doĞrusal olmayan programlama -iii- Çok değişkenli...

1

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA

-III- Çok değişkenli doğrusal olmayan

karar modelinin çözümü

Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST328 Yöneylem Araştırması 2 Dersi 2011-2012 Öğretim Yılı

2

ÇOK DEĞİŞKENLİ KISITSIZ DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERİN ÇÖZÜMÜ

)x,...,x,x( f (ENB/ENK) Eniyi n21

3

ADIM 1 (Yerel eniyi için gerekli koşul)

f(X)’in birinci mertebeden türevleri alınarak, ∇f(X)=0

denklem sisteminin kökleri araştırılır.(X=(x1,x2,…,xn))

i.  Bu denklem sisteminin kökleri yok ise durulur. Modelin çözümü (hiçbir yerel enbüyük veya yerel enküçük nokta) yoktur.

ii.  Bu denklem sisteminin kökleri analitik olarak bulunamıyorsa yine durulur. Analitik çözüm mümkün olmadığından, sayısal çözüm tekniklerine başvurulacak demektir.

iii.  Bu denklem sisteminin kökleri bulunmuş ise, ikinci adıma geçilir.

4

ADIM 2 (Yerel eniyi için yeterli koşul)

∇f(X)=0 sistemini çözen her X(i) için, Hessian

matrisi oluşturularak, bu matrisin asal

minörleri araştırılır.

i.  Hf(X(i)) pozitif belirli ise, X(i)’de yerel enküçük vardır. ii.  Hf(X(i)) negatif belirli ise, X(i)’de yerel enbüyük

vardır. iii.  (i) veya (ii) sözkonusu değilse, ilgili noktada yerel

özel bir değer yok demektir. ∇f(X)=0 sistemini çözen tüm X(i)’ler için bu işlemler yapıldıktan sonra, üçüncü adıma geçilir.

5

ADIM 3 (Bütünsel eniyilik araştırması)

f(X)’in dışbükey veya içbükey olup olmadığı araştırılır.

i.  f(X) dışbükey bir fonksiyon ise, yerel enküçük olan noktada fonksiyon bütünsel enküçük değere erişiyor demektir. Yani modelin ENK f(X) için çözümü vardır.

ii.  f(X) içbükey bir fonksiyon ise, yerel enbüyük olan nokta verilen modelin ENB f(X) için çözümü olup, f(X) ilgili noktada bütünsel enbüyük değerini alıyor demektir.

iii.  f(X), Rn üzerinde dışbükey veya içbükey değil ise, bütünsel eniyi sözkonusu değildir.

6

A, B ve C noktalarının üçünde de birinci türev sıfır olmakla beraber, A noktasınde yerel enbüyük, B noktasında yerel enküçük vardır. C noktası ise dönüm noktasıdır.

7

n  Fonksiyon ne içbükey ne dışbükey

n  C dönüm noktası

n  Fonksiyon içbükey n  A enbüyük nokta

8

ÖRNEK -1: (Kara, 39.sh.) n  f(x1,x2,x3)=x1

2-2x1x2+x1x3-x22+4x2x3+3x3-(23/8) x3

2

(I) YEREL ENİYİ İÇİN GEREKLİ KOŞUL n  ∇f(X)=0 sisteminin kökleri ?

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂∂

∂∂

∂

=∇

0

0

0

xfxfxf

)x(f

3

2

1

0xx2x2xf

3211

=+−=∂

∂

0x4x2x2xf

3212

=+−−=∂

∂

0x423

3x4xxf

3213

=−++=∂

∂

(1)

(2)

(3)

9

•  (1)’den

•  (2) de yerine koyalım.

321321 x21

xx0xx2x2 −=→=+−

0x45

x

0x5x40x4x2)xx2(0x4x2x2

32

32

3231

321

=−

=+−

=+−+−

→=+−−

...(4)

3x45

x

03x425

x5

0x423

3x4)x21

x(

0x423

3x4x

32

32

3232

321

−=−

=+−

=−++−

→=−++

...(5)

•  (3) de yerine koyalım.

10

SONUÇ:

n  (4) ve (5) çelişiyor. Bu denklem sisteminin kökleri yok.

n  ∇f(X)=0 sisteminin çözümü olmadığından, f(x) fonksiyonunun YEREL ÖZEL NOKTASI (DOLAYISIYLA BÜTÜNSEL ENİYİ NOKTASI) olmadığına karar verilir.

