dsp 2554 5
TRANSCRIPT
DSP 5
The Discrete
Fourier Transform (DFT)
การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเน่ือง
รศ.ดร. พรีะพล ยวุภษิูตานนท์
ภาควชิา วศิวกรรมอเิล็กทรอนกิส์
DSP5-1CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
เป้าหมาย
• นศ รูจ้กัความหมายของ อนุกรมฟูรเิยร์แบบไมต่อ่เน่ือง
(Discrete Fourier Series :DFS) และผลการแปลงจาก
สญัญาณในโดเมนเวลา
• นศ เขา้ใจความสมัพนัธ์ของ การแปลงฟูรเิยร์แบบไม่
ตอ่เน่ือง (Discrete Fourier Transform: DFT) และ
DFS
• นศ สามารถท าการแปลง DFT กบัสญัญาณเชงิเวลาใดๆ
ได ้
DSP5-2CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-3
ท าไมต้อง DFT ?
( ) ( )j j n
n
X e x n e
แต่ หากจะค านวณ DTFT ด้วย โปรเซสเซอร ์หรอื คอมพิวเตอร ์จะต้องจดัการให้ล าดบั n มีค่าท่ีจ ากดั
แต่จากเรือ่งของ DTFT สงัเกตว่า n มีค่าไม่จ ากดั
หากตอ้งการใชค้อมพวิเตอรห์รอืตวัประมวลผลมาชว่ยค านวณผลเราตอ้งการจ านวนล าดบัท่ีจ ากดั
ดงันัน้จึงต้องใช้ การแปลงฟริูเยรแ์บบไม่ต่อเน่ือง Discrete Fourier Transform (DFT)
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-4
อนุกรมฟูริเยร์แบบไม่ต่อเน่ืองThe Discrete Fourier Series (DFS)
( ) ( ), ,x n x n kN n N ใหส้ญัญาณทีเ่ป็นรายคาบ2
N
ความถีม่ลูฐาน เป็น เรเดยีน2
, 0,1,..., 1k k NN
ความถีฮ่ารม์อนิก เป็น
21
0
1( ) ( ) , 0, 1,...
N j knN
k
x n X k e nN
21
0
( ) ( ) , 0, 1,...N j nk
N
k
X k x k e k
( )X k คอื คา่สมัประสทิธิ ์ฟูรเิยรไ์มต่่อเน่ือง โดยที ่
แสดง ไดเ้ป็น( )x n
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
ทลิด ์=สญัญานที่เป็นรายคาบ
For All n and N
DSP5-5
( ) ( )X k N X k
2j
NNW e
1
0
1
0
( ) DFS[ ( )] ( )
1( ) IDFS[ ( )] ( )
Nnk
Nk
Nnk
Nk
X k x k x k W
x k X k X k WN
Analysis (DFS) equation:
Synthesis (IDFS) equation:
เราแทน
( )X k กเ็ป็นสญัญาณรายคาบ
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
เลขเชงิซอ้น
DSP5-6
( ) ...,0,1,2,3,0,1,2,3,0,...x k
ตวัอยา่ง
วธิที า
หา DFS ของสญัญาณรายคาบ
ดจูากลกัษณะสญัญาณ จะได ้คาบเวลา = 4 (N=4 ) 2 2
4j j
NNW e e j
3
40
( ) ( ) , 0, 1,...nk
n
X k x n W k
3 30
40 0
(0) ( ) ( ) (0) (1) (2) (3) 6n
n n
X x n W x n x x x x
k=0
k=13 3
1
40 0
3 32 2
40 0
3 33 3
40 0
(1) ( ) ( )( ) ( 2 2 )
(2) ( ) ( )( ) 2
(3) ( ) ( )( ) 2 2
n n
n n
n n
n n
n n
n n
X x n W x n j j
X x n W x n j
X x n W x n j j
k=2
k=3CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-7
ตวัอยา่ง
วิธีท า
dsp_5_1.eps
L
N
มสีญัญาณพลัส ์(pulse) เป็น รายคาบดงัรปู จงหาอนุกรม DFS
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-8
2 21 1
0 0
( ) ( )N Lj nk j nk
N N
n n
X k x n e e
แปลง DFT
หรอืใชต้วัชว่ยจาก ผลรวมเรขาคณิตแบบจ ากดั จะดกีวา่ไหม?เราจะนัง่ค านวณดว้ยมอืกไ็ด…้
1
0
1, 1
1
LLn
n
aa a
a
221
20
1( ) ( )
1
Lj k
NL j knN
kjn
N
eX k e
e
ท าใหไ้ด้
( ) , 0, , 2 ...X k L k N N แต่เฉพาะที่ 0, , 2 ..k N N
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-9
ช่วงพลัส์บวก L=5 และคาบเป็น N=20
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-10
ช่วงพลัส์บวก L=5 และคาบเป็น N=40
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-11
ชว่งพลัส์บวก L=5 และคาบเป็น N=60
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-12
ชว่งพลัส์บวก L=7 และคาบเป็น N=60
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-13
ข้อสังเกตุ
• ชว่งระยะพลัส์บวก สมัพนัธ์กบั คาบเวลาและขนาดของ
ผลการแปลง DFS ดงัน้ี
L
L
L
L
( )x n
( )X k
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-14
DFS กับ z-transform และ DTFT
ส าหรบัสญัญาณจ านวนจ ากดัใดๆ
, 0 1( )
0,
nonzero n Nx n
otherwise
