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DOCUMENTOS DE TRABAJO FCEA
ISSN 1909-4469 / ISSNe 2422-4642
Departamento de Economía
Valoración de Opciones Call Asiáticas
Promedio Aritmético bajo Movimiento Browniano
Logístico
Susana Alvarez Diez Samuel Baixauli
Luis Eduardo Girón
Año 2019 No.46
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas, FCEA
DOCUMENTOS DE TRABAJO FCEA
ISSN 1909-4469 / ISSNe 2422-4642
Documento de Trabajo FCEA
ISSN 1909-4469 / ISSNe 2422-4642
Año 2019 No. 46
Valoración de Opciones Call Asiáticas Promedio Aritmético bajo Movimiento Browniano Logístico Autores: Susana Alvarez Diez Samuel Baixauli Luis Eduardo Girón [[email protected] ]
Departamento de Economía
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Enero de 2019
La serie de Documentos de Trabajo FCEA pone a disposición para el análisis, discusión y retroalimentación de la comunidad académica los avances y
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Las opiniones expresadas en este documento son de exclusiva responsabilidad de los autores y no comprometen institucionalmente a la Facultad de
Ciencias Económicas y Administrativas, ni a la Pontificia Universidad Javeriana Cali.
Año 2019 No.46
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Valoracion de Opciones Call Standar y AsiaticasPromedio Aritmetico bajo Movimiento Browniano
Logistico
Evaluation of Call Options Standard and AsianAverage Arithmetic under Brownian Logistic
Movement
Susana Alvarez Diez*
Samuel Baixauli**
Luis Eduardo Giron***
20 de junio de 2019
Resumen
En el presente trabajo se valora una opcion call estandar y una opcion call asiaticapromedio aritmetico europea estrike fijo, asumiendo que el movimiento Brownianose ajusta a una distribucion logistica. Los resultados obtenidos se comparan con losobtenidos cuando se asume que el movimiento Browniano sigue una distribucon nor-mal. El metodo numerico estocastico utilizado es Euler Maruyama, por ser un metodosimple. Dado que la opcion asiatica no tiene una solucion explıcita, se simulan 10.000trayectorias con particiones de 2−12 y se hace uso de la medida de riesgo neutral. Losresultados obtenidos muestran una consistencia con los obtenidos con un movimientoBrowniano ajustado a una distribucion normal, en el sentido que el valor de la call dela opcion estandar es superior al valor de la opcion call asiatica promedio aritmetico,ademas se observa como lo sugiere la teorıa una subvaloracion del precio de la opcionestandar cuando se asume normalidad frente a cuando se asume una distribucion lo-gistica.
*Universidad de Murcia**Universidad de Murcia
***Pontificia Universidad Javeriana Cali, Calle 18 No 118-250 Cali, Colombia, Telefono (+57-2)321 82 00Ext 8341. E-mail:[email protected]
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Abstract
In this paper, a standard call option and a fixed arithmetic European averagecall option are evaluated, assuming that the Brownian movement adjusts to a logisticdistribution. The findings are compared with those obtained when it is assumed that theBrownian movement follows a normal distribution. The stochastic numerical methodused is Euler Maruyama. Since the Asian option does not have an explicit solution,10,000 trajectories with partitions of 2−12 are simulated and the neutral risk measureis used. The results obtained show a consistency with those obtained with a Brownianmovement adjusted to a normal distribution, in the sense that the call value of thestandard option is higher than the value of the arithmetic average Asian call option.In addition, as it is suggested by the theory we observe a price undervaluation of thestandard option when normality is assumed compared with the case in which a logisticdistribution is assumed.
1. Introduccion
Una opcion es un derivado y se define como un contrato que da derecho a su poseedora comprar o vender un activo a un precio determinado durante un perıodo o en una fechaprefijada. Si la opcion puede ejercerse en cualquier momento dentro del periodo del contrato,la opcion se denomina americana. Si la opcion puede ejercerse solo en el vencimiento delcontrato la opcion se denomina europea. El precio pagado por el activo cuando la opcion seejerce se denomina estrike o precio de ejercicio. El ultimo dia que la opcion puede ejercer sedenomina fecha de vencimiento, (Black y Scholes, 1973).
Los factores que influyen en el valor de la prima de una opcion pueden ser exogenosy endogenos. Los factores exogenos, son aquellos que los determina el mercado, mientraslos endogenos estan incorporados dentro del contrato. Los factores exogenos son: El preciodel activo subyacente, la variacion o volatilidad del precio del activo subyacente, la tasa deinteres libre de riesgo y los dividendos generados por el subyacente a lo largo del contrato.Dentro de los factores endogenos se encuentran: La duracion del contrato de la opcion y elprecio de ejercicio o estrike.
(Black y Scholes, 1973) asumiendo condiciones ideales para el mercado de activos yopciones, desarrollaron las formulas para valorar el precio teorico de la prima de una opcioncall y una opcion put europea cuando la accion no paga dividendos.
