En connaître un, c’est les connaître tous (proverbe latin)

Citation du livre Fluid Mechanics and Thermodynamics of Turbomachinery de S.L.Dixon

Dans le domaine des turbomachines, l'objectif de la similitudeest de comparer les performances entre des machines ditessimilaires, ou entre un modèle réduit et un prototype

Cette comparaison ou analyse, qui vise la conception, s’effectueen termes de variables non dimensionnelles

Dans ce contexte nous allons

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• Rappeler les notions de similitude et d’analyse dimensionnel

• Présenter les paramètres de similitude employés dans lesturbomachines

• Décrire des formes particulières de ces coefficients pour diverstypes d’appareils

• Regarder les cartes utilisées pour étudier les compresseurs etles turbines à gaz et hydrauliques

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• Présenter le concept de vitesse spécifique

• Examiner l’utilité du diagramme de Cordier

• Analyser la similitude dans les pompes

La spécification fondamentale d’une turbomachine concerne:

• le débit• la nature du fluide(gaz, liquide)• la quantité de travail à échanger• l’état à l’entrée

À partir de ces spécifications on peut:

• sélectionner le type de machine (axiale, radiale, mixte) ;• effectuer un dimensionnement préliminaire et estimer sa

performance

En réponse à une nouvelle spécification, la mise à l’échelled’une machine existante, est une démarche utilisée en industrievisant ce dimensionnement préliminaire. Cette étape permettra laréduction de la durée des cycles de développement

L’analyse dimensionnelle fournit une support théorique à cettepremière étape de conception. Elle incorpore des nombresadimensionnels dont leur valeur peut être interprétée commeune partie de l’ ADN de chaque appareil

La richesse du formalisme des nombres sans dimension permetla génération de familles de machines dites similaires, laprédiction de leur performance et un guide pour la construction deprototypes

Pour effectuer une conception agile, on vise le transport descaractéristiques connues d’une turbomachine vers une autre.Pour ce faire on a besoin que:

les dimensions respectives soient à l’échelleles rapports de vitesses soient égaux en tout point (leslignes du courant soient similaires)les rapports des forces inertie/autres soient égaux

On doit alors satisfaire trois conditions de similitude différentes:

géométriquecinématiquedynamique

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Maquette de laboratoireModèle virtuel Prototype

La similitude géométrique, traite du rapport d’échellegéométrique, soit ce qui concerne la dimension 𝑳𝑳Bien qu’elle soit conceptuellement simple, cette similitude se voitconfrontée à des difficultés pratiques pour la satisfairepleinementPar exemple, la similitude pour la rugosité relative d’une surfacen’est pas évident à réaliser, ou encore, reproduire à l’échelle lesdimensions à certains endroits d’une turbomachine, comme laséparation entre la pale et le carter, s’avère très difficile

Pour palier ces faiblesses, des corrections empiriques, souventconfidentielles, sont appliquées par les manufacturiers pourtransposer les données obtenus lors des essais sur le modèlevers le prototype

La similitude cinématique traite de l’échelle temporelle 𝑻𝑻

En pratique, elle est satisfaite à travers de rapports de vitesseet/ou d’accélération

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La similitude dynamique ajoute la dimension fondamentale𝑴𝑴, soit la masse

En génie, on considère qu’elle est vérifiée si les rapports entrediverses forces et la force d’inertie sont égaux

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Dans les turbomachines, la référence pour l’échelle géométriquecorrespond à un diamètre 𝑫𝑫

La référence pour la vitesse c’est sous la forme d’une vitessecirconférentielle 𝑼𝑼

Pour les forces, l’échelle est référée à la force d’inertie 𝑭𝑭𝒊𝒊

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modèle prototype

Rapport de longueurs

Rapport de vitesses

Rapport de forces

𝑙𝑙𝐷𝐷 𝑚𝑚

=𝑙𝑙𝐷𝐷 𝑝𝑝

𝑐𝑐𝑥𝑥,𝑚𝑚

𝑈𝑈 𝑚𝑚=

𝑐𝑐𝑥𝑥,𝑚𝑚

𝑈𝑈 𝑝𝑝

𝐹𝐹𝑖𝑖𝐹𝐹𝑥𝑥 𝑚𝑚

=𝐹𝐹𝑖𝑖𝐹𝐹𝑥𝑥 𝑝𝑝

𝑭𝑭𝒙𝒙 =?

