97
Глава ІІI. ДИНАМИКА
10. Динамика на материална точка.
10.1. Въведение.
Определение – Динамиката е част от механиката, която изучава
механичните движения на материалните обекти в зависимост от
силите, които действуват върху тях.
Съществуват две обективни форми на материята: веществена
(вещество) и полева(поле). Веществото е съвкупност от елементарни
частици и се характеризира с маса и енергия. Полето е такава
материална форма, която осъществява взаимодействието на частиците
и ги свързва в системи.
Нютоновата механика допуска съществуването на абсолютно
пространство и абсолютно време. Абсолютното пространство се
приема като безкрайна и непрекъсната съвкупност от точки,
разстоянията между които са неизменни. Това пространство е
независимо от движещата се материя и от времето. Абсолютното
време се приема като определена продължителност на процесите и
явленията, независимо е от материалните обекти, тече непрекъснато,
равномерно и еднопосочно, без начало и край, но може да се измерва.
Основните закони на механиката(аксиоми) са изложени системно за
първи път от Исак Нютон през 1687 г. в съчинението му
“Математични основи на естествената философия”.
Законите на движението са по отношение на абсолютна (Коперникова)
координатна система свързана с абсолютното пространство, с
координатно начало - центъра на Слънцето и оси, насочени към три
неподвижни звезди. Валидни са и за инерциални или галилееви системи
движещи се транслационно и равномерно спрямо абсолютната система.
Нютоновата(класическа) механика е пригодна за изучаване
движението на тела, чиито скорости са далеч под скоростта на
светлината( skm /10.3 5 ). В противен случай тясната връзка между
материя, пространство и време не може да се пренебрегне, с което се
занимава теорията на относителността на Айнщайн, а в микросвета
на атома – квантовата механика.
Цел на динамиката е решаването на две основни задачи:
• права задача на динамиката – по известни маса и уравнение на
движение на обекта, да се определят действуващите сили;
• обратна задача на динамиката – по известни маса и сили
действуващи на обекта, да се определи уравнението на движение.
98
Аксиоми на динамиката.
1. Закон за инерцията – Материална точка запазва състоянието
си на покой или равномерно праволинейно движение дотогава,
докато действието на други тела не измени това състояние.
2. Закон за пропорционалност на силата и ускорението –
Ускорението ar на материална точка е пропорционално на
приложената сила Fr
и има еднакви с нея направление и посока.
Този закон се изразява векторно с уравнението
(1) amFrr
=
и се нарича основно уравнение на динамиката. Коефициентът на
пропорционалност kgm, не зависи от силата, а е атрибут, т.е. присъщ
(свойствен) на материалната точка и се нарича маса. Масата е мярка за
инертността на материалната точка. Телата в близост до земната
повърхност изпитват ускорение 2/81.9 smg ≈ и имат тегло mgG = .
3. Закон за равенство на действието и противодействието –
на всяко действие съответствува равно и противоположно
насочено противодействие.
Следствие. Две материални точки си взаимодействуват
със сили, равни по големина, противни по посока и
насочени по правата, която ги свързва.
Ако 1P и 2P са две материални точки, а 2/1Fr
е силата, с
която точка 1P въздействува на 2P и 1/2Fr
- силата
произхождаща от 2P към 1P , то закона се дава с връзката
(2) 1/22/1 FFrr
−= .
4. Закон за независимост на действието на силите – Няколко
едновременно действуващи на материалната точка сили дават
на точката такова ускорение,
което би й дала една сила, равна
на тяхната геометрична сума.
Нека на материална точка действуват
системата сили },...,,{ 21 nFFFErrr
= .Всяка
сила приложена на точката й придава
съответно ускорение: niamF ii ,...,2,1, ==rr
.
Събираме почленно изразите и имаме
FamamamamamFFFn
i
inn
rrrrrrrrr==≡+++=+++ ∑
=1
2121 ...... .
Ускорението ar на точка P , получено от равнодействащата F
r на силите
е сума от парциалните ускорения iar
на P , добити от отделните сили iFr
.
Фиг. 1. Взаимодействие на точки.
Фиг. 2. Сили действуващи на точка.
99
10.3. Принцип на Даламбер.
На фиг.1 е представено взаимодействието на две материални точки.
Точката 2P въздейства на 1P със сила 111/2 amFrr
= , а 1P упражнява върху 2P
сила 222/1 amFrr
= . От закона за действието и противодействието имаме
1111/22/1 Φ≡−=−=rrrr
amFF , 2222/11/2 Φ≡−=−=
rrrramFF ,
където 1Φr
, 2Φr
се наричат инерционни сили съответно на точките 1P , 2P .
Ако точка 2P въздейства на 1P със сила 1/2Fr
, то 1P въздейства на 2P с
инерционната си сила 1Φr
, при това 1/2Fr
и 1Φr
действуват върху две
различни точки.
От основното уравнение на динамиката за точка можем да напишем
0)(rrrrr
=−+→= amFamF ,
откъдето намираме статичното условие за равновесие на силите Φrr
,F
(3) 0rrr
=Φ+F ,
където amrr
−=Φ е инерционна сила на точката.
Уравнение (3) е известно като принцип на Даламбер: ако, в който и
да е момент към силата действуваща върху точката приложим и
инерционната сила, то получената система е в равновесие.
С този принцип всяка задача от динамиката се свежда до задача от
статиката, тъй като имаме равновесие на сходяща система от сили.
Прилагането на инерционната сила към точката е условно, тъй като тя е
насочена не към точката, а към тялото придаващо й ускорение, т.е.
силите Fr
и Φr
са приложени към различни обекти. Замяната на
динамичната задача в статична се нарича метод на кинетостатиката.
Пример 1. Да се определи натискът на тяло-1 с маса
kgm, упражнен върху платформата на вертикално
вдигащ се асансьор- 2 с ускорение 2/, sma (фиг.3).
Решение. Следвайки принципа на Даламбер
системата сили приложени върху 1 е: 0~},,{ 11/21 Φ=rrr
NPE .
Тук zNNzmgPrrrr
1/21/21 , =−= са външни сили съответно
тегло на 1 и реакция на 2 към 1, а zmaamrrr
−≡−=Φ 11 -
инерционна сила на тяло 1, като zaaarrr
=≡ 21 .
От равновесието на системата E имаме: 011/21
rrrr=Φ++NP . Проектираме по z
r:
)(0: 1/21/2 gamNmaNmgz +=→=−+−r
. Търсеният натиск е: .)(1/21/22/1 zgamzNNNrrrr
+−≡−=−=
Пример 2. Точка M с маса kgm, , окачена на нишка в т. O с дължина
mlOM ,= , описва при движението си окръжност в хоризонталната
равнина(фиг.4). Нишката сключва постоянен ъгъл α с вертикалата,
прекарана през O . Търси се опъването в нишката T и скоростта v на M .
Фиг. 3. Асансьор-натиск.
