a) f ◦ [h+ g] = f ◦ h+ f ◦ gb) f ◦ h = h ◦ fc) h ◦ g = g ◦ hd) f.[h+ g] = f.h+ f.g

e) (g ◦ h) ◦ f = g ◦ (h ◦ f)f ) (g ◦ h).f = (g.f) ◦ (h.f)

4. Determine, si las hay, las simetrías y los puntos de corte con los ejes de las gráficasde las siguientes funciones:

a) f(x) = 2x2 − 4b) g(x) = |x|− 1c) h(x) =

√4− x2


d) k(x) = x3 − x

5. Determine todas las asíntotas verticales y horizontales, de las siguientes funciones,indicando cuales de ellas son dobles:

a) f(x) = 22x−1

b) g (x) = x−2x2−3x−4

c) h(x) = 2x2

9−x2

d) k(x) = 2x2−x+3x3+1

6. Trace las gráficas de las siguientes funciones para los valores de c dados. Use lastransformaciones presentadas en la unidad,

a) f(x) = x3 + c;c = 0, c = 1, c = −3.b) f(x) = −2(x− c)2;c = 0, c = 3, c = 1.

c) f(x) = |cx− 2| ; c = 12, c = 2, c = −1.

7. La siguiente figura muestra la gráfica de una función f con dominio 0 ≤ x ≤ 4.Trace la gráfica de cada una de las siguientes funciones:

x

y

1. a) y = f(x+ 2)

b) y = 2f(x)

c) y = f(x) + 2

d) y = −f(2x)e) y = 1

2f(1

2x+ 1

2) + 1

2

8. Demuestre que las siguientes funciones f y g son inversas una de la otra y trace susgráficas:

a) f(x) = 7x+ 5 ; g(x) = x−57.


b) f(x) =√2x− 4, x ≥ 2; g(x) = x2+4

2, x ≥ 0

9. Demuestre que las siguientes funciones son invertibles demostrando que soncrecientes o decrecientes. Encuentre sus inversas.

a) f(x) = 4x− 3, x ∈ R.b) f(x) = 1

2x+5, x > −5

2

c) f(x) = 13x−1 , x > 1

3

d) f(x) = 4x2 + 1, x > 0.

e) f(x) =√4− x2, 0 ≤ x ≤ 2,

10. Demuestre que la función f : R→ R definida por f(x) = x3 + 2x+ 3

a) Es creciente

b) Tiene inversa. Calcule f−1(3), f−1(6) y f−1(0)

11. A continuación aparecen las gráficas de ciertas funciones. Identifique en cada caso:

a) Intervalos de crecimiento y d decrecimiento

b) Intervalos donde la función es constante

c) las asíntotas horizontales y verticales

d) los puntos donde se alcanzan los máximos y los mínimos

e) los valores lımf(x)x→∞

, lımf(x)x→−∞

, lımf(x)x→2+

y lımf(x)x→−3−

f ) Máximos y mínimos absolutos


12. Sea f : R −→ R una función tal que:

a) f(−4) = f(3) = f(7) = 0, f(0) = 3, f(−2) = 5, f(5) = −1.b) f es creciente en los intervalos (−∞,−2) y (5,∞) y decreciente en el intervalo(−2, 5) .

c) lımx−→−∞

f(x) = −∞d) La recta y = 7 es una asíntota horizontal por debajo de la gráfica de f .

e) Use estos datos para hacer un bosquejo de la gráfica de f .

13. Demuestre que la inversa de una función creciente es creciente.

14. De ejemplos de funciones que no tengan intervalos de crecimiento ni de decrecimien-to.


a = tan θ

θ

(0, b)

x

y

Figura 4.3: Gráfica de la función f(x) = ax+ b

15. Demuestre que una función creciente definida en un intervalo cerrado [a, b] alcanzael máximo absoluto en b y el mínimo absoluto en a. Qué se puede decir si f estadefinida en un intervalo abierto?

4.10. FUNCIONES POLINÓMICAS

Una función f : R→ R es polinómica de grado n, si

f (x) = anxn + an−1xn−1 + ...+ a1x+ a0.

donde: n ∈ N y an, an−1, ..., a1, a0 ∈ R, con an 6= 0. Cuando n = 0, f resulta ser lafunción constante f (x) = a0Dos casos particulares de funciones polinómicas son las funciones lineales y Ias

funciones cuadráticas, que analizremos a continuación.

4.10.1. Funciones lineales

Las funciones lineales son funciones polinómicas de grado 1 y por lo tanto son de laforma

f (x) = ax+ b, a, b ∈ R, a 6= 0La gráfica de esta función coincide con el lugar geométrico que determina la ecuación

y = ax + b que por geometría analítica sabemos que es una linea recta con pendiente(tangente del ángulo de inclinación de la recta respecto al eje x) a y que corta el eje y enel punto (0, b)

La pendiente a de la recta se puede expresar utilizando el simbolismo funcional, de lamanera siguiente: Sean (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) dos puntos distintos de la gráfica de lafunción lineal (Figura siguiente) luego

4.10. FUNCIONES POLINÓMICAS 319

Figura 4.4:

f(x1) = ax1 + bf(x2) = ax2 + b.

De esto se sigue que

f(x2)− f(x1) = (ax2 + b)− (axl1 + b) = a(x2 − x1)

por lo que

a =f (x2)− f (x1)

x2 − x1

Como en la expresión anterior x1 6= x2 , podemos suponer que x1 < x2 y por lo tanto

f(x1) < f(x2) sii a > 0f(x1) > f(x2) sii a < 0.

Esto quiere decir que la pendiente a da la clave para determinar si f es creciente odecreciente. En resumen:

f es creciente sii a > 0y

f es decreciente sii a < 0.

Este hecho se visualiza en las figura siguiente (a) y (b). De otro lado, como para caday ∈ R la ecuación en x

ax+ b = y ; a 6= 0,

tiene solución única dada por

x = 1ay − b

a


(a) (b)

se concluye que la función lineal es inyectiva y sobreyectiva. En consecuencia; la funciónlineal, f(x) = ax + b, tiene como función inversa a la función f−1(x) = 1

ax− b

aque a su

vez es una función lineal.Ejemplos.

1. Consideremos las funciones lineales f(x) = 2x + 4 y g(x) = −3x + 5. La gráficade f es una recta de pendiente a = 2, que corta el eje y en el punto (0, 4). Puestoque la pendiente es positiva, f es creciente. Además; como f(−2) = 0, se tiene quela recta corta el eje x en el punto (−2, 0). La gráfica g es una recta de pendientea = −3 < 0, por lo que g es decreciente. Además corta el eje y en el punto (0, 5) y,como g(5/3) = 0 corta el eje x en el punto (5/3, 0).

52.50-2.5-5

20

15

10

5

0

-5

-10

x

y

x

y


Despejando x de y = 2x+ 4 se obtiene la expresión para la función inversa de f

f−1(x) = x2− 2,

y despejando x de y = 3x+ 5 se obtiene la expresión para la función inversa de g:

g−1(x) =−x3+ 5

3.

