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Conceitos Preparatorios Espaco de funcoes Operadores Hermitianos Exercıcios

ESPACO DE FUNCOES EOPERADORES HERMITIANOS

Mecanica Quantica I (1108045) - Capıtulo 03

I. Paulino*

*UAF/CCT/UFCG - Brasil

2015.2

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Sumario

Conceitos PreparatoriosPartıcula numa caixaPrincıpio da correspondencia de Bohr

Espaco de funcoesNotacao de DiracEspaco de Hilbert

Operadores HermitianosOperadores HermitianosPropriedades dos Operadores Hermitianos

ExercıciosExercıcios

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Partıcula numa caixa unidimensional

Considere uma partıcula de massa m restrita a se mover ao longode uma linha reta entre duas paredes impermeaveis conformeilustra a figura abaixo:

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Para este problema, o potencial pode ser escrito por:{V (x) =∞, x ≤ 0 e x ≥ aV (x) = 0, 0 < x < a

. (1)

esta configuracao e conhecida como partıcula presa numa caixaunidimensional.No primeiro domınio, a equacao de Schrodinger fica

H1 =p2

2m+∞ =∞ . (2)

No segundo domınio, tem-se:

H2 =p2

2m. (3)

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A solucao da Equacao (2) fornece ϕ = 0 para qualquer autovalorde energia finito E . Isto porque o lado esquerdo de

H1ϕ = Eϕ (4)

e finito e, consequentemente, o lado direito dever ser tambemfinito. Neste caso a unica possibilidade e ϕ = 0. A interpretacaodeste resultado e que a probabilidade de encontrar a partıcula nolado exterior da caixa e nula. Estas regioes sao conhecidas comodomınios proibidos.No segundo domınio, tem-se

− ~2

2m

∂2ϕ

∂x2= Eϕ (5)

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que reescrevendo obtem-se:

∂2ϕ

∂x2+ k2ϕ = 0 , (6)

em que

k2 =2mE

~2. (7)

A solucao da Equacao (6) fornece:

ϕ(x) = C1eikx + C2e

−ikx

ϕ(x) = A sin kx + B cos kx. (8)

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Como ϕ e uma funcao contınua, pode-se escrever:

ϕ(0) = ϕ(a) = 0 . (9)

Portanto, a partir da primeira condicao inicial, escreve-se

ϕ(0) = 0 = B . (10)

A segunda condicao inicial fornece

ϕ(a) = 0 = A sin ka , (11)

o que implica em:

ka = nπ, n = 0, 1, 2, 3, · · · (12)

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Partıcula numa caixa unidimensionalIsto quer dizer que os valores permitidos para k econsequentemente para E sao quantizados! Ou seja,

En =k2n~2

2m=

n2π2~2

2ma2. (13)

Fazendo E1 = ~2π2

2ma2 , tem-se:

En = n2E1 (14)

O valor da constante A pode ser obtido a partir da condicao denormalizacao, ou seja,∫ a

0 ϕ∗ϕdx = 1⇒

1 = A2anπ =

∫ nπ0 sin2 θdθ = A2a

2 ⇒A =

√2a .

(15)

Para isto, fez-se a seguinte substituicao de variaveis: θ = nπxa .

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As autofuncoes podem ser escritas, portanto, por:

ϕn =

√2

asin(nπx

a

). (16)

O ındice n significa que as autofuncoes tambem sao quantizadas.Por exemplo, o autoestado correspondente a n = 0 e ϕ0 = 0. Istosignifica que a probabilidade de encontrar a partıcula ao longo doeixo x e nula. Isto e equivalente dizer que a partıcula nao existe.Por outro lado, a energia correspondente a n = 0 e E = 0. Como aenergia no domınio interior a caixa e puramente cinetica, istoimplica que a partıcula esta em repouso, ou seja, ∆p = 0 que eincompatıvel para o caso da partıcula presa na caixa. As autoenergias, autofuncoes e densidades de probabilide sao mostradasna figura abaixo.

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E importante lembrar que o valor esperado e a condicao de normalizacaosao invariantes pela transformacao ψ → e iαψ, para qualquer α real. Istoque dizer que a funcao de onda e determinada dentro de fator de fase daforma e iα.

