Глава ІІ i. ДИНАМИКАelse.uctm.edu/subjects/c698/download/lectures_l_610_bg.pdf1/2 =...

97

Глава ІІI. ДИНАМИКА

10. Динамика на материална точка.

10.1. Въведение.

Определение – Динамиката е част от механиката, която изучава

механичните движения на материалните обекти в зависимост от

силите, които действуват върху тях.

Съществуват две обективни форми на материята: веществена

(вещество) и полева(поле). Веществото е съвкупност от елементарни

частици и се характеризира с маса и енергия. Полето е такава

материална форма, която осъществява взаимодействието на частиците

и ги свързва в системи.

Нютоновата механика допуска съществуването на абсолютно

пространство и абсолютно време. Абсолютното пространство се

приема като безкрайна и непрекъсната съвкупност от точки,

разстоянията между които са неизменни. Това пространство е

независимо от движещата се материя и от времето. Абсолютното

време се приема като определена продължителност на процесите и

явленията, независимо е от материалните обекти, тече непрекъснато,

равномерно и еднопосочно, без начало и край, но може да се измерва.

Основните закони на механиката(аксиоми) са изложени системно за

първи път от Исак Нютон през 1687 г. в съчинението му

“Математични основи на естествената философия”.

Законите на движението са по отношение на абсолютна (Коперникова)

координатна система свързана с абсолютното пространство, с

координатно начало - центъра на Слънцето и оси, насочени към три

неподвижни звезди. Валидни са и за инерциални или галилееви системи

движещи се транслационно и равномерно спрямо абсолютната система.

Нютоновата(класическа) механика е пригодна за изучаване

движението на тела, чиито скорости са далеч под скоростта на

светлината( skm /10.3 5 ). В противен случай тясната връзка между

материя, пространство и време не може да се пренебрегне, с което се

занимава теорията на относителността на Айнщайн, а в микросвета

на атома – квантовата механика.

Цел на динамиката е решаването на две основни задачи:

• права задача на динамиката – по известни маса и уравнение на

движение на обекта, да се определят действуващите сили;

• обратна задача на динамиката – по известни маса и сили

действуващи на обекта, да се определи уравнението на движение.

98

Аксиоми на динамиката.

1. Закон за инерцията – Материална точка запазва състоянието

си на покой или равномерно праволинейно движение дотогава,

докато действието на други тела не измени това състояние.

2. Закон за пропорционалност на силата и ускорението –

Ускорението ar на материална точка е пропорционално на

приложената сила Fr

и има еднакви с нея направление и посока.

Този закон се изразява векторно с уравнението

(1) amFrr

=

и се нарича основно уравнение на динамиката. Коефициентът на

пропорционалност kgm, не зависи от силата, а е атрибут, т.е. присъщ

(свойствен) на материалната точка и се нарича маса. Масата е мярка за

инертността на материалната точка. Телата в близост до земната

повърхност изпитват ускорение 2/81.9 smg ≈ и имат тегло mgG = .

3. Закон за равенство на действието и противодействието –

на всяко действие съответствува равно и противоположно

насочено противодействие.

Следствие. Две материални точки си взаимодействуват

със сили, равни по големина, противни по посока и

насочени по правата, която ги свързва.

Ако 1P и 2P са две материални точки, а 2/1Fr

е силата, с

която точка 1P въздействува на 2P и 1/2Fr

- силата

произхождаща от 2P към 1P , то закона се дава с връзката

(2) 1/22/1 FFrr

−= .

4. Закон за независимост на действието на силите – Няколко

едновременно действуващи на материалната точка сили дават

на точката такова ускорение,

което би й дала една сила, равна

на тяхната геометрична сума.

Нека на материална точка действуват

системата сили },...,,{ 21 nFFFErrr

= .Всяка

сила приложена на точката й придава

съответно ускорение: niamF ii ,...,2,1, ==rr

.

Събираме почленно изразите и имаме

FamamamamamFFFn

i

inn

rrrrrrrrr==≡+++=+++ ∑

=1

2121 ...... .

Ускорението ar на точка P , получено от равнодействащата F

r на силите

е сума от парциалните ускорения iar

на P , добити от отделните сили iFr

.

Фиг. 1. Взаимодействие на точки.

Фиг. 2. Сили действуващи на точка.

99

10.3. Принцип на Даламбер.

На фиг.1 е представено взаимодействието на две материални точки.

Точката 2P въздейства на 1P със сила 111/2 amFrr

= , а 1P упражнява върху 2P

сила 222/1 amFrr

= . От закона за действието и противодействието имаме

1111/22/1 Φ≡−=−=rrrr

amFF , 2222/11/2 Φ≡−=−=

rrrramFF ,

където 1Φr

, 2Φr

се наричат инерционни сили съответно на точките 1P , 2P .

Ако точка 2P въздейства на 1P със сила 1/2Fr

, то 1P въздейства на 2P с

инерционната си сила 1Φr

, при това 1/2Fr

и 1Φr

действуват върху две

различни точки.

От основното уравнение на динамиката за точка можем да напишем

0)(rrrrr

=−+→= amFamF ,

откъдето намираме статичното условие за равновесие на силите Φrr

,F

(3) 0rrr

=Φ+F ,

където amrr

−=Φ е инерционна сила на точката.

Уравнение (3) е известно като принцип на Даламбер: ако, в който и

да е момент към силата действуваща върху точката приложим и

инерционната сила, то получената система е в равновесие.

С този принцип всяка задача от динамиката се свежда до задача от

статиката, тъй като имаме равновесие на сходяща система от сили.

Прилагането на инерционната сила към точката е условно, тъй като тя е

насочена не към точката, а към тялото придаващо й ускорение, т.е.

силите Fr

и Φr

са приложени към различни обекти. Замяната на

динамичната задача в статична се нарича метод на кинетостатиката.

Пример 1. Да се определи натискът на тяло-1 с маса

kgm, упражнен върху платформата на вертикално

вдигащ се асансьор- 2 с ускорение 2/, sma (фиг.3).

Решение. Следвайки принципа на Даламбер

системата сили приложени върху 1 е: 0~},,{ 11/21 Φ=rrr

NPE .

Тук zNNzmgPrrrr

1/21/21 , =−= са външни сили съответно

тегло на 1 и реакция на 2 към 1, а zmaamrrr

−≡−=Φ 11 -

инерционна сила на тяло 1, като zaaarrr

=≡ 21 .

От равновесието на системата E имаме: 011/21

rrrr=Φ++NP . Проектираме по z

r:

)(0: 1/21/2 gamNmaNmgz +=→=−+−r

. Търсеният натиск е: .)(1/21/22/1 zgamzNNNrrrr

+−≡−=−=

Пример 2. Точка M с маса kgm, , окачена на нишка в т. O с дължина

mlOM ,= , описва при движението си окръжност в хоризонталната

равнина(фиг.4). Нишката сключва постоянен ъгъл α с вертикалата,

прекарана през O . Търси се опъването в нишката T и скоростта v на M .

