cours the orie risque 1
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MATHEMATIQUES DE L’ASSURANCE NON-VIE
Fouad Marri
INSEA
Fouad Marri MATHEMATIQUES DE L’ASSURANCE NON-VIE
Bibliographie
Loss Models : From Data to Decisions, Klugman, S.A. ;Panjer, H. H. et Willmot, G.E. (2004). 2eme edition, Wiley.
Modern actuarial risk theory using R. Kaas, R. ; Goovart, M. ;Dhaene, J. ; Denuit, M. (2008).
Assurance, Comptabilite Reglementation Actuariat, A.Tosetti, al. Economica, 2002.
Mathematiques de l’assurance non-vie : Denuit etCharpentier, Economica, (2005).
Assurance Non-Vie, Partrat et Besson, Economica, (2005).
Theorie de l’assurance dommage, Pierre Petauton,Dunod,(2000)
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Objectifs
On etudiera plusieurs modeles et techniques pour quantifierles risques en assurance.
On etudiera divers modeles de pertes agregees. Les modelesindividuels et collectifs du risque seront etudies.
D’autres modeles plus generaux pour le surplus d’unecompagnie d’assurance seront aussi consideres.
On etudiera aussi diverses mesures du risque : VAR (value atrisk) et CTE (conditional tail expectation).
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Qu’est-ce qu’un actuaire ?
Un actuaire est un professionnel specialise dans l’analyse, lamodelisation et la gestion des consequences financieresdecoulant d’evenements incertains.
Un actuaire utilise les probabilites et les statistiques pour lamodelisation de risques financiers. Une connaissance desmathematiques financieres et des mathematiques actuariellesest essentielle a son travail.
Les actuaires font appel a leurs connaissances specialisees enmathematique financiere, en statistique et en theorie desrisques afin de resoudre les problemes specifiques :
des societes d’assurances vie et IARD (Incendies, Accidents etRisques Divers) ;des regimes de retraite ;des organismes de reglementation ;des programmes sociaux ;des particuliers.
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Rappel des differentes lois de probabilites :
Lois discretes
Lois Parametres P(X = k) E(X) Var(X ) MX (t)
Poisson λ > 0 e−λ λk
k! , k = 0, 1, · · · λ λ eλ(et−1)
Binomiale n ∈ N, q ∈ (0, 1) C kn q
k(1− q)n−k , k = 0, 1, · · · , n nq nq(1− q) (qet + 1− q)n
Bernouilli q ∈ (0, 1) qk(1− q)1−k , k ∈ {0, 1} q q(1− q) (qet + 1− q)
Binomiale negative 1 r > 0, q ∈ (0, 1) C kr+k−1q
r (1− q)k , k = 0, 1, · · · r 1−qq r 1−q
q2
(q
1−(1−q)et
)r
Binomiale negative 2 r > 0, β > 0 Γ(r+k)Γ(r)k!
1(1+β)r
β(1+β)k
, k = 0, 1, · · · rβ rβ(1 + β) (1− β(et − 1))−r
Geometrique q ∈ (0, 1) q(1− q)k , k ∈ {0, 1, 2, · · · } 1−qq
1−qq2
q(1−(1−q)et)
MX (t) = E (etX ) : Fonction generatrice des moments
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Rappel des differentes lois de probabilites :
Lois continues
Lois Parametres fX (x) FX (x) E(X) Var(X ) MX (t)
Uniforme −∞ < a < b < +∞,
0 si x < a
1b−a si a < x < b
0 si x > b
0 si x < a
x−ab−a si a < x < b
1 si x > b
a+b2
(b−a)2
12ebt−eat
(b−a)t
Normale µ ∈ R, σ2 > 0 1σ√2πe−
12σ2 (x−µ)2 , x ∈ R forme non explicite µ σ2 etµ+t2 σ2
2
lognormale µ ∈ R, σ2 > 0 1xσ
√2πe−
12σ2 (log(x)−µ)2 , x > 0 forme non explicite eµ+
σ2
2 e2µ+σ2(eσ
2 − 1) forme non explicite
Exponentielle λ > 0 λe−λx , x > 0 1− e−λx , x > 0 1λ
1λ2
λλ−t
Gamma α > 0,β > 0 βα
Γ(α)e−βxxα−1, x > 0, forme non explicite α
βαβ2 ( β
β−t )α
Erlang n ∈ N,β > 0 βn
Γ(n)e−βxxn−1, x > 0, 1−
n−1∑j=0
(βx)j
j! e−βx nβ
nβ2 ( β
β−t )n
Pareto α > 0,λ > 0 αλα
(λ+x)α+1 x > 0 1−(
λλ+x
)αλ
α−1 , si α > 1 αλ2
(α−1)2(α−2), si α > 2 forme non explicite
Weibull α > 0,λ > 0 λαxα−1e−λxα , x ≥ 0 1− e−λxα , x ≥ 0 α+1
λ1α
1
λ2α
{α(1 + 2
α)− α(1 + 1α)
2}, forme non explicite
Beta p > 0, q > 0 Γ(p+q)Γ(p)Γ(q)x