Pour la similitude dynamique, en génie mécanique on s’intéresseau rapport de la force d’inertie 𝑭𝑭𝒊𝒊 aux forces visqueuses 𝑭𝑭𝒗𝒗𝒊𝒊𝒗𝒗𝒗𝒗,de pression, 𝑭𝑭𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒗𝒗𝒗𝒗, gravitationnelles 𝑭𝑭𝒈𝒈𝒑𝒑𝒈𝒈𝒗𝒗, et élastiques 𝑭𝑭é𝒍𝒍𝒈𝒈𝒗𝒗

L’action de ces forces entrainera l’accélération d’un fluide décritepar la 2ème loi de Newton :

��⃗�𝐹 = �⃗�𝐹𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑣𝑣 + �⃗�𝐹𝑝𝑝𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 + �⃗�𝐹𝑣𝑣𝑖𝑖𝑝𝑝𝑣𝑣 +�⃗�𝐹𝑝𝑝𝑒𝑒𝑔𝑔𝑝𝑝= 𝑚𝑚�⃗�𝑎

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Si l’on remarque que la force d’inertie, 𝑭𝑭𝒊𝒊, agit dans le senscontraire de l’accélération (𝑭𝑭𝒊𝒊= −𝒎𝒎𝒈𝒈), on peut s’écrire

En ne considérant que les modules de ces forces, une (pseudo)équation adimensionnelle peut être obtenue en prenant commeréférence la force d’inertie. Notamment:

�⃗�𝐹𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑣𝑣 + �⃗�𝐹𝑝𝑝𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 + �⃗�𝐹𝑣𝑣𝑖𝑖𝑝𝑝𝑣𝑣 +�⃗�𝐹𝑝𝑝𝑒𝑒𝑔𝑔𝑝𝑝 + 𝑭𝑭𝒊𝒊= 0

𝐹𝐹𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑣𝑣𝐹𝐹𝑖𝑖

+𝐹𝐹𝑝𝑝𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝐹𝐹𝑖𝑖

+𝐹𝐹𝑣𝑣𝑖𝑖𝑝𝑝𝑣𝑣𝐹𝐹𝑖𝑖

+𝐹𝐹𝑝𝑝𝑒𝑒𝑔𝑔𝑝𝑝𝐹𝐹𝑖𝑖

+ 1 = 0

Ces rapports adimensionnels (ou l’inverse ⁄𝐹𝐹𝑖𝑖 𝐹𝐹) des modules desforces ont été associés à l’ouvrage de scientifiques et on aintroduit des abréviations qui rappellent leurs noms

Ces nombres représentent des intensités relatives de forces

20

𝐹𝐹𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑣𝑣𝐹𝐹𝑖𝑖

+𝐹𝐹𝑝𝑝𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝐹𝐹𝑖𝑖

+𝐹𝐹𝑣𝑣𝑖𝑖𝑝𝑝𝑣𝑣𝐹𝐹𝑖𝑖

+𝐹𝐹𝑝𝑝𝑒𝑒𝑔𝑔𝑝𝑝𝐹𝐹𝑖𝑖

+ 1 = 0

FroudeFr

EulerEu

ReynoldsRe

MachMa

L’importance de ces intensités relatives réside dans le fait quenous pouvons écrire des équations adimensionnelles décrivantle mouvement d’un fluide et que celles-ci sont UNIVERSELLES

Universelles signifie qu’elles sont valables indépendamment despropriétés du fluide: 𝝁𝝁,𝝆𝝆 , de l’espace (𝑳𝑳), des caractéristiques del’écoulement (pression 𝒑𝒑, accélération 𝒈𝒈 , élasticité 𝑬𝑬 ), et duchamp gravitationnel 𝒈𝒈