100
Решение. Следвайки принципа на Даламбер системата сили приложени
върху материалната точка M е 0~},,,{n
TPE ΦΦ=rrrr
τ (фиг.4). Тук външните сили
са теглото bmgPrr
−= и реакцията от нишката
,)cos(sin]),(cos),([cos
2/
bnTbbTnnTTTrrr
43421
rrr
43421
rrrαα
ααπ
+=∠+∠=
−
а инерционната сила nΦ+Φ=Φrrr
τ се състои
от две сили: тангенциална τττ r&&
rrsmam −=−=Φ
и нормална .sin,)/(2 αlHMrnrsmam
nn ==−=−=Φr
&rr
Тук сме отчели, че точката M се движи по
окръжност: nrssaaa n r&
r&&
rrr)/( 2+≡+= ττ , където
s е криволинейната абциса по
окръжността. Проектираме равновесната
система сили E , т.е. 0rrrrr
=Φ+Φ++ nTP
τ в
репера на Френе ),,,( bnMRrrr
τ и намираме:
,cos
0cos:,0:α
ατmg
TTmgbctesvsm =→=+−==→=−r
&&&r .
cos
.sin0sin:
2
ααα
glsv
r
smTn ==→=− &&r
Пример 3. Автомобил с маса kgm, преминава със скорост smv /, през
мост с радиус на кривина m,ρ (фиг.5). Да се определят: 1) Натискът,
упражнявян от автомобила в средата на моста; 2) Каква скорост трябва
да има автомобилът за да не упражнява никакъв натиск на това място.
Решение. Следвайки принципа на Даламбер системата сили приложени
върху автомобила A е 0~},,,{ /
n
AmNPE ΦΦ=rrrr
τ
(фиг.5). Външни сили са теглото
nmgPrr
= и нормалната реакция на моста
nNN AmAm
rr
// −= , а инерционната сила nΦ+Φ=Φ
rrrτ се състои от две сили:
тангенциална τττ r&&
rrsmam −=−=Φ и
нормална nsmamnn r
&rr
)/(2 ρ−=−=Φ .
Тук сме отчели, че автомобила A се
движи по дъга с радиус на кривина ρ
nssaaa n r&
r&&
rrr)/( 2 ρττ +≡+= , където s е
криволинейната абциса по дъгата на моста. Проектираме равновесната
система сили E , т.е. 0/
rrrrr=Φ+Φ++ n
AmNPτ в репера на Френе ),,,( bnAR
rrrτ и
намираме: .)(0:,0:22
/
2
/ρρρ
τv
gms
mmgNs
mNmgnctesvsm AmAm −≡−=→=−−==→=−&&r
&&&r
1) За натиска, упражняван от автомобила в средата на моста намираме:
nvgmnNNN AmAmmA
rrrr)/( 2
/// ρ−≡=−= .
2) За скоростта *v , при която 0/
rr=mAN имаме: ρgvN Am =→= *
/ 0 .
Фиг. 4. Топче, закачено на нишка.
Фиг. 5. Автомобил върху мост.
101
10.4. Диференциални уравнения на движение на точка.
Съгласно втория закон на Нютон за материална точка M пишем:
(4) ),,(2
2
rrtFdt
rdm
dt
vdmam &r
rrrrrr
=== .
Тук rr
е радиус-вектор на точката M , ),,( rrtF &rrrr
- равнодействуваща на
външните сили, приложени върху точката, които могат да са постоянни
или функции на времето, на положението на точката или на скоростта.
Уравнение (4) се нарича основно уравнение на динамиката на свободна
материална точка,а понеже представлява обикновено диференциално
уравение от втори ред на rr
спрямо t още векторно диференциално
уравнение на движението на материална точка.
Нека в момента 0t материалната точка M съвпада с геометричната
точка 0M (фиг.6), на която съответствува радиус-векторът 000 )( OMrtr ≡=
rr,
а скоростта й е 000 )( vrtrr&r&r ≡= . За да се получи конкретна интегрална крива
от решението на (4) е необходимо задаването на началните условия, т.е.
началните положение и скорост на материалната точка M :
(5) 0000 )(,)( rtrrtr &r&rrr== .
Задачата (4),(5) се казва начална задача от 2-ри
ред или задача на Коши.
• Диференциални уравнения на движение - декартови координати.
Представяме радиус-вектора на точката M
чрез декартовите координати в абсолютния
репер ),,,( zyxORrrr
: ztzytyxtxOMtrrrrr
)()()()( ++=≡ .
При проектиране на векторното уравнение
(4) в репера R получаваме 3 скаларни
диференциални уравнения:
(6)
=
=
=
),,,;,,;(
),,,;,,;(
),,,;,,;(
zyxzyxtFzm
zyxzyxtFym
zyxzyxtFxm
z
y
x
&&&&&
&&&&&
&&&&&
където равнодействащата Fr
е представена с компонентите си zyx FFF ,, ,
които в общия случай са функции на времето, положението, скоростта.
Към (6) трябва да прибавим и началните условия:
(7) .)(,)(;)(,)(;)(,)( 000000000000 ztzztzytyytyxtxxtx &&&&&& ======
Уравнения (6) се наричат диференциални уравнения на материална
точка в правоъгълни(декартови) координати.
Обвързаността на уравненията (6) изисква съвместното им решаване.
Фиг. 6. Декартови координати.
102
• Диференциални уравнения на движение - естествени координати.
При известна траектория на движещата се
точка M се използува естествена координатна
система, т.н. придружаващ триедър на Френе
),,,( bnMRrrr
τ , чиито оси са насочени съответно
по допирателната, главната нормала и
бинормалата на траекторията в точка M .
Представяме ускорението на точката M в
естествени координати: ns
saaa n r&r&&
rrr
ρττ
2
+≡+= ,
където )(0 tssMM == е естествения закон на движение на M , ρ -
радиус на кривина на траекторията. Като проектираме (4) върху
триедъра на Френе ),,,( bnMRrrr
τ намираме
(8)
=
=
=
),,;(0
),,;(
),,;(2
sstF
sstFs
m
sstFsm
b
n
&
&&
&&&
ρ
τ
където равнодействащата Fr
е представена с компонентите си 0,, ≡bn FFFτ ,
които в общия случай са функции на времето, положението, скоростта.
Равнодействащата Fr
се намира в оскулачната равнина nMτ ( 0≡bF ),
понеже ускорението ar е там, а компонентата nF е неотрицателна, 0≥nF .
Уравнения (8) се наричат естествени диференциални уравнения на
движението на материална точка.
Към (8) трябва да прибавим и началните условия:
(9) .)(,)( 0000 stssts && ==
Системата уравнения (8) може да се преобразува, ако вземем предвид
dt
dv
ddsdt
dsv
vv
v
d
ds ϕ
ϕρρϕρ ====
/
1,
2
,
където ϕ е ъгълът между тангентата към траекторията в M и
произволно избрана, фиксирана ос от равнината на движение, dtd /ϕ -
ъгловата скорост на допирателната към траекторията на движещата се
точка, а ϕd - ъгълът между тангентите в две произволно близки точки.