En la Figura anterior observamos que la rectas en consideración se cortan, lo quesignifica que f y g toman el mismo valor en algún punto a. Para encontrar el valor de adebemos resolver la ecuación

2a+ 4 = −3a+ 5.Al resolverla encontramos que a = 1

5, y quef(a) = g(a) = 22

5

2. La función lineal es un modelo matemático que se usa con frecuencia en aplicacionescientíficas y técnicas. Por ejemplo, la

1. conocida relación

F = 95C + 32

que relaciona las medidas de las te5mperaturas en grados centígrados (◦C) y engrados Farenheigt (◦F) permite decir que ◦F es una función lineal de ◦C. Mediante estarelación podemos transformar las medidas de temperaturas en grados centígrados a gradosFarenheigt y viceversa. Por ejemplo, 25◦C son equivalentes a 77◦F , pues

F = 95x25 + 32 = 77.

Proporcionalidad Directa.

En el lenguaje científico y técnico es común decir que una variable y es directa,o inversamente proporcional a otra variable x. Así por ejemplo, se dice: "la distanciarecorrida por un móvil que se desplaza a velocidad constante es directamente proporcionalal tiempo transcurrido"(Ley de movimiento uniforme).Asimismo se dice: .El volumen que ocupa una cantidad fija de gas, a temperatura

constante, es inversamente proporcional a la presión aplica da"(Ley de Boyle).En términos generales se dice que una variable y es directamente proporcional a una

variable x, o que y varía directamente con x, si existe un número k 6= 0, llamado constantede proporcionalidad, tal que

y = kx.

para todos los valores numéricos de los dominios de las variables x y y. En otraspalabras, y es directamente proporcional a x, si y es función lineal de x de la formaindicada antes.


Proporcionalidad Inversa.

Por otro lado se dice que la variable y es inversamente proporcional a una variable x,o que y varía inversamente con x, si existe un número k 6= 0, denominado constante deproporcionalidad, tal que

y = kx

para todos los valores numéricos de los dominios de las variables x y y. Ejemplos

1. La ley de Hooke establece que: la fuerza requerida para alargar x unidades delongitud un resorte sin estirar es directamente proporcional a x. Si un peso de 4kg estira un resorte cuya longitud natural es de 10 cm hasta una Ion gitud de10.3 cm., ¿Cuál es el peso que dará lugar a una longitud de 11.5 cm.? (Ver Figurasiguiente).

Denotemos por P el peso requerido para estirar el resorte x cm de su posición natural.La ley de Hooke establece que P y x son cantidades directamente proporcionales, por loque existe un número k 6= 0 tal que

P = k.x

Ahora bien; por los datos del problema sabemos que cuando P = 4kg,x = 0,3cm, osea

4 = k.(0,3)

De aquí que.

P = 403

En consecuencia, cuando x = 1,5 se tiene que


P = 403× 1,5 = 20.

Esto quiere decir que el peso que da lugar a una longitud del resorte de 11,5cm es de20kg.

2. El tiempo t que se necesita para recorrer una cierta distancia varía inversamentecon la velocidad v. Se tarda 5 horas, a una velocidad de 60 km/h, en recorrerdeterminada distancia. ¿Cuánto tiempo se tarda en recorrer esa distancia fija a unavelocidad de 40 km/h ?

Denotemos por t el tiempo necesario para recorrer tal distancia a una velocidad v.Entonces

t = kv.

Puesto que cuando v = 60kmh, t = 5h, se tiene que

5 = k60

de donde

k = 300km.

En consecuencia, cuando v = 40kmd

t = kv= 300

40= 7,5h

Esto quiere decir que para recorrer la distancia fija de 300 km a una velocidad de 40km/h el tiempo necesario es de siete horas y media.

4.10.2. Funciones cuadráticas

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas de grado 2, y por lo tanto tienenla forma

f(x) = ax2 + bx+ c; a, b, c ∈ R, a 6= 0,

De la geometría analítica se sabe que el lugar geométrico que determina la ecuación

y − k = a(x− h)2,


en coordenadas cartesianas rectangulares, es una parábola que tiene: vértice en elpunto (h, k), por eje la recta x = h y que corta el eje y con el punto (0, k + ah2).Además, sabemos que la parábola es cóncava hacia arriba si a > 0 y es cóncava hacia

abajo si a < 0. (Ver Figuras siguientes).

Partiendo de la expresión

y = f(x) = ax2 + bx+ c,

completando cuadrados, tal como lo hicimos en la sección 3.3, se llega a la expresión

y −³4ac−b24a

´= a(x+ b

2a)2,que tiene la forma

y − k = a (x− h)2

donde k = 4ac−b24a

y h = − b2a

Esto quiere decir que la gráfica de la función cuadrática y = ax2 + bx + c es unaparábola que tiene: vértice en el punto

³− b2a, 4ac−b

2

4a

´, por eje la recta x = − b

2ay que

corta el eje y en el punto (0, c). Además, de acuerdo con las observaciones anteriores sepuede concluir que:

1. Cuando a > 0; la parábola es cóncava hacia arriba, y consecuentemente la funcióntiene un valor mínimo absoluto cuando x = − b

2a, el cual es f

¡− b2a

¢= 4ac−b2

4a. Se

deduce igualmente que: el rango de f es el intervalo³4ac−b24a

,∞´, f es decreciente

en el intervalo (−∞,− b2a) y f es creciente en el intervalo (− b

2a,∞).


2. Cuando a < 0; la parábola es cóncava hacia abajo, f tiene un valor máximo absolutocuando x = −b

2a, el cual es f(−b

2a) = 4ac−b2

4a. El rango de f es el intervalo (−∞, 4ac−b

2

4a)

(¿En qué intervalos es la función creciente? ¿En cuáles decreciente?).

De la gráfica y de lo dicho anteriormente, es claro que la función cuadrática no esinyectiva, y por lo tanto no posee función inversa. (¿ Podría restringirse el dominio paraque la nueva función que se obtenga posea inversa?).Por último, para encontrar los puntos de corte de la gráfica de la función cuadrática

con el eje x, basta resolver para x ∈ R la ecuación

ax2 + bx+ c = 0.

Como sabemos, las soluciones de ésta están dadas por

x1 =−b+√b2−4ac

2a

x2 =−b−√b2−4ac

2a

Es importante destacar que cuando el discriminante b2 − 4ac es menor que cero lassoluciones anteriores son complejas conjugadas y que, por lo tanto, en este caso la gráficano corta el eje x (Ver Figura siguiente)

.Ejemplos

1. Consideremos las funciones cuadráticas

f(x) = 3x2 − 6x+ 5 y g(x) = −2x2 + 8x− 6.

Completando cuadrados como en el caso general, se tiene;

f(x) = 3(x− 1)2 + 2 y g(x) = −2(x− 2)2 + 2.


