aplikasi deret fourier untuk pembuatan nada dasar

i

APLIKASI DERET FOURIER UNTUK PEMBUATAN

NADA DASAR

Makalah

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Natalia Anggi Putri Widisari

NIM: 133114017

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

APPLICATION OF FOURIER SERIES FOR

BASIC TONE MAKING

A Paper

Presented as a Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

in Mathematics

By :


Student Number: 133114017

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2017


MAKALAH

APLIKASI DERET FOURIER UNTUK PEMBUATAN

NADA DASAR

Oleh:


NIM: 133114017

Telah disetujui oleh:

Prof. Dr. Frans Stsilo, SJ Tanggal: 25 Juli2017

Pembimbingw

ill


MAKALAH

APLIKASI DERET FOURIER DALAM PEMBUATA}I

NADA DASAR

Dipersiapkan dan ditulis oleh:

Natalia Anegi Futri Widisari

NIM: 133114017

Telah dipertahankan didepan Panitia Penguji

pada 3l Juli20l7

dan dinyatakan telah memenuhi syarat

Susunan Panitia Penguj i

Nama Lengkap

Ketua

Sekretaris

Anggota

M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si.

Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Prof. Dr. Frans Susilo, SJ

Yogyakarta 3l luli 2017

Fakultas Sains dan Teknologi

vS.Si., M.Math.Sc., Ph.D.)

tv


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menvatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini

tidak memuat karya atau bagian orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan atau daftar pustaka. sebagaimana layaknya kalva ilmiah.

Yogyakarta . 25 Juli 2017

Penulis4

//t I l1

VVIVlfbNatalia Anssi Putri Widisari


vi

HALAMAN PERSEMBAHAN

“Sesungguhnya aku ini hamba Tuhan; terjadilah padaku menurut

perkataanmu itu.” –( Lukas 1 : 38)

Karya ini kupersembahkan untuk

Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu membimbing langkahku,

kedua orangtuaku yang tercinta, Agustinus Sulamto dan Yustina Tri Suprapti,

kakakku Fransiscus Asisi Hari Saputro, adikku Ignatius Agil Satrio, dan

keluarga besar Herinimus Marjo Suparno dan Yohanes Sugiyanto.


vii

ABSTRAK

Musik tersusun dari nada dasar yang disusun dengan baik. Nada dapat

diciptakan dari suatu persamaan Matematika, namun terdapat kekurang

sempurnaan fungsi yang menjadikan nada yang dihasilkan menjadi kurang baik.

Deret Fourier dapat dipakai untuk mengubah fungsi yang ada sehingga dapat

menghasilkan nada yang baik.

Makalah ini membahas tentang proses pengubahan fungsi menjadi deret

Fourier dan pengaplikasiannya ke dalam program MATLAB agar menghasilkan

nada yang baik. Penelitian tentang nada dengan menggunakan deret Fourier

pertama kali dilakukan oleh Erich Neuwirth pada tahun 2001.

Kata kunci: nada dasar, deret Fourier.


viii

ABSTRACT

Music consists of well-crafted basic tones. We can create tones from

mathematical equations, but there is imperfection in the function which makes the

resulting tones sound less good. Fourier series can be used to change the existing

functions so that they can produce good tones.

This paper discusses the process of converting functions into Fourier

series and applying them to MATLAB to produce good tones. Research on tones

using Fourier series was first done by Erich Neuwirth in 2001.

Keywords: basic tone, Fourier series.


ix

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang telah

mencurahkan rahmat dan Roh KudusNya sehingga penulis dapat mengerjakan dan

menyelesaikan makalah ini dengan baik. Makalah ini dibuat dengan tujuan

memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program

Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.

Penulis menyadari bahwa penulis melibatkan banyak pihak untuk

membantu dalam menghadapi berbagai macam tantangan, kesulitan, dan

hambatan. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima

kasih kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi.

2. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.

3. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing

Akademik.

4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., selaku Dosen Pembimbing Makalah.

5. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak Dr. rer. nat. Herry P.

Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si.

selaku dosen-dosen Prodi Matematika yang telah memberikan banyak

pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan.

