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MS 515 – METODOS PROBABILISTICOS
EM PESQUISA OPERACIONAL 2S/2018
PROF. LUCIO SANTOS [IMECC, SALA 131]
EMENTA
Problema do Lote Economico
Problema do Jornaleiro
Analise de Decisao
Programacao Dinamica Determinıstica
Programacao Dinamica Estocastica
AVALIACAO
PROVA 1 (P1): 13/09
PROVA 2 (P2): 01/11 MP = (P1 + P2 + PJ) / 3
PROJETO (PJ): 06/11 — 29/11 MF = Maximo{MP, EX}
EXAME (EX): 11/12
REFERENCIAS
M. Arenales, V. Armentano, R. Morabito & H. Yanasse: Pesquisa Operacional
O.R. Bekman & P.L.O. Costa Neto: Analise Estatıstica da Decisao
F. Hillier & G. Lieberman: Introduction to Operations Research
A. Ravindran, D. Phillips & J. Solberg : Operations Research: Principles and Practice
LINHA DO TEMPO DA PESQUISA OPERACIONAL
1937Primeiro uso do termo Pesquisa Operacional
1939Condicoes de Otimalidade — W. Karush
1941Problema de Transporte — F. Hitchcock
1942Aplicacoes Militares pela USAF
Combate a submarinos (primeiro grupo civil)
1944Teoria da Utilidade — J. von Neumann
1945Problema da Dieta — G. Stigler
1947Modelo de Programacao Linear & Metodo Simplex — G. Dantzig
1948Primeiros cursos de Pesquisa Operacional no MIT
1949Simulacao de Monte Carlo — J. von Neumann
1950Equilıbrio de Nash — J. Nash
Simulacao / Jogos de Guerra
Programacao Dinamica — R. Bellman
Problema de Caminho Mınimo
Primeira solucao computacional para o Problema de Transporte
1951Primeiro algoritmo computacional para o Simplex
Programacao Nao-Linear — H. Kuhn & A. Tucker
Programacao Linear Primal–Dual — G. Dantzig et al.
LINHA DO TEMPO DA PESQUISA OPERACIONAL
1952Analise de Portfolios — H. Markowitz
Instalacao no Pentagono do UNIVAC
1954Linguagem FORTRAN — J. Backus & I. Ziller
1955Problema do Caixeiro Viajante — M. Flood
Programacao Estocastica — G. Dantzig
1956Programacao Quadratica — M. Frank & P. Wolfe
1958Programacao Inteira – R. Gomory
Teoria de Filas e Estoques — P.M. Morse
1960Metodo “Branch and Bound” — K. Murty et al.
1962Problema do Carteiro Chines — M. Kwan
Teoria Fuzzy — L. Zadeh
1965Problema da Mochila — G. Dantzig
1968Analise de Decisoes — R. Howard
1971Complexidade Computacional — S. Cook & R. Karp
1976Controle de Qualidade — G. Taguchi
1978Relaxacao Lagrangiana — A. Geoffrion
LINHA DO TEMPO DA PESQUISA OPERACIONAL
1979Metodo do Elipsoide — L. Kachian
1980Computacao Paralela
1982Metodo “Simulated Annealing” — W. Metropolis
1984Redes Neurais — J. Hopfield
Metodos de Pontos Interiores — N. Karmarkar
1989Busca Tabu — F. Glover
1990Algoritmos Evolucionarios
1995Mineracao de Dados
1996Comercio Eletronico
LISTA 1 ESTOQUES
1 A demanda de um certo produto e de 25 unidades por mes e os ıtens sao retirados uni-
formemente. O custo de preparacao para cada rodada de producao e de 1.500 dinheiros e o
custo de manutencao do estoque e de 30 dinheiros por item por mes.
(a) Supondo que faltas nao sejam permitidas, determine a frequencia de execucao da
producao.
(b) Se as faltas custarem 150 dinheiros por item por mes, determine a nova frequencia.
