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8/6/2019 Stochastic GP With Multiplicative Recourse

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O p e r a t i o n s R e s e a r c h L e t t e rs 9 ( 1 99 0 ) 9 9 - 1 0 4 M a r c h 1 9 9 0

N o r t h - H o l l a n d

A S T O C H A S T I C G E O M E T R I C P R O G R A M M I N G P R O B L E M

W I T H M U L T I P L I C A T I V E R E C O U R S E

R . J A G A N N A T H A N

Department of Management Sciences and Business Adminis tration, The University of Iowa, Iow a City , IA 52242, US A

R e c e i v e d O c t o b e r 1 9 88

R e v i s e d A u g u s t 1 9 89

T h e p o l y n o m i a l s t h a t c h a ra c t e r iz e a g e o m e t r i c p r o g r a m m i n g p r o b l e m a r e d e f i n e d b y t h e c o e f fi c ie n t s c , j a n d a , j k , w h i c h a r e

u s u a l l y a s s u m e d t o b e c o n s t a n t s . In t h i s p a p e r, w e a l l o w t h e s e p a r a m e t e r s t o b e r a n d o m v a r i a b le s w i t h k n o w n j o i n td i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s a n d d e r i v e t h e p r o p e r t i e s o f a d e t e r m i n i s t i c e q u i v a l e n t p r o b l e m c o r r e s p o n d i n g t o a m u l t i p l ic a t i v e

r e c o u r s e s t o c h a s t i c m o d e l , w h e r e t h e r e c o u r s e v a r i a b l e s r e c t i fy i n a p r o p o r t i o n a l s e n s e t h e a m o u n t o f p o s s i b l e v io l a t i o n s o f th e

c o n s t r a i n t s .

g e o m e t r i c p r o g r a m m i n g * s t o c h a s ti c p r o g r a m m i n g * e n g i n e e r i n g d e s i g n

1 . I n tr o d u c t i o n

G e o m e t r i c p r o g r a m m i n g [8 ] i s o n e o f t h e m o s t v e r s a t i l e t o o ls i n t h e a r e a o f e n g i n e e r i n g d e s i g n a n d

m a n y e x a m p l e s o f s u c c e s s f u l a p p l i c a t i o n o f t h e t e c h n i q u e a r e d i s c u s s e d i n [ 1 , 5 , 6 , 1 2 ] .

T h e p o l y n o m i a l s t h a t c h a r a c t er i z e a g e o m e t r i c p r o g r a m a r e d e f i n e d b y p o s i t iv e c o e f fi c i e n ts c i j a n d r e a l

e x p o n e n t s a i j j , . U s u a l l y t h e s e p a r a m e t e r s a r e a s s u m e d t o b e k n o w n c o n s t a n t s . A v r i e l a n d W i l d e [ 2 ]

f o r m u l a t e a t w o - s ta g e s t o c ha s t ic g e o m e t r i c p r o g r a m ( S G P ) w i t h d i s cr e t e r a n d o m c ij e l e m e n t s a n d s t u d y

t h e p r o p e r t i e s o f t h e c o r r e s p o n d i n g d e t e r m i n i s t i c e q u i v a l e n t m o d e l .

I n S e c t i o n 2 o f t hi s p a p e r w e a s s u m e t h e p a r a m e t e r s { q j } a n d ( a , j ~ } t o b e r a n d o m v a r ia b l e s w i t h

k n o w n d i s t r i b u t io n f u n c t io n s a n d f o r m u l a t e t h e S G P m o d e l a s a m u l t i p l i c a ti v e r e co u r s e p r o b le m , w h e r e i n

p o s s i b l e v i o la t i o n s in t h e c o n s t r a i n t s a r e c o r r e c t e d i n a p r o p o r t i o n a l s e n s e b y t h e r e c o u r s e v a r i a b l e s a f t e r

t h e r a n d o m p a r a m e t e r s a r e o b s e r v e d . W e f u r t h e r s h o w t h a t t h e d e t e r m i n i s t i c e q u i v a l e n t i s i n g e n e r a l a

c o n v e x p r o g r a m . I n S e c t i o n 3 , a s p ec i a l c a s e o f th e m o d e l i s d i s c u s s e d .

