Mathematical ofPhysics II

Dra. Sri Astutik, M.Si

STUDY PROGRAM of PHYSICS EDUCATION

TEACHERSHIP AND EDUCATION SCIENCE FACULTY

JEMBER UNIVERSITY

2009/2010

REVIEW

BILANGAN KOMPLEKS

Bilangan Kompleks

Z = a + i b Re z = a/x

x + i y Im z = b/y

Aturan dalam Bilangan Kompleks

a. Penjumlahan ( addition / subtraction )+ = ( + ) + ( + )= ( + ) + ( + )b. Perkalian ( Multipplication ) = ( + ) ( + )= + + = + ( + )c. Pembagian ( Divison 0 )= ( + )( + ) ( )( )= ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) += + + +

Hukum-hukum dalam Bilangan Kompleks

a. Assosiative law of Addtion+ ( + ) = ( + ) + )b. Commutative law of Multipplication = c. Assosiative law of Multipplication ( ) = ( ) )d. Distributive law ( + ) = ( ) + ( )

= = =

Argand Diagram = + Kartesian 2D= + polar= = += ( , ) = =

= ( , ) ==

| | = | | + | | Modulus Argumen Konjugate Kompleks

Jika = + , maka : Konjugate kompleks : =

Berkaitan dengan conjugate kompleks, dapat dituliskan :

1. ( + ) = + 2. = ( + )( ) = | |3. ( ) = 4.

=

FUNGSI KOMPLEKS

Definisi :

Misalkan D adalah suatu himpunan bilangan kompleks z. suatu fungsi f

didefinisikan pada D adalah suatu aturan yang mengaitkan setipa bilangan kompleks z

dari D dengan suatu bilanagn kompleks . Bilangan disebut nilai f di z, dan

dituliskan dengan f(z) , yakni w=f (z).

Himpunan D disebut daerah definisi ( domain ) f ( ). Fungsi kompleks dapatdinyatakan, missal :

Pangkat , sehingga ditulis w= atau w= ( ) dengan ( ) = . Karena w= ( ),maka suatu bilangan kompleks dengan nilai fungsi f di z= + dapat dinyatakandengan w= + , sehingga : = ( )+ = +Artinya :

Setiap bilngan real u dan vbergantung pada kedua variable x dan y.

Sebagai contoh : ( ) =Dapat dinyatakan : ( ) = ( + )= + 2Sehingga : ( , ) = ( , ) = 2Contoh diatas mengilustrasikan bagaiamana suatu fungsi kompleks ( ) dinyatakandalam sepasang fungsi real dua variable x dan y.( ) = ( , ) + ( , )

LIMIT dan KONTINU

Jika = + mengahampiri titik tetap = + , maka :Bila dan , dikatakan bahwa fungsi ( ) mempunyai limit yangdinyatakan sebagai berikut : lim ( ) =Khususnya jika ( ) = maka dikatakan bahawa ( ) kontinu di . Dapat ditunjukkan bahwa : Jika ( ) = ( , ) + ( , ) kontinu di = + , makapasangan fungsi realnya ( , ) dan ( , ) kontinu di ( , ).FUNGSI ANALITIK

Differensiasi sebuah fungsi kompleks dinytakan dengan :

( ) = lim ( + ) ( ) , = Pada daerah yang mengandung titik . Berkaitan dengan fungsi w yang terdiri dari

fungsi real dan imajiner, sperti : = ( ) = ( , ) + ( , )Jika ( ) memiliki turunan / limit tunggal di titik = + , karena = + dan = + maka turunan terhadap fungsi f di peroleh :

( ) = lim + = lim + Jika kita ambil 0 , dengan memilih = 0 sehingga 0 , maka

panjang sumbu x sejajar akan diperoleh :

( ) = lim + = +

Jika kita mengambil = 0 sehingga 0 , maka sepanjang sumbu y yangsejajar akan diperoleh :

( ) = lim + = + Maka untuk kedua keadaan * dan ** , akan di dapatkan :+ = + atau = , = Bentuk :

= , =Persamaan Chaucy-Riemann

Definisi :

Sebuah fungsi kompleks ( ) yang memiliki turunan ( ) di titik =dan disemua titik dalam lingkungan disebut analitik ( holoformik ) di titik = Syarat Analitik

a. Jika ( , ) dan ( , ) serta turunan pertamanya kontinu di ( , ).b. Jika ( , ) dan ( , ) memenuhi persamaan Chaucy-Rienmann.

