fourier analysis & its applications in...

Tiga Operator Integral PentingPersamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola

Fourier Analysis & Its Applications in PDEs

Hendra Gunawan

http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/

Analysis and Geometry GroupBandung Institute of Technology

Bandung, INDONESIA

WIDE 20105-6 August 2010

Hendra Gunawan, WIDE 2010 Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II


Outline

1 Tiga Operator Integral PentingOperator MaksimalOperator Integral Fraksional Iα := (−∆)−α/2

Operator Integral Singular Iu := (−∆)(iu)/2

2 Persamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan BolaSolusi Persamaan GelombangNilai Rata-Rata pada Permukaan BolaFungsi Maksimal Permukaan Bola



Operator MaksimalOperator Integral Fraksional Iα := (−∆)−α/2


Materi ini disadur dari buku E.M. Stein (1970), “Singular integralsand Differentiability Properties of Functions”.

Menurut Teorema Dasar Lebesgue (yang merupakanperumuman dari Teorema Dasar Kalkulus), kita mempunyai

limr→0

1m(B(x, r))

∫B(x,r)

f(y) dy = f(x)

hampir di mana-mana, asalkan f terintegralkan lokal pada Rd. (Disini, f adalah fungsi dari Rd ke R.) Hasil ini mengatakan bahwaturunan dari integral f sama dengan f itu sendiri, hampir dimana-mana.





Teorema Dasar Lebesgue merupakan akibat dari keterbatasanoperator maksimal Hardy-Littlewood MHL, yang memetakan fke

MHLf(x) := supr>0

1m(B(x, r))

∫B(x,r)

|f(y)| dy.

Dengan substitusi peubah, kita dapat menuliskan

MHLf(x) = supr>0

1m(B(0, 1))

∫B(0,1)

|f(x− ry)| dy.

Perhatikan bahwa jika f merupakan fungsi yang terbatas (olehbilangan K), maka MHLf juga terbatas (oleh bilangan K yangsama) — Soal Latihan 1.





Berkenaan dengan operator maksimal MHL, kita mempunyai:

Teorema. Untuk 1 < p ≤ ∞, kita mempunyai

‖MHLf‖p ≤ Cp ‖f‖p,

yakni, MHL merupakan operator terbatas di Lp(Rd).

Catatan. Di sini Lp(Rd) merupakan ruang norm dengan norm

‖f‖p =(∫

Rd |f(x)|pdx)1/p

. Operator T : Lp(Rd) → Lp(Rd)dikatakan terbatas apabila terdapat konstanta Cp sehingga‖Tf‖p ≤ Cp‖f‖p untuk tiap f ∈ Lp(Rd).





Pada pembahasan transformasi Fourier di R, kita telah membahas‘identitas hampiran’, yaitu keluarga fungsi φr(x) = 1

rφ(

xr

), dengan

φ ≥ 0 dan∫

R φ(x) dx = 1. Konsep ini dapat diperluas ke Rd,dengan mengganti definisi φr menjadi

φr(x) =1rdφ(xr

)(dan menghapus asumsi φ ≥ 0).Selanjutnya, jika ψ(x) := sup

|y|≥|x||φ(y)| terintegralkan, maka

supr>0

|(φr ∗ f)(x)| ≤ CMHLf(x)

untuk f ∈ Lp(Rd), 1 ≤ p ≤ ∞.





Lebih jauh, kita mempunyai

‖φr ∗ f − f‖p → 0, r → 0,

untuk f ∈ Lp(Rd), 1 ≤ p <∞, dan

limr→0

(φr ∗ f)(x) = f(x)

hampir di mana-mana, untuk f ∈ Lp(Rd), 1 ≤ p ≤ ∞.

Perhatikan bahwa Teorema Dasar Lebesgue merupakan kasuskhusus, dengan mengambil φ = 1

m(B(0,1))χB(0,1).

(MHLf = supr>0

|φr ∗ f |.)





