第8卷 第10期 Vol.8 No.10

2015 年 5 月 May 2015

覆冰导线舞动的数值计算分析

秦 力，徐天元

（东北电力大学建筑工程学院，吉林吉林 132012）

摘要：利用假设模态法模拟导线舞动，导线的舞动表示为 3 个广义坐标。为避免繁琐的矢量运算，从能量角度

采用 Lagrange 法建立覆冰导线的非线性运动方程，并用 Runge-Kutta 数值计算法求解运动方程并得到顺风向、

横风向和扭转向导线舞动的时程响应。根据 Lyapunov 的第一稳定性理论推导出覆冰导线舞动的临界风速计算

公式，并利用试验导线验证该数值求解和临界风速的可行性。

关键词：土木建筑结构；覆冰导线；舞动；Runge-Kutta；临界风速

中图分类号：TM751 文献标识码：A 文章编号：1674-2850(2015)10-1014-08

Numerical analysis of the iced transmission line galloping

QIN Li, XU Tianyuan

(School of Civil Engineering, Northeast Dianli University, Jilin, Jilin 132012, China)

Abstract: Assumed mode method had been used to simulate the iced transmission line galloping. Three

generalized coordinates represented the iced transmission line galloping. In order to avoid complicated

calculation of vector, the Lagrange equation had been used to build the nonlinear equations of iced

transmission line from the perspective of energy. The Runge-Kutta numerical calculation had also been

used to solve the equations of motion and get the across-wind, along-wind and torsional response of iced

transmission line. Based on the first Lyapunov stability theory, the critical wind speed formula of the iced

transmission line galloping was deduced. The feasibility of the numerical solution and the critical wind

speed had been verified by using a test iced transmission line.

Key words: civil construction structures; iced transmission line; galloping; Runge-Kutta; critical wind

velocity

0 引言

输电导线在风荷载作用下的振动主要有微风振动、抖振、尾流驰振及舞动 4 种形式。其中，舞动对

输电线路的危害最大，也是重点防治对象[1]。舞动是指冬季导线覆冰后，形成非对称圆形截面，在风的

作用下产生一种低频（0.1～3.0 Hz）、大幅值（导线直径的 5～300 倍）的自激振动[2]。

我国属于舞动灾害最严重的国家之一。根据对我国已发生输电线路舞动的统计分析，线路舞动分布呈

现明显的区域性，即形成一条南起湖南、北至吉林的漫长“舞动带”[3]。据不完全统计，1957 年至 2008 年，

我国东北、华北、华中、西北等地区输电线路发生导线舞动 60 多次，波及 10，35，66，110，220，500 kV 等

电压等级的输电线路 140 多条，舞动引起线路跳闸 120 多次，造成了巨大的经济损失[4]，因此对覆冰导

线舞动的研究已迫在眉睫。

研究模拟导线舞动时采用假设模态法，假设覆冰导线舞动的模态为正弦曲线函数，以能量计算的方

作者简介：秦力（1970—），男，教授，主要研究方向：框架―剪力墙结构优化设计、输电线路覆冰导线舞动机理、输电线路导线疲劳

特性、高层建筑结构选型、严寒地区建筑围护结构节能技术. E-mail: qinli@nedu.edu.cn

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May 2015 秦 力等：覆冰导线舞动的数值计算分析 1015

式并结合 Lagrange 方程推导出覆冰导线舞动的非线性运动方程组[5]，采用 Runge-Kutta 数值计算法求解

方程组并得到导线顺风向、横风向和扭转向的时程响应，并将结果和试验观测数据作比对。根据 Lyapunov

第一稳定性理论推导覆冰导线舞动的临界风速计算公式[6]。最后用试验导线的数据[7]和结论验证该方法

的可行性。

1 能量法建立覆冰导线舞动非线性运动方程组

当体系可以表示为 n 个相互独立的坐标时，即可将这些相互独立的坐标称之为广义坐标，且通过这

n 个广义坐标就可以唯一确定该力学体系的形状[8]。

k p k pd

dii i

E E E EF

t q q

， （1）

其中，Ek 为体系中由广义坐标表示的动能；Ep 为体系中由广义坐标表示的势能；qi 为广义位移；Fi 为广

义力；i 为 y，z， .

给定覆冰导线的属性，覆冰导线的截面积为 A，总长度为 L，初始扭矩为 M0，初始张力为 T0，弹性

模量为 E，极惯性矩为 Ip，剪切模量为 G. 假设覆冰导线舞动模态为正弦函数，导线上某一点的各向位移

可表示为

, sinn s

y s t Y tL

， （2）

, sinn s

z s t Z tL

， （3）

, sinn s

s t tL

， （4）

其中，sinn s

L

为覆冰导线振动的 n阶模态，后面计算取一阶模态计算；y(s, t)，z(s, t)和 θ(s, t)分别为导

线某点在横风、顺风和扭转 3 个方向的位移；Y(t)，Z(t)和 t 分别为导线某点在横风、顺风和扭转 3 个

方向的广义位移。

1.1 能量计算

覆冰导线的动能分别由横风、顺风和扭转的三向运动组成，用广义位移表示的覆冰导线在 t 时刻的

动能为

2 2 2 2 2k 0 0

2 2

0 0

1 1sin d sin d

2 2

sin d sin d

L L

L L

z y

s sE m s Y Z J s

L Ls s

s Z s YL L

，S S

（5）

其中，Sy，Sz 分别为单位覆冰导线对 y，z 坐标轴的质量矩阵。

用广义位移表示的覆冰导线扭转应变为

cos .s

L L

（6）

用广义位移表示的覆冰导线轴向应变为[9]

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2

2 21cos cos cos

2sY s Z s s

Y Z Y Zs L L s L L L L

. （7）

将式（6）、式（7）代入系统的总应变能公式，得

2 2e p 0 0 0

1 1d .

2 2

L

s sV GI AE M T s

（8）

用广义位移表示的覆冰导线的重力势能为

g 0sin d .

L sV mg Y Y s

L

（9）

系统的整体势能为

p e g .E V V （10）

1.2 风攻角与气动力计算

总风攻角（如图 1 所示）为[10]

1

sin sin sin .2z z

s s D sY

L U L U L

（11）

其中，α为总风攻角；Uz 为风速。

图 1 覆冰导线截面及风攻角示意图

Fig. 1 Picture of the transmission line’s section and the wind attack angle

覆冰导线沿横风向、顺风向和扭转向的广义气动力公式分别为

L Dcos sinyF Q Q ， （12）

L Dsin coszF Q Q ， （13）

MM Q ， （14）

其中，QD，QL，QM 分别为横风向、顺风向和扭转向的广义力，其计算公式如下：

2

D D 0

1sin d

2

L

zs

Q D U C sL

， （15）

2

L L 0

1sin d

2

L

zs

Q D U C sL

， （16）

2

M M 0

1sin d

2

L

zs

Q D U C sL

， （17）

其中，ρ为空气密度；D 为导线直径；CD，CL，CM 为气动力系数，分别为阻力系数、升力系数和扭转系

数，具体数值可由气动力系数曲线得到。

1.3 运动方程组的建立

将式（15）、式（16）、式（17）代入式（12）、式（13）、式（14），并连同式（5）、式（10）代入式（1），

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May 2015 秦 力等：覆冰导线舞动的数值计算分析 1017

可得到覆冰导线的运动方程组如下：

22 3 2 4 3 32 3 3 0 0

2 3 2 3 2 32 3 3 0 0

3

1 AE d 3 AE d 3π AEcos d cos d

2 d d2 16

AE d d AE d AE cos d cos d

d d d2

d cos

d

L L

y

L L

Y Y s Y Y s YF mLY s s

s L s LL L L

Z Y Z s Z Y s Y Zs s

s s L s LL L L

Z s

s L

24 2 2

3 0 0

3 AE AE d d 2 cos d

2 d16

L L

yY Z m Y s

s Y sL s LL

，

（18）

2 3 2 2 2 32 3 2 0 0

2 3 2 4 3 3 33 3 3 0 0

3

0

1 AE d d AE d AEcos d cos d

2 d d d2

d 3 AE d 3 AE AE cos d cos d

d d2 16

d cos

d

L L

z

L L

L

Y Y Z s Y Y s ZF mLZ s s

s s L s LL L L

Z s Z Z s Z Y Zs s

s L s LL L L

Y

s

4 2 2 2

3 2 0

3 AE AE d dd 2 cos d

d d16 2

L

zs Y Z mL Y Z s

s Z sL s s LL L

，

（19）

21

2 2p

p

GIM JL JGI

L

， （20）

其中，ζy，ζz，ζ 分别为覆冰导线横风、顺风以及扭转 3 个方向的阻尼比。

2 水平张力计算

AB 点受力（如图 2 所示）计算如下[11]：

d

dAxx

F Ts

， （21）

d

dAyy

F Ts

， （22）

d d d

dd d dBxx x

F T T ss s s

， （23）

d d d

d .d d dByy y

F T T ss s s

（24）

BA 点受力计算如下：

d

dA x

x uF T t

s

， （25）

d

dA y

y vF T t

s

， （26）

d dd

d dB x

x u x uF T t T t s

s s s

， （27）

d dd .

d dB y

y v y vF T t T t s

s s s

（28）

由此张力计算可依照式（21）～式（28）化简如下：

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d d

0d d

xT

s s

， （29）

d d

.d d

yT mg

s s

（30）

图 2 单元段导线风吹位移端点应力图

Fig. 2 Stress diagram of the unit transmission line endpoints’ displacement

3 临界风速计算

将式（15）、式（16）、式（17）代入式（12）、式（13）、式（14）中，得

2 2

L D 0 0

1 1sin cos d sin sin d

2 2

L L

y z zs s

F D U C s D U C sL L

， （31）

2 2

L D 0 0

1 1sin sin d sin cos d

2 2

L L

z z zs s

F D U C s D U C sL L

， （32）

2 2

M 0

1sin d .

2

L

zs

M D U C sL

（33）

将式（31）、式（32）、式（33）进行泰勒展开后分别代入运动方程组，化简，整理可得到由 Y′，Z′，

Θ′，Y，Z，Θ 6 个变量表示的一阶近似非线性微分方程：

T T

.Y Z Y Z Y Z Y Z K （34）

导线起舞初始时间的确定，理论上可以解释为覆冰导线运动微分方程的解为不稳定，此时为舞动临

界状态[12]。根据 Lyapunov 第一稳定性理论，可用一阶近似微分判断方程的稳定性。利用 Lyapunov 第一

稳定性理论可由式（34）的系数矩阵 K 判断运动方程的稳定性即覆冰导线舞动的临界状态（如表 1 所示）。

表 1 舞动方程判别标准

Tab. 1 Galloping equation’s criterion

判断条件 方程稳定性 导线是否舞动

K 矩阵特征值的实数部分均为负 稳定 否

K 矩阵特征值的实数部分至少有一个为正 不稳定 是

K 矩阵特征值的实数部分最大者为 0 无法确定 临界

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4 覆冰导线运动方程组的求解与算例验证

Runge-Kutta 法是一种数值算法，也是目前为止最常用的求解微分方程组的计算方法之一，在求解覆

冰导线运动方程组时将采用四阶 Runge-Kutta 法。用 Matlab 编写计算程序 Runge-Kutta.m. 并采用试验导

线作 Runge-Kutta 计算方法的验算，试验导线数据如表 2 所示。

根据该试验导线的气动力系数[13]绘制气动力系数曲线，如图 3 所示。

如图 4～图 6 所示，用 Matlab 软件将气动力系数曲线拟合为三次多项式，结果如下：

3 2D 0.006 234 0.045 23 0.064 3 1.8C ， （35）

3 2L 0.028 55 0.294 2 0.956 4 0.825 2C ， （36）

表 2 试验导线数据

Tab. 2 Test transmission line data

参数 数值

横风、顺风阻尼比 0.004 4

扭转阻尼比 0.014 2

单位长度导线质量/ kg 1.8

单位长度转动惯量/ (kg·m) 1.7×10–4

档距/ m 243.8

导线直径/ mm 28.1

拉伸刚度/ N 2.97×107

扭转刚度/(m2/rad) 159

水平张力/ kN 35.7

横风、顺风质量矩/ (kg·m) 0.266×10–3

扭转质量矩/ (kg·m) 0

风速/(m/s) 9

图 3 试验导线气动力系数曲线

Fig. 3 Coefficient curves of the test transmission

line aerodynamic forces

图 5 升力系数拟合

Fig. 5 Curve fitting of the lift coefficient

图 4 阻力系数拟合

Fig. 4 Curve fitting of the drag coefficient

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3 2M 0.015 44 0.136 6 0.141 7 0.397 7.C （37）

将以上数据输入 Matlab 计算程序 Runge-Kutta.m 得到导线随时间变化的位移曲线图，如图 7～图 9

所示。

利用 Matlab 编写覆冰导线起舞临界风速计算程序 UZjisuan.m.

5 结论

研究从能量角度推导了覆冰导线运动微分方程组，据此计算舞动临界风速并验证了可行性。结果表

明：覆冰导线在同风速（9 m/s）作用下，横风向最大向下位移为 1.01 m，最大向上位移为 1.09 m；扭转向

的角度为 8°至–6°. 由图 8 可以看出，覆冰导线在风荷载作用下顺风向的位移振幅逐渐减小；由图 9 可以

看出，覆冰导线在风荷载作用下扭转向的位移最高为 8°. 该段导线舞动临界风速的试验观测结果约

为 6.3 m/s，程序计算结果为 6.171 6 m/s，误差为 2.038%，说明提出的方法用于模拟导线舞动是可行的。

图 6 扭转系数拟合

Fig. 6 Fitting curve of the torsional coefficient

图 7 覆冰导线横风向响应线

Fig.7 Curve of the transmission line’s

across-wind response

图 8 覆冰导线顺风向响应

Fig. 8 Curve of the transmission line’s

along-wind response

图 9 覆冰导线扭转向响应

Fig. 9 Curve of the transmission line’s

torsional response

CM X

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May 2015 秦 力等：覆冰导线舞动的数值计算分析 1021

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