11

ÖRNEK -2: (Winston, 658.sh.) n  f(x1,x2)=x1

2x2+x23x1-x1x2

(I) YEREL ENİYİ İÇİN GEREKLİ KOŞUL n  ∇f(X)=0 sisteminin kökleri ?

0xxxx2xf

23

2211

=−+=∂

∂

0xxx3xxf

112

22

12

=−+=∂

∂

0)1x2x(x 12

22 =−+

0)1x3x(x 2211 =−+

Denklemlerin çözümü için 4 seçenek var: •  x2=0 ya da (x2

2+2x1-1)=0 • x1=0 ya da (x1+3x2

2-1)=0

12

1.  x2=0 ve x1=0 à X1=(0,0) 2.  x2=0 ve (x1+3x2

2-1)=0 à X2=(1,0) 3.  (x2

2+2x1-1)=0 ve x1=0 à X3=(0,1)

X4=(0,-1) 4.  (x2

2+2x1-1)=0 ve (x1+3x22-1)=0 à

Denklemlerin çözümü için 4 seçenek var: •  x2=0 ya da (x2

2+2x1-1)=0 • x1=0 ya da (x1+3x2

2-1)=0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

51

,52

X 5⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

51

,52

X 6

GEREKLİ KOŞULU SAĞLAYAN 6 ÖZEL NOKTA VAR !

13

(II) YEREL ENİYİ İÇİN YETERLİ KOŞUL

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−+

−+=

212

21

2212

21xx6)1x3x2(

)1x3x2(x2)x,x(H

14

(2) X2=(1,0)

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−+

−+=

212

21

2212

xx6)1x3x2(

)1x3x2(x2Hf

1H

0H

01

10)0 ,1( H

2

1

−=

=→

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

X2 noktasında Hessian matrisi belirsiz. Bu noktada yerel eniyi yoktur. DÖNÜM NOKTASI OLABİLİR.

(1) X1=(0,0)

1H

0H

01

10)0 ,0( H

2

1

−=

=→

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=


15

(4) X4=(0,-1)

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−+

−+=

212

21

2212

xx6)1x3x2(

)1x3x2(x2Hf

4H

2H

02

22)1,0( H

2

1

−=

−=→

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=−


(3) X3=(0,1)

4H

2H

02

22)1 ,0( H

2

1

−=

=→

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=


16

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−+

−+=

212

21

2212

xx6)1x3x2(

)1x3x2(x2Hf

(5)

2520H

52

H

5512

52

52

52

)51

,52( H

2

1

=

=→

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

X5 noktasında Hessian matrisi POZİTİF BELİRLİ. Bu noktada YEREL ENKÜÇÜK VARDIR.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

51

,52

X 5

17

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−+

−+=

212

21

2212

xx6)1x3x2(

)1x3x2(x2Hf

(6)

2520H

52

H

5512

52

52

52

)51-‐

,52( H

2

1

=

−=

→

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

X6 noktasında Hessian matrisi NEGATİF BELİRLİ. Bu noktada YEREL ENBÜYÜK VARDIR.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

51

,52

X 6

18

SONUÇ

Hessian matrisinin her (x1,x2) için pozitif belirli/yarı belirli veya negatif belirli/yarı belirli olduğunu söyleyemeyiz. f(X), R2 üzerinde ne dışbükey ne içbükey bir fonksiyondur. Bir yerel enb. ve bir yerel enk. nokta vardır.

19

r : sermayenin marjinal ürün maliyeti w : işgücünün marjinal ürün maliyeti P : birim satış fiyatı Q : Üretim miktarı K : Sermaye miktarı L : İşgücü miktarı

ÖRNEK-3

20

1. GEREKLİ KOŞUL

21

2. YETERLİ KOŞUL

Hf, negatif belirli YEREL ENB. VAR

22

3. BÜTÜNSEL ENİYİLİK SINAMASI n  Yerel eniyi olması muhtemel tek nokta bulunduğundan ve

fonksiyonun Hessian matrisi negatif belirli çıktığından, fonksiyonun içbükey bir fonksiyon olduğu ve (K=5.1,L=81) noktasının da fonksiyonu enbüyükleyen nokta (bütünsel enbüyük) olduğu söylenebilir.

