el uso comprensivo de las razones trigonométricas en el...
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El uso comprensivo de las razones
trigonométricas en el planteamiento y
resolución de problemas.
The comprehensive use of trigonometric
reasoning in the approach and resolution
of problems
DWIGHT OSWALDO ESCALANTE GODOY
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Manizales, Colombia
2018
II El uso de las razones trigonométricas en el planteamiento y resolución de problemas
El uso comprensivo de las razones
trigonométricas en el planteamiento y
resolución de problemas.
DWIGHT OSWALDO ESCALANTE GODOY
Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Director:
MAGÍSTER JAIDER ALBEIRO FIGUEROA FLOREZ
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Manizales, Colombia
2018
Dedicatoria
A mi abuela y madre al tiempo, quien
en vida me brindo las herramientas
necesarias para ser la persona y ser
humano que soy hoy en día…
4
Agradecimientos
A la Universidad Nacional, y a los Docentes de la Maestría en Enseñanza
de las Ciencias Exactas y Naturales, por su valioso aporte a mi formación
profesional.
Al profesor Jaider Albeiro Figueroa Flórez, asesor de este trabajo, por
cada una de sus valiosas contribuciones, su dedicación y motivación para
obtener este resultado.
A mi familia por su apoyo absoluto en todo momento.
5
Resumen
Este trabajo contribuye al fortalecimiento de procesos cognitivos y el desarrollo de los
pensamientos variacional, geométrico y espacial a través de la solución de problemas para el
uso comprensivo de las razones y funciones trigonométricas en estudiantes de educación
media, a partir del uso de Geogebra. El trabajo se desarrolla bajo el diseño y aplicación de
tres tipos de talleres: familiarización, afianzamiento y profundización, en los cuales se hace
uso de Geogebra como mediador y fortalecedor de habilidades, competencias y destrezas
asociados a los pensamientos referidos. En el recorrido de los talleres se busca que los
estudiantes tengan un acercamiento con la herramienta tecnológica, la construcción y
exploración de las funciones trigonométricas, y el abordaje y solución de problemas
propuestos. Dentro de los resultados obtenidos se resalta el uso de Geogebra en la manera de
visualizar, interpretar, razonar y comprender el concepto de razón y función trigonométrica
y la relación que se genera entre estas, la mediación de Geogebra para analizar el
comportamiento de las funciones trigonométricas (dominio, rango, periodo, crecimiento,
monotonía, transformaciones, estudio de la inversa, …) desde su representación gráfica, el
uso de las razones y funciones trigonométricas en la solución de problemas de medición y
variación.
Palabras clave: (Mediación cognitiva, resolución de problemas, aprendizaje significativo,
competencias, uso comprensivo, uso de tecnologías).
Abstract
This Project contributes to the strengthening of cognitive processes and development of
variational, geometrical and spatial thinking through the solution of problems for the
comprehensive use of trigonometric ratios and functions in middle school students from the
use of Geogebra. This Research is developed under the design and application of every phase:
familiarization, consolidation and deepening, in which Geogebra is used as mediator and
strengthener of skills and competences associated with the referred thoughts. In the course
of the workshops students must show an approach with the technological resource, the
construction and exploration of trigonometric functions, the approach and solution of the
6
proposed problems. Within the obtained results, the use of Geogebra is highlighted in the
way of visualizing, interpreting, reasoning and understanding the concept of reason and
trigonometric function and the relationship that is generated between them, the mediation of
Geogebra to analyze the behavior of trigonometric functions (domain, range, period, growth,
monotony, transformations, study of the inverse, …) from its graphic representation, the use
of trigonometric ratios and functions in the solution of measurement and variation problems
Keywords: (cognitive mediation, problem solving, meaningful learning, competencies,
comprehensive use, use of technologies).
7
Contenido
Pág.
Resumen ........................................................................................................................................................ 5
Lista de figuras ......................................................................................................................................... 10
Introducción .............................................................................................................................................. 11
Capítulo I. Horizonte Del Trabajo. ..................................................................................................... 13
1.1 Descripción y Planteamiento del Problema ........................................................................... 13 1.2 Justificación ......................................................................................................................................... 14 1.3 Objetivos ............................................................................................................................................... 16
1.3.1 Objetivo General .................................................................................................................. 16 1.3.2 Objetivos Específicos ......................................................................................................... 16
Capítulo II. Marco Referencial ............................................................................................................. 18
2.1 Marco de Antecedentes ................................................................................................................... 18 2.1.1 Diseño de una estrategia didáctica para la enseñanza de la trigonometría mediada por nuevas tecnologías: Estudio de caso en el curso nivelatorio de Matemáticas Básicas de la Universidad Nacional de Colombia. ......................................... 18 2.1.2 Propuesta didáctica para la enseñanza de la resolución de triángulos con el apoyo del programa Cabri Geometry ........................................................................................ 19 2.1.3 Construcción de las funciones trigonométricas haciendo un contraste entre la utilización y ausencia de tic´s. .......................................................................................... 20 2.1.4 Resolución de triángulos rectángulos y problemas en contexto ..................... 21 2.1.5 Diseño e implementación de un curso virtual de trigonometría básica utilizando redes sociales y otras herramientas TIC: estudio de caso en grados undécimo de dos colegios oficiales de Puerto Asís. ................................................................. 22 2.1.6 Diseño de una propuesta metodológica que contribuya en la enseñanza de las funciones de variables reales aplicadas a fenómenos físicos, a estudiantes de grado undécimo, de la institución educativa Santa Elena, en el corregimiento de Santa Elena, Medellín, Colombia. ..................................................................................................... 23 2.1.7 La resolución de triángulos y sus aplicaciones. Una unidad didáctica para estudiantes de grado décimo. ........................................................................................................... 24 2.1.8 Aproximación a la enseñanza de las razones trigonométricas a través del trabajo experimental en matemáticas en el grado décimo. .................................................. 25 2.1.9 La modelación con tecnología en el estudio de la función seno ...................... 25 2.1.10 Secuencias didácticas para el aprendizaje de las razones trigonométricas.27
2.2 Marco Teórico ..................................................................................................................................... 28 2.2.1 Situaciones Didácticas ...................................................................................................... 28 2.2.2 Teoría del aprendizaje significativo ............................................................................ 29 2.2.3 Resolución de Problemas ................................................................................................ 30 2.2.4 Aspectos Socio Cognitivos del Aprendizaje ............................................................. 32 2.2.4.1 Modelo Sociocultural ......................................................................................................... 32
8
2.2.4.2 Zona de Desarrollo Próximo .......................................................................................... 33 2.2.5 Aprendizaje en grupo ....................................................................................................... 33 2.2.6 Uso de TIC en el aula ......................................................................................................... 34
2.3 Marco Conceptual ............................................................................................................................. 37 2.3.1 Situación Problema ........................................................................................................... 37 2.3.2 Competencia......................................................................................................................... 37 2.3.3 Comprensión ........................................................................................................................ 37 2.3.4 Proceso Cognitivo .............................................................................................................. 38 2.3.5 La Formulación, tratamiento y Resolución de Problemas ................................ 39 2.3.6 La modelación ..................................................................................................................... 39 2.3.7 La Comunicación ................................................................................................................ 39 2.3.8 El razonamiento ................................................................................................................. 40 2.3.9 La Formulación, Comparación y Ejercitación de Procedimientos ................. 40 2.3.10 Tipos de Pensamiento Matemático............................................................................. 41 2.3.11 El pensamiento espacial y los sistemas geométricos .......................................... 41 2.3.12 El pensamiento métrico y los sistemas métricos y de medidas. ..................... 42 2.3.13 El pensamiento variacional y los sistemas algebraicos y analíticos ............. 43 2.3.14 Taller ....................................................................................................................................... 43 2.3.15 Herramientas Tecnológicas ........................................................................................... 43 2.3.16 Aprendizaje Colaborativo ............................................................................................... 43
Capítulo III. Metodología ....................................................................................................................... 45
3.1 Tipo de Trabajo ................................................................................................................................. 45 3.1.1 Diseño Metodológico ........................................................................................................ 45 3.1.2 Estudio De Variables ......................................................................................................... 45
3.2 Instrumentos Metodológicos ....................................................................................................... 46 3.2.1 Implementación De Talleres ......................................................................................... 47
3.3 Población y Muestra ........................................................................................................................ 48 3.4 Fuentes de Información ................................................................................................................. 48 3.5 Análisis e interpretación de los Resultados ........................................................................... 48
Capítulo IV. Resultados Y Discusión.................................................................................................. 50
4.1 Resultados en el taller 1 Construcción de la razón y función trigonométrica......... 50 4.1.1 Comprensión y diferenciación entre razón t y función t: .................................. 50 4.1.2 Identificación de las variables ángulo y razón trigonométrica: ...................... 52 4.1.3 Grafica de función trigonométrica: ............................................................................. 52
4.2 Resultados en el taller 2 El material manipulativo en el uso comprensivo de las funciones y razones trigonométricas. .................................................................................................... 53
4.2.1 Comprensión del uso de las razones trigonométricas: ...................................... 53 4.2.2 Identificación de las variables que intervienen en la manipulación de las razones trigonométricas: ................................................................................................................... 53 4.2.3 Aplicación de estrategias para la solución de problemas que implican las razones trigonométricas: ................................................................................................................... 54
4.3 Resultados en el taller 3 La resolución de problemas que involucra en uso de razones y funciones trigonométricas ..................................................................................................... 55
4.3.1 Comprensión del problema: .......................................................................................... 55 4.3.2 Elaboración de un plan: ................................................................................................... 56 4.3.3 Ejecución del plan: ............................................................................................................. 56 4.3.4 Visión retrospectiva: ......................................................................................................... 56
9
Capítulo V. Conclusiones Y Recomendaciones .............................................................................. 58
5.1 Conclusiones........................................................................................................................................ 58 5.2 Recomendaciones ............................................................................................................................. 59
Bibliografía ................................................................................................................................................ 61
10
Lista de figuras
Pág.
Figura 1. Comprensión concepto de razones trigonométricas ............................................ 51
Figura 2. Comprensión concepto de función trigonométrica .............................................. 51
Figura 3. identificación de variables ángulo y razón trigonométrica a través de Geogebra .. 52
Figura 4. Caracterización de variables con el uso de Geogebra ........................................... 52
Figura 5. Manipulación de material didáctico para la comprensión de las funciones
trigonométricas ............................................................................................................... 53
Figura 6. Modelación de datos e identificación de variables por parte de los estudiantes .... 54
Figura 7. Aplicación de estrategias para la resolución de problemas .................................. 55
Figura 8. Identificación de variables ................................................................................. 55
Figura 9. Estructura generada por los estudiantes para solución de problemas .................. 56
Figura 10. Resultados y conclusiones de los estudiantes en la actividad. ............................ 56
Figura 11. Aplicación de aprendizajes en la resolución de diferentes problemas. ............... 57
11
Introducción
De acuerdo a los resultados que presentan los estudiantes en los grados noveno, decimo y
once de la Institución Educativa Gallardo del municipio de Suaza, departamento del Huila, en
las diferentes pruebas realizadas durante el año (SABER e Institucionales) y las dificultades
que presentan en los procesos matemáticos, se propone el trabajo titulado “El uso
comprensivo de las razones trigonométricas en el planteamiento y resolución de problemas”
para aplicar en el grado décimo, con el cual se busca contribuir en el fortalecimiento de
procesos cognitivos y los pensamientos geométrico, métrico y variacional, a partir del
planteamiento y resolución de problemas haciendo uso de las teorías de (Aprendizaje
Significativo) AS de Ausubel, (Modelo Sociocultural) MS de Vygotsky y la técnica de
resolución de problemas planteada por George Pólya como estrategias mediadoras de
aprendizaje.