2 Uma frota de taxis usa gasolina a razao de 34.000 litros por mes. A gasolina custa 20
centavos de merreca por litro com um custo de preparacao de 1.000 merrecas. O custo de
manutencao do estoque e de 0,25 merreca por litro por mes.
(a) Supondo que faltas nao sejam permitidas, determine a frequencia e a quantidade de cada
compra.
(b) Se as faltas custarem 7,5 centavos de merreca por litro por mes, determine com que
frequencia e quanto encomendar.
(c) Repita o item (a) supondo que o custo da gasolina caia para 18,75 centavos de merreca
por litro se forem comprados pelo menos 200.000 litros.
3 Para angariar fundos para a festa de formatura, os alunos do IMECC resolveram revender
camisetas. Para tanto, eles fazem uma viagem a Sao Paulo, onde o material e mais barato,
e pagam 5 reais por camiseta. Cada viagem custa 50 reais, incluindo a gasolina do carro,
oleo, pedagio, lanche, etc. O pessoal do CAMECC cobra 50 centavos de real por camiseta
por dia para guarda-las. Os alunos estimam uma venda diaria de 5 camisetas.
(a) Qual deve ser a frequencia de viagens a Sao Paulo de maneira a minimizar o custo diario
de producao?
(b) Quantas camisetas devem ser compradas em cada viagem?
(c) Qual deve ser o preco de revenda de cada camiseta para que o lucro diario seja superior
a 50 reais?
LISTA 1 ESTOQUES
4 Uma fabrica de aparelhos eletronicos necessita de um certo componente para a montagem
de seus produtos. A demanda diaria para esse componente e de 100 unidades, sendo que o
custo fixo do pedido e de 1.000 euros e o custo de armazenagem e de 25 centavos de euro
por unidade por dia.
(a) Qual a duracao do ciclo otimo?
(b) Se as faltas custarem 10 euros por unidade por dia, qual a nova duracao do ciclo otimo?
5 Uma banca de revistas compra jornais a 2 merrecas a unidade e os revende a 3 merrecas.
As sobras do dia sao vendidas por 50 centavos de merreca. A distribuicao da demanda e
uniforme entre 30 e 50 unidades. Encontre o numero otimo de jornais a serem compra-
dos diariamente. Qual seria esse numero no caso em que a demanda tivesse distribuicao
exponencial com media 40 unidades?
6 Um vendedor ambulante de praia vende sanduıches de atum pelo dobro do valor do custo
de producao unitario. Devido a sua boa reputacao, sanduıches de outro dia sao devidamente
eliminados. A funcao distribuicao de probabilidade da demanda diaria de sanduıches e dada
por: P (D = 0) = 0.1, P (D = 5) = 0.1, P (D = 10) = 0.3, P (D = 15) = 0.1,
P (D = 20) = 0.2 e P (D = 25) = 0.2.
(a) Qual deve ser a producao diaria de sanduıches de maneira a maximizar o lucro diario
esperado?
(b) Se o vendedor nao fosse tao zeloso e vendesse sanduıches velhos por um quarto do preco
normal, qual a quantidade a ser produzida?
(c) Atraves de interpolacao linear, tente fornecer uma estimativa melhor para a resposta
anterior.
7 Suponha que a demanda por uma parte sobressalente de um aviao tenha distribuicao
exponencial com media de 50 unidades. Os custos de producao sao agora de 2.000 reais
por unidade, porem eles se tornarao 20.000 reais por unidade se tiverem que ser supridos em
datas posteriores. Os custos de manutencao cobrados sobre o excesso sao de 500 reais por
unidade. Determine o numero otimo de pecas sobressalentes.
LISTA 1 ESTOQUES
8 Uma floricultura compra flores a 40 dinheiros a unidade e as vende por 80 dinheiros a
unidade. A funcao distribuicao de probabilidade da demanda e dada por: P (D = 10) = 0.15,
P (D = 20) = 0.25, P (D = 30) = 0.40, P (D = 40) = 0.15, e P (D = 50) = 0.05.
