Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Fourier Analysis & Its Applications in PDEs
Hendra Gunawan
http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/
Analysis and Geometry GroupBandung Institute of Technology
Bandung, INDONESIA
WIDE 20105-6 August 2010
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Outline
1 Tiga Operator Integral PentingOperator MaksimalOperator Integral Fraksional Iα := (−∆)−α/2
Operator Integral Singular Iu := (−∆)(iu)/2
2 Persamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan BolaSolusi Persamaan GelombangNilai Rata-Rata pada Permukaan BolaFungsi Maksimal Permukaan Bola
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Operator MaksimalOperator Integral Fraksional Iα := (−∆)−α/2
Operator Integral Singular Iu := (−∆)(iu)/2
Materi ini disadur dari buku E.M. Stein (1970), “Singular integralsand Differentiability Properties of Functions”.
Menurut Teorema Dasar Lebesgue (yang merupakanperumuman dari Teorema Dasar Kalkulus), kita mempunyai
limr→0
1m(B(x, r))
∫B(x,r)
f(y) dy = f(x)
hampir di mana-mana, asalkan f terintegralkan lokal pada Rd. (Disini, f adalah fungsi dari Rd ke R.) Hasil ini mengatakan bahwaturunan dari integral f sama dengan f itu sendiri, hampir dimana-mana.
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Operator MaksimalOperator Integral Fraksional Iα := (−∆)−α/2
Operator Integral Singular Iu := (−∆)(iu)/2
Teorema Dasar Lebesgue merupakan akibat dari keterbatasanoperator maksimal Hardy-Littlewood MHL, yang memetakan fke
MHLf(x) := supr>0
1m(B(x, r))
∫B(x,r)
|f(y)| dy.
Dengan substitusi peubah, kita dapat menuliskan
MHLf(x) = supr>0
1m(B(0, 1))
∫B(0,1)
|f(x− ry)| dy.
Perhatikan bahwa jika f merupakan fungsi yang terbatas (olehbilangan K), maka MHLf juga terbatas (oleh bilangan K yangsama) — Soal Latihan 1.
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Operator MaksimalOperator Integral Fraksional Iα := (−∆)−α/2
Operator Integral Singular Iu := (−∆)(iu)/2
Berkenaan dengan operator maksimal MHL, kita mempunyai:
Teorema. Untuk 1 < p ≤ ∞, kita mempunyai
‖MHLf‖p ≤ Cp ‖f‖p,
yakni, MHL merupakan operator terbatas di Lp(Rd).
Catatan. Di sini Lp(Rd) merupakan ruang norm dengan norm
‖f‖p =(∫
Rd |f(x)|pdx)1/p
. Operator T : Lp(Rd) → Lp(Rd)dikatakan terbatas apabila terdapat konstanta Cp sehingga‖Tf‖p ≤ Cp‖f‖p untuk tiap f ∈ Lp(Rd).
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Operator MaksimalOperator Integral Fraksional Iα := (−∆)−α/2
Operator Integral Singular Iu := (−∆)(iu)/2
Pada pembahasan transformasi Fourier di R, kita telah membahas‘identitas hampiran’, yaitu keluarga fungsi φr(x) = 1
rφ(
xr
), dengan
φ ≥ 0 dan∫
R φ(x) dx = 1. Konsep ini dapat diperluas ke Rd,dengan mengganti definisi φr menjadi
φr(x) =1rdφ(xr
)(dan menghapus asumsi φ ≥ 0).Selanjutnya, jika ψ(x) := sup
|y|≥|x||φ(y)| terintegralkan, maka
supr>0
|(φr ∗ f)(x)| ≤ CMHLf(x)
untuk f ∈ Lp(Rd), 1 ≤ p ≤ ∞.
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Operator MaksimalOperator Integral Fraksional Iα := (−∆)−α/2
Operator Integral Singular Iu := (−∆)(iu)/2
Lebih jauh, kita mempunyai
‖φr ∗ f − f‖p → 0, r → 0,
untuk f ∈ Lp(Rd), 1 ≤ p <∞, dan
limr→0
(φr ∗ f)(x) = f(x)
hampir di mana-mana, untuk f ∈ Lp(Rd), 1 ≤ p ≤ ∞.