Actualmente han aparecido las denominadas opciones exoticas o de segunda generacioncuyo pago depende por lo general de la trayectoria del activo subyacente y del estrike o preciode ejercicio, y no como sucede con las opciones tradicionales o vanilla la cuales dependen delvalor final de dicho activo al vencimiento del contrato y del estrike. Las opciones exoticassurgen como una alternativa mas barata, principalmente en aquellos casos que el activo suby-acente de la opcion estandar presenta alta volatilidad lo que origina que el precio de la primade dichas opciones sea muy alto (Garcıa y et. al, s.f.). Las opciones exotica igual que lastradicionales se constituyen en instrumentos de cobertura en el diseno de la gestion del riesgo.
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Una de las opciones exoticas de mayor liquidez y uso principalmente para transaccionescon commodities es la opcion asiatica promedio aritmetico, la cual genera dos funciones depago, la primera, en la cual el precio del activo al finalizar el contrato se asume como elpromedio del precio de dicho activo calculado sobre algun perıodo definido entre las partes(estrike fijo). La segunda, en la cual el estrike o precio de ejercicio al finalizar el contrato seasume como el promedio aritmetico del precio de dicho activo calculado sobre algun perıododefinido entre las partes (estrike flotante).
El modelo de (Black y Scholes, 1973), presenta dos problemas fundamentales, el primerotiene que ver con la no constancia de la volatilidad de los retornos del activo y el segundoque los precios del activo subyacente no se ajustan a una distribucion log normal o susretornos no se distribuyen normalmente. El no cumplimiento de los dos supuestos anterioresgenera que los precios de las opciones calculadas con la formula de (Black y Scholes, 1973)no coincidan con los calculados por el mercado.
La no normalidad de los retornos de los activos financieros ha sido validada empıricamentedesde anos atras a traves de diversas investigaciones, (Fama, 1965),(Smith, 1981),(Gray yFrench, 1990), (Bollerslev, Engle, y Nelson, 1994), (Peiro, 1994), (Aparicio y Estrada, 2001) y(Harris y Kucukozmen, 2001). Los resultados obtenidos han demostrado que los retornos delos activos no se distribuyen normalmente, pues la distribucion de dichos retornos presentancolas pesadas y son leptocurticos. Algunos estudios como el de (Smith, 1981) han sugeridoque los retornos de los activos pueden representarse mejor por una distribucon logisticala cual tiene colas mas pesadas que la normal y es leptocurtica. En el presente trabajo sepretende valorar por primera vez una opcion call estandar y una opcion call asiatica promedioaritmetico europea estrike fijo, asumiendo que los retornos del activo subyacente se ajustana una distribucion logistica.
Este documento esta conformado por 6 secciones adicionales. En la seccion dos se desarrol-la la revision bibliografica de la literatura existente alrededor de la valoracion de opciones callasiaticas promedio aritmetico europeas estrike fijo utilizando otro tipo de distribuciones paralos retornos distintas a la distribucion normal. En la seccion tres se presentan el marco teori-co utilizado para la presente investigacion. En la seccion cuatro se presenta la metodologıautilizada, en la seccion cinco se presentan y discuten los resultados y en la seccion seis sepresentan las conclusiones, alcances y limitaciones del estudio.
2. Revision Bibliografica
Uno de los supuestos del modelo de (Black y Scholes, 1973), es que el precio del activosubyacente sigue una distribucion log-normal o que los retornos se distribuyen normalmente,el rompimiento de este supuesto trae implicaciones en la valoracion de la call, algunos autores,entre otros, que han estudiado las consecuencias del no cumplimiento de normalidad y quehan propuesto otro tipo de distribuciones son:
(Cox y Ross, 1976), consideran una variedad de procesos estocasticos de difusion en
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tiempo continuo con saltos para la dinamica del activo subyacente, y aplican una tecnicaintuitiva de valoracion de opciones desarrollada por ellos, coherente con el proceso estocasticopropuesto. Por otro lado, demuestran que cuando el salto es fijo, es posible disenar una carteraque replica la posicion sin riesgo la cual puede ser utilizada para valorar opciones cuando elproceso del activo subyacente es de saltos. Adicionalmente, la tecnica de valoracion propuestapor (Cox y Ross, 1976), permite valorar opciones en otros ambitos, como por ejemplo cuandoel activo paga dividendos.
(Merton, 1976)Merton (1976), propone una formula de valoracion de opciones mas generalque la de (Black y Scholes, 1973), pues esta incorpora un proceso de difusion con saltos. Aligual que (Black y Scholes, 1973) la formula propuesta no depende de las preferencias de losinversores ni del retorno esperado del activo. La propuesta surge porque el modelo de (Blacky Scholes, 1973) es valido solo si en un corto intervalo de tiempo el precio del activo puedecambiar una pequena cantidad, es decir, si no hay movimientos inesperados en el Mercado.Sin embargo cuando llega informacion nueva sobre el activo esto produce en ocasiones grandesmovimientos en el precio del mismo los cuales no son capturados por el modelo de (Blacky Scholes, 1973). Como la nueva informacion llega en momentos discretos del tiempo estacomponente se modela con procesos de saltos reflejando el efecto extraordinario que tiene lanueva informacion sobre los precios.