Диференциалните уравнения на движение вземат вида
(10) bn FF
dt
dmvF
dt
dvm === 0,,
ϕτ
,
а началните условия: 0000 )(,)( ϕϕ == tvtv .
Този вид на диференциалните уравнения е удобен при изследване
полета на ракети и снаряди, т.е. при равнинна крива на траекторията.
Фиг. 7. Естествени координати.
103
• Свободно падане на материална точка без съпротивление.
Задача 1. Дадена е материална точка M , която пада свободно от
височина mh, без начална скорост в безвъздушно пространство(фиг.8).
Търсят се: времето *t и скоростта *
v на падане на M върху Земята.
Решение. Текущият радиус-вектор на M в репера
),,,( zyxORrrr
(фиг.8) е ztzOMtrrr
)()( == , а началните
условия са: zhrrr
=)0( , 0)0(r
&r =r . Върху точката M е
приложена само силата на тежестта, т.е. }{PEr
= .
От закона на Нютон в R пишем: Famrr
= ,
където zzrar&&&&rr
== , zmgPERFrrrr
−==≡ )( .
След проектиране върху Oz намираме:
0)0(,)0(, ==−= zhzmgzm &&& ,
откъдето след двукратно интегриране получаваме
2)()(
2
0)0(0)0(
tghzdtgtdzgtzdtgzdgz
tz
z
tz
z
−=−→−=→−=→−=→−= ∫∫∫∫ &&&&
&
&
.
Окончателно, за закона на движение на M намираме 2/)( 2gthtz −= , а за
времето и скоростта на падане: ghttzt /20)(: *** =→= , hggttzv 2)( *** −≡−== & .
• Движение на точка, хвърлена под ъгъл спрямо хоризонта.
Задача 2. Дадена е материална точка M с маса kgm, , изхвърлена под
ъгъл α спрямо хоризонта, с начална скорост smv /,0 (фиг.9). Да се
намерят: траекторията на точката )(xyy = ; максималната височина на
полета h ; дължината на полета l ; времето *t и скоростта *
v на падане.
Решение. Текущият радиус-
вектор на M в репера ),,,( zyxORrrr
(фиг.9) е ytyxtxOMtrrrr
)()()( +== , а
началните условия са: 0)0(rr
=r ,
)sin(cos)0( 00 yxvvrrrr&r αα +== .
Върху точката M е приложена
само силата на тежестта, }{PEr
= .
От закона на Нютон в R пишем: Famrr
= , yyxxrar&&
r&&&&rr
+== , ymgPERFrrrr
−==≡ )( .
След проектиране върху Ox и Oy намираме: αcos)0(,0)0(,0 0vxxxm === &&& ,
αsin)0(,0)0(, 0vyymgym ==−= &&& , откъдето след двукратно интегриране имаме
,cos)()cos(cos)0(0 0
0
0
)0(
0 tvtxdtvdxvxctexx
tx
x
ααα =→=→===→= ∫∫&&&&
.2
sin)()sin(sin)(2
0
0
0
)0(
0
0)0(
tgtvtydtgtvdygtvydtgydgy
ty
y
ty
y
−=→−=→−=→−=→−= ∫∫∫∫ ααα&&&&
&
&
Фиг. 8. Свободно падане на точка.
Фиг. 9. Точка хвърлена под ъгъл.
104
Траекторията на движение на M намираме след елиминиране на
времето t от параметричното представяне на кривата )(txx = и )(tyy = , т.е.
)2sin()cos(2
)cos2
sin(coscos
02
00
0
00
gxvv
x
v
xgv
v
xy
v
xt −≡−=→= α
ααα
αα.
Максималната височина на полета h определяме от: )(max tyht
= , откъдето
g
vtytyh
g
vtgtvty
t 2
)sin()()(max
sin0sin)(
2
0
*
0
*0
ααα ===→=→=−=& .
Времето на падане *t намираме от:
*0*
2
*
10
* sin2,00)2/sin(0)(: t
g
vttgtvttyt ≡=≡→=−→=
αα .
Дължината на полета l е: g
vtxl
α2sin)(
2
0* == .
За скоростта на падане пишем: yvxvytyxtxtrrrr
&r
&&r αα sincos)()()( 00
*** −=+= .
Големината й е: 0
2
0
2
0
** )sin()cos()( vvvtrv =−+== αα&r .
10.5. Частни случаи от движение на точка.
1) Праволинейно движение на точка под действие на сила,
която зависи от времето.
Нека праволинейното движение на точката M се осъществява по ос Ox.
Основното уравнение на динамиката Famrr
= проектирано върху x дава
(11) 00 )0(,)0(),( xxxxtfFxm x&&&& ==≡= .
След двукратно интегриране намираме закона на движение на точката
∫∫∫∫ +=→+=≡→≡=→=≡tx
x
tx
x
duxdxtuxdt
dxxtudf
mxdtf
mdt
xdx
0
0
)0(
0
0)0(
)]([)()()(1
)(1
ττττ &&&&&
&&
&
&
,
(12) ∫++=t
dutxxtx0
00 )()( ττ& .
Пример 4. Точка M с маса kgm, се движи праволинейно под действие
на сила ctecteAxtAF === ωω ,,cosrr
(фиг.10). Търси се законът на движение
на M , ако в началния момент има скорост
xvvrr
00 = и радиус-вектор е xxrrr
00 = .
Решение. От уравнението на Нютон по x имаме
00 )0(,)0(,cos)(: vxxxtAtFxmxFam ==≡=→= &&&rrr
ω .
След двукратно интегриране получаваме )(tx :
∫∫∫∫ +=→+=≡→=→==tx
x
tx
x
dm
Avdxt
m
Av
dt
dxxd
m
Axdt
m
A
dt
xdx
0
0
)0(
0
0)0(
)sin(sincoscos ττωω
ωω
ττωω &&&
&&
&
&
,
)cos1()(200 t
m
Atvxtx ω
ω−++= .
Фиг. 10. Сила xtFFrr
)(= .
105
2) Праволинейно движение на точка под действие на сила,
която зависи от положението на точката.
Нека праволинейното движение на точката M се осъществява по ос Ox.
Основното уравнение на динамиката Famrr
= проектирано върху x дава
(13) 00 )0(,)0(),( xxxxxfFxm x&&&& ==≡= .
След двукратно интегриране намираме закона на движение на точката
→+±=≡→+=→≡=→=≡≡ ∫∫ )()()()(2
)(1
2
1 2
0
2
0
2
)0(
22
0
xuxdt
dxxxuxxxudf
mxdxf
mdx
xd
dx
dx
dt
xdx
x
x
x
x
&&&&&&&
&&
&
&
ξξ (
(14) .)()(
0
2
00)0(2
0
∫∫∫+
±=→=+±
x
x
tx
x ux
dtdt
ux
d
ξ
ξ
ξ
ξ
&&
Законът на движение на точката се получава в неявен вид )(xtt = .