La gráfica de f es una parábola que tiene: vértice en el punto (1, 2), por eje la rectax = 1 y corta el eje y en el punto (0, 5). Además: como a = 3 > 0, la gráfica de f escóncava hacia arriba. En este caso el discriminante es −24 y por lo tanto la gráfica def no corta el eje x. La función f alcanza un valor mínimo absoluto en x = 1, el cual esf(1) = 2. El rango de f es el intervalo (2,∞).La función f es creciente en (1,∞) y decreciente en (−∞, 1). (Ver Figura siguiente).La gráfica de g es una parábola que tiene: vértice en el punto (2, 2), por eje la recta

x = 2. Y corta el eje y en el punto (0,−6). Puesto que a = −2 < 0, la parábola es cóncavahacia abajo.De acuerdo con la discusión general, las abscisas de los puntos de corte de la gráfica

de g con el eje x son las soluciones de la ecuación

−2x2 + 8x− 6 = 0

las cuales son

x1 = 1 y x2 = 3.

La función g alcanza un valor máximo absoluto en x = 2, el cual es g(2) = 2. El rangode la función g es (−∞, 2), g es decreciente en (2,∞) y creciente en (−∞, 2). (Ver Figurasiguiente).

De acuerdo a la figura anterior, no parece haber puntos de corte entre las gráficas def(x) y g(x). Es decir, no hay valores reales de x para los cuales f(x) = g(x). En efecto,basta comprobar que la ecua ción

3x2 − 6x+ 5 = −2x2 + 8x− 6

4.11. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 327

no tiene solución. Esta última es equivalente a la ecuación que tiene discriminante−24, lo que confirma lo observado en la gráfica2. Demostremos que entre todos los rectángulos R de perímetro p, el de mayor área esel cuadrado.

R

z

x

Denotemos por x la longitud del ancho del rectángulo y por z la longitud del largo.Puesto que el perímetro del rectángulo es p, se tiene

2x+ 2z = p

de donde

z = p2− x.

Ahora bien, el área A del rectángulo está dada por la expresiónA = x.z. Reemplazando z en términos de x, vemos que A es una funcióncuadrática de x

A(x) = −x2 + (p2)x.

Completando cuadrados obtenemos

A(x) = −1(x− P4)2 + (P

4)2.

En consecuencia; la gráfica deA es una parábola que tiene: vértice en el punto (P4, (P

4)2)

y que es cóncava hacia abajo, ya que a = −1 < 0. Por lo tanto, el valor de A es máximocuando x = P

4, y este valor máximo es (P

4)2.

Para x = P4se tiene que z = P

4lo que significa que el área A es máxima cuando R es

un cuadrado.

4.11. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGA-RÍTMICAS

En esta sección interpretamos en un lenguaje funcional las secciones 1.5.3 y 1.5.5 de laUnidad 1.5. Es conveniente que el estudiante tenga a mano estas secciones pues haremosreferencia a ellas con mucha frecuencia.


4.11.1. Funciones exponenciales

El teorema 16 de la sección 2.7.3 nos garantiza que, dado un número real a > 0, paracada x en R, existe asociado un número real positivo ax. Esto nos permite definir, paracada a > 0, una función Ea mediante la ley de correspondencia que a cada x en R leasigna el número real positivo a . Esta función se llama función exponencial de base a,quetiene dominio R:

Ea : R→ R+, Ea (x) = ax

En el teorema 17 de la sección 2.7.3 se dijo que la ley de correspon dencia que define aEa(a 6= 1) es :una correspondencia biunívoca entre R y R+.Esto quiere que Ea, es inyectivay que su rango es R+.La inyectividad de Ea se puede deducir también del Teorema 17 (creciente para a > 1 y

decreciente para 0 < a < 1) y de la sección 4.8 en la cual se nos garantiza su invertibilidad.Del comportamiento de la función se puede observar que cuando a > 1

lımx→∞

ax =∞ y lımx→−∞

ax = 0+

y que cuando 0 < a < 1

lımx→∞

ax = 0+ y lımx→−∞

ax =∞

Esto quiere decir que la recta y = 0 es una asíntota horizontal por arriba déla gráficade Ea.Obsérvese que, debido a que Rf es R+, la gráfica de Ea no tiene simetría con respecto

al origen de coordenadas y no corta el eje x. Además la gráfica de Ea tampoco puedetener simetría con respecto al eje y, al que corta en el punto de coordenadas (0, 1)(¿Porqué?).Con la información que tenemos podemos ver que la forma de las gráficas de las

funciones exponenciales es la siguiente:


En la gran mayoría de las aplicaciones en que intervienen las funciones exponenciales,aparecen funciones del tipo g(x) = k.acx + A (K, a, c y A son constantes) denominadastambién funciones exponenciales. El conocimiento que tenemos de la función exponencialf(x) = ax , más el uso de algunas transformaciones adecuadas, nos sirven para obtener laforma de la gráfica de tales funciones. Ilustramos lo dicho con el siguiente ejemplo.

Tracemos la gráfica de la función

g(x) = 5(23x)− 7

La gráfica de y = 23x = (23)x = 8x tiene el aspecto siguiente:

La gráfica de y = 5(23x) se obtiene de la ley de y = 22x, multiplicando por 5 todas lasordenadas correspondientes al mismo valor de x.


Por último; la gráfica de g(x) = 5,23x − 7, se obtiene trasladando 7 unidades haciaabajo la gráfica de y = 5,23x.Observe que en este caso la gráfica de g(x) corta el eje x. Hallemos analíticamente la

abscisa x* del punto de corte; ésta se obtiene resol viendo la ecuación

g(x) = 5(23x)− 7 = 0.Usando las propiedades de los logaritmos, encontramos que la solución de la anterior

ecuación esx∗ = 1

3log2(7/5) = 0,16,

4.11.2. Funciones logarítmicas

Como vimos en la primera parte, de esta sección la función exponencialde base a 6= 1 es invertible. Su inversa se llama función logarítmica de base a que tiene

dominio R+ y rango R. Puesto que logaax = x para todo x ∈ R+ (Ver Sección 2.7.4), setiene que la función logarítmica de base a está denida por La : R+ → R, La (x) = loga xSegún el ejercicio 13 de la capítulo 4.9, como Ea es creciente para a > 1 y decreciente

para 0 < a < 1, podemos decir que La es creciente para a > 1 y decreciente para 0 < a < 1.Esta propiedad de La también se deduce del teorema 20 de la Sección 2.7.4.De lo expuesto en el parágrafo 2.7.4 se puede deducir que

lımx→0+

loga x = −∞ y lımx→∞

loga x =∞

cuando a > 1.Además se puede deducir que

lımx→0+

logax =∞ y lımx→∞ logax = −∞


cuando 0 < a < 1.La gráfica de La se puede obtener de la de Ea. mediante una reflexión con respecto a

la recta y = x.Obsérvese que la recta x = 0 es una asíntota horizontal para la derecha de la gráfica

de La.