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Voici un cas imagé illustrant les forces présentes dans unécoulement permanent incompressible (non élastique).Les forces, présentes sont notés par :

Le reste des symboles indiquent; 𝐿𝐿: 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙, 𝐴𝐴:𝑎𝑎𝑎𝑎𝑙𝑙𝑙𝑙, 𝑚𝑚:𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙,𝜇𝜇: 𝑣𝑣𝑎𝑎𝑚𝑚𝑐𝑐𝑙𝑙𝑚𝑚𝑎𝑎𝑣𝑣é 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑙𝑙𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎𝑎𝑑𝑑𝑙𝑙𝑙𝑙,𝑉𝑉: 𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙,𝑙𝑙: 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐é𝑙𝑙é𝑙𝑙𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙,𝑇𝑇: 𝑣𝑣𝑙𝑙𝑚𝑚𝑡𝑡𝑚𝑚,𝑎𝑎:𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐é𝑙𝑙é𝑙𝑙𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎𝑙𝑙𝑙𝑙

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𝐹𝐹𝑔𝑔 force gravitationnelle𝐹𝐹𝑣𝑣 force de cisaillement𝐹𝐹𝑝𝑝 force de pression𝐹𝐹𝑖𝑖 force d’inertie

𝑭𝑭𝒑𝒑𝑭𝑭𝒄𝒄

𝑭𝑭𝒈𝒈𝑭𝑭𝒈𝒈

𝑭𝑭𝒄𝒄

𝑭𝑭𝒑𝒑

𝑭𝑭𝒊𝒊

𝑭𝑭𝒈𝒈

𝑭𝑭𝒄𝒄

𝑭𝑭𝒑𝒑

𝑭𝑭𝒊𝒊

𝑭𝑭𝒑𝒑𝑭𝑭𝒄𝒄

𝑭𝑭𝒈𝒈

𝑭𝑭𝒄𝒄 = 𝑨𝑨𝝁𝝁𝛛𝛛 ⁄𝑽𝑽 𝛛𝛛𝒏𝒏

𝑭𝑭𝒈𝒈 = 𝒎𝒎𝒈𝒈

𝑭𝑭𝒊𝒊 = 𝒎𝒎𝒈𝒈 ~𝝆𝝆𝑳𝑳𝟑𝟑( ⁄𝑳𝑳 𝑻𝑻𝟐𝟐) = 𝝆𝝆𝑳𝑳𝟐𝟐𝑽𝑽𝟐𝟐

~𝑳𝑳𝟐𝟐𝝁𝝁 ⁄𝑽𝑽 𝑳𝑳 = 𝝁𝝁𝑳𝑳𝑽𝑽

~𝝆𝝆𝑳𝑳𝟑𝟑𝒈𝒈

c cp m

i iFFF

F

=

𝑭𝑭𝒑𝒑𝑭𝑭𝒄𝒄

𝑭𝑭𝒈𝒈

𝑭𝑭𝒈𝒈

𝑭𝑭𝒄𝒄

𝑭𝑭𝒑𝒑

𝑭𝑭𝒊𝒊

𝑭𝑭𝒑𝒑𝑭𝑭𝒄𝒄

𝑭𝑭𝒈𝒈Similitude de Reynolds

2 2LLVV

ρµ

= =

𝑭𝑭𝒈𝒈

𝑭𝑭𝒄𝒄

𝑭𝑭𝒑𝒑

𝑭𝑭𝒊𝒊

𝑭𝑭𝒊𝒊~𝝆𝝆𝑳𝑳𝟐𝟐𝑽𝑽𝟐𝟐

𝑭𝑭𝒄𝒄~𝝁𝝁𝑳𝑳𝑽𝑽

𝝆𝝆𝑳𝑳𝑽𝑽𝝁𝝁

= 𝐑𝐑𝐑𝐑

p

i i

g g m

F FF F

=

𝑭𝑭𝒑𝒑𝑭𝑭𝒄𝒄

𝑭𝑭𝒈𝒈

𝑭𝑭𝒈𝒈

𝑭𝑭𝒄𝒄

𝑭𝑭𝒑𝒑

𝑭𝑭𝒊𝒊

𝑭𝑭𝒑𝒑𝑭𝑭𝒄𝒄

𝑭𝑭𝒈𝒈Similitude de Froude

2 2

3L gL Vρρ

= =

𝑭𝑭𝒊𝒊~𝝆𝝆𝑳𝑳𝟐𝟐𝑽𝑽𝟐𝟐

𝑭𝑭𝒈𝒈~𝝆𝝆𝑳𝑳𝟑𝟑𝒈𝒈

𝑽𝑽𝟐𝟐

𝒈𝒈𝑳𝑳= 𝑭𝑭𝒑𝒑𝟐𝟐

𝑭𝑭𝒈𝒈

𝑭𝑭𝒄𝒄

𝑭𝑭𝒑𝒑

𝑭𝑭𝒊𝒊