S t o c ha s t ic p r o g r a m m i n g d e a l s w i t h s i t ua t i o n s w h e r e t h e p a r a m e t e r s o f a d e c i si o n m o d e l u n d e r

c o n s i d e r a t io n c a n n o t b e d e t e r m i n e d e x a c t l y . T h e u n k n o w n p a r a m e t e r s a r e u s u al l y a s s um e d t o b e r a n d o m

v a r i a b l e s w i t h a j o i n t p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n .I n c o n s i d e r i n g e n g i n e e r i n g d e s i g n p r o b l e m s w h e r e u n c e r t a i n t i e s a r i s e i n m a r k e t f o r e c a s t s o r o p e r a t i n g

c o n d i t i o n s a t y p i c al a p p r o a c h i s to r e p l a c e t h e u n k n o w n p a r a m e t e r s b y t h e i r e x p e c t e d v al u es . A n

a l t e r n a t i v e a p p r o a c h i s t o c o n s i d e r t h e d e c i s i o n m o d e l u n d e r a w o r s t - c a s e s i t u a t i o n . A v r i e l a n d W i l d e [ 2 ]

p o i n t o u t t h a t t h e a b o v e a p p r o a c h e s l e a d t o i n cr e a s e d m a n u f a c t u r i n g c o s t, w h i c h m a y m e a n r e j e c t i o n o f a

n e w p r o j e c t p r o p o s a l b e c a u s e o f l o w p r o f i t m a r g i n . T h e y p r o p o s e i n s t e a d a t w o - s t ag e d e c i s io n m o d e l .

I n t w o - s t a g e l i n e a r p r o g r a m m i n g u n d e r u n c e r t a i n t y , t h e d e c i s i o n m a k e r c h o o s e s t h e f i rs t - s ta g e d e c i s i o n

x , t h e n o b s e r v e s t h e r a n d o m p a r a m e t e r v a l u e s , a n d f i n a l l y t a k e s r e c o u r s e a c t i o n y s u c h t h a t a s u it a b l y

d e f i n e d L P p r o b l e m i s s o l v e d. T h e s e c o n d s t a g e r e c o u r s e a c t i o n y i s t a k e n w h e n t h e r e a r e n o u n c e r t a i n t i e s

l e f t i n t h e m o d e l . T h e o b j e c t i v e i s t h e n t o m i n i m i z e t h e t o t a l c o s t t h a t i n c l u d e s t h e e x p e c t e d m i n i m a l

s e c o n d s t a g e c o s t ( s ee W e t s [ 11 ] a n d D a n t z i g [7 ], a n d a l s o J a g a n n a t h a n [1 0] f o r t w o - s t a g e r e c o u r s e m o d e l s

w h e n s a m p l e i n f o r m a t i o n i s a v a i l a b l e ) .

0 1 6 7 - 6 3 7 7 / 9 0 / $ 3 . 5 0 © 1 9 9 0 , E l s e v i e r S c i e n c e P u b l i s h e r s B . V . ( N o r t h - H o l l a n d ) 9 9



Volume 9, Numbe r 2 OPERATIO NS RESEARCH LETTERS March 1990

I n a s i m i l ar v e in , A v r i el a n d W i l d e [ 2] su g g e s t a t w o - s t a g e g e o m e t r i c a p p r o a c h t o d e s i g n p r o b l e m s w i t h

d i s c r e t e c u p a r a m e t e r s . T h e v a r i a b l e s a r e c l a s s i f i e d a s

( i ) d e s i g n v a r i a b l e s t h a t a r e u s e d a s f i r s t s t a g e d e c i s i o n v a r i a b l e s , a n d a s

( i i ) o p e r a t i n g v a r i a b l e s ( s e c o n d s t a g e r e c o u r s e v a r i a b l e s ) t h a t a r e a d j u s t e d a c c o r d i n g t o t h e r e a l i z a t i o n o f

t h e r a n d o m p a r a m e t e r s s o t h a t t h e s y s t e m p e r f o r m s a c c o r d i n g t o t h e o r i g i n a l sp e c i fi c a ti o n s .

