sidang tugas akhir juli 2013 - digilib.its.ac.id · jika , persamaan disebut dengan persamaan...

Sidang Tugas Akhir - Juli 2013

DOSEN PEMBIMBING

Drs. Lukman Hanafi, M.Sc

MAHASISWA

Durmin (1206 100 701)

STUDI PERBANDINGAN PERPINDAHAN PANAS

MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA DAN

CRANK-NICHOLSON

COMPARATIVE STUDY OF HEAT TRANSFER USING FINITE

DIFFERENCE AND CRANK-NICHOLSON METHOD

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Surabaya

2

PENDAHULUAN

3

Latar Belakang

Perpindahan panas yang terjadi di dalam bumi merupakan persoalan

kompleks karena melibatkan banyak parameter. Sehingga penyelesaian

persoalan perpindahan panas di alam ini memerlukan asumsi-asumsi untuk

menyederhanakan permasalahan.

Perpindahan panas (heat transfer) adalah ilmu untuk mengamati

perpindahan energi yang terjadi karena adanya perbedaan suhu diantara

benda atau material. Energi ini tidak dapat diukur atau diamati secara

langsung tetapi arah perpindahannya dan pengaruhnya dapat diamati dan

diukur.

Banyak model matematika perpindahan panas yang merupakan persamaan

diferensial parsial. Penyelesaian persamaan diferensial parsial dapat

dilakukan dengan beberapa metode. Pemilihan metode pendekatan

berdasarkan pada tujuan dan kompleksitas masalah.

4

Latar Belakang (lanjut)

Pada Tugas Akhir ini akan dikaji proses perpindahan panas satu dimensi

dimana objek penelitiannya adalah suatu simulasi domain bidang yang

pada batas-batas dan titik-titik tertentu diketahui temperaturnya.

Pendekatan yang dipakai adalah dengan membandingkan metode Beda

Hingga dan metode Crank-Nicholson.

5

Perumusan Masalah

Bagaimana proses perpindahan panas dengan metode beda

hingga.

Bagaimana proses perpindahan panas dengan metode Crank-

Nicholson.

Bagaimana perbandingan ketelitian metode beda hingga dan

Crank-Nicholson pada persamaan panas.

6

Batasan Masalah

Bentuk model matematis perpindahan panas yang diambil

adalah persamaan panas satu dimensi.

Metode beda hingga yang dipakai adalah metode beda hingga

maju skema Eksplisit.

Proses perpindahan panas ini akan disimulasikan

menggunakan Software Matlab.

7

Tujuan

Mengetahui proses perpindahan panas dengan metode beda

hingga.

Mengetahui proses perpindahan panas dengan metode Crank-

Nicholson.

Mengetahui perbandingan ketelitian metode beda hingga dan

Crank-Nicholson pada persamaan panas.

8

Manfaat

Manfaat yang didapat dari Tugas Akhir ini adalah dapat

mengetahui arah dan pola perpindahan panas pada objek yang

diteliti, yaitu pada batang logam panjang pada bentuk model satu

dimensinya.

9

TINJAUAN PUSTAKA

10

Perpindahan Panas

Panas mengalir dari benda bertemperatur lebih tinggi ke benda

bertemperatur lebih rendah. Laju perpindahan panas yang melewati benda

padat sebanding dengan gradien temperatur atau beda temperatur persatuan

panjang.

Mekanisme perpindahan panas sendiri dapat terjadi secara konduksi,

konveksi, dan radiasi.

Perpindahan panas secara konduksi adalah proses perpindahan panas dari

daerah bersuhu tinggi ke daerah bersuhu rendah dalam satu medium (padat,

cair atau gas), atau antara medium–medium yang berlainan yang

bersinggungan secara langsung.

Dinyatakan dengan:

11

Perpindahan Panas

Perpindahan panas secara konveksi adalah perpindahan energi dengan kerja

gabungan dari konduksi panas, penyimpanan, energi dan gerakan

mencampur. Proses terjadi pada permukaan padat (lebih panas atau dingin)

terhadap cairan atau gas (lebih dingin atau panas).