Determine a quantidade otima de flores a ser adquirida nos casos abaixo:
(a) Flores nao vendidas sao eliminadas e nao ha multa por faltas.
(b) Flores nao vendidas tem um custo de 5 dinheiros para eliminacao e nao ha multa por
faltas.
Qual deve ser a relacao entre a multa por faltas e o preco de venda das sobras que mantem
a solucao do item (a) inalterada? Analise a sua resposta.
9 Determine a quantidade otima do problema do jornaleiro no caso em que a demanda tem
funcao densidade de probabilidade dada por f(x) = a/(x + a)2, para x ≥ 0, onde a e uma
constante positiva.
LISTA 2 DECISAO
1 Considere a seguinte tabela de recompensas (em mil reais) de acoes (A) versus eventos
(E) e a distribuicao de probabilidade dos eventos (P):
E1 E2 E3
A1 10 6 3
A2 5 8 4
A3 2 5 9
P 1/4 1/2 1/4
(a) Determine a matriz de perda de oportunidade.
(b) Compute o valor esperado da informacao perfeita.
(c) Voce pagaria 2 mil reais por uma informacao quase perfeita de qual evento ocorrera?
2 Uma editora tem a intencao de republicar um livro de grande sucesso no passado, mas
tem duvidas sobre a sua receptividade com o publico, e acredita que ha uma chance em
quatro do livro ser um sucesso. A impressao e a distribuicao custam 50 mil reais e, se for um
sucesso, a editora lucrara 150 mil reais; se for um fracasso, a editora ficara com um encalhe.
Se o livro nao for impresso, nao havera lucro nem prejuızo.
(a) Vale a pena editar o livro? Qual o valor do retorno esperado?
(b) A editora pode consultar um especialista que tem informacao perfeita sobre o mercado
de livros. Quanto vale a sua colaboracao?
(c) A editora pode encomendar uma pesquisa de opiniao publica a um instituto, que, com
60% de chance preve um sucesso (se o livro for realmente um sucesso) e, com 80% de chance
preve um fracasso (se o livro for realmente fracassar). Quanto valem os servicos do instituto?
3 O gerente de uma empresa precisa decidir entre duas campanhas publicitarias para um
produto. O retorno monetario das vendas geradas por cada uma das campanhas depende
das condicoes do mercado e sao igualmente provaveis. Uma campanha pode ter um lucro de
800 mil reais ou uma perda de 500 mil reais; a outra campanha nao tem lucro nem perda. O
gerente tem as seguintes opcoes: (i) tomar uma decisao agora; (ii) comprar uma informacao
perfeita a um custo de 250 mil reais; (iii) encomendar uma pesquisa 75% confiavel a um
custo de 75 mil reais. Faca uma analise das opcoes e determine que atitude o gerente deve
tomar.
LISTA 2 DECISAO
4 Um empresario dispoe de 100 mil reais para investir em dois negocios: o negocio A que,
com probabilidades iguais, o leva em 20 dias a um lucro de 80 mil reais ou a uma perda de
40 mil reais; e o negocio B que, com probabilidades 0,3 e 0,7 o leva, repectivamente e no
mesmo prazo, a um lucro de 100 mil reais ou a uma perda de 30 mil reais. Entretanto, dentro
de 30 dias, havera a oportunidade de participar de outros dois negocios: o negocio C que
exige um investimento de 200 mil reais e, com probabilidades 0,6 e 0,4 leva, respectivamente,
a um lucro de 100 mil reais ou a uma perda de 20 mil reais; e o negocio D, que exige um
investimento de 150 mil reais e pode, com probabilidades 0,7 e 0,3 levar, respectivamente, a
um lucro de 50 mil reais ou a uma perda de 40 mil reais.
(a) Exiba a arvore de decisoes representativa do problema.
(b) Analise todas as possıveis decisoes.
(c) Como voce procederia se fosse o empresario?
