maTematikamoswavlis wigni 8
nana jafariZe maia wilosani nani wulaia
3
sarCevi
I Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 testebi gameorebisaTvis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 gamonaTqvami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 mocemulis sawinaaRmdego gamonaTqvami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 xarisxi mTeli maCvenebliT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 I Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 I TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
II Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Tema: Teorema, aqsioma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 qordis marTobuli diametris Tviseba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 wrewiris mxebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 ori wrewiris urTierTmdebareoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 wrewirSi Caxazuli da wrewirze Semoxazuli samkuTxedebi . . . . . . . . . . . . 495 wrewiris rkali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 Caxazuli kuTxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55A7 mxebiTa da qordiT Sedgenili kuTxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 marTkuTxa samkuTxedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 II Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 II TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68A
III Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691 wiladuri gamosaxuleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702 wiladebis Sekreba da gamokleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753 wiladebis gamravleba da gayofa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 es sainteresoa: vimogzauroT wiladTa samyaroSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824 wiladur gamosaxulebaTa gamartiveba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Tema: xsnarebis amocana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865 wiladuri gantoleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886 utoloba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927 ricxviTi utolobebis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Tema: amovxsnaT modulis Semcveli utoloba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038 wrfiv erTucnobian utolobaTa sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 III Tavis damatebiTebi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 III TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4
IV Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1171 marTkuTxa paralelepipedis moculoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182 farTobis Tvisebebi . kvadratis farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 es sainteresoa: mravalwaxnagebis Slilebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253 marTkuTxedis, marTkuTxa samkuTxedis farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 proeqti: pikis Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294 racionaluri ricxvi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335 perioduli aTwiladis gadaqceva Cveulebriv wiladad . . . . . . . . . . . . . . . 135 es sainteresoa: risTvis gvWirdeba usasrulo aTwiladebi . . . . . . . . . . . 1396 kvadratuli fesvi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407 piTagoras Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 proeqti: piTagora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498 ori wrewiris saerTo Siga da saerTo gare mxebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1509 kvadratuli fesvebis gamravleba da gayofa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310 kvadratuli fesvi xarisxidan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15811 kvadratuli fesvebis Semcvel gamosaxulebaTa gardaqmna . . . . . . . . . . . . 16312 saSualo ariTmetikuli da saSualo geometriuli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16713 jgufuri mecadineoba: saSualo ariTmetikulsa dasaSualo geometriuls Soris damokidebulebis gamoyeneba amocanebis amoxsnisas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 IV Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 IV TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
V Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1811 funqciis cneba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1822 funqciis mocemis xerxebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1893 funqciis grafiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945 wrfivi funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 1 . pirdapirproporciulobis funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 2 . y=kx+b wrfivi funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 proeqti: avagoT wrfe kompiuterSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126 wrfivi gantolebisa da utolobis grafikuli amoxsna . . . . . . . . . . . . . . . 214 es sainteresoa: amocana damoukidebeli kvlevisTvis . . . . . . . . . . . . . . . . 2177 mobruneba, centruli simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2208 wrfivi orucnobiani gantoleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2249 amovxsnaT gantoleba mTel ricxvebSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22810 orucnobian gantolebaTa sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23111 wrfiv gantolebaTa sistemis amoxsna Casmis xerxiT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23512 algebruli Sekrebis xerxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 V Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 V TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5
VI Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2531 mravalkuTxedebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2542 paralelogramis niSnebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2583 paralelogramis farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2614 samkuTxedis farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2645 samkuTxedis Suaxazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2676 rombi . rombis farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2707 marTkuTxedi . kvadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2728 trapecia . trapeciis Suaxazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2749 marTkuTxa trapecia . tolferda trapecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27710 trapeciis farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Tema: simetria gvexmareba amocanebis amoxsnaSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28212 wrewirSi Caxazuli oTxkuTxedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28413 wrewirze Semoxazuli oTxkuTxedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 VI Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 VI TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
VII Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 albaTobis Teoriis elementebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3001 albaToba da fardobiTi sixSire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3012 erTnairad mosalodnel elementarul xdomilobaTa albaToba . . . . . . 3093 albaTobis klasikuri gansazRvra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 VII Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 VII TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
VIII Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3271 Talesis Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 Tema: Talesis Teoremis gamoyeneba amocanebis amoxsnisas . . . . . . . . . . . . 3302 samkuTxedis biseqtrisis Tviseba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3333 samkuTxedis medianebis Tviseba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 jgufuri mecadineoba: medianebis Tvisebis gamoyeneba agebis amocanebSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3384 proporciuli monakveTebi wreSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 VIII Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 VIII TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
pasuxebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
6
rogor visargebloT wigniT
wignze muSaobarom gagiadvildeT, mizanSewonilad CavTvaleTgagac-noTwignisagebuleba.wigni Sedgeba Tavebisagan, xolo TiToeuli Tavi_ paragrafebisgan.
yovelTavSimocemuliatestebirubrikiT`SeamowmeSenicodna~.teste-bzemuSaobadagexmarebaTTviTSemowmebasadaSeswavlilimasalisganmt-kicebaSi.wignSiganmartebebidabeWdiliamuqiSriftiT,xoloTvisebebi,formulebi,zogierTisaWirodaskvna_feradfonSi.TiTqmisyovelTavSimocemuliaamTavSigadmocemulmasalasTandaka-
vSirebulisainteresoTema.yovelparagrafSiSexvdebiTzogierTsSem-deginiSnebidan:
- umartivesi kiTxvebi, romelTac axali masalis axsnisprocesSiTavadmoswavlemundagascespasuxi;
-wyvilebSisamuSao;
-SedarebiTrTuliamocana;
-savarjiSoebi,romelicemsaxurebagavlilimasalisgameorebas;
-sagulisxmofaqti.
wignis bolos mocemulia sagnobrivi saZiebelida Semoklebuli aRniS-vnebisTvisgamoyenebulimaTematikuriniSnebi.gTavazobTagreTvezo-miserTeulebs,laTinurdaberZnulanbans,kvadratebiscxrilsdaamo-canebispasuxebs,damxmareliteraturisCamonaTvals.
gisurvebTwarmatebebs!
*
s .f .s .f .
7
I Tavi
amTavSigavixsenebTwinawlisgavlilmasalas;
gavigebT, ra aris gamonaTqvami, xarisxi mTeli
maCvenebliT; gavecnobiT mTYelmaCvenebliani
xarisxisTvisebebs.
SevZlebTY mocemuli gamonaTqvamis sawinaaR-
mdego gamonaTqvamis Camoyalibebas, mcdari
da WeSmariti gamonaTqvamebis garCevas; mTYel-
maCvenebliani xarisxis Semcveli gamosaxule-
bebisgamartivebas.
8
9
testi ¹1
1. udidesisamniSnadaumciresioTxniSnaricxvebisjamiaa)999; b)1999; g)1010; d)1100.
2. a a a⋅ ⋅ ⋅ =...7-jer
1 24 34
a)a7; b) 7a; g)7a; d)7+a.
3. 90-isada75-isudidesisaerTogamyofia:a)9; b) 25; g)15; d)3.
4.Tuaricxvis7-zegayofisnaSTia3,b-siki5,maSina+bricxvis7-zegayofisnaSTia:
a)8; b) 1; g)3; d) 5.
5. Tu a⊗b=2a+3b,maSin2⊗3= a)6; b)5; g)13; d)15.
6.Tu A={3; 5; 7; 9} da B={3; 6; 9; 12}, maSin A∩B= a) {3; 9; 12}; b) {3; 9}; g) ∅; d) A.
7.Tu A={2; 5; 7}; B={2;9}; maSin A B= a) A; b) B; g){2;5;7;9}; d){2;2;5;7;9}.
8. Tu A⊂B,maSin AUB= a) A; b) B; g)∅; d)pasuxsvergavcemT.
9. Tu A⊂B, maSin A∩B= a) A; b) B; g)∅; d)pasuxsvergavcemT.
10.sanergeSi150 muxis,240cacxvisada210 nekerCxlisnergia.yvelazemetiramdenmeurneobazeSeiZlebaganawildesesnergebi,romTiToeulsyvelasaxisnergisTanabariraodenobaSexvdes?
11.erTiwrewirisradiusi8sm-ia,meorisa5sm,maTcentrebsSorismanZiliki_20sm-ia.centrebisSemaerTebelimonakveTiwrewirebs A da B wertilebSikveTs.ipoveT AB monakveTissigrZe.
A∩B
A B
A B
A B
testebi gameorebisaTvis
10
ITavi
testi ¹2
diagramaze mocemulia fermeris mier nakveTzemoweuli bostneulis raodenoba procentebSi.diagramismixedviTupasuxeTSemdegkiTxvebs:
1. moyvanili bostneulidan romelia yvelazemeti?
2. mTelibostneulisranawiliapamidori?
3. ramdenitonakitrimoiyvanes,Tusulmovida150tonabost-neuli?
svetovandiagramazemocemuliaerTiTvisganmav-lobaSimaRaziiaSigayidulisaTamaSoebisraode-nobacalobiT.upasuxeTYSemdegkiTxvebs:
4. ramdenisaTamaSomanqanagaiyida?
5. romelisaTamaSogaiyidayvelazemeti?
6. ramdeni procentiT meti Tojina, gaiyida vi-dreburTi?
7. ipoveT15-is,75-isada120-issaSualoariTmetikuli.
8. ipoveTx,Tux-isada25-issaSualoariTmetikulia15.
9. 20%CawereTwiladissaxiT.
10. 34CawereTprocentissaxiT.
11. ipoveT120-is50%.
12. ipoveTricxvi,romlis10%-ia7.
13. 80-isramdeniprocentia20?
14. ipoveTproporciisucnobiwevri:
a) x5=32; b)
10x=53.
15. 120daSaleT2-isada3-isproporciulnawilebad.
16. ramdenprocentiani xsnari miiReba, Tu erTmaneTsSevurevT15litr12%-ianda5litr16%-ianxsnars.
17. xuTma muSam sam dReSi amoTxara Wa. ramden dReSiamoTxrisaseTiveWas3muSa?
kartofilipamidori
60°
180° kitri
90° badri-
jani
gavixsenoT!
ramdenimericxvissa-Sualo ariTmetiku-liaamricxvebisjamiSefardebulimaTsaveraodenobasTan.
300 250 200 150 100 50
burTebi
robo
tebi
manqanebi
Tojinebi
11
testi ¹3
1.nebismieria-saTvisWeSmaritia:a) |a|>0; b) |a|≥ 0; g) |a|<0; d)|a|≤ 0.
2.ramdenimTeliricxviakmayofilebs|x|≤2utolobas?a)1; b)3; g)4; d)5.
3.zrdismixedviTdalagebulia:a)|4|;|-3|;|5|; b)|0|;|3|;|-5|;g)|-1|;|2|;|-3|. d)|-5|;|0|;|3|.
4.-5-(-7)=a)-12; b)2; g)–2; d)5.
5.|a+b|=|a|+|b|WeSmaritia,Tu:a)a>0; b<0; b)a>0; b<0; g)TuadaberTnairniSniania.
6.5(x–2) = 3x–10 gantolebisamonaxsnia:a) x = 0; b)x = 2; g)araaqvsamonaxsni.
7.|x|= 5,gantolebisamonaxsenTasimravlea:a) {5}; b) {-5}; g){5; -5} .
8. (a+2)x=10gantolebisfesvia2,Tu a= a)1; b)3; g)–2; d)0.
9.5 34816
−
a)2512
; b)–11112 ; g)13
1112 ; d)–2
512
.
10.gamoTvaleT:a) (–3)2 – 11 – (+2): −
112
+ (–12)·23 ·2; b)
5 5 5
5
3 4
2 2⋅ ⋅
( ) ; g)6 212 3
5 6
4 2
⋅ −
( ) ⋅( )
.
11.TuerTisaxazavixTeTriRirs,erTifanqarikiyTeTri,maSinm saxazavi da x fanqarieRireba:a)(x+y)m; b) x(y+m); g)y(x+m); d) xy – mx.
Tu a≥0, maSin |a|=a
Tu a<0, maSin |a| = –a.
gantolebisfesvi(amonaxseni)ariscvla-disismniSvneloba,romlisTvisacganto-lebagadaiqcevasworricxviTtolobad.
12
ITavi
testi ¹4
1. 5° =
a)0; b)5; g)1; d)25.
2. (ab)n =
a)an·b; b)a·bn; g)a·b; d)an·bn.
3.am·an =
a)amn; b) am-n; g)am+n; d)m+n.
4. Tu a≠0,maSinam:an =
a)amn; b)am–n; g)am+n; d)an–m.
5.(am)n=
a)amn; b)am+n; g) am–n; d)mn.
6. 2 22
5 3 5
15
( ) =
a)2; b)25; g)21°; d)215.
7. SemdegiutolobebidanWeSmaritia:
a) 67>26· 37; b)67>27· 37; g)67>26· 39.
8.15a–12b–(a+b)+3a gamosaxulebisgamartivebisSedegadmiiReba:
a)17a–11b; b)18a–13b; g)12a–12b; d)17a–13b.
9.(2x2)3· 18
x2 =
a)x6; b)x8; g) x16; d)14
x6.
10.7359-isbolocifria:
a)7; b)9; g)3; d)1.
13
testi ¹5
1.Tu ada bwrfeebsaqvTzustad 1 saerTowertili,maSineswrfeebi:a)ikveTeba; b)paraleluria;g)erTmaneTsemTxveva; d)pasuxsvergavcemT.
2. Tu C wertili AB monakveTis Siga wertilia da AC:CB=2:3;xoloAB=15,maSin AC= a)6; b)8; g)10; d)12.
3.Tu AB=12 , AC=5da BC=7,maSin:a) A∈BCmonakveTs; b) B∈ACmonakveTs;g) C∈AB monakveTs; d) A, B da CwertilebierTwrfezearmdebareobs.
4. AC sxivi BAM kuTxisbiseqtrisaa.Tu ∠BAC=30°,maSin ∠BAM= a)30°; b)60°; g)90°; d)100°.
5.TumosazRvrekuTxeebidanerTimeoreze40°-iTmetia,maSinamkuTxeTagradusulizomebia:a)70° da110°;b)60° da120°; g)120°da160°; d)40°da80°.
6.TuoriwrfisgadakveTisasmiRebulikuTxeebidanerTi100°-ia,maSinamwrfeebsSoriskuTxea:a)30°; b)120°; g)60°; d)80°.
7.Tu BKmonakveTi ABC samkuTxedismedianaada AK=3sm,maSin AC= a)3sm; b)6sm; g)5sm;d)pasuxsvergavcemT.
8.Tu ABCD marTkuTxedissamiwveroskoordinatebia A(–1;–1); B(–1; 2); C(3;2),maSinDwertilia:a) D(–1; 3); b) D(3;–1); g) D(–2;3); d) D(–1;–2).
9. xRerZismimarT A(2; 3) wertilissimetriuli A1 wertilia:a) A1(-2; 3); b) A1(-2; -3); g) A1(2; -3); d) A1(3; 2).
10. mocemulia A(1;-2) da B(2;-3) wertilebi. y RerZismimarT AB monakveTis simetriuli A1B1 monakveTis bo-loebiskoordinatebia:a)A(-1;-2);B(-2;-3); b)A(1;-2);B(-2;3);g)A(1;-2);B(2;-3); d)A(1;-2);B(2;-3).
11. gadaixazeT naxazirveulSidadaxazeTOBC sam-kuTxedissimetriulisamkuTxedia) xRerZis; b)yRerZismimarT.
A C B
A K C
B
C
M A
B
A
B(1;2)
C(3;1)
1 2 3
1
2
14
ITavi
testi ¹6
1.naxazismixedviTx= a)50°; b)130°;g)100°;d)pasuxsvergavcemT.
x
50°
5. BC= a)5sm;b)3sm;g)6sm;d)pasuxsvergavcemT.
A
5 sm
3sm 3sm C
B
2. naxazismixedviT ∠B= a)65°;b)45°;g)70°;d)90°.
A 65° 45°
C
B
6.AC= a)6sm;b)3sm;g)12sm;d)pasuxsvergavcemT.
A
6 sm
60°C
3.naxazismixedviT CD= a)6sm; b)12sm; g)5sm;d)pasuxsvergavcemT.
B
6 sm
A
O
5 sm
C
D
7. α= a)30°;b)40°;g)60°;d)120°.
2α
α 120°
4. ∠C= a)40°; b)100°; g)50°;d)pasuxsvergavcemT.
A 40°
C
B
8.Tux mTeliricxviTgamoisaxebada∠A≠∠B ≠∠C, maSin x= a)2sm;b)3sm;g)4sm; d)5sm.
B
2 sm
A x
3 sm
C
15
testi ¹7
1. (2a – 5b)2 =a)4a2 – 10ab + 25b2; b)4a2 – 20ab + 25b2;
g)25b2 – 10ab + 4b2; d)25b2 – 20ab + 4b2.
2. (4x2 – 20)2 =a)4(x2 – 5)2; b)2(2x2-1)2; g)16(x2-5)2; d)16(x2-5).
3. 11 3
25 172 2
2 2
-
-
a)1; b)2; g)3; d)4.
4. (5a – 2b)2 – (2a – 5b)2 =a)21(a – b)(a + b); b)21(a + b)2; g)21(a – b)2; d)9(a – b)(a + b).
5. a3 + 27b3 =a)(a + 3b)3; b)(a – 3b)3;
g)(a + 3b)(a2 – 3ab + 9b2); d)(a + 3b)(a2 + 3ab + 9b2).
6. x2 – x – 6 =a)(x – 5)(x + 1); b)(x + 2)(x – 3); g)(x – 2)(x + 3); d)(x – 6)(x + 1).
7. (5x – 1)2 – (5x + 3)2 = –48 gantolebisamonaxsnia:a)x = 0; b)x = 1; g)x = 3; d)x = 5.
8. aCveneT,rom94·11 + 94·74 iyofa17-ze.
9. sxivebisraumciresiraodenobaundagavataroTwertilidan,rommivi-RoT:
a)orimarTidaerTigaSlilikuTxe?
b)gaSlili,maxvilidablagvikuTxe?
g)mezobelsxivebsSorisyvelakuTxeiyosmarTi?
d)mezobelsxivebsSorisyvelakuTxeiyosblagvi?
e)mezobelsxivebsSoriserTikuTxemainciyosmaxvili?
(yvelaSemTxvevisTvisSeadgineTSesabamisinaxazi).
16
ITavi
1 gamonaTqvami
1. SemdegiwinadadebebidanromeliamcdaridaromeliWeSmariti:a)yvelamartiviricxvikentia;b)yvelamTamsvlelisportsmenia;g)yvelasportsmenimTamsvlelia.
winadadebaTa umravlesoba WeSmarit an mcdar azrs gamox-atavs. aseT winadadebas gamonaTqvams uwodeben. magaliTad, wi-nadadebebi„7kentiricxvia“,„giorgibrwyinvalegaerTianebulisaqarTvelosmefeiyo“gamonaTqvamebiada,amavedros,WeSmarit-ic.asevegamonaTqvamebia:„farsmanqvelibagrationia“,„yoveliluwiricxviiyofa6-ze“,magrameswinadadebebimcdarigamonaTq-vamebia.gamonaTqvamiSesaZlebeliaCaweriliiyosmaTematikuriniSnebiTac,magaliTad,„3+7>12“–mcdarigamonaTqvamia.
ise ar unda gavigoT, rom yvela winadadeba gamonaTqvamia.magaliTad: brZanebiTi winadadeba – „guram, Tbilad Caicvi!“,an kidev kiTxviTi winadadeba – „nato, ratom ar mecadineob?“– ar arisgamonaTqvami.radganuazrobaa am winadadebis mimarTdaisvaskiTxva,WeSmaritiaigiTumcdari.ararisgamonaTqvami,agreTve,ganmarteba–„wrewirisoriwertilisSemaerTebelmon-akveTsqordaewodeba“,–radganaqdadgeniliaraRacobieqtissaxelwodeba,amitomamSemTxvevaSicuazrobaadaisvaskiTxva–WeSmaritazrsgamoxatavsesganmartebaTumcdars.
ararisgamonaTqvami„x2–5=4“winadadebac,radganigix-iszo-gierTimniSvnelobisaTvisWeSmaritia,zogierTisTviskimcdari.magramwinadadeba:`nebismierix-saTvisx2–5≠4~arisgamonaTqvami,Tumcamcdari.
daasaxeleTx-isramdenimemniSvneloba,romlisTvisacmiRebuligamonaTqvamiiqneba:
a)mcdari; b)WeSmariti.
gamonaTqvamebipataraberZnuliα, β, γ, δ, ...asoebiTaRvniSnoT.zogjer,msjelobisas,origamonaTqvamisagan„da“,„an“ansxva
kavSiris saSualebiT vadgenT ufro rTul gamonaTqvams. mag-aliTad,winadadeba–„xaSurisaqarTvelosqalaqiadaigimdin-arerionispirasaagaSenebuli“–rTuligamonaTqvamia.igiorigamonaTqvamisaganSedgeba.αgamonaTqvami–„xaSurisaqarTvelosqalaqia“WeSmaritazrsgamoxatavs.βgamonaTqvami–„igi(xaSuri)mdinarerionispirasaagaSenebuli“–mcdarigamonaTqvamia.αdaβgamonaTqvamebierTmaneTs„da“kavSiriTukavSirdebadaradgan
winadadebas, romel-sac SesaZlebeliadaesvas kiTxva _WeSmaritia igi Tumcdari,gamonaTqvamiewodeba.
17
erT-erTi, kerZod, β, mcdari gamonaTqvamia, amitom winadadeba– „xaSuri saqarTvelos qalaqia da igi mdinare rionis pirasaagaSenebuli“–mcdarigamonaTqvamia.
WeSmaritiaTuaragamonaTqvami?
„4naklebia7-zedametia-3-ze?~.
amrigad,TuαdaβgamonaTqvamebia,maSin„αdaβ“kvlavgamonaTqvamia da igi WeSmaritia, roca WeSmaritia α-c daβ-c.sxvaSemTxvevaSiki(TuerTimaincmcdaria)–mcdaria(nax.1).
TuαdaβgamonaTqvamebiSeerTebulia„an“kavSiriT,ma-SingamonaTqvami„αanβ“iqnebamcdari,rocamcdariaα-cdaβ-c,yvelasxvaSemTxvevaSi(TuerTimaincWeSmaritia)ki–WeSmariti(nax.2).magaliTad,gamonaTqvami„7≥3“WeSmaritigamonaTqvamia,radgan„7>3“,„7=3“gamonaTqvamebidanerTi–„7>3“–WeSmaritia.
WeSmaritiaTumcdarigamonaTqvami?
a)5≥5; b)7≤2; g)3≤3.
waikiTxeT 1-eli da me-2 cxrilis TiToeulistriqoni.
magaliTi 1.
arisTuaragamonaTqvamiSemdegiwinadadeba?
a)dedamiwamTvarisTanamgzavria;
b)guram,TuSeiZleba,wignimomawode!
g)5,7·8,81>63.amoxsna:
a)gamonaTqvamiadamcdarazrsgamoxatavs.e.i.mcdarigamonaTq-vamia;
b)ararisgamonaTqvami,radganamwinadadebismimarTuazrobaadaisvaskiTxva,mcdariaigiTuWeSmariti.
g)gamonaTqvamia.davadginoTesgamonaTqvamimcdariaTuWeSma-riti.radgan63=6·9, xolo5,75<6da8,81<9, amitomgamonaTqvamimcdaria.
magaliTi 2.
daadgineT, Semdegi gamonaTqvamebidanromelia mcdaridarom-eliWeSmariti:
a)5<18<12; b)0≤0;g)giorginikolaZeqarTvelimaTematikosiadamanialbuzida-laSqra.
α β αdaβW W W
m W m
W m m
m m mnax.1
α β αan βW W W
W m W
m W W
m m mnax.2
aso„W“aRniSnavssityva„WeSmarits“,aso„m“ki_sityva„mcdars“.
18
ITavi
amoxsna:a)„5<18<12“ikiTxeba:„18metia5-zedanaklebia12-ze“;α-TiaRvniSnoTgamonaTqvami„18>5“.β-Ti–„18<12“.radgan β mcdari gamonaTqvamia, amitom „5<18<12“ mcdari gamo-naTqvamia.b)„0≤0“ikiTxeba:„0naklebiaantolia0-ze“.radganorigamonaTq-vamiSeerTebulia„an“kavSiriT,daerTi„0=0“WeSmaritia,amitom„0≤0“WeSmaritigamonaTqvamia.g)αgamonaTqvamia„giorginikolaZeqarTvelimaTematikosia“;βgamonaTqvamia„manialbuzidalaSqra“.radganαdaβgamonaTqvamebi„da~kavSiriTaaSeerTebuli,daTanorivegamonaTqvamiWeSmaritia, amitomgamonaTqvami_ „giorginikolaZe qarTvelimaTematikosiada man ialbuzidalaSqra~_WeSmaritigamonaTqvamia.
ganvixiloTgamonaTqvami:„VIIIaklasisyvelamoswavledadiscekvaze~. Tu VIIIa klasSi moiZebneba erTi moswavle mainc, ro-melicardadiscekvaze,maSingamonaTqvamiiqnebamcdari.
cxadia,paragrafisdasawyisSimocemuligamonaTqvamebidan:a)mcdaria,radganarsebobserTaderTiluwimartiviricxvi_2;b)WeSmaritia;g)mcdari.
SeavseTgamotovebuliadgilebi:
1. winadadebas, romelsac SesaZlebelia daesvas kiTxva ? ga-monaTqvamiewodeba;
2.„dResdiliTTovda~ ? gamonaTqvamia;3. 20*76 4 ? gamonaTqvamia;4.0≥0 ? gamonaTqvamia;5. 207324iyofa9-zecda4-zec ? gamonaTqvamia;6.gamonaTqvami`αdaβ”WeSmaritia,rocaα ? daβ ? ;7. TuαWeSmaritigamonaTqvamia,maSinαanβ ? ;8. TuαmcdarigamonaTqvamia,maSinαdaβ ? gamonaTqvamia.
savarjiSoebi:
1 daadgineT,arisTuaragamonaTqvamiSemdegiwinadadebadaTuaris,WeSmaritiaigiTumcdari:a)pariziespaneTisdedaqalaqia;b)zaqariafaliaSviligamoCeniliqarTvelikompozitoriadamisiSeqmniliaopera„daisi“;g)rodisgafrindebaadamianimarsze?
19
gasaxseneblad!
N _naturalurricxvTasimravle
Z _mTelricxvTasimravle
Q _racionalurricxvTasimravle
d)delianindoeTisdedaqalaqia,anCineTis;e)mdinaremisisipianindoeTisokeaneSiCaedineba,anSavzRvaSi;v) {9;–7;5} {3;0}={3;0;–7;9;5}; z) ∅⊂{1};T) {0}⊂∅; i) x2 – 3 ≥ 0; k) x2 + 5x4 + 7 ≥ 0;l) a-sadab-snebismierimniSvnelobisTvissruldebaa–b=–(b–a).
2 WeSmaritiaTumcdariSemdegigamonaTqvami:a) 9>5; b) 8∉Z; g) (N Q)⊂Ν; d) 7,2∈Q;e)x-isnebismierimniSvnelobisaTvis x2 + 4 > 0;v) 14 · 252 iyofa 18-ze.
3 daadgineT,arisTuaraSemdegiwinadadebagamonaTqvamidaTuaris,WeSmaritiaigiTumcdari.a) N⊂Z da Z⊂R; b) 7,5∉N da 7,5∈Q; g) –12∈N an 12∈Z; d)
73 ∉Z da
73 ∉Q;
e) 8 < x ≤ 9; v)0 < x2. z) x = 3 aris x2 – 9 = 0 gantolebiserT-erTifesvi;T) x2 – 9 = 0 gantolebisfesviamxolodx = 3; i) yoveli ori mTeli ricxvis jamic da sxvaobac isev mTeliricxvia.k)yoveliorimTeliricxvisnamravlicdaganayoficisevmTe-liricxvia.
4 ipoveT:a)ramdeni5-isjeradiricxvia1-dan300-isCaTvliT?b)ramdeni7-isjeradiricxvia1-dan300-mde?g)ramdenisamniSnaricxviarsebobs,romeliciyofa11-ze?
5 daamrgvaleTsizustiT:a)0,7894meaTasedamde; b)3,51erTeulebamde.
6 isargebleTnimuSiTdaSeavseTcxrili:
43 0,75 75%
0,5
201
0,16
17,5%
20
ITavi
g.nikolaZesamtrediismaxloblad,sofeldidjixaiSSidaibada.dedam–olRaguramiSvilmaganaTlebaSveicari-aSi,ciurixisadaJenevisuniversitetebSimiiRo.samSob-loSidabrunebulikiqarTulsaTavadaznaurogimnaziaSiaswavlida.mama–nikonikolaZegamoCenilisazogadomoR-vawe,publicistidaliteraturulikritikosiiyo.
geometriisadmi midrekileba da didi siyvarulig.nikolaZem skolaSive gamoamJRavna. magram, radgan igiRrmadiyodarwmunebuli,romsaqarTveloskeTildReobauswrafes industrializacias moiTxovda, amitomTbili-sis I gimnaziis damTavrebis Semdeg swavla peterburgis
teqnologiuri institutis qimiur ganyofilebaze gaagrZela. mangadawyvita metalurgi gamxdariyo. Tumca maTematika ara martostudentobis,aramedmTelicxovrebismanZilzedarCamisicxove-liinteresissagnad.mansakmaodmoklexanSidamoukidebladgai-ara fizika-maTematikis fakultetis sruli kursi da ukve 1921-23wlebSi g. nikolaZe sazogadoebas moevlina, rogorc yovelmxrivganaTlebulimaTematikosi.
parizSi yofnisas man gamoigona eleqtruli ariTmometri.eleqtroariTmometris erTi nawili Sekreba-gamoklebis opera-ciebisTvis iyo gankuTvnili, meore nawili ki – gamravleba-gayo-fisTvis.g.nikolaZemramdenimeevropulidaamerikulifirmisaganmaleve miiRo winadadeba am gamogonebis gamoyenebis Taobaze, ma-grammanyvelasuariuTxradamxolodsaqarTveloSidabrunebul-maaagoTavisisaangariSomanqanismodeli,romelicmisigardacva-lebis Semdeg moskovis politeqnikuri muzeumisTvis gadauciaT,magram,samwuxarod,1936welsdakargula.modelisarcaRwerilobadaarcnaxazebiSemorCeniliararis.
g. nikolaZesdidi wvlili miuZRvis qarTuli mecnieruliter-minologiisSeqmnaSi.mandaamkvidraqarTulenaSiterminebi:wer-tili,wrfe,wneva,deni,tanvarjiSi,mTamsvlelobadaa.S.
sporti g. nikolaZis bavSvobisdroindeli gataceba iyo. 1912welsgiorgidaTamar(giorgisda)nikolaZeebipraRisVI“skolis”SekrebaSi monawileobdnen. giorgi, rogorc tanmovarjiSe, dididiplomisadapirvelijildosmflobeligaxda.
qarTuli,dasazogadod,sabWoTaalpinizmismatiane1923wlis28agvistosiwyeba,rocag.nikolaZe18TavisiveaRzrdilTanerTadmyinvarwverzeavida.erTiwlisSemdegkigiorgiawyobsdidsamTolaSqrobasmarSrutiT:zemoimereTi–SidaqarTli–CrdiloeTos-eTi–mamisoniszekari–raWa.kideverTiwelicdaialbuzicdapy-robilia.
g.nikolaZeormocdaoriwlisagardaicvala,magramZalianbev-risgakeTeba moaswro. mas mxolodsicocxlisbolowlebSimiecasaSualebaTavisispecialobiTemuSavasaqarTveloSi.g.nikolaZisiniciativiT didubeSi aigo specialuri sacdeli feromanganumisqarxana,romelic1930wlis21ivnissamuSavda.1931wlis20ianvarsigiqarxanaSi,RumelTangacivdadafiltvebisanTebadaemarTa.5Tebervalskig.nikolaZegardaicvala.igidakrZaluliadidubissazogadomoRvaweTapanTeonSi.
g.nikolaZe(1889-1931w.)
giorgi nikolaZe
21
2 mocemulis sawinaaRmdego gamonaTqvami
ganvixiloTwinadadebebi:
A:`xvalmaTematikaSi10qulasmiviReb~;B:`xvalmxolodfizikaSimiviReb10qulas~;C:`xvalmaTematikaSimiviReb8qulas~;D:`maTematikaSizegmiviReb10qulas~;E:`xvalmaTematikaSi10qulasarmiviReb~.
rogorfiqrobT?B, C, DdaEwinadadebebidanromeliaAgamonaTqvamissawinaaR-mdegogamonaTqvami?