Perhatikan bahwa Teorema Dasar Lebesgue merupakan kasuskhusus, dengan mengambil φ = 1
m(B(0,1))χB(0,1).
(MHLf = supr>0
|φr ∗ f |.)
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Operator MaksimalOperator Integral Fraksional Iα := (−∆)−α/2
Operator Integral Singular Iu := (−∆)(iu)/2
Ingat bahwa solusi Persamaan Panas ut = uxx pada R, dengansyarat awal u(x, 0) = f(x), mempunyai solusi
u(x, t) = Ht ∗ f(x)
dengan H(x) = 1√4πe−x2/4 dan Ht(x) = 1√
tH
(x√t
)(Kernel
Panas).Pada Rd, Persamaan Panas berbentuk ut = ∆xu dengan∆x := ∂2
∂x21
+ · · ·+ ∂2
∂x2d
(operator Laplace). Solusinya adalah
u(x, t) = Ht ∗ f(x)
dengan H(x) = 1(4π)d/2 e
−|x|2/4 dan Ht(x) = 1td/2H
(x√t
).
Karena Ht(x) merupakan identitas hampiran, maka hasil-hasil tadiberlaku untuk solusi persamaan panas di atas.
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Operator MaksimalOperator Integral Fraksional Iα := (−∆)−α/2
Operator Integral Singular Iu := (−∆)(iu)/2
Demikian pula halnya solusi Persamaan Laplace ∆xu+ uyy = 0(x ∈ Rd, y > 0) dengan syarat awal u(x, 0) = f(x), dapatdinyatakan sebagai
u(x, y) = Py ∗ f(x)
dengan P (x) = cd
(|x|2+1)(d+1)/2 dan Py(x) = 1ydP
(xy
)(Kernel
Poisson).
Di sini cd = Γ((d+1)/2)
π(d+1)/2 , sehingga∫
Rd P (x) dx = 1.
Perihal Persamaan Gelombang, akan kita bahas secara khususnanti pada bagian terakhir.
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Operator MaksimalOperator Integral Fraksional Iα := (−∆)−α/2
Operator Integral Singular Iu := (−∆)(iu)/2
Selain operator maksimal, terdapat banyak operator pentinglainnya yang dipelajari. Salah satu operator yang akan kita bahassekarang adalah operator integral fraksional Iα yang diberikanoleh rumus
Iαf(x) = | · |α−d ∗ f(x) =∫
Rd
f(y)|x− y|d−α
dy,
dengan 0 < α < d. Perhatikan bahwa Iαf terdefinisi setidaknyauntuk fungsi f yang terbatas dan mempunyai tumpuan kompak(compact support) — Soal Latihan 2.
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Operator MaksimalOperator Integral Fraksional Iα := (−∆)−α/2
Operator Integral Singular Iu := (−∆)(iu)/2
Dengan menghitung transformasi Fouriernya, kita mempunyai
Iαf(ξ) = cα|ξ|−αf(ξ).
Untuk k ∈ N, jelas bahwa
(−∆)kf(ξ) = (2π|ξ|)2kf(ξ).
Karena itu Iα ∼ (−∆)−α/2. Khususnya, untuk α = 2 < d, fungsiu = I2f merupakan solusi (lemah) dari Persamaan Poisson−∆u = f , dikalikan dengan suatu konstanta.
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Operator MaksimalOperator Integral Fraksional Iα := (−∆)−α/2
Operator Integral Singular Iu := (−∆)(iu)/2
Teorema berikut menyatakan bahwa Iα merupakan operator yangterbatas dari Lp(Rd) ke Lq(Rd) untuk suatu q > p. Persisnya, kitamempunyai:
Teorema. Untuk 1 < p < dα , kita mempunyai
‖Iαf‖q ≤ Cp,q‖f‖p,
dengan 1q = 1
p −αd .