E c k e r a n d W i e b k i n g [9 ] c o n s i d e r s t h e d e s i g n i n g o f a c o n v e n t i o n a l ' o n c e - t h r o u g h ' c o n d e n s i n g s y s t e m f o ra s t e a m p o w e r p l a n t w h e r e th e t u r b i n e e x h a u s t s t e a m i s c o n d e n s e d i n a s u r f a c e - t y p e c o n d e n s e r a n d t h e

h e a t o f c o n d e n s a t i o n i s c ar r ie d a w a y b y c i r c u l a t i n g w a t e r. I n t h e d e t e r m i n i s t i c c as e , th e p r o b l e m i s

f o r m u l a t e d a s a g e o m e t r i c p r o g r a m w h e r e i n t h e o b j e c t iv e i s t o d e t e r m i n e t h e e x h a u s t p r e s s u re a n d t h e s iz es

o f t h e t u r b i n e e x h a u s t a n n u l u s a n d t h e c o n d e n s e r s u c h t h a t t h e a n n u a l t o t a l c o s t i s m i n i m i z e d . W i e b k i n g

[1 2] c o n s id e r s a t w o - s t a g e s t o c h a s ti c g e o m e t r i c a p p r o a c h t o t h e a b o v e p r o b l e m w h e n t h e e l ec t ri c al o u t p u t ,

o p e r a t i n g t i m e , th e r a t e o f d e p r e c i a t io n , u n i t f u e l c o s t a n d a f e w o t h e r c o s t d e m e n t s a r e a s s u m e d t o b e

d i s c r e t e r a n d o m v a r i a b l e s . U n f o r t u n a t e l y , t h e d e t e r m i n i s t i c g e o m e t r i c p r o g r a m e q u i v a l e n t f o r t h e s e

p r o b l e m s i s s u c h t h a t t h e c o m p u t a t i o n a l b u r d e n i n s o l v i n g t h e m i s o f t e n q u i t e p r o h i b i t i v e . C o n s e q u e n t l y ,

W i e b k i n g [ 1 2] d e v e l o p s m e t h o d s f o r c a l c u l a t in g a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s u s i n g u p p e r a n d l o w e r b o u n d s o n

t h e m i n i m u m e x p e c t e d v a l u e o f t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n .

H o w e v e r , b y f o r m u l a t i n g t h e g e n e r a l S G P m o d e l a s a m u l t i p l i c a t i v e r e c o u r s e m o d e l w e s h o w t h a t t h e

d e t e r m i n i s t i c e q u i v a l e n t p r o b l e m c a n b e s o l v e d as a c o n v e x p r o g r a m . T h e r e s u l t s o f th i s p a p e r c a n t h e n b e

s p e c ia l iz e d t o t h e p r o b l e m o f d e s i g n i n g a c o n d e n s i n g s y s t e m , w h i c h i s s t a t e d i n [1 2].

2 . S G P m o d e l f o r m u l a t i o n

W e s t a rt w i t h t h e d e t e rm i n i s ti c g e o m e tr ic p r o g r a m m i n g m o d e l :

M i n i m i z e g o ( x ) = x o

ri

s . t . g i ( x ) = ~ _, c i j p i j ( x ) <~ 1 , i = 1 . . . . . m ,j = l

x , > 0 , k = 0 , 1 . . . . . n ,

w h e r e

a n d

c u > O , p ~ j ( x ) = f i '~ 'J *k ,

k= O

(1 )

a o k E R , i = 0 , 1 . . . . . m , j = l . . . . . r i , k = 0 , 1 . . . . . n .