El conocimiento de la gráfica de La más el uso de algunas transformaciones adecuadasnos permiten bosquejar las gráficas de funciones del tipo

h(x) = k.loga(x− c) +Bdonde k,B, c y a son constante, a > 0, a 6= 0. .A continuación presentamos un ejemplo sobre crecimiento de una poblaciónen el que se usan las propiedades de Ea y La .Un modelo matemático para describir el crecimiento de la población es la fórmula

P = P0.ekt

siendo P0 el número de individuos en el momento 0, P el número de individuos en elmomento t y k una constante positiva que depende de la situación.Cierta población en 1985 es de 208× 106 individuos. Se espera que en1990 ésta sea de

250×106 individuos. Utilicemos el modelo anterior y estos datos para predecir la magnitudde la población para el año 2.000.Sustituyendo los datos en la fórmula, obtenemos (P = 208 × 106, t = 5 años,

P (5) = 250× 106).250× 106 = 208× 106.ek5

Despejando k se llega a

k = 15loge

250208' 0,037

Por consiguiente


P ' 207× 106 × e0,0,37t

y en el año 2.000, habrá aproximadamente

P (15) ' 208× 106 × e0,037×15

individuos.En las aplicaciones surgen también con frecuencia funciones del tipo

g(x) = klog xc

donde k y c son constantes. (Ver Ejercicios)

4.12. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

4.12.1. El origen de la trigonometría

La palabra trigonometría proviene de las raíces griegas: trigonon: triángulo y metron:medida; en este sentido, trigonometría traduce medida de los triángulos.Se considera que Hiparco (180-125 a.C.) fue el primero en considerar las relaciones

entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Claudio Ptolomeo y Aristarcode Samos aplicaron la trigonometría a sus estudios de astronomía. El primer texto detrigonometría, propiamente dicho, fue publicado por Bartolomé Pitiscus (1561-1613) en elaño 1600, para impartir un curso en la universidad alemana de Heidelberg. El matemáticofrancés François Viète (1540-1603) calculó algunas fórmulas trigonométricas de ángulosmúltiples. La trigonometría recibió gran impulso en Escocia, a través de John Neper (1550-1617), quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. En el siglo XVIII, con lostrabajos del matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) la trigonometría se apartó dela astronomía y se transformó en una nueva rama de las matemáticas.Originalmente, la trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución de triángulos.

Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos.Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos sea unlado, la trigonometría enseña a solucionar el triángulo, esto es, a encontrar los otros treselementos. En este estado de la trigonometría se definen las funciones trigonométricas(seno, coseno, tangente, etc.), de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, como lasrazones entre dos de los lados del triángulo; el dominio de definición de estas funcioneses el conjunto de los números reales que hagan posible la asignación respectiva, como loveremos más adelantes.

4.12.2. Medida de ángulos

Antes de definir las funciones trigonométricas estudiemos algunas propiedades de losángulos orientados. Partamos de un sistema de coordenadas cartesiano y tomemos comopunto de partida el semieje positivo de las abscisas. A continuación empecemos a girar

4.12. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 333

un segmento a partir del semieje positivo de las abscisas. A medida que vamos girando elsegundo segmento, se va formando un ángulo cuyos lados corresponden al semieje positivoy al segmento que gira.Un ángulo consta de un rayo inicial que coresponde al semieje de las x positivo, un

rayo terminal y un vértice. Definimos el ángulo como positivo si al llevar el rayo inicialsobre el terminal, el movimiento realizado se hace en el sentido contrario a las manecillasdel reloj. Si el movimiento se hace en el sentido de las manecillas del reloj, tomamos elángulo como negativo.

Existen dos tipos de unidades para medir ángulos. La unidad de medida de ángulosen el sistema sexagesimal es el grado. Un grado corresponde a cada una de las 360 partesiguales en que se divide el círculo. El ángulo correspondiente a un giro completo medirá360o. Un ángulo recto, que corresponde a un cuarto de círculo, mide 90o.El número 360 fue escogido por los astrónomos babilónicos, quizas por que es el más

cercano a 360 días en el año y además 360 tiene muchos divisores. Este tipo de medidaresulta complicada para el cálculo de las funciones trigonométricas que definiremos másadelante. En el cálculo es más conveniente usar la medida en radianes. Si un círculo tieneradio r y un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo intercepta un arco de longituds, entonces el cociente s

rserá la medida del ángulo en radianes.

s

θ

r


Como la longitud de toda la circunferencia es 2πr, la medida del ángulo circularcompleto es 2π radianes. El ángulo circular recto intercepta un arco de longitud π

2r así

este ángulo mide s =π2r

r= π

2radianes. El semicírculo mide πr/r = π radianes.

Relación entre grados y radianes

Como el ángulo recto tiene 90◦ = π2rads. Tenemos que 1◦ =

π

180rad y 1rad =

180◦

π≈

57,3◦.Por ejemplo, 30◦ = 30 (π/180) rads = (π/6) radsEn el caso del círculo unitario, radio 1, la fórmula θ = s/r = s. En este caso, la

longitud del arco interceptado es igual a la medida del ángulo en radianes.

Medida de ángulos más grandes que 2π

Si α es un ángulo cuya medida es mayor que 2π, podemos escribir α = p(2π)+θ dondeθ ∈ [0, 2π] y p indicará el número de vueltas completas alrededor del centro del círculounitario. El ángulo π/2 tiene las siguientes representaciones

π/2, π/2 + 2π = 5π/2, π/2 + 4π = 9π/2, π/2 + 8π = 17π/2, ....

Angulos negativos

Como dijimos antes, el signo negativo indicará que el ángulo se mueve en el mismosentido de las manecillas del reloj. Por ejemplo el ángulo −π/2 empieza en el punto (1,0)hasta el punto (0,-1) en el sentido negativo

4.12.3. Relaciones trigonométricas

Definición de las relaciones trigonométricas

Las relaciones trigonométricas se definen en triángulos rectángulos. Sea el triánguloBAC tal que ^BAC es recto.

AB

C

a

c

b


Si cada uno de los vértices se toma como el ángulo correspondiente.se definen lasrelaciones trigonométricas de la siguente manera:

Seno del ángulo B = sen B =cateto opuestohipotenusa

=b

a;

Coseno del ángulo B = cosB =cateto adyacentehipotenusa

=c

a

Tangente del ángulo B = tanB =cateto opuestocateto adyacente

=b

c;

Co tan gente del ángulo B = cotB =cateto adyacentecateto opuesto

=c

b

Secante del ángulo B = secB =hipotenusa

cateto adyacente=

a

c;

Co sec ante del ángulo B = cscB =hipotenusa

cateto opuesto=

a

b

De forma similar se pueden obtener las relaciones trigonométricas del ángulo C.