TukargadgaiazreTTiToeuliwinadadeba,maSinadviladmix-vdebiT,romAdaB, aseveAdaCwinadadebebiSesaZloaerTdrou-ladaRmoCndnenmcdari.xoloAdaDgamonaTqvamiSesaZlebeliaerTdrouladiyosanmcdari,anWeSmariti.magaliTad,TuxvalarcmaTematikadaarcfizikagamoiZaxebsmoswavles,maSinAdaBgamonaTqvamebierTdrouladmcdariaRmoCndeba..
daasaxeleT,raSemTxvevaSiiqneba::a)AdaDgamonaTqvamierTdrouladiqnebamcdari,WeSma-riti;b)AdaCgamonaTqvamierTdrouladiqnebamcdari.
AdaEgamonaTqvamebidanki,rocaAWeSmaritia,maSinEmcdariadapiriqiT,rocaAmcdaria,maSinEWeSmaritia.EgamonaTqvamsAgamonaTqvamissawinaaRmdegogamonaTqvamiewodeba.AgamonaTq-vamissawinaaRmdegogamonaTqvamiaRiniSnebaase:A .
A gamonaTqvamis sawinaaRmdego gamonaTqvami WeSmaritia,rocaAmcdariadapiriqiT,mcdariamaSin,rocaAWeSmari-tia.
dawereTmocemuligamonaTqvamissawinaaRmdegogamo-naTqvami:
1.yvelamartiviricxvikentia;2.xuTimetiasamze;3.batkanilomisSvilia;4.iremiararisfrinveli.
A A
W m
m W
cxrilSimocemuliaAdaA gamonaTqv-amebsSoriskavSiri.
A gamonaTqvami damisi sawinaaRmdegoB gamonaTqvami arSeiZlebaiyoserTd-roulad mcdari anerTdroulad WeS-mariti.
22
ITavi
SeavseTgamotovebuliadgilebi:
1.gamonaTqvamebi`∆ABCmarTkuTxaa~da`∆ABCblagvkuTxaa~. ? erTmaneTissawinaaRmdegogamonaTqvamebi.
2.`5>7~gamonaTqvamissawinaaRmdegogamonaTqvamia`5 ? 7“.
3. `giorgi qeraa~ gamonaTqvamis sawinaaRmdego gamonaTqvamia`giorgi ? qera~.
savarjiSoebi:
1 dawereTmocemuligamonaTqvamissawinaaRmdegogamonaTqvamidadaadgineT,romeliamaTganWeSmaritigamonaTqvami:
a)lomimtacebelicxovelia;
b)yvelanaturaluriricxviluwia;
g)2006wlis5ivlissTbilisSi100saaTzemzianiamindiiyo.
d)7≥4; e)3<–2;v)yvelakentiricxvimartiviricxvia;
z)qaTamidReSi5kgsimindsWams.
2 mocemuliagamonaTqvami:̀ yvelaixviwiTelia~.mocemulissawi-naaRmdegogamonaTqvamia:
a)yvelaixviTeTria;
b)arsebobsWreliixvebi;
g)arsebobsixvi,romelicarariswiTeli;
d)yovelifrinveli,romelicararisixvi,wiTelia.
3 winadadebaTa mocemuli wyvilebidan romelia urTierTsa-winaaRmdegodaromeliara.pasuxiaxseniT.
a)3>2da3<2;b)5≥4da5<4;g)24 5 da 24 4;d)TakodediserTaa;Takos3Zmada2dahyavs.
4 qvemoTY mocemuli gamonaTqvamebidan romelia `kokam forte-pianoze dakvra icis~ _ gamonaTqvamis sawinaaRmdego gamo-naTqvami?
a)kokammxolodviolinozedakvraicis;
b)kokamarcerTinstrumentzearicisdakvra;
g)kokamfortepianozedakvraaricis;
d)kokamfortepianosgardayvelainstrumentzeicisdakvra.
mocemuli gamonaTq-vamis sawinaaRmdegogamonaTqvami rom mi-viRoT,saWiroaSemas-menlis windavweroTnawilaki `ara~ an,Tuki aseTi nawilakiukve aris _ movaSo-roTigi.
A – „5 > 2“A – „5 ≤ 2“
23
5 dawereTmocemuligamonaTqvamissawinaaRmdegogamonaTqvamidadaadgineT,romeliamaTganWeSmaritigamonaTqvami.a)TutolferdasamkuTxedisromelime kuTxe60°-ia, maSin istolgverdaa;b)TuorkuTxes,romelTajami180°-iasaerTogverdiaqvs,ma-SinisiniaucilebladmosazRvrekuTxeebia;g)arsebobssamkuTxedi,romlisorigarekuTxe56°da37°-ia.
6 klasis30moswavlidan20%-saqvsSaviTma,70%-syavisferiTma,xolo10%_qeraa.ramdenimoswavleaklasSi,romelsac:a)aqvsanqeraanSaviTma;b)aqvsanyavisferianqeraTma;g)araaqvsqeraTma.
7 ToTxmetsarTulian saxlSi yovel sarTulze 4 binaa. romelsarTulzea:a)bina №##42;b)romelsadarbazoSidaromelsarTulzeabina№##117.
8 ipoveTiseTiricxvi,romlis37037-zegamravlebiTmiiRebamx-olod4-ianebiTCaweriliricxvi.
9 daamtkiceT,rom̀ nebismierixuTimomdevnonaturaluriricx-visnamravliiyofa120-ze~,WeSmaritigamonaTqvamia.
aTwilads, romlisCanawerSic mZimisSemdeg aTwiladiniSnebis sasruliraodenobaa, sasrulaTwiladsuwodeben.
amocanadamoukidebelikvlevisTvis:
10 WeSmaritia Tu mcdari gamonaTqvami: nebismieri orinaturaluri ricxvis Sefardeba sasruli aTwiladissaxiTgamoisaxeba.
24
ITavi
3 xarisxi mTeli maCvenebliT
1.rakanonzomierebasamCnevT
a)naxazzemocemulricxvTamimdevrobas?
b)1000000, 100000 10000, 1000, 100, 10, 101 ,
1001 ,
10001 , ...
mimdevrobas?
mecnierebasa da teqnikaSi xSirad gvxvdeba moduliT Zaliandidi an mcire ricxvebi. magaliTad, dedamiwis moculoba
1 083 000 000 000 km3-ia,wyalbadisatomismasaa ,00...00 1723S
g,wylis
molekulismoculobaki_0,00000003 sm3daa.S.aseTiricxvebisrogorcCawera,asevewakiTxvacmouxerxebelia,amitommaTa·10n
saxiTwarmoadgenen.
magaliTad,350 000 000 = 3,5·108.magramrogorwarmovadginoTa·10nsaxiTwyalbadisatomismasa,wylismolekulismoculobadaa.S.?
ganvmartoTxarisximTelimaCvenebliT:
a1 = a
an = ...a a ajern
$ $ $-
1 2 344 44 , n∈N, n>1.
a0 = 1, Tu a≠0.
a–n = a1n , Tu a≠0 da n∈N.
e.i.0,1= 101 =10–1; 0,001=10–3.
gamoTvaleT: 2–5; 2–4; 3–2.
maSasadame,paragrafSidasmuliproblemaSeiZlebaasegadavw-yvitoT:
,00...00 1723S
= 1,7·10–24
12
14
18
116
132
164
winsarTididiricx-vebisTvisdeka(dk) – 10heqto(h) – 102
kilo(k) – 103
mega(mg) – 106
giga(g) – 109
tera(t) – 1012
mag.,3mgvt= 3·106vt
winsarTimcirericxvebisTvisdeci(d)– 10–1
santi(s)– 10–2
mili(m)– 10–3
mikro(mk) – 10–6
nano(n) – 10–9
piko(pk) – 10–12
mag.,3sm=3·10–2 m.
106 = 1000000105 = 100000104 = 10000103 = 1000102 = 100101 = 10100 = 1;
10–1 = 101 ;
10–2 = 1001
. . .
25
ricxvis standartuli saxe ewodeba mis a∙10n Canawers, sa-dac 1≤a<10, n∈N. n-s mocemuli ricxvis rigi ewodeba .
ganmartebissafuZvelzeCawereTYstandartulisaxiT:a)dedamiwismoculoba; b)wylismolekulismoculoba.ipoveTmaTirigi.
magaliTi 1.
gamoTvaleT:a)(–3)–3; b)–3–4; g) 3–3; d) 43 2–
` j .
amoxsna:
a)(–3)–3=( )31
271
271
3-=
-=- ; g)3–3 =
31
271
3 =-31
271
3 =- ;
b) –3–4 = –( )31
811
4 =- ; d)43
431
34
9162 2–
2= = =``
`jj
j .
