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Black Litterman y Copula Opinión Pooling

Fernando Ruiz García, CAIA

[email protected]

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Fisher Black Bob Litterman

“… our approach allows to generate optimal portfolios that start at a set of neutral weigths and then tilt in the direction of the investor`s

views.” Black-Litterman (1992)

3

1.  Introducción

2.  Black Litterman

3.  Copula Opinion Pooling

Índice

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Ø En la práctica financiera, nadie habla de la cartera M o cartera de mercado. Comúnmente se habla de benchmarks o índices de referencia estratégicos. La cartera de mercado de la teoría es el equivalente al benchmark o índice de referencia en la práctica financiera.

Ø Normalmente los fondos de inversión tienen un índice de referencia o benchmark al que pretenden batir asumiendo mayor o menor riesgo. Por ejemplo, un gestor de renta variable española tendrá como referencia el Ibex 35 y mediante una buena selección de títulos, o bien una sobreponderación de aquellos que más le gusten, tratará de conseguir una rentabilidad unos puntos por encima de su índice, lo que se conoce como gestión activa.

Ø Según la teoría de la eficiencia de los mercados, esta gestión activa no consigue ser más eficiente en términos de rentabilidad ajustada al riesgo que la simple replicación del índice de referencia, conocida como gestión pasiva. A grandes rasgos, esta teoría sostenía que la información compartida por todos inversores no podía utilizarse para obtener beneficios extras una vez compensado el riesgo soportado. Las implicaciones han sido muy importantes para la industria.

Ø De hecho, la gestión indexada o pasiva surgió a principios de la década de los setenta impulsada por el interés que puso el mundo académico en demostrar la teoría de la eficiencia de los mercados. La publicación de Un paseo aleatorio por Wall Street de Burton G. Malkiel en 1973 trajo consigo la demanda por parte del mundo académico de unos fondos de inversión de menores comisiones y cuyo performance no quedase por debajo de sus referencias.

Ø Fue la pionera gestora Vanguard Group, de John C. Bogle, quien recogió el guante lanzado por los académicos, y se atrevió con el primer fondo índice que replicaba la evolución del S&P 500. Esta clase de fondos fue un éxito y Vanguard Group construyó su nombre alrededor de la gestión pasiva y los fondos de bajas comisiones.

Ø Los “novedosos ETFs “ son la versión moderna de los denominados fondos índice con la particularidad de que se negocian en tiempo real.

Gestión indexada

Introducción

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Ø Aunque la demostración empírica de la teoría de la eficiencia de los mercados es controvertida y no existe unanimidad sobre su validez, nos resultará bastante útil en este contexto.

Ø  Pensemos en un gestor de RV España cuyo benchmark sea el IBEX 35, si el gestor no tiene NI IDEA sobre la futura evolución de los títulos que componen el índice, ¿Cuál será su cartera óptima? Si además consideramos que todos los gestores de RV España se encuentran en la misma situación que este gestor, es decir, todos tienen la misma (poca) información (idea), la cartera óptima será aquella que replique el IBEX 35.

Ø Resumiendo, si se cumple el CAPM y los mercados son eficientes, la cartera óptima de activos con riesgo es única y es la que sirve de índice de referencia para el mercado. En el ejemplo de los gestores de RV España, la cartera óptima y por tanto la cartera de referencia para todos es el IBEX 35.

Ø Uno de los puntos críticos del enfoque de Markowitz es la estimación de las rentabilidades esperadas. Sin embargo, ya conocemos la composición óptima, entonces conocer las rentabilidades que hacen que la composición actual de un índice sea la óptima no es tan difícil (ver fichero: Markowitz3activos.xls).

Ø Es importante destacar que hablamos de carteras óptimas en términos de media-varianza, por tanto, cuando trabajamos con hedge funds este enfoque no es válido, pues la varianza no es un buen indicador del riesgo en estos activos.

