curs-analiza-2008-2009 last version2

8/7/2019 curs-analiza-2008-2009 Last Version2.

1/544


2/544

MISCELLANEA

2


3/544

ELEMENTE DE LOGICA

CALCULUL CU PROPOZITII

Propozitia, adevarul si falsul - notiuni primarePrincipalii operatori logici

Din punct de vedere logic o teorie stiintifica este un sistem de propozitii(enunturi, legi, afirmatii) adevarate sau considerate altfel. Logica nu se ocupacu definirea notiunii de propozitie si nici a adevarului sau falsului, toateacestea fiind considerate notiuni primare (nedefinite).

Daca o propozitie p este adevarata vom scrie v(p) = 1, iar daca este falsa,v(p) = 0; numerelor 0 si 1 le vom spune valori de adevar, prima desemnndfalsul, iar cea de a doua adevarul.

Cele mai simple propozitii sunt de forma A este B. De exemplu,Eminescueste autorul poeziei Luceafarul, Balena este mamifer. Pornind de laasemenea propozitii simple, prin conectari diverse, se obtin propozitii com-puse. Logica si propune sa studieze cum se transmit valorile de adevar la

propozitiile compuse, construite cu ajutorul operatorilor logici.Principalii operatori logici sunt:

1) negatia, notata cu non sau cu sau cu . (n limbaj uzual NU).

2) disjunctia, notata cu (n limbaj uzual SAU).

3) conjunctia, notata cu (n limbaj uzual SI).

4) implicatia, notata cu (n limbaj uzual DACA..., ATUNCI...).

5) echivalenta, notata cu

(n limbaj uzual DACA SI NUMAI DACA).

Observatie. Dac a p si q desemneaz a dou a propozitii, atunci avem:

3


4/544

v(p) v(q) v(p) v(p q) v(p q)1 1 0 1 11 0 0 1 00 1 1 1 00 0 1 0 0

siv(p) v(q) v(p q) v(p q)

1 1 1 11 0 0 00 1 1 00 0 1 1

Observatie

1) (p q) este p q,2) (p q) este (p q),3) (p q) este (p q) (q p).Observatie. Din tabloul de mai sus rezult a urm atoarele:

1) v(p q) = 1 numai dac a v(p) = v(q).

2) dac a v(p) = 0, atunci v(p q) = 1, oricare ar fi propozitia q (sespune c a falsul implic a orice).3) dac a v(q) = 1, atunci v(p q) = 1, oricare ar fi propozitia p.4) pentru a afla valoarea de adev ar a implicatiei p q este suficient s a

examin am doar cazul v(p) = 1.

Definitie. O propozitie compus a si adev arat a indiferent de ce valori deadev ar au propozitiile care o compun se numeste tautologie.

Observatie. Dac a propozitia (p

q) este adev arat a vom nota p

q si

vom spune c a p este o conditie suficient a pentru q sau c a q este o conditienecesar a pentru p.

Observatie. Dac a propozitia (p q) este adev arat a vom nota p qsi vom spune c a p este o conditie necesar a si suficient a pentru q (si invers).

4


5/544

Exercitii.

1) Sa se gaseasca valoarea de adevar a urmatoarelor propozitii compuse:

i) Daca temperatura este sub zero grade, atunci apa ngheata.

ii) Daca apa fierbe la 100 C, atunci doua corpuri ncarcate cu electricitatede semne contrare se atrag.

Observatie. Exercitiul anterior ne avertizeaz a c a trebuie s a facem dis-tinctie ntre implicatia logic a si succesiunea cauz a-efect din lumea fizic a.

2) Aratati ca urmatoarele propozitii sunt tautologii:

i) p q qp, p q qp (comutativitate).

ii) (p q) r p (q r), (p q) r p (q r) (asociativitate).

iii) p (p r) p, p (p r) p (absortie).

iv) p p p, p p p (idempotenta).

v)p(qr) (pq)(pr), p(qr) (pq)(pr) (distributivitate).

vi) p q p q, p qp q (legile lui De Morgan).vii) p p (principiul dublei negatii).

3) Aratati ca urmatoarele propozitii sunt tautologii:

i) ((p q) (q r)) (p r) (implicatia este tranzitiva).

ii) ((p q) r) (p r) (q r).

iii) (p (p q)) q (regula modus-ponens).

iv) (p q) (qp).4) Aratati ca (p q) (q p) nu este tautologie.

6) Sa se afle negatia propozitiilor:

5


6/544

i) (p q) r

ii) p (q r).

CALCULUL CU PREDICATE

Constante si variabilePredicate (unare, binare, etc)

Cuantificatorul universal si cuantificatorul existential

Printre semnele (simbolurile) ntlnite n propozitiile matematicii se aflaconstante si variabile. Astfel se ntlnesc constante precum un numar, semnulde adunare, etc, toate avnd o semnificatie precisa, care ramne neschim-bata n decursul desfasurarii rationamentelor. Deosebirea capitala dintreconstante si variabile consta n aceea ca n timp ce primele au o semnificatieprin ele nsele, ultimele nu au aceasta semnificatie. Spre exemplu propozitia1 + 2i este un numar real are un continut clar (este falsa) dar propozitiax este un numar real nu are o semnificatie precisa, ea capata o astfel desemnificatie numai dupa nlocuirea variabilei x.

Definitie. Expresiile de forma p(x,y,z,..), care atunci cnd nlocuimvariabilele x,y,z,.. cu constante, se transform a n propozitii bine determi-nate, se numesc predicate unare, binare, etc, dupa cum avem 1, 2, etc, vari-abile.

Observatie. Operatorii logici studiati permit introducerea unor noi pred-icate.

De exemplu, pentru predicate p(x) si q(x) putem considera noile predicatep(x), p(x) q(x), p(x) q(x), etc.

n afara operatorilor logici de mai sus, n matematica, mai intervin si

alti operatori, anume cuantificatorul universal, notat , si cuantificatorulexistential, notat .

Prin cuantificatorul se trece de la predicatul p(x) la propozitia

(x) p(x)

6


7/544

care este falsa numai daca exista o constanta a astfel ca p(a) sa fie falsa.

Prin cuantificatorul se trece de la predicatul p(x) la propozitia(x) p(x)

care este adevarata numai daca exista (cel putin) o constanta a astfel ca p(a)sa fie adevarata.

Prin urmare avem tautologiile:

(x) p(x) (x) p(x)si

(

x) p(x)

(

x)p(x).

Ele arata ca prin negare se schimba n , iar se schimba n .

Observatie. Avem urm atoarea proprietate de comutativitate a cuantifi-catorilor de acelasi tip:

(x)(y) p(x, y) (y)(x) p(x, y)si

(x)(y) p(x, y) (y)(x) p(x, y)sunt tautologii.

Observatie. Fie p(x) si q(x) dou a predicate unare. Dac a propozitia

(x) (p(x) q(x))este adev arat a, vom nota

p(x) q(x).A ar ata c a propozitia de mai sus este fals a nseamn a a g asi o constant a

a astfel ca p(a) s a fie adev arat a, iar q(a) s a fie fals a.Unui astfel de exemplu i se spune contraexemplu la propozitia dat a.Analog vom spune c a p(x) este echivalent cu q(x) si vom scrie

p(x) q(x),

dac a propozitia(x)(p(x) q(x))

7


8/544

este adev arat a.

Exercitii.

1) Sa se arate ca oricare ar fi predicatul binar p(x, y) avem:

(x)(y) p(x, y) (y)(x) p(x, y).Este adevarata implicatia reciproca?

Observatie extrem de importanta. Exercitiul de mai sus arat a c a or-dinea cuantificatorilor logici este extrem de important a. Acest lucru se poate

constata comparnd notiunile de continutate si continuitate uniform a (vezipaginile ...), de convergent a simpl a si convergent a uniform a pentru siruri defunctii (vezi paginile ...) etc.

REZUMAT

CALCULUL CU PROPOZITII

Propozitia, adevarul si falsul sunt notiuni primare.Oricarei propozitii i se asociaza o valoare de adevar.0 desemneaza falsul1 desemneaza adevarulPrincipalii operatori logici sunt negatia, disjunctia, conjunctia,

implicatia si echivalenta.O propozitie compusa care este adevarata indiferent de valorile

de adevar ale propozitiilor care o compun se numeste tautologie.Daca (p q) este adevarata vom spune ca p este o conditie

suficienta pentru q sau ca q este o conditie necesara pentru p.

Daca propozitia (p q) este adevarata vom spune ca p este oconditie necesara si suficienta pentru q (si invers).Urmatoarele propozitii sunt tautologii:i) p q p q, p qp q.ii) p p (principiul dublei negatii).

8


9/544

iii) (p (p q)) q (regula modus-ponens).iv) (p q) (q p).Propozitia (p q) (q p) nu este tautologie.

CALCULUL CU PREDICATE

Constantele sunt simbolurile dintr-o propozitie matematica careau o semnificatie precisa care ramne neschimbata n decursul des-fasurarii rationamentelor.

Variabilele nu au semnificatie prin ele nsele.

Expresiile de forma p(x,y,z,..), care atunci cnd nlocuim vari-abilele x,y,z,.. cu constante, se transforma n propozitii bine de-terminate, se numesc predicate unare, binare, etc, dupa cum avem1, 2, etc, variabile.

Prin cuantificatorul universal si prin cuantificatorul existential se trece de la predicatul p(x) la propozitiile (x)p(x), respectiv(x)p(x).

Propozitiile (x) p(x) (x) p(x) si (x) p(x) (x) p(x) sunttautologii.

Propozitiile (x)(y) p(x, y) (y)(x) p(x, y) si (x)(y) p(x, y) (

y)(

x) p(x, y) sunt tautologii.

Oricare ar fi predicatul binar p(x, y) avem (x)(y) p(x, y) (y)(x) p(x, y). Implicatia reciproca este falsa.

Bibliografie

1. Gheorghe Enescu, Introducere n logica matematica, Editura Sti-intifica, Bucuresti, 1965 - cota la biblioteca Facultatii de Matematica si In-formatica, Universitatea din Bucuresti II 10566

2. Grigore Moisil, Elemente de logica si teoria multimilor, Editura

Stiintifica, Bucuresti, 1968, cota la biblioteca Facultatii de Matematica siInformatica, Universitatea din Bucuresti II 132593. Gheorghe Enescu, Logica simbolica, Editura Editura Stiintifica, Bu-

curesti, 1971 - cota la biblioteca Facultatii de Matematica si Informatica,Universitatea din Bucuresti II 18512

9


10/544

ELEMENTE DE TEORIA MULTIMILOR

Meritul nemuritor al lui Georg Cantor este acela de a se fi hazardat n domeniulinfinitului fara a se teme de lupta, interioara sau externa, nu numai cu

paradoxurile imaginare, cu prejudecatile larg raspndite, cu sentintele filozofilor,dar si cu opiniile exprimate de mari matematicieni. n acest mod el a creat un

nou domeniu - teoria multimilor.F. Hausdorff

Multimea ca notiune primaraNotiunea de submultimne a unei multimi

Egalitatea a doua multimiIntersectia si reuniunea a doua multimi

Multimea vidaMultimi disjuncte

Diferenta a doua multimiComplementara unei multimi n raport cu o alta multime

Produsul cartezian a doua multimi

Functiile manifesta din cnd n cnd o comportare particulara n anumitepuncte din domeniul lor de definitie, care n cazurile cele mai importante esteun interval, ele poseda acolo "singularitati". H. hankel se ocupase deja cu astfelde chestiuni si expusese principiul sau de "condensare a singularitatilor". Astfelde puncte singulare scot n relief, n intervalul care formeaza argumentul functiei,anumite "varietati" sau totalitati care desi constituie numai o parte a punctelorintervalului, cu toate acestea pot contine infinite de multe puncte. Se ridica prob-lema structurii unor astfel de varietati sau multimi (de puncte) infinite.