Фиг. 3. Асансьор-натиск.

100

Решение. Следвайки принципа на Даламбер системата сили приложени

върху материалната точка M е 0~},,,{n

TPE ΦΦ=rrrr

τ (фиг.4). Тук външните сили

са теглото bmgPrr

−= и реакцията от нишката

,)cos(sin]),(cos),([cos

2/

bnTbbTnnTTTrrr

43421

rrr

43421

rrrαα

ααπ

+=∠+∠=

−

а инерционната сила nΦ+Φ=Φrrr

τ се състои

от две сили: тангенциална τττ r&&

rrsmam −=−=Φ

и нормална .sin,)/(2 αlHMrnrsmam

nn ==−=−=Φr

&rr

Тук сме отчели, че точката M се движи по

окръжност: nrssaaa n r&

r&&

rrr)/( 2+≡+= ττ , където

s е криволинейната абциса по

окръжността. Проектираме равновесната

система сили E , т.е. 0rrrrr

=Φ+Φ++ nTP

τ в

репера на Френе ),,,( bnMRrrr

τ и намираме:

,cos

0cos:,0:α

ατmg

TTmgbctesvsm =→=+−==→=−r

&&&r .

cos

.sin0sin:

2

ααα

glsv

r

smTn ==→=− &&r

Пример 3. Автомобил с маса kgm, преминава със скорост smv /, през

мост с радиус на кривина m,ρ (фиг.5). Да се определят: 1) Натискът,

упражнявян от автомобила в средата на моста; 2) Каква скорост трябва

да има автомобилът за да не упражнява никакъв натиск на това място.

Решение. Следвайки принципа на Даламбер системата сили приложени

върху автомобила A е 0~},,,{ /

n

AmNPE ΦΦ=rrrr

τ

(фиг.5). Външни сили са теглото

nmgPrr

= и нормалната реакция на моста

nNN AmAm

rr

// −= , а инерционната сила nΦ+Φ=Φ

rrrτ се състои от две сили:

тангенциална τττ r&&

rrsmam −=−=Φ и

нормална nsmamnn r

&rr

)/(2 ρ−=−=Φ .

Тук сме отчели, че автомобила A се

движи по дъга с радиус на кривина ρ

nssaaa n r&

r&&

rrr)/( 2 ρττ +≡+= , където s е

криволинейната абциса по дъгата на моста. Проектираме равновесната

система сили E , т.е. 0/

rrrrr=Φ+Φ++ n

AmNPτ в репера на Френе ),,,( bnAR

rrrτ и

намираме: .)(0:,0:22

/

2

/ρρρ

τv

gms

mmgNs

mNmgnctesvsm AmAm −≡−=→=−−==→=−&&r

&&&r

1) За натиска, упражняван от автомобила в средата на моста намираме:

nvgmnNNN AmAmmA

rrrr)/( 2

/// ρ−≡=−= .

2) За скоростта *v , при която 0/

rr=mAN имаме: ρgvN Am =→= *

/ 0 .

Фиг. 4. Топче, закачено на нишка.

Фиг. 5. Автомобил върху мост.

101

10.4. Диференциални уравнения на движение на точка.

Съгласно втория закон на Нютон за материална точка M пишем:

(4) ),,(2

2

rrtFdt

rdm

dt

vdmam &r

rrrrrr

=== .

Тук rr

е радиус-вектор на точката M , ),,( rrtF &rrrr

- равнодействуваща на

външните сили, приложени върху точката, които могат да са постоянни

или функции на времето, на положението на точката или на скоростта.

Уравнение (4) се нарича основно уравнение на динамиката на свободна

материална точка,а понеже представлява обикновено диференциално

уравение от втори ред на rr

спрямо t още векторно диференциално

уравнение на движението на материална точка.

Нека в момента 0t материалната точка M съвпада с геометричната

точка 0M (фиг.6), на която съответствува радиус-векторът 000 )( OMrtr ≡=

rr,

а скоростта й е 000 )( vrtrr&r&r ≡= . За да се получи конкретна интегрална крива

от решението на (4) е необходимо задаването на началните условия, т.е.

началните положение и скорост на материалната точка M :

(5) 0000 )(,)( rtrrtr &r&rrr== .

Задачата (4),(5) се казва начална задача от 2-ри

ред или задача на Коши.

• Диференциални уравнения на движение - декартови координати.

Представяме радиус-вектора на точката M

чрез декартовите координати в абсолютния

репер ),,,( zyxORrrr

: ztzytyxtxOMtrrrrr

)()()()( ++=≡ .

При проектиране на векторното уравнение

(4) в репера R получаваме 3 скаларни

диференциални уравнения:

(6)

=

=

=

),,,;,,;(

),,,;,,;(

),,,;,,;(

zyxzyxtFzm

zyxzyxtFym

zyxzyxtFxm

z

y

x

&&&&&

&&&&&

&&&&&

където равнодействащата Fr

е представена с компонентите си zyx FFF ,, ,

които в общия случай са функции на времето, положението, скоростта.

Към (6) трябва да прибавим и началните условия:

(7) .)(,)(;)(,)(;)(,)( 000000000000 ztzztzytyytyxtxxtx &&&&&& ======

Уравнения (6) се наричат диференциални уравнения на материална

точка в правоъгълни(декартови) координати.

Обвързаността на уравненията (6) изисква съвместното им решаване.

Фиг. 6. Декартови координати.

102

• Диференциални уравнения на движение - естествени координати.

При известна траектория на движещата се

точка M се използува естествена координатна

система, т.н. придружаващ триедър на Френе

),,,( bnMRrrr

τ , чиито оси са насочени съответно

по допирателната, главната нормала и

бинормалата на траекторията в точка M .

Представяме ускорението на точката M в

естествени координати: ns

saaa n r&r&&

rrr

ρττ

2

+≡+= ,

където )(0 tssMM == е естествения закон на движение на M , ρ -

радиус на кривина на траекторията. Като проектираме (4) върху

триедъра на Френе ),,,( bnMRrrr

τ намираме

(8)

=

=

=

),,;(0

),,;(

),,;(2

sstF

sstFs

m

sstFsm

b

n

&

&&

&&&

ρ

τ

където равнодействащата Fr

е представена с компонентите си 0,, ≡bn FFFτ ,

които в общия случай са функции на времето, положението, скоростта.

Равнодействащата Fr

се намира в оскулачната равнина nMτ ( 0≡bF ),

понеже ускорението ar е там, а компонентата nF е неотрицателна, 0≥nF .

Уравнения (8) се наричат естествени диференциални уравнения на

движението на материална точка.