L’étude dans un cas réel (prototype) au moyen d’un modèle réduit(maquette), utilise le potentiel des nombres adimensionnelsdécrivant des rapports de forces

Les valeurs de ces quantités sont uniques pour chaque cas etagissent comme des “adaptateurs” entre deux mondes ayant desgrandeurs physiques et géométriques différentes

L’image suivante veut illustrer la communication entre unemaquette et un prototype via l'espace adimensionnel

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FroudeFr

ReynoldsRe

EspaceAdimensionnelUniversel

𝑭𝑭𝒈𝒈

𝑭𝑭𝒄𝒄

𝑭𝑭𝒑𝒑

𝑭𝑭𝒊𝒊

𝑭𝑭𝒈𝒈

𝑭𝑭𝒄𝒄

𝑭𝑭𝒑𝒑

𝑭𝑭𝒊𝒊

𝑭𝑭𝒄𝒄

𝑭𝑭𝒑𝒑

𝑭𝑭𝒊𝒊

𝑭𝑭𝒈𝒈

𝑹𝑹𝒑𝒑

𝑬𝑬𝑬𝑬

𝟏𝟏

𝑭𝑭𝒑𝒑𝑳𝑳𝒑𝒑𝑳𝑳𝒎𝒎

Dans un contexte général, les regroupements sans dimension etbien d’autres peuvent être trouvés au moyen de l’utilisation duThéorème 𝝅𝝅

28

29

Le théorème π de Vaschy-Buckingham affirme que toute loiphysique peut se réduire à un nombre minimal d’inconnues enintroduisant des variables sans dimension (notées πi )

Si un phénomène est décrit par N variables physiques, expriméesà l’aide de J dimensions fondamentales, il est alors possible dedéfinir un problème adimensionnel équivalent comme unefonction de N-J grandeurs sans dimension

Reynoldsrapport des forces d’inertie aux forces visqueuses

Frouderapport des forces d’inertie aux forces gravitationnelles

Machrapport des forces d’inertie aux forces élastiques

𝑁𝑁: vitesse de rotation𝐷𝐷: diamètre du rotor

=⁄�̇�𝑚 𝜌𝜌 𝐴𝐴

𝑁𝑁 ⁄𝐷𝐷 2Φ =𝑐𝑐𝑥𝑥,𝑚𝑚

𝑈𝑈

Φ =�̇�𝑚

𝜌𝜌𝑁𝑁𝐷𝐷3(Le facteur 2 est négligé)

(�̇�𝑚 = 𝜌𝜌𝑐𝑐𝑥𝑥,𝑚𝑚𝐴𝐴)(𝑈𝑈=𝑁𝑁 ⁄𝐷𝐷 2)

ψ =𝑊𝑊𝑝𝑝

𝑈𝑈2

ψ =𝑊𝑊𝑝𝑝

𝑁𝑁2𝐷𝐷2

(Le facteur 2 est négligé)

(𝑈𝑈=𝑁𝑁 ⁄𝐷𝐷 2)