Los modelos de difusion con saltos no permiten que el mercado sea completo, porque lossaltos representan una nueva fuente de incertidumbre y por tanto de riesgo, lo que originabajo el supuesto de no arbitraje la imposibilidad de obtener un precio unico para la opcioncall.
(Jarrow y Rudd, 1982), proponen un metodo que consiste en aproximarse a una distribu-cion dada, por medio de una distribucion arbitraria usando la tecnica de expansion de seriesgeneralizada de Edgeworth, en la cual los coeficientes son simples funciones de los momentosde la distribucion dada y aproximada. Bajo este metodo de valoracion el precio de la op-cion encontrado utilizando la formula de (Black y Scholes, 1973), es ajustado sumandole losterminos ajustados que dependen de los momentos de segundo orden y de orden superior delproceso estocastico que rige al precio activo subyacente. Esta metodologıa permite evaluarel impacto que tiene sobre el precio de la opcion, la asimetrıa y la curtosis de la distribuciondel activo subyacente.
(Corrado y Su, 1997), desarrollan de una manera simple un metodo para ampliar elmodelo de (Black y Scholes, 1973), teniendo en cuenta el sesgo originado por la asimetrıay la kurtosis de las distribuciones no normales de los retornos de los activos. El metodoesta basado en una adaptacion de la expansion de series de Gram Charlier de la funcion dedensidad normal para obtener los terminos de simetrıa y la kurtosis que ajustan la formula de(Black y Scholes, 1973). Usando informacion sobre los retornos del ındice S&P500, encuentraque tanto la asimetrıa como la kurtosis no son normales encontrandose implıcitas en el precio
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de la opciones. Los resultados obtenidos por (Corrado y Su, 1997) fuera de la muestra paraopciones sobre el ındice S&P500 son mucho mejores a los obtenidos con (Black y Scholes,1973).
(Backus, Foresi, y Li, s.f.), desarrollan un trabajo parecido al de (Jarrow y Rudd, 1982)pero el metodo utilizado es el de la expansion de series de Gram Charlier. Su objetivo esevaluar el impacto del no cumplimiento del supuesto de lognormalidad del precio del activosubyacente de la opcion. Adicionalmente analizan la relacion que se presenta entre la formade la sonrisa de volatilidad, la asimetrıa y kurtosis del proceso logaritmo del precio del activosubyacente, sugiriendo que la sonrisa de volatilidad y los momentos de orden alto como laasimetrıa y la kurtosis varıan con el vencimiento de la de la opcion y que la presencia decolas gruesas y volatilidad estocastica inciden en el velocidad de decaimiento de la kurtosispara un vencimiento dado, el cual puede inferirse del precio de las opciones.
(Londono y Sandoval, 2015), modelan el precio de las acciones y la volatilidad utilizandoun sistema bidimensional de ecuaciones diferenciales estocasticas impulsadas por un soloproceso de Wiener. A partir de la ecuacion logistica deterministica extiende la ecuacionestocastica del precio para deducir la volatilidad estocastica del mismo. Para evaluar lacalibracion de los resultados del modelo propuesto toma como punto de referencia el modelode (Heston, 1993). Los resultados obtenidos con el modelo propuesto se ajustan mejor quelos de este ultimo, principalmente en perıodos de alta volatilidad, siendo esto una ventajateniendo en cuenta que el numero de parametros a estimar en (Heston, 1993) es bastanteelevado.
(Vecer y Xu, 2004), estudian la valoracion de opciones aritmeticas asiaticas cuando elprecio del activo subyacente esta impulsado por procesos semimartingale especiales.
(Fusai y Meucci, 2008), valoran opciones asiaticas cuando el subyacente evoluciona segunun proceso generico de Levy. Para las opciones geometricas asiaticas proporcionan solucionescerradas en terminos de la transformada de Fourier y estudian en particular estas formulas enel caso Levy-estable. Para las opciones asiaticas promedio aritmetico, resolven el problemade valoracion mediante integracion recursiva y derivan una formula teorica recursiva paralos momentos para verificar la precision de los resultados.
(Zhang y Oosterlee, 2013), Proponen un metodo de valoracion eficiente para las op-ciones aritmeticas y geometricas asiaticas bajo procesos exponenciales de Levy basados enexpansiones de coseno de Fourier y cuadratura de Clenshaw-Curtis. El metodo de fijacionde precios se desarrolla para las opciones asiaticas al estilo europeo y al estilo americano ypara las versiones monitoreadas discreta y continuamente.
(Cai y Kou, 2012), Obtienen una solucion de forma cerrada para la doble transformadade Laplace de las opciones asiaticas bajo el modelo de difusion de salto hiperexponencial.El enfoque es mas simple puesto que utilizan basicamente la formula de Ito y no necesitanresultados mas avanzados como los procesos de Bessel y la representacion de Lamperti. Losresultados numericos indican que el metodo propuesto es rapido, estable y preciso; y funciona
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bien incluso en el caso de bajas volatilidadesDe acuerdo a lo anterior, en la literatura financiera no se ha abordado la distribucion
logistica para los retornos en la valoracion de opciones call estandar y opciones call asiaticaspromedio aritmetico, lo cual se pretende realizar en el presente estudio.