Gestión indexada

Introducción

6

Ø Por tanto, para conocer las rentabilidades implícitas y que hacen la composición actual del índice óptima es darle la vuelta al problema de optimización de Markowitz:

Ø Donde:

Ø Sabemos que E[R] – rf es la prima de riesgo, y existen distintas formas para conseguir estimar este controvertido valor. Lo más usual es emplear la prima de riesgo histórica…

Ø Otra posibilidad señalada por Black y Litterman es emplear el modelo CAPM directamente para estimar las rentabilidades de equilibrio, a partir de una prima de riesgo y una beta, proyectando la rentabilidad

Del vino a las uvas…

2p

fp

σr]E[R

λ−

=

[ ][ ] [ ][ ] [ ] XrRErREXrREX fff Σ=−⇒−Σ=⇒−Σ= −− λλλ

111

Ejercicio

Con los datos del fichero Ejemplo_Ibex35.xls, hallar las rentabilidades de equilibrio del IBEX 35. ¿Cuáles son los activos con mayor rentabilidad esperada?

Introducción

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Motivación del modelo Black Litterman Ø Como vimos el resultado del problema de optimización de Markowitz es altamente sensible frente a cambios en la rentabilidades de los activos. Incluso pequeños cambios, provocan grandes cambios en la composición de la cartera.

Ø Por si esto fuera poco, la estimación de la rentabilidad esperada de cualquier activo es un ejercicio sumamente difícil.

Ø Acabamos de ver como hacer una estimación sencilla de los rendimientos de equilibrio, que son aquellos que convierten las ponderaciones de los activos que componen el índice sean las óptimas.

Ø Sin embargo, estos rendimientos de equilibrio no son de gran ayuda para una gestión activa aunque sí que sirven de muy buen punto de partida.

Ø El objetivo de Black Litterman (BL en adelante) es ofrecer una estimación “más robusta” de los rendimientos esperados, que reflejen la visiones que los inversores tienen sobre el comportamiento de los activos.

Ø BL emplean la estimación bayesiana para inferir los rendimientos esperados de los activos.

Ø A su vez, los rendimientos esperados son variables aleatorias. No son observables pero podemos inferir sus distribuciones de probabilidad. La inferencia comienza con “una creencia a priori”, que con información adicional servirá para determinar la distribución de probabilidad.

Ø La estimación bayesiana es empelada para inferir la distribución de probabilidad de los rendimientos esperados combinando los rendimientos de equilibrio con expectativas que los inversores mantienen sobre los activos.

Introducción

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Ø Supongamos que tenemos un mercado compuesto por N activos, estos activos se distribuyen como una normal multivariante:

Donde

Ø  µ es el vector de rentabilidades esperadas. Ø  Σ es la matriz de varianzas y covarianzas de los rendimientos.

Ø Por otro lado, si asumimos que todos los inversores tienen la misma información y que el mercado se encuentra en equilibrio, podemos estimar la rentabilidades de equilibrio Π como vimos anteriormente a partir de las pesos óptimos Xeq:

Ø BlacK – Litterman asumen que las rentabilidades esperadas del mercado µ a su vez son una variable aleatoria, distribuida normalmente alrededor de las rentabilidades de equilibrio Π y matriz de varianzas - covarianzas τΣ

Donde ε(e) es una distribución normal con media cero y matriz de varianzas – covarianzas τΣ, donde τ es un parámetro que mide la confianza sobre estos rendimientos de equilibrio.

Black Litterman paso a paso

( )∑,~ µNR

eqX∑=Π λ

( )eεµ +Π=

Black Litterman

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Ø Cualquier gestor de carteras suele tener opiniones que pueden ser de estos 2 tipos:

Ø Una visión absoluta sobre la rentabilidad de un activo, por ejemplo, TEF tiene una rentabilidad esperada de un 10%.

Ø O bien, una visión relativa sobre la rentabilidad de 2 o más activos, por ejemplo, BBVA va a experimentar un outperformance frente IBE de un 1%. Esto significa que la rentabilidad esperada de BBVA va a ser un 1% mejor que la de IBE. Estas visiones relativas pueden implicar a más de dos activos (p.e. una recomendación sobre un determinado sector frente a otro).

Ø Estas opiniones o visiones a priori sobre la rentabilidad de uno o más activos (Q) siempre vendrán acompañadas por un nivel de confianza (Ω), que dependerá de la seguridad que mantenga el gestor sobre sus propias decisiones. El número de visiones u opiniones que un gestor puede realizar es K (con K<N).

Ø Cada visión o cada opinión subjetiva del gestor dará lugar a lo que BL denominan view portfolio, que no es más que una forma de referirse a los activos implicados en una visión u opinión. Estos view portfolios o subcarteras se recogen en una matriz P de dimensiones KxN.