Ingat bahwa solusi Persamaan Panas ut = uxx pada R, dengansyarat awal u(x, 0) = f(x), mempunyai solusi

u(x, t) = Ht ∗ f(x)

dengan H(x) = 1√4πe−x2/4 dan Ht(x) = 1√

tH

(x√t

)(Kernel

Panas).Pada Rd, Persamaan Panas berbentuk ut = ∆xu dengan∆x := ∂2

∂x21

+ · · ·+ ∂2

∂x2d

(operator Laplace). Solusinya adalah

u(x, t) = Ht ∗ f(x)

dengan H(x) = 1(4π)d/2 e

−|x|2/4 dan Ht(x) = 1td/2H

(x√t

).

Karena Ht(x) merupakan identitas hampiran, maka hasil-hasil tadiberlaku untuk solusi persamaan panas di atas.





Demikian pula halnya solusi Persamaan Laplace ∆xu+ uyy = 0(x ∈ Rd, y > 0) dengan syarat awal u(x, 0) = f(x), dapatdinyatakan sebagai

u(x, y) = Py ∗ f(x)

dengan P (x) = cd

(|x|2+1)(d+1)/2 dan Py(x) = 1ydP

(xy

)(Kernel

Poisson).

Di sini cd = Γ((d+1)/2)

π(d+1)/2 , sehingga∫

Rd P (x) dx = 1.

Perihal Persamaan Gelombang, akan kita bahas secara khususnanti pada bagian terakhir.





Selain operator maksimal, terdapat banyak operator pentinglainnya yang dipelajari. Salah satu operator yang akan kita bahassekarang adalah operator integral fraksional Iα yang diberikanoleh rumus

Iαf(x) = | · |α−d ∗ f(x) =∫

Rd

f(y)|x− y|d−α

dy,

dengan 0 < α < d. Perhatikan bahwa Iαf terdefinisi setidaknyauntuk fungsi f yang terbatas dan mempunyai tumpuan kompak(compact support) — Soal Latihan 2.





Dengan menghitung transformasi Fouriernya, kita mempunyai

Iαf(ξ) = cα|ξ|−αf(ξ).

Untuk k ∈ N, jelas bahwa

(−∆)kf(ξ) = (2π|ξ|)2kf(ξ).

Karena itu Iα ∼ (−∆)−α/2. Khususnya, untuk α = 2 < d, fungsiu = I2f merupakan solusi (lemah) dari Persamaan Poisson−∆u = f , dikalikan dengan suatu konstanta.





Teorema berikut menyatakan bahwa Iα merupakan operator yangterbatas dari Lp(Rd) ke Lq(Rd) untuk suatu q > p. Persisnya, kitamempunyai:

Teorema. Untuk 1 < p < dα , kita mempunyai

‖Iαf‖q ≤ Cp,q‖f‖p,

dengan 1q = 1

p −αd .

Ketaksamaan di atas dibuktikan dengan mendekomposisi integralIαf(x) menjadi dua bagian: yang pertama adalah integral disekitar x, yang kedua jauh dari x. Yang pertama dikontrol olehfungsi maksimal Hardy-Littlewood, yang kedua oleh norm f .





Salah satu aplikasi dari teorema di atas adalah dalam menaksirsolusi Persamaan Poisson:

‖u‖q ≤ Cp‖f‖p,

dengan q = pd/(d− 2p).

Pembahasan lebih lanjut tentang operator integral fraksional Iαakan disampaikan oleh Dr. Idha Sihwaningrum pada seminarbesok. (Dr. Eridani akan membahas operator integral lainnya.)





Operator berikutnya yang akan kita bahas di sini adalah operatorintegral singular Iu yang juga merupakan operator konvolusi, yangdiberikan oleh rumus

Iuf(x) = Ku ∗ f(x)

dengan Ku(x) = C(u)|x|iu−d. Di sini C(u) adalah konstanta yangbergantung hanya pada u sedemikian sehingga Ku(ξ) = |ξ|−iu.Perhatikan bahwa

Iuf(ξ) = Ku(ξ)f(ξ) = |ξ|−iuf(ξ).





Karena ||x|iu| = |eiu ln |x|| = 1 untuk tiap x 6= 0, kita mempunyai

‖Iuf‖2 = ‖Iuf‖2 = ‖f‖2 = ‖f‖2,

yakni, Iu merupakan isometri pada L2(Rd).

