HANDOUT KULIAH

OPTIK NONLINIER

Oleh:

DR. Ayi Bahtiar, M.Si.

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PADJADJARAN BANDUNG

2005

BAB 1. PENDAHULUAN

Y.R. Shen. Principles of Nonlinear Optics.

Physics would be dull and life most unfulfilling if all physical phenomena around us were linear. Fortunately, we are living in nonlinear world. While linearization beautifies physics, nonlinearly provides excitement in physics.

Observasi pertama efek optik nonlinier

Frequency doubling pada laser Ruby (λ = 694,3 nm), menghasilkan panjanggelombang baru (λ = 347,2 nm)

P.A. Franken, A.E. Hill, C.W. Peters and G. Weinreich, Phys. Rev. Lett. 7 (1961) 118

OPTIK LINIER

Polarisasi dalam medium : P = - N e∆X

Awanelektron

∆X

E

Atom paling sederhana:

N = jumlah elektron

E = muatan elektron (1,6. 10-19 C)

P = ε0 χ(1)E

Polarisasi dalam medium dielektrik

ε0 : permitivitas udara

χ(1) : suseptibiltas listrik

Hubungan sifat optik bahan dan suseptibilitas:

n0 = 1 + 4πχπχπχπχ(1)

n0 : indeks bias linier dari bahan

OPTIK NONLINIER

{ }EEEEEEP )3()2()1(0 rrrrrrr ⊗⊗χ+⊗χ+χε=Polarisasi dalam medium optik nonlinier

χ(2) : Suseptibilitas listrik/optik orde kedua

χ(3) : Suseptibilitas listrik/optik orde ketiga

Suseptibilitas χ(n) adalah kompleks, yang terdiri bagian riil Re[χ(n)] dan imajinerIm[χ(n)]

]Im[i]Re[ )n()n()n( χ+χ=χ

Pandang suatu medan listrik untuk suatu gelombang bidang yang menjalar padasumbu-z dan mempunyai frekuensi ω dan vektor gelombang k = 2π/λ

( ) )kztcos(EE 0 −ω=ω

{ }...EEEEEEP )3()2()1(0 +⊗⊗χ+⊗χ+χε= rrrrrrr

( ) ( )...E),,;(KE),;(KE);(P 3)3()3(2)2()2()1(0 +ωω−ωω−χ+ωωω−χ+ωω−χε=ω rrrr

[ ] −ω+ωωω−χ+−ωωωχε= )kz2t2cos(1

2

1E),;(K)kztcos(E);(P 20

)2()2(0

)1(0

−ω+−ωωωωω−χ+ )kz3t3cos(4

1)kztcos(

4

3E),,;(K 30

)3()3(

K(n) adalah faktor numerik yang berkaitan dengan proses optik nonlinier danjumlah permutasi frekuensi yang dapat dibedakan [Butcher’92]

Tampak bahwa ada tiga buah frekuensi yakni ω, 2ωω, 2ωω, 2ωω, 2ω dan 3ω3ω3ω3ω

)kztcos(EE),,;(4

3K);()(P 0

20

)3()3()1(0 −ω

ωωωω−χ+ωω−χε=ω

[ ])kz2t2cos(1E),;(K2

1)2(P 20

)2()2(0 −ω+ωωω−χε=ω

)kz3t3cos(E),,;(K4

1)3(P 30

)3()3(0 −ωωωωω−χε=ω

� Suku pertama dalam P(ωωωω) berkaitan dengan indeks bias linier dan suku keduamenghasilkan indeks bias yang bergantung pada intensitas cahaya n(I).

� P(2ω2ω2ω2ω) menghasilkan beberapa efek penting a.l: frequency doubling/second-harmonic generation (SHG), dan sum- and difference-frequency generation.

� Bagian yang tak bergantung pada frekuensi dalam P(2ω2ω2ω2ω) disebut optical rectification.

� P(3ωωωω) berhubungan dengan third-harmonic generation (THG).

SIMETRI INVERSI

Suatu medium mempunyai simetri inversi, jika memenuhi:

( )rA)r(A rrrr −=−

A. Polarisasi orde kedua: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rErErE)r(P 2222 rrrrrrr χ≈⊗χ=Untuk medium yang mempunyai simetri inversi harus berlaku:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )rErErErP 2222222 rrrrr χ=−χ=−χ=− …..(1)( )( ) ( ) ( )rErP 222 rr

rχ−=− …..(2)

Dengan demikian, maka: ( )( ) ( )( )rPrP 22 rrrr −=−

( )( ) ( )( )rPrP 22 rrrr −=−

jika nilai χ(2) = 0

Medium yang mempunyai simetri inversi, tidak memiliki suseptibilitas orde keduaatau χ(2) = 0. Medium tersebut dinamakan medium/bahan centro-symmetric.

SIMETRI INVERSI (LANJ.)

• Contoh bahan centro-symmetric: NaCl, Polimer PPV dll.

n

Polimer PPV

AD

Noncentro-symmetric, karena antaraakseptor (A) dan donor (D) merupakanmolekul yang berbeda, sehingga χ(2) ≠ 0.

B. Polarisasi orde ketiga:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rErErErE)r(P 3233 rrrrrrrrrr χ≈⊗⊗χ=Medium centro-symmetric (memiliki simetri inversi).