p−1(1− x)q−1, x ∈ (0, 1) forme non explicite pp+q
pq(p+q)2(p+q+1)
forme non explicite
MX (t) = E (etX ) : Fonction generatrice des momentsΓ(z) =
∫∞0 tz−1e−tdt
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Chapitre 1. Introduction a la programmation en
Historique
La modelisation des risques requiert des connaissances enprogrammation et eventuellement l’utilisation de logicielsstatistiques
R est un logiciel libre base sur le langage de programmation S,langage invente chez AT & T Bell Laboratories
Le logiciel R est disponible sur le site :http ://cran.r-project.org/
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Introduction a la programmation en
R est a la fois un logiciel de statistique et un langage deprogrammation
Avec R, on peut, par exemple, programmer des boucles afind’analyser successivement differents jeux de donnees.
On peut aussi combiner ou empiler dans le meme programmeplusieurs fonctions statistiques pour realiser des analysescomplexes.
Il existe une aide directement disponible dans R : on y accedeen utilisant le ? suivi du nom de la fonction, ou bienhelp(nom.fonction).
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Introduction a la programmation en
R est un langage interprete et non compile : les commandestapees au clavier sont directement executees lorsque l’onappuie sur la touche “Entree”.
On pourra soit taper une commande par ligne, soit taperplusieurs commandes separees par le symbole ’ ;’ sur unememe ligne.
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Chap.1. Introduction a la programmation en
On utilise generalement interactivement, selon un cycle questionet reponse
Vous entrez une commande et tapez la touche ”Retour a laligne”
execute cette commande
attend une autre commande
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Chap.1. Introduction a la programmation en
Pour travailler sous : Methode 1
Soit on tape directement dans le console+ Entrer
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Chap.1. Introduction a la programmation en
Pour travailler sous : Methode 2
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Introduction a la programmation en
Creation de vecteurs
Il existe plusieurs facons de creer des vecteurs :
1 Suites de nombres entiers
2 Fonction concatenate
3 Fonction sequence
4 Fonction replicate
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Introduction a la programmation en
1.Suites de nombres entiersIl est possible de creer un vecteur contenant une suite de nombresentiers :Syntaxe :a :b
a est la borne inferieure de la suite et est un nombre entier.
b est la borne superieure de la suite et est un nombre entier.
a n’est pas necessairement inferieur a b.
Exemple
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Introduction a la programmation en
2.Fonction concatenateLa fonction concatenate permet de creer un vecteur a l’aide d’unensemble de scalaires ou de vecteurs.Syntaxe :
c(nombre1,nombre2, · · · )c(vecteur1,vecteur2,· · · )c(vecteur1,nombre1,· · · )
Exemple
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Introduction a la programmation en
3.Fonction sequenceLa fonction sequence permet de creer un vecteur a l’aide d’unesequence de nombres :seq(BorneInf, BorneSup, by=Pas, length=Longueur)
BorneInf : Borne inferieure de la suite. =nombre entier.
BorneSup : Borne superieure de la suite. =nombre entier.
Pas : Pas de la suite. Valeur par defaut = 1.
Longueur : Nombre d’elements dans la suite.
Exemple
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Introduction a la programmation en
4.Fonction replicatereplicate permet de reproduite une certaine forme de suite denombres (Pattern) :rep(Pattern, Nombre de fois)
Nombre de fois peut aussi etre un vecteur.