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Princıpio da correspondencia de BohrConsiderando o movimento classico de uma partıcula presa numacaixa unidimensional, de tal maneia que seja desprezado o atrito etenha sempre colisoes elasticas da partıcula com as paredes dacaixa, Se a partıcula possui uma velocidade v , o seu movimentoentre as paredes pode ser escrito por:

x = x0 + vt . (17)

Suponha que a posicao inicial x0 seja completamentedesconhecida. Qual e a probabilidade (Pdx) de encontrar apartıcula no intervalo entre x e x + dx num tempo subsequente?Esta probabilidade e dada por

Pdx =dt

T, (18)

em que T e o intervalo de tempo necessario entre duas colisoes dapartıcula com as paredes. Logo,

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Princıpio da correspondencia de Bohr

Pdx = vdta = dx

a ⇒

P = 1a = cte

. (19)

Isto quer dizer que e uniformemente provavel encontrar a partıculaem qualquer posicao da caixa. Em outras palavras, se forem feitasreplicas desse experimentos e medicoes aleatorias forem tomadas,o resultado sera algo semelhante ao encontrado na figura abaixo:

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Princıpio da correspondencia de BohrPor outro lado, no caso da mecanica quantica, se a partıcula estano estado ϕ3, a densidade de probabilidades apresenta picos emx = ( a6 ,

a2 ,

5a6 ), como foi visto na subsecao anterior. Neste caso,

medidas de um numero abundante de replicas do sistema vaoproduzir um padrao conforme mostrado que e bastante diferentedo apresentado na mecanica classica. Suponha entao, que apartıcula esteja em estados quanticos elevados, ou seja, n muitogrande. A posicao dos maximos de probabilidade serao conformesa figura a seguir:

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Princıpio da correspondencia de Bohr

De uma forma geral, a posicao dos maximos de densidade deprobabilidade (|ϕ|2) e dada por:

xj =2j + 1

2na, j = 0, 1, 2, 3, · · · (20)

Quando n cresce, a densidade de probabilidade comeca a oscilarem alta frequencia e, consequentemente, vai se tornando uniforme.Isto implica que quando n→∞, a mecanica quantica se aproximada mecanica classica.

Niels Bohr foi o primeiro a analisar esta transicao entre a fısicaclassica e quantica. Para muitos problemas, esta transicao ocorrequando ~ se torna pequeno o que corresponde a numerosquanticos elevados (n→∞). Esta regra ficou conhecida comoprincıpio da correspondencia de Bohr.

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Notacao de Dirac

A notacao de Dirac e uma contracao para a integracao do produtode duas funcoes de estado ψ(x) e ϕ(x) que aparece por:

〈ψ|ϕ〉 =

∫ ∞−∞

ψ∗(x)ϕ(x)dx . (21)

De uma forma mais geral, a operacao 〈ψ|ϕ〉 significa:

1 Tomar o conjugado complexo do objeto de ψ, ou seja ψ → ψ;

2 Integra o produto (ψ∗ϕ)

Se a e um numero complexo e∫∞−∞ ψ

∗(x)ϕ(x)dx <∞, estaoperacao tem as seguinte propriedades:

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Notacao de Dirac

1 〈ψ|aϕ〉 = a 〈ψ|ϕ〉;2 〈aψ|ϕ〉 = a∗ 〈ψ|ϕ〉;3 〈ψ|ϕ〉∗ = 〈ϕ|ψ〉;4 〈ψ + ϕ| = 〈ψ| + 〈ϕ| ;5 ∫∞

−∞ (ψ1 + ψ2)∗(ϕ1 + ϕ2)dx = 〈ψ1 + ψ2|ϕ1 + ϕ2〉

= (〈ψ1| + 〈ψ2|)( |ϕ1〉+ |ϕ2〉)

= 〈ψ1|ϕ1〉+ 〈ψ1|ϕ2〉+ 〈ψ2|ϕ1〉+ 〈ψ2|ϕ2〉.

O objeto 〈ψ| e chamado de BRA e o objeto |ϕ〉 e chamado deKET, quando juntos (〈ψ|ϕ〉) formam o BRA-KET que e forma danotacao de Dirac.

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Espaco de Hilbert

Um vetor no espco cartesiano pode ser escrito como um conjuntode tres numeros, chamados de componentes do vetor. Qualquervetor no espaco pode ser expandido em termos dos vetoresunitarios ex , ey e ez que formam a base do espaco vetorial. Por

exemplo, um vetor ~V pode ser escrito por:

~V = exVx + eyVy + ezVz . (22)

Os vetores ex , ey e ez sao os geradores do espaco vetorial.

O produto interno entre dois vetores ~U e ~V e definido da seguinteforma:

~V · ~U = VxUx + VyUy + VzUz (23)

e o comprimento do vetor ~V e calculado por√~V · ~V .

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Espaco de HilbertO espaco de Hilbert H e bastante semelhante ao espaco vetorialdiscutido acima. Seus elementos sao funcoes ao inves de vetorestridimensionais. As semelhancas sao tantas que muitas das vezesas funcoes sao chamadas de vetores. Um espaco de Hilbert tem asseguintes propriedades:

I. O espaco e linear. Um epaco de funcoes e linear se: (a) a euma constante e ϕ e um elemento do espaco, entao aϕtambem e uma elemento do espaco e (b) ψ e ϕ sao doiselementos do espaco, entao ψ + ϕ tambem e elemento doespaco.

