Download - Bab IV Parabola
52 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com
4.1. DEFINISI PARABOLA Parabola adalah tempat kedudukan titik (himpunan titik) yang berjarak sama
terhadap suatu titik dan suatu garis tertentu. Titik tertentu itu disebut Fokus (F), dan garis
tetap itu disebut Direktrik
Berdasarkan defenisi di atas, kita dapat melukis parabola titik demi titik dengan langkah-langkah
sebagai berikut :
1. Tetapkan garis g dan titik F .
2. Tarik sebuah garis melalui titik F (diperoleh sumbu x) tegak lurus () garis g sehingga garis
ini memotong g di s.
3. Titik O (0,0) pada garis FS, sehingga OS = OF
4. Buatlah lingkaran yang berpusat di F dan berjari-jari r OF
5. Lakukan seperti langkah 4*) dari titik S sehingga memotong SF di A1.
6. Buatlah garis tegak lurus SF sehingga memotong busur lingkaran A pada titik B1, B1 adalah
salah satu pada parabola .
7. Ulangi langkah no. 4, 5, dan 6 untuk mendapatkan titik lain pada parabola.
8. Setelah beberapa titik ditemukan, hubungkanlah titik itu dengan sebuah kurva yang mulus,
kurva itulah disebut parabola .
Sb. X
Sb. Y
S 0 F(p,0)
g = - p
A1 A2 A3 A4
P(x,y)
B1
B2
B3
B4
g1
g2
g3
g4
Bab IV : Parabola| 53
4.2. PERSAMAAN PARABOLA
- Garis g disebut direktrik
- Titik F(p,0) disebut fokus
- Titik O(0,0) disebut puncak
- FS disebut sumbu simetri
- FS = 2p = Parameter
- AB garis yang disebut latus rectum, tegak lurus
sumbu parabola melalui titik F. Panjang latus
rectum = 4p .
Dari keterangan gambar diatas, dapat diturunkan persamaan parabola sebagai berikut :
Karena FS = 2p, maka eksentritas parabola (e) : e = PQFP
= 1
F(p, 0) dan P(x, y) pada parabola x = g = -p, direktrik PF = QP
Karena FP = 22)( ypx
QP = 22 )()( yypx
= 2)( px
Maka titik akan terletak di parabola, jika dan hanya jika :
22)( ypx = 2)( px
(x – p)2 + y2 = ( x + p )2
x2 – 2xp + p2 + y2 = x2 + 2xp + p2
y2 = 2xp + 2xp
y2 = 4xp
Catatan
1. Untuk persamaan parabola y2 = 4px
- Jika p 0, parabola terbuka ke kanan
- Jika p 0, parabola terbuka ke kiri
2. Untuk parabola yang mempunyai F(0,p) dan direktrik y = -p,
maka persamaan parabola x2 = 4py
- Jika p 0, parabola terbuka keatas
- Jika p 0, parabola terbuka kebawah
Sb. Y
Sb. X
P(x,y)
F(p,0)
B
A
0 S
g = - p
persamaan parabola dengan puncak O (0,0)
54 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com
Sketsa grafiknya 1. Parabola y2 = 4px
2. x2 = 4py
Analog :
- Untuk persamaan parabola dengan dengan puncak (a, b), yaitu : (y – b)2 = 4p (x – a).
Dengan F (p + a, b), sumbu simetri y = b, dan garis direktrik g x = a – p
- Untuk parabola denga puncak (a, b), tapi F (a, p + b), Sumbu simetri x = a,
dan garis direktrik L y = b – p, adalah (x – a)2 = 4p (y – b)
Contoh:
1. Gambarlah grafik dari parabola y2 = 8x !
Penyelesaian :
Koordinat puncaknya O (0,0)
4p = 8
p = 2 Titik F(2,0)
Persamaan direktriks g = x = - p
= - 2
Sumbu simetrinya y = 0
Sb. Y
Sb. X F(p,0)
g x = - p
Sb. Y
Sb. X F(-p,0)
g x = p
Sb. Y
Sb. X F(0,p)
F(0,-p)
g y = - p
g y = p
Sb. X
Sb. Y
Bab IV : Parabola| 55
2. Gambarlah grafik dari parabola 4x2 – 25y = 0 !
Penyelesaian :
4x2 – 25y = 0
4x2 = 25y
x2 = 425
y
Koordinat puncaknya (0,0)
4p = 425
p = 1625
Titik F(0, 1625
)
Persamaan direktriks y = - 1625
Sumbu simetrinya y = 0
3. Gambarlah grafik dari parabola
a) y2 – 2y – 4x – 9 = 0 !
b) x2 – 2x – 9 = 4y !