( )( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )rErErP 33323 rrrrr χ−=−χ=− …..(1)( )( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )rErErP 33333 rrrrr χ−=χ−=− …..(2)

Jelas dari pers. (1) dan (2), maka: ( )( ) ( )( )rPrP 33 rrrr −=−

Medium centro-symmetric memiliki suseptibilitas orde ketiga, χ(3) ≠ 0.

Medium noncentro-symmetric (tidak memiliki simetri inversi), memilikisuseptibilitas orde ketiga.

Semua medium mempunyai suseptibilitasorde ketiga, bahkan udara sekalipun.

BAB 2. SUSEPTIBILITAS LISTRIK/OPTIK

(MODEL LORENTZ)

Dalam model ini, elektron-elektron dalam suatu medium dipengaruhi oleh gaya luar yang menyebabkan elektron-elektron berpindah. Gerakan elektron-elektron diimbangioleh gaya ikat. Akibatnya terjadi gerakan harmonik darielektron yang dapat diilustrasikan dengan osilator harmonikteredam.

e-

Fr

Er

x

e-

OPTIK LINIER

Persamaan gerak dari osilator teredam (konstanta redaman γ) dalam satu dimensidapat diperoleh dari Hukum Newton II.

)ee(Em

ex

dt

dx2

dt

xd titi0

202

2ω−ω +−=ω+γ+

x = perpindahan elektron dari keadaan kesetimbangan.ω0 = frekuensi intrinsik osilatorγ = koefisien redaman (berkaitan dengan kerugian/loss optik linier)e dan m adalah muatan dan massa elektron.

)ee(E)t(E titi0ω−ω +=Dimana : adalah medan listrik

]i)([m2

eE

]i2)[(m

eEx

Em

exi2x)(

0022

0

0

022

0

ωγ+ω−ωω−≈

ωγ+ω−ω−=

−=ωγ+ω−ω

Dengan aproksimasi di dekat resonansi ω=ω0

)(2))(()( 000022

0 ω−ωω≈ω−ωω+ω=ω−ω

Polarisasi dalam medium dengan jumlah elektron N diberikan oleh:

E)(E]i)([m2

NeNex)(P 0

00

2

ωχε=ωγ+ω−ωω

=−=ω

Suseptibilitas optik linier dalam medium:

)(i)(')( " ωχ−ωχ=ωχ

]/)(1[

1

m2

Ne)("

]/)(1[

/)(

m2

Ne)(

22000

2

220

0

00

2'

γω−ω+γεω=ωχ

γω−ω+γω−ω

γεω=ωχ

Bagian riil dari suseptibilitas berkaitan dengan dispersi indeks bias n(ω) dari medium, sedangkan bagian imajinernya berkaitan dengan dispersikoefisien absorpsi α(ω), melalui:

)(' ωχ)(" ωχ

)(")(n2

)(

)('41)(n

ωχω

π=ωα

ωπχ+=ω

α(ω)

[a.u

.]

ω [a.u.]n(

ω)ω [a.u.]

Model osilator harmonik menawarkan model klasik yang baik untukmenjelaskan asal suseptibilitas optik linier. Namun, model ini tidak dapatdigunakan untuk kasus optik nonlinier.

Dalam optik linier, gaya penyeimbang (restoring force) sebanding denganperpindahan elektron dari keadaan setimbang.Jika medan listrik cukup kuat, maka perpindahan akan menjadi besar, sehingga restoring force tidak lagi sebanding dengan perpindahan, tetapiakan sebanding dengan pangkat dua, pangkat 3 dari perpindahan dst.

Dalam kasus ini, model osilator harmonik harus diperluas menjadi model tak-harmonik (anharmonic), sehingga suseptibilitas optik nonlinier dapatditunkan.In

OPTIK NONLINIER

SUSEPTIBILITAS ORDE KEDUA

Persamaan geraknya dapat digambarkan oleh:

)ee(Em

eBxx

dt

dx2

dt

xd titi0

2202

2ω−ω +−=−ω+γ+

dimana Bx2 adalah anharmonic restoring force. Kita gunakan solusi yang mengandung bagian harmonik kedua:

)2()1(t2i*)2(t2i)2(ti*)1(ti)1( xxeAeAeAeAx +=+++= ω−ωω−ω

)ee(Em

ex

dt

dx2

dt

xd titi0

)1(20

)1(

2

)1(2ω−ω +−=ω+γ+

Substitusi kedalam pers. gerak diatas menghasilkan:

0)x(Bxdt

dx2

dt

xd 2)1()2(20

)2(

2

)2(2

=−ω+γ+

Karena polarisasi dan perpindahan dalam kasus nonlinier adalah:

)2(NexP −=

.c.ce.Ax t2i)2()2( += ω

Maka: )cce.(i44

B

]i2)[(

1

m

ENe)2(P t2i

220

2220

2

20

3

+ωγ+ω−ωωγ+ω−ω

=ω ω

Dari hubungan polarisasi dan suseptibilitas:

20

t2i)2( E)cce)(,;2()2(P +ωωω−χ=ω ω

Maka diperoleh:ωγ+ω−ωωγ+ω−ω

=ωωω−χi44

B

]i2)[(

1

m

Ne),;2(

220

2220

2

3)2(

suseptibilitas diatas berkaitan dengan pembangkitan harmonik kedua (2ω = ω + ω).

♠ Model anharmonik ini dapat juga untuk menunjukkan kasus sum frequency generation (SFG) (ω1 + ω2) and the difference frequency generation (DFG) (ω1− ω2).