Dengan menaksir |Ku(x)| secara teliti, dapat ditunjukkan bahwa

‖Iuf‖p ≤ Cp(1 + |u|)d/2‖f‖p,

untuk 1 < p <∞.





Dari kedua ketaksamaan tadi, kita dapat memperoleh ketaksamaanberikut via interpolasi ala Marcinkiewicz:

‖Iuf‖p ≤ Cp(1 + |u|)|d/p−d/2|‖f‖p.

Ketaksamaan ini kelak dapat dipakai untuk membuktikanketerbatasan operator maksimal permukaan bola, yang akan kitabahas pada bagian berikutnya.



Solusi Persamaan GelombangNilai Rata-Rata pada Permukaan BolaFungsi Maksimal Permukaan Bola

Persamaan Gelombang pada R:

utt = uxx,

mempunyai solusi u = u(x, t) dengan

u(ξ, t) = A(ξ) cos(2π|ξ|t) +B(ξ) sin(2π|ξ|t),

dengan A(ξ) dan B(ξ) konstanta (bergantung pada ξ saja).Jika u memenuhi syarat awal

u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x),

makau(ξ, 0) = f(ξ), ut(ξ, 0) = g(ξ).




Dari sini kita peroleh

A(ξ) = f(ξ), 2π|ξ|B(ξ) = g(ξ).

Dengan demikian,

u(ξ, t) = f(ξ) cos(2π|ξ|t) + g(ξ)sin(2π|ξ|t)

2π|ξ|.

Ambil inversnya, kita dapatkan

u(x, t) =∫

R

[f(ξ) cos(2π|ξ|t) + g(ξ)

sin(2π|ξ|t)2π|ξ|

]e2πixξdξ.

Dengan Kesamaan Plancherel dapat ditunjukkan bahwa energitotal E(t) =

∫R(|ut(x, t)|2 + |ux(x, t)|2) dx konstan (tidak

bergantung pada t) — Soal Latihan 3.




Catatan: Semua perhitungan di atas juga berlaku untukPersamaan Gelombang pada Rd

utt = ∆xu,

mengingat ∆xu(ξ, t) = −(2π|ξ|)2u(ξ, t).




Untuk d = 1, solusi Persamaan Gelombang utt = uxx pada [0, L]dengan syarat awal u(x, 0) = f(x) dan ut(x, 0) = g(x) mempunyairumus eksplisit

u(x, t) =12

(f(x+ t) + f(x− t) +

∫ x+t

x−tg(y) dy

),

dengan f dan g telah diperluas ke seluruh R menjadi fungsi ganjildan periodik dengan periode 2L.

Rumus ini juga berlaku untuk Persamaan Gelombang pada Rdengan data awal f dan g di S(R). (Anda tinggal menghitungtransformasi Fouriernya dan membandingkan hasilnya denganrumus sebelumnya.)




Perhatikan bahwa rumus di atas terdiri dari dua nilai ‘rata-rata’.Yang pertama adalah nilai rata-rata f di kedua titik ujung interval[x− t, x+ t]. Yang kedua adalah t kali nilai rata-rata integral gpada interval [x− t, x+ t], yakni 1

2t

∫ x+tx−t g(y) dy. Rumus di atas

dapat ditulis ulang sebagai

u(x, t) =∂

∂t(tMtf(x)) + tMtg(x),

dengan Mtf(x) = MHLt f(x) = 1

2tχ[−t,t] ∗ f .

Untuk d = 3, kita ternyata mempunyai rumus yang serupa, tapidengan rumus nilai rata-rata Mtf yang berbeda.




Misalkan S2 menyatakan permukaan bola satuan di R3. Kitadefinisikan nilai rata-rata f pada permukaan bola yang berpusat dix dan berjari-jari t sebagai

Mtf(x) = MSt f(x) =

14π

∫S2

f(x− tγ)dσ(γ),

dengan dσ(γ) menyatakan elemen luas permukaan pada S2.Karena luas permukaan bola satuan adalah 4π, maka MS

t fmerupakan nilai rata-rata integral f pada permukaan bola yangberpusat di x dan berjari-jari t.