Pe aceasta cale a ajuns Georg Cantor la a sa teorie a multimilor. La extindereateoremei de unicitate a reprezentarilor seriilor trigonometrice n cazul ca pentru

un numar infinit de valori seria nu este convergenta, el s-a vazut nevoit nca din1872 sa anticipeze anumite discutii, chair daca numai "aluzive", care "pot servi sapuna n lumina relatii ce apar totdeauna atunci cnd se dau marimi numerice nnumar finit sau infinit". (Este vorba de concepte ca "punct de acumulare", "punctlimita", "derivare" la multimi de puncte s. a.).

10


11/544

Totusi, nainte de a ajunge la teoria multimilor a lui Cantor, avem de citat

unii precursori ai sai. Cele mai vechi consideratii care se refera la un "paradoxal infinitului" provin chiar din perioada finala a antichitatii; ele se gasesc n co-mentariul lui Proclos asupra lui Euclid, nsa nu descoperite, ci numai relatate deel, din nefericire fara sa numeasca un nume. (Fundamentele Matematicii, OskarBecker, Editura Stiintifica, Bucuresti, 1968, paginile 247-248).

Conceptul de multime este unul de baza n matematica. Toate obiectelematematice se reduc, n ultima instanta, la acest concept. Vom consideraca aceasta notiune este deja asimilata din anii de liceu. Nu vom ncercasa definim notiunea de multime sau sa prezentam axiomele teoriei multim-ilor. Studentul interesat poate vedea modul n care materialul pe care-l vom

prezenta poate fi axiomatizat, consultnd urmatoarele lucrari: Paul Hal-mos, Naive Set Theory, Springer- Verlag, 1974; Paul Bernays (AbrahamFraenkel), Axiomatic set theory, North- Holland Publishing Company,1958. Prin urmare vom prezenta aici numai cteva elemente de teoria naivaa multimilor, teorie ale carei baze au fost puse de catre matematicianul ger-man Georg Cantor. n timp au fost puse n evidenta o serie de slabiciuniale teoriei multimilor, asa cum a fost ea dezvoltata de catre Cantor. Pentrua remedia aceasta situatie, o noua teorie a multimilor a fost elaborata decatre Ernst Zermelo si Adolf Fraenkel si dezvoltata de catre Kurt Gdel siPaul Cohen (pentru detalii, se poate consulta lucrarea Kurt Gdel (1906-1975), de Ralf Schindler, Gazeta Matematica, seria A, nr.1, 2008, paginile72-76).

Nota istorica. Georg Cantor (1845-1918) s-a nascut la Sank Petersburg.A studiat la Universitatea din Berlin, cu Weierstrass, Kummer si Kronecker,unde devine prietenul lui Schwarz. Aici preocuparile lui privesc teoria nu-merelor. n 1869 primeste un post la Universitatea din Halle. Sub influentalui Heine, cercetarile lui Cantor se vor ndrepta catre analiza matematica. n1870 el va demonstra unicitatea reprezentarii unei functii cu ajutorul uneiserii trigonometrice (problema care, n prealabil, a fost studiata, fara suc-ces, de multi matematicieni celebri, printre care Heine, Dirichlet, Lipschitz si

Riemann). n 1872 este promovat ca profesor extraordinar la Universitateadin Halle. n acelasi an, n decursul unei excursii n Elvetia, l va ntlni peDedekind, cu care va avea o prietenie solida. Tot n 1872, Cantor publicaun articol privind seriile trigonometrice, n care defineste numerele reale ntermeni de siruri convergente de numere rationale.n 1873 Cantor a aratat ca

11


12/544

multimea numerelor rationale (precum si multimea numerelor algebrice) este

numarabila. n 1874 publica un articol n care arata ca multimea numerelorreale nu este numarabila. Mai mult, ntr-o scrisoare din anul 1877 catreDedekind, arata ca ntre punctele intervalului [0, 1] si punctele din R existao corespondenta bijectiva. Cantor a fost surprins de aceasta descoperire,fapt care l-a facut sa exclame: "Desi am demonstrat acest lucru, nu-l potcrede". n 1878 publica un articol n care apare n mod riguros notiuneade corespondenta bijectiva. ntre 1879 si 1884 publica o serie de sase arti-cole n Mathematische Annalen, n care se prezinta o introducere n teoriamultimilor. Ideile sale prezentate aici au fost ntmpinate cu ostilitate decatre multi matematicieni. n 1879, la sugestia lui Heine, este promovat lagradul de profesor. n 1896 el i scrie lui Hilbert, prezentndu-i paradoxurile

pe care le-a descoperit n cadrul teoriei multimilor. Moare n 1918 ntr-unazil de boli mentale.

Cantor ramne n istoria matematicii ca fondatorul teoriei moderne amultimilor si ca cel care a introdus conceptul de numar infinit (prin intro-ducerea numerelor cardinale). Pna la el infinitul era, n matematica, unsubiect tabu. Conform lui Gauss infinitul putea fi utilizat numai ca unfel de a spune care nu are valoare matematica. Ideile lui Cantor au de-terminat reevaluarea fundamentelor tuturor ramurilor matematicii si au datmatematicii forma moderna de astazi.

OPERATII CU MULTIMI

x A nseamna ca x este un element al lui A; se mai spune ca x apartinelui A sau ca multimea A contine elementul x.

x / A nseamna ca x nu apartine lui A.

Definitie. Fie A si B dou a multimi. Spunem c a A este o submultime alui B dac a orice element al lui A este si element al lui B.

n acest caz scriem A B.Dac a A B, dar exist a un element al lui B care nu este element al lui

A, spunem c a A este o submultime proprie a lui B si scriem A B.Definitie. Dou a multimi A si B se numesc egale dac a contin aceleasi

elemente.n acest caz scriem A = B.

12


13/544

Observatie. A = B A B si B A.

Definitie. Dac a A si B sunt dou a multimi, atunci intersectia lor, notat aA B, este multimea tuturor elementelor care apartin ambelor multimi.

Definitie. Dac a A si B sunt dou a multimi, atunci reuniunea lor, notat aA B, este multimea tuturor elementelor care apartin cel putin uneia dintrecele dou a multimi.

ObservatieA B = {x | x A si x B}

A B = {x | x A sau x B}

Observatie. Am presupus, n mod tacit, c a intersectia si reuniunea adou a multimi este tot o multime. Aceasta implic a, printre altele, existentaunei multimi care nu are nici un element (deoarece, dac a A si B nu auelemente comune, atunci intersectia lor nu are nici un element).

Definitie. Multimea care nu are nici un element se numeste multimeavid a si se va nota cu .

Definitie. Dou a multimi A si B care nu au elemente comune (i.e. A B = ) se numesc disjuncte.

Propozitie. Fie multimile A, B si C.Atunci avem:i) proprietatea de idempotent a:

A A = A A = A.

ii) proprietatea de comutativitate:

A B = B Asi

A B = B A.

13


14/544

iii) proprietatea de asociativitate:

(A B) C = A (B C)

si(A B) C = A (B C).

iv) proprietatea de distributivitate:

A (B C) = (A B) (A C)

siA (B C) = (A B) (A C).

Observatie. Analog se definesc

A1 A2 ... Ansi

A1 A2 ... An.Mai general, fiind dat a o familie de multimi Aj, cu j J, putem consid-

era

jJAj

multimea tuturor elementelor care apartin cel putin unei multimi Aj si

jJ

Aj

multimea tuturor elementelor care apartin tuturor multimilor Aj.

Definitie. Dac a A si B sunt dou a multimi, atunci complementara lui Bn raport cu A este multimea tuturor elementelor lui A care nu apartin luiB si se va nota cu A B.

Observatie A B = {x | x A si x / B}.

Observatie. Uneori multimea A este subnteleas a, nefiind necesar s a fiementionat a explicit. n acest caz A B se va numi complementara lui B.

14


15/544

Propozitie. Pentru dou a multimi A si B avem:

(A B) (A B) =

siA = (A B) (A B).

Propozitie (Legile lui De Morgan). Pentru trei multimi A, B si Cavem:

A (B C) = (A B) (A C)si

A

(B

C) = (A

B)

(A

C).

Nota istorica. Augustus De Morgans-a nascut n 1806, n India (coloniebritanica n acel timp). A studiat la Trinity College Cambridge. n 1827primeste un post la University College London. n 1833 a definit si a introdusriguros metoda inductiei matematice. A fost primul presedinte al LondonMathematical Society (nfiintata n 1866). A murit n 1871.

Definitie. Dac a A si B sunt dou a multimi, atunci produsul cartezian,notat AB, al lui A cu B, este multimea tuturor perechilor ordonate (a, b),cu a

A si b

B, unde (a, b)

def=

{{a

},

{a, b

}}.

Nota istorica. Ren Descartes(1596-1650) creator al geometriei analitice,ofiter al armatei franceze, matematician, a fost unul dintre cei mai de seamafilozofi ai tuturor timpurilor. S-a nascut n Franta. A urmat colegiul din An-jou ntre 1604 si 1612, studiind aici limbile clasice, logica, filozofia si matem-atica (dupa cartile lui Clavius). A studiat la Universitatea din Poitiers, deunde primeste, n 1616, o diploma n drept. Apoi se nscrie la scoala militaradin Breda. n 1618 ncepe studiul matematicii si mecanicii sub ndrumareaolandezului Isaac Beeckman. n 1619 se nroleaza n armata bavareza. n1628 se stabileste, dupa multe calatorii prin Europa, n Olanda. n 1637public

a tratatul Discours de la mthode pour bien conduire sa raison et

chercher la vrit dans les sciences. El sustine aici ca numai matematicilereprezinta ceva sigur, deci totul trebuie sa aiba la baza matematicile. n 1649regina Suediei l convinge pe Descartes sa viziteze tara sa. Aici si va gasiDescartes sfrsitul, rapus de pneumonie.

15


16/544

Observatie.

(a, b) = (a

, b

) a = a

si b = b

.

REZUMAT

Conceptul de multime este unul primar.Fie A si B doua multimi.Spunem ca A este o submultime a lui B daca orice element al

lui A este si element al lui B.n acest caz scriem A

B.

A si B se numesc egale daca contin aceleasi elemente.A = B A B si B A.Intersectia multimilor A si B, notata AB, este multimea tuturor

elementelor care apartin ambelor multimi, iar reuniunea lor, notataA B, este multimea tuturor elementelor care apartin cel putinuneia dintre cele doua multimi.

Multimea care nu are nici un element se numeste multimea vidasi se va nota cu .

Doua multimi A si B care nu au elemente comune (i.e. AB = )se numesc disjuncte.

Complementara lui B n raport cu A este multimea tuturor el-ementelor lui A care nu apartin lui B si se va nota cu A B.

Legile lui De Morgan:

A (B C) = (A B) (A C)

siA (B C) = (A B) (A C).

(a, b)def= {{a}, {a, b}} se numeste pereche ordonata.

Produsul cartezian al lui A cu B, notat A B, este multimeatuturor perechilor ordonate (a, b), cu a

A si b

B.