♠ Pers. Diatas menunjukkan bahwa resonansi tidak hanya terjadi pada frekuensifundamental ω = ω0, tetapi juga pada 2ω = ω0 (two-photon resonance)

ATURAN MILLER

Miller [1] menemukan aturan empirik bahwa:

)()()2(

)2()1(

kk)1(

jj)1(

ii

)2(ijk)2(

ijk ωχωχωχωχ

=δ ω

[1] Miller, R.C., Optical second harmonic generation in piezoelectric crystals, Appl.Phys.Lett. 5(1964), p.17.

2)1(j

)1(

)2()2(

)]()[2(

)2(

ωχωχ

ωχ=δ ω

Persamaan diatas dapat direduksi kedalam 1-dimensi:

δ(2ω) disebut dengan delta Miller.

SUSEPTIBILITAS ORDE KETIGA

)ee(Em

eCxx

dt

dx2

dt

xd titi0

3202

2ω−ω +−=−ω+γ+

Sama halnya seperti dalam orde kedua, persamaan gerak untuk orde ketiga adalah:

)3()1(t3i)3(3

ti)3(ti)1( xx)cceA()cceA()cceA(x +=+++++= ωωω

ωω

ω

Pandang solusi coba-coba (trial):

)ee(Em

ex

dt

dx2

dt

xd titi0

)1(20

)1(

2

)1(2ω−ω +−=ω+γ+

0)x(Cxdt

dx2

dt

xd 3)1()3(20

)3(

2

)3(2

=−ω+γ+

Diperoleh:

Dengan menggunakan hubungan antara polarisasi dan suseptibilitas orde ketiga:

]cceE),,;([]cceE),,;3([P ti30)3(t3i3

0)3( +ωω−ωω−χ++ωωωω−χ= ωω

akan menghasilkan suseptibilitas harmonik ketiga:

]i3)3([]i)[(

C

m

e

4

N),,;3( 22

0322

03

4)3(

ωγ+ω−ωωγ+ω−ω

=ωωωω−χ

])()[(2]i)[(

C

m

e

4

N3),,;(

22220

220

3

4)3(

ωγ+ω−ωωγ+ω−ω

=ωω−ωω−χ

Persamaan (*) menyatakan bahwa memiliki resonansi padafrekuensi fundamental ω=ω0 dan harmonik ketiga 3ω = ω0.

Ungkapan untuk dapat ditulis ditulis dengan bantuan delta Miller dengan mengeliminasi faktor sehingga:

),,;3()3( ωωωω−χ

……….(*)

……….(**)

),,;3()3( ωωωω−χωγ+ω−ω i)( 220

3)1()1(43

)3( )]()[3(CeN4

m),,;3( ωχωχ=ωωωω−χ

Untuk memperoleh nilai koefisien C, kita dapat berasumsi bahwa jikaperpindahan x dan jarak atom s adalah sama besarnya, maka restoring force untuk harmonik dan tak-harmonik mempunyai nilai yang sama, sehingga:

320 Css =ω

ω=

ω

=ωωωω−χ

3

4

60

280

3

4)3(

m

e

s4

NC

m

e

4

N),,;3(

Persamaan (*) menjadi:

Dengan nilai s = 0.3 nm, ω0 = 1016 rad/s dan N = 6 x 1022 /cm3, diperoleh

esu10x1),,;3( 150)3( −

→ω =ωωωω−χ

yaitu rentang nilai suseptibilitas orde ketiga yang reasonable suatu material.

Persamaan(**) berkaitan dengan proses degenerate four-wave mixing (DFWM) dimana dua foton yang merambat secara berlawanan menghasilkan suatu polagrating dalam medium dan foton ketiga akan terhambur keluar dari grating.

Bagian riil dan imajiner bertanggungjawab dalam proses self-focusing dan two-photon absorption.

Walaupun model klasik osilator harmonik dan tak-harmonik dapat

memperkirakan beberapa perilaku respon optik linier dan nonlinier

dari suatu medium, model tersebut masih jauh dari cukup untuk

menjelaskan secara lengkap tentang fenomena-fenomena

eksperimen yang teramati.

Salah satu masalah dalam model klasik adalah bahwa model ini

hanya memiliki frekuensi karakteristik (fundamental) ω0 , sedangkan

dalam sitem riil terdiri dari molekul-molekul dengan jumlah keadaan

tereksitasi yang besar. Karenanya perlu untum memperlakukan teori

mekanika kuantum dan menyelesaikan persamaan Schrödinger

dengan Hamiltonian khusus.

BAB 3. PERSAMAAN MAXWELL DALAM MEDIUM OPTIK

NONLINIER

PERSAMAAN MAXWELL DALAM MEDIUM OPTIK NONLINIER

Untuk memahami efek optik nonlinier, kita mulai dari persamaan Maxwell yang menggambarkan interaksi gelombang EM dengan medium:

0H

E

t

DjH

t

H

t

BE

0

=•∇

ερ=•∇

∂∂+=×∇

∂∂µ−=

∂∂−=×∇

rr

rr

rrrr

rrrr

( )Ej

EPED

HB

rr

rrvr

rr

σ=

χ+ε=+ε=

µ=

Polarisasi dalam medium akibat adanya medan listrik digambarkan oleh:

{ }

NLLIN

NL)1(0

)3()2()1(0

PP

PE

...EEEEEEP

rr

rr

rrrrrrr

+=

+χε=

+⊗⊗χ+⊗χ+χε=

( ) ( ) ( )