3. Marco Teorico
En esta seccion se presentan el marco teorico utilizado en esta investigacion. Las defini-ciones estandar utilizadas en esta seccion relacionadas a procesos estocasticos en tiempocontinuo, calculo estocastico, ecuaciones diferenciales estocasticas y metodos numericos es-tocasticos pueden encontrarse en: (Karatzas y Shreve, 2012),(Korn y Korn, 2001), (Shreve,2004) y (Kloeden y Platen, 1999).
Movimiento Browniano Logistico
.Un movimiento Browniano logidtico es un proceso estocastico Wtt≥0 que cumple las
siguintes condiciones:
El proceso inicia en cero, con una probabilidad de 1, es decir; P (ω ∈ Ω|W0 (ω) = 0) =1
Las trayectorias del proceso estocastico Wtt≥0 son continuas.
Los cambios que presenta la variable W asociada al proceso en dos periodos distintosde tiempo son independientes.
Los cambios en la variable aleatoria W ; ∆W = W (t) −W (s), se distribuyen logis-ticamente con media cero y varianza t − s, es decir: 4W v L (0, t− s), o sea que4W v
√t− sL (0, 1).
El incremento W (t)−W (s) es independiente de la filtracion Fs, si 0 ≤ s ≤ t. Es decir,cualquier incremento del movimiento Browniano despues del tiempo s, es independientede la informacion disponible hasta el tiempo s.
Formula de Ito Doeblin para el movimiento Browniano
. La formula de Ito en calculo estocastico es analoga a la regla de la cadena en calculotradicional, aunque esta se expresa en forma de diferencial para un mas facil entendimiento.Sea f(t,x) una funcion para la cual las derivadas parciales ft(t, x), fx(t, x) y fxx(t, x) estandefinidas y continuas , y sea W(t) un movimiento Browniano , entonces para todo T ≥ 0, laformula de Ito Doeblin para el movimiento Browniano puede presentarse en forma de unaintegral estocastica como sigue:
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f(T,W (T )) = f(0,W (0))+
∫ T
0
ft(t,W (t))dt+
∫ T
0
fx(t,W (t))dW (t)+1
2
∫ T
0
fxx(t,W (t))d(t).
(1)o en forma de una ecuacion diferencial estocastica como sigue
df(t,W (t)) = ft(t,W (t))dt+ fx(t,W (t))dW (t) +1
2fxx(t,W (t))d(t) (2)
Formula de Ito Doeblin para un proceso estocastico en general
.Sea un proceso estocastico de Ito, el cual tiene la siguiente estructura en terminos de una
integral estocastica
X(t) = X(0) +
∫ t
0
M (u)dW (u) +
∫ t
0
Θ(u)d(u) (3)
Donde X(0) es no aleatorio y M (u) y Θ(u) son procesos estocasticos adaptados. En terminosde una ecuacion diferencial estocastica el proceso de Ito se puede expresar de la siguienteforma
dX(t) =M (t)dW (t) + Θ(t)d(t) (4)
La formula de Ito para un proceso estocastico general que no presenta salto inesperados,viene dada en forma integral por:
f(T,X(T )) = f(0, X(0)) +
∫ T
0
ft(t,X(t))dt+
∫ T
0
fx(t,X(t)) M (t)dW (t)
+
∫ T
0
fx(t,X(t))Θ(t)d(t) +1
2
∫ T
0
fxx(t,X(t)) M2 (t)d(t) (5)
En forma diferencial, la cual es mas facil de recordar se expresa como:
df(t,X(t)) = ft(t,X(t))dt+fx(t,X(t)) M (t)dW (t)+fx(t,X(t))Θ(t)d(t)+1
2fxx(t,X(t)) M2 (t)d(t)
(6)
Ecuaciones diferenciales estocasticas unidimensionales
.Las ecuaciones diferenciales estocasticas de ahora en adelante (E.D.E), al igual que las
ecuaciones diferenciales deterministas de ahora en adelante (E.D.D), permiten describir ladinamica a lo largo del tiempo de un fenomeno determinado. La diferencia fundamental
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entre una E.D.E y E.D.D, es que las primeras incorporan en su estructura una componentealeatoria denominada en ocasiones ruido. La estructura de una E.D.E es:
dX(t) = a (t, X(t)) + b (t, X(t)) dW (t) (7)
Donde a (t, X(t)) y b (t, X(t)) son dos funciones Borel medibles definidas de <+×< → <,con condicion inicial la variable X(0), la cual se asume F0 medible e independiente delmovimiento Browniano Logistico W (t).
Una forma alterna de presentar la E.D.E anterior es a traves de la siguiente ecuacionintegral estocastica:
X(t) = X(0) +
∫ t
0
a (s, X(s)) ds+
∫ t
0
b (s, X(s)) dW (s) (8)
Al proceso X(t) se denomina proceso de Ito. Las funciones a (t, X(t)) y b (t, X(t)) son loscoeficientes de tendencia y difusion respectivamente.
