8/17/2019 Energie Cinetique

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E.IV.1

IV - EQUATION DE L'ENERGIE CINETIQUE

La conservation de l'énergie cinétique pour un domaine Dm lié aux particules matérielles

s'exprime par :

 

dK 

dt = P

e+P

i  (E-IV-1)

avec : - Energie cinétique : K 

=   r 

V 2

2 Dm Ú   d 

J   (E-III-3)

- Puissance échangée avec l'extérieur (equations (E-III-6) et (E-III-7)) :

 

Pe =   r r

 f ⋅

r

V Dm

 Ú  d J + div(t r

V ) Dm

 Ú  d J 

-  pdiv(r

V ) Dm

 Ú  d J -r

V ⋅ grad p Dm

 Ú  d J 

- Puissance des forces interieures :

 

Pi = -   s : D

m Ú    Dd J    (E-IV-2)

où le produit tensoriel contracté est défini par :

 

s  : D =   s  ij  D

ij  j 

Âi

Â

et  D  est le tenseur des déformations : 

 D = 1

2grad 

r

V+t grad 

r

V( )

Si nous faisons la décomposition classique :

 

s  = t - p I 

, il vient :

 

Pi = -   t  :

 Dm

 Ú   D d J +  p divr

V d J 

 Dm

 Ú    (E-IV-3)

L'équation intégrale de conservation de l'énergie cinétique s'écrit donc, après utilisation

du théorème de Reynolds :

 

r d 

dt 

V 2

2

Ê

ËÁ

ˆ

¯˜

 Dm Ú  d J =   r 

r

 f ⋅

r

V Dm

 Ú  d J + div(t r

V ) Dm

 Ú  d J 

-r

V ⋅ grad p Dm

 Ú  d J -   t : Dm

 Ú   Dd J 

  (E-IV-4)

d'où l'équation sous forme locale :

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E.IV.2

 

r d 

dt 

V 2

2

Ê

ËÁ

ˆ

¯˜ = r 

r

 f ⋅

r

V + div(t r

V )-r

V ⋅ grad p -t  : D   (E-IV-5)