( )[ ]NL1022

2

2

0

2

2

2

2

0

0

PEtt

E

t

E

t

P

t

E

t

E

PEt

Et

Ht

E

rrrr

rrr

rrvrrrrr

+χε∂∂µ−

∂∂µε−

∂∂µσ−=

∂∂µ−

∂∂µε−

∂∂µσ−=

+ε∂∂+σ

∂∂µ−=×∇

∂∂µ−=×∇×∇

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]2

NL2

2

21

02

2

NL2

2

21

0

t

P

t

E1

t

EEE

t

P

t

E1

t

EE

∂∂µ−

∂∂χ+µε−

∂∂µσ−=∇−•∇∇

∂∂µ−

∂∂χ+µε−

∂∂µσ−=×∇×∇

rrrrrrr

rrrrrr

Jika bahan/medium tidak mempunyai sumber muatan bebas ρ = 0, maka:

2

NL2

2

22

t

P

t

E

t

EE

∂∂µ−

∂∂µε−

∂∂µσ−=∇

rrrr

Pers. diatas adalah persamaan gelombang EM dalam medium optiknonlinier, dimana permitivitas bahan didefinisikan sebagai:

( )[ ]10 1 χ+ε=ε

SATUAN DARI SUSEPTIBILITAS

Suseptibilitas listrik mempunyai satuan dalam SI

1n)n(

V

m−

⇒χ

Maka:

( )2)3()2(

)1(

V/m

V/m

?

⇒χ

⇒χ

⇒χ

Dalam sistem cgs:

( )[ ] ( )( )[ ]

28

n1n4

n

s/m10x3c

u.s.ec10

4SI

=

χπ=χ −− [ ] [ ]u.s.e10x4.1V/m )3(822)3( χ=χ −

Persamaan gelombang EM dalam medium NLO:

2

NL2

2

22

t

P

t

E

t

EE

∂∂µ−

∂∂µε−

∂∂µσ−=∇

rrrr

Asumsikan ada dua buah gelombang bidang yang merambat sepanjang sumbu-z, melewati bahan NLO, maka:

ωωωω1

ωωωω2

ωωωω3 = ωωωω1 + ωωωω2NLO

ωωωω1111

ωωωω2222ωωωω3333

ωωωω3 = ωωωω1 - ωωωω2

Sum-Frequency Generation (SFG)

Difference-Frequency Generation (DFG)

SFG DFG

ωωωω1111

ωωωω2222

ωωωω3333

Secara umum medan listrik menjadi:

( ) ( ) ( )[ ]t2i2t1i1 eEeERetE ωω ω+ω= rrrPolarisasi dalam medium diberikan oleh: EP ijk

rrχ=

(a). Sum-Frequency Generation:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }t21i2k1j21ijk21i e.EEReP ω+ωωωω+ω=ωχ=ω+ω(b). Difference-Frequency Generation:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( )2k2*k

t21i2

*k1j21ijk21i

EE

e.EEReP

ω−=ω

ωωω−ω=ωχ=ω−ω ω−ω

Dengan demikian, maka:

( ) ( ) ( )

( ) ( )z2k1kit21i21

z2k1kit21i21

)2(ijk

NL

e.e).z(E)z(E.d

e.e).z(E)z(E2

1t,zP

+−ω+ω

+−ω+ω

=

χ=r

)2(ijk2

1d χ=

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]zktiexp)z(Et,zE

zktiexp)z(Et,zE

2222

1111

−ω=−ω=

Gelombang-gelombang bidang tersebut adalah:

Asumsikan suatu medan listrik baru dengan frekuensi ω3 = ω1 + ω2 (SFG):

( ) ( )[ ]zktiexp)z(Et,zE 3333 −ω=

Dengan subsitusikan kedalam pers. gelombang, maka:

2

NL2

323333

23

332

32

t

PEEiEk

dz

dEik2

dz

Ed

∂∂µ=µεω+µσω−−−r

Bila variasi amplitudo E3 terhadap jarak z kecil atau disebut slowly varying amplitude (SVA) approximation:

( )dz

)t,z(dEik2

dz

t,zEd 332

32

2

NL2

333

3t

PEi

dz

dEik2

∂∂µ−=µσω+r

……………………….(1)

Suku di ruas kanan dalam pers. (1) dapat diuraikan menjadi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )z2k1kit3i2123

z2k1kit21i21

2212

NL2

e.ezEzE.d

e.ezEzE.dt

P

+−ω

+−ω+ω

µω−=

ω+ωµ−=∂

∂µr

……………….(2)

Dari pers. (1) dan (2), diperoleh:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )z2k1ki2123z3ik33z3ik33 ezEzE.dezEiedzzdE

ik2 +−−− µω=µσω+

Dengan menggunakan hubungan: ( )

33

3

ii

ii

k

k

εµ=µω

ωµε=ω

Maka akan diperoleh tiga buah persamaan:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )z3k2k1ki*313

3*2

2

*2

z1k2k3ki*23

1

11

1

1

z3k2k1ki21

3

33

3

3

ezEzE.d2

izE2dz

zdE

ezEzE.d2

izE2dz

zdE

ezEzE.d2

izE2dz

zdE

−+−

−−−

−+−

εµω+

εµσ−=

εµω−

εµσ−=

εµω−

εµσ−=

Secara umum ki adalah vektor perambatan cahaya, dan besaran ∆k = k3 –k1-k2disebut vektor gelombang mismatch (wave vector mismatch).