16


17/544

Bibliografie

1. Grigore Moisil, Elemente de logica si teoria multimilor, EdituraStiintifica, Bucuresti, 1968, cota la biblioteca Facultatii de Matematica siInformatica, Universitatea din Bucuresti II 13259

2. Constantin N ast asescu, Introducere n teoria multimilor, EdituraDidactica si Pedagogica, Bucuresti, 1974, cota la biblioteca Facultatii deMatematica si Informatica, Universitatea din Bucuresti II 22130

3. A. A. Fraenkel, Y. Bar-Hillel, A. Levy, Foundations of Set The-ory, Elsevier Science Publishers B.V., 1984, cota la biblioteca Facultatii deMatematica si Informatica, Universitatea din Bucuresti II 36779

17


18/544

FUNCTIE, GRUP, INEL, CORP, SPATIU VECTORIAL, RELATII

Notiunea de functieCompunerea a doua functii

Functii injective, surjective, bijectiveInversa unei functii

Imaginea si preimaginea unei multimi printr-o functieNotiunile de grup, inel si corpNotiunea de spatiu vectorial

Relatie de echivalentaMultimea ct (sau factor) generata de o relatie de echivalenta

Surjectia canonica generata de o relatie de echivalentaRelatie de ordine

Multime ordonata, Multime total ordonataMajorant, Minorant

Multime majorata, minorata, marginitaMarginea superioara si inferioara a unei multimi

Maximul si minimul unei multimiMultime complet ordonata

Multime bine ordonata

Pe lnga conceptul de limita si conceptul de continuitate, care se definestecu ajutorul celui de limita, concepte pe care ndeosebi A. L. Cauchy le pune labaza analizei expusa sistematic, conceptul de functie, ale carui nceputuri dateazapoate de la Leibniz, se dovedeste a fi un concept fundamental, dar si problem-atic. n secolul al XVIII-lea se impusese conceptul de "functie complet arbitrara"cu prilejul problemei coardei vibrante. La Leonhard Euler functiile sunt date ndoua moduri: mai nti, printr-o "expresie analitica" si n al doilea rnd, printr-ocurba trasata "cu mna libera". Surprinzatoarea capacitate a seriilor trigonomet-

rice, ntrebuintate poate pentru prima oara de catre Daniel Bernoulli si cercetateamanuntit de catre J. B. J. Fourier, de a reprezenta si functii aparent cu totulneregulate, a condus n sfrsit la lucrarile lui P. G. Lejeune Dirichlet asupra limiteiposibilitatilor de reprezentare si, n legatura cu aceasta, la un concept extrem de

18


19/544

general, care tocmai din aceasta cauza nu este lipsit de dificultati. (Fundamentele

Matematicii, Oskar Becker, Editura Stiintifica, Bucuresti, 1968, paginile 247-248).Notiunea de functie

Pentru matematicienii de acum un secol si jumatate, cuvntul functiensemna, n mod obisnuit, o formula, ca de exemplu

f(x) = x2 + 3x 5,

care asocia oricarui numar real un alt numar real.Faptul ca anumite formule, ca de exemplu

f(x) = x 5,nu asociau numere reale oricarui numar real, era binecunoscut, dar nu eraconsiderat ca un motiv destul de solid pentru a extinde notiunea de functie.

ntrebarea daca asocierea

h(x) = |x|

este o functie, a nascut controverse la acel timp, deoarece, n definitiv,definitia lui |x| este data "pe bucati", anume

|x| = { x, daca x 0x, daca x < 0 .

Pe masura ce matematica s-a dezvoltat, a devenit din ce n ce mai clar c acerinta ca o functie sa fie data printr-o formula este foarte restrictiva si ca odefinitie mai generala este necesara.

Iata o definitie provizorie a functiei: O functie f de la o multime A lao multime B este o lege de corespondenta care asociaza ORICARUI elementx din A un UNIC element f(x) din B.

Sa observam ca aceasta definitie are un punct slab, anume ambiguitateaexpresiei lege de corespondenta.

Am dori sa eliminam acest inconvenient prin definirea functiei numai ntermeni de teoria multimilor. Aceasta abordare are dezavantajul de a fioarecum artificiala, dar cstigul n ceea ce priveste rigoarea este mult maiimportant comparativ cu orice altfel de dezavantaje.

19


20/544

Definitie. FieA si B dou a multimi. O functie de la A la B este tripletul

format cu aceste dou a multimisi o submultime f a lui AB cu propriet atileurm atoare:i) pentru orice a A exist a b B astfel ca (a, b) f.ii) dac a pentru a A si b, b B avem (a, b) f si (a, b) f, atunci

b = b

.

Observatie. A se numeste domeniul lui f, iar B se numeste codomeniullui f.

Observatie. Tripletul (A,B,f) se mai noteaz a f : A B.

Observatie. Faptul c a (a, b) f se mai noteaz a f(a) = b. Se mai spunec a b este valoarea lui f n a sau c a b este imaginea lui a prin f.

Compunerea a doua functii

Definitie. Fie f o functie cu domeniul A si codomeniul B, iar g ofunctie cu domeniul B

si codomeniul C, unde B B. Definim o nou afunctie, notat a g f care are domeniul A si codomeniul C, dat a de

g f = {(a, c) A C | exist a b B astfel ca

(a, b)

f si (b, c)

g

}.

Observatie. Avem deci

g f : A C

si(g f)(x) = g(f(x)),

pentru orice x A.

Functii injective, surjective, bijective

Definitie. O functie f : A B se numeste bijectiv a dac a:i) f este injectiv a, i.e. pentru orice a, a

A si b B astfel ca (a, b) fsi (a

, b) f avem a = a,si

20


21/544

ii) f este surjectiv a, i.e. pentru orice b B exist a a A astfel ca(a, b) f.

Observatie. f este injectiv a dac a si numai dac a pentru orice a, a A,

f(a) = f(a

) a = adac a si numai dac a pentru orice a, a A, a = a f(a) = f(a).

Observatie. f este surjectiv a dac a si numai dac a pentru orice b Bexist a a A astfel ca

f(a) = b.

Observatie. f este bijectiv a dac a si numai dac a pentru orice b Bexist a un unic a A astfel ca

f(a) = b.

Exercitii. 1) Fie f : A B. Sa se arate ca f este injectiva daca sinumai daca f(X Y) = f(X) f(Y), pentru orice X, Y A, daca si numaidaca f(A X) B f(A), orice X A.

2) Fie f : A B. Sa se arate ca f este surjectiva daca si numai dacaf(A X) B f(A), orice X A.

3) Fie f : A B si g : B C. Sa se arate ca:i) daca f si g sunt injective, atunci g

f este injectiva;

ii) daca f si g sunt surjective, atunci g f este surjectiva;iii) daca g f este injectiva, atunci f este injectiva;iv) daca g f este sujectiva, atunci g este surjectiva.4) Sa se arate ca pentru orice multime nevida X nu exista nici o functie

surjectiva f : X P(X) = {A | A X}.Inversa unei functii

Definitie. Fie f : A B o functie bijectiv a. Atunci inversa lui f,notat a cu f1, este functia cu domeniul B, codomeniul A si

f1

= {(b, a) B A | (a, b) f}.Observatie. Avem f1 : B A si

f1(b) = a f(a) = b.

21


22/544

Imaginea si preimaginea unei multimi printr-o functie

Definitie. Fie f : A B si E A. Atunci imaginea lui E prin functiaf este submultimea lui B dat a de

f(E) = {f(x) | x E}.

Propozitie. Fie f : A B si E, F A. Atunci avem:1)

E F f(E) f(F);2)

f(E F) f(E) f(F);3)

f(E F) = f(E) f(F);4)

f(E F) f(E).

Observatie. n 2), incluziunea este, n general, strict a.

Definitie. Fie f : A B si H B. Atunci imaginea invers a (saupreimaginea) lui H, prin functia f, este submultimea lui A dat a de

f1(H) = {x | x A si f(x) H}.

Observatie. Nu am cerut n definitia de mai sus ca f s a fie bijectiv a.Totusi, dac a f este bijectie, atunci f1(H) din definitia de mai sus, esteimaginea lui H prin inversa lui f, anume prin f1.

Propozitie. Fie f : A B si G, H B. Atunci avem:1)

G

H

f1(G)

f1(H);

2)f1(G H) = f1(G) f1(H);

3)f1(G H) = f1(G) f1(H);

22


23/544

4)

f1

(G H) = f1

(G) f1

(H).

Notiunile de grup, inel si corp

Definitie. Un cuplu (G, ) format cu o multime nevid a G si cu o lege decompozitie pe G (i.e. x y G, pentru orice x, y G), se numeste grupdac a sunt verificate urm atoarele axiome:

i)x (y z) = (x y) z,

pentru orice x,y,z G;

ii) exist a e G astfel ncte x = x e = x,

pentru orice x G;iii) pentru orice x G exist a x G astfel nct

x x = x x = e.

Dac a n plus este verificat a si axiomaiv)

x

y = y

x,

pentru orice x, y G,atunci grupul se numeste comutativ (sau abelian).

Observatie. Elementul e este unic determinat si se numeste elementulneutru al grupului G. Elementul x

este unic determinat si poart a numele

de simetricul (sau inversul sau opusul) elementului x.

Definitie. O multime nevid a A, mpreun a cu dou a legi de compozitie +si (i.e. x + y A si x y A, pentru orice x, y A) se numeste inel dac asunt verificate urm atoarele axiome:

i)(A, +)

este grup abelian;ii) (A, ) este monoid, i.e.

iia)x (y z) = (x y) z,

pentru orice x,y,z A;

23


24/544

iib) exist a 1 A astfel nct

1 x = x 1 = x,

pentru orice x A.iii)

x (y + z) = x y + x zsi

(y + z) x = y x + z x,pentru orice x,y,z A, i.e. nmultirea este distributiv a fat a de adunare lastnga si la dreapta.

Observatie.1. Elementul neutru al grupului (A, +), notat cu 0, se numeste elementul

zero al inelului, iar 1 (care este unic determinat) poart a numele de elementulunitate al inelului.

2. Dac a este satisf acut a si axioma:

x y = y x,

pentru orice x, y A, atunci spunem c a inelul A este comutativ.3. Spunem c a A este un inel f ar a divizori ai lui zero dac a pentru orice

x, y A, x = 0 si y = 0 implic a x y = 0.Un inel comutativ cu cel putin dou a elemente si care nu are divizori ai

lui zero se numeste domeniu de integritate.

Definitie. Un inel K se numeste corp dac a 0 = 1 si dac a este satisf acut aurm atoarea axiom a:

pentru orice x K{0} exist a x1 K astfel nct x x1 = x1 x = 1,i.e. orice element al lui K care este diferit de 0 este simetrizabil n raportcu nmultirea.

Un corp se numeste comutativ dac a nmultirea sa este comutativ a.

Notiunea de spatiu vectorial

Definitie. Fie K un corp. Se numeste spatiu vectorial (peste corpulK) un grup abelian (V, +) pe care este dat a o lege de compozitie extern a cu

24


25/544

domeniul K V si codomeniul V ((, u) u) care satisface, pentru orice, K si orice u, v V urm atoarele conditii:1)

( + )u = u + u;

2)(u + v) = u + v;

3)(u) = ()u;

4)1u = u.