Към (8) трябва да прибавим и началните условия:

(9) .)(,)( 0000 stssts && ==

Системата уравнения (8) може да се преобразува, ако вземем предвид

dt

dv

ddsdt

dsv

vv

v

d

ds ϕ

ϕρρϕρ ====

/

1,

2

,

където ϕ е ъгълът между тангентата към траекторията в M и

произволно избрана, фиксирана ос от равнината на движение, dtd /ϕ -

ъгловата скорост на допирателната към траекторията на движещата се

точка, а ϕd - ъгълът между тангентите в две произволно близки точки.

Диференциалните уравнения на движение вземат вида

(10) bn FF

dt

dmvF

dt

dvm === 0,,

ϕτ

,

а началните условия: 0000 )(,)( ϕϕ == tvtv .

Този вид на диференциалните уравнения е удобен при изследване

полета на ракети и снаряди, т.е. при равнинна крива на траекторията.

Фиг. 7. Естествени координати.

103

• Свободно падане на материална точка без съпротивление.

Задача 1. Дадена е материална точка M , която пада свободно от

височина mh, без начална скорост в безвъздушно пространство(фиг.8).

Търсят се: времето *t и скоростта *

v на падане на M върху Земята.

Решение. Текущият радиус-вектор на M в репера

),,,( zyxORrrr

(фиг.8) е ztzOMtrrr

)()( == , а началните

условия са: zhrrr

=)0( , 0)0(r

&r =r . Върху точката M е

приложена само силата на тежестта, т.е. }{PEr

= .

От закона на Нютон в R пишем: Famrr

= ,

където zzrar&&&&rr

== , zmgPERFrrrr

−==≡ )( .

След проектиране върху Oz намираме:

0)0(,)0(, ==−= zhzmgzm &&& ,

откъдето след двукратно интегриране получаваме

2)()(

2

0)0(0)0(

tghzdtgtdzgtzdtgzdgz

tz

z

tz

z

−=−→−=→−=→−=→−= ∫∫∫∫ &&&&

&

&

.

Окончателно, за закона на движение на M намираме 2/)( 2gthtz −= , а за

времето и скоростта на падане: ghttzt /20)(: *** =→= , hggttzv 2)( *** −≡−== & .

• Движение на точка, хвърлена под ъгъл спрямо хоризонта.

Задача 2. Дадена е материална точка M с маса kgm, , изхвърлена под

ъгъл α спрямо хоризонта, с начална скорост smv /,0 (фиг.9). Да се

намерят: траекторията на точката )(xyy = ; максималната височина на

полета h ; дължината на полета l ; времето *t и скоростта *

v на падане.

Решение. Текущият радиус-

вектор на M в репера ),,,( zyxORrrr

(фиг.9) е ytyxtxOMtrrrr

)()()( +== , а

началните условия са: 0)0(rr

=r ,

)sin(cos)0( 00 yxvvrrrr&r αα +== .

Върху точката M е приложена

само силата на тежестта, }{PEr

= .

От закона на Нютон в R пишем: Famrr

= , yyxxrar&&

r&&&&rr

+== , ymgPERFrrrr

−==≡ )( .

След проектиране върху Ox и Oy намираме: αcos)0(,0)0(,0 0vxxxm === &&& ,

αsin)0(,0)0(, 0vyymgym ==−= &&& , откъдето след двукратно интегриране имаме

,cos)()cos(cos)0(0 0

0

0

)0(

0 tvtxdtvdxvxctexx

tx

x

ααα =→=→===→= ∫∫&&&&

.2

sin)()sin(sin)(2

0

0

0

)0(

0

0)0(

tgtvtydtgtvdygtvydtgydgy

ty

y

ty

y

−=→−=→−=→−=→−= ∫∫∫∫ ααα&&&&

&

&

Фиг. 8. Свободно падане на точка.

Фиг. 9. Точка хвърлена под ъгъл.

104

Траекторията на движение на M намираме след елиминиране на

времето t от параметричното представяне на кривата )(txx = и )(tyy = , т.е.

)2sin()cos(2

)cos2

sin(coscos

02

00

0

00

gxvv

x

v

xgv

v

xy

v

xt −≡−=→= α

ααα

αα.

Максималната височина на полета h определяме от: )(max tyht

= , откъдето

g

vtytyh

g

vtgtvty

t 2

)sin()()(max

sin0sin)(

2

0

*

0

*0

ααα ===→=→=−=& .

Времето на падане *t намираме от:

*0*

2

*

10

* sin2,00)2/sin(0)(: t

g

vttgtvttyt ≡=≡→=−→=

αα .

Дължината на полета l е: g

vtxl

α2sin)(

2

0* == .

За скоростта на падане пишем: yvxvytyxtxtrrrr

&r

&&r αα sincos)()()( 00

*** −=+= .

Големината й е: 0

2

0

2

0

** )sin()cos()( vvvtrv =−+== αα&r .

10.5. Частни случаи от движение на точка.

1) Праволинейно движение на точка под действие на сила,

която зависи от времето.

Нека праволинейното движение на точката M се осъществява по ос Ox.

Основното уравнение на динамиката Famrr

= проектирано върху x дава

(11) 00 )0(,)0(),( xxxxtfFxm x&&&& ==≡= .

След двукратно интегриране намираме закона на движение на точката

∫∫∫∫ +=→+=≡→≡=→=≡tx

x

tx

x

duxdxtuxdt

dxxtudf

mxdtf

mdt

xdx

0

0

)0(

0

0)0(

)]([)()()(1

)(1

ττττ &&&&&

&&

&

&

,

(12) ∫++=t

dutxxtx0

00 )()( ττ& .

Пример 4. Точка M с маса kgm, се движи праволинейно под действие

на сила ctecteAxtAF === ωω ,,cosrr

(фиг.10). Търси се законът на движение

на M , ако в началния момент има скорост

xvvrr

00 = и радиус-вектор е xxrrr

00 = .

Решение. От уравнението на Нютон по x имаме

00 )0(,)0(,cos)(: vxxxtAtFxmxFam ==≡=→= &&&rrr

ω .

След двукратно интегриране получаваме )(tx :

∫∫∫∫ +=→+=≡→=→==tx

x

tx

x

dm

Avdxt

m

Av

dt

dxxd

m

Axdt

m

A

dt

xdx

0

0

)0(

0

0)0(

)sin(sincoscos ττωω

ωω

ττωω &&&

&&

&

&

,

)cos1()(200 t

m

Atvxtx ω

ω−++= .

Фиг. 10. Сила xtFFrr

)(= .

105


която зависи от положението на точката.




(13) 00 )0(,)0(),( xxxxxfFxm x&&&& ==≡= .


→+±=≡→+=→≡=→=≡≡ ∫∫ )()()()(2

)(1

2

1 2

0

2

0

2

)0(

22

0

xuxdt

dxxxuxxxudf

mxdxf

mdx

xd

dx

dx

dt

xdx

x

x

x

x

&&&&&&&

&&

&

&

ξξ (

(14) .)()(

0

2

00)0(2

0

∫∫∫+

±=→=+±

x

x

tx

x ux

dtdt

ux

d

ξ

ξ

ξ

ξ

&&

Законът на движение на точката се получава в неявен вид )(xtt = .