BAB 4. SECOND HARMONIC GENERATION (SHG)

Second-Harmonic Generation dan Phase-Matching

ωωωω

ωωωω2ω2ω2ω2ω

ωωωω3333=ω=ω=ω=ω1111+ω+ω+ω+ω2222ωωωω1111

χχχχ(2)ωωωω2222

ω=ωω=ω=ω

23

21 ( )( )ωωω−χ ;;22

Bentuk umum:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )z3k1k2i213

33

3

z3k2k1ki21

3

33

3

3

ezE.d2

izE2

ezEzE.d2

izE2dz

zdE

−−

−+−

εµω−

εµσ−=

εµω−

εµσ−=

Dimana: ( )( )ω=ω=2kk

kk

3

1

Dengan asumsi bahwa:1. Amplitudo tak dipengaruhi oleh proses konversi2. Medium tak mempunyai absorpsi (σ = 0)

Maka persamaannya menjadi:

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) k1e

E.dLE

dzeE.dizE

kLi2

22

L

o

kzi22

2

∆−ω

εµω−=

ωε

µω−=

∆

ωω

∆ω

ω∫

Dimana L adalah panjang medium, dan ∆k = k(2ω) – 2k(ω) adalah vektorgelom-bang mismatch.

Intensitas keluaran/output dari second harmonic adalah:

( ) ( ) ( )

( )

∆ωεµω=

∆

∆

ωεµω=ε=ω ω

2

kLcsinLEd

n

2kL

2kL

sinLEd

nEnc

2

12I

2242

02

2

2

2

242

02

2220

Intensitas sebagai fungsi dari ∆kL/2 dari medium SHG

I(2ω)

∆kL/2

( ) ( )

∆ωεµω=ω

2

kLcsinLEd

n2I 22

42

02

2

Efisiensi konversi untuk SHG:

( )( )

( )( )

( )A

P

2

kLcsinLd~

P

2P

I

2I 22222 ω

∆ωωω=

ωω=η

Persamaan diatas menunjukkan bahwa:

1. Efisiensi konversi sebanding dengan P2(ω), sehingga disebut efek NLO

2. Efisiensi sebanding ~d2 ~χ(2)2

3. Efisiensi ~ L2, sehingga medium yang panjang akan menghasilkanefisiensi konversi yang tinggi (akan dibuktikan ternyata tidak benar)

4. Efisiensi optimal bila ∆k = 0 (disebut kondisi phase-matching sempurna). Namun keadaan ini umumnya tidak terpenuhi dalammedium biasa (ordinary) karena adanya efek dispersi (indeks bias medium bergantung pada panjang gelombang).

L

B

A

Intensitas SHG vs. Panjang medium

A: Kondisi non-phase-matching (∆k ≠ 0). Ternyata semakin panjang mediumintensitas SHG tidak semakin besar.

B. Kondisi phase matching sempurna (∆k = 0)⇒ I(2ω) ~ L2.

Intensitas SHG vs. Panjang medium(Hasil eksperimen)

Kondisi non-phase matching Kondisi hampir phase matching ∆k ~ 0

Efek dispersi material

• Dispersi adalah indeks bias medium bergantung pada panjang gelombangatau frekuensi, sehingga n(ω) ≠ n(2ω).

ω

n

n(ω) n(2ω)Sehingga:

( ) ( )( ) ( )

0

n22n

k22kk

≠ω−ω=ω−ω=∆

Konsekuensi fisis dari dispersi adalah bahwa dua gelombang:

( ) ( ){ }

( ) ( ){ }z2kt2i22

zkti

eEt,zE

eEt,zEω−ω

ωω

ω−ωωω

=

=

Akan berbeda fasa sehingga proses generasi dari SHG akan terhenti (sepertiinterferensi destruktif). Pada jarak tertentu, amplitudo mencapai maksimum:

π=∆ lkPada panjang tertentu=panjang koheren , panjang medium/kristal, dimana proses SHG berlangsung efektif.

l2Lc =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )]n22n[2

n22n2

c2

k22k

2

k

2Lc

ω−ωλ=

ωω−ωωπ=

ω−ωπ=

∆π=

Contoh: jika l = 1.0 µm

n(2ω)-n(ω) = 10-2

maka diperoleh panjang koheren Lc ≈ 50 mm.

Bukti efek panjang koheren pada intensitas SHGMaker et al, Phys. Rev. Lett. 8 (1992), p.19

Mengukur intensitas SHG suatu kristal sebagai fungsi dari sudut θ

PDω ω 2ω

2ωP(2ω)

S F

S : sampel

F : filter

Bila ∆k ≠ 0;

1. Pada Lc pertama → P(2ω)

2. Pada Lc kedua → P(2ω), namun intensitasnya berkurang, dst…

L = 2n Lc → P(2ω) = 0

L = (2n+1) Lc → P(2ω) = optimum

Dimana L = d cos θ, dimana d adalah tebal kristal/medium.