6. Bapak/Ibu dosen/tenaga kependidikan Fakultas Sains dan Teknologi yang

telah berdinamika bersama selama penulis berkuliah.


x

7. Kedua orang tua, kakak, adik, om, tante, kakek, nenek, dan sepupu yang

telah membantu dan mendukung penulis selama proses pengerjaan

makalah.

8. Teman-teman Matematika 2013: Sari, Tia, Sisca, Dita, Melisa, Inge,

Ambar, Yui, Sorta, Andre, Dion, Ezra, Indra, Laras, Bintang, Yuni, Rey,

Wahyu, Yola, Lia, Kristo, dan Agung yang selalu memotivasi, memberi

masukan, menghibur dan masih banyak lagi yang tidak bisa disebutkan

satu persatu. Terima kasih atas kebersamaan dan kekompakan ini.

9. Para sahabat penulis yang selalu memotivasi, membantu, mengingatkan

dan mendukung penulis dalam pengerjaan makalah.

10. Seni musik Indonesia yang telah memberi inspirasi dan menghibur penulis

selama proses pengerjaan makalah.

11. Bapak, ibu, dan teman-teman kost: terima kasih telah mengingatkan,

menyemangati dan memberi masukan kepada penulis selama proses

pengerjaan makalah.

12. Keluarga besar HSFCI se-Nusantara yang selalu menyemangati,

menghibur dan menemani penulis baik secara langsung maupun secara

media sosial dan juga menemani penulis selama pengerjaan makalah.

13. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu dalam membantu,

mendukung dan juga memotivasi penulis selama proses pengerjaan

makalah ini.

Semoga semua pihak yang telah memberikan dukungan, semangat, cinta

dan doa kepada penulis akan mendapatkannya juga dari Tuhan Yesus Kristus.


xt

Penulis menyadari dengan adanya kekurangan- oleh karena itu penulis

mengharapkan kritik dan saran dari pembaca agar dapat menjadi penyempurna

makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan menjadi

bahan belaiar yang baik.

Yogyakarta, 25 Jnli 2017

Penulis,

W^,t"UNatalia Anggi Puffiriilrm*


PERNYATAAN PERSETI].IUAN PTJBLIKASI

Yang bertanda tangan di bawah ini. saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Natalia Anggi Putri Widisari

Nomor Mahasiswa : l33l14017

demi pengembangan ilmu oengetahuan. saya memberikan kepada Peloustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

APLIKASI DERET FOURIER UNTUK PEMBUATAN NADA DASAR

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Denean demikian. sava memberikan

kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan,

mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan

data. mendistribusikan secara terbatas. dan mempublikasikannya di internet atau

media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya

maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencatumkan rurma saya

sebagai penulis.

Demikian pemyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal:25 Juli 2017

Yang menyatakan

(Natalia Anssi Putri Widisari)

xil


xiii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v

HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ vi

ABSTRAK ............................................................................................................ vii

ABSTRACT ......................................................................................................... viii

KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ................................................. xii

DAFTAR ISI ........................................................................................................ xiii

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1

A. Latar Belakang Masalah ............................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ........................................................................................ 3

C. Batasan Masalah........................................................................................... 3

D. Tujuan Penulisan .......................................................................................... 3

E. Manfaat Penelitian ....................................................................................... 4

F. Metode Penelitian......................................................................................... 4

G. Sistematika Penulisan .................................................................................. 4

BAB II DERET FOURIER .................................................................................. 6

A. Fungsi ........................................................................................................... 6

B. Deret Tak Hingga ......................................................................................... 8

C. Deret Fourier ............................................................................................... 8


xiv

D. Persamaan Deret Fourier ........................................................................... 18

E. Contoh-Contoh Nada Dari Deret Fourier .................................................. 19

F. Pembuatan Nada oleh Erich Neuwirth ....................................................... 28

BAB III PEMBUATAN NADA ......................................................................... 30

A. Pengaplikasian Dalam Program MATLAB ................................................. 30

B. Beberapa Fungsi Tambahan ....................................................................... 33

C. Penyempurnaan Suara ................................................................................ 39

D. Pembuatan Nada......................................................................................... 43

BAB IV PENUTUP ............................................................................................ 46

A. Kesimpulan ................................................................................................ 46

B. Saran ........................................................................................................... 46

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 47


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang rumit di mata

pelajar di Indonesia. Perpaduan antara angka dan rumus yang terlihat begitu

rumit membuat pelajar tidak beminat untuk mendalaminya, namun tidak

semua pelajar seperti itu. Setelah ditelusuri, ternyata matematika bukan

hanya sekedar angka dan rumus yang terlihat tidak penting. Matematika

dapat diterapkan dalam ilmu lainnya, seperti Fisika, Komputer, Psikologi,

Ekonomi, dan banyak lagi. Ada suatu penerapan matematika yang tidak

banyak diketahui orang, yaitu penerapan dalam musik.