Ketaksamaan di atas dibuktikan dengan mendekomposisi integralIαf(x) menjadi dua bagian: yang pertama adalah integral disekitar x, yang kedua jauh dari x. Yang pertama dikontrol olehfungsi maksimal Hardy-Littlewood, yang kedua oleh norm f .
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Operator MaksimalOperator Integral Fraksional Iα := (−∆)−α/2
Operator Integral Singular Iu := (−∆)(iu)/2
Salah satu aplikasi dari teorema di atas adalah dalam menaksirsolusi Persamaan Poisson:
‖u‖q ≤ Cp‖f‖p,
dengan q = pd/(d− 2p).
Pembahasan lebih lanjut tentang operator integral fraksional Iαakan disampaikan oleh Dr. Idha Sihwaningrum pada seminarbesok. (Dr. Eridani akan membahas operator integral lainnya.)
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Operator MaksimalOperator Integral Fraksional Iα := (−∆)−α/2
Operator Integral Singular Iu := (−∆)(iu)/2
Operator berikutnya yang akan kita bahas di sini adalah operatorintegral singular Iu yang juga merupakan operator konvolusi, yangdiberikan oleh rumus
Iuf(x) = Ku ∗ f(x)
dengan Ku(x) = C(u)|x|iu−d. Di sini C(u) adalah konstanta yangbergantung hanya pada u sedemikian sehingga Ku(ξ) = |ξ|−iu.Perhatikan bahwa
Iuf(ξ) = Ku(ξ)f(ξ) = |ξ|−iuf(ξ).
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Operator MaksimalOperator Integral Fraksional Iα := (−∆)−α/2
Operator Integral Singular Iu := (−∆)(iu)/2
Karena ||x|iu| = |eiu ln |x|| = 1 untuk tiap x 6= 0, kita mempunyai
‖Iuf‖2 = ‖Iuf‖2 = ‖f‖2 = ‖f‖2,
yakni, Iu merupakan isometri pada L2(Rd).
Dengan menaksir |Ku(x)| secara teliti, dapat ditunjukkan bahwa
‖Iuf‖p ≤ Cp(1 + |u|)d/2‖f‖p,
untuk 1 < p <∞.
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Operator MaksimalOperator Integral Fraksional Iα := (−∆)−α/2
Operator Integral Singular Iu := (−∆)(iu)/2
Dari kedua ketaksamaan tadi, kita dapat memperoleh ketaksamaanberikut via interpolasi ala Marcinkiewicz:
‖Iuf‖p ≤ Cp(1 + |u|)|d/p−d/2|‖f‖p.
Ketaksamaan ini kelak dapat dipakai untuk membuktikanketerbatasan operator maksimal permukaan bola, yang akan kitabahas pada bagian berikutnya.
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Solusi Persamaan GelombangNilai Rata-Rata pada Permukaan BolaFungsi Maksimal Permukaan Bola
Persamaan Gelombang pada R:
utt = uxx,
mempunyai solusi u = u(x, t) dengan
u(ξ, t) = A(ξ) cos(2π|ξ|t) +B(ξ) sin(2π|ξ|t),
dengan A(ξ) dan B(ξ) konstanta (bergantung pada ξ saja).Jika u memenuhi syarat awal
u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x),
makau(ξ, 0) = f(ξ), ut(ξ, 0) = g(ξ).
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Solusi Persamaan GelombangNilai Rata-Rata pada Permukaan BolaFungsi Maksimal Permukaan Bola
Dari sini kita peroleh
A(ξ) = f(ξ), 2π|ξ|B(ξ) = g(ξ).
Dengan demikian,
u(ξ, t) = f(ξ) cos(2π|ξ|t) + g(ξ)sin(2π|ξ|t)
2π|ξ|.
Ambil inversnya, kita dapatkan
u(x, t) =∫
R
[f(ξ) cos(2π|ξ|t) + g(ξ)
sin(2π|ξ|t)2π|ξ|
]e2πixξdξ.
Dengan Kesamaan Plancherel dapat ditunjukkan bahwa energitotal E(t) =
∫R(|ut(x, t)|2 + |ux(x, t)|2) dx konstan (tidak
bergantung pada t) — Soal Latihan 3.