Dinyatakan dengan:

12

Perpindahan Panas

Perpindahan panas secara radiasi adalah proses perpindahan panas dari

benda bersuhu tinggi ke benda yang bersuhu lebih rendah, bila benda–

benda itu terpisah didalam ruang (bahkan dalam ruang hampa sekalipun).

Dinyatakan dengan:

13

Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang di dalamnya

terdapat suku-suku diferensial parsial yang dalam matematika diartikan

sebagai suatu hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang tidak diketahui,

yang merupakan fungsi dari beberapa variabel bebas, dengan turunan-

turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud.

Banyak permasalahan dalam bidang ilmu terapan, fisika, dan teknik

dimodelkan secara matematis dengan menggunakan persamaan deferensial

parsial.

Persamaan deferensial parsial memiliki bentuk umum:

dimana A, B dan C adalah konstan yang disebut dengan quasilinear.

14


Terdapat tiga tipe dari persamaan quasilinear yaitu:

jika , persamaan disebut dengan persamaan elips.

jika , persamaan disebut dengan persamaan parabolik.

jika , persamaan disebut dengan persamaan

hiperbolik.

Salah satu persamaan parabolik adalah model satu dimensi untuk perpindahan

panas pada sebuah batang yang diisolasi dengan panjang L.

15


Persamaan panas dengan temperatur u(x,t) dalam batang pada posisi x dan

waktu t dinyatakan dengan:

dengan distribusi temperatur awal pada t = 0 adalah

dan nilai batas pada ujung-ujung batang

Konstanta K adalah koefisien dari konduktifitas thermal bahan, σ adalah panas

spesifik, ρ berat jenis material batang, dan c konstan.

16


Untuk penyelesaian persamaan diferensial parsial jenis parabolik ini

persamaan perpindahan panas berdimensi satu diatas disederhanakan menjadi:

(1)

berlaku untuk 0 ≤ x ≤ L waktu t ≥ 0

dengan syarat-syarat batasnya adalah

17

Metode Beda Hingga

Untuk dapat menggunakan metode beda hingga dibutuhkan Deret Taylor.

Deret Taylor fungsi satu variabel disekitar x diberikan sebagai:

Deret Taylor inilah yang merupakan dasar pemikiran metode beda hingga

untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial secara numerik.

18

Metode Beda Hingga

Dari deret Taylor ini dikenal tiga pendekatan beda hingga.

Pendekatan beda maju (forward difference):

Pendekatan beda mundur (backward difference):

Pendekatan beda pusat (center difference):

19

Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas

Penyelesaian dengan metode beda hingga dapat dijelaskan dengan meninjau

suatu luasan yang merupakan hasil dari persamaan diferensial parsial yang

mempunyai satu variable tak bebas u dan dua variable bebas x dan t. Setiap

persamaan diferensial yang berlaku pada luasan tersebut menyatakan keadaan

suatu titik atau pias yang cukup kecil di luasan tersebut.

Metode Beda Hingga sangat sering dipakai untuk mencari solusi suatu

persamaan diferensial parsial (PDP). Hal ini disebabkan mudahnya mendekati

PDP dengan pendekatan deret Taylor-nya dan diperoleh persamaan beda.

Idenya adalah membawa domain PDP ke dalam domain komputasi yang

berupa grid.

20


1. Metode FTCS (Forward Time Center Space)Metode FTCS sering disebut dengan metode Eksplisit

∆x = h dan ∆t = k.

Penerapan Beda Maju terhadap (pers. (1)) di titik i,j, diperoreh

21


1. Metode FTCS (Forward Time Center Space)

penerapan Beda Pusat terhadap diperoleh

sehingga dari persamaan (1) diperoleh persamaan beda berikut:

dengan substitusi menjadi

(2)

Metode Eksplisit konvergen dan stabil jika

22


2. Metode Implisit BTCS (Backward Time Center Space)

∆x = h dan ∆t = k.