Exemple
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Introduction a la programmation en
Assignation de valeurs dans une variable vectorielleLe symbole = est le symbole d’assignation :NomVecteur = a :bNomVecteur = c()NomVecteur = seq()NomVecteur = rep()D’autres symboles peuvent aussi etre utilises :
< −Exemple
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Introduction a la programmation en
Affichage de valeurs stockees dans une variable vectorielleIl suffit de saisir le nom de la variable vecteur :NomVecteur[Nombre],NomVecteur[VecteurNombres],NomVariableVecteur[VecteurLogique],
Exemple
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Introduction a la programmation en
Fonctions mathematiques de base
Nom de la fonction Description
round(x,n) Arrondit les elements de x a n chiffres apres la virgule
rev(x) Inverse l’ordre des elements de x
sort(x) Trie les elements de x dans l’ordre ascendant
scale(x) Centre et reduit les donnees
choose(n,k) Coefficient binomial C kn
na.omit() Supprime les observations avec donnees manquantes
na.fail() Retourne un message x contient au moins d’erreur si un NA
sample(x,size) Re-echantillonnage aleatoire et sans remise de size elements dans x
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Introduction a la programmation en
Exemple
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Introduction a la programmation en
Fonctions couramment utilisees avec les vecteurs :Fonctionsretournant un scalaire
Nomde la fonction Description Syntaxe
sum Calcule la somme des elements du vecteur sum(vecteur)
length Calcule le nombre d’elements dans le vecteur length(vecteur)
max Trouve la plus grande valeur dans le vecteur max(vecteur)
min Trouve la plus petite valeur dans le vecteur min(vecteur)
mean Calcule la moyenne des elements du vecteur mean(vecteur)
prod Calcule le produit de chacun des elements du vecteur prod(vecteur)
median Mediane des elements du vecteur median(vecteur)
which.max Retourne l’indice du maximum des elements du vecteur which.max(vecteur)
which.min Retourne l’indice du minimum des elements du vecteur which.min(vecteur)
range Idem que c(min,max) range(vecteur)
var(x) variance du vecteur var(vecteur)
sd Ecart-type du vecteur sd(vecteur)
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Introduction a la programmation en
Exemple
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Introduction a la programmation en
Fonctions couramment utilisees avec les vecteurs :Fonctions retournant un vecteurNom de la fonction Description Syntaxe
cumsum Calcule la somme cumulative des elements du vecteur cumsum(vecteur)
cumprod Calcule le produit cumulatif des elements du vecteur cumprod(vecteur)
pmax Retourne la valeur la plus grande pour chacune des positions de deux vecteurs pmax(vecteur1,vecteur2,. . .)
pmin Retourne la valeur la plus petite pour chacune des positions de deux vecteurs pmin(vecteur1,vecteur2,. . .)
sort Trie en ordre croissant les elements du vecteur specifie. sort(vecteur)
Exemple
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Introduction a la programmation en
Exemple
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Introduction a la programmation en
Fonctions de lois de probabilites connues
Il y a dans de nombreuses fonctions permettant d’evaluer :
La fonction de masse de probabilite de lois discretes connues ;
La fonction de densite de lois continues connues ;
La fonction de repartition ;
La fonction quantile.
Ces fonctions sont construites comme suit :dloi(x, . . .) :fonction de densite ou de masse de probabiliteploi(x, . . .) :fonction de repartitionqloi(prob, . . .) :fonction quantilerloi(nsim, . . .) :simulation de nombres aleatoires
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Introduction a la programmation en
Lois de probabilites incluses dans
Lois continues :
unif :Uniformenorm :Normalelnorm :logNormaleexp :Exponentiellegamma :Gammabeta : Betaweibull :Weibull
Lois discretes :
binom :Binomialepois : Poissonnbinom :Binomiale Negativegeom : Geometrique
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Introduction a la programmation en
Parametrisation des lois utilisees dans
Loi Uniforme X ∼ U(a, b)f (x) = 1
b−a , a ≤ x ≤ b
F (x) = x−ab−a , a ≤ x ≤ b
F−1(u) = u(b − a) + a , 0 < u ≤ 1
Fonction de densite : dunif(x, min=a, max=b)
Fonction de repartition : punif(x, min=a, max=ba)
Fonction quantile : qunif(u, min=a, max=b)
Simulation : runif(nsim, rmin=a, max=ba)
Les arguments min et max sont facultatifs et prennent lesvaleurs par defaut 0 et 1 respectivement.