Penyelesaian :
a) y2 – 2y – 4x – 9 = 0
y2 – 2y + 1 – 1 = 4x + 9
(y – 1)2 = 4x + 9 + 1
(y – 1)2 = 4
25x
Puncak parabola
1,
25
Parameter : 4p = 4 p = 1
Titik fokus F (1 +
25
, 1) F
1,
23
Persamaan direktriks g = x = a – p
= 23
- 1
= 25
Persamaan lotus rectumnya x = 23
Sb. Y
Sb. X
0
F
1625,0
y = 1625
(5,4) (-5,4)
56 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com
Sketsa grafiknya :
b) x2 – 2x – 9 = 4y
x2 – 2x + 1 – 1 = 4y + 9
(x – 1)2 = 4y + 9 + 1
(x – 1)2 = 4
25y
Puncak parabola
25,1
Parameter : 4p = 4 p = 1
Titik fokus F (1, 1 +
25
) F
23,1
Persamaan direktriks g = y = b – p
= 23
- 1
= 25
Persamaan lotus rectumnya y = 23
1,
23F
25
x
23,1F
x2 – 2x – 9 = 4y
23
yl
Bab IV : Parabola| 57
4. Carilah persamaan bola yang mempunyai F(0,-2) dan puncaknya O (0,0) dan sebutkan semua sifat dan
gambarnya !
Karena puncaknya O (0,0) dan F(0,-2), maka persamaan parabola adalah
x2 = 4py x2 = 4 (-2) y
x2 = - 8y
Sifat-sifat parabola ini sebagai berikut :
- F(0,-2) dan puncak (0,0)
- Sumbu simetri x = 0
- Persamaan direktriksnya y = 2
- Parameternya p = -2
- Persamaan lotus rectumnya y = -2
- Panjang lotus rectumnya p4 = 8
4.3. Garis Singgung
1. Persamaan garis singgung dengan koefisien arah m pada parabola y2 = 4px
Misalkan persamaan garis y = mx + n menyinggung parabola y2 = 4px
1 (mx + n)2 = 4px
m2x2 + 2mnx + n2 – 4px = 0
Dengan diskriminan (D) = b2 – 4ac
(2mn – 4p)2 – 4m2n2
Ingat : - Jika D 0, garis g tidak memotong parabola
- Jika D 0, garis g memotong parabola
- Jika D = 0, garis g menyinggung parabola
Jadi, syarat agar garis g menyinggung parabola adalah :
D = b2 – 4ac = 0
(2mn – 4p)2 – 4m2n2 = 0
4m2n2 – 16mnp + 16p2 – 4m2n2 = 0
– 16mnp = - 16p2
n = mpp
1616 2
n = mp
Jadi, persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap parabola y2 = 4px adalah
y = mx + n
y = mx + mp
Analog : Untuk persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola x2 = 4py adalah
y = mx – pm2
58 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com
Analog : Untuk persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola
axpby 42 adalah (y – b) = m (x – a) + mp
Begitu pula untuk persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola
bypax 42 adalah y – b = m (x – a) - pm2
Contoh 14
Carilah persamaan garis singgung pada gradien 2, terhadap (masing-masing gambar grafiknya)
a) Parabola xy 82
b) Parabola 163 2 yx
Penyelesaian :
a) Persamaan garis singgung denagan m = 2 pada parabola xy 82
mpmxy
222 xy
(karena 4p = 8, p = 2)
12 xy Titik singgungnya :
xy 82
xx 812 2
08144 2 xxx
0144 2 xx
022 2 x
21,0
21 2
xx
Untuk 21
x , y = 2 . 21
+ 1 = 2
Titik singgungnya
2,
21
Focus parabola xy 82 )0,2F puncak 0(0,0,0)
Persamaan direktriksnya x = – 2
Panjang latus rectumnya 84 p
Persamaan latus rectumnya 2 x
Bab IV : Parabola| 59
