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공학박사학위논문

공동을 고려한 공명 형 흡음 구조가 결합된

복합 샌드위치 패널의 흡·차음 성능 연구

Characteristics of sound transmission loss for multi–sandwich

panels combined with resonance type absorption structures

including air cavities

2019년 8월

서울대학교대학원

조선해양공학과

정 재 덕



Characteristics of sound transmission loss for multi–sandwich

panels combined with resonance type absorption structures

including air cavities

지도교수 홍 석 윤

이 논문을 공학박사 학위논문으로 제출함

2019년 8월

서울대학교 대학원

조선해양공학과

정 재 덕

정재덕의 공학박사 학위논문을 인준함

2019년 6월

위 원 장 (인)

부 위 원 장 (인)

위 원 (인)

위 원 (인)

위 원 (인)

i

초록



미네랄 울은 뛰어난 흡음 성능 때문에 선박용 벽체 패널에 가장 널리

사용된다. 하지만 세균 증식과 부식 등의 환경적인 문제를 가지고 있어

대체 재가 요구된다. 국제 선급에서는 미네랄 울을 사용할 경우에 금속

재질로 완전히 감싸도록 규정했다. 또한 밸브, 플랜지 등에 미네랄 울을

사용할 경우에 부식 문제인 CUI가 발생한다. 미네랄 울을 벽체 패널에

적용할 경우에도 수분 흡수로 인한 부식 문제와 함께 세균 증식의 문제가

발생한다. 본 연구에서는 미네랄 울을 대체하여 친환경 성을 확보하고

더불어 불연 성과 차음 성능 Rw 45 dB를 목표로 허니컴과 MPP, 공동에

대해 패널 연구를 진행하였다.

허니컴 패널은 무게 대비 높은 강도를 가지고 있어 산업 전반에서 많이

사용되고 있다. 하지만 흡·차음 측면에서의 연구는 거의 이루어지지

않았다. 허니컴은 면 방향과 면에 수직한 방향이 다른 역학적 성질을

ii

가지며, 이러한 특성을 직교 이방성이라고 한다. 이러한 특성을 반영하여

허니컴 중심 재를 직교 이방성 층으로 가정하여 각 방향에 따른 탄성

계수를 산출하였으며, 표면 재의 경우는 등방 성으로 가정하였다. 패널의

거동은 대칭과 비대칭 모드로 가정하였다. 패널은 면 방향으로 무한하다고

가정하였기 때문에 패널의 고유 모드와 경계의 영향을 포함하지 못한다.

앞에서 도출한 탄성 계수와 변위를 통해 표면 재와 중심 재의 운동

에너지와 위치 에너지를 산출하고 이를 라그랑주 방정식에 대입하여

허니컴 패널의 투과 계수를 도출하였다. 허니컴 중심 재는 약 2% 부피의

허니컴 셀과 98%의 공기 층으로 이루어져 있기 때문에 공기의 흡·차음

성능을 반드시 고려해야 한다. 갇힌 공간의 공기 층을 공동이라 칭하고

이를 위해 전체 에너지는 정재 파의 모드 수에 비례한다는 가정을

사용하였다. 기존의 연구들의 경우에는 보정 상수를 도입하여 해결을

시도했지만 이는 공동의 두께에 따른 차음 성능을 잘 반영하지 못한다.

반면 본 연구에서는 공동의 두께에 따른 능동적인 해석이 가능하도록

이론을 유도하였다. 또한 허니컴 셀 사이의 공동 뿐만 아니라 순수 공동에

대해서도 같은 가정을 사용하여 투과 계수를 도출하였다.

iii

허니컴 패널의 흡·차음 성능을 높이기 위해 허니컴 패널의 한 쪽 표면

재를 MPP로 구성하고, 이를 HMPP (honeycomb micro-perforated plate

panel)이라고 명명하였다. HMPP 투과 계수 산출은 허니컴 패널의 운동

방정식에 HMPP의 흡음 계수를 적용하여 HMPP의 투과 계수를

도출하였다. 또한 다층 HMPP에 대해 운동 방정식을 유도하기 위해 전달

행렬 법과 다층 HMPP의 흡음 계수를 도출하여 다층 HMPP의 투과

계수를 도출하였다.

앞에서 언급한 이론을 바탕으로한 수치 해석 결과를 축소 잔향 실과 실

잔향 실에서 수행된 실험 결과와 비교하여 신뢰도를 검증하였다. 또한

응용 프로그램 HIBE을 개발하여 코드에 익숙하지 않아도 물성 치만 알고

있다면 차음 해석을 할 수 있도록 하였다. 허니컴 셀 사이즈, 허니컴 셀

벽 두께 등 설계 변수에 따른 연구를 수행하고, 불연 성과 친환경 성,

차음 성능 Rw 45 dB을 만족하는 패널을 도출하였다.

주요 어: 허니컴 패널, MPP, 투과 계수, 흡음 계수, 축소 잔향 실,

실 잔향 실, 전달 행렬 법, 공동.

학 번: 2014-31103

iv

목 차

1. 서론 ...................................................................................................................... 1

1.1. 연구 배경 및 내용 ................................................................................. 1

1.2. 논문 구성 ................................................................................................. 7

2. 직교 이방성 중심 재를 갖는 샌드위치 패널 해석 ................................. 11

2.1. 직교 이방성 구조에 대한 후크의 법칙 ........................................... 11

2.2. 탄성 계수와 가정된 변위로부터 위치 에너지 유도 .................... 15

2.3. 밀도와 가정된 변위로부터 운동 에너지 유도............................... 21

2.4. 라그랑주 방정식을 사용한 운동 방정식 유도............................... 23

2.5. 허니컴의 탄성 계수 ............................................................................. 26

2.6. 허니컴 패널 중심 재의 공동 에너지 유도 ..................................... 30

2.7. 공동을 포함한 허니컴 패널의 투과 손실 계수 도출 .................. 41

3. 공명 형 흡음 구조에 따른 흡음 계수 도출 ............................................. 44

3.1. CASE 1: HMPP (MPP + honeycomb + plate) ........................................ 45

3.2. CASE 2: HMPP 1 + Cavity + HMPP 2 ................................................... 58

3.3. CASE 3: HMPP 1 + Cavity 1 + MPP + Cavity 2 + HMPP 2.................. 70

v

4. 복합 샌드위치 패널 해석 ............................................................................. 84

4.1. 전달 행렬 요소 ..................................................................................... 84

4.1.1. 유체 층 ................................................................................ 85

4.1.2. 고체 층 ................................................................................ 87

4.1.3. 다공질 층............................................................................ 91

4.1.4. 비 음향 임피던스를 알고 있는 임의의 층 ................. 94

4.2. 경계 행렬 ............................................................................................... 97

4.2.1. 같은 요소의 결합 ............................................................. 97

4.2.2. 다른 요소의 결합 ............................................................. 99

4.3. 전체 전달 행렬 조합 및 투과 손실 계수 도출 .......................... 103

5. 잔향 실을 이용한 흡·차음 성능 계측 ...................................................... 107

5.1. 축소 잔향 실에 의한 평가 방법 ..................................................... 109

5.1.1. 잔향 시간 산출 과정 ..................................................... 116

5.2. 실 잔향 실에 의한 평가 방법 ......................................................... 119

6. 패널의 흡·차음 변수 연구 및 개선 연구 ................................................ 124

6.1. 허니컴 패널 흡·차음 변수 연구 ...................................................... 124

6.1.1. 공동의 두께에 따른 변화 ............................................. 135

vi

6.1.2. 허니컴 패널의 허니컴 중심 재 두께 변화 ............... 143

6.1.3. 허니컴 셀 사이즈 변화 ................................................. 149

6.1.4. 허니컴 셀 벽 두께 변화 ............................................... 155

6.2. CASE 1 흡·차음 변수 연구 .............................................................. 161

6.2.1. 실험 결과와 수치 해석 결과 비교 ............................. 163

6.2.2. HMPP의 MPP 유무 비교 .............................................. 171

6.2.3. MPP 홀의 직경 변화 ..................................................... 178

6.2.4. MPP 홀 간격의 변화 ..................................................... 183

6.2.5. HMPP의 허니컴 중심 재 두께 변화 .......................... 188

6.3. CASE 2 변수 연구 .............................................................................. 192

6.3.1. 실험 결과와 수치 해석 결과 비교 ............................. 196

6.3.2. HMPP 사이의 공동 두께 변화 .................................... 205

6.3.3. 두 패널의 중심 재 두께 비 변화 ............................... 209

6.4. Rw 45를 만족하는 친환경 고 효율 패널 도출 ............................ 214

7. 응용 프로그램 개발 ..................................................................................... 222

7.1. HIBE 개발 ............................................................................................ 222

7.2. 사용 방법 ............................................................................................. 225

vii

8. 결론 및 향후 추천 과제 ............................................................................. 228

8.1. 결론........................................................................................................ 228

8.2. 향후 추천 과제 ................................................................................... 232

9. 부록 .................................................................................................................. 233

9.1. 차음 성능 등급 (Rw, STC) ................................................................ 233

9.2. 2차원 헬름홀츠 적분 식 ................................................................... 237

9.3. 3.2장 계수 정리 .................................................................................. 244

9.4. 3.3장 계수 정리 .................................................................................. 251

참고 문헌 .................................................................................................................. 258

viii

그림 목차

Figure 1.1 Sandwich panel using mineral wool as a core. ............................................. 6

Figure 2.1 Assuming that honeycomb structure is an orthotropic layer. ..................... 14

Figure 2.2 Panel motion modes .................................................................................... 19

Figure 2.3 Geometry of the honeycomb for the incident, reflected, and transmitted

waves with an unbounded x₁-x₂ plane. ................................................................ 20

Figure 2.4 Top and 3-D view of the honeycomb cell. .................................................. 29

Figure 2.5 Honeycomb cell and air cavity. ................................................................... 38

Figure 2.6 Diagram of the air cavity. ............................................................................ 39

Figure 2.7 Graph of n-space for the total number of modes. ....................................... 40

Figure 3.1 Geometry of the HMPP for the incident, reflected, and transmitted waves

with an unbounded x₁-x₂ plane ............................................................................. 56

Figure 3.2 Front view (x₁-x₃ plane) of Figure 3.1. ........................................................ 57

Figure 3.3 HMPP 1 + cavity + HMPP 2. ..................................................................... 69

Figure 3.4 HMPP 1 + cavity 1 + MPP + cavity 2 + HMPP 2 ...................................... 83

Figure 4.1 Plane wave on a semi-infinite layer. ........................................................... 90

ix

Figure 4.2 N layer surrounded by a semi-infinite fluid. ............................................. 106

Figure 5.1 Comparison of STL between experiment result of scaled chamber and

experiment result of real chamber. ..................................................................... 108

Figure 5.2 Scaled reverberation chamber. .................................................................. 112

Figure 5.3 Experiments with the scaled reverberation chamber. ............................... 113

Figure 5.4 Diffusers attached inside the chamber. ..................................................... 114

Figure 5.5 Measurement point. .................................................................................. 115

Figure 5.6 Process of obtaining the reverberation time: (a) summation of signal. (b)

difference of summed signal and (c) linearization of decay rate. ...................... 118

Figure 5.7 Installed specimen on the reverberation chamber. .................................... 121

Figure 5.8 Experimental diagram of the reverberation chamber. .............................. 122

Figure 5.9 Intensity measurement point. .................................................................... 123

Figure 6.1 Comparison of experiment and numerical STL results for the 25 mm

honeycomb panel. ............................................................................................... 126


honeycomb panel. ............................................................................................... 128


x

honeycomb panel. ............................................................................................... 130

Figure 6.4 Comparison of 25 mm and 50 mm of honeycomb core thickness: (a)

experimental results, (b) numerical results. ....................................................... 132

Figure 6.5 Comparison of including cavity numerical and non-cavity numerical STL

results for the 25 mm honeycomb core. ............................................................. 137


results for the 100 mm honeycomb core. ........................................................... 139


results for the 100 mm honeycomb core. ........................................................... 141

Figure 6.8 STL comparison depending on the honeycomb core thickness. .............. 145

Figure 6.9 Young’s modulus (E₃, E₁₃, and E₂₃) of the honeycomb core according to the

thickness (25, 50, 75, 100 mm). ......................................................................... 147

Figure 6.10 Surface density of the honeycomb panel according to the thickness (25, 50,

75, 100 mm). ...................................................................................................... 148

Figure 6.11 Cell size 10, 20, 30, 40 mm. ................................................................... 150

Figure 6.12 STL of the HP according to the cell size (10, 20, 30, and 40 mm). ....... 151


xi

cell size (10, 20, 30, and 40 mm). ...................................................................... 153

Figure 6.14 Surface density of the honeycomb panel according to the cell size (10, 20,

30, and 40 mm). .................................................................................................. 154

Figure 6.15 Thickness of the cell wall 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 mm. .................................... 156

Figure 6.16 STL of the HP according to the thickness of the cell wall (0.1, 0.2, 0.3, and

0.4 mm). ............................................................................................................. 157


thickness of the cell wall (0.1, 0.2, 0.3, and 0.4 mm). ....................................... 159

Figure 6.18 Surface density of the honeycomb panel according to the thickness of the

cell wall (0.1, 0.2, 0.3, and 0.4 mm). .................................................................. 160

Figure 6.19 HMPP used in the experiment. ............................................................... 165

Figure 6.20 Comparison of the insulation performance between the experimental and

numerical result for a 25-mm HMPP core thickness. ........................................ 166

Figure 6.21 Comparison of the insulation performance between the experimental and

numerical result for a 50-mm HMPP core thickness. ........................................ 168

Figure 6.22 Comparison of STL between the honeycomb panel and HMPP for a 25-

mm core thickness. ............................................................................................. 172

xii

Figure 6.23 Comparison of the average absorption coefficient between the honeycomb

panel and HMPP for a 25-mm core thickness. ................................................... 174

Figure 6.24 Comparison of STL between the honeycomb panel and HMPP for a 50-

mm core thickness. ............................................................................................. 175

Figure 6.25 Comparison of the average absorption coefficient between the honeycomb

panel and HMPP for a 50-mm core thickness. ................................................... 177

Figure 6.26 Diagram of MPP hole diameter (0.1, 0.4, 0.7, and 1 mm). .................... 179

Figure 6.27 STL of the HMPP according to MPP hole diameter (0.1, 0.4, 0.7, and 1

mm)..................................................................................................................... 180

Figure 6.28 Absorption coefficient of HMPP according to the perforation diameter (0.1,

0.4, 0.7, and 1 mm). ............................................................................................ 182

Figure 6.29 Diagram of distance between MPP holes (3, 6, 9, and 12 mm). ............ 184

Figure 6.30 STL of the HMPP according to distance between MPP holes (3, 6, 9, and

12 mm). .............................................................................................................. 185

Figure 6.31 Absorption coefficient of HMPP according to MPP hole distance (3, 6, 9,

and 12 mm). ........................................................................................................ 187

Figure 6.32 STL of HMPP according to core thickness (25, 35, and 50 mm)........... 189

xiii

Figure 6.33 Absorption coefficient of HMPP according to core thickness (25, 35, and

50 mm). .............................................................................................................. 191

Figure 6.34 Geometry of double HMPP including cavity for the incident, reflected, and

transmitted waves with unbounded x₁-x₂ plane. ................................................. 195

Figure 6.35 HMPP 1 + cavity + HMPP 2. ................................................................. 198

Figure 6.36 Comparison of STL between experiment and numerical result for HMPP

(out MPP) 50 mm + cavity 25 mm + HMPP (in MPP) 25 mm. ........................ 199





Figure 6.39 STL according to cavity thickness (25, 50, and 100 mm) between HMPPs.

............................................................................................................................ 206

Figure 6.40 Absorption coefficient of HMPP+cavity+HMPP according to cavity

thickness (25, 50, and 100 mm). ........................................................................ 208

Figure 6.41 model for thickness ration of HMPPs. .................................................... 210

Figure 6.42 STL according to thickness ratio of HMPPs. ......................................... 211

xiv

Figure 6.43 Absorption coefficient according to thickness ratio of HMPPs. ............ 213

Figure 6.44 Rw of HP according to cell size and panel thickness. ............................ 216

Figure 6.45 Surface density of HP according to cell size and panel thickness. ......... 217

Figure 6.46 Rw of HMPP according to hole diameter and distance between holes. . 218

Figure 6.47 ‘HMPP 1 + cavity 1 + MPP + HMPP 2’. ............................................... 219

Figure 6.48 Comparison of STL between experiment and numerical result for ‘HMPP

(out MPP) 10 mm + cavity 115 mm + MPP + cavity 20 mm + HMPP (in MPP) 25

mm’..................................................................................................................... 220

Figure 7.1 HIBE image .............................................................................................. 223

Figure 7.2 Main GUI .................................................................................................. 224

Figure 7.3 Configuring GUI 1 .................................................................................... 226




Figure 9.1 Example of insulation rating ..................................................................... 235

Figure 9.2 Coordinate for 2-D Helmholtz equation. .................................................. 242

Figure 9.3 Coordinate for 2D Green function with Neumann boundary condition. . 243

xv

표 목차

Table 6.1 STL data of Figure 6.1. ............................................................................... 127



Table 6.4 Properties of the surface sheet. ................................................................... 133

Table 6.5 Properties of the honeycomb cell. .............................................................. 134





Table 6.10 STL data of Figure 6.12. ........................................................................... 152




Table 6.14 Properties of the MPP. .............................................................................. 170


xvi











Table 9.1 Rw and STC reference contour. ................................................................. 236

1

1. 서론

1.1. 연구 배경 및 내용

해상에서 사용되는 벽체 패널 (wall panel)의 중심 재로서 Figure 1.1과

같이 미네랄 울 (mineral wool)이 가장 널리 사용된다. 하지만 울 종류의

흡음 재는 중고 주파수에서 뛰어난 흡음 성능으로 인해 많은 연구 (Biot,

1956, Johnson, 1986, Pride, 1998)가 이뤄졌지만, 세균 증식 문제와 같은

환경적인 문제를 가지고 있다. 그래서 NORSOK (standard c-002:2006)

규정에서 미네랄 울의 사용을 지양하고, 미네랄 울을 사용할 경우에는

금속 재질로 완전히 감싸도록 규정하고 있다. 또한 밸브 플랜지 (flange)

등에 미네랄 울을 사용할 경우에는 부식의 문제가 발생하고 이를 CUI

(corrosion under insulation)라고 부른다 (Abayarathna, 1997, De vogelaere, 2009,

Jones, 2012). 해상에서 사용되는 재료의 경우에는 육상에서보다 더욱

강화된 화재 규정 (IMO, 2017)이 적용되어 친환경 성과 더불어 불연 성을

만족해야 한다. 국제 선급인 DNVGL (2017)에서는 일반 객실의 경우에 Rw

35–41 dB의 충족하도록 규정하고 있으며, 본 연구에서는 실제로 설치할

2

경우의 성능 감소를 고려하여 Rw 45 dB를 연구 목표로 하였다. 여기서,

Rw는 패널의 차음성능을 나타내는 단일 숫자로서 부록 9.1장에

정리하였다.

미네랄 울의 대체 재로서 허니컴 패널 (honeycomb panel)에 대해 연구를

진행하였다. 여기서 허니컴 패널은 ‘steel plate + honeycomb 중심 재 + steel

plate’로 구성되어 있다. 허니컴 패널은 무게에 비하여 높은 강성을 가지고

있기 때문에 산업 전반에서 사용되고 있다 (김석현, 2008, Bang 2011, 권현웅,

2014). 하지만 흡·차음 성능 측면에서는 부족한 성능을 보여준다. 이를

보완하기 위한 방안으로 MPP (micro-perforated plate)를 적용하였고, 이를

HMPP (honeycomb micro-perforated plate panel)로 명명하였으며, ‘MPP +

honeycomb 중심 재 + steel plate’로 구성하였다.

HMPP의 MPP 홀 (hole)과 연이어 있는 허니컴 셀 사이의 공기 층은

흡음 성능을 발휘하기에 적당한 조건을 제공한다. HMPP의 경우에는 공명

형 흡음 구조로 단수 혹은 복수의 특정 주파수에 흡음 성능이 집중되는

경향을 보인다. 또한 흡음 주파수 조정이 용이하기 때문에 패널의 차음

성능이 낮은 주파수를 보완하도록 설계가 가능하다.

3

허니컴 패널의 경우에는 직교 이방성 허니컴 중심 재 (core) 앞 뒤로

등방 성 표면 재 (surface sheets)가 결합된 형태로 가정하였다. 이를 위해

표면 재는 2개의 독립적인 탄성 상수 (elastic constants)를 도출하고, 중심

재의 경우에는 9개의 독립적인 탄성 상수를 도출하였다. 또한 허니컴

패널의 변위를 대칭 (symmetric)과 비대칭 (antisymmetric) 모드로

가정하였다 (Moore, 1991). 이로부터 패널 전체에 대한 운동 에너지와 위치

에너지를 유도하여 라그랑주 방정식 (Arfken, 2005)에 대입하였다. 이를

통해 운동 방정식을 유도하고 음향 투과 손실 (STL, sound transmission

loss)을 유도하였다. 한편, 허니컴 중심 재는 허니컴 셀 이외에도 대부분

공기로 이루어져 있다. 이러한 이유로 공기 층의 차음 성능 반영은

필수적이다. 이를 해결하기 위해 공기 층에서 발생한 음향 모드 수에 전체

에너지가 비례한다는 가정을 사용하였다 (Greiner, 2011). 이 가정은 양자

역학의 흑체 복사 문제를 해결에 사용된 방법으로 본 연구에서는 허니컴

셀 사이의 공기 층 뿐만 아니라 순수하게 공기 층만 존재할 경우에

대해서도 적용하였다.

HMPP의 차음성능을 도출할 경우에 흡음 계수의 도출이 필수적이다.

기존의 흡음 관점에서의 연구들 (Fuchs, 1997, Li, 2006)의 경우에는 MPP와

4

후판을 강체로 가정하였다. 특히 후판을 강체로 가정하였다는 것은 음파의

투과가 아예 없다고 가정한 것이기 때문에 차음 성능 도출에

적용하기에는 부적합하다. 이러한 이유로 MPP와 후판 (표면 재)를 유연 체

(flexible body)로 가정하였다 (Toyoda, 2008, Bravo, 2012). 또한 MPP와 후판은

허니컴 중심 재로 연결되어 있기 때문에 서로 커플링되도록 설정하였다.

Toyoda (2008)는 허니컴 중심 재의 영향을 반영하기 위해 중심 재

영역에서는 수직 입사만을 고려하도록 하였다. 앞의 과정을 통해 도출한

흡음 계수를 허니컴 패널의 운동 방정식에 대입하여 HMPP의 흡·차음

성능을 도출하였다.

공동을 포함한 다층 패널 구성에는 전달 행렬 법이 사용되었다. 먼저

MPP 홀이 없을 경우에 대해 다층 패널을 구성한다. 예를 들어 [HMPP][air

cavity][HMPP] 순서로 구성된 패널의 경우에는 전달 행렬 법을 사용하여

[HP][air cavity][HP]에 대해 방정식을 세우고, [HMPP][air cavity][HMPP]에

대한 흡음 계수를 산출하여 적용하는 방식을 사용하였다. 여기서 [HP]는

허니컴 패널을 나타낸다.

위에서 언급한 단층과 다층에 대한 HP와 HMPP 해석 모델을 개발하고

수치 해석 결과와 실험 결과를 비교하여 해석 모델의 신뢰 성을

5

확인하였다. 수치적 시뮬레이션을 통해 파라미터 스터디를 수행하여 해석

모델의 흡·차음 특성을 파악하고, 흡·차음 성능 증가를 위한 설계

방안을 제시하였다. 또한 사용된 수치 해석을 응용 프로그램으로 구성하여

누구나 쉽게 해석할 수 있도록 하였다.

6

Figure 1.1 Sandwich panel using mineral wool as a core.

7

1.2. 논문 구성

본 논문은 다음과 같이 구성되었다. 2장에서는 등방 성 표면 재와 직교

이방성 중심 재를 갖는 샌드위치 패널에 대한 해석 이론으로 구성되었다.

운동 방정식 정립을 위해 패널의 변위와 탄성 상수가 필요하다. 변위의

경우에는 패널의 거동을 대칭과 비대칭 모드로 가정하였고, 탄성 계수는

중심 재를 직교 이방성으로 가정하여 12개의 탄성 행렬 요소를

도출하였다. 변위와 탄성 행렬 요소를 통해 운동 에너지와 위치 에너지를

도출하여 라그랑주 방정식에 대입하였다. 이를 통해 대칭과 비대칭에 대한

비 음향 임피던스 (specific acoustic impedance)를 도출하여 투과 계수를 얻을

수 있다. 각 방향 별 탄성 계수와 푸아송 비를 알고 있다면 직교 이방성을

갖는 미네랄 울, 셀률러 솔리드 (cellular solids) 등의 해석이 가능하지만

셀률러 솔리드의 한 종류인 허니컴 중심 재에 초점을 맞춰 해석을

진행하였다.

3장에서는 허니컴 패널에 MPP를 적용하여 흡음 계수를 도출하였다.

투과 계수에 흡음 계수를 적용하기 위해 MPP 및 후판을 유연 체로

가정하였다. 또한 MPP와 후판이 허니컴으로 연결되어 있기 때문에 서로

8

커플링이 되었다고 가정하였다. 허니컴 중심 재에서 음파의 거동은 수직

입사로 가정하였다. 단층 HMPP와 복층 HMPP, 복층 HMPP 사이에 MPP가

위치한 패널에 대해 흡음 계수를 유도하였다.

4장에서는 전달 행렬의 기본 요소인 유체, 고체, 다공질에 대해서

설명하고, 비 음향 임피던스를 알고 있는 임의의 층에 대한 전달 행렬을

유도하였다. 또한 각각의 요소를 교차로 사용할 경우에 필요한 경계

행렬에 대해 설명하고, 전달 행렬과 경계 행렬로 구성된 전체 행렬의 투과

계수 산출 과정을 설명하였다.

5장에서는 실험 설비 및 평가 방법에 대해 설명하였다. 축소 잔향 실과

실 잔향 실을 사용하여 실험을 진행하였다. 축소 잔향 실에서는 ISO 10140-

2에 기술된 방법으로 실험을 수행하였다. 소음 실 (source room)과 수음 실

(receiving room)의 평균 음압과 수음 실에서의 잔향 시간을 계측하여

흡·차음 성능을 도출하게 된다. 실 잔향 실에서는 ISO 15186-1에 기술된

방법대로 실험이 진행되었다. 소음 실의 평균 음압과 실험 대상 물체

근처에서 측정한 평균 인텐시티 값을 계측하여 흡·차음 성능을

도출하였다.

9

6장에서는 2, 3, 4 장에서 구축된 해석 모델에 대한 수치 해석 결과와

5장에서 기술한 실험에 의해 도출된 결과를 비교하였다. 또한 수치 해석을

통해 흡·차음 변수에 대한 연구를 수행하였다. 6.1장에서는 2장에서

기술한 이론을 통해 허니컴 패널에 대한 수치 해석 결과를 도출하고 이를

실험 결과와 비교하였다. 그런 후에 흡·차음 변수들인 공동의 두께,

허니컴 중심 재 두께, 허니컴 셀 사이즈, 허니컴 셀 벽 두께에 따른

파라미터 스터디를 진행하였다. 6.2장에서는 2장과 3장에서 기술한 이론을

통해 HMPP의 수치 해석 결과를 실험 결과와 비교하였다. HMPP의 MPP

유무, MPP 홀의 직경, MPP 홀 간격, HMPP의 중심 재 두께 변화에 대한

파라미터 스터디를 수행하였다. 6.3장에서는 2장에서 구한 허니컴 패널과

공동의 비 음향 임피던스를 통해 각각의 전달 행렬을 구성하였다. 이를

사용하여 복층에 대한 투과 계수를 산출 후, 3장에서 구한 복층 HMPP에

대한 흡음 계수를 투과 계수에 적용하여 복층 HMPP에 대한 투과 계수를

산출하였다. 앞에서와 같은 방식으로 실험 결과와 비교하여 수치 해석

결과의 신뢰 성을 확보하였고, HMPP 사이의 공동 두께, 두 패널의 중심

재 두께 비 변화에 따른 파라미터 스터디를 진행하였다. 6.4장에서는 Rw

10

45 dB을 만족하는 친환경 고 효율 패널을 도출하였고, 이를 차음 성능,

친환경 성, 패널 면 밀도를 기존 패널과 비교하였다.

7장에서는 구축된 이론을 응용 프로그램으로 개발하여 코드에 익숙하지

않은 사람도 쉽게 흡·차음 해석 결과를 도출할 수 있도록 하였다.

프로그램 이름은 HIBE (honeycomb and micro-perforated plate sound insulation

bonded panel estimating program)이며, MATLAB@ App Designer를 사용하여

프로그램을 구성하였다. 해석 모델을 선택한 후에 해당 물성 치를

입력하여 흡·차음 성능을 그래프로 도출할 수 있다. 또한 엑셀과 텍스트

파일 형식으로 데이터를 추출할 수 있도록 구성하였다.

8장에서는 연구를 통해 얻어진 결과를 정리하였고 향후 연구 과제를

제안하였다.

11

2. 직교 이방성 중심 재를 갖는 샌드위치 패널 해석

Ford (1967)는 무한 적층 평판에 대해 대칭 모드들만을 고려하여 등방 성

중심 재를 갖는 샌드위치 패널의 차음 성능 연구를 하였다. Lyon (1975)은

statistical energy analysis (SEA) 방법을 사용하여 차음 손실을 예측하였다.

SEA는 대형 구조물과 고 주파수에서 강점을 갖는 방법이지만 단순화된 등

가 모델을 사용하여 대칭 모드들에 대한 영향을 포함하지 못했다. Dym와

Lang (1976)은 대칭 모드들과 비대칭 모드들을 모두 고려하여 샌드위치 패

널에 대한 차음 성능을 도출하였다. Moore와 Lyon (1991)은 중심 재를 등방

성 뿐만 아니라 직교 이방성으로 고려하여 모델을 구성하였다.

2.1. 직교 이방성 구조에 대한 후크의 법칙

Figure 2.1과 같이 허니컴 구조는 면 방향과 면에 수직한 방향의 강성이

다르게 나타나는 직교 이방성의 특징을 가지고 있다. 참고 문헌 (Boresi,

2003)에 기술된 직교 이방성에 대한 응력-변형 률 관계는 식 (2.1)과 같이

12

12개의 탄성 행렬 요소로 표현이 가능하고 이를 구하기 위해 3개의 탄성

계수, 3개의 전단 탄성 계수, 3개의 푸아송 비가 필요하다.

{

𝜎1𝜎2𝜎3𝜎4𝜎5𝜎6}

=

[ 𝐶11 𝐶12 𝐶13𝐶21 𝐶22 𝐶23𝐶31 𝐶32 𝐶33

0 0 00 0 00 0 0

0 0 00 0 00 0 0

𝐶44 0 00 𝐶55 00 0 𝐶66]

{

휀1휀2휀3휀4휀5휀6}

(2.1)

휀1 =𝜕𝑢

𝜕𝑥1 (2.2)

휀2 =

𝜕𝑣

𝜕𝑥2 (2.3)

휀3 =

𝜕𝑤

𝜕𝑥3 (2.4)

휀4 =

𝜕𝑣

𝜕𝑥3+𝜕𝑤

𝜕𝑥2 (2.5)

휀5 =

𝜕𝑢

𝜕𝑥3+𝜕𝑤

𝜕𝑥1 (2.6)

휀6 =

𝜕𝑢

𝜕𝑥2+𝜕𝑣

𝜕𝑥1 (2.7)

여기서, 𝜎1, 𝜎2, 𝜎3는 각각 좌표 축 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3에 대한 법선 응력 (normal

stresses)을 나타내고, 𝜎4 , 𝜎5 , 𝜎6 는 각각 전단 응력 (shear stresses)를

13

나타낸다. 휀1, 휀2, 휀3는 법선 변형률 (normal strain)을 나타내고, 휀4, 휀5, 휀6는

전단 변형률 (shear strain)을 나타며, 수식적 정의는 식 (2.2)–(2.7)과 같다. 𝑢,

𝑣, 𝑤는 각각 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 방향 입자의 변위 (displacement)이다. 탄성 행렬

요소는 아래 식 (2.8)과 같다 (Gibson, 2016).

[ 𝐶11 𝐶12 𝐶13𝐶21 𝐶22 𝐶23𝐶31 𝐶32 𝐶33

0 0 00 0 00 0 0

0 0 00 0 00 0 0

𝐶44 0 00 𝐶55 00 0 𝐶66]

=

[ 1

𝐸1−𝜐21𝐸2

−𝜐31𝐸3

−𝜐12𝐸1

1

𝐸2−𝜐32𝐸3

−𝜐13𝐸1

−𝜐23𝐸2

1

𝐸3

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1

𝐸230 0

01

𝐸130

0 01

𝐸12] −1

(2.8)

여기서, 𝐸1, 𝐸2, 𝐸3는 각각 좌표 축 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3에 대한 탄성 계수 (Young’s

modulus)를 나타내고, 𝐸12 , 𝐸13 , 𝐸23는 전단 탄성 계수 (shear modulus)를

나타낸다. 𝜐는 푸아송 비 (Poisson’s ratio)를 나타낸다.