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Introduction a la programmation en
Exemple :Loi Uniforme X ∼ U(a, b)
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Introduction a la programmation en
Parametrisation des lois utilisees dans
Loi Exponentielle X ∼ Exp(λ)f (x) = λe−λx , x > 0
F (x) = 1− e−λx , x > 0
F−1(u) = −log(1−u)λ , 0 < u ≤ 1
Fonction de densite : dexp(x, rate=lambda)
Fonction de repartition : pexp(x, rate=lambda)
Fonction quantile : qexp(u, rate=lambda)
Simulation : rexp(nsim, rate=lambda)
L’argument rate est facultatif et prend la valeur 1 par defaut.
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Introduction a la programmation en
Exemple : Loi Exponentielle X ∼ Exp(λ)
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Introduction a la programmation en
Parametrisation des lois utilisees dans : Loi gamma G(α,λ)
f (x) = λα
Γ(α)e−λxxα−1, x > 0, α,λ > 0
F (x) : forme indeterminee si x n’est pas entier, calcule
numeriquement dans
F−1(u) : forme indeterminee si x n’est pas entier, calcule
numeriquement dans
Fonction de densite : dgamma(x, shape=alpha,rate=lambda)
Fonction de repartition : pgamma(x, shape=alpha,rate=lambda)
Fonction quantile : qgamma(u, shape=alpha,rate=lambda)
Simulation : rgamma(nsim,shape=alpha, rate=lambda)
Les arguments rate et scale sont facultatifs et prennent lesvaleurs par defaut 1.
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Introduction a la programmation en
Exemple : Loi gamma G(α,λ)
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Introduction a la programmation en
Parametrisation des lois utilisees dans : Loi Beta(α,β)
f (x) = Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)x
α−1(1− x)β−1, 0 < x < 1, α,β > 0
F (x) : forme indeterminee si α et β ne sont pas entiers,
calcule numeriquement dans
F−1(u) : forme indeterminee, calcule numeriquement dans
Fonction de densite : dbeta(x, shape1=alpha, shape2=beta
Fonction de repartition : pbeta(x, shape1=alpha, shape2=beta
Fonction quantile : qbeta(u, shape1=alpha, shape2=beta)
Simulation : rbeta(nsim,shape1=alpha, shape2=beta)
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Introduction a la programmation en
Exemple : Beta(α,β)
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Introduction a la programmation en
Parametrisation des lois utilisees dans : Loi Normale N (µ,σ2)
f (x) = 1σ√2πe−
12σ2 (x−µ)2 , x ∈ R
F (x) : forme indeterminee si x n’est pas entier, calcule
numeriquement dans
F−1(u) : forme indeterminee si x n’est pas entier, calcule
numeriquement dans
Fonction de densite : dnorm(x, mean=mu, sd=sigma
Fonction de repartition : pnorm(x, mean=mu, sd=sigma
Fonction quantile : qnorm(u, mean=mu, sd=sigma)
Simulation : rnorm(nsim,mean=mu, sd=sigma)
Les arguments mean et sd sont facultatifs et prennent lesvaleurs par defaut 1.
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Introduction a la programmation en
Exemple : Loi Normale N (µ,σ2)
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Introduction a la programmation en
Parametrisation des lois utilisees dans : Loi Lognormale(µ,σ2)
Si Y ∼ N (µ,σ2), X = exp(Y ) ∼ Lognormale(µ,σ2)
f (x) = 1xσ
√2πe−
12σ2 (log(x)−µ)2 , x > 0
F (x) : forme indeterminee, calcule numeriquement dans
F−1(u) : forme indeterminee, calcule numeriquement dans
Fonction de densite : dlnorm(x, meanlog=mu, sdlog=sigma
Fonction de repartition : plnorm(x, meanlog=mu, sdlog=sigma
Fonction quantile : qlnorm(u, meanlog=mu, sdlog=sigma)
Simulation : rlnorm(nsim,meanlog=mu, sdlog=sigma)
Les arguments meanlog et sdlog sont facultatifs et prennentles valeurs par defaut 1.