El trabajo se implementa mediante la aplicación de tres tipos de talleres que se han
clasificado en: Comprensión y construcción de los conceptos razón y función trigonométricas,
el material manipulativo en el uso comprensivo de las funciones y razones trigonométricas, y
la resolución de problemas que involucra el uso de razones y funciones trigonométricas.
(Comprensión del problema, elaboración del plan, ejecución del plan y visión retrospectiva),
los cuales permiten tener una idea sobre el nivel de desempeño en el cual se encuentra el
estudiante. y permiten fortalecer habilidades, competencias y destrezas asociados a los
pensamientos referidos.
Las estrategias implementadas durante el desarrollo del trabajo pretenden materializar en el
aula los estándares propuestos para el grado objeto de estudio, en lo que se refiere al
desarrollo de los pensamientos geométrico, métrico y variacional, buscando que el
estudiante sea capaz de: Usar argumentos geométricos para resolver y formular problemas
en contextos matemáticos y en otras ciencias, describir y modelar fenómenos periódicos del
mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas, reconocer y describir curvas y o
lugares geométricos, diseñar estrategias para abordar situaciones de medición que requieran
12
grados de precisión específicos, analizar las relaciones y propiedades entre las expresiones
algebraicas y las gráficas de funciones polinómicas y racionales y de sus derivadas, modelar
situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e interpretar y utilizar sus
derivadas.
El trabajo se distribuye en cinco capítulos: en el capítulo I, se tiene el planteamiento del
problema, la justificación, el objetivo general y específicos. En el capítulo II, el marco de
antecedentes, marco teórico y marco conceptual. En el capítulo III se define la metodología
empleada en el trabajo. El capítulo IV, se refiere a los resultados y su discusión. Y en el
capítulo V, se plantean las conclusiones, recomendaciones y sugerencias.
13
Capítulo I. Horizonte Del Trabajo.
1.1 Descripción y Planteamiento del Problema
La enseñanza de las matemáticas es un conjunto de variados procesos mediante los cuales el
docente planea, gestiona y propone situaciones de aprendizaje significativo y comprensivo,
por medio de situaciones problemas, para sus alumnos, permitiendo que ellos desarrollen su
actividad matemática e interactúen con sus compañeros (MEN, 2006). Por lo cual se hace
pertinente el desarrollo y potencialización de competencias en los estudiantes por parte del
docente a través del diseño de estrategias que permitan el fortalecimiento de los diferentes
procesos y tipos de pensamiento matemático: numérico, geométrico, métrico, aleatorio, y el
variacional.
El desarrollo de las competencias en las instituciones educativas se hace visible por medio de
las políticas de evaluación establecidas en nuestro país y a través de las cuales se busca tener
un referente en cuanto a cómo están y en que se está fallando en cada institución, en cada
una de las áreas que se evalúan, para así la institución a través del trabajo mancomunado
por parte de la comunidad educativa desarrollar e implementar estrategias que permitan el
mejoramiento de las deficiencias presentadas y llevar cada una de estas a hacer parte del
currículo de la institución.
Es así como en la Institución Educativa Gallardo, del Municipio de Suaza, departamento del
Huila, se vienen presentando algunas falencias en el área de matemáticas en los resultados de
las pruebas SABER en grado noveno y once correspondientes a los pensamientos numérico,
variacional y geométrico, y en la componente de razonamiento, las cuales se generalizan en
14
cada uno de los grados de la institución en cada una de las aulas de clase, como un resultado
directo de las metodologías de enseñanza empleadas por parte del docente en lo que
respecta a los métodos de evaluación, tareas y actividades propuestas para los estudiantes.
Convirtiéndose en una necesidad específica para el desarrollo de los procesos de
pensamiento matemático, la intervención por parte del docente a partir del diseño de
estrategias de aprendizaje; motivo por el cual en busca de afrontar estas dificultades, en los
estudiantes de grado décimo de la Institución se propone el trabajo “ el uso comprensivo de
las razones trigonométricas en el planteamiento y resolución de problemas”, el cual tiene
por objetivo posibilitar la comprensión en el uso de las razones trigonométricas, para
plantear y resolver problemas en los contextos espacial, de medidas y variación.
1.2 Justificación
El desarrollo del pensamiento variacional, dadas sus características, es lento y complejo, pero
indispensable para caracterizar aspectos de la variación tales como lo que cambia y lo que
permanece constante, las variables que intervienen, el campo de variación de cada variable y
las posibles relaciones entre esas variables (MEN, 1998; MEN, 2006). Además, en las
situaciones de aprendizaje que fomentan el desarrollo de este tipo de pensamiento, también
se dan múltiples oportunidades para la formulación de conjeturas, la puesta a prueba de las
mismas, su generalización y la argumentación para sustentar o refutar una conjetura o una
propuesta de generalización, todo lo cual se relaciona con el pensamiento lógico y el
pensamiento científico. Esto se logra a través de la elaboración e interpretación de ciertas
representaciones matemáticas –gráficas, tablas, ecuaciones, inecuaciones o desigualdades,
etc.– que permiten tratar con situaciones de variación y dependencia en la resolución de
problemas (MEN, 1998; MEN, 2006).
El estudio de la variación como una base fundamental para acceder a los procesos de
generalización propios de cada uno de los pensamientos, permite en este sentido, el estudio
de las propiedades de los números y sus operaciones y de la manera como varían sus
resultados con el cambio de los argumentos u operandos, o de los objetos de la geometría y
sus características y de la manera cómo cambian las medidas de las cantidades asociadas con
las transformaciones de esos objetos, se proponen como procesos de abstracción y
15
generalización a partir del análisis de lo que es invariante en medio de los aspectos variables
de un conjunto de situaciones. Muchos de los conceptos de la aritmética y la geometría se
suelen presentar en
forma estática, pero ganarían mucho en flexibilidad y generalidad y atraerían más el interés
de los estudiantes si se presentan en forma dinámica y variacional (MEN, 1998; MEN, 2006).
En lo que respecta al aprendizaje de sistemas de medida y, en particular del SI, es importante
el reconocimiento del conjunto de unidades de medida que se utilizan para cada una de las
diferentes magnitudes (la velocidad, la densidad, la temperatura, etc., y no sólo de las
magnitudes más relacionadas con la geometría: la longitud, el área, el volumen y la amplitud
angular). El estudio de esas primeras magnitudes muestra que el pensamiento métrico no se
limita a las matemáticas, sino que se extiende también a las ciencias naturales y sociales… El
tratamiento de los conceptos relativos a la medida de magnitudes compuestas a partir de las
relaciones funcionales con respecto a las magnitudes fundamentales que las componen hace
que conceptos como el de área, volumen, velocidad, aceleración, densidad, etc., puedan
entenderse como funciones de otras magnitudes más simples. Igualmente, esta aproximación
hace que los conceptos relativos al pensamiento métrico se relacionen de manera directa
con el numérico y sirvan de puente para el estudio de las disciplinas científicas naturales y
sociales (MEN, 1998; MEN, 2006).
Una de las ventajas que se presentan en esta propuesta es materializar estándares
correspondientes al grado objeto de estudio en lo que respecta al pensamiento geométrico,
métrico y variacional, en cuanto a:
Usar argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos
matemáticos y en otras ciencias.
Describir y modelar fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y
funciones trigonométricas.
Reconocer y describir curvas y o lugares geométricos.
Diseñar estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de
precisión específicos.
Analizar las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas
de funciones polinómicas y racionales y de sus derivadas.
16
Modelar situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e
interpretar y utilizar sus derivadas.
El trabajo presentado se enmarca en los objetivos que persigue la Maestría en Enseñanza de
las Ciencias Exactas y Naturales de la universidad Nacional de Colombia, en lo que se refiere a
la formación de docentes capaces de crear y evaluar sus propias estrategias de enseñanza.
El desarrollo de la propuesta se hace viable por cuanto la Institución Educativa Gallardo
cuenta con los recursos humanos y la infraestructura necesaria para su ejecución, no cuenta
con los servicios de internet, pero las actividades propuestas permiten ser desarrolladas sin
el uso de este. Los estudiantes cuentan con herramientas tecnológicas y de consulta que
permitirán un mejor abordaje y retroalimentación de cada uno de los elementos que se
abordan en la propuesta, son estudiantes que cuentan con plena habilidad mental y cognitiva
con edades entre los 14 y 16 años
Bajo estas condiciones, la propuesta cumple con los requerimientos del Ministerio de
Educación Nacional, de manera que su ejecución conlleve al alcance de las metas que desde la
política educativa para las matemáticas se plantean y la consecución de los objetivos del
presente proyecto.
1.3 Objetivos
Objetivo General 1.3.1
Posibilitar la comprensión en el uso de las razones trigonométricas, para plantear y
resolver problemas en los contextos espacial, de medidas y variación.
Objetivos Específicos 1.3.2
Proponer un trabajo de aula que contemple el desarrollo de actividades de
aprendizaje en diversos estadios de avance cognitivo, que posibiliten al estudiante un
uso comprensivo de las razones trigonométricas, a partir del planteamiento y
resolución de problemas.
17
Analizar los avances y/o dificultades de los estudiantes, en cuanto a sus progresos en
competencias y procesos asociados al pensamiento matemático.
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Capítulo II. Marco Referencial
2.1 Marco de Antecedentes
Existen otras investigaciones similares con aportes importantes relacionados con el tema,
que sirven de base para el desarrollo de la presente propuesta:
Diseño de una estrategia didáctica para la enseñanza de la 2.1.1
trigonometría mediada por nuevas tecnologías: Estudio de
caso en el curso nivelatorio de Matemáticas Básicas de la
Universidad Nacional de Colombia.
Autor: Gloria Luz Urrea Galeano (2012)
Objetivo: Diseñar una estrategia para la enseñanza-aprendizaje de la trigonometría mediada
por las nuevas tecnologías: Estudio de caso en el curso nivelatorio de Matemáticas Básicas de
la Universidad Nacional de Colombia
Metodología: La investigación propuesta es de corte cualitativo referido a un estudio de
casos, donde se permite determinar la dinámica del pensamiento del sujeto para comprender
por qué se está comportando de cierta manera. La investigación está dividida en tres
momentos, que son: Elaboración del diseño teórico, construcción y presentación de la
propuesta.