Una E.D.E tiene solucion fuerte unica si se satisfacen las condiciones:
1. Condicion de Lipschitz: Existe una constante K que no depende de t, tal que:
|a (x, t)− a (y, t)| ≤ K | x− y | ∀x, y ∈ < (9)
|b (x, t)− b (y, t)| ≤ K |x− y| ∀x, y ∈ < (10)
2. Condicion de crecimiento acotado: Para alguna constante K que no depende det, la condicion de crecimiento en x,
|a (x, t)|2 < K2(1 + |X|2
)(11)
y|b (x, t)|2 ≤ K2
(1+ | x |2
)(12)
donde K es una constante positiva bajo estas condiciones, el proceso estocastico solucionX(t)t≥0 de la ecuacion diferencial (1) tiene entre otras propiedades:
1. Es un proceso adaptado de la filtracion FWt .
2. Es un proceso cuya trayectoria son continuas.
3. Es acotado en L2 (p).
Metodo de la medida de riesgo neutral para valorar opciones es-tandar B-S
En esta subseccion se desarrollan los fundamentos de la valoracion de una opcion estandarutilizando la medida de riesgo neutral. Siguiendo a (Shreve, 2004), se muestran las ecuacionesque representan la dinamica tanto del precio del activo descontado y no decontado, como dela riqueza descontada y no descontada.
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Proceso precio del activo bajo la medida de riesgo neutral
Sea W(t), 0 ≤ t ≤ T , un movimiento Browniano definido en un espacio de probabilidad(Ω,F , P ) y sea F (t) 0 ≤ t ≤ T , una filtracion para dicho movimiento Browniano. Supong-amos que la ecuacion diferencial estocastica que modela la dinamica del proceso precio delactivo subyacente viene dada por:
dS(t) = α(t)S(t)dt+ σ(t)S(t)dW (t) (13)
donde: α(t) representa el rendimiento esperado del activo, y σ(t) la volatilidad, siendo ambosprocesos estocasticos adaptados. Observese, que precio del activo presentado en la ecuacion(13) es un movimiento Browniano geometrico generalizado.
S(t) = S(0)exp
∫ t
t0
(σ(s)dW (s)) +
∫ t
t0
(α(s)− 1
2σ2(s))ds
(14)
Ahora bien, sabemos que el α(t) de la ecuacion (13) representa el rendimiento esperado delactivo en el tiempo t, el cual esta afectado por las preferencias al riesgo de los inversores,quienes exigiran una prima de riesgo mayor en la medida que aumente su aversion al riesgo.Para considerar que todos los inversores son neutrales al riesgo y que el rendimiento esperadopor ellos es la tasa de interes libre de riesgo, la ecuacion (13) debe transformarse de lasiguiente manera: Sea
D(t) = exp−∫ t0 R(s)ds (15)
Donde: D(t) es un factor de descuento en tiempo continuo, R(t) es el proceso adaptadotasa de interes y dD(t) = −R(t)D(t)dt. Por lo tanto, el precio del activo S(t) descontadoviene dado por el producto de las expresiones (14) y (15), es decir:
D(t)S(t) = S(0)exp
∫ t
t0
(σ(s)dW (s)) +
∫ t
t0
(α(s)−R(s)− 1
2σ2(s))ds
(16)
Aplicando la regla Ito para el producto a partir de las expresiones (14) y (15), se obtiene laecuacion diferencial para el precio descontado, la cual viene dado por:
d(D(t)S(t)) = (α(t)−R(t))D(t)S(t)dt+ σ(t)D(t)S(t)dW (t)) (17)
multiplicando y dividiendo el primer termino de la derecha de (17) por σ(t) y factorizandose tiene que:
d(D(t)S(t)) = σ(t)D(t)S(t) [Θ(t)dt+ dW (t)] (18)
Donde:
Θ(t) =α(t)−R(t)
σ(t)(19)
Θ(t), se define como el precio de mercado del riesgo. Observese en la expresion (17) que latasa media de retorno del activo sin descuento S(t) se reduce en una cantidad R(t), mientrasla volatilidad del proceso precio del activo descontado y no descontando es la misma. Ahora
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bien, haciendo dW = Θ(t)dt + dW (t), donde dW (t) es un movimiento Browniano bajo lamedida de riesgo neutral, se tiene:
d(D(t)S(t)) = σ(t)D(t)S(t)dW (t) (20)
Siendo el precio descontado bajo la medida de riesgo neutral una martingala. Un aspectointeresante es que al reemplazar a dW(t) en la ecuacion diferencial estocastica que modelala dinamica del precio del activo (13) por -Θ(t)dt + dW (t) se obtiene.