Пример 5. Точка M с маса kgm, е закрепена към горния край на
вертикален еластичен прът, който е захванат неподвижно в основата си
A (фиг.11). Коефициентът на еластичност на пръта е mNc /, . Търси се
законът на движение на M , ако в началния момент прътът бъде
отклонен от вертикалното му положение на разстояние mk , и пуснат.
Решение. Въвеждаме абсолютен репер ),,,( zyxARrrr
(фиг.11). Разглеждаме малко отклонение на
пръта от вертикалата, с което приемаме, че
точката M се движи по права успоредна на Az ,
т.е. ztzxlrrrr
)(+= , където l е дължината на пръта.
Началните условия на M са: zkxlrrrr
+=0 , 00
rr=v .
Върху M действува системата външни сили:
},{ / MbRPErr
= , където xmgPrr
−= е сила на тежестта, а
zZxXR MbMbMb
rrr
/// −= - реакцията на пръта )(b към M .
Тук компонентата MbZ / е еластичната сила на
пръта, която се противопоставя на отклонението му и е
пропорционална на преместването на точката M , т.е. czzFZ Mb ≡= )(/ .
Уравнението на Нютон ни дава: MbRPERFrmam /)(rrrr
&&rr+=≡=≡ . Проектираме
го върху x и z : 0)0(,)0(,)(:;0: /// ==−≡−≡−==→+−= zkzczzFZzmzmgXXmgx MbMbMb&&&
rr.
От първото скаларно уравнение получаваме компонентата на реакцията
по x , т.е. mgX Mb =/ , а от второто – диференциалното уравнение czzm −=&& .
След двукратното му интегриране намираме търсения закон на M , )(tz :
→−−=≡→−−=→−=→=−=≡≡ ∫∫==
222222
)0(
2
0)0(
2222
)(2,2
1zkp
dt
dzzkzpzdzzpzd
m
cpzp
dz
zd
dz
dz
dt
zdz
z
kz
z
z
&&&&&
&&
&
&
.cos)2
sin()(1arcsinarcsin)/(1
)/(
2/0)0(222
ptkptktzptk
zpdt
kz
kzdpdt
zk
dztz
z
≡−=→−=−→−=−
→−=−
∫∫π
π321
Фиг.11. Сила zczFrr
−= .
106
3) Праволинейно движение на точка под действие на сила,
която зависи от скоростта на точката.
Нека праволинейното движение на точката M се осъществява по ос Ox.
Основното уравнение на динамиката Famrr
= проектирано върху x дава
(15) 000 )0(,)0(),( vxxxxxfFxm x ≡==≡= &&&&& .
След двукратно интегриране намираме закона на движение на точката
→=→=≡→≡=→≡=→=≡≡ ∫∫∫∫∫−−
tx
x
v
v
tx
x
ddxtdt
dxvv
vf
dvmt
m
tdt
mvf
dvvf
mdt
dv
dt
xdx
0
1
)0(
1
0)0(
)()()()(
1
)()(
1
0
ττϕϕϕ&
&
&&&
(16) .)()(0
1
0 ∫−+=
t
dxtx ττϕ
Тук )(1 t−ϕ е обратната функция на )(vϕ .
Пример 5. Точка M с маса kgm, пада без начална скорост във
въздушна среда(фиг.12). Да се определят скоростта и закона на
движение на M , ако началната височина е mh, , а съпротивителната
сила на въздуха - NmgvkFr ,22= , ctek = .
Решение. Въвеждаме абсолютен репер ),,,( zyxORrrr
(фиг.12). Точката M се движи по оста Oz , т.е.
ztztrrr
)()( = . Началните условия на M са: zhrrr
=0 , 00
rr=v .
Върху M действува системата външни сили:
},{ rFPErr
= , където zmgPrr
−= е силата на тежестта, а
zmgvkFr
rr22= - съпротивление на въздуха срещу M .
Уравнението на Нютон е: rFPERFrmamrrrr
&&rr+=≡=≡ )( .
След проектиране върху оста Oz получаваме:
0)0(,)0(,: 0
22 =≡=+−= vzhzmgvkmgzmz &&&r
.
След интегриране намираме търсената скорост zv &= на точкатаM :
).(1
)2exp(1
)2exp(11)2exp(
1
1
1
1ln
2
11ln
2
11ln
2
1
1
)1(
2
1
1
)1(
2
1
)1)(1(
11(
2
1
1)()1(
00
00000)0(
2
22
kgtthkkgt
kgt
kzvtkg
kv
kv
kv
kv
kkv
kkv
ktg
kv
kvd
kkv
kvd
kkvkv
kvdvkvtgtgdtg
kv
dvvkg
dt
dv
dt
zdz
vv
zzztz
z
−≡+
−=≡→−=
+
−→
+
−≡−++−=
→−
−+
+
+−≡
+−
++−=→≡=
−→−=≡≡ ∫∫∫∫∫
=
&
&&&
&&&&
&
След още едно интегриране получаваме търсения закон на M , )(tz :
).(ln1
)(
)(ln1
)(
)]([1
)(
)(1)(
1)(
1
2
02
0
2
0
2
0)0(
kgtchgk
htz
kgtchgk
hkgtch
kgtchd
gkhdkgt
kgtch
kgtsh
gkhzdtkgtth
kdzkgtth
kdt
dzzv
t
tttz
z
−=
→−≡−≡−=→−=→−=≡≡ ∫∫∫∫&
Фиг.12. Сила zvFF rr
rr)(= .
107
10.6. Основни теореми на динамиката на свободна точка.
Тези теореми са изведени от основното уравнение на динамиката и
свързват динамични и кинематични елементи на движението на точка.
Те позволяват да се понижи реда на диференциалните уравнения, да се
изучат отделни аспекти на дадено явление без цялостно изследване.
1. Теорема за изменение на количеството на движение на точка.
Нека е дадена материална точка M с маса kgm, и скорост smv /,r
(фиг.13).
Количество на движение на материална точка е векторна величина
равна на произведението от масата на точката и скоростта й, т.е.
(17) )()( MvmMqrr
= .
От основното уравнение на динамиката имаме
(18) Fdt
qdF
dt
vmdF
dt
vdmFam
rrrrrrrr=→=→=→=
)(,
където dtvd /r
е ускорението на
точката, а Fr
е равнодействаща на
силите приложени върху нея.
Равенството (18) изразява теоремата
за изменение на количеството на
движение на точка – производната
по времето на количеството на
движение на материална точка е
равна на равнодействащата на
силите приложени върху нея.
Ако проектираме (18) върху осите на абсолютния репер ),,,( zyxORrrr
имаме
(19) zzyyxx FdtdqFdtdqFdtdq === /,/,/ .