Donde ε(v) se distribuye normalmente con media nula y una matriz Ω cuya diagonal recoge las varianzas de los view portfolios, estas varianzas representan el nivel de confianza en cada opinión.

( )vQPV εµ +=≡

Black Litterman Black Litterman paso a paso

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Ø Asumimos que ε(v) y ε(e) son variables independientes:

Ø Una vez que combinamos las opiniones o visiones del gestor con la distribución centrada en los rendimientos de equilibrio, tenemos una nueva distribución de rendimientos:

Donde la media es: Y la matriz de varianzas y covarianzas es:

( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

Ω

Σ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

00

,0~τ

ε

εNv

e

( )1,~ −MNR µ

( )[ ] ( )[ ]QPPP 11111 '' −−−−− Ω+ΠΣΩ+Σ= ττµ

( )[ ] 1111 '−−−− Ω+Σ= PPM τ


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Ø A pesar de su aparente sencillez, algunos de los parámetros que intervienen en el modelo son difíciles de calibrar. Veamos mediante un ejemplo como funciona el modelo y como calibrar estos parámetros.

Ø Supongamos que tenemos un índice bursátil compuesto por 3 activos: IBE, TEF y BBVA . Es un índice cuyas ponderaciones son proporcionales a la capitalización bursátil.

Ø Si la prima de riesgo es un 8% y la volatilidad del mercado 15,4%, aplicando una optimización inversa, los rendimientos esperados que hacen que esta composición sea la óptima son:

Ø Las opiniones sobre estos activos son:

Ø TEF tiene una rentabilidad esperada de un 8% con un 85% de confianza.

Ø  BBVA va a experimentar un outrperformance frente a IBE y TEF de un 3% con un 95% de confianza.

TICKER % IBEX Market Cap.IBE 24,7% 47.049,39TEF 41,4% 78.762,74

BBVA 33,9% 64.396,86

TICKER Rto. EquilibrioIBE 10,45% 0,06910 0,01494 0,02306TEF 6,79% 0,01494 0,02926 0,01295

BBVA 7,69% 0,02306 0,01295 0,03484

Matriz varianzas -covarianzas


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Ø Lo más sencillo es escribir la matriz que contiene los rendimientos esperados para los view portfolios, Q

Ø La matriz P es simplemente una matriz auxiliar, que depende de la opinión expresada tendrá un determinado valor:

Ø En las visiones absolutas, 100% para el activo indicado.

Ø En las visiones relativas:

Ø Los activos que muestran un mejor comportamiento recibirán peso positivo y deberán sumar 100%. Si hay más de uno, el peso será proporcional al peso original.

Ø Los activos que muestra un peor comportamiento recibirán peso negativo y deberán sumar -100%. Si hay más de uno, el peso será proporcional al peso original.

Ø La suma neta de posiciones debe ser igual a cero.

Ø Veamos, en nuestro ejemplo sería:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

%1%8

Q

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

101010

P


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Ø De momento, ya tenemos como se distribuyen los rendimientos de los view portfolios

Ø Nos falta conocer su nivel de confianza, que se recoge en la diagonal de la matriz Ω:

Ø Al ser una matriz diagonal se está asumiendo implícitamente independencia entre las opiniones del gestor, algo que en la práctica no ocurre necesariamente.

Ø Existen distintas alternativas para calibrar las ω’s. Todas ellas tratan de trasladar “la forma natural” de medir la confianza de 0% a100% a una medida cuantitativa que sea interpretable por el modelo como una especie de varianza.

( ) ⇒+=≡ vQPV εµ )(

%1%8

101010 vεµ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=Ω

kω

ω

ω

...00............0...00...0

2

1


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Ø Una forma sencilla sería:

Donde:

Ø LCi es el nivel de confianza (de 0% a 100%).

Ø CFi es un factor de calibración.

Ø  A medida que aumenta la confianza sobre nuestras propias opiniones la incertidumbre imputadas a las mismas es menor. Y al contrario, a medida que la confianza es menor, la incertidumbre es mayor.