5 Uma padaria estima que a procura diaria de pao frances possa ser adequadamente repre-
sentada pelos seguintes valores: 1.000, 1.200 ou 1.300 unidades, com probabilidades de 0,2,
0,3 e 0,5, respectivamente. Se a padaria fabricar mais do que consegue vender, ainda pode
obter uma receita de 0,55 reais por unidade, reciclando o pao e fazendo um bolinho que e
vendido no dia seguinte. O custo de fabricar cada pao e de 0,60 reais, e o preco de venda,
no dia, e de 1,05 reais.
(a) Que decisao devera tomar a padaria? Analise as diferentes possibilidades, e critique as
sugestoes que apresentar.
(b) Estude a robustez da solucao proposta, verificando ate que ponto a estimativa para as
probabilidades e crıtica.
6 Considere uma moeda nao tendenciosa que pode ter cara e coroa ou duas caras. Nao e
possıvel inspecionar a moeda, mas a um custo de 1 real podemos lancar a moeda uma vez,
observar o resultado e decidir se ela tem duas cara ou nao. Ha um pagamento de 20 reais
se a nossa decisao estiver errada. Determine a estrategia otima de acoes.
LISTA 3 DINAMICA
1 Considere o problema de minimizacao com funcoes criterio e do sistema dadas por
J =4∑
k=0
[x2k + u2
k] + 2.5[x5 − 2]2 e xk+1 = xk + uk, respectivamente. As restricoes sao
xk ∈ {0, 1, 2} e uk ∈ {−1, 0, 1} para k = 0, 1, . . . , 5. Forneca a solucao otima completa por
programacao dinamica e de a trajetoria otima partindo de x0 = 2.
2 Um investidor dispoe de 8 dinheiros para aplicar na ampliacao de seus tres negocios, N1,
N2 e N3. Sabendo que o lucro extra resultante de cada ampliacao depende de seu porte,
ele levantou a tabela de lucros abaixo, em funcao da aplicacao. Como devera o investidor
distribuir os recursos entre os tres negocios de modo a maximizar o lucro extra?
Aplicacao 1 2 3 4 5 6 7 8
N1 01 08 15 17 19 22 24 26
N2 08 11 14 16 18 20 21 22
N3 04 08 12 16 20 23 25 27
3 Um sistema de geracao de energia eletrica consiste de uma usina hidreletrica e outra
termeletrica. Seja xk o volume de agua no reservatorio na hora k. A producao de potencia
da hidreletrica e uk, exatamente igual a vazao de agua na barragem que alimenta a turbina
geradora na hora k. O influxo de agua no reservatorio e de uma unidade a cada hora. O nıvel
de potencia da termeletrica durante a hora k e yk, produzida ao custo de y2k. A demanda
por potencia a cada hora k, dk, precisa ser a soma de uk e yk. A previsao de demanda e
4, 3, 2, 1 e 2 nıveis de potencia nas horas 0, 1, 2, 3 e 4, respectivamente. A capacidade
do reservatorio e de duas unidades e o volume da agua no reservatorio na hora 0 e uma
unidade. Alem disso, e necessario que o volume de agua no reservatorio na hora 5 seja
tambem uma unidade. A vazao maxima de agua que pode alimentar a turbina e de duas
unidades. Aplique programacao dinamica para obter a operacao otima do sistema nas horas
0, 1, 2, 3 e 4, considerando que os valores de xk e uk sao (a) inteiros e (b) reais. Compare
seus resultados.
LISTA 3 DINAMICA
4 No grafo abaixo descubra o custo mınimo e a trajetoria otima para ir de A ate L sabendo
que o custo total e dado por: (a) A soma dos custos parciais. (b) O produto dos custos
parciais. (c) O maximo dos custos parciais.
5 Um caixeiro viajante comercializa numa regiao onde ha tres cidades A,
B e C. Ele compra mercadorias em uma cidade, viaja para uma segunda
cidade e la vende todas as mercadorias. Compra entao novas mercadorias
nesta segunda cidade e viaja para uma terceira cidade, que pode ser a
primeira, onde vende tudo novamente e assim por diante. Os lucros obtidos
A B C
A 0 10 7
B 2 0 4
C 8 2 0
em cada passagem de uma cidade para outra estao dados na tabela ao lado, onde linha =
origem e coluna = destino. O caixeiro encontra-se atualmente na cidade B e pretende fazer
quatro viagens de modo que nao termine na cidade A. Determine a trajetoria otima e o lucro
a ela associado.