• Закон за съхранение на количеството на движение на точка.
Ако проекцията на силата Fr
върху дадено направление с единичен
вектор ser
е нула, т.е. 0=•= ss eFFrr
, то проекцията на количеството на
движение върху това направление ss eqqrr
•= е константа.
И наистина, умножавайки (18) скаларно с ser
намираме
(20) )0(0 sss
s
s
s qcteqFdt
dqeF
dt
eqd≡=→≡=→•=
• rrrr
.
• Импулс на сила.
Елементарен импулс на силата Fr
е векторна величина представена
чрез произведението от силата Fr
и безкрайно малкия интервал от
време dt , през който тя действува, т.е.
(21) dtFFIdrrr
=)( .
Фиг. 13. Количество на движение.
108
Пълен импулс на силата Fr
действаща в интервала от време ],[ 10 tt е
векторната величина
(22) ∫=1
0
)(01
t
t
dtFFIrrr
.
Теорема за импулсите.
а) Теорема за импулсите в диференциална форма: диференциалът на
количеството на движение на материална точка M е равен на
елементарния импулс на равнодействащата на приложените сили.
Наистина, след умножаване на (18) по елементарното време dt имаме
(23) )()( FIddtFMqdrrrr
≡= .
Проектираме векторното равенство (23) върху трите оси и намираме
(24) .)(,)(,)( dtFMdqdtFMdqdtFMdq zzyyxx ===
б) Теорема за импулсите в интегрална форма: изменението на
количеството на движение на материална точка M за даден краен
интервал от време ],[ 10 tt е равен на пълния импулс на
равнодействащата на приложените сили за същия интервал от време.
След интегриране на (23) по времето t в интервала ],[ 10 tt получаваме
(25) ∫∫∫∫ =−→=−→≡=1
0
1
0
1
0
1
0
010101 )()()()(
t
t
t
t
t
t
M
M
dtFvmvmdtFMqMqFIdtFMqdrrrrrrrrrr
.
Проектираме векторното равенство (23) върху трите оси и намираме
(26) .,,1
0
1
0
1
0
010101 ∫∫∫ =−=−=−t
t
zzz
t
t
yyy
t
t
xxx dtFmvmvdtFmvmvdtFmvmv
Пример 1. На точка M с маса kgm, е дадена начална скорост smv /,0 , в
резултат на което тя започва изкачване по наклонена равнина(фиг.14).
След колко време точката ще спре, ако коефициентът на триене е µ .
Решение. Въвеждаме абсолютен
репер ),,( yxORrr
(фиг.14). Скоростта
на точката в началото е xvvrr
0)0( = ,
а в края *t - 0)( *
rr=tv . Системата
сили действащи на точката M е
},{ /0 MRPErr
= , като за силата на
тежестта и реакцията на
наклонената равнина към точката
M имаме: )cossin(]),(cos),([cos
2/
yxmgyyPxxPPPrrr
43421
rrr
43421
rrrαα
απαπ
−−=∠+∠=
−+
, yNxTR MMM
rrr
/0/0/0 +−= .
Тук MM NT /0/0 µ= е силата на триене, определена по закона на Кулон.
Фиг. 14. Топче върху наклонена равнина.
109
Теоремата за импулса в интегрална форма дава: ∫=−*
0
* )()0()(
t
dtERvmtvmrrr ,
където )(ERr
е главния вектор на системата сили E , т.е. MRPER /0)(rrr
+= .
След заместване на силите намираме векторното уравнение
.)cos()sin(
)cos()sin()(
*/0*/0
0
/0
0
/0
0
/00
***
tNmgytTmgx
dtNmgydtTmgxdtRPxmv
MM
t
M
t
M
t
M
+−+−−=
=+−+−−≡+=− ∫∫∫
αα
αα
rr
rrrrr
Сега проектираме това уравнение по съответните оси:
*/0*/00 )cos(0:,)sin(: tNmgytTmgmvx MM +−=−−=− ααrr
,
откъдето окончателно намираме αcos/0 mgN M = , )cos(sin
0
*αµα +
=g
vt .
2. Теорема за изменение на кинетичния момент на точка.
Нека е дадена материална точка M с маса kgm, и скорост smv /,r
(фиг.15).
Кинетичен момент на материална точка M спрямо даден център O
е векторното произведение на радиус-
вектора на точката спрямо центъра O ,
OM и количеството й на движение,
)()( MvmMqrr
= , т.е.
(27) =∧≡∧= )()()( MvmOMMqOMMO
rrrσ
−
−
−
==
)(
)(
)(
xyyxm
zxxzm
yzzym
zmymxm
zyx
zyx
&&
&&
&&
&&&
rrr
.
Тук zyx ,, са координатите на точка M , а zyx &&& ,, - компонентите на )(Mvr
.
За големината на кинетичния момент имаме
(28) mvhvOMmvOMMvmOMMqOMMOO ≡∠=∧=∧== ),(sin)()()(rrrr
σσ ,
където ),(sin vOMOMhr
∠= е рамо на вектора )()( MvmMqrr
= спрямо центъра O .
Кинетичният момент има направление перпендикулярно на равнината
образувана от образуващите го вектори OM и )(Mqr
, а посоката му се
определя по правилото на десния винт.
Кинетичен момент на материална точка M спрямо дадена ос Os е
проекцията на кинетичния момент на точката M спрямо произволен
център O от оста върху самата ос, т.е.
(29)
γβα
σσ
coscoscos
)()()()( zmymxm
zyx
eMvmOMeMqOMeMM sssOOs&&&
rrrrrr=•∧≡•∧=•= .
Тук ser
е единичен вектор на оста с посочни косинуси: γβα cos,cos,cos .
Фиг. 15. Кинетичен момент.
110
Основното уравнение на динамиката умножаваме векторно с OMr =r
:
Frdt
vmdrvm
dt
rd
dt
vmrdFr
dt
vdmrFam
rrr
r
43421
rrrrrr
rrrr
r
∧=∧+∧=∧
→∧=∧→=)()(
0
.
И така, намираме
(30) Frdt
vmrd rrrr
∧=∧ )( или )(
)(FM
dt
MdO
Orr
r
=σ .
Равенство (30) изразява теоремата за изменение на кинетичния
момент на точка: производната по времето на кинетичния момент на
материална точка относно произволно избран център O е равна на
момента на равнодействащата на силите, приложени върху точката,
срямо същия център.
Като проектираме (30) върху осите на абсолютния репер ),,,( zyxORrrr
имаме
(31) )()(
),()(
),()(
FMdt
MdFM
dt
MdFM
dt
MdOz
Oz
Oy
Oy
Ox
Oxrrr
===σσσ .
• Закон за съхранение на кинетичния момент на точка.
Ако проекцията на момента FOMFM O
rrr∧=)( върху дадено направление с
единичен вектор ser
е нула, т.е. 0)()( =•= sOOs eFMFMrrrr
, то проекцията на
кинетичния момент върху направлението sOOs eMMrr
•= )()( σσ е константа.