Ø El factor de calibración (CF) debería servir para que la escala de 0% a 100% en los niveles de confianza resulte en rendimientos más intuitivos y en una carteras más intuitivas tras optimizar con ellos. Conceptualmente, el nivel de confianza (LCi) puede ser visto como una distribución normal de media 50% y desviación típica de 16,33%.

Ø  De manera que niveles de 0 o 100% corresponden a 3 veces la desviación típica. Una vez calibrado el modelo, y optimizamos una cartera con los nuevos rendimientos, las desviaciones de las ponderaciones de equilibrio Xeq tiende acercarse a cero a medida que el nivel de confianza se acerca a cero.

Ø Por tanto, el factor de calibración depende del nivel de “volatilidad” del view portfolio:

Ø Donde pi es la fila correspondiente a la view portfolio de la matriz P.

ii

i CFLC ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 11

ω

iii ppCF ʹ′Σ=


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Ø El modelo ha sido descrito en más de una ocasión como una compleja media ponderada entre los rendimientos de equilibrio del mercado (Π) y los rendimientos implícitos en las opiniones del gestor (Q), es evidente que las ponderaciones de unos o de otros dependerán de los niveles de confianza de las visiones expresadas:

Ø Cuanto mayor sea el nivel de confianza en las opiniones del gestor, más cerca estarán los rendimientos esperados de BL a estos rendimientos subjetivos (Q).

Ø  Si el gestor muestra escasa confianza en sus opiniones, los rendimientos esperados de BL estarán próximos a los rendimientos de equilibrio (Π).

Ø Sobre el valor del parámetro τ no existe consenso sobre su valor exacto, sin embargo, lo que parece claro es que debe ser más o menos inversamente proporcional a la importancia dada a los rendimientos de equilibrio (Π), y que su valor se encuentra entre 0 y 1.

Ø Una forma de tener en cuenta esto es mediante la siguiente expresión para τ:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∑

∑−−= =

=

=Ki

ii

K

iii

ω

Σp'pτ

1

1exp1


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Ø Si todos los niveles de confianza se fijan en el 50% se puede comprobar como τ toma el valor de 1. A medida que aumentamos los niveles de confianza el valor de τ aumenta y con ello disminuye el peso de los rendimientos de equilibrio.

Ø Volviendo a ejemplo, la matriz omega sería :

Ø Con los factores de calibración:

Ø Donde τ alcanza el valor de 1, y los rendimientos y la matriz de varianzas y covarianzas según el modelo son:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=Ω

003,0000052,0

0578,00293,0 21 == CFCF

TICKER Rto. BLIBE 8,13% 0,02902 0,00202 0,02676TEF 7,80% 0,00202 0,00439 0,00200

BBVA 8,93% 0,02676 0,00200 0,02739

Matriz varianzas -covarianzas BL


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Ejercicio 1

Optimizar una cartera con los rendimientos del ejemplo anterior y comprobar la desviación de los pesos respecto de los de equilibrio ante cambios en los niveles de confianza.

Ejercicio 2

Emplear el modelo de Black Litterman con los datos del fichero Ejemplo_Ibex.xls.


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Limitaciones de Black Litterman

Ø BL proporciona una buena manera de estimar rendimientos esperados mediante la combinación entre los rendimientos de equilibrio (CAPM) y los rendimientos implícitos en las opiniones subjetivas del gestor.

Ø Sin embargo, BL sufre 2 limitaciones importantes:

Ø Primero, asume normalidad tanto de los rendimientos esperados como de los rendimientos implícitos en la opiniones. Lo que en la práctica se traduce en que no es utilizable cuando tengamos activos con distribuciones que presentan asimetría, curtósis, así como alta codependencia en las colas, como por ejemplo hedge funds.

Ø Segundo, supone que el gestor tiene opiniones sobre los parámetros que determinan la distribución de rendimientos del mercado, cuando en la práctica el gestor normalmente tiene visiones sobre posibles realizaciones de esta distribución. Es decir, más que sobre la rentabilidad media o esperada de un activo, un gestor tiene opinión sobre que rango mínimo y máximo se va a mover la rentabilidad.

Ø Existen distintas alternativas para solucionar alguna de estas limitaciones:

Ø Emplear el modelo con otras distribuciones distintas de la normal y otras medidas de riesgo que tengan en cuenta la asimetría y la curtosis, Este enfoque es el seguido por Giacometti, R., M.Bertochi, S.T.Rachev y F. Fabozzi.