14

Figure 2.1 Assuming that honeycomb structure is an orthotropic layer.

15

2.2. 탄성 계수와 가정된 변위로부터 위치 에너지 유도

위치 에너지 (Potential Energy, 𝑃𝐸)는 패널에 저장된 위치 에너지 밀도

(stored elastic potential energy density)를 부피에 대해서 적분하여 얻어지며, 기

본적으로 후크의 법칙 (Hooke’s law)에 기초하고 있다. 대상에 가해진 일

(work)은 변형 량에 비례하며, 이를 직교 이방성에 대해 확장하여 정리하

면 아래 식 (2.9)와 같다 (Landau, 1986).

𝑃𝐸 = ∫ 𝑊 𝑑𝑉𝑜𝑙

𝑉𝑜𝑙

(2.9)

여기서,

𝑊 =1

2𝐶11휀1

2 + 𝐶12휀1휀2 + 𝐶13휀1휀3 +1

2𝐶22휀2

2 + 𝐶23휀2휀3 +1

2𝐶33휀3

2

+1

2𝐶44휀4

2 +1

2𝐶55휀5

2 +1

2𝐶66휀6

2

(2.10)

𝑊 는 탄성 포텐셜 에너지 밀도 (elastic potential energy density)이고, 상수

(𝐶11, 𝐶12, 𝐶13 ⋯ )는 식 (2.8)로부터 얻을 수 있다. 변형 률 (휀1, 휀2, 휀3 ⋯ )은

16

식 (2.2)–(2.7)과 같다. 𝑥1의 적분 범위는 −𝜆1/2 부터 𝜆1/2 이다. 𝜆1는 𝑥1방

향 파장을 나타낸다. 𝑥2의 적분 범위는 0 부터 1 이고, 𝑥3의 적분 범위는

두께 방향에 대한 적분인데 중심 재의 경우에는 −𝐿3/2 부터 𝐿3/2 이며,

표면 재의 경우에는 𝐿3/2 부터 𝐿𝑝 + 𝐿3/2 이다. 𝐿3는 중심 재 두께이고,

𝐿𝑝는 표면 재 두께를 나타낸다.

변형 률을 구하기 위해 Figure 2.2과 같이 변위를 대칭 모드와 비대칭 모

드로 가정하였다. 가진 주파수의 파장에 비해 상대적으로 얇은 무한 평판

에서는 램 파들 (Lamb plate waves)이 발생하며, 이 램 파들은 대칭 모드와

비대칭 모드를 나타낸다 (Viktorov, 1967). 이를 수식적으로 나타내면 아래와

같다 (Moore, 1991).

대칭 모드와 비대칭 모드들에 대한 중심 재의 변위:

𝑢𝑐,𝑠 = [𝛽𝑠 + 휁 cos (𝜋𝑥3𝐿3)] cos(𝑘1𝑥1) (2.11)

𝑣𝑐,𝑠 = 0 (2.12)

𝑤𝑐,𝑠 =

2𝛼𝑠𝐿3

𝑥3 sin(𝑘1𝑥1) (2.13)

17

𝑢𝑐,𝑎 =

2𝛽𝑎𝐿3

𝑥3 cos(𝑘1𝑥1) (2.14)

𝑣𝑐,𝑎 = 0 (2.15)

𝑤𝑐,𝑎 = 𝛼𝑎 sin(𝑘1𝑥1) (2.16)

여기서, 아래 첨자 𝑠, 𝑎, 𝑐는 각각 대칭 모드, 비대칭 모드, 중심 재를 나타

낸다. 𝛼 , 𝛽는 각각 패널의 면내 변위 (in-plane displacements), 횡 변위

(transverse displacements)를 나타내고, 휁는 중심 재의 면내 변위를 나타낸다.

𝑘1 (= 𝑘0 sin 휃 cos𝜙)은 𝑥1방향의 파수를 나타낸다. 여기서, 𝑘0 (= 𝜔/𝑐0)는

파동의 파수를 나타내고, Figure 2.3에서 보듯이 휃, 𝜙는 각각 편 각 (polar

angle), 방위 각 (azimuthal angle)을 나타낸다.

대칭 모드와 비대칭 모드들에 대한 표면 재의 변위:

𝑢𝑝,𝑠 = 𝛽𝑠 cos(𝑘1𝑥1) − (𝑥3 −

𝐿32)𝜕𝑤𝑝,𝑠

𝜕𝑥1 (2.17)

𝑣𝑝,𝑠 = 0 (2.18)

𝑤𝑝,𝑠 = 𝛼𝑠 sin(𝑘1𝑥1) (2.19)

18

𝑢𝑝,𝑎 = 𝛽𝑎 cos(𝑘1𝑥1) − (𝑥3 −

𝐿32)𝜕𝑤𝑝,𝑎

𝜕𝑥1 (2.20)

𝑣𝑝,𝑎 = 0 (2.21)

𝑤𝑝,𝑎 = 𝛼𝑎 sin(𝑘1𝑥1) (2.22)

여기서, 아래 첨자 𝑝는 표면 재를 나타낸다.

식 (2.11)–(2.22)를 식 (2.9)에 대입하면 중심 재 및 표면 재에 대한 위치

에너지가 아래와 같이 유도된다.

𝑃𝐸𝑐,𝑠 =𝐶11𝑘1

2𝐿32

(𝛽𝑠2 +

4𝛽𝑠휁

𝜋+휁2

2) − 2𝐶11𝛼𝑠𝑘1 (𝛽𝑠 +

2휁

𝜋)

+2𝐶33𝛼𝑠

2

𝐿3+𝐸552(𝛼𝑠2𝑘1

2𝐿33

−8𝛼𝑠휁𝑘1𝜋

)

(2.23)

𝑃𝐸𝑝,𝑠 =1

2𝐸𝑝𝑘1

2 (𝛽𝑠2𝐿𝑝 − 𝑘1𝛽𝑠𝛼𝑠𝐿𝑝

2 +𝑘12𝛼𝑠

2𝐿𝑝3

3) (2.24)

𝑃𝐸𝑐,𝑎 =𝐶11𝛽𝑎

2𝑘12𝐿3

6+𝐶552(4𝛽𝑠

2

𝐿3+ 4𝛽𝑎𝛼𝑎𝑘1 + 𝑘1

2𝛼𝑎2𝐿3) (2.25)

𝑃𝐸𝑝,𝑎 =𝐸𝑝𝑘1

2

2(𝛽𝑎

2𝐿𝑝 − 𝛽𝑎𝛼𝑎𝑘1𝐿𝑝2 +

𝑘12𝛼𝑎

2𝐿𝑝3

3) (2.26)

19

Figure 2.2 Panel motion modes

20

Figure 2.3 Geometry of the honeycomb for the incident, reflected, and

transmitted waves with an unbounded x₁-x₂ plane.

21

2.3. 밀도와 가정된 변위로부터 운동 에너지 유도

운동 에너지 (kinetic energy, 𝐾𝐸)는 굉장히 작은 입자의 총합 (적분)으로

가정하였기 때문에 아래와 같이 질량과 각 방향 속도 제곱의 반을 운동

에너지로 사용하고 이를 전체 체적에 대해 적분을 시행하였다.

𝐾𝐸 = ∫1

2𝜌(��2 + ��2 + ��2) 𝑑𝑉𝑜𝑙

𝑉𝑜𝑙

(2.27)

여기서, 𝜌는 밀도; ��, ��, ��는 각각 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 방향 입자 속도; 𝑥1의 적분

범위는 −𝜆1/2 부터 𝜆1/2 이다. 𝑥2의 적분 범위는 0 부터 1 이고, 𝑥3의 적

분 범위는 두께 방향에 대한 적분인데 중심 재의 경우에는 −𝐿3/2 부터

𝐿3/2 이며, 표면 재의 경우에는 𝐿3/2 부터 𝐿𝑝 + 𝐿3/2 이다.

밀도의 경우에는 선택된 재료에 의해 결정되므로 알고 있는 값이며, 각

방향 입자의 속도는 2.2장의 변위 식 (2.11)–(2.22)를 시간에 대해 미분하여

얻을 수 있다. 이를 사용하여 운동 에너지를 유도하면 아래와 같다.

22

𝐾𝐸𝑐,𝑠 =𝜌𝑐𝐿32

(��𝑠2 +

4

𝜋��𝑠휁 +

휁2

2+��𝑠2

3) (2.28)

𝐾𝐸𝑝,𝑠 =

𝜌𝑝𝐿𝑝

2[��𝑠

2 − ��𝑠��𝑠𝑘1𝐿𝑝 + ��𝑠2 (𝑘12𝐿𝑝2

3+ 1)] (2.29)

𝐾𝐸𝑐,𝑎 =

𝜌𝑐𝐿32

(��𝑎2

3+ ��𝑎

2) (2.30)

𝐾𝐸𝑝,𝑎 =

𝜌𝑝𝐿𝑝

2[��𝑎

2 − ��𝑎��𝑎𝑘1𝐿𝑝 + ��𝑎2 (𝑘12𝐿𝑝2

3+ 1)] (2.31)

여기서, 𝜌𝑐와 𝜌𝑝는 각각 중심 재와 표면 재의 밀도이며, 𝐿3과 𝐿𝑝는 각각

중심 재와 표면 재의 두께를 나타낸다.

23

2.4. 라그랑주 방정식을 사용한 운동 방정식 유도

HP (honeycomb panel, steel plate + honeycomb 중심 재 + steel plate)의 양쪽 표

면 재의 두께는 각각 𝐿𝑝이고, 중심 재의 두께는 𝐿3 이다. 이에 대한 위치

에너지는 2.2장의 식 (2.23)–(2.26)에서 얻을 수 있다. 같은 방식으로 HP의

양쪽 표면 재와 중심 재에 대한 운동 에너지는 2.3장의 식 (2.28)–(2.31)에

서 얻을 수 있다. 앞에서 언급한 위치 에너지의 총 합과 운동 에너지의 총

합을 아래 라그랑주 방정식 (Arfken, 2005)에 대입하여 HP의 운동 방정식을

도출할 수 있다.

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐾𝐸

𝜕��𝑟) −

𝜕𝐾𝐸

𝜕𝑞𝑟+𝜕𝑃𝐸

𝜕𝑞𝑟= 𝑄𝑟 (2.32)

여기서, 𝑟 = 1,2,⋯. 𝑞는 일반화된 변위 (𝑞1 = 𝛼, 𝑞2 = 𝛽, 𝑞3 = 휁), 문자 위에

있는 점 (��)은 시간에 대한 미분을 나타내고, 𝑄𝑟은 일반화된 음압을 나타

낸다.

식 (2.32)를 통해 아래 행렬 식들이 도출된다.

24

[𝑀𝑠] {

𝛼𝑠𝛽𝑠휁} = {

𝑃000} (2.33)

[𝑀𝑎] {

𝛼𝑎𝛽𝑎} = {

𝑃00} (2.34)

여기서,

[𝑀𝑠]11 =2𝐶33𝐿3

+𝐶55𝑘1

2𝐿36

+𝐸𝑝 𝑘1

4𝐿𝑝3

3−𝜌𝑐𝜔

2𝐿36

− 𝜌𝑝𝐿𝑝𝜔2 (1 +

𝑘12𝐿𝑝2

3) (2.35)

[𝑀𝑠]12 = −𝐶13𝑘1 −𝐸𝑝𝑘1

3𝐿𝑝2

2+𝜌𝑝𝜔

2𝑘1𝐿𝑝2

2 (2.36)

[𝑀𝑠]13 = −2𝐶13𝑘1𝜋

−2𝐶55𝑘1𝜋

(2.37)

[𝑀𝑠]21 = [𝑀𝑠]12 (2.38)

[𝑀𝑠]22 = 𝐸𝑝𝑘12𝐿𝑝 +

𝐶11𝑘12𝐿𝑔

2−𝜌𝑐𝜔

2𝐿32

− 𝜌𝑝𝐿𝑝𝜔2 (2.39)

[𝑀𝑠]23 =𝐶11𝑘1

2𝐿𝑐𝜋

−𝜌𝑐𝜔

2𝐿3𝜋

(2.40)

[𝑀𝑠]31 = [𝑀𝑠]13 (2.41)

[𝑀𝑠]32 = [𝑀𝑠]23 (2.42)

25

[𝑀𝑠]33 =𝐶11𝑘1

2𝐿34

+𝐶55𝜋

2

4𝐿3−𝜌𝑐𝜔

2𝐿34

(2.43)

[𝑀𝑎]11 =𝐶55𝑘1

2𝐿32

+𝐸𝑝𝑘1

4𝐿𝑝3

3−𝜌𝑐𝜔

2𝐿32

− 𝜌𝑝𝐿𝑝𝜔2 (1 +

𝑘12𝐿𝑝2

3) (2.44)

[𝑀𝑎]12 = 𝐶55𝑘1 −𝐸𝑝𝑘1

3𝐿𝑝2

2+𝜌𝑝𝐿𝑝𝜔

2𝑘1𝐿𝑝

2 (2.45)

[𝑀𝑎]21 = [𝑀𝑎]12 (2.46)

[𝑀𝑎]22 = 𝐸𝑝𝑘12𝐿𝑝 +

𝐶11𝑘12𝐿36

+2𝐶55𝐿𝑔

−𝜌𝑐𝜔

2𝐿36

− 𝜌𝑝𝐿𝑝𝜔2 (2.47)

26

2.5. 허니컴의 탄성 계수

허니컴의 탄성 계수에 대해 언급하기 전에 먼저 표면 재의 경우에는 등

방 성이므로 각 방향에 따른 탄성 행렬 요소는 다음과 같다 (Feng, 2007).

𝐶11 = 𝐶22 = 𝐶33 = 𝜆 + 2𝜇 (2.48)

𝐶12 = 𝐶13 = 𝐶23 = 𝜆 (2.49)

𝐶44 = 𝐶55 = 𝐶66 = 𝜇 (2.50)

여기서, 𝜆는 라메의 상수 (Lame's first parameter), 𝜇는 전단 계수를 나타낸다.

Gibson (1997)에 의해 허니컴 각각의 변을 빔 요소로 가정하여 아래와 같

이 탄성 계수를 유도하였다. Figure 2.4에서 볼 수 있듯이, 허니컴 셀 벽이

매우 얇아, 전단 변형을 무시할 수 있는 오일러 빔 이론을 사용했고, 6.1장

의 실험 결과와 수치 해석 결과 비교를 통해 이러한 가정의 타당성을 보

였다.

27

𝐸1 = 𝐸𝑐 (

𝑡𝑐𝑎𝑐)3 cos 휃𝑐(𝑏𝑐 𝑎𝑐⁄ + sin 휃𝑐) sin

2 휃𝑐 (2.51)

𝐸2 = 𝐸𝑐 (

𝑡𝑐𝑎𝑐)3 (𝑏𝑐 𝑎𝑐⁄ + sin 휃𝑐)

cos3 휃𝑐 (2.52)

𝐸3 = 𝐸𝑐 {

1 + 𝑏𝑐 ∕ 𝑎𝑐(𝑏𝑐 𝑎𝑐⁄ + sin 휃𝑐) cos 휃𝑐

}𝑡𝑐𝑎𝑐

(2.53)

𝐸12 = 𝐸𝑐

𝑏𝑐 ∕ 𝑎𝑐 + sin 휃𝑐(𝑏𝑐 𝑎𝑐⁄ )2(1 + 16 𝑏𝑐 𝑎𝑐⁄ ) cos 휃𝑐

(𝑡𝑐𝑎𝑐)3

(2.54)

𝐸13 = 𝐺𝑐

cos 휃𝑐𝑏𝑐 𝑎𝑐⁄ + sin 휃𝑐

(𝑡𝑐𝑎𝑐) (2.55)

𝐸23 = 𝐸23𝑙𝑜𝑤𝑒𝑟 +

0.787

(𝐿3/𝑎𝑐)(𝐸23𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟 − 𝐸23𝑙𝑜𝑤𝑒𝑟) (2.56)

여기서,

𝐸23𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟 = 𝐺𝑐𝑏𝑐 𝑎𝑐⁄ + sin2 휃𝑐

(𝑏𝑐 𝑎𝑐⁄ + sin 휃𝑐) cos 휃𝑐(𝑡𝑐𝑎𝑐) (2.57)

𝐸23𝑙𝑜𝑤𝑒𝑟 = 𝐺𝑐𝑏𝑐 𝑎𝑐⁄ + sin 휃𝑐

(1 + 𝑏𝑐 𝑎𝑐⁄ ) cos 휃𝑐(𝑡𝑐𝑎𝑐) (2.58)

허니컴 셀의 각 방향 푸아송 비는 다음과 같다.

28

𝜈12 =cos2 휃𝑐

(𝑏𝑐 𝑎𝑐⁄ + sin 휃𝑐) sin 휃𝑐 (2.59)

𝜈13 =𝐸1𝐸3𝜈31 (2.60)

𝜈21 =(𝑏𝑐 𝑎𝑐⁄ + sin 휃𝑐) sin 휃𝑐

cos2 휃𝑐 (2.61)

𝜈23 =𝐸2𝐸3𝜈32 (2.62)

𝜈31 = 𝜈32 = 𝜈𝑐 (2.63)

여기서, 𝐸𝑐와 𝐺𝑐는 각각 허니컴 구성 재료의 탄성 계수와 전단 계수이다.

Figure 2.4에서 보듯이 𝑡𝑐는 셀 벽 두께, 𝑎𝑐와 𝑏𝑐는 각각 셀 한 변의 길이,

휃𝑐는 𝑎𝑐와 수평 라인이 아루는 각도를 나타낸다.

29

Figure 2.4 Top and 3-D view of the honeycomb cell.

30

2.6. 허니컴 패널 중심 재의 공동 에너지 유도

공동 (air cavity)의 차음 성능은 이론적인 해석 법으로 접근하기 어렵고

전산 해석으로는 모델링 및 경계 조건 설정 등의 어려운 점 때문에 이러

한 접근 법은 잘 시도되지 않고 있다. 다만, London (1950)의 경우에는

London’s resistance factor를 사용하여 공동의 차음 성능 해석을 시도하였지

만, 값을 설정하는데 근거가 부족하며 주파수에 따른 특성을 반영하지 못

하는 단점이 존재했다. Crocker (1967), Prince (1970) 등은 statistical energy

analysis를 공동을 포함한 이중 평판에 적용하였다. 이 방법의 경우에는 공

동과 두 평판에서 발생하는 고 주파수 대역만 해석이 가능하기 때문에 차

음 성능 해석 보다는 실내 음압 산정에 더 적합하다. Byrne (1989)과

Trochides (1989)는 공동에 흡음 층을 포함한 경우에 대해 각 층의 비 음향

임피던스 조합을 사용하여 투과 손실을 도출하였다. 이 경우에는 흡음 층

을 포함하지 않는 순수 공동 층에는 잘 부합하지 않는 결과를 보인다.

Davy (1993)는 강체 혹은 유연 체 일 때의 스터드 (studs)와 공동을 동시에

고려하여 차음 성능을 도출하였다. Fahy (2000)는 흡음 공동 모델 (absorbing

cavity model)을 제안했는데 이를 위해서는 유동 저항, 공극 률, 구조 인자

31

등의 실험 값이 요구된다.

본 연구에서 사용한 공동의 에너지를 이용한 방법은 공기 층의 차음 특

성을 모델링하기 위해 흑체 복사 문제에서 적용된 공동의 에너지가 모드

수에 비례한다는 가정을 적용하여 세계 최초로 공동의 차음 성능 해석을

진행하였다. 이 방법의 타당성은 6.1, 6.2, 6.3장의 실험 결과와 수치 해석 결

과를 통해 입증하였다.

Figure 2.5에서 보듯이 허니컴 패널에서 중심 재로 사용되는 허니컴은 약

98%의 공동과 2%의 허니컴 셀 구조로 이루어져 있다. 그래서 공동에 대한

차음 성능을 반영해야 하는데 이를 위해 Greiner (2001)의 양자 역학 저서의

내용 중에 흑체 복사에 관한 내용인 공동의 입자 에너지가 모드 수에 비

례한다는 가정을 사용하여 수식을 유도하였다.

𝑢𝑡𝑜𝑡(𝑓) = 𝑁(𝑓)𝐸 (2.64)

여기서, 𝑢𝑡𝑜𝑡는 전체 에너지 밀도, 𝑁은 단위 부피 당 정규 모드 수 (normal

mode number per unit volume), 𝐸는 공동의 입자 에너지를 나타낸다.

32

𝜕2𝑃

𝜕𝑥12 +

𝜕2𝑃

𝜕𝑥22 +

𝜕2𝑃

𝜕𝑥32 =

1

𝑐02

𝜕2𝑃

𝜕𝑡2 (2.65)

여기서, 𝑃는 음압을 나타내고, 𝑡는 시간을 나타낸다. 패널의 중심 재를 공

기 층과 직교 이방성 층의 중첩으로 가정하였다. Figure 2.6과 같이 각 변의

길이가 𝐿1, 𝐿2, 𝐿3인 공동의 경계 조건을 강체로 가정하고, 파동 방정식을

풀게 되면 아래 식을 얻을 수 있다.

𝑘12 + 𝑘2

2 + 𝑘32 = 𝑘0

2 (2.66)

𝑛12

(𝐿1𝜔𝜋𝑐0

)2 +

𝑛22

(𝐿2𝜔𝜋𝑐0

)2 +

𝑛32

(𝐿3𝜔𝜋𝑐0

)2 = 1

(2.67)

여기서, 𝑘1 (= 𝑘0 sin휃 cos𝜙), 𝑘2 (= 𝑘0 sin 휃 sin𝜙), 𝑘3 (= 𝑘0 cos 휃)는 각 방

향의 파수를 나타내고; 𝑛1, 𝑛2, 𝑛3는 각 방향의 모드 수이며, 𝜔는 각 주파

수 (angular frequency)를 나타낸다.

식 (2.67)을 𝑛1, 𝑛2, 𝑛3에 대해 그래프를 그리면 Figure 2.7과 같고, 총 모

드 수는 1 사분면에서의 부피와 같다. 이를 부피 (𝐿1𝐿2𝐿3)로 나누어주면 아

33

래 식과 같이 얻을 수 있다.

𝑁 =𝜔3

6𝜋2𝑐03 (2.68)

식 (2.68)을 식 (2.64)에 대입한 후에 주파수에 대한 미분을 수행하여

주파수 당 총 에너지 밀도를 구할 수 있다.

𝑑𝑢𝑡𝑜𝑡𝑑𝑓

=4𝜋𝑓2

𝑐03 𝐸 (2.69)

임의의 면적 A에서의 유효 에너지를 구하기 위해, 반은 입사 방향으로

반은 반대 방향으로 전파되기 때문에 식 (2.69)을 반으로 나누고 임의의

거리 d에 대한 에너지는 아래 식과 같이 나타낼 수 있다.

1

2


Ad

𝑡=1

2


A𝑐0𝑡

𝑡=𝑑𝑢𝑡𝑜𝑡𝑑𝑓

A𝑐02

(2.70)

입사 각도에 따른 유효 면적과 음속을 고려하면 A와 𝑐0를 A cos 휃와

34

𝑐0 cos휃로 표현할 수 있다. 그런 후에 무 차원 수로 만들기 위해 면적으로

나누어주면 아래 식과 같다.

𝐸𝑡𝑜𝑡 =𝑑𝑢𝑡𝑜𝑡𝑑𝑓

𝑐02cos2 휃 = (

2𝜋𝑓2

𝑐02 cos2 휃)𝐸 = 𝑌𝐸 (2.71)

여기서, 𝑌 = 2𝜋𝑓2 cos2 휃 /𝑐02, 𝐸𝑡𝑜𝑡는 공동의 모드 수에 따른 전체 에너지를

나타낸다.

결과적으로 공동의 에너지는 주파수 제곱에 비례하고, 음속 제곱에 반

비례한다. 식 (2.71)을 완성하기 위해 𝐸를 구해야 한다. 𝐸는 공동의 운동

에너지 혹은 위치 에너지를 나타낸다. 운동 에너지는 식 (2.27)과 같고

위치 에너지는 아래와 같다 (Tanaka, 2006).

𝑃𝐸𝑐𝑎𝑣𝑖𝑡𝑦 =1

4𝜌0𝑐02∫ |𝑃𝑐(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)|

2𝑑𝑉𝑜𝑙𝑉𝑜𝑙

(2.72)

여기서,

35

𝑃𝑐 = 𝐵휀𝑣 (2.73)

휀𝑣 = 휀1 + 휀2 + 휀3 (2.74)

𝑃𝑐는 공동에서의 압력을 나타내고, 𝐵는 공기의 체적 탄성 계수 (bulk

modulus, 142× 103 Pa), 휀𝑣는 부피 변형 률이고, 휀1, 휀2, 휀3은 각 방향 변형

률이다. 𝑥1의 적분 범위는 −𝜆1/2 부터 𝜆1/2 이고, 𝑥2의 적분 범위는 0

부터 1 이고, 𝑥3의 적분 범위는 −𝐿3/2 부터 𝐿3/2 이다.

공동의 대칭 모드와 비대칭 모드들에 대한 위치 에너지:

𝑃𝐸𝑐,𝑠 =𝐵2𝑘1

2

8𝜌0𝑐02 (𝛽𝑠

2𝐿3 +4𝛽𝑠휁𝐿3𝜋

+1

2휁2𝐿3 +

4𝛼𝑠2

𝑘12𝐿3

−4𝛼𝑠𝛽𝑠𝑘1

−8𝛼𝑠휁

𝑘1𝜋) (2.75)

𝑃𝐸𝑐,𝑎 =𝐵2𝛽𝑎

2𝑘12𝐿3

24𝜌0𝑐02 (2.76)

공동의 대칭 모드와 비대칭 모드들에 대한 운동 에너지:

𝐸𝑐,𝑠 =𝜌0𝐿32

(𝛽2 +4

𝜋𝛽��휁 +

휁2

2+𝛼 2

3) (2.77)

36

𝐾𝐸𝑐,𝑎 =𝜌0𝐿32

(𝛽𝑎2

2+ 𝛼𝑎

2) (2.78)

앞 장에서와 같은 방식으로 공동의 운동 에너지와 위치 에너지를 라그

랑주 방정식에 대입하면 아래와 같다 (Jung, 2018).

[𝐹𝑠] {


𝑃000} (2.79)

[𝐹𝑎] {𝛼𝑎𝛽𝑎} = {

𝑃00} (2.80)

여기서,

[𝐹𝑠]11 = −𝑌𝜌0𝜔

2𝐿36

+𝐵2

𝐿3𝜌0𝑐02 (2.81)

[𝐹𝑠]12 = −𝐵2𝑘1

2𝜌0𝑐02 (2.82)

[𝐹𝑠]13 = −𝐵2𝑘1

𝜋𝜌0𝑐02 (2.83)

[𝐹𝑠]21 = [𝐹𝑠]12 (2.84)

[𝐹𝑠]22 =−2𝑌𝜌0𝜔

2𝐿3 + 𝐵2𝑘1

2𝐿3/(𝜌0𝑐02)

4 (2.85)

37

[𝐹𝑠]23 =−2𝑌𝜌0𝜔

2𝐿3 + 𝐵2𝑘1

2𝐿3/(𝜌0𝑐02)

2𝜋 (2.86)

[𝐹𝑠]31 = [𝐹𝑠]13 (2.87)

[𝐹𝑠]32 = [𝐹𝑠]23 (2.88)

[𝐹𝑠]33 =−2𝑌𝜌0𝜔

2𝐿3 + 𝐵2𝑘1

2𝐿3/(𝜌0𝑐02)

8 (2.89)

[𝐹𝑎]11 = −𝑌𝜌0𝜔

2𝐿32

(2.90)

[𝐹𝑎]12 = 0 (2.91)

[𝐹𝑎]21 = [𝐹𝑎]12 (2.92)

[𝐹𝑎]22 =−2𝑌′ + 𝐵2𝑘1

2𝐿3/(𝜌0𝑐02)

12 (2.93)

38

Figure 2.5 Honeycomb cell and air cavity.

39

Figure 2.6 Diagram of the air cavity.

40

Figure 2.7 Graph of n-space for the total number of modes.

41

2.7. 공동을 포함한 허니컴 패널의 투과 손실 계수 도출

허니컴 패널과 공동의 차음 성능을 모두 포함하기 위해 2.4장에서 구한

[𝑀𝑠]와 2.6장에서 구한 [𝐹𝑠]의 합으로 아래와 같이 행렬 식을 구성하고, 비

대칭 모드에 대해서도 똑같이 2.4장에서 구한 [𝑀𝑎]와 2.6장에서 구한 [𝐹𝑎]

의 합으로 구성한다.

[𝑀𝑠 + 𝐹𝑠] {


𝑃000} (2.94)

[𝑀𝑎 + 𝐹𝑎] {𝛼𝑎𝛽𝑎} = {

𝑃00} (2.95)

식 (2.94)와 (2.95)로부터 각각 𝑃0/𝛼𝑠와 𝑃0/𝛼𝑎를 도출할 수 있고, 이를

𝑗𝜔로 나누어 대칭과 비대칭에 대한 비 음향 임피던스를 아래와 같이 구할

수 있다.

𝑍𝑠 =𝑃0𝑗𝜔𝛼𝑠

(2.96)

42

𝑍𝑎 =𝑃0𝑗𝜔𝛼𝑎

(2.97)

대칭과 비대칭에 대한 비 음향 임피던스를 식 (2.98)에 대입하여 투과 계

수 (sound transmission coefficient, 𝜏)를 구할 수 있다.

𝜏 = |

𝜌0𝑐0cos 휃

(𝑍𝑠 − 𝑍𝑎)

(𝑍𝑎 +𝜌0𝑐0cos 휃

) (𝑍𝑠 +𝜌0𝑐0cos 휃

)|

2

(2.98)

𝜏 =

∫ ∫ 𝐺(휃)𝜋/2

0𝜏(휃, 𝜙) sin 휃 cos 휃

2𝜋

0𝑑휃𝑑𝜙

∫ ∫ 𝐺(휃)𝜋/2

0sin 휃 cos 휃

2𝜋

0𝑑휃𝑑𝜙

(2.99)

STL = −10 log10(𝜏) (2.100)

여기서, 𝜏는 투과 계수이며, ��는 입사 각에 대한 평균 투과 계수를 나타내

며, STL은 음향 투과 손실이다. 𝜌0는 공기 밀도 (1.21 kg/m3), 𝑐0는 음속

(speed of sound in air, 343 m/s)이다. 가우스 함수 𝐺(휃)는 exp(−𝛽휃2)이며, 𝛽는

1.4을 사용하였다. 가우스 함수의 도입은 Kang (2000)에 의해 소개되었으며,

해당 논문에서 𝛽값이 1과 2사이의 값 일 때 잔향실의 레이 트레이싱 (ray-

tracing simulation) 시뮬레이션 결과와 잘 부합했다. 또한 실험 시에 잔향 실

43

내부가 이론과 같이 완벽한 확산 음장 (perfectly diffuse sound field)을 형성하

지 못하기 때문에 정규 분포 곡선을 사용하여 입사 각도에 따라 입사 확

률을 다르게 설정하였다. 여기서 확산 음장이란 음향 에너지의 분포가 균

일하여 어떤 지점을 통과하든 같은 에너지를 보이는 현상을 나타낸다.

44

3. 공명 형 흡음 구조에 따른 흡음 계수 도출

흡음 구조에 따라 다공질 형, 공명 구조 형 흡음 재가 있다. 강성훈

(2014)에 의하면 각각의 특징은 다음과 같다. 다공질 형은 재료속에 무수히

많은 미세 구멍이 존재하며, 미네랄 울이 대표적인 예이다. 음파가 입사할

때 공기의 점성 마찰에 의해 흡음이 되며, 일반적으로 중고 주파수에서 흡

음 률이 높다. 공명 형은 병이나 항아리 같은 구멍을 가진 공간의 공명을

이용하며, 본 연구에서 사용된 HMPP를 예로 들 수 있다. 다공질 형에 비

해 제어 주파수 범위가 좁지만 제어 주파수 이동이 비교적 용이하다.

MPP 홀의 비 음향 임피던스에 대한 경험 식은 Maa (1987)에 의해 유도

된 이후 수 많은 연구에서 사용되었다. Toyoda (2008)는 MPP와 후판을 강

체가 아닌 유연 체로 가정하여 해석하였으며, MPP와 후판 사이에 air-

cavity-subdivision technique을 적용하여 흡음 성능을 높이고자 했다. MPP는

여러 분야에서 응용되고 있는데 Fuchs (2001)는 커뮤니케이션 룸, Zha (2002)

는 공연장, Wu (1997)는 덕트에서의 소음 감소를 위해 연구를 진행하였다.

Jung (2016)은 MPP를 허니컴 패널에 적용하여 차음 성능 향상 방안을 연구

하였다.