Bila kondisi phase-matching terpenuhi, intensitas SHG bisa meningkat dengan faktor 1,6.105 kali. Kondisi dapatdipenuhi oleh kristal khusus, yaitu birefringence crystals,

Sum Frequency Generation (SFG)

This process combined with SHG is used in practices for generation of third harmonic

ωωωω1

ωωωω2ωωωω3 = ωωωω1 + ωωωω2χχχχ(2) ωωωω1111

ωωωω2222ωωωω3333

532

10641064

KDP

1064

532

355KDP

You can see all these nice colors with your own eyes (through the safety goggles) in Nonlinear Optics Lab 0.501 (MPIP-Mainz)

Lab. NLO-MPIP Mainz

BAB 5. PERAMBATAN GELOMBANG DALAM MEDIUM

ANISOTROPIK

Dalam suatu medium anisotropik, polarisasi tidak selalu sejajar dengan medanlistrik. Suseptibilitas yang merupakan respon medium pada gelombang EM bukan besaran skalar tetapi tensor. Secara fisis, hal ini dipahami bahwa atom-atom dalam kristal tidak identik sepanjang arah-arah yang berbeda. Polarisasitelah didefinisikan sebagai:

P = ε0 χ(1)E

( )( )( )33323213103

32322212102

31321211101

EEEP

EEEP

EEEP

χ+χ+χε=χ+χ+χε=χ+χ+χε=

Ke-sembilan (9) elemen tensor χ bergantung pada pemilihan koordinat. Sebagaikonsekuensinya, maka vektor perpindahan listrik menjadi:

( )E

E1PED

ij

ij00r

rrrr

ε=

χ+ε=+ε=

Dimana tensor suseptibilitas χij diganti dengan tentor permitivitas dielektrik εij.

Refraksi pada suatu batas medium anisotropik

Pandang suatu gelombang bidang yang datang pada suatu permukaan kristalanisotropik.

221100 sinksinksink θ=θ=θ

Indek 0 = gelombang datang

Indeks 1,2 = gelombang-gelombang refraksi

Efek fisis dari medium anisotropik adalah bahwa gelombang datang denganpolarisasi D0 terpisah menjadi dua gelombang dengan polarisasi yang salingortogonal dan menjalar di dalam kristal dengan sudut yang berbeda.

Rapat energi dalam suatu medium:

( )DE2

1U

rr•= iii ED ε= z,y,xi =

U2DDD

z

2z

y

2y

x

2x =

ε+

ε+

ε

Definisikan:

U2Dx

n

U2Dr

x

2ii

=

=ε

=rrr

Maka diperoleh: 1n

z

n

y

n

x2z

2

2y

2

2x

2

=++ Persamaan ellips

Kristal Uniaxial

- mempunyai satu sumbu kristal.

- dua indeks bias adalah identik, sehingga bidang perpotongan dengansumbu optik merupakan suatulingkaran.

-jika z adalah sumbu simetri (sumbukristal, maka ada dua indeks bias:

0

z2e

0

y

0

x20

n

n

εε=

εε

=εε=

n0 = indeks bias ordinary

ne = indeks bias ekstraordinary

Maka persamaan ellips menjadi:

1n

z

n

y

n

x2e

2

20

2

20

2

=++

Bidang yang diarsir membentuk ellips dengan dua sumbu utama, sehingga adadua arah polarisasi yang sejajar dengan sumbu ellips, yaitu:

1. Polarisasi sepanjang sumbu-x, yang tegak lurus sumbu optik sehinggadisebut gelombang ordinary dengan indeks bias n0.

2. Polarisasi dalam bidang x-y yang terletak sebidang dengan sumbu optikdisebut gelombang ekstraordinary.

BAB 6. PHASE MATCHING PADA MEDIUM BIREFRINGENCE

• Kondisi phase-matching ∆k = 0 tidak mungkin diperoleh pada medium isotropik, karena adanya efek dispersi, n(λ).

• Dalam media anisotropik, gelombang ordinary dan extraordinary dapatdicampur, sehingga diperoleh kondisi phase-matching.

• Dilakukan dengan merubah indeks bias gelombang extraordinary yang ditransmisikan melalui perubahan sudut θ antara vektor-k dan sumbuoptik medium.

( )θ+θ

=θ22

e22

o

oee

cosnsinn

nnn

• Dalam median anisotropik, efek dispersi tetap ada, akibatnya no, nedan ne(θ) juga sebagai fungsi dari panjang gelombang/frekuensi.

Dispersi pada kristal KDPIn

deks

bias

ne < no

Kondisi phase-matching (∆k=0) untuk kasus SHG dapat dipenuhi denganmemilih:

ωω = 2nnKarena efek dispersi kondisiini tidak mungkin dicapai, karena:

( ) ( )θ≠θ≠

ωω

ωω

2oe

2oo

nn

nn

Dalam kristal uniaxial negatif (ne < no), seperti KDP, pada nilai sudut tertentu θm, berlaku:

( ) ωω =θ om2e nnKondisi ini disebut phase-matching angle.

Sebelum menyelesaikan persamaan secara aljabar untuk mencari suduttertentu, dimana kondisi phase-matching terpenuhi (phase matching angle), kita bahas secara geometri untuk mengklarifikasi masalah. Masalahnya adalah suatu kristal bersifat birefringent dan dispersive padasaat yang sama.

Indeks-indeks permukaan untuk berkas ordinary dab extraordinary dapat

digambarkan dalam dua frekuensi ω dan 2ω. Sehingga kita memiliki 4 (empat) indeks permukaan yang berbeda (lihat gambar untuk kristalbirefringent negatif)

( ) ωω =θ 2o2o nn

Indeks permukaan untuk nopada frekuensi 2ω dan nepada frekuensi ω ditunjukkanoleh garis putus-putus, karena

tidak penting untuk phase-matching.

Kurva untuk no(ω) dan ne(2ω) menentukan sudut phase matching, yaitu titik-titik pada

lingkaran no(ω) bertemudengan titik-titik pada

lingkaran ne(2ω).

( )( ) ( ) m222em222o

2o

2e

m2e

cosnsinn

nnn

θ+θ=θ

ωω

ωωω

Pada frekuensi 2ω, persamaan ellips:

Untuk memperoleh kondisi phase-matching, maka:

( ) ωω =θ om2e nnSehingga:

( ) ( )( ) ( ) 22o22e

22o

2

om

2

nn

nnsin −ω−ω

−ω−ω

−

−=θ

Arti fisis:Kondisi phase-matching, yaitu kondisi yang efektif untuk frekuensi doubling dicapai jika suatu berkas (beam) menjalar melalui kristal pada sudut tertentuθm antara vektor-k dan sumbu optik.

Karena adanya efek dispersif pada semua parameter diatas (n0ω, n02ω dan ne2ω), maka sudut phase-matching akan berbeda untuk frekuensi doubling dari frekuensiyang berbeda. Ini diasumsikan bahwa berkas dengan frekuensi ω adalah berkasordinary (terpolarisasi tegak lurus terhadap sumbu optik), sedangkan harmonikkedua adalah berkas extra-ordinary (terpolarisasi dalam bidang sumbu optik). Sehingga dalam proses ini polarisasi harmonik kedua (2ω) tegak lurus terhadappolarisasi fundamental (ω).

Dalam contoh ini kita berasumsi bahwa kristal adalah birefringent negatif, sehingga kondisi phase matching diperoleh dengan ordinary fundamental danextraordinary second harmonic.

Untuk medium birefringent positif, kondisi phase-matching terpenuhi frekuensifundamental (ω) adalah extraordinary dan harmonik kedua (2ω) adalahordinary.

Kondisi phase-matching untuk sum-frequency mixing (ω3 = ω1+ω2):

213 kkkkrrrr

−−=∆

Proses frekuesi doubling atau pembangkitan harmoni kedua (second harmonic generation, SHG) dapat juga dipahami sebagai proses sum-frequency mixing darigelombang ordinary dan extraordinary pada frekuensi yang sama di dalam kristal. Dalam kasus ini, hubungan phase-matching ∆k=0 menjadi:

( ) ( )[ ]θ+=θ ωωω eo2e nn21

n untuk kristal birefringent negatif

( )[ ]θ+= ωωω eo2o nn21

n untuk kristal birefringent positif

Jelas bahwa sudut phase-matching θm akan berbeda untuk bahan birefringentnegatif dan positif, walaupun prosesnya sama yaitu frekuensi doubling.

Tipe-tipe Phase-Matching

BAB 7. OPENING ANGLE

Pandang phase-matching tipe-I dan kristal birefringence negatif.

Hubungan phase-matching: ( )[ ] 0nnc

2k o

2e =−θ

ω=∆ ωω

Kondisi ini dapat dipenuhi untuk nilai sudut tertentu θm. EkspansiTaylor pada sekitar sudut phase-matching (θ−θm):

( )[ ]

{ } ( )

( ){ } ( ) θ−θω−=

θ−θ+θ

ω−=

θ+θθω=−θ

θω=

θ

ω

ωω

2sinnnnn

n

c

2sinnncosnsinn

nn

c

cosnsinn

nn

d

d

c

2nn

d

d

c

2

d

dk

2e

2o2

o2e

32e

2e

2o2/322

e22

o

oe

22e

22o

oeo

2e

Sehingga: ( ) m2o2e3om

2sinnnncd

dk θ−ω−=θ

−− Dimana: ( ) o2e nn =θω

Maka:

m2sinL

2k

θ∝β

θ∆β=∆

Daya untuk SHG menjadi: ( ) ( )[ ]( )[ ]2m

m2

2

2

2 sin

2kL

2kL

sinP

θ−θβθ−θβ∝

∆

∆

∝θω

Daya SHG untuk kristalKDP dengan tebal kristalL = 1,23 cm dan kondisiphase matching diperolehpada θ−θm = 0.10

Konsep opening angle dapat dipahami dengan dua cara:

1. Untuk panjang gelombang tertentu λ dan cahaya yang difokuskan, konvergensi sudut tidak boleh melebihi 0,10, jika tidak, maka efisiensiSHG akan berkurang.

2. Untuk kasus cahaya ko-linier, perbedaan panjang gelombang ∆λ:

λλ∆−=∆

k

k

Akibatnya hanya bandwidth tertentu yang menghasilkan proses SHG yang efisien.

BAB 8. TEMPERATURE TUNING

Dalam bahasan sebelumnya, diasumsikan bahwa indeks bias material bergantung pada vektor k dan polarisasi bahan. Dalam realita, indeksbias juga dipengaruhi oleh faktor-faktor eksternal yang akanmempengaruhi jarak kisi dalam tiga dimesi dari suatu kristal/bahan.

Pada prinsipnya, nilai ωωωω 202e0e n,n,n,n bergantung pada temperatur.

Sehingga kondisi phase-matching ∆k = 0 dapat diperoleh denganmerubah temperatur kristal. Tentu saja sudut qm masih menjadiparameter yang penting.

Ada suatu kelas dari kristal, mirip KDP, yang cocok untuk temperature tuning, dimana kondisi phase-matching dapat diperoleh untuk sudut θm = 900. Dengan mengatur temperatur, maka kondisi ∆k = 0 dan θm = 900dapat dipenuhi untuk beberapa panjang gelombang tertentu.

