Dipartimento di Informatica Università degli Studi di Verona

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Rapporto di Ricerca Research Report

RR 13/2003

Trasformata Wavelet e Trasformata di Gabor a confronto

Laura Ottaviani

Indice

Sommario 2

1 Definizioni preliminari 4

2 Introduzione alle frame 8

3 Trasformata di Gabor vs. Trasformata Wavelet 113.1 Analisi tempo-frequenza: dalla trasformata di Fourier alla

trasformata di Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 La Trasformata Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.1 La Trasformata Wavelet continua . . . . . . . . . . . . 163.2.2 La Trasformata Wavelet discreta . . . . . . . . . . . . 18

3.3 La Trasformata di Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.1 La Trasformata di Gabor continua . . . . . . . . . . . 223.3.2 La Trasformata di Gabor discreta . . . . . . . . . . . 22

4 Conclusioni 264.1 Tabella riassuntiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Bibliografia 28

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Sommario

Dopo aver introdotto le definizioni preliminari necessarie per la compren-sione dell’argomento trattato, sara presentato il concetto di frame per unospazio di Hilbert H, che sara richiamato successivamente.

Si passera, quindi, all’argomento centrale di questo studio: la trasformatawavelet e la trasformata di Gabor. Esse saranno presentate sia nel casocontinuo, che in quello discreto.

Per entrambe le trasformate, verranno evidenziate le loro proprieta,confrontando i vantaggi e gli svantaggi di ciascuna di esse. Inoltre, sipresenteranno gli aspetti comuni di esse, le loro similarita e le loro differenze.

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Capitolo 1

Definizioni preliminari

Definizione 1.1 Uno spazio vettoriale V e detto spazio vettoriale normatose e dotato di una funzione ‖ ‖ : V 7−→ [0,∞[ tale che

1. ‖x‖ = 0⇐⇒ x = 0

2. ‖αx‖ = |α|‖x‖ ∀x ∈ V, α ∈ C

3. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ ∀x, y ∈ V

La funzione ‖ ‖ e chiamata norma.

Definizione 1.2 Una successione {xn}n∈N e detta successione di Cauchyse per ogni ε > 0 esiste N ∈ N tale che

‖xn − xm‖ ≤ ε ∀n,m ≥ N (1.1)

Definizione 1.3 Lo spazio di Banach o spazio normato completo e lo spa-zio normato in cui ogni successione di Cauchy converge.

Definizione 1.4 Lo spazio di Hilbert e uno spazio vettoriale H, dotato diprodotto interno, che sia uno spazio di Banach rispetto alla norma indotta,cioe e uno spazio vettoriale H, dotato di prodotto interno 〈 , 〉, tale che lanorma definita da ‖x‖ :=

√〈x, x〉, x ∈ H lo rende uno spazio di Banach.

Due spazi di Hilbert sono particolarmente interessanti per questo studio:

• lo spazio delle funzioni a valori complessi, definito su R, che sono aquadrato integrabile rispetto alla misura di Lebesgue

L2(R) :={f : R 7−→ C : f e misurabile e

∫|f(x)|2 dx <∞

}4

Esso e uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto interno

〈f, g〉L2 =∫f(x)g(x) dx

dove g(x) e il coniugato complesso di g(x).

• lo spazio delle successioni a quadrato sommabile, dove l’insieme I degliindici e numerabile

l2(I) :=

{{xn}n∈I :

∑n∈I|xn|2 <∞

}

Esso e uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto interno

〈{xn}, {yn}〉l2 =∑n∈I

xnyn

Definizione 1.5 Siano K e H due spazi di Hilbert. Sia T una funzionelineare da K a H. Si dice che T e limitata se esiste una costante k > 0 taleche

‖Tx‖ ≤ k‖x‖ ∀x ∈ K (1.2)

La norma ‖T‖ di T e la piu piccola costante k che puo essere usata nellacondizione 1.2, oppure, equivalentemente,

‖T‖ = sup {‖Tx‖ : x ∈ K, ‖x‖ = 1}

Definizione 1.6 Siano K e H due spazi di Hilbert. L’operatore aggiuntoe l’unico operatore T ∗ tale che T ∗ : H 7−→ K soddisfa

〈x, Ty〉H = 〈T ∗x, y〉K, ∀x ∈ H, y ∈ K

Se K = H, allora:

• l’operatore T si dice autoaggiunto se T = T ∗;

• l’operatore T si dice unitario se TT ∗ = T ∗T = I. Se T e unitario,allora

〈Tx, Ty〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ H

Definizione 1.7 Su L2(R) definiamo i seguenti operatori:

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• di traslazione (nel tempo)

Ta : L2(R) 7−→ L2(R), a ∈ R

(Taf)(x) = f(x− a)

• di modulazione (o di traslazione in frequenza)

Mb : L2(R) 7−→ L2(R), b ∈ R

(Mbf)(x) = eibxf(x)

• di dilatazioneDa : L2(R) 7−→ L2(R), a > 0

(Daf)(x) =1√|a|f(xa

)Si puo dimostrare che gli operatori Ta, Mb e Da sono unitari. Si noti che Mb

e Ta non commutano, ma vale la seguente relazione: TaMb = e−ibaMbTa.