45

3.1. CASE 1: HMPP (MPP + honeycomb + plate)

흡음 성능을 높이기 위해 Figure 3.1에서 보듯이 허니컴 패널의 한 쪽 표

면 재를 MPP로 구성하였다. Figure 3.2에서 보듯이 MPP의 위치는 𝑥3 = 0

이고, 표면 재의 위치는 𝑥3 = ℓ1 이다. 영역 (Area) 1, 2, 3은 각각 입사 면,

MPP와 표면 재사이의 중심 재 영역, 투과 면을 나타낸다. 입사 파

(incident wave)는 평면 파로 가정하였고, 해석 모델은 𝑥1 − 𝑥2평면 방향으로

무한하다고 가정하였다.

𝑝𝑖(𝑥1, 𝑥3) = 𝑃0𝑒𝑗𝑘0(sin 𝜃∙𝑥1+cos𝜃∙𝑥3) (3.1)

여기서, 𝑃0는 입사 파의 압력의 크기 (amplitude)를 나타낸다.

2차원 헬름홀츠 적분 (Helmholtz integral)을 사용하여 𝑝1(𝑥)과 𝑝3(𝑥)을 얻

을 수 있다. 헬름홀츠 방정식의 유도 과정은 부록 9.2장에 정리하였다. 여

기서 아래 첨자 1과 3은 각각 영역 1과 3을 나타낸다. 그래서 𝑝1은 영역 1

에서의 압력을 나타낸다.

46

𝑝1(𝑥1) = 2𝑝𝑖(𝑥1, 0) −𝜌0𝜔

2∫ 𝐻0

(1)(𝑘0|𝑥1 − 𝑥0|)𝑣1(𝑥0)𝑑𝑥0

∞

−∞

(3.2)

𝑝3(𝑥1) =𝜌0𝜔

2∫ 𝐻0

(1)(𝑘0|𝑥1 − 𝑥0|)𝑣3(𝑥0)𝑑𝑥0

∞

−∞

(3.3)

여기서, 𝐻0(1)

는 제1종 한켈 함수 (Hankel function)이며, 𝑣1(𝑥)과 𝑣3(𝑥)는 각

각 𝑥3 = 0과 𝑥3 = ℓ1에서의 입자 속도를 나타낸다.

영역 2에서는 평면 파가 법선 방향 (normal direction)으로만 입사하도록

가정하였다. 그래서 영역 2에서의 압력과 속도는 아래 식과 같다.

𝑝2(𝑥1, 𝑥3) = (𝑃+𝑒𝑗𝑘0𝑥3 + 𝑃−𝑒−𝑗𝑘0𝑥3)𝑒𝑗𝑘1𝑥1 (3.4)

𝑣2(𝑥1, 𝑥3) =1

𝜌0𝑐0(𝑃+𝑒𝑗𝑘0𝑥3 − 𝑃−𝑒−𝑗𝑘0𝑥3)𝑒𝑗𝑘1𝑥1 (3.5)

여기서, 𝑃+는 +𝑥3방향으로 진행하는 평면 파의 음압 크기며, 𝑃−는 −𝑥3방

향으로 진행하는 평면 파의 음압 크기이다.

MPP에 작용하는 압력은 𝑝1(𝑥1) − 𝑝2(𝑥1, 0) 이고, 표면 재에 작용하는 압

47

력은 𝑝2(𝑥1, ℓ1) − 𝑝3(𝑥1)이며, 가진 력은 디랙 델타 함수 (Dirac delta function)

𝛿(𝑥1) 일 때, 변위는 각각 𝑢𝑚(𝑥1)과 𝑢𝑏(𝑥1)이다. 오일러 빔 이론을 판으로

확장하여 단위 하중에 대한 평판의 운동 방정식은 아래와 같다 (Dym,

2013).

𝜕4𝑢𝑚(𝑥1)

𝜕𝑥4− 𝑘𝑚

4 𝑢𝑚(𝑥1) =𝛿(𝑥1)

𝐷𝑓𝑚 (3.6)

𝜕4𝑢𝑏(𝑥1)

𝜕𝑥4− 𝑘𝑏

4𝑢𝑏(𝑥1) =𝛿(𝑥1)

𝐷𝑓𝑏 (3.7)

여기서, 𝑢𝑚과 𝑢𝑏는 디렉 델타 함수 𝛿(𝑥1)에 의해 발생한 MPP와 후판의

변위이며, 𝑘𝑚4 = 𝜌𝑚𝐿𝑚𝜔

2 ∕ 𝐷𝑓𝑚 , 𝑘𝑏4 = 𝜌𝑏𝐿𝑏𝜔

2 ∕ 𝐷𝑓𝑏 , 𝜌𝑚 과 𝜌𝑏 는 각각

MPP와 후판의 밀도, 𝐿𝑚과 𝐿𝑏는 각각 MPP와 후판의 두께, 𝐷𝑓𝑚과 𝐷𝑓𝑏는

각각 MPP와 후판의 굽힘 강도 (flexural rigidity)를 나타낸다.

임펄스에 대한 응답을 도출하기 위해 단위 힘에 의한 변위 𝑢𝑚과 𝑢𝑏를

MPP와 후판에 작용하는 압력에 의한 변위로 유도하기 위해 합성 곱

(convolution)으로 표현하면 아래와 같다 (Meng, 2019).

48

𝑤𝑚(𝑥1) = ∫ {𝑝1(𝜉) − 𝑝2(𝜉, 0)}𝑢𝑚(𝑥1 − 𝜉)𝑑𝜉∞

−∞

(3.8)

𝑤𝑏(𝑥1) = ∫ {𝑝2(𝜉, 𝑑) − 𝑝3(𝜉)}𝑢𝑏(𝑥1 − 𝜉)𝑑𝜉∞

−∞

(3.9)

면에 수직한 방향의 속도는 Takahashi (2002)에 의해 아래와 같이 표현이

가능하다.

𝑣1(𝑥1) = 𝑣2(𝑥1, 0) = −𝑗𝜔휁𝑤𝑚(𝑥1) +𝜎

𝑧0{𝑝1(𝑥1) − 𝑝2(𝑥1, 0)} (3.10)

𝑣2(𝑥1, ℓ1) = 𝑣3(𝑥1) = −𝑖𝜔𝑤𝑏(𝑥1) (3.11)

여기서, 𝜎는 MPP의 공극 률, 휁 = 1 − (𝑧𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡 𝑧𝑀𝑃𝑃⁄ )𝜎 이다. 𝑧𝑀𝑃𝑃는 MPP

홀의 비 음향 임피던스이고, 이는 실수 부 (resistance, 𝑧𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡)와 허수 부

(reactance, 𝑧𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡)로 구성되며, Maa (1987)에 의해 수식적으로 아래 식과

같다.

𝑧𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡 =8휂0𝑡𝑚(𝑑𝑚 2⁄ )2

(√1 +𝑋2

32+√2𝑑𝑚𝑋

8𝑡𝑚) (3.12)

49

𝑧𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡 = −𝑗

[

𝜌0𝜔𝑡𝑚

(

1 +1

√9 + (𝑋2

2)

+0.85𝑑𝑚𝑡𝑚

)

+1

cos 휃cot(𝑘0𝐿3cos휃)

]

(3.13)

여기서, X = 𝑑𝑚/2√𝜌0𝜔/휂0, 휂0는 점성 계수 (viscosity coefficient), 𝑡𝑚은 MPP

의 두께, 𝑑𝑚은 MPP 홀의 직경, 𝐿3의 경우에는 2장에서 허니컴 셀의 높이

였지만, 중심 재인 허니컴을 허니컴 셀과 공기 층의 중첩으로 가정하였으

므로 공기 층의 높이로도 쓰인다.

𝑃±는 식 (3.4), (3.5), (3.10), (3.11)을 사용하여 구할 수 있다.

𝑃± = {𝐶𝐸±𝑝1(𝑥1) − 𝐷𝜍𝐸∓𝑤𝑚(𝑥) + 𝐷 (1 −

𝜌0𝑐0𝜎

𝑧0)𝑤𝑏(𝑥1)} 𝑒

−𝑗𝑘1𝑥1 (3.14)

여기서, 𝐴± = 𝐸+ ± 𝐸− , 𝐵± = 𝜎𝐴±/𝑧0 − 𝐴∓/(𝜌0𝑐0) , 𝐶 = 𝜎/(𝑧0𝐵

+) , 𝐷 =

𝑗𝜔/𝐵+, 𝐸± = exp(±𝑗𝑘0ℓ1) 이다.

식 (3.14)를 식 (3.8)과 (3.9)에 대입한 후에 푸리에 변환 (Fourier

transform)을 적용하면 아래 식과 같다.

50

𝑊𝑚(𝑘) = 2𝜋{𝛼1𝜅𝑏(𝑘) + 𝛼𝑚𝑊𝑏(𝑘) + 𝛼𝑏𝑊𝑏(𝑘)}𝑈𝑚(𝑘) (3.15)

𝑊𝑏(𝑘) = 2𝜋{𝛽1𝑃1(𝑘) + 𝛽3𝑃3(𝑘) + 𝛽𝑚𝑊𝑚(𝑘) + 𝛽𝑏𝑊𝑏(𝑘)}𝑈𝑏(𝑘) (3.16)

여기서, 𝑈𝑚(𝑘) , 𝑈𝑏(𝑘) , 𝑃1(𝑘) , 𝑃3(𝑘)은 각각 𝑢𝑚(𝑥1) , 𝑢𝑏(𝑥1) , 𝑝1(𝑥1) , 𝑝3(𝑥1)

의 푸리에 변환이고, 𝛼1 = 1 − 𝐶𝐴+ , 𝛼𝑚 = 𝐷휁𝐴+ , 𝛼𝑏 = −2𝐷 , 𝛽1 = 2𝐶 , 𝛽3 =

−1, 𝛽𝑚 = −2Dζ, 𝛽𝑏 = −𝜌0𝑐0𝐷𝐵− 이다.

한켈 함수의 적분 표현식은 아래와 같다.

𝐻0(1)(𝑘0|𝑥 − 𝑥0|) = ∫

𝑒𝑖𝑘(𝑥−𝑥0)

𝜋√𝑘02 − 𝑘2

𝑑𝑘∞

−∞

(3.17)

여기서, 𝑘0는 공기의 파수를 나타낸다.

식 (3.2), (3.3), (3.10), (3.11)으로부터 아래 식을 얻을 수 있다.

𝑃1(𝑘) = 𝛾1𝛿(𝑘 − 𝑘0 sin 휃) + 𝛾𝑚(𝑘)𝑊𝑚(𝑘) + 𝛾𝑏𝑊𝑏(𝑘) (3.18)

𝑃3(𝑘) = 휀𝑏(𝑘)𝑊𝑏(𝑘) (3.19)

51

여기서,

𝛾𝑖(𝑘) =2√𝑘0

2 − 𝑘2

√𝑘02 − 𝑘2 − 𝑘0𝐶𝐴

− (3.20)

𝛾𝑚(𝑘) =−𝑘0𝐷𝜍𝐴

− cos 휃

√𝑘02 − 𝑘2 − 𝑘0𝐶𝐴

− (3.21)

𝛾𝑏(𝑘) =2𝜌0𝜔𝐷𝜎/𝑧0

√𝑘02 − 𝑘2 − 𝑘0𝐶𝐴

− (3.22)

휀𝑏(𝑘) =𝑗𝜌0𝜔

2

√𝑘02 − 𝑘2

(3.23)

MPP와 허니컴, 후판이 결합된 상태로 설정하기 위해선 MPP와 후판의

변위가 커플링 되어야 한다. 이를 수식적으로 나타내면 다음 식과 같다.

𝑤𝑡(𝑘) = 𝑤𝑚(𝑘) = 𝑤𝑏(𝑘) (3.24)

여기서, 식 (3.24)은 MPP와 후판의 변위가 같게 됨을 나타내며, 결과적으로

패널의 변위는 𝑤𝑡이며 각각에 작용하는 압력의 중첩으로 아래 식과 같이

표현된다.

52

𝑤𝑡(𝑥1) = ∫ {𝑝1(𝜉) − 𝑝2(𝜉, 0) + 𝑝2(𝜉, ℓ1) − 𝑝3(𝜉)}𝑢𝑏(𝑥 − 𝜉)𝑑𝜉∞

−∞

(3.25)

식 (3.15), (3.16)을 통해 𝑤𝑡(𝑥1)의 푸리에 변환된 형태를 아래와 같이

구할 수 있다.

𝑊𝑡(𝑘) = 2𝜋{𝛼1𝜅𝑏(𝑘) + 𝛼𝑚𝑊𝑏(𝑘) + 𝛼𝑏𝑊𝑏(𝑘) + 𝛽1𝑃1(𝑘) + 𝛽3𝑃3(𝑘)

+ 𝛽𝑚𝑊𝑚(𝑘) + 𝛽𝑏𝑊𝑏(𝑘)}𝑈𝑏(𝑘)

(3.26)

식 (3.24)에서 정의한 바에 의해 식 (3.26)을 정리하면 아래 식과 같다.

𝑊𝑡(𝑘) = 𝐹𝑡(𝑘)𝛿(𝑘 − 𝑘0 sin 휃) (3.27)

여기서,

𝐹𝑡(𝑘) =2𝜋𝜆𝑛𝛾𝑖(𝑘)𝑈𝑏(𝑘)𝛿(𝑘 − 𝑘0 sin 휃)

1 − 2𝜋(𝛼𝑚𝑏 + 𝛽𝑚𝑏 + 𝛽3휀𝑏(𝑘) + 𝜆𝑛𝛾𝑚(𝑘) + 𝜆𝑛𝛾𝑏(𝑘))𝑈𝑏(𝑘) (3.28)

식 (3.27)을 식 (3.18)과 (3.19)의 𝑊𝑚(𝑘)과 𝑊𝑏(𝑘)에 대입하면 아래와 같다.

53

𝑃1(𝑘) = 𝑄𝑝(𝑘)𝛿(𝑘 − 𝑘0 sin 휃) (3.29)

𝑃3(𝑘) = 휀𝑏(𝑘)𝐹𝑡(𝑘)𝛿(𝑘 − 𝑘0 sin 휃) (3.30)

여기서,

𝑄𝑝(𝑘) = 𝛾1(𝑘) + 𝛾𝑚(𝑘)𝐹𝑡(𝑘) + 𝛾𝑏𝐹𝑡(𝑘) (3.31)

식 (3.29)–(3.31)을 푸리에 역 변환하면 아래와 같다.

𝑝1(𝑥1) = 𝑄𝑝(𝑘1)exp(𝑗𝑘1𝑥1) (3.32)

𝑃3(𝑥1) = 휀𝑏(𝑘1)𝐹𝑡(𝑘1)exp(𝑗𝑘1𝑥1) (3.33)

식 (3.32)와 (3.33)을 식 (3.10)과 (3.11)에 대입하면 속도 𝑣1(𝑥1), 𝑣3(𝑥1)는

아래와 같다.

54

𝑣1(𝑥1) = 𝑄𝑣(𝑘1) cos 휃 exp(𝑗𝑘1𝑥1)/(𝜌0𝑐0) (3.34)

𝑣3(𝑥1) = −𝑗𝜔𝐹𝑡(𝑘1)exp(𝑗𝑘1𝑥1) (3.35)

여기서,

𝑄𝑣(𝑘) = −𝐶𝐴−𝛾𝑖(𝑘) − (𝐶𝛾𝑚(𝑘) − 𝐷휁)𝐴−𝐹𝑡(𝑘) − 𝐶𝐴

−𝛾𝑏𝐹𝑡(𝑘) (3.36)

식 (3.37)을 보면 결과적으로 식 (3.31)과 식 (3.36)의 𝑄𝑝(𝑘)와 𝑄𝑣(𝑘)를 통

해 반사 인텐시티 (intensity) 𝐼𝑟(휃) , 입사 인텐시티 𝐼𝑖(휃) , 흡음 계수

𝛼𝑐𝑎𝑠𝑒1(휃), 평균 흡음 계수 ��𝑐𝑎𝑠𝑒1(휃)는 아래와 같이 구할 수 있다.

𝐼𝑟(휃) =1

2𝑅𝑒[{𝑝1(𝑥) − 𝑝𝑖(𝑥, 0)}{−𝑣1(𝑥) + 𝑣𝑖(𝑥, 0)}

∗]

=cos 휃

2𝜌0𝑐0𝑅𝑒[{𝑄𝑚(𝑘1) − 1}{−𝑄𝑣(𝑘1) + 1}

∗]

(3.37)

𝛼case1(휃) = 1 −𝐼𝑟(휃)

𝐼𝑖(휃) (3.38)

��case1(휃) =∫ ∫ 𝛼csse1(휃) sin 휃 cos 휃

𝜋/2

0

2𝜋

0𝑑휃𝑑𝜙

∫ ∫ sin 휃 cos 휃𝜋/2

0

2𝜋

0𝑑휃𝑑𝜙

(3.39)

55

여기서, 𝐼𝑖(휃) = cos θ ∕ (2𝜌0𝑐0) , 𝛼case1 는 Figure 3.1에 대한 흡음 계수를

나타내며 ��case1는 입사 각에 대한 평균 흡음 계수를 나타낸다. 별표 (∗)는

켤레 복소수 (complex conjugate)를 나타낸다.

56

Figure 3.1 Geometry of the HMPP for the incident, reflected, and transmitted

waves with an unbounded x₁-x₂ plane

57

Figure 3.2 Front view (x₁-x₃ plane) of Figure 3.1.

58

3.2. CASE 2: HMPP 1 + Cavity + HMPP 2

Figure 3.3에서 볼 수 있듯이 허니컴 중심 재와 MPP로만 구성된 두 패널

사이에 공동을 포함한 복층 패널에 대한 흡음 계수를 도출하였다. 물론 이

렇게 구성할 경우에는 입사 파가 모두 통과하게 되겠지만, 필요에 따라 원

하는 위치의 MPP 홀의 영향을 삭제하는 방식으로 사용하여 해석의 유연

성을 얻고자 했다.

입사 파의 경우에는 식 (3.1)과 같고, 각각의 영역에서의 압력과 속도는

아래와 같다.

𝑝1(𝑥1) = 2𝑝𝑖(𝑥1, 0) −𝜌0𝜔

2∫ 𝐻0

(1)(𝑘0|𝑥1 − 𝑥0|)𝑣1(𝑥0)𝑑𝑥0

∞

−∞

(3.40)

𝑝5(𝑥1) =𝜌0𝜔

2∫ 𝐻0

(1)(𝑘0|𝑥1 − 𝑥0|)𝑣5(𝑥0)𝑑𝑥0

∞

−∞

(3.41)

아래 식 (3.42)–(3.44)를 보면, 영역 2, 4의 경우에는 수직 입사로 가정하

였기 때문에 지수에 cos 휃가 1로 바뀌고, 영역 3의 경우에는 랜덤 입사이

기 때문에 지수에 cos 휃가 남아 있다.

59

𝑝2(𝑥1, 𝑥3) = (𝑃2+𝑒𝑗𝑘0𝑥3 + 𝑃2

−𝑒−𝑗𝑘0𝑥3)𝑒𝑗𝑘1𝑥1 (3.42)

𝑝3(𝑥1, 𝑥3) = (𝑃3+𝑒𝑗𝑘0 cos𝜃∙𝑥3 + 𝑃3

−𝑒−𝑗𝑘0 cos𝜃∙𝑥3)𝑒𝑗𝑘1𝑥1 (3.43)

𝑝4(𝑥1, 𝑥3) = (𝑃4+𝑒𝑗𝑘0𝑥3 + 𝑃4

−𝑒−𝑗𝑘0𝑥3)𝑒𝑗𝑘1𝑥1 (3.44)

오일러 방정식 (Euler’s equation)에 의해 식 (3.42), (3.43), (3.44)는 아래 식

과 같이 속도로 변환할 수 있다.

𝑣2(𝑥1, 𝑥3) =1

𝜌0𝑐0(𝑃2

+𝑒𝑗𝑘0𝑥3 − 𝑃2−𝑒−𝑗𝑘0𝑥3)𝑒𝑗𝑘1𝑥1 (3.45)

𝑣3(𝑥1, 𝑥3) =cos 휃

𝜌0𝑐0(𝑃3

+𝑒𝑗𝑘0 cos𝜃∙𝑥3 − 𝑃3−𝑒−𝑗𝑘0 cos𝜃∙𝑥3)𝑒𝑗𝑘1𝑥1 (3.46)

𝑣4(𝑥1, 𝑥3) =1

𝜌0𝑐0(𝑃4

+𝑒𝑗𝑘0𝑥3 − 𝑃4−𝑒−𝑗𝑘0𝑥3)𝑒𝑗𝑘1𝑥1 (3.47)

𝑃+와 𝑃−는 각각 +𝑥3와 −𝑥3 방향 진행 파를 나타내고, 아래 첨자 1, 2, 3,

4, 5는 각각의 영역을 나타낸다.

60

𝜕4𝑢a(𝑥1)

𝜕𝑥4− 𝑘a

4𝑢a(𝑥1) =𝛿(𝑥1)

𝐷𝑓a (3.48)

𝜕4𝑢b(𝑥1)

𝜕𝑥4− 𝑘b

4𝑢b(𝑥1) =𝛿(𝑥1)

𝐷𝑓b (3.49)

𝜕4𝑢c(𝑥1)

𝜕𝑥4− 𝑘c

4𝑢c(𝑥1) =𝛿(𝑥1)

𝐷𝑓c (3.50)

𝜕4𝑢d(𝑥1)

𝜕𝑥4− 𝑘d

4𝑢d(𝑥1) =𝛿(𝑥1)

𝐷𝑓d (3.51)

여기서, 𝑘a4 = 𝜌a𝐿a𝜔

2 ∕ 𝐷𝑓a , 𝑘b4 = 𝜌b𝐿b𝜔

2 ∕ 𝐷𝑓b , 𝑘c4 = 𝜌c𝐿c𝜔

2 ∕ 𝐷𝑓c , 𝑘d4 =

𝜌d𝐿d𝜔2 ∕ 𝐷𝑓d , 𝜌는 MPP의 밀도, 𝐿은 MPP의 두께, 𝐷𝑓는 굽힘 강도,

𝑢(𝑥1)는 디랙 델타 함수에 대응하는 변위를 나타낸다. 그리고 아래 첨자

a, b, c, d 는 각각 𝑥3 = 0 , 𝑥3 = ℓ1 , 𝑥3 = ℓ1 + ℓ2 , 𝑥3 = ℓ1 + ℓ2 + ℓ3

위치에서의 MPP를 나타낸다.

각각의 MPP에 작용하는 압력과 𝑢(𝑥1)의 합성 곱으로 전체 변위를

나타내면 아래와 같다.

𝑤𝑎(𝑥1) = ∫ {𝑝1(𝜉) − 𝑝2(𝜉, 0)}𝑢a(𝑥1 − 𝜉)𝑑𝜉∞

−∞

(3.52)

61

𝑤𝑏(𝑥1) = ∫ {𝑝2(𝜉, ℓ1) − 𝑝3(𝜉, ℓ1)}𝑢b(𝑥1 − 𝜉)𝑑𝜉∞

−∞

(3.53)

𝑤𝑐(𝑥1) = ∫ {𝑝3(𝜉, ℓ1 + ℓ2) − 𝑝4(𝜉, ℓ1 + ℓ2)}𝑢c(𝑥1 − 𝜉)𝑑𝜉∞

−∞

(3.54)

𝑤𝑑(𝑥1) = ∫ {𝑝4(𝜉, ℓ1 + ℓ2 + ℓ3) − 𝑝5(𝜉, ℓ1 + ℓ2 + ℓ3)}𝑢d(𝑥1 − 𝜉)𝑑𝜉∞

−∞

(3.55)

면에 수직한 방향의 속도는 아래와 같이 표현이 가능하다.

𝑣1(𝑥1) = 𝑣2(𝑥1, 0) = −𝑗𝜔휁a𝑤a(𝑥1) +𝜎a𝑧0a

{𝑝1(𝑥1) − 𝑝2(𝑥1, 0)} (3.56)

𝑣2(𝑥1, ℓ1) = −𝑗𝜔휁b𝑤b(𝑥1) +𝜎b𝑧0b

{𝑝2(𝑥1, ℓ1) − 𝑝3(𝑥1, ℓ1)} (3.57)

𝑣3(𝑥1, ℓ1 + ℓ2) = −𝑗𝜔휁c𝑤c(𝑥1) +𝜎𝑐𝑧0c

{𝑝3(𝑥1, ℓ1 + ℓ2) − 𝑝4(𝑥1, ℓ1 + ℓ2)} (3.58)

𝑣3(𝑥1, ℓ1) = −𝑗𝜔휁b𝑤b(𝑥1) +𝜎b𝑧0b

{𝑝2(𝑥1, ℓ1) − 𝑝3(𝑥1, ℓ1)} (3.59)

𝑣4(𝑥1, ℓ1 + ℓ2 + ℓ3) = −𝑗𝜔휁d𝑤d(𝑥1) +𝜎d𝑧0d

{𝑝4(𝑥1, ℓ1 + ℓ2 + ℓ3)

−𝑝5(𝑥1, ℓ1 + ℓ2 + ℓ3)}

(3.60)

𝑣4(𝑥1, ℓ1 + ℓ2) = −𝑗𝜔휁c𝑤c(𝑥1) +𝜎c𝑧0c

{𝑝3(𝑥1, ℓ1 + ℓ2) − 𝑝4(𝑥1, ℓ1 + ℓ2)} (3.61)

62

식 (3.42)–(3.44), 식 (3.45)–(3.47), 식 (3.56)–(3.61)을 사용하여 각 영역의

압력을 수식적으로 나타내면 아래 식과 같다.

𝑃2+exp(𝑗𝑘1𝑥1) = 𝐶𝑃12

+𝑤a(𝑥1) + 𝐶𝑃22+𝑤b(𝑥1) + 𝐶𝑃32

+𝑤c(𝑥1) + 𝐶𝑃42+𝑤d(𝑥1)

+ 𝐶𝑃52+ 𝑝1(𝑥1) + 𝐶𝑃62

+ 𝑝5(𝑥1) (3.62)

𝑃2−𝑒𝑥𝑝(𝑗𝑘1𝑥1) = 𝐶𝑃12

−𝑤a(𝑥1) + 𝐶𝑃22−𝑤b(𝑥1) + 𝐶𝑃32

−𝑤c(𝑥1) + 𝐶𝑃42−𝑤d(𝑥1)

+ 𝐶𝑃52− 𝑝1(𝑥1) + 𝐶𝑃62

− 𝑝5(𝑥1) (3.63)


+𝑤a(𝑥1) + 𝐶𝑃22+𝑤b(𝑥1) + 𝐶𝑃33

+𝑤c(𝑥1) + 𝐶𝑃43+𝑤d(𝑥1)

+ 𝐶𝑃53+ 𝑝1(𝑥1) + 𝐶𝑃63

+ 𝑝5(𝑥1) (3.64)

𝑃3−exp(𝑗𝑘1𝑥1) = 𝐶𝑃13

−𝑤a(𝑥1) + 𝐶𝑃23−𝑤b(𝑥1) + 𝐶𝑃33

−𝑤c(𝑥1) + 𝐶𝑃43−𝑤d(𝑥1)

+ 𝐶𝑃53− 𝑝1(𝑥1) + 𝐶𝑃63

− 𝑝5(𝑥1) (3.65)


+𝑤a(𝑥1) + 𝐶𝑃24+𝑤b(𝑥1) + 𝐶𝑃34

+𝑤c(𝑥1) + 𝐶𝑃44+𝑤d(𝑥1)

+ 𝐶𝑃54+ 𝑝1(𝑥1) + 𝐶𝑃64

+ 𝑝5(𝑥1) (3.66)

𝑃4−exp(𝑗𝑘1𝑥1) = 𝐶𝑃14

−𝑤a(𝑥1) + 𝐶𝑃24−𝑤b(𝑥1) + 𝐶𝑃34

−𝑤c(𝑥1) + 𝐶𝑃44−𝑤d(𝑥1)

+ 𝐶𝑃54− 𝑝1(𝑥1) + 𝐶𝑃64

− 𝑝5(𝑥1) (3.67)

여기서, 𝐶𝑃12+ , 𝐶𝑃22

+ , 𝐶𝑃32+ ⋯ 은 부록 9.3장에 정리하였다. 식 (3.62)–(3.67)

를 식 (3.52)–(3.55)에 대입한 후에 푸리에 변환 (Fourier transform)을 적용하

면 아래 식과 같다.

63

𝑊𝑎(𝑘) = 2𝜋{𝛼1𝑊𝑎(𝑘) + 𝛼2𝑊𝑏(𝑘) + 𝛼3𝑊𝑐(𝑘) + 𝛼4𝑊𝑑(𝑘) + 𝛼𝑝1𝑃1(𝑘)

+ 𝛼𝑝5𝑃5(𝑘)}𝑈𝑎(𝑘) (3.68)

𝑊𝑏(𝑘) = 2𝜋{𝛽1𝑊𝑎(𝑘) + 𝛽2𝑊𝑏(𝑘) + 𝛽3𝑊𝑐(𝑘) + 𝛽4𝑊𝑑(𝑘) + 𝛽𝑝1𝑃1(𝑘)

+ 𝛽𝑝5𝑃5(𝑘)}𝑈𝑏(𝑘) (3.69)

𝑊𝑐(𝑘) = 2𝜋{𝛾1𝑊𝑎(𝑘) + 𝛾2𝑊𝑏(𝑘) + 𝛾3𝑊𝑐(𝑘) + 𝛾4𝑊𝑑(𝑘) + 𝛾𝑝1𝑃1(𝑘)

+ 𝛾𝑝5𝑃5(𝑘)}𝑈𝑐(𝑘) (3.70)

𝑊𝑑(𝑘) = 2𝜋{𝛿1𝑊𝑎(𝑘) + 𝛿2𝑊𝑏(𝑘) + 𝛿3𝑊𝑐(𝑘) + 𝛿4𝑊𝑑(𝑘) + 𝛿𝑝1𝑃1(𝑘)

+ 𝛿𝑝5𝑃5(𝑘)}𝑈𝑑(𝑘) (3.71)

여기서,

𝛼𝑖 = −(𝐶𝑃𝑖2+ + 𝐶𝑃𝑖2

−) 𝑖=1,2,3,4 (3.72)

𝛼𝑝1 = −(𝐶𝑃52+ + 𝐶𝑃52

− − 1) (3.73)

𝛼𝑝5 = −(𝐶𝑃62+ + 𝐶𝑃62

− ) (3.74)

𝛽𝑖 = 𝐶𝑃𝑖2+𝐸21

+ − 𝐶𝑃𝑖3+𝐸2

+ + 𝐶𝑃𝑖2−𝐸21

− − 𝐶𝑃𝑖3−𝐸2

− 𝑖=1,2,3,4 (3.75)

𝛽𝑝1 = 𝐶𝑃52+ 𝐸21

+ − 𝐶𝑃53+ 𝐸2

+ + 𝐶𝑃52− 𝐸21

− − 𝐶𝑃53− 𝐸2

− (3.76)

𝛽𝑝5 = 𝐶𝑃62+ 𝐸21

+ − 𝐶𝑃63+ 𝐸2

+ + 𝐶𝑃62− 𝐸21

− − 𝐶𝑃63− 𝐸2

− (3.77)

64

𝛾𝑖 = 𝐶𝑃𝑖3+𝐸3

+ − 𝐶𝑃𝑖4+𝐸31

+ + 𝐶𝑃𝑖3−𝐸3

− − 𝐶𝑃𝑖4−𝐸31

− 𝑖=1,2,3,4 (3.78)

𝛾𝑝1 = 𝐶𝑃53+ 𝐸3

+ − 𝐶𝑃54+ 𝐸31

+ + 𝐶𝑃53− 𝐸3

− − 𝐶𝑃54− 𝐸31

− (3.79)

𝛾𝑝5 = 𝐶𝑃63+ 𝐸3

+ − 𝐶𝑃64+ 𝐸31

+ + 𝐶𝑃63− 𝐸3

− − 𝐶𝑃64− 𝐸31

− (3.80)

𝛿𝑖 = 𝐶𝑃𝑖4+𝐸41

+ + 𝐶𝑃𝑖4−𝐸4

− 𝑖=1,2,3,4 (3.81)

𝛿𝑝1 = 𝐶𝑃54+ 𝐸41

+ + 𝐶𝑃54− 𝐸4

− (3.82)

𝛿𝑝5 = 𝐶𝑃64+ 𝐸41

+ + 𝐶𝑃64− 𝐸4

− (3.83)

한켈 함수 식 (3.17)과 (3.40), (3.41), (3.56)–(3.61)을 사용하여 영역 1과 5에

서의 압력을 얻을 수 있다.

𝑃1(𝑘) = 휀𝛿′𝛿(𝑘 − 𝑘0 sin 휃) + 휀a

′𝑊a(𝑘) + 휀b′𝑊b(𝑘) + 휀c

′𝑊c(𝑘) + 휀d′𝑊d(𝑘) (3.84)

𝑃5(𝑘) = 휀휀𝛿

′𝛿(𝑘 − 𝑘0 sin 휃) + 휀휀a′𝑊a(𝑘) + 휀휀b

′𝑊b(𝑘) + 휀휀c′𝑊c(𝑘)

+ 휀휀d′𝑊d(𝑘)

(3.85)

여기서, 휀𝛿′ , 휀a

′ , 휀b′ , 휀c

′ , 휀d′ , 휀휀𝛿

′ , 휀휀a′ , 휀휀b

′ , 휀휀c′ , 휀휀d

′는 부록 9.3장에 정리하였다.

