deret fourier [compatibility mode]

8/3/2019 DERET FOURIER [Compatibility Mode]

1/58

DERETDERET FOURIERFOURIER


2/58

PENDAHULUAN

Dalam bab ini akan dibahas pernyataan deret dari suatu fungsiperiodik. Jenis fungsi ini menarik karena sering muncul dalam

berbagai persoalan fisika, seperti getaran mekanik, arus listrikbolak-balik (AC), gelombang bunyi, gelombang Elektromagnet,hantaran panas, dsb.

Sama halnya seperti pada uraian deret Taylor, fungsi-fungsiper o yang rum apa ana s s secara se er ana engancara menguraikannya ke dalam suatu deret fungsi periodiksederhana yang dibangun oleh fungsi sin x dan cos x ataufungsi eksponensial eix. Uraian deret fungsi periodik ini disebuturaian deret Fourier. Penamaan ini untuk menghargai jasa

matematikawan Perancis Joseph Fourier, yang pertama kalimerumuskan deret ini dalam sebuah makalah mengenaihantaran panas, yang dilaporkannya kepada akademi ilmupengetahuan Perancis pada tahun 1807.


3/58

FUNGSI PERIODIK

Definisi 1:Sebuah fungsi f(x) dikatakan periodic dengan periode T > 0, jika

berlaku:f(x + T) = f(x)untuk samua x.

catatan:Jika T adalah periode terkecil, maka T disebut periode dasar, danselang a < x < a + T , dimana a sebuah konstanta, disebutselang dasar fungsi periodik f(x). Untuk selanjutnya sebutanperiode dimaksudkan bagi periode dasar ini.

Konstanta a pada selang dasar dapat dipilih sembarang, berharganol atau negatif. Pilihan a = - T/2 sering digunakan untukmemberikan selang dasar yang simetris terhadap x = 0, yakniselang T/2 < x < T/2.


4/58

Contoh fungsi periodik yang paling sederhana adalah fungsi sin xdan cos x, karena:

sin (x 2) = s i n x dan cos (x 2) = c o s x

Yang menunjukkan bahwa keduanya memiliki periode T = 2.Dalam hal ini x adalah variabel sudut dengan satuan radian atauderajad. Bila x bukan merupakan variabel sudut, maka x harus

, .

Jadi satuan p adalah:

Misalkan x berdimensi panjang, dengan satuan meter (m), makasatuan p = rad/m. Dengan demikian pernyataan fungsi Sin danCos yang bersangkutan menjadi:sin x sin px ; cos x cos px

][

][][

xSatuan

radianpsatuan =


5/58

Jadi translasi sudut sebesar satu periode T = 2 dapat dialihkan

ke translasi variabel x sejauh + T, dengan syarat:

)(2 Txppx =

Hubungan ini mengaitkan p dengan T melalui hubungan:

Tp

2=

Dengan pernyataan faktor alih ini, sifat periodik fungsi sin px dancos px diberikan oleh hubungan:

)(coscos);(sinsin TxppxTxppx ==

Yang memperlihatkan bahwa sin px dan cos px adalah periodikdengan periode T. Khusus dalam hal T = 2, maka p = 1.


6/58

Salah satu contoh sederhana benda bermassa m yangdigantungkan pada ujung sebuah pegas dengan tetapan pegas k.

k

titik kesetimbangan


7/58

Jika benda ditarik sejauh A dari kedudukan setimbangnya, kemudiandilepaskan, benda tersebut akan bergerak secara harmoniksederhana akibat adanya gaya pemulih yang arahnya selaluberlawanan dengan arah simpangan benda. Simpangan vertikalbenda y(t) setiap saat t berubah-ubah dari kedudukansetimbangnya, menurut persamaan:

-

sudut getaran, sedangkan adalah fase getaran, dengan 0 sebagaifase awalnya, yang berdimensi sudut.Jika T adalah periode atau waktu getar (waktu yang diperlukanbenda untuk melakukan satu kali getaran) yang diukur dalam satuan

detik, maka , bersatuan (rad/s). Dengan demikian merupakanfaktor alih (p) yang membuat t berdimensi sudut.