Пример 5. Точка M с маса kgm, е закрепена към горния край на

вертикален еластичен прът, който е захванат неподвижно в основата си

A (фиг.11). Коефициентът на еластичност на пръта е mNc /, . Търси се

законът на движение на M , ако в началния момент прътът бъде

отклонен от вертикалното му положение на разстояние mk , и пуснат.

Решение. Въвеждаме абсолютен репер ),,,( zyxARrrr

(фиг.11). Разглеждаме малко отклонение на

пръта от вертикалата, с което приемаме, че

точката M се движи по права успоредна на Az ,

т.е. ztzxlrrrr

)(+= , където l е дължината на пръта.

Началните условия на M са: zkxlrrrr

+=0 , 00

rr=v .

Върху M действува системата външни сили:

},{ / MbRPErr

= , където xmgPrr

−= е сила на тежестта, а

zZxXR MbMbMb

rrr

/// −= - реакцията на пръта )(b към M .

Тук компонентата MbZ / е еластичната сила на

пръта, която се противопоставя на отклонението му и е

пропорционална на преместването на точката M , т.е. czzFZ Mb ≡= )(/ .

Уравнението на Нютон ни дава: MbRPERFrmam /)(rrrr

&&rr+=≡=≡ . Проектираме

го върху x и z : 0)0(,)0(,)(:;0: /// ==−≡−≡−==→+−= zkzczzFZzmzmgXXmgx MbMbMb&&&

rr.

От първото скаларно уравнение получаваме компонентата на реакцията

по x , т.е. mgX Mb =/ , а от второто – диференциалното уравнение czzm −=&& .

След двукратното му интегриране намираме търсения закон на M , )(tz :

→−−=≡→−−=→−=→=−=≡≡ ∫∫==

222222

)0(

2

0)0(

2222

)(2,2

1zkp

dt

dzzkzpzdzzpzd

m

cpzp

dz

zd

dz

dz

dt

zdz

z

kz

z

z

&&&&&

&&

&

&

.cos)2

sin()(1arcsinarcsin)/(1

)/(

2/0)0(222

ptkptktzptk

zpdt

kz

kzdpdt

zk

dztz

z

≡−=→−=−→−=−

→−=−

∫∫π

π321

Фиг.11. Сила zczFrr

−= .

106


която зависи от скоростта на точката.




(15) 000 )0(,)0(),( vxxxxxfFxm x ≡==≡= &&&&& .


→=→=≡→≡=→≡=→=≡≡ ∫∫∫∫∫−−

tx

x

v

v

tx

x

ddxtdt

dxvv

vf

dvmt

m

tdt

mvf

dvvf

mdt

dv

dt

xdx

0

1

)0(

1

0)0(

)()()()(

1

)()(

1

0

ττϕϕϕ&

&

&&&

(16) .)()(0

1

0 ∫−+=

t

dxtx ττϕ

Тук )(1 t−ϕ е обратната функция на )(vϕ .

Пример 5. Точка M с маса kgm, пада без начална скорост във

въздушна среда(фиг.12). Да се определят скоростта и закона на

движение на M , ако началната височина е mh, , а съпротивителната

сила на въздуха - NmgvkFr ,22= , ctek = .

Решение. Въвеждаме абсолютен репер ),,,( zyxORrrr

(фиг.12). Точката M се движи по оста Oz , т.е.

ztztrrr

)()( = . Началните условия на M са: zhrrr

=0 , 00

rr=v .

Върху M действува системата външни сили:

},{ rFPErr

= , където zmgPrr

−= е силата на тежестта, а

zmgvkFr

rr22= - съпротивление на въздуха срещу M .

Уравнението на Нютон е: rFPERFrmamrrrr

&&rr+=≡=≡ )( .

След проектиране върху оста Oz получаваме:

0)0(,)0(,: 0

22 =≡=+−= vzhzmgvkmgzmz &&&r

.

След интегриране намираме търсената скорост zv &= на точкатаM :

).(1

)2exp(1

)2exp(11)2exp(

1

1

1

1ln

2

11ln

2

11ln

2

1

1

)1(

2

1

1

)1(

2

1

)1)(1(

11(

2

1

1)()1(

00

00000)0(

2

22

kgtthkkgt

kgt

kzvtkg

kv

kv

kv

kv

kkv

kkv

ktg

kv

kvd

kkv

kvd

kkvkv

kvdvkvtgtgdtg

kv

dvvkg

dt

dv

dt

zdz

vv

zzztz

z

−≡+

−=≡→−=

+

−→

+

−≡−++−=

→−

−+

+

+−≡

+−

++−=→≡=

−→−=≡≡ ∫∫∫∫∫

=

&

&&&

&&&&

&

След още едно интегриране получаваме търсения закон на M , )(tz :

).(ln1

)(

)(ln1

)(

)]([1

)(

)(1)(

1)(

1

2

02

0

2

0

2

0)0(

kgtchgk

htz

kgtchgk

hkgtch

kgtchd

gkhdkgt

kgtch

kgtsh

gkhzdtkgtth

kdzkgtth

kdt

dzzv

t

tttz

z

−=

→−≡−≡−=→−=→−=≡≡ ∫∫∫∫&

Фиг.12. Сила zvFF rr

rr)(= .

107

10.6. Основни теореми на динамиката на свободна точка.

Тези теореми са изведени от основното уравнение на динамиката и

свързват динамични и кинематични елементи на движението на точка.

Те позволяват да се понижи реда на диференциалните уравнения, да се

изучат отделни аспекти на дадено явление без цялостно изследване.

1. Теорема за изменение на количеството на движение на точка.

Нека е дадена материална точка M с маса kgm, и скорост smv /,r

(фиг.13).

Количество на движение на материална точка е векторна величина

равна на произведението от масата на точката и скоростта й, т.е.

(17) )()( MvmMqrr

= .

От основното уравнение на динамиката имаме

(18) Fdt

qdF

dt

vmdF

dt

vdmFam

rrrrrrrr=→=→=→=

)(,

където dtvd /r

е ускорението на

точката, а Fr

е равнодействаща на

силите приложени върху нея.

Равенството (18) изразява теоремата

за изменение на количеството на

движение на точка – производната

по времето на количеството на

движение на материална точка е

равна на равнодействащата на

силите приложени върху нея.

Ако проектираме (18) върху осите на абсолютния репер ),,,( zyxORrrr

имаме

(19) zzyyxx FdtdqFdtdqFdtdq === /,/,/ .

• Закон за съхранение на количеството на движение на точка.