65

Figure 3.3에서 𝑥3 = 0과 𝑥3 = ℓ1 위치의 MPP를 서로 커플링 시키고,

𝑥3 = ℓ1 + ℓ2와 𝑥3 = ℓ1 + ℓ2 + ℓ3 위치의 MPP를 서로 커플링시키면 아래와

같이 표현이 가능하다.

𝑤𝑡1(𝑘) = 𝑤a(𝑘) = 𝑤b(𝑘) (3.86)

𝑤𝑡2(𝑘) = 𝑤c(𝑘) = 𝑤d(𝑘) (3.87)

𝑤𝑡1(𝑘)과 𝑤𝑡2(𝑘)를 각각의 압력의 중첩으로 아래 식과 같이 표현된다.

𝑤𝑡1(𝑥1) = ∫ {𝑝1(𝜉) − 𝑝2(𝜉, 0) + 𝑝2(𝜉, ℓ1) − 𝑝3(𝜉, ℓ1)}𝑢b(𝑥 − 𝜉)𝑑𝜉∞

−∞

(3.88)

𝑤𝑡2(𝑥1) = ∫ {𝑝3(𝜉, ℓ1 + ℓ2) − 𝑝4(𝜉, ℓ1 + ℓ2) + 𝑝4(𝜉, ℓ1 + ℓ2 + ℓ3)∞

−∞

− 𝑝5(𝜉)}𝑢d(𝑥 − 𝜉)𝑑𝜉

(3.89)

식 (3.68)–(3.71)을 사용하여 𝑤𝑡1(𝑥1) 과 𝑤𝑡2(𝑥1) 를 푸리에 변환하면

아래와 같이 나타낼 수 있다.

66

𝑊𝑡1(𝑘) = 𝐹𝑡1(𝑘)𝛿(𝑘 − 𝑘0 sin 휃) (3.90)

𝑊𝑡2(𝑘) = 𝐹𝑡2(𝑘)𝛿(𝑘 − 𝑘0 sin 휃) (3.91)

여기서,

𝐹𝑡1(𝑘) =𝑐𝛿3𝑐𝑊a3

(3.92)

𝐹𝑡2(𝑘) = (𝑐𝑊a2

𝑐𝑊b3

𝐹𝑡1(𝑘) +𝑐𝛿2𝑐𝑊b2

) (3.93)

𝑐𝛿3, 𝑐𝑊a3, 𝑐𝑊a2, 𝑐𝑊b3, 𝑐𝛿2, 𝑐𝑊b2은 부록 9.3장에 기술하였다.

식 (3.90)과 (3.91)을 식 (3.84)와 (3.85)에 대입하면 아래와 같다.

𝑃1(𝑘) = 𝑄𝑝1(𝑘)𝛿(𝑘 − 𝑘0 sin 휃) (3.94)

𝑃5(𝑘) = 𝑄𝑝5(𝑘)𝛿(𝑘 − 𝑘0 sin 휃) (3.95)

여기서,

67

𝑄𝑝1(𝑘) = 휀𝛿′ + 휀𝑎

′𝐹𝑡1(𝑘) + 휀𝑏′𝐹𝑡1(𝑘) + 휀𝑐

′𝐹𝑡2(𝑘) + 휀𝑑′ 𝐹𝑡2𝑑(𝑘) (3.96)

𝑄𝑝5(𝑘) = 휀휀𝛿′ + 휀휀𝑎

′𝐹𝑡1(𝑘) + 휀휀𝑏′𝐹𝑡1(𝑘) + 휀휀𝑐

′𝐹𝑡2(𝑘) + 휀휀𝑑′ 𝐹𝑡2𝑑(𝑘) (3.97)

식 (3.94)와 (3.95)를 푸리에 역 변환하면 아래와 같다.

𝑝1(𝑥1) = 𝑄𝑝1(𝑘1)exp(𝑗𝑘1𝑥1) (3.98)

𝑝5(𝑥1) = 𝑄𝑝5(𝑘1)exp(𝑗𝑘1𝑥1) (3.99)

식 (3.56)에 식 (3.62)와 (3.63)을 대입하여 속도 𝑣1(𝑥1)을 얻는다.

𝑣1(𝑥1) = 𝑄𝑣1(𝑘1) cos 휃 exp(𝑗𝑘1𝑥1)/(𝜌0𝑐0) (3.100)

여기서,

𝑄𝑣1(𝑘) = 𝐶𝑃12𝑚

± 𝐹𝑡1 + 𝐶𝑃22𝑚± 𝐹𝑡1 + 𝐶𝑃32𝑚

± 𝐹𝑡2 + 𝐶𝑃42𝑚± 𝐹𝑡2 + 𝐶𝑃52𝑚

± 𝑄𝑝1

+ 𝐶𝑃62𝑚± 𝑄𝑝5

(3.101)

68

𝐶𝑃𝑖2𝑚± = 𝐶𝑃𝑖2

+ − 𝐶𝑃𝑖2− 𝑖=1, 2, 3, 4, 5, 6 (3.102)

식 (3.103)을 보면 𝑄𝑝1(𝑘)과 𝑄𝑣1(𝑘)을 통해 반사 인텐시티 𝐼𝑟(휃)를 구할

수 있다.

𝐼𝑟(휃) =1

2𝑅𝑒[{𝑝1(𝑥) − 𝑝𝑖(𝑥, 0)}{−𝑣1(𝑥) + 𝑣𝑖(𝑥, 0)}

∗]

=cos 휃

2𝜌0𝑐0𝑅𝑒[{𝑄𝑝1(𝑘1) − 1}{−𝑄𝑣1(𝑘1) + 1}

∗]

(3.103)


𝐼𝑖(휃) (3.104)

��𝑐𝑎𝑠𝑒2(휃) =∫ ∫ 𝛼𝑐𝑎𝑠𝑒2(휃) sin 휃 cos 휃

𝜋/2

0

2𝜋

0𝑑휃𝑑𝜙


0

2𝜋

0𝑑휃𝑑𝜙

(3.105)

여기서, 𝛼case2는 Figure 3.3에 대한 흡음 계수를 나타내며, ��case2는 입사 각

에 따른 평균 흡음 계수를 나타낸다.

69

Figure 3.3 HMPP 1 + cavity + HMPP 2.

70

3.3. CASE 3: HMPP 1 + Cavity 1 + MPP + Cavity 2 + HMPP 2

Figure 3.4에서 볼 수 있듯이 HMPP사이의 공동에 MPP를 추가하여 흡음

계수를 도출하였다.

입사 파는 식 (3.1)과 같고 각각의 영역에서의 압력과 속도는 아래와 같

다.

𝑝1(𝑥1) = 2𝑝𝑖(𝑥1, 0) −𝜌0𝜔

2∫ 𝐻0

(1)(𝑘0|𝑥1 − 𝑥0|)𝑣1(𝑥0)𝑑𝑥0

∞

−∞

(3.106)

𝑝6(𝑥1) =𝜌0𝜔

2∫ 𝐻0

(1)(𝑘0|𝑥1 − 𝑥0|)𝑣6(𝑥0)𝑑𝑥0

∞

−∞

(3.107)

아래 식 (3.108)–(3.111)을 보면 영역 2, 5의 경우에는 수직 입사로 가정하

였기 때문에 지수에 cos 휃가 1로 바뀌고, 영역 3, 4의 경우에는 랜덤 입사이

기 때문에 지수에 cos 휃가 남아 있다.

𝑝2(𝑥1, 𝑥3) = (𝑃2+𝑒𝑗𝑘0𝑥3 + 𝑃2

−𝑒−𝑗𝑘0𝑥3)𝑒𝑗𝑘1𝑥1 (3.108)

71

𝑝3(𝑥1, 𝑥3) = (𝑃3+𝑒𝑗𝑘0 cos𝜃∙𝑥3 + 𝑃3

−𝑒−𝑗𝑘0 cos𝜃∙𝑥3)𝑒𝑗𝑘1𝑥1 (3.109)

𝑝4(𝑥1, 𝑥3) = (𝑃4+𝑒𝑗𝑘0 cos 𝜃∙𝑥3 + 𝑃4

−𝑒−𝑗𝑘0 cos 𝜃∙𝑥3)𝑒𝑗𝑘1𝑥1 (3.110)

𝑝5(𝑥1, 𝑥3) = (𝑃5+𝑒𝑗𝑘0𝑥3 + 𝑃5

−𝑒−𝑗𝑘0𝑥3)𝑒𝑗𝑘1𝑥1 (3.111)

오일러 방정식에 의해 식 (3.108)–(3.111)은 아래 식과 같이 속도로 변환

할 수 있다.

𝑣2(𝑥1, 𝑥3) =1

𝜌0𝑐0(𝑃2

+𝑒𝑗𝑘0𝑥3 − 𝑃2−𝑒−𝑗𝑘0𝑥3)𝑒𝑗𝑘1𝑥1 (3.112)


𝜌0𝑐0(𝑃3

+𝑒𝑗𝑘0 cos𝜃∙𝑥3 − 𝑃3−𝑒−𝑗𝑘0 cos𝜃∙𝑥3)𝑒𝑗𝑘1𝑥1 (3.113)


𝜌0𝑐0(𝑃4

+𝑒𝑗𝑘0 cos 𝜃∙𝑥3 − 𝑃4−𝑒−𝑗𝑘0 cos 𝜃∙𝑥3)𝑒𝑗𝑘1𝑥1 (3.114)

𝑣5(𝑥1, 𝑥3) =1

𝜌0𝑐0(𝑃5

+𝑒𝑗𝑘0𝑥3 − 𝑃5−𝑒−𝑗𝑘0𝑥3)𝑒𝑗𝑘1𝑥1 (3.115)

여기서, 𝑃+와 𝑃−는 각각 +𝑥3와 −𝑥3 방향 진행 파를 나타내고, 아래 첨자

1, 2, 3, 4, 5, 6은 각각의 영역을 나타낸다.

72

𝜕4𝑢𝑎(𝑥1)

𝜕𝑥4− 𝑘𝑎

4𝑢𝑎(𝑥1) =𝛿(𝑥1)

𝐷𝑓𝑎 (3.116)

𝜕4𝑢b(𝑥1)

𝜕𝑥4− 𝑘b

4𝑢b(𝑥1) =𝛿(𝑥1)

𝐷𝑓b (3.117)

𝜕4𝑢c(𝑥1)

𝜕𝑥4− 𝑘c

4𝑢c(𝑥1) =𝛿(𝑥1)

𝐷𝑓c (3.118)

𝜕4𝑢d(𝑥1)

𝜕𝑥4− 𝑘d

4𝑢d(𝑥1) =𝛿(𝑥1)

𝐷𝑓d (3.119)

𝜕4𝑢e(𝑥1)

𝜕𝑥4− 𝑘e

4𝑢e(𝑥1) =𝛿(𝑥1)

𝐷𝑓e (3.120)

여기서, 𝑘a4 = 𝜌a𝐿a𝜔

2 ∕ 𝐷𝑓a , 𝑘b4 = 𝜌b𝐿b𝜔

2 ∕ 𝐷𝑓b , 𝑘c4 = 𝜌c𝐿c𝜔

2 ∕ 𝐷𝑓c , 𝑘d4 =

𝜌d𝐿d𝜔2 ∕ 𝐷𝑓d, 𝑘e

4 = 𝜌e𝐿e𝜔2 ∕ 𝐷𝑓e, 𝜌는 MPP의 밀도, 𝐿은 MPP의 두께, 𝐷𝑓는

굽힘 강도, 𝑢(𝑥1)는 디랙 델타 함수에 대응하는 변위를 나타낸다. 그리고

아래 첨자 a, b, c, d, e는 각각 𝑥3 = 0, 𝑥3 = ℓ1 , 𝑥3 = ℓ1 + ℓ2 , 𝑥3 = ℓ1 + ℓ2 +

ℓ3, 𝑥3 = ℓ1 + ℓ2 + ℓ3 + ℓ4 위치에서의 표면 재 및 MPP를 나타낸다.

각각의 평판에 작용하는 압력과 𝑢(𝑥1)의 합성 곱으로 전체 변위를

나타내면 아래와 같다.

73

𝑤𝑎(𝑥1) = ∫ {𝑝1(𝜉) − 𝑝2(𝜉, 0)}𝑢𝑎(𝑥1 − 𝜉)𝑑𝜉∞

−∞

(3.121)

𝑤𝑏(𝑥1) = ∫ {𝑝2(𝜉, ℓ1) − 𝑝3(𝜉, ℓ1)}𝑢𝑏(𝑥1 − 𝜉)𝑑𝜉∞

−∞

(3.122)

𝑤𝑐(𝑥1) = ∫ {𝑝3(𝜉, ℓ1 + ℓ2) − 𝑝4(𝜉, ℓ1 + ℓ2)}𝑢𝑐(𝑥1 − 𝜉)𝑑𝜉∞

−∞

(3.123)

𝑤𝑑(𝑥1) = ∫ {𝑝4(𝜉, ℓ1 + ℓ2 + ℓ3) − 𝑝5(𝜉, ℓ1 + ℓ2 + ℓ3)}𝑢𝑑(𝑥1 − 𝜉)𝑑𝜉∞

−∞

(3.124)

𝑤𝑒(𝑥1) = ∫ {𝑝5(𝜉, ℓ1 + ℓ2 + ℓ3 + ℓ4) − 𝑝6(𝜉)}𝑢𝑒(𝑥1 − 𝜉)𝑑𝜉∞

−∞

(3.125)

면에 수직한 방향의 속도는 아래와 같이 표현이 가능하다.

𝑣1(𝑥1) = 𝑣2(𝑥1, 0) = −𝑗𝜔휁𝑎𝑤𝑎(𝑥1) +𝜎𝑎𝑧0𝑎

{𝑝1(𝑥1) − 𝑝2(𝑥1, 0)} (3.126)

𝑣2(𝑥1, ℓ1) = −𝑗𝜔𝑤𝑏(𝑥1) (3.127)

𝑣3(𝑥1, ℓ1 + ℓ2) = −𝑗𝜔휁𝑐𝑤𝑐(𝑥1) +𝜎𝑐𝑧0𝑐

{𝑝3(𝑥1, ℓ1 + ℓ2) − 𝑝4(𝑥1, ℓ1 + ℓ2)} (3.128)

𝑣3(𝑥1, ℓ1) = −𝑗𝜔𝑤𝑏(𝑥1) (3.129)

𝑣4(𝑥1, ℓ1 + ℓ2 + ℓ3) = −𝑗𝜔휁𝑑𝑤𝑑(𝑥1) +𝜎𝑑𝑧0𝑑

{𝑝4(𝑥1, ℓ1 + ℓ2 + ℓ3) (3.130)

74

−𝑝5(𝑥1, ℓ1 + ℓ2 + ℓ3)}

𝑣4(𝑥1, ℓ1 + ℓ2) = −𝑗𝜔휁c𝑤c(𝑥1) +𝜎c𝑧0c

{𝑝3(𝑥1, ℓ1 + ℓ2) − 𝑝4(𝑥1, ℓ1 + ℓ2)} (3.131)

𝑣5(𝑥1, ℓ1 + ℓ2 + ℓ3) = −𝑗𝜔휁d𝑤d(𝑥1) +𝜎d𝑧0d

{𝑝4(𝑥1, ℓ1 + ℓ2 + ℓ3)

−𝑝5(𝑥1, ℓ1 + ℓ2 + ℓ3)}

(3.132)

𝑣5(𝑥1, ℓ1 + ℓ2 + ℓ3 + ℓ4) = −𝑗𝜔𝑤𝑒(𝑥1) (3.133)

식 (3.108)–(3.111), 식 (3.112)–(3.115), 식 (3.126)–(3.133)을 사용하여 각 영

역의 압력을 수식적으로 나타내면 아래 식과 같다.

𝑃2+exp(𝑗𝑘1𝑥1) = 𝐵1𝑤a(𝑥1) + 𝐵2𝑤b(𝑥1) + 𝐵3𝑝1(𝑥1) (3.134)

𝑃2−exp(𝑗𝑘1𝑥1) =

𝐴2𝐴1𝑤a(𝑥1) +

𝐴4𝐴1𝑤b(𝑥1) +

𝐴3𝐴1𝑝1(𝑥1) (3.135)

𝑃3+exp(𝑗𝑘1𝑥1) = 𝐿1𝑤e(𝑥1) + 𝐿2𝑤d(𝑥1) + 𝐿3𝑤c(𝑥1) + 𝐿4𝑤b(𝑥1) (3.136)

𝑃3−exp(𝑗𝑘1𝑥1) = 𝐾1𝑤e(𝑥1) + 𝐾2𝑤d(𝑥1) + 𝐾3𝑤c(𝑥1) + 𝐾4𝑤b(𝑥1) (3.137)

𝑃4+exp(𝑗𝑘1𝑥1) = 𝐽1𝑤c(𝑥1) + 𝐽2𝑤b(𝑥1) + 𝐽3𝑤e(𝑥1) + 𝐽4𝑤d(𝑥1) (3.138)

75

𝑃4−exp(𝑗𝑘1𝑥1) = 𝐼1𝑤e(𝑥1) + 𝐼2𝑤d(𝑥1) + 𝐼3𝑤c(𝑥1) + 𝐼4𝑤b(𝑥1) (3.139)

𝑃5+exp(𝑗𝑘1𝑥1) = 𝑀1𝑤e(𝑥1) + 𝑀2𝑤d(𝑥1) + 𝑀3𝑤c(𝑥1) + 𝑀4𝑤b(𝑥1) (3.140)

𝑃5−exp(𝑗𝑘1𝑥1) =

𝐻2𝐻1𝑤d(𝑥1) +

𝐻3𝐻1𝑤c(𝑥1) +

𝐻4𝐻1𝑤b(𝑥1) +

𝐻5𝐻1𝑤e(𝑥1) (3.141)

여기서, 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 ⋯ 은 부록 9.4장에 정리하였다. 식 (3.134)–(3.141)을 식

(3.121)–(3.125)에 대입한 후에 푸리에 변환을 적용하면 아래 식과 같다.

𝑊𝑎(𝑘) = 2𝜋{𝛼1𝑊𝑎(𝑘) + 𝛼2𝑊𝑏(𝑘) + (𝑘) + 𝛼𝑝𝑃1(𝑘)}𝑈𝑎(𝑘) (3.142)

𝑊𝑏(𝑘) = 2𝜋{𝛽1𝑊𝑎(𝑘) + 𝛽2𝑊𝑏(𝑘) + 𝛽3𝑊𝑐(𝑘) + 𝛽4𝑊𝑑(𝑘) + 𝛽5𝑊𝑒(𝑘)

+ 𝛽𝑝𝑃1(𝑘)}𝑈𝑏(𝑘) (3.143)

𝑊𝑐(𝑘) = 2𝜋{𝛾2𝑊𝑏(𝑘) + 𝛾3𝑊𝑐(𝑘) + 𝛾4𝑊𝑑(𝑘) + 𝛾5𝑊𝑒(𝑘)}𝑈𝑐(𝑘) (3.144)

𝑊𝑑(𝑘) = 2𝜋{𝛿2𝑊𝑏(𝑘) + 𝛿3𝑊𝑐(𝑘) + 𝛿4𝑊𝑑(𝑘) + 𝛿5𝑊𝑒(𝑘)}𝑈𝑑(𝑘) (3.145)

𝑊𝑒(𝑘) = 2𝜋{휀2𝑊𝑏(𝑘) + 휀3𝑊𝑐(𝑘) + 휀4𝑊𝑑(𝑘) + 휀5𝑊𝑒(𝑘) − 𝑃6(𝑘)}𝑈𝑒(𝑘) (3.146)

여기서,

76

𝛼1 = −𝐵1 +𝐴2𝐴1

(3.147)

𝛼2 = −𝐵2 +𝐴4𝐴1

(3.148)

𝛼𝑝 = 1 − 𝐵3 +𝐴3𝐴1

(3.149)

𝛽1 = 𝐵1𝐸2+′ +

𝐴2𝐴1𝐸2−′ (3.150)

𝛽2 = 𝐵2𝐸2+′ +

𝐴4𝐴1𝐸2−′ − 𝐿4𝐸2

+ − 𝐾4𝐸2− (3.151)

𝛽3 = −𝐿3𝐸2+ − 𝐾3𝐸2

− (3.152)

𝛽4 = −𝐿2𝐸2+ − 𝐾2𝐸2

− (3.153)

𝛽5 = −𝐿1𝐸2+ − 𝐾1𝐸2

− (3.154)

𝛽𝑝 = 𝐵3𝐸2+′ +

𝐴3𝐴1𝐸2−′ (3.155)

𝛾2 = 𝐿4𝐸3+ + 𝐾4𝐸3

− − 𝐽2𝐸3+ − 𝐼4𝐸3

− (3.156)

𝛾3 = 𝐿3𝐸3+ + 𝐾3𝐸3

− − 𝐽1𝐸3+ − 𝐼3𝐸3

− (3.157)

𝛾4 = 𝐿2𝐸3+ + 𝐾2𝐸3

− − 𝐽4𝐸3+ − 𝐼2𝐸3

− (3.158)

77

𝛾5 = 𝐿1𝐸3+ + 𝐾1𝐸3

− − 𝐽3𝐸3+ − 𝐼1𝐸3

− (3.159)

𝛿2 = 𝐽2𝐸4+ + 𝐼4𝐸4

− −𝑀4𝐸4+′ −

𝐻4𝐻1𝐸4−′ (3.160)

𝛿3 = 𝐽1𝐸4+ + 𝐼3𝐸4

− −𝑀3𝐸4+′ −

𝐻3𝐻1𝐸4−′ (3.161)

𝛿4 = 𝐽4𝐸4+ + 𝐼2𝐸4

− −𝑀2𝐸4+′ −

𝐻2𝐻1𝐸4−′ (3.162)

𝛿5 = 𝐽3𝐸4+ + 𝐼1𝐸4

− −𝑀1𝐸4+′ −

𝐻5𝐻1𝐸4−′ (3.163)

휀2 = 𝑀4𝐸5+′ +

𝐻4𝐻1𝐸5−′ (3.164)

휀3 = 𝑀3𝐸5+′ +

𝐻3𝐻1𝐸5−′ (3.165)

휀4 = 𝑀2𝐸5+′ +

𝐻2𝐻1𝐸5−′ (3.166)

휀5 = 𝑀1𝐸5+′ +

𝐻5𝐻1𝐸5−′ (3.167)

한켈 함수 식 (3.17)과 (3.106), (3.107), (3.126)–(3.133)를 사용하여 영역 1

과 6에서의 압력을 얻을 수 있다.

78

𝑃1(𝑘) = 휁𝛿′𝛿(𝑘 − 𝑘0 sin 휃) + 휁1

′𝑊a(𝑘) + 휁2′𝑊b(𝑘) (3.168)

𝑃5(𝑘) = 휁5′𝑊e(𝑘) (3.169)

여기서,

휁𝛿′ =

2√𝑘02 − 𝑘2

√𝑘02 − 𝑘2 + 𝜌0𝜔𝛼𝑝𝜎𝑎/𝑧0𝑎

(3.170)

휁1′ =

−𝜌0𝜔(−𝑗𝜔휁1 + 𝛼1𝜎𝑎/𝑧0𝑎)


(3.171)

휁2′ =

−𝜌0𝜔𝛼2𝜎𝑎/𝑧0𝑎


(3.172)

휁5′ =

−𝑗𝜔2𝜌0

√𝑘02 − 𝑘2

(3.173)

Figure 3.4에서 𝑥3 = 0과 𝑥3 = ℓ1 위치의 표면 재와 MPP를 서로 커플링

시키고, 𝑥3 = ℓ1 + ℓ2 + ℓ3와 𝑥3 = ℓ1 + ℓ2 + ℓ3 + ℓ4 위치의 표면 재와 MPP

를 서로 커플링시키면 아래와 같이 표현이 가능하다.

𝑤𝑡1(𝑘) = 𝑤a(𝑘) = 𝑤b(𝑘) (3.174)

79

𝑤𝑡2(𝑘) = 𝑤c(𝑘) (3.175)

𝑤𝑡3(𝑘) = 𝑤d(𝑘) = 𝑤e(𝑘) (3.176)

𝑤𝑡1(𝑘) , 𝑤𝑡2(𝑘) , 𝑤𝑡3(𝑘)을 각각의 압력의 중첩으로 아래 식과 같이 표현

된다.

𝑤𝑡1(𝑥1) = ∫ {𝑝1(𝜉) − 𝑝2(𝜉, 0) + 𝑝2(𝜉, ℓ1) − 𝑝3(𝜉, ℓ1)}𝑢𝑏(𝑥 − 𝜉)𝑑𝜉∞

−∞

(3.177)

𝑤𝑡2(𝑥1) = ∫ {𝑝3(𝜉, ℓ1 + ℓ2) − 𝑝4(𝜉, ℓ1 + ℓ2)}𝑢𝑐(𝑥 − 𝜉)𝑑𝜉∞

−∞

(3.178)

𝑤𝑡3(𝑥1) = ∫ {𝑝4(𝜉, ℓ1 + ℓ2 + ℓ3) − 𝑝5(𝜉, ℓ1 + ℓ2 + ℓ3)∞

−∞

+ 𝑝5(𝜉, ℓ1 + ℓ2 + ℓ3 + ℓ4) − 𝑝6(𝜉)}𝑢𝑒(𝑥 − 𝜉)𝑑𝜉

(3.179)

식 (3.142)–(3.146)을 사용하여 𝑤𝑡1(𝑥1) , 𝑤𝑡2(𝑥1) , 𝑤𝑡3(𝑥1) 를 푸리에

변환하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

80

𝑊𝑡1(𝑘) = 𝐹𝑡1(𝑘)𝛿(𝑘 − 𝑘0 sin 휃) (3.180)

𝑊𝑡2(𝑘) = 𝐹𝑡2(𝑘)𝛿(𝑘 − 𝑘0 sin 휃) (3.181)

𝑊𝑡3(𝑘) = 𝐹𝑡3(𝑘)𝛿(𝑘 − 𝑘0 sin 휃) (3.182)

여기서,

𝐹𝑡3 =𝑁52𝑁51

(3.183)

𝐹𝑡2 =𝑁32𝑁31

+𝑁33𝑁31

𝐹𝑡3 (3.184)

𝐹𝑡1 =𝑁2𝑁1+𝑁3𝑁1𝐹𝑡2 +

𝑁4𝑁1𝐹𝑡3 (3.185)

𝑁1, 𝑁2, 𝑁3 ⋯은 부록 9.3장에 정리해 놓았다.

식 (3.180)–(3.182)를 식 (3.168)과 (3.169)에 대입하면 아래와 같다.

𝑃1(𝑘) = 𝑄𝑝1(𝑘)𝛿(𝑘 − 𝑘0 sin 휃) (3.186)

𝑃6(𝑘) = 𝑄𝑝6(𝑘)𝛿(𝑘 − 𝑘0 sin 휃) (3.187)

81

여기서,

𝑄𝑝1(𝑘) = 휁𝛿′ + (휁1

′ + 휁2′)𝐹𝑡1(𝑘) (3.188)

𝑄𝑝5(𝑘) = 휁5′𝐹𝑡3(𝑘) (3.189)

식 (3.186)과 (3.187)을 변환하면 아래와 같다.

𝑝1(𝑥1) = 𝑄𝑝1(𝑘1)exp(𝑗𝑘1𝑥1) (3.190)

𝑝6(𝑥1) = 𝑄𝑝6(𝑘1)exp(𝑗𝑘1𝑥1) (3.191)

식 (3.126)에 식 (3.134)와 (3.135)를 대입하여 속도 𝑣1(𝑥1)을 얻는다.

𝑣1(𝑥1) = 𝑄𝑣1(𝑘1) cos 휃 exp(𝑗𝑘1𝑥1)/(𝜌0𝑐0) (3.192)

여기서,

𝑄𝑣1(𝑘) = (𝐵1 + 𝐵2 −

𝐴2𝐴1−𝐴4𝐴1)𝑅𝑎 + (𝐵3 −

𝐴3𝐴1)𝑄𝑝1 (3.193)

식 (3.194)을 보면 𝑄𝑝1(𝑘)과 𝑄𝑣1(𝑘)을 통해 반사 인텐시티 𝐼𝑟(휃)을 구할

82

수있다.

𝐼𝑟(휃) =

1

2𝑅𝑒[{𝑝1(𝑥) − 𝑝𝑖(𝑥, 0)}{−𝑣1(𝑥) + 𝑣𝑖(𝑥, 0)}

∗]

=cos 휃

2𝜌0𝑐0𝑅𝑒[{𝑄𝑝1(𝑘1) − 1}{−𝑄𝑣1(𝑘1) + 1}

∗]

(3.194)


𝐼𝑖(휃) (3.195)

��case3(휃) =∫ ∫ 𝛼csse3(휃) sin 휃 cos 휃

𝜋/2

0

2𝜋

0𝑑휃𝑑𝜙


0

2𝜋

0𝑑휃𝑑𝜙

(3.196)

여기서, 𝛼case3는 Figure 3.4에 대한 흡음 계수를 나타내며, ��case3는 입사 각

에 따른 평균 흡음 계수를 나타낸다.

83

Figure 3.4 HMPP 1 + cavity 1 + MPP + cavity 2 + HMPP 2

84

4. 복합 샌드위치 패널 해석

4.1. 전달 행렬 요소

전달 행렬 (transfer matrix)은 다층으로 구성된 패널을 해석하는데 강점을

가진 방법이다. 해석하고자 하는 유형들 (types)에 대해 전달 행렬을 구성

하면, 이론적으로 모든 경우의 수에 대한 차음 성능 도출이 가능하다. 대

표적인 요소는 유체, 고체, 다공질 층 등이 있다.

Biot (1956)에 의해 다공 질에 대한 연구가 이뤄지기 시작했고, Allard

(1993)가 다공 질의 전달 행렬을 유도했다. Folds (1977)는 Brekhovskikh

(1960)의 연구를 바탕으로 고체 전달 행렬을 유도했다. Kuo (2008)는 직교

이방성 층에 대한 전달 행렬을 유도했다. 김화묵 (2001)은 고체 종파, 전단

파 및 유체 종파를 모두 고려한 확장된 샌드위치 모델을 개발하고, 이를

전달 행렬로 구성하였다. 또한 Jung (2018)은 허니컴 패널을 전달 행렬로

구성하여 연구를 진행하였다.

85

4.1.1. 유체 층

Figure 4.1에서 layer라고 써 있는 부분이 유체 층이 되고 두께는 ℎ이다.

유체 층에서의 평면 파를 가정하면 압력과 속도는 아래와 같다.

𝑝(𝑥3) = 𝐴1 exp(−𝑗𝑘3𝑥3) + 𝐴2 exp(𝑗𝑘3𝑥3) (4.1)

𝑣3𝑓(𝑥3) =

𝑘3𝜔𝜌

[𝐴1 exp(−𝑗𝑘3𝑥3) − 𝐴2 exp(𝑗𝑘3𝑥3)] (4.2)

여기서, 𝐴1, 𝐴2는 각각 +𝑥3, −𝑥3방향에 대한 압력의 크기를 나타낸다.

𝑚′점에서 압력과 속도는 식 (4.1)과 (4.2)의 𝑥3에 0을 대입하여 아래와

같이 구할 수 있다.

𝑝(0) = 𝐴1 + 𝐴2 (4.3)

𝑣3𝑓(0) =

𝑘3𝜔𝜌

[𝐴1 − 𝐴2] (4.4)

86

𝑚점에서 압력과 속도는 식 (4.1)과 (4.2)의 𝑥3에 ℎ을 대입하여 아래와 같

이 구할 수 있다.

𝑝(ℎ) = 𝐴1 exp(−𝑗𝑘3ℎ) + 𝐴2 exp(𝑗𝑘3ℎ) (4.5)

𝑣3𝑓(ℎ) =

𝑘3𝜔𝜌

[𝐴1 exp(−𝑗𝑘3ℎ) − 𝐴2 exp(𝑗𝑘3ℎ)] (4.6)

식 (4.3)–(4.6)을 행렬 식으로 표현하면 아래 식과 같다.

{𝑝(0)

𝑣3𝑓(0)

} = [𝑇𝑓] {𝑝(ℎ)

𝑣3𝑓(ℎ)

} (4.7)

여기서,

[𝑇𝑓] =

[ cos(𝑘3ℎ) 𝑗

𝜔𝜌

𝑘3sin(𝑘3ℎ)

𝑗𝑘3𝜔𝜌

sin(𝑘3ℎ) cos(𝑘3ℎ) ]

(4.8)

결론적으로 식 (4.8)과 같이 두께가 ℎ인 유체 층에 대한 전달 행렬 [𝑇𝑓]

를 구하였다.

87

4.1.2. 고체 층

이번 장에서는 Figure 4.1에서 layer라고 써있는 부분을 고체 층으로 가정

하였다. 고체 층의 변위는 아래 식과 같이 표현할 수 있다 (Achenbach,

1973).

u =grad 𝜑 + curl 𝜓 (4.9)

여기서, 𝜑는 scalar potential, 𝜓는 vector potential이다.