60 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com
b) Persamaan garis singgung dengan m = 2 pada parabola 163 2 yx adalah
y – b = m (x – a) – pm2
y + 1 = 2 (x – 3) – pm2
y + 1 = )6(62 x
y + 1 = 2x
y = 2x – 1
Titik singgungnya didapat dengan proses
11263 2 xx
xxx 12962
03096 22 xxx
32,1 x
Untuk x = - 3, 132 y
= - 7 , titik singging (-3,-7)
Sketsa grafiknya :
Puncak (3,-1)
F
25,3
Panjang lotus rectum 2344 p
= 6
Persamaan direktriksnya
pby
231
= 21
2. Persamaan garis singgung pada parabola y2 = 4px di titik S(x1,y1)
Misalkan garis singgungnya y = mx + n, maka absis titik singgungnya dapat diperolah
dari persamaan
y2 = 4px
21
y
25,3F
163 2 yx
y = 2x – 1
Bab IV : Parabola| 61
(mx + n)2 = 4px
m2x2 +2mnx + n2 = 4px
m2x2 +2mnx + n2 - 4px = 0
m2x2 + (2mn – 4p) x + n2 = 0
karena hanya ada titik singgung, maka absisnya diperoleh ;
abx21
21 242
mpmnx
21 2
22m
mnpx
212
mmnpx
Dan ordinatnya,
y1 = mx1 + n
y1 = m nm
mnp
2
2
mmnmnpy
2
1
mpy 2
1 1
2ypm
Sedangkan persamaan garis dengan gradien m adalah y – y1 = m (x – x1), sehingga;
11
12 xxypyy
111 2 xxpyyy
12
11 2 xxpyyy ..................(i)
Titik S (x1, y1) melalui y2 = 4px, sehingga y12 = 4px1................(ii)
Persamaan (i) dan (ii)
yy1 – y12 = 2p (x – x1)
yy1 – 4px1 = 2px – 2px1
yy1 = 4px1 – 2px1 +2px
yy1 = 2p (x + x1), persamaan garis singgung di titik S (x1, y1) pada y2 = 4px
Analog :
Untuk persamaan garis singgung pada parabola (y – b)2 = 4p (x-a)
di titik S(x1,y1) adalah (y – b) (y1 – b) = 2p (x + x1 -2a)
62 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com
Contoh 15:
1. Carilah persamaan garis singgung di titik (–4,2) pada parabola:
a) xy 2
b) xy 82
Penyelesaian:
a) Persamaan garis singgun di (–4,2) pada parabola xy 2
11 2 xxpyy
4114 pp
441̀12
xy
2212 xy
4221
yxyx
b) Persamaan garis singgung di (–4,2) pada parabola xy 82
11 2 xxpyy
284 pp
442 xy
1642 xy
01624 yx
082 yx 2. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik A(-2,-3) pada parabola y2 = 8x
Penyelesaian :
Misalkan titik singgungnya S(xo, yo),
maka persamaan garis singgung di S pada parabola y2 = 8x
)(2 11 xxpyy
)(4 oo xxyy , karena 4p = 8
p = 2
Karena titik A(-2,-3) pada garis singgung
)2(43 oo xy atau 834 oo yx ..............................(i)
Karena S(xo, yo) juga pada parabola y2 = 8x
Bab IV : Parabola| 63
22
818 oooo yxxy
......................................................(ii)
(ii) (i) 834 oo yx
83814 2
oo yy
8321 2 oo yy
01662 oo yy
01662 oo yy
028 oo yy
oy = - 8
oy = 2
Untuk oy = - 8 xo = 8, diperoleh S1(8,-8)
Untuk oy = 2 xo = 8, diperoleh S2
2,
21
Jadi persamaan garis singgung di S1 )8(48 xy
82 xy
Jadi persamaan garis singgung di S2
2142 xy
242 xy 4.4. Garis Normal
Garis normal parabola adalah garis tegak lurus pada garis singgung parabola di titik singgung itu.