Terminologie. Elementele lui V se numesc vectori, iar elementele luiK se numesc scalari. + poart a numele de adunarea vectorilor, iar legea decompozitie extern a se numeste nmultirea vectorilor cu scalari. Elementulneutru al grupului (V, +) se numeste vectorul zero si se va nota cu 0, ca siscalarul zero. Dac a K = R, atunci se spune c a V este spatiu vectorial real.

Observatie. Uneori spatiile vectoriale sunt numite si spatii liniare.

Definitie. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K. Un sistem B ={e1, e2,...,en} de vectori se numeste baz a a lui V dac a:

1) pentru orice x V, exist a 1, 2,...,n K astfel nctx = 1e1 + 2e2 + ... + nen;

2) pentru 1, 2,...,n K1e1 + 2e2 + ... + nen = 0 1 = 2 = ... = n = 0.

Relatii

Definitie. Se numeste relatie pe o multime nevid a X, orice submultime

nevid a a lui X X.Dac a (x, y) , vom scrie xy.

Definitie. O relatie pe o multime nevid a X se numeste:

- reflexiv a dac a xx, pentru orice x X;

25


26/544

- simetric a dac a xy yx, pentru orice x, y X;- antisimetric a dac a xy si yx x = y, pentru orice x, y X;- tranzitiv a dac a xy si yz xz, pentru orice x,y,z X.Definitie. O relatie pe o multime nevid a X se numeste relatie de

echivalent a dac a este reflexiv a, simetric a si tranzitiv a.

Observatie. De multe ori relatia de echivalent a se noteaz a prin .Astfel xy se scrie sub forma x y.

Definitie. Fie o relatie de echivalent a pe X si x X. Multimeax =

{y

X

|x

y}

se numeste clasa de echivalent a a lui x.

Observatie.. Fie o relatie de echivalent a pe X si x, y X. Atuncix =

y sau

x y = .

Definitie. Fie o relatie de echivalent a pe X. Multimea {x | x X},notat a X/ , se numeste multimea ct (sau factor) a lui X generat a de .

Definitie. Fie o relatie de echivalent a pe X. Functia p : X X/ ,dat a dep(x) =

x, pentru orice x X, se numeste surjectia canonic a generat a

de .Definitie. O relatie pe o multime nevid a X se numeste relatie de

ordine dac a este reflexiv a, antisimetric a si tranzitiv a.

Observatie. De multe ori relatia de ordine se noteaz a prin . Astfelxy se scrie sub forma x y.

Definitie. Un cuplu (X, ) unde X este o multime nevid a, iar este orelatie de ordine pe X se numeste multime ordonat a.

Definitie. Multimea ordonat a (X, ) se numeste total ordonat a dac apentru orice x, y

X avem x

y sau y

x (i.e. orice dou a elemente sunt

comparabile).

Definitie. Fie (X, ) o multime ordonat a, A o submultime nevid a a luiX si m X. Atunci m se numeste majorant (minorant) al lui A dac apentru orice a A, avem a m (respectiv a m).

26


27/544

Observatie. Dac a m este majorant al lui A si m A, atunci m esteunic si se numeste maximul lui A (si se noteaz a cu max(A)) sau ultim el-ement al lui A sau cel mai mare element al lui A. Dac a m este minorantal lui A si m A, atunci m este unic si se numeste minimul lui A (si senoteaz a cu min(A)) sau prim element al lui A sau cel mai mic element al luiA.

Definitie. Fie (X, ) o multime ordonat a, A o submultime nevid a alui X. Dac a exist a un majorant m X al lui A, atunci spunem c a Aeste majorat a (m arginit a superior). Dac a exist a un minorant m X al luiA, atunci spunem c a A este minorat a (m arginit a inferior). Dac a A estem arginit a inferior si superior, atunci A se numeste m arginit a.

Definitie. Fie (X, ) o multime ordonat a si A o submultime nevid amajorat a a lui X. Se spune c a A are margine superioar a dac a exist a cel maimic majorant (i.e. multimea majorantilor lui A are minim, sau, altfel spus,multimea majorantilor lui A are un cel mai mic element, adic a, echivalent,multimea majorantilor lui A are un prim element). n acest caz not am cusup A cel mai mic majorant al lui A. sup A se numeste marginea superioar aa lui A sau supremum de A.

Fie (X, ) o multime ordonat a si A o submultime nevid a minorat a a luiX.

Se spune c a A are margine inferioar a dac a exist a cel mai mare mino-

rant (i.e. multimea minorantilor lui A are maxim, sau, altfel spus multimeaminorantilor lui A are un cel mai mare element, sau, echivalent, multimeaminorantilor lui A are un ultim element). n acest caz not am cu infA celmai mare minorant al lui A. infA se numeste marginea inferioar a a lui A,sau infimum de A.

Observatie. Fie (X, ) o multime ordonat a, A o submultime nevid amajorat a a lui X. Dac a exist a max A, atunci exist a si sup A si sup A =max A.

Fie (X, ) o multime ordonat a, A o submultime nevid a minorat a a luiX. Dac a exist a min A, atunci exist a si infA si infA = min A.

Definitie. O relatie de ordine pe multimea nevid a X se numestecomplet a dac a pentru orice submultime nevid a majorat a A a lui X exist asup A. Se spune n acest caz c a multimea ordonat a (X, ) este completordonat a.

27


28/544

Definitie. O multime ordonat a se numeste bine ordonat a dac a orice

submultime nevid a a sa are prim element (sau spus altfel, minim, sau, nc a,cel mai mic element).

Observatie. Toate notiunile de mai sus si vor g asi exemplificarea ncapitolul consacrat multimilor N, Z, Q siR.

Exercitii. 1. Fie A o multime si (Ai)iI o partitie a lui A (i.e. iI

Ai = A

si Ai Aj = , pentru orice i = j). Sa se arate ca x y daca si numaidaca exista i I astfel nct x, y Ai defineste o relatie de echivalenta pe A,pentru care clasele de echivalenta coincid cu elementele partitiei considerate.

2. Fie X o multime nevida. Pe P(X) = {A | A X} se considera relatia

data de AB daca si numai daca A B. Sa se arate ca este o relatie deordine care nu este totala daca X are cel putin doua elemente.

REZUMAT

Fie A si B doua multimi. O functie de la A la B este tripletulformat cu aceste doua multimi si o submultime f a lui A B cuproprietatile urmatoare: i) pentru orice a A exista b B astfel ca(a, b) f; ii) daca pentru a A si b, b B avem (a, b) f si (a, b) f,atunci b = b

. Faptul ca (a, b) f se mai noteaza f(a) = b.

Fie f o functie cu domeniul A si codomeniul B iar g o functiecu domeniul B

si codomeniul C, unde B B. Definim o nouafunctie, notata g f care are domeniul A si codomeniul C, data deg f = {(a, c) A C |exista b B astfel ca (a, b) f si (b, c) g}.

O functie f : A B se numeste bijectiva daca:i) f este injectiva, i.e. pentru orice a, a

A si b B astfel ca(a, b) f si (a, b) f avem a = a, si ii) f este surjectiva, i.e. pentruorice b B exista a A astfel ca (a, b) f.

Fie f : A B o functie bijectiva. Atunci inversa lui f, notatacu f1, este functia cu domeniul B, codomeniul A si f1 = {(b, a) B

A

|(a, b)

f

}.

Fie f : A B si E A. Atunci imaginea lui E prin functia feste submultimea lui B data de f(E) = {f(x) | x E}.Fie f : A B si H B. Atunci imaginea inversa (sau preimag-

inea) lui H, prin functia f, este submultimea lui A data de f1(H) ={x | x A si f(x) H}.

28


29/544


30/544

Se numeste relatie pe o multime nevida X, orice submultime

nevida a lui X X. Daca (x, y) , vom scrie xy.O relatie pe o multime nevida X se numeste:- reflexiva daca xx, pentru orice x X;- simetrica daca xy yx, pentru orice x, y X;- antisimetrica daca xy si yx x = y, pentru orice x, y X;- tranzitiva daca xy si yz xz, pentru orice x,y,z X.O relatie pe o multime nevida X se numeste relatie de echivalenta

daca este reflexiva, simetrica si tranzitiva. De multe ori relatia deechivalenta se noteaza prin . Astfel xy se scrie sub formax y. Fie o relatie de echivalenta pe X si x X. Multimeax =

{y

X

|x

y

}se numeste clasa de echivalenta a lui x.

Multimea {x | x X}, notata X/ , se numeste multimea ct(sau factor) a lui X generata de . Functia p : X X/ , datade p(x) =

x, pentru orice x X, se numeste surjectia canonica

generata de .O relatie pe o multime nevida X se numeste relatie de ordine

daca este reflexiva, antisimetrica si tranzitiva. De multe ori relatiade ordine se noteaza prin . Astfel xy se scrie sub forma x y.Un cuplu (X, ), unde X este o multime nevida, iar este o relatiede ordine pe X se numeste multime ordonata.

Multimea ordonata (X,

) se numeste total ordonata daca pen-tru orice x, y X avem x y sau y x (i.e. orice doua elementesunt comparabile).

Fie (X, ) o multime ordonata, A o submultime nevida a lui Xsi m X. Atunci m se numeste majorant (minorant) al lui A dacapentru orice a A, avem a m (respectiv a m).

Daca m este majorant al lui A si m A, atunci m este unic si senumeste maximul lui A (si se noteaza cu max(A)) sau ultim elemental lui A sau cel mai mare element al lui A. Daca m este minorantal lui A si m A, atunci m este unic si se numeste minimul lui A(si se noteaza cu min(A)) sau prim element al lui A sau cel mai mic

element al lui A.Fie (X, ) o multime ordonata, A o submultime nevida a lui X.Daca exista un majorant m X al lui A, atunci spunem ca A estemajorata (marginita superior). Daca exista un minorant m Xal lui A, atunci spunem ca A este minorata (marginita inferior).

30


31/544

Daca A este marginita inferior si superior, atunci A se numeste

marginita.Fie (X, ) o multime ordonata si A o submultime nevida majo-rata a lui X. Se spune ca A are margine superioara daca existacel mai mic majorant (i.e. multimea majorantilor lui A are minim,sau, altfel spus, multimea majorantilor lui A are un cel mai mic el-ement, adica, echivalent, multimea majorantilor lui A are un primelement). n acest caz notam cu sup A cel mai mic majorant al luiA. sup A se numeste marginea superioara a lui A sau supremum deA.

Fie (X, ) o multime ordonata si A o submultime nevida mino-rata a lui X.

Se spune ca A are margine inferioara daca exista cel mai mareminorant (i.e. multimea minorantilor lui A are maxim, sau, altfelspus multimea minorantilor lui A are un cel mai mare element, sau,echivalent, multimea minorantilor lui A are un ultim element). nacest caz notam cu infA cel mai mare minorant al lui A. infA senumeste marginea inferioara a lui A, sau infimum de A.

O relatie de ordine pe multimea nevida X se numeste com-pleta daca pentru orice submultime nevida majorata A a lui Xexista sup A. Se spune n acest caz ca multimea ordonata (X, )este complet ordonata.

O multime ordonata se numeste bine ordonata daca orice sub-multime nevida a sa are prim element (sau spus altfel, minim, sau,nca, cel mai mic element).