Musik merupakan media universal yang digunakan untuk

menyampaikan suatu pesan melalui nada. Pesan yang dimaksud di sini

adalah sebuah syair yang ditulis oleh pengarang. Ada pesan cinta, kisah

kehidupan, bencana, dan banyak lagi. Pesan itu dialunkan dengan nada-nada

indah yang berasal dari not-not yang dipilih dan disusun oleh musisi.

Selama ini kebanyakan orang membuat nada dalam musik dengan

menggunakan alat musik yang sudah ada. Mereka belum berani untuk

memulai dengan menggunakan alat yang lainnya selain alat musik atau

benda lain yang mengeluarkan suara. Sebenarnya ada alat yang bisa

digunakan untuk membuat musik tersebut namun bukan dengan cara

dipukul atau dipetik, ditiup atau yang lainnya yang biasa dilakukan untuk

mengeluarkan bunyi.

Cara lain yang dapat digunakan untuk pembuatan nada yakni melalui

program dengan rumus matematika. Penelitian mengenai pembuatan nada

dengan menggunakan rumus matematika ini pernah dilakukan oleh Erich

Neuwirth. Neuwirth (2001) menyatakan tidak terlalu sulit menggunakan

program untuk membuat nada berdasarkan rumus matematika. Metode


2

digital ini dapat meningkatkan ketertarikan dalam lingkungan masyarakat

untuk pembuatan nada.

Di Indonesia sendiri belum banyak yang mengetahui bahwa rumus

matematika dapat menghasilkan sebuah nada. Rumus matematika yang akan

dibuat untuk membuat nada tersebut akan diaplikasikan ke dalam program

komputer dan dijalankan oleh program tersebut. Neuwirth (2001)

melakukan penelitian tentang hal ini menggunakan program Mathematica,

namun pada penelitian ini akan digunakan program MATLAB.

Matematika yang akan digunakan untuk pembuatan nada adalah

deret Fourier, yang kita pelajari dalam mata kuliah Persamaan Differensial

Parsial. Mengapa menggunakan deret? Karena suatu nada dibuat dari suatu

persamaan awal. Persamaan tersebut akan diturunkan dan dikembangkan

menurut pengalaman-pengalaman yang sebelumnya untuk persamaan-

persamaan selanjutnya. Setelah itu semua persamaan-persamaan tersebut

akan digabung dan diurutkan menjadi sebuah deret. Deret ini yang akan

diaplikasikan ke dalam program dan menghasilkan sebuah gelombang yang

akan dijadikan sebuah nada.

Persamaan deret Fourier yang digunakan adalah

( ) ∑(

*

Jika semua pada deret Fourier adalah nol, maka deret Fourier ini

akan menjadi fungsi ganjil, yaitu ( ) ( ), karena fungsi sinus

adalah fungsi ganjil. Berikut adalah beberapa contoh bentuk gelombang

dasar:

( ) gelombang gigi gergaji

( ) {

, gelombang persegi

( )

{

, gelombang segitiga


3

Fungsi di atas memiliki representasi deret Fourier berikut:

( )

∑

( )

( )

∑

( ( ) )

( )

∑( ) (

*

( ( ) )

Persamaan seperti ini yang akan diaplikasikan ke dalam program

komputer dan akan menghasilkan sebuah nada. Persamaan-persamaan ini

adalah persamaan yang digunakan oleh Neuwirth ketika ia melakukan

penelitian tentang pembuatan lagu matematis.

B. Rumusan Masalah

Perumusan masalah yang akan dibicarakan dalam penelitian ini adalah:

1. Bagaimana bentuk persamaan deret Fourier untuk membuat

sebuah nada?

2. Bagaimana cara mengaplikasikan persamaan deret Fourier tersebut

ke dalam sebuah program komputer?

C. Batasan Masalah

Dalam tugas akhir ini akan dibahas cara pembuatan nada dengan

menggunakan program Mathematica yang pernah dilakukan oleh Neuwirth,

setelah itu akan dibahas cara pembuatan nada dengan menggunakan

program MATLAB. Fungsi yang digunakan adalah fungsi yang simetrik

terhadap titik-asal dan memiliki periode 1.


4

D. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah untuk mengenalkan

pengaplikasian Matematika pada bidang seni, khususnya seni musik dan

juga untuk mengenalkan pembuatan nada dengan menggunakan program

matematika yang sebenarnya tidak begitu rumit.

E. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah kita dapat membuat nada tanpa

harus menguasai suatu alat musik. Dengan menggunakan deret Fourier kita

dapat membuat nada dengan mudah. Dengan demikian, masyarakat juga

dapat ikut berperan dalam dunia musik dengan berkreasi membuat nada-

nada indah.

F. Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini

adalah studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku

dan jurnal-jurnal tentang pembuatan nada dengan menggunakan deret

Fourier.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penelitian

G. Sistematika Penulisan


5

BAB II DERET FOURIER

A. Fungsi

B. Deret Tak Hingga

C. Deret Fourier

D. Persamaan Deret Fourier

E. Contoh-Contoh Nada Dari Deret Fourier

F. Pembuatan Nada oleh Erich Neuwirth

BAB III PEMBUATAN NADA

A. Pengaplikasian Dalam Program MATLAB

B. Beberapa Fungsi Tambahan

C. Penyempurnaan Suara

D. Pembuatan Nada

BAB IV PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA


6

BAB II

DERET FOURIER

A. Fungsi

Pada bagian ini akan dibahas mengenai fungsi, yaitu meliputi

definisi fungsi, jenis fungsi, periode dan beberapa contoh fungsi.

Definisi 2.1

Sebuah fungsi adalah suatu aturan yang menghubungkan

tiap elemen dalam suatu himpunan A, yang disebut daerah asal

(domain), dengan sebuah nilai tunggal ( ) dari suatu himpunan B, yang

disebut daerah kawan (kodomain). Himpunan nilai ( ) yang diperoleh

secara demikian disebut daerah hasil (range) fungsi tersebut.

Ada dua jenis fungsi, yaitu fungsi genap dan fungsi ganjil.

Definisi 2.2

Fungsi disebut dengan fungsi genap jika berlaku

( ) ( ) untuk semua . Grafik fungsi genap simetri terhadap

sumbu-y.

Contoh 2.1

Bila ( ) , maka ( ) ( ) ( ).

Gambar 2.1


7

Definisi 2.3

Fungsi disebut dengan fungsi ganjil jika berlaku

( ) ( ) untuk semua . Grafik fungsi ganjil simetrik

terhadap titik-asal.

Contoh 2.2

Bila ( ) , maka ( ) ( ) ( ) ( ).

Gambar 2.2

Definisi 2.4

Fungsi dikatakan periodik jika terdapat suatu bilangan p

sedemikian rupa sehingga

( ) ( )

untuk semua . Bilangan positif terkecil p yang demikian disebut

periode atau panjang gelombang dari f.

Contoh 2.3

Fungsi cosinus adalah fungsi periodik karena ( ) ( )

untuk semua x dengan . Dengan kata lain, fungsi cosinus

merupakan fungsi periodik dengan periode .


8

Gambar 2.3

B. Deret Tak Hingga

Pada bagian ini akan dibahas mengenai definisi Deret Tak Hingga.

Definisi 2.5

Jika kita menjumlahkan suku-suku dari suatu barisan tak hingga

* + , kita mendapatkan bentuk

yang disebut deret tak hingga (atau biasanya disebut deret) dan disajikan

dengan lambang

∑ atau ∑ .

Definisi 2.6

Jika terdapat sebuah deret ∑ , maka

jumlah parsial ke-, yang dilambangkan dengan , adalah

∑ .


9

Deret ∑ disebut konvergen jika barisan * + konvergen. Jika

maka kita menuliskan

∑ .

Jika tidak demikian, maka deret tersebut dikatakan divergen.

C. Deret Fourier

Pada bagian ini akan dibahas mengenai definisi dan bentuk Deret

Fourier.

Salah satu hasil dari teori Fourier menyatakan bahwa setiap fungsi

periodik dengan panjang gelombang L yang kontinu atau diskontinu

pada sejumlah berhingga titik di interval , - dapat dinyatakan dalam

deret Fourier.

Misalkan fungsi didefinisikan pada . Akan dicari

kombinasi linear dari .

/ yang identik dengan ( ) pada ,

yaitu

( ) ∑ .

/

(2.1)

untuk .

Koefisien ( ) dapat dicari dengan menentukan

bilangan bulat positif N dan mengalikan kedua ruas dari (2.1) dengan

.

/ dan kemudian mengintegralkan kedua ruas tersebut dari

sampai , yaitu

∫ ( ) .

/

∑

∫ .

/ .

/

. (2.2)

Untuk , ruas kanan (2.2) menjadi


10

∑

∫ ( (( )

) (

( )

))

∑

(

( ) (

( )

)

( ) (

( )

))|

∑

((

( ) (( ) )

( ) *

(

( ) (( ) )

( ) *+

∑

(

( ) (( ) )

( ) (( ) )*

∑

(

( )

( ) *

∑

.

Untuk , ruas kanan (2.2) akan menjadi

∫ (

*

∫ (

( (

*)+

∫ ( (

*)

(

(

*)|


11

((

( )) (

*+

( )

Maka persamaan (2.2) menjadi

∫ ( ) (

*

sehingga

∫ ( ) .

/

. (2.3)

Sekarang kita akan melibatkan cosinus dalam persamaan (2.1).

Diberikan ( ) pada . Akan dicari konstanta dan , (n =

0, 1, 2, ...) sedemikian sehingga

( ) ∑. .

/ .

//

( ) ∑ . .

/ .

//

(2.4)

untuk .

Kedua ruas diintegralkan dari sampai .

∫ ( )

∫ ( ∑. .

/ .

//

+

∫

∑∫ . .

/ .

//


12

|

∑

. .

/ .

//|

( ( ))

∑

(( ( ) ( ))

( ( ) ( )))

∑

( ( ) )

∑

Jadi ∫ ( )

, sehingga

∫ ( )

.

Selanjutnya, untuk mencari konstanta kita mengalikan kedua

ruas (2.4) dengan .

/ dan mengintegralkannya.

∫ ( ) (

*

∫ ( ∑. .

/ .

//

+ (

*

∫ (

*

∑∫ ( .

/ (

*

.

/ (

*)


13

Untuk , ruas kanan menjadi

(

*|

∑∫ ( ( (

( )

* (

( )

*+

( (( )

* (

( )

*+)

( ( ) ( ))

∑( (

( ) (

( )

*

( ) (

( )

*+

(

( ) (

( )

*

( ) (

( )

*+)|


14

( )

∑( ((

( ) (( ) )

( ) (( ) )+

(

( ) ( ( ) )

( ) ( ( ) )+)

((

( ) (( ) )

( ) (( ) )+

(

( ) ( ( ) )

( ) ( ( ) )+),

∑( ((

( )

( ) *

(

( )

( ) *) )

.


15


∫ (

*

∫ ( (

* (

* (

*)

(

*|

∫ ( ( (

*) (

*+

( ( ) ( ))

( (

(

*)

(

*+|

( )

( ((

( ))

(

( ))+

( ( ) ( )))

( ((

* (

*)

)

( ( ( )) )

.

Jadi ∫ ( ) .

/

,

sehingga

∫ ( ) .

/

.


16

Selanjutnya, untuk menemukan konstanta , kita mengalikan

kedua ruas (2.4) dengan .

/ dan mengintegralkannya.

∫ ( ) (

*

∫ ( ∑. .

/ .

//

+ (

*

∫ .

/ ∑ ∫ ( .

/ .

/

.

/ .

/* .


(

*|

∑ ∫ ( (

( )

* (

( )

**

∑ ∫ ( (

( )

* (

( )

**

∑ (

( ) (

( )

*

( ) (

( )

**|

∑ (

( ) (

( )

*

( ) (

( )

**|


17

∑ ((

( ) (( ) )

( ) (( ) )*

(

( ) ( ( ) )

( ) ( ( ) )*+

∑ ((

( ) (( ) )

( ) (( ) )*

(

( ) ( ( ) )

( ) ( ( ) )*+

∑

∑ (

( ) (( ) )

( ) (( ) )*

∑

.