Jika SR garis singgung PS SR, maka PS
garis normal
PS’ = sumbu simetri parabola (sumbu
Normal)
RS’ = sumbu tangens
Persamaan garis singgung di titik S (x1, y1) pada y2 = 4px
yy1 = 2p (x + x1)
64 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com
koofisien garis singgung = 1
2yp
, karna garis singgung parabola tegak lurus dengan garis normal maka
ms mn = - 1
1
2yp mn = - 1, mn = -
py2
1
Sehingga diperoleh persamaan garis normal di titik S(x1, y1) pada y2 = 4px adalah;
11
1 2xx
pyyy
Contoh 16 :
Diketahui puncak suatu parabola (1,2) dan F(4,2), tentukanlah :
a) Persamaan parabola tersebut
b) Persamaan garis singgung di (2,6)
c) Persamaan garis normalnya di (4,0)
penyelesaian :
a) persamaan parabola dengan puncak (1,2) dengan F(4,2), berarti P = 3
)1(3.4)2( 2 xy
1212442 xyy
xyy 121642
b) persamaan garis singgung di (2,6) pada parabola (y – 2) = 12 (x – 1) adalah
)(2 11 xxpyy
)2(3.26 xy
0126601266 yxxy
c) persamaan garis normalnya di (4,0) adalah
)(2 1
11 xx
pyyy
)2(366 xy
62 xy
22 xy
4.5. Garis Tengah Sekawan
Garis tengah sekawan pada parabola adalah tempat kedudukan titik-titik tengah dari tali busur.
- Jika T1, T2, dan T3 adalah titik tengah tali busur A1B1, A2B2 dan A3B3
- A1B1 // A2B2 // A3B3, maka garis T yang melalui T1, T2, dan T3 disebut garis tengah sekawan
Bab IV : Parabola| 65
B1
B2
B3
A1
A2
A3
T1 T2 T3
66 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com
Persamaan Garis Tengah Sekawan
Misalkan kita ambil persamaan tali busur y = mx + n, dan persamaan parabola
y2 = 4px, sehingga ;
(mx + n)2= 4px
m2x2 + 2mnx +n2 = 4px
m2x2 +2mnx – 4px + n2 = 0
m2x2 + (2mn – 4p)x + n2 = 0
Atau y = mx + n
mx = y – n
mnyx
y2 = 4px
y2 = 4p
mny
y2 =m
pnpy 44
m y2= 4py – 4pn
m y2 - 4py + 4pn = 0
y1 + y2 = ab
=
mp4
= mp4
T1 titik tengah 11BA
yt = tt yy 21
yt =
mp4
21
yt = mp2
, persamaan garis tengah sekawan sejajar sumbu X
Contoh 17 :
1. Diketahui partabola xy 22 dan garis tengah sekawan y = - 1. jika tali busurnya memotong sumbu x
dan membentuk sudut , hitunglah besar sudut !
Penyelesaian :
Bab IV : Parabola| 67
y2 = 2x
p = 1
y = –1
mpy
m11
m = –1
tg = –1
tg = tg 1350
= 1350
2. Tentukan persamaan tali busur suatu parabola xy 42 , jika (3,-2) merupakan titik tengah sekawan tali
busur itu !
Penyelesaian :
Misalkan persamaan tali busur
y = mx + c, potongkan dengan parabola xy 42
cmxy
mcyx
m
cyy 42
my2 – 4y + 4c = 0
y1 + y2 = ab
y1 + y2 = m4
yt = 2
21 yy
22 21 yy y1 + y2 = - 4
y1 + y2 = m4
m44
m = - 1
Tali busur melalui (3,-2)
68 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
By : Turmudi E-mail : [email protected] blog: www.toermoedy.wordpress.com
cmxy
c )3)(1(2
c 32
1c
Persamaan tali busur yang dimaksud adalah
cmxy
y = - 1x + 1
y = - x + 1