Bibliografie

1. Ion Colojoar a, Analiza Matematica, Editura Didactica si Pedagog-ica, Bucuresti, 1983, cota la biblioteca Facultatii de Matematica si Informat-ica, Universitatea din Bucuresti II 32023

2. Ion D. Ion, A. Ghioca, N. Nedit a, Matematica, Algebra, Manual

pentru clasa a XII-a, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1984,cota la biblioteca Facultatii de Matematica si Informatica, Universitatea dinBucuresti II 27854

3. Marius Radulescu, Sorin Radulescu, Teoreme si probleme de anal-iza matematica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1982, cota la

31


32/544

biblioteca Facultatii de Matematica si Informatica, Universitatea din Bu-

curesti II 27184

32


33/544

STRUCTURI FUNDAMENTALEALE ANALIZEI MATEMATICE

"... ntre numere exista o astfel de perfectiune si armonie nct trebuie sameditam zile si nopti la admirabila lor nchegare."

Simon Stvin

33


34/544

MULTIMEA NUMERELOR NATURALE N

MULTIMI FINITE SI INFINITE

Axiomele lui PeanoAdunarea, nmultirea si relatia de ordine pe N

N este bine ordonataMultimi finite si infinite

Multimi numarabile si nenumarabile

Multimi cel mult numarabile

"Dumnezeu a creat numerele naturale, restul este opera omului"Leonard Kronecker

Create de intelectul uman pentru a numara obiectele din diferite colectii, nu-merele nu se refera la caracteristicile individuale ale obiectelor numarate. Astfel,numarul 6 este o abstractie a tuturor colectiilor reale formate din 6 obiecte; elnu depinde de nici o proprietate specifica a acestor obiecte sau de simbolurile

folosite. Caracterul abstract al ideii de numar devine clar numai la un stadiu rela-tiv avansat al dezvoltarii intelectuale. Pentru copii, numerele ramnn totdeaunalegate de obiecte palpabile, ca de pilda degete sau pietricele; n limbile diferitelortriburi, numerele au nca un sens numeric concret, folosindu-se cuvinte diferitepentru numararea obiectelor de diferite tipuri.

Ce este matematica?, de R. Courant si H. Robbins, EdituraStiintifica, Bucuresti, 1969, pagina 17

Pornind de la proprietatile elementare ale numerelor naturale care ne suntcunoscute din experienta cotidiana, vom prezenta o axiomatizare a acestoracare sintetizeaza o experienta milenara.

Axiomele lui Peano

Se considera ca notiuni primare multimeaN si o lege care asociaza oricaruielement n N un alt element n N numit succesorul lui n.

34


35/544

Iata axiomele lui Peano:

AP1. Orice n N are un unic succesor (deci s : N N dat a de s(n) =n

este functie).AP2. Exist a un element dinN, desemnat prin 1, care are proprietatea

c a n = 1, pentru orice n N (deci 1 / s(N)).

AP3. Pentru orice m, n N, m = n, avem m = n (deci s esteinjectiv a).

AP4. Dac a S N, 1 S si (n S n S), atunci S = N.Din motive evidente, ultima axioma poarta numele de axioma inductiei

matematice.

Consecinte imediate

1. Dac a m, n N si m = n, atunci m = n.2. Pentru orice n N, n = n .3. Pentru orice n N {1}, exist a p N, astfel nct p = n (i.e. orice

num ar natural diferit de 1 are un predecesor).

Observatie. Dac a P este o proprietate a unui element oarecare a lui N,care este adev arat a pentru 1 si care presupus a adev arat a pentru n N esteadev arat a si pentru n

, atunci P este adev arat a pentru orice n N. Astfelputem vorbi despre demonstratie si definitie prin inductie matematic a.Adunarea pe N

Fiec arui cuplu (m, n) de numere naturale i se asociaz a num arul naturaldesemnat prin m + n definit prin inductie matematic a dupa n astfel:

m + 1 = m

sim + n

= (m + n)

.

Proprietati

1.m + (n +p) = (m + n) + p,

35


36/544

pentru orice m,n,p N, i.e. adunarea peN este asociativ a.

2.m + n = n + m,

pentru orice m, n N, i.e. adunarea peN este comutativ a.

3.m +p = n +p m = n,

pentru orice m,n,p N.

4.n +p

= n,

pentru orice n, p N.

nmultirea pe N

Fiec arui cuplu (m, n) de numere naturale i se asociaz a num arul naturaldesemnat prin m n definit prin inductie matematic a dupa n astfel:

m 1 = m

si

m n

= mn + m.

Proprietati

1.m n = n m,

pentru orice m, n N, i.e. nmultirea peN este comutativ a.

2.m (n +p) = m n + m p,

pentru orice m,n,p N, i.e. nmultirea pe N este distributiv a fat a deadunarea peN.

3.m (n p) = (m n) p,

36


37/544

pentru orice m,n,p N, i.e. nmultirea peN este asociativ a.4.

m p = n p m = n,pentru orice m,n,p N.

Relatia de ordine pe N

Teorema. Dac a m, n N avem una si numai una dintre urm atoarelesituatii:

a) m = nb) exist a p N astfel nct m = n +pc) exist a q N astfel nct n = m + q.Definitie. Spunem c a m N este mai mic dect n N, fapt care va fi

notat prinm < n,

dac a exist a p N astfel nctn = m +p.

Observatie. PeN putem introduce relatia dat a de echivalentan m n < m sau n = m.

Conform teoremei de mai sus, N, cu aceast a relatie, devine o multimetotal ordonat a.

Proprietati.

1.m < n m +p < n +p

si

m < n mp < np,pentru orice m,n,p N.

2.m < n m + 1 n,

37


38/544

pentru orice m, n N.

3.1 n,

pentru orice n N, i.e. 1 este prim element al lui N.

Teorema. Pentru orice submultime nevid a S a luiN, exist a a S astfelnct a x, pentru orice x S (i.e. orice submultime nevid a a lui N areun prim element, ceea ce nseamn a c aN este bine ordonat a).

Demonstratie. Daca 1 S, atunci demonstratia este ncheiata.Daca 1 /

S, fie

B = {n N | n < x pentru orice x S}.

Evident 1 B.Exista p B astfel nct p + 1 / B caci altfel, conform cu AP 4, B = N,

de unde, alegnd x S (S este nevida), rezulta contradictia x < x.Cum p + 1 / B, exista a S astfel nct

a p + 1. (1)

Deoarece p B, deducem ca p < x, pentru orice x S, deci

p + 1 x, (*)

pentru orice x S.n particular, avem

p + 1 a. (2)Din (1) si (2), deducem ca a = p + 1, deci, conform cu (),

a x,

pentru orice x

S.

Cum a S, demonstratia este ncheiata.Remarca. Alegerea propozitiilor investite cu statul de axiom a nu este

unic a. Spre exemplu se poate alege un sistem de axiome n care axioma in-ductiei s a fie propozitie, dar n care Teorema de mai sus s a fie axiom a. Faptul

38


39/544

capital care trebuie retinut este c a nu putem evita existenta unor propozitii

cu statul de axiom a.Remarca. 1

se noteaz a cu 2, 2

se noteaz a cu 3, etc.

Nota istorica. Giuseppe Peano (1858-1932) a studiat la Universitateadin Torino, universitate la care va preda ncepnd cu 1880. A fost de aseme-nea profesor al Academiei Militare din Torino. A publicat (n latina) n 1889celebrele axiome care-i poarta numele. n 1890 a prezentat celebrul exemplude curba care umple un patrat (adica a prezentat un exemplu de functie con-tinua si surjectiva din [0, 1] n patratul unitate). n 1891 fondeaza "Revistadi matematica".

Multimi finite si infinite

Definitie. Un segment initial, determinat de k N, al lui N este osubmultime a luiN de forma {1, 2,...,k}.

Definitie. O multime A se numeste finit a dac a este vid a sau dac a exist ao bijectie ntre ea si un segment initial al luiN.

n caz contrar multimea se numeste infinit a.

Multimi numarabile si nenumarabile; Multimi cel mult numara-bile

Definitie. O multime A se numeste num arabil a dac a exist a o bijectientre ea siN.

Definitie. O multime A se numeste cel mult num arabil a dac a este finit asau num arabil a.

Propozitie. Orice submultime a unei multimi finite este finit a. Oricesubmultime a unei multimi num arabile este cel mult num arabil a.

Teorema. Reuniunea unei familii finite de multimi finite este finit a.

Reuniunea unei familii cel mult num arabile de multimi cel mult num arabileeste cel mult num arabil a.

Observatie. Vom admite, cu statutul de axioma, urmatoarea afirmatie:Orice multime infinit a contine o submultime num arabil a.

39


40/544

Exercitii. 1) Sa se arate ca daca A si B sunt multimi numarabile, atunci

A B este numarabila.2) Fie A o multime finita si f : A A. Sa se arate ca f este injectivadaca si numai daca f este surjectiva daca si numai daca f este bijectiva.

REZUMAT

Se considera ca notiuni primare multimea N si o lege care aso-ciaza oricarui element n N un alt element n N numit succesorullui n.

Iata axiomele lui Peano:

AP1. Orice n N are un unic succesor (deci s : N N data des(n) = n

este functie).AP2. Exista un element din N, desemnat prin 1, care are pro-

prietatea ca n = 1, pentru orice n N (deci 1 / s(N)).

AP3. Pentru orice m, n N, m = n, avem m = n (deci s esteinjectiva).

AP4. Daca S N, 1 S si (n S n S), atunci S = N.Fiecarui cuplu (m, n) de numere naturale i se asociaza numarul

natural desemnat prin m + n definit prin inductie dupa n astfel:m + 1 = m

si m + n

= (m + n)

.

Fiecarui cuplu (m, n) de numere naturale i se asociaza numarulnatural desemnat prin m n definit prin inductie dupa n astfel:m 1 = m si m n = mn + m.

Spunem ca m N este mai mic dect n N, fapt care va fi notatprin m < n, daca exista p N astfel nct n = m + p. Pe N putemintroduce relatia data de echivalenta n m n < m sau n = m.N cu aceasta relatie devine o multime total ordonata.

Pentru orice submultime nevida S a lui N exista a S astfelnct a x, pentru orice x S (i.e. orice submultime nevida a luiN are un prim element, ceea ce nseamna ca N este bine ordonata).

Un segment initial, determinat de k

N, al lui N este o sub-

multime a lui N de forma {1, 2,...,k}. O multime A se numestefinita daca este vida sau daca exista o bijectie ntre ea si un seg-ment initial al lui N. n caz contrar multimea se numeste infinita.

O multime A se numeste numarabila daca exista o bijectie ntreea si N si cel mult numarabila daca este finita sau numarabila.

40


41/544

Reuniunea unei familii finite de multimi finite este finita. Reuni-

unea unei familii cel mult numarabile de multimi cel mult numara-bile este cel mult numarabila.Orice multime infinita contine o submultime numarabila.