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Solusi Persamaan GelombangNilai Rata-Rata pada Permukaan BolaFungsi Maksimal Permukaan Bola
Catatan: Semua perhitungan di atas juga berlaku untukPersamaan Gelombang pada Rd
utt = ∆xu,
mengingat ∆xu(ξ, t) = −(2π|ξ|)2u(ξ, t).
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Solusi Persamaan GelombangNilai Rata-Rata pada Permukaan BolaFungsi Maksimal Permukaan Bola
Untuk d = 1, solusi Persamaan Gelombang utt = uxx pada [0, L]dengan syarat awal u(x, 0) = f(x) dan ut(x, 0) = g(x) mempunyairumus eksplisit
u(x, t) =12
(f(x+ t) + f(x− t) +
∫ x+t
x−tg(y) dy
),
dengan f dan g telah diperluas ke seluruh R menjadi fungsi ganjildan periodik dengan periode 2L.
Rumus ini juga berlaku untuk Persamaan Gelombang pada Rdengan data awal f dan g di S(R). (Anda tinggal menghitungtransformasi Fouriernya dan membandingkan hasilnya denganrumus sebelumnya.)
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Solusi Persamaan GelombangNilai Rata-Rata pada Permukaan BolaFungsi Maksimal Permukaan Bola
Perhatikan bahwa rumus di atas terdiri dari dua nilai ‘rata-rata’.Yang pertama adalah nilai rata-rata f di kedua titik ujung interval[x− t, x+ t]. Yang kedua adalah t kali nilai rata-rata integral gpada interval [x− t, x+ t], yakni 1
2t
∫ x+tx−t g(y) dy. Rumus di atas
dapat ditulis ulang sebagai
u(x, t) =∂
∂t(tMtf(x)) + tMtg(x),
dengan Mtf(x) = MHLt f(x) = 1
2tχ[−t,t] ∗ f .
Untuk d = 3, kita ternyata mempunyai rumus yang serupa, tapidengan rumus nilai rata-rata Mtf yang berbeda.
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Solusi Persamaan GelombangNilai Rata-Rata pada Permukaan BolaFungsi Maksimal Permukaan Bola
Misalkan S2 menyatakan permukaan bola satuan di R3. Kitadefinisikan nilai rata-rata f pada permukaan bola yang berpusat dix dan berjari-jari t sebagai
Mtf(x) = MSt f(x) =
14π
∫S2
f(x− tγ)dσ(γ),
dengan dσ(γ) menyatakan elemen luas permukaan pada S2.Karena luas permukaan bola satuan adalah 4π, maka MS
t fmerupakan nilai rata-rata integral f pada permukaan bola yangberpusat di x dan berjari-jari t.
Dapat diperiksa bahwa untuk f ∈ S(R3), maka MSt f ∈ S(R3)
juga. Lebih jauh, MSt f dapat diturunkan tak hingga kali terhadap
t, dan para turunannya juga merupakan fungsi di S(R3).
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Solusi Persamaan GelombangNilai Rata-Rata pada Permukaan BolaFungsi Maksimal Permukaan Bola
MSt f merupakan konvolusi f dengan µ = 1
4πσ yang merupakanukuran ternormalisasi pada permukaan bola S2, yakni
MSt f(x) = µt ∗ f(x).
Lebih jauh kita mempunyai
MSt f(ξ) = f(ξ)
sin(2π|ξ|t)2π|ξ|t
.
Cata bahwa, untuk t = 1, sin(2π|ξ|)2π|ξ| merupakan transformasi Fourier
dari µ, dalam arti
14π
∫S2
e−2πiξ·γdσ(γ) =sin(2π|ξ|)
2π|ξ|
(lihat [Stein & Shakarchi, 2003]).