Rumus Turunan

1. = 0 , = 12. Jika n bulat positif, = berlaku pula untuk n bulat negative, jika 03. [ ( )] = ( )4. [ ( ) + ( )] = ( ) + ( )5. [ ( ) ( )] = ( ) ( ) + ( ) ( )6.

( )( ) = ( ) ( ) ( ) ( )( ) , ( ) 0

Contoh soal :

1. Untuk ( ) = periksa apakah persamaan tersebut analitik atau tidak!Jawab :( ) = = ( + ) = + 2( , ) = ( , ) = 2

= 2 , = 2 , = 2 , = 2= , =

2 = 2 , 2 = 2 AnalitikFUNGSI HARMONIC

Misalkan ( ) = ( , ) + ( , ) adalah nalitik dan semua turunan u dan vdifferensiabel, maka jika differensiasikan sekali lagi persamaan Chaucy-Rienmann

terhadapa x akan diperoleh :

= , = Sedangkan jika kita differensiasikan terhadap y , diperoleh :

= , = Untuk menjamin kekontinuan = dan = , maka dengan menjumlahkankedua persamaan diperoleh := = 0 dan = = 0

= =

Dengan demikian fungsi u dan v memenuhi persamaan Laplace. Jadi : jika ( ) =( , ) + ( , ) analitik dan memenuhi persamaan Laplace maka persamaantersebut adalah Harmonic.

Integral Fungsi Kompleks

Misalkan C adalah sebuah kurva dalam bidang kompleks yang menghubungkan titik= dan = , maka seperti kurva dalam bidang real ( x, y ), persamaannyaadalah : ( ) = ( ) + ( )Dengan t adalah parameter real kurva. Sehingga untuk ( ) = ( , ) + ( , )sebuah fungsi kompleks yang sekurang-kurangnya kontinu bagian demi bagian pada

kontur / kurva C maka integral lintasan fungsi kompleks f sepanjang kontur C

didefinsikan :

( ) = ( ) ( )dengan

( ) = + = ( ) + ( )Dengan mengalikan integral di ruas kanan dan mengumpulkan faktor real dan

imajinernya, maka diperoleh :

( ) = ( + ) + ( + )Jadi integral fungsi kompleks ( ) dapat didefinisikan sebagai integral lintasan duafungsi real sebagai berikut :

( ) = ( ) + ( + )

Pernyataan di atas bisa juga di tulis sebagai berikut := + dan = +Integral fungsi kompleks dapat dinyatakan sebagai integral kontur sepanjang lingkaran

yang mudah dihitung.

Misalkan C adalah lingkaran dengan pusat di = dan berjari-jari r , maka menurutrumusan eksponensial diperoleh : = dan = , r tetapdengan sebagai parameter. Maka, jika lingkaran C ditempuh dalam arah positif akan

diperoleh :

( ) = +Jika ( ) = ( ) dengan n bulat ( positif, negatif ). Maka :

( ) = = ( )= 2 , 10 , 1

TEOREMA CHAUCY

Jika ( ) analitik pada daerah D dan pada daerah kontur terhadap yang membentangmaka :

( ) = 0Mengingat pentingnya teorema ini, maka berikut akan diberikan pembuktiannya dari

rumus sebelumnya :

( ) = ( ) + ( + )Karena integral diatas merupakan integral garis, maka bisa ditetapkan Teorema Green

sebagai berikut :

( ) = ( ) + = 0Karena ( ) analitik, maka fungsi u dan v memenuhi Persamaan ChaucyRienmann.Untuk daerah yang terhubung jamak, akan berlaku :

( ) = ( ) + ( ) + ( ) = 0

TEOREMA LAURENT

Sebuah fungsi ( ) yang analitik di dalam suatu daerah cincin D, pada keduabatasnya = ( ) = dan = ( ) = dengan < dapat dinyatakandalam deret

( ) = ( ) +~ ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 )~Dengan : = ( )( ) , = 0,1,2,3, (2)

= 12 ( )( ) , = 1,2, (3)Untuk semua daerah dalam cincin D akan berlaku Deret Laurent persamaan (1 )

TITIK SINGULER dan RESIDU

Jika = adalah sebuah titik singular terpisah dari ( ) , maka dalam lingkungan =, fungsi ( ) dapat di uraikan dalm Deret Laurent

( ) = ( ) + ( )~~Untuk yang mengandung m suku dengan pangkat negatif ( ) , terjadi :

( ) = ( ) +~ ( ) + ( ) + ( )Dari rumus diatas untuk = disebut dengan kutub berorde m. Khusus untuk kutubberorde 1 disebut kutub sederhana. Koefesien pada persamaan di atas disebut

Residu ( ) di = , yang selanjutnya akan kita pakai untuk mencari nilai integraltentu.