8/58

DERET FOURIERAndaikan f(x) adalah sebuah fungsi periodik dengan periode T yangterdefinisikan dalam selang dasar a < x < a + T, yakni f(x) = f (x + T),maka fungsi f(x) dapat diuraikan dalam deret Fourier sebagai berikut:

Dengan koefisien-koefisien a0, an, dan bn yang disebutsebagai koefisien-koefisien Fourier, ditentukan oleh fungsi f(x)melalui hubungan integaral:

+

+

+

=

=

=

Ta

a

n

Ta

a

n

Ta

a

dx

L

xnxf

L

b

dxL

xn

xfLa

dxxfL

a

sin)(1

cos)(

1

)(10

dengan T = periode dan

L = T


9/58

Contoh 1.

Diketahui fungsi f(x) sebagai berikut:

=


10/58

Pemecahan:

Menurut definisi fungsi periodik, periode fungsi f(x) di atas adalah T

= 2, dengan demikian L = T = , selang dasarnya < x < ,jadi a = - . Di luar selang ini, f(x) didefinisikan sebagai perluasanselang dasar ke arah kiri dan kanan sumbu x, seperti terlihat padaGambar 1.

-5 -4

f(x)

-3 -2 - 2 3 4 5

x

Gambar 1


11/58

Koefisien-koefisien Fourier dapat dicari sebagai berikut:

+

====

+===

0 0

0

0

0

0

1)(11

)0()1(1

)(1

)(1

xdxa

dxdxdxxfdxxfL

a

Ta

a

( ) 0sin0sin1

sin11

.cos

1

cos)0(.cos).1(

1

cos)(1cos)(1

0

0

0

0

=+=

=

=

+=

==

+

n

n

nx

n

a

dxnxnxdxdxnxa

dxL

xnxfdxL

xnxfL

a

n

n

a

a

n


12/58

( )

{ ganjilnn genapnn

nn

n

Ta

a

n

b

nn

nnx

nb

dxnxnxdxdxnxb

dxL

xnxfdx

L

xnxf

Lb

,/2

.,0

0

0

0

0

))1(1(1

)cos(0cos1

cos11

.sin1

sin)0(.sin).1(1

sin)(1

sin)(1

+

=

==

=

=

+=

==

Dengan demikian, uraian Fourier untuk fungsi f(x) pada contoh ini adalah:

+++=

+=

+=

=

++=

=

=

L

L

xxxxf

xxxxf

xn

nxf

aL

xnb

L

xna

axf

ganjiln

n

n

nn

5sin5

13sin3

1sin

2

2

1)(

5sin5

13sin

3

1sin

2

2

1)(

sin2

2

1)(

0,sincos2

)(

1

1

0


13/58

Contoh 2.Diketahui fungsi f(x) sebagai berikut:

10,1

)(


14/58

Pemecahan:

Periode T = 2, sehingga L = T = 1. selang dasarnya 0 < x < 2, jadi a = 0.

f(x)

Perluasan f(x) dalam daerah kiri dan kanan sumbu x dapat dilihatdalam Gambar 2.

-5 -4 -3 -2 -1 2 3 4 51x

Gambar 2

0-6 6


15/58

===

+===

+

1

0

1

00

2

1

1

0

2

0

0

1)(

)0()1(1)(1

1)(

1

xdxa

dxdxdxxfdxxfL

a

Ta

a

Koefisien-koefisien Fouriernya dapat dicari sebagai berikut:

( ) ( ) 00sinsin1

sin1

.coscos)0(.cos).1(

1cos)(

11cos)(1

1

0

1

0

2

1

1

0

2

0

===

=

+=

==

+

nn

nxn

a

dxxnxdxndxxna

dxxnxfdxL

xnxfL

a

n

n

Ta

a

n


16/58

( ) ( )

=

===

=

+=

==

+

ganjilnn

n

n

n

n

Ta

a

n

b

nnnxnnb

dxxnnxdxdxnxb

dxxn

xfdxL

xnxf

Lb

,2

1

0

1

0

2

1

1

0

2

0

)1)1((1

0coscos1

cos1

.sinsin)0(.sin).1(

1sin)(

1

1sin)(

1

.,

Dengan demikian, uraian Fourier untuk fungsi f(x) pada contoh ini adalah:

++++=

++++=

+=

=

L

L

xxxxf

xxxxf

xnn

axf

ganjiln

5sin5

1

3sin3

1

sin

2

2

1

)(

5sin5

23sin

3

2sin

2

2

1)(

sin2

2)(

1

0


17/58

SYARAT DIRICHLET Persyaratan sebuah fungsi f(x) agar dapat diuraikan

dalam deret Forier ditentukan oleh syarat Dirichlet

berikut:Jika:1. f(x) periodik dengan periode T

.

selang dasarnya; a < x < a + T, dan3. nilainya berhingga.