Definizione 1.8 Siano {λi, ∀i ∈ [1, n]} ∈ C e {vi, ∀i ∈ [1, n]} ∈ V , doveV e uno spazio complesso di dimensione finita. I vettori {vi, ∀i ∈ [1, n]}sono linearmente indipendenti per ogni λi ∈ C se

n∑i=1

λivi = 0⇒ λi = 0, ∀i ∈ [1, n]

Definizione 1.9 Un insieme {vi, ∀i ∈ [1, n]} ∈ V di vettori linearmenteindipendenti in uno spazio complesso V di dimensione finita e una base perV se

∀v ∈ V ∃{λi, ∀i ∈ [1, n]} ∈ C : v =n∑i=1

λivi

Definizione 1.10 Due vettori x, y ∈ H sono ortogonali se 〈x, y〉 = 0.

Definizione 1.11 Si definisce {ei}∞i=1 ⊆ H un sistema ortonormale (ONS)se 〈ei, ej〉 = δi,j, dove δi,j e la δ-funzione di Kronecker, ossia quella funzioneche vale 1 se i = j, 0 altrimenti.

Definizione 1.12 Un sistema ortonormale {ei}∞i=1 e una base ortonormale(ONB) se H = span{ei}∞i=1.

6

Definizione 1.13 Sia V uno spazio vettoriale e S ⊆ V e non vuoto. Allorav ∈ V si dice combinazione lineare degli elementi di S se esiste un numerofinito n di vi ∈ V e ai ∈ R tale che v =

∑ni=1 aivi. Si dice che v e una

combinazione lineare di {vi}ni=1 con coefficienti {ai}ni=1.

Definizione 1.14 Sia S ⊆ V e non vuoto. Lo span di S indicato conspan(S) e l’insieme che contiene tutte le combinazioni lineari degli elementidi S. Per convenzione: span(0) = {0}.

Per un sistema ortonormale {ei}∞i=1, H = span{ei}∞i=1 e equivalente allaformula di Parseval:

∞∑i=1

|〈f, ei〉|2 = ‖f‖2 ∀f ∈ H

Quando {ei}∞i=1 e una base ortonormale, ogni f ∈ H puo essere scritta come:

f =∞∑i=1

〈f, ei〉ei

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Capitolo 2

Introduzione alle frame

Definizione 2.1 Una frame per uno spazio di Hilbert H con prodotto in-terno 〈 , 〉 e una famiglia di elementi {fi}∞i=1 ⊆ H tale che

∃A > 0, B <∞ : A‖f‖2 ≤∑i∈I|〈f, fi〉|2 ≤ B‖f‖2 ∀f ∈ H (2.1)

dove i numeri A, B sono detti frame bound.

Si osservi che i frame bound non sono unici.I frame bound definiti ottimali sono il piu grande valore possibile per

A e il piu piccolo valore possibile per B nell’eq. 2.1. Se A = B, allora laframe e detta tight. Se una frame cessa di essere tale quando un qualsiasisuo elemento viene rimosso, la frame viene definita esatta.

Si noti che le frame non sono necessariamente basi ortonormali.

Teorema 2.1 (Condizione sufficiente per una tight frame con fra-me bound A = B = 1 affinche essa sia una base ortonormale) Sia{fi}i∈I ⊆ H una tight frame in H, con frame bound A = B = 1. Supponiamo‖fi‖ = 1 per ogni i ∈ I. Allora {fi}i∈I e una base ortonormale.

Definizione 2.2 Sia {fi}i∈I ⊆ H una frame in H e c = {ci}i∈I una suc-cessione in l2(I). Definiamo l’operatore di analisi T come la funzionelineare:

T : H 7−→ l2(I)

Tf = {〈f, fi〉}∞i=1

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L’operatore aggiunto T ∗ di T e calcolato nel modo seguente:

〈T ∗{ci}i∈I , f〉 = 〈{ci}, T f〉=

∑i∈I

ci Tf

=∑i∈I

ci〈f, fi〉

=∑i∈I

ci〈fi, f〉

(2.2)

da cui:T ∗{ci}i∈I =

∑i∈I

cifi

L’operatore T ∗ e chiamato operatore di sintesi o espansione.

Definizione 2.3 Sia {fi}i∈I ⊆ H una frame in H. L’operatore di frame edefinito come la funzione:

S : H 7−→ H

Sf = T ∗Tf =∑i∈I〈f, fi〉fi

Definizione 2.4 Sia {fi}i∈I ⊆ H una frame in H. Definiamo una famigliadi vettori {fi}i∈I come segue:

fi = S−1fi = (T ∗T )−1fi

Si puo dimostrare (teorema 2.2) che tale famiglia costituisce una frame, chechiamiamo frame duale di {fi}.

Teorema 2.2 (Proprieta dell’operatore di frame) Sia {fi}i∈I ⊆ H unaframe in H con frame bound A, B. Per l’operatore di frame S valgono leseguenti proprieta:

1. L’operatore di frame S e invertibile e soddisfa B−1I ≤ S−1 ≤ A−1I;

2. fi = {S−1fi} e una frame con bound B−1, A−1.

Una frame possiede una delle proprieta principali di una base, ossia quel-la di poter esprimere una funzione come combinazione lineare degli elementidella base.

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Teorema 2.3 (Decomposizione in frame) Se {fi}i∈I e una frame conoperatore di frame S, allora ogni elemento dello spazio di Hilbert H si puorappresentare come combinazione lineare di elementi della frame.

f = SS−1f

=∑i∈I〈f, S−1fi〉fi ∀f ∈ H

=∑i∈I〈f, fi〉fi ∀f ∈ H

(2.3)

Spesso viene anche usata la decomposizione in frame nella forma:

f = S−1Sf

=∑i∈I〈f, fi〉S−1fi ∀f ∈ H

=∑i∈I〈f, fi〉fi ∀f ∈ H

(2.4)

Percio, da tale teorema, se {fi}i∈I e una frame, ricaviamo la formula

f =∑i∈I〈f, fi〉fi =

∑i∈I〈f, fi〉fi ∀f ∈ H (2.5)

Essa indica:

• sia come ricostruire f a partire da 〈f, fi〉, cioe come, nota la frameduale {fi} di {fi}i∈I , possiamo ricostruire f mediante 〈f, fi〉. Percio sideve solamente calcolare fi e cio implica l’inversione di T ∗T = S;

• sia come scrivere f come sovrapposizione di fi.

Si osservi che, dati i coefficienti 〈f, fi〉, i vettori fi che ricostruiscono f nonsono determinati univocamente. Infatti, le frame non sono generalmentebasi (ortonormali), poiche gli fi sono di solito non linearmente indipendenti.Quindi, uno stesso f puo essere ricostruito dagli stessi 〈f, fi〉, ma con vet-tori fi diversi. Cio significa che esistono molte sovrapposizioni diverse cheportano alla medesima f .

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Capitolo 3

Trasformata di Gabor vs.Trasformata Wavelet

3.1 Analisi tempo-frequenza: dalla trasformata diFourier alla trasformata di Gabor

L’analisi tempo-frequenza occupa un posto centrale nell’analisi dei segnali.La trasformata di Fourier, definita da

Ff(ξ) = f(ξ) =1√2π

∫ ∞−∞

e−ixξf(x)dx, ξ ∈ R, f(ξ) ∈ C (3.1)

e ideale per studiare segnali stazionari, in cui, cioe, le proprieta sono stati-sticamente invarianti nel tempo. Molti processi e segnali, pero, sono non-stazionari, ossia essi evolvono nel tempo, come, per esempio, i segnali vocalie la musica.

Per analizzare segnali non-stazionari bisogna utilizzare una rappresenta-zione che sia locale sia nel dominio del tempo, sia in quello delle frequen-ze. Per localita nel tempo si intende la capacita di localizzare il contenutodi frequenze appartenenti ad un certo intervallo temporale. Si pensi, adesempio, ad uno spartito musicale, il quale indica al musicista quale notasuonare (l’informazione riguardo la frequenza), e in quale istante suonarla(l’informazione temporale).

La trasformata di Fourier non permette la localizzazione temporale, poi-che per calcolare il suo valore f ad una determinata frequenza ξ, si deveconoscere l’intero segnale f(x). Se in un certo istante x il segnale vienealterato, questo si ripercuote sull’intero spettro.

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Un approccio per ottenere un’analisi tempo-frequenza locale consiste nel“tagliare” il segnale in parti e applicare un’analisi di Fourier su ciascuna diqueste parti. Le funzioni, pero, ottenute da una segmentazione di questotipo, non smussata, non sono periodiche, poiche la trasformata di Fourierinterpreta i salti agli estremi come discontinuita o come brusche variazionidel segnale.

Per evitare tali artefatti, e stato introdotto il concetto di windowing(finestratura). Invece di localizzare il segnale mediante una funzione ret-tangolare, si usa, per la segmentazione, una funzione finestra smussata, cheassuma un valore vicino ad 1 intorno all’origine e decada verso il valore 0agli estremi. La procedura di analisi locale tempo-frequenza risultante vienedetta Short-Time Fourier Transform continua (STFT ) o windowed Fouriertransform o trasformata di Gabor.

La trasformata di Gabor di una funzione arbitraria f ∈ L2(R) rispettoad una data finestra g e definita come:

Twinf(t, ω) =∫f(s)g(s− t)e−iωsds (3.2)

Indicando con Tt e Mω gli operatori rispettivamente di traslazione e modu-lazione, possiamo esprimere la eq. 3.2 come

Twinf(t, ω) = 〈f, TtMωg〉= 〈f, gω,t〉 (3.3)

La trasformata di Gabor o STFT e vista come la sovrapposizione traslata neltempo e nella frequenza (cioe modulata) della finestra g data. Le funzionigω,t vengono, talvolta, definite [4] funzioni figlie di g, mentre g e chiamatafunzione finestra o atomo di Gabor.

Uno svantaggio della STFT e il suo limite nella capacita risolutiva tempo-frequenza, dovuta al principio di indeterminazione. Infatti, le frequenzegravi sono difficilmente rappresentabili con finestre strette, mentre breviimpulsi possono essere localizzabili con fatica nel tempo se si utilizzanofinestre ampie. Quindi, per riassumere:

• finestra stretta: buona risoluzione temporale; risoluzione frequenzialepovera

• finestra ampia: buona risoluzione frequenziale, risoluzione temporalepovera

Un’altro svantaggio della STFT continua e la sua elevata ridondanza. Sipuo ridurre tale ridondanza campionando Twinf(t, ω), cioe valutandola su

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un reticolo discreto del piano tempo-frequenza. La discretizzazione applicataper t, ω consiste in:

t = nt0, ω = mω0 (3.4)

dove t0, ω0 > 0 sono fissati e n,m ∈ Z, ossia si campiona Twinf su unreticolo tempo-frequenza della forma t0Z × ω0Z, in cui t0, ω0, chiamatecostanti di reticolo, indicano il passo di campionamento in traslazione emodulazione. Quindi, la eq. 3.2 diventa:

Twinm,n f =

∫f(s)g(s− nt0)e−imω0sds

= 〈f, Tnt0Mmω0g〉= 〈f, gm,n〉 (3.5)

Possiamo dire che le gm,n(s) = eimω0sg(s− nt0) sono ottenute traslandog lungo il reticolo t0Z × ω0Z nel piano tempo-frequenza. Percio, ogni gm,noccupa una certa area nel piano tempo-frequenza. Per costanti di reticolot0, ω0 scelte appropriatamente, le gm,n coprono tutto il piano.

Nella figura 3.1, sono rappresentate le funzioni elementari di Gaborgm,n(s) = eimω0sg(s − nt0) che sono copie traslate nel tempo e nella fre-quenza della della finestra g data. Ogni gm,n ha inviluppo della forma dig.

Nella figura 3.2, sono rappresentate schematicamente le posizioni dellefunzioni elementari di Gabor gm,n nel piano tempo-frequenza.

Nella sez. 3.3.2, vedremo piu dettagliatamente le proprieta dipendentidal valore del prodotto t0ω0 e stabiliremo un limite ad esso. Ricordiamo cheGabor propose di usare la funzione di Gauss e le sue traslazioni e modulazionicon costanti di reticolo tali che t0ω0 = 2π, poiche essi, come riporta [6]citando [8], “assicurano il miglior utilizzo dell’area dell’informazione, nelsenso che posseggono il piu piccolo prodotto di durata efficace per ampiezzaefficace”.

3.2 La Trasformata Wavelet

La trasformata wavelet fornisce una descrizione tempo-frequenza simile allaSTFT, con alcune differenze significative.

Le formule per la trasformata wavelet, analoghe alle eq. 3.2 e eq. 3.5rispettivamente, sono le seguenti:

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Figura 3.1: Funzioni gm,n, figlie di g. In questa figura e stata rappresentatasolo la parte reale delle funzioni gm,n. La figura e stata tratta da [6] eadattata secondo la nostra notazione.

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Figura 3.2: Posizioni delle funzioni elementari di Gabor gm,n nel pianotempo-frequenza rappresentate schematicamente. La figura e stata trattada [6] e adattata secondo la nostra notazione.

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• caso continuo

Twavf(a, b) =1√|a|

∫f(s)ψ

(s− ba

)ds, a, b ∈ R, a 6= 0 (3.6)

• caso discreto

Twavj,k (f) =

1√aj0

∫f(s)ψ

(s

aj0− kb0

)ds j, k ∈ Z, a0 > 1, b0 > 0

(3.7)

In entrambi i casi assumiamo che ψ soddisfi∫ψ(s)ds = 0. In seguito

vedremo il motivo per una tale assunzione.

3.2.1 La Trasformata Wavelet continua

Prendiamo in considerazione la trasformata wavelet continua:

Twavf(a, b) =1√|a|

∫f(s)ψ

(s− ba

)ds, a, b ∈ R, a 6= 0

= 〈f, TbDaψ〉= 〈f, ψa,b〉 (3.8)

Le funzioni ψa,b sono dette wavelet o, talvolta [4], wavelet figlie, mentre lafunzione ψ e chiamata wavelet madre.

Si puo notare una similarita tra essa e la STFT (eq. 3.2, 3.3): sia la tra-sformata wavelet che quella di Gabor nel continuo considerano il prodottointerno di f con una famiglia di funzioni di analisi indicizzate da due para-metri, gω,t(s) = eiωsg(s− t) in eq. 3.2, 3.3 e ψa,b(s) = 1√

|a|ψ(s−ba

)in eq. 3.8.

Pero, la trasformata di Gabor o STFT produce, nel piano tempo-frequenza,una traslazione nel tempo e nella frequenza (modulazione) di una finestrag data, mentre la trasformata wavelet produce, nel dominio del tempo, unatraslazione ed una dilatazione nel tempo di una wavelet madre ψ data.

Nella figura 3.3, sono rappresentate schematicamente le wavelet cometraslazione ed dilatazione nel dominio del tempo di una wavelet madre ψdata.

I parametri a,b sono i parametri rispettivamente di dilatazione e di trasla-zione. Quando il parametro di dilatazione a cambia, l’equazione ψa,0(s) =

1√|a|ψ(sa

)copre diversi intervalli di frequenza: grandi valori di |a| corri-

spondono a frequenze gravi o ad una ψa,0 ampia, mentre piccoli valori di

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Figura 3.3: Wavelet come traslazione ed dilatazione nel dominio del tempodi una wavelet madre ψ data. La figura e stata tratta da [9].

|a| corrispondono a frequenze acute o ad una ψa,0 stretta. Il parametro ditraslazione b permette di muovere il centro di localizzazione del tempo: ogniψa,b(s) e localizzata intorno a s = b.

La differenza tra la trasformata wavelet e quella di Gabor sta nella formadelle funzioni di analisi gω,t e ψa,b. Le funzioni gω,t consistono tutte dellastessa funzione inviluppo g, l’atomo di Gabor, traslata alla localizzazionetemporale appropriata e “riempita” con oscillazioni a frequenze piu acute.Tutte le gω,t, trascurando il valore ω, hanno la stessa ampiezza. Invece, leψa,b hanno ampiezze nel tempo che variano con la frequenza: ψa,b a fre-quenze acute sono molto strette, mentre ψa,b a frequenze gravi sono moltoampie. Percio, la trasformata wavelet e in grado di “zoomare” meglio ri-spetto a quella di Gabor o STFT su segnali a frequenze acute molto brevi,privilegiando la risoluzione temporale alle frequenze acute e la risoluzionespettrale alle frequenze gravi.

La trasformata wavelet continua e una trasformata reversibile, se vienesoddisfatta la seguente condizione di ammissibilita:

Cψ = 2π∫ +∞

−∞

|ψ(ξ)|2

|ξ|dξ <∞ (3.9)

Questa non e una richiesta molto restrittiva. La trasformata waveletcontinua e reversibile se la condizione di ammissibilita 3.9 viene soddisfatta,anche se le funzioni base non sono ortonormali.

La costante Cψ dipende solo da ψ, ossia dalla wavelet madre utilizzata.Questa costante viene chiamata costante di ammissibilita.

Una funzione puo essere ricostruita dalla sua trasformata wavelet me-diante la formula di ricostruzione seguente, detta formula della risoluzionedi identita:

f = C−1ψ

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

1a2〈f, ψa,b〉ψa,bdadb

17

= C−1ψ

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

1a2

(Twavf)ψa,bdadb (3.10)

Se ψ e in L1(R), allora ψ e continua e la condizione di ammissibilita puoessere soddisfatta solo se ψ(0) = 0, cioe

∫ψ(s)ds = 0.

La eq. 3.10 puo essere vista in due modi diversi:

• come un modo di ricostruire f quando la sua trasformata waveletTwavf e nota;

• come un modo di scrivere f come sovrapposizione di wavelet ψa,b.I coefficienti di questa sovrapposizione sono dati esattamente dallatrasformata wavelet Twavf di f.

3.2.2 La Trasformata Wavelet discreta

Consideriamo, ora, la trasformata wavelet discreta. La eq. 3.7 e stata ot-tenuta dalla eq. 3.6 riducendo a, b a valori discreti, come spiegato qui diseguito.

Per quanto riguarda il parametro di dilatazione, la discretizzazione ea = aj0 dove j ∈ Z e il passo di dilatazione a0 6= 1 e fissato. Per convenienzasi assume che a0 > 1.

Per il parametro di traslazione b,

• per j = 0, sembra naturale prendere solo gli interi (positivi e nega-tivi) multipli di un b0 fissato (si assume b0 > 0), dove b0 sia sceltoappropriatamente in modo che ψ(s− kb0) copra l’intero asse;

• per j 6= 0, l’ampiezza di 1√aj0

ψ

(s

aj0

)e aj0 volte l’ampiezza di ψ(s).

Percio, la scelta b = kb0aj0 assicurera che le wavelet discretizzate al

livello j coprano l’asse come avviene per ψ(s− kb0).

Per convenienza, nella discretizzazione riduciamo il parametro a sola-mente a valori positivi. In tal modo, la condizione di ammissibilita diventa:

Cψ =∫ +∞

0

|ψ(ξ)|2

ξdξ =

∫ 0

−∞

|ψ(ξ)|2

|ξ|dξ <∞ (3.11)

Riassumendo, quindi, discretizziamo la trasformata wavelet continua sce-gliendo: a = aj0, b = kb0a

j0, dove j, k ∈ Z, a0 > 1, b0 > 0 fissati. La scelta di

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a0, b0 appropriati dipende dalla wavelet madre ψ. Con tale discretizzazioneotteniamo:

ψj,k(s) =1√aj0

ψ

(s− kb0aj0

aj0

)

=1√aj0

ψ

(s

aj0− kb0

)= (D

aj0Tkb0ψ)(s) (3.12)

Ci poniamo, ora, due domande:

1. I coefficienti wavelet discreti 〈f, ψj,k〉 caratterizzano completamente lafunzione f? Possiamo ricostruire la funzione f in un modo numerica-mente stabile a partire dai coefficienti 〈f, ψj,k〉?

2. Ogni funzione f puo essere scritta come sovrapposizione di “blocchi co-struttivi elementari” ψj,k? Possiamo trovare un algoritmo per trovarei coefficienti di una tale sovrapposizione?

Queste domande sono aspetti duplici dello stesso problema.Nel caso della trasformata wavelet continua, la risoluzione di identita 3.10

risponde ad entrambe le domande, se, almeno, ψ e ammissibile.Nel caso discreto, invece, non c’e una equazione analoga alla risoluzione

di identita. Si osservi che cio non e vero per ψ speciali. Se le ψj,k co-stituiscono una base ortonormale, allora l’espansione ripetto a questa baseortonormale fornisce una risoluzione di identita discreta.

Cerchiamo se esiste una condizione di ammissibilita discreta e qual’e.Consideriamo funzioni f ∈ L2(R). Esse possono essere caratterizzate me-diante i loro coefficienti wavelet 〈f, ψj,k〉 se e vero che

〈f1, ψj,k〉 = 〈f2, ψj,k〉 ∀j, k ∈ Z ⇒ f1 ≡ f2

oppure, equivalentemente, se

〈f, ψj,k〉 = 0 ∀j, k ∈ Z⇒ f = 0

Ma, la prima domanda richiede piu della caratterizzabilita. Richiede sesia possibile ricostruire f in un modo numericamente stabile a partire daicoefficienti wavelet 〈f, ψj,k〉.