Definisi :

Jika = adalah titik kutub berorde m dari ( ) , maka residunya di =diberikan :

= 1( 1) lim ( ) ( ( )Cara Menentukan Residu

Fungsi ( ) di =1. Dengan bentuk umum dari= 1( 1)! [ ]

dimana = ( ) ( )dan = | 0

2. Untuk kutub sederhana ( m = 1 )= lim ( ) ( )3. Jika ( ) = ( ) ( )

dimana : ( ) 0 , ( ) = 0 , tetapi ( ) 0maka, = ( )( )

4. Jika residu fungsi ( ) di = , tidak dapat di lakukan ke-3 cara di atas, makakita harus menulis fungsi ( ) dalam bentuka. Perluasan fungsi yang mendekati ( ) sesuai dengan fungsi ( )b. Pengembangan fungsi ( ) dalam bentuk Deret Geometri.c. Pengembangan fungsi ( ) dalam bentuk Deret Laurent.

Contoh :

1. Carilah residu untuk ( ) =Solusi : ( ) = ( )( )Jadi = 1 , = 1

= 1= lim ( ) 1 1= lim ( 1) 1( + 1) ( 1)= lim 1( + 1)= lim 1(1) + 1= 12 = 1= lim ( ) 1 1= lim ( 1) 1( + 1) ( 1)= lim 1( 1)= lim 1(1) 1= 122. Dapatkan dan (5) untuk ( ) = ( ) ( )

Jawab :( ) = (2 + 1) (5 )= 1 2 , = 5

= 1 2= lim ( ) (2 + 1)(5 )= lim + 1 2 (2 + 1)(5 )= lim + 1 2 2 + 1 2 (5 )= lim 2(5 )= lim 10 2= 1 210 + 1= 1 211= 122

= 5= lim ( ) (2 + 1)(5 )= lim ( 5) (2 + 1)(5 )= lim ( 5) (2 + 1) ( 5)= lim (2 + 1)= 510 + 1= 511

Teorema Residu

( ) = 2 ( )~= 2 ( jumlah residu ( ) di )

Penerapan teorema residu ini terutama penting untuk perhitungan beberapa integral

tentu.

Integral Fungsi Trigonometri

Tinjau jenis integral tentu dari fungsi trigonometri cos dan sin berikut :

F (cos , sin )Karena berubah dari 0 ke 2 maka kita pakai argument sebuah lingkaran yaitudengan menerapkan :

cos = +2 , sin = 2 , =Di dalam integral kontur di tuliskan :

F +2 , 2

TRANSFORMASI INTEGRAL

Pemecahan persamaan diferensial linier biasa orde dua dalam bentuk deret diberikan :

0 0

)(n n

nnsn

n xEaxay ................................. ( 1 )

dimana na ditentukan melalui persamaan rekursif.

Untuk fungsi periodik )(xfy , fungsinya di uraikan kedalam deret Fourier :

n

nnxin

nn xEcecxfx )()( = ........... ( 2 )

dimana nc adalah tetapan integrasi yang ditentukan oleh syarat awal.

Dalam rangka pengalihan variabel dalam suatu bentuk integral, maka variabel tak bebas y

dinyatakan :

........................................ ( 3 )

dimana indeks jumlah n digantikan oleh faktor kontinyu k dan fungsi pangkat

snn xxE

)( atau inxe digantikan oleh fungsi ),( xkE .

Persamaan ( 3 ) diatas yang disebut dengan Transformasi Integral ( invers ).

1. TRANSFORMASI FOURIER

Setiap fungsi periodik dapat di uraikan atas harmonik atau fungsi periodik dasar Sin dan Cos.