Ø Martellini, L. y V. Ziemann muestran como corregir la fórmula de BL para reflejar la asimetría y la curtósis, empleando el CAPM basado en los 4 momentos y el desarrollo de Cornish-Fisher.

Ø Emplear el enfoque basado en la técnica copula opinion pooling propuesta por Meucci, que prescinde de buscar soluciones analíticas proporcionando una metodología más general y flexible.

Black Litterman

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Introducción

Ø Desarrollado por Meucci (2006), la copula opinión pooling (COP en adelante) permite solventar la limitaciones del modelo original. Pues no supone la exigencia de normalidad, ya que no hay ningún supuesto sobre la distribución de rendimientos de los activos y además permite al gestor introducir de una manera más flexible e intuitiva sus opiniones.

Ø El objetivo es conseguir una distribución a posteriori del mercado que por un lado recoja la distribución original a priori, y por otro, la distribución implícita en las opiniones del gestor.

Ø El punto de partida es el vector M, de dimensión N, que representa la distribución a priori del mercado. M puede ser tanto los rendimientos de los activos que componen el mercado como los factores de riesgo que afectan el comportamiento del mismo, como por ejemplo, los tiempos a default de una cesta de bonos.

Ø Esta distribución de rendimientos o factores puede ser estimada de cualquier forma, no es necesario suponer nada sobre su comportamiento. Podemos representar esta distribución a priori del mercado tanto por su función de densidad (PDF), como por su función de distribución acumulada (CDF) o su función característica:

Ø Igual que en el enfoque original de BL, el gestor tiene un conjunto de K opiniones o visiones, donde K<N. Estas se expresan como combinaciones lineales sobre los activos o factores que caracterizan la distribución M de mercado, y se recogen en la matriz P de dimensiones KxN. Por tanto, la distribución de las opiniones o visiones a priori es:

( )MM ΦFfM ,,~ M

PMV ≡

Copula opnion pooling

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Copula opinion pooling

Ø Para una opinión individual k dispondremos de su función de densidad, su función de distribución y su función característica a priori (observada en el mercado):

Ø A diferencia del BL original, el gestor introduce su opiniones sobre “posibles realizaciones” de la distribución de mercado, en lugar de expresar su opinión sobre la rentabilidad esperada.

Ø Para ello, el gestor introduce sus opiniones en forma de una nueva distribución de probabilidad que es totalmente subjetiva. También para una opinión individual k cualquiera dispondremos tanto de su función de densidad como de su función de distribución o función característica.

Así tendremos un conjunto de K distribuciones marginales que reflejan la opiniones subjetivas del gestor.

Ø La estructura original de dependencia que hay implícita en la distribución conjunta a priori del mercado, M, es la “misma” que rige en la distribución conjunta a priori de las opiniones, y también es la misma que debemos imputar en la distribución conjunta de las opiniones subjetivas del gestor.

Ø Llegados a este punto, tenemos por un lado, las distribuciones marginales a priori de las opiniones, por otro, las distribuciones marginales subjetivas de estás opiniones, y en último lugar, conocemos la estructura de dependencia de las mismas.

kVkVkV ΦFf ⌢⌢⌢ ,,

kVkVkV ΦFf ,,


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Ø  Por tanto, conocer la distribución a posteriori del mercado supone, en primer lugar, hacer una media ponderada entre las funciones de distribución marginales a priori de las opiniones y las distribuciones marginales introducidas por el gestor.

Ø  Donde ck se interpreta como el nivel de confianza que el gestor mantiene en sus propias opiniones, y por tanto, su valor debe estar comprendido entre 0 y 1.

Ø  Una vez conocidas las distribuciones marginales a posteriori de las opiniones y sabiendo como se distribuyen conjuntamente, es necesario, expresarlas en términos de los factores de riesgo o rendimientos de activos que representan la distribución de mercado M:

Ø  En resumen, los pasos a seguir para hallar la distribución a posteriori del mercado:

1.  Establecer la distribución que representan la opiniones del gestor. 2.  Construir la matriz P de tal manera que podamos rotar las coordenadas del mercado a las de las opiniones.

3.  Hallar las distribuciones marginales a priori de las opiniones del gestor. 4.  Calcular las funciones de distribución marginales a posteriori.