Pompes

Φ =𝑄𝑄𝑁𝑁𝐷𝐷3

Ψ =𝑙𝑙𝑔𝑔𝑁𝑁2𝐷𝐷2

Φ =�̇�𝑚

𝜌𝜌𝑁𝑁𝐷𝐷3�̇�𝑚 = 𝜌𝜌𝑄𝑄

𝑊𝑊𝑝𝑝 = 𝑙𝑙𝑔𝑔 Ψ =𝑊𝑊𝑝𝑝

𝑁𝑁2𝐷𝐷2

Ces deux coefficients adimensionnels de similitude 𝚽𝚽 et 𝚿𝚿,ainsi que le rendement 𝜼𝜼 , caractérisent ce type deturbomachine. En pratique, il est d'usage d'exprimer un enfonction des autresTout le long de ce cours, le fluide a été considéré sansviscosité, mais dans un contexte plus large, il faudra en tenircompte. Dans le monde adimensionnel, l'influence de laviscosité se manifeste dans le nombre de ReynoldsOn peut écrire alors

Ψ = f ( Φ Re Géo)

Une formulation similaire peut être imaginée pour le rendement

𝑙𝑙𝑔𝑔𝑁𝑁2𝐷𝐷2

𝜂𝜂 = 𝑙𝑙𝑄𝑄𝑁𝑁𝐷𝐷3

,𝜌𝜌𝑁𝑁𝐷𝐷2

𝜇𝜇,𝑙𝑙𝑖𝑖𝐷𝐷

À partir de quelle vitesse peut-on considérer l’écoulement d’unfluide compressible comme étant incompressible?Le consensus établie indique qu’un écoulement dont le nombrede Mach satisfait 𝑴𝑴 < 𝟎𝟎.𝟑𝟑 , peur être traité comme étantincompressibleCe critère, peut être expliqué si l’on regarde la relation entre lapression statique et la pression totale (d’arrêt ou de stagnation):

39

…

𝑡𝑡0𝑡𝑡

= 1 +𝛾𝛾 − 1

2𝑀𝑀𝑎𝑎2

⁄𝛾𝛾 𝛾𝛾−1

40

…

𝑡𝑡0 − 𝑡𝑡 =12𝜌𝜌𝑉𝑉2 1 +

𝑀𝑀𝑎𝑎2

4+ 𝑂𝑂(𝑀𝑀𝑎𝑎4)𝑡𝑡0

𝑡𝑡= 1 +

𝛾𝛾 − 12

𝑀𝑀𝑎𝑎2⁄𝛾𝛾 𝛾𝛾−1

Pour Μα < 0.3

Pression dynamique

𝑡𝑡0 − 𝑡𝑡 ≈12𝜌𝜌𝑉𝑉2

L’écoulement dans un ventilateur est à faible nombre de Mach≈ 𝑎𝑎𝑙𝑙𝑐𝑐𝑙𝑙𝑚𝑚𝑡𝑡𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑛𝑛𝑙𝑙𝑙𝑙 .

Le coefficient de débit 𝚽𝚽 sera ainsi basé sur le débit volumique 𝑸𝑸,et le coefficient de charge 𝚿𝚿 sur la variation de pression ∆𝑷𝑷 entrel’amont et l’aval du rotor

41

…

Φ =𝑄𝑄𝑁𝑁𝐷𝐷3 Ψ =

⁄Δ𝑃𝑃 𝜌𝜌𝑁𝑁2𝐷𝐷2

Ψ = f ( Φ Re Géo)

et pour le rendement

⁄Δ𝑃𝑃 𝜌𝜌𝑁𝑁2𝐷𝐷2

= 𝑓𝑓𝑄𝑄𝑁𝑁𝐷𝐷3

,𝜌𝜌𝑁𝑁𝐷𝐷2

𝜇𝜇,𝑙𝑙𝑖𝑖𝐷𝐷

𝜂𝜂 = 𝑙𝑙𝑄𝑄𝑁𝑁𝐷𝐷3

,𝜌𝜌𝑁𝑁𝐷𝐷2

𝜇𝜇,𝑙𝑙𝑖𝑖𝐷𝐷

Dans un compresseur ou dans une turbine à gaz on retrouvel’écoulement d’un gaz à haute vitesse. On doit alors tenir comptede la compressibilité qui se manifeste dans le nombre de Mach