Maka deret Fourier di ruas kanan konvergen ke nilai,a. f(x) di semua titik kekontinuan f(x) dan

b. di setiap titik ketakkontinuan x0 (padadaerah lompatan).

+Ta

a

dxxf )(

{ })(lim)(lim2

100 +

+ xfxf


18/58

Soal

Pada contoh 2 di atas (Perhatikan Gambar 2!); Tentukanlah konvergen

ke nilai berapa deret Fourier di titik-titik kekontinuan

2

5,

4

3,

2

3,

2

1 =x

dan di titik-titik ketakkontinuan x = 0, 1, 2, 3.


19/58

FUNGSI GANJIL DAN FUNGSI GENAPFUNGSI GANJIL DAN FUNGSI GENAP

Perhitungan koefisien-koefisien Fourier sering kali dipermudah,jika fungsi f(x) yang diuraikan memiliki sifat istimewa tertentu,yakni genap atau ganjil terhadap sumbu x = 0 (sumbu f(x)).

Keduanya didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.

Sebuah fungsi f(x) adalah:genap, jika berlaku f(-x) = f(x)ganjil, jika berlaku f(-x) = - f(x)

untuk semua x dalam daerah definisi f(x).


20/58

Contoh

Fungsi x2

dan cos x adalah fungsi genap, karena (-x)2

= x2

dan cos (-x) = cos x. Sedangkan fungsi x dan sin x adalahfungsi ganjil, karena (-x) = -(x) dan sin (-x) = - sin (x). Padaumumnya fungsi pangkat genap dari x (x2, x4, x6 , . . .)merupa an ungs genap an ungs pang a gan ar x x,

x3, x5, . . .) merupakan fungsi ganjil. Dengan definisi di atasdapat dicari contoh-contoh lain dari kedua fungsi ini.


21/58

=

L

dxxfL

a

0

0 )(2

Untuk menentukan koefisien-koefisien Fourier a0, an, dan bn darifungsi periodik genap dan ganjil ini dipergunakan perumusanberikut:

=

=

n

L

n

b

dxL

xnxf

Lagenapx Ji a

0

0

cos)(2:)(

Dalam hal ini dikatakan f(x) teruraikan dalam deret kosinus (karenabn = 0).


22/58

=

=

0

0

2

0

:)( n

L

a

a

xn

ganjilxfJika

= s n

0

n x

L

x

L

Dalam hal ini, f(x) dikatakan teruraikan dalam deret sinus (karenaan = 0).

Seperti sebelumnyaL = T = periode


23/58

Contoh 3.

Diketahi fungsi:

2

1

2

1,)(

2


24/58

Pemecahan

Fungsi f(x) = x2 adalah suatu fungsi genapT = 1, sehingga L = T = , akan teruraikan dalam deret kosinus.bn = 0 , a0 dan an dapat ditentukan sebagai berikut:

=

=

=

==

L

xdxxdxxfL

a0

2/1

0

2/1

0

32

06

1

8

1

3

4

3

14

2

1

2)(

2


25/58

=

==

2/1

2/1

0

2

0

2/1

0

2

2cos4

cos

2

1

2cos)(2

xdxnxa

dxL

xnxdxL

xnxfL

a

n

L

n

=

=

+=

22

2

022

)1(1

cos)2(

14

2sin)2(

2cos)2(

22cos2

4

na

nn

a

xnn

xnn

xxnn

xa

n

n

n

n


26/58

Dengan demikian pernyataan deret Fourier untuk fungsi f(x) = x2dengan selang dasar - < x < adalah:

+=

=+=

=

=

122

1

0

2cos)1(1

12

1)(

0,

2/1

cos

2

)(

xnn

xf

bxn

aa

xf

n

n

n

n

n

+++=

+=

L

L

2222

2222

3

6cos

2

4cos

1

2cos

1

12

1)(

3

6cos

2

4cos

1

2cos

1

12

1)(

xxxxf

xxxxf


27/58

Latihan

Diketahui fungsi:

;)(


28/58

Dalam suatu persoalan fisika, fungsi f(x) mungkin hanyaterdefinisikan dalam suatu selang positif; 0 < x < l. Oleh karenaitu seringkali perlu untuk memperluasnya ke seluruh sunbu x,baik ke arah sumbu x positif maupun ke arah sumbu x negatif.Dalam hal ini ada 3 pilihan yang dapat dilakukan sebagai berikut:

1) Fungsi f(x) diperluas menjadi fungsi periodik tidak ganjil tidak

DERETDERET FOURIER JANGKAUAFOURIER JANGKAUANN SETENGAHSETENGAH

genap (seperti pada contoh 1) dengan periode T = l; dan selangdasarnya 0 < x < l, dengan lsembarang positif.