고체 층에서 입사와 반사에 대한 종파, 입사와 반사에 대한 전단 파가

전파되고 이를 scalar potential과 vector potential로 나타내면 아래와 같다.

𝜑 = exp(𝑗𝜔𝑡 − 𝑗𝑘1𝑥1)[𝐴1 exp(−𝑗𝑘13𝑥3) + 𝐴2 exp(𝑗𝑘13𝑥3)] (4.10)

𝜓 = exp(𝑗𝜔𝑡 − 𝑗𝑘1𝑥1)[𝐴3 exp(−𝑗𝑘33𝑥3) + 𝐴4 exp(𝑗𝑘33𝑥3)] (4.11)

여기서,

88

𝑘13 = (𝛿12 − 𝑘𝑡

2)1/2 (4.12)

𝑘33 = (𝛿32 − 𝑘𝑡

2)1/2 (4.13)

𝛿12 =

𝜔2𝜌

𝜆 + 2𝜇 (4.14)

𝛿32 =

𝜔2𝜌

𝜇 (4.15)

상수 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4는 입사와 반사에 대한 음파의 크기를 나타낸다. 유체

전달 행렬의 파라미터가 2개인데 비해 고체 전달 행렬의 경우에는 전단

방향까지 총 4개의 파라미터를 갖으며 수식적으로는 아래와 같다.

𝑣1𝑠 = 𝑗𝜔 (

𝜕𝜑

𝜕𝑥1−𝜕𝜓

𝜕𝑥3) (4.16)


𝜕𝜑

𝜕𝑥3+𝜕𝜓

𝜕𝑥1) (4.17)

𝜎33𝑠 = 𝜆(

𝜕2𝜑

𝜕𝑥12 +

𝜕2𝜑

𝜕𝑥32) + 2𝜇 (

𝜕2𝜑

𝜕𝑥32 +

𝜕2𝜓

𝜕𝑥1𝜕𝑥3) (4.18)

𝜎132 = 𝜇 (2

𝜕2𝜑

𝜕𝑥1𝜕𝑥3+𝜕2𝜓

𝜕𝑥12 −

𝜕2𝜓

𝜕𝑥32) (4.19)

유체 전달 행렬에서와 유사하게 Figure 4.1에서의 𝑚과 𝑚′에서의 압력과

89

속도의 관계 식으로 정리를 해도 되지만 계산의 편의를 위해 아래와 같이

식을 전개하였다.

{

𝑣1𝑠(𝑥3)

𝑣3𝑠(𝑥3)

𝜎33𝑠 (𝑥3)

𝜎13𝑠 (𝑥3)}

= [𝛤(𝑥3)] {

𝐴1 + 𝐴2𝐴1 − 𝐴2𝐴1 + 𝐴2𝐴1 − 𝐴2

} (4.20)

여기서,

[𝛤(𝑥3)] =

[ 𝜔𝑘1 cos(𝑘13𝑥3) −𝑗𝜔𝑘1 sin(𝑘13𝑥3)

−𝑗𝜔𝑘13 sin(𝑘13𝑥3) 𝜔𝑘13 cos(𝑘13𝑥3)

−𝐷1 cos(𝑘13𝑥3) 𝑗𝐷1 sin(𝑘13𝑥3)

𝑗𝐷2𝑘13 sin(𝑘13𝑥3) −𝐷2𝑘13 cos(𝑘13𝑥3)

𝑗𝜔𝑘33 sin(𝑘33𝑥3) −𝜔𝑘33 cos(𝑘33𝑥3)

𝜔𝑘1 cos(𝑘33𝑥3) −𝑗𝜔𝑘1 sin(𝑘33𝑥3)

𝑗𝐷2𝑘33 sin(𝑘33𝑥3) −𝐷2𝑘33 cos(𝑘33𝑥3)

𝐷1 cos(𝑘33𝑥3) −𝑗𝐷1 sin(𝑘33𝑥3) ]

(4.21)

여기서, 𝐷1 = 𝜆(𝑘02 + 𝑘13

2 ) + 2𝜇𝑘132 = 𝜇(𝑘13

2 − 𝑘02), 𝐷2 = 2𝜇𝑘0 이다.

𝛤(𝑥3)의 𝑥3에 −ℎ을 대입한 행렬과 𝛤(𝑥3)의 𝑥3에 0을 대입한 후에 역

행렬을 취하여 곱하면 고체 전달 행렬 [𝑇𝑠]을 도출할 수 있다.

[𝑇𝑠] = [𝛤(−ℎ)][𝛤(0)]−1 (4.22)

90

Figure 4.1 Plane wave on a semi-infinite layer.

91

4.1.3. 다공질 층

이번 장에서는 Figure 4.1에서 layer라고 써있는 부분을 다공질 층으로 가

정하였다. 다공질의 파수는 아래와 같이 나타낼 수 있고, 아래 첨자 1, 2는

압축 파 (compressional waves)를 나타내고 아래 첨자 3은 전단 파 (shear

wave)를 나타낸다.

𝑘𝑖3 = (𝛿𝑖2 − 𝑘𝑡

2)1/2 𝑖 = 1, 2, 3 (4.23)

𝑘𝑖3′ = −𝑘𝑖3 𝑖 = 1, 2, 3 (4.24)

다공질에서 프레임의 변위 포텐셜은 아래와 같다.

𝜑𝑖𝑠 = 𝐴𝑖exp(𝑗(𝜔𝑡 − 𝑘𝑖3𝑥3 − 𝑘𝑡𝑥1)) + 𝐴𝑖

′exp(𝑗(𝜔𝑡 + 𝑘𝑖3𝑥3 − 𝑘𝑡𝑥1))

𝑖 = 1, 2 (4.25)

𝜓2𝑠 = 𝐴3exp(𝑗(𝜔𝑡 − 𝑘33𝑥3 − 𝑘𝑡𝑥1)) + 𝐴3

′ exp(𝑗(𝜔𝑡 + 𝑘33𝑥3 − 𝑘𝑡𝑥1)) (4.26)

92

다공질에서 공기의 변위 포텐셜은 고체 변위 포텐셜과 관련이 있다.

𝜑𝑖𝑓= 𝜇𝑖𝜑𝑖

𝑠 𝑖 = 1, 2 (4.27)

𝜓2𝑓= 𝜇3𝜓2

𝑠 (4.28)

변위 포텐셜을 사용하여 다공 층의 속도 및 응력은 아래 식과 같다.


𝜕𝜑1𝑠

𝜕𝑥1+𝜕𝜑2

𝑠

𝜕𝑥1−𝜕𝜓2

𝑠

𝜕𝑥3) (4.29)


𝜕𝜑1𝑠

𝜕𝑥3+𝜕𝜑2

𝑠

𝜕𝑥3−𝜕𝜓2

𝑠

𝜕𝑥1) (4.30)

𝑣3𝑓= 𝑗𝜔 (

𝜕𝜑1𝑓

𝜕𝑥3+𝜕𝜑2

𝑓

𝜕𝑥3−𝜕𝜓2

𝑓

𝜕𝑥1) (4.31)

𝜎33𝑠 = (𝑃 − 2𝑁) (

𝜕2(𝜑1𝑠 + 𝜑2

𝑠)

𝜕𝑥12 +

𝜕2(𝜑1𝑠 + 𝜑2

𝑠)

𝜕𝑥32 )

+ 𝑄 (𝜕2(𝜑1

𝑓+ 𝜑2

𝑓)

𝜕𝑥12 +

𝜕2(𝜑1𝑓+ 𝜑2

𝑓)

𝜕𝑥32 )

+ 2𝑁 (𝜕2(𝜑1

𝑠 + 𝜑2𝑠)

𝜕𝑥32 +

𝜕2𝜓2𝑠

𝜕𝑥1𝑥3)

(4.32)

93

𝜎13𝑠 = 𝑁(2

𝜕(𝜑1𝑠 + 𝜑2

𝑠)

𝜕𝑥1𝑥3+𝜕2𝜓2

𝑠

𝜕𝑥12 −

𝜕2𝜓2𝑠

𝜕𝑥32 ) (4.33)

𝜎33𝑓= 𝑅 (

𝜕2(𝜑1𝑓+ 𝜑2

𝑓)

𝜕𝑥12 +

𝜕2(𝜑1𝑓+ 𝜑2

𝑓)

𝜕𝑥32 ) + 𝑄 (

𝜕2(𝜑1𝑠 + 𝜑2

𝑠)

𝜕𝑥12 +

𝜕2(𝜑1𝑠 + 𝜑2

𝑠)

𝜕𝑥32 ) (4.34)

앞 장에서와 같은 방식으로 감마 함수를 구하기 위해 아래 식과 같이

정리가 가능하다.

{𝑉𝑝(𝑥3)} = [𝛤(𝑥3)]{𝐴} (4.35)

여기서,

{𝐴} = {(𝐴1 + 𝐴1′ ), (𝐴1 − 𝐴1

′ ), (𝐴2 + 𝐴2′ ), (𝐴2 − 𝐴2

′ ), (𝐴3 + 𝐴3′ ), (𝐴3 − 𝐴3

′ )}𝑻 (4.36)

{𝑉𝑝(𝑥3)} = {𝑣1𝑠(𝑥3), 𝑣3

𝑠(𝑥3), 𝑣3𝑓(𝑥3), 𝜎33

𝑠 (𝑥3), 𝜎13𝑠 (𝑥3), 𝜎33

𝑓 (𝑥3)}𝑻 (4.37)

최종적으로 다공질 층의 전달 행렬은 아래와 같다.

[𝑇𝑝] = [𝛤(−ℎ)][𝛤(0)]−1 (4.38)

94

4.1.4. 비 음향 임피던스를 알고 있는 임의의 층

만약 해석하고자 하는 층의 비 음향 임피던스를 알고 있는 경우에도 전

달 행렬을 구성할 수 있다.

입사 파를 평면 파로 가정하면, Figure 4.1에서 두께 ℎ를 갖는 임의의 층

의 입사 면에서의 압력과 속도를 아래와 같이 가정할 수 있다.

𝑃1(𝑥3) = 𝐴1 𝑒−𝑗𝑘3 𝑥3 + 𝐴2 𝑒

𝑗𝑘3 𝑥3 (4.39)

𝑉1(𝑥3) =𝑘3𝜔𝜌0

[𝐴1𝑒−𝑗𝑘3𝑥3 − 𝐴2𝑒

𝑗𝑘3𝑥3] (4.40)

여기서, 𝑃1과 𝑉1은 각각 입사 면에서의 압력과 속도를 나타낸다.

패널을 통과한 이후 영역 (투과 면)의 압력과 속도는 아래의 비 음향 임

피던스의 정의로부터 구할 수 있다.

𝑉2(𝑥3) =𝑃1𝑍

(4.41)

95

여기서, 𝑉2는 투과 면의 속도이고, 𝑍는 대상 패널의 비 음향 임피던스이다.

식 (4.43)은 식 (4.41)에 식 (4.39)를 대입하여 구할 수 있고, 오일러 방정

식을 사용하여 식 (4.43)을 식 (4.42)로 변환 할 수 있다.

𝑃2(𝑥3) =𝜔𝜌0𝑘3

[𝐴1𝑍𝑒−𝑗𝑘3𝑥3 +

𝐴2𝑍𝑒𝑗𝑘3𝑥3] (4.42)

𝑉2(𝑥3) =𝐴1𝑍𝑒−𝑗𝑘3𝑥3 −

𝐴2𝑍𝑒𝑗𝑘3𝑥3 (4.43)

Figure 4.1의 𝑚과 𝑚′에서의 압력과 속도관계식을 구하기 위해 식 (4.39)

와 (4.40)의 𝑥3에 −ℎ을 대입하고, 식 (4.42)와 (4.43)의 𝑥3에 0을 대입하여

정리하면 비 음향 임피던스를 알고 있는 임의의 층에 대한 전달 행렬 [𝑇]

를 아래와 같이 구할 수 있다.

{𝑃1𝑉1} = [𝑇] {

𝑃2𝑉2} (4.44)

[𝑇] =

[ 𝑘3𝑍

𝜔𝜌0cos(𝑘3𝐿3) 𝑗𝑍 sin(𝑘3𝐿3)

𝑘32𝑍

𝜔2𝜌02 𝑗 sin(𝑘3𝐿3)

𝑘3𝑍

𝜔𝜌0cos(𝑘3𝐿3)

]

(4.45)

96

비 음향 임피던스의 정의에 의해서 입사 파 압력 (𝑝0 )와 투과 면쪽의 패

널 속도 (−𝑗𝜔𝑑1)의 비로 나타낼 수 있다. 여기서, 𝑑1은 투과 면쪽에서 패

널 표면에 대한 수직 변위의 크기이다. 만약 대칭과 비대칭 모드의 비 음

향 임피던스를 알고 있다면 식 (4.46)과 같이 나타낼 수 있다.

𝑍 =𝑝0

−𝑗𝜔𝑑1=(𝑧𝑎𝑠𝑦𝑚 +

𝜌0𝑐0cos 휃

) (𝑧𝑠𝑦𝑚 +𝜌0𝑐0cos 휃

)

𝑧𝑎𝑠𝑦𝑚 − 𝑧𝑠𝑦𝑚 (4.46)

97

4.2. 경계 행렬

4.2.1. 같은 요소의 결합

전달 행렬을 사용때 같은 요소를 결합할 경우에는 경계 행렬 없이 서로

곱해 주거나, 단위 행렬인 [𝐼]와 [𝐽]에 대해 부호를 서로 반대로 설정해주

면 된다. 하지만 다공질 층이 서로 인접해 있다면 경계 행렬이 달라지는데

Figure 4.2의 (1)과 (2)가 다공질 일 때에 경계 조건은 아래와 같다.

𝑣1𝑠(𝑞2) = 𝑣1

𝑠(𝑞3) (4.47)

𝑣3𝑠(𝑞2) = 𝑣3

𝑠(𝑞3) (4.48)

𝜙1 (𝑣3𝑓(𝑞2) − 𝑣3

𝑠(𝑞2)) = 𝜙2 (𝑣3𝑓(𝑞3) − 𝑣3

𝑠(𝑞3)) (4.49)

𝜎33𝑠 (𝑞2) + 𝜎33

𝑓 (𝑞2) = 𝜎33𝑠 (𝑞3) + 𝜎33

𝑓 (𝑞3) (4.50)

𝜎13𝑠 (𝑞2) = 𝜎13

𝑠 (𝑞3) (4.51)

98

𝜎33𝑓 (𝑞2)

𝜙1=𝜎33𝑓 (𝑞3)

𝜙2 (4.52)

여기서, 𝜙1과 𝜙2는 각각 (1)과 (2)의 공극 률을 나타낸다.

전체 행렬 [𝑇𝑡]를 다공 층 행렬과 경계 행렬로 나타내면 다음과 같다.

[𝑇𝑡] = [𝑇1𝑝][𝐼𝑝𝑝][𝑇2

𝑝] (4.53)

여기서, [𝑇1𝑝]와 [𝑇2

𝑝]는 각각 (1)과 (2)의 다공질 전달 행렬을 나타내고,

[𝐼𝑝𝑝]는 다공질 층 사이의 경계 행렬을 나타낸다. [𝐼𝑝𝑝]를 행렬로 정리하면

아래와 같다.

[𝐼𝑝𝑝] =

[ 1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 (1 −𝜙2

𝜙1

)𝜙2

𝜙1

0 0 0

0 0 0 1 0 (1 −𝜙1

𝜙2

)

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0𝜙1

𝜙2 ]

(4.54)

99

4.2.2. 다른 요소의 결합

바로 앞 장에서와 다르게 Figure 4.2의 (1)과 (2)가 서로 다른 요소일 때

연속방정식 (continuity equation)은 아래 식과 같다.

[𝐼12]𝑉(1)(𝑞

2) + [𝐽12]𝑉

(2)(𝑞3) = 0 (4.55)

첫번째, 고체와 유체가 접해 있을 때 연속 조건은 아래와 같다.

𝑣3𝑠(𝑞2) = 𝑣3

𝑓(𝑞3) (4.56)

𝜎33𝑠 (𝑞2) = −𝑝(𝑞3) (4.57)

𝜎13𝑠 (𝑞2) = 0 (4.58)

이 경우에는 식 (4.55)에서 [𝐼12]와 [𝐽12]는 각각 [𝐼𝑠𝑓]와 [𝐽𝑠𝑓]로 바뀌고 행

렬 요소는 아래와 같다.

100

[𝐼𝑠𝑓] = [0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

] (4.59)

[𝐽𝑠𝑓] = [0 −1

1 0

0 0

] (4.60)

두번째, 다공 층과 유체가 맞닿아 있을 때 연속 조건은 아래와 같다.

(1 − 𝜙)𝑣3𝑠(𝑞2) + 𝜙𝑣3

𝑓(𝑞2) = 𝑣3𝑓(𝑞3) (4.61)

𝜎33𝑠 (𝑞2) = −(1 − 𝜙)𝑝(𝑞3) (4.62)

𝜎13𝑠 (𝑞2) = 0 (4.63)

𝜎33𝑓 (𝑞2) = −𝜙𝑝(𝑞3) (4.64)

이 경우에는 식 (4.55)에서 [𝐼12]와 [𝐽12]는 각각 [𝐼𝑝𝑓]와 [𝐽𝑝𝑓]로 바뀌고 행


101

[𝐼𝑝𝑓] = [

0 (1 − 𝜙) 𝜙 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

] (4.65)

[𝐽𝑝𝑓] = [

0 −1

(1 − 𝜙) 0

0 0

𝜙 0

] (4.66)

세번째, 고체와 다공질이 접해있을 때 연속 조건은 다음과 같다.

𝑣1𝑠(𝑞2) = 𝑣1

𝑠(𝑞3) (4.67)

𝑣3𝑠(𝑞2) = 𝑣3

𝑠(𝑞3) (4.68)

𝑣3𝑠(𝑞2) = 𝑣3

𝑓(𝑞3) (4.69)

𝜎33𝑠 (𝑞2) = 𝜎33

𝑠 (𝑞3) + 𝜎33𝑓 (𝑞3) (4.70)

𝜎13𝑠 (𝑞2) = 𝜎13

𝑠 (𝑞3) (4.71)

이 경우에는 식 (4.55)에서 [𝐼12]와 [𝐽12]는 각각 [𝐼𝑠𝑝]와 [𝐽𝑠𝑝]로 바뀌고 행


102

[𝐼𝑠𝑝] =

[ 1 0 0 0

0 1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 1 1]

(4.72)

[𝐽𝑠𝑝] = −

[ 1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 1

0 0 0 0 1 0]

(4.73)

103

4.3. 전체 전달 행렬 조합 및 투과 손실 계수 도출

전달 행렬을 사용하여 투과 손실을 도출하기 위해서는 전체 전달 행렬

[𝐷]를 먼저 구성해야 한다. 전달 행렬 사용은 비교적 직관적으로 사용할

수 있느데 적층된 한 층당 1행 (row)씩 배열해주면 된다. 예를 들어 “고체

표면 재 + 다공질 중심 재 + 고체 표면 재”로 이루어진 패널을 구성하면

아래 행렬과 같다.

[𝐷] =

[ [𝐼𝑓𝑠] [𝐽𝑓𝑠][𝑇

𝑠] 0 0 0

0 [𝐼𝑠𝑓] [𝐽𝑠𝑝][𝑇𝑝] 0 0

0 0 [𝐼𝑝𝑠] [𝐽𝑝𝑠][𝑇𝑠] 0

0 0 0 [𝐼𝑠𝑓] [𝐽𝑠𝑓]]

(4.74)

Figure 4.2를 보면 (𝑁) 개의 층으로 이루어져 있고, 반 무한의 유체 1

(fluid 1)과 반 무한의 유체 2 (fluid 2)에 접해있다. 전체 행렬 [𝐷]에 유체 2를

추가하기 위해 b점에서의 비 음향 임피던스를 아래와 같이 추가한다.

[𝐷′] = [[𝐷]

0 ⋯ 0 −1 𝑍b] (4.75)

104

𝑍b =𝑍0cos 휃

=𝜌0𝑐0cos 휃

(4.76)

같은 방식으로 점 a에서의 비 음향 임피던스를 식 (4.75)에 추가하면 아

래와 같다.

[𝐷′′] = [

−1 𝑍a 0 ⋯ 0

[𝐷]0 ⋯ 0 −1 𝑍b

] (4.77)

𝑍𝑎 = −det[𝐷1

′]

det[𝐷2′ ]

(4.78)

여기서, 𝑍a는 점 a에서의 비 음향 임피던스고, [𝐷1′]과 [𝐷2’]는 각각 [𝐷’]의

첫번째, 두번째 열 (column)을 제거한 행렬을 나타내고, 'det'는 행렬식

(determinant)를 나타낸다.

식 (4.75)와 (4.78)을 아래 식 (4.79)과 (4.80)에 대입하여 투과 계수를 구

할 수 있다.

𝑅 =𝑍a cos 휃 − 𝑍0𝑍a cos 휃 + 𝑍0

(4.79)

105

𝜏 = −(1 + 𝑅)det[𝐷𝑁−1

′ ]

det[𝐷1′]

(4.80)

여기서, [𝐷𝑁−1′ ]은 [𝐷’] 행렬에서 𝑁 − 1 열을 제거한 행렬이고, 𝜏가 전달 행

렬을 통해 도출된 투과 계수이다.

106

Figure 4.2 N layer surrounded by a semi-infinite fluid.

107

5. 잔향 실을 이용한 흡·차음 성능 계측

실험은 축소 잔향 실과 실 잔향 실에서 이뤄졌다. 챔버 내부의 체적이

50 m3 이상이면 실 잔향 실이고, 이하면 축소 잔향 실이라고 지칭한다. 확

산 음장 형성을 돕기 위해 내부 형상을 비대칭으로 구성됐으며, 다수의 디

퓨저 (diffuser)를 설치하였다.

먼저 축소 잔향 실과 실 잔향 실 결과의 차이를 확인하기 위해 허니컴

패널에 대해 비교를 수행하였다. 사용된 물성 치는 Table 6.4, Table 6.5이며,

중심 재 두께는 25 mm이다. Figure 5.1에서 실 잔향 실 결과는 experiment (r)

로 표시하였고, 축소 잔향 실 결과는 experiment (s)로 표시하였으며, 두 그

래프의 차이를 빗금으로 표시하였다. 1 kHz 이상에서는 두 결과의 차이가

거의 없지만, 1 kHz 이하에서는 축소 잔향 실의 결과가 실 잔향 실의 결과

에 비해 주파수에 따른 변동이 심한 것을 확인할 수 있다. 이는 축소 잔향

실 내부의 체적이 작기 때문에 내부의 음향 모드 형성에 의해 확산 음장

의 구현이 어렵기 때문이다. 그럼에도 불구하고 전체적인 경향이 잘 일치

하고 시간과 경제적 효용성을 생각할 때 굉장히 유용한 실험 장치라고 할

수 있다.

108

Figure 5.1 Comparison of STL between experiment result of scaled chamber and

experiment result of real chamber.

109

5.1. 축소 잔향 실에 의한 평가 방법

전진용 (2003)은 축소 잔향 실을 사용하여 확산 계수를 측정하였고, 강현

주 (2005)는 축소 잔향 실의 음향 성능에 대해 연구하여 200 Hz이상에서는

실 잔향 실과 부합하는 결과를 보였다. Kim (2010)은 축소 잔향 실을 사용

하여 미네랄 울을 중심 재로 사용하는 이중 샌드위치 패널에 대해 연구하

였고, 성명호 (2001)는 승용차 대시부에 대해 연구를 진행하였다.

축소 잔향 실의 실제 모습은 Figure 5.2와 같다. 구성은 소음 실과 수음

실 그리고 시편 거치대로 이루어져 있다. 확산 음장 형성을 돕기 위해 내

부 공간이 비대칭적으로 설계되었으며, 벽은 두께 18.6 mm MDF판으로 이

루어졌다. 이를 다시 철판으로 둘러싸므로써 잔향 실 벽을 통한 손실을 최

소화하였다. 소음 실의 면적과 부피는 11.91 m2와 2.81 m3이고, 수음 실의 면

적과 부피는 13.09 m2와 3.25 m3 이며, 시편의 사이즈는 1.0 m × 1.2 m이다.

Figure 5.3에서와 같이 증폭기 (amplifier)는 LPX-400, 신호분석기 (signal

analyzer)는 B&K-type 3160-A-042, 모터제어기 (motor controller)는 NI PCI-

7330를 사용하였다.

실험은 ISO 10140-2:2010에 기술된 방법대로 진행이 되었다. 시편은 소음

110

실과 수음 실 사이의 시편 거치대에 거치 후 경계를 청테이프로 고정하였

다. 실 잔향 실에 비해 내부 체적이 작은 축소 잔향 실의 단점을 보완하기

위해 Figure 5.4와 같이 내부에 디퓨져 (diffuser)를 설치하여 확산 음장 형성

을 돕도록 하였다. 소음 실에서 화이트 노이즈로 가진함과 동시에 신호분

석기를 사용하여 마이크로폰 (microphone)으로 소음 실과 수음 실의 음압을

측정한다. 회전가능한 모터를 사용하여 Figure 5.5와 같이 반시계방향으로

60°간격으로 6지점에서 각각 10초씩 3회 반복 측정하여 평균을 취한다.

음압을 측정한 뒤 소음 실의 스피커를 끄고 수음 실의 스피커를 화이트

노이즈로 가진시킨다. 수음 실에서의 잔향 시간 (reverberation time)을 측정

하기 위해 수음 실의 스피커를 끄고 수음 실의 압력이 60 dB떨어질 때까지

의 시간을 측정한다. 앞에서와 같은 방식으로 수음 실 6지점에서 세번씩

잔향 시간을 측정하여 평균을 취하였다. 자세한 잔향 시간의 도출 과정은

5.1.1장에 설명하였다. 측정된 데이터를 아래 식에 대입하여 패널의 투과

손실을 도출하였다.

𝑆𝑇𝐿 = 𝐿𝑝1 − 𝐿𝑝2 + 10 log10 (

𝑆

0.16𝑉/𝑇60) (5.1)

111

여기서, 𝐿𝑝1과 𝐿𝑝2는 각각 소음 실과 수음 실에서 평균된 음압 레벨이고,

𝑉는 소음 실의 부피, 𝑆는 시편의 면적, 𝑇60은 잔향 시간을 나타낸다.

112

Figure 5.2 Scaled reverberation chamber.

113

Figure 5.3 Experiments with the scaled reverberation chamber.

114

Figure 5.4 Diffusers attached inside the chamber.

115

Figure 5.5 Measurement point.

116

5.1.1. 잔향 시간 산출 과정

잔향 시간의 계산은 시간에 따른 압력 레벨 변화를 계측한 뒤, 계측된

데이터를 공학 용 수치 해석 소프트웨어 MATLAB@을 통해 계산하였다.

Figure 5.6의 (a)에서 ℎ(𝑡)는 시간에 따라 계측된 압력 레벨을 나타낸다. 그

리고 ℎ𝑠,𝑎𝑣𝑔+ (𝑡)는 시간의 순서에 따라 구한 평균이고, ℎ𝑠,𝑎𝑣𝑔

− (𝑡)는 시간의 역

순으로 구한 평균이다. 이를 수식적으로 나타내면 아래 식과 같다.

ℎ𝑠,𝑎𝑣𝑔+ (𝑡) =

1

𝑡∫ ℎ(𝑡)𝑡

0

𝑑𝑡 (5.2)

ℎ𝑠,𝑎𝑣𝑔− (𝑡) =

1

𝑡𝑚𝑎𝑥 − 𝑡∫ ℎ(𝑡)𝑡𝑚𝑎𝑥

𝑡

𝑑𝑡 (5.3)

여기서, 𝑡𝑚𝑎𝑥 = 5 s이며 계측 시간을 나타낸다. 수치 해석에 사용된 시간

간격은 전체를 50구간으로 나누었기 때문에 ∆𝑡 = 0.1 s이다. 각각의 시간

간격에 대한 ℎ𝑗+와 ℎ𝑗

−는 아래 식과 같다.

117

ℎ𝑗+ =

1

∆𝑡∫ ℎ𝑠,𝑎𝑣𝑔

+ (𝑡)∆𝑡𝑗

∆𝑡(𝑗−1)

𝑑𝑡 (5.4)

ℎ𝑗− =

1

∆𝑡∫ ℎ𝑠,𝑎𝑣𝑔

− (𝑡)∆𝑡𝑗

∆𝑡(𝑗−1)

𝑑𝑡 (5.5)

여기서, 𝑗 = 1, 2, 3,⋯ , 50이다.

서로 인접한 구간에 대한 시간 순서대로 구한 차이 값과 시간의 역 순

서대로 구한 차이 값을 수식적으로 나타내면 아래와 같다.

∆ℎ𝑗+ = ℎ𝑗+1

+ − ℎ𝑗+ (5.6)

∆ℎ𝑗− = ℎ𝑗+1

− − ℎ𝑗− (5.7)

Figure 5.6의 (b)에서와 같이 최저점의 시간 𝑡𝑖와 𝑡𝑓를 구한다. 𝑡𝑖에서의 압

력 레벨보다 10 dB 낮은 위치의 시간 𝑡1과 𝑡𝑓에서의 압력 레벨보다 10 dB

높은 지점에서의 시간 𝑡2를 구한다. Figure 5.6의 (c)와 같이 𝑡1과 𝑡2 사이의

기울기 (DR, decay rate)를 구하여 아래 식과 같이 잔향 시간을 도출하였다.

𝑇60 =

60

𝐷𝑅 (5.8)

118

(a)

(b)

(c)

Figure 5.6 Process of obtaining the reverberation time: (a) summation of signal.

(b) difference of summed signal and (c) linearization of decay rate.

119

5.2. 실 잔향 실에 의한 평가 방법

Halliwell (1985)은 기존 방법 (ISO 10140-2)과 인텐시티 방법을 비교하여

저 주파수에서 기존 방법의 차음 성능이 약간 과대할 수 있음을 밝혔다.

Lai (1993)는 실 잔향 실에서 인텐시티 법을 사용하여 잔향 시간에 대해 연

구를 진행하였다. 김성훈 (2006)은 수음 실의 음장 모드 측정, 잔향 실 측

로 손실 특성 등을 연구하여 실 잔향 실에서의 측정 정확도를 높이고자

했다.

실 잔향 실에서 인텐시티 법을 사용하여 계측하였고, ISO 15186–1:2000에

기술된 방법에 의해 실험이 진행되었다. 축소 잔향 실에서 사용된 ISO

10140-2:2010과 함께 국제 표준을 사용하였기 때문에 실험 결과의 호환성

에는 문제가 없다. 하지만 인텐시티 법의 경우에는 실 잔향 실에서 측정하

였기 때문에 잔향 실내 음향 모드에 의한 저 주파수에서의 왜곡현상 낮게

나타난다.

Figure 5.7과 같이 시편의 크기는 (2.7× 2.05) m이고, 소음 실의 내부 면적

과 부피는 각각 128.7 m2과 100.8 m3 이다. P–U 프로브 (probe)를 사용하여

투과 면의 인텐시티를 측정하였다. 기존의 방법은 P–P 프로브를 사용하는

120

방법으로 마이크로폰 두개를 사용하여 인텐시티를 측정하였다. 기존 방법

의 경우에는 두 마이크로폰의 위상 차이와 마이크의 간격에 따른 제약이

많았지만, P–U 프로브의 경우에는 압력과 속도를 한꺼번에 측정하는 만큼

위상 차이와 마이크 간격 등을 고려하지 않아도 되는 장점이 있다. Figure

5.8에서 볼 수 있듯이 소음 실 천장의 인텐시티 윈도우 (intensity window)에

시편을 거치한 후에, 소음 실에 있는 스피커를 통해 소음 실 내부를 화이

트 노이즈로 가진시켜 소음 실의 평균 소음을 계측하였다. 그 다음 투과

면쪽에서 Figure 5.7과 같이 시편에서 수직으로 10 cm 공중에서 25점의 계측

을 시행하여 평균을 취하였다. 계측 포인트는 Figure 5.9와 같이 패널의 중

심에서 부터 25 cm 등간격으로 측정하였다.

𝑅𝐼 = 𝐿𝑠 − 6 − [𝐿𝑟 + 10 log10 (𝑆𝑚𝑆)] (5.9)

여기서, 𝑅𝐼는 음향 투과 손실을 나타내고, 𝐿𝑠는 소음 실에서의 평균 음압

(dB), 𝐿𝑟은 평균 인텐시티 값 (dB), 𝑆𝑚은 소음 실 내부의 면적 (m2), 𝑆는

시편의 면적 (m2)을 나타낸다.

121

Figure 5.7 Installed specimen on the reverberation chamber.

122

Figure 5.8 Experimental diagram of the reverberation chamber.

123

Figure 5.9 Intensity measurement point.