La nature du gaz devra également être incluse. Celle-ci sera priseen compte par le rapport des chaleurs spécifiques 𝜸𝜸

Pour caractériser un compresseur, on a alors identifié lesparamètres suivants:

la puissance, le débit massique, l’état à l’entrée, les capacitéscalorifiques du fluide, la vitesse de rotation, la viscosité, lediamètre caractéristique

Cette relation peut être simplifiée une fois qu’elle est expriméesous une forme adimensionnelle. Notamment,

�̇�𝑊 = 𝑓𝑓 �̇�𝑚,𝜌𝜌01,𝑇𝑇01, 𝑐𝑐𝑝𝑝, 𝑐𝑐𝑣𝑣 ,𝑁𝑁, 𝜇𝜇,𝐷𝐷

Le coefficient de puissance Ρ remplace le coefficient de charge Ψ,puisque la puissance c’est le travail par unité de temps

Après quelques manipulations, cette relation peut êtretransformée sous la forme équivalente:

Φ Re M γP(Ψ)

�̇�𝑊𝜌𝜌01𝑁𝑁3𝐷𝐷5

= 𝑓𝑓�̇�𝑚

𝜌𝜌01𝑁𝑁𝐷𝐷3,𝜌𝜌01𝑁𝑁𝐷𝐷2

𝜇𝜇,

𝑁𝑁𝐷𝐷𝛾𝛾𝛾𝛾𝑇𝑇01

, 𝛾𝛾

À partir de cette relation on peut construire la carte ducompresseur moyennant quelques simplifications

Ψ Φ Re M γ

P

𝑡𝑡02𝑡𝑡01

= 𝑓𝑓�̇�𝑚 𝛾𝛾𝑇𝑇01𝑡𝑡01𝐷𝐷2

,𝜌𝜌01𝑁𝑁𝐷𝐷2

𝜇𝜇,𝑁𝑁𝐷𝐷𝛾𝛾𝑇𝑇01

, 𝛾𝛾

𝑡𝑡02𝑡𝑡01

, 𝜂𝜂 = 𝑓𝑓,𝑙𝑙�̇�𝑚 𝛾𝛾𝑇𝑇01𝑡𝑡01𝐷𝐷2

,𝜌𝜌01𝑁𝑁𝐷𝐷2

𝜇𝜇,

𝑁𝑁𝐷𝐷𝛾𝛾𝛾𝛾𝑇𝑇01

, 𝛾𝛾

– Reynolds élévé (turbulent): au-delà d’un nombre de Reynolds limite, la performance ne varie pas trop (similitude restreinte)

– Même fluide (𝛾𝛾, 𝛾𝛾)

– Même machine (𝐷𝐷 = 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑚𝑚𝑣𝑣𝑙𝑙)

η, Ψ Φ Re M γ

Ψ Φ M

( )( )

,,

= Ψ Φη = Ψ Φ

M fg

𝑡𝑡02𝑡𝑡01

= 𝑓𝑓�̇�𝑚 𝑇𝑇01𝑡𝑡01

,𝑁𝑁𝑇𝑇01

𝜂𝜂 = 𝑙𝑙�̇�𝑚 𝑇𝑇01𝑡𝑡01

,𝑁𝑁𝑇𝑇01

Fonction similairepour le rendement

La carte qui synthétise la performanced’un compresseur est caractérisée par

L’évaluation de la performance d’un compresseur est caractériséeau moyen de l’ensemble de paramètres 𝜼𝜼,𝚿𝚿,𝚽𝚽,𝐌𝐌.Le champ d’opération du compresseur est représenté par descourbes de nombre de Mach 𝐌𝐌 constant dans le plan 𝚿𝚿,𝚽𝚽. Il estd’usage de superposer dans carte du compresseur, des contoursd’isorendement 𝜼𝜼Selon les simplifications présentées, en pratique on utilise le tauxde compression ⁄𝒑𝒑𝟎𝟎𝟐𝟐 𝒑𝒑𝟎𝟎𝟏𝟏 au lieu d’une autre forme pour lecoefficient 𝚿𝚿 et le débit corrigé ��̇�𝒎 𝑻𝑻𝟎𝟎𝟏𝟏 𝒑𝒑𝟎𝟎𝟏𝟏 à la place de 𝚽𝚽