SeavseTgamotovebuliadgilebi:
1. 31
3 ?5 = ; 2. 5–7 =
?1 ;
3. 3510...0jer15-S
= 3,51·10 ? ; 4. (–5)–2 = ?1 ;
5. (3–7 +210)0 = ? . 6. 0,0 ...00jer11-S
251 = 2,51·10 ? .
savarjiSoebi:
1 gamoTvaleT:a) (–2)2, (–2)4, (–2)6; b) –22, –24, –26; g) –(–2)2, –(–2)4, –(–2)6; d) (–2)3, (–2)5, (–2)7; e) –23, –25, –27; v)–(–2)3, –(–2)5, –(–2)7.
2 CawereTwiladissaxiT:a) 4–1, 4–2, 4–3, 4–5; b) 7–2, 7–3, 7–8; g) 3–2, 3–3, 3–4; d) 10–1, 100, 10–3; e)18–1, 18–12, 18–18; v) 5–1; 5–2; 5–3.
3 CawereTuaryofiTmaCveneblianixarisxissaxiT:
a) 315 ;
517; 321 ;
641 ;
6251 ;
2431 ;
1000001 ;
b) 0,1; 0,001; 0,00001; 0,125; 0,04; 0,0004.
4 gamoTvaleT:a) (–5)–2, (–5)–1, (–5)–3; b) (–3)–3, (–3)–2; g) (–2)–2, (–2)–5, (–2)0, (–2)–1;d)
32 1
--
` j32 3
--
` j32 3
-` j ; e)–1–5, (–1)–7; v)–0,1–4, (–0,1)–4, (–0,1)–3.z) 9·5–1 – 3·5–2; T) 4·10–2 + 3·10–1; i) –3·3–4; k) 3·25+4·5–1.
ricxvirom107-zegavamravloT,mZimeundagadavitanoT7cifriTmarjvniv.ricxvirom10–7-zegavamravloT(107-zegavyoT),saWiroamZimegadavitanoT7cif-riTmarcxniv.
gasaxseneblad!
an – xarisxia – fuZen – xarisxismaCvene-beli
yuradReba:
–26 = –(26),magram–26 ≠ (–2)6.
26
ITavi
5 CawereTaTwiladissaxiT:a) 5,6·10–3; b) 5·10–7; g) 2,65·10–8; d) 6,75·10–5.
6 gamoTvaleTkalkulatorissaSualebiT:a) 2,5–2·4,3–2; b) 0,11·10–3·0,112; g)8–7·(11–10).
7 CawereTstandartulisaxiT:a)2700...0
18S
; b) 0,00...07S
136; g) 1560...09S
; d)0,0...018S
17.
8 CawereTstandartulisaxiT:a)ramdenikuburimilimetria1kuburmetrSi;b)1m3-isranawilia1mm3;g)Jangbadisatomismasa 0,0 ...00
22S
2662g-ia.
9 gripis virusis zomebia daaxloebiT 10–4mm. CawereT es ricxviaTwiladissaxiT.
10 CawereTricxviTimonacemiaTwiladissaxiT:a)elvisxangrZlivoba:10–4wm;b)atomisdiametri:10–10m;g)dedamiwiszedapirisfarTobi:5,11·108 km2;d)dedamiwisxmeleTisfarTobi:1,49·108 km2.
11 evropelastronomTa erTmajgufma1995 w. aRmoaCina axaligalaqtika.cnobilia,romvarskvlavTaamsistemidandedami-wamde signalma moaRwia 11-dan 15 miliardamde wlis ganmav-lobaSi.daaxloebiTrisitoliSeiZlebaiyosumciresi,Se-sabamisadudidesimanZiliamgalaqtikidandedamiwamde,Tucnobilia,romsignaliwamSidaaxloebiT300 000km-sgadis.
12 SeavseTcxrilimocemulinimuSismixedviT:
21,35 = 20 + 1 + 0,3 + 0,05 = 2·10 + 1·100 + 3·10–1 + 5·10–2
105,102 =2015,011 =0,1021 =
13* zrdasruliadamianissxeulSisaSualod5lsisxlimoZrao-bs.1 mm3 sisxliSeicavs5·106 wiTelsxeuls.ramdeni wiTelisxeuliazrdasruliadamianissisxlSi?
14 generatorigamoimuSavebs 900 mgvtsimZlavrisenergias.ram-deni60 vt-ianinaTurisanTebaaSesaZlebelierTdroulad.
15 dedamiwismasisadamzismasisSefardebatolia1 : 330 000. ipoveTmzismasa,TudedamiwismasadaaxloebiT 6·1024kg-ia.
16 saaTizustdrosyoveldRiurad 10–11wamiTCamorCeba.mwar-moebeliakeTebsreklamas:„saaTizustdros xwlisganmav-lobaSi1wamiTCamorCeba“.ipoveTx.
2–6 SegiZliaTkalku-latorisdaxmarebiT
advilad
gamoTvaloT:
2 xy 6 +-
27
17 manZili dedamiwidan mzemde 1,49·108 kilometria. sinaTlissxivissiCqarea300000km/wm.radroSiaRwevssinaTlissxivimzidandedamiwamde?
18 varskvlavi, romelic dedamiwidan 1,57·1015 km-iTaa daSore-buli afeTqda. ramdeni wlis Semdeg daafiqsirebs am faqtsdedamiwazeteleskopi?
19 WeSmaritiaTuaragamonaTqvami:`orimTeliricxvis:
a)jami;b)sxvaoba;g)namravli;d)Sefardeba
isevmTeliricxvia~.
20 saTburSipataramonakveTzedargesyvavili,romelicyovelkviraSi ormagdeba (orjer met farTobs faravs). 11 kvirisSemdegnakveTimTlianaddaifarayvavilebiT.ramdenkviraSidafaravdanakveTs2yvavili?
21 warmoadgineTsxvaobissaxiT:a)1 21$;b)
2 31$;g)
3 41$.
22 gamoTvaleTadvilixerxiT:1 21$
+ 2 31$
+ 3 41$
+ 4 51$
+ ... + 9 101$
.
23 navsadguridandinebis sawinaaRmdegomimarTulebiTmoto-rianinavigaemgzavra,romlissakuTarisiCqare10km/sT-ia.45wuTisSemdegmotorigaCerdadamdinarisdinebamnavi3saaTis Semdeg isev navsadgurSi daabruna. ipoveT mdinarisdinebissiCqare.
amocanadamoukidebelikvlevisTvis:
mecnierebismierdadgenilia,rom18wlisasakamden wlisadamianebs
dRe-RameSiundaeZinoTm saaTi,sadacmgamoiTvlebaformuliT:
m=8+ n2
18 - .formulismixedviTupasuxeTSemdegSekiTxvebs:
a)TqvenramdenisaaTiundageZinoT?
b)ramdenisaaTiundaeZinoTTqvens18 welzenaklebiasakisojaxiswevrebs?
g)romelsaaTzeundadawveT,rom8 saaTzegaiRviZoT?
28
ITavi
4 mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebi
1. ipoveT1dm3moculobismqonewyalbadismasa,(wyalbadissimkvrivea9·10–5g/sm3).amoxsna:1 dm3=1000sm3=103sm3. simkvrivis gamosaTvleliformulaa
ρ= mV (mnivTierebismasaa, V_moculoba).
aqedanm = ρV. m = 9·10–5smg
3 ·103 sm3 = 9·10105
3
; m = 9·10–2 g.
mTelmaCveneblian xarisxs gaaCnia naturalurmaCvenebliani xa-risxisanalogiuriTvisebebi.rocaa, b ≠ 0, dam, n∈Z sruldeba:
1. am · an = am+n; 2. am : an = am–n;
3. am · bm = (ab)m; 4. ba
ba
m
m m
= ` j ;
5. (am)n = amn.
rogorccnobilia,am:an=am–n,rocam>n>0, m,n∈N. a∈R\{0}.ganvixiloTam : an,roca0<m<n da m, n∈N.adviladmixvdebiT,romiarsebebsiseTi k∈N,romn = m + k.
am : an = am
an = am
am+k = am
am·ak = 1ak = a–k = am–n.
davamtkicoTmTelmaCveneblianixarisxiszogierTiTviseba:
1. am∙an=am+n, a∈R\{0}, m,n∈Z.
damtkiceba:
1) m>0da n < 0.vTqvaT,n = –k, k∈N,maSinam · an = am · a–k = |ganmarteba:a–k =
1ak
am · 1ak =
am
ak = |tolfuZianixarisxebisgayofa
= am–k = am+n . r.d.g.