124

6. 패널의 흡·차음 변수 연구 및 개선 연구

6.1. 허니컴 패널 흡·차음 변수 연구

2장에서의 이론을 토대로 수치 해석 결과를 도출하였고, 실험과 수치 해

석에 사용된 표면 재 물성 치는 Table 6.4과 같다. 허니컴 셀의 물성 치는

Table 6.5와 같다. Figure 6.1은 허니컴 중심 재 두께 25 mm에 대해 실험 결과

와 수치 해석 결과를 비교하였다. Table 6.1은 Figure 6.1의 결과를 숫자로 확

인할 수 있다. 실험 (r) 결과의 Rw 값이 23 dB이고 수치 해석의 Rw 값이

22 dB로 1 dB의 차이가 발생했고, 실험 (s)를 추가하여 실 잔향 실과 축소

잔향 실의 차이를 비교할 수 있도록 하였다. 1 kHz이상에서는 두 결과가 거

의 같지만 저 주파수에서는 실 잔향 실에 비해 결과가 약간 높게 나오는

경향이 나타났다. Figure 6.2를 보면 두께 40 mm의 경우에는 실험 (r)의 Rw

값이 24 dB, 수치 해석의 Rw 값은 22 dB로 2 dB의 차이가 발생했다. Table

6.2는 Figure 6.2의 각각의 데이터를 나타낸다. 두 그래프 모두 정성적, 정량

적으로 실험 결과와 수치 해석 결과가 잘 일치 하였다. Figure 6.3은 허니컴

중심 재 두께 50 mm에 대해 실험 (s)와 수치 해석 결과를 비교하였다. Table

125

6.3은 Figure 6.3의 결과를 숫자로 보여준다. 두 결과가 정성적으로 잘 일치

하지만, 100, 250 Hz 등에서 비교적 큰 차이 값들이 발생하는데 이는 축소

잔향 실의 내부 체적이 작기 때문에 내부의 음향 모드 형성에 따라 오차

값이 발생하는 것으로 판단된다. Figure 6.4 (a)는 허니컴 중심 재 두께 25, 50

mm에 대한 실험 (s) 결과를 비교하였고, Figure 6.4 (b)는 허니컴 중심 재 두

께 25, 50 mm에 대한 수치 해석 결과를 비교하였다. Figure 6.4 (a), (b) 모두에

서 두번의 교차점이 공통적으로 발생하는데 첫번째는 두께 증가에 따라

일치 주파수 (coincidence frequency)의 변화로 인해 315 Hz 부근에서 25 mm

패널이 더 높은 차음 성능을 보인다. 또한 1 kHz 이상에서는 50 mm 패널의

차음 성능이 더 높게 나타났다. 이렇듯 실험간의 결과 비교와 수치 해석간

의 결과 비교에서 공통적으로 같은 현상이 나타나는 것으로 보아 수치 해

석에서 차음 변수들에 대한 반영이 잘 이루어졌다는 것을 확인하였다.

126


honeycomb panel.

127

Table 6.1 STL data of Figure 6.1.

1/3-octave

band [Hz]

HP / 25 mm /

experiment (r) /

Rw 23

HP / 25 mm /

numerical /

Rw 22

HP 25 mm /

experiment (s) /

Rw 24

100 16.2 14.68 23.87

125 14.6 16.44 13.75

160 15.6 18.16 19.36

200 18.3 19.77 15.61

250 19.5 21.10 23.56

315 18.9 21.69 21.61

400 18.9 20.26 21.65

500 19.8 19.16 24.50

630 18.9 19.26 21.94

800 19.7 19.73 21.78

1k 21.9 20.57 21.71

1.25k 23 21.23 23.21

1.6k 24.4 22.62 24.85

2k 24.1 24.23 26.19

2.5k 25.6 26.04 27.04

3.15k 28.1 28.01 28.46

4k 29.3 30.27 29.84

128


honeycomb panel.

129


1/3-octave

band [Hz]

HP / 40 mm /

experiment (r) /

Rw 24

HP / 40 mm /

numerical /

Rw 22

100 13.6 14.92

125 12.8 16.56

160 15.7 18.00

200 20.4 18.86

250 18.8 18.10

315 18.5 17.32

400 18.2 17.52

500 19.9 18.11

630 20.5 18.87

800 22.3 19.91

1k 24.4 21.04

1.25k 26.9 21.84

1.6k 27 24.85

2k 28.5 24.91

2.5k 28.3 26.99

3.15k 30.2 29.66

4k 33.1 32.41

130


honeycomb panel.

131


1/3-octave

band [Hz]

HP / 50 mm /

experiment (s) /

Rw 25

HP / 50 mm /

numerical /

Rw 22

100 24.16 15.04

125 16.87 16.54

160 17.79 17.60

200 15.76 17.32

250 23.77 16.56

315 22.26 16.72

400 16.98 17.31

500 22.24 18.10

630 20.81 19.15

800 23.90 20.10

1k 25.35 21.60

1.25k 26.99 22.63

1.6k 27.61 23.55

2k 29.06 26.25

2.5k 31.04 28.25

3.15k 33.35 30.42

4k 34.67 33.42

132

(a)

(b)

Figure 6.4 Comparison of 25 mm and 50 mm of honeycomb core thickness: (a)

experimental results, (b) numerical results.

133

Table 6.4 Properties of the surface sheet.

property variable values

density 𝜌𝑝 (kg/m3) 7,700

thickness 𝐿𝑝 (mm) 0.6

Young’s modulus 𝐸𝑝 (Pa) 19.5× 1010

Poisson ratio 𝜈𝑝 0.28

loss factor 휂𝑝 0.004

134

Table 6.5 Properties of the honeycomb cell.


density 𝜌𝑐 (kg/m3) 2,700

Young’s modulus 𝐸𝑐 (Pa) 7.1 × 1010

shear modulus 𝐺𝑐 (Pa) 2.4× 1010

Poisson ratio 𝜈𝑐 0.33

Loss factor 휂𝑐 0.004

angle between walls 휃𝑐 (°) 30

cell size 𝑑𝑐 (mm) 9.52

thickness of cell wall 𝑡𝑐 (mm) 0.06

135

6.1.1. 공동의 두께에 따른 변화

2장에서 허니컴 셀사이의 공동의 영향까지 고려하여 수식을 유도하였다.

그래서 공동의 영향을 파악하기 위해 이론적으로 공동의 영향을 포함한

결과와 포함하지 않은 결과를 비교하였다. 공동을 포함할 경우에는 식

(2.94)와 (2.95)를 사용하여 수치 해석 결과를 도출하고, 공동을 포함하지

않을 경우에는 식 (2.94)와 (2.95)에서 [𝐹𝑠]와 [𝐹𝑎]를 제거 후 운동방정식을

유도한다.

Figure 6.5, Figure 6.6, Figure 6.7은 각각 25, 50, 100 mm 허니컴 중심 재 두께

에 대해 공동의 영향을 포함한 결과와 포함하지 않은 결과에 대해 비교를

시행하였다. Table 6.6, Table 6.7, Table 6.8은 각각 Figure 6.5, Figure 6.6, Figure 6.7

에 대한 STL 데이터를 나타낸다. 각각의 두께별 그래프에서 공동의 영향

을 빗금으로 표시하였는데, 허니컴 중심재 두께가 증가함에 따라 공동의

부피도 함께 커지기 때문에 중심 재 두께에 비례하여 공동의 차음 성능

증가도가 높아졌다. Figure 6.5, Figure 6.6, Figure 6.7에서 두 그래프의 차이 값

(빗금친 부분)의 합을 구하면 각각 10.11, 16.13, 23.65 dB로 공동의 부피가

증가할 수록 공동의 영향이 증가함을 확인할 수 있다. 또한 중고 주파수에

136

서 공동의 차음 성능이 나타나기 시작한다. 이러한 이유는 식 (2.71)에서

알수 있듯이 공동의 에너지는 주파수 제곱에 비례하기 때문에 주파수가

높아질수록 공동의 차음 성능이 커진다. 그리고 중심재 두께가 두꺼워짐에

따라 공동의 영향이 나타나는 주파수 범위가 증가했다.

137

Figure 6.5 Comparison of including cavity numerical and non-cavity numerical

STL results for the 25 mm honeycomb core.

138


1/3-octave

band [Hz]

HP / 25 mm /

numerical

(non-cavity)

HP / 25 mm /

numerical

(including cavity)

100 14.68 14.68

125 16.43 16.44

160 18.15 18.16

200 19.75 19.77

250 21.08 21.10

315 21.63 21.69

400 20.11 20.26

500 19.05 19.16

630 19.15 19.26

800 19.64 19.73

1k 20.45 20.57

1.25k 21.18 21.23

1.6k 22.28 22.62

2k 22.90 24.23

2.5k 24.03 26.04

3.15k 25.87 28.01

4k 26.75 30.27

139



140


1/3-octave

band [Hz]

HP / 50 mm /

numerical

(non-cavity)

HP / 50 mm /

numerical

(including cavity)

100 15.03 15.04

125 16.52 16.54

160 17.56 17.60

200 17.25 17.32

250 16.48 16.56

315 16.64 16.72

400 17.19 17.31

500 17.94 18.10

630 18.87 19.15

800 19.84 20.10

1k 21.06 21.60

1.25k 21.84 22.63

1.6k 23.37 23.55

2k 24.53 26.25

2.5k 25.56 28.25

3.15k 26.01 30.42

4k 28.75 33.42

141



142


1/3-octave

band [Hz]

HP / 100 mm /

numerical

(non-cavity)

HP / 100 mm /

numerical

(including cavity)

100 15.02 15.05

125 14.92 14.96

160 14.70 14.75

200 15.12 15.18

250 15.85 15.94

315 16.77 16.87

400 17.72 17.88

500 18.92 19.10

630 19.86 20.29

800 21.40 21.62

1k 22.44 23.62

1.25k 23.42 24.52

1.6k 25.20 27.55

2k 25.78 28.70

2.5k 27.03 31.08

3.15k 27.99 33.70

4k 30.40 35.41

143

6.1.2. 허니컴 패널의 허니컴 중심 재 두께 변화

Figure 6.8은 허니컴 중심 재 두께 증가에 따른 차음 성능 변화를 그래프

로 나타내었다. Table 6.9는 Figure 6.8의 결과를 숫자로 확인할 수 있다. 다른

물성 치들은 Table 6.4과 Table 6.5를 따른다. 그래프는 (25, 50, 75, 100) mm로

중심 재 두께를 증가시키며 해석을 진행하였으며, 표면 재 두께는 변화시

키지 않았다. 그래프를 보면 중고 주파수 (630–4000 Hz)이상에서는 두께에

비례하여 차음 성능이 증가했다. 이러한 이유는 6.1.1장에서 언급한 공동의

부피 증가로 인한 차음 성능 증가가 가장 주요한 요인으로 보인다.

저 주파수 (100–630 Hz)의 경우에는 중고 주파수에서와는 반대로 중심

재 두께가 얇을수록 차음 성능이 높게 나타났다. 이러한 현상은 일치 주파

수에 의한 것으로, 여기서 일치 주파수란 패널의 굽힘 파장과 입사 파의

파장이 일치하여 투과가 굉장히 잘되어 투과 손실 계수는 낮아지는 현상

을 말한다. Fahy (2007)에 의하면 등방 성 평판의 경우에는 일치 주파수는

√𝑚에 비례하고, √𝐸와 √𝐿3에 반비례하게된다. 여기서, 𝑚 , 𝐸 , 𝐿은 각각 평

판의 면 밀도, 탄성 계수, 두께를 나타낸다.

일치 주파수를 결정하는 위 세가지 요인중에 평판의 두께가 가장 큰 영

144

향을 미친다 (√𝐿3 ≫ √𝐸 = √𝑚) . 먼저 탄성 계수부터 살펴보면, Figure 6.9에

서 볼 수 있듯이 중심 재 두께 변화에 따른 탄성 계수의 변화가 거의 없

기 때문에 이번 경우에는 일치 주파수를 결정하는 변수로 작용하지 못한

다. 다음으로 면 밀도의 경우에는 Figure 6.10을 보면 두께에 비례하여 면

밀도가 증가하는 모습을 보인다. 하지만 두께의 기여도가 면 밀도에 비해

서 크기 때문에 결론적으로 두께 증가에 따라 일치 주파수가 낮아져 일치

주파수 이후의 고 주파수에서 역전 현상이 발생된다.

145

Figure 6.8 STL comparison depending on the honeycomb core thickness.

146


1/3-octave

band [Hz]

HP / 25 mm /

numerical /

Rw 22

HP / 50 mm /

numerical /

Rw 22

HP / 75 mm /

numerical /

Rw 23

HP / 100 mm /

numerical /

Rw 24

100 14.68 15.04 15.16 15.05

125 16.44 16.54 15.98 14.96

160 18.16 17.60 15.56 14.75

200 19.77 17.32 15.38 15.18

250 21.10 16.56 15.83 15.94

315 21.69 16.72 16.58 16.87

400 20.26 17.31 17.51 17.88

500 19.16 18.10 18.48 19.10

630 19.26 19.15 19.77 20.29

800 19.73 20.10 20.96 21.62

1k 20.57 21.60 22.02 23.62

1.25k 21.23 22.63 24.82 24.52

1.6k 22.62 23.55 26.49 27.55

2k 24.23 26.25 27.19 28.70

2.5k 26.04 28.25 29.57 31.08

3.15k 28.01 30.42 33.28 33.70

4k 30.27 33.42 36.37 35.41

147

Figure 6.9 Young’s modulus (E₃, E₁₃, and E₂₃) of the honeycomb core according to

the thickness (25, 50, 75, 100 mm).

148

Figure 6.10 Surface density of the honeycomb panel according to the thickness

(25, 50, 75, 100 mm).

149

6.1.3. 허니컴 셀 사이즈 변화

이번 장에서는 Figure 6.11과 같이 허니컴 셀 사이즈를 변화에 따른 수치

해석을 진행하였다. 허니컴 중심 재의 두께는 30 mm로 고정하여 연구를

진행하였다. 다른 물성 치들은 Table 6.4와 Table 6.5 이다.

Figure 6.12는 셀 사이즈를 (10, 20, 30, 40) mm로 변화시키며 수치해석을 진

행하였다. Table 6.10는 Figure 6.12의 STL 데이터를 나타낸다. 그래프 결과를

보면 중고 주파수에서 셀 사이즈에 비례하여 차음 성능이 증가하는 경향

을 보인다. 이는 탄성 계수의 변화에 의한 일치 주파수의 이동으로 설명할

수 있다. 중심 재의 두께는 고정하였으므로 변수가 되지 않으며, 면 밀도

의 경우에는 Figure 6.14를 보면 셀 사이즈가 증가함에 따라 변화가 미미한

수준이기 때문에 면 밀도 또한 변수가 되지 못한다. Figure 6.13을 보면 셀

사이즈가 증가함에 따라 탄성 계수가 낮아졌다. 그러므로 일치 주파수는

셀 사이즈가 증가함에 따라 고 주파수로 이동하여 차음 성능이 증가한다.

150

Figure 6.11 Cell size 10, 20, 30, 40 mm.

151

Figure 6.12 STL of the HP according to the cell size (10, 20, 30, and 40 mm).

152


1/3-octave

band [Hz]

cell size

10 mm /

numerical /

Rw 22

cell size

20 mm /

numerical /

Rw 22

cell size

30 mm /

numerical /

Rw 24

cell size

40 mm /

numerical /

Rw 26

100 14.73 14.29 14.10 13.97

125 16.46 15.98 15.74 15.56

160 18.10 17.57 17.28 17.04

200 19.55 18.96 18.62 18.33

250 20.47 19.98 19.69 19.44

315 19.73 20.22 20.41 20.48

400 18.46 19.15 20.76 21.88

500 18.43 18.34 20.92 23.14

630 18.89 18.47 20.79 23.93

800 19.62 19.23 20.80 24.65

1k 20.50 20.19 21.41 25.44

1.25k 21.59 21.17 22.37 26.08

1.6k 22.80 22.50 24.80 27.53

2k 24.19 23.88 28.33 29.63

2.5k 26.27 26.03 31.93 31.36

3.15k 28.06 30.88 32.98 34.10

4k 31.69 35.78 36.59 36.80

153

Figure 6.13 Young’s modulus (E₃, E₁₃, and E₂₃) of the honeycomb core according

to the cell size (10, 20, 30, and 40 mm).

154

Figure 6.14 Surface density of the honeycomb panel according to the cell size (10,

20, 30, and 40 mm).

155

6.1.4. 허니컴 셀 벽 두께 변화

Figure 6.15에서 보듯이 셀 벽 두께를 변화시키며 차음 성능을 비교하였

다. 중심 재 두께는 30 mm로 고정하였으며, 다른 물성 치들은 Table 6.4와

Table 6.5를 따른다.

Figure 6.16는 셀 벽 두께를 (0.1, 0.2, 0.3, 0.4) mm로 변경하며 수치해석을

진행하였다. Table 6.11는 Figure 6.16의 결과를 숫자로 확인 할 수 있다. 그래

프 결과를 보면 셀 벽 두께에 비례하여 차음 성능이 증가함을 알 수 있다.

이는 면 밀도 증가에 의한 현상으로, Figure 6.17과 Figure 6.18을 보면 일치

주파수가 셀 벽 두께에 비례하여 고 주파수로 이동한다. 하지만 탄성 계수

와 면 밀도의 증가 도가 거의 같기 때문에 일치 주파수에 의한 영향이 미

미하다. 때문에 면 밀도증가에 비례하여 차음 성능이 증가한다.

156

Figure 6.15 Thickness of the cell wall 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 mm.

157

Figure 6.16 STL of the HP according to the thickness of the cell wall (0.1, 0.2, 0.3,

and 0.4 mm).

158


1/3-octave

band [Hz]

cell wall

thickness

0.1 mm /

numerical /

Rw 23

cell wall

thickness

0.2 mm /

numerical /

Rw 25

cell wall

thickness

0.3 mm /

numerical /

Rw 26

cell wall

thickness

0.4 mm /

numerical /

Rw 28

100 15.31 16.51 17.57 18.50

125 17.07 18.32 19.41 20.38

160 18.76 20.09 21.24 22.25

200 20.29 21.77 23.02 24.10

250 21.31 23.20 24.69 25.91

315 20.48 23.69 26.06 27.61

400 19.08 21.38 26.02 29.05

500 19.13 20.62 22.86 29.34

630 19.70 21.02 22.41 25.30

800 20.52 21.84 22.98 24.46

1k 21.64 22.94 23.88 25.10

1.25k 22.54 23.97 24.87 25.77

1.6k 24.27 25.81 26.49 27.25

2k 25.05 27.61 28.09 29.14

2.5k 27.26 29.18 30.80 30.91

3.15k 29.51 31.35 32.71 34.39

4k 32.31 34.00 34.21 38.11

159

Figure 6.17 Young’s modulus (E₃, E₁₃, and E₂₃) of the honeycomb core according

to the thickness of the cell wall (0.1, 0.2, 0.3, and 0.4 mm).

160

Figure 6.18 Surface density of the honeycomb panel according to the thickness of

the cell wall (0.1, 0.2, 0.3, and 0.4 mm).

161

6.2. CASE 1 흡·차음 변수 연구

HMPP (CASE 1)에 대한 흡음 성능은 3.1장에서 설명하였고, 이번장에서는

흡·차음 성능을 도출하였다. HMPP의 투과 계수는 2장에서 유도한 허니컴

패널의 운동 방정식에 3.1장에서 유도한 흡음 계수를 적용하여 구하게 된

다. HMPP의 형상은 Figure 3.1과 같이 허니컴 패널의 한 쪽표면 재를 MPP

로 교체하여 패널을 구성하였다.

식 (2.94)와 (2.95)의 우변에 흡음된 에너지를 빼주기위해 (1 − 𝛼𝑚𝑝𝑝(휃))

를 곱해주면 아래 식과 같다 (Jung, 2018).

[𝑀𝑠 + 𝐹𝑠] {


(1 − 𝛼case1)𝑃000

} (6.1)

[𝑀𝑎 + 𝐹𝑎] {𝛼𝑎𝛽𝑎} = {

(1 − 𝛼case1)𝑃00

} (6.2)

식 (6.1)과 (6.2)로부터 각각 (1 − 𝛼case1)𝑃0/𝛼𝑠와 (1 − 𝛼case1)𝑃0/𝛼𝑎를

도출할 수 있고, 이를 𝑗𝜔로 나누어 대칭과 비대칭 비 음향 임피던스를 아

래와 같이 구할 수 있다.

162

𝑍𝑠 =(1 − 𝛼case1)𝑃0

𝑗𝜔𝛼𝑠 (6.3)

𝑍𝑎 =(1 − 𝛼case1)𝑃0

𝑗𝜔𝛼𝑎 (6.4)

대칭 모드의 비 음향 임피던스 식 (6.3)과 비대칭 모드의 비 음향 임피던

스 식 (6.4)를 식 (6.5)–(6.7)에 대입하면 투과 계수와 평균 투과 계수, STL

값을 도출할 수 있다.

𝜏 = |

𝜌0𝑐0cos 휃

(𝑍𝑠 − 𝑍𝑎)

(𝑍𝑎 +𝜌0𝑐0cos 휃

) (𝑍𝑠 +𝜌0𝑐0cos 휃

)|

2

(6.5)

𝜏 =

∫ ∫ 𝐺(휃)𝜋/2

0𝜏(휃, 𝜙) sin 휃 cos 휃

2𝜋

0𝑑휃𝑑𝜙

∫ ∫ 𝐺(휃)𝜋/2

0sin 휃 cos 휃

2𝜋

0𝑑휃𝑑𝜙

(6.6)

STL = −10 log10(𝜏) (6.7)

163

6.2.1. 실험 결과와 수치 해석 결과 비교

수치 해석 결과의 신뢰 성을 얻기 위해 25 mm와 50 mm의 중심 재 두께

를 갖는 HMPP에 대해 5장의 실험 결과와 6.2장에서 도출한 수치 해석 결

과를 비교하였다. 실험에 사용된 실제 패널은 Figure 6.19와 같고, 사용된

표면 재, 허니컴 셀, MPP의 물성 치는 각각 Table 6.4, Table 6.5, Table 6.14과

같다.

Figure 6.20과 Figure 6.21은 HMPP의 두께 25, 50 mm에 대해 실험 결과와

수치 해석 결과를 비교하였다. Table 6.12와 Table 6.13은 각각 Figure 6.20과

Figure 6.21에 대한 STL 데이터를 나타낸다. Rw관점에서 비교하면 25 mm

HMPP의 경우에는 실험 결과가 Rw 25 dB, 수치 해석 결과가 Rw 26 dB로 정

량적으로 잘 일치하고, 정성적으로도 잘 부합했다. 50 mm HMPP의 경우에는

실험의 Rw 값이 28 dB이고, 수치 해석의 Rw 값이 27 dB로 잘 일치하며,

정성적으로도 잘 부합했다. 다만 실험 결과의 경우에는 저 주파수 (100–

315 Hz)에서 상대적으로 요동치는 현상을 볼 수 있다. 이는 실 잔향 실에

비해 상대적으로 내부 체적이 작은 축소 잔향 실의 한계라고 할 수 있다.

ISO 10140-2:2010에 따르면 소음 실과 수음 실 각각 체적이 50 m3이상이어

164

야 하나 축소 잔향 실은 약 3 m3로 내부 음향 모드에 의해 특정 주파수에

서 왜곡 현상이 발생할 수 있다. 이를 방지하기 위해 축소 잔향 실 내부를

비대칭으로 설계하고 내부 디퓨저를 다수 설치하여 산란이 잘 일어나도록

하였다.

165

Figure 6.19 HMPP used in the experiment.

166

Figure 6.20 Comparison of the insulation performance between the experimental

and numerical result for a 25-mm HMPP core thickness.

167


1/3-octave

band [Hz]

HMPP / 25 mm /

experiment (s) /

Rw 25

HMPP / 25 mm /

numerical /

Rw 26

100 21.02 15.10

125 15.01 17.00

160 19.37 18.98

200 16.29 20.97

250 23.49 22.82

315 23.25 23.70

400 22.65 22.14

500 22.62 23.86

630 25.7 26.47

800 24.97 27.04

1k 24.25 25.78

1.25k 23.64 24.93

1.6k 25.75 25.36

2k 24.77 25.85

2.5k 26.55 26.75

3.15k 29.13 28.48

4k 29.84 30.68

168

Figure 6.21 Comparison of the insulation performance between the experimental

and numerical result for a 50-mm HMPP core thickness.

169


1/3-octave

band [Hz]

HMPP / 50 mm /

experiment (s) /

Rw 28

HMPP / 50 mm /

numerical /

Rw 27

100 22.92 15.52

125 19.81 17.42

160 20.61 18.97

200 17.58 19.10

250 19.85 20.83

315 27.07 22.47

400 23.98 24.70

500 28.74 27.07

630 28.24 26.57

800 28.83 24.98

1k 27.47 24.57

1.25k 25.87 24.73

1.6k 27.3 25.78

2k 28.61 26.66

2.5k 31.94 28.40

3.15k 34.51 30.70

4k 33.4 35.90

170

Table 6.14 Properties of the MPP.


density 𝜌𝑚 (kg/m3) 7,700

thickness 𝑡𝑚 (mm) 0.6

Young’s modulus 𝐸𝑚 (Pa) 19.5× 1010

Poisson ratio 𝜈𝑚 0.28

perforation ratio σ𝑚 (%) 1

perforation diameter 𝑑𝑚 (mm) 0.7

loss factor 휂𝑚 0.004

distance between

perforations 𝑑ℎ (mm) 6

171

6.2.2. HMPP의 MPP 유무 비교

MPP의 영향을 파악하기 위해 허니컴 패널과 HMPP의 수치 해석 결과를

비교하였다. Figure 6.22와 Figure 6.24는 각각 25 mm와 50 mm의 중심 재 두

께를 갖는 패널에 대한 비교이며, Table 6.15와 Table 6.16는 각각 Figure 6.22

와 Figure 6.24의 STL 데이터를 숫자로 확인할 수 있다. 사용된 물성 치는

허니컴 패널의 경우에는 Table 6.4과 Table 6.5이며, HMPP는 Table 6.4, Table

6.5, Table 6.14와 같다.

먼저 Rw를 비교하면 25 mm 두께에서는 MPP 적용 전 후로 Rw 22 dB에

서 Rw 26 dB로 증가하여 4 dB의 큰 증가를 보였다. 특히 주파수 800 Hz를

중심으로 크게 증가하였는데, 이는 Figure 6.23에서 보듯이 800 Hz를 중심으

로 흡음 계수가 크게 증가함에 따른 결과이다.

50 mm 중심 재 두께의 경우에도 Rw 22 dB에서 Rw 27 dB로 5 dB의 큰 증

가를 보였다. 공동의 증가로 인해 흡음 계수가 전체적으로 낮은 주파수로

이동하였고, 결과적으로 500과 630 Hz 사이에서 최고 값의 흡음 계수를 보

여 차음 성능 또한 해당 주파수 중심으로 증가하는 특징을 보였다.

172

Figure 6.22 Comparison of STL between the honeycomb panel and HMPP for a

25-mm core thickness.

173


1/3-octave

band [Hz]

HP / 25 mm /

numerical /

Rw 22

HMPP / 25 mm /

numerical /

Rw 26

100 14.68 15.10

125 16.44 17.00

160 18.16 18.98

200 19.77 20.97

250 21.10 22.82

315 21.69 23.70

400 20.26 22.14

500 19.16 23.86

630 19.26 26.47

800 19.73 27.04

1k 20.57 25.78

1.25k 21.23 24.93

1.6k 22.62 25.36

2k 24.23 25.85

2.5k 26.04 26.75

3.15k 28.01 28.48

4k 30.27 30.68

174

Figure 6.23 Comparison of the average absorption coefficient between the

honeycomb panel and HMPP for a 25-mm core thickness.

175

Figure 6.24 Comparison of STL between the honeycomb panel and HMPP for a

50-mm core thickness.

176


1/3-octave

band [Hz]

HP / 50 mm /

numerical /

Rw 22

HMPP / 50 mm /

numerical /

Rw: 27

100 15.04 15.52

125 16.54 17.42

160 17.60 18.97

200 17.32 19.10

250 16.56 20.83

315 16.72 22.47

400 17.31 24.70

500 18.10 27.07

630 19.15 26.57

800 20.10 24.98

1k 21.60 24.57

1.25k 22.63 24.73

1.6k 23.55 25.78

2k 26.25 26.66

2.5k 28.25 28.40

3.15k 30.42 30.70

4k 33.42 35.90

177

Figure 6.25 Comparison of the average absorption coefficient between the

honeycomb panel and HMPP for a 50-mm core thickness.

178

6.2.3. MPP 홀의 직경 변화

Figure 6.26과 같이 홀 간격은 6 mm로 고정하고 MPP 홀 직경을 (0.1, 0.4,

0.7, 1) mm로 변경하여 해석을 진행하였다. 중심 재 두께는 30 mm로 고정하

였으며, 나머지 물성 치는 Table 6.4, Table 6.5, Table 6.14와 같다. 위와 같이

홀 직경과 홀 간격을 설정할 경우의 공극 률은 각각 0.02, 0.35, 1, 2.2%이며,

공극 률은 단위 면적당 MPP 홀이 점유하는 면적에 100을 곱하여 도출한

다.

Figure 6.27는 홀 직경에 따른 수치해석 결과를 보여주며, Table 6.17는

Figure 6.27의 결과를 숫자로 확인 할 수 있다. 결과를 보면 홀 직경이 커질

수록 Rw 값이 22, 23, 26, 27 dB로 높아졌다. 하지만 해당 패널의 경우외에

다른 조건에서도 항상 이러한 경향이 나타나지는 않을 것으로 보인다. 왜

냐하면 Figure 6.28은 흡음 계수를 나타내는데, 홀 직경이 커질수록 흡음 률

그래프가 전체적으로 고 주파수로 이동하였다. 결론적으로 임의의 HMPP

를 디자인할 때 차음 성능이 취약한 주파수에 맞춰 MPP의 흡음 성능을

조정하여 최적의 패널을 구성할 수 있다.

179

Figure 6.26 Diagram of MPP hole diameter (0.1, 0.4, 0.7, and 1 mm).

180

Figure 6.27 STL of the HMPP according to MPP hole diameter (0.1, 0.4, 0.7, and

1 mm).

181


1/3-octave

band [Hz]

MPP hole

diameter:

0.1 mm /

porosity: 0.02% /

numerical /

Rw 22

MPP hole

diameter:

0.4 mm /

porosity: 0.35% /

numerical /

Rw 23

MPP hole

diameter:

0.7 mm /

porosity: 1% /

numerical /

Rw 26

MPP hole

diameter:

1 mm /

porosity: 2.2% /

numerical /

Rw 27

100 16.24 19.22 15.20 15.44

125 17.56 20.74 17.11 17.07

160 18.92 22.13 19.09 18.84

200 20.16 23.14 21.02 20.63

250 20.73 23.01 22.39 22.13

315 19.36 20.51 21.49 22.34

400 18.29 19.18 22.85 21.98

500 18.37 19.47 25.79 22.14

630 18.91 20.20 27.50 23.68

800 19.71 20.99 26.81 26.50

1k 20.68 21.80 25.28 29.49

1.25k 21.59 22.52 24.62 28.52

1.6k 23.32 24.05 25.26 27.40

2k 24.43 25.00 25.82 27.11

2.5k 26.10 26.54 27.11 27.96

3.15k 28.09 28.43 28.86 29.46

4k 31.04 31.33 31.78 32.41

182

Figure 6.28 Absorption coefficient of HMPP according to the perforation

diameter (0.1, 0.4, 0.7, and 1 mm).

183

6.2.4. MPP 홀 간격의 변화

Figure 6.29와 같이 홀 직경은 0.7 mm로 고정하고 MPP 홀 간격을 3, 6, 9,

12 mm로 변경하여 해석을 진행하였다. 중심 재 두께는 30 mm로 고정하였

으며, 나머지 물성 치는 Table 6.4, Table 6.5, Table 6.14과 같다. 위와 같이 홀

직경과 홀 간격을 설정할 경우의 공극 률은 각각 4.27, 1, 0.47, 0.35%이다.

Figure 6.30은 홀 간격에 따른 수치해석 결과를 보여주며, Table 6.18은

Figure 6.30의 결과를 숫자로 확인할 수 있다. 결과를 보면 홀 간격이 커질

수록 Rw 값이 26, 26, 23, 22 dB로 낮아졌다. 6.2.3장에서와 같은 방식으로 해

당패널의 경우외에 다른 조건에서는 다른 경향을 보일 수 있다. Figure 6.31

홀 간격이 커질수록 흡음 률 그래프가 전체적으로 저 주파수로 이동하였

다. 홀 직경과 마찬가지로 홀 간격을 조정하여 HMPP의 차음 성능이 취약

한 주파수에 맞춰 MPP의 흡음 성능을 조정할 수 있다.

184

Figure 6.29 Diagram of distance between MPP holes (3, 6, 9, and 12 mm).

185

Figure 6.30 STL of the HMPP according to distance between MPP holes (3, 6, 9,

and 12 mm).