dS(t) = R(t)S(t)dt+ σ(t)S(t)dW (t) (21)
lo cual nos indica que bajo la medida de riesgo neutral la tasa media de retorno del activo esla tasa de interes libre de riesgo, lo que implica como se dijo que los inversores son neutralesal riesgo. La solucion para ecuacion (21) viene dada por:
S(t) = S(0)exp
∫ t
t0
(σ(s)dW (t)
)+
∫ t
t0
(R(s)− 1
2σ2(s))ds
(22)
Valor del proceso portafolio bajo la medida de riesgo neutral
Suponga que un agente economico posee un capital inicial X(0), y en cada tiempo t,0 ≤ t ≤ T , mantiene ∆(t) partes de un activo riesgoso cuyo precio es S(t), y su dinamicaesta modelada por la ecuacion (13). El resto del capital, lo invierte en el mercado financieroa una tasa R(t), por lo tanto, la ecuacion que modela la dinamica de la riqueza viene dadapor:
dX(t) = ∆(t)dS(t) +R(t) [X(t)−∆(t)S(t)] dt (23)
Lo anterior implica, que los cambios en la riqueza en el momento t son atribuibles a dosfactores, el primero ∆(t)dS(t), que representa el cambio en la riqueza atribuible al cambioen el precio del activo riesgoso y R(t)[X(t)−∆(t)S(t)]dt, que representa el cambio en lariqueza atribuible a los intereses ganados en el mercado financiero. Reemplazando dS(t) porsu equivalente (13) y simplificando se obtiene:
dX(t) = R(t)X(t)dt+ ∆(t)σ(t)S(t) [Θ(t)dt+ dW (t)] (24)
Siguiendo un procedimiento similar al utilizado para hallar el proceso precio descontado, sellega que la ecuacion de la riqueza descontada viene dada por:
d(D(t)X(t)) = ∆(t)σ(t)D(t)S(t) [Θ(t)dt+ dW (t)] (25)
lo que equivale a:d(D(t)X(t)) = ∆(t)d(D(t)S(t)) (26)
Reescribiendo la ecuacion (25) en terminos de la medidad de riesgo neutral se obtiene
d(D(t)X(t)) = ∆(t)σ(t)D(t)S(t)dW (t) (27)
Por lo tanto, la riqueza descontada D(t)X(t) bajo la medida de riesgo neutral es unamartingala.
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Valoracion de una opcion estandar bajo la medida de riesgo neutral
En esta subseccion se define la cantidad de capital inical X(0) que requiere un vendedorde una call para invertirlo en un portafolio de tal manera que al finalizar el contrato en elperıodo T, posea la cantidad necesaria X(T ) = Max(S(t) −K, 0)+ para cubrir la posicioncorta en la call.
Sea V(T), una variable aleatoria F (T ) medible, que representa el valor a pagar en el tiem-po T por una opcion. Se desea conocer la cantidad de capital inicial y el proceso portafolio∆(t) 0 ≤ t ≤ T , que garantice la cobertura de una posicion corta en una opcion call. De talmanera que:
X(T ) = V (T )
con una probabilidad de uno.de la ecuacion (27), sabemos que D(t)X(t) bajo la medida de riesgo neutral es una
martingala, esto implica que:
D(t)X(t) = E [D(T )X(T ) | F (t)] = E [D(T )V (T ) | F (t)] (28)
El valor descontado de X(t), es el capital necesario en el tiempo t para cubrir completamentela posicion corta de la opcion call con pago V(T). Por lo tanto, V(t) es el precio de la opcionen el tiempo t. Reemplazando en (28) V(t) por X(t) se tiene:
D(t)V (t) = E [D(T )V (T ) | F (t)] 0 ≤ t ≤ T (29)
Dividiendo (29) entre D(t), ya definido en (15) se obtiene:
V (t) = E[exp−
∫ Tt R(u)duV (T ) | F (t)
](30)
conocida como la formula de valoracion de opciones bajo la medida de riesgo neutral paramodelos en tiempo continuo. De acuerdo a la ecuacion (30), el precio de una call es el valoresperado bajo la medida de riesgo neutral de los pagos futuros descontados, en este sentido,las verdaderas probabilidades son irrelevantes para realizar la replica de la opcion, y, portanto, para su valoracion.
El principio de valoracion neutral al riesgo, establece que una opcion se puede valorarsuponiendo que el mundo es de riesgo neutral. Es importante destacar que para la derivacionlas formulas de valoracion de opciones call y put de Black-Scholes a partir de la medida deriesgo neutral, se asume que la volatilidad y la tasa de interes libre de riesgo son constantes,lo que transforma la ecuacion (30) en:
V (t) = E[exp−r(T−t)V (T ) | F (t)
]0 ≤ t ≤ T (31)
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Valoracion de una opcion asiatica bajo la medida de riesgo neutral
Dado que la ecuacion diferencial estocastica que conduce el precio del activo subyacentede una opcion asiatica bajo la medida de riesg neutral es igual a la utilizada para el activosubyacente de una opcion estandar, es decir,
dS(t) = R(t)S(t)dt+ σ(t)S(t)dW (t) (32)
Esto implica, que la valoracion de una opcion call asiatica promedio aritmetico europeasea muy similar a la valoracion de una opcion estandar call europea; la diferencia fundamentales, si en la funcion de pago el precio del activo al finalizar el contrato se asume como elpromedio del precio de dicho activo calculado sobre algun perıodo definido entre las partes(estrike fijo), o si en dicha funcion el estrike o precio de ejercicio al finalizar el contrato seasume como el promedio aritmetico del precio de dicho activo calculado sobre algun perıododefinido entre las partes (estrike flotante). En esta investigacion se aborda la valoracion deuna opcion call asiatica promedio aritmetico europea, estrike fijo. Si se asume que la tasa deinteres libre de riesgo y la volatilidad son constantes, se tiene que el pago en el momento T,de una opcion asiatica promedio aritmetico estrike fijo viene dado por la ecuacion (??):