∫ (

*

∫ ( (

* (

*

(

**


18

(

*|

∫ ( (

*)

∫ ( (

*)

( ( ) ( ))

( (

*)|

(

(

*)|

( ( ) ( ))

((

( ))

(

( ))+

(

( ))

(

*

Jadi ∫ ( ) .

/

,

sehingga

∫ ( ) .

/

.

Dengan demikian, untuk persamaan (2.4) didapatkan konstanta

dan , yaitu:

∫ ( )

(2.5)

∫ ( ) .

/

(2.6)

∫ ( ) .

/

(2.7)

Apabila kita melakukan perhitungan dengan mensubstitusi

ke dalam persamaan (2.6), maka akan didapatkan:


19

∫ ( ) (

*

∫ ( )

(2.8)

Konstanta pada (2.8) yang kita dapatkan berbeda dengan

pada (2.5). Agar didapatkan hasil yang sama, pada persamaan (2.4)

perlu dikalikan dengan

. Dengan demikian didapatkan persamaan:

( )

∑ . .

/ .

//

. (2.9)

Deret (2.9) ini disebut Deret Fourier dari ( ) pada ,

sedangkan (2.1) disebut dengan Deret Fourier Sinus dari ( ) pada

.

D. Persamaan Deret Fourier

Persamaan deret Fourier yang akan digunakan adalah

( )

∑ .

/

(2.10)

dengan

∫ ( )

(2.11)

∫ ( )

(2. 12)

adalah fungsi yang diketahui.

L adalah periode fungsi yang diketahui.

Dalam skripsi ini hanya akan memperhatikan kasus khusus untuk

periode L=1, dengan persamaan:

( )

∑ ( ( ) ( ))

. (2.13)

Jika semua nilai pada deret Fourier ini sama dengan nol, maka

fungsi yang akan dihasilkan adalah fungsi sinus yang merupakan fungsi

ganjil yang simetris terhadap titik awal, yaitu

( ) ∑ ( ) . (2.14)


20

Dalam skripsi ini akan dibatasi hanya fungsi yang memiliki simetri

terhadap titik awal, yaitu fungsi ganjil, dan memiliki periode 1.

E. Contoh-Contoh Nada Dari Deret Fourier

Ada beberapa contoh bentuk gelombang dasar, yaitu:

a) ( ) (gelombang gigi gergaji)

Gambar 2.4

b) ( ) {

(gelombang persegi)

Gambar 2.5


21

c) ( )

{

(gelombang segitiga)

Gambar 2.6

Fungsi-fungsi di atas adalah fungsi dengan periode 1. Dengan

mengambil dan menghitung menggunakan (2. 12) dengan L=1,

diperoleh:

∫ ( ) ( )

atau

∫ ( ) ( )

.

a) Untuk ( ) diperoleh

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( )

∫ ( )


22

( )|

(

( )

( ) ( )*|

( ( ) ( ))

((

( )

( ) ( )*

(

( )

( ) ( )*)

( ) (

*

(

*

(

*

.

Dengan menyubstitusikan ke persamaan (2. 14), didapatkan

( ) sebagai berikut:

( )

∑

( ).

b) Untuk ( ) {

diperoleh

∫ ( ) ( )

(∫ ( )

∫ ( )

)

(

( )|

( )|

⁄+


23

((

( )

( )*

(

( )

( )*)

((

( )

* (

( )*)

( ( ) )

di mana ( ) {

sehingga {



( ) ∑

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ( )

( )

( ) *

∑

( ( ) ).

c) Untuk ( )

{

diperoleh

∫ ( ) ( )


24

(∫ ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

)

( (

( )

( ) ( )*|

⁄

( (

( )* (

( )

( ) ( )*)|

⁄

⁄

( (

( )

( ) ( )* (

( )*)|

⁄)

( ((

.

/

( ) .

/*

(

( )

( ) ( )*)

((

(

** (

.

/*)

((

(

*

( ) (

**

(

.

/

( ) .