6 A nave do famoso ET de Varginha pode viajar de dois modos diferentes. O primeiro,
NORMAL, pode ser representado pela equacao xk+1 = xk + uk, onde xk e o instante de
tempo e uk e o comando de navegacao correspondente ao estagio k. O custo de uma
transicao nesse modo e dado por xk +uk. O segundo modo, denominado UARPI, possibilita
a aeronave avancar 3, 4, 5 ou 6 estagios mantendo o mesmo instante de tempo. O custo
de um Uarpi avancando n estagios em xk e dado por (1 + nxk)/2. O custo total do voo
e calculado como a soma dos custos das transicoes efetuadas. Devem ser respeitadas as
restricoes espaciais xk ∈ {0, 1, 2} e uk ∈ {−1, 0, 1}. Determine o curso de navegacao para
que o ET de Varginha possa retornar ao seu planeta (x6 = 0), sabendo que Varginha se
localiza em x0 = 2.
LISTA 3 DINAMICA
7 Um assıduo usuario de voos da ANIL deseja fazer uma viagem de Sao Paulo (SP) ate
Manaus (M). Antes de partir, ele considerou todas as conexoes possıveis e esquematizou essa
situacao no grafico abaixo, onde os valores numericos representam a probabilidade de algum
incidente ocorrer durante o trajeto. Determine qual sera a trajetoria escolhida pelo precavido
usuario.
8 O estado de Alagados possui uma dıvida interna monstruosa, devida a ma administracao
dos recursos. O novo governador desse estado esta empenhado na elaboracao de uma carta
de intencoes a ser enviado ao governo federal. Essa carta deve fornecer as quantias a
serem pagas anualmente durante tres anos, para amortizar a atual dıvida que e de 5 milhoes
de merrecas. As seguintes informacoes sao relevantes: (i) Todo pagamento devera ser
proveniente da producao de biodiesel. O custo social para produzir, em um ano, divisas ao
nıvel d > 0 e 2d. Os pagamentos deverao ser feitos em unidades de milhoes de merrecas;
(ii) A taxa de juros cobrada pelos credores desse estado e de 100% ao ano. O nıvel da
dıvida nao pode ultrapassar 5 milhoes de merrecas; (iii) Ao final dos tres anos, um saldo de
dıvida ao nıvel s > 0 implicara numa intervencao federal no estado a um custo social de 3s.
Aplique programacao dinamica para ajudar o novo governador a fornecer uma sequencia de
pagamentos que minimize o custo social ao longo dos tres anos.
LISTA 3 DINAMICA
9 O grafo abaixo representa uma cidade onde cada no indica uma regiao. Associado a
cada arco (trajeto entre duas regioes) temos o par (d, v) onde d indica a distancia (em km)
entre as regioes e v a velocidade (em unidades de 20 km/h) com que se pode percorrer
esse trajeto. Encontre a trajetoria otima entre A e I de modo que: (a) A distancia total
seja minimizada. (b) O tempo de percurso seja minimizado. (c) A velocidade media seja
maximizada. Suponha agora que ha um congestionamento no trajeto entre C e D. Refaca
(a), (b) e (c) supondo que voce ficou sabendo do congestionamento: (d) Antes da sair de
A. (e) Ao chegar em C.
10 O grafico ao lado representa as ruas de
Saumpalo, onde os numeros indicam quan-
tos votos (em centenas) o candidato Dorinha
pode conseguir desfilando com seu carro de
propaganda. O carro pode se locomover ape-
nas no sentido Sul–Norte (↑) ou Oeste–Este
(→) e se encontra atualmente em A. (a) Qual
e o melhor caminho para chegar em B? (b) Chegando em B, pelo caminho otimo, Dorinha
resolve retornar a A para angariar mais votos. Encontre o melhor caminho de volta. O
sentido do movimento agora e o contrario da ida. Lembre-se que nas ruas em que o carro ja
passou o retorno de votos e zero. (c) Se desde o inıcio Dorinha tivesse a intencao de ir ate B
e depois retornar a A, a trajetoria otima seria a uniao dos caminhos obtidos anteriormente?