5.  Conseguir la distribución conjunta a posteriori de las visiones. 6.  Traducir la distribución conjunta a posterior de las opiniones en la distribución del factores o rendimientos

del mercado.

( ) kVkkVkkVFcFcF −+= 1~ ⌢

VPM ~1−≡

Copula opnion pooling Copula opinion pooling

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COP paso a paso: descripción del problema. Ø  Supongamos que tenemos que definir el asset allocation de una cartera, es

decir, en qué clases de activos vamos a invertir y que porcentaje vamos a destinar de nuestra cartera. Ver fichero Ej_meucci_asset_allocation.xls.

Ø  Tenemos la posibilidad de invertir en renta variable (RV), renta fija (RF) y en hedge funds (HF), como representación de estas clase de activo emplearemos los siguientes benchmarks o índices representativos:

1.  MSCI All country index (RV)

2.  JPM Hedge Global Bond Index (RF)

3.  CSFB/Tremont Hedge Fund Index (HF).

Ø  La distribución de rendimientos en RV presenta una alta curtosis y cierta asimetría negativa. Mientras que la distribución representativa de los hedge funds presente una elevada curtósis. La distribución más parecida a la normal es la distribución de correspondiente a la renta fija.

Ø  El análisis de correlaciones muestra el papel diversificador de la renta fija, mientras que los hedge funds muestran una correlación considerable con la renta variable. Sin embargo, estas correlaciones en momentos de stress parecen cambiar.

Ø  Este es un ejemplo perfecto para poder aplicar COP debido a la falta de normalidad y la codependencia en la situaciones de stress.

RV RF HFMedia Mensual 0,64% 0,55% 0,95%Desv.Standar 3,88% 0,88% 2,10%Curtosis 4,56 3,20 5,81Asimetría -0,90 -0,14 -0,01

RV RF HFRV 1,00 -0,15 0,52RF -0,15 1,00 0,08HF 0,52 0,08 1,00

RV RF HFRV 1,00 -0,48 0,55RF -0,48 1,00 -0,25HF 0,55 -0,25 1,00

RV RF HFRV 1,00 -0,22 -0,14RF -0,22 1,00 0,05HF -0,14 0,05 1,00

Correlaciones - Situación Nomal

Rentabilidad y Riesgo

Correlaciones - Caidas RV

Correlaciones - Subidas RV


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COP paso a paso: descripción del problema.


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COP paso a paso: Opiniones del gestor. Ø  Por simplificar, trabajaremos con la distribución de rendimientos mensuales y la opiniones se expresarán

estableciendo un rango de posibles realizaciones para los rendimientos mensuales. Por tanto, el horizonte temporal de esta cartera es un mes.

Ø  Supongamos que tenemos un modelo que predice que el próximo mes la renta variable va a registrar una subida de entre un 1% y un 2%. Asimismo, el modelo también nos dice que la renta fija va a tener un mejor comportamiento relativo frente a los hedge funds, este outperformance se moverá entre 0,75% y 1,5%. Este tipo de opinión es relativa y quiere decir que la renta fija tendrá una rentabilidad superior a la registrada por los hedge funds.

Ø  Una forma muy natural e intuitiva de modelizar estos rangos para los rendimientos que generalmente suelen dar los analistas es emplear una distribución uniforme, de manera que todos los valores comprendidos en un intervalo son igualmente probables.

Ø  En nuestro caso, los valores de ak y bk son:

( ) [ ] 2,1,

1

,

0

ˆ =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

∈−

−≤

= k

bw

bawabaw

aw

wF

kj

kkjkk

kj

kj

jkV

( )075,001,0=a ( )015,002,0=b


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COP paso a paso: Construcción de la matriz P y cambio de coordenadas del mercado

Ø La matriz P desempeña el mismo papel auxiliar que en el modelo original de BL y se construye igual que vimos entonces. La matriz P recoge las K opiniones sobre los rendimientos de activos o factores que componen el mercado. La forma de expresar estas opiniones es mediante K combinaciones lineales de estos N activos o factores.