Ако проекцията на силата Fr

върху дадено направление с единичен

вектор ser

е нула, т.е. 0=•= ss eFFrr

, то проекцията на количеството на

движение върху това направление ss eqqrr

•= е константа.

И наистина, умножавайки (18) скаларно с ser

намираме

(20) )0(0 sss

s

s

s qcteqFdt

dqeF

dt

eqd≡=→≡=→•=

• rrrr

.

• Импулс на сила.

Елементарен импулс на силата Fr

е векторна величина представена

чрез произведението от силата Fr

и безкрайно малкия интервал от

време dt , през който тя действува, т.е.

(21) dtFFIdrrr

=)( .

Фиг. 13. Количество на движение.

108

Пълен импулс на силата Fr

действаща в интервала от време ],[ 10 tt е

векторната величина

(22) ∫=1

0

)(01

t

t

dtFFIrrr

.

Теорема за импулсите.

а) Теорема за импулсите в диференциална форма: диференциалът на

количеството на движение на материална точка M е равен на

елементарния импулс на равнодействащата на приложените сили.

Наистина, след умножаване на (18) по елементарното време dt имаме

(23) )()( FIddtFMqdrrrr

≡= .

Проектираме векторното равенство (23) върху трите оси и намираме

(24) .)(,)(,)( dtFMdqdtFMdqdtFMdq zzyyxx ===

б) Теорема за импулсите в интегрална форма: изменението на

количеството на движение на материална точка M за даден краен

интервал от време ],[ 10 tt е равен на пълния импулс на

равнодействащата на приложените сили за същия интервал от време.

След интегриране на (23) по времето t в интервала ],[ 10 tt получаваме

(25) ∫∫∫∫ =−→=−→≡=1

0

1

0

1

0

1

0

010101 )()()()(

t

t

t

t

t

t

M

M

dtFvmvmdtFMqMqFIdtFMqdrrrrrrrrrr

.

Проектираме векторното равенство (23) върху трите оси и намираме

(26) .,,1

0

1

0

1

0

010101 ∫∫∫ =−=−=−t

t

zzz

t

t

yyy

t

t

xxx dtFmvmvdtFmvmvdtFmvmv

Пример 1. На точка M с маса kgm, е дадена начална скорост smv /,0 , в

резултат на което тя започва изкачване по наклонена равнина(фиг.14).

След колко време точката ще спре, ако коефициентът на триене е µ .

Решение. Въвеждаме абсолютен

репер ),,( yxORrr

(фиг.14). Скоростта

на точката в началото е xvvrr

0)0( = ,

а в края *t - 0)( *

rr=tv . Системата

сили действащи на точката M е

},{ /0 MRPErr

= , като за силата на

тежестта и реакцията на

наклонената равнина към точката

M имаме: )cossin(]),(cos),([cos

2/

yxmgyyPxxPPPrrr

43421

rrr

43421

rrrαα

απαπ

−−=∠+∠=

−+

, yNxTR MMM

rrr

/0/0/0 +−= .

Тук MM NT /0/0 µ= е силата на триене, определена по закона на Кулон.

Фиг. 14. Топче върху наклонена равнина.

109

Теоремата за импулса в интегрална форма дава: ∫=−*

0

* )()0()(

t

dtERvmtvmrrr ,

където )(ERr

е главния вектор на системата сили E , т.е. MRPER /0)(rrr

+= .

След заместване на силите намираме векторното уравнение

.)cos()sin(

)cos()sin()(

*/0*/0

0

/0

0

/0

0

/00

***

tNmgytTmgx

dtNmgydtTmgxdtRPxmv

MM

t

M

t

M

t

M

+−+−−=

=+−+−−≡+=− ∫∫∫

αα

αα

rr

rrrrr

Сега проектираме това уравнение по съответните оси:

*/0*/00 )cos(0:,)sin(: tNmgytTmgmvx MM +−=−−=− ααrr

,

откъдето окончателно намираме αcos/0 mgN M = , )cos(sin

0

*αµα +

=g

vt .

2. Теорема за изменение на кинетичния момент на точка.

Нека е дадена материална точка M с маса kgm, и скорост smv /,r

(фиг.15).

Кинетичен момент на материална точка M спрямо даден център O

е векторното произведение на радиус-

вектора на точката спрямо центъра O ,

OM и количеството й на движение,

)()( MvmMqrr

= , т.е.

(27) =∧≡∧= )()()( MvmOMMqOMMO

rrrσ

−

−

−

==

)(

)(

)(

xyyxm

zxxzm

yzzym

zmymxm

zyx

zyx

&&

&&

&&

&&&

rrr

.

Тук zyx ,, са координатите на точка M , а zyx &&& ,, - компонентите на )(Mvr

.

За големината на кинетичния момент имаме

(28) mvhvOMmvOMMvmOMMqOMMOO ≡∠=∧=∧== ),(sin)()()(rrrr

σσ ,

където ),(sin vOMOMhr

∠= е рамо на вектора )()( MvmMqrr

= спрямо центъра O .

Кинетичният момент има направление перпендикулярно на равнината

образувана от образуващите го вектори OM и )(Mqr

, а посоката му се

определя по правилото на десния винт.

Кинетичен момент на материална точка M спрямо дадена ос Os е

проекцията на кинетичния момент на точката M спрямо произволен

център O от оста върху самата ос, т.е.

(29)

γβα

σσ

coscoscos

)()()()( zmymxm

zyx

eMvmOMeMqOMeMM sssOOs&&&

rrrrrr=•∧≡•∧=•= .

Тук ser

е единичен вектор на оста с посочни косинуси: γβα cos,cos,cos .

Фиг. 15. Кинетичен момент.

110

Основното уравнение на динамиката умножаваме векторно с OMr =r

:

Frdt

vmdrvm

dt

rd

dt

vmrdFr

dt

vdmrFam

rrr

r

43421

rrrrrr

rrrr

r

∧=∧+∧=∧

→∧=∧→=)()(

0

.

И така, намираме

(30) Frdt

vmrd rrrr

∧=∧ )( или )(

)(FM

dt

MdO

Orr

r

=σ .

Равенство (30) изразява теоремата за изменение на кинетичния

момент на точка: производната по времето на кинетичния момент на

материална точка относно произволно избран център O е равна на

момента на равнодействащата на силите, приложени върху точката,

срямо същия център.

Като проектираме (30) върху осите на абсолютния репер ),,,( zyxORrrr

имаме

(31) )()(

),()(

),()(

FMdt

MdFM

dt

MdFM

dt

MdOz

Oz

Oy

Oy

Ox

Oxrrr

===σσσ .

• Закон за съхранение на кинетичния момент на точка.

Ако проекцията на момента FOMFM O

rrr∧=)( върху дадено направление с

единичен вектор ser

е нула, т.е. 0)()( =•= sOOs eFMFMrrrr

, то проекцията на

кинетичния момент върху направлението sOOs eMMrr

•= )()( σσ е константа.