Bibliografie

1. Michael Artin, Algebra, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey,1991.

2. Wilfred Barnes, Introduction to abstract algebra, D. C. Heath

and Company, Lexinton, Massachusetts Toronto London, cota la bibliotecaFacultatii de Matematica si Informatica, Universitatea din Bucuresti II 258473. H. Behnke, F. Bachmann, K. Fladt, W. Sss, Fundamentals of

Mathematics, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, and London,England, cota la biblioteca Facultatii de Matematica si Informatica, Univer-sitatea din Bucuresti II 36662

4. I. Creang a, C. Cazacu, Gh. Opait, P. Minut, C. Reischer, Introduc-ere n teoria numerelor, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1965,cota la biblioteca Facultatii de Matematica si Informatica, Universitatea dinBucuresti II 11340

5. Edmund Landau, Foundations of Analysis, Chelsea Publishing

Company, New York,1960 - cota la biblioteca Facultatii de Matematica siInformatica, Universitatea din Bucuresti II 29636

6. Constantin Meghea, Bazele analizei matematice, Editura Stiintificasi Enciclopedica, Bucuresti, 1977 - cota la biblioteca Facultatii de Matematicasi Informatica, Universitatea din Bucuresti II 24668

41


42/544

MULTIMEA NUMERELOR NTREGI Z

Z ca o multime factor a lui NNgenerata de o anumita relatie de echivalenta

Adunarea si nmultirea pe ZRelatia de ordine n ZScufundarea lui N n Z

n scopul modelarii situatiilor n care ne vedem nevoiti sa lucram cu tem-peraturi inferioare celei la care ngheat

a apa, cu altitudini situate sub nivelu-

lui marii sau cu evenimente anterioare nasterii lui Christos, se introduce onoua multime de numere, numita multimea numerelor ntregi, multime careposeda o "copie" a multimii numerelor naturale.

Constructia lui Z

Faptul ca o ecuatie precum x + 3 = 2 nu are solutii n N (fapt care seconstata imediat scriind ecuatia sub forma 2 + x + 1 = 2) ne determina sancercam "largirea" multimii N astfel nct sa putem rezolva ecuatia de maisus n multimea largita. Cu alte cuvinte, vom introduce noi numere priviteca solutii ale unei ecuatii de tipul x + n = m. Vom obtine astfel multimeanumerelor ntregi, notata cu Z.

Iata cum se face acest lucru:

Definitie. Pe multimea N N definim urm atoarea relatie binar a:(m, n) (m , n) m + n = n + m .

Observatie. Definitia relatiei binare de mai sus, care se dovedeste afi o relatie de echivalent a, este natural a deoarece "ecuatiile x + n = m six + n

= m

au aceeasi solutie dac

a si numai dac

a m + n

= n + m

".

Definitie. Definim peNN dou a operatii, anume:- o adunare prin

(m, n) + (m

, n

) = (m + m

, n + n

)

42


43/544

- o nmultire prin

(m, n) (m , n) = (mm + nn , mn + nm).

Observatie. Definitiile adun arii si nmultirii de mai sus sunt naturaledac a gndim pe (m, n) ca "solutie a ecuatiei x+n = m" deoarece un "calcul"simplu arat a c a din x + n = m si y + n

= m

rezult a x + y + n + n

= m + m

si xy + mn

+ nm

= mm

+ nn

.Aceste operatii peNN sunt asociativesi comutative, iar nmultirea este

distributiv a fat a de adunare.

Definitie. Definim peNN/

dou a operatii, anume:

- o adunare prin

(m, n) +

(m

, n

) =

(m + m

, n + n

),

i.e.

(m, n) +

(m

, n

) =

(m, n) + (m

, n

)

- o nmultire prin

(m, n)

(m

, n

) =

(mm

+ nn

, mn

+ nm

),

i.e.

(m, n)

(m

, n

) =

(m, n) (m , n).

Observatie. Definitiile adun arii si nmultirii peNN/ sunt corecte,adic a nu depind de reprezentantii alesi.

Definitie. Multimea N N/ nzestrat a cu adunarea si nmultirea sedesemneaz a prinZ, iar elementele sale se numesc numere ntregi.

Observatie. Asadar un num ar ntreg este o clas a de echivalent a.

Despre adunarea si nmultirea pe Z

Se constat a cu usurint a c a adunarea nZ este asociativ a si comutativ a.

43


44/544

(1, 1)not= 0 este element neutru la adunare, i.e.

+ 0 = 0 + = ,

pentru orice Z.Pentru Z cu reprezentantul (m, n) definim =

(n, m); atunci

+ () = () + = 0,pentru orice Z, deci este opusul lui relativ la adunarea nZ.

Prin urmare (Z, +) este grup abelian.Se constat a cu usurint a c a nmultirea nZ este asociativ a, comutativ a si

distributiv a fat a de adunarea nZ.

(2, 1) not= 1 este element neutru la nmultire, i.e. 1 = 1 = ,

pentru orice Z.Proprietati.1.

0 = 0,pentru orice Z.

2.(

) =

,

pentru orice , Z.3.

()() = ,pentru orice , Z.

4. = 0 = 0 sau = 0,

pentru orice , Z.5.

= si = 0 = ,

pentru orice ,, Z.6. + = + = ,

pentru orice ,, Z.

44


45/544

Observatie

1. (Z, +, ) este domeniu de integritate.

2. nZ, ecuatia considerat a la nceputul acestei sectiuni, anumex+3 = 2are solutia 1.

Relatia de ordine pe Z

S a observ am c a elementele lui Z diferite de 0 sunt multimile de forma{(n + r, n) | n N} sau {(n, n + s) | n N}, unde r, s N.

Definitie. Spunem c a =

(u, v) Z este pozitiv dac a u > v, adic a dac aexist a r N astfel nct = {(n + r, n) | n N}.Spunem c a =

(u, v) Z este negativ dac a u < v, adic a dac a exist as N astfel nct = {(n, n + s) | n N}.

Observatie.

1. Orice num ar ntreg este fie 0, fie pozitiv, fie negativ.

2. Sumasi produsul a dou a numere ntregi pozitive sunt pozitive.

Definitie. Spunem c a num arul ntreg este mai mic dect num arulntreg si not am aceast a situatie prin < dac a exist a un num arul ntregpozitiv astfel nct + = .

Observatie. Relatia binar a peZ dat a de < sau = ,este o relatie de ordine total a.

Proprietati. Pentru orice ,, Z, avem:1. > 0 dac a si numai dac a este pozitiv2. < 0 dac a si numai dac a este negativ3. < dac a si numai dac a + < +

4. < si > 0 < 5. < si < 0 > .

45


46/544

Scufundarea lui N n Z

S a observ am c a aplicatia f : N Z dat a de

f(p) =

(1 +p, 1),

pentru orice p N, are propriet atile:

f(p + q) = f(p) + f(q)

f(pq) = f(p)f(q)

p < q

f(p) < f(q),

pentru orice p, q N.Prin urmare f este injectiv asi ca atare putem identifica p N cuf(p)

Z, deci f este o scufundare a lui N nZ.

Propozitie. Z este num arabil a.Demonstratie. Totul decurge din egalitatea

Z = {n|n N} {0} N.

Exercitiu. Sa se arate ca functia f : ZN data de

f(z) = { 2z, daca z 01 2z, daca z < 0 ,

este bijectiva.

REZUMAT

Pe multimea N N definim urmatoarea relatie binara: (m, n) (m

, n

) m + n

= n + m

.Definim pe NN doua operatii, anume: o adunare prin (m, n) +(m

, n

) = (m + m

, n + n

) si o nmultire prin (m, n) (m , n) = (mm +nn

, mn

+ nm

).

46


47/544

Definim pe N N/ doua operatii, anume: o adunare prin

(m, n) +

(m, n) =

(m, n) + (m, n) si o nmultire prin

(m, n)

(m , n) =

(m, n) (m, n).Multimea N N/ nzestrata cu adunarea si nmultirea se de-

semneaza prin Z, iar elementele sale se numesc numere ntregi.

Spunem ca =

(u, v) Z este pozitiv daca u > v, adica dacaexista r N astfel nct = {(n + r, n) | n N}.

Spunem ca =

(u, v) Z este negativ daca u < v, adica dacaexista s N astfel nct = {(n, n + s) | n N}.

Spunem ca numarul ntreg este mai mic dect numarul ntreg si notam aceasta situatie prin < daca exista un numarul ntregpozitiv astfel nct + = .

Relatia binara pe Z data de < sau = , este orelatie de ordine totala.

Aplicatia f : N Z data de

f(p) =

(1 +p, 1),

pentru orice p N este injectiva si ca atare putem identifica p Ncu f(p)

Z, deci f este o scufundare a lui N n Z.

Z este numarabila.

Bibliografie

1. Edmund Landau, Foundations of Analysis, Chelsea PublishingCompany, New York,1960 - cota la biblioteca Facultatii de Matematica siInformatica, Universitatea din Bucuresti II 29636

2. Constantin Meghea, Bazele analizei matematice, Editura Stiintificasi Enciclopedica, Bucuresti, 1977 - cota la biblioteca Facultatii de Matematica

si Informatica, Universitatea din Bucuresti II 24668

47


48/544

MULTIMEA NUMERELOR RATIONALE Q

Q ca o multime factor a lui Z Zgenerata de o anumita relatie de echivalenta

Adunarea si nmultirea pe Q(Q, +, ) este corp comutativ

Relatia de ordine pe QScufundarea lui Z n Q

Relatia de ordine pe Q nu este completaQ este numarabila

ntregii au aparut ca abstractii n procesul numararii unor colectii finite deobiecte. nsa n viata de toate zilele trebuie nu numai sa numaram obiecte individ-uale, dar sa si masuram cantitati, ca de pilda lungimea, aria, greutatea si timpul.Daca vrem sa operam cu usurinta cu rezultatele masuratorilor acestor cantitati,care admit subdivizari orict de fine, este necesar sa extindem limitele aritmeticiidincolo de ntregi. (Ce este matematica?, de R. Courant si H. Robbins, EdituraStiintifica, Bucuresti, 1969, pagina 68).

Constructia lui Q

Faptul ca o ecuatie precum x 2 = 3 nu are solutii n Z ne determina sancercam "largirea" multimii Z astfel nct sa putem rezolva ecuatia de maisus n multimea largita. Cu alte cuvinte, vom introduce noi numere priviteca solutii ale unei ecuatii de tipul x n = m. Vom obtine astfel multimeanumerelor rationale, notata cu Q.

Iata cum se face acest lucru:

Fie Z = Z {0}.Definitie. Pe multimea Z Z definim urm atoarea relatie binar a:

(p,q) (p

, q

) p q

= qp

.

Observatie. Definitia relatiei binare de mai sus, care se dovedeste a fi orelatie de echivalent a, este natural a deoarece "ecuatiile x q = p si x q = pau aceeasi solutie dac a si numai dac a p q = qp".

48


49/544

n conformitate cu traditia vom nota perechea (p,q) Z Z cu pq.

Deci pq p

q dac a si numai p q

= qp

.

Definitie. Definim peZ Z dou a operatii, anume:- o adunare prin

p

q+

p

q=

pq

+p

q

qq

- o nmultire prinp

q p

q=

pp

qq.

Observatie. Definitiile adun arii si nmultirii de mai sus sunt naturaledac a gndim pe pq ca "solutie a ecuatiei x q = p" deoarece un "calcul"simplu arat a c a din x q = p si y q = p rezult a (x + y) qq = pq +pq sixy qq = pp.

Aceste operatii peZZ sunt asociativesi comutative, iar nmultirea estedistributiv a fat a de adunare.

Definitie. Definim peZ Z/ dou a operatii, anume:- o adunare prin

p

q+

p

q =

pq

+p

q

qq ,

i.e.

p

q+

p

q=

p

q+

p

q

- o nmultire prin

p

q

p

q=

pp

qq,

i.e.

pq

p

q=

pq

p

q .

Observatie. Definitiile adun arii si nmultirii peZZ/ sunt corecte,adic a nu depind de reprezentantii alesi.

49


50/544

Definitie. MultimeaZ Z/ nzestrat a cu adunarea si nmultirea sedesemneaz a prinQ, iar elementele sale se numesc numere rationale.