T h e c o n s t r a i n t f u n c t i o n g i ( x ) a r e c a l l e d p o s y n o m i a l s [ 8 ] .

T h e d u a l o f ( 1 ) i sm

M a x i m i z e V I ( c i j / ~ i j ) I - I ) ~ x / (2 )i , j i = 0

s . t . E S i j = X i , i = O , 1 . . . . . m ,

J

Y '~ a k ~ j S i j = O , k = O , 1 . . . . . n ,i~Oj=l

8 ij > ~ O , • o = 1 , ~ > ~ 0 , i = O , 1 . . . . , m , j = l . . . . . rs.

I f x * a n d ( h * , 8 * ) a r e re s p e c ti v e l y o p t i m a l s o l u t i o n s f o r ( 1) a n d ( 2 ), t h e n t h e y a r e r e l a te d b y t h e f o l lo w i n g

e qua t i ons ( s e e [4 ] ) :

x, '¢ , : ,j (x*)/g , ( x * ) =

100



Volume 9 , Number 2 OPERATIONS RESEARCH LETTERS March 1990

T h u s 0 ~ = 8, j/ ) ~; r e p r e s e n t s t h e re l a ti v e c o n t r i b u t i o n o f t h e o p t i m a l v a l u e o f th e j - t h t e r m i n r e l a t i o n t o

t h e o p t i m a l v a l u e o f t h e p o s y n o m i a l , g ~ ( x * ) . T h e n 5 " . j 0 ~ = 1 .

S G P mo d e l i n te r p re t a ti o n

W e m a k e t h e f o l l o w i n g a s s u m p t i o n s r e g a r d i n g t h e s t o c h a s t i c n a t u r e o f c~ j a n d a ~/~ o f (1 ) .

( A 1 ) L e t c~ = (c~1 . . . . c ~ ,) , i = 1 . . . . . m , b e a n r ~ - d im e n s i o n a l p o s i t i v e r a n d o m v e c t o r w i t h a k n o w n j o i n t

d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n F ~, i .e . , F / ( t ) = P ( c , ~ t ) . L e t Ec~ = ~/~, w h er e 17~ I < ~ -

( A 2 ) L e t a , / = ( a i j a . . . . a ~ jn ) b e a n n - d i m e n s i o n a l v e c t o r w i t h a k n o w n j o i n t d i s t r i b u ti o n f u n c t i o n

G i j ( s ) = P ( a i j ~ s ) f o r a l l ( i , j ) . L e t E a i j = I£ij, w h e r e [l~ij [ < oo.

( A 3 ) ( cg } a n d { ai j } a r e i n d e p e n d e n t r a n d o m v a r i a b l es .

L e t t h e des ign var iab les ( f i rs t s t a g e d e c i s i o n v a r i a b l e s ) o f t h e m o d e l b e x k , k = 0 , 1 . . . . . m , a n d O~j,

j = 1 . . . . . r~ a n d i = 1 . . . . m . H e r e O~j r e p r e s e n t s t h e r e l at iv e c o n t r i b u t i o n o f t h e j - t h m o n o m i a l t e r m

c ~ j p i j ( x ) i n t h e o p t i m a l s o l u t i o n i n r e l a ti o n t o t h e o p t i m a l v a l u e o f th e p o s y n o m i a l g , ( x ) . T h e n EjO~j = 1 .

L e t u s r e c a s t t h e g e o m e t r i c p r o g r a m ( 1) a s

M i n i m i z e x 0 ( 3 )

s . t . c i / P i / ( x ) O i ] 1 ~< 1 ,

( i = l . . . . . m; j i = l . . . . . r )

E O , / = 1 ,

J

x ~ > 0 , k = 0 , 1 . . . . . n .

T h e d e s i g n e n g i n e e r c h o o s e s t h e d e s i g n v a r i a b l e s x a n d 8 ~ j f i r s t a n d t h e n o b s e r v e s t h e r a n d o m v a r i a b l e s

( C i ) a n d { a i j ).