Conclusiones: Dentro de esta práctica se establece un vínculo entre estudiantes y docentes a
través de los contenidos por enseñar. Un docente desde esta perspectiva prepara su clase
19
resaltando: la categoría de contenido, su interés en el tema, en las tareas, en la materia, en la
asignatura; descuida el proceso docente educativo en general, ya que se debe tener en cuenta
también el proceso de aprendizaje.
La reflexión permite que el docente universitario pueda mejorar su práctica pedagógica y
realice procesos en los cuales se funden la instrucción, la educación para dotar a los
estudiantes de conocimientos, hábitos, habilidades y capacidades. Es así que el docente debe
desempeñar una función mediadora, y sus grandes preocupaciones en este proceso son las
de “enseñar”, pero también la de “hacer razonar”.
Propuesta didáctica para la enseñanza de la resolución de 2.1.2
triángulos con el apoyo del programa Cabri Geometry
Autor: Martha Isabel Escobar Rodríguez. (2012)
Objetivo: Desarrollar con el apoyo del programa Cabri Geometry y a partir de situaciones
reales, una propuesta didáctica que permita revisar la teoría básica de la trigonometría
relacionada con la determinación de elementos de un triángulo para estructurar algunas
actividades de aplicación del tema, en los estudiantes de ciclo IV (grado décimo) de la jornada
mañana, en el colegio Integrado de Fontibón, de la localidad 9.
Metodología: Para fundamentar las actividades se tomarán elementos de investigaciones
relacionadas con el desarrollo y evolución de los niveles de razonamiento geométrico y el uso
de programas computacionales como una herramienta.
Con respecto a los niveles de razonamiento en geometría se retoma en la propuesta el
modelo teórico de los Van Hiele (Dina van Hiele-Geldof y Pierre van Hiele, 1959-1984-1986)
quienes caracterizaron el progreso del pensamiento geométrico de los estudiantes, en su
teoría describieron 5 niveles de pensamiento y 5 fases de aprendizaje que se evidencian en el
trabajo de cada nivel.
Las actividades que se presentan en esta propuesta enfatizan entonces en el reconocimiento
de relaciones y propiedades, en el análisis de regularidades y la generalización y en la
deducción usando en este caso la manipulación, con el apoyo de la herramienta
computacional.
20
Conclusiones: Es importante que los docentes de matemáticas revisen bibliografía actual
relacionada con la didáctica de la trigonometría, en particular el fundamento teórico del
modelo de Van Hiele puesto que está relacionado con el pensamiento y razonamiento
geométrico y proporciona herramientas para diseñar actividades en Cabri para la enseñanza
de los elementos básicos de la resolución de triángulos fortaleciendo de esta forma la
estructura de pensamiento espacial y sistemas geométricos.
Construcción de las funciones trigonométricas haciendo un 2.1.3
contraste entre la utilización y ausencia de tic´s.
Autor: Nathalia Katerin Valderrama Ramírez (2013)
Objetivo: Diseñar, implementar y evaluar una propuesta didáctica para construir las
funciones trigonométricas analizando dos grupos de estudiantes para quienes se tendrán
diferentes herramientas didácticas y tecnológicas dentro del proceso de enseñanza
aprendizaje.
Metodología: Este trabajo presenta una propuesta enmarcada en el análisis didáctico
propuesto en Gómez (2002) para la estructura conceptual de las funciones trigonométricas
seno, coseno y tangente la cual se implementa para dos grupos de estudiantes de grado
decimo de la IED los Alpes. Para el primero, se implementa en el aula de clases con los
materiales convencionales (tablero - cuaderno), sin la utilización de TICs y bajo la orientación
del docente; para el segundo, se utiliza la herramienta LMS por medio de la plataforma
Moodle para gestionar los contenidos e involucra la utilización de otras TICs.
Conclusiones: La incorporación de herramientas LMS en el aula, software educativo y en
general de TICs debe ser un proceso planificado objetivamente, evaluado y reflexionado que
requiere de análisis y estudio previo, tanto para su diseño como para la implementación
adecuada que realmente apoye y facilite los aprendizajes dentro del proceso de enseñanza
aprendizaje ya que la herramienta por sí sola no cumple la función de enseñar.
La incorporación y utilización de herramientas de tecnología e información en el proceso de
enseñanza aprendizaje de determinada estructura conceptual no solo apoyan la enseñanza y
facilitan los aprendizajes, sino que permiten que los estudiantes adquieran herramientas
21
útiles para su vida a la hora de enfrentarse al mundo laboral, universitario y en general al
mundo tecnológico.
Resolución de triángulos rectángulos y problemas en contexto 2.1.4
Autor: Héctor Ernesto Gómez Ramírez (2013)
Objetivo: Diseñar e implementar una estrategia didáctica basada en el aprendizaje
significativo y los problemas en contexto para la enseñanza de la resolución de triángulos
rectángulos.
Metodología: El presente trabajo fue una propuesta desarrollada en la Institución Educativa
Román Gómez del municipio de Marinilla en el grado 10 – C. Este fue el grupo experimental,
para mejorar en la enseñanza aprendizaje de la trigonometría y usos posteriores en otras
áreas del conocimiento, desde la definición de las razones trigonométricas y su aplicación en
la resolución de triángulos rectángulos y problemas en contexto. La propuesta fue mediada
en el marco del aprendizaje significativo, la resolución de problemas en contexto y el uso de
algunas herramientas TIC. Para desarrollar la propuesta de trabajo se elaboró una prueba
diagnóstica aplicada al grupo experimental y al grupo control (con el grupo control, se
orientaron las clases en forma tradicional), con base en los resultados obtenidos se diseñó e
implemento una unidad didáctica para el tópico de resolución de triángulo rectángulo, que, a
partir de elementos básicos y referentes históricos, busco conjugar la mediación de la
solución de problemas en contexto y algunas herramientas TIC.
Conclusiones: En esta práctica docente se mostró que el abordaje de la resolución de
triángulos rectángulos, mediada por el planteamiento de problemas en contexto y la
incorporación de las TIC, proporcionó un acercamiento a un aprendizaje significativo y una
sustancial ganancia en la apropiación de conceptos y su correcta aplicación.
Los resultados obtenidos, en la apropiación de la resolución de triángulos rectángulos y
problemas en contexto, validan la estrategia considerada en el desarrollo del trabajo, lo que
permite concluir, que los educandos se apropian de la resolución de triángulos rectángulos y
problemas en contexto, si se hace un trabajo previo, direccionado a refrescar y dar elementos
que apunten hacia este objetivo, en lugar de dar temas sueltos y sin mostrar las relaciones de
unos con otros, como frecuentemente se hace en pedagogía tradicional.
22
Diseño e implementación de un curso virtual de 2.1.5
trigonometría básica utilizando redes sociales y otras
herramientas TIC: estudio de caso en grados undécimo de dos
colegios oficiales de Puerto Asís.
Autor. Alexandro Damián Solarte Pérez (2014)
Objetivo: Analizar el impacto en los procesos de enseñanza aprendizaje, para la
consecución de conocimientos, habilidades y valores; de un curso virtual de
trigonometría básica haciendo uso de las redes sociales y otras herramientas TIC.
Metodología: Esta investigación es de tipo cuantitativo ya que se hace una prueba
diagnóstica antes de empezar el Curso Virtual de Trigonometría Básica y una Evaluación
Final al terminar el mismo, con los resultados obtenidos se hace un análisis estadístico
para saber si el Curso Virtual influyó o no en el aprendizaje de los conceptos básicos de
Trigonometría en los estudiantes.
Se diseñó un curso virtual sobre los conceptos básicos de la trigonometría el cual se
implementó utilizando como plataforma de notificación la red social Facebook desde la
cual se redirige al estudiante a un mapa conceptual realizado en CmapTools y desde este
se muestran los enlaces a las Guías de estudio cargadas como documentos PDF y a las
evaluaciones cargadas como formularios en Google Drive, a las aplicaciones en Geogebra
y a los videos subidos en Youtube.
Conclusiones: El Curso Virtual de Trigonometría básica utilizando Redes Sociales tuvo un
gran impacto en los procesos de aprendizaje, como lo demuestra el estudio estadístico
realizado y los resultados obtenidos por los participantes en la Prueba Diagnóstica y la
Evaluación Final.
Es importante concientizar a los estudiantes en ser parte activa en su proceso de aprendizaje,
esto se logra al incentivar la participación de los mismos.
23
Diseño de una propuesta metodológica que contribuya en la 2.1.6
enseñanza de las funciones de variables reales aplicadas a
fenómenos físicos, a estudiantes de grado undécimo, de la
institución educativa Santa Elena, en el corregimiento de
Santa Elena, Medellín, Colombia.
Autor: Jorge Mario López González (2016)
Objetivo: Diseñar una propuesta metodológica que utilizando algunos fenómenos físicos
ayuden a mejorar el aprendizaje de las funciones de variables reales, en el grado undécimo
de la I.E. Santa Elena.
Metodología: En esta tesis se hizo un estudio cuantitativo de datos tomados de test
preparados para los estudiantes, que mostraron los avances desarrollados durante el tiempo
que duro el estudio de los aprendizajes significativos observados u obtenidos. Se quiere
demostrar que usar métodos de trabajo en la enseñanza en los que se muestran aplicaciones
físicas, ayuden a desarrollar un conocimiento muy significativo en el tema de funciones de
variable real.
Para organizar mejor el trabajo, desarrollamos un enfoque cuantitativo, en los que
mostraremos gráficas, tablas y cuadros comparativos de los aprendizajes de último grado de
enseñanza media.
Conclusiones: Existen muchas virtudes en el sistema utilizado en la intervención que sirven
para tener en cuenta y buscar las alternativas que perfeccionen la metodología expuesta en el
presente trabajo, además, debemos determinar algunas estrategias que mejoren en ciertos
aspectos como son el desarrollo de destrezas de operatividad, mejorar los conceptos es
fundamental, esto quiere decir en resumidas cuentas, que debemos analizar la metodología
para ayudar en una reconstrucción de métodos de enseñanza realmente eficientes para el
mundo de hoy y para nuestros jóvenes.
Es evidente que en los resultados de la prueba final comparando los grupos de control y
experimental, que el segundo tiene un nivel mayor, por lo tanto podemos concluir que en
buena medida la estrategia de enseñanza aprendizaje cumplió con el objetivo trazado en el
24
cual pretendíamos realizar una intervención buscando mejorar los aprendizajes de los
estudiantes.
La resolución de triángulos y sus aplicaciones. Una unidad 2.1.7
didáctica para estudiantes de grado décimo.