El círculo trigonométrico

Con el propósito de definir las funciones trigonométricas, a partir de las relacionestrigonométricas, utilizamos el círculo unitario, cuya ecuación cartesiana es x2 + y2 = 1.Sea A el punto (0, 1) y sea t un número positivo, correspondiente a la medida de unángulo, el cual determina un único punto P (x, y) en la circunferencia de radio unidad,como se muestra en la figura siguiente:

A (1, 0) B O t

Si t es negativo trazamos el arco en el sentido de las manecillas del reloj. Lasconsideraciones anteriores permiten incorporar las relaciones trigonométricas tomandocomo referencia, primero el triángulo OBP . De acuerdo a las definiciones de las relacionesantes establecidas se tendrá que: x = sen t y y = cos t.


Si asumimos que las coordenadas de cada punto de la circunferencia correspondea los valores del seno y del coseno del ángulo que se forma, podemos generalizar lasrelaciones trigonométricas a para ángulos en general. Así, por ejemplo si t = π/2, entoncescos(π/2) = 0 y sen(π/2) = 1. Si t = −π entonces cos(−π) = −1 y sen(−π) = 0.

4.12.4. Definición de las funciones trigonométricas

Las funciones seno y coseno

Dado que para cada t, sen t y cos t están definidos de manera única, no hay ningúnproblema en definir estas relaciones como funciones en el sentido de que a cada t (númeroreal, correspondiente a la medida del ángulo) le asigna un único valor. En este sentido eldominio de estas funciones será R. Como x y y están siempre entre −1 y 1, el rango delas funciones seno y coseno es el intervalo [−1, 1]; es decir: |sen t| ≤ 1 y | cos t| ≤ 1.Puesto que el círculo unitario tiene 2π de circunferencia, los valores t y t + 2π

corresponden al mismo punto, es decir, se cumple que sen(2π+ t) = sen t y cos(2π+ t) =cos t.Observe que aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo OBP tenemos que

sen2t+ cos2 t = 1Dado que los puntos P y Q que corresponden a t y a −t, respectivamente, son

simétricos con respecto al eje x, entonces las abscisas de P y Q son los mismos y lasordenadas son diferentes en signo. Eso significa que sen(−t) = −sen t y cos(−t) = cos t.En la gráfica, el ángulo t aparece señalando el como el arco corespondiente a la medidadel ángulo en radianes.

Definicion: Una función se dice que es periódica si existe una constante C tal quef(x + C) = f(x). El valor más pequeño de este número constante se llama período deesta función.De acuerdo a definición anterior las funciones sen t y cos t son períodicas y su período

es 2π. Estas funciones están definidas para los valores de t. Las gráficas de estas funcionesse muestran a continuación:


Las otras funciones trigonométricas

Debe ser claro que las restantes relaciones trigonométricas que se definen en términosde las relaciones seno y coseno dan origen a otras tantas funciones trigonométricas comoresultado de la combina ción algebraica correspondiente de las funciones seno y coseno.Es importante tener presente que debido a su definición, las restantes funciones no

tienen a todo R como dominio. Por ejemplo, la función tangente,

tanx =senx

cosx

no está definida en aquellos x para los que cosx = 0. Por lo tanto su dominio es

R− {(2k + 1)π2|k ∈ Z}

En la siguiente tabla presentamos los dominios y rangos de las funciones trigonométri-cas. Dejamos que el estudiante la verifique.


Función Dominio RangoCoseno R [−1, 1]seno R [−1, 1]

tangente R− {(2k + 1)π2|k ∈ Z} R

cotangente R− {nπ/n ∈ Z} Rsecante R− {(2k + 1)π|k ∈ Z} (−∞,−1] ∪ [1,∞)cosecante R− {nπ/n ∈ Z} (−∞,−1] ∪ [1,∞)

La anterior tabla se ha establecido atendiendo a la definicón de cada una de ella:,puesto que:

cot t =1

tan t, csc t =

1

sent, sec t =

1

cos t

Las función sec t tiene exactamente el mismo dominio que la función tan t y lasfunciones cot t y csc t están definidas para todos los valores de t, excepto t = kπ(k = 0,±1,±2....).Las gráficas de estas funciones se muestran a continuación:


Funciones Trigonométricas Generales

Consideramos ahora otro tipo de funciones trigonométricas cuyas pro piedades sededucen de las anteriores por estar definidas en términos de éstas. Las funciones a las quenos referimos están definidas med ante las leyes de correspondencia.


y = asen(bx+ c)y = acos(bx+ c)y = atan(bx+ c)

a, b, c ∈ R, b 6= 0.Este tipo de funciones aparecen con frecuencia en el estudio de fenómenos periódicos

en física. Ejemplos de estos fenómenos son, el movimiento de un cuerpo que flota en elagua movido por las olas, el movimiento de una partícula en una cuerda vibrante, elmovimiento de un péndulo, el movimiento de un cuerpo suspendido de un resorte, etc.Estos movimientos caen dentro de un mismo tipo de descripción que se llama

movimiento armónico simple. En general, todo cuerpo cuyo desplazamiento d con respectoa una recta, en cualquier tiempo t esté dado por la ecuación

d = asen(wt+ φ) w 6= 0 6= a

describe un movimiento armónico simple.Esta ecuación contiene toda la información sobre este tipo de movi miento. El

desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio (d = 0) es |a| que se llamaamplitud; el tiempo necesario para una vibración completa es ^que corresponde al período;los instantes de tiempo t en que el cuerpo pasa por su posición de equilibrio son lassoluciones de la ecuación sen(wt+ 0) = 0; etc. ...El movimiento armónico simple también se puede describir usando la función coseno

ya que coswt = sen(π2− wt)

Para hacer la gráfica de la función y = asen(bx+ c) a, b, c ∈ R, a 6= 0 6= b que describeel movimiento armónico simple, basta seguir el procedimiento presentado en la sección4.9.5 de éste capítulo.Es decir, se puede esbozar la gráfica de y = a senx a partir de la gráfica de y = senx:

π 2π

y = sen x

π 2π

a

-a

y =a sen x


Figura 4.5:

No es difícil esbozar la gráfica de y = asen(bx+ c). A continuación aparece la gráficacorrespondiente a esta función para a = 4, b = 2 y c = 0,5.