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Introduction a la programmation en
Exemple : Lognormale(µ,σ2)
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Introduction a la programmation en
Parametrisation des lois utilisees dans : Loi Poisson X ∼ P(λ)
p(x) = e−λ λx
x! , x = 0, 1, 2, · · ·
F (x) =x∑
k=0
p(x)
F−1(u) forme indeterminee, calcule numeriquement dans
Fonction de densite : dpois(x,lambda=mu)
Fonction de repartition : ppois(x,lambda=mu)
Fonction quantile : qpois(u, size=n, prob=q)
Simulation : rpois(nsim, size=n, prob=q)
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Introduction a la programmation en
Exemple : X ∼ P(λ)
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Introduction a la programmation en
Parametrisation des lois utilisees dans : Loi Binomiale X ∼ B(n, q)
p(x) = C xn q
x(1− q)n−x , x ∈ {0, 1, · · · , n}
F (x) =x∑
k=0
p(x)
F−1(u) forme indeterminee, calcule numeriquement dans
Fonction de densite : dbinom(x,size=n, prob=q)
Fonction de repartition : pbinom(x,size=n, prob=q)
Fonction quantile : qbinom(u, size=n, prob=q)
Simulation : rbinom(nsim, size=n, prob=q)
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Introduction a la programmation en
Exemple : X ∼ B(n, q)
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Introduction a la programmation en
Parametrisation des lois utilisees dans : Loi Binomiale negative BN(r , q)
p(x) = Γ(r+x)Γ(r)x! (1− q)xqr , x = 0, 1, · · · , r , r = 1, 2, · · · , 0 < q < 1
F (x) =x∑
k=0
p(x)
F−1(u) forme indeterminee, calcule numeriquement dans
Fonction de densite : dnbinom(x,size=r, prob=q)
Fonction de repartition : pnbinom(x,size=r, prob=q)
Fonction quantile : qnbinom(u, size=r, prob=q)
Simulation : rnbinom(nsim, size=r, prob=q)
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Introduction a la programmation en
Exemple : X ∼ BN(r , q)
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Introduction a la programmation en
Parametrisation des lois utilisees dans : Loi Geometrique Geo(q)
Geo(q) = BN(1, q)
p(x) = (1− q)xq, x = 0, 1, 2, · · · , 0 < q < 1
F (x) = 1− (1− q)x+1
Fonction de densite : dgeom(x,prob=q)
Fonction de repartition : pgeom(x, prob=q)
Fonction quantile : qgeom(u, prob=q)
Simulation : rgeom(nsim, prob=q)
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Introduction a la programmation en
Exemple : X ∼ Geo(q)
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Utilisation des graphiques
plot(x=, y=, type=”lettre”, lty=nbr,xlab=””, ylab=””, xlim=c(BI,BS),ylim=c(BI,BS), cex=nbr)
type : La facon de choisir le type de graphique est de specifierl’argument type par une des lettres suivantes.
l : une ligne relie chacun des points specifies en x et y ;p : un point identifie chacun des couples (x,y) ;s : chacun des points est relie par un escalier ;h : histogramme.
lty : Pour le type de graphique choisi en type, lty permet despecifier soit le motif de la ligne ou du point. Par exemple,une ligne continue ou pointillee est represente par type = ”l”et lty = 1 ou 2.
xlab et ylab : Etiquette attribuee a l’axe des x et a l’axe des y.
xlim et ylim : la borne inf et sup de l’axe des x et l’axe des y
cex : Specifie la taille de la police utilisee pour identifier lesechelles et les axes.
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Introduction a la programmation en
Exemple : Utilisation des graphiques
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Introduction a la programmation en
Exemple : Utilisation des graphiques
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Introduction a la programmation en
Exemple : Utilisation des graphiques
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Exemple : Utilisation des graphiques
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Introduction a la programmation en
Ajouter des courbes (ou points) a un graphique existant
Pour ajouter des courbes a un graphique existant, il faut toutd’abord creer un graphique avec la commande plot(. . .).
Ensuite, il faut saisir une des deux commandes suivantes :
lines(x=, y=, type=”lettre”, lty=nombre,col=”blue”)points(x=, y=, type=”lettre”, lty=nombre,col=”red”)
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Introduction a la programmation en
Exemple : Utilisation des graphiques
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Introduction a la programmation en
Fonctions personnelles
L’utilisateur a la liberte de programmer ses propres fonctionspersonnalisees.
Une fonction est un ensemble d’instructions qui retournent unresultat, et qui peut etre stocke dans une variable.
reconnaıt la difference entre une lettre minuscule et unelettre majuscule
Corps d’une fonction :function(ArgRequis1, ArgRequis2,. . .,ArgOpt1=Valeur1,. . .){· · ·instructions· · ·return(· · · )}
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Fonctions personnelles sous
Exemple
Si on veut calculer la valeur presente d’une annuite de 10 ans autaux de i = 0.5, il suffit d’appeler la fonction annuite, pourn=10,i=0.5, il suffit de saisir annuite(10,0.5)
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