Autor: Edwin Fonseca Montero (2016)
Objetivo: Diseñar una unidad didáctica sobre la resolución de triángulos y sus aplicaciones
en diferentes contextos, para desarrollarla con estudiantes de grado décimo de la institución
educativa Milcíades Castillo Costa
Metodología: El presente trabajo pretende contribuir al proceso de enseñanza de la
trigonometría en grado décimo, sobre todo en el tópico de la resolución de triángulos y sus
aplicaciones. Para esto proponemos diseñar y desarrollar una unidad didáctica, que involucre
problemas del entorno de los estudiantes, de esta forma aclarar los conceptos y aumentar el
interés por aprender matemáticas. Se realizarán trabajos de campo, donde usaremos
aparatos de fácil elaboración para que el estudiante compruebe con su experiencia como se
formaron algunos de los conceptos fundamentales de la trigonometría.
Conclusiones: trabajar en problemas de contexto permitió que el estudiante tomara las
clases con mayor interés. El apartarse de las guías de textos tradicionales o cambiarlas por
situaciones del propio medio, permitió que el estudiante comprendiera en buena forma las
relaciones existentes entre lo geométrico y lo algebraico, manejando aceptablemente
elementos del lenguaje gráfico, verbal y simbólico, muy importantes en matemáticas.
El cambio de los ambientes escolares promovió un mayor compromiso en los procesos de
enseñanza, los estudiantes pasaron de ser un elemento estático y poco analítico a ser más
participativos, por medio de experiencias aprendieron a manejar recursos de fácil
adquisición en el medio, para la comprensión de conceptos.
En otras universidades de Colombia:
25
Aproximación a la enseñanza de las razones trigonométricas a 2.1.8
través del trabajo experimental en matemáticas en el grado
décimo.
Autor: Gustavo Adolfo Rueda Upeguí. Universidad del Valle (2012)
Objetivo: Elaborar una serie de tareas para la enseñanza de las razones trigonométrica
dirigida a estudiantes de grado décimo y docente de matemáticas en formación que involucre
el uso de manipulativos.
Metodología: La metodología adoptada para analizar el proceso de resolución de problemas
es de tipo cualitativo de corte descriptivo – interpretativo.
El problema identificado para el trabajo resulta de un análisis de las investigaciones recientes
en didáctica de las matemáticas en relación con la enseñanza de la trigonometría en la
educación media. De esta manera, propone una estrategia de elaboración de actividades y
tareas para la enseñanza de las razones trigonométricas a partir del uso de manipulativos,
bajo el supuesto que los manipulativos ofrecen la posibilidad de contextualizar las
abstracciones matemáticas y facilitar el aprendizaje.
Conclusiones: Al momento de sustentar una serie de tarea que involucre la implementación
de manipulativos en el contexto del trabajo experimental requiere tomar en cuenta aspectos
centrales a las propias potencialidades y restricciones en el uso del recurso manipulativo.
Las secuencias didácticas con trabajo experimental son pertinentes, cuando se requiere
romper la tendencia común de enseñanza de la trigonometría y se desea resaltar un
aprendizaje por exploración o experimentación, donde se pone de manifiesto unas
condiciones que involucran la participación activa de todos los estudiantes en búsqueda de
una aproximación a las razones trigonométricas.
La modelación con tecnología en el estudio de la función seno 2.1.9
Autor: Juan Fernando Molina Toro. Universidad de Medellín (2013)
26
Objetivo: Caracterizar algunos aspectos conceptuales de la función trigonométrica seno que
producen los estudiantes cuando abordan su estudio a través de la modelación matemática.
Metodología: La revisión de los referentes teóricos sobre Modelación en Educación
Matemática y el constructo teórico Humans-with-Media, me permitieron elaborar una
concepción de la modelación en matemática vinculada a procesos de experimentación y
simulación con tecnología.
En la convergencia entre el referente teórico, la pregunta de investigación, y siguiendo
algunas recomendaciones desde la literatura, elegí el estudio de caso como método que
permite describir los elementos alrededor de los cuales, surgen los conceptos matemáticos
enmarcados en el proceso de modelación matemática que se desarrolló para este trabajo.
Los resultados, en resonancia con una construcción teórica de modelación – graficación,
muestran cómo se van tejiendo vínculos entre unos objetos en movimiento dentro de una
simulación, y unas representaciones gráficas desde las cuales subyacen nociones de
amplitud, período, dependencia e independencia, propias de la función seno, bajo la cual se
realizó un modelo para la construcción de la experiencia.
Conclusiones: El análisis de gráficas permitió que los estudiantes vincularan movimientos
en una y dos dimensiones, con representaciones visuales conocidas, que aunque habían
trabajado en el grado décimo, carecía de elementos que les ayudara a comprender por qué se
forma esta representación y que particularidades tiene un fenómeno que se represente con la
misma, en este sentido propongo a partir de esta investigación que el trabajo de gráficas de
las funciones trigonométricas no se reduzca sólo a la ubicación y unión de puntos; sino que
su estudio vincule también los escenarios dinámicos que permitan ver la naturaleza de la
formación de las mismas y la variación que en ellas se produce cuando los elementos que la
fundamentan no permanecen siempre constantes, aportando desde este tipo de situaciones
al desarrollo del pensamiento variacional.
27
Secuencias didácticas para el aprendizaje de las razones 2.1.10
trigonométricas.
Autor: Martha Piedad Bravo Pineda, Norman Fidel González Carabalí, Absalón Paz
Charria. Universidad Católica de Manizales (2014)
Objetivo: Fortalecer el aprendizaje de las funciones trigonométricas a través de secuencias
didácticas en los estudiantes de décimo grado (10°), en la Corporación Educativa Adventista.
Metodología: La investigación realizada es de tipo cualitativo, ya que se evidencian
dificultades en el aprendizaje de las funciones trigonométricas, esta se logró detectar gracias
a la recolección de datos que se pudieron obtener a través de encuestas, diálogos con los
estudiantes, diálogos con los profesores, la realización de un test y entrevistas.
Taylor & Bogdan (1987) definen la metodología cualitativa en su más amplio sentido a la
investigación que produce datos descriptivos: las propias palabras de las personas, habladas
o escritas, y la conducta observable.
El enfoque cualitativo logra orientar al investigador a realizar preguntas e hipótesis frente a
datos recopilados y de esta manera poder centrar su definición.
Conclusiones: La apropiación y diseño de recursos didácticos para facilitar el aprendizaje de
las razones trigonométricas son procedimientos y métodos adecuados para una enseñanza
directa que permite integrar el proceso de aprendizaje de los estudiantes el cual conduce a
obtener un aprendizaje significativo y de esta manera generar un mayor rendimiento
académico.
Los estudiantes que han realizado el proceso de aprendizaje con las ayudas didácticas
demuestran mayor interés y motivación para el estudio y el aprendizaje de los temas
relacionados con el objetivo de lograr el propósito de alcanzar los resultados esperados.
Reflexiones sobre el uso de antecedentes:
En la búsqueda de antecedentes se han encontrado varios trabajos relacionados
directamente con la enseñanza y el aprendizaje de la trigonometría, en cuanto a su
significado y su aplicación, los trabajos cuentan con propiedades muy similares en tanto a
que los objetivos apuntan a lograr aprendizajes duraderos y significativos en los estudiantes.
28
2.2 Marco Teórico
En este marco teórico, se presenta la teoría del aprendizaje significativo de Ausubel, aspectos
socio cognitivos del aprendizaje de Vygotsky, aprendizaje en grupo, y el uso de TIC en el aula,
los cuales usaremos como fundamento para la ejecución de la investigación.
Situaciones Didácticas 2.2.1
La teoría de Brousseau plantea una tipología de situaciones didácticas. Cada una de ellas
debería desembocar en una situación a-didáctica, es decir, en un proceso de confrontación
del estudiante ante un problema dado, en el cual construirá su conocimiento. Dentro de las
situaciones didácticas tenemos:
La Situación Acción: Que consiste básicamente en que el estudiante trabaje
individualmente con un problema, aplique sus conocimientos previos y desarrolle un
determinado saber. Es decir, el estudiante individualmente interactúa con el medio
didáctico, para llegar a la resolución de problemas y a la adquisición de
conocimientos. Dentro de las condiciones que una situación acción debería reunir
para desembocar en una situación a-didáctica tenemos, por ejemplo, la formulación
del problema: éste debe ser del interés del estudiante, además el tipo de pregunta
formulada debe ser tal que no tenga respuesta inmediata, de modo que represente
realmente un problema para el estudiante.
Este comportamiento debe darse sin la intervención del docente. Empero, si bien el
proceso se lleva a cabo sin la intervención del docente, no implica que éste se aísle del
proceso. Pues es el docente quien prepara el medio didáctico, plantea los problemas y
enfrenta al estudiante a ese medio didáctico.
La Situación De Formulación: Consiste en un trabajo en grupo, donde se requiere la
comunicación de los estudiantes, compartir experiencias en la construcción del
conocimiento. Por lo que en este proceso es importante el control de la comunicación
de las ideas.
La situación formulación es básicamente enfrentar a un grupo de estudiantes con un
problema dado. En ese sentido hay un elemento que menciona Brousseau, esto es, la
necesidad de que cada integrante del grupo participe del proceso, es decir, que todos
se vean forzados a comunicar las ideas e interactuar con el medio didáctico.
29
La Situación De Validación: Es en donde, una vez que los estudiantes han
interactuado de forma individual o de forma grupal con el medio didáctico, se pone a
juicio de un interlocutor el producto obtenido de esta interacción. Es decir, se valida
lo que se ha trabajado, se discute con el docente acerca del trabajo realizado para
cerciorar si realmente es correcto.
Finalmente, a pesar de no constituir una situación a-didáctica, la institucionalización
del saber, representa una actividad de suma importante en el cierre de una situación
didáctica.
En ésta los estudiantes ya han construido su conocimiento y, simplemente, el docente
en este punto retoma lo efectuado hasta el momento y lo formaliza, aporta
observaciones y clarifica conceptos ante los cuales en la situación a-didáctica se tuvo
problemas. Es presentar los resultados, presentar todo en orden, y todo lo que estuvo
detrás de la construcción de ese conocimiento (situaciones didácticas anteriores).
Teoría del aprendizaje significativo 2.2.2
Ausubel plantea que el aprendizaje del alumno depende de la estructura cognitiva previa que
se relaciona con la nueva información, debe entenderse por "estructura cognitiva", al
conjunto de conceptos, ideas que un individuo posee en un determinado campo del
conocimiento, así como su organización. En el proceso de orientación del aprendizaje, es de
vital importancia conocer la estructura cognitiva del alumno; no sólo se trata de saber la
cantidad de información que posee, sino cuales son los conceptos y proposiciones que
maneja, así como de su grado de estabilidad. Los principios de aprendizaje propuestos por
Ausubel, ofrecen el marco para el diseño de herramientas metacognitivas que permiten
conocer la organización de la estructura cognitiva del educando, lo cual permitirá una mejor
orientación de la labor educativa, ésta ya no se verá como una labor que deba desarrollarse
con "mentes en blanco" o que el aprendizaje de los alumnos comience de "cero", pues no es
así, sino que, los educandos tienen una serie de experiencias y conocimientos que afectan su
aprendizaje y pueden ser aprovechados para su beneficio.