Este mismo procedimiento se puede emplear para esbozar la gráfica de y = 12tan(2x+

π2) :


4.12.5. Inversas de las Funciones Trigonométricas

En la sección anterior hemos visto como calcular la función trigonométrica correspon-diente a partir del ángulo t. Se puede presentar el caso inverso de calcular el ángulo apartir del valor de la función trigonométrica. Por ejemplo queremos saber el valor de ttal que, cos t = 1

2. El problema es que no podemos encontrar varios valores de t para los

cuales se cumple la igualdad, en nuestro caso, t = π6, t = 2π

3, etc. En otras palabras, las

correspondencias definidas por las relaciones trigonométricas no son biunivocas, lo quesignifica que las funciones trigonométricas no son inyectivas.El problema de la inversión consiste entonces en restringuir el dominio de las funciones

de tal manera que las funciones asi obtenidas sean inyectivas. La escogencia del nuevodominio es, en principio, arbitra ria. Sin embargo por una convención ya generalizada lasrestricciones que se hacen son las siguientes:

FunciónDominiorestringido

comportamiento Rango

Seno [−π2, π2] creciente [−1, 1]

Coseno [0, π) decreciente [−1, 1]Tangente (−π

2, π2) creciente R

Cotangente (0, π) decreciente R

Secante [0, π2) ∪ (π

2, π]

creciente encada subintervalo

(−∞,−1] ∪ [1,∞)

cosecante [−π2, 0) ∪ (0, π

2]

decreciente encadasubintervalo

(−∞,−1] ∪ [1,∞)

Obsérvese que en estos dominios las nuevas funciones son invertíbles pues ellas soninyectivas. Analicemos lo anterior para las función seno.Sea f la restricción de la función seno al intervalo [−π

2, π2]

f(x) = senx,−π2≤ x ≤ π

2


Como f es invertible, la ley de correspondencia que a cada x en [−1, 1] le hacecorresponder el valor de y en[−π

2, π2] tal que f(y) = x, define la inversa f−1 de f.

A la función f−1 se le llama arcoseno y tiene dominio [−1, 1] y rango [−π2, π2]

Simbólicamente:f−1 = y = arcsenx si y sólo si x = seny ; −π

2≤ y ≤ π

2

Es importante tener en cuenta que el dominio y el rango de cada inversa sonrespectivamente el rango y el dominio de la función original res tringida. Hacemos estaobservación ya que, por ejemplo, no siempre es cierto que

arcsen(senx) = x.

Para que sea cierta esta igualdad debemos exigir en este caso que x ∈ [−π2, π2] En

efecto si x = π se tiene que

arcsen(senπ) = 0 6= π.

La gráfica de y = arcsenx es la siguiente:

De manera similar se definen las inversas arcoseno, arcocotangente, arcotangente,arcosecante y arcocosecante para las restantes funció nes. Por ejemplo la funciónarcocoseno se define asi:

y = arcos x si y sólo si x = cosy ; 0 ≤ y ≤ π.

Dejamos como un ejercicio definir las restantes.No debe ser difícil para el estudiante verificar que las gráficas de arcocoseno,

arcotangente, arcocotangente, arcosecante y arcocosecante son las siguientes:


Presentamos a continuación algunos ejemplos que ilustran el uso de las funcionestrigonométricas inversas en cálculos específicos.


Ejemplos

1. Encuentre el valor de sec(arctan2/3) sin hacer uso de las tablas ni calculadora.

Si y = arctan2/3, entonces tany = 2/3. Como sec2y = 1+tan2y −π2≤ y ≤ π

2podemos

escribirsec y =

p1 + tan2 y =

q1 +

¡23

¢2=q1 + 4

9=

√133

De aquí que, sec(artan2/3) = secy =√133

2. Evalúe sen(arctan1/2− arcos4/5).

Si u = arctan1/2 y v = arcos4/5, entonces tanu = 1/2 y cosv = 4/5. Deseamosencontrar sen(u − v). A u y v las debemos considerar en medidas de ángulos agudospositivos en radianes, puesto que están en el intervalo [0,−π

2], y se pueden obtener otros

valores de estas mediante los triángulos rectángulos de la figura siguiente. Esto nos conducea que senu = 1√

5, cosu = 2√

5y senv = 3

5. En consecuencia

sen(u− v) = senu cos v − cosu senv = 1√545− 2√

535= −2√5

25

5

2

1

53

4

3. Escriba cos(arcsenx) como una expresión algebraica en x. Si considerarnos y =sen−1x, entonces seny = x. De aquí que nuestro objetivo es encontrar cosy. Como−π2≤ y ≤ π

2se concluye que cosy ≥ 0 y por lo tanto

cos y =p1− sen2y =

√1− x2

En consecuencia, cos(arcsenx) =√1− x2

4.12.6. Identidades trigonométricas

Una identidad es una igualdad que se cumple para todos los valores de las variablesque aparecen a cada lado de la igualdad. En el caso de las identidades trigonométricas secumple para cualqueir valor del ángulo.Aplicando el teorema de pitágoras obtenemos que x2 + y2 = 1. Como x = cos θ y

y = senθ, se tendrá la identidad funcamental: sen2θ + cos2 θ = 1


Dividiendo, primero por sen2θ y luego por cos2 θ, la identidad anterior se obtiene:

sen2θ

sen2θ+cos2 θ

sen2θ=

1

sen2θ, lo que significa que, 1 + cot2 θ = csc2 θ

sen2θ

cos2 θ+cos2 θ

cos2 θ=

1

cos2 θ, lo que significa que, tan2 θ + 1 = sec2 θ

Las identidades trigonométrica se emplean en algunas situaciones es dispendiosocalcular los resultdos directamente de la relación. Por ejemplo en algunos casos es mássencillo calcular los valores para las funciones trigonométricas de un ángulo cuandopodemos descomponer ese ángulo en una suma o resta de otros dos con funcionestrigonométricas conocidas. En este caso es necesario conocer las siguientes identidades:

sen(α± β) = senα cosβ ± cosαsenβcos(α± β) = cosα cosβ ∓ senαsenβ

tan (α± β) =tanα ± tanβ

1 ∓ tanα tanβ

Empecemos demostrando que sen(α+ β) = sen α cosβ + cosα sen β.Supongamos que]AOC = α y ]BOC = β; entonces ]AOB = α+ β,

I

α

FH

E G

C

B

Aαβ

O

En OB, línea límite del ángulo compuesto α + β, tómese un punto I y trácenseIE e IF perpendiculares a OA y OC,respectivamente; trácense también FG y FHperpendiculares a OA y IE, respectivamente.


Por definición,sen(α+ β) = IE

OI= FG + IH

OI= FG

OI+ IH

OI

= FGOF

OFOI+ IH

IFIFOI

= senα cosβ + cos(]HIF ) senβ

Pero ]HIF = 90o −]HFI = ]HFO = ]FOG = αPor lo tanto sen(α+ β) = sen α cosβ + cosα sen β

De la misma forma, podemos demostrar que cos(α+ β) = cosα cosβ − sen α sen β

cos(α+ β) = OEOI= OG − HF

OI= OG

OI− HF

OI

= OGOF

OFOI− HF

IFIFOI

= cosα cosβ − sen HIF senβ= cosα cosβ − sen α sen β

Cambiando el arreglo de ángulos, de manera que quede como una resta, podemoscomprobar:

sen(α+ (−β)) = sen(α− β) = sen α cosβ − cosα sen βcos(α+ (−β)) = cos(α− β) = cosα cosβ + sen α sen β

Supongamos que]AOC = α y ]BOC = β; entonces ]AOB = α− β,

F

α

I

H

G E

B

C

A

β

Oα


En OB, línea límite del ángulo compuesto α − β, tómese un punto I y trácenseIE e IF perpendiculares a OA y OC,respectivamente; trácense también FG y FHperpendiculares a OA y EI, respectivamente.