23

ÇOK DEĞİŞKENLİ

KISITLARI EŞİTLİK HALİNDE OLAN

DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLER

)X,...,X,X(f (Enb/Enk) Eniyialtında kısıtları

m1,2,...,i ; b)X,...,X,X(g

21

in21i ==

24

n  Kısıtlar eşitlik halinde ise, bulunan çözüm ENİYİ çözümdür. Yerel eniyi/ bütünsel eniyi kavramına gerek yoktur.

n  Verilen model önce kısıtsız hale getirilir. Daha sonra da bilinen tekniklerle indirgenmiş model çözülür.

n  ANALİTİK ÇÖZÜM için 2 yaklaşım: n  Yerine koyma yöntemi n  Lagrange çarpanları

25

I. YERİNE KOYMA YÖNTEMİ

ÖRNEK: (Kara I.12, 48.sh.)

4231

42

132

1

xxxx)X(ENBf.a.k

01xx0x2xx

−=

=++−

=−+−

26

4231

42

132

1

xxxx)X(ENBf.a.k

01xx0x2xx

−=

=++−

=−+−

12

13132

1 x2xx0x2xx +=→=−+−

1xx01xx 2442 −=→=++−

22

22

13

1

2212

11

21

212

1214321

xxx2x

)1x(x)x2x(x

)x,x(h)1x,x2x,x,x(f)x,x,x,x(f

+−+=

−−+=

=

−+=

27

I. YEREL ENİYİ İÇİN GEREKLİ KOŞUL

22

22

13

121 xxx2x)x,x(h +−+=

0)4x3(x0x4x3xh

1112

11

=+→=+=∂

∂0x 1 =

34

x1−

=

1x201x2xh

222

=→=+−=∂

∂

21

x 2 =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

21 ,0X 1 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

21 ,

34

X 22 ÖZEL NOKTA

28

II. YEREL ENİYİ İÇİN YETERLİ KOŞUL

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

+=

20

04x6)x,x(H

121

08H

04H

20

04

21,0H

2

1

<−=

>=→

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

08H

04H

20

04

21,

34

H2

1

>=

<−=→

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

Hessian matrisi belirsiz. Bu noktada yerel eniyi yoktur. DÖNÜM NOKTASI OLABİLİR.

Hessian matrisi NEGATİF BELİRLİ. Bu noktada YEREL ENBÜYÜK VARDIR.

29

SONUÇ:

21

1xx

98

x2xx

21

x

34

x

24

12

13

2

1

−=−=

−=+=

=

−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

21-‐

,98-‐

,21 ,

34

X

5437

)X(f =

30

II. LAGRANGE ÇARPANLARI İLE ÇÖZÜM


m1,2,...,i ; b)X,...,X,X(g

21

in21i == λi

n  Her i. kısıta bir λi çarpanı karşı gelsin.

31

Lagrange fonksiyonu

n  X=(x1, x2, ..., xn) : Karar değişkenleri vektörü n  λ=(λ1, λ2, ..., λm) : Her bir kısıta karşı gelen

lagrange çarpanlarının oluşturduğu vektör

) ..., ,, , x..., , x,L(x),X(L n21n21 λλλ=λ

)]X(gb [)X(f),X(Lm

1i

iii∑=

−λ+=λ

32

L(X , λ) ‘yı ENB/ENK yapan (X*, λ*) noktasını arıyoruz.

I. GEREKLİ KOŞULLAR

)]X(gb [)X(f),X(Lm

1i

iii∑=

−λ+=λ

m1,2,...,i , 0L

n1,2,...,j , 0xL

i

j

==λ∂

∂

==∂

∂

33

)]X(gb [)X(f),X(Lm

1i

iii∑=

−λ+=λ

m1,2,...,i , 0)X(gbL

n1,2,...,j 0x

)X(gx

)X(fxL

iii

m

1i j

ii

jj

==−=λ∂

∂

==∂

∂λ−

∂

∂=

∂

∂ ∑=

34

A) KISITLAR DOĞRUSAL FONKSİYON İSE

n  Eğer tüm kısıtlar doğrusal fonksiyon ise, fonksiyonun içbükey/dışbükey olup olmadığı belirlenerek ENB/ENK nokta bulunur.

n  Hessian matrisi pozitif belirli/yarı belirli ise f(X) dışbükey; negatif belirli/yarı belirli ise f(X)içbükeydir.

II. YETERLİ KOŞULLAR

35

TEOREM

n  f(X) bir ENBÜYÜKLEME PROBLEMİ olsun. Eğer her gi(X) doğrusal bir fonksiyon ve f(X) içbükey bir fonksiyonsa,

denklemini sağlayan X* noktası ENBÜYÜK noktadır.

n  f(X) bir ENKÜÇÜKLEME PROBLEMİ olsun. Eğer her gi(X) doğrusal bir fonksiyon ve f(X) dışbükey bir fonksiyonsa,

denklemini sağlayan X* noktası ENKÜÇÜK noktadır.