2) Selang dasar 0 < x < ldiperluas ke selang negatif secara simetristerhadap sumbu x = 0 menjadi l < x < l , dan fungsi f(x)diperluas menjadi fungsi periodik dengan periode T = 2l.

Dalam hal ini kita mempunyai dua pilihan yakni memperluasfungsi f(x) sebagai fungsi genap fc(x) atau fungsi ganjil fs(x).


29/58

=


30/58

Pemecahan:

(a) Pernyataan fungsi dalam deret Fourier kosinus(fungsi genap)

Untuk membentuk fungsi genap, maka selang dasar (0 < x < 2) di atas

diperluas ke selang negatif menjadi (-2 < x < 2), dan fungsi f(x) diperluasmenjadi fungsi periodik genap {f(-x) = f(x)} dengan periodeT = 4 (L = 2) seperti ditunjukkan pada gambar berikut:

fc(x)

x64321 5-1-2-4-5-6 -3 0


31/58

Untuk fungsi genap ini bn = 0, a0 = dan an ditentukan sebagai berikut:

xn

n

xn

n

xn

nxa

dxxn

dxxn

dxxn

xdxL

xnxf

La

xxdxxdxdxxfL

a

n

L

n

L

n

2sin

2

2cos

)(

4

2sin

2

2cos)1(

2cos)1(

2cos

2

2cos)(

2

23

21)1(

22)(2

2

1

1

0

2

2

1

2

1

1

00

2

1

1

0

2

2

1

1

00

+

+=

++==

=

+=

+==

dstaaaa

n

an

,0,9

4,

2,

4

1

2

cos

)(

1232221

2

====

=

Maka diperoleh uraian deret Forier kosinus untuk f(x), sebagai berikut:

+++=

=+=

=

L

2

3cos

9

1

2

2cos

2

1

2

cos

1

14

4

3)(

0,cos2

)(

2

1

0

xxxxf

bL

xna

axf

n

nn


32/58

(b) Pernyataan fungsi dalam deret Fourier sinus(fungsi ganjil)

Untuk membentuk fungsi ganjil, maka selang dasar (0 < x < 2)

di atas diperluas ke selang negatif menjadi (-2 < x < 2), dan fungsi f(x)diperluas menjadi fungsi periodik ganjil {f(-x) = -f(x)} denganperiode T = 4 ( L = 2) seperti ditunjukkan pada gambar berikut:

1 2

f(x)

3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

x


33/58

nn

xn

nb

xn

n

xn

n

xn

n

xb

dxxn

dxxn

xdxL

xnxf

Lb

n

n

L

n

cos2

2sin

)(

4

2

cos2

2

cos

)(

4

2

cos2

2sin)1(

2sin

2

2sin)(

2

2

2

1

1

0

2

2

1

1

00

=

+

+=

+==

Untuk fungsi ganjil ini a0 = 0, an = 0, dan bn ditentukan sebagai berikut:

dstbbbb ,2

1

,9

64

,

1

,

24223221

=

+==

+=

+

+

+=

===

L

2

3sin

9

64

2

2sin

1

2sin

24)(

0,0,sin)(

22

0

1

xxxxf

aaL

xnbxf n

n

n

Maka diperoleh uraian deret Fourier sinus untuk f(x), sebagai berikut:


34/58

(c) Pernyataan fungsi dalam deret Fourier sinus-cosinus(fungsi tidak ganjil-tidak genap)

untuk membentuk fungsi periodik ini, tinggal memperluas f(x) ke kiri

dan ke kanan sumbu xdengan periode T=2 (L=1)seperti pada gambar berikut :

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6 0

1

x

f(x)


35/58

Koefisien-koefisien Fourier ao, an, dan bn dapat ditentukan sebagaiberikut :

xdxndxxnxdxxn

xfa

xxdxdxxdxxfLa

T

n

T

o

cos)1(cos1

cos)(1

2

3

2

1

)1(1

1

)(

1

21

2

1

1

0

2

2

1

1

00

+==

=+=

+==

( )