Sedangkan untuk uraian deret Fourier suatu fungsi periodik )(xf dengan periode linier L,

dalam selang dasar simetris : 22LxL adalah :

Lpeaxfn

pxinn

2,)(

, ....................... ( 4 )

dkxkEkayk

k

2

1

),()(

dengan, dxexfL

a pxinL

Ln

2

2

)(1

Karena fungsi periodik adalah suatu kelas fungsi istimewah, maka untuk uraian deret Fourier

dapat di anggap sebagai suatu fungsi periodik dengan periodik L . Rumus matematisnya

dapat di tuliskan : npL

nkn

2

maka selang :

dnLL

n

L

ndk n

22)1(2

Untuk limit 0, dkL , dan )( Ln berhingga, maka persamaan ( 4 ) dapat diganti dengan

integral sebagi berikut :

n

dkL

dnL

2

2

dimana indeks n akan beralih ke indeks kontinue k, dan koefesien na beralih ke )(ka .

Sehingga fungsinya kita dapatkan :

)()(2

1)( 1 kFdkexFxf xki

....................... ( 5 )

)()()( xfdxexfkF ikx ............................... ( 6 )

Ini adalah rumus Integral Fourier bagi penguraian sebuah fungsi tak periodik )(xf atas

eksponensial dasarikxe dalam selang x .

Tidak semua fungsi memiliki transformasi Fourier. Syarat agar )(xF ada, diberikan oleh syarat

Dirichlet berikut :

1. Fungsi )(xf memiliki jumlah maksimum dan minimum serta ketak kontinuan yang

berhingga dalam selang berhingga ( kontinu bagian demi bagian ).

2. Fungsi )(xf terintegralkan secara mutlak, yaitu :

dxxf )(

Teorema Fourier menegaskan bahwa jika )(xf memenuhi syarat Dirichlet, maka :

1. Rumus integral Fourier ( persamaan 5 ) di jamin berlaku.

2. Pada setiap titik ketak kontinuan Xa , nilai integarl Fourier invers, masing- masing

adalah nilai limit )(xf pada Xa di dekati dari kiri dan kanan.

2. FUNGSI DELTA DIRAC

Fungsi delta Dirac )(x secara umum didefinisikan sebagai berikut :

axax

ax

,

,0)( .......................................... ( 7 )

Fungsi delta Dirac ini memiliki sifat-sifat berikut :

1. )()( xaax .................................................................. ( 7a )

2.

1)( dxax ....................................................................... ( 7b )

3. )()()( afdxaxxf

.................................................... ( 7c )

4. )()()()( axafaxxf ........................................... ( 7d )Beberapa definisi fungsi delta Dirac yang alain yang sering digunakan dalam berbagai

perhitungan adalah :

a. Pada persamaan 7b jikaxikexf )( , maka :

0)( xikxik edxaxe

Hubungan ini dapat dipandang sebagai transformasi Fourier dari fungsi )(),( 00 xxxxg .

Dengan demikian penerapan transformasi Fourier invers pada fungsi 0),( 0xkiexxg ,

memberikan pernyataan fungsi Delta Dirac dalam Integral :

dkedkexx xxikxxik )()(0 00 21

2

1)(

............ ( 8 )

dimana ini juga memenuhi sifat simetri ( 7a ).

b. Dari fungsi ( 8 ), integral di ruas kanan dapat dianggap sebagai limit berikut :

dkexx xxik )(0 0lim2

1)(

)(

)(sin

0

0lim xxxx

c. Definisi Delta Dirac yangb memenuhi semua sifat ( 7 ) adalah :

2

20 )(

02

1)( lim

xx

exx

d. Fungsi Delta Dirac sebagi fungsi tangga satuan,

0)(0)(

,1

,00

0

0

)(

xx

xxxx

Perhitungan transformasi Fourier seringkali dipermudah oleh sifat-sifat transformasi Fourier.

Pasangan transformasi Fourier : )()( xFxf

1. Kelinieran )()()()( 22112211 kFakFaxfaxfa

2. Simetri )(2)( fixF

3. Pensklaan )(1

)( akF

aaxf

4. Tundaan )()( kFeaxf aki

5. Modulasi )()( qkFxfe xqi

6. Diferensiasi )()()( kFikxfdx

d nn

n

7. Integrasi

)()0()(

)( kFk

kFdssf

3. TRANSFORMASI FOURIER Sinus dan Cosinus

Dari teorema integral Fourier disebutkan bahwa, jika )(xf ganji atau genap, maka )(kF juga

ganjil atau genap. Dengan menyisipkan :

kxikxe xki sincos

diperoleh hasil sebagai berikut :

a. Transformasi Fourier Sinus

Jika )(xf adalah sebuah fungsi ganjil, maka berlaku :

0

)(sin)(2

)( dkkxxFxf

dan

0

)(sin)(2)( dkkxxfxF

b. Transformasi Fourier Cosinus

Jika )(xf adalah sebuah fungsi genap, maka berlaku :

0

)(cos)(2

)( dkkxxFxf

dan

0

)(cos)(2)( dkkxxfxF

4. KONVOLUSI

Konvolusi dari sebuah fungsi )(1 xf dan )(2 xf di definisikan oleh integral :

duufuxfxff )()())(( 2121

Karena konvolusi bersifat simetri terhadap pertukaran indeks 1 dan 2, jadi :

duufuxfffff )()( 121221

Maka transformasi Fourier dari 21 ff dapat di tuliskan :

0)()( 21 dxxfxf

Dan menurut definisi transformasi Fourier, diperoleh :

dvduvfufe

dvvfeduufekgkg

vuki

vkiuki

)()(

)()()()(

21)(

2121

Dengan menggunakan hubungan : vuvuX ; dan menganggap Jacobianya J =1, maka :

dxdvvfvxfe

dvdxvfvxfekgkg

xki

xki

)()(

)()()()(

21

2121

Jadi, berdasarkan definisi konvolusi, diperoleh :

21

2121 )()(

ffdariFouriersiTransforma

dxffekgkg xki

5. TRANSFORMASI LAPLACETransformasi integral Laplace merupakan hal khusus dari integral Fourier yang di definisikan

sebagai berikut :

00

,)(

,0),(

x

x

exf x

xg

, real > 0

Sedangkan integral Fourier-nya dituliskan :

dxxfekG xik )(),(0

)(

*

Selanjutnya definisikan :

)(),( sFkG

sik

**

dengan s suatu variabel kompleks. Substitusikan ** ke *, maka akan di dapat :

0

f(x)L)()( dxxfesF sx Integral Laplace

Fungsu F(s) disebut transform Laplace dari )()( xfLxf

PEMETAAN KONFORMAL

Fungsi Kompleks :

bidang

Differensiasi W terhadap Z dituliskan :

i

Z

aeZfdZ

dW

dZ

W

)('lim0

dimana : 0

)(' Zfa

Dapat dituliskan :

ZArgWArgZ

WArg

ZfArgZ

WArg

ZZ

Z

Z

limlim

lim

lim

00

0

0

)('

Di definisikan :

z

Sehingga : ZArgWArgZfArgzz

limlim00

'

Orientasi sudut z pada bidang Z dan rotasi sudut pada bidang W.

)(WFZ

WZ

Besar sudut antara 2 garis21

wLdanwL memberikan

1212

Besar dzadzaedWi

Contoh 1 :

Translasi.

Diberikan transformasi W= Z+Z0. Nyatakan dalam bentuk x dan y.

Solusi :

W= Z+Z0

)()(

)()(

00

00

yyixx

iyxiyxW

Atau :

)( 00 yyvdanxxu

Contoh 2 :

Rotasi

Diberikan transformasi ZZW 0 ,

dimana : iii eWdanerZerZ 00,

Solusi :

)(0

0 ii erreW

dimana : 0

dengan : rrrdenganberkaiyangjariJarirrotasiSudut

00

0

tan

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

Proses fisika yang bergantung pada dua atau lebih variabel bebas dinyatakan dalam Persamaan

Diferensial Parsial, di singkat PDP. Jika ),,,( tzyx adalah variabel tak bebas, dengan

),,( zyx variabel bebas ruang dan t waktu, maka bentuk umumnya adalah :

fdt

ct

ba

2

22

dengan operator del :

zk

yj

xi

ddancba ,,, tetapan, sedangkan tzyxff ,,, suatu fungsi yang diketahui. Dalambahasan ini hanya akan ditinjau kasus homogen untuk 0,,, tzyxff . Sedangkanpersamaan diferensial parsial fisika yang akan di bahas adalah :

1. Persamaan LAPLACE

0,02

2

2

2

2

22

zyx

atau

2. Persamaan Difusi atau Rambatan Panas

012

tK

dengan,

massarapatdanpanaskapasitasC

termaltasKonduktiviKCpKK

,

,,

3. Persamaan Gelombang

2

2

22 1

xv

, dengan v kecepatan rambat gelombang.