0L

xL

ij

=λ∂

∂=

∂

∂

0L

xL

ij

=λ∂

∂=

∂

∂

36

B) HER KISIT DOĞRUSAL DEĞİLSE

n  Sınırlandırılmış Hessian matrisi bulunur –H(c)– n  H(c)=0 yapan kökler araştırılır. H(c)’nin

köklerinden hareketle ENB/ENK nokta olup olmadığı belirlenir.

n  Tüm kökler > 0 à ENKÜÇÜK değer n  Tüm kökler < 0 à ENBÜYÜK değer vardır.

37

0)X('G

)X(GcF)c(H

0

0ij Ι−=

nnji

002

ij xx),X(f

F×

∂∂

λ∂=

mnn

0i0 x

)X(g)X(G

×

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂

∂=

38

Lagrange çarpanlarının ekonomik anlamı

n  Lagrange çarpanları kaynakların marjinal katkılarını yani gölge fiyatlarını vermektedir.

ii b

z∂

∂=λ

n  Eğer i. kısıtın sağ taraf sabiti ∆bi kadar arttırılırsa, eniyi z-değeri yaklaşık olarak

kadar artacaktır.

∑=

λΔm

1i

ii )b(

39

n  i. kısıtın STS’ni 1 birim arttırmakla, elde edilecek eniyi çözümde, amaç fonksiyonu değeri önceki değerinden λi kadar daha büyük olacaktır.

n  Ya da, i. kısıtın STS’ni 1 birim azaltmakla, elde edilecek eniyi çözümde, amaç fonksiyonu değeri önceki değerinden λi kadar daha küçük olacaktır.

n  AMAÇ, enbüyükleme ise, karar verici ilgili STS’ni 1 birim arttırmak için en fazla λi kadar para harcamayı göze alabilecektir.

n  AMAÇ, enküçükleme ise, karar verici ilgili STS’ni 1 birim azaltmak için en fazla λi kadar para harcamayı göze alabilecektir.

40

ÖRNEK: Winston, 667. sh.

y3x8xyyx2ENBz

.a.k10yx3

22 +++−−=

=+

)]y,x(gb[)y,x(f),y,x(L),X(L −λ+=λ=λ

]yx310[y3x8xyyx2),y,x(L 22 −−λ++++−−=λ

41

I. GEREKLİ KOŞUL

]yx310[y3x8xyyx2),y,x(L 22 −−λ++++−−=λ

0L

yL

xL

=λ∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

0yx310L

03xy2yL

038yx4xL

=−−=λ∂

∂

=λ−++−=∂

∂

=λ−++−=∂

∂ λ+−= 38x4y

λ+−= 3y2x

42

λ−=→λ+−λ+−=λ+−=720

y38)3y2(438x4y

λ−=→λ+−λ+−=λ+−=719

x3)38x4(23y2x

0720

719

3100yx310 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛λ−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛λ−−→=−−

41

=λ

2869

*x =2873

*y =

43

n  Kısıt doğrusal. Fonksiyonun dışbükey/içbükeyliği araştırılır.

II. YETERLİ KOŞUL

07H

04H

21

14)y,x(H

2

1

>=

<−=→

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=

n  H(x,y) negatif belirli à Fonksiyon İÇBÜKEY. n  Teoreme göre, kısıt doğrusal ve fonksiyon

içbükey olduğundan bulunan nokta ENBÜYÜK noktadır.

44

n  Yeterli koşulun sağlanıp sağlanmadığını H(c)’nin köklerini araştırarak da test edebiliriz.

II. YETERLİ KOŞUL (2.yol)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=

∂∂

λ∂=

21

14

xx),X(f

F2x2ji

002

ij⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂

∂=

1

3

x)X(g

)X(G1x2n

0i0

0

013

1c21

31c4

0)X('G

)X(GcF)c(H

0

0ij=

−−

−−−

−−−

=Ι−

=3c −=

c<0 olduğundan bulunan noktada YEREL ENBÜYÜK vardır.