И наистина, умножавайки (30) скаларно с ser
намираме
(32) ).()(0)()(
)()(
0McteMFMdt
MdeFM
dt
eMdOsOsOs
Os
sO
sO σσσσ
≡=→≡=→•=• rrrrrr
• Следствия от теоремата за изменение на кинетичния момент.
Една сила Fr
се нарича централна, ако директрисата й
постоянно минава през неподвижен център O (фиг.16).
Следствие 1. Сила 0rr
≠F , приложена на материална
точка M е централна, ако кинетичният момент на
точката M спрямо даден неподвижен център O е
постоянен.
Доказателство. Необходимо условие: Ако силата Fr
е централна и
директрисата й минава през неподвижния център O , то 0)(rrrr
=∧= FOMFMO,
което означава, че cteMFMdt
MdOO
O =→≡= )(0)()(
σσ rrrrr
.
Ддостатъчно условие: Нека кинетичният момент на точката M спрямо
неподвижен център O е постоянен, т.е. cteMO =)(σr
, откъдето следва
FOMFMdt
MdO
Orrrr
r
∧≡=≡ )(0)(σ , т.е. F
r минава през центъра O , тъй като 0
rr≠F .
Следствие 2. Ако силата Fr
върху материалната точка M е
централна, то траекторията на M е равнинна крива.
cteMvmOMMO =∧≡ )()(rr
σ , cte е нормален вектор на равнината )](,[ MvOMr
.
Фиг. 16. Централна сила.
111
Пример 2. Изкуствен спътник на Земята има елиптична траектория, в
един от фокусите, на която е Земята. Да се определи скоростта на
спътника в момента, когато се намира в най-
отдалечената от Земята точка B , ако скоростта
му в точка A (най-близкостоящата) е skmvA /8= .
Дадено е още kmEBkmEA 6600,6500 == (фиг.17).
Решение. Въвеждаме абсолютен репер ),,( yxORrr
(фиг.17). Скоростта на спътника в A е yvAv A
rr=)( , а
в B - yvBv B
rr−=)( . Върху спътника M
действува една централна сила(гравитационна) EMkF −=r
. Тъй като
силата Fr
е централна, то кинетичния момент на спътника спрямо
земния център E е постоянен, т.е. cteMvmEMME =∧= )()(rr
σ .
За кинетичните моменти на M в положения A и B съответно имаме
ctezvEAmymvxEAAvmEAA AAE =≡∧=∧=rrrrr
)()(σ ,
ctezvEBmymvxEBBvmEBB BBE =≡−∧−=∧≡rrrrr
)()()()(σ .
След приравняване на кинетичните моменти в A и B намираме
skmEB
EAvvzvEBmzvEAmBA ABBAEE /879.7
6600
65008)()( ===→=→=
rrrrσσ .
Пример 3. Сачмата M е завързана към шнура MOA , който минава през
вертикална тръба. Сачмата обикаля около тръбата по окръжност с
радиус 1r и прави min/1201 trn = . Чрез бавно издърпване на шнура се
скъсява частта му вън от тръбата до дължина 2OM , така че сачмата да
описва окръжност с радиус 12 5.0 rr = (фиг.18). Колко
оборота в минута прави сачмата при положение 2M .
Решение. Въвеждаме абсолютен репер ),,,( zyxORrrr
(фиг.18). Скоростта на точката M е OMMv ∧=ωrr
)( .
Системата сили действащи на точката M е },{ / MfSPErr
= .
Тук zmgPrr
−= е силата на тежестта, а MfS /
r реакцията
на нишката към точката M . Теоремата за изменение
на кинетичния момент на M спрямо ос Oz дава:
0)()()()(
0
/
0
=•∧+•∧=•=•≡ zSOMzPOMzEMzMM MfOOOz
r
43421
r
4434421
rrrrr&r&r
σσ .
{ .30
)sin(])cos([)])(()([
])([)]([)()()(
2222
cos
2
2
rn
mOMmOMOMmzOMOMzOMm
zOMOMOMmzOMmOMzvmOMzMM
rOM
OOz
πϕωϕωωω
ωωωσσ
ϕω
≡=−−=••−•=
=••−=•∧∧=•∧=•=
−43421321
rrrr
rrrrrrrrr
.min/4802.120)/()30/()30/()()( 22
2112
2
22
2
1121 trrrnnrnmrnmMM OzOz ===→=→= ππσσ
Фиг. 17. Спътник в орбита около Земята.
Фиг. 18. Точка по
окръжност.
112
3. Теорема за изменение на кинетичната енергия на точка.
Нека е дадена материална точка M с маса kgm, , скорост )(Mvr
и сила Fr
действаща върху нея(фиг.19).
•••• Елементарна работа на силата Fr
е
скаларното произведение на силата Fr
и
елементарното преместване на точката dM:
(33) dsFdsFrdFdMFMFdA ττ =•=•=•=rrrrrr
)/( .
Ако заместим ),,( ′= zyx FFFFr
, ),,( ′= zyxrr
, то
(34) )()/( MvdtFdzFdyFdxFrdFMFdA zyx
rrrrr•=++=•= .
•••• Тотална работа на силата Fr
при
преместването на точката M от A до B е
(35) ∫∫∫∫ ∠==++=•=B
A
B
A
t
t
s
sAB
zyx
AB
BA dtvFvFdsFdzFdyFdxFMrdFMFA ),(cos.)()()/(,
rrrrr
τ.
Работата се измерва в джаули: mNJ 1.11 = , JkJ 3101 = .
•••• Мощност на силата Fr
е работата на силата за единица време или
скаларното произведение на силата Fr
и скоростта на точката M , )(Mvr
:
(36) zzyyxx vFvFvFvFvFvFMvF
dt
MrdF
dt
MFdAMFP ++==∠=•=•== τ),(cos.)(
)()/()/(
rrrrrrr
r.
•••• Работа на сила на тежестта zmgPrr
−= (фиг.20).
За елементарната работа на силата имаме
(37) .)()/( mgdzrdzmgrdPdMPMPdA −=•−=•=•=rrrrrr
.
Тук е отчетено, че zdzydyxdxrdrrrr
++= .
За тоталната работа на Pr
определяме
(38) ).()()()/(, BA
z
zAB
BA zzmgdzmgMrdPMPAB
A
−=−=•= ∫∫rrr
Пълната работа на силата на тежестта Pr
се дава от произведението на
теглото на точката M и разликата на апликатите на крайните точки .,BA
При 0>−=∆ BA zzz работата е положителна, а при 0<−=∆ BA zzz - отрицателна.
Работата на силата на тежестта Pr
не зависи от траекторията )(C на M ,
а от крайните точки. Такива сили са потенциални или консервативни.
•••• Работа на еластична сила rcFel
rr−= (фиг.21).