30
Resolución de Problemas 2.2.3
Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos parece
importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema". Para resolver un
ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un
problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que
no había ensayado antes para dar la respuesta. Esta característica de dar una especie de paso
creativo en la solución no importa que tan pequeño sea, es lo que distingue un problema de
un ejercicio. Sin embargo, es prudente aclarar que esta distinción no es absoluta; depende en
gran medida del estadio mental de la persona que se enfrenta a ofrecer una solución: Para un
niño pequeño puede ser un problema encontrar cuánto es 3 + 2. O bien, para niños de los
primeros grados de primaria responder a la pregunta ¿Cómo repartes 96 lápices entre 16
niños de modo que a cada uno le toque la misma cantidad? le plantea un problema, mientras
que a uno de nosotros esta pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario: "dividir ". Hacer
ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las matemáticas: Nos ayuda a aprender
conceptos, propiedades y procedimientos -entre otras cosas-, los cuales podremos aplicar
cuando nos enfrentemos a la tarea de resolver problemas. Como apuntamos anteriormente,
la más grande contribución de Polya en la enseñanza de las matemáticas es su Método de
Cuatro Pasos para resolver problemas. A continuación, presentamos un breve resumen de
cada uno de ellos y sugerimos la lectura del libro "Cómo Plantear y Resolver Problemas" de
este autor (Molina F., 2017).
COMPRENDER EL PROBLEMA
¿Entiendes todo lo que se dice?
¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
¿Distingues cuáles son los datos?
¿Sabes a qué quieres llegar?
¿Hay suficiente información?
¿Hay información extraña?
CONFIGURAR UN PLAN
¿Este problema es similar a algún otro que hayas resuelto antes?
31
¿Se podría usar alguna de las siguientes estrategias?
a. Ensayo y error
b. Uso de una variable
c. Buscar un patrón
d. Hacer una lista
e. Resolver un problema similar más simple
f. Hacer una figura
g. Hacer un diagrama
h. Usar razonamiento directo o indirecto
i. Usar las propiedades de los números
j. Trabajar hacia atrás
k. Usar casos
l. Resolver una ecuación
m. Buscar una formula
n. Usar un modelo
o. Usar análisis dimensional
p. Identificar sub-metas
q. Usar coordenadas
r. Usar simetría
EJECUTAR EL PLAN
Implementar la estrategia escogida hasta solucionar el problema
¿Es necesario cambiar de estrategia?
¿La nueva estrategia te permite llegar al resultado?
VISION RETROSPECTIVA
¿Es tu solución correcta?
¿la respuesta satisface lo establecido en el problema?
¿Se advierte una solución más sencilla?
¿Se puede extender la solución a un problema más general?
32
Estos 4 pasos permiten al estudiante ir dando sentido al problema, identificar lo que se le
está pidiendo, cual es el problema, el sentido de la pregunta y diseñar una estrategia
adecuada que le permita con base en los conocimientos adquiridos, interpretar su
respuesta y volverla análoga en la implementación de la solución de otros problemas o
ejercicios de igual o mayor dificultad, permitiendo el desarrollo de los procesos de
pensamiento en los estudiantes. (Molina F., 2017).
Aspectos Socio Cognitivos del Aprendizaje 2.2.4
Comprender el papel del entorno social en el aprendizaje del individuo es una de las
ambiciones mayores de la psicología de la educación.
Las corrientes de investigación que comparten la tesis de que la interacción del individuo con
el medio social es determinante de sus adquisiciones cognitivas, se apartan de los
acercamientos que privilegian la dimensión intra individual del aprendizaje (como la teoría
piagetiana). Al hacer explícita la influencia de variables sociales y culturales en el
funcionamiento cognitivo del individuo, las corrientes socio cognitivas renueva la reflexión
sobre la organización de las situaciones escolares. (Moreno y Waldegg, 2004)
2.2.4.1 Modelo Sociocultural
Las tesis desarrolladas por Vygotsky sobre la construcción social de las funciones cognitivas
tienen hoy día una repercusión importante en la psicología del desarrollo. Igualmente,
inspiran el campo de la educación por el papel relevante que atribuyen a la intervención del
adulto en la progresión de los aprendizajes del estudiante.
Vygotsky inscribe la pregunta sobre el desarrollo cognitivo en una perspectiva a la vez
histórica y cultural. La tesis de la internalización de las capacidades humanas insiste en el
hecho de que, en el origen del desarrollo, los conocimientos que se van a adquirir son
exteriores al individuo y están materializados en las obras humanas: la literatura, las obras
de arte, el lenguaje y demás sistemas semióticos de representación. El desarrollo cognitivo se
concibe entonces como la apropiación, por parte del individuo, de las actividades humanas
depositadas en el mundo de la cultura. El mundo social influye en el sujeto a través de otros
sujetos, de los objetos socioculturales, de las prácticas que han sido creadas por generaciones
33
anteriores. Dos componentes tienen un papel primordial en este proceso: los sistemas
semióticos de representación y la interacción social. (Moreno y Waldegg, 2004)
2.2.4.2 Zona de Desarrollo Próximo
Considerar que el aprendizaje es la condición del desarrollo no significa que cualquier
aprendizaje es posible en cualquier momento. La tesis de Vygotsky significa sobre todo que
las capacidades de aprendizaje de un niño no deben ser confundidas con el nivel cognitivo
que tiene en un momento dado. En un dominio cualquiera, existe un espacio potencial de
progreso en el que las capacidades individuales pueden ser sobrepasadas si se reúnen ciertas
condiciones. La asistencia del otro es una de estas condiciones. Este potencial de aprendizaje
que se actualiza en la interacción social, define uno de los conceptos centrales de la teoría de
Vygotsky: la zona de desarrollo próximo. La zona de desarrollo próximo es una componente
crucial del proceso de desarrollo porque “presagia” y prepara lo que el niño más tarde
realizará por sí solo: “lo que un niño puede hacer hoy en colaboración con otro, lo podrá
hacer solo mañana” (Vygotsky, 1986). El aprendizaje antecede al desarrollo: la zona de
desarrollo próximo a seguir a la vinculación entre ambos.
Favorecer las adquisiciones en el niño significa para el adulto llevar a cabo una transición de
la actividad tutelar (o de conducción externa) a la actividad autónoma (de auto–conducción).
Para hacer esto, debe ajustar los contenidos y las condiciones de instrucción, no a las
capacidades actuales del niño, sino a su potencial de progreso. Así, para el conjunto de las
adquisiciones, el adulto (en particular, el maestro) tiene la tarea compleja de trabajar sobre
la base de la experiencia y de las posibilidades del niño. Relacionadas con la enseñanza
escolar, estas orientaciones designan las interacciones maestro–alumno como el eje esencial
de la organización pedagógica del aula (Moreno y Waldegg, 2004).
Aprendizaje en grupo 2.2.5
De manera general, los resultados de las investigaciones favorecen la conclusión según la
cual el trabajo colectivo es un factor de progreso cognitivo. Sin embargo, en ciertas
situaciones de co–acción, los aportes de cada uno de los miembros del grupo son menores
que las de los sujetos cuando trabajan solos. Esto ocurre cuando en situaciones de
cooperación, la acción colectiva corresponde a la adición de las contribuciones aisladas de los
34
participantes. Con cierta frecuencia aparecen condiciones de orden social que son difíciles de
trasladar a los contextos escolarizados tradicionales. En el plano cognitivo, por ejemplo, son
raras las nociones que pueden provocar una oposición de puntos de vista. Esto se debe, en
parte, a los estrictos controles que se ejercen durante el desarrollo de las actividades
consideradas como “educativas”. Enfaticemos que esto, más que una limitación del enfoque
articulado alrededor de la presencia de un conflicto cognitivo es resultado de la inercia del
sistema educativo más tradicional, que no favorece la discrepancia (véanse por ejemplo los
estudios realizados por Cobb y Yackel, PME Brasil, 19, sobre las normas “socio matemáticas”
del salón de clase).
En suma, si bien numerosos resultados revelan el interés del trabajo colectivo para mejorar
las competencias cognitivas individuales, no hay que idealizar su papel y sus efectos en el
contexto escolar cotidiano, por lo menos mientras estos contextos no sufran modificaciones
de fondo. Sería ilusorio, en las actuales condiciones, considerar que el simple hecho de “poner
a trabajar” juntos a los alumnos garantiza automáticamente un progreso, si no se modifican
sustancialmente las relaciones y los acuerdos de trabajo en el salón de clases. (Moreno y
Waldegg 2004).
Uso de TIC en el aula 2.2.6
El uso de TIC en el aula de clase se ha popularizado tanto como el uso de los televisores en las
casas desde la década del 50 o tanto como la radio a partir de 1900. Recién salieron los radios
se creyó que nadie volvería a leer un libro o a contar una historia, recién salieron los TV se
creyó que pronto desaparecería el teatro y las visitas a los museos o sitios históricos, nada de
eso sucedió, más aún con estos medios tecnológicos al alcance, se logró mayor cobertura y se
garantizó que un número más significativo de ciudadanos tuviera acceso a la educación.
La primaria por radio y el bachillerato por TV, hicieron presencia en los campos colombianos
y posiblemente permitieron que una población aislada o marginada, se acercara a un mundo
que les había sido negado.
Hoy día tenemos una revolución sin precedentes, la de los computadores y dispositivos
móviles; con esta tecnología el Internet. El mundo se hizo más global y la enseñanza se
posibilitó en todos o casi todos los rincones del planeta, ¿quién hoy día no ha buscado
respuestas en Internet?
35
Sin embargo, se creyó que era la panacea, que los portátiles, dispositivos móviles e Internet,
remplazarían a los profesores, nada más lejos de la realidad, posiblemente remplazaron los
datos que se imparten sin significado, permitieron mejorar los niveles de información, pero
no remplazaron a nadie, todo lo contrario, mejoraron la posibilidad de optimizar los procesos
de enseñanza-aprendizaje. Como lo plantea el MEN “…es bien sabido, las TIC no
remplazan al maestro. Por el contrario, lo convierten en un actor fundamental dentro del
aula de clases que facilita y orienta la formulación de preguntas, el planteamiento de
problemas, la veracidad de la información, la confianza del estudiante, el aprendizaje de
los errores, el mejoramiento continuo, el desempeño de los estudiantes frente a
situaciones de difícil resolución, entre otros. En ese rol, el docente desarrolla aplicaciones
que le permiten acercarse a sus estudiantes y diseñar metodologías de fácil interacción
con los estudiantes, lo que incluso lo lleva a aprender de sus estudiantes.”
Al respecto el documento del MEN sobre uso de TIC en el aula afirma… las TIC han sido
reconocidas internacionalmente, como una herramienta que puede convertir en accesible la
educación a toda la población, al tiempo que impulsa el mejoramiento del desempeño de los
estudiantes en las áreas básicas e incluso, preparan a los jóvenes y niños con altos estándares
de competitividad tecnológica para que enfrenten los desafíos de la economía actual, entre
otras ventajas. Por otro lado, el impacto del uso de TIC ha sido innovador, como lo plantea
Morin acerca de la innovación innovar es el arte de aplicar, en condiciones nuevas, en un
contexto concreto y con un objetivo preciso, las ciencias, técnicas, etc. y es precisamente eso
lo que permite la implementación de las TIC en el aula de clase, logrando que los niños y
niñas encuentren un lenguaje ameno, divertido, emocionante cercano a su entorno y en las
condiciones naturales en que se desenvuelve (Rozo, 2017).