45

n  Reklama ∆ kadar fazladan para ayırmak, firma gelirini yaklaşık olarak ∆x0.25 kadar arttıracaktır.

n  Kısıt: 3x +y =10 n  STS’ni 1 birim arttıralım. n  3x +y =11 olsun.

n  Eniyi çözümdeki z değeri önceki değerinden 1x0.25=0.25 kadar daha büyük olacaktır.

n  Karar verici, ilgili STS’ni 1 birim arttırmak için en fazla 0.25 birim para harcamayı göze alabilecektir.

41

=λ

ÇALIŞMA SORUSU-1

46

47

ÇALIŞMA SORUSU-2

ÇALIŞMA SORUSU -3

n  Büyükşehir Belediyesi dikdörtgen şeklinde 15.010 metrekare büyüklüğünde bir park yapmak istemektedir. Bu parkın uzun kenarları boyunca 10 metre ve kısa kenarları boyunca 6 metre genişliğinde yayalar için yol yapılacakCr. Parkın boyutları ne olmalıdır ki parkın alanı enbüyük olsun.

48

ÇALIŞMA SORUSU -4

n  X makinesinde kullanılmak üzere r yarıçaplı bir kürenin dışına minimum hacimli bir dik koni yerleşFrilecekFr. Küre, koninin tabanına ve yanal yüzeyine teğet olacakCr. Bu dik koninin boyutlarını bulunuz.

49

CEVAP:

y r

r

x

2rx ,r4y ==

ÇALIŞMA SORUSU -5

n  Elektrik mühendisi Bay Yıldırım serbest olarak çalışmaktadır. YapCğı her işin kendisine maliyeF C=40 TL’dir. YapCğı işlerin sayısı ile aldığı ücret arasında q=500-‐2p bağınCsının olduğunu tespit etmişFr (p: ücret, q: iş sayısı).

n  YapCğı işin sayısı ile ilgili herhangi bir sınır bulunmadığına göre işi kaça yaparsa maksimum karı elde eder? Bu durumdaki iş sayısı nedir?

50

ÇALIŞMA SORUSU -6

Temiz Kimya Fabrikasında çalışan kimya mühendisi Bayan İpek, kendi buluşu olan İpek marka şampuanları imal etmektedir. Şampuanın beher kutusu için 0.5 birim işçilik ve 2 birim hammadde sarfedilmektedir. İşçiliğin birim maliyeF 4 TL, birim maliyete uygulanan iskonto sebebiyle hammaddelerin maliyet fonksiyonu (160-‐4q) bağınCsı ile belirlenmişFr. Burada q hammadde miktarını göstermektedir. ŞirkeFn günlük genel masrafları sabit olup 7500 TL’dir. ÜreFlen malların pazarlama masra_ ise (50+3q)’dur. Bu verilere göre üreFm maliyeF hangi üreFm seviyesinde minimum olur?

51

ÇALIŞMA SORUSU -7

Işık KollekFf ŞirkeF, güneş enerjisinden isFfade etmek için 100 adet bakır kollektör imal edecekFr. Yapılan hesaplara göre 2.425 m2 olan panolar en uygun kollektör görevini yapabilmektedir. Her panonum alt ve üstünde 10’ar cm ve yanlarında 8’er cm su borularının geçmesi için cam yünlü kanallar yapılacakCr. Şirkefe çalışan bir mühendis, uzun kenarlarını 3.031 metre ve kısa kenarlarını 0.80 metre olarak panoların yapılmasına karar vermişFr. Kollektör alanı argkça elde edilecek sıcak su miktarı da artacakCr ve boyutlar konusunda bir sınırlama bulunmamaktadır.

52

ÇALIŞMA SORUSU -7 a) Eğer mühendis, ısı toplayacak bakır yüzeyin maksimum olmasını temin etmiş olsaydı ebatlar ne olurdu ? b) Kaç metrekarelik bir alandan isFfade edilecekF? c) Mühendis, 3.031 ve 0.80 metre ebatlarında panoların yapılmasına karar verdiği için toplam kaç metrekarelik faydalı bir alanı israf etmiş olmaktadır?

53

54

DOĞRUSAL OLMAYAN KARAR MODELİNİN GENEL HALİ

KUHN-TUCKER KOŞULLARI


m1,2,...,i ; b)X,...,X,X(g

21

in21i

≥

==

≤

55

n  Kısıtlı bir doğrusal olmayan programlama modeli, tüm kısıtlar “≤0 “ olacak şekilde yeniden düzenlensin.

)X,...,X,X(f Enbaltında kısıtları

b)X,...,X,X(g

21

in21i

≥

=

≤

)X,...,X,X(f z Enbaltında kısıtları

0)X,...,X,X(g

21

n21i

=

≤

56

n  Modelin kısıtlarını eşitlik haline getirmek için, her kısıta Si

2 aylak değişkenlerini ekleyelim.

)X(f z Enbaltında kısıtları0)X(g i

=

≤

)X(f z Enbaltında kısıtları

0S)X(g 2İi

=

=+

)]X(gb [)X(f),X(Lm

1i

iii∑=

−λ+=λ

]S)X(g [)X(f),S,X(Lm

1i

2İii∑

=

+λ−=λ

n  λi, her kısıta karşı gelen lagrange çarpanı olmak üzere, modelin Lagrange fonksiyonunu yazalım.

57

ENİYİ NOKTA İÇİN GEREKLİ KOŞULLAR

]S)X(g [)X(f),S,X(Lm

1i

2İii∑

=

+λ−=λ

m1,2,...,i , 0S)X(g),S,X(L

m1,2,...,i , 0S2S

),S,X(L

n1,2,...,j 0x

)X(gx

)X(fx

),S,X(L

2İi

i

iii

m

1i j

ii

jj

==+=λ∂

λ∂

==λ−=∂

λ∂

==∂

∂λ−

∂

∂=

∂

λ∂ ∑=

�

�

�

58

2. eşitliğe bakalım.

n  Eniyi çözümün olduğu noktada; n  λi>0 à Si=0 ya da Si>0 à λi=0 n  Doğrusal programlamadaki aylaklığın

tamamlayanı özelliğinin benzeri ! n  λi>0 à Si=0 à gi(X)≤0 olarak verilen kısıt eniyi

çözümde gi(X)=0 olarak gerçekleşir. n  Si>0 à λi=0 à gi(X)≤0 olarak verilen kısıt eniyi

çözümde gi(X)<0 olarak gerçekleşir. n  λi ve Si hangi değerleri alırlarsa alsınlar ENİYİ

ÇÖZÜMDE izleyen eşitlik gerçekleşmektedir.

m1,2,...,i , 0S2S

),S,X(Lii

i

==λ−=∂

λ∂

0)X(g ii =λ ü

59

n  Lagrange çarpanlarının ekonomik anlamlarını hatırlayalım. Eniyi çözümde :

ii b

z∂

∂=λ

n  ENB Z için bi’deki 1 birim artışın marjinal katkısı olan λi’nin negatif değer alamayacağı görülür.

0i ≥λ ü

60

n  ikinci koşul, aynı zamanda aşağıdaki lagrange fonksiyonuna eşittir.

)X(g )X(f),X(Lm

1i

ii∑=

λ−=λ

n1,2,...,j 0x

)X(gx)X(f

)(m

1i j

ii

j

=∀=∂

∂λ−

∂

∂ΙΙ ∑

=

61

SONUÇ OLARAK, gerekli koşulları yeniden düzenlersek, sağdaki biçime dönüştürülmüş modelin ENİYİ ÇÖZÜMÜNDE izleyen koşullar sağlanır. Bu koşullara KUHN-TUCKER koşulları (K-T koşulları) denir. )X(f z ENB

altında kısıtları0)X(g i

=

≤

m1,2,...,i 0, )X(g )V(

m1,2,...,i 0, )X(g )(

n1,2,...,j 0x

)X(gx

)X(f )(

m1,2,...,i , 0 )(

i

ii

m

1i j

ii

j

i

=∀≤Ι

=∀=λΙΙΙ

=∀=∂

∂λ−

∂

∂ΙΙ

=∀≥λΙ

∑=

62

n  Karar modelinin amacı enküçüklemek ve model sağdaki biçimde düzenlenmiş ise, (I) nolu koşul izleyen şekilde sağlanmalıdır.

)X(f zENK altında kısıtları0)X(g i

=

≤

m1,2,...,i , 0 )( i =∀≤λΙ

63

n  Modelin çözümünde, λi’lerin alabileceği değerlerden hareketle bu koşulları sağlayan (X, λ) değerleri araştırılır.

n  Kuhn-Tucker Koşullarının Önemi: n  Bazı modellerin analitik çözümü doğrudan

bulunur. n  Doğrusal olmayan programlama için

geliştirilen birçok sayısal çözümleme tekniğinin temelini oluşturur (kareli programlama, dışbükey programlama gibi.)

64

TEOREM: n  f(X), dışbükey kümede tanımlı içbükey bir

fonksiyon ise, K-T koşullarını sağlayan nokta bütünsel (kısıtlı) enbüyük değerini verir.

n  f(X), dışbükey kümede tanımlı dışbükey bir fonksiyon ise, K-T koşullarını sağlayan nokta bütünsel (kısıtlı) enküçük değerini verir.

NOT: Dışbükey kümede tanımlı olması demek, kısıtların hepsinin dışbükey fonksiyonlar olması anlamına gelir.

ENİYİ NOKTA İÇİN YETERLİ KOŞULLAR

65

ÖRNEK-1. (Winston 676. sh.)

n  İlk adımda, model sağdaki biçime dönüştürülür.

3212211

321

3

321

10x-‐5x-‐3x-‐)x-‐(50x)x-‐(30x Z ENBaltında kısıtları

0x,x,x25.17xxxx

+=

≥

≤

≤+

)X(f z ENBaltında kısıtları0)X(g i

=

≤

x1: Birinci ürünün imalat miktarı (kg) x2: İkinci ürünün imalat miktarı (kg) x3: Kimyasal maddenin kullanım miktarı (kg) Amaç: Karın enbüyüklenmesi

66

22

21321

3

2

1

3

321

2x-‐ x-‐10x-‐45xx27 Z ENB

altında kısıtları0x0x0x

025.17x0xxx

+=

≤−

≤−

≤−

≤−

≤−+

67

•  Amaç fonksiyonu içbükey ve doğrusal fonksiyonların toplamıdır. Dolayısıyla amaç fonksiyonu İÇBÜKEY BİR FONKSİYONDUR.

•  Kısıtlar doğrusal olduğundan, amaç fonksiyonunun tanımlı olduğu küme DIŞBÜKEY BİR KÜMEDİR.

•  Enbüyüklenmek istenen fonksiyon dışbükey kümede tanımlı içbükey bir fonksiyon olduğundan, gerekli koşulları sağlayan çözüm ENİYİ ÇÖZÜM (BÜTÜNSEL ENBÜYÜK) olacaktır.

68

22

21321

3

2

1

3

321

2x-‐ x-‐10x-‐45xx27 Z ENB


025.17x0xxx

+=

≤−

≤−

≤−

≤−

≤−+

)x()x()x()25.17x( )xxx(2x-‐ x-‐10x-‐45xx27

)X(g )X(f),X(L

35241332

32112

22

1321

m

1i

ii

−λ−−λ−−λ−−λ−

−+λ−+=

λ−=λ ∑=

69

Kuhn-Tucker Koşulları

1,2,3,4,5i 0, )X(g )V(

1,2,3,4,5i 0, )X(g )(

1,2,3j 0x

)X(gx

)X(f )(

1,2,3,4,5i , 0 )(

i

ii

m

1i j

ii

j

i

=∀≤Ι

=∀=λΙΙΙ

=∀=∂

∂λ−

∂

∂ΙΙ

=∀≥λΙ

∑=

22

21321

3

2

1

3

321

2x-‐ x-‐10x-‐45xx27 Z ENB


025.17x0xxx

+=

≤−

≤−

≤−

≤−

≤−+

70

Kuhn-Tucker Koşulları

0x0x0x025.17x0xxx )V(

3

2

1

3

321

≤−

≤−

≤−

≤−

≤−+Ι

0,,,, )( 54321 ≥λλλλλΙ0-‐10-‐

0-‐4x-‐45 0-‐2x-‐27 )(

21

412

311

=λλ+

=λ+λ

=λ+λΙΙ

)x()x()x()25.17x( )xxx(2x-‐ x-‐10x-‐45xx27

)X(g )X(f),X(L

35241332

32112

22

1321

m

1i

ii

−λ−−λ−−λ−−λ−

−+λ−+=

λ−=λ ∑=

0)x(0)x(0)x(0)25.17x(0)xxx( )(

35

24

13

32

3211

=λ

=λ

=λ

=−λ

=−+λΙΙΙ

71

n  K-T koşullarını sağlayan çözüm ENBÜYÜK KARI VEREN ENİYİ ÇÖZÜMDÜR.

n  Modelin çözümünde, λi’lerin alabileceği değerlerden hareketle bu koşulları sağlayan (X, λ) değerleri araştırılacaktır.

n  Her lagrange çarpanı için iki durum sözkonusudur. Eniyi çözümde ; n  ya λi=0 olacak ya da λi>0 olacaktır.