Observatie. Asadar un num ar rational este o clas a de echivalent a.

Despre adunarea si nmultirea pe Q

Se constat a cu usurint a c a adunarea nQ este asociativ a si comutativ a.01

not= 0 este element neutru la adunare, i.e.

+ 0 = 0 + = ,

pentru orice Q.Pentru Q cu reprezentantul p

qdefinim =

pq; atunci

+ () = () + = 0,pentru orice Q, deci este opusul lui relativ la adunarea nQ.

Prin urmare (Q, +) este grup abelian.Se constat a cu usurint a c a nmultirea nQ este asociativ a, comutativ a si

distributiv a fat a de adunarea nQ.11

not= 1 este element neutru la nmultire, i.e.

1 = 1 = ,pentru orice Q.

Pentru Q {0}, cu reprezentantul pq, definim 1

=

q

p Q; se constat a

c a 1 = 1 = 1, pentru orice Q {0}, deci 1 este inversul lui relativ la nmultirea nQ.

Din cele de mai sus decurge urmatoarea:

Observatie. (Q, +, ) este corp comutativ.

Relatia de ordine pe Q

Definitie. Spunem c a un num ar rational =pq

Q este pozitiv (negativ)dac a pq > 0 (< 0).

50


51/544

Observatie.

1. Definitia de mai sus este corect a, adic a nu depinde de reprezentantulales.2. Orice num ar rational este fie 0, fie pozitiv, fie negativ.

Definitie. Spunem c a num arul rational este mai mic dect num arulrational , si not am aceast a situatie prin < , dac a exist a un num arrational pozitiv astfel nct + = .

Observatie. Relatia binar a peQ dat a de < sau = este o relatie de ordine total a.

Proprietati. Pentru orice ,,

Q, avem:

1. > 0 dac a si numai dac a este pozitiv;2. < 0 dac a si numai dac a este negativ;3. < dac a si numai dac a + < + ;4. > 0 si > 0 implic a > 0;5. < si > 0 < ;6. < si < 0 > ;7. dac a < , atunci multimea {x Q | < x < } este infinit a;8. ecuatia x2 = 2 nu are solutii nQ;9. exist a n N astfel nct < n.

Scufundarea lui Z n Q

S a observ am c a aplicatia f : Z Q dat a de

f(p) =

p

1,

pentru orice p Z, are propriet atile:f(p + q) = f(p) + f(q)

f(pq) = f(p)f(q)

p < q f(p) < f(q),pentru orice p, q Z.

Prin urmare f este injectiv a si ca atare putem identifica p Z cuf(p) Q, deci f este o scufundare a lui Z nQ.

51


52/544

Relatia de ordine pe Q nu este completa

Teorema. Nu orice submultime nevid a majorat a a lui Q are marginesuperioar a (i.e. relatia de ordine peQ nu este complet a).

Demonstratie. Fie

A = {x Q | x = 0, x 0, x2 < 2}.Deoarece 1 A, deducem ca A = .Evident 2 este un majorant al lui A.Nu exista a Q astfel nct a = sup A.ntr-adevar, daca presupunem contrariul, sa observam ca a 1.Ne putem plasa n una si numai una dintre urmatoarele doua situatii:

A. a2 < 2B. a2 > 2.Daca ne situam n situatia A, consideram

b =2 a2

2(a + 1)2 Q.

Vom arata ca a + b A, de unde, deoarece a este majorant al lui A,obtinem a + b a, inegalitate care conduce la contradictia b 0.

Ramne sa aratam ca a + b A, i.e.(a + b)2 < 2.

n acest scop, sa observam ca

b(a + 1)2 =2 a2

2< 1,

decib

> a2 2ac c > a2 2ac c a2c = a2 c(a + 1)2 =

=a2 + 2

2> 2.

n acest mod demonstratia este ncheiata.

Q este numarabila

Propozitie. Q este num arabil a.Demonstratie. Deoarece

Q = nN{0}

An,

undeA0 = {0}

si

An = {1n

, 1n

, 2n

, 2n

, 3n

, 3n

,...},deducem ca Q este cel mult numarabila.

Cum Q este infinita, deducem ca Q este numarabila.

53


54/544

REZUMAT

Pe multimea Z Z definim urmatoarea relatie binara: (p,q) (p

, q

) p q = qp .Definim pe ZZ doua operatii, anume: o adunare prin p

q+ p

q =

pq+p

q

qq si o nmultire prin pq p

q =

pp

qq .

Definim pe Z Z/ doua operatii, anume: o adunare prinpq

+

p

q =

pq

+ p

q si o nmultire prin

pq

p

q =

pq p

q .

Multimea Z Z/ nzestrata cu adunarea si nmultirea se de-semneaza prin Q, iar elementele sale se numesc numere rationale.

(Q, +, ) este corp comutativSpunem ca un numar rational =

pq

Q este pozitiv (negativ)daca pq > 0 (< 0).

Spunem ca numarul rational este mai mic dect numarulrational , si notam aceasta situatie prin < , daca exista unnumarul rational pozitiv astfel nct + = .

Relatia binara pe Q data de < sau = , este orelatie de ordine totala.

Aplicatia f : Z Q data de f(p) =p1

, pentru orice p N, esteinjectiva si ca atare putem identifica p Z cu f(p) Q, deci f esteo scufundare a lui Z n Q.

Corpul Q al numerelor rationale nu este complet ordonat; maiprecis, nu orice submultime nevida majorata a lui Q are marginesuperioara.Q este numarabila.

Bibliografie

1. Edmund Landau, Foundations of Analysis, Chelsea Publishing

Company, New York,1960 - cota la biblioteca Facultatii de Matematica siInformatica, Universitatea din Bucuresti II 296362. Constantin Meghea, Bazele analizei matematice, Editura Stiintifica

si Enciclopedica, Bucuresti, 1977 - cota la biblioteca Facultatii de Matematicasi Informatica, Universitatea din Bucuresti II 24668

54


55/544

MULTIMEA NUMERELOR REALE R

Taietura n QTaietura n Q de prima si de a doua speta

R ca multime factor a multimii tuturor taieturilor n QAdunarea pe R

Relatia de ordine pe Rnmultirea pe R

(R, +, ) este corp comutativScufundarea lui Q n R

Relatia de ordine pe R este completa

Consideratiile care constituie obiectul acestei mici scrieri dateaza din toamnaanului 1858. Ma gaseam pe atunci, ca profesor la Politehnica confederata de laZrich, pentru prima oara n situatia de a trebui sa expun elementele calcululuidiferential si am simtit cu aceasta ocazie, mai acut ca oricnd, lipsa unei bazestiintifice a aritmeticii. Pentru conceptul de apropiere a unei marimi variabile deo valoare limita fixa si ndeosebi pentru demonstarea propozitiei ca orice marimecare creste constant, dar nu peste orice limita, trebuie desigur sa se apropie deo valoare limita, am recurs la evidente geometrice. Si astazi socotesc aceastafolosire a intuitiei geometrice n primul stadiu al predarii calculului diferentialca extraordinar de utila, ba chiar indispensabila, din punct de vedere didactic,cnd vrem sa nu pierdem prea mult timp. Dar nimeni nu va tagadui ca acestfel de introducere n calculul diferential nu poate revendica o valoare stiintifica.Pe atunci, pentru mine acest sentiment de nesatisfactie a fost asa de puternicnct am luat hotarrea ferma sa reflectez tot timpul, pna cnd voi fi gasit ofundamentare pur aritmetica si total riguroasa a principiilor analizei infinitezimale.Se spune asa de des ca obiectul calculului diferential ar fi marimile continue sitotusi nicaieri nu se da o explicatie a acestei continuitati si chiar cele mai riguroase

expuneri ale calculului diferential nu-si bazeaza demonstratiile pe continuitate, ciele apeleaza sau la reprezentari geometrice mai mult sau mai putin constiente, saula reprezentari provocate de geometrie, sau aceste expuneri se sprijina pe propozitiicare nu sunt demonstrate niciodata pur aritmetic. Din aceasta categorie face parte,de pilda, propozitia mentionata mai sus, si o cercetare mai precisa m-a convins

55


56/544

ca aceasta propozitie, sau chiar oricare propozitie echivalenta, poate fi privita

oarecum ca un fundament suficient pentru analiza infinitezimala. Este numaivorba sa se descopere adevarata sa origine n elementele aritmeticii, si astfel sa seobtina, n acelasi timp, o definitie reala a naturii continuitatii. acest lucru mi-areusit la 24 noiembrie 1858. (Fundamentele Matematicii, Oskar Becker, EdituraStiintifica, Bucuresti, 1968, paginile 253-254).

Constructia lui R

Faptul ca o ecuatie precum x2 = 2 nu are solutii n Q ne determina sancercam "largirea" multimii Q astfel nct sa putem rezolva ecuatia de maisus n multimea largita. Vom obtine astfel multimea numerelor reale, notata

cu R.Definitie. Un cuplu (I ,I I ) de multimi disjuncte de numere rationale cu

propriet atile:1. pentru orice a I si orice a Q astfel nct a < a, avem a I;2. pentru oriceA II si oriceA Q astfel nct A < A, avemA II;3. pentru oricer Q, r > 0, exist aa I siA IIastfel nct Aa < r,

se numeste t aietur a (nQ).I se numeste prima clas a a t aieturii, iar II se numeste a doua clas a a

t aieturii.Dac a s este o t aietur a, atunci not am prima clasa a sa prin Is, iar pe cea

de-a doua prin IIs.Un num ar rational c se zice clasat n raport cu t aietura s dac a c Issau c IIs.

Aceasta notiune, n esenta sa, a fost introdusa de Dedekind, n 1872,ntr-un articol intitulat "Stetigkeit und irrazionale Zahlen".

Nota istorica. Richard Dededekind s-a nascut n 1831 la Braunschweig,Germania. A frecventat scoala Martino-Catharineum din Brunswick unde,pentru nceput, acorda o atentie sporita fizicii si chimiei. Ulterior atentia sase ndreapta catre matematica. n 1850 se nscrie la Universitatea din Gt-

tingen, avnd o solida pregatire matematica dobndita n timpul frecventarii,ncepnd cu anul 1848, a colegiului Carolinum. La Gttingen i are ca profe-sori pe Gauss, Dirichlet si pe Weber. n 1852 obtine de la aceasta universitateun doctorat, sub directia lui Gauss. n 1855 devine titularul catedrei ramaselibere prin moartea lui Gauss. Din 1858 se muta la Politehnica din Zrich.

56


57/544

Aici, prednd pentru prima data un curs de calcul diferential si integral, este

condus la constructia numerelor reale prin taieturi. Din 1860 devine pro-fesor la Politehnica din Brunswick, de unde se si pensioneaza n 1894. Ela introdus notiunea de ideal, notiune care este de o importanta capitala nalgebra. Pe lnga conceptele introduse si rezultatele obtinute, Dedekind amarcat matematica prin abilitatea sa de a-si exprima extrem de clar ideile,fapt care a introdus un nou stil n matematica, stil care a avut o influentamajora asupra generatiilor urmatoare de matematicieni. A fost membru alAcademiei din Gttingen (din 1862), a celei din Berlin (din 1880), al celeidin Roma, precum si al Academiei de Stiinte din Paris (din 1900). A muritn 1916.