4. Persamaan HELMHOLTZ

022 k , dengan k sebuah tetapan.

PERSAMAAN LAPLACE 2-DIMENSI

Pemecahan persamaan Laplace dua dimensi, yang berkaitan dengan persamaan hantaran panas

pada keadaan mantap, dapat di lihat pada contoh berikut :

a. Tinjaulah sebuah pelat logam datar empat persegi panjang dengan lebar d dan panjang tak

hingga. Dealam keadaan mantap, suhu pada salah satu sisi selebar 1d di pertahankan 1000

sedangkan ketiga sisi lainnya dipertahankan 00. Tentukan distribusi suhu pada pelat tersebut.

Solusi :

Persamaan diferensial parsial yang di gunkan di sini adalah persamaan Laplace dua

dimensi : 02 T , dimana kita telah memilih T sebagai variabel tak bebas suhu.

Dalam koordinat kartesian, Persmaaan Laplace Dua Dimensi di berikan oleh :

02

2

2

2

y

T

x

T

Dengan memilih sisi bersuhu 1000 berimpit dengan xsumbu positip, dan kedua sisi

tegaknya pada dxdanx 0 , maka syarat batasnya diberikan oleh :

( 1 ) 0),0( yT

( 2 ) 0),( ydT

( 3 ) 100),( yxT dx 0

( 4 ) 0),0( T

Pemecahan PDP di atas akan kita cari dengan metode pemisahan variabel, dengan

menyatakan fungsi suuhu ),( yxT sebagai perkalian fungsi ydanx sebagi berikut :

yYxXyxT ),(

Dibentuk dalam persamaan Laplace, di peroleh :

02

2

2

2

yd

YdX

xd

XdY

Kemudian bagikan dengan XY, diperoleh persamaan dalam variabel terpisah :

011

2

2

2

2

yd

Yd

Yxd

Xd

X

Karena suku pertama hanyalah bargantung pada x dan suku kedua pada y, maka masing-

masing suku tersebut haruslah sana dengan sebuah tetapan yang jumlah kedua tetapan

tersebut haruslah nol.

Yyd

Ydatau

yd

Yd

Y

Xxd

Xdatau

xd

Xd

X

22

22

2

2

22

22

2

2

1

1

dimana

022

Persamaan diatas mempunyai solusi :

xxxx eDeCyYeBeAxX )(&)(

Sehingga pemecahan umum persamaan Laplace adalah :

yyxx eSeReQePyYxXyxT )()(),(

dengan P, Q, R dan S adalah tetapan.

Pada syarat batas ( 4 ), 0),( xT , ditetapkan persamaan :

ykekxBkxAyxT sincos),(

Dimana P, Q dan R di serap ke dalam tetapan baru A dan B dan eksponensial imajiner dalam

fungsi Cosinus dan Sinus.

Penerapan syarat batas untuk 0),0( yT , memberikan :

00cos),0( AatauekxAyT yk

sehingga untuk,

Syarat batas 0),( yxT

ykekxByxT sin),(

Untuk syarat batas 0),( ydT

0sin),( ykn edkByLT

Untuk dnpnk maka persamaan diatas menjadi :

ypnnn expnByxT sin),(

KOORDINAT KURVILINEAR

Koordinat Kurvilinear adalah perubahan relatif koordinat permukaan dari titik ke titik. Sebuah

titik P di dalam ruang di definisikan oleh 321 ,, uuuP dimana 321 , udanuu adalah fungsiharga tunggal dari posisi, mak transformasi terhadap titik P di tuliskan :

32133

3212

2

3211

1

,,

,,

,,

uuufxz

uuufxy

uuufxx

dan

32133

3212

2

3211

1

,,

,,

,,

xxxFu

xxxFu

xxxFu

Vektor posisi titik P sebagai fungsi 3,2,1iu i , adalah : 321 ,, uuurr Elemen perpindahannya adalah :

ds

duu

r

duu

rdu

u

rdu

u

rdr

i

ii

3

1

33

22

11

Bentuk kuadrat dari panjang perpindahan diberikan :

jiji

ji

duduu

r

u

r

drdrds

3

1

3

1

2

atau

jiji

i j

jij

i ji

dudug

duduaads

3

1

3

1

3

1

3

1

2

dimana :

jjii u

ra

u

ra

,

dan jiji aag

sehingga : ijjiijji ggaaaa ,

jig ini yang disebut dengan Koefisien Matrik sebuah ruang.