( )( )

( )

genapn

ganjilnnn

nn

xnn

xnn

xnn

x

n

,0

,2111

1cos1

sin1

cos1

sin1

22222

2

1

1

02

100

=

=

==

+

+=


36/58

( )

nn

xn

n

xn

n

xn

n

x

xdxndxxnxdxxnxfL

b

T

n

2cos1

cos1

sin1

cos1

sin)1(sin11sin)(1

2

1

1

02

2

1

1

00

=

+

+=

+==

n=

Sehingga pernyataan deret Fouriernya adalah :

=

=

++=

1122

sin1)cos2(43)(

nganjiln

xnn

xnn

xf


37/58

DERET FOURIER EKSPONENSIALDERET FOURIER EKSPONENSIAL

Pernyataan deret Fourier suatu fungsi periodik dapat puladibangun dari fungsi eksponensial, dengan menggunakan

hubungan Euler sbb :

2==

xnxnL

xni

,

LL

dengan menyisipkan :

2cos

L

xni

L

xni

ee

L

xn

+=

i

ee

L

xn Lxn

iL

xni

2sin

=dan


38/58

ke dalam pernyataan deret Fourier dari suatu fungsi periodik,sbb :

)sincos(

2

)(

1

0

L

xnb

L

xna

axf

n

nn

=

++=

didapat :

xnxnxnxn

=

=

+

++=

11

0

222)(

n

Li

Li

n

n

Li

Li

nieebeeaaxf

( ) ( ) ( ) Lxn

i

n

nnL

xni

n

nn eiba

eibaa

xf

=

=

+

+

+=

11

0

222


39/58

( ) ( ) ( ) Lxn

i

n

nnL

xn

i

n

nn eibaeibaaxf

=

=

+++=

1

1

0

222

Indeks jumlah n pada deret ke dua telah dinamakan ulangdengan n. Jika didefinisikan :

( )

>

==

0,2/

0,2/

,

0

niba

naC

nn

nn

n

maka didapat pernyataan fungsi periodik dalam deret Fouriereksponensial sbb :


40/58

( )

=

=

n

Lxni

n eCxf

Koefisien Cn dapat dicari dengan persamaan integral berikut :

( )+

=

Ta

dxxfC1

0

a

dan

( ) dxexfTCL

xni

Ta

a

n

+

=1


41/58

Contoh 7

Tentukan pernyataan Fourier Eksponensial dari fungsi periodikpada contoh 1 !

Pemecahan :

Fungsi periodik pada contoh 1 adalah :


42/58

Koefisien-koefisien Fourier eksponensial ditentukan sebagai berikut :

====

+===

+

Ta

a

o

xdx

dxdxdxxfdxxfT

C

00

0

0

2

1

22

1

2

1

)0()1(2

1)(

2

1)(

1

( )

=

=

==

+==

ganjilnn

i

genapn

inxinx

a

L

n

nn

ein

dxe

dxedxedxexfTC

,

,0

00

0

cos12

11

2

1

2

1

)0()1(2)(


43/58

=

=

11111

)(

5335

10

10

ixixixixixix

n

inxn

i

eCxf

Maka diperoleh uraian deret Fourier eksponensial sebagaiberikut :

= ...

5335

...

2


44/58

( ) ( ) ( )

( )

+

+

+

=

++++=

..........5

1

3

11

2

1

..........5

1

3

1

2

1)(

5533

5533

i

ee

i

ee

i

ee

eeeeeei

xf

ixixixixixix

ixixixixixix

Untuk membandingkan hasil ini dengan hasil yang diperoleh

pada Contoh 1, maka kita gunakan kembali hubungan Euler diatas :

+++=

+++=

..........5

5sin

3

3sin

1

sin2

2

1

..........5

5sin23

3sin21

sin2121

xxx

xxx

Persis sama seperti hasil pada contoh 1.


45/58

IDENTITAS PARSEVALIDENTITAS PARSEVAL

Sekarang akan dicari bagaimana hubungan antara harga rata-ratakuadrat fungsi f(x) dalam selang dasarnya dengan koefisien-koefisien Fourier. Hasilnya dikenal sebagai identitas Parseval

atau hubungan kelengkapan (Completeness Relation) yangbentuknya bergantung pada rumusan pernyataan deret Fourieryang digunakan.

