criterios routh hurwitz

8/3/2019 Criterios Routh Hurwitz

1/16

Haga clic para modificar el estilo desubttulo del patrn

4/28/12

Clase del

08/10/2011

Criterios algebraicos deestabilidadCriterio de Routh-Hurtwitz


2/16

4/28/12

Criterios Algebraicos deEstabilidad para SLE en TC

Probamos que la condicin necesaria ysuficiente para que un Sistema LinealEstacionario (SLE) en Tiempo Continuo( TC) representado por su funcin

transferencia, sea Entrada Acotada-SalidaAcotada ( BIBO) estable, es que la funcintransferencia sea propia y tenga todossus polos en el semiplano izquierdo

abierto

La forma de verificar la estabilidad de unsistema consiste entonces en calcular las

races del polinomio denominador de la FT.Esto es relativamente fcil si uno dispone deun software como Matlab. Por ejemplo, si elpolinomio denominador es


3/16

4/28/12

>> d = [1, 6, 11, 6];>> polos = roots(d);>> polos

polos = -3.0000-2.0000-1.0000

Surge el interrogante de si existir algunacondicin sobre los coeficientes delpolinomio denominador de la funcintransferencia que asegure que sus races (es

decir, los polos de la FT) estn todas en elsemiplano izquierdo abierto, es decir queasegure que el sistema sea estable, sinnecesidad de calcular las races.

De hecho esta condicin existe y es conocida


4/16

4/28/12

Si bien el criterio es del siglo 19, cuando noexista Matlab, es todava de utilidad para

determinar el rango de coeficientes delpolinomio que aseguran la estabilidad,cuando estos coeficientes estn en formasimblica.

Supongamos que el polinomio denominadorde la FT de un SLE est dado por:Donde sin prdida de generalidad asumimosque el polinomio es mnico (coeficiente deltrmino de mayor grado en s, unitario).

Probamos que una condicin necesaria parala estabilidad es que todas las races de D(s)tengan parte real negativa. Esto requiere quetodos los coeficientes sean positivos (esto

es fcil de probar expresando el polinomio


5/16

4/28/12

Condicin necesaria de estabilidad deRouth: Una condicin necesaria (pero no

suficiente) de estabilidad es que todos loscoeficientes del polinomio D(s) sean positivos.Polinomio completo + coeficientes mismo

signo

Si alguno de los coeficientes es cero o negativoentonces el sistema tendr polos en elsemiplano derecho (inestables).Routh (1874) y Hurwitz (1895) probaron que

una condicin necesaria y suficiente paraestabilidad es que todos los elementos dela primer columna de la tabla de Routh seanpositivos. La tabla es un arreglo triangular quese construye a partir de los coeficientes.


6/16

4/28/12

Tabla de Routh


7/16

4/28/12

Normalmente hay n+1 elementos en la primer columna de la Tabla de Routh. Si todos los

elementos de la primer columna son positivos,entonces todas las races de D(s) estn en elsemiplano izquierdo y por lo tanto el sistemaes estable. Si los elementos de la primer

columna no son todos positivos, entonces elnmero de races en el semiplano derecho(i.e., polos inestables) es igual al nmero decambios de signo en la primera columna. Por

ejemplo, si se tiene +,-,+,+ , corresponde ados cambios de signo, y por lo tanto habr dosraces en el semiplano derecho.


8/16

4/28/12

Ejemplo 1

Hay dos cambiosde signo en laprimer columna,por lo tanto D(s)tiene dos races enel semiplanoderecho(inestables).


9/16

4/28/12

Utilizando Matlabencontramos las races

close all,clear all,clc,d=[1,4,3,2,1,4,4];polos=roots(d)% polos% -3.2644% 0.6797 + 0.7488i% 0.6797 - 0.7488i% -0.6046 + 0.9935i% -0.6046 - 0.9935i% -0.8858


10/16

4/28/12

Estabilidad vs. Rango de parmetrosEl criterio de Routh es til para determinar el

rango de ganancias del controlador queaseguran la estabilidad de un sistemaretroalimentado.Por ejemplo:

La funcin transferencia en lazocerrado resulta:


11/16

4/28/12

Notar que la planta en lazo abierto esinestable (tiene polos inestables en 0 y 1).La tabla de Routh resulta

Para que el sistema seaestable deb e ser

Esdecir


12/16

4/28/12

Criterio de Routh Caso Especial 1Si el primer elemento en una de las filasde la tabla de Routh es cero, elprocedimiento para determinar la estabilidaddebe modificarse, reemplazando el cero poruna constante pequea > 0 que luego sehace tender a cero.Ejemplo: Sea el polinomio


13/16

4/28/12

Vemos que cuando tiende a cero hay dos cambios de signo en la primer columna, por loque D(s) tiene dos races en el semiplano

derecho (inestables). En efecto, las races sonutilizando Matlabclose all,clear all,clc,d=[1,3,2,6,6,9];polos=roots(d);% polos =%% -2.9043% 0.6567 + 1.2881i% 0.6567 - 1.2881i% -0.7046 +0.9929i% -0.7046 - 0.9929i


14/16

4/28/12

Criterio de Routh Caso Especial 2Otro caso especial ocurre cuando toda unafila de la tabla de Routh es cero.

Esto indica que hay races complejasconjugadas sobre el eje imaginario. Si la i-sima fila es cero, se forma un polinomio

auxiliar con los coeficientes de la fila anterior,y se reemplaza la fila de ceros por loscoeficientes de la derivada del polinomioauxiliar, y se completa la tabla.


15/16

4/28/12

Vemos que los coeficientes de la primercolumna son todos positivos, sin embargo,como las races del polinomio auxiliar sontambin races del polinomio original, y estnsobre el eje imaginario, el sistema es


16/16

4/28/12

close all,clear all,clc,d=[1,5,11,23,28,12,];polos=roots(d)% polos = % -3.0000% 0.0000 + 2.0000i% 0.0000 - 2.0000i% -1.0000% -1.0000

criterios routh hurwitz

Documents