Ø Sin embargo, P por si sola no nos va a permitir cambiar las coordenadas del mercado para representarlo en términos de las opiniones del gestor. Es necesario complementar la matriz P con otra matriz auxiliar P⊥ de dimensión (N-k)xN, cuyas N-k filas sean combinaciones lineales complementarias que no expresen ninguna opinión, sean ortogonales entre sí y ortogonales a las K combinaciones lineales anteriores, su norma debe ser igual a 1 y además la nueva matriz debe ser invertible.

Ø Esta matriz auxiliar P⊥ es una base ortogonal para el espacio nulo de P:

Ø De manera que ya estamos en condiciones de cambiar las coordenadas del mercado:

Ø Ahora el vector V es totalmente equivalente al vector M de mercado.

P×P⊥ = 0

P = PP⊥

"

#$$

%

&'' V ≡ PM


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Ø Concretando, la matriz P sería:

Ø Mientras que la matriz auxiliar P⊥ sería (el comando para conseguir esta matriz en Matlab es null()):

Ø De manera que ya podemos conocer la distribución a priori de las opiniones del gestor:

Ø Una forma de hacer esto es realizando una simulación de Monte Carlo para obtener un muestra representativa de M si tenemos una función, o bien directamente utilizar la propia historia como muestra. Supongamos que ya tenemos J realizaciones que forman un muestra de M.

COP paso a paso: Construcción de la matriz P y cambio de coordenadas del mercado

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

10

10

01

P

( )7071,07071,00=⊥P

'PMV =


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Ø Una forma sencilla de estimar las funciones de distribución es ordenar de menor a mayor las columnas de V y hallar para cada elemento wj de una columna (opinión) k::

COP paso a paso: Cálculo de las funciones de distribución (CDF) a priori de las opiniones

( )1+

=JjwF jkV


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Ø Este paso es el más sencillo, consiste en elegir un nivel de confianza para cada opinión y hacer la media ponderada de las dos funciones de distribución (a priori y subjetiva) de acuerdo a la siguiente expresión.

Ø Supongamos que tenemos un nivel de confianza de 50% en ambas opiniones.

Ø Como es de esperar, la CDF posterior es una distribución intermedia entre la distribución a priori y la distribución subjetiva.

COP paso a paso: Cálculo de las funciones de distribución (CDF) a posteriori de las opiniones

( ) ( )1

1)(~+

−+=JjcwFcwF kjkVkjkV

⌢


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Ø Una vez conocidas las funciones de distribución marginales a posteriori, el siguiente paso consiste en hallar la distribución conjunta.

Ø Para ello, tendremos que tener en cuenta la estructura de correlaciones observadas en la distribución a priori del mercado, y a través de una cópula generar la distribución conjunta.

Ø Lo más recomendable es emplear la cópula t-student debido a que refleja mejor el comportamiento de la distribuciones en las colas, que es precisamente uno de los inconveniente que presentaba BL al asumir normalidad y una de las ventajas de esta técnica.

Ø En esta etapa, tendremos que:

Ø Generar una muestra de normales (b1,…,bn) con la correlación observada en el mercado.

Ø Sortear de forma independiente una muestra s de una chi cuadrado con v grados de libertad.

Ø Formar la muestra (c1, … , cn) de la siguiente forma:

Ø Empleando la función de distribución de la t-student, generamos una muestra de uniformes (u1,…,un) , evaluando la muestra anterior en la función de distribución de la t-student.

Ø Finalmente, empleamos las funciones marginales de distribución a posteriori, y en lugar de invertir la función de distribución para generar la muestra, tan sólo tenemos que interpolar los datos de la muestra de uniformes en los datos que ya tenemos observados de la funciones de distribución marginal a posteriori. En Matlab, el comando sería:

COP paso a paso: Distribución conjunta a posteriori de las opiniones

sb

vc jj =

( )kkkj WFV ..kj,, :,uinterp1≡


30

RV RF HFMedia Mensual 1,11% 0,94% 0,57%Desv.Standar 2,92% 0,95% 1,98%Curtosis 12,43 10,98 8,66Asimetría -1,97 0,70 -0,09

RV RF HFRV 1,00 0,01 0,46RF 0,01 1,00 0,21HF 0,46 0,21 1,00

RV 1,00 -0,15 0,30RF -0,15 1,00 0,03HF 0,30 0,03 1,00

RV 1,00 -0,10 0,38RF -0,10 1,00 0,04HF 0,38 0,04 1,00

Rentabilidad y Riesgo

Correlaciones - Situación Nomal

Correlaciones - Caidas RV

Correlaciones - Subidas RV

Ø  Una vez que ya está disponible la distribución conjunta a posteriori de las opiniones, tan sólo falta trasladar esta distribución a la de los activos o factores que componen el mercado.