Por definición,sen(α− β) = IE

OI= FG − IH

OI= FG

OI− IH

OI

= FGOF

OFOI− IH

IFIFOI

= senα cosβ − cosHIF senβ

Pero ]HIF = 90o −]HFI = ]CFH = ]COA = αPor lo tanto sen(α− β) = sen α cosβ − cosα sen β

También

cos(α− β) = OEOI= OG + FH

OI= OG

OI+ HF

OI

= OGOF

OFOI+ HF

IFIFOI

= cosα cosβ + sen HIF senβ= cosα cosβ + sen α sen β

Con base en las identidades anteriores podemos calcular las de ángulos medios:

sen 2α = 2 sen α cosαcos 2α = cos2 α− sen2α

tan 2α =2 tanα

1− tan2 α

sen α2= ±

r1− cosα

2

cos α2= ±

r1 + cosα

2

tan α2= ±

r1− cosα1 + cosα

Desarrollar sen 2α en función de sen α y cosαsen 2α = sen(α+ α) = sen α cosα+ cosα sen α;sen 2α = 2 sen α cosα

como α puede tener cualquier valor, ésta es una fórmula perfectamente general parael seno de un ángulo en función del seno y coseno del ángulo mitad.

Así, si se sustituye 2α por θ, tenemos: senθ = 2sen θ2cos θ

2

De manera análoga podemos concluir que cos θ = cos2¡θ2

¢− sen2¡θ2

¢, lo cual queda

como ejercicio.

Cálculo de senβ2


Si en la fórmula: cos 2α = cos2 α− sen2α

utilizamos la identidad: sen2α+ cos2 α = 1

obtenemos: cos 2α = 1− 2sen2α,

hacemos α = β2, resulta: cos 2β

2= 1− 2 sen2 β

2

Por lo tanto cosβ = 1− 2 sen2 β2

y despejando sen2 β2:

2 sen2 β2= 1− cosβ

sen2 β2=1− cosβ

2

Por lo tanto, senβ2=

r1− cos β

2

De manera análoga podemos demostrar que cos β2=

r1 + cosβ

2, lo cual queda como

ejercicio.

Cálculo de tan β2

si en la fórmula: tan β2=

senβ2

cos β2

tan β2=

q1−cosβ

2q1+cosβ

2

=

s1−cosβ

21+cosβ

2

Por lo tanto, tan β2=

s1− cosβ1 + cosβ

Con la ayuda de las fórmulas de suma y resta de ángulos demostraremos otrasidentidades:

1. cos(90− ε) = sen εcos(90− ε) = cos 90 cos ε+ sen 90 sen ε

= 0 · cos ε+ 1 · sen ε= sen ε


2. sen(90− δ) = cos δ. Análogamente como 1.

3. cos(−ϕ) = cosϕcos(−ϕ) = cos(0− ϕ)

= cos 0 · cosϕ+ sen 0 · sen ϕ= 1 · cosϕ+ 0 · sen ϕ= cosϕ

4. sen(−η) = −sen η. Análogamente como 3.

5. tan(λ+ µ) =tanλ+ tanµ

1− tanλ tanµtan(λ+ µ) =

sen (λ+ µ)

cos(λ+ µ)

=senλ cosµ + senµ cosλ

cosλ cosµ − senλ senµComo queremos que la igualdad nos quede en términos de tanλ y tanµ, entonces

debemos dividir el numerador y el denominador por cosλ cosµ;así:

tan(λ+ µ) =

senλ cosµcosλ cosµ

+ senµ cosλcosλ cosµ

cosλ cosµcosλ cosµ

− senλ senµcosλ cosµ

=tanλ+ tanµ

1− tanλ tanµ

6. tan(λ− µ) =tanλ− tanµ1 + tanλ tanµ

. Análogamente como 5.

Ejemplos1. Probemos que tan(180− θ) = tan θ

tan(180− θ) = tan 180+tan θ1−tan 180·tan θ

= 0+tan θ1−0·tan θ

= tan θ

2. Probemos que cos(2α) = 1− 2 sen2αcos(2α) = cos2 α− sen2α

= (1− sen2α)− sen2α= 1− sen2α− sen2α= 1− 2sen2α

3. La deducción de tan(2δ) = 2 tan δ1−tan2 δ es similar a las anteriores:


tan(2δ) = tan(δ + δ)

=tan δ + tan δ

1− tan δ tan δ=

2 tan δ

1− tan2 δ

4.Probemos que sen(φ+ ω)sen(φ− ω) = sen2φ− sen2ωsen(φ+ ω)sen(φ− ω) =

= (senφ cosω + senω cosφ)(senφ cosω − senω cosφ)= (senφ cosω)2 − (senω cosφ)2= sen2φ cos2 ω − sen2ω cos2 φ= sen2φ(1− sen2ω)− sen2ω(1− sen2φ)= sen2φ− sen2φ sen2ω − sen2ω + sen2ω sen2φ= sen2φ− sen2ω

5. Sabiendo que senα = −45; con 180 < α < 270, y cosβ = 12

13; con 0 < β < 90,

calculemos cos(α+ β).

En primer lugar debemos determinar los valores de cosα y senβ, utilizando laidentidad sen2α + cos2 α = 1; así (−4

5)2 + cos2 α = 1 entonces cosα = ±3

5, pero

180 < α < 270, luego cosα = −35

En la misma forma sabemos que senβ = 513

Por lo tanto:

cos(α+ β) = cosα cosβ − senα senβ= (−3

5) · (12

13)− (−4

5)( 513)

= −1665

Como ejercicio calcular sen(α+ β), cos(α− β) y sen(α− β).

Teorema de los senos:

Sea ABC es un triángulo no rectángulo. Si α, β, γ son las medidas de los ángulos y a, b, c

las longitudes de los lados, como se ve en la figura, entoncessen α

a=

sen β

b=

sen γ

c

A A B B

C C

a b

c

a b

c α β

γ γ

α β


Teorema de los cosenos:Si las longitudes de los dos lados de un triángulo son a y b y el ángulo θ entre estos

lados es conocido, la longitud del tercer lado es determinado por

c2 = a2 + b2 − 2ab cosα

A B

C

a b

c

α

Ejercicios

1. Trace la gráfica de la función f(x) = x. A partir de ésta, trace la gráfica de lafunción g(x) = −7x+ 8.

2. Trace la gráfica de la función f(x) = x2. A partir de ésta,trace las gráficas de lasfunciones: g(x) = −3(x− 1)2 + 7 y h(x) = −2x2 + 3x− 5.