Dedekind ramne n istoria matematicii prin cel putin doua contributii

esentiale, anume prin definirea numerelor irationale cu ajutorul taieturilor siprin introducerea notiunii de ideal.

Lema. Fie I ,I I Q astfel nct I II = , I ,I I = si I II = Q.Dac a sunt verificate conditiile 1 si 2 din definitia t aieturii, atunci (I ,I I )

este o t aietur a.

Proprietati. Fie s o t aietur a.1. Dac a a Is si A IIs, atunci a < A.2. Exist a cel mult un num ar rational neclasat n raport cu s.3. Dac a l

Q nu este clasat n raport cu s, atunci

Is = {a Q |a < l}si

IIs = {A Q |l < A}.4. Dac a toate numerele rationale sunt clasate n raport cu s, atunci ne

situ am n unul si numai unul dintre cazurile urm atoare:a) Is are un cel mai mare element & IIs nu are un cel mai mic element;b) Is nu are un cel mai mare element & IIs are un cel mai mic element;c) Is nu are un cel mai mare element & IIs nu are un cel mai mic element.

Definitie. O t aietur a s n raport cu care toate numerele rationale suntclasate si astfel nct Is nu are un cel mai mare element si IIs nu are un celmai mic element, se numeste t aietur a de speta a doua.

O t aietur a n Q care nu este de speta a doua, se numeste t aietur a deprima spet a.

57


58/544

Exemple:

1. (I ,I I ), undeI = {a Q | a 0} {a Q | a > 0 si a2 < 2}

siII = {A Q | 2 < A2},

este o taietura de speta a doua.2. Pentru r Q, cuplurile

({a Q | a < r}, {A Q | r A}),

({a Q | a r}, {A Q | r < A})si

({a Q | a < r}, {A Q | r < A})sunt taieturi de prima speta, numite taieturile determinate de r.

Vom nota oricare dintre aceste trei t aieturi cu (r).

Propozitie. Dac a l, l Q si l = l, atunci (l) = (l).

Propozitie. Orice t aietur a de prima spet a este o t aietur a determinat ade un num ar rational.

Propozitie. Fie l Q si s o t aietur a nQ. Dac a pentru orice a Issi orice A IIs, avem a l A, atunci s este una dintre t aieturiledeterminate de l.

Notatie. Prin vom desemna multimea t aieturilor nQ.

Observatie. Relatia binar a pe dat a de:

s tdac a (s = t atunci cnd s si t sunt de speta a doua) sau (s si t sunt

determinate de acelasi num ar rational atunci cnd s si t sunt de prima spet a)este o relatie de echivalent a.

Notatie. Multimea / se va nota cuR, iar elementele sale se numescnumere reale.

58


59/544

Observatie. Pentru r Q, not am cu r clasa de echivalent a a uneit aieturi nQ determinate de r.

Evident, r = r

dac a si numai dac ar =

r, unde r, r

Q.

Adunarea pe R

Definitie. Pe definim o adunare astfel:dac a s, t , atunci

s + t = (Is+t, IIs+t),

undeIs+t = {a + b | a Is si b It}

siIIs+t = {A + B | A IIs si B IIt}.

Se constat a c a s + t .

Observatie. Dac a s , atunci ({A | A IIs}, {a | a Is}) este ot aietur a notat a cu s.

Dac a s este determinat a de r Q, atunci s este determinat a de r.

Propozitie. Dac a s, s

sunt determinate de r, respectiv r

, atuncis + s

este determinat a de r + r

.

Propozitie. Fie

s = ({a Q | a l}, {A Q | l < A}),

s

= ({a Q | a < l}, {A Q | l A})si

s

= ({a Q | a < l}, {A Q | l < A})

cele trei t aieturi nQ determinate de l Q, iar t o t aietur a nQ de spetaa doua.Atunci

s + t = s

+ t = s

+ t.

59


60/544

Definitie. Definim adunarea peR prin:

s +

t =

s + t,

unde s, t .Observatie. Ultimele dou a propozitii arat a c a adunarea peR este bine

definit a. Evident ea este asociativ a si comutativ a.

Propozitie. Dac a 0 este clasa de echivalent a a unei t aieturi nQ deter-minate de 0 Q, atunci

+ 0 = 0 + = ,

pentru orice R.

Propozitie. Dac a =s, unde s , not am = s.

Atunci + () = () + = 0,

pentru orice R.Observatie. PeR se poate defini operatia de sc adere astfel:

x

y

def= x + (

y),

pentru orice x, y R.Observatie. (R, +) este grup abelian.

Relatia de ordine pe R

Definitie. O t aietur a nQ se numeste pozitiv a (negativ a) atunci cnd nprima clas a (n a doua clas a) a sa se afl a un num ar rational pozitiv (negativ).

Notatie. Vom nota cu + multimea t aieturilor pozitive.

Propozitie. O t aietur a nQ este fie pozitiv a, fie negativ a, fie determi-nat a de 0.

Propozitie. Dac a s este una dintre t aieturile determinate de l Q,atunci s este pozitiv a (negativ a) dac a si numai dac a l > 0 (l < 0).

60


61/544


62/544

2. Dac a l, l Q astfel nct l < l , atunci orice t aietur a determinat a de

l este mai mic a dect orice t aietur a determinat a de l

.3. Fie =s R, unde s ; atunci:

a) a Is a b) A IIs

A.4. Pentru orice , R, astfel nct < , exist a l Q astfel nct

0 si b It, b > 0}

siIIs+t = {AB | A IIs si B IIt}.

Se constat a c a s t .

Observatie. Se constat a c a s t este pozitiv a si c a nmultirea n + esteasociativ a si comutativ a.

Observatie. Pentru s +, definim t aietura, notat a s1, dat a de(Is1, IIs1), unde

Is1 = {x Q | x 0} { 1A

| A IIs}

si

IIs1 = {1a

| a Is si a > 0}.

62


63/544

Evident s1 +.Proprietati.1. Dac a s +, atunci s s1 = (1).2. Dac a s,t,u +, atunci s (t + u) = s t + s u.3. Dac a s, s

si s

sunt cele trei t aieturi determinate der Q, r > 0, iart este o t aietur a de speta a doua, atunci s t = s t = s

t este o t aietur ade speta a doua.

4. Dac a r, r Q, r, r > 0, atunci (r) (r) = (rr).

Definitie. Definim nmultirea nR astfel:

= {

st, , > 0 (), > 0, < 0() , < 0, > 0

() (), < 0, < 00, = 0 sau = 0

,

unde =s si =

t, s, t .

Observatie.1. Definitia de mai sus este corect a.2. Pentru orice ,

R, avem:

= 0 dac a si numai dac a = 0 sau

= 0.3. Regula semnelor:

= () ()si

() = () = ,pentru orice , R.

4. nmultirea n R este asociativ a, comutativ a si distributiv a fat a deadunarea nR.

Proprietati.1.

1 = ,pentru orice R.

63


64/544

2. Pentru orice R {0}, exist a 1 R, astfel nct

1

=

1.

deci (R {0}, ) este grup comutativ.3.

(+ ) = + ,pentru orice ,, R.

4. Pentru orice , R, avem:, > 0 > 0.

Prin urmare, pentru orice , R si pentru orice y R, y 0, avem y y .

Observatie. PeR se poate defini operatia de mpartire astfel:

x

y

def= x 1

y,

pentru orice x, y R, y = 0.

Remarca. (R, +, ) este corp comutativ.Scufundarea lui Q n R

S a observ am c a aplicatia f : Q R dat a de

f(r) =r,

pentru orice r Q, are propriet atile:f(r + r

) = f(r) + f(r

),

f(rr

) = f(r)f(r

),

r < r f(r) < f(r),

pentru orice r, r Q.

64


65/544

Prin urmare f este injectiv asi ca atare putem identifica r Q cuf(r) R, deci f este o scufundare a luiQ nR.

Definitie. Elementele multimiiR f(Q) se numesc numere irationale.

Relatia de ordine pe R este completa

Teorema (care marcheaza una dintre deosebirile esentiale dintreQ si R) Orice submultime nevid a majorat a a luiR are margine superioar a(i.e. relatia de ordine peR este complet a).

Demonstratie. Fie A o submultime nevida majorata a lui R.Prin urmare, exista Q astfel nct

x ,pentru orice x A.

FieI = {r Q | exista x A astfel nct r < x}

siII = {r Q | x r, pentru orice x A}.

Sa observam ca II = (deoarece II), I II = , I II = Q sica sunt verificate primele doua proprietati din definitia taieturii, deci (I ,I I )

este o taietura pe care o vom nota cu s.Fie M =s.

Vom arata ca M este marginea superioara a lui A.ntr-adevar, M este majorant al lui A, deoarece, n caz contrar, exista

x A astfel nct M < x. Atunci exista r Q astfel nct M < r < x, decir I si drept urmare obtinem contradictia r M.

De asemenea M este cel mai mic majorant al lui A.ntr-adevar, daca presupunem ca exista M1 majorant al lui A, astfel nct

M1 < M, alegem r Q astfel nct M1 < r < M. Atunci r II (deoarecex M1 < r , pentru orice x A), de unde contradictia M r.

65


66/544

REZUMAT

Un cuplu (I ,I I ) de multimi disjuncte de numere rationale cuproprietatile:

1. pentru orice a I si orice a Q astfel nct a < a, avema I;

2. pentru orice A II si orice A Q astfel nct A < A, avemA

II;3. pentru orice r Q, r > 0, exista a I si A II astfel nct

A a < r,se numeste taietura (n Q).I se numeste prima clasa a taieturii, iar II se numeste a doua

clasa a taieturii.Daca s este o taietura, atunci notam prima clasa a sa prin Is,

iar pe cea de-a doua prin IIs.Un numar rational c se zice clasat n raport cu taietura s daca

c Is sau c IIs.O taietura s, n raport cu care toate numerele rationale sunt

clasate si astfel nct Is nu are un cel mai mare element si IIs nuare un cel mai mic element, se numeste taietura de speta a doua.O taietura n Q care nu este de speta a doua, se numeste taieturade prima speta.

Pentru r Q, cuplurile ({a Q | a < r}, {A Q | r A}),({a Q | a r}, {A Q | r < A}), si ({a Q | a < r}, {A Q | r < A})sunt taieturi de prima speta, numite taieturile determinate de r.Vom nota oricare dintre aceste trei taieturi cu (r).

Prin vom desemna multimea taieturilor nQ. Relatia binara pe data de: s t daca (s = t atunci cnd s si t sunt de speta a doua)sau (s si t sunt determinate de acelasi numar rational atunci cnds si t sunt de prima speta), este o relatie de echivalenta. Multimea/ se va nota cu R, iar elementele sale se numesc numere reale.Pentru r Q, notam cu r clasa de echivalenta a unei taieturi n Q

determinate de r.Pe definim o adunare astfel: daca s, t , atunci s + t =(Is+t, IIs+t), unde Is+t = {a+b | a Is si b It} si IIs+t = {A+B | A IIssi B IIt}.

Definim adunarea pe R prin:s +

t =

s + t,unde s, t .

66


67/544

O taietura n Q se numeste pozitiva (negativa) atunci cnd n

prima clasa (n a doua clasa) a sa se afla un numar rational pozitiv(negativ). Vom nota cu + multimea taieturilor pozitive.Un numar real se numeste pozitiv (negativ) atunci cnd are ca

reprezentant o taietura pozitiva (negativa).Definim peR urmatoarea relatie bi

curs-analiza-2008-2009 last version2

Documents