==

++=

10

1

10

1

sincos2

)(n

n

n

no

L

xnb

L

xna

axf

Untuk deret Fourier yang diuraikan dalam bentuk :

Jika fungsi pada ruas kiri dan ruas kanan dikuadratkan, makaakan diperoleh :


46/58

2

11

2

2 sincos2

)(

++

=

=

= n

n

n

no

Lxnb

Lxnaaxf

=

=

+++

=

1 1

2

2sinsinsincos2coscos

2

)(

n m

mnmnmno

L

xm

L

xnbb

L

xm

L

xnba

L

xm

L

xnaa

axf

Kemudian jika dicari rata-rata kuadrat pada selang dasarnya,dengan cara mengintegrasi ruas kiri dan kanan, maka didapat :

=

=

+

=

=

+

=

=

+++

+

+

+

=

1 1

1 1

1 1

2

2

sinsin1

sincos21

coscos12

1)(1

n m

Ta

a

mn

n m

Ta

a

mn

n m

Ta

a

mn

Ta

a

o

Ta

a

L

xm

L

xnbb

T

L

xm

L

xnba

T

Lxm

Lxnaa

Tdxa

Tdxxf

T


47/58

atau

( ) ( )

=

=

=

=

=

=

+

++

+

=

1 1

2

1 11 1

22

02

2

1

01

2

1

2

1)(

1

n m

mnmn

n mn m

mnmn

Ta

a

TbbT

T

Taa

TT

a

Tdxxf

T

maka bentuk hubungannya adalah sebagai berikut :

++

=

=

+

2

1

22

2

2

1

2)(

1n

n

no

Ta

a

baa

dxxfT

Ruas kiri adalah harga rata-rata kuadrat fungsi f(x) dalamselang dasarnya a < x < a + T , sedangkan ruas kanan adalahjumlah kuadrat semua koefisien Fourier.


48/58

Untuk uraian deret Fourier eksponensial,

=

=

n

L

xin

neCxf

)(

maka bentuk hubungannya adalah sebagai berikut :

+Ta221

=

=

n

n

a

Cdxx

T

)(

Secara fisis, jika f(x) merupakan fungsi periodik dari suatu besaranfisika, misalnya simpangan getaran mekanik (system pegas), maka

untuk x = tadalah variabel waktu, maka pernyataan :


49/58

Menyatakan daya rata-rata (Joule/s) dari getaran tersebutdalam suatu periode T. Dengan demikian identitas Paseval,

=

2

2

2)(

1T

T

dttfT

p

-

amplitudo setiap harmonik penyusun periodik.Secara matematik, ruas kiri dari identitas Parseval memberikanjumlah deret bilangan diruas kanannya, seperti pada contohberikut :


50/58

Contoh 8

Gunakan identitas Paseval untuk mencari jumlah deret bilanganyang bersangkutan dengan uraian deret Fourier dari fungsi f(x)pada contoh 4.

Pemecahan

2

1

2

1


51/58

( ) 0........,3,2,111,61

22==

== n

n

no bnn

aa

Harga rata-rata kuadrat dari f(x) = x2ditentukan sebagai berikut :

1111112

1

2

1

542

1

22

8032325512

121

21

Menurut identitas Paseval, nilai rata-rata kuadrat ini sama dengan

++

=

)(2

1

2

2

1

22

n

n

no ba

a


52/58

sehingga :

( )

,11

2

1

144

1

80

1

11

2

1

12

1

80

1

1

44

1

2

2

42

2

2

+=

+

=

=

=

n

n

ataun

n

180144802 1 44==

=n n

Sehingga :

=

==

1

44

490180

21

n n


53/58

atau

90

.....

4

1

3

1

2

11

4

444

=++++


54/58


55/58

Pemecahan


56/58

2

1

2

1


57/58

++

=

)(2

1

2

210

1

22

n

n

n

o baa

( )11111 102

422

=

Menurut identitas Paseval, nilai rata rata kuadrat ini sama dengan

sehingga :

1801

1441

8011

21

,11

2

1

144

1

80

1

21280

10

144

10

144

122

==

+=

=

=

=

n

n

n

n

ataun

n

Sehingga :


58/58

=

==

r

n n1

44

4 90180

21

4

Sehingga :

atau

904321

444

=+++

Sambung Hal. 19 (Contoh 9)

deret fourier [compatibility mode]

Documents