Reflexiones Sobre El Uso Del Marco Teórico:
Papel Del Docente
Es importante tener en cuenta la importancia del trabajo del docente, en el desarrollo
de la clase, la planeación de los contenidos que incluyen consideraciones y toma de
decisiones acerca de lo que se debe enseñar, reflexiones sobre el conocimiento
matemático para analizarlo y convertirlo en objeto de enseñanza, y resaltar la
importancia de tener los fundamentos teóricos a implementar en el aula.
Papel Del Estudiante
36
Partiendo de las teorías y tipos de aprendizaje descritos en el presente trabajo, se
pretende construir el concepto y significado de las funciones trigonométricas a partir
de la resolución de problemas, en cada estudiante de manera que desarrollen los
procesos de aprendizaje generando los nuevos conocimientos. Para que se lleve a
cabo esta construcción se dan herramientas que permiten a través del trabajo en
grupo la interacción social en el aula para construir conocimiento haciendo uso de
TICS
Papel De La Tecnología
El uso de los medios de comunicación e información y las nuevas tecnologías en las
prácticas pedagógicas es un recurso indispensable para desarrollar nuevas
competencias en los estudiantes y acercarlos a las dinámicas del mundo
contemporáneo. El reto es pasar de la enseñanza al aprendizaje y emplear los medios
y las nuevas tecnologías al servicio de un nuevo modelo de aprendizaje. No se trata
solamente de incorporar la tecnología como recurso para promover la educación o el
desarrollo; son nuestra propia visión y acción educativas las que marcan la diferencia
(MEN, 2005).
El impacto de las nuevas tecnologías en el proceso de enseñanza aprendizaje
específicamente de las matemáticas a través del uso de computadoras y software
educativos hace más accesible e importante las diferentes temáticas de estudio para
los educandos, amplia el campo de indagación en el que actúan las estructuras
cognitivas que se construyen, enriquecen el currículo con nuevos pragmáticas y lo
llevan a evolucionar (MEN, 1999)
37
2.3 Marco Conceptual
Situación Problema 2.3.1
Definiremos una situación problemática como un espacio de interrogantes que posibilite,
tanto la conceptualización como la simbolización y aplicación significativa de los conceptos
para plantear y resolver problemas de tipo matemático.
Competencia 2.3.2
Una primera respuesta la encontramos a partir de diversos diccionarios:
El diccionario de uso del español de María Moliner se refiere a la persona
‘competente’ como al “conocedor de cierta ciencia o materia, o experto o apto en la cosa que
se expresa o a la que se refiere el nombre afectado por ‘competente’”.
La competencia se relaciona con la aptitud, capacidad, disposición, “circunstancia de servir
para determinada cosa”. Una persona apta, o capaz, es “útil en general para determinado
trabajo, servicio o función”.
El diccionario Penguin de Psicología define “competencia” como “la capacidad de
realizar una tarea o de finalizar algo con éxito”. Pone en juego la noción de ‘capacidad’, que se
refiere tanto al nivel general de inteligencia de alguien como a la cualidad o destreza que
tiene esa persona para hacer una cosa particular.
Por otra parte, los Estándares Básicos de Competencias, habla del conjunto de conocimientos,
habilidades, actitudes, comprensiones y disposiciones cognitivas, socioafectivas y
psicomotoras apropiadamente relacionadas entre sí para facilitar el desempeño flexible,
eficaz y con sentido de una actividad en contextos relativamente nuevos y retadores.
Comprensión 2.3.3
El diccionario de uso del español de María Moliner define la comprensión como
“entendimiento” o “facultad de comprender”. Comprender lo considera
38
“entender; percibir el significado de algo”, “percibir las ideas contenidas en algo
dicho o escrito”.
Por tanto, cuando decimos “A comprende la técnica t que permite realizar la tarea
T”, queremos decir que A sabe por qué dicha técnica es adecuada, conoce su
ámbito de validez y la relaciona con otras técnicas.
Competencia y comprensión se complementan mutuamente:
La competencia atiende al componente práctico, mientras que la comprensión al
componente teórico del conocimiento.
La competencia pone en juego conocimiento, nociones de competencia y
comprensión
La comprensión se entiende explícitamente como relacionada con los desempeños de
comprensión, que son actuaciones, actividades, tareas y proyectos en los cuales se muestra la
comprensión adquirida y se consolida y profundiza la misma. En las dimensiones de la
comprensión se incluye no sólo la más usual de los contenidos y sus redes conceptuales, sino
que se proponen los aspectos relacionados con los métodos y técnicas, con las formas de
expresar y comunicar lo comprendido y con la praxis cotidiana, profesional o científico
técnica en que se despliegue dicha comprensión.
Proceso Cognitivo 2.3.4
La capacidad que permite desarrollar conocimientos recibe el nombre de cognición. Se trata
de la habilidad para asimilar y procesar datos, valorando y sistematizando la información a la
que se accede a partir de la experiencia, la percepción u otras vías.
Los procesos cognitivos, por lo tanto, son los procedimientos que lleva a cabo el ser humano
para incorporar conocimientos. En dichos procesos intervienen facultades muy diversas,
como la inteligencia, la atención, la memoria y el lenguaje. Esto hace que los procesos
cognitivos puedan analizarse desde diferentes disciplinas y ciencias.
La percepción, por un lado, lo que nos permite es, a través de los sentidos, organizar los
estímulos y favorecer la continuación del proceso cognitivo en cuestión. En este caso, la
persona en cuestión no sólo está influida por las propiedades que definen a los estímulos en
sí, sino también por su voluntad e incluso por sus propios intereses.
39
La Formulación, tratamiento y Resolución de Problemas 2.3.5
Este es un proceso presente a lo largo de todas las actividades curriculares de matemáticas y
no una actividad aislada y esporádica; más aún, podría convertirse en el principal eje
organizador del currículo de matemáticas, porque las situaciones problema proporcionan el
contexto inmediato en donde el quehacer matemático cobra sentido, en la medida en que las
situaciones que se aborden estén ligadas a experiencias cotidianas y, por ende, sean más
significativas para los alumnos. Estos problemas pueden surgir del mundo cotidiano cercano
o lejano, pero también de otras ciencias y de las mismas matemáticas, convirtiéndose en ricas
redes de interconexión e interdisciplinariedad.
La modelación 2.3.6
Un modelo puede entenderse como un sistema figurativo mental, gráfico o tridimensional
que reproduce o representa la realidad en forma esquemática para hacerla más
comprensible. Es una construcción o artefacto material o mental, un sistema a veces se dice
también “una estructura” que puede usarse como referencia para lo que se trata de
comprender; una imagen analógica que permite volver cercana y concreta una idea o un
concepto para su apropiación y manejo. Un modelo se produce para poder operar
transformaciones o procedimientos experimentales sobre un conjunto de situaciones o un
cierto número de objetos reales o imaginados, sin necesidad de manipularlos o dañarlos,
para apoyar la formulación de conjeturas y razonamientos y dar pistas para avanzar hacia las
demostraciones. En ese sentido, todo modelo es una representación, pero no toda
representación es necesariamente un modelo, como sucede con las representaciones
verbales y algebraicas que no son propiamente modelos, aunque pueden estarse
interpretando en un modelo. Análogamente, todo modelo es un sistema, pero no todo sistema
es un modelo, aunque cualquier sistema podría utilizarse como modelo, pues esa es la
manera de producir nuevas metáforas, analogías, símiles o alegorías.
La Comunicación 2.3.7
A pesar de que suele repetirse lo contrario, las matemáticas no son un lenguaje, pero ellas
pueden construirse, refinarse y comunicarse a través de diferentes lenguajes con los que se
expresan y representan, se leen y se escriben, se hablan y se escuchan. La adquisición y
40
dominio de los lenguajes propios de las matemáticas ha de ser un proceso deliberado y
cuidadoso que posibilite y fomente la discusión frecuente y explícita sobre situaciones,
sentidos, conceptos y simbolizaciones, para tomar conciencia de las conexiones entre ellos y
para propiciar el trabajo colectivo, en el que los estudiantes compartan el significado de las
palabras, frases, gráficos y símbolos, aprecien la necesidad de tener acuerdos colectivos y aun
universales y valoren la eficiencia, eficacia y economía de los lenguajes matemáticos.
El razonamiento 2.3.8
El desarrollo del razonamiento lógico empieza en los primeros grados apoyado en los
contextos y materiales físicos que permiten percibir regularidades y relaciones; hacer
predicciones y conjeturas; justificar o refutar esas conjeturas; dar explicaciones coherentes;
proponer interpretaciones y respuestas posibles y adoptarlas o rechazarlas con
argumentos y razones. Los modelos y materiales físicos y manipulativos ayudan a
comprender que las matemáticas no son simplemente una memorización de reglas y
algoritmos, sino que tienen sentido, son lógicas, potencian la capacidad de pensar y son
divertidas. En los grados superiores, el razonamiento se va independizando de estos
modelos y materiales, y puede trabajar directamente con proposiciones y teorías,
cadenas argumentativas e intentos de validar o invalidar conclusiones, pero suele
apoyarse también intermitentemente en comprobaciones e interpretaciones en esos
modelos, materiales, dibujos y otros artefactos.
La Formulación, Comparación y Ejercitación de 2.3.9
Procedimientos
Este proceso implica comprometer a los estudiantes en la construcción y ejecución segura y
rápida de procedimientos mecánicos o de rutina, también llamados “algoritmos”, procurando
que la práctica necesaria para aumentar la velocidad y precisión de su ejecución no oscurezca
la comprensión de su carácter de herramientas eficaces y útiles en unas situaciones y no en
otras y que, por lo tanto, pueden modificarse, ampliarse y adecuarse a situaciones nuevas, o
aun hacerse obsoletas y ser sustituidas por otras.
41
Para analizar la contribución de la ejecución de procedimientos rutinarios en el desarrollo
significativo y comprensivo del conocimiento matemático es conveniente considerar los
mecanismos cognitivos involucrados en dichos algoritmos. Uno de estos mecanismos es la
alternación de momentos en los que prima el conocimiento conceptual y otros en los que
prima el procedimental, lo cual requiere atención, control, planeación, ejecución, verificación
e interpretación intermitente de resultados parciales.