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Solusi Persamaan GelombangNilai Rata-Rata pada Permukaan BolaFungsi Maksimal Permukaan Bola
Akibatnya, untuk d = 3, kita mempunyai teorema berikut:
Teorema. Solusi Persamaan Gelombang
utt = ∆xu
dengan syarat awal
u(x, 0) = f(x) dan ut(x, 0) = g(x)
adalah
u(x, t) =∂
∂t(tMtf(x)) + tMtg(x),
dengan Mtf = MSt f .
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Solusi Persamaan GelombangNilai Rata-Rata pada Permukaan BolaFungsi Maksimal Permukaan Bola
Bukti. Solusi persamaan gelombang utt = ∆xu dengan syaratawal u(x, 0) = 0 dan ut(x, 0) = g(x) adalah
u1(x, t) =∫
R3
[g(ξ)
sin(2π|ξ|t)2π|ξ|
]e2πix·ξdξ = tMS
t g(x).
Sementara itu, solusi persamaan gelombang utt = ∆xu dengansyarat awal u(x, 0) = f(x) dan ut(x, 0) = 0 adalah
u2(x, t) =∫
R3
[f(ξ) cos(2π|ξ|t)
]e2πix·ξdξ =
∂
∂t(tMS
t f(x)).
Jadi, u = u1 + u2 adalah solusi masalah nilai awal kita.
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Solusi Persamaan GelombangNilai Rata-Rata pada Permukaan BolaFungsi Maksimal Permukaan Bola
Kasus d = 2 tidak sesederhana seperti kasus d = 1 atau d = 3.Namun, solusi Persamaan Gelombang dengan syarat awalu(x, 0) = f(x) dan ut(x, 0) = g(x) mempunyai rumus yangserupa, yakni
u(x, t) =∂
∂t(tMtf(x)) + tMtg(x),
dengan Mtf(x) := 12π
∫|y|≤1 f(x− ty)(1− |y|2)−1/2dy.
Perhatikan bahwa secara umum Prinsip Huygen berlaku: untuksetiap x dan t, nilai u(x, t) ditentukan oleh nilai data awal padaB(x, t).
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Solusi Persamaan GelombangNilai Rata-Rata pada Permukaan BolaFungsi Maksimal Permukaan Bola
Serupa (tapi tak sama) dengan fungsi maksimal Hardy-Littlewood,kita mempunyai fungsi maksimal permukaan bola
MSf(x) := supt>0
|MSt f(x)|.
Pada tahun 1976, E.M. Stein membuktikan keterbatasan operatorMS pada Lp(Rd) sebagai berikut:
Teorema. Untuk d ≥ 3, berlaku
‖MSf‖p ≤ Cp ‖f‖p
asalkan p > dd−1 .
Catatan: J. Bourgain (1986) membuktikan bahwa ketaksamaanjuga berlaku untuk d = 2.
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Solusi Persamaan GelombangNilai Rata-Rata pada Permukaan BolaFungsi Maksimal Permukaan Bola
Teorema di atas dapat dibuktikan dengan menuliskan
µ(x) = P (x) +∫
RA(u)Ku(x) du,
dengan A(u) = O(1 + |u|)−d/2. Dari sini kita peroleh
µt(x) = Pt(x) +∫
RA(u)Ku(x)t−iudu,
(µt ∗ f)(x) = (Pt ∗ f)(x) +∫
RA(u)Iuf(x)t−iudu.
Akibatnya,
MSf(x) ≤ CMHLf(x) +∫
R|A(u)||Iuf(x)| du.
Dari sini peroleh ‖MSf‖p ≤ Cp‖f‖p untuk p > d/(d− 1).
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola
Solusi Persamaan GelombangNilai Rata-Rata pada Permukaan BolaFungsi Maksimal Permukaan Bola
Kita ingat bahwa u(x, t) = tMSt f(x) merupakan solusi dari
Persamaan Gelombang utt = ∆xu pada R3 dengan syarat awalu(x, 0) = 0 dan ut(x, 0) = f(x). Berdasarkan teorema di atas, kitamempunyai ∥∥∥∥sup
t>0
∣∣∣u(·, t)t
∣∣∣∥∥∥∥p
≤ Cp ‖f‖p
untuk p > 32 .
Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II