И наистина, умножавайки (30) скаларно с ser

намираме

(32) ).()(0)()(

)()(

0McteMFMdt

MdeFM

dt

eMdOsOsOs

Os

sO

sO σσσσ

≡=→≡=→•=• rrrrrr

• Следствия от теоремата за изменение на кинетичния момент.

Една сила Fr

се нарича централна, ако директрисата й

постоянно минава през неподвижен център O (фиг.16).

Следствие 1. Сила 0rr

≠F , приложена на материална

точка M е централна, ако кинетичният момент на

точката M спрямо даден неподвижен център O е

постоянен.

Доказателство. Необходимо условие: Ако силата Fr

е централна и

директрисата й минава през неподвижния център O , то 0)(rrrr

=∧= FOMFMO,

което означава, че cteMFMdt

MdOO

O =→≡= )(0)()(

σσ rrrrr

.

Ддостатъчно условие: Нека кинетичният момент на точката M спрямо

неподвижен център O е постоянен, т.е. cteMO =)(σr

, откъдето следва

FOMFMdt

MdO

Orrrr

r

∧≡=≡ )(0)(σ , т.е. F

r минава през центъра O , тъй като 0

rr≠F .

Следствие 2. Ако силата Fr

върху материалната точка M е

централна, то траекторията на M е равнинна крива.

cteMvmOMMO =∧≡ )()(rr

σ , cte е нормален вектор на равнината )](,[ MvOMr

.

Фиг. 16. Централна сила.

111

Пример 2. Изкуствен спътник на Земята има елиптична траектория, в

един от фокусите, на която е Земята. Да се определи скоростта на

спътника в момента, когато се намира в най-

отдалечената от Земята точка B , ако скоростта

му в точка A (най-близкостоящата) е skmvA /8= .

Дадено е още kmEBkmEA 6600,6500 == (фиг.17).

Решение. Въвеждаме абсолютен репер ),,( yxORrr

(фиг.17). Скоростта на спътника в A е yvAv A

rr=)( , а

в B - yvBv B

rr−=)( . Върху спътника M

действува една централна сила(гравитационна) EMkF −=r

. Тъй като

силата Fr

е централна, то кинетичния момент на спътника спрямо

земния център E е постоянен, т.е. cteMvmEMME =∧= )()(rr

σ .

За кинетичните моменти на M в положения A и B съответно имаме

ctezvEAmymvxEAAvmEAA AAE =≡∧=∧=rrrrr

)()(σ ,

ctezvEBmymvxEBBvmEBB BBE =≡−∧−=∧≡rrrrr

)()()()(σ .

След приравняване на кинетичните моменти в A и B намираме

skmEB

EAvvzvEBmzvEAmBA ABBAEE /879.7

6600

65008)()( ===→=→=

rrrrσσ .

Пример 3. Сачмата M е завързана към шнура MOA , който минава през

вертикална тръба. Сачмата обикаля около тръбата по окръжност с

радиус 1r и прави min/1201 trn = . Чрез бавно издърпване на шнура се

скъсява частта му вън от тръбата до дължина 2OM , така че сачмата да

описва окръжност с радиус 12 5.0 rr = (фиг.18). Колко

оборота в минута прави сачмата при положение 2M .

Решение. Въвеждаме абсолютен репер ),,,( zyxORrrr

(фиг.18). Скоростта на точката M е OMMv ∧=ωrr

)( .

Системата сили действащи на точката M е },{ / MfSPErr

= .

Тук zmgPrr

−= е силата на тежестта, а MfS /

r реакцията

на нишката към точката M . Теоремата за изменение

на кинетичния момент на M спрямо ос Oz дава:

0)()()()(

0

/

0

=•∧+•∧=•=•≡ zSOMzPOMzEMzMM MfOOOz

r

43421

r

4434421

rrrrr&r&r

σσ .

{ .30

)sin(])cos([)])(()([

])([)]([)()()(

2222

cos

2

2

rn

mOMmOMOMmzOMOMzOMm

zOMOMOMmzOMmOMzvmOMzMM

rOM

OOz

πϕωϕωωω

ωωωσσ

ϕω

≡=−−=••−•=

=••−=•∧∧=•∧=•=

−43421321

rrrr

rrrrrrrrr

.min/4802.120)/()30/()30/()()( 22

2112

2

22

2

1121 trrrnnrnmrnmMM OzOz ===→=→= ππσσ

Фиг. 17. Спътник в орбита около Земята.

Фиг. 18. Точка по

окръжност.

112

3. Теорема за изменение на кинетичната енергия на точка.

Нека е дадена материална точка M с маса kgm, , скорост )(Mvr

и сила Fr

действаща върху нея(фиг.19).

•••• Елементарна работа на силата Fr

е

скаларното произведение на силата Fr

и

елементарното преместване на точката dM:

(33) dsFdsFrdFdMFMFdA ττ =•=•=•=rrrrrr

)/( .

Ако заместим ),,( ′= zyx FFFFr

, ),,( ′= zyxrr

, то

(34) )()/( MvdtFdzFdyFdxFrdFMFdA zyx

rrrrr•=++=•= .

•••• Тотална работа на силата Fr

при

преместването на точката M от A до B е

(35) ∫∫∫∫ ∠==++=•=B

A

B

A

t

t

s

sAB

zyx

AB

BA dtvFvFdsFdzFdyFdxFMrdFMFA ),(cos.)()()/(,

rrrrr

τ.

Работата се измерва в джаули: mNJ 1.11 = , JkJ 3101 = .

•••• Мощност на силата Fr

е работата на силата за единица време или

скаларното произведение на силата Fr

и скоростта на точката M , )(Mvr

:

(36) zzyyxx vFvFvFvFvFvFMvF

dt

MrdF

dt

MFdAMFP ++==∠=•=•== τ),(cos.)(

)()/()/(

rrrrrrr

r.

•••• Работа на сила на тежестта zmgPrr

−= (фиг.20).

За елементарната работа на силата имаме

(37) .)()/( mgdzrdzmgrdPdMPMPdA −=•−=•=•=rrrrrr

.

Тук е отчетено, че zdzydyxdxrdrrrr

++= .

За тоталната работа на Pr

определяме

(38) ).()()()/(, BA

z

zAB

BA zzmgdzmgMrdPMPAB

A

−=−=•= ∫∫rrr

Пълната работа на силата на тежестта Pr

се дава от произведението на

теглото на точката M и разликата на апликатите на крайните точки .,BA

При 0>−=∆ BA zzz работата е положителна, а при 0<−=∆ BA zzz - отрицателна.

Работата на силата на тежестта Pr

не зависи от траекторията )(C на M ,

а от крайните точки. Такива сили са потенциални или консервативни.

•••• Работа на еластична сила rcFel

rr−= (фиг.21).

За елементарната работа на силата имаме

(39) ).2/()2/()()/(22

crdrcdrdrcdMFMFdA elel −≡−=•−=•=rrrrr

За тоталната работа на elFr

определяме

(40) ).(22

)()()/( 222

, BA

r

r

r

rAB

elelBA rrc

rc

rdrcMrdFMFAB

A

B

A

−=−=−=•= ∫∫r

r

r

r

rrrrrr

Фиг. 19. Работа на сила.

Фиг. 20. Сила на тежестта.

Фиг. 21. Еластична сила.

113

При праволинейно преместване на материалната точка(фиг.22) за

еластичната сила имаме xcxFel

rr−= .

За елементарната работа на силата намираме

(41) ).2/()()/( 2cxdcxdxxdxxcxOMdFMFdA elel −≡−=•−=•=rrrr

За тоталната работа на elFr

от O до M определяме:

(42) .22

)()/( 2

0

2

0

xc

xc

xdxxcxOMdFMFAx

x

OM

elelOM −=−=−=•= ∫∫rrrr

Работата на еластичната сила elFr

не зависи от траекторията )(C на M , а

само от крайните точки, т.е. тя е потенциална(консервативна) сила.

•••• Теорема за изменение на кинетичната енергия на точка.

Кинетична енергия на материална точка M се нарича изразът

(43) 2

02

1)/( mvRMT = ,

т.е. полупроизведението на масата на точката и скоростта й.

Нека да умножим основното уравнение на динамиката скаларно с rdr

:

rdFv

mdrdFvdvmrdFrddt

vdmFam

rrrrrrrrrr

rrr•=→•=•→•=•→= )

2(

2

.

Като вземем под внимание (33) и (43) извеждаме

(44) )/()/( 0 MFdARMdTr

= .

Формула (44) изразява теоремата за изменение на кинетичната

енергия в диференциална форма – диференциалът на кинетичната

енергия на материалната точка е равен на елементарната работа на

равнодействащата на силите приложени върху нея.

Ако разделим (44) на dt , намираме друг вид на теоремата

(45) )/()/()/()/( 00 MFP

dt

RMdT

dt

MFdA

dt

RMdT rr

=→= ,

т.е. производната на кинетичната енергия по времето е равна на

мощността на равнодействащата на силите приложени върху нея.

Ако интегрираме уравнение (44) по дъгата AB от траекторията на

точката M намираме теоремата за изменение на кинетичната

енергия в интегрална форма

(46) ∫∫∫ ≡=−→=

AB

BA

ABAB

MFdAMFARATRBTMFdARMdT )/()/()/()/()/()/( ,000

rrr или

(47) )/(2

1

2

1,

22MFAmvmv BAAB

r=− ,

т.е. промяната на кинетичната енергия на материална точка за краен

интервал от време ],[ BA tt е равна на пълната работа на силите

приложени върху нея, за същия интервал от време.


114

4. Закон за съхранение на механичната енергия на точка.

•••• Силово поле – физическо пространство във всяка точка на което

на материална точка M действува сила, зависеща от положението

на точката и евентуално от времето.

а) стационарно силово поле – силата зависи само от положението на M

(48) OMMrMrfMF == )()),(()(rrrr

.

б) нестационарно силово поле – силата зависи от положението на Mи t

(49) OMMrtMrfMF == )(),);(()(rrrr

.

•••• Потенциално силово поле – работата на силата, действуваща на

материална точка не зависи от траекторията й, а само от нейното

начално и крайно положение(сила на тежестта, еластична сила).

Условието да бъде едно силово поле потенциално е съществуването на

т.н. силова функция ),,()( zyxUMU ≡ , за която имаме

(50) zFZz

zyxUyFY

y

zyxUxFX

x

zyxU rrrrrr•≡=

∂

∂•≡=

∂

∂•≡=

∂

∂ ),,(,

),,(,

),,(,

т.е. частните производни на еднозначната функция ),,()( zyxUMU ≡ по

координатите zyx ,, да са равни на съответните проекции на силата.

Доказателство. Нека означим zZyYxXFrrrr

++= , zdzydyxdxMrdrrrr

++=)( .

За елементарната работа на силата Fr

намираме

(51) )()()/( MdUdzz

Udy

y

Udx

x

UZdzYdyXdxMrdFMFdA ≡

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=++=•=

rrr.

За тоталната работа на силата Fr

при преместване от 0M до 1M имаме

(52) ),,(),,()()()()()/( 000111011,0

1

0

1

0

zyxUzyxUMUMUMdUMrdFMFA

M

M

M

M

−≡−≡=•= ∫∫rrr

,

т.е. тоталната работа зависи само от началната и крайната стойности на

силовата функция, а видът на траекторията не оказва влияние.

Примери за определяне на силови функции:

а) за силата на тежестта zmgPrr

−=

(53) CmgzUMdUmgzdmgdzrdzmgrdPMPdA +−=→≡−=−=•−=•= )()()()/(rrrrr

;

б) за еластична сила xcxFel

rr−=

(54) CcxUMdUcxdcxdxrdxcxMrdFMFdA elel +−=→≡−=−=•−=•= 2/)()2/()()()/(22rrrrr

.

Градиентът от скаларната функция ),,( zyxU е равен на силата Fr

:

(55) gradUzz

Uy

y

Ux

x

UzZyYxXF ≡

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=++=

rrrrrrr.

Силовата функция се определя с точност до една произволна

константа. Силите образуващи потенциално силово поле се наричат

потенциални или консервативни.

115

Критерий за потенциалност на силово поле – намира се от частните

производни от 2 –ри

ред на силовата функция ),,( zyxU и връзката й с

компонентите на силата ),,( ′= ZYXFr

от (50):

(56) z

X

x

Z

x

U

zz

U

xy

Z

z

Y

z

U

yy

U

zx

Y

y

X

y

U

xx

U

y ∂

∂=

∂

∂→

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂

∂

∂=

∂

∂→

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂

∂

∂=

∂

∂→

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂,, .

Ротор или вихър на вектора Fr

се представя чрез векторното

произведение на набла вектор( zz

yy

xx

rrr

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇ ) и вектора F

r, т.е.

(57)

∂∂−∂∂

∂∂−∂∂

∂∂−∂∂

≡∂∂∂∂∂∂=∧∇=

xXxY

xZzX

zYyZ

ZYX

zyx

zyx

FFrot

//

//

//

///

rrr

rr.

Вземайки предвид условията за потенциалност (56), от (57) намираме

(58) 0rr

=Frot ,

т.е. едно силово поле е потенциално, ако то е безвихрово.

Непотенциална сила е съпротивителната зависеща от скоростта на M .

•••• Потенциална енергия.

Да означим стойността на силовата функция в точка M с ),,()( zyxUMUU == ,

а тази в 0M (наречена нулева точка) с ),,()( 00000 zyxUMUU == .