Tipos de Pensamiento Matemático 2.3.10
Los aspectos referidos anteriormente con respecto a la expresión ser matemáticamente
competente muestran la variedad y riqueza de este concepto para la organización de
currículos centrados en el desarrollo de las competencias matemáticas de manera que éstas
involucren los distintos procesos generales descritos en la sección anterior. Estos procesos
están muy relacionados con las competencias en su sentido más amplio explicado arriba, y
aun en el sentido restringido de “saber hacer en contexto”, pues ser matemáticamente
competente requiere ser diestro, eficaz y eficiente en el desarrollo de cada uno de esos
procesos generales, en los cuales cada estudiante va pasando por distintos niveles de
competencia. Además de relacionarse con esos cinco procesos, ser matemáticamente
competente se concreta de manera específica en el pensamiento lógico y el pensamiento
matemático, el cual se subdivide en los cinco tipos de pensamiento propuestos en los
Lineamientos Curriculares: el numérico, el espacial, el métrico o de medida, el aleatorio o
probabilístico y el variacional.
El pensamiento espacial y los sistemas geométricos 2.3.11
El pensamiento espacial, entendido como “… el conjunto de los procesos cognitivos mediante
los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del
espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones o
representaciones materiales” contempla las actuaciones del sujeto en todas sus dimensiones
y relaciones espaciales para interactuar de diversas maneras con los objetos situados en el
espacio, desarrollar variadas representaciones y, a través de la coordinación entre ellas,
hacer acercamientos conceptuales que favorezcan la creación y manipulación de nuevas
representaciones mentales. Esto requiere del estudio de conceptos y propiedades de los
objetos en el espacio físico y de los conceptos y propiedades del espacio geométrico en
42
relación con los movimientos del propio cuerpo y las coordinaciones entre ellos y con los
distintos órganos de los sentidos.
El pensamiento métrico y los sistemas métricos y de 2.3.12
medidas.
Los conceptos y procedimientos propios de este pensamiento hacen referencia a la
comprensión general que tiene una persona sobre las magnitudes y las cantidades, su
medición y el uso flexible de los sistemas métricos o de medidas en diferentes situaciones. En
los Lineamientos Curriculares se especifican conceptos y procedimientos relacionados con
este tipo de pensamiento, como:
La construcción de los conceptos de cada magnitud.
La comprensión de los procesos de conservación de magnitudes.
La estimación de la medida de cantidades de distintas magnitudes y los aspectos del
proceso de “capturar lo continuo con lo discreto”.
La apreciación del rango de las magnitudes.
La selección de unidades de medida, de patrones y de instrumentos y procesos de
medición.
La diferencia entre la unidad y los patrones de medición.
La asignación numérica.
El papel del trasfondo social de la medición.
En relación con los anteriores conceptos y procedimientos, es importante destacar que la
estimación de las medidas de las cantidades y la apreciación de los rangos entre los
cuales puedan ubicarse esas medidas trascienden el tratamiento exclusivamente
numérico de los sistemas de medidas y señalan la estimación como puente de relaciones
entre las matemáticas, las demás ciencias y el mundo de la vida cotidiana, en contextos en
los que no se requiere establecer una medida numérica exacta. Otros aspectos
importantes en este pensamiento son la integración de la estimación con los
procedimientos numéricos de truncamiento y redondeo, el tratamiento del error, la
valoración de las cifras significativas y el uso de técnicas de encuadramiento, así como la
expresión de medidas grandes y pequeñas por medio de la notación científica.
43
El pensamiento variacional y los sistemas algebraicos y 2.3.13
analíticos
Como su nombre lo indica, este tipo de pensamiento tiene que ver con el reconocimiento,
la percepción, la identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes
contextos, así como con su descripción, modelación y representación en distintos sistemas o
registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos. Uno de los propósitos
de cultivar el pensamiento variacional es construir desde la Educación Básica Primaria
distintos caminos y acercamientos significativos para la comprensión y uso de los conceptos
y procedimientos de las funciones y sus sistemas analíticos, para el aprendizaje con sentido
del cálculo numérico y algebraico y, en la Educación Media, del cálculo diferencial e integral.
Este pensamiento cumple un papel preponderante en la resolución de problemas
sustentados en el estudio de la variación y el cambio, y en la modelación de procesos de la
vida cotidiana, las ciencias naturales y sociales y las matemáticas mismas.
Taller 2.3.14
Es una metodología de trabajo en la que se integran la teoría y la práctica. Se caracteriza por
la investigación, el aprendizaje por descubrimiento y el trabajo en equipo que, en su aspecto
externo, se distingue por el acopio (en forma sistematizada) de material especializado acorde
con el tema tratado teniendo como fin la elaboración de un producto tangible.
Herramientas Tecnológicas 2.3.15
Son principalmente programas y aplicaciones (software), estas aplicaciones pueden ser
utilizadas fácilmente y con un bajo costo. Las herramientas tecnológicas, incluidas las
Tablets, han sido implementadas en el aula, buscando facilitar la tarea del docente y el
aprendizaje de los estudiantes.
Aprendizaje Colaborativo 2.3.16
Se concibe como una actividad de pequeños grupos que se desarrolla en el aula de clase. Los
estudiantes, dialogan, intercambian información, y desarrollan conjuntamente una tarea, en
44
medio de un ambiente de colaboración donde fortalecen los conocimientos, debaten y
argumentan resaltando y cultivando de cada uno las cualidades más características.
45
Capítulo III. Metodología
3.1 Tipo de Trabajo
Diseño Metodológico 3.1.1
La presente investigación es de tipo cualitativo de carácter descriptivo, el cual se ubica en los
primeros niveles del proceder científico y describe e interpreta lo que es: describe
características de un conjunto de sujetos, de una población o de un área de interés. Describe
situaciones o acontecimientos tal como aparecen en el presente, en el momento mismo del
estudio. La investigación descriptiva se vale de técnicas estadísticas descriptivas para
observar, organizar, concentrar, visualizar, comparar y presentar los datos. Los estudios
descriptivos más comunes se hacen por observación y por encuesta. (Ramírez, Arcila,
Buritica y Castrillón, 2004)
Estudio De Variables 3.1.2
Para el análisis de la información de la presente propuesta de investigación, se hace
necesario el uso de una teoría que nos brinde las pautas suficientes para cada momento de
esta propuesta y que permitan la apropiación del estudiante.
Así se tomará el estudio de las variables de la presente investigación bajo la teoría de George
Pólya (Como Plantear y Resolver Problemas, 1957), la cual nos permite llevar al alumno a
identificar las diferentes estrategias a seguir para solucionar de manera correcta y
significativa los problemas matemáticos que enfrenta en el aula y poder darles una
interpretación y significado.
46
Las categorías de análisis a estudiar son
1. Comprensión y construcción de los conceptos razón y función trigonométricas
(mediación tecnológica haciendo uso de geogebra).
2. El material manipulativo en el uso comprensivo de las funciones y razones
trigonométricas.
3. La resolución de problemas que involucra el uso de razones y funciones
trigonométricas. (Comprensión del problema, elaboración del plan, ejecución del plan
y visión retrospectiva)
3.2 Instrumentos Metodológicos
La instrumentación metodológica será basada en el modelo de resolución de problemas, en
busca de una práctica pedagógica que genere un aprendizaje enfocado en la construcción de
conocimientos matemáticos a partir de la resolución de problemáticas, esto teniendo en
cuenta la importancia de que la educación cuente con educadores con unos altos niveles de
apropiación teórica, en busca de la creación, del uso de métodos y procedimientos más
productivos, que se integren de forma coherente a la acción de las diversas áreas del
conocimiento que influyen sobre el estudiante, en pro de lograr su mayor participación
colectiva y consciente, con miras a desarrollar el pensamiento, la imaginación, la formación
de valores y la creatividad de él como maestro y ponerse a tono con las nuevas dinámicas de
los niños y las niñas del nuevo milenio. (Bernal, 2010)
La situación problema es el detonador de la actividad cognitiva, para que esto suceda debe
tener las siguientes características: Debe involucrar implícitamente los conceptos que se van
a aprender. Debe representar un verdadero problema para el estudiante, pero a la vez, debe
ser accesible a él. Debe permitir al alumno utilizar conocimientos anteriores(Moreno y
Waldegg, 2002).
Con base en este enfoque se realizan las siguientes estrategias a modo de taller para
potencializar los conocimientos y destrezas en los alumnos aplicados a la resolución de
problemas en la trigonometría
47
Implementación De Talleres 3.2.1
Los instrumentos a modo de taller que serán llevados a cabo para la recolección de la
información que permita la formulación de la propuesta serán:
1. Construcción de Gráficas de Funciones Trigonométricas en Geogebra (taller). A partir
de estas se puede llegar con mayor facilidad a la identificación, reconocimiento,
caracterización y comprensión del comportamiento de cada una de las funciones,
seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, además de permitir
relacionar y diferenciar los conceptos de razón t y función t y potenciar el desarrollo
de pensamiento variacional y espacial en cada uno de los estudiantes a través de las
gráficas construidas en Geogebra como herramienta TIC en el afianzamiento de estos
conocimientos.
2. Situaciones con Material Didáctico (taller). Mediante la construcción de herramientas
de medición de ángulos como lo son el teodolito, se plantean situaciones problema
con objetos reales que involucren el uso de las razones trigonométricas en busca de la
identificación de las variables que intervienen en la manipulación de las razones
trigonométricas, para que el aprendizaje se haga más significativo, buscando
observar el mejoramiento en el aprendizaje de los estudiantes y esquemas por
fortalecer en ellos a través de aplicación de estrategias para la solución de problemas
que implican el uso de las razones trigonométricas.
3. Resolución de Problemas Mediante el uso de Geogebra (taller). A través del aprendizaje
dinámico con el uso de geogebra, enfocado en la resolución de problemas (entender
el problema, configuración de un plan, ejecución del plan y visión retrospectiva) se
crea un ambiente propicio para el desarrollo de competencias en el alumno que le
permitan tener mayores destrezas en el pensamiento variacional y espacial, por
medio del uso de las razones trigonométricas.
48
3.3 Población y Muestra
La propuesta se desarrolló en la Institución Educativa Gallardo, del municipio del Suaza, en el
departamento del Huila, institución de educación básica y media de carácter oficial.
La población objeto de estudio corresponde a estudiantes de grado decimo, sobre un grupo
de 17 estudiantes, en su gran mayoría residen en el campo y sus padres se dedican a las
labores agrícolas; los estudiantes participaron de manera voluntaria, y además contaron con
la aprobación y el apoyo de sus padres.
3.4 Fuentes de Información
La producción escrita por parte de los estudiantes a partir de las construcciones realizadas
en geogebra, serán la principal fuente de información en el presente trabajo para realizar el
análisis de los resultados y obtener las conclusiones pertinentes.
Además, se tendrá en cuenta la observación directa en el desarrollo de los talleres por parte
del docente y la comunicación oral del estudiante en cuanto a las preguntas realizadas y su
propia expectativa sobre sus avances.
3.5 Análisis e interpretación de los Resultados
Los resultados serán analizados por medio de una matriz de comparación que permitirá
evidenciar y observar los avances de los estudiantes, en cada una de las fases de aplicación de
los talleres. Describiendo el comportamiento en cada uno de los siguientes procesos:
Comprensión y construcción de los conceptos razón y función trigonométricas.