I t is c l e a r t h a t t h e f i r s t s t a g e d e c i s i o n v a r i a b l e s x a n d Oij c a n n o t b e d e t e r m i n e d i n a d v a n c e i n su c h a

w a y t h a t t h e c o n s t r a i n t s , c , j p, j ( x )O ~ ] a ~< 1 a r e s a t i s f i e d w i t h p r o b a b i l i t y o n e , w h e r e x = ( X o , X 1 . . . . x n ) .

L e t t h e o b s e r v e d v a l u e s o f c ~ a n d a i j b e c i = ?i a nd a~j = a i j . T h e n d e f i n e f f i j ( x ) = l - l ~ = o X k ~ i /k .

W e n e e d t h e o p e r a t i n g v a r i a b l e ( s e c o n d s t a g e r e c o u r s e v a r i a b l e ) t g j t o c o r r e c t p o s s i b l e v i o l a t i o n o f t h ec o n s t r a i n t s ( 3 ) . S p e c i f i c a l l y , l e t

t i j = [ ~ i j P i j ( x ) O i - j l ] , (4 )

N o t e t h a t t i j ~< 1 if a n d o n l y i f t h e r e i s n o n e e d f o r a n y c o r r e c t i v e a c t i o n . A l s o t , / > 1 r e p r e s e n t s i n a

p r o p o r t i o n a l s e n s e t h e a m o u n t o f v i o l a t io n o f t h e c o n s t r a i n t s ( 3 ) . C l e a r l y t h e c o s t q ~ (t~ j) o f t a k i n g t h e

c o r r e c t i v e a c t i o n tg j s h o u l d s a t i s f y t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

(i ) q~(t~j) -- 0 i f t~j ~< 1 , a n d

( i i ) ~ ( t ~ / ) i n c r e a s e s a s t ~ j i n c r e a s e s .

I n t h i s p a p e r , w e a s s u m e t h e f o l l o w i n g p a r t i c u l a r p e n a l t y f u n c t i o n : q > (t ,j ) = a i j [ l n ( t , j ) ] +, w h e r e a ~j > 0 f o r

a l l i , j , a n d [ u] + = m a x ( u , 0) . T h e n t h e e x p e c t e d v a l u e o f t h e p e n a l t y c o s t d u e t o t a k i n g s e c o n d s t a g e

c o r r e c t i v e a c t i o n i s E ( a ~ j [ l n ( c ~ j p ~ j ( x ) O ~ ) ] + ) , w h e r e t h e e x p e c t a t i o n E i s w i t h r e s p e c t to t h e r a n d o m

v a r i a b l e s c~j and a i j k .

N o w w e a r e i n a p o s i t i o n t o s t a t e t h e S G P m o d e l w i t k m u l t i p l i c a t i v e r e c o u r s e :

x o + Y ' ~ E { a , j [ l n ( c , j p , j ( x ) O g j a ) ] + ) (5 )i n i m i z ex,O i,j

s . t . E ( E c i j p i j ( x ) ) ~ < 1 , i = 1 . . . . , m , ( 6)- j

EO,+=I, i = 1 . . . . . m ,

J

O~j >~O, j - - 1 . . . . . r~, i = 1 . . . . . m ,

x k > 0 , k = 0 , 1 . . . . . n .

101



Volume 9, Num ber 2 OPERATION S RESEAR CH LETTERS March 1990

N o t e t h a t c i j P i j ( X ) ~ CijI - IkX~ '# . Th e e x p e c t a t i o n o p e r a t o r E i n (5 ) a n d ( 6 ) i s w i t h r e s p e c t t o t h e r a n d o m

v a r i a b l e s ( c i j ~ } a n d { a i j k } . T h e c o n s t r a i n t s ( 6 ) a r e i n t r o d u c e d t o e n s u r e t h a t f o r a n y f e a s i b l e c h o i c e o f x

t h e a v e r a g e v a l u e s o f t h e p o l y n o m i a l s a r e l e s s t h a n o r e q u a l t o o n e .