Koordinat Kurvilinear Orthogonal

System koordinat kurvilinear orthogonal dinyatakan :

jiuntukaa ji 0

Bentuk kuadrat elemen panjang menjadi :

2333222221112 dugdugdugds

dengan catatan bahwa : 032 dudu , untuk ds pada 1u dan di tuliskan :

11

1111

duh

dugds

3

3

3333

duh

dugds

22

2222

duh

dugds

dimana 333222111 ,, ghghgh dan h disebut faktor skala.

Kita bisa mengembangkan untuk iii hataug yang lain ketikaix diketahui. Dalam

koordinat kartesian,

danggg 1332211

ji

i j kj

k

i

k

k j

jj

k

i

ii

k

k

kk

duduu

x

u

x

duu

xdu

u

x

dxdxds

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

2

Hasil ini sesuai dengan koefisien matriks tensor.

3

1kj

k

i

k

ji u

x

u

xg

atau

23

1

i

k

kii u

xg

Elemen Luas di berikan oleh :

jijiji duduhhd

Sedangkan elemen Volume di berikan oleh :

321321 dududuhhhd

Dengan demikian maka gradient, divergensi, curl dan Laplacian dalm koordinat kurvilinear

dapat di kembangkan.

Gradient Koordinat Kurvilinear Orthogonal

Jikas

adalah komponen dari dalam arah ds , maka diberikan oleh :

33

22

11

3

3

22

1

1

uh

e

uh

e

uh

e

se

se

se

dimana 321 ,

edanee adalah vektor satuan pada 321 , dsdandsds .

Divergensi & Curl Koordinat Kurvilinear

Sebuah vektor sembarang V, komponennya dapat di tuliskan :

32121

3231

31

2132

32

1

332211

Vhhhh

eVhh

hh

eVhh

hh

e

VeVeVeV

Maka divergensi dari V adalah :

= ( ) + ( ) + ( )= ( ) + ( ) + ( )

Sedangkan diketahui :

(A) = A + A

Maka didapat :

eh h = eh h = eh h = 0Untuk V diatas, di dapatkan :

V = 1h h hh e h e h eu u uh V h V h V

Sehingga :

V = eh (h V ) + eh (h V ) + eh (h V )Dan

x eh = x eh = x eh = 0LAPLACIAN Dalam Koordinat Kurvilinear

Laplacian di dalam koordinat kurvilinier yang orthogonal di berikan oleh : = = + + = 1 + +

Koordinat Bidang Polar ( r, )

Pada koordinat bidang polar, diberikan ==

Koordinat Silinder ( , , z )

Untuk koordinat silinder diberikan := = =

Koordinat Bola (, , )

Untuk koordinat bola diberiakan :

== = =Contoh Soal :

1. Dapatkan bentuk dari , , dalam bentuk koordinat silinder.Jawab :

Transformasi , , , ,Kita juga punya : = = = = =Dalam koordinat kartesian := = = 1

= ( = 1, 2,3)

Maka skala faktor dapat ditentukan

= ( )= + += ( ) + ( ) + ( )= + = 1 = = + += ( ) + ( ) + ( )= + = = = + += ( ) + ( ) += 1 =

Dalam koordinat Silinder, maka di peroleh :

= + + = 1 + ( ) + ( )

= 1

= 1 + 1 +

2.6 Laplacian Koordinat Kurvilinier orthogonal

Laplacian di dalam koordinat kurvilinier yang orthogonal diberikan oleh :

= = + +

= 1 + + 2.7 Koordinat Bidang Polar = =

= ( , )= + = + Dinyatakan dalam koordinat kartesian

Unit vector dan ditunjukan oleh gambar di bawah ini :

2.8 Koordinat silinder (, , z )

Hubungan koordinat silinder dengan koordinat kartesian

= = + = = + =

2.9 Koordinat Bola

OC = PM = OP cos atau z = r cos

OM = PC = OP sin atau OM = r sin

OA = OM cos atau x = r sin cos

OB = OM sin atau y = r sin sin

Jadi pada sistem koordinat Bola bila dihubungkan dengan sistem koordinat Kartesian,

x = r sin cos

y = r sin sin

z = r cos

r = ( x 2 + y 2 + z 2 )1/2