V (T ) =
(1
T
∫ T
0
S(t)dt−K)+
(33)
El precio de dicha call asiatica en un perıodo t antes del vencimiento en el momento T,viene dado por la ecuacion (31):
V (t) = E[exp−r(T−t)V (T ) | F (t)
]0 ≤ t ≤ T (34)
La medida de riesgo neutral es supremamente util para valorar una opcion cuando seemplean los metodos numericos
Metodos numericos estocasticos
Las ecuaciones diferenciales ordinarias de aquı en adelante (EDO) se han convertidoen un instrumento importante dentro de las matematicas para modelar la dinamica de unsinnumero de fenomenos de la naturaleza. Sin embargo, en dichas ecuaciones se asume que ladinamica del fenomeno objeto de estudio es determinista, lo que ocasiona que la modelacionde la dinamica del fenomeno no se ajuste a la realidad. Cuando se considera la incorporacionde una componente aleatoria aditiva a las EDO se da origen a las ecuaciones diferencialesestocasticas de aquı en adelante (EDE), las cuales permiten acercarse un poco mas a la reali-dad, en este sentido, una EDO puede considerarse como un caso particular de una EDE en lacual la componente aleatoria o ruido no se presenta. Pocas ecuaciones diferenciales estocasti-cas tienen una solucion analıtica exacta conocida, lo que obliga a utilizar metodos numericospara aproximarse al proceso estocastico solucion de dichas ecuaciones, estas aproximacionespueden hacerse teniendo en cuenta dos enfoques. Aproximaciones fuertes y aproximacionesdebiles.
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La aproximacion es fuerte cuando se desea aproximarse a la trayectoria solucion, masformalmente, como se muestra en la ecuacion (35), el proceso de aproximacion Y convergeen el sentido fuerte con orden δ ∈ [0,∞), si existe una constante finita k y una constanteposititva δ0, tal que:
E (| XT − YN |) ≤ kSδ (35)
Siendo XT la solucion real en el tiempo T y YN la aproximacion para cualquier dis-cretizacion del tiempo con tamano maximo del paso δ ∈ [0, δ0). El orden o velocidad deconvergencia en una E.D.E, es menor que la que se presenta en una E.D.O, esto se debe aque los incrementos 4Wn del movimiento Browniano es de orden δ
12 y no δ.// La aproxi-
macion es debil cuando el interes es alguna funcion del proceso solucion en un tiempo finalT dado. Como por ejemplo E (XT ) , E ((XT ))2 y E (g(XT ), en este caso basta con tener unabuena aproximacion de la distribucion de probabilidad de la variable aleatoria XT antes queaproximarse a toda la trayectoria solucion. Mas formalmente, un proceso de aproximacionY converge en el sentido debil con orden β ∈ [0, δ0),si para cualquier polinomio g existe unaconstante finita K y una constante positiva δ0 tal que:
|E (g(XT ))− E (g(YN)) | ≤ Kgδβ (36)
para cualquier discretizacion del tiempo con tamano maximo del paso δ ∈ [0, δ0).
Un concepto ligado al orden de convergencia del proceso de aproximacion, es el errorde la aproximacion, pues dicho error decrece a un factor de kδ, es decir, para un orden deconvergencia dado y un decrecimiento deseado del error se puede determinar cuanto se debereducir el tamano del paso.
Aunque existen diversos metodos numericos estocasticos para aproximarnos a la solucionde una ecuacion diferencial estocastica, ya sea por aproximaciones fuertes o aproximacionesdebiles, en este trabajo se aplica el metodo Euler Maruyama, el cual se desprenden de laexpansion estocastica de Taylor la cual es una generalizacion de la expansion de Taylordeterminista, constituyendose el punto de partida para el desarrollo de los diversos meto-dos numericos estocasticos, los cuales proporcionan soluciones aproximadas de ecuacionesdiferenciales estocasticas que no poseen soluciones explıcitas. Las definiciones y notacionestandar relacionada a la expansion de Taylor estocastica estan basadas fundamentalmenteen (Kloeden y Platen, 1999).
Metodo de Euler Maruyama explıcito
El metodo de Euler Maruyama, es uno de los mas simples para aproximarse a la solucionde un proceso de Ito autonomo St, con drift a(St) y coeficiente de difusion b(St) tal como:
dSt = a(St)dt+ b(St)dWt, S(0) = S0 (37)
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donde a(St) = α(t)S(t) y b(Sn) = σ(t)S(t), la estructura del metodo numerico estocasticode Euler Maruyama es:
Sn+1 = Sn + a(Sn)4n + b(Sn)4Wn (38)
n = 0, 1, 2, ....., N − 1donde S0 ∈ R, y representa el valor inicial o actual del activo subyacente, 4tn =
[tn − tn−1] y representa el tamano del paso y 4Wn = Wn −Wn−1
El orden de convergencia fuerte de este metodo es 0.5, mientras el debil es de orden 1.Una forma alterna de presentar el metodo de Euler Maruyama, en temino de multi-ındiceses:
Sn+1 = Sn + aI(0) + bI(1)
Para aplicar el metodo de Euler Maruyama a la ecuacion diferencial estocastica (37)sobre un intervalo [0, T ] se debe discretizar el intervalo considerado, ası:4tn = T
NSi en la
ecuacion diferencial estocastica (37) se asume que α(t)yσ(t) son constantes, siendo α iguala la tasa libre de riesgo R, se llega a la ecuacion diferencial estocastica del precio del activobajo la medida de riesgo neutral (38) considerada para valorar una opcion estandar o asiaticapromedio arimetico.