За елементарната работа на силата имаме
(39) ).2/()2/()()/(22
crdrcdrdrcdMFMFdA elel −≡−=•−=•=rrrrr
За тоталната работа на elFr
определяме
(40) ).(22
)()()/( 222
, BA
r
r
r
rAB
elelBA rrc
rc
rdrcMrdFMFAB
A
B
A
−=−=−=•= ∫∫r
r
r
r
rrrrrr
Фиг. 19. Работа на сила.
Фиг. 20. Сила на тежестта.
Фиг. 21. Еластична сила.
113
При праволинейно преместване на материалната точка(фиг.22) за
еластичната сила имаме xcxFel
rr−= .
За елементарната работа на силата намираме
(41) ).2/()()/( 2cxdcxdxxdxxcxOMdFMFdA elel −≡−=•−=•=rrrr
За тоталната работа на elFr
от O до M определяме:
(42) .22
)()/( 2
0
2
0
xc
xc
xdxxcxOMdFMFAx
x
OM
elelOM −=−=−=•= ∫∫rrrr
Работата на еластичната сила elFr
не зависи от траекторията )(C на M , а
само от крайните точки, т.е. тя е потенциална(консервативна) сила.
•••• Теорема за изменение на кинетичната енергия на точка.
Кинетична енергия на материална точка M се нарича изразът
(43) 2
02
1)/( mvRMT = ,
т.е. полупроизведението на масата на точката и скоростта й.
Нека да умножим основното уравнение на динамиката скаларно с rdr
:
rdFv
mdrdFvdvmrdFrddt
vdmFam
rrrrrrrrrr
rrr•=→•=•→•=•→= )
2(
2
.
Като вземем под внимание (33) и (43) извеждаме
(44) )/()/( 0 MFdARMdTr
= .
Формула (44) изразява теоремата за изменение на кинетичната
енергия в диференциална форма – диференциалът на кинетичната
енергия на материалната точка е равен на елементарната работа на
равнодействащата на силите приложени върху нея.
Ако разделим (44) на dt , намираме друг вид на теоремата
(45) )/()/()/()/( 00 MFP
dt
RMdT
dt
MFdA
dt
RMdT rr
=→= ,
т.е. производната на кинетичната енергия по времето е равна на
мощността на равнодействащата на силите приложени върху нея.
Ако интегрираме уравнение (44) по дъгата AB от траекторията на
точката M намираме теоремата за изменение на кинетичната
енергия в интегрална форма
(46) ∫∫∫ ≡=−→=
AB
BA
ABAB
MFdAMFARATRBTMFdARMdT )/()/()/()/()/()/( ,000
rrr или
(47) )/(2
1
2
1,
22MFAmvmv BAAB
r=− ,
т.е. промяната на кинетичната енергия на материална точка за краен
интервал от време ],[ BA tt е равна на пълната работа на силите
приложени върху нея, за същия интервал от време.
Фиг. 22. Еластична сила.
114
4. Закон за съхранение на механичната енергия на точка.
•••• Силово поле – физическо пространство във всяка точка на което
на материална точка M действува сила, зависеща от положението
на точката и евентуално от времето.
а) стационарно силово поле – силата зависи само от положението на M
(48) OMMrMrfMF == )()),(()(rrrr
.
б) нестационарно силово поле – силата зависи от положението на Mи t
(49) OMMrtMrfMF == )(),);(()(rrrr
.
•••• Потенциално силово поле – работата на силата, действуваща на
материална точка не зависи от траекторията й, а само от нейното
начално и крайно положение(сила на тежестта, еластична сила).
Условието да бъде едно силово поле потенциално е съществуването на
т.н. силова функция ),,()( zyxUMU ≡ , за която имаме
(50) zFZz
zyxUyFY
y
zyxUxFX
x
zyxU rrrrrr•≡=
∂
∂•≡=
∂
∂•≡=
∂
∂ ),,(,
),,(,
),,(,
т.е. частните производни на еднозначната функция ),,()( zyxUMU ≡ по
координатите zyx ,, да са равни на съответните проекции на силата.
Доказателство. Нека означим zZyYxXFrrrr
++= , zdzydyxdxMrdrrrr
++=)( .
За елементарната работа на силата Fr
намираме
(51) )()()/( MdUdzz
Udy
y
Udx
x
UZdzYdyXdxMrdFMFdA ≡
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=++=•=
rrr.
За тоталната работа на силата Fr
при преместване от 0M до 1M имаме
(52) ),,(),,()()()()()/( 000111011,0
1
0
1
0
zyxUzyxUMUMUMdUMrdFMFA
M
M
M
M
−≡−≡=•= ∫∫rrr
,
т.е. тоталната работа зависи само от началната и крайната стойности на
силовата функция, а видът на траекторията не оказва влияние.
Примери за определяне на силови функции:
а) за силата на тежестта zmgPrr
−=
(53) CmgzUMdUmgzdmgdzrdzmgrdPMPdA +−=→≡−=−=•−=•= )()()()/(rrrrr
;
б) за еластична сила xcxFel
rr−=
(54) CcxUMdUcxdcxdxrdxcxMrdFMFdA elel +−=→≡−=−=•−=•= 2/)()2/()()()/(22rrrrr
.
Градиентът от скаларната функция ),,( zyxU е равен на силата Fr
:
(55) gradUzz
Uy
y
Ux
x
UzZyYxXF ≡
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=++=
rrrrrrr.
Силовата функция се определя с точност до една произволна
константа. Силите образуващи потенциално силово поле се наричат
потенциални или консервативни.
115
Критерий за потенциалност на силово поле – намира се от частните
производни от 2 –ри
ред на силовата функция ),,( zyxU и връзката й с
компонентите на силата ),,( ′= ZYXFr
от (50):
(56) z
X
x
Z
x
U
zz
U
xy
Z
z
Y
z
U
yy
U
zx
Y
y
X
y
U
xx
U
y ∂
∂=
∂
∂→
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂
∂
∂=
∂
∂→
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂
∂
∂=
∂
∂→
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂,, .
Ротор или вихър на вектора Fr
се представя чрез векторното
произведение на набла вектор( zz
yy
xx
rrr
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇ ) и вектора F
r, т.е.
(57)
∂∂−∂∂
∂∂−∂∂
∂∂−∂∂
≡∂∂∂∂∂∂=∧∇=
xXxY
xZzX
zYyZ
ZYX
zyx
zyx
FFrot
//
//
//
///
rrr
rr.
Вземайки предвид условията за потенциалност (56), от (57) намираме
(58) 0rr
=Frot ,
т.е. едно силово поле е потенциално, ако то е безвихрово.
Непотенциална сила е съпротивителната зависеща от скоростта на M .
•••• Потенциална енергия.
Да означим стойността на силовата функция в точка M с ),,()( zyxUMUU == ,
а тази в 0M (наречена нулева точка) с ),,()( 00000 zyxUMUU == .