/*)

((

( )

( ) ( )*

(

(

*

( ) (

**)

((

( )* (

(

**)+


25

( ((

( ) .

/* (

( ) *)

((

* (

*)

((

( ) (

**

(

( ) .

/*)

((

( ) *

(

( ) (

**)

((

* (

*)+

( ((

( ) .

/* ) ( )

((

( ) (

**

(

( ) .

/*)

((

* (

( ) (

**)

((

* )+

(

( ) .

/

( ) (

*

( ) .

/

( ) (

*

*

(

( ) .

/

( ) (

**

(

.

/

(

**


26

(

( .

/ (

**)

n = 1

(

( .

/ (

**)

( ( ))

( )

.

n = 2

(

( (

* (

**)

( )

.

n = 3

(

( (

* (

**)

(

( )*

(

*

.

n = 4

(

( (

* (

**)

(

( )*

( )

.


27

n = 5

(

( (

* (

**+

(

( ( ))*

(

*

.



( ) ∑ ( )

( ) (

* ( )

( )

( ) (

* ( )

( )

( ( ) (

* ( )

( ) *

∑ ( ) .

/

( ( ) ).

Dari tiga buah gelombang dasar ini, kita telah mendapatkan contoh

nada dari deret Fourier.


28

F. Pembuatan Nada oleh Erich Neuwirth

Erich Neuwirth telah mengaplikasikan persamaan awal dari

gelombang dasar ke dalam aplikasi Mathematica (Neuwirth, E, 2001, 91-

98.). Pengaplikasian persamaan awal gelombang dasar yang dilakukan

oleh Neuwirth adalah sebagai berikut.


29

Menurut Neuwirth nada yang dihasilkan dari ketiga persamaan awal

gelombang dasar di atas tidak begitu baik, sehingga diperlukan fungsi lain untuk

menciptakan hasil yang baik. Dengan menggunakan deret Fourier, yang telah

dibahas di atas, akan dihasilkan nada yang lebih baik. Pengaplikasian deret

Fourier ke dalam aplikasi Mathematica yang dilakukan oleh Neuwirth adalah

sebagai berikut.


30

BAB III

PEMBUATAN NADA

A. Pengaplikasian Dalam Program MATLAB

Pada Bab II telah dibahas tentang pengaplikasian yang dilakukan

oleh Erich Neuwirth dengan menggunakan program Mathematica. Pada

Bab ini akan dibahas tentang pengaplikasian pada program MATLAB.

Dengan menggunakan aplikasi MATLAB, seperti pengaplikasian yang

dilakukan oleh Neuwirth, persamaan awal gelombang dasar didefinisikan

menjadi suatu bahasa program dalam MATLAB sehingga akan didapatkan

suatu perpaduan nada.


31

Gambar 3.1

Nada yang dihasilkan dari ketiga persamaan awal gelombang dasar di atas

tidak begitu baik, sehingga akan digunakan deret Fourier yang telah dibahas di

atas ke dalam MATLAB.


32

Gambar 3.2


33

B. Beberapa Fungsi Tambahan

Untuk membuat suatu lagu dibutuhkan fungsi-fungsi yang akan

dinyatakan dalam deret Fourier agar mendapatkan nada yang baik.

a) ( ) {.

/

.

/

∫ ( ) ( )

(∫ (

* ( )

⁄

∫ (

* ( )

⁄

+

((

(

( )

( ) ( )*

( )*|

⁄

(

(

( )

( ) ( )*

( )*|

⁄*

(((

(

( )

( ) ( )*

( )*

(

( ( )

( ) ( )*

( )*)

((

(

( )

( ) ( )*

( )*

(

(

( )

( ) ( )*

( )*)+


34

(((

(

( )

( ) *

( )*

(

(

( ) *

*)

((

(

( ) *

*

(

(

( )

( ) *

( )*)+

(((

( )

( )* (

*)

((

(

*

*

(

(

( ) *

( )*)+

((

( )

( )

*

((

*

(

( )

( )*)+

(

( )

( )

( )

( )*

(

( )

*

( )

di mana ( ) {


35

sehingga {



( ) ∑

( )

(

* ( ) (

* ( ) (

* ( )

(

* ( ) (

* ( )

(

* ( )

(

* ( ) (

* ( ) (

* ( )

(

* ( ) (

* ( )

(

* ( )

((

* ( ) (

* ( )

(

* ( ) )

((

* ( ) (

* ( )

(

* ( ) )

(

( ( )

( )

( ) *)

(

( ( )

( )

( ) *)

∑ .