Justifique a sua resposta.
LISTA 3 DINAMICA
11 Uma barcaca de carga ca-
paz de transportar ate 10 tonela-
das de material recebe pedidos de
quatro companhias para transpor-
tar suas mercadorias. Cada com-
panhia pode fornecer tanta merca-
Companhia Peso (T/item) Remuneracao ($/item)
I 1 10
II 2 25
III 3 45
IV 4 60
doria quanto o capitao da barcaca deseje aceitar. A mercadoria deve ser transportada em
quantidades unitarias. A tabela ao lado fornece as remuneracoes pelo transporte. Quantos
ıtens de cada companhia o capitao deve aceitar de maneira a maximizar a remuneracao total
sem exceder a capacidade da barcaca?
12 Considere a configuracao do tabuleiro de xadrez ao
lado. Determine o numero mınimo de movimentos do ca-
valo branco (C) no canto superior esquerdo capturar o rei
preto (R) no canto inferior direito, supondo que nenhuma
outra peca (P) possa se mover ou ser capturada. Indique
todas as trajetorias que tenham esse numero mınimo de
movimentos.
C P P
P P
P P
P P P P
P P
P P
P P
P P R
13 Uma pessoa tem a quantia de 5 patacas para investir em dois negocios A e B. Para cada
5 patacas investidos o retorno com o negocio A e de 10 patacas (lucro de 5 patacas) com
probabilidade 0,7 e de zero patacas com probabilidade 0,3. Para o negocio B o retorno pode
ser 10 patacas com probabilidade 0,2 ou 5 patacas com probabilidade 0,8. Supondo que a
pessoa esta restrita a um investimento (ou nao) de 5 patacas a cada ano, determine uma
estrategia de investimentos para 3 anos de maneira a maximizar:
(a) A quantia final esperada.
(b) A probabilidade de no final ter pelo menos 10 patacas.
LISTA 3 DINAMICA
14 Uma pequena empresa esta se preparando para fornecer lotes de cestas de natal. A
demanda, o custo de producao e o custo unitario de armazenagem dos lotes estao descritos,
respectivamente, nas tabelas abaixo. A producao e realizada ao longo da semana e entregue
no fim de semana. No inıcio da primeira semana ha 2 lotes armazenados. (a) Encontre
a programacao otima de producao e mostre que nao e uma boa polıtica produzir em cada
semana o suficiente para atender a demanda. (b) Suponha agora que a demanda da se-
gunda semana pode ser 1, 2 ou 3, com probabilidades 1/2, 1/4 e 1/4, respectivamente.
Qual seria a sua sugestao de producao? Qual o custo esperado? Analise a sua resposta.
Semana Demanda
S1 3
S2 1
S3 2
Producao 0 1 2 3
S1 0 1 2 3
S2 0 2 3 4
S3 0 3 5 7
Semana Custo
S1 1
S2 2
S3 1
15 A fabricacao de uma certa peca necessita de cinco operacoes realizadas em cinco
maquinas. O grafo abaixo representa as possıveis sequencias de producao de maneira a
completar a tarefa. O numero em cada no representa o custo de operacao da respectiva
maquina e o numero em cada arco representa o custo de transporte de uma maquina para
outra. O custo total e dado pela soma dos custos de operacao e transporte. (a) Qual deve
ser a sequencia otima de producao? (b) Suponha agora que no transporte da maquina C para
as demais (E, F e G) pode haver falha: apesar da decisao tomada, ha uma probabilidade de
0.25 para cada uma das outras possibilidades ocorrer. Determine o sequenciamento otimo e
o custo esperado.