186


1/3-

octave

band [Hz]

MPP hole

distance: 3 mm /

porosity: 4.27%

/ numerical /

Rw 26

MPP hole

distance: 6 mm

/ porosity: 1%

/ numerical /

Rw 26

MPP hole

distance: 9 mm /

porosity: 0.47%

/ numerical /

Rw 23

MPP hole

distance: 12 mm

/ porosity: 0.35%

/ numerical /

Rw 22

100 15.63 15.20 15.58 17.35

125 17.09 17.11 17.92 18.82

160 18.71 19.09 20.20 20.22

200 20.38 21.02 22.22 21.36

250 21.83 22.39 23.01 21.67

315 21.37 21.49 20.72 19.84

400 20.29 22.85 19.38 18.63

500 20.43 25.79 19.65 18.75

630 21.38 27.50 20.27 19.35

800 23.00 26.81 20.91 20.13

1k 25.37 25.28 21.64 21.05

1.25k 27.67 24.62 22.33 21.89

1.6k 31.19 25.26 23.87 23.55

2k 31.10 25.82 24.85 24.61

2.5k 30.94 27.11 26.42 26.23

3.15k 31.69 28.86 28.33 28.19

4k 34.36 31.78 31.26 31.12

187

Figure 6.31 Absorption coefficient of HMPP according to MPP hole distance (3,

6, 9, and 12 mm).

188

6.2.5. HMPP의 허니컴 중심 재 두께 변화

Figure 6.32은 중심 재 두께를 25, 35, 50 mm로 증가시키며 해석연구를 진

행하였고, Table 6.19는 Figure 6.32의 결과를 숫자로 확인할 수 있다. 두께 증

가에 따른 Rw 값은 26, 26, 27 dB로 변화 정도가 미미한 것을 알 수 있다.

이는 두께가 두꺼워짐에 따라 일치 주파수가 저 주파수로 이동함과 함께

Figure 6.33에서 보듯이 흡음 성능 또한 두께가 커짐에 따라 흡음 성능 그

래프가 저 주파수로 이동하여 나타나는 현상이다. 즉, 면 밀도 증가와 흡

음에 의한 흡·차음 증가 요인과 일치 주파수로 인한 감소 요인이 비슷한

수준으로 상쇄되는 것으로 판단된다.

189

Figure 6.32 STL of HMPP according to core thickness (25, 35, and 50 mm).

190


1/3-octave

band [Hz]

HMPP / 25 mm /

numerical / Rw 26

HMPP / 35 mm /

numerical / Rw 26

HMPP / 50 mm /

numerical / Rw 27

100 15.10 15.29 15.52

125 17.00 17.21 17.42

160 18.98 19.17 18.97

200 20.97 20.93 19.10

250 22.82 21.09 20.83

315 23.70 21.35 22.47

400 22.14 24.20 24.70

500 23.86 26.35 27.07

630 26.47 27.70 26.57

800 27.04 26.35 24.98

1k 25.78 24.97 24.57

1.25k 24.93 24.62 24.73

1.6k 25.36 25.43 25.78

2k 25.85 26.04 26.66

2.5k 26.75 27.60 28.40

3.15k 28.48 29.52 30.70

4k 30.68 32.41 35.90

191

Figure 6.33 Absorption coefficient of HMPP according to core thickness (25, 35,

and 50 mm).

192

6.3. CASE 2 변수 연구

공동을 포함한 복층 HMPP에 대해서 해석하기 위해서 일단 MPP 홀이

없다고 가정하여 허니컴 패널과 공동에 대한 전달 행렬 구성한다. 그 후에

MPP 홀을 포함하여 흡음 계수를 산출하여 앞에서 구한 전달 행렬에 반영

하므로써 수치 해석 연구를 진행하였다. MPP위치에 따라 여러가지 조합이

있을 수 있지만 일단은 Figure 6.34과 같이 MPP가 모두 입사 면쪽을 바라

보고 있을 경우를 기준으로 설명하였다.

4.1.4장에서 기술한 것과 같이 비 음향 임피던스를 알고 있다면 전달 행

렬 구성이 가능 하다. 허니컴 패널에 대한 전달 행렬 구성을 위해 비 음향

임피던스를 도출하면 아래 식과 같다.

[𝑇ℎ] =

[ 𝑘3𝑍ℎ𝜔𝜌0

cos(𝑘3𝐿3) 𝑗𝑍ℎ sin(𝑘3𝐿3)

𝑘32𝑍ℎ


𝑘3𝑍ℎ𝜔𝜌0

cos(𝑘3𝐿3)]

(6.8)

여기서, [𝑇ℎ]는 허니컴 패널의 전달 행렬이고, 𝑍ℎ는 허니컴 패널의 비 음

향 임피던스를 나타낸다. 식 (4.46)에 허니컴의 대칭과 비대칭 비 음향 임

193

피던스인 식 (2.96)과 (2.97)을 대입하여 구할 수 있다.

허니컴의 전달 행렬과 비슷한 과정으로 공동에 대한 전달 행렬을 도출

할 수 있다. 식 (2.79)와 (2.80)을 통해 공동의 대칭과 비대칭 비 음향 임피

던스를 구할 수 있고, 이를 식 (4.46)에 대입하면 아래와 같이 공동의 전달

행렬을 유도할 수 있다.

[𝑇cavity] =

[ 𝑘3𝑍cavity

𝜔𝜌0cos(𝑘3𝐿3) 𝑗𝑍cavity sin(𝑘3𝐿3)

𝑘32𝑍cavity


𝑘3𝑍cavity

𝜔𝜌0cos(𝑘3𝐿3)

]

(6.9)

여기서, [𝑇cavity]는 공동의 전달 행렬이고, 𝑍cavity는 공동의 비 음향 임피던

스를 나타낸다.

허니컴 패널과 공동의 전달 행렬을 사용하여 전체행렬을 구성하면 아래

와 같다.

[𝐷] = [[𝐼] [𝐽][𝑇ℎ1][𝑇cavity][𝑇ℎ2] 0

0 [𝐽] [𝐼]] (6.10)

194

여기서, [𝑇ℎ1]과 [𝑇ℎ2]는 허니컴전달 행렬이고 아래 첨자 1과 2는 위쪽 패

널과 아래 쪽 패널을 구별하기 위해 추가하였다.

식 (6.10)에서 구성한 전체행렬을 식 (4.75)–(4.80)에 대입하여 투과 계수

(𝜏𝑑ℎ)를 산출할 수 있다. 그리고 3.2장에서 휁𝑏와 휁𝑑는 1로 𝜎𝑏와 𝜎𝑑는 0으로

바꿔주어 식 (3.104)의 𝛼case2를 도출하고 아래 식과 같이 적용해주면 Figure

6.34에 대한 차음 성능을 도출할 수 있다.

𝜏𝑐𝑎𝑠𝑒2 = 𝜏𝑑ℎ(1 − 𝛼𝑐𝑎𝑠𝑒2) (6.11)

195

Figure 6.34 Geometry of double HMPP including cavity for the incident,

reflected, and transmitted waves with unbounded x₁-x₂ plane.

196

6.3.1. 실험 결과와 수치 해석 결과 비교

Figure 6.35와 같이 HMPP사이에 공동을 포함하고, MPP가 입사방향으로

향하는 모델에 대해 실험과 수치 해석 결과를 비교하였다. 윗 패널의 허니

컴 중심 재 두께 𝐿ℎ1은 50 mm이며, 아랫 중심 재 두께 𝐿ℎ2는 25 mm, 공동

의 두께 𝐿cavity는 25, 35, 50 mm로 변경하며 해석을 진행하였다. 사용된 물

성치는 Table 6.4, Table 6.5, Table 6.14와 같다.

Figure 6.36은 50 mm HMPP와 25 mm HMPP사이에 25 mm 공동을 갖는 모

델에 대해 실험과 수치 해석 결과를 비교하였고, Table 6.20은 Figure 6.36의

결과를 숫자로 확인할 수 있다. 두 결과의 경향이 잘 일치 했다. 실험 결

과와 수치 해석 결과가 각각 Rw 35, 37 dB로 다소 차이를 보였다. 이는 125

Hz에서 큰 차음 성능 감소를 보이기 때문이다. 이는 축소 잔향 실 내부에

형성된 음향 모드에 의한 왜곡 현상으로 보인다.

Figure 6.37은 공동의 두께를 35 mm로 변경하여 실험과 해석을 진행하였

고, Table 6.21은 Figure 6.37의 결과를 숫자로 확인할 수 있다. 실험 결과와

수치 해석 결과가 정성적으로 잘 일치 할 뿐만 아니라 Rw 값으로 보더라

도 38 dB로 두 결과가 일치했다.

197

Figure 6.38은 공동의 두께를 50 mm로 변경하여 실험과 해석을 진행하였

고, Table 6.22는 Figure 6.38의 결과를 숫자로 확인할 수 있다. 앞에서와 같이

정량적인 관점과 정성적인 관점에서 보았을 때 잘 일치 했으며, Rw 값을

보더라도 40과 38 dB로 잘 일치 하였다.

198

Figure 6.35 HMPP 1 + cavity + HMPP 2.

199

Figure 6.36 Comparison of STL between experiment and numerical result for

HMPP (out MPP) 50 mm + cavity 25 mm + HMPP (in MPP) 25 mm.

200


1/3-octave

band [Hz]

HMPP (out MPP) 50 mm +

cavity 25 mm + HMPP (in

MPP) 25 mm / experiment (s)

/ Rw 35

HMPP (out MPP) 50 mm +

cavity 25 mm + HMPP (in

MPP) 25 mm / numerical /

Rw 37

100 21.67 19.72

125 11.16 20.89

160 20.49 21.99

200 23.85 23.48

250 33.78 23.22

315 33.31 26.30

400 33.51 30.26

500 38.34 35.49

630 38.08 40.20

800 43.24 41.82

1k 39.46 41.26

1.25k 42.14 41.60

1.6k 47.6 43.46

2k 48.24 45.13

2.5k 52.66 47.74

3.15k 56.65 48.97

4k 54.09 52.07

201



202


1/3-octave

band [Hz]

HMPP (out MPP) 50

mm + cavity 35 mm +

HMPP (in MPP) 25 mm

/ experiment (s) / Rw 38

HMPP (out MPP) 50

mm + cavity 35 mm +

HMPP (in MPP) 25 mm

/ numerical / Rw 38

100 24.81 20.70

125 14.25 21.83

160 21.85 23.50

200 24.65 23.20

250 32.92 23.57

315 33.52 26.76

400 33.68 30.72

500 38.7 35.99

630 38.11 40.72

800 42.94 42.39

1k 38.08 41.75

1.25k 42.38 42.05

1.6k 47.37 43.82

2k 47.76 45.32

2.5k 50.91 47.67

3.15k 56.74 48.18

4k 52.94 50.22

203



204


1/3-octave

band [Hz]

HMPP (out MPP) 50

mm + cavity 50 mm +

HMPP (in MPP) 25 mm


HMPP (out MPP) 50

mm + cavity 50 mm +

HMPP (in MPP) 25 mm

/ numerical / Rw 38

100 23.12 22.04

125 19.07 23.28

160 22.65 24.86

200 24.88 23.25

250 33.53 24.10

315 33.42 27.35

400 35.87 31.31

500 39.5 36.61

630 38.21 41.33

800 44.07 43.01

1k 38.61 42.22

1.25k 43.89 42.39

1.6k 48.95 43.85

2k 48.85 44.93

2.5k 51.55 46.99

3.15k 54.59 47.35

4k 48.03 53.45

205

6.3.2. HMPP 사이의 공동 두께 변화

공동 두께의 차이를 확인하기 위해 25, 50, 100 mm로 두 배씩 증가시켜

수치 해석 결과를 비교하였다. 6.3.1장에서와 같은 방식으로 두 HMPP의 두

께는 50과 25 mm로 고정하였다. 나머지 사용된 물성치는 Table 6.4, Table 6.5,

Table 6.14와 같다.

Figure 6.39는 공동 두께에 따른 STL결과를 나타내고, Table 6.23는 Figure

6.39의 STL값을 숫자로 확인할 수 있다. 결과를 보면 공기 층이 증가함에

따라 주파수 영역에서 전체적으로 증가함을 알수 있는데 250 Hz 이하에서

는 흡음의 영향이고 250 Hz 이상에서는 공동의 차음 성능으로 인한 것으로

보인다. Figure 6.40은 위 세 가지 경우에 대한 흡음 계수를 비교하였다.

HMPP사이의 공동이 증가함에 따라 첫번째 최고 점 흡음 계수가 저 주파

수로 이동하는 것을 볼 수 있다. 저주파수 제어를 위해 HMPP내의 공동

뿐만 아니라 외부의 공동 부피 또한 증가시키는 것이 유리하다.

206

Figure 6.39 STL according to cavity thickness (25, 50, and 100 mm) between

HMPPs.

207


1/3-octave

band [Hz]

HMPP (out MPP)

50 mm + cavity

25 mm + HMPP

(in MPP) 25 mm /

numerical / Rw 37

HMPP (out MPP)

50 mm + cavity

35 mm + HMPP

(in MPP) 25 mm /

numerical / Rw 38

HMPP (out MPP)

50 mm + cavity

50 mm + HMPP

(in MPP) 25 mm /

numerical / Rw 38

100 19.72 20.70 22.04

125 20.89 21.83 23.28

160 21.99 23.50 24.86

200 23.48 23.20 23.25

250 23.22 23.57 24.10

315 26.30 26.76 27.35

400 30.26 30.72 31.31

500 35.49 35.99 36.61

630 40.20 40.72 41.33

800 41.82 42.39 43.01

1k 41.26 41.75 42.22

1.25k 41.60 42.05 42.39

1.6k 43.46 43.82 43.85

2k 45.13 45.32 44.93

2.5k 47.74 47.67 46.99

3.15k 48.97 48.18 47.35

4k 52.07 50.22 53.45

208

Figure 6.40 Absorption coefficient of HMPP+cavity+HMPP according to cavity

thickness (25, 50, and 100 mm).

209

6.3.3. 두 패널의 중심 재 두께 비 변화

Figure 6.41에서 보듯이 두께 (a, 50, na) mm의 합이 항상 125 mm되도록 했

으며, 여기서 n은 비율을 나타낸다. 예를 들어 n이 2일 때, a는 25 mm, na는

50 mm가 된다. 비율이 바뀌어도 전체 두께는 항상 일정하게 유지하는 이

유는 패널 전체의 질량을 같게 유지하기 위함이다. 두께이외의 사용된 물


Figure 6.42는 두께 비에 따른 STL결과를 보여주며, Table 6.24는 Figure 6.42

의 결과를 숫자로 나타내었다. 결과를 보면 패널의 두께 비가 클수록 차음

성능이 높아졌다. 이는 중심 재 두께가 비슷할 수록 공진 주파수가 중첩되

어 차음 성능면에서 손해를 보는 것으로 보인다. 왜냐하면 두 패널의 두께

합이 같기 때문에 질량차이는 없고, Figure 6.43을 보면 흡음 률도 두께 비

에 따라 큰 차이를 보이지 않았기 때문이다.

210

Figure 6.41 model for thickness ration of HMPPs.

211

Figure 6.42 STL according to thickness ratio of HMPPs.

212


1/3-octave

band [Hz]

n = 1.2 /

Rw 32

n = 1.6 /

Rw 36

n = 2 /

Rw 37

100 23.56 23.81 24.04

125 28.89 28.46 27.88

160 23.81 23.61 23.44

200 21.68 21.80 22.07

250 18.50 21.59 23.28

315 20.08 24.12 26.15

400 23.91 27.77 29.36

500 28.58 32.00 33.24

630 34.82 37.30 37.90

800 40.17 43.69 44.43

1k 41.04 44.84 47.74

1.25k 40.43 44.93 47.18

1.6k 43.55 45.44 46.59

2k 45.55 45.88 47.48

2.5k 47.24 47.11 48.25

3.15k 47.03 50.27 51.92

4k 53.84 54.86 55.66

213

Figure 6.43 Absorption coefficient according to thickness ratio of HMPPs.

214

6.4. Rw 45를 만족하는 친환경 고 효율 패널 도출

6.3장에서 DNVGL에서 규정한 Rw 35–41 dB를 만족하는 패널을 개발하여

실험과 수치 해석 검증을 완료하였다. 하지만 설치시 성능 감소를 고려하

여 Rw 45 dB를 연구 목표로 설정하였다.

파라미터 스터디 결과를 통해 셀 벽 두께를 증가시키는 것이 차음 성능

을 높이는 가장 효율적인 방법이라는 것을 밝혔지만, 제작 여건상 셀 벽의

두께는 0.06 mm로 고정하여 Figure 6.44와 같이 셀 사이즈와 중심 재 두께

에 대해서 해석을 진행하였고, Figure 6.45는 셀 사이즈와 중심 재 두께 변

화에 따른 면 밀도를 나타낸다. 제작 가능 범위안에서 패널의 두께가 얇을

수록 높은 차음 성능을 기록하였고, 셀 사이즈에 대한 차이는 크지 않았다.

그래서 중심 재 두께를 10 mm로 결정하고, 셀 사이즈는 12.7 mm로 결정하

였다.

앞에서 결정한 허니컴 패널의 중심 재 두께와 셀 사이즈를 바탕으로

MPP의 영향을 알아보기 위해 Figure 6.46과 같이 홀 직경과 홀 간격에 대

해 파라미터 스터디를 진행하였다. 대체적으로 홀 간격이 작고 홀 직경이

클수록 차음 성능이 높게 나타났다. 하지만 홀 간격 12 mm 이하에서는 홀

215

직경과 상관없이 현재 조건에서 가장 높은 차음 성능을 보였다. 그래서 제

작의 용이성과 차음 성능 결과를 반영하여 홀 간격 6 mm, 홀 직경 0.7 mm

로 결정하여 새로운 패널을 제작하였다. 앞에서 언급된 물성치 이외의 물


Figure 6.47과 같이 새롭게 제작한 10 mm의 HMPP와 기존 25 mm의 HMPP,

그리고 HMPP들 사이에 MPP를 추가하여 실험 및 수치 해석 연구를 진행

하였다. MPP 1, MPP 2, MPP 3의 물성 치는 Table 6.14과 같고, honeycomb 2의

물성 치는 Table 6.5와 같다. 하지만 honeycomb 1의 물성 치는 기본적으로

Table 6.5와 같지만 셀 사이즈는 12.7 mm이다. 패널들의 공진 주파수 일치를

피하기 위해 두께를 가장 얇은 10 mm로 설정했을 뿐만 아니라 셀 사이즈

또한 서로 다르게 디자인하였다.

Figure 6.48을 보면 Figure 6.47과 같은 모델에 대한 실험 결과와 수치 해

석 결과를 비교하였고, Table 6.25은 Figure 6.48의 결과를 숫자로 정리하였다.

최종적으로 불연 성과 친환경 성을 만족하며, 차음 성능 Rw 45 dB를 만족

하는 패널을 개발하였다.

216

Figure 6.44 Rw of HP according to cell size and panel thickness.

217

Figure 6.45 Surface density of HP according to cell size and panel thickness.

218

Figure 6.46 Rw of HMPP according to hole diameter and distance between holes.

219

Figure 6.47 ‘HMPP 1 + cavity 1 + MPP + HMPP 2’.

220


‘HMPP (out MPP) 10 mm + cavity 115 mm + MPP + cavity 20 mm + HMPP (in

MPP) 25 mm’.

221


1/3-octave

band [Hz]

HMPP (out MPP) 10

mm + cavity 115 mm +

MPP + cavity 20 mm +

HMPP (in MPP) 25 mm


HMPP (out MPP) 10

mm + cavity 115 mm +

MPP + cavity 20 mm +

HMPP (in MPP) 25 mm

/ numerical / Rw 42

100 28.03 31.88

125 24.48 33.17

160 29.95 33.95

200 28.25 34.63

250 40.80 34.88

315 35.33 34.43

400 42.48 34.20

500 42.85 36.29

630 42.30 38.71

800 44.62 40.39

1k 47.45 42.68

1.25k 50.00 45.09

1.6k 49.39 50.07

2k 48.58 52.00

2.5k 50.62 53.76

3.15k 54.66 56.78

4k 53.59 60.53

222

7. 응용 프로그램 개발

7.1. HIBE 개발

2, 3, 4장에서 기술한 해석 기법을 활용하여 단층 뿐만 아니라 복층 허니

컴 패널과 HMPP에 대해 흡·차음 성능 해석에 활용할 수 있는 응용 프로

그램을 개발하였다. 명칭은 HIBE (Honeycomb and micro-perforated plate sound

Insulation Boned panel Estimating program)이다. MATLAB@ App Designer를 이용

하여 개발하였으며, 시작화면은 Figure 7.1과 같고, GUI는 Figure 7.2와 같다.

223

Figure 7.1 HIBE image

224

Figure 7.2 Main GUI

225

7.2. 사용 방법

흡·차음이론에 대한 이해도가 없더라도 물성 치만 알고 있다면 사용할

수 있도록 응용 프로그램을 구성하였다. Figure 7.3이 첫화면인데 1영역에서

해석 모델을 선택 후에 2영역의 Input properties 버튼을 누르면 Figure 7.4와

같이 해당 모델에 맞는 물성 치 입력을 위한 팝업 윈도우가 생성된다. 해

석하고자 하는 물성 치를 입력 후 4영역의 OK 버튼을 누르면 물성 치 입

력 윈도우가 사라진다. 물성 치 입력 후 Figure 7.5에서 보듯이 5번 영역의

Calculate 버튼을 누르면 Graph 탭으로 자동으로 바뀌면서 6번영역에 계산

결과를 그래프로 표시된다. 해석 결과를 데이터로 출력하고자하면 Figure

7.6에서 보듯이 Data 탭을 선택하면 7번 영역에서 주파수에 따른 음향 투

과 손실을 숫자로 확인할 수 있다. 이 결과를 8번 영역의 Export data 버튼

을 눌러 엑셀 파일 혹은 텍스트 파일로 출력이 가능하다.

226

Figure 7.3 Configuring GUI 1


227



228

8. 결론 및 향후 추천 과제

8.1. 결론

본 연구는 불연 성, 친환경 성, 흡·차음 성능을 만족하기 위해 다층으

로 구성된 금속 재질의 허니컴 패널과 MPP, 그리고 공동을 대상으로 연구

를 진행하였다.

수행된 연구의 주요 내용과 각각의 결론은 다음과 같다.

(1) 직교 이방성 중심 재를 갖는 샌드위치 패널 해석을 위해 9개의 탄

성 상수, 즉, 3개의 탄성 계수와 3개의 푸아송 비, 3개의 전단 탄성

계수와 함께 대칭과 비대칭 모드의 변위를 가정하여 표면 재와 중

심 재에 대한 운동 에너지와 위치 에너지를 라그랑주 방정식에 대

입하여 운동 방정식을 유도하여 투과 손실 계수를 구하였다.

(2) 허니컴 패널을 해석함에 있어서 중심 재 부분은 약 2%의 허니컴

셀 구조와 98%의 공기 층으로 이루어져 있다. 여기서 공기 층은

229

닫혀있는 공간에서만 다루므로 공기 층대신 공동이라 불렀다. 공동

의 차음 성능을 수치적으로 적용하기 위해 공동의 에너지는 모드

수에 비례한다는 가정을 사용하였다. 또한 이를 허니컴 셀이 없는

순수 공기로만 이루어진 공동에 대해서 적용하여 공동을 포함하는

복층패널을 해석하였다.

(3) 허니컴 패널만으로 불연 성과 친환경 성을 만족하지만 좀더 높은

차음 성능을 만족시키기 위해 허니컴 패널의 한 쪽 표면 재를

MPP로 구성하고, 이를 HMPP라고 명명하였다. HMPP의 흡·차음

성능을 도출하기 위해 허니컴 패널 유도에서 사용된 운동 방정식

의 가진력에 HMPP의 흡음 률을 반영하여 수치 해석을 진행하였다.

흡음 계수를 유도함에 있어 MPP의 비 음향 임피던스 경험식을 사

용하였고, MPP와 표면 재를 유연 체로 가정하였다. 허니컴의 영향

을 반영하기 위해 중심 재 영역에서는 수직 입사만을 고려하여 해

석을 진행하였다.

(4) 흡·차음 성능을 더욱 높이기 위한 방법중 하나로써 공동을 사이

에 두고 복층으로 HMPP를 구성하였다. 이를 위해 허니컴 패널과

230

공동에 대한 전달 행렬을 구성하여 [허니컴 패널][공동][허니컴 패

널]에 대해 투과 계수를 산출하고, [HMPP][공동][HMPP]에 대해 흡

음 계수를 산출하여 앞에서 산출한 투과 계수에서 흡음된 음향 에

너지를 고려하여 수치 해석 결과를 도출하였다.

(5) 앞에서 기술한 수치 해석 결과들을 실험 결과와 비교하여 신뢰도

를 검증하였고, 공동의 유무, 허니컴 중심 재 두께, 허니컴 셀 사이

즈, 허니컴 셀 벽 두께, MPP의 유무, MPP 홀 직경, MPP 홀 간격의

변화에 대해 파라미터 스터디를 진행하였다. 공동의 영향은 고 주

파수로 갈수록 크게 나타났고, 허니컴 패널의 허니컴 중심 재 두께

가 증가함에 따라 질량증가에 의한 이득과 일치 주파수변화에 의

한 손해도가 비슷하게 나타났다. 다만 HMPP에서 허니컴 중심 재

의 두께를 증가시킬 경우에는 공동의 증가에 따라 흡음 률이 전체

적으로 저 주파수로 이동한다. MPP의 영향은 생각보다 크게 나타

났는데 25 mm 패널의 경우에는 MPP적용 전후로 Rw 4 dB증가하였

고, 50 mm패널의 경우에는 Rw 5 dB가 증가하였다. MPP 홀 직경은

작을수록, MPP간격이 넓을수록 흡음 률 그래프가 저 주파수로 이

231

동하였다. 이는 공극 률 관점에서 설명할 수 있는데 낮은 공극 률

은 저 주파수에서, 높은 공극 률은 고 주파수 제어에 용이 하다.

(6) 위에서 진행된 파라미터 스터디 결과를 통해 불연 성과, 친환경 성,

차음 성능 Rw 45 dB를 만족하는 [HMPP][공동][MPP][공동][HMPP]로

구성된 패널을 도출하였다. S사의 제품중 가장 차음 성능이 높은

패널과 비교하면, 차음 성능 측면에서는 Rw 45 dB로 같고, 면 밀도

측면에서는 개발된 패널이 23.42 kg/m2이고, S사의 패널이 27.33

kg/m2로 개발된 패널이 더 가볍다. 두께 측면에서는 개발된 패널이

17 cm이고, S사의 패널이 7.5 cm로 개발된 개발이 더 두껍다. 개발된

패널이 S사에서 제작된 패널과 비교하여 차음 성능은 동일하며, 무

게도 가볍고, 미네랄 울도 사용하지 않았기 때문에 더 친환경적이

다. 하지만 패널 두께는 향후 연구를 통해 줄여나가야할 것이다.

(7) 수치 해석 이론을 응용 프로그램으로 구성을 하여 패널의 물성 치

만 입력하면 누구나 흡·차음 결과를 도출할 수 있도록 하였다.

232

8.2. 향후 추천 과제

본 연구 결과를 바탕으로 차음패널의 적용을 확장하기 위해 다음의 연

구를 추천한다.

(1) 이번 연구에서는 허니컴 패널과 HMPP의 면 방향으로 무한하다고

가정하여, 패널 경계의 영향을 무시하였다. 향후 경계의 영향을 반

영하여 허니컴 패널과 HMPP에 대한 연구를 진행하여 해석의 정확

도를 더욱 높일 수 있을 것이다.

(2) 벽체 패널의 응용 분야는 건축 분야 뿐만 아니라 이동 수단인 선

박, 항공, 철도 등에 사용될 수 있다. 이에 따라 패널에 유동 현상

이 더해졌을 경우에는 투과 손실의 크기 및 주파수 변화 예측에

대한 연구가 필요하다고 판단된다.

(3) 보다 복잡한 형상을 갖는 패널에 대해서 연구하기 위한 하나의 방

법으로 유한요소법과 결합된 해석방법이 강구되어야 할 것으로 생

각된다.

233

9. 부록

9.1. 차음 성능 등급 (Rw, STC)

차음 등급을 하나의 숫자로 나타내는 대표적인 지표로 Rw와 STC가 있

다. Rw와 STC는 차음패널이 어느정도의 소음을 차단하는지를 대략적으로

알려준다. Rw (weighted sound reduction index)는 ISO 717-1:2013에 의해 규정되

고, STC (sound transmission class)는 ASTM E413-16에 의해 규정된다. Rw의 경

우에는 Table 9.1에서 보듯이 1/3 옥타브 밴드 중심 주파수 100–3150 Hz를

대상으로 하며, 기준곡선을 전체적으로 1 dB씩 상승시키고, Figure 9.1에서

볼수 있듯이 1 dB씩 상승시킬 때 마다 대상 곡선과 기준곡선의 차이 값의

합을 계산한다. 그 차이 값의 합이 32 dB를 넘지 않는 조건을 만족하는 가

장 높은 기준곡선을 도출하고, 그 기준곡선에서의 500 Hz값을 대표값인

Rw로 사용한다. 여기서 주의해야할 사항은 두 그래프의 차이 값 기준 곡

선과 대상 곡선의 차이 값이 양수를 나타내는 영역 (녹색 빗금부분)에서만

시행한다. STC의 경우에는 Rw를 구하는 과정과 거의 같지만 주파수 범위

가 125–4000 Hz이고, 기준 곡선과 대상 곡선의 차이를 구할 때 어떠한 중

234

심 주파수에서도 그 차이가 8 dB을 넘지 않아야 한다는 구속 조건이 추가

된다. 본 연구에서는 Rw를 기준으로 작성하였다.

235

Figure 9.1 Example of insulation rating

236

Table 9.1 Rw and STC reference contour.

1/3-octave band [Hz] Rw [dB] STC [dB]

100 -19 –

125 -16 -16

160 -13 -13

200 -10 -10

250 -7 -7

315 -4 -4

400 -1 -1

500 0 0

630 1 1

800 2 2

1k 3 3

1.25k 4 4

1.6k 4 4

2k 4 4

2.5k 4 4

3.15k 4 4

4k – 4

237

9.2. 2차원 헬름홀츠 적분 식

무한 평판에 노이만 경계 조건 (Neumann boundary condition) 일 때 압력장

을 나타내기 위해 2차원 헬름홀츠 방정식을 사용하였다. 아래 내용은

Kinsler (1999)와 Kim (2010)의 저서의 내용을 참조하여 작성하였다.

얇은 막 (membrane)이 면에 수직 방향으로 작은 변위에 대해 진동한다고

가정할 때, 이를 파동 방정식에 대해 정리하면 아래와 같이 2차원 헬름홀

츠 방정식을 얻게 된다.

∇2𝑃(𝑟) + 𝑘02𝑃(𝑟) = 0 (9.1)

여기서, 𝑟은 Figure 9.2에서 볼 수 있듯이 𝑟0를 제외한 위치 벡터를 나타낸

다. 𝑃(𝑟)는 𝑟에서의 압력이며, 𝑘0는 파수 (= 𝜔/𝑐0 )이다. 여기서, 𝑐0는 음속,

𝜔는 각 주파수를 나타낸다.

𝑟 = 𝑟0에서는 아래 식과 같이 그림 함수와 디렉 델타 함수로 표현할 수

있다.

238

∇2𝐺(𝑟|𝑟0) + 𝑘02𝐺(𝑟|𝑟0) = −𝛿(𝑟 − 𝑟0) (9.2)

식 (9.1)과 (9.2)로부터 아래 식을 도출한다.

𝐺(∇2 + 𝑘02)𝑃(𝑟) − 𝑃(∇2 + 𝑘0

2)𝐺 = 𝑃(𝑟)𝛿(𝑟 − 𝑟0) (9.3)

식 (9.3)를 다시 정리하면 아래 식과 같다.

∇ ∙ [𝐺(𝑟|𝑟0)∇𝑃(𝑟) − 𝑃(𝑟)∇𝐺(𝑟|𝑟0)] = 𝑃(𝑟)𝛿(𝑟 − 𝑟0) (9.4)

관심 영역 𝑆에 대해 면적 적분하면, 그린의 법칙에 의해 관심 영역 내의

음압을 아래와 같이 구할 수 있다.

∫ 𝑃(𝑟)𝛿(𝑟 − 𝑟0)𝑠

𝑑𝑆 = ∫ ∇ ∙ [𝐺(𝑟|𝑟0)∇𝑃(𝑟) − 𝑃(𝑟)∇𝐺(𝑟|𝑟0)]𝑑𝑆𝑠

(9.5)

240

같다.

𝐺𝑁(𝑥, 𝑦|𝑥0, 𝑦0) = 𝐺𝐹(𝑥, 𝑦|𝑥0, 𝑦0) + 𝐺𝐹(𝑥, 𝑦|−𝑥0, 𝑦0)

=𝑗

4𝐻0(1)(𝑘0𝑅) +

𝑗

4𝐻0(1)(𝑘0𝑅

′)

(9.9)

여기서, 𝑅 = √(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)

2 , 𝑅′ = √(𝑥 + 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)

2 이다

(Figure 9.3 참조).

식 (9.9)에서 𝑥0 → 0이면 아래와 같이 쓸 수 있다.

𝐺𝑁(𝑥, 𝑦|𝑥0, 𝑦0) = lim𝑥0→0

𝐺𝑁(𝑥, 𝑦|𝑥0, 𝑦0) =𝑗

2𝐻0(1)(𝑘0𝑅) (9.10)

여기서, 𝑅 = √𝑥2 + (𝑦 − 𝑦0)2 이다.