Потенциална енергия в точка M е скаларната величина

(59) UUMUMUdUMFdAM

M

M

M

M

−=−===Π ∫∫ 00 )()()/()(00 r

,

която представлява работата, извършена от силите на полето при

преместване на точката от положение M до положение 0M .

Потенциалната енергия в точка 0M (нулевата) е: 0)()()( 000 ≡−=Π MUMUM .

Потенциалната енергия на точка M зависи само от положението на M :

(60) ),,()()(),,()( 00 zyxUUMUMUzyxM −=−=Π=Π .

Диференцираме потенциалната енергия )(MΠ по координатите:

Zz

U

zY

y

U

yX

x

U

x−=

∂

∂−=

∂

Π∂−=

∂

∂−=

∂

Π∂−=

∂

∂−=

∂

Π∂,, .

Частните производни на потенциалната енергия )(MΠ по zyx ,, са равни

на отрицателните проекции на силата върху съответните координати,

(61) )(Mgradzz

yy

xx

zZyYxXF Π−≡∂

Π∂−

∂

Π∂−

∂

Π∂−=++=

rrrrrrr.

Нека да изразим работата )/(2,1 MFAr

на силата Fr

приложена върху

материалната точка M за преместването й от положение 1M до

положение 2M чрез съответните потенциалните енергии:

(62) 21212,1 )()()/()/()/()/(

0

2

0

1

2

1

Π−Π=Π−Π≡−== ∫∫∫ MMMFdAMFdAMFdAMFA

M

M

M

M

M

M

rrrr.

116

•••• Повърхнина на ниво - геометрично място на точките от поле,

образуващи една повърхнина и имащи еднаква потенциална енергия,

(63) Czyx =Π ),,(

Такава повърхнина се нарича еквипотенциална или повърхнина на

ниво. Изменяйки константата ),( ∞−∞∈C получаваме фамилия

повърхнини на ниво, които разслояват потенциалното силово поле.

Направлението на силата Fr

в дадена точка M от полето е

перпендикулярно на еквипотенциалната повърхнина, а посоката на

силата е към повърхнината с по-малка потенциална енергия.

Доказателство. Нека точка 1M (фиг.23) е безкрайно

близка до M и двете принадлежат на една и съща

еквипотенциална повърхнина, т.е. 11)()( CMM =Π=Π .


приложена

върху точката M , която се премества по повърхнина

на ниво 1C имаме

0)/( 11 ≡−≡Π−==•=•=•= dCddUMMFrdFdMFMFdArrrrr

,

откъдето следва, че )||( τrrrr

rdrdF ⊥ . Тъй като 1M е произволна точка,

следователно силата Fr

е перпендикулярна на тангенциалната равнина

в точка M към еквипотенциалната повърхнина, т.е. по нормалата в M .

Нека точка 2M от директрисата на силата Fr

, приложена върху точката

M ( FMMr

||2), е безкрайно близка до M (фиг.23).


приложена върху точката M ,

която се премества по нормалата към повърхнина на ниво 1C имаме

0)/(

0

2 <Π→Π−==•=•=•=

>

dddUMMFrdFdMFMFdA43421

rrrrr,

т.е. Fr

е насочена към повърхнина с по-малка потенциална енергия.

•••• Силова линия – крива във всяка точка на която силата на полето

съвпада с тангентата към кривата. Тъй като rdFrr

|| ( τrr

||rd ), то имаме

(64) Z

dz

Y

dy

X

dx== .

Това са диференциалните уравнения на силовата линия, ортогонална на

еквипотенциалната повърхнина, тъй като Fr

е по нормалата към нея.

•••• Закон за съхранение на механичната енергия на точка.

Нека точка M се движи от 1M до 2M в потенциално силово поле Fr.

От теоремата за кинетичната енергия на M и (62) намираме

(65) cteETTTMMMFAMTMT ==Π+≡Π+=Π+→Π−Π==− 2211212,112 )()()/()()(r

.

Равенство (65) се нарича закон за съхранение на механичната енергия:

механичната енергия Π+= TE в потенциално силово поле е константа.

Фиг. 23. Повърхнини на ниво.

117

Пример 4. Топче M с тегло NP, пада от височина mh, без начална

скорост върху безмасова пружина с дължина ml ,0 и статично

провисване stδ от теглото P (фиг.24). Търси се максималното свиване

на пружината dδ . След удара топчето и пружината се движат заедно.

Решение. Въвеждаме абсолютен репер ),( xORr

като т.O съвпада с центъра

на топчето, когато се намира върху ненапрегната пружина(фиг.24).

Топчето се намира в потенциално силово поле, тъй като върху него

действуват силата на тежестта xPPrr

−= и еластичната сила на пружината

stel PcxcxF δ/, =−=rr

. В началния момент топчето M се намира в положение

0M с нулева скорост и на разстояние h от нулевата

точка O . Кинетичната енергия на тялото в този

момент е 02/2

00 ≡= mvT , а потенциалната

PhxdxxPrdPMPAMh

O

M

OM =−===Π=Π ∫∫0

,00 )()/()(

0

0

rrrrr.

В крайния момент топчето M се намира в положение

1M с нулева скорост и деформация напружината dδ .

Кинетичната енергия на тялото в този момент е

02

1 2

11 ≡= mvT , а потенциалната

2

0

,112

))(()()/,()(

1

1 dd

O

M

elelOM

cPxdxxcxxPrdFPMFPAM

d

δδδ

+−≡−−=+==Π=Π ∫∫−

rrrrrrrr.

От теоремата за запазване на механичната енергия имаме

0222

00 22

111000 =−−→+−=+→≡Π+=Π+≡ hP

PPhETTE stdstdd

st

d δδδδδδ

δ ,

откъдето окончателно намираме hstststd δδδδ 22 ++= .

Пример 5. Точка M с маса kgm, се намира върху

гладка хоризонтална равнина и е свързана с

пружина с дължина ml ,0 и еластичност mNc /, ,

фиксирана в ставата O (фиг.25). В началото M е

отклонена на разстояние maMM ,01 = и пусната без

начална скорост, 22

0011 ;, adrOMmdrOM +≡=≡= .

Търси се скоростта при преминаване през равновесното положение 1M .

Решение. В абсолютния репер ),,( yxORrr

, ydxxOMrrrr

+== , xdxrdrr

= (фиг.25).

Върху M действува системата сили },,{ /0 elM FNPErrr

= , rrlrcFel /)( 0

rr−−= . От (47)

).2

)((])([)()/()()( 0

10

100/01,0

0

0

2/

1

1

0

1

021

lrr

rrcrdr

rlrcrdyNyPFMEAMTMT

r

r

M

M

Mel

mv

−+

−=−−=+−≡=− ∫∫r

rrrrr

321321

Фиг. 24. Топче падащо върху пружина.


Глава ІІ i. ДИНАМИКАelse.uctm.edu/subjects/c698/download/lectures_l_610_bg.pdf1/2 =...

Documents