Ø  En definitiva, sería:

Ø  Podemos comprobar como hemos conseguido cambiar efectivamente las distribuciones, se han vuelto más leptocúrticas debido a que las opiniones se han definido en un rango muy estrecho.

Ø  Por su parte, las correlaciones no han sufrido grandes variaciones.

Ø  El siguiente paso consistiría en introducir estos datos en un optimizador para que nos devuelva los porcentajes a invertir en cada clase de activo.

Ø  Llegados a este punto una optimización media-varianza no sería la mejor opción, debido a a que la varianza no sería una buena medida de riesgo en un contexto donde las colas de las distribuciones tienen “cierta importancia”.

Ø  Más adelante veremos otros modelos de asset allocation, pero de momento veamos uno que es utilizado frecuentemente en este contexto y que cobra cada vez más importancia.

Ø  Una forma habitual es tomar como medida de riesgo a minimizar el conditional VaR o expected shortfall (ES) de la cartera y establecer como restricción la rentabilidad esperada.

COP paso a paso: Distribución de mercado a posteriori

1'~ −= PMV


31

COP paso a paso: Distribución de mercado a posteriori


32

Ø  Expected Shortfall se define como la pérdida media esperada condicionada a estar por debajo de una rentabilidad objetivo.

Ø  Una forma de plantear la optimización para definir el asset allocation es la siguiente:

Sujeto a:

Ø  Sin embargo, los algoritmos clásicos de optimización para este tipo de funciones objetivo no suelen funcionar correctamente y tienden a quedarse atrapados en mínimos locales. Es conveniente recurrir a algoritmos heurísiticos como simulated annealing.

COP paso a paso: definición del asset allocation

{ }1...Nj;ωmin

j =

ES

[ ] [ ]

∑

∑

=

=

=

=

N

jj

e

N

jjj RERE

1

1

1ω

ω

[ ]etTpp RRREES arg<=


33

COP paso a paso

Ejercicio

Supongamos que somos gestores de renta fija y disponemos de un modelo que permite realizar predicciones sobre los movimientos de la curva de tipos de interés.

Nuestros tipos de referencia son el tipo a 6 meses y los tipos swap a 2, 5, 10, 20 y 30 años.

Se pide modelizar los siguientes escenarios aplicando la copula opinión pooling y la construcción de una recomendación de inversión para ambos escenarios.

6m 2Y 5Y 10Y 20Y 30Y 6m 2Y 5Y 10Y 20Y 30Y6m 1,00 0,59 0,45 0,32 0,21 0,19 Media 0,003 0,002 0,001 0,000 -0,001 -0,0012Y 0,59 1,00 0,91 0,81 0,69 0,65 Desv.Standar 0,059 0,092 0,097 0,086 0,083 0,0815Y 0,45 0,91 1,00 0,92 0,82 0,79 Asimetría 11,058 3,618 3,782 3,842 4,171 4,14510Y 0,32 0,81 0,92 1,00 0,96 0,94 Curtosis -0,733 0,097 0,384 0,365 0,189 0,10220Y 0,21 0,69 0,82 0,96 1,00 0,9930Y 0,19 0,65 0,79 0,94 0,99 1,00

Correlación Cambios Semanales Correlación Cambios Semanales


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COP paso a paso

Escenario 1

Supongamos que nuestro modelo predice un bullish flattening como el vivido durante 28 de enero y 5 de abril de 2001.

Este aumento de pendiente se debe al hundimiento del tramo corto como consecuencia del empeoramiento de las perspectivas sobre el ciclo económico y la expectativa de que el banco central baje el tipo de intervención.


35

COP paso a paso

Escenario 2

Supongamos que nuestro modelo predice una situación extraña como la vivida durante 28 de enero de y 11 de agosto de 2000.

En esta ocasión el modelo está prediciendo un aplanamiento de pendiente donde los tramos cortos se tensionan y los largo se relajan.


Download - 3. black litterman y cop

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