3. Cuando un objeto se dispara o lanza hacia arriba con una velocidad inicial v0,su altura h, está dada, aproximadamente, por una función cuadrática del tiempo:h = −4,9t2+v0t+h0 donde h0 es la altura inicial, en metros, h la altura en el instantet, en metros, y t es el tiempo transcurrido desde el lanzamiento, en segundos. Uncohete de modelo se lanza hacia arriba. Cuando se le agota el combustible tieneuna velocidad dirigida hacia arriba de 49 m/s y se encuentra a una altura de 155m.Encontrar; (a) La altura máxima que alcanza, y el tiempo, a partir de este momento,que requiere para alcanzar dicha altura, (b) Dé el tiempo que tarda el cohete en llegaral suelo.

4. Cuando el propietario de un teatro cobra US$ 2. por entrada, el promedio deasistentes es de 100 personas. Se ha observado que por cada 10 centavos de aumentoen el precio de la entrada, el número promedio de asistentes disminuye en 1. ¿Cuántodebe cobrar para ganar la máxima cantidad de dinero posible?


5. Trace la gráfica de cada una de las siguientes funciones y encuentre el valor máximoo mínimo de cada una de ellas.

a) f(x) = x2 + 5x+ 4

b) f(x) = x2 − 6xc) f(x) = 8x− 12− x2

d) f(x) = 10 + 3x− x2

e) f(x) = 2x2 + 12x+ 13

f ) f(x) = −5x2 − 10x− 4g) f(x) = −3x2 + ,24x− 42

6. Se dobla una pieza de alambre de 24 pulgadas para formar un rectángulo. Pruebeque se obtendrá la mayor área si el rectángulo es un cuadrado.

7. Un hombre desea cercar un terreno rectangular y después coló car otras dos cercasparalelas a alguno de los lados para subdividirlo en tres lotes rectangulares. Sidispone única mente de 1000 yardas de cerca, ¿con qué dimensiones obtendrá elárea máxima?

8. Un fabricante vende a los comerciantes cierto artículo a razón de $20 cada uno si leencargan menos de 50. Cuando le encargan más de 50 (y menos de 600) reduce elprecio del artículo a razón de 2 centavos por el número ordenado. ¿De que tamañodeberá ser el pedido para que el fabricante obtenga la máxima ganancia?

9. El número de bacterias de cierto cultivo incrementó de 600 a 1.800 entre las 7:00a.m. y las 9:00 a.m. Suponiendo que el crecimiento es exponencial, se puede mostrar,usando métodos de cálculo, que t horas después de las 7:00 a. m. el número f(t) debacterias está dado por f(t) = 600 (3)

t2 .

a) Calcule el número de bacterias en el cultivo a las 8:00 a.m.; a las 10:00 a.m. ya las 11:00 a.m.

b) Dibuje la gráfica de f desde t = 0 hasta t = 4.

10. El isótopo radiactivo Bi tiene una media vida de 5 días, es decir, el numero departículas radiactivas se reducirá a la mitad del número original en 5 días. Si existen100 mg 210Bi en el instante t = 0 entonces la cantidad f(t) restante después de tdías está dada por f(t) = 100(2)

−t5 .

a) ¿Qué cantidad resta después de 5 días? ¿10 días? ¿12.5 días?

b) Dibuje la gráfica de f desde t = 0 hasta t = 30.


11. El número de bacterias en cierto cultivo en un instante t está dado por Q(t) = 2(3t),donde t está medido en horas y Q(t) en miles de bacterias, ¿cuál es el numero inicialde bacterias? ¿Cuál es el número después de 10 minutos?. ¿Después de 30 minutos?.¿Después de una hora?.

12. Si $1,000se invierten al 12% anual y se acumulan los intere ses mensualmente ¿cuáles el capital después de 1 mes? ¿2 meses? ¿6 meses? ¿1 año?.

13. Trace la gráfica de f(x) = 5log 122(x− 3)− 4

14. La ecuación de una onda sonora que se propaga en cierta cuerda está dada porla expresión y = 25senπ(0,20t − 0,01x) donde x está dado en centímetros y t ensegundos. Trácense las gráficas cuando x = 10,25cm y cuando x = 100cm.

15. Haga la gráfica de cada una de las siguientes funciones. Además calcule el períodoy la amplitud (cuando tenga sentido) de cada una de ellas

a) f(x) = 4senx

b) f(x) = sen(x− π/2)

c) f(x) = sen(4x)

d) f(x) = 4cos(x+ π4)

e) f(x) = 2sen(x/4)

f ) f(x) = −2sen(3x+ π)

g) f(x) = sen(−3x)h) f(x) = tan(x/2)

i) f(x) = 3cosx

j ) f(x) = 3cot(x− π/3)

k) f(x) = 13cosx

16. Defina las inversas de las funciones trigonométricas que no se definieron en la unidady reconstruya sus gráficas.

17. Determine los valores pedidos sin hacer uso de la calculadora

a) arcsen0

b) arcsen(sen5π4)

c) arccos0

d) sen(arcsen12+ arcos0)

e) arcsen1

f ) tan(arctan43+ arcos 8

17)


g) sen(2arcos(−35))

18. Haciendo uso de las relaciones que existen entre las funciónes trigonométricasdemuestre las siguientes relaciones entre las inversas:

a) arcsecx = arcos( 1x)

b) arc cosx = arcsen( 1x)

c) arc cosx = π2− arcsenx

19. Escriba como una expresión algebraica en x cada una de las siguientes expresiones

a) sen(arctanx)

b) tan(arcosx)

c) cos(4arcosx)

d) cos(2artanx).

20. Demuestra la siguiente igualdad sen(90− δ) = cos δ

21. Prueba que la igualdad sen(−η) = −sen η es una identidad.

22. Con la ayuda de las fórmulas de suma y resta de ángulos pruebe que tan(λ− µ) =tanλ− tanµ1 + tanλ tanµ

23. Prueba las siguientes identidades: (a). cos(180−α) = − cosα (b). sen(360+α) =sen α

24. Probar que: sen(τ + ξ) + sen(τ − ξ) = 2sen τ · cos ξ

25. Con la ayuda de la fórmula del ángulo doble deduce la siguiente identidad: cos 2ψ =2 cos2 ψ − 1

26. Demuestra que cos(x2) = ±

r1 + cosx

2, empleando la identidad cos(2x) = 2 cos2 x−1

27. Dos barcos marchan a igual velocidad, a una distancia de 200 m una de la otra.Cuando un avión pasa por el plano vertical de las lanchas, desde estas lo ven almismo tiempo con ángulos de elevación de 37o y 45o. Calcular la altura del aviónen ese instante.

28. Hallar el perímetro del cuadrilatero de la figura


29. En cada uno de los siguientes triángulos, encontrar los elementos desconocidos.

40º

50º 30º

15 20

70

60º 45º

10

30. Encuentre todos los valores de x que resuelven las siguientes ecuaciones trigonométri-cas

a) sen2x = 12b) 2 cos2 x− cosx− 1 = 0 c) 1− tan2(2x) = 1

2

31. Resuelva las ecuaciones anteriores cuando el intervalo de variación de x es el intervalo[−π

2, π2]

[le,ro] [lo] [re] - campus virtual · a pesar de la diﬁcultad misma de deﬁnir, en un contexto...

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