D e f i n e

1 +q , j ( x , O i + ) = E [ i n ( c , j p i / ( x ) O i S ' ) ] + = E [ l n £i j + } 7 _ , a i j k h i x ~ - l n 0i. , , ( 7 )[ k

E [ E c ~ j p i j ( x ) ] = E T i j E ( e E k a ' / k l n x k ) = E y i j M i j ( l n x o . . . . . I n x n ) , ( 8 )

t + / J J

w h e r e ~ 'i j = E c q > 0 , a n d

M i j ( t 1 . . . . t , ) = e ( e ~ktka'+ k } ( 9 )

i s t h e m o m e n t g e n e r a t i n g f u n c t i o n o f th e k - v e c t o r a i j . T h e r e s u l t ( 8 ) f o l l o w s f r o m ( A 3 ) .

T h e d e t e r m i n i s t i c e q u i v a l e n t m o d e l ( 5 ) c a n b e r e c a s t a s

M i n i m i z e x o + ~ . a i j ~ / i j ( X o . . . . . x , , O i j) ( 1 0 )x , O i , j

s . t . Z Y i j M i j ( l n x 0 . . . . . I n X , ) ~< 1 , i = 1 . . . . . m ,

J

~ . , O i j = l , O ij> ~ O , x k > 0 f o r a l l ( i , j , k ) .

J

L e t t i n g z k = I n x k , k = 0 ,1 . . . . . n , w e h a v e t h e f o l l o w i n g e q u i v a l e n t n o n l i n e a r p r o g r a m , w h o s e d e c i s i o n

v e c t o r i s ( z , 0 ) :+

M i n i m i z e,0 eZ° + E etiJE [ In cij + E a ijkZk - ln Oij ( 1 1 )

s . t . Y ; v , j M i + ( Z o . . . . . z . ) < l , i = 1 . . . . . m ,J

E S q = l , O q > l O f o r a l l ( i , j ) .

J

T h e o r e m 1 . P r o b l e m ( 1 1 ) i s a c o n v e x p r o g r a m in ( z , 0 ) .

P r o o f . B y d e f i n i t io n , t h e m o m e n t g e n e r a t i n g f u n c t i o n i s c o n v e x in ( z , 0 ) . A l s o , si n c e OLij > 0 , t h e o b j e c t i v e

f u n c t i o n c a n b e e a s i ly v e r i f i e d t o b e c o n v e x i n ( z , 0 ) . [ ]

R e m a r k 1 . P r o b l e m ( 1 1 ), b e i n g a c o n v e x p r o g r a m , h a s t h e d e s i r a b l e p r o p e r t y t h a t a l o c a l m i n i m u m i s a l s o a

g l o b a l m i n i m u m . I f t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s F a n d G a r e a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s , t h e n t h e o b j e c t i v ef u n c t i o n o f ( 1 1 ) i s a ls o c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e .

R e m a r k 2 . A c o n v e n i e n t s e t o f a s s u m p t i o n s , w h i c h w e m a k e i n S e c t i o n 3 r e g a r d i n g t h e s t o c h a s ti c n a t u r e o f

c i j a n d a i j k , i s t h a t { I n c ij } a n d { aij t , } a r e n o r m a l l y d i s t ri b u t e d w i t h k n o w n m e a n v e c t o r s a n d c o v a r i a n c e

m a t r i c e s .

R e m a r k 3 . S u p p o s e In c i j a n d a i j -~ ( a i j 1 . . . . a i j n ) h a v e a j o i n t discre te d i s t r i b u t i o n .