dS(t) = RS(t)dt+ σS(t)dW (t) (39)
por lo tanto, en terminos del metodo numerico de Euler Maruyama se tiene que:
Sn+1 = Sn +RSn4tn + σSn4Wn, S(0) = S0 (40)
mith
4. Metodologıa
Se parte de un proceso estocastico unidimensional St, definido sobre un intervalo detiempo [t0, T ], el cual satisface la siguiente ecuacion diferencial estocastica que modela ladinamica del precio St de un activo bajo la medida de riesgo neutral.
dS(t) = R(t)S(t)dt+ σ(t)S(t)dW (t) (41)
Con condicion inicial, S0 = S0. Se asume que la tasa de interes libre de riesgo R(t) y lavolatilidad σ(t) son constantes. La ecuacion diferencial anterior, se soluciona aplicando elmetodo numerico estocastico de Euler Maruyama, con la aproximacion fuerte.
Los pasos para la obtencion de los resultados se describen a continuacion
Como intervalo de analisis se toma un periodo de tiempo de 0 a 1, el cual se particionaen pasos de 2−12
Se simulan 10000 trayectorias conducidas por un movimiento Browniano geometricologistico, asumiendo un valor inicial del subyacente, S0= 42, una tasa de interes librede riesgo del 5 % y una volatilidad del 10 % .
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Para cada realizacion se calcula el valor intrınseco de la opcion, es decir ; St − K,cuando la opcion es estandar y Max(S(T )−K, 0)+ si la opcion es promedio aritmeticoestrike fijo, para la simulacion se utiliza K = 40
Se promedian los 10000 valores intrınsecos obtenidos; tanto para opciones estandarcomo para opciones asiaticas promedio aritmetico estrike fijo.
Se calcula el valor presente del promedio anterior, el cual proporciona el valor de laopcion estandar y de la opcion asiatica promedio aritmetico.
5. Resultados
Los resultados de la tabla 1, muestran la valoracion de una opcion estandare BS al aplicarla formula de Black-Scholes y el metodo de numerico estocastico de Euler Maruyama. Comose observa, el valor de la prima proporcionado por el metodo numerico estocastico de EulerMaruyama bajo un movimiento Browniano con distribucion normal se aproxima bastanteal arrojado por la formula de Black-Scholes, pues mientras la formula proporciona un valorde 4.2914, el valor para la prima de Euler Maruyama es 4.339. No obstante, cuando seaplica Euler Maruyama asumiendo un movimiento Browniano con distribucion logistica laaproximacion ya no es tan buena, pues el valor de la prima en este caso pasa a 5.3326,esta diferencia se justifica por que las colas de la distribucion logistica son mas anchas que lanormal, solucionando ası, el problema de subestimacion que presenta en ocasiones la formulade Black-Scholes. Con relacion al valor de la prima de la opcion asiatica promedio aritmetico,la cual no tiene una formula explıcita como Black-Scholes, se observa como lo plantea lateorıa, que su valor es menor al valor de la prima de Black-Scholes, pues mientras la prima dela opcion asiatica asumiendo un movimiento Browniano con distribucion normal es de 3.021la de Black-Scholes es de 4.2933. Sin embargo, cuando se asume un movimineto Brownianocon distribucion logistica el precio de la opcion asiatica sube a 3.5056, justificado nuevamentepor la colas anchas de dicha distribucion. Los resultado anteriores son consistentes con lasdiscusiones teoricas respecto a la distribucio de los retornos de los activos financieros y lasubvaloracion en ocasiones de la formula desarrollada por Black-Scholes bajo el supuesto denormalidad de los rstonnos financieros.
Metodo BS AsiaticaEuler Maruyama Normal 4.3390 3.021
Euler Maruyama Logistico 5.3326 3.5056Formula BS Normal 4.2914 -
Tabla 1: Valoracion de Opciones Estandar y Asiaticas Promedio Aritmetico
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6. Conclusiones
En este trabajo se presentaron los resultados de la valoracion de una opcion call estandary una opcion call asiatica promedio aritmetico. Para dicha valoracion se asumieron dos tiposde distribucion para los retornos. Las primera una distribucion normal y la segunda unadistribucion logistica, la cual tiene las mas anchas que la normal y es leptocurtica como losugieren los hechos estilizados de la series financieras. Los resultados permiten detectar quelos calculos de las primas bajo distribucion logistica de los retornos mejoran teoricamentelos resultados encontrados con la formula de Black-Scholes, en la medida que el problema desubestimacion que se presenta frecuentemente con dicha formula se corrije.Una limitaciondel presente trabajo es que no se desarrolla la formula de Black-Scholes bajo una distribucionlogistica.
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