Comprensión y diferenciación entre razón t y función t.
Identificación de las variables ángulo y razón trigonométrica.
Grafica de función trigonométrica.
El material manipulativo en el uso comprensivo de las funciones y razones
trigonométricas.
Comprensión del uso de las razones trigonométricas.
49
Identificación de las variables que intervienen en la manipulación de las razones
trigonométricas.
Aplicación de estrategias para la solución de problemas que implican las razones
trigonométricas.
La resolución de problemas que involucra el uso de razones y funciones
trigonométricas.
Comprensión del problema
¿Entiende todo lo que se dice?
¿Distingue cuáles son los datos?
¿Sabes a qué quieres llegar?
Configuración de un plan
¿Este problema es similar a algún otro que haya resuelto antes?
¿Se podría usar alguna de las siguientes estrategias?
s. Uso de una variable
t. Hacer una figura
u. Hacer un diagrama
v. Buscar una formula
Ejecución del plan
Implementa la estrategia escogida hasta solucionar el problema
¿Es necesario cambiar de estrategia?
¿La nueva estrategia le permite llegar al resultado?
Visión retrospectiva
¿Es tu solución correcta?
¿Justifica de manera correcta sus respuestas?
¿La respuesta satisface lo establecido en el problema?
50
Capítulo IV. Resultados Y Discusión
A continuación, se detallan las experiencias obtenidas en los talleres: Comprensión y
construcción de los conceptos razón y función trigonométricas, el material manipulativo en el
uso comprensivo de las funciones y razones trigonométricas, y la resolución de problemas
que involucra el uso de razones y funciones trigonométricas. Tal como se expuso en la
metodología y específicamente en el análisis de los resultados
4.1 Resultados en el taller 1 Construcción de la razón y función trigonométrica
Comprensión y diferenciación entre razón t y función t: 4.1.1
Se puede evidenciar que los estudiantes a través de la modelación y visualización por medio
de geogebra y la abstracción de datos correspondientes a las razones entre los lados del
triángulo y la medida de ángulos del triángulo, relacionan el concepto de razón t como la
relación entre la medida de un ángulo y de los lados del triángulo y la función t como aquella
en que a la razón entre los lados del triángulo se le asocia la variación del ángulo por ejemplo
para la razón seno observan que al tener dos triángulos semejantes las razones del cateto
opuesto con respecto a la hipotenusa para un ángulo congruente en cada triángulo la razón
trigonométrica será proporcional y la generalizan para un triángulo como la relación de los
lados de este con respecto a un ángulo, así mismo la función trigonométrica seno será la
relación que se genera entre la variación del ángulo que ellos pueden realizar a través de
geogebra y los cambios que sufre el cociente de la razón trigonométrica. ( Ver Figura 1 y
Figura 2)
51
Figura 1. Comprensión concepto de razones trigonométricas
Figura 2. Comprensión concepto de función trigonométrica
52
Identificación de las variables ángulo y razón trigonométrica: 4.1.2
Para los estudiantes es muy fácil identificar cada una de las variables ángulo y razón
trigonométrica a través de la visualización e interpretación por medio de geogebra a partir
de la observación de las parejas de puntos ordenados en donde a cada valor del ángulo le
corresponde una medida de la razón trigonométrica, observando la manera en que estas se
relacionan a partir de su medición y variación. (Ver Figura 3)
Figura 3. identificación de variables ángulo y razón trigonométrica a través de Geogebra
Grafica de función trigonométrica: 4.1.3
Los estudiantes identifican variables que conforman las gráficas de las funciones
trigonométricas, hacen comparaciones entre la medición y variación del dominio, rango,
periodo y continuidad de cada una de las funciones y hallan relaciones como las de dominio y
rango, periodo y continuidad, valores máximos y mínimos con el rango entre cada una de
estas. (Ver Figura 4)
Figura 4. Caracterización de variables con el uso de Geogebra
53
4.2 Resultados en el taller 2 El material manipulativo en el uso comprensivo de las funciones y razones trigonométricas.
Comprensión del uso de las razones trigonométricas: 4.2.1
La mayoría de los estudiantes comprenden el uso de las razones trigonométricas bajo la
manipulación de objetos que permiten la medición de ángulos como es el caso del teodolito
casero y la determinación de longitudes de altura y distancia haciendo uso de cinta métrica
cuerdas u otros objetos, escenarios que, tras la recolección de datos, conllevan a relacionar
cada una de las distintas situaciones con el uso de las razones trigonométricas. (Ver Figura 5)
Figura 5. Manipulación de material didáctico para la comprensión de las funciones
trigonométricas
Identificación de las variables que intervienen en la 4.2.2manipulación de las razones trigonométricas:
Los estudiantes identifican las variables que permiten relacionar las situaciones en que se
ven inmersos para relacionarlas en el uso manipulativo de las razones trigonométricas,
evidenciando una apropiación de los conceptos a través del desarrollo de los procesos de
interpretación, razonamiento y comprensión en la aplicación a situaciones problema. (Ver
Figura 6)
54
Figura 6. Modelación de datos e identificación de variables por parte de los estudiantes
Aplicación de estrategias para la solución de problemas que 4.2.3implican las razones trigonométricas:
La mayor parte de los educandos expresan diferentes estrategias por medio de las cuales
relacionan los conceptos de razones trigonométricas, la medición de longitudes y ángulos y
procesos de visualización, interpretación, razonamiento y comprensión desarrollados en la
elaboración de soluciones a las situaciones problema que se relacionan con las razones
trigonométricas. (Ver Figura 7)
55
Figura 7. Aplicación de estrategias para la resolución de problemas
4.3 Resultados en el taller 3 La resolución de problemas
que involucra en uso de razones y funciones
trigonométricas
Comprensión del problema: 4.3.1
Los estudiantes leen el problema y lo comprenden, de manera que expresan el paso a paso y
qué hacer con los datos para elaborar la solución al problema. (Ver Figura 8)
Figura 8. Identificación de variables
56
Elaboración de un plan: 4.3.2
Se elaboran bosquejos mostrando manejo de los conceptos de trigonometría.
Se organizan los datos y se determina la variable establecida por el problema por parte de los
estudiantes. (Ver Figura 9)
Figura 9. Estructura generada por los estudiantes para solución de problemas
Ejecución del plan: 4.3.3
Existe una relación coherente entre las formulas y los gráficos elaborados en geogebra para
realizar la solución al problema, además de dar respuesta cualitativa a las preguntas
mostrando mayor destreza y propiedad conceptual. (Ver Figura 10)
Figura 10. Resultados y conclusiones de los estudiantes en la actividad.
Visión retrospectiva: 4.3.4
Se ve una mayor autonomía en el abordaje de la resolución de problemas por parte de los
estudiantes al punto de incorporar por sí mismos elementos propios de la trigonometría y
llegar a la solución haciendo uso de geogebra y procedimientos algebraicos a lápiz y papel,
modelando con geogebra y comparando los resultados. (Ver Figura 11)
57
Figura 11. Aplicación de aprendizajes en la resolución de diferentes problemas.
58
Capítulo V. Conclusiones Y Recomendaciones
5.1 Conclusiones
Teniendo como referente los resultados obtenidos en la aplicación del trabajo realizado y los
hallazgos en cada taller desarrollado por los estudiantes se establecen las siguientes
conclusiones:
Por medio del presente trabajo y sus actividades de aprendizaje se consiguieron
diferentes estadios de avance cognitivos en los estudiantes, en cuanto al uso
comprensivo de las razones trigonométricas a través de la resolución de problemas.
Se evidencio en los estudiantes a través del desarrollo de los talleres propuestos
avances en los procesos asociados al pensamiento matemático correspondientes a lo
espacial, medida y variación.
A través de cada una de las actividades los estudiantes mejoraron en la comprensión
del uso de las razones trigonométricas, poniendo en práctica nuevas y mejores
formas de abordar un problema relacionado con este tema.
Los estudiantes están motivados con esta nueva manera de trabajar, toda vez que
permite la creación de habilidades en cuanto a la resolución de problemas,
evidenciando así la reorganización amplificación de los conocimientos abordados.
La experiencia de aplicación de las actividades demuestra que el uso de herramientas
tecnológicas contribuye al desarrollo de competencias que al ser aplicadas en
diferentes situaciones, facilita el trabajo y lleva a los estudiantes a elaborar
situaciones más estructuradas en cuanto a los diferentes tipos de pensamiento.
59
Los estudiantes presentan gran habilidad en el uso de herramientas tecnológicas, lo que facilitó el desarrollo de cada una de las actividades y promovió el trabajo en grupo.
Las actividades que más llaman la atención de los estudiantes son aquellas que
permiten una mayor interacción en el aula o fuera de ella con respecto a la temática,
así como las que permiten el uso de nuevas herramientas tecnológicas apropiadas
para el estudiante.
El uso de actividades donde se enfatice en el desarrollo de pensamientos para
nuestro caso: geométrico, métrico y variacional, permite evidenciar mejores
resultados en el rendimiento de los estudiantes en cada uno de los momentos en que
necesite poner en práctica las habilidades adquiridas.
El presente trabajo aporta a la divulgación del conocimiento por cuanto: Dio pie para
realizar una guía virtual u OVA, para el MEN, en apoyo con la Dirección Nacional de
Innovación Académica DNIA. Además fue aceptado para exponer en el VIII Simposio
de Matemática y Educación Matemática y al VII Congreso Internacional de
Matemática asistida por Computador.
5.2 Recomendaciones
A partir de la experiencia obtenida con el desarrollo de este proyecto, se presentan algunas
recomendaciones que pueden ser tenidas en cuenta en posibles aplicaciones de la presente
propuesta:
Permitir el tiempo suficiente en la realización de las actividades, para que los estudiantes puedan poner en práctica todo su potencial.
Generar espacios de integración en grupos de trabajo fortaleciendo el trabajo
cooperativo y el respeto por el otro.
Es importante tener en cuenta que la principal motivación de los estudiantes es el uso
de herramientas tecnológicas en el aula de clase, por lo cual se recomienda que las
60
actividades, contengan un máximo de cuatro “situaciones problema” y se dé el tiempo
necesario para su aplicación.
Que las actividades sean trabajadas de manera secuencial y aumentando el nivel de
complejidad, en busca de obtener mejores resultados.
De acuerdo con las características del grupo de estudiantes, es posible realizar las
actividades con un mayor o menor nivel de complejidad, tal como se considere
pertinente.
61
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de Manizales, Santiago de Cali, Colombia.
64
Anexos
Anexo 1. Taller 1 Construcción de la razón y función
trigonométrica
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
Anexo 2. Taller 2 El material manipulativo en el uso
comprensivo de las funciones y razones
trigonométricas.
81
82
83
84
85
Anexo 3. Taller 3 La resolución de problemas que
involucra en uso de razones y funciones
trigonométricas
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
Anexo 4. Carta de Aceptación VIII Simposio de
Matemática y Educación Matemática y al VII
Congreso Internacional de Matemática asistida por
Computador.