2) m < 0dan < 0.vTqvaTm = –k, n = –p, k,p∈N,maSin
am · an = a–k · a–p = 1ak ·
1ap =
1ak+p = a–(k+p)=am+n..r.d.g.
amiTpirveliTvisebadamtkicebulia.
2. am : an = am–n, a∈R\{0}, m,n∈Z.damtkiceba:
am : an = am · 1an = am · a–n = am–n.r.d.g.
1dm=10sm1dm3 =1000sm3
wyalbadi
H HH H
2H2
29
(an)m = amn,n,m∈N
3. (am)k = amk, a≠0, m, k∈Zdamtkiceba:esTvisebaukvedamtkicebulia,roca m, k>0 (VIIklasSi).ganvixiloT,rocamda k-danerTimaincuaryofiTia.
I. k<0dam>0.vTqvaT,k=–n, n∈N,maSingveqneba:
(am)k = (am)–n = 1(am)n = 1
amn = a–mn = am(–n) = amk.r.d.g.
II. m<0da k>0.vTqvaT, m = –p, p∈N,maSin:
(am)k = (a–p)k = ( 1ap)k
= 1(ap)k
= 1apk = a–pk = a(–p)k = amk.r.d.g.
III. m<0dak<0.vTqvaT, m=–p da k=–n, p,n∈N,maSin:
(am)k = (a–p)–n = ( 1ap)–n
= (ap)n = apn = a(–p)(–n) = amk.r.d.g.
advilisanaxavia,rom,rocamdak-danerT-erTimaincnulisto-lia,CvensmierCamoyalibebuliTvisebamarTebulia(Tavaddar-wmundiT!).
Tavad daasabuTeT mTelmaCvenebiani xarisxis danarCeniTvisebebi.
magaliTi 1.kalkulatorissaSualebiTgamoTvaleT
32 4-
` j .amoxsna:davweroTTanamimdevrobakalkulatorisaTvis:
2 ÷ 3 = yx 4
+- = 5,0625
32 4-
` j = 23 4
` j = 1681
magaliTi 2. gaamartiveT:
a) x7 · x–10; b) x–8 : x2; g) 8–8·0,125–8; d) (32)–4. amoxsna:a) x7 · x–10 = x7+(–10) = x–3; b) x–8 : x2 = x–8–2 = x–10;g)8–8 · 0,125–8 = (8·0,125)–8 = 1–8 = 1. d)(32)–4 = 3–8 =
318 =
65611 .
magaliTi 3.gaamartiveTgamosaxuleba:a) 98
28562
6
3$-
- -
; b) a b
a b
3
274 4 7 3
3 5 4
- -
- -
^^
hh .
amoxsna:
a) 9828
562
6
3$-
- -
= 2 7
2 7 7 22 2
2 6
3 3
$
$ $-
- -
^^ ^
hh h =
2 72 7 7 24
12 6
2 3 9
$$ $ $
- -
- - - -
= 2 72 7
12 6
11 7
$$
- -
- -
= 72 .
b) a b
a b
3
274 4 7 3
3 5 4
- -
- -
^^
hh =
a b3
33
4 3 4 3 7 3
4 3 4 5 4
- - - -
- - - -^ ^ ^h h h = 3 a b
a b3 12 12 20
12 12 21- -
- -
= a24b–41.
30
ITavi
SeavseTgamotovebuliadgilebi:
1. tolfuZianixarisxebisgamravlebisasfuZe ? ,xarisxismaCve-neblebiki ? .
2.tolmaCveneblianixarisxebisgamravlebisasfuZeebi ? ,xarisxismaCveneblebiki ? .
3.55
9
7
=5 ? ; 4. (5–3)–7 ==5 ? ; 5. 2107
7 = ? .
savarjiSoebi:
1 ipoveTgamosaxulebismniSvneloba:a) 3–5 · 38; b) 74 · 7–8; g) 4–6 · 4–3; d) 9–4 · 90;e) 27 : 2–2; v) 5–4 : 52; z) 7–19 : 7–18; T) 6–4 : 6–2;i)
43
435 7
$-
` `j j ; k)87 4-
` j : 87 4-
` j ; l) 0,5–1 · 0,5–7; m) 2,5–9 : 2,5–7.
2 warmoadgineTxarisxissaxiT: a) 125·5–7; b) 25:5–12; g) 81·3–7; d) 64:2–7; e)
81 ·2–4; v)
271 :3–5; z) 625:
51
7-; T)
491 ·7–9.
3 gamoiangariSeTzepirad:a) 24 · 54; b) 3–2 · 5–2; g) 0,254 · 44; d) 20–2 : 10–2; e) 86 : 46;v) 123 : 43; z) 5–2 ·
53 2-
` j ; T) 10–4 · 51 4-
` j ; i) 32 · 52; k) 105 : 55.
4 gaamartiveTgamosaxuleba: a) (a+b)2(a–b)2; b) (m+n)–3(m2–mn+n2)–3; g) (x–y)–6(–x–y)–6.
5 gaamartiveT:a) (32)4; b) (54)3; g) (2–3)3; d) (7–2)–1;e) (x3)–2; v) (a–4)5; z) (y2)–7; T) (m–2)–4.
6 CawereTumciresinaturalurifuZismqonexarisxissaxiT:a) 165; b) 25–3; g) 10000–4; d) 81–5;e) 9–2k; v) 125k+1; z) 49–p+1; T) 625–7m.
7 gaamartiveT:a) ((–3)2)–3; (–32)–3; –(32)–3; b) ((–0,5)–1)2; –(0,5–1)2; (–(0,5)–1)2;
g)2 49
14 73
7 10
$
$-
-
;d)25 7
125 496 8
4 5
$
$-
-
; e)27
1-
15 625$–6 2
;v)( )
( )
m n
m n123 4 1
5 2 2
- - -
-
.
8 ipoveTkubismoculoba,TuwibossigrZea: a)1,5·10–3; b)5·10–5; g)3,1·102; d)8·104.
31
9 ramdeninuliTbolovdebaricxvi:
a) (1010)7; b) 10(107); g) (10100)(10100); d) 10((1010)10).
10 Tu210 ≈ 103,maSindaaxloebiTrasididisricxvia: a) 260; b) 272; g) 436.
11 daamtkiceT, rom samniSna ricxvi, romelic Cawerilia mx-oloderTianebiTada4-ianebiT,arSeiZlebaiyosmartivi.
12 1 kg puris Rirebuleba 1/5-iT gaiafda. ramdeni procentiTunda gaZvirdes puri, rom misi Rirebuleba Tavdapirvelsgautoldes?
13 benzinisfasijer50%-iTgaZvirda,Semdegki10%-iTgaiafda.ramdeniprocentiTmetiaaxlabenzinisfasiTavdapirvelTanSedarebiT?
14 masSemdeg,racmgzavrmagaiara1kmdadarCeniligzisnaxevari,mas gasasvleli darCa mTeli gzis mesamedi da kidev 1 km.ramanZilihqondamgzavrsgasavleli?
15 ipoveT:
a) (7k+1)2saxisricxvis7-zegayofisSesaZlonaSTi;b)srulikvadratis3-zegayofisSesaZlonaSTebi;g)srulikvadratis7-zegayofisSesaZlonaSTebi.
16 skolaSi 1400 moswavlea. 1250-ma moswavlem TxilamurebiTsrialiicis, 952-maki – cigurebiT.60moswavleversrialebsverc cigurebiT da verc TxilamurebiT. ramdeni moswavlesrialebsTxilamurebiTdacigurebiT?
17 daamtkiceT,rom:
a)5·107 + 4·104 + 102 + 2 iyofa3-ze;b)8·106 + 4·103 + 2·10 + 4 iyofa9-ze.