จดัใหเ้ป็น สญัญาณทีเ่ป็นคาบไดโ้ดยใชส้ญัญาณเฉพาะ n = 0 ถงึ N-1
( ), 0 1( )
0,
x n n Nx n
otherwise
0 5
N=6
0 5
( )x n
( )x n
และบวกรวม ( ) ( )
r
x n x n rN
…
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-15
DFS กับ z-transform และ DTFT (ต่อ)
•
21
0
21
0
( ) ( )
( )
N j nkN
n
nN j k
N
n
X k x n e
x n e
2( ) ( ) j kNz e
X k X z
ความสมัพนัธ ์DFS และ z-transform
2( ) ( )j
kN
X k X e
ความสมัพนัธ ์DFS และ DTFT
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-16
DFT กับ DFS
• DFS เป็นการแปลงสญัญาณเชงิเวลาไมต่อ่เน่ืองและเป็นคาบ ให้
เป็นสญัญาณเชงิความถีแ่บบไมต่อ่เน่ืองและเป็นคาบ
• แตส่ญัญาณบางอยา่งท ั่วๆไป อาจจะไมเ่ป็นคาบก็ได้
• ในการวเิคราะหจ์งึตอ้งตดัสญัญาณนัน้มาหน่ึงชว่งและหา DFS
ของชว่งสญัญาณนัน้ ซึง่เราสมมตใิหเ้ป็นชว่งหน่ึงคาบ
• และเราเรียกการแปลง DFS กบัสญัญาณเพียงหน่ึงคาบนัน้วา่การ
แปลง DFT
DFT เป็นการแปลงท่ี ใช้การหา DFS ของสญัญาณเพียงหน่ึงคาบ
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-17
CTFT
( )x n
( )jX e t
( )X j
2 2n
( )X k
DTFT
0 N-10 N-1
DFS
DFT
0 N-10 N-1
( )X k
k
k
1 คาบ
( )x t
( )x n
( )x n
DSP5-18
การเพิ่มจ านวนศูนย์ (zero padding)
1, 0 3( )
0,
nx n
otherwise
ตวัอยา่ง เป็นสญัญาณทีม่คีา่เป็นหนึ่งเฉพาะยา่น
( ) [1,1,1,1]x n
4
'( ) [1,1,1,1,0,0,0,0]
zeros
x n
นัน่คอื
ตวัอยา่งเมือ่เพิม่ศนูย ์4 ตวั
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-19
ผลการแปลง DTFT ของ x(n)
dsp_5_6.epsCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-20
หา DFT ของ x(n) 2 2
4j j
NNW e e j
3
40
( ) ( ) , 0, 1,...nk
n
X k x n W k
3 30
40 0
(0) ( ) ( ) (0) (1) (2) (3) 4n
n n
X x n W x n x x x x
k=0
k=13 3
1
40 0
3 32 2
40 0
3 33 3
40 0
(1) ( ) ( )( ) 0
(2) ( ) ( )( ) 0
(3) ( ) ( )( ) 0
n n
n n
n n
n n
n n
n n
X x n W x n j
X x n W x n j
X x n W x n j
k=2
k=3
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-21
N=4
dsp_5_7.epsCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-22
N=8
dsp_5_8.epsCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-23dsp_5_9.eps
N=16
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-24dsp_5_10.eps
N=32
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-25
ความละเอียด (Resolution) ของการค านวณสเปคตรัม
• การเพิม่ศนูย์ Zero padding เป็นการเตมิจุดค านวณให้
มากขึน้ เพือ่ชว่ยในการเพิม่ ความหนาแน่น (density)
ของการแสดงสเปคตรมั
• แตไ่มไ่ดเ้ป็นการเพิม่ความละเอยีด (resolution) ในการ
วเิคราะห์สเปคตรมั ตอ้งเพิม่จ านวนจุด (point) ในการ
ค านวณ DFT
( ) cos(0.48 ) sin(0.52 )x n n n
ตวัอยา่ง ล าดบั x(n) มอีงคป์ระกอบความถี ่อยูส่องความถี ่
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-26
ส าหรับสัญญาณ x(n) n=0 ถงึ 9
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-27
เพิ่มศูนย์อีก 40 ตัว
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-28
แม้เพิ่มศูนย์อีก 90 ตัว กไ็ม่เพิ่มความละเอียด
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-29
ใช้สัญญาณ x(n) จ านวน 100 ล าดับ จะเหน็รายละเอียดของสองความถี่
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-30
ขนาด และ เฟสของ x(n)=[ … 0 1 0 … ]
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP5-31
สรุป
• DFT ใชใ้นการค านวณการแปลงฟูรเิยร์ ดว้ยตวั
ประมวลผล (คอมพวิเตอร์ หรอื โปรเซสเซอร์)
• DFT ก็คอื DFS ส าหรบัสญัญาณเพียงหน่ึงคาบ
• DFT (DFS) มคีวามเชือ่มโยงกบัการแปลงแซด และ
DTFT
• การเพิม่ศนูย์ Zero padding เป็นการเตมิจุดค านวณให้
หนาแน่นมากขึน้แตไ่มช่ว่ยเรือ่งความละเอยีดของ
สเปคตรมั
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon