Eindhoven University of Technology

MASTER

Derde graads ionenoptica voor de microbundelopstelling

de Leeuw, R.W.

Award date:1992

Link to publication

DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

VDF/NK 92-05

7 ) ~·. \ . :) .f

Afstudeerverslag

Derde graads ionenoptica voor de microbundelopstelling

Rard de Leeuw

N.B. Bij dit afstudeerverslag hoort een bijlage: Getabelleerde aberratiecoëfficiënten voor de magnetische, elektrische en gecombineerde quadrupooi en de magnetische sextu- en octupool (VDF/NK 92-06)

Afstudeerbegeleider Ir. P .H.A. Mutsaers

Hoogleraar Prof. Dr. M.J .A. de Voigt

Technische Universiteit Eindhoven Faculteit der technische Natuurkunde

vakgroep Deeltjesfysica groep Kernfysische Technieken

mei 1992

For the bright gift of poetry was his; And in Zone walks and sweetly pensive musings He would create new worlds and people them With fond hearts and sweet sounds and sight of Beauty. He had been gifted, toa, with sterner powers. Even while a child he laid his dairing hand On science' golden key; and ere the tast es Or sportsof boyhood yet had passed away Oft would he hold communion with the mind Of Newton, and with awed enthusiasm learn The eternal Laws which bind the Universe And which the Stars obey.

W.R. Hamilton (c.1830)

INHOUDSOPGAVE HOOFDSTUK 1

INLEIDING

HOOFDSTUK 2 DE MICROBUNDELOPSTELLING EN JONENOPTICA

2.1 Inleiding 2.2 De microbundelopstelling 2.3 Ionenoptica

HOOFDSTUK 3 HAMILTON-MECHANICA

3.1 Inleiding 3.2 De Hamiltoniaan 3.3 Eigenschappen van Hamiltonianen 3.4 Canonieke transformaties 3.5 De simplectische conditie

HOOFDSTUK 4 DE MAGNETISCHE QUADRUPDOL

4.1 Inleiding 4.2 De quadrupooi 4.3 De baanvergelijkingen voor het centrale veldgebied

4.3.1 De vectorpotentiaal 4.3.2 De Hamiltoniaan 4.3.3 De baanvergelijking

4.4 De baanvergelijkingen voor het totale veldgebied 4.5 De invloed van aberraties op de baanvergelijking

4.5.1 De impulsspreiding 4.5.2 Parasitaire multipolen 4.5.3 Uitlijnfouten

4.6 De graad van de afzonderlijke bijdragen

1

3

3 3 6

9

9 9

14 17 19

21

21 21 23 24 26 27 29 33 33 34 37 38

HOOFDSTUK 5 DE ELEKTRISCHE EN DE GECOMBINEERDE QUADRUPDOL

5.1 Inleiding 5.2 De elektrische quadrupooi

5.2.1 De scalaire potentiaal 5.2.2 De Hamiltoniaan 5.2.3 De baanvergelijking 5.2.4 Parasitaire componenten

5.3 De gecombineerde quadrupooi 5.3.1 De Hamiltoniaan 5.3.2 De baanvergelijking

5.4 Veldberekeningen aan een elektrische quadrupooi 5.4.1 RELAX3D 5.4.2 De bepaling van de relatieve

veldsterkte parameter 5.4.3 Het resultaat van de berekeningen

HOOFDSTUK 6 DE OPLOSSING VAN DE BAANVERGELIJKINGEN

6.1 Inleiding 6.2 De eerste graads oplossing

6.2.1 De oplossing van de baanvergelijking 6.2.2 Matrixnotatie

6.3 De derde graads oplossing van de baanvergelijking voor het centrale veldgebied

6.4 De derde graads oplossing van de baanvergelijking voor het totale veldgebied

6.5 De oplossing van de van ö afhankelijke termen in de derde graads baanvergelijking

6.6 De oplossing van de baanvergelijkingen voor sextu- en octupolen

6. 7 De oplossing van de baanvergelijkingen voor de elektrische quadrupooi

6.8 De oplossing van de baanvergelijkingen voor de gecombineerde quadrupooi

6.9 Computerprogramma's 6.9.1 TRANSPORT 6.9.2 MICR03R

6.10 Faseruimtebehoud en de simplectische conditie

40

40 40 41 43 45 47 49 50 51 52 52

53 55

60

60 60 60 61

62

67

72

74

74

75 77 78 80 81

HOOFDSTUK 7 HET VERKLEINEN VAN DE BUNDELSPOTAFMETINGEN

7.1 Inleiding 7.2 Onderzoek naar de afmetingen van de bundelspot 7.3 Aanpassingen aan én een nieuwe uitlijnprocedure

voor de microbundelopstelling 7 .3.1 Aanpassingen aan de microbundelopstelling 7 .3.2 Uitlijning van de microbundelopstelling

7.4 Bundelgrootte metingen 7.5 Beperkingen van de huidige microbundelopstelling

HOOFDSTUK 8 CONCLUSIES EN AANBEVELINGEN

LITERATUURLIJST

APPENDIX A BEREKENINGEN BIJ HOOFDSTUK 4

APPENDIX B BEREKENINGEN BIJ HOOFDSTUK 5

83

83 83

88 88 90 94 96

98

100

105

107

HOOFDSTUK 1

INLEIDING

Binnen de groep kernfysische technieken die deel uitmaakt van de vakgroep deeltjesfysica van de faculteit technische natuurkunde aan de Technische Universiteit Eindhoven heeft men de beschikking over een microbundelopstelling, waarmee het mogelijk is om de concentraties van verschillende elementen binnen een preparaat te onderzoeken. Door een ionenbundel te focusseren tot afmetingen van enkele micrometers en vervolgens deze bundel over het preparaat te verplaatsen, is het mogelijk om plaatsafhankelijk onderzoek naar de elementverdelingen te doen.

De elementanalyse vindt plaats door gebruik te maken van verschillende detectie­technieken. In een microbundelopstelling wordt meestal de door het ionenbombardement geïnduceerde Röntgen-straling gedetecteerd, daar de kans op de opwekking van deze straling relatief groot is ten opzichte van de kans op andere reacties tussen projectiel en preparaatatomen. Bovendien is de geïnduceerde Röntgen-straling karakteristiek voor elk element. Met behulp van de detectie van Röntgen-straling is het mogelijk om concentraties in de orde grootte van 1 ppm (parts per million gewichtsfractie) te detecteren. Aanvullende informatie kan verkregen worden uit de detectie van verstrooide projectielen waardoor het mogelijk is om absolute concentraties van de verschillende elementen in een preparaat te bepalen.

In hoofdstuk twee wordt globaal de microbundelopstelling beschreven. Ook komen hier enkele begrippen uit de ionenoptica aan bod.

Naar aanleiding van een eerder afstudeeronderzoek [Man91] zijn er vragen gerezen over de vergelijkingen waarmee het gedrag van geladen deeltjes in de quadrupolen van de microbundelopstelling beschreven wordt. Om meer inzicht te verkrijgen in de struktuur van de zogenaamde baanvergelijkingen is besloten om deze vergelijkingen af te leiden met behulp van Hamilton-mechanica.

In hoofdstuk 3 wordt een inleiding tot de theorie van de Haminton-mechanica gegeven. Met behulp van deze theorie is in hoofdstuk 4 een afleiding gegeven van de zogenaamde derde graads baanvergelijkingen voor een geladen deeltje in het centrale veldgebied van een magnetische quadrupoot Ook wordt hier de afleiding van de baanvergelijkingen voor het totale veldgebied van een magnetische quadrupooi beschreven en het effect van verschillende parasitaire aberraties op deze baanvergelijkingen besproken. Onder deze parasitaire aberraties worden hogere graads magnetische multipolen en de spreiding in de impuls van de deeltjes in de ionenbundel verstaan.

De impulsspreiding van de te focusseren ionenbundel in de microbundelopstelling in Eindhoven is relatief groot in vergelijking met andere microbundelopstellingen. Deze grote impulsspreiding betekent een beperking voor de minimaal haalbare spotafmetingen, daar de focusserende werking van een quadrupooi mede afhankelijk is van de impuls van de te focusseren ionenbundeL Het is echter mogelijk om een quadrupooi te construeren die vrijwel ongevoelig is voor de impulsspreiding van de ionen. Deze zogenaamde achromatische quadrupooi wordt geconstrueerd door een elektrische quadrupooi in een magnetische quadrupooi in te bouwen (dit is een gecombineerde quadrupool) en door vervolgens de sterktes van de quadrupolen op geschikte wijze aan elkaar aan te passen. De derde graads

-1-

baanvergelijkingen voor de elektrische quadrupooi en de gecombineerde quadrupooi worden in hoofdstuk 5 afgeleid met behulp van Hamilton-mechanica.

De oplossing van de baanvergelijkingen voor de gecombineerde quadrupooi is het eenvoudigst wanneer de effectieve lengten van de elektrische en de magnetische quadrupooi gelijk zijn. De effectieve lengte van een magnetische quadrupooi is te bepalen uit het verloop van het magnetische veldprofieL Dit magnetische veldprofiel kan gemeten worden. Het veldprofiel in een elektrische quadrupooi kan moeilijk gemeten worden. Het kan wel berekend worden, de resultaten van de berekening van de effectieve lengte uit dit berekende veldprofiel van een elektrische quadrupooi worden besproken in hoofdstuk 5.

In hoofdstuk 6 wordt beschreven hoe de baanvergelijkingen voor de magnetische, de elektrische en de gecombineerde quadrupooi opgelost worden met behulp van de methode van successieve approximatie en Laplace-transformatie. De oplossingen van de derde graads baanvergelijkingen voor het centrale veldgebied kunnen exact berekend worden, de baanvergelijkingen voor het totale veldgebied worden opgelost in een benadering voor dit veldgebied: het zogenaamde rechthoekige veldprofieL De oplossingen van de baanvergelijking worden in een computerprogramma gebruikt zodat het mogelijk is de afmetingen van de met behulp van de microbundelopstelling gefocusseerde bundel te berekenen.

De oplossingen van de baanvergelijkingen voor de verschillende quadrupolen zijn te vinden in de bijlage bij dit verslag [Lee92].

De experimentele doelstelling was om afmetingen van de bundelspot te verkleinen tot de kleinst mogelijke waarden bij een bundelstroom van 100 pA. Het resultaat van deze opdracht is beschreven in hoofdstuk 7 van dit verslag.

In hoofdstuk 8 tenslotte worden enkele conclusies uit het afstudeeronderzoek getrokken en worden enkele aanbevelingen gedaan met betrekking tot verder onderzoek en het verder verkleinen van de afmetingen van de bundelspot

-2-

HOOFDSTUK 2

DE MICROBUNDELOPSTELLING EN IONENOPTICA

2.1 INLEIDING

Wanneer een preparaat met een bundel hoog-energetische ionen beschoten wordt is het mogelijk om aan de hand van de vrijkomende straling uit het preparaat, of aan de hand van de mate van verstrooiing en/of afremming van de ionen, de samenstelling van het preparaat te bepalen. Als de binnenkomende ionenbundel gefocusseerd wordt tot afmetingen van enkele micrometers is het mogelijk om plaatsafhankelijk de samenstelling van het preparaat te bepalen door de bundel over het preparaat te bewegen.

Binnen de groep kernfysische technieken van de vakgroep deeltjesfysica van de faculteit natuurkunde aan de Technische Universiteit Eindhoven heeft men de beschikking over een A VF-Cyclotron [Ver63] waarmee onder andere protonen versneld worden. Deze protonen worden naar de microbundelopstelling getransporteerd om daar gefocusseerd te worden tot een bundelspot met afmetingen van enkele micrometers. De microbundelopstelling wordt kort beschreven in paragraaf 2.2.

De microbundelopstelling maakt gebruik van twee spleetbekken systemen om de ionenbundel te definiëren en vier magnetische quadrupalen om de bundel te focusseren. De vier quadrupalen vormen samen een lenssysteem. De bundel en de lens vormen samen een ionenoptisch systeem. De tak van de natuurkunde die ionenoptische systemen beschrijft wordt de ionenoptica genoemd. In paragraaf 2.3 komen enkele basisbegrippen uit de ionenoptica aan bod, die in de andere hoofdstukken van dit verslag gebruikt worden.

2.2 DE MICROBUNDELOPSTELLING

Het A VF-Cyclotron is in staat om protonen te versnellen tot een energie van 30 Me V. Daar de optimale detectielimiet voor de karakteristieke Röntgenstraling van veel elementen bereikt wordt wanneer de induceren de protonen een energie tussen de 2 en 4 Me V bezitten, is er voor gekozen om de protonen te versnellen tot een energie van 3 MeV. De maximale bundelstroom die aan het cyclotron onttrokken mag worden bij een energie van 3 Me V bedraagt 30 pA.

De versnelde protonen worden met behulp van het bundelgeleidingssysteem na extractie uit het cyclotron getransporteerd naar de microbundelopstelling. Het bundelgeleidingssysteem is een stelsel van vacuüm gepompte aluminum buizen waaromheen buigmagneten (dipolen) en focusserende magneten (quadrupolen) geplaatst zijn, zodat de bundel zonder verlies aan bundelintensiteit onderweg naar één van de opstellingen getransporteerd kan worden (figuur 2.1).

De door het Cyclotron versnelde ionenbundel bezit een energiespreiding van ongeveer 0,3% (volle breedte op halve hoogte). Daar het voor sommige experimenten van belang is om de energiespreiding te verminderen [Dij92] [Man91], is de mogelijkheid aanwezig om dit met

-3-

behulp van een zogenaamd dispersief systeem te doen.

T4 mhnr3 •t'lq,.c

o------------o~---~-k~.~~~~~

Q•l ~eZ

mUb~

~hl

10 meler j!Vh ~---+-----

QU Qbf ....

AVF cyclotron

Figuur 2.1 Het cyclotron, het bundelgeleidingssysteem en de verschillende opstellingen, de microbundelopstelling is de lijn van schakelmagneet (Mei) tot en met SP !XE-kamer (SP !XE = Scanning Partiele lnduced X-ray Emission)

Dit dispersief systeem bestaat uit twee horizontale spleten (Sb1) die door middel van twee afbuigmagneten (Mb4 en Mc1) en drie quadrupolen (Qcl, Qc2 en Qc3) op twee verderop gepositioneerde horizontale spleten (Sc2) afgebeeld worden (figuur 2.1). Door de opening van de twee spleetsystemen te beperken kan de energiespreiding van de bundel verminderd worden. Wanneer bijvoorbeeld voor Sb1 een opening van 1,3 mm en voor Sc2 een opening van 1,5 mm gekozen wordt, wordt de energiespreiding beperkt tot een waarde van 0,1 %. Deze reductie van de impulsspreiding gaat echter wel ten koste van de grootte van de bundelstroom: na de genoemde instelling resteert slechts 4 van de oorsprokelijke 30 pA.

De eigenlijke microbundelopstelling is weergegeven in figuur 2.2. De afstanden tussen de verschillende onderdelen van de opstelling staan vermeld in tabel 2.1.

quadrupolen

Ql Q2 Q3 Q4

voorwerpsspleet

granieten draagsteen

Figuur 2.2 Schematische weergave van de microbundelopstelling

-4-

vacuümkamer

' scanmagneet

cup

Tabel 2.1 De afstanden tussen de verschillende elementen in de microbundelopstelling

afstand

voorwerpsspleet - apertuurspleet 5645 ± 1 mm apertuurspleet - midden Q1 273 ± 1 mm midden Q 1 - midden Q2 380 ± 1 mm midden Q2 - midden Q3 376 ± 1 mm midden Q3 - midden Q4 380 ± 1 mm midden Q4- trefplaat 376 ± 1 mm

De binnenkomende bundel wordt gedefinieerd met behulp van twee spleetbekken systemen. De beide spleetsystemen (die elk vier roestvrijstalen of koolstof bekkens bevatten) zijn met behulp van micrometers instelbaar (nauwkeurigheid 10 pm). De voorwerpsspleten beperken de afmetingen van de bundel ter hoogte van dit spleetbekken systeem. De apertuurspleten beperken vervolgens de divergentie (paragraaf 2.3) van de bundel. Dit beperken van de afmetingen en de divergentie van de bundel is noodzakelijk omdat de focusserende eigenschappen van de quadrupolen onder andere afhankelijk zijn van deze twee grootheden (hoofdstuk 4 en verder). Een bijkomend voordeel is dat door deze definitie van de bundel het mogelijk is om de werking van de microbundelopstelling modelmatig door te rekenen.

De gedefinieerde bundel wordt met behulp van vier magnetische quadrupolen (Q 1 tot en met Q4) gefocusseerd op een trefplaat in de vacuümkamer. De focussering is dus een afbeelding van de bundel die de opening tussen voorwerpsspleten passeert op de trefplaat met behulp van een ionenoptisch lenssysteem.

De vier watergekoelde quadrupolen bevinden zich elk op een zogenaamd bokje waarmee het mogelijk is om de quadrupolen nauwkeurig om de optische as (paragraaf 2.3) van het systeem uit te lijnen [Man91] (hoofdstuk 7). De karakteristieken van de gebruikte quadrupolen zijn te vinden in [Laa91] en [Man91]. De vier quadrupolen zijn zo dicht mogelijk tegen elkaar en zo dicht mogelijk op de trefplaat geplaatst om een zo groot mogelijke verkleining van de bundel te kunnen bereiken.

Tussen het lenssysteem en de kamer bevindt zich een dubbele dipoolmagneet waarmee het mogelijk is om de bundel over de trefplaat te verplaatsen (scannen). Het plaatsen van de scanmagneet op deze plaats heeft als nadeel dat de afstand tussen het lenssysteem en de trefplaat vrij groot moet zijn, wat een beperkende invloed heeft op de maximale verkleining die gehaald kan worden. Ze heeft echter ook een belangrijk· voordeel boven plaatsing voor het lenssysteem. Wanneer de bundel namelijk voor het lenssysteem wordt afgebogen, betekent dit dat de ingangscoördinaten en ingangsdivergenties vergroot worden, wat betekent dat de afmetingen van de gefocusseerde spot zullen toenemen. In Oxford, waar de scanmagneet voor de quadrupolen geplaatst is, is men in staat om een bundelspotafmeting van 0,3 pm te bereiken, met de scanmagneet maximaal bekrachtigd is de minimale spotafmeting echter in de orde van 10 pm [Gri91]. Door de scanmagneet achter het lenssysteem te plaatsen treedt geen meetbare spotvergroting op wanneer de scanmagneet bekrachtigd wordt.

De trefplaat bevindt zich in een vacuümkamer op een trefplaatwiel met zestien preparaat posities. Dit wiel is draaibaar (minimale hoekverdraaing 0,001 °) en verplaatsbaar in de x- en y-richting (stapgrootte 2 pm). Voorop de kamer bevindt zich een microscoop waarop een CCD-camera [Dan92] geplaatst is, het beeld van deze camera kan op een monitor bekeken worden. De camera wordt onder andere gebruikt bij het focusseren van de bundel

-5-

en het bepalen van het te scannen gebied van een preparaat. Achter op de vacuümkamer bevindt zich een Faraday-cup waannee de bundelstroom gemeten kan worden. Deze Faraday­cup kan eventueel door een venster vervangen worden voor het maken van rooster-schaduw­foto's, aan de hand waarvan de kwaliteit van de quadrupolen bepaald kan worden [Man91] [Dan92].

Het apertuurspleetbekken, de quadrupolen en de vacuümkamer bevinden zich op een grote granieten steen (de grafzerk) die geplaatst is in een bak met zilverzand, die weer rust op een dikke laag polystyreen. Het geheel staat nog eens op zes dempers, dit alles om de doorgifte van externe trillingen aan de opstelling te minimaliseren.

De totale microbundelopstelling wordt vacüum gehouden met behulp van twee pompstenen, die elk uit een voorvacuümpomp en een turbomoleculairpomp bestaan. Het ene pompstel bevindt zich aan de bundelpijp tussen de voorwerpsspleten en de apertuurspleten, het andere pompstel bevindt zich bij de vacuümkamer. Met de twee pompstellen is na een dag pompen een druk bereikt van ongeveer 4·10-6 mbar in de kamer en ongeveer 4·104 mbar in de bundelpijp. De vacuümbeveiliging wordt bestuurd met behulp van een PLC­besturingssysteem [Aen91].

De bediening van de totale opstelling, aansturing van de quadrupolen, het verplaatsen van het trefplaatwiel, het uitlezen van de hier niet beschreven detectoren, etcetera gebeurt met behulp van een rond een M68030 processor opgebouwd besturings- en data acquisitiesysteem [Atz92].

2.3 IONENOPTICA

In deze paragraaf worden enkele begrippen uit de ionenoptica besproken die in de volgende hoofdstukken gebruikt worden. Het is niet de bedoeling om een volledig overzicht te geven van alle bestaande definities en uitdrukkingen. Alleen die definities en uitdrukkingen die voor dit verslag van belang zijn komen aan bod.

De plaats en bewegingsrichting van een deeltje op een bepaalde tijd worden volledig bepaald door de drie coördinaten (x, y, z) en de impuls (p = (Px• Py• Pz)) op dat moment. De beweging van een bundel deeltjes kan dan beschreven worden door de drie coördinaten en de drie impulsen van alle deeltjes die deel uitmaken van de bundel te geven.

y

z

Figuur 2.3 Het gebruitte coördinatenstelsel

-6-

Het is echter inzichtelijker om de coördinaten op te geven ten opzichte van de zogenaamde centrale baan. Dit is een uit symmetrie-overwegingen gekozen referentiebaan door een ionenoptisch systeem. De centrale baan in de microbundelopstelling is gedefinieerd als de lijn tussen het midden van de opening tussen de voorwerpsspleten en het midden van het gat in de voorzijde van de vacuümkamer, waardoor de bundel binnentreedt. Deze centrale baan in de microbundelopstelling wordt ook wel optische as genoemd.

De optische as wordt gekozen als z-as van een rechtsdraaiend assenstelsel, waarin de positie van een deeltje gespecificeerd wordt door de drie coördinaten (x, y, z) (figuur 2.3). Wanneer de beweging van een deeltje in de x- en y-richting onafhankelijk is van de beweging van een deeltje in de z-richting kan de beweging gespecificeerd worden door in plaats van de impulsen de divergenties als bekend te veronderstellen. De divergentie in de x(y )-richting x'(y') is gedefinieerd als de verhouding van de impuls in de x(y)-richting en de impuls in de z-richting. In een microbundelopstelling is de beweging in de x-, y- en z-richting echter gekoppeld (door de z-afhankelijkheid van het randveld van de quadrupalen (paragraaf 4.4)), zodat deze definitie in feite niet correct is. Zij dient dan vervangen te worden door een andere definitie, namelijk die van de geschaalde impulsen (paragraaf 4.3). Omdat het effect van het verschil in definitie in de praktijk gering blijkt te zijn (paragraaf 4.4) wordt er bij voorkeur gewerkt met de definitie voor de divergentie. Deze definitie is begripsmatig eenvoudiger en in de microbundelopstelling is het zo op eenvoudige wijze mogelijk om de maximale ingangsdivergenties van de bundel te definiëren als de grootst mogelijke hoeken van een deeltje ten opzichte van de optische as, onder de voorwaarde dat dit deeltje in staat is om de voorwerpsspleet en apertuurspleet te passeren.

De verzameling van alle coördinaten en divergenties van de deeltjes in een bundel definiëren een zes-dimensionaal hypervolume in een zes-dimensionale ruimte, opgespannen door de drie coördinaten (x, y, z) en de drie impulsen (px, pY, Pz). Dit hypervolume in de zes­dimensionale faseruimte is constant (theorema van Liouville (paragraaf 3.3)). Door de projectie van dit zes-dimensionale volume op een twee-dimensionaal vlak (bijvoorbeeld het x, x'-vlak) te nemen, is het mogelijk om de ernittantie van de bundel in de twee-dimensionale x, x'-faseruimte (ex) te definiëren als het oppervlak van de projectie A gedeeld door 1t.

e = Al1t. (2.1) x

Uit het theorema van Liouville volgt dat de grootten van de drie projecties op de drie verschillende twee-dimensionale faseruimten gekoppeld zijn. Slechts wanneer de beweging in de drie richtingen x, y en z ontkoppeld is, is het oppervlak in de drie afzonderlijke ruimten een behouden grootheid.

Door de twee spleetsystemen in de microbundelopstelling is het mogelijk om het gedeelte van de bundel dat de trefplaat bereikt in grootte en in richting te beperken. De twee spleetsystemen beperken de acceptantie van het systeem. De acceptantie van een systeem is gedefinieerd als dat gedeelte van de zes-dimensionale faseruimte dat alle punten bevat waarvan de beginpositie en -divergentie zodanig zijn dat de deeltjes die door deze punten worden voorgesteld door het systeem geacepteerd zullen worden [Man91]. Voor een bepaald systeem kan dus zowel de acceptantie als de emittantie de beperkende factor voor de grootte van het zes-dimensionale hypervolume zijn. In een microbundelopstelling zal de acceptantie meestal de beperkende factor zijn, door de beperkte afmetingen van de openingen tussen de voorwerps- en apertuurspleten.

De acceptantie van de microbundelopstelling kan geschreven worden als

-7-

(2.2)

In deze uitdrukking symboliseren X0 en Y0 respectievelijk de halve breedte van de voorwerpsspleet in de x-richting en in de y-richting én 8 0 en <1>0 respectievelijk de maximale divergenties in de x- en y-richting (bij bepaalde spleetstanden onder de voorwaarde dat een deeltje met deze maximale divergenties de trefplaat bereikt). A is de projectie van het zes­dimensionale hypervolume op de vier-dimensionale faseruimte x,y,x',y'. Er is aangenomen dat de beweging in de x- en y-richting ontkoppeld is van de beweging in de z-richting.

Een laatste definitie die van groot belang zal blijken te zijn is de definitie voor de helderheid van de bundel ter hoogte van de voorwerpsspleten. De helderheid B is gedefinieerd als de verhouding van de bundelstroom I achter op de Faraday-cup en de acceptantie A van de microbundelopstelling

B = .!._ = I (2.3) A 2Xo2Yo8o<l>o

De helderheid wordt gegeven in pA/pm2mrad2•

-8-

HOOFDSTUK 3

HAMILTON-MECHANICA

3.1 INLEIDING

In de hoofdstukken 4 en 5 worden met behulp van Hamilton-mechanica de baanvergelijkingen voor ionen en elektronen in elektrische en magnetische quadrupalen afgeleid. In dit hoofdstuk worden die aspecten van de Hamilton-mechanica behandeld, die van belang zijn voor deze hoofdstukken. Voor de beschrijving van deze theorie is gebruik gemaakt van een aantal boeken [Cor60] [Gol80], conferentiebijdragen [Bel87] [Dra82] [Hag91] en dictaten [Bot88] [Muy90].

Hamilton-mechanica is een krachtig hulpmiddel om tot de oplossing van dynamische problemen te komen, zoals bijvoorbeeld het gedrag van geladen deeltjes in elektro­magnetische velden. De Hamilton-mechanica kent net als de Newton-mechanica bewegingsvergelijkingen, die in het geval van de Hamilton-mechanica af te leiden zijn uit de zogenaamde Hamiltoniaan. Deze Hamiltoniaan wordt in paragraaf 3.2 afgeleid uit de Euler­Lagrange-vergelijkingen voor een mechanisch systeem.

Binnen het Hamilton-formalisme bestaan handige hulpmiddelen om problemen op efficiënte en inzichtelijke wijze op te lossen. Deze hulpmiddelen worden in paragraaf 3.3 besproken, waar ook een belangrijk theorema uit de statistische mechanica bewezen wordt, dat geldig blijkt te zijn binnen het Hamilton-formalisme: het theorema van Liouville.

Vaak kan een probleem overzichtelijker worden gepresenteerd en/of gemakkelijker op te lossen gemaakt worden door binnen het Hamilton-formalisme de coördinaten en/of impulsen te transformeren. Een dergelijke transformatie binnen het Hamilton-formalisme heet een canonieke transformatie. De theorie hierachter komt in paragraaf 3.4 aan de orde. Omdat het vaak niet direct in te zien is of een bepaalde transformatie canoniek is of niet, is er een testcriterium nodig om te controleren of dit het geval is. Een mogelijke controle is het faseruimtebehoud, doch wanneer het een zes-dimensionaal systeem betreft (bijvoorbeeld een ion in een magnetisch veld) levert de controle hiervan praktische problemen op. Binnen het Hamilton-formalisme is er nog een ander controle-instrument: de simplectische conditie. Deze conditie komt, samen met een nieuwe notatiewijze voor de bewegingsvergelijkingen van Hamilton in paragraaf 3.5 aan de orde.

3.2 DE HAMILTONIAAN

Aan de hand van een voorbeeld worden de Euler-Lagrange-vergelijkingen voor een mechanisch systeem afgeleid. Uit deze vergelijkingen wordt na het opnemen van het elektromagnetische veld in de zogenaamde Lagrangiaan, de Hamiltoniaan voor een geladen puntmassa in een elektromagnetisch veld afgeleid.

Beschouw een puntmassa in een conservatief krachtveld, dat beschreven wordt met behulp van een cartesisch coördinatenstelsel x = (x,y,z). Omdat de kracht F conservatief is,

-9-

is zij af te leiden uit een potentiaal V:

F = -vv. (3.1)

De bewegingsvergelijking voor de puntmassa met massa m wordt gevonden met behulp van de eerste wet van Newton:

mx 11 = -VV '

(3.2)

waarin x" = d2xldr de versnelling van de puntmassa symboliseert. Evenzo wordt de snelheid van de puntmassa geschreven als x'= dxldt. Met behulp van de kinetische energie T van de puntmassa:

T = T(x ') = !!!..(x 12 + y 12 + z 12), (3.3)

2

wordt de bewegingsvergelijking geschreven als: d aT av dt ax.' = - ax.

I I

X; =X, y, Z. (3.4)

Door de Lagrangiaan of Lagrange-functie L als volgt te definiëren:

L = L(x,x 1 ) = T(x 1) - V(x), (3.5)

kan (3.4) weer geschreven worden als: d "dL ()L

dt axl I

= ax. I

X; =X, y, Z. (3.6)

Dit zijn drie tweede orde differentiaalvergelijkingen, met dezelfde betekenis als vergelijking (3.2). Deze vergelijkingen voor een mechanisch systeem worden de Euler-Lagrange- of Lagrange-vergelijkingen genoemd.

Een algemenere methode is om deze vergelijkingen af te leiden uit een variatieprobleem, namelijk het stationair maken van de functionaal W:

t,

W = JL(x,x 1 ,t)dt, (3.7)

t,

onder de voorwaarde dat x een voorgeschreven waarde heeft in t=t1 en t=t2• De functionaal W heet de actie-integraal en het feit dat de bewegingsvergelijking verkregen wordt door te zoeken naar de stationaire punten van deze integraal heet het actie-principe of het principe van Hamilton. Kennis van de Lagrangiaan alleen is voldoende om de beweging van een systeem vanuit een gegeven toestand in een conservatief veld te beschrijven.

De Lagrange-vergelijkingen kunnen veralgemeniseerd worden door in plaats van x en x' respectievelijk q en q' te gebruiken en deze te laten lopen over alle n relevante vrijheidsgraden van een systeem:

d ()L ()L = k = 1, .......... , n. (3.8)

In het vervolg zal de mededeling dat k over de n variabelen loopt achterwege gelaten worden, als dit duidelijk is.

Deze n Lagrange vergelijkingen beschrijven de beweging van het systeem aan de

-10-

hand van een representatief punt in een n-dimensionale zogenaamde configuratieruimte. Voor de complete oplossing van de n tweede graads Lagrange-bewegingsvergelijkingen zijn 2n constanten nodig. Dit kunnen bijvoorbeeld de waarden van de coördinaten en de snelheden op een bepaald tijdstip t0 zijn. Het geven van de waarden voor de snelheden is equivalent met het geven van de waarden voor de coördinaten op een tijdstip t0 + ót. Zodat voor de complete oplossing van de Lagrange-vergelijkingen de waarden van de coördinaten op twee tijdstippen voldoende zijn.

Een definitie die van groot belang zal blijken te zijn, is die van de canonieke impuls

aL pk = --,

aq: bovendien geldt met behulp van (3.8):

, aL Pk = -· aqk

(3.9)

(3.10)

Den tweede orde differentiaalvergelijkingen in (3.8) kunnen dus ook geschreven worden als 2n eerste orde differentiaalvergelijkingen. Verderop blijkt dat de canonieke impuls in het algemeen niet gelijk is aan de impuls mx~

Het conservatieve krachtveld van het voorbeeld is een niet noodzakelijke conditie. De Lagrangiaan bestaat ook als die krachten F, die niet vanuit een potentiaal afgeleid kunnen worden, geschreven kunnen worden in de vorm:

F = t !!_ aM _ aM ' k = 1 dt aq: aq k

(3.11)

waarin M een functie is van de coördinaten, de snelheden en de tijd. M heet de gegeneraliseerde potentiaal, die hoort bij de gegeneraliseerde kracht F. De Lagrangiaan kan nu als volgt geschreven worden:

L = T - V - M. (3.12)

Een systeem waarvoor geldt dat M = 0 heet een natuurlijk systeem. Voor de beschrijving van de beweging van een geladen deeltje in een

elektromagnetisch veld is deze uitbreiding van de Lagrangiaan noodzakelijk, omdat de kracht in een dergelijk veld mede van de snelheid afhangt en dus niet met behulp van een potentiaal geschreven kan worden. Hieronder wordt aangetoond dat de Lorentz-kracht geschreven kan worden als een gegeneraliseerde kracht, zodat het gerechtvaardigd is om de beweging van een geladen deeltje in een elektromagnetisch veld te beschrijven met behulp van een Lagrangiaan.

De vectorpotentiaal A en de scalarpotentiaal <I> zijn als volgt gedefinieerd: B = V x A (3.13)

a A E = -V'<l> - -,

ar (3.14)

met B en E respectievelijk het magnetische en elektrische veld. De Lorentz-vergelijking

-11-

F = q(E + x I x B) (3.15)

kan dan geschreven worden als:

!!:_(mx 1) = q[ -V <I> - dA + x 1 x (V x A)]. dt dt

(3.16)

In deze vergelijkingen staat q voor de lading van het deeltje. Met behulp van de volgende gelijkheid:

x' x (V' x A)= V (x' ·A)- (x'· V')A (3.17)

kan (3.15) ook worden geschreven als:

d -[mx' + qA] = -qV[<I>- x 1 ï4.]. dt

(3.18)

Met een totale tijdafgeleide aan de linkerzijde en een partiële afgeleide naar de plaatscoördinaten aan de rechterzijde heeft deze vergelijking de algemene vorm van een set Lagrange-vergelijkingen (3.8). De bijbehorende Lagrangiaan ziet er als volgt uit:

L = !!!_x ,z - q<I> + qx '·A . 2

Vergelijking met (3.12) leert dat

T = m ... ,z V <I> M ' :A T , = q en = -qx · .

(3.19)

In vergelijking (3.19) ontbreekt de tijdcoördinaat t, zodat éJL!dt = 0. Dit wordt het cyclisch zijn van de tijdcoördinaat genoemd, met als consequentie dat de energie E = T + V een bewegingsconstante van het systeem is. Dit kan voor een natuurlijk systeem als volgt aangetoond worden. Met behulp van de volgende stelling van Euler:

n dP( ) }:x; x = mP(x), i=l dX;

(3.20)

waarin P(x) een homogene veelterm van de graad m is in de variabelen x1, .... ,xn (N.B. P(x) = T(x')), geldt:

n I dT n I L qk-, = 2T =:E qkpk, k=l dqk k=l

(3.21)

waarin gebruik is gemaakt van de definitie voor de canonieke impuls (3.9). Daar n

E = T +V= 2T- L = }:q:pk- L(qk,q:,t) (3.22) k=l

geeft het uitwerken van dE/dt met behulp van (3.9-10) het reeds geponeerde resultaat:

dE éJL

dt = -Tt'

(3.23)

Zodat dus inderdaad de energie E een constante van beweging is als éJL!dt = 0.

Dit valt te veralgemeniseren voor het geval dat het systeem een niet natuurlijk systeem is met behulp van de volgende definitie voor de Hamiltoniaan H

-12-

(3.24)

Aan de linkerzijde staat een functie van P1c• Q~c en t, aan de rechterzijde een functie van P1c• qic, q/ ent. Het doel is om in het Hamilton-formalisme (de linkerzijde) de P~c en Q~c op dezelfde wijze als onafhankelijke variabelen te gebruiken als de qk en q/ in de Lagrangiaan. De transformatie van het variabelen paar (q~c,q/) naar het paar (q~c.PJ heet een Legendre­transformatie.

Door vergelijking (3.24) aan beide zijden te variëren, worden de volgende gelijkheden verkregen:

dH -dqk dqk

dH dH + -dpk + -dt =

dpk dt

:I I I :I dL :I dL :I I - dL ':\t = pkoqk + qk opk - -oqk - --OQ~c o dqk dq: dt

I :I dL :I - dL ':\t . qk opk - _oqk o dqk dt

(3.25)

Het laatste gelijkteken volgt met behulp van de definitie voor de canonieke impuls (3.9). Daar de variaties dpk, dqk en dt onderling onafhankelijk zijn, volgt hieruit, met (3.10):

~=~ 0~ dpk'

I dH P~c = -

dqk (3.27)

en

dH dL = at ar· (3.28)

De vergelijkingen (3.26) en (3.27) heten de canonieke bewegingsvergelijkingen van Hamilton. In wezen zijn dit nog steeds de bewegingsvergelijkingen uit formule (3.2). De variabelen P1c en qk heten canoniek geconjugeerd. Vergelijking van (3.28) met (3.22) leert dat de Hamiltoniaan H de energie van het systeem symboliseert.

De 2n canonieke vergelijkingen beschrijven de beweging van het systeem in termen van een representatief punt in een 2n-dimensionale ruimte gespecificeerd door de n variabelen qk en de n variabelen P~c· Deze ruimte wordt de faseruimte van het systeem genoemd. Als onafhankelijke variabelen die het systeem beschrijven worden nu de (canonieke) coördinaten en de (canonieke) impulsen aangenomen.

Deze faseruimte representatie biedt grote voordelen boven de configuratieruimte ( = de ruimte gedefinieerd door de coördinaten) en impulsruimte (=de ruimte gedefinieerd door de canonieke impulsen) representaties. Door elk punt in de configuratieruimte bestaan n mogelijke paden van een bepaald systeem onder de heersende krachten, daar de n impulsen nog vrij gekozen kunnen worden. Ditzelfde geldt voor de impulsruimte. Door elk punt in de faseruimte bestaat er voor een gegeven probleem slechts één pad: de baan van het systeem, alle variabelen zijn namelijk vastgelegd door het ene punt in de faseruimte. Daar de gezamenlijke waarden van qk en P~c op een bepaald tijdstip (=een punt in de faseruimte) de

-13-

toestand van het systeem op dat tijdstip specificeren. Maar bovendien kan dan de toestand van het systeem bepaald worden voor alle tijden, waarvoor de Harniltoniaan bekend is. Er is immers maar één mogelijke baan in de faseruimte. Het bovenstaande impliceert eveneens dat in de faseruimte de verschillende banen elkaar niet kunnen snijden. Als dit wel zou kunnen zouden er vanuit het snijpunt meerdere banen mogelijk zijn, wat in tegenspraak is met de éénduidige vastlegging. Een toestand van beweging wordt dus volledig beschreven door de n gegeven waarden voor de canonieke coördinaten en de n gegeven waarden voor de canonieke impulsen op tijdstip t0•

Wat nog rest is het afleiden van de Hamiltoniaan in aanwezigheid van een elektromagnetisch veld. De variabele q' in vergelijking (3.9) komt overeen met x' in de Lagrangiaan (3.19), zodat voor de canonieke impuls P1c• die hoort bij deze Lagrangiaan gevonden wordt:

P = dL = mx' + qA (3.29) 'dx' '

elimineer uit deze vergelijking x':

x' = p - qA. m

(3.30)

Vul deze vergelijking samen met de Lagrangiaan (3.19) in de Hamiltoniaan (3.24) in, dan volgt:

H = (p - qA)2 + q<t> (3.31) 2m

Dit is de Hamiltoniaan voor een geladen deeltje in een elektromagnetisch veld. De Hamiltoniaan in (3.31) is geldig onder verwaarlozing van relativistische effecten.

In het relativistische geval luidt de Hamiltoniaan:

H =JE/ + c2(p - qA)2 + q<t>, (3.32)

hierin is Er = m0c2 de rustmassa-energie van het deeltje. Deze Hamiltoniaan kan afgeleid

worden uit de relativistische Lagrangiaan voor de beweging van een deeltje met rustmassa m0

in een elektromagnetisch veld:

L(x,x 1 ,t) = -m0c 2(1-x 12/c 2) - q<t>(x 1 ,t) + qx 1 -A(x,t). (3.33)

3.3 EIGENSCHAPPEN VAN HAMILTONIANEN

In deze paragraaf worden enkele eigenschappen van Hamiltonianen besproken die de mogelijkheden voor het oplossen van problemen binnen het Hamilton-formalisme sterk uitbreiden en het vinden van de oplossing vereenvoudigen.

1. Deze eerste eigenschap is in de vorige paragraaf terloops reeds bewezen: wanneer H niet expliciet van de tijd afhangt is het een constante. Als

H = H(p,q) (3.34)

geldt er

-14-

dH _ aH I aH I aH - --Q +_p +_, dt aq ap at

Met behulp van de canonieke bewegingsvergelijkingen volgt hieruit:

dH = aH = O dt at

(dit volgt uit (3.34)), dus H = constant.

(3.35)

(3.36)

2. Een puur tijdafhankelijk deel in de Hamiltoniaan kan achterwege gelaten worden, H heeft dan de volgende gedaante:

H = H1

+ f(t). (3.37)

Het tijdafhankelijke deel heeft geen invloed op de canonieke bewegingsvergelijkingen en kan dus achterwege gelaten worden. Een constante in de Hamiltoniaan kan om dezelfde reden weggelaten worden.

3. Als een coördinaat niet expliciet aanwezig is in de Hamiltoniaan is zijn geconjugeerde variabele een constante van beweging. Dit is eenvoudig te bewijzen: stel dat qk niet expliciet aanwezig is, dan volgt uit de canonieke bewegingsvergelijking:

1 aH Pk = -- = 0, (3.38)

aqk

ofwel Pk = constant.

4. Een vierde eigenschap is dat de canonieke bewegingsvergelijkingen canoniek blijven als de coördinaten en impulsen met een constante factor geschaald worden. Door de variabelen op de volgende manier te schalen:

pk = apk (3.39)

t = rot

en de nieuwe Hamiltoniaan te schrijven als:

- a~ H(Pk,Qk,t) - _H(pk,qk,t) (J)

blijven de canonieke bewegingsvergelijkingen onveranderd.

5. De speciale rol van de Hamiltoniaan H en de tijd t in het variatie-principe:

'• 8 J (pkq: - H) dt = 0 k = l, ....... ,n

t,

(3.40)

(3.41)

(3.42)

(3.43)

kan overgenomen worden door elk willekeurig paar van canoniek geconjugeerde variabelen.

-15-

Neem

-p = H n+l (3.44)

en

qn+l = t ' (3.45)

dan wordt vergelijking (3.43)

k = 1, ........ ,n+ 1. (3.46)

Omdat op deze wijze H en t als geconjugeerde variabelen behandeld worden, kan hun speciale rol in de formulering van het principe van Hamilton overgenomen worden door elk willekeurig paar geconjugeerde variabelen. Zo'n paar kan worden aangegeven door qi en Pi = -K. K representeert de nieuwe Hamiltoniaan en qi gedraagt zich als een nieuwe tijdcoördinaat, dus

K = K(pk,qk,t) k = 1, ....... ,n+1 , -:t j. (3.47)

De canonieke bewegingsvergelijkingen worden:

I dK qk =

dpk

dK dqk

waar bij q/ en p/ het accent nu staat voor differentiatie naar qi.

(3.48)

(3.49)

Als de Hamiltoniaan H niet expliciet van de tijd afhankelijk is, dan is de canonieke impuls Pn+I (= -H) in vergelijking (3.47) een constante. Bovendien verschijnt in deze vergelijking de coördinaat qn+I (=t) niet. Het aantal dimensies van het probleem is dan met één gereduceerd ten opzichte van het probleem in vergelijking (3.43). Waardoor dus twee bewegingsvergelijkingen minder nodig zijn om het probleem te beschrijven.

6. Een volgende eigenschap waarvan gebruik gemaakt wordt, luidt: als een Hamiltoniaan gesplitst kan worden in delen die slechts afhangen van één coördinaat en zijn geconjugeerde impuls, kan elk deel als een afzonderlijke Hamiltoniaan behandeld worden:

(3.50)

De canonieke bewegingsvergelijkingen blijven dan onveranderd.

7. Een laatste eigenschap staat bekend als het theorema van Liouville. De in de vorige paragraaf genoemde banen in de faseruimte kunnen als een soort stroomlijnen beschouwd worden. De snelheid waarmee een stroomlijn doorlopen wordt is gedefinieerd als

I I I I V = (ql , ........ ,qn •PI •········Pn ), (3.51)

dit wordt de faseruimtesnelheid genoemd. Als nu de divergentie V in de faseruimte gedefinieerd wordt als

-16-

[ a a a a J V= aql, ........ ,aqn'apl, ........ ,aqn,

(3.52)

volgt hieruit, met behulp van de canonieke bewegingsvergelijkingen, voor de divergentie van de snelheid:

v ·v = t [aq: + ap: J = t [ èJ2H - èJ2H J = o. k =I dQk dpk k =I dQkdpk dpkdqk

(3.53)

Dit wil zeggen dat de stroming in de faseruimte onsamendrukbaar is. Dit heet een Hamiltonse stroming en is bekend als het theorema van Liouville: het volume in de faseruimte voor een Hamiltoniaans systeem is constant.

3.4 CANONIEKE TRANSFORMATIES

Het werkt vaak verhelderend om de coördinaten en de impulsen die in een Hamiltoniaan voorkomen zo te transformeren dat een nieuwe Harniltoniaan verkregen wordt die tijdonafhankelijk of eenvoudig te begrijpen is. Ook is het mogelijk dat door een geschikte transformatie oorspronkelijk gekoppelde beweging ontkoppeld getoond wordt. Het is wel de bedoeling dat de transformatie plaatsvindt binnen de grenzen van het Hamilton-formalisme. Dergelijke transformaties heten canonieke transformaties.

In het Harnihon-formalisme zijn zowel de coördinaten als de impulsen onafhankelijke variabelen. Het resultaat van de meest algemene transformatie van de oude variabelen q" en Pk naar de nieuwe variabelen Q" en Pk is dat de nieuwe coördinaten en impulsen geschreven kunnen worden als een functie van de oude coördinaten, impulsen en de tijd:

Qk = Qk(qk,pk,t) (3.54)

(3.55)

Als de tijdcoördinaat niet in deze transformatievergelijkingen voorkomt, wordt er van een beperkte transformatie gesproken. Voor de Hamilton-mechanica zijn alleen die transformaties van belang waarvan het resultaat is dat Qk en P" canoniek geconjugeerd zijn. Aan deze eis is voldaan als er een nieuwe Hamiltoniaan K(Qk,Pk,t) bestaat zo dat de bewegingsvergelijkingen in de nieuwe set de vorm van Harnihons canonieke bewegingsvergelijkingen hebben:

Q I = aK p I = - èJK (3.56) k (Jp ' k èJQ .

k k

Transformaties waarvoor deze vergelijkingen gelden heten canonieke transformaties.

Daar de Hamiltonse bewegingsvergelijkingen volgen uit het principe van Hamilton: t,

8 ([ Ê pkq: - H(q",p",t)]dt = 0, jl k =I t,

(3.57)

(deze vergelijking volgt uit (3.7) waarin de definitie voor de Hamiltoniaan (3.24)

-17-

gesubstitueerd is) moet ook voor de getransformeerde coördinaten aan dit principe voldaan ZIJn:

(3.58)

Aan deze twee variatieprincipes, één voor de oude en één voor de nieuwe coördinaten moet tegelijkertijd voldaan zijn. Dit heeft tot gevolg dat het verschil tussen de twee Lagrangianen ten hoogste kan bestaan uit een totale tijdafgeleide van een functie F, omdat onder de voorwaarden van het principe van Hamilton de totale tijdafgeleide van die functie F niet bijdraagt aan de variatie van de tijdintegraal:

t,

JdF dt = F(2) - F(1). I df

I

(3.59)

De variatie van deze integraal is namelijk nul voor iedere functie F, omdat de variaties in de eindpunten gelijk aan nul zijn (principe van Hamilton). F heet de genererende functie van de transformatie en zodra F gegeven is, zijn de transformatievergelijkingen volledig vastgelegd.

Om daadwerkelijk een transformatie voor te stellen moet F zowel een functie van de oude als van de nieuwe coördinaten zijn. Naast de tijdcoördinaat zijn dat dus 4n variabelen. Maar slechts 2n van deze variabelen zijn onafhankelijk, daar de twee coördinatensets door middel van 2n transformatievergelijkingen gekoppeld zijn. Daarom kan de genererende functie slechts vier gedaantes aannemen:

Ft(qk,Qk,t), F2(qk,Pk,t), F3(pk,Qk,t), F4(pk,Pk,t) ·

Het hangt van de aard van het probleem af welke vorm voor F gekozen moet worden. De genererende functie F1 is de juiste keus als de integranten van (3.57) en (3.58)

door de volgende relatie gekoppeld kunnen worden:

(3.60)

De totale tijdsafgeleide van F1 wordt geschreven als

dF1 aF1 1 aF1 I aF1 -- = --Qk + --Qk + --· dt aq" aQ" at

(3.61)

Omdat q" en Q" onafhankelijk zijn is alleen aan (3.60) voldaan als de coëfficiënten van q" en Q" tegelijkertijd verdwijnen:

P" = aFl (3.62) aq"

(3.63)

en

(3.64)

De n vergelijkingen in (3.62) zijn alleen een functie van p", qlr., Q" en t. Hieruit kunnen de n

-18-

variabelen Q" opgelost worden, waardoor de transformaties in (3.54) bekend zijn. Op gelijke wijze worden de transformaties in (3.55) gevonden uit de n vergelijkingen in (3.63). Vergelijking (3.64) tenslotte legt de relatie tussen de oude en de nieuwe Harniltoniaan.

Voor de overige drie genererende functies worden op dezelfde wijze de nieuwe canonieke bewegingsvergelijkingen en de nieuwe Harniltoniaan gevonden. - F2 = Fiq,P,t):

aF2 pk =-, aq"

- F3 = Fip,Q,t): aF

3 qk = --,

ap" - F4 = Fip,P,t):

aF4

qk = --, ap"

aF2 K=H+-. at

aF3 K=H+-. at

aF K=H+-4 • at

(3.65)

(3.66)

(3.67)

Een transformatie met behulp van één van de vier genererende functies garandeert dat de bewegingsvergelijkingen Hamiltoniaans blijven, zodat bijvoorbeeld ook het theorema van Liouville geldig blijft onder de transformaties.

3.5 DE SIMPLECTISCHE CONDITIE

In de bewegingsvergelijkingen van Hamilton worden de coördinaten en impulsen niet compleet symmetrisch behandeld. Dit uit zich in het minteken in de vergelijking voor P~:', dat in de vergelijking voor q/ afwezig is. De simplectische notatiewijze voor het Hamilton formalisme heft die antisymmetrie op en is een krachtig instrument voor de manipulatie van de canonieke vergelijkingen en aanverwante uitdrukkingen.

Construeer voor een systeem met 2n vrijheidsgraden een vector Tl met 2n elementen:

'Tlk = q k' 'Tlk+n = p k' k ~ n. (3.68)

Met deze definitie heeft de vector aHta'Tl de volgende elementen

(~).= ;:,. (~)..: ;:,. ~. (3.69)

Definieer ook nog de 2n x 2n matrix J samengesteld uit n x n nul- en eenheidsmatrices overeenkomstig het volgende schema

J = (0 1) (3.70) -1 0 .

Waarin 0 de n x n matrix met alleen maar nullen voorstelt, en 1 de standaard n x n eenheidsmatrix. De bewegingsvergelijkingen van Hamilton kunnen dan op de volgende compacte wijze geschreven worden

Tl' = J aH (3.71) ~

-19-

Dit is de simplectische notatiewijze. Beschouw nu een canonieke transformatie van de oude coördinaten qk en Pk naar de

nieuwe coördinatenset Qk en Pk. Definieer voor deze nieuwe coördinaten een uit 2n elementen bestaande vector Ç als boven. In het geval van een beperkte transformatie geldt er:

ç = Ç(rt). (3.72)

De bewegingsvergelijkingen voor de nieuwe coördinaten worden gevonden door naar de tijdafgeleide van de afzonderlijke elementen van Ç te kijken:

ç~ = açkrt~ k,l = l, ........ ,2n. (3.73) d'rl,

Als de Jacobiaanse matrix M van de transformatie gedefinieerd is als

açk Mk, =­

d111 (3.74)

kan vergelijking (3.73) met behulp van de bewegingsvergelijkingen voorrt geschreven worden als

Ç' = MJaH. d11

(3.75)

Voor de inverse transformatie kan H beschouwd worden als een functie van Ç en kan de afgeleide van H naar 11k geschreven worden als

dH = dH aÇ, (3.76) a11k aç, a11k'

of in matrixnotatie

dH = M dH d11 a('

(3.77)

waarin M de getransponeerde matrix van M voorstelt. Combinatie van (3.75) en (3.77) leidt tot

Ç' = MJM aH. aç

(3.78)

Uit de voorgaande paragraaf is eenvoudig af te leiden dat in het geval van een beperkte transformatie de nieuwe Hamiltoniaan gelijk is aan de oude, zodat de bewegingsvergelijkingen in de nieuwe coördinaten luiden:

Ç' = J dH. (3.79) aç

Dit levert de volgende eis op voor het canoniek zijn van de transformatie (3.72):

MJM = J. (3.80)

Dit is de simplectische eis, en de matrix M die aan deze eis voldoet heet een simplectische matrix. Vergelijking (3.80) is ook een noodzakelijke eis voor een beperkte transformatie. Dit valt in te zien door de volgorde van de bewijsstappen vanaf (3.80) om te draaien [Gol80].

Samengevat wil dit zeggen dat een transformatie van het ene variabelenpaar naar het andere canoniek is als de Jacobiaanse matrix behorende bij de transformatie simplectisch is. Ook als de transformatie tijdafhankelijk is, blijft de simplectische conditie voor alle canonieke transformaties een noodzakelijke en voldoende eis.

-20-

HOOFDSTUK4

DE MAGNETISCHE QUADRUPDOL

4.1 INLEIDING

Sinds de eerste publicatie over het gebruik van de magnetische quadrupooi als ionenoptisch element in 1952 [Cou52] is zij toegepast in vele bundelgeleidingssystemen en bijvoorbeeld ook in microbundelopstellingen. In tegenstelling tot een cilindrische magnetische lens bezit een magnetische quadrupooi de grootste focusserende kracht loodrecht op de bewegingsrichting van de deeltjes, wat de quadrupooi uitermate geschikt maakt voor het gebruik in een microbundelopstelling, waar sterk focusserende lenzen een noodzaak zijn. De geometrie en het bijbehorende magneetveld van de magnetische quadrupooi worden in paragraaf 4.2 besproken. In paragraaf 4.3 worden de baanvergelijkingen voor een geladen puntmassa in het zogenaamde centrale veldgebied van de quadrupooi afgeleid met behulp van de in het vorige hoofdstuk behandelde Hamilton-mechanica. Hiertoe wordt eerst de vectorpotentiaal A uit de magnetische scalaire potentiaal V berekend. In paragraaf 4.4 wordt dit herhaald, maar nu wordt het randveld van de quadrupooi meegenomen in de afleiding van de vectorpotentiaal.

In paragraaf 4.5 wordt de invloed van verschillende storende factoren op de werking van de quadrupooi in de baanvergelijking opgenomen. Aangezien een versnelde bundel ionen een eindige impulsspreiding bezit, is de invloed van een quadrupooi niet voor elk afzonderlijk deeltje gelijk, daar de Lorentz-kracht een functie van de impuls van de geladen puntmassa's is. Dit effect wordt door middel van het opnemen van een relatieve impulsspreiding om de gemiddelde impuls in de baanvergelijking verdisconteerd. Een ander storend element is een onvolmaaktheid in de viervoudige symmetrie. Dit effect introduceert hogere orde multipolen, die in het geval van de perfecte viervoudige symmetrie niet aanwezig zijn. Het effect van sextu- en octupolen op de baanvergelijking wordt beschreven. Tenslotte wordt het effect van uitlijnfouten van de quadrupooi ten opzichte van de optische as op de baanvergelijking besproken.

In paragraaf 4.6 wordt beschreven tot welke graad (of graden) de afzonderlijke effecten (multipolen en impulsspreiding) in de baanvergelijking bijdragen. Ook wordt besproken wat het resultaat is van de combinatie van twee verschillende effecten.

In dit hoofdstuk wordt een groot aantal baanvergelijkingen afgeleid, de oplossing van een deel van deze vergelijkingen wordt beschreven in hoofdstuk 6.

4.2 DE QUADRUPDOL

In figuur 4.1 is de doorsnede van een magnetische quadrupooi met de definities van de gebruikte coördinaatsystemen weergegeven. Voor de berekening van het magneetveld wordt gebruik gemaakt van cilindercoördinaten (r, cp, z). Hierna wordt op een cartesisch coördinaatstelsel (x, y, z) overgegaan. De afstand tussen het geometrische midden van de quadrupool, de symmetrie- of z-as, en een pooltip is de halve apertuur a. De lengte van de poolschoenen in de z-richting is de fysieke lengte L0•

-21-

y

x

Figuur 4.1 De coördinaatsystemen in een magnetische quadrupooi

De quadrupooi is opgebouwd uit vier magnetische polen, twee met een positieve magnetische potentiaal en twee met een negatieve magnetische potentiaal, die om en om geplaatst zijn. Deze potentialen worden opgewekt door middel van een stroom die door draden gestuurd wordt die tot spoelen om de polen gewikkeld zijn. In paragraaf 4.3 wordt aangetoond dat de equipotentiaal lijnen in het xy-vlak evenredig zijn met xy. De magnetische veldlijnen, die loodrecht op de potentiaallijnen staan, worden dan gegeven door r -1 = constant (figuur 4.2).

y

Figuur 4.2 De equipotentiaallijnen (gestippelde lijnen) en veldlijnen (gesloten lijnen) in een magnetische quadrupool.

De sterkte van het magneetveld is evenredig met de afstand tot de as: B x - y en BY - x, zodat een deeltje dat zich verder van de as af bevindt een kracht ondervindt die groter is dan voor een deeltje dat zich dichter bij de as bevindt. Als bovendien naar de richting van het magneetveld gekeken wordt, is met behulp van de Lorentz-kracht in te zien dat een quadrupooi in de ene richting focusseert en in de andere richting defocusseert. De focusserende richting is afhankelijk van de lading van de puntmassa en de potentialen van de polen. Een quadrupooi die in de x-richting focusseert heet een positief focusserende quadrupooi of een positieve quadrupoot Een quadrupooi die in de y-richting focusseert heet een negatief focusserende of negatieve quadrupoot

-22-

In figuur 4.3 is het verloop van de gradiënt van het magneetveld g(z) als functie van de z-coördinaat gegeven.

. <: . L ==:> .

. . . . . . . . . . . . 0 .......... ~

Figuur 4.3 Het verloop van de magnetische gradiënt g(z) alsfunctie van de z-coördinaat; de gesloten curve is het werkelijke verloop, de gestippelde curve is het benaderende rechthoekige veldproflel.

Te zien is dat de gradiënt op de z-as van de waarde 0 buiten de quadrupooi oploopt tot een constante waarde (g0) binnen de quadrupoot Dit gebied waar g(z) = g0 heet het centrale veldgebied. Het tussengebied (waar dg(z)ldz '# 0) heet het randveld van de quadrupoot De gestippelde rechthoek wordt het rechthoekige veldprofiel genoemd, met de eigenschap dat het oppervlak onder deze rechthoek gelijk is aan het oppervlak onder het werkelijke gradiëntverloop. De lengte van de rechthoek is de effectieve lengte Lef! en is gedefinieerd als

00

f g(z)dz (4.1)

De effectieve lengte kan experimenteel bepaald worden door het werkelijke gradiëntverloop met behulp van een Hall-plaatje te meten [Laa91], het oppervlak onder de curve te berekenen en te delen door de constante waarde van de gradiënt in het centrale veldgebied g0• De uitkomst is dan de gezochte waarde voor de effectieve lengte.

Vaak wordt de effectieve lengte Lef! gegeven als een functie van de fysieke lengte L0

en de halve apertuur a van de quadrupooi [Yav64]: (4.2)

met c een constante die meestal tussen 0. 9 en 1.1 ligt. De fysieke lengte van de poolschoenen in de microbundelopstelling is 150 mm. De effectieve lengte is 180 mm [Laa91]. Met de wetenschap dat de halve apertuur gelijk is aan 26 mm wordt voor de constante c een waarde van 1,15 gevonden.

4.3 DE BAANVERGELIJKINGEN VOOR HET CENTRALE VELDGEBIED

In deze paragraaf worden de baanvergelijkingen voor het centrale veldgebied van een quadrupooi afgeleid uit de Hamiltoniaan in vergelijking (3.32) met behulp van de in het vorige hoofdstuk behandelde theorie. In de Hamiltoniaan in vergelijking (3.32) komen de vectorpotentiaal A en de scalaire potentiaal ct> als onbekenden voor. Voor een magnetische lens is ct> nul. In het eerste deel van deze paragraaf wordt de vectorpotentiaal voor het centrale

-23-

veldgebied van een quadrupooi afgeleid. Vervolgens wordt de Hamiltoniaan opgeschreven en gemanipuleerd met behulp van enkele eigenschappen uit paragraaf 3.3 (aan deze eigenschappen zal gerefereerd worden als "eigenschap 1", etcetera). Tenslotte worden de eerste en derde graads baanvergelijkingen voor een geladen puntmassa in het centrale veldgebied van een quadrupooi afgeleid.

4.3.1 DE VECTORPOTENTIAAL De vectorpotentiaal A kan met behulp van vergelijking (3.13) uit het magnetische veld

berekend worden. Voor de berekening van het magnetische veld is kennis van de magnetische potentiaal V vereist, die berekend wordt uit de Maxwell-vergelijkingen.

De tijdonafhankelijke Maxwell-vergelijkingen voor het magnetische veld in vacuüm luiden

V· B = 0 (4.3)

V x B = p0}, (4.4)

waarin J.lo de magnetische permeabiliteit in vacuüm is en J de stroomdichtheid. De rechterzijde van (4.4) wordt verwaarloosd. De tweede Maxwell-vergelijking luidt dan

V x B = 0. ( 4.5)

Daar geheel algemeen geldt

VxVV=O

kan het magnetische veld geschreven worden als

B = -VV

(het minteken is een kwestie van afspraak). V is de scalaire magnetische potentiaal.

(4.6)

(4.7)

Combinatie van (4.3), (4.5) en (4.6) levert de volgende uitdrukking voor de scalaire magnetische potentiaal:

V2 V = 0. (4.8)

In het centrale veldgebied is de potentiaal onafhankelijk van z. De drie-dimensionale Laplace­vergelijking in (4.8) reduceert dan tot een twee-dimensionale Laplace-vergelijking, die in cilindercoördinaten geschreven wordt als

a2v + 2. av + _1 a2v = o. (4.9) ar 2 r ar r 2 a<j>2

De algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking bij viervoudige symmetrie kan geschreven worden als een machtreeks [Man91]

V= I: v2n sin(n<l> - a)r n. (4.10) n = 2,6,10, ...

De term met n = 2 is de quadrupoolterm, de term met n = 6 de twaalfpoolterm, en de term met n = I 0 de twintigpoolterm. V2n is de sterkte van de multipool. De fasehoek a2 is gedefinieerd als de hoek tussen de lijn x = y en de verbindingslijn tussen de oorsprong en het midden van de pool, die zich het dichtst boven of op de positieve x-as bevindt. De potentiaal ontwikkeld in de eerste drie termen luidt

-24-

(4.11)

In een ideale quadrupooi is alleen de V4 potentiaalterm niet gelijk aan nul, zodat er voor V geldt

V = V4

sin(2<j> - a2)r 2 •

Met behulp van de sinusregel

sin(a + P) = sin(a)cos(P) + cos(a)sin(p)

wordt dit

V = V4

sin(2<j>)cos(a2)r 2 - V4

cos(2<j>)sin(a2)r 2 ,

en in cartesische coördinaten (x = rcos(<j>), y = rsin(<j>))

V = V4

cos(a2)2xy - V

4 sin(a

2) (x 2

- y 2).

(4.12)

(4.13)

(4.14)

(4.15)

Als U:! = 0 resteert het potentiaalveld ten gevolge van een zogenaamde rechte quadrupooi (met de polen op de lijnen x = ± y ), als U:! = 1t I 2 resteert het potentiaalveld tengevolge van een zogenaamde scheve quadrupooi (polen op de coördinaatassen). De potentiaal in een willekeurig georiënteerde quadrupooi kan dus opgebouwd worden uit de potentialen van een rechte en een scheve quadrupoot Vooralsnog wordt uitgegaan van een rechte quadrupool, zodat a2 = 0:

V = V4

sin(2<j>)r 2 = 2V4xy. (4.16)

De equipotentiaallijnen hebben dus de vorm van een hyperbool. Een ideale pool heeft dezelfde vorm; die van een hyperbool, die doorloopt tot in het oneindige. Tegenwoordig is het mogelijk om door middel van vonkverspanen de vorm van een hyperbool tot op enkele micrometers te benaderen. Maar in het verleden is de hyperboolvorm vaak benaderd door middel van een eindig aantal vlakjes of een cirkelvorm. Deze afwijking van de ideale vorm voor een individuele pool, maar onder behoud van de viervoudige symmetrie voor de totale quadrupooi introduceert parasitaire 12-, 20-, 28-, ... pool componenten. Deze componenten worden eveneens geïntroduceerd door het noodzakelijke abrupte afbreken van de hyperboolvormige pool. Wel is het mogelijk om de bijdrage tot de hogere orde multipolen te minimaliseren door een geschikte keuze van afbreekpunt, apertuur en poolafmetingen [Gri84]. Dit geldt eveneens voor cirkelvormige polen.

Met behulp van vergelijking (4.7) wordt er voor het magneetveld B de volgende uitdrukking gevonden

B = -vv = ( -2V4y , -2V

4x , O). (4.17)

Met de definitie voor de veldgradiënt g g = -2V4 = B0 I a, (4.18)

hierin is B0 de sterkte van het magnetisch veld op de pooltip en a de halve apertuur van de magneet, is B ook te schrijven als

B = (gy , gx , 0). (4.19)

Met behulp van vergelijking (3.13) volgt tenslotte voor de vectorpotentiaal A

-25-

A= (0, 0, -2.g(x 2 - y 2)). 2

4.3.2 DE HAMILTONIAAN In de Hamiltoniaan uit vergelijking (3.32)

H =JE/+ c 2(p- qA)2 + qèP,

(4.20)

(4.21)

dient de vectorpotentiaal A uit vergelijking (4.20) ingevuld te worden, (de scalaire potentiaal èP = 0):

(4.22)

Deze Hamiltoniaan is tijdonafhankelijk en dus een constante van beweging (eigenschap 1). Deze constante Harniltoniaan wordt geschreven als:

H =JE/ + C2Po2 • (4.23)

In deze vergelijking symboliseert Po de relativistische impuls, die een functie van de kinetische energie T buiten de quadrupooi en de rustmassa-energie Er is:

p0 = 2_J2E,T + T 2• (4.24)

c

Gelijkstellen van de twee Hamiltonianen levert

H = JE/ + c 2(p; + Py2 + (pz - qA/) = JE/ + c 2Po2 • (4.25)

Wanneer de uitdrukking voor de relativistische impuls in de Harniltoniaan in vergelijking (4.23) ingevuld wordt resteert er na uitwerking

H=T+E, r (4.26)

waarin T de kinetische energie symboliseert. De Hamiltoniaan H representeert dus de totale energie.

Het aantal dimensies van dit probleem kan met één verminderd worden door over te gaan op een nieuwe Hamiltoniaan (eigenschap 5). Kies in dit geval K = -pz als nieuwe Harniltoniaan met z als onafhankelijke coördinaat. Uitwerking van ( 4.25) levert dan

(4.27)

Het is handig voor het vervolg om deze nieuwe Harniltoniaan te schalen op p0 (eigenschap 4)

(4.28)

waarin Az ingevuld is en de volgende definitie gebruikt is

1t; = !2, i= x,y,z. (4.29) Po

De Hamiltoniaan Kin vergelijking (4.27) is niet gelijk aan de Harniltoniaan Kin vergelijking (4.28). De naam van de laatste Harniltoniaan moet eigenlijk aangepast worden, maar het is goed gebruik om de naam van een Hamiltoniaan gelijk te houden tenzij de onafhankelijke coördinaat verandert (bijvoorbeeld bij de overgang van H op K).

-26-

Merk op dat 1tx en 1ty niet exact gelijk zijn aan de divergenties 8 en ~ (Hoofdstuk 2), die immers gedefinieerd zijn als Px I Pz en Py I Pz· Hierop wordt later teruggekomen.

De relatieve magnetische veldsterkte parameter km2 is gedefinieerd als

k 2 = gq = qBo. (4.30) m

Po Poa

Door deze definitie verandert vergelijking (4.28) in

K = -1tz = -J1 - [1t; + 1t~] + ~k~(x 2 - y 2

), (4.31)

Door aan te nemen dat [1tx2 + 1t/] << 1, de zogenaamde paraxiale benadering, kan de wortel

ontwikkeld worden met behulp van de binominaalreeks

(1 + d)a = t ((XJ d n = 1 + ad + a(a - 1) d2 + (4.32) n = 0 n 2!

Zodat de Hamiltoniaan, met d = -[1t/ + 1t/] en a=~. geschreven wordt als

K - 1 k 2( 2 2) 1 1 [ 2 2] 1 [ 2 2]2 - 2 m X - Y - + 2 1tx + 1ty + g 1tx + 1ty + . • .. • .. • (4.33)

De constante factor in de Hamiltoniaan kan achterwege gelaten worden (eigenschap 2):

K 1 k 2( 2 2) 1 [ 2 2] 1 [ 2 2]2 = - m X - Y + - 1tx + 1ty + - 1tx + 1ty + ····· · 2 2 8

(4.34)

Deze Hamiltoniaan is ontwikkeld tot in de vierde graad voor x, y, 1tx en 1ty. Voor de afleiding van de baanvergelijking tot in de derde graad is de ontwikkeling van de Hamiltoniaan tot in de vierde graad voldoende. In de Hamiltoniaan is de magnetische potentiaal V, die evenredig is met r terechtgekomen als een tweede macht in x en y. De volgende term uit de potentiaal is evenredig met I en komt in de Hamiltoniaan terug als een zesde macht in x en y en hoeft dus niet meer meegenomen te worden in de berekeningen.

4.3.3 DE BAANVERGELIJKING De eerste en derde graads baanvergelijking worden afgeleid uit respectievelijk de

tweede en vierde graads Hamiltoniaan. De Harniltoniaan ontwikkeld tot in de tweede graad luidt

K 1 k 2( 2 2) 1 [ 2 2] -- _1 k 2y 2 1 2 1 k 2 2 1 2 = 2 m X - Y + 2 1tx + 1ty 2 m"' + 21tx - 2 mY + 21ty • (4.35)

De variabelenset is opgebouwd uit twee paar geconjugeerde variabelen x en 1tx én y en 1t,­

Deze Hamiltoniaan kan in twee delen (KJ en K2) gesplitst worden (eigenschap 6):

K1

= 2.k 2r 2 + 2.n2 ( 4.36) 2 nr• 2 x

(4.37)

In KJ is x de coöordinaat (qk in vergelijking (3.26)) en 1tx de geconjugeerde impuls (pA: in vergelijking (3.27)). De geconjugeerde bewegingsvergelijkingen luiden dan: Bij de overgang van de Hamiltoniaan Hop de Hamiltoniaan Kis overgegaan van de tijd als

-27-

x' = aK1

a1t = 1tx' (4.38)

x

I aKI 2 (4.39) 1tx = -- = -kmX. a x

onafhankelijke variabele op de z-coördinaat als onafhankelijke variabele. Dit betekent dat het accent in de vergelijkingen (4.38 en 39) nu staat voor differentiatie naar z. Door de eerste vergelijking naar z te differentiëren

x 11 = 1t' x'

(4.40)

en hierin de tweede vergelijking te substitueren wordt de eerste graads bewegingsvergelijking in de x-richting voor een geladen puntmassa in een ideale positieve quadrupooi gevonden

x" + k;x = 0. (4.41)

De term eerste graads duidt erop dat de macht van x, y, 1tx en 1ty samen niet hoger dan één is. De bewegingsvergelijking is een tweede orde differentiaalvergelijking. Uit K2 volgt op gelijke wijze

y 11 - k:,Y = 0. (4.42)

Dit is de eerste graads bewegingsvergelijking in de y-richting voor een geladen deeltje in een ideale positieve quadrupoot

Deze bewegingsvergelijkingen die volgen uit het Harnilton-formalisme komen overeen met wat in de literatuur algemeen omschreven wordt als de baanvergelijkingen. Dit wil zeggen dat de differentiatie in de vergelijkingen naar z plaatsvindt. Terwijl men met de bewegingsvergelijkingen die vergelijkingen bedoeld, waarbij de differentiatie naar de tijd plaatsvindt. In het vervolg worden de tweede orde differentiaalvergelijkingen, die uit het Hamilton-formalisme afgeleid worden baanvergelijkingen genoemd. Het verschil tussen de baanvergelijking en de bewegingsvergelijking wordt in de volgende paragraaf verder besproken.

De vierde graads Hamiltoniaan luidt

K 1 k 2( 2 2) 1 [ 2 2] 1 [ 2 = - m X - Y + - 1tx + 1ty + - 1tx 2 2 8

(4.34)

Deze Hamiltoniaan kan niet gesplitst worden omdat de variabelen via de laatste term gekoppeld zijn. De bewegingsvergelijkingen luiden nu

aK 1 2 2 X 1 = = 1t + _

21tJ1tx + 1ty], (4.43) a1t x

x

I aK 2 1tx = = -kmX' a x

(4.44)

y' aK 1 2 2 = =1t + -1t [1tx + 1ty] ' a1t y 2 y (4.45)

y

-28-

1 aK 2 1ty = -- = kmY • ay (4.46)

Differentiatie van de eerste vergelijking naar z geeft

11 I 3 I 2 1 I 2 I X = 1tx + 21tx1tx + 21tx1ty + 1tx1ty1tY • (4.47)

Hierin worden de tweede en vierde vergelijking gesubstitueerd, met als resultaat

x 11 = -k:,X - ~ k,!m; - ~ k:,Xn~ + k~n~Y. (4.48)

Dit is de derde graads baanvergelijking in de x-richting voor een geladen puntmassa in het centrale deel van een ideale quadrupoot

Formeel is de naamgeving "baanvergelijking in de x-richting" niet correct, omdat er in de vergelijking een koppeling tussen de x en y coördinaat optreedt, maar het is een handige afspraak om deze vergelijking te onderscheiden van die voor de "y-richting". De kreet "x (y)­richting" duidt dan op de x" (y")-term in de vergelijking.

De baanvergelijking voor de y-richting wordt op identieke wijze verkregen en luidt

Y 11 = k 2v 3 k 2 2 1 k 2 2 _ k 2Y1T 1t • m.! + - mJ1ty + - m1txY m-"'ow 2 2 x y

(4.49)

4.4 DE BAANVERGELIJKINGEN VOOR HET TOTALE VELDGEBIED

In de vorige paragraaf is beschreven hoe de baanvergelijkingen voor het centrale veldgebied afgeleid worden met behulp van het Hamilton-formalisme. In deze paragraaf wordt dit herhaald maar nu voor het totale gebied waar de gradiënt van het magnetische veld niet gelijk aan nul is.

Uitgangspunt is de drie-dimensionale Laplace vergelijking voor de magnetische scalaire potentiaal in cilindercoördinaten

a2v + _.!.. av + _1 a

2v + a2v = o. (4.50)

ar 2 r ar r 2 a<j)2 az 2

In het geval van viervoudige symmetrie (de quadrupool) luidt de algemene oplossing van deze vergelijking [Szi88]

( -1)k n' <2k> V = L L k • V 2n sin(n<j) - a)r n + 2k ' n = 2,6,10, ... k = o.1.2 •... 4 k! (n + k)!

(4.51)

waarin V2n12kJ de 2k-de afgeleide van V2n naar z symboliseert. Aan de hand van de vorige

paragraaf is in te zien dat voor de derde graads baanvergelijking het magneetveld tot in de vierde graad in de coördinaten beschreven dient te worden. Hiervoor is kennis van de scalaire magnetische potentiaal tot in de vijfde graad in r noodzakelijk.

De magnetische scalarpotentiaal tot in de vierde graad luidt (er is geen vijfde graads term)

-29-

(4.52)

De volgende term na de term met r4 is een term met I en hoeft dus niet meegenomen te worden in de berekening. De eerste term in (4.52) is de term ten gevolge van het centrale veldgebied. De tweede term is een term ten gevolge van het randveld. Uit deze term blijkt dat in het randveld de periodiciteit van het veld identiek is aan de periodiciteit van het centrale veldgebied. In het randveld is de toename van de potentiaal met het toenemen van de straal echter relatief sterker ( -r4

) dan in het centrale veldgebied ( -r). De fasehoek a2

wordt gelijk aan 0 gekozen. In dit geval is het eenvoudiger om de vectorpotentiaal in cilindercoördinaten uit te

rekenen en deze dan vervolgens om te rekenen naar cartesische coördinaten. Vergelijking ( 4. 7) in cilindercoördinaten luidt

B = (B , Bt , B) = -vv = (- av , -2. av , -avJ· (4.53) r z ar r a$ az

(4.54)

(4.55)

Het is mogelijk om een oplossing voor de vectorpotentiaal A te vinden waarin de radiële component gelijk aan nul gesteld is (Ar = 0) [Hag]. De radiële component van het magnetische veld (Br) is dan niet van belang voor de bepaling van de vectorpotentiaaL Deze laatste wordt dan als volgt uit het magneetveld berekend

en

r

Az = -jB.dr = V4r 2cos(2$)- ;4

r 4V4(2>cos(2$) 0

r

(4.56)

A• = r1 jrBz(r)dr = -2.r 3V4°>sin(2$) - _1_r 5V

4<3>sin(2$). (4.57)

0 4 72

De term met r kan achterwege gelaten worden omdat kennis van de vectorpotentiaal tot in de vierde graad voldoende is.

Met behulp van de volgende definities kan de vectorpotentiaal in cilindercoördinaten omgeschreven worden naar een vectorpotentiaal in cartesische coördinaten

Ax = -A.sin($) (4.58)

Het resultaat van deze coördinatentransformatie is

1 A = _v o>xy 2

x 2 4 '

1 A = --V

4°>x 2y,

y 2

-30-

(4.59)

(4.60)

(4.61)

(4.62)

Deze vectorpotentiaal wordt ingevuld in de Hamiltoniaan uit vergelijking (3.32)

Met behulp van de definitie voor de relatieve magnetische veldsterkte ( 4.30) en zijn eerste en tweede afgeleide naar z

-2qV4°> k 21 = (4.64) m

Po

-2qV4<2> k 211 =

m ---Po

en gelijkstelling aan de constante Hamiltoniaan (4.23) volgt er

2 1 21 2 2 1 21 2 2 1 2 2 2 1 211 4 4 2 Po =(px +4P~m xy ) +(py -4pokm X Y) +(pz +-;jl~m(X -y )- 48P~m (x -y )) ·

(4.65)

(4.66)

Overgang op een nieuwe Hamiltoniaan (eigenschap 5) en schaling op p0 (eigenschap 4) levert het volgende resultaat voor de Hamiltoniaan op

K = -7t = - 1 (7t +_k xy ) +(7t --k x y) +-k (x -y )-...::_}ç (x -y ) . t 1 21 2 2 1 21 2 2] 1 2 2 2 1 211 4 4 z x 4 m y 4 m 2 m 48 m

(4.67) Waarin definitie (4.29) voor de geschaalde impulsen gebruikt is.

De wortel in de Hamiltoniaan wordt weer ontwikkeld tot in de vierde graad in x, y, 1tx en 7tY. Daartoe wordt aangenomen dat x en y van dezelfde orde als 1tx en ny zijn. Met deze aanname kan de wortel weer met de binominaalreeks uit vergelijking (4.32) ontwikkeld worden. Voor de d uit deze vergelijking geldt nu

d = - [ex, + ! k~' xy 2)2 + (x, - ! k_:' x 'y)'} (4.68)

De Hamiltoniaan ontwikkeld tot in de vierde graad is dan gelijk aan (de constante term is weggelaten)

K = 2_[7t2 +1t2] +2.e'(xy 21t -x 2,nr )+2.[1t2+1t2]2+2.k2(x2-y 2) __ 1_k 211 (x4-y4). (4.69) 2 x y 4 m x .I ••y 8 x y 2 m 48 m

De geconjugeerde bewegingsvergelijkingen worden op de bekende wijze verkregen

x' ()K 1 k2' 2 1 3 1 2 (4.70) = = 1t +4mxy + -1t + -1t 1t d1tx

x 2 x 2 x y

y' "dK 1 k 21 2 1 3 1 2 (4.71) = = 1t -- mx y + -1t + -1t 1t d1ty

y 4 2 y 2 x y

-31-

I ()K 2 1 21 1 k21 2 1 k 211 3 1tx = - = -kmX + -km xy1t --mY1t +_ x dX 2 y 4 x 12 m

(4.72)

I - 'dK = k:,Y 1 21 1k21 2 1 k2" 3 1ty = - -km xy1t +-mX1t --m Y ()y 2 x 4 y 12

(4.73)

Differentieer de eerste van deze vergelijkingen naar z:

11 _ I + 1 k 211 2 1 k 21 1 2 1 k 21 1 3 I 2 1 I 2 I (4 7 4) X - 1tx 4 m xy + 4 m X Y +2 m xyy + 21tx1tx + 21tx1ty + 1tx1ty1t_y • •

Substitueer in deze vergelijking de canonieke bewegingsvergelijkingen (4.70-73) en laat de termen van graad vier of hoger weg:

11 2 322122 2 21 12113 2 () X = -kmX - -kmXJtx - -kmX1ty + kmY1t 1t + km xy1t + -km (X +3xy } . 4.75 2 2 x y y 12

Dit is de derde graads baanvergelijking in de x-richting voor een geladen puntmassa in een magnetische quadrupoot De baanvergelijking in de y-richting wordt op gelijke wijze gevonden, met als resultaat:

2 3 2 2 1 2 2 2 21 1 211 3 2 Y 11 = kmY + -kmY1ty + -kmY1tx - k,;,m, 1t - km xy1t - -km (y + 3yx } . 2 2 x y x 12

(4.76)

Bij het afleiden van de baanvergelijkingen voor het centrale veldgebied zijn alle termen uit de Hamiltoniaan in de baanvergelijking terechtgekomen, er zijn geen termen van te hoge graad weggelaten. Bij het afleiden van de baanvergelijkingen voor het totale veldgebied is dit wel gebeurd. Dit is niet correct. Voor een correcte baanvergelijking afgeleid uit een Hamiltoniaan dienen alle termen meegenomen te worden. Dit resulteert dan in een vijfde graads baanvergelijking. Er wordt echter de aanname gedaan dat de invloed van de vijfde graads termen verwaarloosd kan worden ten opzichte van de eerste orde termen. Deze derde graads baanvergelijkingen zijn op iets andere wijze door Ph. Meads Jr. [Mea63] afgeleid met behulp van Hamilton mechanica.

De baanvergelijkingen in (4.75 en 76) zijn afgeleid voor het relativistische geval. In de 1t;'s en km en zijn afgeleiden zitten de relativistische impulsen. De niet relativistische baanvergelijkingen zijn identiek, alleen moeten nu de niet-relativistische impulsen ingevuld worden (Appendix A).

De baanvergelijkingen die in de literatuur gebruikt worden [Dym64] [Ste65] zijn op het eerste gezicht niet gelijk aan de baanvergelijkingen hierboven:

x" = -k~ - ~k;u 12 - ..!..k~ 12 + k~ 1yy 1 + k~1xyy 1 + _1_k~11 (x 3+3xy 2) .(4.77)

2 2 12

Het verschil is dat er in plaats van de geschaalde impulsen 1tx en lt_y, die gedefinieerd zijn als

P; 1t. =­

' Po i = x,y,

gebruik is gemaakt van de divergenties x' en y', die gedefinieerd zijn als

p yl = ...!... en

Pz

(4.28)

(4.78)

Om te controleren of de twee baanvergelijkingen identiek zijn, moeten x' en y' als functie van 1tx en 1ty uitgerekend worden en vervolgens in de baanvergelijkingen gesubstitueerd

-32-

worden. Er geldt ( 4.27)

Pz = VPo2 - (px- qA)2 - (py- qA)2 + qAz.

Hieruit volgt

qA qA P _ p 1 _ (1t _ _ x )2 _ (1t __ Y )2 + qA .

z - 0 x y z Po Po

Voor x' geldt met behulp van deze vergelijking

x' = Px = ~===============--­Pz Po 1 - (1tx- qAx)2 - (1ty- qAY)2 + qAz

Po Po

(4.79)

(4.80)

(4.81)

Voor 3 Me V, met q = e, B0 = 0,1 T, a = 0,025 men x, y::;; 10-2 m kan de tweede term in de noemer verwaarloosd worden ten opzichte van de eerste. De wortel in deze vergelijking kan in de paraxiale benadering weer met de binominaalontwikkeling in vergelijking ( 4.32) benaderd worden met als resultaat voor x'

x' = 1t (1 - 2.(1t 2 + 1t 2) + ••.••• ). (4.82) x 2 x y

Substitutie van deze vergelijking (en een dergelijke voor y')in de baanvergelijking (4.77) heeft, na het weglaten van de termen van graad vier en hoger, de baanvergelijking in (4.75) als resultaat. Tot in de derde graad zijn de vergelijkingen identiek. Over de hogere graads baanvergelijkingen kan geen uitspraak gedaan worden.

4.5 DE INVLOED VAN ABERRATIES OP DE BAANVERGELIJKING

In de vorige paragraaf zijn de baanvergelijkingen voor een magnetische quadrupooi afgeleid voor het ideale geval. In een werkelijke situatie zullen er een aantal verschijnselen optreden die een storende invloed hebben op de werking van de quadrupoot Deze verschijnselen en hun invloed op de baanvergelijking komen in deze paragraaf aan bod. Allereerst wordt een impulsspreiding in de inkomende bundel geïntroduceerd. Vervolgens wordt het effect van storende multipalen in een overigens ideale quadrupooi besproken. Tenslotte komt de invloed van uitlijnfouten van de quadrupool, ten opzichte van de optische as van het systeem, aan bod.

4.5.1 DE IMPULSSPREIDING Als !1p de halve breedte op halve hoogte van de impulsspreiding van de bundel

symboliseert, wordt de halve breedte van de relatieve impulsspreiding ö gedefinieerd als

8 = !J.p . ( 4.83) Po

Door de centrale impuls Po te storen met 8: p = P00 + 8)

en deze uitdrukking voor de impuls te substitueren in vergelijking ( 4.66), volgt er

-33-

(4.84)

(4.85) De impulsspeiding verschijnt alleen aan de linkerzijde omdat km2 in de noemer de factor Po bevat. Nu volgt er na schaling en de overgang op nieuwe coördinaten:

K =-(1+8) 1 (7t +_k xy ) +(7t -.:...k x 2y)2 +.:...k (x 2-y 2)--k (x4_y 4). 1 1 21 22 1 2/ ~ 1 2 1 211

x 4 m y 4 m (1 +8)2 2 m 48 m

(4.86) Neem aan dat 8 < 1, dan geldt er

1 ... 1 - 28 + 382 + 0(83) •

(1 + 8)2 (4.87)

Neem bovendien aan dat 8 van de orde van x, y, 1tx en 7ty is. Dan kan de Hamiltoniaan tot in de vierde graad in 8, x, y, 1tx en 1tY uitgewerkt worden met behulp van de binominaalreeks uit vergelijking (4.32)

122 121 12212 1211 K = -[1tx +7ty](1-8+82)+-km (x1t_.Y 2-x 2y7t )+-[1tx +1ty]l+_km(X 2-y 2)--km (x 4 -y 4

), 2 4 y 8 2 48

(4.88) in deze uitdrukking is bovendien de constante weggelaten. Bereken wederom de canonieke bewcgingsvergelijkingen en hieruit op de bekende wijze de derde graads baanvergelijking, met als resultaat

(4.89)

en voor de y-richting

y 11 =k 2y(1-8+82)+~k 2y7t2+_!_k 21t_;y-k 2X7t 1t -k12

x1t v-_2_.t 112(y 3 +3yx 2

). m 2 m Y 2

m m x y m Jt' 12 m (4.90)

Deze vergelijkingen zijn identiek aan de door Steffen afgeleide uitdrukkingen [Ste65], wanneer voor 1tx en 1tY de divergenties x' en y' genomen worden.

Wanneer de vergelijkingen (4.89 en 90) afgebroken worden na de tweede graad in x, y, 1tx, 1ty en 8 worden de tweede graads baanvergelijkingen in de x- en y-richting verkregen

x 11 = -k,!x(l - 8) (4.91)

en

y 11 = k~(l - 8). (4.92)

4.5.2 PARASITAIRE MVLTIPOLEN Afwijkingen van de ideale viervoudige symmetrie in een quadrupool, zoals de

verplaatsing of kanteling van één van de polen introduceren hogere orde multipolen [Cob65] [Bre90] [Gri84] [Hal69] [Kaw68]. Een parasitair sextopoolveld wordt bijvoorbeeld geïnduceerd door een radiële verschuiving van één van de polen en een octupoolveld door de radiële verschuiving van twee tegenover elkaar liggende polen.

In deze deelparagraaf worden eerst de baanvergelijkingen voor een sextu- en octupool

-34-

als losse focusserende elementen afgeleid, vervolgens worden de baanvergelijkingen voor een ideale quadrupooi uitgebreid met een parasitaire sextu- en octupool bijdrage.

De magnetische scalaire potentiaal voor het centrale veldgebied van een ideale magnetische sextupool kan geschreven worden als [Man91]

V= :E v2n sin(n~ - a)r n.

n = 3,9,15, ...

Een ideale sextupool bezit alleen de term met n = 3

V = V6 sin(3~ - a 3)r 3 •

(4.91)

(4.92)

Bij de afleiding van de baanvergelijking voor een quadrupooi is de fasehoekan gelijk aan nul gekozen. Dit is geoorloofd omdat het assenstelsel ten opzichte van de quadrupooi gedefinieerd kan worden. Voor een parasitaire sextupool (of octupool) is dit niet mogelijk. De multipooi bezit een bepaalde fasehoek in het assenstelsel dat gedefinieerd is ten opzichte van de quadrupooi en deze hoek dient dus in de afleiding te worden meegenomen.

Voor de vierde graads Hamiltoniaan moet de potentiaal van de sextupool tot in de vierde graad in r bekend zijn. De term voor het centrale veldgebied na de term voor de ideale sextupool is van de graad 6 en wordt dus achterwege gelaten. Ook het randveld van een sextupool speelt geen rol in de derde orde baanvergelijking daar dit in de vijfde graad in de potentiaal optreedt [Mut 93].

De potentiaal in vergelijking (4.92) kan met behulp van de sinusregel (4.13) en de transformatie naar cartesische coördinaten geschreven worden als

V = V6cos( a

3)(3x 2y - y 3) - V

6sin( a

3)(x 3

- 3.xy 2) • ( 4.93)

Te zien is dat een willekeurige sextupool geschreven kan worden als de som van een rechte (~ = 0) en een scheve (~ = 'lt/2 )sextupool (figuur 4.4a).

Figuur 4.4 a. Een rechte en een scheve sextupool (links). b. Een rechte en een scheve octupoo/ (links).

-35-

Uit de potentiaal is op de bekende wijze het magneetveld te berekenen

av aA B = -- = -V

6cos(a

3)(6xy) + V

6sin(a

3)(3x 2

- 3y 2) = _z,

x ~ ~ (4.94)

av aA BY = -- = V

6cos(a

3)(3y 2

- 3x 2) + V6sin(a

3)(6xy) = __ z ,

dy dX (4.95)

B = 0. z (4.96)

De gelijktekens aan de rechterzijde volgen uit de aanname dat de vectorpotentiaal slechts een z-component bezit. Het oplossen van de differentiaalvergelijking levert twee vergelijkingen op voor Az:

A z = -V 6cos( a

3)(3xy 2) + V

6sin( a

3)(3 yx 2

- y 3) + f(x) , ( 4. 96)

Az = -V6cos(a)(3xy 2

- x 3) + V

6sin(a

3)(3x 2y) + g(y). (4.97)

Combinatie van deze twee vergelijkingen leidt tot de volgende vectorpotentiaal

Az = V6cos(a

3)(x 3

- 3xy 2) + V6sin(a

3)(3yx 2

- y 3). (4.98)

De Hamiltoniaan (3.32) voor een sextopool wordt na schaling op p0 en de overgang op z als onafhankelijke coördinaat geschreven als:

(4.99)

De tot in de vierde graad correcte uitdrukking voor de Hamiltoniaan luidt dan

1 2 2 ~ ~2 1 2 2 2 2 3 2 • 2 3 K=-[1tx+1ty](l-u+u )+-[1tx+1ty] +ksex[cos(a3)(x -3xy )+sm(a3)(3yx -y )] , 2 8

(4.100)

hierin is de volgende definitie voor k!sex gebruikt:

2 3qV6 k = - (4.101) sex - 2 -·

a Po

Uit deze Hamiltoniaan volgen op de bekende wijze de vier canonieke bewegingsvergelijkingen

oK 1 3 1 2 X I = - = 1t (1 - Ö + Ö2

) + -1t + -1t 1ty, (4.102) d1t x 2 x 2 x

x

oK 1 3 y I = - = 1t (1 - () + ()2) + -21ty

d1t y y

(4.103)

(4.104)

(4.105)

Differentiatie van de eerste vergelijking naar z geeft

-36-

(4.106)

Substitutie van de drie overige vergelijkingen en afkappen na de derde graad geeft de baanvergelijking in de x-richting voor een sextupool tot in de derde graad:

x 11 = ks!.Jcos(a3)(y 2

- x 2) - sin(a3)(2xy)](l - Ö). (4.107)

In de y-richting wordt op gelijke wijze gevonden

y 11 = ks!.Jcos(a3)(2xy) + sin(a3)(y 2 - x 2)](1 - Ö). (4.108)

De baanvergelijkingen voor een octupool volgen op identieke wijze uit de potentiaal

V= (4.109) n "4,12,20, ...

Het resultaat luidt (Appendix A)

x 11 = ko:,[ cos( a 4)(3.xy 2 - x 3) + sin( a 4)(y 3

- 3x 2y)] , (4.110)

Hierin is de relatieve magnetische veldsterkte IC oet gedefinieerd als

2 4qVs k = - (4.112)

oe/ -3-· a Po

Met a4 = 0 worden de baanvergelijkingen voor een rechte octupool en met a4 = 7t/2 de baanvergelijkingen voor een scheve octupool gevonden (zie ook figuur 4.4b).

Het blijkt dat de totale baanvergelijkingen voor een quadrupooi met parasitaire sextu­en octupolen tot in de derde graad gevonden worden door de baanvergelijkingen voor de sextu- en octupool op te tellen bij die voor een quadrupoot Dit is in te zien doordat de vectorpotentiaal Az additief is in de vectorpotentialen voor de afzonderlijke multipolen. Het resultaat van de sommatie is:

en

x 11 =-k 2x(l-Ö+Ö2) _]_k 2x7t2 -_!_k 2x7t2 +k 21t V'1r +k 12nnr +_1_k 11 2(x 3 +3.xy 2)+ m

2 m x

2 m Y m Jt>' • ·y m "".l'wy

12 m

ks!.J(y 2-x 2)cos(a3)-2xysin(a)](l-Ö)+k~,[(3.xy 2-x 3)cos(a4)+(y 3-3x 2y)sin(a4)]

(4.113)

ks!.J2xycos(a3)+(y 2 -x 2)sin(a3)](1-Ö)+k~,[(3x 2y-y 3)cos(a4)+(3.xy 2 -x 3)sin(a4)].

(4.114)

4.5.3 UITLIJNFOUTEN Een quadrupooi kent twee soorten van uitlijnfouten, namelijk verschuivingen en

rotaties. Een verschuiving is een parallelle verplaatsing van de symmetrie-as van de

-37-

quadrupooi ten opzichte van de optische as van het systeem. Een rotatie is een draaiing van de quadrupooi ten opzichte van één van de coördinaatassen van het systeem. Een rotatie om de x- of y-as wordt een kanteling genoemd, een rotatie om de z-as gewoon een rotatie.

Tot nu toe is het assenstelsel gedefinieerd ten opzichte van de quadrupoot Om het effect van uitlijnfouten te bespreken is het noodzakelijk om over te gaan op een assenstelsel dat onafhankelijk van de quadrupooi gedefinieerd is. In de praktijk wordt het assenstelsel gedefinieerd ten opzichte van de optische as van het systeem waarin de quadrupooi zich bevindt. Voor een perfect uitgelijnde quadrupooi vallen de beide coördinaatsystemen samen. De coördinaten in het assenstelsel van de quadrupooi zijn x,, y, en z,. Die ten opzichte van de optische as zijn x, y en z.

De uitlijnfouten kunnen in een lineaire benadering in de baanvergelijking opgenomen worden door middel van de volgende transformatie van x naar x,

x, = x - fu + yro - (z - z0)'P (4.115)

Y, = y - Öy + xro - (z - z0)Y (4.116)

z, = (z - Öz) + x'P + yY. (4.117)

In deze formules stellen fu, Öy en Öz respectievelijk de verschuiving in de x-, y-en z-richting voor, 'V en Y de kanteling om de x- en y-as en rode rotatie om de z-as, z0 is het midden van de quadrupooi op de z-as. Deze nieuwe coördinaten vervangen dan de coördinaten in de baanvergelijkingen (4.113-114). De verschuiving in de z-richting wordt achterwege gelaten, omdat deze in een microbundel opstelling niet opgemerkt wordt daar zij uitgefocusseerd wordt.

De rotatie om de z-as is op een andere wijze te verdisconteren door de baanvergelijking te berekenen met behulp van een vectorpotentiaal die de som is van een bijdrage van een rechte en een scheve quadrupoot Op deze manier is het effect van iedere willekeurige rotatie van een quadrupooi mee te nemen, en hoeft de rotatie niet klein te zijn.

4.6 DE GRAAD VAN DE AFZONDERLIJKE BIJDRAGEN

In de loop van hoofdstuk 4 zijn een aantal baanvergelijkingen afgeleid voor de magnetische quadrupoot In de tabel 4.1 wordt aangegeven tot welke graad (of graden) in de baanvergelijking individuele effecten (zoals randveld, multipolen, etcetera) bijdragen. De graad van een term is gedefinieerd als de som van de machten van x, y, 1tx, 1ty en Ö in die term.

De in de tabel genoemde effecten beïnvloeden elkaar volgens twee regels: a) Wanneer het twee multipooi effecten betreft levert de combinatie van de twee effecten in de baanvergelijking een term op met een graad gelijk aan de som van de afzonderlijke graden (van de twee effecten) minus één. b) Wanneer het een multipoolcomponent en de impulsspreiding betreft worden termen van de graad van de multipooi plus één en hoger verkregen.

ad a) De eerste graads term van het centrale veldgebied combineert bijvoorbeeld met een sextupoolterm (randveldterm) tot een tweede (derde) graads term in de baanvergelijking (4.113). ad b) De combinatie van de impulsspreidingsterm met een sextupoolterm is terug te vinden

-38-

als een derdegraads tenn (4.107).

Tabel 4.1 De graad van de afzonderlijke bijdragen tot de baanvergelijking: + wel een bijdrage, - geen bijdrage.

effect graad

1 2 3 4 5

centrale veldgebied quadrupooi + - + - +

randveld quadrupooi - - + - +

centrale veldgebied sextupool - + - + -

randveld sextupool - - - + -

centrale veldgebied octupool - - + - +

randveld octupool - - - - +

centrale veldgebied dodecapooi - - - - +

impulsspreiding + + + + +

-39-

HOOFDSTUK 5

DE ELEKTRISCHE EN DE GECOMBINEERDE QUADRUPDOL

5.1 INLEIDING

De magnetische quadrupool, die in hoofdstuk 4 beschreven wordt, kent een elektrisch equivalent: de elektrische quadrupoot De focussering vindt plaats door middel van vier elektrische potentialen, twee positieve en twee negatieve, die om en om geplaatst zijn. In paragraaf 5.2 worden de baanvergelijkingen voor een elektrische quadrupooi afgeleid, met behulp van de in hoofdstuk 3 beschreven Hamilton-mechanica. In de baanvergelijkingen van de elektrische quadrupooi worden weer parasitaire multipolen en een impulsspreiding in de te focusseren bundel deeltjes geïntroduceerd.

De combinatie van een elektrische quadrupooi in een magnetische wordt een gecombineerde quadrupooi genoemd. Met een dergelijke constructie is het mogelijk om een quadrupooi te maken die vrijwel ongevoelig is voor de impulsspreiding van de te focusseren bundel deeltjes: een achromatische quadrupoot De baanvergelijkingen voor een gecombineerde quadrupooi worden in paragraaf 5.3 afgeleid.

In het voorgaande hoofdstuk is vermeld dat het verloop van het magnetische veld in een quadrupooi gemeten kan worden met behulp van een Hall-plaatje, waarna de effectieve lengte bepaald kan worden. Het is moeilijk om direct elektrische velden te meten. Indirect kan dit wel, bijvoorbeeld in een elektrolytische tank. De potentiaalverdeling in een elektrische quadrupooi kan berekend worden met behulp van een computerprogramma dat in staat is om drie-dimensionale potentiaalproblemen op te lossen. Uit de berekende potentiaalverdeling kan weer het elektrische veld berekend worden. In paragraaf 5.4 wordt een beschrijving gegeven van het gebruikte programma: RELAX3D. In dezelfde paragraaf worden ook de resultaten van de berekening van de effectieve lengte uit de met behulp van RELAX3D bepaalde potentiaalverdeling gegeven.

5.2 DE ELEKTRISCHE QUADRUPDOL

In figuur 5.1a is de dwarsdoorsnede van een elektrische quadrupooi geschetst De afgebeelde quadrupooi is positief focusserend voor positief geladen deeltjes. Dit is eenvoudig in te zien door te kijken naar de elektrische krachten ten gevolge van de potentialen. Ook blijkt hieruit dat een elektrische quadrupooi net als een magnetische in één richting focusseert en in de andere richting defocusseert. Bij een elektrische quadrupooi moeten de polen zich op de assen bevinden voor een rechtopstaand lijn beeld, terwijl bij een magnetische quadrupooi de polen zich juist onder een hoek van 45° moeten bevinden voor een rechtopstaand lijnbeeld. In figuur 5.1 b is een overlangse doorsnede van een elektrische quadrupooi te zien. De potentialen op de polen zijn in de orde van ± 2 kV, om doorslag te voorkomen zijn de pooltippen afgerond. Deze waarde van 2 kV voor een elektrische quadrupooi met een halve apertuur van 0,005 m is te vergelijken met een magneetveld van 0,2 T bij een halve apertuur

-40-

van 0,026 m, voor protonen met een energie van 3 Me V. Een elektrische quadrupooi kent net als de magnetische een centraal veldgebied en een randveld. De in het Cyclotronlaboratorium beschikbare elektrische quadrupooi wordt uitvoerig beschreven in het stageverslag van E. Lingers [Lin88].

~ ./ "" /,/ /~ .. \ '"

·I • \ . -<I> '

'~ )'

\

A/I

.~ ./<!>~·. x ----- +<I> __ ..._;?_·_, -' +<I> \,__. -~--

.'0 ~.

' -<I> .

~ FiguurS.la

FiguurS.lb

Figuur 5.1 a Dwarsdoorsnede van een elektrische quadrupool, met de gebruikte coördinaatsystemen en de potentialen b Overlangse doorsnede van een elektrische quadrupooi

5.2.1 DE SCALAIRE POTENTIAAL Het elektrische veld binnen de quadrupooi kan beschreven worden met behulp van

de tijdonafhankelijke Maxwell-vergelijkingen voor het elektrische veld in vacuüm

'V • E = p/e0

(5.1)

en

VxE=O. (5.2)

Wanneer de ruimtelading p ter rechterzijde van vergelijking (5.1) verwaarloosd wordt (Eo is

-41-

de elektrische permittiviteit in vacuüm) verandert deze vergelijking in:

V· E = 0.

Uit vergelijking (5.2) volgt dat E geschreven kan worden als

E = -V<l>,

(5.3)

(5.4)

waarin <I> de elektrische potentiaal voorstelt. De vergelijkingen (5.3) en (5.4) zijn te combineren tot een Laptace-vergelijking voor de elektrische potentiaal

V2<l> = 0. (5.5)

De oplossing van deze Laptace-vergelijking wordt in poolcoördinaten geschreven als een machtreeks [Szi88]

00 (-1)k n' <2k> ~ ~ . <I> cos(n<J> - a )r n + 2k • ~ ~ 4k kl ( k)l 2n n n = 2,6,10, ... k = 0,1,2.... • n + .

<I>= (5.6)

In deze vergelijking symboliseert <l>2n12

k1 de 2k-de afgeleide van <l>2n naar z en an de fasehoek. Deze fasehoek voor een elektrische quadrupooi is gedefinieerd als de hoek tussen de x-as en de verbindingslijn tussen de oorsprong en het midden van de positieve pool. Deze fasehoek wordt in het vervolg gelijk aan nul gesteld.

In deze paragraaf wordt meteen de baanvergelijking voor het totale veldgebied van de elektrische quadrupooi afgeleid, zodat in de uitdrukking voor de potentiaal ook afgeleiden voorkomen. Uit het vorige hoofdstuk blijkt dat voor de baanvergelijking tot in de derde graad de vectorpotentiaal tot in de vierde graad bekend dient te zijn. In tegenstelling tot de vectorpotentiaal die via het magneetveld uit de scalaire magnetische potentiaal berekend dient te worden, is de elektrische potentiaal in vergelijking (5.6) gelijk aan de scalaire potentiaal die in de Hamiltoniaan ingevuld moet worden. Dit betekent dus dat de potentiaal uit vergelijking (5.6) ontwikkeld tot in de vierde graad direct in de Hamiltoniaan kan worden ingevuld (zie vergelijking (3.32)). Deze potentiaal ontwikkeld tot in de vierde graad luidt

<I> = <l>4cos(2<j>)r 2 - _1_cp~>cos(2<j>)r 4 • (5.7)

12

Door de overgang op cartesische coördinaten verandert vergelijking (5.7) in cp<2>

<I> = <I> /x 2 _ Y 2) _ _4 (x 2 + Y 2)(x 2 _ Y 2) . 12

(5.8)

In het centrale veldgebied van een quadrupooi (<I>j2i = 0) worden dan voor het elektrische veld met behulp van vergelijking (5.4) de volgende uitdrukkingen gevonden

Ex = -GEx , EY = GEy en Ez = 0, (5.9)

waarin GE de gradiënt van het elektrische veld symboliseert. Voor de potentiaal <I> van de pool op de x-as geldt dan (a is de halve apertuur)

a

<I> = -J -G Exdx = 2.G tfl2 . 0 2

(5.10)

Vergelijking van (5.8) en (5.10) leert dat (met x = a, y = 0)

<l>4 = GE/2 = <l>/a2' (5.11)

zodat vergelijking (5.8) geschreven kan worden als

-42-

G G<2> <I> = ~(x2 _ y2) _ _ E_(x4 _ y4).

2 24 (5.12)

hierin symboliseert GEm de tweede afgeleide van de gradiënt GE naar z.

5.2.2 DE HAMILTONIAAN De scalaire potentiaal in vergelijking (5.12) kan direct in de Harniltoniaan (3.32)

ingevuld worden, met als resultaat

H = V Er2 + p 2c 2 + q~ E (x 2 - y 2) (5.13)

Deze Hamiltoniaan wordt gelijk gesteld aan de Harniltoniaan uit vergelijking ( 4.26), die de totale energie representeert

Er + To =JE} + p2c2 + q~E(x2 - y2) G <2>

qE(4 4) -24x -y ' (5.14)

Er is de rustmassa-energie. T0 representeert de kinetische energie van een deeltje voordat het de quadrupooi binnentreedt. De linkerzijde van vergelijking (5.14) is ook te schrijven als "(Er [Bov70], waarin "(gedefinieerd is als

1 'Y = (5.15)

J 1-v 2/c 2

hierin is v de grootte van de snelheid van het deeltje voor de quadrupoot Met deze definitie en door vergelijking (5.11) aan beide zijden te delen door Er volgt er

P 2c 2 qG qGE<2> "( = 1 + -- + _E(X2 - y2) - --(X4 - y4). (5.16)

E 2 2E 24E r r r

Definieer een hulpparameter hP als

h = qGE = 2<1>q P E E a 2

r r

en zijn eerste en tweede afgeleide als

h I = dhp p dz

en

11 d2h h - p

p - --· dz 2

(5.17)

(5.18)

(5.19)

Vergelijking (5.16) kan dan geschreven worden als (ook het impulsprodukt is uitgewerkt)

(5.20)

Kwadrateer deze vergelijking aan beide zijden, laat de termen van graad vijf en hoger in de coördinaten weg en gebruik [Bot86]

-43-

c = y~ -· (5.21) Po

waarin ~ gedefinieerd is als de verhouding van de snelheid v van een deeltje en de lichtsnelheid c in vacuüm

V ~ = -·

c

dan volgt er voor (5.20)

1 + i~2 (px2+py2+Pz2) =i - "fh/X2-y2) Po

Voor "(B geldt [Bov70]

yJ3 = (y2 - 1)1/2.

(5.22)

(5.23)

(5.24)

Gebruik de definitie in vergelijking ( 4.29) voor de geschaalde impulsen en werk de canonieke impuls 1tz naar één zijde en de overige termen naar de andere zijde:

i~21t~ = (i-1)- iW[7t;+7t~]- Yh/x2-y2) + 1~h;'(x4-y4) + :hP2(x2-y2)2. (5.25)

Definieer de relativistische elektrische veldsterkte parameter kye/ en zijn afgeleiden

k 2 = y h = y 2<I>q (5.26) yeJ i - 1 P i -1 E,a 2 '

21 d 2 ~=-~ ~~

dz

en

(5.28)

y is gedefinieerd in vergelijking (5.15) met behulp van de snelheid van het deeltje voor het veld van de quadrupaaL Hier is geen op het deeltje inwerkende kracht aanwezig, zodat de snelheid v een constante is en y onafhankelijk van z is. Om dezelfde reden is ~ een constante. In de niet-relativistische limiet is ky) gelijk aan de niet-relativistische veldsterkte parameter k.} (vergelijking (5.31)). Deel vergelijking (5.25) door iB2

, dan volgt er met de definities in vergelijkingen (5.26-28) en de overgang op een nieuwe Hamiltoniaan K = -7tz

K = -7t = _ 1 _[7t2+7t2]-k2rx2-y2)+~.e"1 <x4-y4)+2.(i-1)z...41(x2-y2)2 z x y yel\ 12 ~ 4 T "'ye

(5.29)

Dit is de relativistische Hamiltoniaan voor de beweging van een geladen puntmassa in een elektrische quadrupool, waarbij echter al termen van de graad zes en acht in de coördinaten onder de wortel zijn weggelaten (bij de overgang van (5.20) op (5.23)).

De niet-relativistische Hamiltoniaan laat zich afleiden met behulp van de Hamiltoniaan in vergelijking (3.31) die gelijk gesteld wordt aan de kinetische energie T. Het resultaat luidt (Appendix B):

-44-

2 2 2 1 2" K = -n = - 1 - [1t + 1t] - k (x 2 -y 2) + -k (x 4 - y 4) . z x y el

12 el

(5.30)

In deze Hamiltoniaan moeten voor de impulsen de niet-relativistische waarden ingevuld worden. De niet relativistische relatieve elektrische veldsterkte parameter k,/ en zijn afgeleiden zijn gedefinieerd als

en

2 2moq<l> = q<l> = qG E

kei = a 2Po2 a 2T 2T ' (5.31)

d 2 2 = -kei•

dz 2

(5.32)

(5.33)

De relativistische Hamiltoniaan (5.29) kan met de binominaalreeks in vergelijking (4.31) ontwikkeld worden als de overige termen onder de wortel klein zijn ten opzichte van 1. Uit vergelijking (5.1) volgt een waarde van ongeveer 104 voor hP (Er= 938 MeV, q = 1,6·10-19 C en GE= 1000 V/cm). Voor 3 MeV protonen volgt dan voor kye/ een waarde van ongeveer 1,5·10·2

, daar x en y van de orde 10·2 m zijn is de aanname dat de overige termen klein zijn ten opzichte van 1 gerechtvaardigd.

De Hamiltoniaan ontwikkeld tot in de vierde graad in x, y, 1tx en 1tY, met behulp van de binominaalreeks in vergelijking ( 4.32), luidt (de constante is weggelaten)

K = _:_[1t2 + 1t2l + _:_k2(x2 _ y2) + _1_b2"(x4 _ y4) + _:_( T- 1)k4tx2 _ y2)2 + 2 x y 2 yel 24 ""Vel 8l r yel\:

(5.34)

5.2.3 DE BAANVERGELIJKING Uit de Hamiltoniaan in vergelijking (5.34) kunnen weer vier canonieke

bewegingsvergelijkingen afgeleid worden

X I _ aK _ 1 3 1 2 1 2 2

- - - 1t + -1tx + -1t 1T + -k .... /...x a1t x 2 2ry 2'"

(5.35) x

I aK 1 3 1 2 + _1 k~ fx 2 - y 2)1t ' y = - = 1t + -1t + _1[ 1t ,./\: an y 2y 2xy 2 y (5.36)

y

(5.37)

(5.38) -45-

De eerste van deze vergelijkingen wordt weer naar z gedifferentieerd

11 _ I 3 2 I 1 I 2 I 1 k 2 ( 2 2) I 1 k 2'( 2 2) k 2 f I I) (5 39) X -1tx +21tx1tx +21tx1ty +1tx1ty1tY +2 ye/ X -y 1tx +2 yel X -y 1tx + yei\XX -yy 1tx • '

Substitueer in deze vergelijking de canonieke bewegingsvergelijkingen (5.35-38) en laat de termen van de graad vier en hoger weg

2 2 2 2 (",2+ 1) 4 1 2' 1 211 (5 40) X 11 = -kye~ - kye~(1tx +1ty) - _r_ kyei(X 3_xy 2) + -kyeÁX 2_y 2)1t + -/ÇJX 3. • 2y 2 x 6

Dit is de relativistische baanvergelijking in de x-richting voor een elektrische quadrupoot In dey-richting luidt de vergelijking

11 _ k2 k2 c 2 2) (r+1)k4(y3 2) 1k2'< 2 2) 1k2" 3 (5.41) Y - ye~ + ye~ 1tx+1ty -2j yel -X Y + 2 ye/ X -y 1ty - 6 yetY ·

Deze vergelijkingen zijn zonder de randveldtermen reeds afgeleid door Fujita en Matsuda [Fuj75]. Bij de door hun gevolgde afleiding is het niet mogelijk om het randveld mee te nemen in de afleiding. Een essentieel onderdeel in de door hun gevolgde afleiding is namelijk het constant zijn van ym0vz als functie van de tijd (vz is de snelheid in de z-richting). Deze aanname is niet geldig in het randveld. Ook Smith [Smi70] heeft een poging gedaan om de baanvergelijkingen af te leiden, maar hij vindt alleen maar derde graads termen ten gevolge van relativistische effecten, terwijl uit de vergelijkingen (5.40 en 41) blijkt dat een elektrische quadrupooi ook intrinsieke derde graads termen kent.

In Appendix B worden de baanvergelijkingen voor het niet-relativistische geval afgeleid:

(5.42)

en

(5.43)

Door van de relativistische baanvergelijkingen de niet-relativistische limiet te nemen worden de bovenstaande baanvergelijkingen gevonden. Deze niet-relativistische baanvergelijkingen zijn ook af te leiden uit de baanvergelijkingen voor een gecombineerde quadrupooi in het artikel van Dymnikov [Dym65] door de magnetische component gelijk aan nul te stellen en de plussen door minnen en vice versa te vervangen (de ke/ -term houdt het zelfde teken). In dit artikel wordt de elektrische quadrupooi in de gecombineerde quadrupooi narnelijk als negatief focusserend beschouwd.

De twee stelsels van baanvergelijkingen, de relativistische in (5.40 en 41) en de niet­relativistische in (5.42 en 43) zijn de derde graads baanvergelijkingen voor een positief focusserende elektrische quadrupooi met randveld. Om de baanvergelijkingen voor een negatief focusserende quadrupooi te verkrijgen moet kye/ (ke/) door zijn tegengestelde waarde vervangen worden. De vergelijkingen voor het centrale veldgebied worden hier eenvoudig uit verkregen doordek-termen die naar z gedifferentieerd zijn weg te laten. De eerste graads baanvergelijkingen worden verkregen door de vergelijking na de eerste graads term af te kappen: laat alle termen aan de rechterzijde van het gelijkteken, behalve de eerste, weg.

-46-

5.2.4 PARASITAIRE COMPONENTEN In deze deelparagraaf worden weer enkele storende elementen in de ideale quadrupooi

besproken: de impulsspreiding van de binnenkomende deeltjes, parasitaire multipolen en uitlijnfouten. De storingen worden berekend voor de niet-relativistische baanvergelijkingen.

De impulsspreiding van de inkomende bundel wordt er met de aanpassing uit vergelijking (4.84) ingebracht. De niet-relativistische Harniltoniaan luidt dan (Appendix B)

s: 2 2 2 2 2 1 112 4 4 1 K = -1t =-(1 +u) 1-[1t +1t +k 1(x -y )--k 1 (x -y )]-~ z x y e 12 e (1 +8)2

(5.44)

Uit deze Hamiltoniaan volgen de baanvergelijkingen voor een elektrische quadrupool, waarin de impulsspreiding is meegenomen (Appendix B)

2 2 2 2 4 1 2' 1 2" (5 45) X

11 = -k .. ,x(l-28+ 382) - ke,X(1tx +1ty) - k .. ,(x 3-xy 2) + 2

kel (X 2-y 2)1tx + i"el X 3

•

en

Het is ook mogelijk om de impulsspreiding van de bundel te introduceren in de relativistische baanvergelijkingen. Volgens Fujita en Matsuda [Fuj75] dientky .. / dan vervangen te worden door

k 2,[1 - [1 - y - 1 l + [1 - 2 (y - 1) 1~ + ... ]. (5.47) ye y(y+1)J'E (y+1)2J

hierin is de halve breedte van de relatieve kinetische energiespreiding (8E) er ingebracht door de centrale kinetische energie te storen met deze spreiding:

T = T(l + 8E) . (5.48)

In de niet-relativistische limiet verdwijnen uit deze vergelijking de termen met de y's, zodat vergelijking (5.47) reduceert tot

ke~(l - 8E + 8~). (5.49)

Wanneer in vergelijking (5.44) inplaats van 8 ~8E geïntroduceerd wordt, wordt dezelfde aanpassing voor k .. / verkregen.

In een elektrische quadrupooi kunnen net als in een magnetische quadrupooi parasitaire sextu- en octupolen aanwezig zijn ten gevolge van een schending van de viervoudige symmetrie (paragraaf 4.5.2). De potentiaal van een ideale sextupool met fasehoek a3 luidt

<I> sex = <I> 6cos(3<j> - a3)r 3 = <I> 6[ (x 3 - 3.xy 2)cos( a3) + (3x 2y - y 3)sin( a3)] . (5.50)

De bijbehorende Hamiltoniaan is gelijk aan (Appendix B)

waarin k6) gedefinieerd is als

-47-

2 6me<l> 6 6me<l> k6el = = (5.52)

3 2 2 ' a Po Po

hierin is <I> de absolute waarde van de op de polen opgelegde spanning. Uit de Harniltoniaan in vergelijking (5.51) volgen de baanvergelijkingen voor een elektrische sextopool tot in de derde graad

x" = ~k6:1[(y 2 - x 2)cos(a

3) - 2xysin(a

3)](1 - 28) (5.53)

2

en

(5.54)

Door a3 gelijk aan 0 (7t/2) te nemen worden de baanvergelijkingen voor een rechte (scheve) quadrupooi gevonden.

De baanvergelijkingen voor een elektrische octupool worden op gelijke wijze uit de potentiaal

<l>ocr = <1>8cos(4<j>-a

4)r 4 = <l>8[(x

4 -6x 2y 2 +y 4)cos(a4) + (4x 3y-.xy 3)sin(a4)], (5.55)

via de Hamiltoniaan

afgeleid (Appendix B):

en

x 11 = ~kSeX (3.xy 2 - x 3)cos( a 4) + (y 3

- 3x 2y )sin( a 4)] 2

In deze vergelijkingen is k8e/ gedefinieerd als

(5.57)

(5.58)

2 8me<l>oct kSel = (5.59)

a4Po2

De totale baanvergelijking tot in de derde graad voor een elektrische quadrupooi met parasitaire multipolen, voor een bundel met een spreiding in de impuls wordt gevonden door de baanvergelijkingen voor een quadru-, sextu-en octupool te sommeren:

X 11 =-ke~(l-28+ 382) -k}jX(1t~ +1t~) -ke~(X 3 -.xy 2) + ~ ke~' (X 2 -y 2)7tx + ~ ke~" X 3 +

(5.60) en

-48-

(5.61) De invloed van uitlijnfouten op de baanvergelijkingen voor de elektrische quadrupooi

kan weer met behulp van de vergelijkingen (4.115-117) meegenomen worden.

5.3 DE GECOMBINEERDE QUADRUPDOL

Wanneer de eerste graads baanvergelijkingen in de x-richting uitgebreid met de impulsspreidingstermen (chromatische termen), voor de magnetische en de elektrische quadrupooi onder elkaar geschreven worden,

x 11 = -k~(l - ö + Ö2) (5.62)

en

x" = -k 2(1 - 2Ö + 3Ö2)

el ' (5.63)

is direct te zien dat de magnetische en elektrische quadrupooi een verschillende invloed hebben op de impulsspreiding. Hieronder zal blijken dat het theoretisch mogelijk is om de invloed van de impulsspreiding op de focusserende werking van een quadrupooi te minimaliseren door een elektrische quadrupooi in te bouwen in een magnetische (figuur 5.2).

Figuur 5.2 Dwarsdoorsnede van een gecombineerde quadrupooi

Er zal namelijk blijken dat het mogelijk is om de gecombineerde lens zo in te stellen dat de eerstegraads chromatische effecten nul zijn (ook is het mogelijk om de chromatische termen van teken te doen wisselen). Een op dergelijke wijze ingestelde gecombineerde quadrupooi

-49-

wordt een achromatische quadrupooi genoemd. In deze paragraaf wordt eerst de Harniltoniaan voor een gecombineerde quadrupooi afgeleid. Vervolgens worden uit deze Hamiltoniaan de baanvergelijkingen afgeleid.

5.3.1 DE HAMILTONIAAN Om aan te sluiten bij de literatuur over gecombineerde quadrupolen [Kel62] [Yav64]

[Yav64a] wordt ze opgebouwd uit een positief focusserende magnetische quadrupooi en een negatief focusserende elektrische quadrupoot

De vectorpotentiaal wordt gegeven door de vergelijkingen ( 4.60-62)

1 A = -V Olxy2 x 2 4 '

(4.60)

1 A = -_V4°>x 2y, y 2

(4.61)

(4.62)

en de scalaire potentiaal door de tegengestelde waarde van vergelijking (5.12)

G G<2> <I> = -~(x2 _ y2) + _E_(x2 + y2)(x2 _ y2).

2 24 (5.64)

Deze uitdrukkingen kunnen in de niet-relativistische Hamiltoniaan in vergelijking (3.31) ingevuld worden. Na veel algebra en de overgang op de nieuwe Hamiltoniaan K wordt dan de oplossing gevonden. Het is echter eenvoudiger om de twee Harniltonianen in de vergelijkingen (4.67) en (5.30) te combineren tot een totale Harniltoniaan voor een gecombineerde lens. Dan wordt eenvoudig gevonden

1 k 2( 2 2) 1 k 2" ( 4 4) +- m X -y -- m X -y • 2 48

(5.65)

Wanneer deze Hamiltoniaan vergeleken wordt met die uit vergelijking (5.30) is te zien dat de elektrische potentiaaltermen van teken gewisseld zijn. De impulsspreiding is in de afleiding meteen meegenomen daar dit juist de reden is voor de constructie van een gecombineerde quadrupoot De Hamiltoniaan in vergelijking (5.65) wordt met de binominaalreeks uit vergelijking (4.32) ontwikkeld tot in de vierde graad

K 1[ 2 2 k2( 2 2)](1 s:: S::2) 1k2' 2 + _1k2'xy27t + = 2 1tx + 1ty - el X -y -u+u - 4 mX Y1ty 4 m x

(5.66)

-50-

5.3.2 DE BAANVERGELIJKING Uit de Hamiltoniaan in vergelijking (5.66) worden weer vier canonieke

bewegingsvergelijkingen afgeleid

X I iJK 1 k 21 2 1 3 1 2 1 k 2( 2 2) = - = 1t (1-8+82) + - m .xy + -1tx + -1t 1ty - - el X -y 1t •

d1t x 4 2 2 x 2 x (5.67)

x

(5.68)

(5.69)

(5.70)

De eerste van deze vergelijkingen wordt naar z gedifferentieerd en hierin worden dan de vier vergelijkingen (5.67 -70) ingevuld, met als resultaat de baanvergelijking in de x-richting voor een gecombineerde quadrupooi tot in de derde graad

x" = ke~(l-28+382) + ke~(1t;+1t;) - ke~(x 2 -y 2) - ~k~\x 2 -y 2)1tx - !k::2x 3

+

1k2k2 ( 2 2) + - m e,X X -y • 2

(5.71)

In de eerste regel is de bijdrage van de elektrische component weergegeven (vergelijk met (5.42)), in de tweede regel de bijdrage van de magnetische component (vergelijk met (4.75)) en in de derde regel een kruisterm, die voorkomt uit een bijdrage van zowel de elektrische als de magnetische component. Voor dey-richting wordt op gelijke wijze gevonden

Y 11 = -ke~(l-28+382) - k}JY(1t;+1t;) + ke~(X 2 -y 2)- _!,_ke~'(x 2 -y 2)1t + _!,_ke~"y 3 + 2 y 6

1k2k2 ( 2 2) -- m eJY X -y

2 (5.72)

Dit zijn dezelfde vergelijkingen als die door Dymnikov et al. [Dym65] gegeven worden. Hij geeft ze echter zonder de chromatische termen. Uit vergelijking (5.71) volgt dat de

-51-

impulsspreiding in de eerste graad onderdrukt kan worden door de magnetische veldsterkte parameter km2 twee keer zo groot te maken als zijn elektrisch equivalent. Er wordt dan gesproken van een achromatische quadrupoot Onder de voorwaarde

(5.73)

resteren de onderstaande vergelijkingen voor een achromatische quadrupooi [Dym65, echter weer zonder spreiding in de impuls]

2 2 121 1211 21 1211

X 11 = -k.,yt(1 +02)-2ke~(X1t -y1t )1t --kei (X 2 -y 2)1t --kei X 3 +km .xy1t +-km X(X 2 + 3y 2) x y x 2 x 6 y 12

(5.74) en

(5.75)

5.4 VELDBEREKENINGEN AAN EEN ELEKTRISCHE QUADRUPDOL

Het werkelijke longitudinale verloop van de gradiënt van het veld van een quadrupooi wordt vaak benaderd door een rechthoekig veldprofiel met een oppervlak dat gelijk is aan het oppervlak onder de werkelijke gradiënt (paragraaf 4.2). In het volgende hoofdstuk wordt duidelijk dat wanneer de effectieve lengten van de beide componenten van een gecombineerde quadrupooi gelijk zijn, het mogelijk is om de baanvergelijking voor een gecombineerde quadrupooi in de rechthoekige veldbenadering op vrij eenvoudige wijze op te lossen. Wanneer de effectieve lengten van de elektrische quadrupooi en de magnetische quadrupooi niet gelijk zijn brengt dit aanzienlijke complicaties met zich mee [Shp65a] [Sph65b], zodat gepoogd moet worden om in een gecombineerde quadrupooi de effectieve lengten van de beide componenten zo goed mogelijk overeen te laten stemmen.

In tegenstelling tot een magnetisch veld is het moeilijk om het verloop van een elektrostatisch veld te meten. Wel is het mogelijk om dit veld te berekenen en om hieruit dan de effectieve lengte te bepalen. In deze paragraaf wordt allereerst een globale beschrijving gegeven van het voor de veldberekeningen gebruikte programma: RELAX3D. Daarna wordt beschreven hoe uit de resultaten van het programma de effectieve lengte van een elektrische quadrupooi bepaald wordt. Tenslotte worden de resultaten van de berekeningen beschreven.

5.4.1 REIAX3D RELAX3D is een interactief FORTRAN-programma, geschreven door Houtman en

Kost van TRIUMF [Kos88], dat in staat is om algemene drie-dimensionale Laplace- en Poisson-problemen op te lossen. Hiertoe moet de geometrie van het probleem zo goed mogelijk op een regelmatig drie-dimensionaal rooster gepast worden. De afmetingen van dit rooster wordt bepaald door drie variabelen (IMAX, JMAX, KMAX). Het produkt van de drie variabelen mag standaard niet meer dan 500.000 bedragen. Dit aantal is echter eenvoudig op te hogen, wat ook gebeurd is en wel tot 2.000.000.

Binnen RELAX3D is het mogelijk om de geometrie van het systeem met drie soorten grenzen of randvoorwaarden te definieren: de Neumann-conditie, de Dirichlet-conditie en een diëlektrische overgang tussen twee media met een verschillende permittiviteit. De laatste van de drie is voor het probleem van de elektrische quadrupooi niet van belang. De eerste

-52-

conditie, de Neumann-conditie, houdt in dat de gradiënten van de ladingsdichtheid, de permittiviteit en de potentiaal loodrecht op het grensvlak gelijk aan nul zijn. De tweede conditie, de Dirichlet-conditie, houdt in dat de punten die aan deze conditie voldoen een gefixeerde waarde voor de potentiaal bezitten.

De oplossing van een potentiaalprobleem wordt nu gevonden door de eindige differentiaalvergelijkingen op de roosterpunten op te lossen met behulp van een punt-iteratie onder inachtneming van de condities. Deze iteratie is een successieve-overgerelaxeerde procedure om de convergentie orde van de oplossing te vergroten [Kos88]. Voordat een iteratie gestart kan worden moet er eerst een subroutine in FORTRAN geschreven en gecompileerd worden waarin de geometrie en de uitgangswaarden voor een probleem staan. Deze subroutine, waarvan de naam altijd met de drie letters 'BND' moet beginnen wordt voor ieder punt van het ingevoerde rooster aangeroepen bij de initialisatie van het probleem.

In de BND-subroutine moet voor ieder punt de startwaarde voor de potentiaal V staan (standaard V= 0) en eventueel de soort conditie. De Dirichlet-conditie kan opgelegd worden door een negatieve potentiaal op te leggen, de tegengestelde waarde hiervan wordt dan als potentiaal constant gehouden. Ieder punt dat op een van de zijvlakken van het iteratie-volume ligt waarop niet de Dirichlet-conditie is opgelegd voldoet standaard aan de Neumann-conditie. RELAX3D is alleen in staat om met positieve potentialen te rekenen, wat uiteraard geen beperking is.

In de groep is de gecompileerde versie van een subroutine (BNDPOLYGON1) in gebruik, waarmee het eenvoudiger is om de geometrie van een probleem op het rooster te passen. De geometrie van het probleem kan, opgedeeld in vierkanten en/of rechthoeken in de werkelijke coördinaten, met de bijbehorende (begin)condities geplaatst worden in een bestand met de naam FOR003.DAT. Vervolgens wordt bij de initialisatie van een probleem tijdens het draaien van RELAX3D de BNDPOL YGON1-subroutine aangeroepen, die op haar beurt weer het FOR003.DAT bestand gebruikt om de startwaarden en/of (begin)condities voor de afzonderlijke roosterpunten te retourneren.

De subroutine BNDPOL YGON1 initialiseert voor niet te veel punten (±100.000) het probleem correct. De initialisatie gaat echter fout voor het probleem van een elektrische quadrupooi wanneer het rooster uit ±500.000 punten bestaat. Slechts vijf lagen in de K­richting worden correct geïnitialiseerd, de initialisatie van de zesde laag gaat fout, terwijllaag vijf en zes op dezelfde wijze gedefinieerd zijn. Ook bij een twee-dimensionaal probleem blijkt de initialisatie bij grote aantallen punten soms fout te gaan. Zo is er eens een tripool in plaats van een quadrupooi doorgerekend. Daar alleen de gecompileerde versie van de subroutine BNDPOL YGON1 aanwezig is, is het niet mogelijk om de fout op te sporen. Er is een nieuwe subroutine BNDRADIUS geschreven waarin de juiste beginwaarden en (begin)condities voor de roosterpunten te vinden zijn.

De mate van convergentie van de oplossing van een probleem wordt gegeven door een genormaliseerd restcriterium. Dit criterium kan van te voren ingesteld worden. De standaard waarde voor het restcriterium is 1·10-6

• Het is verstandig om de invloed van de grootte van het restcriterium op de oplossing van het probleem te onderzoeken.

Het resultaat van een berekening kan in zijn geheel of in gedeeltes weggeschreven worden. Het wegschrijven van de gegevens houdt in dat ieder punt, gespecificeerd door zijn i-, j- enk-coördinaat, met de bijbehorende berekende of vaste potentiaal in een bestand wordt opgeslagen. Wanneer de oplossing in zijn geheel wordt weggeschreven kan deze later weer ingelezen worden voor verdere berekeningen.

5.4.2 DE BEPALING VAN DE RELATIEVE VEWSTERKTE PARAMETER De in figuur 5.1 afgebeelde elektrische quadrupooi bezit drie symmetrie vlakken: x

-53-

= 0, y = 0 en z = 0. De geometrie waarvoor de oplossing van de Laptace-vergelijking (5.5) berekend moet worden kan beperkt worden tot dat gedeelte van de ruimte waarvoor geldt dat x, y, z;;::: 0, daar op de symmetrie vlakken voldaan moet zijn aan de Neumann-conditie. Over dit gedeelte van de ruimte wordt het iteratie-volume gelegd. In figuur 5.3 zijn de dwarsdoorsnede en een overlangse doorsnede van het doorgerekende gedeelte van de elektrische quadrupooi te zien.

JMAX

ov JMAX

I 1

+ I 1 KMAX

1 IMAX

Figuur5.3a Figuur5.3b

Figuur 5.3 a Dwarsdoorsnede van de doorgerekende elektrische quadrupooi b Overlangse doorsnede van de doorgerekende elektrische quadrupooi

Op de randen van het iteratievolume moet voor deze geometrie voldaan worden aan de Neumann-conditie. Het is niet mogelijk om een elektrische quadrupooi zonder omhullende bundelpijp door te rekenen, omdat wanneer de pijp afwezig zou zijn er geen geldige randvoorwaarden voor de vlakken I= IMAX en J = JMAX bestaan. Een dergelijke geldige randvoorwaarde bestaat er ook niet voor het vlak K = KMAX, maar dit kan opgelost worden door het iteratie-volume ver genoeg door te laten lopen, zodat de potentiaal op K = KMAX gelijk is aan de waarde van de potentiaal van de wand.

Daar het niet mogelijk is om met RELAX3D negatieve potentialen door te rekenen, wordt met de volgende potentialen gerekend: De "negatieve" elektrode heeft een potentiaal die bijna nul is, de positieve elektrode bezit een potentiaal 2, en de bundelpijp heeft een potentiaal 1. De punten op de elektroden en de bundelpijp voldoen aan de Dirichlet-conditie.

Uit de literatuur [Lee71] is een waarde bekend voor de verhouding van de straal van een ronde elektrode R en de halve apertuur a van de quadrupool, waarvoor de 12-pool component van de elektrische quadrupooi gelijk aan nul is:

R I a = 1,14511 (5.76) Bij deze verhouding zijn ook de 20- en 28-pool componenten klein. (Voor magnetische quadrupalen wordt uit experimenten een waarde voor de verhouding van R en a gevonden, waarbij de 12-pool component nul is, die dicht bij dezelfde waarde ligt: 1,15 [Day54] [Ame87].) De doorgerekende elektrische quadrupalen bezitten alle (op één na) de verhouding in (5.76) voor de straal van de elektrode en de halve apertuur.

Uit hetzelfde artikel [Lee71] blijkt dat het wel of niet aanwezig zijn van een

-54-

bundelpijp om de quadrupooi een geringe invloed heeft op de potentiaalverdeling binnen de quadrupool. Wel heeft de aanwezigheid van de bundelpijp mogelijk invloed op het verloop van het randveld.

Voor de bepaling van de effectieve lengte van de quadrupooi is het noodzakelijk om het verloop van de gradiënt van het elektrische veld te kennen (5.31). Daar

c =-~ ~~n E ()x

volgt met behulp van vergelijking (5.4) de volgende uitdrukking voor de gradiënt ()2<1>

GE =-, (5.78) ax 2

zodat

(ke/Po)2 ()2<1> ---= (5.79)

moq ax 2

Er is dus een keuze gemaakt voor de niet-relativistische veldsterkte parameter, het verschil met de relativistische parameter is evenwel slechts een constante.

Met behulp van RELAX3D wordt voor ieder roosterpunt een waarde voor de potentiaal gevonden. Aan de hand van een formule voor centrale tweevoudige numerieke differentiatie [lnl87]

()2<I>(a) = -<I>(a+2h)+l6<I>(a+h)-30<I>(a)+16<l>(a-h)-<l>(a-2h) + .!::....t<6>(Ç) (5.80)

ax 2 12h 2 90

kan zo een waarde voor de rechterzijde van vergelijking (5.79) gevonden worden. Het is gebruikelijk om ke/ op de centrale as uit te rekenen, zodat vergelijking (5.80) met behulp van de symmetrie voorwaarde geschreven kan worden als

()2

<1> = -2<1>(2h)+32<l>(h)-30<I>(O) + !!:_J<6>(Ç). (5.81) ax 2 12h 2 90

Voor h moet de afstand tussen twee roosterpunten in de x(l)-richting genomen worden.

5.4.3 HET RESULTAAT VAN DE BEREKENINGEN In figuur 5.4 is een voorbeeld van de berekening van de tweede afgeleide van de

potentiaal te zien als functie van de positie op de z-as. De vierkantjes die de afzonderlijke punten markeren zijn groter dan de fouten ten gevolge van de numerieke differentiatie. Deze fout is afgeschat met de restterm in vergelijking (5.80), waarbij voor de afgeleide de waarde 1 genomen is. De effectieve lengte van de elektrische quadrupooi wordt bepaald door de kromme in figuur 5.4 puntsgewijs te integreren en door vervolgens door de maximale waarde te delen.

-55-

6

~ 5 E

' > 4 • 0 ~ 3

~ 2 E

::;-... -o 0. .. c, 0

-1

.. ..

' 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 afstand tot midden q-pool [ 10-3 m]

Figuur 5.4 (k,1 p0 flmrf1 als functie van de afstand tot het midden van de quadrupool. De ingetekende rechthoek geeft de positie van de pool aan (a = 0,006 m, Ria = 1.14511, IMAX = JMAX = 53, KMAX = 177, L0 = 177,9·10·3 m).

In figuur 5.5 is te zien wat de relatie is tussen het genormeerde rest(of tolerantie)criterium en de effectieve lengte van de quadrupoot Bij deze berekeningen is gebruik gemaakt van hetzelfde rooster als hierboven (±500.000 punten}.

185.0 I I I I I I

184.5 ~ -,......., E • • • •

.., I

~84.0 I- -

--Q)

I __J

183.5 - -•

183.0 I I I I I I

-7.0 -6.5 -6.0 -5.5 -5.0 -4.5 -4.0 -3.5 log( tolerantie)

Figuur 5.5 De effectieve lengte van een quadrupooi als functie van de logaritme van hettolerantiecriterium (IMAX = JMAX = 53. KMAX = 177. a= 0,007 m, R = 0,004 m, Lo = 177,91{)'J m).

-56-

Het genormaliseerde restcriterium voor een roosterpunt is gedefinieerd als het verschil van de potentiaal voor en na een iteratieslag gedeeld door de potentiaal na de iteratieslag

I

R .IJk = (Vijk - vijk) en R Nk = (V.Ik - V ) als v..k = 0 IJ I IJ" IJ ijk IJ

vijk

(5.82)

R;/ is het genormeerde restcriteJium, Vijk de potentiaal voor een iteratieslag en Vijt' de optentiaal na de iteratieslag. Door te eisen dat het restcriterium van een bepaald probleem een gegeven waarde moet hebben, worden er net zolang iteraties uitgevoerd totdat het restcriterium voor alle roosterpunten kleiner is dan de gegeven waarde. Bij een waarde voor het tolerantiecriterium van 1 ·1 o·Ó is de afwijking van Leff ten opzichte van de waarde voor de effectieve lengte bij een tolerantie van 1,2·10·7 ongeveer 0,01 procent. Dit komt overeen met een verschil in effectieve lengte van 0,02 mm. Het is dan ook voldoende om het probleem door te rekenen tot een waarde van 1 ·1 o-6 voor het tolerantiecriterium.

Tabel 5.1 toont de invloed van het aantal punten in de 1- en J-richting van het opgelegde rooster op de effectieve lengte. De waarde voor KMAX is constant gehouden bij deze berekeningen (KMAX = 177).

Tabel 5.1 De effectieve lengte als functie van het aantal punten in de 1- en i-richting en de bijbehorende CPU-tijd op een VAX-3100 (KMAX = 177, L0 = 177,9·10-·1 m, a= 0,006 m, Ria= 1,14511 ).

IMAX, Leff CPU-tijd JMAX (10"3 m) (s)

27 184,9 ± 600 53 184,3 ± 5400 105 184,4 ± 36000

In de tabel is geen duidelijke trent te ontdekken. De overige berekeningen zijn gedaan met IMAX = JMAX = 53 (± 500.000 punten).

De variatie van de effectieve lengte met de halve apertuur wordt getoond in figuur 5.6. De figuur wekt de indruk dat de punten op een rechte liggen zodat er een constante waarde voor de con·ectiefactor c (vergelijking (4.2)) gevonden wordt. Figuur 5.7 laat echter zien dat de factor c afhankelijk is van de halve apertuur a.

-57-

185 I I I

184 1- . -

r-'1 • E 183 1- -

7 0 • ..... L-.1

-~ 182 1-'i

_J •

181 I- -

180 I I I

2 3 4 5 6 halve apertuur [10-3 m]

Figuur5.6 De effectieve lengte van e('n quadrupooi alsfunctie van de halve apertuur a (IMAX = JMAX = 53, KMAX = 177, Ria= 1,14511 , Lo = 177,9·10·3 m).

1.40 I I I

1.35 ._ -

0 1.30 1- -~

0 ..... 1.25 0 1- -

0 - • Q)

..... 1.20 1- -0 Q) ~

0 1.15 1- -0 • •

1.10 1- -

• 1.05 I I I

2 3 4 5 6 halve apertuur [ 10-3 m]

Figuur 5.7 De correctiefactor c op de fysieke lengte van de quadrupooi als functie van de halve apertuur a (IMAX = JMAX = 53, KMAX.,. 177, Ria • J,1451J , Lo • 177,9·J0"1 m).

De enige waarde uit de literatuur voor de correctiefactor is 1,14 bij een halve apenuur van 12,9 mmeneen verhouding voor Ria van 1,155 [Yav64].

Een werkelijke elektrische quadrupooi zal afgeronde polen bezitten om doorslag te voorkomen. Dit in tegenstelling tot de doorgerekende elektrische quadrupooi die abrupt afgekapte polen bezit. Het afronden van de polen zal ongetwijfeld invloed hebben op de

-58-

effectieve lengte van de quadrupool, zodat de configuratie met afgeronde polen ook afzonderlijk doorgerekend moet worden.

Het verloop van de potentiaal over de I-as tussen de centrale as van de quadrupooi en de elektrode op de I-as is te zien in figuur 5.8.

1.0

0.8

,-,

> '---' 0.6

0 0

....... c:: (]) 0.4 ....... 0 0..

0.2

0.0 0 2 3 4 5 6

afstand midden q-pool (mm)

Figuur 5.8 Het verloop van de potentiaal op de x(l)-as van een elektrische quadrupooi (IMAX = JMAX = 53, KMAX = 177, Ria= 1,14511 , a= 0,006 m, Lu= 177!)·1(}·1 m).

Voor de potentiaal <I> op de x(I)-as van een elektrische quadrupooi geldt de volgende uitdrukking (uit vergelijking 5.6)

(5.83)

Door de coördinaten op de maximale waarde voor de x-coördinaat te schalen (waardoor de geschaalde coördinaten tussen 0 en 1 liggen) en met behulp van een kleinste kwadraten aanpassing de coëfficiënten c4, c 12 en c 20 uit te rekenen (tabel 5.2) kan onderzocht worden wat de verhouding tussen de 4-, 12- en 20-pool componenten is.

Tabel 5.2 De waarden van de coëfficiënten van de verschillende multipolen

component naam waarde

4-pool c4 1,0174 ± 0.0001 12-pool cl2 (1,7 ± 0,5)10'3

20-pool C2o (-1,79 ± 0,06)10'2

Uit de tabel blijkt dat de 12-pool component klein is ten opzichte van de quadrupooi component. De 12-pool component is echter niet nul, zoals voorspeld is door Lee-Whiting et al. [Lee71]; dit is mogelijk te wijten aan de eindige afmetingen van de roosterafstanden.

-59-

HOOFDSTUK6

DE OPLOSSING VAN DE BAANVERGELIJKINGEN

6.1 INLEIDING

In de hoofdstukken 4 en 5 zijn de baanvergelijkingen voor geladen deeltjes in een magnetische, een elektrische en een gecombineerde quadrupooi afgeleid. In dit hoofdstuk wordt de oplossing van deze baanvergelijkingen beschreven. Het doel is om tot een oplossing te komen waarbij de eindcoördinaten en -divergenties van een deeltje na een quadrupooi een expliciete functie zijn van de begincoördinaten, -divergenties en de quadrupoolparameters.

In de paragrafen 6.2 tot en met 6.5 wordt uitvoerig de oplossingsmethode van de verschillende baanvergelijkingen voor een magnetische quadrupooi besproken. In paragraaf 6.2 worden de eerste graads baanvergelijkingen opgelost, in paragraaf 6.3 de derde graads baanvergelijkingen voor het centrale veldgebied en in paragraaf 6.4 de derde graads baanvergelijkingen voor het totale veldgebied, waarbij dan het werkelijke verloop van het veld benaderd wordt met een rechthoekig veldprofieL De oplossing van de termen uit de derde graads baanvergelijkingen die mede een functie zijn van de impulsspreiding wordt in paragraaf 6.5 besproken. In dezelfde paragraaf wordt de oplossing van de tweede graads baanvergelijkingen besproken. In paragraaf 6.6 komt de oplossingsmethode voor de baanvergelijkingen van een sextu- en een octupool aan bod.

De oplossingen van de baanvergelijkingen voor de elektrische en de gecombineerde quadrupooi worden op vrijwel identieke wijze verkregen als die voor een magnetische quadrupoot Deze oplossingen worden summier beschreven in respectievelijk de paragrafen 6.7 en 6.8. De oplossingen van al de baanvergelijkingen zijn te vinden in de bijlage bij dit verslag [Lee92].

Met behulp van de oplossingen van de baanvergelijkingen is het mogelijk om een computerprogramma te schrijven waarmee de microbundelopstelling doorgerekend kan worden. In paragraaf 6.9 wordt korte een beschrijving gegeven van het door A. Mangnus geschreven programma MICR03R, dat gebruik maakt van de oplossingen in de bijlage. Ook komt hier kort het programma TRANSPORT aan de orde.

In hoofdstuk 3 is beschreven dat een canonieke transformatie van het ene stelsel variabelen naar het andere moet voldoen aan de simplectische conditie. In paragraaf 6.10 wordt beschreven in hoeverre de transformatie van de ingangs- naar de uitgangsvariabelen canoniek is en aan de simplectische conditie voldoet.

6.2 DE EERSTE GRAADS OPLOSSING

6.2.1 DE OPWSSING VAN DE BAANVERGEUJKING De eerste graads baanvergelijkingen voor de magnetische quadrupool,

-60-

x 11 + k;,x = 0 (4.41)

en

y 11 - k:,Y = 0 ' (4.42)

hebben de gedaante van een tweede orde differentiaalvergelijking. De oplossing van een tweede orde differentiaalvergelijking wordt volledig bepaald door twee beginvoorwaarden. Van een inkomend deeltje (op z = 0) worden de begincoördinaten (X0, Y0) en de begindivergenties (00, <1>0) bekend verondersteld. Er zijn dus vier beginvoorwaarden voor twee tweede orde differentiaalvergelijkingen. Strikt genomen moet er met de beginwaarden voor de canonieke impulsen (1tx en 1ty) gewerkt worden maar in paragraaf 4.4 is aangetoond dat deze tot in de derde graads baanvergelijking vrij uitwisselbaar zijn met de divergenties 9 en q,.

De oplossing van de vergelijkingen is eenvoudig. Op z = 0 geldt dat 9 = 0 0 en x = X0• De oplossing van vergelijking (4.41) luidt dan

x(z) = X0cos(k z) + 0

0-

1 sin(k z). (6.1)

m k m m

Voor z kan naar believen de fysieke of de effectieve lengte van de quadrupooi ingevuld worden. De oplossing voor 9 wordt uit vergelijking (6.1) gevonden door deze te differentiëren naar z:

9(z) = -X0k sin(k z) + 00cos(k z). m m m (6.2)

6.2.2 MATRIXNOTATIE De vergelijkingen (6.1) en (6.2) zijn in matrixnotatie als volgt weer te geven

(x ) = ( cos(kmz) (1/km)sin(kmz)) (X0 ) (6.3)

l9 -kmsin(kmz) cos(kmz) 0 0

De matrixelementen worden aberratiecoëfficiënten genoemd en worden als volgt gesymboliseerd

(:) = (:::: ::::) (::} (6.4)

De aberratiecoëfficiënt <x I 9> geeft bijvoorbeeld aan hoe de uitgangsvariabele x afhangt van de in gangsparameter 0 0• In de aberratiecoëfficiënt <x I x> staat links de uitgangsvariabele x en rechts de ingangsvariabele X0• De waarde van deze coëfficiënt is dus gelijk aan cos(k~).

De oplossing van de baanvergelijking (4.42) is op gelijke wijze in matrixnotatie weer te geven

(y ) = ( cosh(kmz) (1/k)sinh(kmz)) (Y0 ) (6.5)

l<~> kmsinh(kmz) cosh(kmz) <1>0 '

of met behulp van aberratiecoëfficiënten

(y J = ( <yly> <yl$> J (YoJ· <P l <$ IY> <$ I$> l <I> 0

(6.6)

-61-

De oplossing voor de y-richting kan ook gevonden worden uit die voor de x-richting door in deze laatste oplossing x, e en k door respectievelijk y, cp en ik (e = -1) te vervangen. De oplossingen van de twee baanvergelijkingen kan ook in één 4 x 4-matrix worden weergegeven

x cos(kmz) (l/km)sin(kmz) 0 0 xo e -kmsin(kmz) cos(kmz) 0 0 e

(6.7) 0

= y 0 0 cosh(kmz) (1/km)sinh(kmz) yo

cp 0 0 kmsinh(kmz) cosh(kmz) <1>0

Dit is van belang als de beweging in de x- en y-richting gekoppeld is. De beweging van een geladen deeltje over een afstand L in een veldvrij gebied

(driftruimte) wordt als volgt in matrixnotatie weergegeven

x 1 L 0 0 xo e 0 1 0 0 e

(6.8) 0

= y 0 0 1 L yo

cp 0 0 0 1 <1>0

Met de matrix Q voor een quadrupooi en de matrix L voor een driftruimte kan het microbundelsysteem met behulp van matrixvermenigvuldiging tot in de eerste graad beschreven worden

T T Xe = L5Q4L4Qf--3Q'-'2QiLixb ' (6.9)

in deze vergelijking symboliseren de L;'s de vijf matrices voor de vijf driftruimtes en de Q;'s de vier matrices voor de quadrupolen. De uitdrukking beschrijft hoe de ingangscoördinaten van een deeltje xbr = (X0, 8 0, Y0, <1>0l overgaan in de uitgangscoördinaten x/= (x, 8, y, cpf De totale matrix (van L5 tot en met L1) is de eerste graads systeemmatrix van de microbundelopstelling.

6.3 DE DERDEGRAADS OPLOSSING VAN DE BAANVERGELIJKING VOOR HET CENTRALE VELDGEBIED

In deze paragraaf wordt eerst beschreven hoe de derde graads baanvergelijking voor het centrale veldgebied van een positieve magnetische quadrupoot opgelost wordt en vervolgens hoe de oplossing in matrixnotatie kan worden weergegeven. In het vervolg zal slechts de oplossing van de baanvergelijking voor de x-richting besproken worden, daar de oplossing voor de y-richting uit die voor de x-richting gevonden kan worden. Om de resultaten te controleren zijn de baanvergelijkingen voor dey-richting echter wel afzonderlijk opgelost.

De vergelijking die opgelost moet worden luidt

x" + k:,X = -~k:,XS2 - 2.k:,Xcp2 + k,!vecp. (6.10)

2 2

Dit is vergelijking (4.48) waarin de canonieke impulsen 1tx en 1tY vervangen zijn door de divergenties 8 en cp. Vergelijking (6.10) is een homogene derde graads tweede orde

-62-

differentiaalvergelijking. Met behulp van de methode van successieve approximatie [Mat72] kan deze vergelijking omgeschreven worden tot een lineaire inhomogene tweede orde differentiaalvergelijking.

Neem daartoe aan dat de oplossingen van vergelijking (6.10) van de volgende vorm zijn

(6.11)

waarin de onderschriften I, II en lil respectievelijk de oplossingen van de eerste, tweede en derde graads baanvergelijking symboliseren. Volgens de methode van de successieve approximatie kan, wanneer de nde graads oplossing bekend is, de n+ 1 ste graads baanvergelijking omgeschreven worden tot een inhomogene differentiaal vergelijking door de nde graads oplossing in te vullen in de n+ 1 ste graads termen.

In vergelijking (6.10) komen alleen eerste en derde graads termen voor, zodat de tweede graads oplossing gelijk is aan de eerste graads oplossing en de derde graads baanvergelijking omgeschreven kan worden tot een lineaire inhomogene differentiaalvergelijking, door de oplossing van de eerste graads baanvergelijking in de derde graads termen in vergelijking (6.10) in te vullen. Vul de oplossingen voor x, 8, y en <1> (6.7) in de derde graads termen uit vergelijking (6.10) in

x 11 +k 2r = _]_km\ -k sin(k z)X0

+ cos(k z)00

)2(cos(k z)X0 + ...!_sin(k z)00) +

m""' 2 m m m m k m m

-2.k;(k sinh(k z)Y0

+ cosh(k z)<l>0

)2(cos(k z)X

0 + ...!_sin(k z)<l> '\ +

2 m m m m k m ())' m

+ k":(cosh(kmz)Y0 + ..;-sinh(kmz)<l>0)(kmsinh(kmz)Y0 + cosh(kmz)<l>0) X

m

(6.12)

Schrijf vervolgens de produkten uit en hergroepeer de termen; wat rest is een lineaire inhomogene tweede orde differentiaalvergelijking. Deze vergelijking kan compact als volgt worden opgeschreven

10

x 11 + k;,x = E X;X; • (6.13) i = 1

De betekenis van de termen X; en X; is weergegeven in tabel 6.1. D.L. Smith heeft een poging gedaan om vergelijking (6.13) op te schrijven [Smi70],

maar hij heeft daarbij een groot aantal slordigheidsfouten gemaakt. De vergelijking is wel correct opgeschreven door M. Höfert [Höf86].

-63-

Tabe/6.1 De betekenis van de symbolen uit vergelijking (6.13).

i X; x. = c k 2 1 Or

1 x~ -~k~[sin2(k z)cos(k z)] 2 m m

2 x;00 -~k~[sin3(k z)-2sin(k z)cos2(k z)] 2 m m m

3 2 -~k~[cos3(k z)-2sin2(k z)cos(k z)] Xo0o 2 m m m

4 2 XoYo -k~[ ~ cos(kmz)sinh2(kmz)+sin(kmz)cos(kmz)sinh(kmz)]

5 XOYO~O -k~[ cos(kmz)sinh(kmz)cosh(kmz) +sin(kmz)(sinh2(kmz) +cosh2(kmz) )]

6 2 xo~O -k~[ ~ cos(k mz )cosh2(k mz) +sin(kmz )sinh(kmz )cosh(kmz)]

7 0~ -~k [sin(k z)cos2(k z)] 2 m m m

8 Yo20o -k~[ ~ sin(kmz)sinh2(kmz)-cos(kmz)sinh(kmz)cosh(kmz)]

9 Yo0o~o -k~[sin(kmz)sinh(kmz)cosh(kmz)-cos(kmz)(sinh2(kmz)+cosh2(kmz))]

10 2 00~0 -km[~ sin(kmz)cosh2(kmz)-cos(kmz)sinh(kmz)cosh(kmz)]

De oplossing van de inhomogene lineaire differentiaalvergelijking in (6.13) wordt gevonden door de vergelijking in tien delen te splitsen en vervolgens voor de afzonderlijke delen de oplossing te berekenen en daarna de oplossingen te sommeren. De tien vergelijkingen kunnen worden opgelost met behulp van de methode van de Laplace­transformatie [Smi70].

Eén van de tien delen is als volgt weer te geven

x 11 + k:,X = X;X; .

(6.14)

Laat Si en st1 respectievelijk de operatoren voor de Laplace- en inverse Laplace-transformatie symboliseren. Deze operatoren worden gedefinieerd door de vergelijkingen

00

Sf[f(z)] = f(s) = Jexp( -sz)f(z)dz (6.15)

0

en

se-1[f(s)] = f(z). (6.16)

Laat de Laplace-operator werken op vergelijking (6.14) en gebruik de beginvoorwaarden op z = 0, dan luidt het resultaat

Sf[x(z)] = sXo + 0o + Sf[x;(z)xJ . (6.17) s2+k2 s2+k2

m m

Om nu een expliciete uitdrukking voor x(z) te verkrijgen moet deze vergelijking de inverse transformatie ondergaan

-64-

1 [Sf[x.(z)x.]] x(z) = X0cos(k z)+8

0-sin(k z) + Sf-1 1 1

•

m k m 2 k2 m S + m

(6.18)

De eerste twee termen aan de rechterzijde van deze vergelijking vormen de eerste graads oplossing die reeds bekend is. Het gaat nu echter om de derde term:

[

Sf[x.(z)]] Xm(z) = xj Sf-I I 2 '

s 2 + k m

(6.19)

(het bijvooegsel bij x111 wordt weggelaten: x) Xï mag voor de transformaties gehaald worden daar het een constante is. De resterende vergelijking (6.19) kan het eenvoudigste opgelost worden door gebruik te maken van het convolutie-theorema [Kuh78]. Dit levert dan de volgende uitdrukking voor x(z) op

x(z) =x.(~sin(k z)) *(x.(z)) . (6.20) I k m I

m

Deze uitdrukking heeft door de asterisk de volgende betekenis

x(z) = ~fz sin(k z-k u)x.(u)du. k m m 1

mO

Werk de sinus uit met behulp van de sinusregel in vergelijking (4.13) z

x(z) = :i Jsin(kmz)cos(kmu)-cos(kmz)sin(kmu)]xi(u)du. mO

Haal de termen die niet van u afhankelijk zijn voor de integraal en splits de integraal

x(z) = ; ~in(k.z) }os(k.u)x;(u)du - cos(k.z) Jsin(k.u)x;(u)du]. m 0 0

Door de tien afzonderlijke termen te sommeren

10 [ z z ] x(z) = ~X· _1

sin(k z)fcos(k u)x.(u)du - cos(k z)fsin(k u)x.(u)du ~'k m m 1 m m, 1"1 m 0 0

(6.21)

(6.22)

(6.23)

(6.24)

wordt de oplossing van de derde graads termen uit de baanvergelijking voor het centrale veldgebied verkregen. De totale oplossing van de derde graads baanvergelijking voor het centrale veldgebied bestaat uit deze termen plus de eerste graads oplossing (6.3).

De tien termen tussen de vierkante haken zijn de derde graads aberratiecoëfficiënten voor de x-richting ten gevolge van het centrale veldgebied. Het uitrekenen van deze aberratiecoëfficiënten is veel werk, maar kan wat gereduceerd worden door gebruik te maken van een standaard-integralen boek [Gra80]. De oplossing is in tabel6.2 weergegeven [Lee70] [Man91].

De aberratiecoëfficiënten voor e worden uit de aberratiecoëfficiënten voor x berekend door deze laatste naar z te differentiëren. De aberratiecoëfficiënten voor de y-richting kunnen op twee manieren bepaald worden: door het oplossen van de baanvergelijking in dey-richting of door de vervanging van x, een k door respectievelijk y, ~en ik in de oplossing voor de x-richting. Ook de aberratiecoëfficiënten voor~ kunnen op twee manieren verkregen worden:

-65-

door differentiatie van de aberratiecoëfficiënten voor de y-richting naar z en door middel van de substitutie in de oplossing voor 9. Door deze twee mogelijkheden is het steeds mogelijk om de berekeningen te controleren. De volledige lijst van derde graads aberratiecoëfficiënten voor het centrale veldgebied van een magnetische quadrupooi is te vinden in het verslag van A. Mangnus [Man91] en in de bijlage bij dit verslag [Lee92].

Tabel 6.2 De waarden voor de aberratiecoëfficiënten voor de derdegraads termen uit de baanvergelijking voor het centrale veldgebied in de x-richting voor een positieve quadrupool.

naam waarde

1 <xlx:l:> 3e ~ [ cos(kmz) -cos(3kmz) -4k'"zsin(k mz)]

2 <xlx 29> k ~ [ 15sin(k'"z) -9sin(3k'"z) + 12k'"zcos(kmz)J

3 <xlx92:> _1_[9cos(3k z) -9cos(k z)-12kzsin(k z)] 64 m m m

4 <xixy 2> e __:[cos(k z)cosh(2k z)-3sin(k z)sinh(2k z)-cos(k z)+4k zsin(k z)] 32 m m m m m m m

5 <xixy<l» k

_:.[cos(k z)sinh(2k z)+sin(k z)-3sin(k z)cosh(2k z)] 16 m m m m m

6 <xlx<!>2:> _I_[cos(k z)cosh(2k z)-3sin(k z)sinh(2k z)-cos(k z)-4k zsin(k z)] 32 m m m m m m m

7 <xl93> _ 1_[3sin(3k z)-21sin(k z)+12k zcos(k z)] 64k m m m m m

8 <xly 29> k _:.[sin(k z)cosh(2k z)+3cos(k z)sinh(2k z)-3sin(k z)-4k zcos(k z)] 32 m m m m m m m

9 <xly9<1>> _1 [3cos(k z)cosh(2k z)+sin(k z)sinh(2k z)-3cos(k z)] 16 m m m m m

10 <xl9<!>2:> _ 1_[3cos(k z)sinh(2k z)+sin(k z)cosh(2k z)-llsin(k z)+4k zcos(k z)] 32k m m m m m m m m

De oplossing van de derde graads termen kan ook in matrixnotatie worden weergegeven door de set van ingangsparameters uit te breiden en wel van

x/ = (Xo,E>o,Yo,<l>of (6.25)

naar

met j + k +I + m = 3 en j, k, /, m e N.

(6.26) De uitgangswaarde voor x kan dan bijvoorbeeld geschreven worden als

-66-

Xe = <.xi.x>X0 + <.xl9>00 + <.xlx 3>Xi + <.xlx 29>X020 0 + <.xlx92>X00~ +

+ <.xixy2>XoYo2 + <.xixyq»XoYo<l>o + <.xix<J>2>Xo<l>~ + <.xl93>0~ +

+ <.xly29>Yo20o + <.xly9<j>>Yo0o<l>o + <.xi9<J>2>0o<l>~. (6.27)

Gelijke uitdrukkingen kunnen opgeschreven worden voor 9, y en <j>. Deze vier uitdrukkingen kunnen dan met behulp van één grote matrixvermenigvuldiging worden weergegeven

(x, 9, y, <j>)r = (Q.IQ33) (Xo, 0o, Yo, <l>o, Xi, Xo02, ..... , <l>o0~f. (6.28)

In deze uitdrukking symboliseert Q1 een 4 x 4 matrix die de eerstegraads werking van een quadrupooi beschrijft en Q33 een 4 x 40 matrix die de derde graads werking van een quadrupooi beschrijft.

Wanneer nu een systeem met behulp van matrixvermenigvuldiging doorgerekend wordt, is het noodzakelijk om op de overgang van een driftruimte naar een quadrupooi de uitgangsvector van de driftruimte, die uit vier termen bestaat (x, 9, y, <j>), uit te breiden tot een complete, uit 44 termen bestaande, ingangsvector voor de tweede quadrupool. Dit is numeriek eenvoudig term voor term te doen, X/ is bijvoorbeeld gewoon de derde macht van X0

etcetera. Zo is het mogelijk om het microbundelsysteem tot in de derde graad door te rekenen met behulp van matrixvermenigvuldiging.

6.4 DE DERDEGRAADS OPLOSSING VAN DE BAANVERGELIJKING VOOR HET TOTALE VELDGEBIED

In paragraaf 4.2 is beschreven hoe het werkelijke verloop van de gradiënt van het magnetische veld benaderd kan worden met behulp van een rechthoekig veldprofieL In deze paragraaf wordt de baanvergelijking voor het totale veldgebied opgelost door het totale veldgebied te benaderen met een rechthoekig veldprofiel en door vervolgens met behulp van de randvoorwaarden die horen bij dit rechthoekige veldprofiel de baanvergelijking op te lossen.

In figuur 6.1 is het werkelijke verloop van de relatieve magnetische veldsterkte parameter km2 (km2 is evenredig met de gradiënt g(z) (4.30)) als functie van z weergegeven; ook is het rechthoekige veldprofiel ingetekend.

c C'

D D'

A A'

B B' u

Figuur 6.1 Het werkelijke en het rechthoekige veldprofiel

-67-

Aan de hand van deze figuur laat zich het verschil tussen het centrale veldgebied (of uniforme veld profiel) en het rechthoekige veldprofiel uitleggen. Laat A en A' respectievelijk naar B en B' naderen over de z-as (km = 0) en laat D en D' respectievelijk naar C en C' naderen over k = km. Dan is het centrale veldgebied het stuk van D tot D' en het rechthoekige veldprofiel het stuk van A naar A'. Het rechthoekige veldprofiel heeft dus twee discontinuïteiten in B en B ', terwijl het centrale veldgebied geen discontinuïteiten kent.

De op te lossen baanvergelijking voor het totale veldgebied luidt

3 1 1 x 11 = -k 2x - _k 2x82 - -k 2x<j>2 + k 28<1> + k 21.xy<l> + -k 211 (x 3 + 3.xy 2) • (6.29) 2 2 12

Dit is de baanvergelijking uit (4.75) waarin de canonieke impulsen 1tx en 1ty vervangen ûjn door de divergenties 8 en <j>, ook is km2 vervangen door ~. Vergelijking (6.29) is een homogene derde graads tweede orde differentiaalvergelijking. Met behulp van de methode van successieve approximatie wordt deze omgeschreven tot een lineaire inhomogene tweede orde differentiaalvergelijking. Het is echter niet noodzakelijk om alle termen opnieuw uit te rekenen, daar de termen met constante k in de vorige paragraaf reeds opgelost zijn. De volgende termen uit vergelijking (6.29) moeten nog opgelost worden.

x" + k 2x = k 2'.xy<j> + _1_k2" (x 3 + 3.xy 2). (6.30)

12

Hierin worden weer de oplossingen van de eerste graads baanvergelijkingen ingevuld, met als resultaat

x" + k 2x = k 2'(cos(kz)X0 + _!_sin(kz)E>0)(cosh(kz)Y

0 + _!_sinh(kz)<l>0) x

k k

k 2" 1 x (ksinh(kz)Y0 + cosh(kz)<l>0) + -(cos(kz)X0 + -sin(kz)E>0)

3 + 12 k

Dit kan compact geschreven worden als 10

x 11 + k 2x = ~ x ·X· . L.." n ' i = I

De betekenis van de symbolen in deze vergelijking is weergegeven in tabel 6.3.

-68-

(6.31)

(6.32)

Tabel 6.3 De betekenis van de symbolen uit vergelijking (6.32).

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x. = c k 2' + c2i~" Tl Il

fi2" -[cos3(kz)] 12 k2" -[ sin(kz )cos2(kz)] 4k

k2" -[ sin2(kz )cos(kz)] 4k 2

k 2'k k 2" -[ cos(kz )sinh(2kz)] +-[ cos(kz)cosh2(kz)]

2 4 k2"

k 2'[ cos(kz)cosh(2kz)] +_[ cos(kz)sinh(2kz)] 4k

k2' k2" -[cos(kz)sinh(2kz)] +-[cos(kz)sinh2(kz)] 2k 2k 2

k2" __ [sin3(kz)] 12k 3

k~ k~ -[sin(kz)sinh(2kz)] +-[sin(kz)cosh2(kz)]

2 4k k2' k2" -[sin(kz)cosh(2kz)] +-[sin(kz)sinh(2kz)]

k 4k 2

k2' k2" _[sin(kz)sinh(2kz)] +-[sin(kz)sinh2(kz)] 2k 2 4k 3

Door de gegevens uit tabel 6.1 en tabel 6.3 samen te voegen is de complete baanvergelijking (6.29) te schrijven als een lineaire inhomogene tweede orde differentiaalvergelijking

IO IO

x" + k2x = r (x. +x .)x. = r (c .k2 + c .k2' + c .k2"L .. ~ I Tl I ~ OI Il 2i fl..l (6.33)

i ., I i = I

Deze vergelijking is weer op te lossen met behulp van de methode van de Laplace­transformatie (paragraaf 6.3). De derdegraads oplossing x111 van baanvergelijking (6.29) wordt dan geschreven als (na de terugtransformatie en gebruikmakend van het convolutie theorema)

IO z

Xm(z) = 2.:E xisin(kz) fcos(ku)[COi(u)k 2 + Cii(u)k 2' + C2i(u)k 2"]du + k i=I 0

IO z

-2.:Expos(kz)fsin(ku)[COi(u)k 2 + c,i(u)k 2 + Cu(u)k 2"]du. (6.34) k i=I 0

De relatieve magnetische veldsterkte parameter neemt voor het rechthoekige veldprofiel de volgende waarden aan (figuur 6.1)

k = km voor 0 < u < z, k = 0 voor u ~ 0 en u ;::: z.

De hier geïntroduceerde km is een andere km dan de in vergelijking (4.30) geïntroduceerde. De km hierboven is namelijk een constante, gelijk aan de maximale waarde van de km uit

-69-

vergelijking ( 4.30). Zij is wel gelijk aan de km in het begin van dit hoofdstuk (paragraaf 6.2 en 6.3) daar de relatieve veldsterkte parameter hier constant werd verondersteld en dus door een constante kan worden weergegeven.

Vul deze waarden voor k in in vergelijking (6.34) en integreer dan partieel om de termen met lé en k" te elimineren. De oplossing van één term i wordt dan geschreven als

z z

x.(z) = ~sin(k z)}C0 .(u)km2cos(k u)du - ~cos(k z)}C0 .(u)km2sin(k u)du +

1 k m 1 m k m 1 m m 0 m 0

+ :• sin(k .J[ cos(k .u )C "(u )k 'J:-j.: [ cos(k.u )C "(u) ]k,!du] + m L 0 U

+~sin(k z)~[cos(k u)C2 .(u)k 2']~-[.!:.(cos(k u)C2i.(u)k 2]~+Jz d 2

[cos(k u)C2i(u)]km2du} k m m 1 d m d 2 m m U 0 U

+~cos(k z)[-[sin(k u)C2i.(u)k 2']~+[.!:.(sin(k u)C2i.(u)k 2]~-Jz d 2

[sin(k u)C2i.(u)]k~du]. k m m d m d2 m m U 0 U

(6.35) Voor zowel het centrale veldgebied als het rechthoekige veldprofiel geldt dat de

afgeleide van !è (k') altijd gelijk is aan nul. Dit betekent dat de twee termen met k' in vergelijking (6.35) wegvallen.

Voor het rechthoekig veldprofiel geldt dat k(O) = k(z) = 0 zodat ook de resterende vier geïntegreerde termen in dit geval gelijk aan nul zijn. Dit betekent dat de vier integralen uit de laatste vier regels van vergelijking (6.35) samen met de eerste regel uit vergelijking (6.35) resteren als oplossing van de vergelijking voor de benadering met een rechthoekig veldprofieL

Voor het centrale veldgebied geldt dat de aberratiecoëfficiënten niet van de eerste en de tweede afgeleide van k afhangen, zodat de laatste vier regels in vergelijking (6.35), die immers uit de termen met de afgeleiden afkomstig zijn, samen nul moeten opleveren. Daar echter voor het centrale veldgebied geldt dat k(O) = k(z) = km is de waarde van de geïntegreerde termen niet gelijk aan nul. Dit betekent dat de som van deze vier geïntegreerde termen gelijk is aan de tegengestelde som van de vier integralen in de laatste vier regels van vergelijking (6.35).

De waarden van de integralen zijn voor het centrale veldgebied en het rechthoekige veldprofiel wel aan elkaar gelijk daar het verschil tussen de twee profielen bestaat uit twee punten op de u-as.

Het verschil tussen een aberratiecoëfficiënt voor het centrale veldgebied en het rechthoekige veldprofiel is dus de som van de vier integralen in de laatste vier regels, die gelijk is aan de tegengestelde som van de vier geïntegreerde termen.

Dit betekent dat de aberratiecoëfficiënten voor het rechthoekige veldprofiel uit de aberratiecoëfficiënten voor het centrale veldgebied afgeleid kunnen worden door er de som van de vier geïntegreerde termen vanaf te trekken. Deze termen worden geschreven als

-70-

(6.36) In vergelijking (6.36) symboliseren de A/s de termen ten gevolge van de tweede

randvoorwaarde in z en de B;' s de termen tengevolge van de eerste randvoorwaarde in 0. In tabel 6.4 staan de waarden voor A; en B; getabelleerd.

Tabel 6.4 De waarden voor A; en B; uit vergelijking (6.36).

i X; A. B. I I

1 x3 1 1 _[cos3(k z)] --[ cos(k z)] 0 12 m 12 m

2 Xo28o _ 1_[sin(k z)cos2(k z)] _ 1_[sin(k z)] 4k m m 4k m m m

3 x oe~ _ 1_[sin2(k z)cos(k z)] 0 2 m m

4km

4 2 _ 1_[sin3(kmz)] 0 XoYo 12e m

5 XOYO<l>O 1 1 _[cos(k z)cosh2(k z)] -_[cos(k z)] 4 m m 4 m

6 2 _ 1_[cos(k z)cos(k z)sinh(k z)] -_1_[sin(k )] Xo<l>o 2k m m m 2k mz m m

7 e~ _ 1_[cos(k z)sinh2(k z)] 0 2 m m 4km

8 2 _I_[sin(k )cosh2(k )] -

1-[sin(k z)] Yo8o

4k mz mz 4k m m m

9 Yo8o<l>o _ 1_[sin(k z)sinh(k z)cosh(k z)] 0 2 m m m 2km

10 2 _ 1_[sin(k z)sinh2(k z)] 0 eo<I>o 3 m m 4km

De A;' sen B;' s moeten met km2 vermenigvuldigd worden en vervolgens van de respectievelijke aberratiecoëfficiënten voor het centrale veldgebied afgetrokken worden om de aberratiecoëfficiënten voor het rechthoekige veldprofiel te verkrijgen (tabel 6.5).

-71-

Tabel 6.5 De waarden voor de aberratiecoëfficiënten voor het rechthoekige veldprofiel

naam waarde

<xlx~ e

_m [13cos(k z)-I3cos(3k z)-36k zsin(k z)] I92 m m m m

2 k ~ [ -5sin(kmz)-13sin(3kmz)+I2kmzcos(kmz)]

3 ~ [13cos(3kmz)-I3cos(kmz)-I2kmzsin(kmz)]

e 4 <xlxy2;> __:[-3cos(k".,)cosh(2k".,)-3sin(k".,)sinh(2k".,) + 3cos(k".,) +4k";.(k".,)]

32

<xlxyq>> k

5 .....:..[ -3cos(k z)sinh(2k z)+9sin(k z)-3sin(k z)cosh(2k z)] 16 m m m m m

6 <xlx<j>1;> _I [ -3cos(k z)cosh(2k z)-3sin(k z)sinh(2k z)+cos(k z)-4k zsin(k z)] 32 m m m m m m m

7 <xl93> _ 1_[13sin(3k z)-75sin(k z)+36k zcos(k z)] 192k m m m m

m

8 <xly29> k

.....:..[ -3sin(k z)cosh(2k z)+3cos(k z)sinh(2k z)-I5sin(k z)-4k zcos(k z)] 32 m m m m m m m

9 <xly9<!>> _I [3cos(k z)cosh(2k z)-3sin(k z)sinh(2k z)-3cos(k z)] 16 m m m m m

10 <xl9<j>2;> _ 1_[3cos(k z)sinh(2k z)-3sin(k z)cosh(2k z)-7sin(k z)+4k zcos(k z)] 32k m m m m m m m m

De aberratiecoëfficiënten voor 8, y en <1> zijn op de in paragraaf 6.3 besproken wijze uit de aberratiecoëfficiënten voor x af te leiden of zelf af te leiden. Een volledige lijst met aberratiecoëfficiënten voor het rechthoekige veldprofiel is te vinden in het verslag van A. Mangnus of in de bijlage bij dit verslag. Lee-Whiting [Lee70] geeft de waarden voor de aberratiecoëfficiënten voor x en e.

De benadering van het werkelijke verloop van de veldgradiënt met behulp van een rechthoekig veldprofiel is één van de mogelijke benaderingen, het is ook mogelijk om aberratiecoëfficiënten voor het totale veldgebied te berekenen door dit te benaderen met behulp van vormfactoren [Lee70], of door afzonderlijke aberratiecoëfficiënten voor het randveld te berekenen door dit randveld met behulp van integralen te beschrijven en deze coëfficiënten dan te gebruiken in combinatie met die voor het centrale veldgebied [Mat72].

6.5 DE OPLOSSING VAN DE VAN öAFHANKELIJKE TERMEN IN DE DERDE GRAADS BAANVERGELIJKING

De termen in de baanvergelijking (4.89) die een functie zijn van de impulsspreiding ö zijn in feite een correctie op de eerste graads term, en dus ook op de eerste graads

-72-

oplossing. Vervang in de eerste graads oplossing (6.1) km2 door km2(1 - ö + Ö2):

x(z) = X cos(k (1-8+82)112z) + E> 1 sin(k (1-8+82)112z) . 0 m 0 k (1-8+82)1/2 m

m

(6.37)

Ontwikkel (1 - ö + 82)112 met de binominaalreeks uit vergelijking (4.32) en vul het resultaat in vergelijking (6.37) in

x(z) = X0cos(k (1-..!..ö+~82)z) + 0

0_1 (1 +..!..8-..!..82)sin(k (1-..!..8+~Ö2)z). (6.38)

m 2 8 k 2 8 m 2 8 m

De cosinus en de sinus worden uitgeschreven met behulp van cosinus- en sinusreeksen en de volgende benaderingen worden toegepast

cos(8k z) .. 1 - ..!..k~z 282, cos(82kmz) .. 1, m 2

en (6.39)

Dan wordt vergelijking (6.36) tot in de derde graad in x, e, y, cJ> en 8 geschreven als

x = X0[cos(kmz)] + X

0Ö[_!_k zsin(k z)] + X

082[ -~k zsin(k z) - ~k~z 2cos(k z)] +

2 m m 8 m m 8 m

+ 00[~sin(k z)]+E>08..!..[_1 sin(k z)-zcos(k z)]+E>082..!..[zcos(k z)-sin(k z)-k z 2sin(k z)]. k m 2k m m 8 m m m m

m m

(6.40) Vergelijking (6.40) bevat naast de bekende eerstegraads termen twee tweedegraads termen (X08 en 0 08) en twee derde graads termen (X08

2 en 0 082). De termen tussen de vierkante

haken kunnen als chromatische aberratiecoëfficiënten beschouwd worden. De chromatische aberratiecoëfficiënten voor de x-richting zijn in tabel 6.6 weergegeven.

Tabel 6.6 De waarden voor de chromatische aberratiecoe.fjiciè"nten voor een magnetische quadrupooi

i naam waarde

1 <.xlx8> ..!..[k zsin(k z)] 2 m m

2 <.xl9ö> _ 1_[sin(k z)-k zcos(k z)] 2k m m m

m

3 ..!..[ -3k zsin(k z)-4k~z 2cos(k z)] 8 m m m

4 _ 1_[k zcos(k z)-sin(k z)-k~z 2sin(k )] 8k m m m mz

m

De chromatische aberratiecoëfficiënten voor de y-richting kunnen op de in de vorige paragraaf besproken wijze uit de aberratiecoëfficiënten voor de x-richting afgeleid worden.

-73-

Een complete lijst met chromatische aberraticoëfficiënten voor de magnetische quadrupooi [Nak82] [Man91] is te vinden in de bijlage bij dit verslag [Lee92].

De chromatische aberratiecoëfficiënten voor het centrale veldgebied en het rechthoekige veldprofiel zijn tot in de derde graad identiek daar de termen met de afgeleiden van km2 geen chromatische correcties bevatten.

De chromatische effecten kunnen ook door middel van matrixvermenigvuldiging bestudeerd worden door de ingangsvector (6.26) uit te breiden met de termen <.x";lx,.ö> en <x; lt)i2> waarin X; voor x, e, y of <jl staat. Bij bijvoorbeeld de uitgangswaarde voor x uit vergelijking (6.27) moeten dan de vier chromatische termen uit tabel 6.6 opgeteld worden

x =x + <.xjx8>X 8 + <.xj88>E> 8 + <.xjx82>X 82 + <.xj982>E> 82 (6.41) c 0 0 0 0 •

De oplossing van de tweede graads baanvergelijkingen (4.91 en 4.92) bestaat uit de eerste graads oplossing plus de tweede graads oplossing voor de chromatische term (de aberratiecoëfficiënten <x; I x;8> ).

6.6 DE OPLOSSING VAN BAANVERGELIJKINGEN VOORSEXTU-EN OCTUPOLEN

Ook de baanvergelijking voor een magnetische sextupool of een magnetische octupool kunnen met behulp van de methode van successieve approximatie omgeschreven worden tot een tweede orde inhomogene differentiaalvergelijking. De baanvergelijking voor een magnetische sextupool ( 4.1 07) zonder chromatische termen luidt

x 11 = ks!Jcos(a)(y 2 - x 2) - sin(a

3)(2xy)]. (6.42)

Dit is een tweede graads vergelijking zonder eerste graads termen. De nulde graads vergelijkingen x' = 0 en y" = 0 zijn eenvoudig met behulp van de randvoorwaarden op z = 0 (x = X0, 9 = 8 0, y = Y0 en <jl = <I>0) op te lossen:

x=X + zE> 0 0 en (6.43)

Substitueer deze nulde graads oplossingen in de tweede graads baanvergelijking en los de inhomogene differentiaalvergelijkingen op door twee-voudige integratie. De oplossing in termen van aberratiecoëfficiënten is te vinden in de bijlage bij dit verslag, waar ook de oplossing van de baanvergelijking voor een magnetische octupool vermeld is. Deze oplossing is op gelijke wijze als die voor een magnetische sextupool te verkrijgen.

De oplossing van de chromatische term uit de baanvergelijkingen van de sextupool introduceert nu een storing op de tweede graads oplossing. De aberratiecoefficienten zijn te vinden in de bijlage.

De baanvergelijkingen voor de afzonderlijke multipolen (quadru-, sextu-, en octupool) zijn dus opgelost, niet opgelost is de baanvergelijking voor de quadrupooi met parasitaire sextu-en octupolen (4.113 en 114).

6.7 DE OPLOSSING VAN BAANVERGELIJKINGEN VOOR DE ELEKTRISCHE QUADRUPDOL

De baanvergelijkingen voor de elektrische quadrupooi worden op dezelfde wijze als de baanvergelijkingen voor de magnetische quadrupooi opgelost. De oplossingen van de eerste

-74-

graads baanvergelijkingen zijn identiek (met ke/ in plaats van km2). De oplossing van de derde

graads baanvergelijking voor het centrale veldgebied wordt weer gevonden door de derde graads tweede orde differentiaalvergelijking met behulp van de methode van successieve approximatie om te schrijven naar een lineaire tweede orde inhomogene differentiaal vergelijking. Deze vergelijking wordt weer opgelost met behulp van de methode van de Laplace-transformatie. De oplossingen zijn te vinden in de bijlage. De oplossing voor het benaderende rechthoekige veldprofiel wordt weer gevonden door van de oplossing voor het centrale veldgebied correctiecoëfficiënten (A; en B;) af te trekken. Deze coëfficiënten en de oplossing in termen van aberratiecoëfficiënten zijn te vinden in de bijlage bij dit verslag.

Voor de elektrische quadrupooi zijn de niet-relativistische baanvergelijkingen opgelost. De oplossingen van de relativistische baanvergelijkingen worden gevonden uit de oplossingen voor een gecombineerde quadrupooi (paragraaf 6.8). Het is nu niet meer mogelijk om de kye/- en de kye/-term na de successieve approximatie te sommeren. De oplossing van de kye/-term wordt gevonden door in de oplossing voor de ke/-term uit de baanvergelijking voor een gecombineerde gecombineerde ke/ te vervangen door ky} en te eisen dat kyel in dezelfde macht in de oplossing voorkomt als km in de oplossing van de baanvergelijking voor een magnetische quadrupooi (k wordt weggelaten). De oplossing van de kye/ -term wordt verkregen door in de oplossing van de ke/-term uit de baanvergelijking voor de gecombineerde quadrupooi ke/ te vervangen door (y + 1)!(2y)kye/. De macht van kye1 in de oplossing moet gelijk zijn aan de macht van kye1 in de respectievelijke termen uit de oplossing van de kye/-term.

De oplossing van de niet-relativistische termen die van de impulsspreiding afhankelijk zijn, wordt op dezelfde wijze verkregen als de oplossing van de 8 afhankelijke termen van de magnetische quadrupooi (zie bijlage).

6.8 DE OPLOSSING VAN BAANVERGELIJKINGEN VOOR DE GECOMBINEERDE QUADRUPDOL

De oplossing van de niet-relativistische baanvergelijking voor een gecombineerde quadrupooi wordt in principe verkregen door de oplossing van de baanvergelijking van de magnetische en elektrische quadrupooi te sommeren en hier dan vervolgens de oplossing van de kruisterm bij op te tellen. Er treden echter een aantal complicaties op die hieronder besproken worden.

De eerste graads baanvergelijking voor een gecombineerde lens luidt (6.44)

Met behulp van de definitie voor de relatieve veldsterkte parameter lè voor een gecombineerde quadrupooi

is de oplossing van vergelijking (6.44) te schrijven als

x = X0cos(kz) + 80~sin(kz). k

(6.45)

(6.46)

Dit is dezelfde oplossing als voor de magnetische en de elektrische quadrupool, met een aangepaste relatieve veldsterkte parameter.

Voor de berekening van de chromatische aberratiecoëfficiënten wordt de eerste graads

-75-

term met de chromatische correcties

[k":(l-8+82) - ke~(l-28+382)]x

omgeschreven tot

kll -1;"8 + -n'~6n+38'}

In deze vergelijking is de volgende definitie gebruikt 2

ket

Met de definities voor 11 1 en 112 1-n 2

en

-n 2 -6n+3 112 = 8

wordt vergelijking (6.48) geschreven als

k 2[1-11,8+11282] •

(6.47)

(6.48)

(6.49)

(6.50)

(6.51)

(6.52)

Bij een gecombineerde quadrupooi lens is het mogelijk om de sterkte van de twee componenten willekeurig te variëren ten opzichte van elkaar. Een drietal instellingen is echter van speciaal belang, de magnetische (elektrische quadrupooi uit), de elektrische (magnetische quadrupooi uit) en de achromatische instelling (km2 = 2ke/). In tabel 6.7 is aangegeven welke waarden bij de drie instellingen aan n, 111 en 112 moet worden toegekend.

Tabel 6.7 De waarden van n, 111 en 1b voor de verschillende instellingen.

type lens n 11, 11z

magnetisch 0 1/2 3/8 elektrisch -1 1 1

achromatisch 1 0 -1/2

De oplossing van de chromatische termen uit de baanvergelijking voor de gecombineerde quadrupooi kan nu op gelijke wijze plaatsvinden als de oplossing van de chromatische termen uit de baanvergelijking voor een magnetische quadrupoot Vervang in de eerste graads oplossing van de baanvergelijking k door k(l-1118+1128

2) en werk de cosinus en sinus termen uit volgens de benaderingen in vergelijking (6.39). De oplossing in termen van aberratiecoëfficiënten is te vinden in de bijlage.

Van de resterende termen in de baanvergelijking voor een gecombineerde quadrupooi wordt eerst de kruisterm opgelost met behulp van de methode van de successieve approximatie en de Laplace-transformatie. De oplossing in termen van aberratiecoëfficiënten is te vinden in de bijlage. De oplossing is gecontroleerd door ook de baanvergelijking voor de y-richting op te lossen en vervolgens de oplossing voor de x-richting te transformeren naar die voor de y-richting ((x, e, k) ~ (y, cp, ik)).

-76-

De volgende term die opgelost wordt is de k.,/ -term. De oplossing van deze term is eenvoudig uit de oplossing van de kruisterm te berekenen door in deze laatste oplossing -l/2km2 te vervangen door ke/.

De oplossing van de k}-term wordt gevonden met behulp van de methode van successieve approximatie gevolgd door de Laplace-transformatie. De oplossing van de elektrische bijdrage aan het centrale veldgebied van een gecombineerde quadrupooi kan niet eenvoudig berekend worden door in de oplossing van het centrale veldgebied van een quadrupooi k} door k te vervangen, daar bij de baanvergelijking voor een zuivere elektrische quadrupooi de ke/-term en de ke/-term gesommeerd blijken te kunnen worden na de successieve approximatie. Deze sommatie is niet mogelijk bij het vinden van een oplossing van de baanvergelijking voor een gecombineerde quadrupoot

De bijdrage van het elektrische randveld in de rechthoekige veldbenadering aan de oplossing van de baanvergelijking voor een gecombineerde quadrupooi wordt gevonden door de A;'s en B;'s voor een elektrische quadrupooi te vermenigvuldigen met k.

Bij de bijdragen van de elektrische component dient er goed op het teken van de oplossing gelet te worden, daar dit tegengesteld moet zijn aan het teken van de bijdragen in de baanvergelijking voor een zuivere elektrische quadrupoot

De oplossing van de magnetische component uit de gecombineerde baanvergelijking wordt wel op eenvoudige wijze gevonden. De verhouding tussen kuten k in de oplossing moet namelijk gelijk zijn aan de verhouding tussen ke1 en k uit de elektrische ke/-term in de baanvergelijking voor de gecombineerde quadrupoot Wijzig dus in de oplossing voor de magnetische quadrupooi (centrale en rechthoekige veldprofiel) de macht van km in de juiste verhouding. Zo wordt de juiste oplossing voor de magnetische bijdrage in de gecombineerde quadrupooi gevonden.

De totale oplossing voor het centrale veldgebied van een gecombineerde quadrupooi tot in de derde graad wordt nu gevonden door de oplossingen van de vijf componenten te sommeren (eerstegraads term, kruisterm, k,../-term, ke/-term en magnetische bijdrage). Voor de rechthoekige veldprofiel benadering moeten zes componenten gesommeerd worden (eerste graads term, kruisterm, ke/-term, ke/-term, elektrische randveld en magnetische bijdrage).

6.9 COMPUTERPROGRAMMA'S

Wanneer de oplossing van de baanvergelijkingen voor de verschillende onderdelen van de microbundelopstelling (driftruimten en quadrupolen) in termen van aberratiecoëfficiënten bekend is, kan er een programma geschreven worden dat met behulp van matrixvermenigvuldiging uit de ingangsparameters (X0, 0 0, Y0, <1>0 en Ö) bijvoorbeeld de afmetingen van de gefocusseerde bundel berekend. In deze paragraaf wordt kort een beschrijving gegeven van het door A. Mangnus geschreven programma MICR03R [Man91], de nadruk wordt hierbij gelegd op de recente aanpassingen aan dit programma. Eerst wordt kort het gebruik van het programma TRANSPORT [Bro80] [Man91] [Jen86] beschreven waarmee een aantal instellingen voor de sterktes van de quadrupolen van de microbundelopstelling en de coëfficiënten van de systeemmatrix berekend zijn. Naast deze twee programma's bestaan er nog vele andere programma's [Gri82] [Car82] waarmee het mogelijk is om microbundelopstellingen door te rekenen. Maar de twee gebruikte programma's sluiten goed op elkaaar aan en gebruiken weinig rekentijd (typisch niet meer dan ± 30 epu-seconden per berekening op de VAX-3100). Dit laatste in tegenstelling tot bijvoorbeeld het programma OXRA Y [Gri82] dat tientallen uren rekentijd nodig heeft [Jam85,

-77-

pag57].

6.9.1 TRANSPORT Het veelzijdige programma TRANSPORT is gebruikt voor twee doeleinden: kleinste

kwadraten aanpassingen om de sterktes van de quadrupolen voor verschillende instellingen te berekenen én het berekenen van de coëfficiënten van de systeemmatrix van de totale microbundelopstelling.

In tabel 6.8 zijn een aantal instellingen voor de quadrupolen van de microbundelopstelling weergegeven die met behulp van een kleinste kwadraten aanpassing bepaald zijn. De methode van de kleinste kwadraten aanpassing wordt beschreven in [Man91].

Tabel 6.8 De waarden voor het magnetische veld van de vier quadrupalen voor vier verschillende instellingen (zie tekst), de magnetische veldsterkten zijn gegeven in Tesla's.

Quadrupooi Instelling M Instelling 0 Instelling J Instelling S

1 -0,24 -0,28 -0,188234 -0,3 2 -0,02 -0,02 -0,178404 -0,02 3 0,135120 0,136141 0,167230 0,136572 4 -0,187376 -0,187159 -0,189939 -0,187081

In [Man91] wordt gewerkt met instelling M (=instelling Mangnus) uit tabel 6.8. De waarden in [Man91] verschillen voor quadrupooi 3 en 4 licht omdat de quadrupolen in de tussentijd ongeveer één à twee millimeter verplaatst zijn na een kleine verbouwing aan de opstelling (hoofdstuk 7). De waarden voor de derde en de vierde quadrupooi zijn met behulp van TRANSPORT met een kleinste kwadraten aanpassing bepaald terwijl de waarden voor de eerste en de tweede quadrupooi constant gehouden zijn onder de eis van een goede afbeelding in eerste graad (<x I 8> = 0 en <y I cjl> = 0). Deze termen worden in de praktijk niet precies gelijk aan nul.

In de microbundelopstelling wordt met een iets andere instelling gewerkt, instelling 0 (=instelling Opstelling). Ook deze instelling is in tabel 6.8 te zien. De derde instelling in tabel 6.8, instelling J (=instelling Jenneskens), wordt verderop gebruikt bij het onderzoek van de discrepantie tussen de berekende en de gemeten bundelspot afmetingen (hoofdstuk 7). Ook deze instelling wijkt iets af van die in [Man91] om de boven genoemde reden. In tabel 6.8 is ten slotte instelling S (=Sterke instelling) te zien die voor enkele berekeningen gebruikt is.

Voor drie van de instellingen in tabel 6.9 zijn de elementen van de systeemmatrix berekend met behulp van TRANSPORT. Het resultaat is te zien in tabel6.9. Duidelijk is het verschil in gevoeligheid voor de verschillende ingangsparameters bij de drie instellingen te zien.

-78-

Tabel 6.9 De waarden voor de aberratiecoëfficiënten van de systeemmatrix van drie verschillende instellingen, zoals ze berekend zijn met behulp van TRANSPORT.

term Instelling M Instelling J Instelling 0 eenheden

eerste graad

<xlx> -0,033 -0,021 -0,029 -<xl8> 0,340 -1,294 -0,035 pm/mrad <8lx> -0,005 -0,008 -0,006 mrad/pm <818> -29,82 -46,56 -34,81 -<yiy> 0,007 0,016 0,006 -<ylcJ>> 0,072 -0,101 0,130 pm/mrad <cJ>Iy> 0,024 0,011 0,028 mrad/pm <cJ>IcJ>> 138,8 63,85 161,4 -

term Instelling M Instelling J Instelling 0 eenheden

tweede graad

<xlx8> 0,286 0,513 0,339 1/% <xl88> 1718 3097 2034 p/mrad% <yly8> -0,121 1,128E-3 -0,139 1/% <ylcJ>8> -689,1 6,798 -796,5 p/mrad%

-79-

term Instelling M Instelling J Instelling 0 eenheden

derde graad

<xlr> -1,397E-8 -7,568E-8 -2,261E-8 1/pm2 <xlr8> -2,521E-4 -1,370E-3 -4,068E-4 1/pmrnrad <x I x82> -1,516 -8,267 -2,440 1/mrad2

<xlxi> -2,483E-8 -9,022E-9 -3,908E-8 1/pm2 <X l.xyq» -2,832E-4 -1,057E-4 -4,482E-4 1/pmmrad <x lx<l>2> -0,808 -0,310 -1,285 l/mrad2

<X I 83> -3040 -1,664E+4 -4879 p/mrad3

<xll8> -1,494E-4 -5,445E-5 -2,345E-4 1/pmrnrad <X I 8y<j>> -1,704 -0,638 -2,690 l/mrad2

<x I 8<!>2> -4859 -1869 -7712 1/mrad3

<X I XC2> -7,694E-3 -1,570E-2 -9,273E-3 1/%2

<x 1 8c2> -45,96 -94,14 -55,27 pm/mrad%2

<YII> 9,271E-9 8,487E-10 1,434E-8 1/pm2

<YIY<I>> 1,587E-4 1,497E-5 2,467E-4 1/pmmrad <y I Y<l>2> 0,905 8,805E-2 1,415 1/mrad2

<ylyr> 5,056E-9 6,385E-9 8,056E-9 l/pm2 <ylx8y> 6,086E-5 7,707E-5 9,669E-5 1/pmmrad <y I 82y> 0,183 0,2326 0,290 l/mrad2

<y I <1>3> 1721 172,6 2705 p/mrad3

<ylr<l>> 2,884E-5 3,741E-5 4,620E-5 1/pmmrad <y I x8<!>> 0,347 0,452 0,554 1/mrad2

<y I 82<1>> 1044 1363 1663 l/mrad3

<y I yc2> 2,727E-3 4,04E-4 3,057E-3 1/%2

<y I <j>C2> 15,83 2,619 17,79 pm/mrad%2

6.9.2 MICR03R MICR03R is een binnen de groep geschreven programma waarmee de

microbundelopstelling kan worden doorgerekend [Man91]. Het programma berekent met behulp van matrixvermenigvuldiging de eindcoördinaten van een, met willekeurige ingangsparameters gegenereerd, deeltje.

De rekentijd is afhankelijk van het aantal deeltjes. Ze varieert van ongeveer 30 seconden (10.000 deeltjes) tot plusminus 15 minuten (1.000.000 deeltjes). Voor de meeste berekeningen (bijvoorbeeld het berekenen van de afmetingen van de bundelspot) is een aantal van 10.000 deeltjes voldoende. Naast bundelspotberekeningen kunnen er roosterschaduw-en acceptantieberekeningen worden uitgevoerd. Het is mogelijk om bij de berekeningen de invloed van uitlijnfouten, impulsspreiding en parasitaire multipalen mee te nemen.

Het al eerder geschreven programma [Man91] is uitgebreid. Het is nu ook mogelijk om met elektrische quadrupalen en gecombineerde quadrupalen te rekenen.

Met magnetische quadrupalen kunnen zowel relativistische als niet-relativistische berekeningen worden uitgevoerd. Met elektrische en gecombineerde quadrupalen kunnnen vooralsnog alleen niet-relativistische berekeningen uitgevoerd worden. Voor elektrische quadrupalen wordt het programma nog aangepast zodat ook relativistisch gerekend kan worden. Voor gecombineerde quadrupalen is dit nog niet mogelijk daar de relativistische baanvergelijking voor een gecombineerde quadrupooi niet berekend is.

-80-

6.10 FASERUIMTEBEHOUD EN DE SIMPLECTISCHE CONDITIE

Wanneer een beweging beschreven kan worden door middel van een Hamiltoniaan en er uit deze Hamiltoniaan baanvergelijkingen (of algemener bewegingsvergelijkingen) worden afgeleid, zijn deze baanvergelijkingen correct wanneer bij de afleiding uit de Hamiltoniaan geen termen in de verkregen baanvergelijkingen worden weggelaten. Met dit correct zijn van de baanvergelijkingen wordt bedoeld dat de oplossing van de vergelijkingen een canonieke transformatie impliceert van de begin- naar de eindcoördinaten.

De eerste graads baanvergelijkingen voor een magnetische, elektrische en gecombineerde quadrupooi worden afgeleid uit een Harniltoniaan als in vergelijking (4.36). Eenvoudig is in te zien dat bij de afleiding van de baanvergelijking (4.41) geen termen uit de canonieke bewegingsvergelijkingen (4.38 en 39) worden weggelaten. Dat het theorema van Liouville geldig is (dat de transformatie canoniek is), blijkt uit het feit dat de determinant van de oplossing (6.3) van de baanvergelijking gelijk is aan 1. Daar de x- en y-richting in de eerste graads baanvergelijkingen niet gekoppeld zijn is dit een voldoende voorwaarde voor het canoniek zijn van de transformatie in vergelijking (6.3) [Hag91]. Ten overvloede kan eenvoudig aangetoond worden dat er voldaan is aan de simplectische conditie in vergelijking (3.80).

De correcte eerste graads baanvergelijking voor de magnetische quadrupooi met de impulsspreidingstermen luidt

2 km

x 11 +--X= 0. (1 +8)

(6.53)

Door k/ = km21(1 +8) te nemen, valt direct in te zien (door de overeenkomst met de eerste graads baanvergelijking) dat deze baanvergelijking een Hamiltoniaanse beweging beschrijft. Bij het oplossen van deze baanvergelijking worden echter enkele benaderingen gemaakt: de tweede graads baanvergelijking wordt geschreven als

x 11 + k;(l-8)x = 0 . (6.54)

De oplossingen van deze baanvergelijking tot en met de tweede graad in termen van aberratiecoëfficiënten luidt

Xe = <xlx>X0 + <xlx8>X08 + <xi8>E>0 + <xi88>E>08 (6.55)

en (6.56)

De waarden voor de eerste graads aberratiecoëfficiënten zijn te vinden in paragraaf 6.2, de waarden voor de tweede graads aberratiecoëfficiënten in de bijlage [Lee92].

De vergelijkingen (6.55) en (6.56) kunnen als volgt in één matrix worden weergegeven

(xeJ ( <xlx>+<xlx8>8 <xl8>+<xl88>8 J (X0J 8e = l <8 lx>+<8 lx8>8 <8 18>+<8 188>8 . E>o .

(6.57)

De determinant van deze matrix is gelijk aan

-81-

()2 1 + -(k 2z 2

- sin2(kz)), 4

(6.58)

wanneer de sinus ontwikkeld wordt met behulp van een machtreeks is deze determinant te schrijven als

(6.59)

Een reële bovengrens voor kz voor de quadrupalen van de microbundelopstelling is 1 (B = 0,3 T, p = 3 Me V, a= 0,026 m). Zodat de correctie op de waarde 1 van de determinant van de orde 82 is (als 8 = 0,075% is 82

<=;; 6·10·\ De determinant is dus in zeer goede benadering gelijk aan 1. Dat ze niet precies gelijk aan 1 is komt door de benadering die gemaakt is bij het opschrijven van de tweede graads baanvergelijking.

Wanneer naar de simplectische conditie gekeken wordt, wijkt het matrixprodukt

MJM (waarin M gelijk is aan de matrix in vergelijking (6.56)) eveneens in de tweede graad in 8 af van de simplectische matrix J

0 1 + 02

(k 2z 2 -sin2(kz)) 4 (6.60)

0

De oplossing van de tweede graads baanvergelijking kan dus in zeer goede benadering als canoniek beschouwd worden.

De baanvergelijkingen voor een geladen deeltje in een quadrupooi vertonen in de eerste graad geen koppeling tussen de x- en y-coördinaat. Wanneer de baanvergelijking voor het centrale veldgebied van een magnetische quadrupooi tot in de derde graad bekeken wordt (4.48), is de koppeling op tussen de x- en y-coördinaat te zien. Dit betekent dat er gewerkt moet worden met 4 x 4 matrices bij het onderzoek naar de geldigheid van de simplectische conditie, en ook dat het eventuele 1 zijn van de determinant van de oplossing in matrixnotatie niet meer een voldoende voorwaarde is voor het canoniek zijn van de transformatie. Daarom is geprobeerd om met behulp van één van de genererende functies, zoals deze beschreven zijn in paragraaf 3.4, de coördinaten in de baanvergelijking te ontkoppelen. Dit is niet gelukt. Waarschijnlijk is het niet mogelijk om de koppeling tussen de coördinaten op te heffen.

Wanneer goed gekeken wordt naar de afleiding van de baanvergelijking voor het centrale veldgebied van een magnetische quadrupooi (4.34 tot en met 4.48), is in te zien dat bij de afleiding geen termen worden weggelaten. Dit betekent dat de baanvergelijking een canonieke transformatie symboliseert. Dit geldt echter niet voor de baanvergelijkingen voor het centrale veldgebied van een elektrische en een gecombineerde quadrupoot Bij deze afleidingen zijn namelijk de vijfde graadstermen in de baanvergelijking niet berekend. Voor de afleiding van de baanvergelijkingen voor het totale velgebied van de verschillende quadrupalen geldt hetzelfde: de vijfde graads termen uit de baanvergelijking zijn niet berekend.

Het op analytische wijze controleren in hoeverre voldaan is aan de simplectische conditie is een groot karwei. De matrix M is namelijk een 4 x 4 matrix met op elke positie een complexe uitdrukking met sinussen en cosinussen. In [Hag91] wordt een suggestie gedaan om op numerieke wijze te toetsen of voldaan is aan de simplectische conditie. Hieraan ben ik niet meer toegekomen.

-82-

HOOFDSTUK7

HET VERKLEINEN VAN DE BUNDELSPOTAFMETINGEN

7.1 INLEIDING

In paragraaf 6.9 is beschreven dat met behulp van het programma MICR03R de afmetingen van de bundelspot berekend kunnen worden. In de praktijk bleek de bundelspot groter te zijn dan de berekende waarden. In paragraaf 7.2 wordt de reden van deze spotvergroting besproken. Vanwege de te grote afmetingen van de bundelspot is besloten tot een aantal aanpassingen aan de microbundelopstelling. Deze aanpassingen worden beschreven in paragraaf 7 .3. Ook wordt hier een nieuwe methode om de opstelling uit te lijnen besproken. Paragraaf 7.4 bespreekt een nieuwe methode om de bundelspot te meten en de problemen hiermee. In paragraaf 7.5 worden de beperkingen van de huidige opstelling met betrekking tot de afmetingen van de bundelspot besproken. Alle berekeningen van bundelspotafmetingen in dit hoofdstuk zijn gedaan met behulp van de oplossing van de totale baanvergelijking in de rechthoekig veldbenadering.

7.2 ONDERZOEK NAAR DE AFMETINGEN VAN DE BUNDELSPOT

Met het programma MICR03R is het mogelijk om voor de willekeurige instellingen van het quadruplet de bundelspotafmetingen te bepalen. De bundelspotafmetingen blijken in de praktijk groter te zijn dan de berekende waarden. In deze paragraaf wordt beschreven hoe onderzocht is wat het verschil tussen berekende en gemeten waarden veroorzaakt.

In paragraaf 6.9 wordt een viertal instellingen voor het quadruplet van de microbundelopstelling beschreven. In tabel 7.1 staan de met behulp van MICR03R berekende afmetingen van de bundelspot voor drie instellingen bij geschikt gekozen afmetingen van voorwerps- en apertuurspleten. De waarden in de tabel zijn berekend voor een opstelling zonder uitlijnfouten.

Tabel 7.1 Berekende bundelspotafmetingen voor een drietal instellingen bij geschikt gekozen spleetstanden; het eerste getal is steeds een waarde voor de x(horizontale)-richting en het tweede voor de y( ve rt i kale )-richting

no. afmetingen instelling instelling instelling I spleten M 0 J (mm2) (pm2) (pm2) (pm2) (pA)

1 0,1 x 0,5 en 0,3 x 0,5 3,8 x 3,6 3,6 x 3,3 3,6 x 7,9 125

2 0,05 x 0,5 en 0,3 x 0,5 2,4 x 3,6 2,2 x 3,3 - 65

3 0,2 x 0,26 en 0,15 x 1,0 - - 4,4 x 4,1 125

4 0,1 x 0,5 en 0,5 x 1,0 - 3,2 x 3,3 - 100

-83-

De stroom in de laatste kolom is bepaald door bij de berekeningen uit te gaan van een helderheid van 0,2 pA/pm2mrad2

• Dit is de helderheid bij het eerste spleetbekken na het instellen van de bundel volgens de standaardprocedure [Mut92]. Deze helderheid wordt bepaald door de spleetstanden op configuratie 1 (no.1 in de tabel) in te stellen en daarna met behulp van vergelijking (2.3) de waarde voor de helderheid uit te rekenen. Door vervolgens de bundel te focusseren tot een spot en de stroom achter op de Faraday-cup te maximaliseren door de instelling van het cyclotron en het bundelgeleidings-systeem te optimaliseren, is het mogelijk om een helderheid van 0,4 pNpm2mrad2 ter hoogte van het eerste spleetbekken te verkrijgen.

Deze waarden voor de helderheid komen niet overeen met de waarde van 0,9 pA/pm2mrad2 in [Man91]. Bij de bepaling van deze laatste waarde voor de helderheid is een andere definitie voor de divergentie van de bundel gebruikt. Het verschil in defmitie kan echter niet de totale discrepantie verklaren.

Spleetstandconfiguratie nummer 1 is de configuratie die normaal in de microbundelopstelling gebruikt wordt. Configuratie nummer 2 wordt gebruikt wanneer het cyclotron en het bundelgeleidingssysteem na de focussering nog eens bijgeregeld worden. De derde configuratie is bepaald door te eisen dat het oppervlak omsloten door de voorwerpsspleten gelijk is aan het oppervlak bij configuratie 1, én dat de verhouding van de opening in de x- en y-richting gelijk is aan de verhouding van de verkleiningen in de x- en y-richting (=verhouding <8 I 8> en <<I> I<!>>). Dit alles omdat het de bedoeling is om een spot te krijgen waarvan de afmetingen in de x- en y-richting gelijk zijn. De opening van de apertuurspleet is vervolgens bepaald door met behulp van MICR03R naar een optimum voor de bundelspotafmetingen te zoeken onder de eis dat het oppervlak omsloten door de apertuurspleten in configuratie 1 en 3 gelijk is. De eis dat de oppervlakken van de beide spleetsystemen gelijk zijn, komt voort uit de eis dat de stroom in de bundelspot gelijk aan of groter dan 100 pA is (de acceptantie van de microbundelopstelling moet voor de verschillende combinaties gelijk zijn). Dit is een criterium om de verschillende instellingen met elkaar te vergelijken. Configuratie 4 hoort bij de dispersieve instelling van het bundelgeleidingssysteem. Bij deze instelling is de helderheid ± 0,07 pNpm2mrad2 zodat het door de apertuurspleten omsloten oppervlak vergroot moet worden om een bundelstroom van 100 pA te halen.

Door de bundelspotafmetingen met behulp van een kruisdraad te meten [Jen86] [Aen92] kan er een vergelijking tussen de berekende waarden en de werkelijke waarden voor de bundelspotafmetingen gemaakt worden. De kleinste gemeten waarden (voor de aanpassingen aan de opstelling die in paragraaf 7.3 besproken worden) voor de afmetingen van de bundelspot bij 100 pA zijn 6,8 x 3,9 pm2 (x x y) met instelling 0 voor het quadruplet en configuratie 1 voor de spleten. Dit betekent dus een aanzienlijk vergroting ten opzichte van de berekende waarde.

Om het verschil tussen berekende en gemeten spotafmetingen te onderzoeken is berekend welke ingangsparameters de voornaamste invloed op de spotafmetingen hebben. In tabel 6.9 staan de elementen van de systeemmatrix van de microbundelopstelling voor de verschillende instellingen getabelleerd. Wanneer voor de verschillende instellingen de maximale waarden van de ingangsparameters (X0, 0 0 , Y0, cl>o en Ö) bekend zijn, is het mogelijk om de maximale grootten van de verschillende aberraties te berekenen. Deze maximale waarden zijn in tabel 7.3 in percentages weergegeven. Daartoe zijn de afzonderlijke aberraties geschaald op de halve spotgrootten <x I x>X0 en <y I y>Y0 respectievelijk. Dit is gebeurd voor een aantal, in tabel 7.2 gedefinieerde combinaties van quadrup letinstellingen en spleetconfiguraties.

-84-

Tabel 7.2 In tabel 7.3 gebruikte combinaties van quadrup/etinstellingen en spleetconfiguraties.

kenmerk combinatie J combinatie 0 combinatie D

instelling quadruplet J 0 0

voorwerpsspleten (mm2) 0,2 x 0,26 0,1 x 0,5 0,1 x 0,5

apertuurspleten (mm2) 0,15 x 1,0 0,3 x 0,5 0,5 x 1,0

impulspreiding (%) 0,075 0,075 0,025

8 0 (mrad) 0,031 0,035 0,053

<1>0 (mrad) 0,116 0,089 0,133

De maximale divergenties (80 en <1>0) in tabel 7.2 zijn de divergenties van de schuinste stralen (ten opzichte van de optische as) die nog juist door de twee spleetbekkensystemen komen. Als X0 de halve breedte van de voorwerpsspleet is en Xa de halve breedte van de apertuurspleet, is de maximale divergentie gelijk aan

8 = (Xo +X) (7.1) o L '

waarin L afstand tussen de twee spleetbekken systemen is. In [Man91] is bij de berekening van de aberraties een verkeerde definitie voor de maximale divergentie van de bundel gebruikt, namelijk de divergentie die volgt uit het ellips-formalisme [Bro80]. In de microbundelopstelling mag de divergentie die hoort bij het ellips-formalisme echter niet gebruikt worden, daar de aanwezigheid van de voorwerps- en apertuurspleten de acceptantie van het systeem beperkt.

Combinatie D staat voor dispersieve combinatie. Bij deze combinatie wordt gebruik gemaakt van het dispersieve systeem dat in het bundelgeleidingssysteem aanwezig is. Hierdoor wordt de impulsspreiding met een factor drie beperkt. Nadeel is echter dat om het verlies aan helderheid te compenseren de acceptantie van de microbundelopstelling vergroot moet worden, wat resulteert in grotere waarden voor de maximale divergenties.

Tabel 7.3 Maximale grootte van de verschillende aberraties als percentage van de eerste graad halve spotgrootte van elke combinatie (percentages zijn op gehele getallen afgeronde absolute percentages)

coëfficiënt Combinatie J Combinatie 0 Combinatie D

eerste graad

<x I x>Xo 100 100 100 <y I y>Yo 100 100 100

tweede graad

<x I x8>X08 175 89 29 <x I 88>808 1225 372 186 <y I y8>Y08 27 167 56 <y I <1>8><1>08 163 342 170

-85-

coëfficiënt Combinatie J Combinatie 0 Combinatie D

derde graad

<xlr>X/ 3 0 0 <xlrS>X/80 72 2 4 <x I x82>X08/ 506 10 24 <xlxi>X0Y/ 1 9 9

<x l.xy<I»XoYo<l>o 12 35 52 <x I x<I>2>Xo<l>o2 25 35 79

<xiW>E>/ 1181 15 51 <xlyS>Y/80 5 36 54

<x I Sy<j> >E>oYo<l>o 58 146 330 <x I 8<!>2>80<1>/ 174 149 503 <x I xÖ2>X0Ö

2 0 1 1 <x I eö2>80ö2 3 1 0

<yly>Y/ 0 14 14 <y 11<1>> Y/<1> 2 88 132 <y I Y<I>2>Yo<I>/ 10 180 402 <y I yr>Y oXo2 0 0 0

<y I x8y>Xo8oYo 6 3 4 <y I 82y>8/Yo 20 6 13

<y I <1>3><1>/ 20 123 409 <y I r<j>>Xo2<1>o 2 1 1

<ylx8<j>>X08 0<1>0 34 6 13 <y I 82<1>>8/<1>0 117 12 40 <y I yÖ2>Y0Ö

2 0 0 0 <y I <I>Ö2><1>0Ö

2 0 1 0

Uit tabel 7.3 blijkt dat de drie combinaties gedomineerd worden door verschillende graads aberraties. Bij combinatie 0 zijn de tweede graads chromatische termen de dominante factor. Voor de relatieve impulsspreiding is een waarde van 0,075% aangenomen [San73]. De berekeningen voor de bepaling van de impulsspreiding zijn gedaan voor een energie van 7 MeV. Het is niet bekend of de berekeningen ook geldig zijn voor een energie van 3 MeV. Ter vergelijking zijn de bundelspotafmetingen ook berekend voor een waarde voor Öp van 0,125%. De met behulp van MICR03R berekende bundelspot is dan gelijk aan (4,3 x 3,7) pm2 (bij Öp = 0,075% is dit 3,6 x 3,3 pm2

). Om te onderzoeken of een onderschatting van de grootte van de impulsspreiding mogelijk mede de oorzaak is van de grote spotafmeting is de bundelspot gemeten bij een dispersieve instelling van het bundelgeleidingssysteem. Voor deze instelling is wel bekend hoe groot de impulsspreiding is. Bij een breedte van 1,3 mm voor SB1 en 1,5 mm voor SC1 (figuur 2.1) is de impulsspreiding 0,025% bij een transmissie van 33% [Sch73]. In werkelijkheid is de transmissie niet beter dan 13% (4 pA van de 30pA). De gemeten afmetingen van de bundelspot zijn nu (7,4 ± 0,1) x (3,8 ± 0,1) pm2

• Ook deze afmetingen zijn te groot.

Voor de dispersieve combinatie zijn de derdegraads aberraties dominant. Combinatie J bezit zeer grote maximale waarden voor de tweede en derdegraads aberraties. Wanneer de invloed van deze termen systematisch onderschat wordt moet dit bij instelling J blijken uit een veel te grote spot. De meting van de bundelspot resulteert in een spot van (7,7 ± 0,8) x

-86-

(4,3 ± 0,5) pm2. De waarden voor de verschillende instellingen ontlopen elkaar niet veel. Kennelijk is de vergroting van de afmetingen van de bundelspot niet te wijten aan tweede of derde graads effecten. Het geheel is in tabel 7.4 samengevat.

Tabel 7.4 De berekende en gemeten afmetingen van de bundelspot voor verschillende combinaties.

Combinatie dominante berekende gemeten afmetingen termen afmetingen (pm2) (pm2)

0 tweede graad 3,6 x 3,3 6,8 x 3,9

D derde graad 3,2 x 3,3 (7,4 ± 0,1) x (3,8 ± 0,1)

J tweede en derde 4,4 x 4,1 (7,7 ± 0,8) x (4,3 ± 0,5) graad

Dat de eerste graads effecten de spotvergroting niet bepalen blijkt uit het feit dat bij het verkleinen van de opening van de voorwerpsspleten de bundelspotafmetingen niet kleiner worden.

Wat resteert als mogelijke oorzaak van de spotvergroting zijn parasitaire aberraties, waaronder de in paragraaf 4.5 beschreven parasitaire multipolen en uitlijnfouten worden verstaan. De quadrupolen van de microbundelopstelling zijn met behulp van de roosterschaduwmethode [Man91] [Dan92] onderzocht op eventueel aanwezige parasitaire multipolen. Het blijkt dat de multipolen in de quadrupolen, zo ze al aanwezig zijn, geen invloed hebben op de afmetingen van de spot. Ook zijn er bij dit onderzoek geen aanwijzingen gevonden voor de aanwezigheid van externe strooivelden die de afmetingen van de spot kunnen beïnvloeden [Tap91].

De methoden om de opstelling te controleren op parasitaire aberraties worden uitvoerig beschreven in [Man91]. Uit onderzoek volgens de daar beschreven methoden zijn geen grote kantelings- of verschuivingsfouten bij de quadrupolen gevonden. Het tweede spleetbekken is op uitlijnfouten gecontroleerd door de nulpositie van de spleten kleine stukjes te verschuiven en dan bundelspotmetingen te doen. Bij het tweede spleetbekken zijn geen uitlijnfouten ontdekt. De uitlijning van het eerste spleetbekken komt niet al te kritisch daar dit zich op grote afstand (6 meter) van de quadrupolen bevindt. Een kleine verplaatsing van dit spleetbekken introduceert slechts een kleine, niet merkbare verschuiving van de optische as.

Wat resteert als mogelijke parasitaire fout is de rotatiefout van een van de quadrupolen. Het onderzoek naar rotatiefouten wordt bemoeilijkt door de slechte reproduceerbaarbeid van het instelmechanisme en de beperkte nauwkeurigheid. Er is wel gezocht naar rotatiefouten, eerst met de doubletmethode en vervolgens door het met kleine stapjes roteren van één van de quadrupolen, doch er is geen invloed op de afmetingen van de spot ontdekt. De minimale uitlijnnauwkeurigheid voor de rotatie is 0,5 mrad [Man91]. Een rotatiefout van deze grootte voor quadrupooi 4 betekent een vergroting van de spot van (3,6 x 3,3) pm2 naar (10,3 x 3,4) pm2 voor combinatie 0. De afmetingen van de bundelspot (bij combinatie 0) zijn het meest gevoelig voor een rotatiefout van Q4 [Man91]. Dit betekent dat de uitlijnnauwkeurigheid voor rotaties niet voldoende is. Naar aanleiding van deze constatering is besloten tot het aanpassen van de rotatiemogelijkheden van de quadrupolen. Deze aanpassing en enkele andere worden in paragraaf 7.3 besproken.

-87-

7.3 AANPASSINGEN AAN ÉN EEN NIEUWE UITLIJNPROCEDURE VOOR DE MICROBUNDELOPSTELLING

In deze paragraaf worden de aanpassingen aan de microbundelopstelling en een nieuwe methode om de verschillende elementen van de microbundelopstelling (quadrupolen, spleetsystemen) uit te lijnen, besproken.

7.3.1 AANPASSINGEN AAN DE MICROBUNDEWPSTELLING De quadrupolen kunnen geroteerd worden met een stelschroef die slecht reproduceert

en niet af te lezen is [Man91]. Om de reproduceerbaarheid te vergroten is gekozen voor een instelmechanisme met een micrometer (figuur 7.1) en een onafhankelijke meetmethode van de rotatie met behulp van een meetklokje met een nauwkeurigheid van 1 pm. Andere effecten, zoals uitzetting van het bokje ten gevolge van temperatuurwisselingen en ruwheidseffecten zorgen ervoor dat deze uitlijnnauwkeurigheid in de praktijk niet gehaald wordt

Q 1 1J?2 20.2

Oz fll. > 2a2

fb /1(.1( 2tJ.2

0'1 19,1 2l7

Figuur 7.1 Het nieuwe instelmechanisme voor de rotatie van de quadrupolen

De instelnauwkeurigheid van 1 pm betekent dat het mogelijk is om de quadrupolen te roteren met een nauwkeurigheid van 5·10-3 rnrad. Dit is een factor 100 beter dan voorheen. Deze maximale waarde voor de fout in de rotatie-uitlijning bij quadrupooi 4 betekent voor combinatie 0 een berekende spotvergroting van (3,6 x 3,3) pm2 naar (3,7 x 3,4) pm2

• Dit is in de praktijk niet meetbaar.

Een tweede aanpassing in de microbundelopstelling betreft de demping van trillingen ten gevolge van de voorvacuümpompen in de opstelling en de demping van trillingen die vanuit het bundelgeleidingssysteem doorgegeven worden aan de opstelling. Dat de microbundelopstelling zeer gevoelig is voor trillingen is direct waar te nemen door de bundel te focusseren en de gefocusseerde spot op de monitor (hoofdstuk 2) te bekijken en vervolgens met de vinger op de granieten draagsteen te tikken. Duidelijk is te zien dat de spot beweegt. Ook zonder deze inspanning is bij een afbeelding van het eerste spleetbekken (quadrupolen

-88-

uit) waar te nemen dat het beeld op de monitor onrustig is. De trillingen die van buiten de opstelling (via de schakelmagneet) de opstelling

bereiken zijn gedempt door tussen de schakelmagneet en de microbundelopstelling een balg te plaatsen, die ook wanneer het systeem vacuüm gepompt is zijn verende eigenschappen behoudt. Hierdoor is de microbundelopstelling mechanisch vrijwel losgekoppeld van de schakelmagneet en dus van het bundelgeleidingssysteem.

De trillingen ten gevolge van de voorvacuümpompen worden gedempt door een starre verbinding te maken tussen de balg die de voorvacuümpomp met de turbomoleculairpomp verbindt en een grote massa (± 60 kg). Dit is bij de beide pompstellen gedaan. Verder is er zorg voor gedragen dat de bedrading van de pompen geen contact met de opstelling maakt. Deze beide ingrepen (balg en massa's) hebben er voor gezorgd dat de trillingen in de microbundelopstelling sterk in grootte zijn afgenomen.

Een derde aanpassing betreft de installatie voor de voorwerpsspleten van een watergekoelde schijf met verschillende diafragma's (het zogenaamde gat van Prins), die naar believen in de bundel geplaatst kunnen worden. Dit ter voorkoming van opwarming én uitzetting van de voorwerpsspleten door een deel van de bundel buiten de acceptantie van de voorwerps- en apertuurspleten weg te vangen.

Een vierde aanpassing is het aanbrengen van een correctiemogelijkheid ter compensatie van het aardmagneetveld. De grootte van het aardmagneetveld in Nederland is 4, 7 ·10-5 T [Win78]. De richting wordt uitgedrukt in de termen inclinatie en declinatie. De inclinatie is gedefinieerd als de hoek tussen het magnetische veld en het horizontale vlak. Deze hoek is in Nederland gelijk aan 67°. De declinatie is gedefinieerd als de hoek tussen de horizontale component van het magnetische veld en het astronomische noorden. Deze hoek is in Nederland ongeveer 3 graden westwaarts. Bovendien is van belang dat het veld inwaarts gericht is. De hoek tussen de bundelpijp (deze ligt in noord-oostelijke richting) en het aardmagneetveld in het horizontale vlak is gelijk aan 44°. Met deze gegevens kan de grootte van de component van het aardmagneetveld loodrecht op de bundelpijp B J.. worden berekend (zie figuur 7.2).

bundelpijp

. 0 -----------·

Bj_ = 4,47E-5 T

Figuur 7.2 Doorsnede bundelpijp met de loodrechte component van het aardmagnetisch veld en aardmagneetveldcorrectie draden, ®stroom papier in, 0 stroom papier uit.

-89-

Tussen de voorwerps- en apertuurspleten bevindt zich geen enkel ionenoptisch element. Dit betekent een vrije driftruimte van ongeveer 6 meter. De uitwijking !l.u (mm) van een deeltje met energie E (MeV) over een driftafstand i (meters), met lading q (elementaire ladingseenheden) en massa m (atomaire massa eenheden) bedraagt [Tol91]

!l.u = ~ · 0,15 mm. (7.2) JmE

Voor protonen met een energie van 3 Me V betekent dit over 6 meter een uitwijking van ongeveer 3 mm. Dit betekent dat het niet zinvol is om de opstelling optisch goed uit te lijnen tenzij er voor het aardmagnetisch veld gecompenseerd wordt.

Uit de wet van Ampère

fB·dÏ = p0p/. (7.3)

volgt dat een stroom door een draad een magnetisch veld om die draad opwekt. Neem als gesloten kromme een cirkel om de stroom in een vlak loodrecht op de richting van de stroom. Dan geldt voor de stroom die nodig is om een magnetisch veld op te wekken met een sterkte gelijk aan het aardmagnetische veld

I = 223r, (7.4)

(/is de grootte van de stroom in Ampères, ris de afstand tot de draad in meters). Door de stroom te splitsen in twee stromen van 11,2 A, die elk op 0,1 meter afstand het midden van de bundelpijp in tegengestelde richting lopen is het magnetisch veld tot op een afstand van 5 mm van het midden te reduceren tot ongeveer 2o/oc van haar oorspronkelijke waarde (figuur 7.3).

1.05 1.00

1.04 I 0.99

I 1.03 -o 0.98 .Ë CD

'-... . '-... ~ 1.02 t- CD 0.97 l

1.01 0.96

1.00 0.95 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20

afstond tot de optische os (mm) lood-ofstond tot de optische os (mm)

Figuur 7.3 a.

b.

Figuur 7.3a Figuur 7.3b

Verhouding van het in het midden van de twee stromen opgewekte magneetveld tot het magnetische veld van het midden af op de lijn tussen de twee draden. Idem, nu de verhouding tot het magnetische veld op de lijn door de optische as loodrecht op de lijn door de twee stroomdraden.

7.3.2 UITLIJNING VAN DE MICROBUNDELOPSTEUING Door het aanbrengen van een aardmagneetveldcorrectie in de microbundelopstelling

is het zinvol geworden om de opstelling optisch zo goed mogelijk uit te lijnen. Om de

-90-

optische uitlijning mogelijk te maken is er achter de schakelmagneet een laser geplaatst die met behulp van vijf micrometers in het horizontale vlak en in hO<~gte verstelbaar is (figuur 7.4).

Figuur 7.4 Bovenaanzicht van de microbundelopstelling met laser (Shl: voorwerpsspleten, Sh2 apertuurspleten)

Voor de optische uitlijning moeten er twee punten gedefinieerd worden in de microbundelopstelling. De laserstraal moet door deze twee punten gaan. De elementen van de microbundelopstelling worden dan om de laserstraal uitgelijnd. Het eerste punt wordt gedefinieerd door middel van een perspex cilinder met een gat in het midden in de uitgang van de schakelmagneet Het tweede punt wordt gedefinieerd door een perspex cilinder met een gat in de ingang van de trefkamer. Vervolgens wordt de laser uitgelijnd door deze met behulp van de micrometers zo te plaatsen dat de intensiteit van de spot (op een papiertje in het trefplaatwiel) op de monitor (hoofdstuk 2) maximaal is. Het midden van de afbeelding van de laserspot op de monitor is het optische uitlijnpunt

Als eerste worden de koppelblokken (met spleetsystemen, pompaansluitingen etcetera) uitgelijnd. Deze blokken moeten waterpas staan en correct om de optische as geplaatst worden. Ook dit gebeurt met behulp van een cilinder met een gat, de andere cilinders bevinden zich nog op hun plaats. De prop voor de koppelblokken wordt zowel aan de voor­als aan de achterzijde van het blok geplaatst om kantelingen in het koppelblok uit te lijnen. Ook de vacuümklep wordt op deze manier met behulp van proppen uitgelijnd.

Het gat van Prins wordt eenvoudig uitgelijnd door te eisen dat de laserstraal op de monitor nog zichtbaar is wanneer het kleinste diafragma (0,5 mm) voor gedraaid is en door vervolgens de uitlijning te controleren voor de overige diafragma's.

Het is belangrijk dat de nulstand van het eerste spleetbekken goed bepaald wordt ten opzichte van het gat van Prins, daartoe wordt het diafragma met een doorsnede van 1 mm voor gedraaid. Voor de bepaling van de nulpositie van de spleten in de horizontale richting worden de spleten in de vertikale richting opengedraaid. Vervolgens worden de spleten in de horizontale richting symmetrisch dichtgedraaid. Dit symmetrisch dichtdraaien wordt gecontroleerd op een papiertje in het eerste koppelblok na de voorwerpsspleten. Deze procedure wordt herhaald voor de spleten in de vertikale richting.

Voor de uitlijning van de apertuurspleten moet de cilinder uit de ingang van de vacuümkamer gehaald worden. De perspex cilinder in de schakelmagneet blijft op zijn plaats. De spleten in de vertikale richting worden opengedraaid. De spleten in de horizontale richting worden vervolgens tot op ongeveer 1,5 mm van elkaar dichtgedraaid, zodat er op de monitor een buigpatroon met een smalle lijn zichtbaar is. Deze lijn wordt symmetrisch om het uitlijnpunt op de monitor geplaatst door de stand van de spleten aan te passen. Vervolgens worden de twee horizontale spleten met gelijke stapjes dichtgedraaid om de nulstand van deze spleten te bepalen. Dit gehele procédé wordt vervolgens herhaald voor de spleten in de vertikale richting.

De quadrupalen worden op dezelfde wijze als de koppelblokken met behulp van een

-91-

speciale perspex cilinder uitgelijnd. De quadrupolen moeten zowel met de cilinder aan de voorzijde als aan de achterzijde uitgelijnd worden om kantelfouten te minimaliseren.

De ionenoptische uitlijning wordt uitvoerig beschreven in [Man91]. Ten opzichte van de daar beschreven procedure zijn een aantal wijzigingen aangebracht Deze wijzigingen worden hier beschreven.

Als eerste moet de stroom die nodig is om het aardmagnetisch veld te compenseren bepaald worden. Kies daartoe voor de voorwerpsspleten een opening van 0,4 x 0,4 mm2 en voor de apertuurspleten een opening van 0,5 x 0,5 mm2

• Demagnetiseer de quadrupolen zorgvuldig en plaats vervolgens door het opdraaien van de stroom het beeld van de spleten op de monitor (± 50 x 50 mm2 bij een vergroting van 85 voor de microscoop) symmetrisch om het uitlijnpunt Deze symmetrische plaatsing treedt op bij een stroom van 8,91 A (door elke draad).

De uitlijning van de schijf met diafragma's is gecontroleerd door de spleten op 0,2 x 0,4 mm2 (voorwerpsspleet) en 0,3 x 0,5 mm2 in te stellen en door vervolgens de verschillende diafragma's (5, 2, 1 en 0,5 mm) voor te draaien. Bij de drie grootste diafragma's is de bundelstroom achter op de Faraday-cup gelijk. Bij het diafragma van 0,5 mm valt er geen stroom meer op de Faraday-cup. De uitlijning is dus niet correct voor het kleinste diafragma. In de praktijk wordt dit diafragma niet gebruikt, zodat de schijf niet opnieuw uitgelijnd is.

In [Man91] wordt bij de uitlijning van de quadrupolen op kantelings- en verschuivingsfouten een waarde van 2,5 x 2,5 mm2 genomen voor de opening van het tweede spleetbekken. Uit simulaties met MICR03R blijkt dat kantelingsfouten beter waar te nemen zijn wanneer de opening van het tweede spleetbekkensysteem beperkt wordt. Er is gekozen voor een waarde van 0,4 x 0,4 mm2 voor de voorwerpsspleten en een waarde van 0,5 x 0,5 mm2 voor de apertuurspleten. Een veel kleinere waarde is niet mogelijk omdat het beeld dan aan intensiteit verliest, zodat de begrenzingen van het beeld niet meer duidelijk zichtbaar zijn. Verder zijn de quadrupolen op dezelfde wijze als in [Man91] voor kantelings- en verschuivingsfouten uitgelijnd.

Na de uitlijning zijn de op de monitor nog zichtbare fouten in de uitlijning van de kanteling en verschuiving gesimuleerd met MICR03R. Het resultaat van deze simulatie is te zien in tabel 7 .5.

Tabel 7.5 Resultaten voor de simulatie van de resterende uitlijnfouten in de microbundelopstelling

Quadrupooi kanteling x kanteling y verschuiving x verschuiving y (0) (0) (mm) (mm)

Ql - 0,01 0,01 - -Q2 - - - 0,011 Q3 - 0,025 -0,01 -Q4 - - - -

De streepjes in de tabel betekenen niet dat deze uitlijnfouten niet aanwezig zijn, wel dat ze niet blijken uit de simulatie van het gefocusseerde engedefocusseerde beeld [Man91]. En dus niet gevonden zijn bij de simulatie. De in de tabel genoemde kleinste waarden voor de kantel­en verschuivingsfouten kunnen als een ondergrens beschouwd worden voor de huidige uitlijnprocedure. Wanneer de bij de simulatie gevonden uitlijnfouten in het programma MICR03R meegenomen worden bij de berekeningen worden er voor de spotafmetingen

-92-

dezelfde waarden gevonden als zonder uitlijnfouten (voor combinatie 0). De rotatiefouten worden eerst gecorrigeerd met behulp van de doubletmethode

[Man91]. Vervolgens wordt één van de quadrupolen steeds een stukje gedraaid en worden de bundelspot afmetingen bepaald. In [Gri84] wordt gesteld dat het voldoende is om de bundelspot als functie van de rotatie van één van de quadrupolen te minimaliseren. Hierna is het quadruplet uitgelijnd voor rotatiefouten voor die bepaalde instelling van de quadrupolen.

Uit figuur 7.5 blijkt dat de kruisdraadmeting met behulp van de stappenmotoren, met een minimale stapgrootte van 2 pm (de dikte van de kuisdraad is ongeveer 2,5 pm), een grote onnauwkeurigheid impliceert voor kleine bundelspotafmetingen. Daarom wordt het onderzoek naar rotatiefouten gedaan bij een grotere spot.

200

I 150 I (/)

-+J c I ::J

~ 0 0 100 ëi -+J c c 0

50

0 0 10 20 30 40 50

positie in micrometers

Figuur 7.5 Meting van de bundelgrootte in dey-richting (breedte= 4,1 Jlm)

Bij spleetstanden van 0,4 x 0,8 mm2 en 0,5 x 1,5 mm2 en instelling 0 worden voor de bijbehorende afmetingen van de spot de waarden (11,8 x 6,1) pm2 berekend. In figuur 7.6 a en b is het resultaat van de bundelspotmetingen als functie van de rotatie van Q1 uitgezet. Er is voor gekozen om Q 1 te roteren daar de afmetingen van de spot veel minder gevoelig zijn voor een rotatie in Q1 dan voor een rotatie in Q4 [Man91]. Bij een bepaalde rotatiehoek zijn steeds zes kruisdraadmetingen gedaan.

Uit de figuren blijkt dat de krommen voor de x- en y-richting bij ongeveer dezelfde hoek een minimum vertonen. Dit is dus de optimale hoek voor deze instelling van het quadrup let.

De vervolgens met de kruisdraad gemeten waarden voor de afmetingen van de spot voor combinatie 0 zijn (4,0 ± 0,2) x (3,1 ± 0,3) pm2

•

Nadat de uitlijning voltooid is, is de opstelling ten gevolge van een aardbeving door elkaar geschud [Ver92]. De invloed van de aardbeving op de uitlijning is nog niet goed onderzocht. De bundelspotafmetingen lijken op het eerste gezicht iets toegenomen te zijn. Wat zeker is toegenomen is de halo van de bundelspot Nader onderzoek met betrekking tot de uitlijning is gewenst.

-93-

20 I 19 I

Ê 18

~ 17 .....

.! 16 V E 0 15 '5 I x 14 ~

5.8

5.6

Ê ~ 5.4

..... .! 5.2 V E

~ 0 '5 50 I . >-

4.8

;~ t -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

z-rotatie 01 in graden

I I 4.6 '------'-------'-____l_ _ __L _ __L _ __L _ __.L _ __j

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 z-rotatie 01 in graden

Figuur 7.6a Figuur 7.6b

Figuur 7.6 a. De afmetingen van de bundelspot in de x-richting alsfunctie van de rotatie om een willekeurig gekozen nulpunt b. Idem, maar nu voor de y-richting

7.4 BUNDELGROOTTE METINGEN

In figuur 7.5 is te zien dat voor kleine spotafmetingen de bepaling van de afmetingen met behulp van een kruisdraad niet nauwkeurig is. Bij de meting in figuur 7.5 is de kruisdraad verplaatst met behulp van de stappenmotoren. De minimale stapgrootte is 2 pm (met een nauwkeurigheid van 1pm). Door de bundel met de scanmagneet over de kruisdraad te bewegen is het mogelijk om met stapjes van ongeveer 0,18 pm het bundelprofiel te bepalen. Dit is een verbetering, maar geen oplossing van het probleem. Een meting van het bundelprofiel met behulp van de kruisdraad levert niet het zuivere profiel van de bundelspot op, maar het profiel van de bundel zoals dat gemeten is met behulp van een 2,5 pm dikke draad. Het is mogelijk om door een deconvolutie het werkelijke bundelspotprofiel te bepalen, maar het is verkiesbaar om de bundelspotafmetingen op een directe wijze te bepalen. Het is niet mogelijk om met dunnere draden te werken. Aangezien het bestaan van dunnere draden niet bekend is. Bovendien is dit geen definitieve oplossing van het probleem.

Er is een andere methode om de afmetingen van de bundelspot te bepalen. Door de bundelspot over de scherpe rand van een halfvlak te bewegen met de scanmagneet en het aldus geïntegreerde signaal te meten, kunnen op eenvoudige wijze de afmetingen van de bundelspot bepaald worden.

Bij de kruisdraadmeting is de diameter van de spot gedefmieerd als de volle breedte op halve hoogte. Wanneer het verloop van de kromme van de intensiteitsverdeling benaderd wordt door middel van een Gaussische kromme is het opppervlak onder de kromme tussen de twee punten op halve hoogte gelijk aan± 76% van het totale oppervlak onder de kromme (figuur 7.7a). In figuur 7.7b is de geïntegreerde Gaussische kromme uit figuur 7.7a te zien. De integraal is een errorfunctie. Het stuk tussen de beide punten op halve hoogte in figuur 7.7a draagt in figuur 7.7b bij tot de integratie van 12 tot 88% van de maximale waarde van de integraal. Deze twee niveaus zijn op eenvoudige wijze uit een gemeten curve te bepalen.

-94-

0.4

/

Figuur 7.7a Figuur 7.7b

Figuur 7.7 a. Gaussische kromme, het gearceerde oppervlak is gelijk aan 76% van het totale oppervlak b. Errorfunctie: het niveau verschil tussen de twee horizontale strepen is afkomstig van het oppervlak tussen de twee p1mten op halve hoogte in figuur a

Het halfvlak dat voor de meting gebruikt wordt, moet aan een aantal eisen voldoen: - De rand van het halfvlak moet scherp gedefinieerd zijn. Dit betekent minimaal een factor 10 rechter dan de afmetingen van de spot. - De dikte van het halfvlak moet constant zijn. Dit om de telsnelheid ten gevolge van de totale bundel op correcte wijze te bepalen. - De totale bundel moet op het halfvlak passen, wederom omdat de totale telsnelheid correct bepaald moet worden. - Het halfvlak moet bij voorkeur dun zijn in verhouding tot de indringdiepte van protonen in het materiaal van het vlak. Dit om het mogelijk te maken om in voorwaartse richting de verstrooide protonen te meten. In voorwaartse richting is het aantal verstrooide protonen groter dan in achterwaartse richting, zodat de meettijd om voldoende statistiek op te bouwen in deze richting korter is. De indringdiepte van 3 Me V protonen in goud is bijvoorbeeld ongeveer 27 pm [Zie85]. Voor lichtere elementen is de indringdiepte groter. Aan de andere kant mag het halfvlak ook weer niet te dun zijn, omdat dan de telsnelheid te laag wordt (de meettijd te lang). Een dikte voor het halfvlak tussen 1 en 10 pm is geschikt. - Het halfvlak moet goed warmte-geleidend zijn. Dit om te voorkomen dat wanneer grotere bundelspots met hogere stromen gemeten worden er beschadiging van het halfvlak optreedt. -Het halfvlak moet gemakkelijk met de bundel te vinden zijn. Dit betekent bij voorkeur meerdere halfvlakken naast elkaar.

Dit eisenpakket betekent dat het ideale "halfvlak" een rooster is met een dikte van een paar pm, een spijlbreedte van ± 40 pm en rechte hoeken. Verschillende roosters zijn geprobeerd, maar geen van de geprobeerde roosters voldoet aan de eis van de rechte hoeken en de homogene dikte. Ook zijn afgescheurde folies geprobeerd. Deze waren of niet recht genoeg, of niet homogeen van dikte.

Als oplossing is ervoor gekozen om een goud rooster te laten opdampen op verglaasd koolstof met spijlen van 500 pm breedte en een dikte van 0,5 pm. De gaten van het rooster

-95-

hebben een afmeting van 500 x 500 pm2• Door de keuze van het opdampen van goud op een

plakje verglaasd koolstof is het niet meer mogelijk om de voorwaarts verstrooide protonen te meten. Met behulp van PIXE kan koolstof niet worden waargenomen zodat er geen signaal is als de bundel niet op het goud staat (goud kan wel worden waargenomen met PIXE). Het beschreven rooster wordt momenteel gemaakt.

7.5 BEPERKINGEN VAN DE HUIDIGE MICROBUNDELOPSTELLING

De afmetingen van de spot in de microbundelopstelling (4,0 ± 0,2 x 3,1 ± 0,3) pm2

komen goed overeen met de berekende waarden (3,6 x 3,3) pm2• De gemeten afmeting in de

x-richting is nog groter dan de berekende waarde. Uit de literatuur [Mar87] [Mar91] is bekend dat meervoudige restgas verstrooiing bijdraagt tot spotvergroting. Door de verstrooiing aan het restgas treedt namelijk een vergroting van de divergentie van de bundel op. Deze vergroting van de divergentie kan in een microbundelopstelling beschouwd worden als een schijnbare vergroting van de opening tussen de voorwerpsspleten.

Voor de gemiddelde strooihoek van een deeltje dat van de optische as af verstrooid wordt geldt [Mar87]

T = K z 112 /E w g ' (7.5)

T w is de gemiddelde strooihoek in prad, E is de kinetische energie van de verstrooide ionen in Me V, z is de gasdikte in pg/cm2

• K8

is een constante; en is voor protonen in stikstof is deze ongeveer gelijk aan 150 [Ros56]. De evenredigheid van T w met z'h/E is experimenteel bevestigd door Spahn en Groeneveld [Spa75].

De samenstelling van het restgas is bepaald door een restgasanalyse uit te voeren met een massaspectrometer [Ley83]. Deze analyse is uitgevoerd vlak achter de voorwerpsspleten. Door de relatief hoge druk van 4 ·10-4 mbar is het niet mogelijk om een kwantitatieve analyse te maken, daar de responsie van de meetkop van de massaspectrometer bij deze druk niet lineair is [Spe92]. Uit een kwalitatieve analyse blijkt dat het restgas voornamelijk uit stikstof en waterdamp bestaat. De berekeningen zijn voor stikstof gedaan.

In de microbundelopstelling kan de druk op twee plaatsen gemeten worden, in de vacuümkamer (hier is de druk 4·10-6 mbar) en net achter het eerste spleetbekken (hier is de druk 4·104 mbar). Door een lineair verloop van de druk tussen de twee meetpunten aan te nemen is de laagdikte van het restgas te berekenen.

In tabel 7.6 is de laagdikte van het gas voor verschillende drukken achter de voorwerpsspleet getabelleerd (de druk in de kamer is constant op 4·10-6 mbar gehouden). Ook zijn de gemiddelde verstrooihoek en de schijnbare vergroting van de apertuurspleten weergegeven. In de laatste kolom zijn de berekende spotgrootten voor de verschillende drukken gegeven (de normale afmetingen van de spot zijn (3,6 x 3,3) pm2).

Tabel 7.6 De laagdikte van het restgas, de gemiddelde verstrooihoek, de schijnbare vergroting van de voorwerpssp/eten en de berekende afmetingen van de spot.

druk x Tw vergroting spot (mbar) (pg/cm2) (prad) (pm) (pm2)

4·10-4 8,4·10-2 14,5 81,8 5,5 x 3,7 4-10-6 1 2·10-3

' 1,7 9,6 3,8 x 3,3

4·10-8 4,0·104 1,0 5,6 3,7 x 3,3

-96-

Duidelijk is dat voor de microbundel opstelling de op deze wijze berekende restgas verstrooiingseffecten overschat worden. Het is echter wel aan te raden om de druk in de microbundelopstelling te verlagen tot 4·10-6 mbar, zodat de invloed van restgas verstrooiing verwaarloosbaar is.

De helderheid van de bundel uit het cyclotron ter hoogte van het eerste spleetbekkensysteem heeft een waarde van ongeveer 0,2 - 0,4 pA/pm2rnrad2 (voor 3 MeV protonen), bij een impulsspreiding van 0,075%. In vergelijking met andere typen versnellers betekent dit dat het cyclotron een relatief lage helderheid en een grote impulsspreiding bezit. Deze beide eigenschappen betekenen dat een cyclotron niet zo'n geschikte versneller is voor een micrbundelopstelling. In tabel 7. 7 wordt een globale vergelijking gemaakt tussen drie versnellers: het grote cyclotron, het mini-cyclotron ILEC [Hei92a] (dit is in opbouw binnen de groep) en een Van de Graaff-versneller (twee-traps Pelletton versneller) zoals deze in Oxford gebruikt wordt, waarmee bundelspot afmetingen van 0,3 pm gehaald worden. Bij de drie versnellers is de eis dat de stroom in de spot gelijk aan 100 pA is.

Tabel 7.7 Vergelijking van drie in de tekst beschreven typen versnellers

versneller helderheid !:,. afmetingen (pA/pm2rnrad2

) (%) (pmz)

Cyclotron 0,4 0,075 2,2 x 3,3

ILEC 1,0 0,025 1,6 x 1,8

Van de Graaff 5,0 0,025 1,2 x 1,3

De helderheid van het cyclotron is gelijk genomen aan de hoogste waarde van 0,4 pA/pm2rnrad2

, zoals die bepaald is ter hoogte van de voorwerpsspleten. De helderheid van ILEC is een factor drie hoger dan die van het cyclotron [Hei92b]. De helderheid voor de Van de Graaff-versneller is gelijk genomen aan de helderheid van de totale bundel, waarschijnlijk is de helderheid in het centrum van de bundel veel hoger. De introductie van de nog aanwezige uitlijnfouten in de berekeningen heeft geen invloed op de spotgrootten.

Uit deze berekeningen kunnen niet al te veel conclusies worden getrokken daar zij gedaan zijn aan de hand van de huidige instelling voor het quadruplet van de microbundelopstelling. Deze instelling is relatief ongevoelig voor tweede en derde graads aberraties. Wanneer de helderheid bij het eerste spleetbekken groter is, kan dit verder worden dichtgedraaid. Dit levert dan totaal andere verhoudingen voor de verschillende aberratiecoëfficiënten op, zodat er naar een betere instelling gezocht moet worden.

De afmetingen van de huidige bundelspot worden nu naar onderen toe begrensd door de beperkte helderheid van de versneller en de grote impulsspreiding. Wanneer deze beperkingen opgeheven zijn is het zinvol om te onderzoeken of het mogelijk is om door een andere instelling van de quadrupolen, waarvan de afmetingen en de soort (magnetische, elektrische of gecombineerd) dan variabel mogen zijn, kleinere afmetingen voor de bundelspot te verkrijgen (vergelijk met de waarde van 0,3 x 0,3 pm2 in Oxford).

-97-

HOOFDSTUK 8

CONCLUSIES EN AANBEVELINGEN

De eerste, tweede en derde graads baanvergelijkingen voor de magnetische en elektrische quadrupooi blijken zowel op relativistische als op niet-relativistische wijze af te leiden te zijn, voor het centrale veldgebied en voor het totale veldgebied, met behulp van Hamilton-mechanica. Voor de gecombineerde quadrupooi is de derde graads baanvergelijking voor het totale veldgebied op niet-relativistische wijze afgeleid, met behulp van Hamilton­mechanica. Ook zijn de niet-relativistische baanvergelijkingen voor magnetische en elektrische sextu- en octupolen afgeleid met behulp van Hamilton-mechanica.

Het blijkt mogelijk te zijn om de parasitaire effecten (impulsspreiding, multipolen, rotaties en verschuivingen) in de baanvergelijkingen op te nemen.

Alle derde graads baanvergelijkingen (zonder parasitaire effecten) blijken op te lossen te zijn met behulp van de methode van successieve approximatie, gevolgd door een Laptace­en inverse Laplace-transformatie. De baanvergelijkingen voor het centrale veldgebied blijken exact te kunnen worden opgelost, de baanvergelijkingen voor het totale veldgebied zijn opgelost door dit veldgebied te benaderen met een rechthoekig veldprofieL

De oplossingen kunnen geschreven worden als een machtreeksontwikkeling met de ingangsparameters als variabelen en de aberratiecoëfficiënten als bijbehorende coëfficiënten. De uitkomsten van de berekeningen zijn inmiddels in het programma MICR03R verwerkt, zodat het nu met dit programma mogelijk is om de microbundelopstelling door te rekenen met magnetische, elektrische en gecombineerde quadrupolen.

Het afleiden van de baanvergelijkingen tot in een hogere graad dan de derde met behulp van Hamilton-mechanica is mogelijk, doch het oplossen van de verkregen baanvergelijkingen (vijfde graads en hoger) is niet goed meer mogelijk met behulp van de methode van de successieve approximatie.

Met behulp van het programma RELAX3D blijkt het mogelijk te zijn om de effectieve lengte van een elektrische quadrupooi te bepalen. Ter controle van de resultaten is het interessant om de effectieve lengte van de magnetische quadrupolen uit de microbundelopstelling te berekenen met behulp van RELAX3D. De resultaten kunnen dan vergeleken worden met de uit de metingen bepaalde waarde voor de effectieve lengte van de quadrupolen.

Uit simulaties met behulp van MICR03R blijkt dat de vernieuwde methode van uitlijnen, die mogelijk is geworden door het aanbrengen van een correctiemogelijkheid voor het aardmagnetische veld goed genoeg is om spotafmetingen van ongeveer 1 pm te kunnen bereiken. Het uitlijnen is een precies karwei dat veel geduld vergt. Door gebruik te maken van een video-frame-grabber is het waarschijnlijk eenvoudiger om de opstelling nauwkeurig uit te lijnen.

Door de verbeterde uitlijnprocedure en de aanpassingen aan de opstelling zijn de afmetingen van de spot teruggebracht tot (4,0 ± 0,2) x (3,1 ± 0,3) pm2

, dicht bij de berekende huidige ondergrens van (3,6 x 3,3) pm2

•

-98-

De invloed van de druk in de bundelpijp en de vacuümkamer op de afmetingen van de bundelspot moet nader onderzocht worden. De druk in de bundelpijp moet verbeterd worden. Een druk van 4 ·10-6 mbar lijkt voldoende.

Voordat er serieus nagedacht kan worden over het verder verkleinen van de bundelspot, eventueel bij een lagere stroom, moet eerst de halfvlak-meting geïmplementeerd worden. Voor bundelspot metingen met behulp van een halfvlak is het noodzakelijk dat de stapgrootte van de scanmagneet nauwkeurig bepaald wordt.

Wanneer het mogelijk is om met een halfvlak de bundelspotafmetingen te bepalen, kan het programma MICR03R getoetst worden door berekende resultaten te vergelijken met resultaten van metingen. Gedacht kan worden aan metingen van de spotgrootte als functie van de rotatie van één van de quadrupolen en de invloed van een uitlijnfout van de apertuurspleten op de bundelspotafmetingen.

De bundelspot kan in de toekomst verder verkleind worden wanneer het mini­cyclotron ILEC in bedrijf komt. Met de huidige magneten moet het mogelijk zijn om bij een geschikte instelling van de quadrupolen bundelspotafmetingen van de orde van 1,5 x 1,5 pm2

te bereiken. Voor een verdere verkleining van de bundelspot met een door ILEC geleverde bundel moet onderzocht worden of het zinvol is om nieuwe quadrupolen te ontwerpen. Er dient dan onderzoek te worden gedaan naar het meest geschikte type quadrupooi (magnetisch, elektrisch of gecombineerd) en naar de meest geschikte dimensies van de quadrupooi (ook de lengte apertuur verhouding kan een variabele zijn).

Voordat ILEC in bedrijf komt moeten de voorwerpsspleten vervangen worden door nieuwe voorwerpsspleten met een grotere instelnauwkeurigheid (orde grootte van enkele micrometers). Dit omdat bij de berekeningen in tabel 7.7 de opening van de voorwerpsspleten in de x-richting 40 pm is en de huidige instelnauwkeurigheid 10 pm per spleetbek bedraagt.

-99-

LITERATUURLIJST [Aen92]

[Ame87]

[Atz92]

[Bel87]

[Bot86]

[Bot88]

[Bov70]

[Bre90]

[Bro80]

[Car82]

[Cob65]

[Cor60]

[Dan92]

[Day54]

[Dij92]

A.J.R. Aendenroomer, Bouw van een protonen microbundelopstelling: besturing en data acquisitie, Intern rapport VDF/NK 91-32, 1991

P.W. van Amersfoort, F. Siebenlist en R.W. Thomae, Quadrupale optiesjor periodic focussing channels, NIM A256 (1987), 1-8

B. Atzema, Data acquisitionfor microbeam analysis, Intern rapport, 1992

J.S. Bell, Hami/ton mechanics, Proc. of the CERN Accelerator School, CERN 87-03, Vol I, 5-40, 1987

J.I.M. Botman en H.L. Hagedoorn, Lecture Notes Partiele Accelerators, TUE, 1986

J.I.M. Botman en H.L. Hagedoorn, Lecture Notes on Ion Opties, TUE, 1988

C. Bovet, R. Gouiran, I. Gumowski en K.H. Reich, A selection of formulae and data useful for the design of A.G. Synchrotrons, European Organisation for Nuclear Research, 1970

M. B.H. Breese, The correction of parasitic sextupole aberrations in magnetic quadrupale lenses, PhD Thesis University of Salford, 1990

K.L. Brown, F. Rothacker, D.C. Carey en Ch. Iselin, TRANSPORT: A Computer Programfor Designing Charged Partiele Beam Transport Systems, 1980

D.C. Carey, K.L. Brown en Ch. Iselin, Decay Turtle (Trace Unlimited Rays Through Lumped Elements), A computer program for simulating charged partiele beam transport systems, ineluding decay calculations, SLAC report-246, 1982

J. Cobb en R. Cole, Spectroscopy of quadrupale mag nets, Proc. lst Conf. on Magnet Techno!. MT-1 (1965), 431-446

H.C. Corben en Ph. Stehle, Classica/ Mechanics, John Wiley & Sons, 1960

R.J. Dankers, Het meten van parasitaire multipolen met de gridshadow methode, Intern rapport VDF/NK 92-03, 1992

T.E. Dayton, F.C. Shoemaker en R.F. Mazley, The measurement of two­dimensionalfields Part//: Study of a quadrupale magnet, Rev. of Sci. Instr., vol 25, no 5 (1954), 485-489

P.W.L. van Dijk, Analysis of light elements in thin films using high energy scattering techniques, Intern rapport VDF/NK 92-02, 1992

-100-

[Dra82]

[Dym65]

[Fuj75]

[Gol80]

[Gra80]

[Gri82]

[Gri84]

[Gri91]

[Hag]

[Hag91]

[Hal69]

[Hei92a]

[Hei92b]

[Höf86]

[lnl87]

A.J. Dragt, Lectures on nonlinear orbit dynamics, AlP Conf. Proc., no 87, 1982, 147-313

A.D. Dymnikov, T.Ya Fishkova en S. Ya. Yavor, Spherical aberration of a combined quadrupale lens, Soviet Physics-Tech. Phys., vol 9, no 9 (1965), 1322-1324

Y. Fujita en H. Matsuda, Third order transfer matrices for an electrastatic quadrupale lens, NIM 123 (1975), 495-504

H. Goldstein, Classica/ Mechanics, Addison Wesley publishing company, 1980

l.S. Gradshteyn en I.M. Ryzhik, Table of integrals, series and products, Academie Press, 1980

G.W. Grime, F. Watt, G.D. Blowers, J.Tabacs en D.N. Jamieson, Realand parasitic aberrations of quadrupale probeforming systems, NIM 197 (1982), 97-109

G.W. Grime en F. Watt, Beam Opties of Quadrupale Probe-Forming Systems, Adam Hilger Ltd, 1984

G.W. Grime, M. Dawson, M. Marsh, I.C. McArthur en F. Watt, The Oxford submicron nuclear microscopy facility, NIM B54 (1991), 52-63

H.L. Hagedoorn en F. Schutte, Collegedictaat deeltjesversnellers, no 3823, Eindhoven

H.L. Hagedoorn, J.I.M. Botman, W.J.G.M. Kleeven, Hami/ton theory as a tooi for accelerator physics, CERN Accelerator School, sept 1991, Noordwijkerhout, wordt gepubliceerd

K. Halbach, First order perturbation effects in iron dominated two­dimensional symmetrical multipoles, NIM 74 (1969), 147-164

J.A. van der Heide, R.J.L.J. de Regt, W.A.M. Gudden, P. Magendans, H.L. Hagedoorn, P.H.A. Mutsaers, A.V.G. Mangnus, A.J.R. Aendenroomer, L.C. de Folter en M.J.A. de Voigt, A minicyclotron for a scanning proton microprobe, NIM B64 (1992), 336-341

J.A. van der Heide, gesprek, 1992

Manfred Höfert, Neuaujbau der Bochumer Protonen-Mikrosonde: Entwicklung und Anwendungen, Diplomarbeit 1986

Inleiding in de numerieke methoden, collegedictaat no 2369, TUE, 1987

-101-

[Jam85]

[Jen86]

[Kaw68]

[Kel62]

[Kos88]

[Kuh78]

[Laa91]

[Lee70]

[Lee71]

[Lee92]

[Ley83]

[Lin88]

[Man91]

[Mar87]

[Mar91]

[Mat72]

D.N. Jamieson, The correction of spherical aberration in a proton microprobe, PhD Thesis University of Melbourne, 1985

T.J.J.M. Jenneskens, De eerste en tweede orde aberraties van het microbundelsysteem, afstudeerverslag, Intern Rapport VDF/NK 86-24, 1986

H. Kawakatsu, K.G. Vosborghen B.M. Siegel, Mechanica/ aberrations of a magnetic quadrupale lens, J. of Appl. Phys., vol 39 (1968), 255-260

V.M. Keiman en S.Ya. Yavor, Achromatic quadrupale electron lenses, Soviet Physics-Tech. Phys., vol 6, no 12 (1962), 1052-54

C.J. Kost en F.W. Jones, RELAJ(JD User' s guide and reference manual, TRIUMF, Vancouver, 1988

K.F. Kuhfittig, Introduetion to the Lapface transform, PLenum Press, 1978

A.A.J. de Laat, Onderzoek van het magnetisch veld in een quadrupooi m.b.v. een Hal/prohe-meetmachine en een Rotating Coil Device, Intern Rapport VDF/NK 91-11, 1991

G.E. Lee-Whiting, Third order aberrations of a magnetic quadrupale lens, NIM 83 (1970), 232-244

G.E. Lee-Whiting en L. Yamazaki, Semi analytica/ calculations for circular quadrupoles, NIM 94 (1971), 319-332

R.W. de Leeuw, Getabelleerde aberratiecoëfficiënten voor de magnetische, elektrische en gecombineerde quadrupooi en de magnetische sextu- en octupool, Intern rapport VDF/NK 92-06, 1992

Leybold-Heraeus, Handleiding massaspectrometer Q100, 1983

E.A.G. Lingers, Toepassing van een elektrische quadrupooi in de microbundelopstelling, Intern rapport VDF/NK 88-06, 1988

A.V.G. Mangnus, Intrinsieke en parasitaire aberraties in de microbundelopstelling, Intern rapport VDF/NK 91-34, 1991

F.W. Martin en R.Goloski, An achromatic proton microbeam of5000 A width and 1,2 MeV energy, NIM B22 (1987), 121-125

F.W. Martin en R.Goloski, An achromatic proton microbeam of 1.06 MeV energy and 0,1 Jlm fine width, NIM B54 (1991), 64-67

H. Matsuda en H. Wollnik, Third order transfer matrices for the fringing field ofmagnetic and electrastatic quadrupale lenses, NIM 103 (1972), 117-124

-102-

[Mat72a]

[Mea63]

[Mut92]

[Mut93]

[Muy90]

[Nak82]

[Ros56]

[San73]

[Sch73]

[Shp65a]

[Shp65b]

[Smi70]

[Spa75]

[Spe92]

[Ste65]

[Szi88]

T. Matsuo, H. Matsuda en H. Wollnik, Partiele trajectories in a toroidal condenser calculated in a third order approximation, NIM 103 (1972), 515-532

Ph.F. Meads Jr., The theory of aberrations of quadrupale focussing arrays, Thesis University of Califomia, UCRL-10807, 1963

P.H.A. Mutsaers, Inschakelprocedure voor 3 MeV protonen van Cyclotron, B.G.S. en microbundelopstelling, Intern rapport VDFINK 92-08, 1992

P.H.A. Mutsaers, Thesis, wordt gepubliceerd

W.M. de Muynck, Mathematische fysica en theoretische mechanica, TUE, dictaat no 3317, 1990

H. Nakabushi en T. Matsuo, A third order transfer matrix of a magnetic multipale lens, NIM 198 (1982), 207-212

B. Rossi, High energy particles, second edition, Prentice-Hall Inc., 1956

G.E. Sandvik, H.L. Hagedoom, F. Schutte, Measurements and second-order calculations ofthe Eindhoven beam transport system, NIM 106 (1973), 245-252

F.Schutte, On the beam control of an isochronous cyclotron, Thesis TUE, 1973

E.V. Shpank en S. Ya. Yavor, Achromatic electromagnetic quadrupale lens with noncoïncident field distributions along the axis, Soviet Physics - Tech. Phys., vol 9, no 11 (1965), 1540-1543

E.V. Shpank en S. Ya. Yavor, Achromatic electromagnetic quadrupale lens with noncoïncident field distributions along the axis II, Soviet Physics -Tech. Phys., vol 10, no 5 (1965), 727-729

D.L. Smith, Focussing properties of electric and magnetic quadrupale lenses, NIM 79 (1970), 144-164

G. Spahn en K.O. Groeneveld, Angular straggling of heavy and lightionsin thin solid films, NIM 123 (1975), 425-429

A. van der Spek, gesprek, 1992

Klaus G. Steffen, High energy beam opties, Interscience Publishers, New York, 1965

M. Szilagyi, Electron and Ion Opties, Plenum Press New York, 1988

-103-

[Tap91]

[Tol91]

[Ver63]

[Ver92]

[Win78]

[Yav64]

[Yav64]

[Zie85]

U.A.S. Tapper, D.N. Jamieson, E. Swietlicki, N.E.G. Löwestam en T. Hansson, I dentification and elimination of internal and external parasitic multipale componentsin nuclear mieroprobe lenssystems, NIM B62 (1991), 155-161

H.P.T. Tolsma, lonenverstrooiing met hoogenergetische a-deeltjes, Intern rapport VDF/NK 91-42, 1991

N.F. Verster, W. Bähler, A.J.J. Franken, J. Geel, H.L. Hagedoom, P. Kramer en J. Zwanenburg, The Philips AVF Prototype Cyclotron, CERN report 63-19, (1963), 43-47

Van onze verslaggevers, Bewoners krijgen schade aardbeving niet vergoed, de Volkskrant 14 april 1992

Grote Winkier Prins Encyclopedie, Elsevier, ge druk 1978

S. Ya. Yavor, A.D. Dymnikov en L.P. Ovsyannikova,Achromaticquadrupole lenses, NIM 26 (1964), 13-17

S. Ya. Yavor, A.D. Dymnikov en L.P. Ovsyannikova, Experimental investigation of quadrupale lenses with zero and negative chromatic aberrations, Soviet Physics- Tech. Phys., vol 9, nol (1964), 76-80

F. Ziegler, J.P. Biersack en U. Littmark, The stopping and range of ions in solids, vol.1, Pergamon Press, 1985

-104-

APPENDIX A

BEREKENINGEN BIJ HOOFDSTUK 4

QUADRUPDOL De niet-relativistische baanvergelijking voor de magnetische quadrupooi wordt

gevonden door de niet-relativistische Hamiltoniaan (3.31) gelijk te stellen aan de kinetische energieT

{~ A)2 p 2 V' - q + qci> = T = _o . (A.l)

2m 2m

Wanneer Pz hieruit gewerkt wordt (ei> = 0 en A = Az), resteert vergelijking (4.27)

(4.27)

waarin nu echter de niet-relativistische impulsen ingevuld dienen te worden. De Hamiltonianen zijn in het niet-relativistische geval en in het relativistische geval dus identiek. Dit betekent dat ook de baanvergelijkingen in het relativistische geval en in het niet­relativistische geval identiek zijn.

OCTUPOOL De potentiaal in poolcoördinaten voor een octupool

V OCI = L v2nsin(n<l> - a)r n ' (4.110) n : 4,12,20, ...

is eenvoudig om te schrijven in cartesische coördinaten

V oct = V8cos(a4)(4x 3y - 4.xy 3) - V8sin(a4)(x4

- 6x 2y 2 + y 4). (A.2)

Hieruit volgt op de bekende wijze het magneetveld

Bx = -~: = -V8cos(a4)(12x 2y- 4y 3) + V8sin(a4)(4x 3

- 12xy 2), (A.3)

(A.4)

B = 0. (A.5) z

Stel weer A x= AY = 0, dan wordt voor de vectorpotentiaal de volgende uitdrukking verkregen

Az = V8cos(a

4)(x 4 - 6x 2y 2 + y 4) + V

8sin(a

4)(4yx 3

- 4.xy 3). (A.6)

De eerste term is een term ten gevolge van een normale octupool en de tweede term ten gevolge van een scheve octupool. Met behulp van deze vectorpotentiaal wordt de Hamiltoniaan K geschreven als

-105-

(A.7) Benader deze Hamiltoniaan tot in de vierde graad:

1 2 2 1 2 2 eVs K=-[1tx +1ty](l-Ö+Ö2)+-[1tx +1tYF--[cos(a

4)(x 4-6x 2y 2 +y 4)+sin(a4)(4x 3y-4.xy 3)].

2 8 P0

(A.8) Uit deze Hamiltoniaan worden de vier canonieke bewegingsvergelijkingen afgeleid

X , aK s: s:2 1 3 + 1 2 = - = 1t (1-u+u) + -1t -1t 1ty, a1t x 2 x 2 x

x

(A.9)

(A.ll)

(A.12)

In deze vergelijkingen is de definitie uit hoofdstuk 4 voor koe/ gebruikt. Differentieer de eerste van deze vergelijkingen naar z

(A.13)

vul de vier canonieke bewegingsvergelijkingen hierin in en kap af na de derde graad

x" = k~,[cos(a4)(3.xy 2 - x 3) + sin(a

4){y 3

- 3x 2y)]. (A.14)

Dit is de baanvergelijking in de x-richting tot in de derde graad voor een octupool, de baanvergelijking voor de y-richting wordt op gelijke wijze verkregen

y 11 = k0: 1[cos(a

4)(3x 2y - y 3) + sin(a

4)(3.xy 2

- x 3)]. (A.15)

-106-

APPENDIX B

BEREKENINGEN BIJ HOOFDSTUK 5

ELEKTRISCHE QUADRUPDOL De potentiaal in vergelijking (5.8) kan direct in de niet-relativistische Hamiltoniaan

(3.31) ingevuld worden 2 ~

H = (jJ - qKf + ke1 (x 2 _ Y 2) __ 1_ k.,, (x4 _ Y 4), 2m 2m 12 2m

(B.1)

de vectorpotentiaal A is gelijk aan 0. Stel de Hamiltoniaan gelijk aan de kinetische energie

introduceer een spreiding in de impuls

P = p0(1 +8),

werk Pz eruit en ga over op de nieuwe Hamiltoniaan K

(B.2)

2 2 2 1 2" 1 (B 3) K = -7t = -(1 +O) 1 - [7t + 1t + k 1(x2-y 2

) - -k 1 (x4

- y 4)] •

z x y e 12 e (1 +8)2

In deze vergelijking zijn de in hoofdstuk 4 en 5 geïntroduceerde definities voor 1t; en k} gebruikt. Benader de Hamiltoniaan tot in de vierde graad

12 2 2 1211

K= -1tz = l[1tx + 1ty + kelx 2- Y 2

) -12

k.,1 (x4

- y 4)](1-8+82) +

1 [ 4 4 2 2 2 k 4( 2 2)2 2k 2( 2 2)[ 2 2] - 1tx + 1ty + 1tx1ty + el X - Y + el X - Y 1tx + 1ty • 8

(B.4)

Uit deze Hamiltoniaan worden de vier canonieke bewegingsvergelijkingen afgeleid

'dK s: ~:2 1 3 1 2 1 2 2 2 x' =- = 1t (1-u+u) + -1tx + -1t 1t + -k .. l(x - y )1t ' d1t x 2 2 x y 2 x

(B.5) x

I ()K 1 3 1 2 1 k 2( 2 2) y = - = 1t (1-8 +82) + -1ty + -1tx1t + - el X - Y 1t

d1t y 2 2 y 2 y (B.6)

y

(B.7)

(B.8)

Differentieer de eerste van deze vergelijkingen naar z

-107-

(B.9) en vul de vier canonieke bewegingsvergelijkingen hierin in, dan wordt de niet-relativistische bewegingsvergelijking voor een elektrische quadrupooi verkregen

2 2 22 4 12' 1211

x" = -ketX(l-28+382)-ketX(1tx+1ty)+ketX(y 2-x 2)+-ke1(x 2-y 2)1t +-ke1 x3, (B.lO)

2 x 6

en voor dey-richting wordt op gelijke wijze gevonden

2 2 22 4 12' 12" Y 11 = keLY(1-28+382)+keLY(1tx+1ty)+keL.Y(X2-y2)+..:kel (X2-y2)1t --kei y3 2 y 6

(B.ll)

ELEKTRISCHE SEXTUPOOL De hamiltoniaan Kin vergelijking (5.47) benaderd tot in de vierde graad luidt

1 2 2 ~ ~2 1 2 3 2 2 3 . ~ 1 4 2 2 4 K = "2[1tx+1ty](l-u+u )+"3k6e1[(x -3xy )cos(a3)+(3x y-y )sm(a3)](1-u)+g[7tx+27tx1ty+1ty].

(B.12) Uit deze Hamiltoniaan worden vier canonieke bewegingsvergelijkingen afgeleid

1 3 1 2 X I = 1t (1-8+82

) + -1t + -1t 1ty, x 2 x 2 x

(B.13)

(B.14)

(B.15)

(B.16)

Differentieer de eerste van deze vergelijkingen naar z en vul hier de vier canonieke bewegingsvergelijkingen in, dan wordt de baanvergelijking in de x-richting voor een elektrische sextupool verkregen

x 11 = ..!..k~I (y 2 - x 2)cos( a3

) - (2xy )sin( a3

] ( 1 - 28) . (B.17) 2

De baanvergelijking voor de y-richting wordt op gelijke wijze gevonden

y" = ..!..k~H2xy)cos(a3) + (y 2 - x 2)sin(a3)](1-8).

2

ELEKTRISCHE OCTUPOOL Benader de Hamiltoniaan uit vergelijking (5.52) tot in de vierde graad

-108-

(B.18)

(B.19) en bereken hieruit de vier canonieke bewegingsvergelijkingen

1 3 1 2 X

1 = 1t (1-8+82) + -1tx + -1t 1ty '

x 2 2 x (B.20)

(B.21)

(B.22)

(B.23)

Differentieer de eerste van deze vergelijkingen naar z en vul vervolgens de vier canonieke bewegingsvergelijkingen in deze vergelijking in

x" = ~ks!H3xy 2 - x 3)cos(a

4) + (y 3

- 3x 2y)sin(a4)]. (B.24) 2

De baanvergelijking voor de y-richting wordt op gelijke wijze verkregen

y " = ~k~tr(3x 2y - y 3)cos( a 4) + (3xy 2 - x 3)sin( a 4)] •

2

-109-

(B.25)