Si puo dimostrare che, per avere un algoritmo di ricostruzione numerica-mente stabile per f a partire dai coefficienti wavelet 〈f, ψj,k〉, le ψj,k devonocostituire una frame. In tal caso si parla di frame di wavelet. Possiamo,percio stabilire la seguente definizione:

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Definizione 3.1 Una frame di wavelet e una frame per L2(R) della forma{D

aj0Tkb0ψ}j,k∈Z, dove a0 > 1, b0 > 0 e ψ ∈ L2(R) e una funzione fissata,

cioeuna frame di wavelet e un sistema {ψj,k}j,k∈Z = {D

aj0Tkb0ψ}j,k∈Z in cui

esistono due costanti A > 0, B <∞ tali che

A‖f‖2 ≤∑j,k∈Z

|〈f, ψj,k〉|2 ≤ B‖f‖2 ∀f ∈ L2(R)

Il seguente teorema [3] e una generalizzazione di una condizione suffi-ciente presentata in [1].

Teorema 3.1 (Condizione sufficiente per avere una frame di wave-let) Siano ψ ∈ L2(R) data e a0 > 1 b0 > 0. Supponiamo che:

A := inf |ξ|∈[1,a0]

∑j∈Z|ψ(aj0ξ)|

2 −∑k 6=0

∑j∈Z

∣∣∣∣∣ψ(aj0ξ)ψ(aj0ξ +

k

b0

)∣∣∣∣∣ > 0

B := sup|ξ|∈[0,a0]

∑k 6=0

∑j∈Z

∣∣∣∣∣ψ(aj0ξ)ψ(aj0ξ +

k

b0

)∣∣∣∣∣ <∞allora {D

aj0Tkb0ψ}j,k∈Z e una frame per L2(R) con frame bound A

b0, Bb0

.

Applicando la decomposizione in frame (eq. 2.5),

f =∑j,k

〈f, ψj,k〉ψj,k =∑j,k

〈f, ψj,k〉ψj,k

si trova un algoritmo per ricostruire f a partire dai coefficienti wavelet〈f, ψj,k〉, se le ψj,k costituiscono una frame. Contemporaneamente, mediantelo stesso teorema, si ottiene l’algoritmo per scrivere f come sovrapposizionedelle ψj,k. Per questa ragione, le due domande poste in precedenza sonoaspetti duplici dello stesso problema.

Si puo dimostrare che la richiesta che le ψj,k costituiscano una frame,impone gia che ψ sia ammissibile. Infatti:

Teorema 3.2 (Condizione necessaria per avere una frame di wave-

let: l’ammissibilita della wavelet madre) Se le ψj,k(s) = 1√aj0

ψ

(s

aj0− kb0

),

j, k ∈ Z costituiscono una frame per L2(R) con frame bound A, B, allora

b0 ln a0

πA ≤

∫ +∞

0

|ψ(ξ)|2

ξdξ ≤ b0 ln a0

πB

20

eb0 ln a0

πA ≤

∫ 0

−∞

|ψ(ξ)|2

|ξ|dξ ≤ b0 ln a0

πB

Quindi, assumiamo sempre che ψ sia ammissibile. Se le ψj,k costituisconouna tight frame, allora

A = B =π

b0 ln a0

∫|ψ(ξ)|2

ξdξ

e se normalizziamo ψ tale che∫|ψ(ξ)|2

ξdξ = 1

alloraA = B =

π

b0 ln a0

Percio, il teorema 3.2 stabilisce la relazione tra i parametri delle frame diwavelet e i frame bound.

3.3 La Trasformata di Gabor

Richiamiamo le formule della trasformata di Gabor, nel caso continuo (eq. 3.2,eq. 3.3) e in quello discreto (eq. 3.5):

• caso continuo

Twinf(t, ω) =∫f(s)g(s− t)e−iωsds

= 〈f, TtMωg〉= 〈f, gω,t〉 (3.13)

• caso discreto

Twinm,n f =

∫f(s)g(s− nt0)e−imω0sds

= 〈f, Tnt0Mmω0g〉= 〈f, gm,n〉 (3.14)

21

3.3.1 La Trasformata di Gabor continua

Data Twinf(t, ω) = 〈f, gω,t〉, dove gω,t(s) = eiωsg(s − t), la funzione f puoessere ricostruita dalla STFT mediante la formula inversa:

f = (2π‖g‖2)−1

∫∫Twinf(t, ω)gω,tdt dω (3.15)

Non c’e condizione di ammissibilita in questo caso: qualsiasi funzione gin L2(R) e ammessa.

Se normalizziamo g tale che ‖g‖L2 = 1, allora

f =1

2π

∫∫Twinf(t, ω)gω,tdt dω

3.3.2 La Trasformata di Gabor discreta

Consideriamo, ora, la trasformata di Gabor discreta, o STFT discreta. Pos-siamo, anche in questo caso, formulare le stesse domande che ci eravamoposti esaminando la trasformata wavelet discreta:

1. Possiamo ricostruire la funzione f in un modo numericamente stabilea partire dai coefficienti 〈f, gm,n〉?

2. Possiamo trovare un algoritmo efficiente per scrivere f come combina-zione lineare delle gm,n?

Le risposte a tali domande si trovano in modo analogo al caso delle wave-let. Una ricostruzione numericamente stabile di f a partire dai coefficienti〈f, gm,n〉 e possibile solo se le gm,n costituiscono una frame. In tal caso siparla di frame di Gabor. Possiamo, percio, stabilire la seguente definizione:

Definizione 3.2 Una frame di Gabor o Weyl-Heisenberg frame e una fra-me per L2(R) della forma {Mmω0Tnt0g}m,n∈Z, dove ω0, t0 > 0 e g ∈ L2(R)e una funzione fissata,cioeuna frame di Gabor e un sistema {gm,n}m,n∈Z = {Mmω0Tnt0g}m,n∈Z in cuiesistono due costanti A > 0, B <∞ tali che

A‖f‖2 ≤∑m,n∈Z

|〈f, gm,n〉|2 ≤ B‖f‖2 ∀f ∈ L2(R)

Il valore del prodotto t0ω0 e fondamentale per caratterizzare una framein L2(R). Cio viene affermato dal seguente teorema [3]:

22

Teorema 3.3 Sia {Mmω0Tnt0g}m,n∈Z una frame di Gabor con ω0, t0 > 0.

1. Se t0ω0 > 2π, allora {Mmω0Tnt0g}m,n∈Z non e completo in L2(R) e,quindi, non e una frame per L2(R).

2. Se {Mmω0Tnt0g}m,n∈Z e una frame, allora t0ω0 = 2π se e solo se{Mmω0Tnt0g}m,n∈Z e una base di Riesz.

dove definiamo una base di Riesz come segue:

Definizione 3.3 Una successione {fi}i∈N in uno spazio di Hilbert H e unabase di Riesz se esistono una base ortonormale {ei}i∈N per H e una funzioneinvertibile e limitata T : H 7−→ H tali che Tei = fi per ogni i ∈ N.

Percio, per il teorema 3.3, sappiamo che {Mmω0Tnt0g}m,n∈Z e una framesoltanto se t0ω0 ≤ 2π e la frame e sovracompleta se t0ω0 < 2π.

Il seguente teorema, analogo al teorema 3.1, definisce una condizionesufficiente per avere una frame di Gabor. Le condizioni di questi due teo-remi si ricavano secondo lo stesso procedimento, lasciando intuire, pur nelladiversita delle combinazioni degli operatori di modulazione, traslazione edilatazione, una comune origine tra le frame di Gabor e quelle wavelet.

Teorema 3.4 (Condizione sufficiente per avere una frame di Ga-bor) Siano g ∈ L2(R) data e ω0, t0 > 0. Supponiamo che:

A := infs∈[0,t0]

∑n∈Z|g(s− nt0)|2 −

∑m6=0

∣∣∣∣∣∑n∈Z

g(s− nt0)g(s− nt0 −

m

ω0

)∣∣∣∣∣ > 0

B := sups∈[0,t0]

∑m6=0

∣∣∣∣∣∑n∈Z

g(s− nt0)g(s− nt0 −

m

ω0

)∣∣∣∣∣ <∞allora {Mmω0Tnt0g}m,n∈Z e una frame per L2(R) con frame bound A

ω0, Bω0

.

Applicando la decomposizione in frame (eq. 2.5), se le {gm,n}m,n∈Z co-stituiscono una frame, allora ogni funzione f ∈ L2(R) puo essere scrittacome

f =∑m,n

〈f, gm,n〉gm,n =∑m,n

〈f, gm,n〉gm,n (3.16)

dove i gm,n sono i vettori nella frame duale di gm,n, che, in questo caso,viene chiamata frame duale di Gabor. L’equazione 3.16 mostra sia comericostruire f a partire dai coefficienti 〈f, gm,n〉, se le gm,n costituiscono unaframe, sia come scrivere f come sovrapposizione delle gm,n.

Analogamente al teorema 3.2, possiamo definire una condizione necessa-ria per avere una frame di Gabor:

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Teorema 3.5 (Condizione necessaria per avere una frame di Ga-bor: densita tempo-frequenza sufficientemente alta) Se le {gm,n}m,n∈Zcostituiscono una frame per L2(R) con frame bound A,B, allora

A ≤ 2πω0t0‖g‖2 ≤ B

Quindi, non imponiamo nessun’altra restrizione su g. Si ricordi che assu-miamo sempre g ∈ L2(R). Se le {gm,n}m,n∈Z costituiscono una tight frame,allora

A = B =2πω0t0‖g‖2

e se normalizziamo g tale che ‖g‖L2 = 1, allora

A = B =2πω0t0

In particolare, per il teorema 2.1, le gm,n costituiscono una base ortonormale,se ω0t0 = 2π. Percio, il teorema 3.5, come il teorema 3.2 nel caso dellewavelet, stabilisce la relazione tra i parametri delle frame di Gabor e i framebound.

L’assenza di qualsiasi condizione su g nel teorema 3.5 e simile all’assenzadi una condizione di ammissibilita per la trasformata di Gabor continua(sez. 3.3.1) e molto diversa dalla condizione∫ +∞

−∞

|ψ(ξ)|2

|ξ|dξ <∞

sulla wavelet madre, necessaria sia nel caso continuo, che discreto.Un’altra differenza tra la trasformata di Gabor e la trasformata wavelet

consiste nel fatto che i passi di traslazione nel tempo e nella frequenza t0 eω0 hanno una condizione: non esiste nessuna frame di Gabor per coppie ω0,t0 tali che ω0t0 > 2π. Infatti, se ω0t0 > 2π, per ogni scelta di g ∈ L2(R),esiste una corrispondente f ∈ L2(R) tale che f 6= 0 e f e ortogonale a tuttele gm,n(s) = eimω0sg(s − nt0), cioe 〈f, gm,n〉 = 0 ∀m, n ∈ Z. In tal caso,non solo le gm,n non costituiscono una frame, ma i prodotti interni 〈f, gm,n〉non sono persino sufficienti per determinare f . Quindi, ci dobbiamo limitarea ω0t0 ≤ 2π. Si noti che, nel caso delle wavelet, non esiste una limitazionesimile per a0, b0.

Per avere una buona localizzazione temporale e frequenziale, dobbiamoscegliere ω0t0 < 2π. Infatti, le frame nel caso limite ω0t0 = 2π hannonecessariamente cattive proprieta di localizzazione o nel dominio del tempo,o della frequenza, o, persino, in entrambi. Infatti:

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Teorema 3.6 (Balian-Low) Se le gm,n(s) = eimω0sg(s−nt0) costituisconouna frame per L2(R) con ω0t0 = 2π, cioe se le gm,n costituiscono una basedi Riesz, allora o ∫

s2|g(s)|2 ds =∞

oppure ∫ξ2|g(ξ)|2 dξ =∞

ovvero o g /∈ L2(R) o g /∈ L2(R)

Per riassumere, se:

• ω0t0 > 2π allora non esistono frame;

• ω0t0 = 2π allora esistono frame, ma non hanno una buona localizzazionetempo-frequenziale;

• ω0t0 < 2π allora esistono frame (persino tight) con una eccellente localiz-zazione tempo-frequenziale.

Si osservi che, nonostante ω0t0 ≤ 2π, non e detto che le gm,n costituiscanonecessariamente una frame. La condizione sufficiente per avere una framedi Gabor e quella fissata dal teorema 3.4.

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Capitolo 4

Conclusioni

4.1 Tabella riassuntiva

Trasformata Wavelet Trasformata di Gabor

def. Twavf(a, b) = 1√|a|

∫f(s)ψ

(s−ba

)ds Twinf(t, ω) =

∫f(s)g(s− t)e−iωsds

caso a, b ∈ R, a 6= 0continuo = 〈f, TbDaψ〉 = 〈f, TtMωg〉

= 〈f, ψa,b〉 = 〈f, gω,t〉

def. Twavj,k (f) = 1√

aj0

∫f(s)ψ

(s

aj0− kb0

)ds Twin

m,n f =∫f(s)g(s− nt0)e−imω0sds

caso j, k ∈ Z, a0 > 1, b0 > 0discreto = 〈f,D

aj0Tkb0ψ〉 = 〈f, Tnt0Mmω0g〉

= 〈f, ψj,k〉 = 〈f, gm,n〉funzione ψa,b(s) = 1√

|a|ψ(s−ba

)gω,t(s) = eiωsg(s− t)

figliaoperatori traslaz. e dilataz. nel tempo di una traslaz. nel tempo e nella freq.coinvolti wavelet madre ψ data. (modulaz.) di una finestra g data.

Risultato: nel dominio del tempo Risultato: nel piano tempo-frequenzaψa,b hanno ampiezze nel tempo che gω,t hanno tutte la stessa

variano con la freq.: ψa,b a freq. acute ampiezza nel temposono molto strette, mentre ψa,ba freq. gravi sono molto ampie

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Trasformata Wavelet Trasformata di Gaborcapacita privilegia la risoluzione temporale ha una limitata capacita

risolutiva alle freq. acute e la risoluzione risolutiva tempo-frequenzaspettrale alle freq. gravi

cond. ammiss. Cψ = 2π∫ +∞−∞

|ψ(ξ)|2|ξ| dξ <∞ non c’e condizione di

nel continuo ammissibilitareversibilita nel e reversibile se la condizione di e sempre reversibile

caso continuo ammissibilita viene soddisfatta

eq. ricostruz. f = C−1ψ

∫ +∞−∞

∫ +∞−∞

1a2 〈f, ψa,b〉ψa,bdadb f =

∫∫Twinf(t,ω)gω,tdtdω

2π‖g‖2

caso continuo = C−1ψ

∫ +∞−∞

∫ +∞−∞

1a2 (Twavf)ψa,bdadb

se ψ e ammissibile ∀g ∈ L2(R)

cond. ammiss. Cψ =∫ +∞

0|ψ(ξ)|2ξ dξ nessuna cond. di ammiss.

nel discreto =∫ 0−∞

|ψ(ξ)|2|ξ| dξ <∞ su g

per avere alg. le ψj,k devono costituire una le gm,n devonoricostruz. frame di wavelet costituire una

frame di GaborCond. suff. una frame di wavelet una frame

per avere (th. 3.1) di Gabor (th. 3.4)Cond. necess. una frame di wavelet (th. 3.2) una frame di

per avere Gabor (th. 3.5)nessuna cond. su a0, b0 cond. su ω0, t0

(ω0t0 ≤ 2π)

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Bibliografia

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