Потенциална енергия в точка M е скаларната величина
(59) UUMUMUdUMFdAM
M
M
M
M
−=−===Π ∫∫ 00 )()()/()(00 r
,
която представлява работата, извършена от силите на полето при
преместване на точката от положение M до положение 0M .
Потенциалната енергия в точка 0M (нулевата) е: 0)()()( 000 ≡−=Π MUMUM .
Потенциалната енергия на точка M зависи само от положението на M :
(60) ),,()()(),,()( 00 zyxUUMUMUzyxM −=−=Π=Π .
Диференцираме потенциалната енергия )(MΠ по координатите:
Zz
U
zY
y
U
yX
x
U
x−=
∂
∂−=
∂
Π∂−=
∂
∂−=
∂
Π∂−=
∂
∂−=
∂
Π∂,, .
Частните производни на потенциалната енергия )(MΠ по zyx ,, са равни
на отрицателните проекции на силата върху съответните координати,
(61) )(Mgradzz
yy
xx
zZyYxXF Π−≡∂
Π∂−
∂
Π∂−
∂
Π∂−=++=
rrrrrrr.
Нека да изразим работата )/(2,1 MFAr
на силата Fr
приложена върху
материалната точка M за преместването й от положение 1M до
положение 2M чрез съответните потенциалните енергии:
(62) 21212,1 )()()/()/()/()/(
0
2
0
1
2
1
Π−Π=Π−Π≡−== ∫∫∫ MMMFdAMFdAMFdAMFA
M
M
M
M
M
M
rrrr.
116
•••• Повърхнина на ниво - геометрично място на точките от поле,
образуващи една повърхнина и имащи еднаква потенциална енергия,
(63) Czyx =Π ),,(
Такава повърхнина се нарича еквипотенциална или повърхнина на
ниво. Изменяйки константата ),( ∞−∞∈C получаваме фамилия
повърхнини на ниво, които разслояват потенциалното силово поле.
Направлението на силата Fr
в дадена точка M от полето е
перпендикулярно на еквипотенциалната повърхнина, а посоката на
силата е към повърхнината с по-малка потенциална енергия.
Доказателство. Нека точка 1M (фиг.23) е безкрайно
близка до M и двете принадлежат на една и съща
еквипотенциална повърхнина, т.е. 11)()( CMM =Π=Π .
За елементарната работа на силата Fr
приложена
върху точката M , която се премества по повърхнина
на ниво 1C имаме
0)/( 11 ≡−≡Π−==•=•=•= dCddUMMFrdFdMFMFdArrrrr
,
откъдето следва, че )||( τrrrr
rdrdF ⊥ . Тъй като 1M е произволна точка,
следователно силата Fr
е перпендикулярна на тангенциалната равнина
в точка M към еквипотенциалната повърхнина, т.е. по нормалата в M .
Нека точка 2M от директрисата на силата Fr
, приложена върху точката
M ( FMMr
||2), е безкрайно близка до M (фиг.23).
За елементарната работа на силата Fr
приложена върху точката M ,
която се премества по нормалата към повърхнина на ниво 1C имаме
0)/(
0
2 <Π→Π−==•=•=•=
>
dddUMMFrdFdMFMFdA43421
rrrrr,
т.е. Fr
е насочена към повърхнина с по-малка потенциална енергия.
•••• Силова линия – крива във всяка точка на която силата на полето
съвпада с тангентата към кривата. Тъй като rdFrr
|| ( τrr
||rd ), то имаме
(64) Z
dz
Y
dy
X
dx== .
Това са диференциалните уравнения на силовата линия, ортогонална на
еквипотенциалната повърхнина, тъй като Fr
е по нормалата към нея.
•••• Закон за съхранение на механичната енергия на точка.
Нека точка M се движи от 1M до 2M в потенциално силово поле Fr.
От теоремата за кинетичната енергия на M и (62) намираме
(65) cteETTTMMMFAMTMT ==Π+≡Π+=Π+→Π−Π==− 2211212,112 )()()/()()(r
.
Равенство (65) се нарича закон за съхранение на механичната енергия:
механичната енергия Π+= TE в потенциално силово поле е константа.
Фиг. 23. Повърхнини на ниво.
117
Пример 4. Топче M с тегло NP, пада от височина mh, без начална
скорост върху безмасова пружина с дължина ml ,0 и статично
провисване stδ от теглото P (фиг.24). Търси се максималното свиване
на пружината dδ . След удара топчето и пружината се движат заедно.
Решение. Въвеждаме абсолютен репер ),( xORr
като т.O съвпада с центъра
на топчето, когато се намира върху ненапрегната пружина(фиг.24).
Топчето се намира в потенциално силово поле, тъй като върху него
действуват силата на тежестта xPPrr
−= и еластичната сила на пружината
stel PcxcxF δ/, =−=rr
. В началния момент топчето M се намира в положение
0M с нулева скорост и на разстояние h от нулевата
точка O . Кинетичната енергия на тялото в този
момент е 02/2
00 ≡= mvT , а потенциалната
PhxdxxPrdPMPAMh
O
M
OM =−===Π=Π ∫∫0
,00 )()/()(
0
0
rrrrr.
В крайния момент топчето M се намира в положение
1M с нулева скорост и деформация напружината dδ .
Кинетичната енергия на тялото в този момент е
02
1 2
11 ≡= mvT , а потенциалната
2
0
,112
))(()()/,()(
1
1 dd
O
M
elelOM
cPxdxxcxxPrdFPMFPAM
d
δδδ
+−≡−−=+==Π=Π ∫∫−
rrrrrrrr.
От теоремата за запазване на механичната енергия имаме
0222
00 22
111000 =−−→+−=+→≡Π+=Π+≡ hP
PPhETTE stdstdd
st
d δδδδδδ
δ ,
откъдето окончателно намираме hstststd δδδδ 22 ++= .
Пример 5. Точка M с маса kgm, се намира върху
гладка хоризонтална равнина и е свързана с
пружина с дължина ml ,0 и еластичност mNc /, ,
фиксирана в ставата O (фиг.25). В началото M е
отклонена на разстояние maMM ,01 = и пусната без
начална скорост, 22
0011 ;, adrOMmdrOM +≡=≡= .
Търси се скоростта при преминаване през равновесното положение 1M .
Решение. В абсолютния репер ),,( yxORrr
, ydxxOMrrrr
+== , xdxrdrr
= (фиг.25).
Върху M действува системата сили },,{ /0 elM FNPErrr
= , rrlrcFel /)( 0
rr−−= . От (47)
).2
)((])([)()/()()( 0
10
100/01,0
0
0
2/
1
1
0
1
021
lrr
rrcrdr
rlrcrdyNyPFMEAMTMT
r
r
M
M
Mel
mv
−+
−=−−=+−≡=− ∫∫r
rrrrr
321321
Фиг. 24. Топче падащо върху пружина.
Фиг. 25. Еластична сила.