Penerapan Beda Mundur terhadap (pers. (1)) di titik i,j+1,

diperoreh

23


2. Metode Implisit BTCS (Backward Time Center Space)

penerapan Beda Pusat terhadap diperoleh

sehingga dari persamaan (1) diperoleh persamaan beda berikut:


(3)

24


3. Metode Crank-Nicholson

∆x = h dan ∆t = k.

Penerapan Beda Pusat terhadap (pers. (1)) di titik i,(j + ½),

diperoreh

25



Sedangkan di titik grid i,(j+½), dihampiri dengan pendekatan

suku derivatif ruang pada waktu j+½ dianggap sebagai nilai rata-rata

derivatif pada waktu j dan j+1

Dengan menerapkan Beda Pusat terhadap dititik i,j+1 (pada

waktu j+1) diperoleh

dan untuk di titik i,j (pada waktu j)

26



Sehingga persamaan beda untuk metode Crank-Nicholson (untuk

persamaan (1)) yaitu


(4)

27

PEMBAHASAN

28

kondisi awal ,

kondisi batas ,

Dengan mengambil ukuran ∆x = h = 0.2 dan ∆t = k = 0.02 dan c = 1 maka

r = 0.5,

30

Penyelesaian dengan Metode Eksplisit

Pada skema eksplisit, variabel pada waktu j+1 dihitung berdasarkan variabelpada waktu j yang sudah diketahui.

Penerapan metode Eksplisit, dengan menggunakan persamaan (2) denganr=0.5, menghasilkan

Hitungan dilakukan dengan memasukan nilai dari titik-titik yang sudahdiketahui ke persamaan diatas

31

Penyelesaian dengan Metode Eksplisit

Dari perhitungan keseluruhan dengan Metode Eksplisit didapat tabel

32

Penyelesaian dengan Metode Crank-Nicholson

Penerapan metode Crank-Nicholson, dengan menggunakan persamaan (4) dengan r=0.5, menghasilkan

perhitungan dilakukan dengan memasukan nilai awal dan nilai batas padapersamaan diatas

Misal untuk j=1 dan i=1,2,3,4 diperoleh sistem persamaan, empat persamaandengan empat variabel yang tidak diketahui:

Sistem persamaan dapat ditulis dalam bentuk matriks tridiagonal, yang kemudian diselesaikan dengan menggunakan metode sapuan ganda Choleski

33

Penyelesaian dengan Metode Crank-Nicholson

Hasil perhitungan keseluruhan disajikan pada Tabel

34

grafik perbandingan metode Eksplisit dan Crank-Nicholson

35


keterangan: * : dengan Metode Eksplisit

o : dengan Metode Crank-Nicholson

36


keterangan: * : dengan Metode Eksplisit

o : dengan Metode Crank-Nicholson

37

Kesimpulan dan SaranKesimpulan

Metode beda hingga skema Eksplisit lebih mudah penyelesaiannya daripada

metode beda hingga skema Crank-Nicholson, karena untuk mendapatkan nilai

suatu titik dapat diketahui secara langsung dengan memasukan nilai-

nilai dari kondisi awal, dan kondisi batasnya, berbeda dengan metode beda

hingga skema Crank-Nicholson yang harus menyelesaikan sistem persamaan

yang terbentuk yang berbentuk matriks tridiagonal, sehingga diperlukan

metode lagi untuk penyelesaian dari matriks tridiagonal tersebut

Metode beda hingga skema Crank-Nicholson memiliki akurasi perhitungan

yang lebih baik daripada metode beda hingga skema Eksplisit.

38

Kesimpulan dan Saran

Saran

Tugas Akhir ini merupakan penelitian dengan kajian literatur tentang metode

beda hingga skema Eksplisit dan Crank-Nicholson untuk mencari solusi dari

persamaan panas satu dimensi, maka penulis menyarankan agar penelitian ini

dilanjutkan untuk kasus perpindahan panas dua dimensi.

39

Daftar Pustaka

40

TERIMA KASIH

sidang tugas akhir juli 2013 - digilib.its.ac.id · jika , persamaan disebut dengan persamaan...

Documents