S p e c i fi c a ll y , f o r a l l ( i , j ) , P r ( l n c i j - - l n c i j q , a i / = a q j ) = ¢ r i q j , w h e r e

Z ff/'iq= 1 , $'riq ~ 0 , q = l . . . . . n i j .q

102



V o l u m e 9 , N u m b e r 2 O P E R A T I O N S R E S E A R C H L E T T E R S M a r c h 1 9 90

T h e n P r o b l e m ( 1 1 ) r e d u c e s t o t h e convex separab le p r o g r a m

M i n i m i z e e Z ° + ~ (a i jY '~ 7 r i q w i j - q ) ( 1 2 )

t , j q "

s . t . In Cijq + E a q j k z k In 0 i j + Wijq - Wi jq = 0 for a l l ( i , j , q ) , (13)

E('Yij'r'l'iqeZ'*aq'J*z*)<~l, i = 1 . . . . . m , ( 1 4 )J,q

E 0 ~j = 1 fo r a l l i , ( 1 5 )

J

0 i j > / 0 f o r a l l ( i , j ) , ( 1 6 )

wi ]q , w~7 >1 0 f o r a l l ( i , j , q ) , ( 1 7 )

w h e r e 7 q = ~~qClriqcijq.P r o b l e m ( 1 2 ) c a n b e s o l v e d u s i n g a n a p p r o x i m a t e L P p r o b l e m ( s e e B a z a r a a a n d S h e t t y [ 4 ] , p p .

4 5 3 - 4 7 1 ) . A g o o d s t a r t i n g s o l u t i o n i s o b t a i n e d b y m i n i m i z i n g t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n ( 1 2 ) s u b j e c t t o ( 1 3 ) ,

( 1 5) , (1 6 ) a n d ( 1 7) . B e c a u s e o f t h e n a t u r e o f t h e p e n a l t y c o s t s i n ( 12 ) , s e v e ra l o f t h e c o n s t r a i n t s i n ( 1 4) a r e

e x p e c t e d t o b e s a t i s f i e d a u t o m a t i c a l l y f o r t h e a b o v e s t a r t i n g s o l u t i o n .

3 . A s p e c i a l c a s e

W e n o w m a k e t h e f o l l o w i n g s p e c i f i c a s s u m p t i o n s r e g a r d i n g t h e d i s t r i b u t i o n s F a n d G , w h i c h a r e i n

a d d i t i o n t o t h e A s s u m p t i o n ( A 3 ) s t a t e d e a r l i e r .

( A 4 ) T h e r a n d o m v a r ia b l e s ln { c i j } a r e n o r m a l l y d i s t r i b u t e d w i t h m e a n m q a n d v a r i a n c e s 2 .

( A 5 ) T h e r a n d o m v a r i a b l e s ai j = { a i j k } h a v e a m u l t i v a r i a te n o r m a l d i s t r i b u t i o n w i t h m e a n t ' i / = { # i /k }

a n d c o v a r i a n c e m a t r i x V q .

I n t h i s c a s e t h e r a n d o m v a r i a b l e l n c i j + Y . k a i j k z k - - l n O q h a s a n o r m a l d i s t r i b u t i o n w i t h m e a nI~ij(Z, Oij = mij "4 - ~ . ~ k P i j k Z k - - l n O i j a n d v a r i a n c e o 2 ( z ) = s 2 + z ' V i j z , w h e r e z ' = ( Z o , Z 1 . . . . z , ) . T h e n w e

c a n d e r i v e t h e f o l l o w i n g r e s u l t s :

~ i j ( Z ' O i j ) = E [ l n C i j q - E a i j k Z k - In Oij ] +

= l , i j ( z , O i j ) [ 1 - N ( - l a i j ( z , O i j ) / O i j ( Z ) ) ] + % ( z ) [ n ( • , , ( z , O , ,) / % ( z ) ) ] ,

w h e r e

N ( t ) = f ' e - : = / 2 d u / 2 ¢ ~ ,- - 0 0

v , , = e I c . ] =

1 2- - e x p ( m i j + i $ , j ),

S o P r o b l e m ( 1 1 ) r e d u c e s t o t h e c o n v e x p r o g r a m

M inim ize e ~° + E a i j ~ i j ( Z , O i j )z , O i , j

P 1 ts . t . Y' . e x p ( m i j + ½ s ~ + z # i j + ~ z V q z ) < l ,

J

Y ' O i j = l , O ij> ~O f o r a l l ( i , j ) ,

J

w h e r e ¢ ( . ) i s d e f i n e d i n (1 8 ).