II. Existe um produto interno, para quaisquer dois elementos doespaco. Para funcoes definidas no intervalo a ≤ x ≤ b, tem-se:

〈ψ|ϕ〉 =

∫ b

aψ∗ϕdx (24)

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Espaco de Hilbert

III. Qualquer elemento do espaco H possui uma norma que estarelacionada com o produto interno da seguinte forma:

||ϕ||2 = 〈ϕ|ϕ〉 (25)

IV. O espaco H e completo. Todas as sequencias de Cauchy defuncoes de H converge para um elemento de H . Umasequencia de Cauchy {ϕn} e tal que ||ϕn − ϕl || → 0 quando ne l se aproximam de infinito.

Um exemplo do espaco de Hilbert e dado pelo conjunto de funcoesdefinidas no intervalo (0 ≤ x ≤ a) com norma finita:

||ϕ||2 =

∫ a

0ϕ∗ϕdx H1 . (26)

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Espaco de Hilbert

Outro exemplo e o espaco de funcoes conhecido como espaco L2.Que e o conjunto de funcoes quadrado integraveis definida emtodo x , isto e,

||ϕ||2 =

∫ ∞−∞

ϕ∗ϕdx H2 . (27)

Para comparar a similaridade do produto interno entre funcoescom o produto interno entre vetores, pode-se pensar na funcaoϕ(x) como um vetor de infinitas componentes. O produto internoentre dois vetores ~V e ~U e a soma de todos os produtos dascomponentes paralelas. Entao o produto interno entre ϕ e ψ e asoma (integral) sobre todas os produtos das componentes paralelasdestas funcoes. Com isto pode-se ver que o espaco de Hilbert ebastante semelhante a um espaco vetorial. Isto e, o espaco deHilbert pode ser um espaco vetorial de infinitas dimensoes.

20 / 47


Espaco de HilbertDe uma forma similar, dois vetores no espaco de Hilbert ψ e ϕ saoortogonais se:

〈ψ|ϕ〉 = 0 . (28)

Lembrando que os vetores unitarios ex , ey e ez geram o espacovetorial tridimensional. De forma similar existe um conjunto defuncoes que geram o espaco de Hilbert.

Por exemplo, o espaco de Hilbert pode ser gerado pelo conjunto defuncoes {ϕn} que sao autofuncoes da Hamiltoniana referente aoproblema da caixa unidimensional. Isto quer dizer ainda quequalquer funcao ϕ neste espaco pode ser expandida em series desequencias de {ϕn}. Isto e

ϕ(x) =∞∑n=1

anϕn(x) . (29)

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Espaco de HilbertA relacao (29) pode ser esquematizada na figura abaixo.

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Espaco de Hilbert

Os coeficientes an sao as projecoes de ϕ sobre o vetor ϕn. Paracompreender esta afirmacao, e importante saber que a base devetores {ϕn} compoem um conjunto ortogonal, que pode serrepresentado por:

〈ϕn|ϕn′〉 = 0, para n 6= n′ . (30)

Alem disso, ϕn e um vetor unitario, i.e., tem comprimento unitario,

〈ϕn|ϕn〉 = ||ϕn|| = 1 . (31)

Esta duas propriedades podem ser escritas numa simples equacaoda seguinte forma:

〈ϕn|ϕn′〉 = δn,n′ . (32)

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Espaco de Hilbert

O simbolo δn,n′ e conhecido como delta de Kronecker e e definidopor:

δn,n′ =

{0, para n 6= n′

1, para n = n′. (33)

Qualquer sequencia de funcoes que obedecem a relacao (33) echamado de conjunto ortonormal.

Para mostrar que an e a projecao de ϕ sobre ϕn, escreve-se aEquacao (29) na notacao de Dirac, i.e.,

| ϕ〉 =∞∑n=1

| anϕn〉 . (34)

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Espaco de Hilbert

Multiplicando esta equacao pelo BRA de ϕn′ tem-se

〈ϕn′ |ϕ〉 =∞∑n=1

〈ϕn′ |anϕn〉 ⇒

〈ϕn′ |ϕ〉 =∞∑n=1

an 〈ϕn′ |ϕn〉 =∞∑n=1

anδn,n′ = an′ . (35)

Isto quer dizer que o coeficiente an′ e o produto interno entre abase de vetores ϕn′ . Como ϕn′ e um vetor unitario, an′ e aprojecao de ϕ sobre ϕn′ .

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Ortogonalidade da funcao Delta

Sabe-se que o conjunto de funcoes ϕn geram o espaco H1. Qualconjunto de funcoes gera o espaco H2? A resposta sao asautofuncoes do operador p, dadas por:

ϕk(x) =1√2π

e ikx . (36)

O produto interno pode ser escrito por:

〈ϕk |ϕk ′〉 =1

2π

∫ ∞−∞

e ix(k ′−k)dx = δ(k ′ − k) (37)

Isto significa que o produto interno entre dois autovetores distintosdo operador momentum linear p e desprezıvel.