Dapat diperiksa bahwa untuk f ∈ S(R3), maka MSt f ∈ S(R3)

juga. Lebih jauh, MSt f dapat diturunkan tak hingga kali terhadap

t, dan para turunannya juga merupakan fungsi di S(R3).




MSt f merupakan konvolusi f dengan µ = 1

4πσ yang merupakanukuran ternormalisasi pada permukaan bola S2, yakni

MSt f(x) = µt ∗ f(x).

Lebih jauh kita mempunyai

MSt f(ξ) = f(ξ)

sin(2π|ξ|t)2π|ξ|t

.

Cata bahwa, untuk t = 1, sin(2π|ξ|)2π|ξ| merupakan transformasi Fourier

dari µ, dalam arti

14π

∫S2

e−2πiξ·γdσ(γ) =sin(2π|ξ|)

2π|ξ|

(lihat [Stein & Shakarchi, 2003]).




Akibatnya, untuk d = 3, kita mempunyai teorema berikut:

Teorema. Solusi Persamaan Gelombang

utt = ∆xu

dengan syarat awal

u(x, 0) = f(x) dan ut(x, 0) = g(x)

adalah

u(x, t) =∂


dengan Mtf = MSt f .




Bukti. Solusi persamaan gelombang utt = ∆xu dengan syaratawal u(x, 0) = 0 dan ut(x, 0) = g(x) adalah

u1(x, t) =∫

R3

[g(ξ)

sin(2π|ξ|t)2π|ξ|

]e2πix·ξdξ = tMS

t g(x).

Sementara itu, solusi persamaan gelombang utt = ∆xu dengansyarat awal u(x, 0) = f(x) dan ut(x, 0) = 0 adalah

u2(x, t) =∫

R3

[f(ξ) cos(2π|ξ|t)

]e2πix·ξdξ =

∂

∂t(tMS

t f(x)).

Jadi, u = u1 + u2 adalah solusi masalah nilai awal kita.




Kasus d = 2 tidak sesederhana seperti kasus d = 1 atau d = 3.Namun, solusi Persamaan Gelombang dengan syarat awalu(x, 0) = f(x) dan ut(x, 0) = g(x) mempunyai rumus yangserupa, yakni

u(x, t) =∂


dengan Mtf(x) := 12π

∫|y|≤1 f(x− ty)(1− |y|2)−1/2dy.

Perhatikan bahwa secara umum Prinsip Huygen berlaku: untuksetiap x dan t, nilai u(x, t) ditentukan oleh nilai data awal padaB(x, t).




Serupa (tapi tak sama) dengan fungsi maksimal Hardy-Littlewood,kita mempunyai fungsi maksimal permukaan bola

MSf(x) := supt>0

|MSt f(x)|.

Pada tahun 1976, E.M. Stein membuktikan keterbatasan operatorMS pada Lp(Rd) sebagai berikut:

Teorema. Untuk d ≥ 3, berlaku

‖MSf‖p ≤ Cp ‖f‖p

asalkan p > dd−1 .

Catatan: J. Bourgain (1986) membuktikan bahwa ketaksamaanjuga berlaku untuk d = 2.




Teorema di atas dapat dibuktikan dengan menuliskan

µ(x) = P (x) +∫

RA(u)Ku(x) du,

dengan A(u) = O(1 + |u|)−d/2. Dari sini kita peroleh

µt(x) = Pt(x) +∫

RA(u)Ku(x)t−iudu,

(µt ∗ f)(x) = (Pt ∗ f)(x) +∫

RA(u)Iuf(x)t−iudu.

Akibatnya,

MSf(x) ≤ CMHLf(x) +∫

R|A(u)||Iuf(x)| du.

Dari sini peroleh ‖MSf‖p ≤ Cp‖f‖p untuk p > d/(d− 1).




Kita ingat bahwa u(x, t) = tMSt f(x) merupakan solusi dari

Persamaan Gelombang utt = ∆xu pada R3 dengan syarat awalu(x, 0) = 0 dan ut(x, 0) = f(x). Berdasarkan teorema di atas, kitamempunyai ∥∥∥∥sup

t>0

∣∣∣u(·, t)t

∣∣∣∥∥∥∥p

≤ Cp ‖f‖p

untuk p > 32 .


fourier analysis & its applications in...

Documents