Aussi, le nombre de Mach 𝑴𝑴 est substitué par la vitesse derotation corrigée ⁄𝑵𝑵 𝑻𝑻𝟎𝟎𝟏𝟏Dans cette carte on distingue deux limites qui contraignent laplage d’opération d’un compresseur: le pompage et le blocagesonique

Le pompage: il s’agit d’un phénomène qui a lieu des faiblesdébits. Il est associé à un chute soudaine du taux de compressionsuivie par des fortes oscillations de la pression, parfoisaccompagnée d’une inversion de l’écoulement. Sous cettecondition le compresseur est inopérable

Le blocage sonique: ce phénomène à lieu à des forts débits. Ils’agit de la l’apparition d’une section sonique dans l’étage quilimite le débit massique maximal. Dans cette limite, laperformance du compresseur chute rapidement

Débit

Rap

port

de P

ress

ion

𝒑𝒑𝟎𝟎𝟐𝟐𝒑𝒑𝟎𝟎𝟏𝟏

��̇�𝒎 𝑻𝑻𝟎𝟎 𝒑𝒑𝟎𝟎

𝑵𝑵𝑻𝑻𝟎𝟎

Courbe de vitessecorrigéeconstante

Débit

Rap

port

de P

ress

ion

ηCourbes de rendement

𝒑𝒑𝟎𝟎𝟐𝟐𝒑𝒑𝟎𝟎𝟏𝟏

��̇�𝒎 𝑻𝑻𝟎𝟎𝟏𝟏 𝒑𝒑𝟎𝟎𝟏𝟏

0102

01 01

,m Tpg

p p

η=

η ψ Φ

Débit

Rap

port

de P

ress

ion

𝒑𝒑𝟎𝟎𝟐𝟐𝒑𝒑𝟎𝟎𝟏𝟏

��̇�𝒎 𝑻𝑻𝟎𝟎𝟐𝟐 𝒑𝒑𝟎𝟎𝟐𝟐

𝑵𝑵𝑻𝑻𝟎𝟎𝟐𝟐

𝛈𝛈

η

Sur la carte d’un compresseur on trace également la ligned’opération ou ligne de fonctionnement du compresseurElle correspond à la ligne reliant chacun des points derendement maximal sur chaque isovitesseChaque compresseur a un point d’opération optimal sur la ligned’opérationCette position dans la carte c’est le point de design où lecompresseur fonctionnera la plupart du temps

Débit

Rap

port

de P

ress

ion

𝒑𝒑𝟎𝟎𝟐𝟐𝒑𝒑𝟎𝟎𝟏𝟏

��̇�𝒎 𝑻𝑻𝟎𝟎𝟐𝟐 𝒑𝒑𝟎𝟎𝟐𝟐

Point de design idéal

Ligne d’opération

𝛈𝛈

𝑵𝑵𝑻𝑻𝟎𝟎𝟐𝟐

Pour construire la carte d'une turbine, on utilise les mêmesparamètres que pour le compresseur

On note la faible dépendance de la performance en fonction dela vitesse corrigée, ce qui contraste avec le compresseur, surlequel la vitesse de rotation corrigée a un fort impact

On remarque aussi que les vitesses de rotation corrigée sontconfondues, lorsque un écoulement sonique est atteint dans lecanal inter-aube. La turbine est ainsi bloquée, et le débit estmaximal

𝑡𝑡04𝑡𝑡05 Limite de Blocage

𝑵𝑵𝑻𝑻𝟎𝟎𝟒𝟒

𝜂𝜂

��̇�𝑚 𝑇𝑇04 𝑡𝑡04