/

( ( ) )

.

/

( ).


36

Pengaplikasian ke dalam MATLAB:

Gambar 3.3

b) ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( )

(

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ))|


37

((

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )*

(

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )*)

((

( )

( )

( ) * )

(

( ) *

( )

( )



( ) ∑

( )

∑(

( ) *

( )

∑( ( )

( ) )

( )

∑ . ( )

( ) /

( ).

Pengaplikasian ke dalam MATLAB:


38

Gambar 3.4

c) ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( )

(

( )

( ) ( )*|

((

( )

( ) ( )*

(

( )

( ) ( )*)

((

* )

(

*


39

( ) ∑

( )

∑

( )

∑

( ).

Pengaplikasian dengan program MATLAB:

Gambar 3.5

C. Penyempurnaan Suara

Untuk mendapatkan suara yang baik, diperlukan modifikasi

persamaan , yaitu dengan mengubah pada persamaan ( )

∑ ( ) dengan suatu angka tertentu.


40

Misalnya dipilih nilai . Maka persamaan ( )

∑ ( ) akan menjadi:

( )

∑

( )

( )

∑

( ( ) )

( )

∑( ) (

*

( ( ) )

( ) ∑(

*

( ( ) )

(

*

( )

( ) ∑( ( )

( ) )

( )

( )

∑

( ).

Dengan demikian pengaplikasiannya dalam MATLAB akan

menjadi seperti berikut:


41


42


43

D. Pembuatan Nada

Dalam pembuatan nada, dibutuhkan suatu perpaduan dari nada-

nada yang tersedia. Perpaduan nada yang dipilih adalah sebagai berikut:


44


45

Gambar 3.6

Dalam pembuatan nada, sebaiknya dipilih perpaduan nada yang

sesuai dengan yang diinginkan. Pada program di atas baris 60 berisi

beberapa susunan nada yang telah didefinisikan oleh fungsi pada baris-baris

di atasnya.


46

BAB IV

PENUTUP

A. Kesimpulan

Beberapa kesimpulan yang dapat dipaparkan di antaranya adalah:

1. Berdasarkan penelitian yang dilakukan oleh Erich Neuwirth, deret

Fourier dapat digunakan untuk menghasilkan nada yang lebih baik

dibandingkan dengan yang dihasilkan oleh persamaan awal dari suatu

fungsi (Neuwirth, E, 2001).

2. Dari makalah ini dapat disimpulkan bahwa dengan menggunakan

persamaan dalam matematika dapat diciptakan sebuah nada.

B. Saran

Beberapa saran yang dapat diberikan kepada para pembaca yang

ingin melanjutkan karya ilmiah ini adalah:

1. Dapat dicoba persamaan-persamaan yang telah dibahas dengan nilai

yang lainnya.

2. Dapat dicari persamaan-persamaan khusus untuk setiap kunci g, a, b,

c, dan seterusnya dalam musik, sehingga dapat dipakai untuk

pembuatan lagu.

3. Persamaan-persamaan dalam makalah ini dapat diaplikasikan ke dalam

aplikasi lainnya, agar bagi yang tidak menguasai MATLAB dapat

menggunakan aplikasi lainnya tersebut.


47

DAFTAR PUSTAKA

Coleman, Matthew P. (2013). An Introduction to Partial Differential Equations,

with MATLAB. Second Edition. New York: CRC Press.

Martono, K. (1999). Kalkulus. Jakarta: Erlangga.

Neuwirth, E. (1997). Musical Temperaments. New York: Springer Verlag.

http://bookzz.org/book/2089226/ddcahf/. Diakses tanggal 29 Februari 2016.

Neuwirth, E. (2001). Designing a Pleasing Sound Mathematically. Mathematics

Magazine, 74(2): 91-98.

Stewart, J. (2009). Kalkulus. Edisi Ke 5. Jakarta: Penerbit Salemba Teknika.


http://bookzz.org/book/2089226/ddcahf/

aplikasi deret fourier untuk pembuatan nada dasar

Documents