72

n  Örneğimizde, λ3, λ4, λ5 işaret kısıtlarına karşı gelen lagrange çarpanlarıdır.

n  Eniyi çözümde bu kısıtların kendiliğinden karşılanacağını düşünürsek, λ3=λ4=λ5=0 alabiliriz.

n  Bu durumda λ1 ve λ2‘nin 4 farklı durumu için K-T koşullarını sağlayan bir çözüm aranacaktır. n  (I) λ1=0 ve λ2=0 olabilir. n  (II) λ1=0 ve λ2>0 olabilir. n  (III) λ1>0 ve λ2=0 olabilir. n  (IV) λ1>0 ve λ2=0 olabilir.

73

(I) λ1=0 ve λ2=0

n  1. koşul sağlanıyor. n  2. koşuldaki 3. kısıt

sağlanmadığından, bu durum için eniyi çözümün gerçekleşmediğini söyleyebiliriz.

0x0x0x025.17x0xxx )V(0)x(0)x(0)x(0)25.17x(0)xxx( )(0-‐10-‐ 0-‐4x-‐45 0-‐2x-‐27 )( 0,,,, )(

3

2

1

3

321

35

24

13

32

3211

21

412

311

54321

≤−

≤−

≤−

≤−

≤−+Ι

=λ

=λ

=λ

=−λ

=−+λΙΙΙ

=λλ+

=λ+λ

=λ+λΙΙ

≥λλλλλΙ

74

(II) λ1=0 ve λ2>0

n  1. koşul sağlanıyor. n  2. koşuldaki 3. kısıtla 1.

koşul çeliştiğinden, bu durum için de eniyi çözümün gerçekleşmediğini söyleyebiliriz.


3

2

1

3

321

35

24

13

32

3211

21

412

311

54321

≤−

≤−

≤−

≤−

≤−+Ι

=λ

=λ

=λ

=−λ

=−+λΙΙΙ

=λλ+

=λ+λ

=λ+λΙΙ

≥λλλλλΙ

010-‐010-‐0-‐10-‐

22

21

−=λ→=λ+

=λλ+

(I) nolu K-T koşuluna göre, lagrange çarpanları sıfırdan büyük eşit olmak zorunda !

75

(III) λ1>0 ve λ2=0

n  Tüm K-T koşulları sağlanıyor.

n  ENİYİ ÇÖZÜM bulundu.

0x0x0x025.17x0xxx )V(0)x(0)x(0)x(0)25.17x(

25.17x 0)xxx( )(

75.8435x 0-‐4x-‐45

8.5217 x 0-‐2x-‐27

10 0-‐10-‐ )( 0,,,, )(

3

2

1

3

321

35

24

13

32

33211

2412

1311

121

54321

≤−

≤−

≤−

≤−

≤−+Ι

=λ

=λ

=λ

=−λ

=→=−+λΙΙΙ

==→=λ+λ

==→=λ+λ

=λ→=λλ+ΙΙ

≥λλλλλΙ

76

(IV) λ1>0 ve λ2>0

n  Tüm koşulları sağlayan bir ENİYİ ÇÖZÜM bulduğumuzdan, bu durum için K-T koşullarının kısıtlarını test etmeye gerek yoktur.

n  Eğer kısıtları aynı anda sağlayan bir çözüm bulmaya çalışırsak, λ1’in sıfırdan küçük değer aldığını görürüz ki bu da (I) nolu K-T koşulu ile çelişir.


3

2

1

3

321

35

24

13

32

3211

21

412

311

54321

≤−

≤−

≤−

≤−

≤−+Ι

=λ

=λ

=λ

=−λ

=−+λΙΙΙ

=λλ+

=λ+λ

=λ+λΙΙ

≥λλλλλΙ

77

SONUÇ:

n  ENBÜYÜK KARI VEREN ÇÖZÜM: n  x1=8.5, x2=8.75 ve x3=17.25

n  ENBÜYÜK KAR=225.3750 n  λ1=10, λ2=0 n  Eğer kimyasal maddede r kadar ufak bir artış

hiçbir maliyetsiz elde edilseydi, kar yaklaşık olarak “10xr” kadar artardı. (λ1=10)

n  Eğer kimyasal maddeden r kadar bir miktar daha satın alınırsa, bunun kar üzerine hiçbir etkisi olmayacaktır. (λ2=0)

22

21321

321

3

321

2x-‐ x-‐10x-‐45xx27 Z ENB

altında kısıtları0x,x,x

25.17xxxx

+=

≥

≤

≤+

doĞrusal olmayan programlama -iii- Çok değişkenli...

Documents