Kurva temperature-tuning untuk kristalKDP dan ADP

Beberapa keuntungan temperature-tuning:

� Sifat-sifat walk-off menjadi tidak penting, jika phase-matching diperoleh padasudut θm = 900. Kondisi ini disebut phase-matching non-kritis.

� Pada sudut tersebut, cahaya/gelombang menjalar sepanjang sumbu optikdan tidak ada efek indeks bias ganda (birefringence) dalam medium. Temperature tuning ini sangat cocok untuk aplikasi intracavity phase-matchingSHG (laser), karena efek-efek tadi akan menimbulkan kerugian (losses) dalamproses lasing.

� Pada sudut θm = 900 ekspansi orde pertama dalam deret Taylor untuk turunanopening angle yang mengandung faktor sin 2θm akan hilang sehingga diperolehuntuk kondisi phase-matching non-kritis:

( )2k θ∆∝∆sehingga opening angle yang lebih besar diperbolehkan.

� Pada θm = 900 , koefisien nonlinier deff = ½ χ(2) adalah maksimum.

sr

z

y

A

y

z

θ

θ

( )θen

Proyeksi ellipsoid ke dalam bidang x-y. Polarisasi gelombang ordinary tegak lurusbidang gambar.

( )( ) θθ=

θθ=cosny

sinnz

e

e

Maka pers. Ellips menjadi:

( ) 2e202e nsin

n

cos

n

1 θ+θ=θ

Indeks bias bergantung padaarah propagasi vektor

gelombang.

1. Untuk kasus khusus dimana θ = 0 yaitu vektor gelombang s sepanjang sumbu optik, maka tidak ada birefringence ( ne = n0).

2. Jika vektor gelombang s tegak lurus sumbu optik, maka duagelombang akan menjalar melalui medium dengan indeks bias n0dan ne.

Untuk medium birefringence positif (ne > n0), sedangkan medium

birefringence negatif (ne < n0).

BAB 9. QUASI PHASE-MATCHING (QPM) TECHNIQUE

Kurva A : kondisi phase-matching sempurna di sepanjang kristal.

Kurva C : kasus phase-mismatch dengan panjang koheren lc.

Kurva B1: kasus dimana polarisasi dibalik setelah setiap panjang koheren.

Dalam mencapai phase-matching dengan opening angle, dalambeberapa nilai sudut, propagasi gelombang tidak memungkinkan, karenanya beberapa elemen pada tensor dij tidak dapat diakses. Problemnya adalah fasa dari SHG berbeda dengan fundamental karena adanya efek dispersi (kecepatan cahaya yang berbeda).

Dalam masing-masing panjang koheren, bahwa polarisasi nonlinierberbeda fasa 180o (π radian) dan fasa relatif slips π/2. Setelahpanjang koheren pertama, fasa bergeser ke dalam daerah dimanaenerginya hilang.

Ide dibalik caya untuk mencapai kondisi phase-matching adalahdengan mengatur fasa polarisasi nonlinier setelah masing-masingpanjang koheren. Pada kondisi demikian, intensitas nonliniermeningkat secara monoton, walaupun lebih landai daripada dalamphase-matching sempurna.

Kondisi ini disebut kondisi quasi phase-matching (QPM) yang dapatdiperoleh dengan periodically poled crystal.

Periodically Poled Crystal

Segmen-segmen material dengan sumbu optik yang berlawanan arah. Perambatan gelombang dalam segmen-segmen diputar 180o sehinggapergeseran fase dalam panjang koheren Lc pertama akan berkurangdalam panjang koheren berikutnya.

Hubungan fasa antara medan optik/listrik dengaqnpolarisasi nonlinier SHG

Persamaan gelombang terkopel:

( ) [ ]z'kiexpzdEdz

d2 ∆−Γ=

cn

Ei

2

21ω=Γ

Gelombang SHG pada ujung sampel L, diberikan oleh:

( ) ( ) [ ]dzz'kiexpzdLEL

0

2 ∆−Γ= ∫

Dalam kasus khusus: d(z) = deff dan ∆k’ = 0, maka gelombang SHG:

( ) LdLE eff2 Γ=Dalam realita, fungsi d(z) dapat diasumsikan terdiri dari domain-domain dengan± deff yang berubah tanda pada posisi zj.

Asumsikan bahwa tanda diganti dengan gk dan lk adalah panjang domain ke-k, dan N adalah jumlah domain, maka:

( ) ( )[ ]1kkN

1kk

eff2 z'kiexpz'kiexpg'k

diE −

=

∆−−∆−∆

Γ= ∑

Tanda berubah dalam struktur yang sempurna pada posisi:

( )k0,k'0ki 1ze −=∆−

dimana ∆k0’ adalah vektor gelombang mismatch pada panjang gelombang input dan untuk QPM orde ke-m:

c0,k mkz l=

Untuk struktur yang sempurna (tanpa adanya kesalahan fasa pada daerahbatas), maka gelombang SHG diberikan oleh:

Lm

2dgiE eff1ideal,2 π

Γ≈

Karena kristal harus dibuat pada periodisitas tertentu L, maka kristal hanya akanmatch untuk panjang gelombang tertentu. SHG pada panjang gelombang yang lain akan memberikan suatu mismatch dan mengurangi intensitas SHG. Selain itustruktur domain tidak pernah sempurna yang akan mengakibatkan mismatch pada daerah batas.