식 (9.6)과 (9.10), 그리고 선형 오일러 방정식을 사용하면, 식 (9.7)을 아

래와 같이 쓸 수 있다.

241

𝑃(𝑥, 𝑦) = −𝑘0𝜌0𝑐02

∫ 𝐻0(1)(𝑘0𝑅)

∞

−∞

𝑈𝑥(0, 𝑦0)𝑑𝑦0 (9.11)

여기서, 𝑈𝑥는 𝑥방향 속도를 나타내고, 𝜌0는 공기의 밀도를 나타내며, 식

(9.11)은 2차원 레일리 적분 식을 나타낸다.

242

Figure 9.2 Coordinate for 2-D Helmholtz equation.

243

Figure 9.3 Coordinate for 2D Green function with Neumann boundary condition.

244

9.3. 3.2장 계수 정리

3.2장에서 사용된 계수들에 대해 아래와 같이 정리하였다.

𝐶𝑃12+ =

−𝑗𝜔휁a − 𝑡𝑡2𝐶𝑃12−

𝑡𝑡1 (9.12)

𝐶𝑃22+ =

−𝑡𝑡2𝐶𝑃22−

𝑡𝑡1 (9.13)

𝐶𝑃32+ =


𝑡𝑡1 (9.14)

𝐶𝑃42+ =


𝑡𝑡1 (9.15)

𝐶𝑃52+ =

𝜎𝑎/𝑧0𝑎 − 𝑡𝑡2𝐶𝑃52−

𝑡𝑡1 (9.16)

𝐶𝑃62+ =


𝑡𝑡1 (9.17)

여기서,

𝑡𝑡1 =1

𝜌0𝑐0+𝜎1𝑧0a

(9.18)

𝑡𝑡2 =−1

𝜌0𝑐0+𝜎1𝑧0a

(9.19)

245

𝐶𝑃12− = 𝐴2 −

𝐸2+𝜎b𝐶𝑃13

+

𝐴1𝑧0b−𝐸2−𝜎b𝐶𝑃13

−

𝐴1𝑧0b (9.20)

𝐶𝑃22− =

−𝑗𝜔휁b𝐴1

−𝐸2+𝜎b𝐶𝑃23

+


−

𝐴1𝑧0b (9.21)

𝐶𝑃32− = −


+


−

𝐴1𝑧0b (9.22)

𝐶𝑃42− = −


+


−

𝐴1𝑧0b (9.23)

𝐶𝑃52− = 𝐴3 −


+


−

𝐴1𝑧0b (9.24)

𝐶𝑃62− = −


+


−

𝐴1𝑧0b (9.25)

여기서,

𝐴1 = −−1/(𝜌0𝑐0) + 𝜎a/𝑧0a1/(𝜌0𝑐0) + 𝜎a/𝑧0a

(1

𝜌0𝑐0𝐸21+ −

𝜎𝑏𝑧0b

𝐸21+ ) + (

−1

𝜌0𝑐0𝐸21− −

𝜎b𝑧0b

𝐸21− ) (9.26)

𝐴2 =𝑗𝜔휁a

𝐴1 (1𝜌0𝑐0

+𝜎a𝑧0a)(1

𝜌0𝑐0𝐸21+ −

𝜎b𝑧0b

𝐸21+ )

(9.27)

𝐴3 =−𝜎a/𝑧0a

𝐴1 (1𝜌0𝑐0

+𝜎a𝑧0a)(1

𝜌0𝑐0𝐸21+ −

𝜎b𝑧0b

𝐸21+ )

(9.28)

246

𝐶𝑃13+ =

𝐵2𝐵3−𝐵4𝐶𝑃13

−

𝐵3 (9.29)

𝐶𝑃23+ =

𝐵1𝑗𝜔휁b𝐵3𝐴1

−𝐵4𝐶𝑃23

−

𝐵3 (9.30)

𝐶𝑃33+ = −

𝐵4𝐶𝑃33−

𝐵3 (9.31)

𝐶𝑃43+ = −

𝐵4𝐶𝑃43−

𝐵3 (9.32)

𝐶𝑃53+ = −

𝐵4𝐶𝑃53−

𝐵3−𝐵5𝐵3

(9.33)

𝐶𝑃63+ = −

𝐵4𝐶𝑃63−

𝐵3 (9.34)

여기서,

𝐵1 =𝜎b𝑧0b

𝐸21+−1/(𝜌0𝑐0) + 𝜎a/𝑧0a1/(𝜌0𝑐0) + 𝜎a/𝑧0a

−𝜎2𝑧0b

𝐸21− (9.35)

𝐵2 =𝑗𝜔휁a𝐸21

+ 𝜎a/𝑧0a1/(𝜌0𝑐0) + 𝜎a/𝑧0a

− 𝐵1𝐴2 (9.36)

𝐵3 =cos 휃

𝜌0𝑐0𝐸2+ +

𝜎b𝑧0b

𝐸2+ −

𝐵1𝐸2+𝜎b

𝐴1𝑧0b (9.37)

𝐵4 =−cos 휃

𝜌0𝑐0𝐸2− +

𝜎b𝑧0b

𝐸2− −

𝐵1𝐸2−𝜎b

𝐴1𝑧0b (9.38)

𝐵5 = 𝐵1𝐴3 −𝜎a𝜎b𝐸21

+ /(𝑧0a𝑧0b)

1/(𝜌0𝑐0) + 𝜎a/𝑧0a (9.39)

247

𝐶𝑃13− =

𝐸6𝐸1

(9.40)

𝐶𝑃23− =

𝐸7𝐸1

(9.41)

𝐶𝑃33− =

𝐸3𝐸1

(9.42)

𝐶𝑃43− =

𝐸4𝐸1

(9.43)

𝐶𝑃53− = −

𝐸2𝐸1

(9.44)

𝐶𝑃63− =

𝐸5𝐸1

(9.45)

여기서,

𝐸1 = −(𝐷2 + 𝐷4𝐶5𝐶1)𝐵4𝐵3+ 𝐷3 + 𝐷4

𝐶6𝐶1

(9.46)

𝐸2 = −(𝐷2 + 𝐷4𝐶5𝐶1)𝐵5𝐵3

(9.47)

𝐸3 = −𝑗𝜔휁c − 𝐷4𝐶4𝐶1

(9.48)

𝐸4 = 𝐷5 + 𝐷4𝐶2𝐶1

(9.49)

248

𝐸5 = 𝐷1 + 𝐷4𝐶3𝐶1

(9.50)

𝐸6 = −(𝐷2 + 𝐷4𝐶5𝐶1)𝐵2𝐵3

(9.51)

𝐸7 = −(𝐷2 + 𝐷4𝐶5𝐶1) (𝐵1𝑗𝜔휁b𝐵3𝐴1

−𝑗𝜔휁b𝐵3

) (9.52)

𝐶1 = −−1/(𝜌0𝑐0) − 𝜎𝑑/𝑧0d1/(𝜌0𝑐0) − 𝜎𝑑/𝑧0d

𝐸41−

𝐸41+ +

−1/(𝜌0𝑐0) − 𝜎𝑐/𝑧0c1/(𝜌0𝑐0) − 𝜎𝑐/𝑧0c

𝐸31−

𝐸31+ (9.53)

𝐶2 = −𝑗𝜔휁4/𝐸41

+

1/(𝜌0𝑐0) − 𝜎d/𝑧0d (9.54)

𝐶3 = −𝜎𝑑/𝑧0d

(1/(𝜌0𝑐0) − 𝜎𝑑/𝑧0d)𝐸41+ (9.55)

𝐶4 =−𝑗𝜔휁3/𝐸31

+

1/(𝜌0𝑐0) − 𝜎c/𝑧0c (9.56)

𝐶5 =𝜎c𝐸3

+/𝑧0𝑐(1/(𝜌0𝑐0) − 𝜎c/𝑧0c)𝐸31

+ (9.57)

𝐶6 =𝜎c𝐸3

−/𝑧0c(1/(𝜌0𝑐0) − 𝜎c/𝑧0c)𝐸31

+ (9.58)

𝐶𝑃14+ =

−𝑆𝑞1𝐶𝑃13+ − 𝑆𝑞2𝐶𝑃13

− − 𝐸31− 𝐶𝑃14

− 𝜎3/𝑧0c𝐸31+ 𝜎3/𝑧0c

(9.59)

𝐶𝑃24+ =


− − 𝐸31− 𝐶𝑃24

− 𝜎3/𝑧0c𝐸31+ 𝜎3/𝑧0c

(9.60)

249

𝐶𝑃34+ =

−𝑗𝜔휁3 − 𝑆𝑞1𝐶𝑃33+ − 𝑆𝑞2𝐶𝑃33

− − 𝐸31− 𝐶𝑃34

− 𝜎3/𝑧0c𝐸31+ 𝜎3/𝑧0c

(9.61)

𝐶𝑃44+ =


− − 𝐸31− 𝐶𝑃44

−𝜎3/𝑧0c𝐸31+ 𝜎3/𝑧0c

(9.62)

𝐶𝑃54+ =


− − 𝐸31− 𝐶𝑃54

− 𝜎3/𝑧0c𝐸31+ 𝜎3/𝑧0c

(9.63)

𝐶𝑃64+ =


− − 𝐸31− 𝐶𝑃64

− 𝜎3/𝑧0c𝐸31+ 𝜎3/𝑧0c

(9.64)

여기서,

𝑆𝑞1 =cos 휃

𝜌0𝑐0𝐸3+ −

𝜎c𝑧0c

𝐸3+ (9.65)

𝑆𝑞2 =−cos 휃

𝜌0𝑐0𝐸3− −

𝜎c𝑧0c

𝐸3− (9.66)

𝐶𝑃14− =

−𝐷2𝐶𝑃13+ − 𝐷3𝐶𝑃13

−

𝐷4 (9.67)

𝐶𝑃24− =

−𝐷2𝐶𝑃23+ − 𝐷3𝐶𝑃23

−

𝐷4 (9.68)

𝐶𝑃34− =

−𝑗𝜔𝜍3 − 𝐷2𝐶𝑃33+ − 𝐷3𝐶𝑃33

−

𝐷4 (9.69)

𝐶𝑃44− =

𝐷5 − 𝐷2𝐶𝑃43+ − 𝐷3𝐶𝑃43

−

𝐷4 (9.70)

250

𝐶𝑃54− =

−𝐷2𝐶𝑃53+ − 𝐷3𝐶𝑃53

−

𝐷4 (9.71)

𝐶𝑃64− =

𝐷1 − 𝐷2𝐶𝑃63+ − 𝐷3𝐶𝑃63

−

𝐷4 (9.72)

여기서,

𝐷1 =𝜎d𝜎c𝐸31

+ /(𝑧0d𝑧0c𝐸41+ )

1/(𝜌0𝑐0) − 𝜎d/𝑧0𝑑 (9.73)

𝐷2 =cos 휃

𝜌0𝑐0𝐸3+ −

𝜎c𝑧0c

𝐸3+ (9.74)

𝐷3 =−cos 휃

𝜌0𝑐0𝐸3− −

𝜎c𝑧0c

𝐸3− (9.75)

𝐷4 =𝜎c𝑧0c

𝐸31− −

𝜎c𝑧0c

𝐸31+−1/(𝜌0𝑐0) − 𝜎d/𝑧0d1/(𝜌0𝑐0) − 𝜎d/𝑧0d

𝐸41−

𝐸41+ (9.76)

𝐷5 =𝑗𝜔휁d𝜎c𝐸31

+ /(𝑧0c𝐸41+ )

1/(𝜌0𝑐0) − 𝜎4/𝑧0d (9.77)

251

9.4. 3.3장 계수 정리

3.3장에서 사용된 계수들에 대해 아래와 같이 정리하였다.

𝐴1 =𝜎𝑎𝑧0𝑎

−cos 휃

𝜌0𝑐0+𝐸2−′

𝐸2+′ (

𝜎𝑎𝑧0𝑎

+cos 휃

𝜌0𝑐0) (9.78)

𝐴2 = −𝑗𝜔휁a (9.79)

𝐴3 =𝜎a𝑧0a

(9.80)

𝐴4 =𝜌0𝑐0𝐸2+′ (

𝜎a𝑧0a

+cos 휃

𝜌0𝑐0) (9.81)

𝐵1 =𝐸2−′𝐴2𝐸2+′𝐴1

(9.82)

𝐵2 =𝐸2−′𝐴4𝐸2+′𝐴1

−𝑗𝜔𝜌0𝑐0𝐸2+′ (9.83)

𝐵3 =𝐸2−′𝐴3𝐸2+′𝐴1

(9.84)

𝐾1 = −𝐷3𝐷5𝐽3 −

𝐷4𝐷5𝐼1 (9.85)

252

𝐾2 = −𝐷3𝐷5𝐽4 −

𝐷4𝐷5𝐼2 (9.86)

𝐾3 = −𝐷3𝐷5𝐽1 −

𝐷4𝐷5𝐼3 +

𝐷1𝐷5

(9.87)

𝐾4 = −𝐷3𝐷5𝐽2 −

𝐷4𝐷5𝐼4 +

𝐷2𝐷5

(9.88)

여기서,

𝐷1 = −𝑗𝜔휁3 (9.89)

𝐷2 = −𝜎c𝑧0c

𝐸3+

𝜌0𝑐0𝐸2+ cos 휃

(9.90)

𝐷3 =𝜎c𝑧0c

𝐸3+ +

cos 휃

𝜌0𝑐0𝐸3+ (9.91)

𝐷4 =𝜎c𝑧0c

𝐸3− −

cos 휃

𝜌0𝑐0𝐸3− (9.92)

𝐷5 = −𝜎c𝑧0c

𝐸3− −

𝜎c𝑧0c

𝐸3+𝐸2−

𝐸2+ (9.93)

𝐿1 =𝐸2−

𝐸2+ 𝐾1 (9.94)

𝐿2 =𝐸2−

𝐸2+ 𝐾2 (9.95)

253

𝐿3 =𝐸2−

𝐸2+ 𝐾3 (9.96)

𝐿4 =𝐸2−

𝐸2+ 𝐾4 −

𝑗𝜔𝜌0𝑐0𝐸2+ cos 휃

(9.97)

𝐽1 =𝐶𝐷1𝐶𝐷3

−𝐶𝐷4𝐶𝐷3

𝐼3 (9.98)

𝐽2 =𝐶𝐷2𝐶𝐷3

−𝐶𝐷4𝐶𝐷3

𝐼4 (9.99)

𝐽3 = −𝐶𝐷4𝐶𝐷3

𝐼1 (9.100)

𝐽4 = −𝐶𝐷4𝐶𝐷3

𝐼2 (9.101)

여기서,

𝐶𝐷1 =𝐶1𝐶3−𝐷1𝐷5

(9.102)


(9.103)


(9.104)


(9.105)

254

𝐶1 = −𝑗𝜔휁c (9.106)

𝐶2 = (−𝜎c𝑧0c

+𝐸3+ cos 휃

𝜌0𝑐0)𝑗𝜔𝜌0𝑐0𝐸2+ cos 휃

(9.107)

𝐶3 = −𝜎c𝑧0c

𝐸3− −

cos 휃

𝜌0𝑐0𝐸3− + (−

𝜎c𝑧0c

𝐸3+ +

cos 휃

𝜌0𝑐0𝐸3+)𝐸2−

𝐸2+ (9.108)

𝐶4 =𝜎c𝑧0c

𝐸3+ (9.109)

𝐶5 =𝜎c𝑧0c

𝐸3− (9.110)

𝑀1 = 𝐺1 + 𝐺2𝐻5𝐻1

(9.111)

𝑀2 = 𝐺2𝐻2𝐻1

(9.112)

𝑀3 = 𝐺2𝐻3𝐻1

(9.113)

𝑀4 = 𝐺2𝐻4𝐻1

(9.114)

여기서,

𝐺1 = −𝑗𝜔𝜌0𝑐0𝐸5+′ (9.115)

255

𝐺2 =𝐸5−′

𝐸5+′ (9.116)

𝐻1 = 𝐺2 +𝐸𝐹5𝐸𝐹4

(9.117)

𝐻2 =𝐸𝐹1𝐸𝐹4

(9.118)


(9.119)


(9.120)

𝐻5 = −𝐺1 (9.121)

𝐸𝐹1 =𝐸11𝐸14

−𝐹1𝐹4

(9.122)

𝐸𝐹2 =𝐸12𝐸14

−𝐹2𝐹4

(9.123)

𝐸𝐹3 =𝐸13𝐸14

−𝐹3𝐹4

(9.124)

𝐸𝐹4 =𝐸15𝐸14

−𝐹5𝐹4

(9.125)

𝐸𝐹5 =𝐸16𝐸14

−𝐹6𝐹4

(9.126)

256

𝑁1 = 1 − 2𝜋 (𝛼1 + 𝛽1 + 𝛼2 + 𝛽2 + (𝛼𝑝 + 𝛽𝑝)(휁1′ + 휁2

′))𝑈2(𝑘) (9.127)

𝑁2 = 2𝜋(𝛼𝑝 + 𝛽𝑝)휁𝛿′𝑈2(𝑘) (9.128)

𝑁3 = 2𝜋𝛽3𝑈2(𝑘) (9.129)

𝑁4 = 2𝜋(𝛽4 + 𝛽5)𝑈2(𝑘) (9.130)

𝑁31 = 1 −𝑁12𝑁3𝑁11𝑁1

(9.131)

𝑁32 =𝑁12𝑁2𝑁11𝑁1

(9.132)

𝑁33 =𝑁12𝑁4𝑁11𝑁1

+𝑁13𝑁11

(9.133)

𝑁51 = 1 −𝑁43𝑁33𝑁41𝑁31

(9.134)

𝑁52 =𝑁42𝑁41

−𝑁43𝑁32𝑁41𝑁31

(9.135)

여기서,

𝑁11 = 1 − 2𝜋𝛾3𝑈3(𝑘) (9.136)

𝑁12 = 2𝜋𝛾2𝑈3(𝑘) (9.137)

257

𝑁13 = 2𝜋(𝛾4 + 𝛾5)𝑈3(𝑘) (9.138)

𝑁21 = 1 − 2𝜋(𝛿4 + 휀4 + 𝛿5 + 휀2 − 휁5′ )𝑈5(𝑘) (9.139)

𝑁22 = 2𝜋(𝛿2 + 휀2)𝑈5(𝑘) (9.140)

𝑁23 = 2𝜋(𝛿3 + 휀3)𝑈5(𝑘) (9.141)

𝑁31 = 1 −𝑁12𝑁3𝑁11𝑁1

(9.142)

𝑁32 =𝑁12𝑁2𝑁11𝑁1

(9.143)

𝑁33 =𝑁12𝑁4𝑁11𝑁1

+𝑁13𝑁11

(9.144)

𝑁41 = 1 −𝑁22𝑁4𝑁21𝑁1

(9.145)

𝑁42 =𝑁22𝑁2𝑁21𝑁1

(9.146)

𝑁43 =𝑁22𝑁3𝑁21𝑁1

+𝑁23𝑁21

(9.147)

258

참고 문헌

Abayarathna, Dharma, et al. "Measurement of corrosion under insulation and

effectiveness of protective coatings." CORROSION-NATIONAL

ASSOCIATION OF CORROSION ENGINEERS ANNUAL CONFERENCE-.

NACE, 1997.

Achenbach, Jan. Wave propagation in elastic solids. Elsevier, 1973.

Allard. Propagation of sound in porous media: modelling sound absorbing materials.

Elsevier Applied Science, London, 1993.

Arfken, George B., and Hans J. Weber. "Mathematical methods for physicists." Elsevier,

Boston, 2005.

ASTM E413-16. Classification for Rating Sound Insulation.

Bang, Seung-Ok, et al. "Study on compression tests of aluminum foam and honeycomb

sandwich composites." Journal of the Korea Academia-Industrial cooperation

society 12.9 (2011): 3802-3807.

Beranek, Leo L., and George A. Work. "Sound transmission through multiple structures

containing flexible blankets." The Journal of the Acoustical Society of America

21.4 (1949): 419-428.

259

Biot, M. A. "Theory of Propagation of Elastic Waves in a Fluid‐Saturated Porous Solid.

I. Low‐Frequency Range." The Journal of the Acoustical Society of America 28.2

(1956): 168-178.

Biot, Maurice A. "Theory of propagation of elastic waves in a fluid‐saturated porous

solid. II. Higher frequency range." The Journal of the acoustical Society of

america 28.2 (1956): 179-191.

Brekhovskikh, Leonid. Waves in layered media. Vol. 16. Elsevier, 1960.

Bravo, Teresa, Cédric Maury, and Cédric Pinhède. "Sound absorption and transmission

through flexible micro-perforated panels backed by an air layer and a thin plate."

The Journal of the Acoustical Society of America 131.5 (2012): 3853-3863.

Boresi, Arthur P., and Richard J. Schmidt. Advanced Mechanics of Materials 6th ed.

New York: John Wiley & Sons, 2003.

Byrne, K. P. "Calculating the acoustical properties of plane uniform constructions."

Journal of Vibration, Acoustics, Stress, and Reliability in Design 111.3 (1989):

343-350.

Crocker, M. J., and A. J. Price. "Sound transmission using statistical energy analysis."

Journal of Sound and Vibration 9.3 (1969): 469-486.

260

Davy, J., L. “The sound transmission of cavity walls due to studs” People versus

noise— proceedings of the inter-noise 93 conference. Leuven. 24–26 August

(1993): 975–978.

De Vogelaere, Frank. "Corrosion under insulation." Process Safety Progress 28.1 (2009):

30-35.

DNVGL. Rules for classification: Ships, Part 6 Additional class notations—Chapter 8

Living and working conditions (2017).

Dym, Clive L., C. Samuel Ventres, and Mark A. Lang. "Transmission of sound through

sandwich panels: a reconsideration." The journal of the acoustical society of

America59.2 (1976): 364-367.

Dym, Clive L., and Irving Herman Shames. Solid mechanics. Springer, 2013.

Fahy, Frank J. Foundations of engineering acoustics. Elsevier, 2000.

Fahy, Frank J., and Paolo Gardonio. Sound and structural vibration: radiation,

transmission and response. Elsevier, 2007.

Feng, Kang, and Zhong-Ci Shi. Mathematical theory of elastic structures. Springer

Science & Business Media, 2007.

Folds, D. L., and C. D. Loggins. "Transmission and reflection of ultrasonic waves in

261

layered media." The Journal of the Acoustical Society of America 62.5 (1977):

1102-1109.

Ford, R. D., P. Lord, and A. W. Walker. "Sound transmission through sandwich

constructions." Journal of sound and vibration 5.1 (1967): 9–21.

Fuchs, H. V., et al. "Creating low-noise environments in communication

rooms." Applied Acoustics 62.12 (2001): 1375–1396.

Fuchs, H. V., and X. Zha. "Acrylic-glass sound absorbers in the plenum of the Deutscher

Bundestag." Applied Acoustics 51.2 (1997): 211-217.

Gibson, L. J., M. F. Ashby, and K. S. Kumar. "Cellular Solids: Structure and Properties,

2d ed." MRS Bulletin-Materials Research Society 23.7 (1998): 69.

Gibson, Ronald F. Principles of composite material mechanics. CRC press, 2016.

Greiner, Walter. Quantum mechanics: an introduction. Springer Science & Business

Media, 2011.

Halliwell, R. E., and A. C. C. Warnock. "Sound transmission loss: Comparison of

conventional techniques with sound intensity techniques." The Journal of the

Acoustical Society of America 77.6 (1985): 2094-2103.

262

ISO 10140-2:2010. Acoustics—Laboratory measurement of sound insulation of

building elements—part 2: Measurement of airborne sound insulation.

ISO 15186-1:2000. Acoustics—measurement of sound insulation in buildings and of

building elements using sound intensity—part 1: laboratory measurements.

ISO 717-1:2013. Acoustics—Rating of sound insulation in buildings and of building

elements—part 1: Airborne sound insulation.

IMO, SOLAS Chapter Ⅱ-2, Regulation 10.10.4, 2017

Jung, Jae-Deok, et al. "Development of eco-friendly and lightweight insulation panels

for offshore plant." International Journal of Naval Architecture and Ocean

Engineering 8.6 (2016): 554-562.

Jung, Jae-Deok, et al. "Acoustic insulation performance of a honeycomb panel using a

transfer matrix method." Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,

Part M: Journal of Engineering for the Maritime Environment 232.4 (2018): 392-

401.

Jung, Jae-Deok, et al. "Sound insulation analysis of micro-perforated panel coupled

with honeycomb panel considering air cavity for offshore plants." Proceedings of

263

the Institution of Mechanical Engineers, Part M: Journal of Engineering for the

Maritime Environment (2018): 1475090218808993.

Johnson, D. L. "Recent developments in the acoustic properties of porous media."

Frontiers in Physical Acoustics 93.1984 (1986): 255-290.

Jones, Robin E., et al. "Use of microwaves for the detection of water as a cause of

corrosion under insulation." Journal of Nondestructive Evaluation 31.1 (2012): 65-

76.

Kang, Hyun-Ju, et al. "Prediction of sound transmission loss through multilayered

panels by using Gaussian distribution of directional incident energy." The Journal

of the Acoustical Society of America 107.3 (2000): 1413–1420.

Kinsler, Lawrence E., et al. Fundamentals of Acoustics, 4th Edition. Wiley, New York

1999.

Kim, Yang-Hann. Sound Propagation: An Impedance Based Approach, Wiley, New

York 2010.

Kim, Hwa-Muk, et al. "Using a small-scale reverberation chamber to improve a ship’s

double sandwich panel noise attenuation performance." Noise Control

Engineering Journal 58.6 (2010): 636-645.

264

Kuo, Yan-Min, Huei-Jeng Lin, and Chao-Nan Wang. "Sound transmission across

orthotropic laminates with a 3D model." Applied Acoustics 69.11 (2008): 951-959.

Landau, L.D.; Lifshitz, E. M. (1986). Theory of Elasticity (3rd ed.). Oxford, England:

Butterworth Heinemann.

London, Albert. "Transmission of reverberant sound through double walls." The

journal of the acoustical society of America22.2 (1950): 270-279.

Li, Ke LIU Jing TIAN Xiaodong, and J. I. A. O. Fenglei. "One of Ideal Absorbing

Materials in Architectural Acoustics: Micro-Perforated Panel Absorbers." The

Journal of the Acoustical Society of America 119.5 (2006): 197-202.

Lai, Joseph CS, and Dan Qi. "Sound transmission loss measurements using the sound

intensity technique part 1: The effects of reverberation time." Applied Acoustics

40.4 (1993): 311-324.

Lyon, Richard H. "Statistical energy analysis of dynamical systems: theory and

applications." Cambridge: MIT Press (1975).

Maa, D. Y. “Microperforated-panel wideband absorber.” Noise Control Engineering

Journal 29.3 (1987): 77–84.

Meng, H., et al. "On the low frequency acoustic properties of novel multifunctional

265

honeycomb sandwich panels with micro-perforated faceplates." Applied Acoustics

152 (2019): 31-40.

Moore, J. A., and R. H. Lyon. "Sound transmission loss characteristics of sandwich

panel constructions." The Journal of the Acoustical Society of America 89.2 (1991):

777-791.

Mulholland, K. A., H. D. Parbrook, and A. Cummings. "The transmission loss of double

panels." Journal of Sound and Vibration 6.3 (1967): 324-334.

NORSOK C-002:2006. Architectural components and equipment. Chapter 9.1:

insulation.

Price, A. J., and M. J. Crocker. "Sound transmission through double panels using

statistical energy analysis." The Journal of the Acoustical Society of America

47.3A (1970): 683-693.

Pride, Steven R., and James G. Berryman. "Connecting theory to experiment in

poroelasticity." Journal of the Mechanics and Physics of Solids 46.4 (1998): 719-

747.

Tanaka, Nobuo, and Kozue Kobayashi. "Cluster control of acoustic potential energy in

a structural/acoustic cavity." The Journal of the Acoustical Society of America

266

119.5 (2006): 2758-2771.

Takahashi, D., and M. Tanaka. "Flexural vibration of perforated plates and porous

elastic materials under acoustic loading." the Journal of the Acoustical Society of

America 112.4 (2002): 1456-1464.

Toyoda, Masahiro, and Daiji Takahashi. "Sound transmission through a

microperforated-panel structure with subdivided air cavities." The Journal of the

Acoustical Society of America 124.6 (2008): 3594-3603.

Trochides, A. "Improvement of partition airborne-sound transmission loss using sound-

absorptive coverings." Applied Acoustics 28.2 (1989): 119-126.

Viktorov, I. A. "Rayleigh and Lamb waves: physical theory and applications”. Springer

Verlag. Berlin 1967.

Wu, Mei Q. "Micro-perforated panels for duct silencing." Noise Control Engineering

Journal 45.2 (1997): 69-77.

Zha, X., H. V. Fuchs, and H. Drotleff. "Improving the acoustic working conditions for

musicians in small spaces." Applied acoustics 63.2 (2002): 203-221.

강성훈. 흡음 재의 특성. Professional audio magazine. August (2014).

267

강현주, 김봉기, 김재승. "간이 잔향 실의 음향성능." 한국소음진동공학회

학술대회논문집 (2005): 101-104.

김석현, et al. "철도차량용 허니콤재의 차음 성능 예측모델." 한국철도학회

논문집 11.5 (2008): 465-470.

김성훈, et al. "잔향 실 성능 검증 및 향상 연구." 한국소음진동공학회

학술대회논문집 (2006): 141-145.

김화묵. 확장된 샌드위치 모델을 이용한 선박용 복합 패널의 차음선능

해석 시스템 구축. 박사학위논문. 서울대학교 (2011).

권현웅, et al. "크루즈선박용 허니컴 패널의 차음 성능 해석."

해양환경안전학회지 20.2 (2014): 234-240.

전진용, 이성찬, 류종관. "ISO 방법론을 이용한 축소 잔향 실에서의

확산계수 측정." 한국음향학회지 22.3 (2003): 162-168.

성명호. "잔향 실을 이용한 승용차 대시부의 차음특성 고찰." 소음· 진동

11.2 (2001): 196-199.

268

Abstract

Characteristics of sound transmission loss for multi-

sandwich panels combined with resonance type absorption

structures including air cavities

Jae-Deok Jung

Naval Architecture& Ocean Engineering

The Graduate School

Seoul National University

Mineral wool has been most widely used for sound insulation panels due to its

excellent absorption performance in middle and high frequency. However, alternative

materials or structures have been required because of environmental problems such as

bacterial growth and corrosion. The international classification society regulate that

mineral wool shall be totally sealed with a metal material, and CUI (corrosion under

insulation) occurs at the portion where the valve flange and the mineral wool contact.

The purpose of this study is the nonflammability, environmental friendliness, and

satisfying sound insulation performance with Rw 45 dB.

269

Honeycomb has good mechanical properties and widely used in various industries

because of its high strength-to-weight ratio. However, there is little research on the

sound insulation of honeycomb. The honeycomb has different strengths in the plane

direction and the direction perpendicular to the plane, and this characteristic is called

orthotropic. Reflecting these characteristics, a honeycomb core was assumed an

orthotropic layer and calculated the elastic modulus along each direction. The surface

sheets were assumed an isotropic. The behavior of the panel was assumed to be

symmetric and antisymmetric mode. It does not include the influence of the natural

modes and the effect of boundaries of the panel since it is assumed that the direction of

the plane of the panel was unbounded. The kinetic energy and the position energy of

the surface sheets material and the core material were calculated through the elastic

modulus and displacement derived from the above, and these were substituted into the

Lagrangian equation to derive the transmission coefficient of the honeycomb panel. It

consists of about 98% air cavity and 2% honeycomb cell. So, the sound insulation

performance of air cavity must be considered. To study the effect of the sound insulation

performance of an air cavity, the assumption was used that the total energy is

proportional to the mode number of the standing wave. In the case of the conventional

270

methods, a correction constant was introduced to solve the problem, but this did not

reflect the sound insulation performance depending on the thickness of the air cavity.

On the other hand, when the method of this study is used, active analysis according to

the thickness of the air cavity is possible. The transmission coefficients were derived

using the same assumptions for pure air cavity layer as well as between honeycomb

cells.

MPP was used to compensate for insufficient sound absorption performance of the

honeycomb panel, and this was called a HMPP (honeycomb micro-perforated plate).

The equation of motion was derived for the honeycomb panel applying the MPP, and

the transfer matrix was used to construct a muli-sandwich panel.

The numerical analysis results were compared with the experimental results of the

scaled reverberation chamber and real reverberation chamber to verify the reliability.

Also, the application program HIBE was developed so that a person who not familiar

with the code can get the sound insulation results. Through this, studies were conducted

according to the sound insulation parameters such as honeycomb cell size, honeycomb

cell wall thickness, distance of MPP holes, and MPP hole diameter, and the final panel

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was made to meet the nonflammability, environmental friendliness, and sound

insulation performance Rw 45 dB.

Keywords: Honeycomb, MPP, Transmission coefficient, Absorption

coefficient, Scaled reverberation chamber, Real reverberation chamber, Transfer

matrix, Air cavity.

Student number: 2014-31103

disclaimer - s-space.snu.ac.kr · 잔향 실에서 수행된 실험 결과와 비교하여...

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