n ( t ) = e - ' 2 / 2 / 2 ~ '

l 1 PM i j ( z ) = e x p ( z # i j + ~ z V q z ) .

i = l , . . . , m ,

( 1 8 )

( 1 9 )

(20)

10 3



Vol ume 9 , Num ber 2 OPER ATION S RESEARCH LETTERS March 1990

C o m p u t a t i o n a l c o n s id e r a ti o n s

D e n o t e t h e o b j e c t iv e f u n c t i o n o f P r o b l e m ( 1 9) a s H ( z , 8 ) a n d t h e c o n s t r a i n t f u n c t i o n s i n (2 0 ) a s g i ( z ) .

T h e n t he c o n v e x p r o g r a m ( 18 ) c a n b e s t a te d a s

M i n i m i z e H ( z , 8 ) ( 2 1 )

s . t . g i ( z ) < ~ l , i = l . . . . . m ,

F . , o , + = 1 , a , j > i o fo r a l l ( i , j ) . ( 2 2 )

W e n o t e t h a t H ( z , 8 ) a n d g i ( z ) a r e c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n ti a b l e a n d c o n v e x f u n c t i o n s o f z ~ R " ÷ 1 a n d

8 ~ R ~ r' G i v e n t h e s t a n d a r d n o r m a l t a b l e v a l u e s o f t h e f u n c t i o n s N ( t ) a n d n ( t ) , t h e n u m b e r o f a r i t h m e t i c.

o p e r a t i o n s n e e d e d t o c o m p u t e t h e fu n c t i o n a l v a lu e s o f H ( z , 8 ) a n d t h e g r a d i e n t s V z H ( z , O ), V o H ( z , 8 )

a n d x T ~ g i ( z ) i s n o t m u c h .

T h e e x p r e s s i o n s f o r t h e g r a d i e n t s a r e a s f o ll o w s :

0 0 , j 0 , j ) = 1 ] / 0 , j ,

0 , ; ) = [ 1 - +

V z H ( Z , O ) = ( e z ° 0 0 * * . O ) T - l - E u t i j V z ~ i j ( Z , O i j ) ,i , j

OH (z, O) 0 , + )80 i j = a i j ~ )Oij

T h e g r a d ie n t s V : g i ( z ) c a n b e e a s il y d e r iv e d .

T h e r e a r e s e v e ra l fe a s i bl e d i r e c t io n m e t h o d s a v a i l a b le f o r s o l v i n g P r o b l e m ( 21 ). F o r e x a m p l e , t h e

m e t h o d o f R o s e n a n d K r e u s e r, w h i c h u se s a p e n a l t y f u n c t i o n - L a g r a n g i a n a p p r o a c h a n d h a s a q u a d r a t ic

r a t e o f c o n v e r g e n c e , o r t h e g e n e r a l i z e d r e d u c e d g r a d i e n t m e t h o d s e e m s t o b e a p p r o p r i a t e . S e e p . 4 5 3 a n d

p p . 4 7 4 - 4 7 7 o f A v r i e l [3 ] f o r d e ta i ls . A s w e s t a t e d e a r h e r , a g o o d s t a r t in g s o l u t i o n c a n b e o b t a i n e d b ym i n i m i z i n g ( 2 1 ) s u b j e c t t o t h e l i n e a r c o n s t r a i n t s ( 2 2 ) .

G i v e n a n o p t i m a l s o l u t i o n f o r ( 21 ), a n o p t i m a l s o l u t i o n f o r t h e d e t e r m i n i s t i c e q u i v a l e n t m o d e l ( 1 0 ) c a n

b e d e r i v e d u s i n g t h e t r a n s f o r m a t i o n x k = e ~*.

R e f e r e n c e s

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