32
ITavi
ITavisdamatebiTisavarjiSoebi:
1 WeSmaritiaTumcdariSemdegigamonaTqvami:a)A F=A,sadacF⊂A; b) A F=A; g){0} ∅=∅;d)arsebobsluwimartiviricxvi;
e)yvelasamniSnanaturalurricxvTasimravleSeicavs 899 elements;v)ricxvi ab5 kentiricxviadaigiiyofa5-ze;z)nebismierinaturaluriricxvisme-4xarisxianiyofa5-ze,an5-zegayofi-sasnaSTSi1-siZleva;T)x2 + 7 ≥ 0 x-isnebismierimniSvnelobisaTvis; i) x2≤0;k)beqadabeSqenopizrebianxuroTmoZvrebiiyvnenanmxedarTmTavrebi;
l)gelaTismonasterianimereTSia,anguriaSi;
2 CamoayalibeTmocemulissawinaaRmdegowinadadeba:a)mocemulgantolebaserTaderTiamonaxseniaqvs;
b)alazaniTelavSimiedineba;
g)mocemulisamkuTxedimaxvilkuTxaa;
d)samkuTxedisSigakuTxeebisjami270°-ia.
3 SemdegwinadadebebSiamoarCieTpasuxi(a;b;g;d)ise,romgamovidesWeSma-ritigamonaTqvami:
I. TusamkuTxedisorigverdia8mda15m,maSinmesamegverdiSeiZlebaiyos:a)7m; b)16m; g)23m; d)6m.II. TuoTxkuTxedissamigverdia2m,5,2mda10,3m,maSinmeoTxegverdiarSei-Zlebaiyos:
a)3,1m; b)4,3m; g)13,6m; d)17,2m.III. TuABCDoTxkuTxedSiAB=3,1m;BC=5,8m;CD=AD=6,3m,maSinBDdiagonalissigrZeSeiZlebaiyos:
a)3m; b)3,5m; g)8m; d)9,1m.
4 ipoveTgamosaxulebismniSvneloba:a)19,9·18 – 19,9·16 + 30,1·18 – 30,1·16;b)(17,7654 + 2·0,1173) – (4,65433 + 0,69134:2);g)15,5·20,8 – 3,5·9,2 + 15,5·9,2 – 3,5·20,8;d)(3,8·5,99 + 4,01·3,8) – (7,4·3,85 + 3,7·2,3).
5 ipoveTgamosaxulebismniSvneloba:
a) ; b) ;
g) ; d) .
33
6 CawereTricxvebistandartulisaxiT:a)2700000; b)49000; g)0,00078; d) 0,0000071;e)345·105; v)0,005·10–6; z)0,07·109; T)2567·10–7.
7 gamoTvaleT:
a)5,4(2·10–3); b) ; g) ; d) .
8 gaamartiveT:
a) ; b) ; g) ; d) ;
e) ; v)(a2b)–3; z)(x–1)–2(x+1)–2; T)(–x–2y3)–3;
i)(–0,33)–3; k)(5–2)–2; l)(10–3)–2; m)(–0,1a3)–3.
9 gaamartiveT:
a) ; b) ; g) ; d) ;
e) ; v) (1–x2)–3(1–x2)4; z) ; T) .
10 ricxvebi1,4; 64; 41 ;
161 ;
641 CawereTmTelmaCveneblianixarisxissaxiT,rom-
lisfuZea4.
11 ricxvebi1; 9; 243; 31 ;
811 ;
2431 CawereTmTelmaCveneblianixarisxissaxiT,
romlisfuZea 3.
12 a4; a8; a–6; a–14; a–28 sidideebiCawereTmTelmaCveneblianixarisxissaxiT,rom-lisfuZeaa2.
13 mocemuliricxviTigamosaxulebaCawereTerTixarisxissaxiT.
a)32·2431 ·(81)2·3-3; b) 9
1:274
:4816
:12181`` j j .
14 mocemuligamosaxulebaCawereTiseTixarisxissaxiT,romlisfuZeaa.
a)(a3:a)2:(a2:a3)3; b)((a–2)–2)–2:(a:a–1)2.
34
ITavi
15 SeadareTerTmaneTsmocemuliricxvebi:
a)227da414; b)3-37da9-18;
g) 12
29
` j da41 15
` j ; d)31 25-
` j da271 8-
` j .
16 ipoveTgamosaxulebismniSvneloba:
a)b
a a b2 3
2 2 3 5
$ $-
- -
^^
hh
,Tua=34 ; b=
43 ; b)
b aba a
3
3
2 2
$$
-
-
^^
hh,Tua=
91 ; b=
32 ;
g)b b
a a2
3 3 2 5
3 2 2
$
$-
-
^ ^^ ^
h hh h
,Tua=1,2; b=0,2; d)( )
a b ab
ab a2 3 2
3 3
$
$- - -
- -
^ h ,Tua=1,2; b=0,2.
17* daamtkiceT,rom:
a)259+517iyofa30-ze; b)1213–1212+1211iyofa7-sada19-ze;
g)2710–914iyofa24-ze; d)119–118+117iyofa3-sada37-ze;
e)1723–853iyofa3-sada29-ze; v)883+873iyofa 25-sada7-ze.
35
SeamowmeSenicodna:
1. Semdegiwinadadebebidan I. 0≤0; II. ∅⊂N; III. x-isnebismierimniSvnelobisaTvis x2>0WeSmaritia:
a)mxolod I; b)mxolod II; g)mxolod III; d) I da II.
2. a>5 gamonaTqvamissawinaaRmdegogamonaTqvamia:
a) a<5; b)a≤5; g) a≥5; d) a=5.
3. sasruliaTwiladissaxiTCaiwereba:
a) ; b) ; g) ; d) .
4. a5 : a–7 =
a) a–2; b)a12; g)a–12; d) a35.
5. (a–3)7=
a)a4; b)a21; g) a–21; d) a–4.
6. (–16)·(1:25)·23 =
a)–4; b)4; g)2; d)–1.
7. 32·25·23 2-
` j =
a)62; b)34; g)27; d)25.
8. 12 2
18 3 44
3 2 3
$
$ $ =
a)18; b)81; g)36; d)12.
9. 0,00 011...-jer 1357ricxvisstandartulisaxea:
a)135,7·10–14; b)1357·10–15; g)1,357·10–12; d)0,1357·10–11.
10. 1020·163·x8 gamosaxulebakvadratissaxoTromwarmovadginoT,miviRebT:
a)(100·16x4)2; b)(1010·43x4)2; g)(102·162x4)2; d)(105·43x2)2.
36
I TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva
α β αdaβW W Wm W mW m mm m m
α β αanβW W WW m Wm W Wm m m
cxrilSimocemulia
AdaA gamonaTq-
vamebsSoriskavSiri.
A A
W m
m W
13 =0,(3); 16 =0,1(6)
perioduliaTwiladebia
105 = 100 000
10–5 = 1105
= 0,00001.
●winadadebas,romelsacSesaZle-beliadaesvaskiTxva_WeSmaritiaigi Tu mcdari, gamonaTqvamiewodeba.
● A gamonaTqvamis sawinaaRmdegogamonaTqvami mcdaria, roca AWeSmaritiadaamrigad,WeSmaritia,roca Amcdaria.
●mocemuligamonaTqvamissawinaaRmdegogam-onaTqvamirommiviRoT,saWiroaSemasmenliswin davweroT nawilaki `ara~ an, Tuki aseTinawilakiukvearis_movaSoroTigi.
● ricxvs, romelic SesaZlebelia warmovadgi-noT mn wiladis saxiT, sadacm∈Zdan∈N,ra-cionaluriricxviewodeba.
●usasruloperioduliaTwiladebicraciona-luriricxvebia.
●TuukveciwiladismniSvneliarSeicavs2-isada 5-is garda sxva martiv mamravls, maSin eswiladigadaiqcevasasrulaTwiladad.
winaaRmdeg SemTxvevaSi miiReba perioduliaTwiladi.
●xarisximTelimaCvenebliT.a1 = aan = a a a
n
⋅ ⋅ ⋅...-jer
1 24 34 , n∈N, n>1.
a0 = 1, Tu a≠0.
a–n = 1an , Tu a≠0 da n∈N.
●Tvisebebi:
1. am · an = am+n; 2. am : an = am–n;
3. am · bm = (ab)m; 4. ba
ba
m
m m
= ` j ;
5. (am)n = amn. ●AdaA gamonaTqvamebidanerTiaucilebladmcdariadaerTiaucilebladWeS-maritia.
A – „5 > 2“A – „5 ≤ 2“