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Da mesma forma, qualquer funcao do espaco H2 pode serexpandida em termos dos autovetores {ϕk}. Esta expansao podeser escrita da seguinte forma

ϕ(x) =

∫ ∞−∞

b(k)ϕk(x)dk (38)

Novamente, o coeficiente de expansao b(k) e a projecao de ϕ(x)sobre ϕk . Para demonstrar isto, reescreve-se a integral da seguinteforma:

|ϕ〉 =

∫ ∞−∞|b(k)ϕk〉 dk (39)

Pre-multiplicando por 〈ϕk ′ | , tem-se:

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〈ϕk ′ |ϕ〉 =∫∞−∞ 〈ϕk ′ |b(k)ϕk〉 dk =

∫∞−∞ b(k) 〈ϕk ′ |ϕk〉 dk ⇒

〈ϕk ′ |ϕ〉 =∫∞−∞ b(k)δ(k ′ − k)dk = b(k ′)

.

(40)O coeficiente b(k ′) e o produto interno entre ϕk ′ e ϕ e pode serentendido como a projecao de ϕ sobre ϕk ′ . Contudo, ϕk ′ nao eunitario, ou seja,

||ϕk ||2 = 〈ϕk |ϕk〉 = δ(0) =1

2π

∫ ∞−∞

dx =∞ . (41)

Embora isto desqualifique as funcoes ϕk para serem membros doespaco H2, as funcoes ϕk podem ser adequadamente normalizadasde tal forma que possam ser utilizadas para gerar o espaco H2.

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Operadores correspondentes a observaveis fısicosA media de um observavel A para um sistema no estado ψ(x , t) edado por:

< A >=

∫ψ∗(x , t)Aψ(x , t)dx =

⟨ψ|Aψ

⟩, (42)

que e o valor esperado de A num dado tempo t. Quais sao aspossıveis funcoes de estado para uma partıcula movendo-se emuma dimensao num dado instante? A resposta e qualquer funcaode H2.

Mais uma vez considerando um observavel A. Se o valor a desteobservavel pode ser calculada em algum desses estados (ummembro de H2), o resultado deve ser um numero real. Esta deveser a propriedade que um operador deve ter para representar um

observavel fısico. O objeto⟨ψ|Aψ

⟩deve ser real para todo ψ em

H2.29 / 47


Operadores correspondentes a observaveis fısicos

Quando trabalhamos com o problema de uma caixa

unidimensional,⟨ψ|Aψ

⟩deve ser real para todo ψ em H1. Por

exemplo, se H e um operador de energia, entao:

< E >=⟨ψ|Hψ

⟩= −

∫ a

0

ψ∗~2

2m

∂2ψ

∂x2dx (43)

deve ser real para qualquer funcao de estado ψ em H1.

Operadores Hermitianos possuem autovalores reais quecorrespondem a observaveis fısicos.

A existencia deste tipo de operadores sao os alicerces da teoria damecanica quantica.

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Adjunto Hermitiano

Para entender o que significa um operador Hermitiano, pode-secomecar discutindo um operador adjunto Hermitiano. Considereum operador A. O Adjunto Hermitiano de A e A†. O adjuntoHermitiano, na maioria das vezes e completamente diferente dooperador hermitiano em questao. Por exemplo, o adjuntoHermitiano do numero complexo c e o conjugado complexo de c ,i.e.,

c† = c∗ (44)

Para definir o adjunto Hermitiano considere dois elementos doespaco de Hilbert ψ1 e ψn Se A e um operador e ψ e um elementode H , entao Aψ esta tambem no espaco H . O produto interno

pode ser escrito por⟨ψ1|Aψn

⟩. Suponha que outro operador A†,

tambem definido para H resulte no seguinte:

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Adjunto Hermitiano⟨A†ψ1|ψn

⟩=⟨ψ1|Aψn

⟩. (45)

Se isto e valido para todos ψ1 e ψn no espaco H , A† e o adjuntoHemitiano de A. Para encontrar o adjunto Hermitiano de A epreciso encontrar A† que satisfaca a Equacao (45). Como exemploconsidere o A = a, um numero complexo. Desta forma:⟨

A†ψ1|ψn

⟩=⟨ψ1|Aψn

⟩=⟨ψ1|aψn

⟩=

a 〈ψ1|ψn〉 = 〈a∗ψ1|ψn〉, (46)

portanto, a† = a∗.

Como segundo exemplo, pode-se calcular o adjunto Hermitiano dooperador D = ∂

∂x definido em H2.

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Adjunto Hermitiano

Sendo assim, ⟨ψ1|Dψn

⟩=

∫ ∞−∞

ψ∗1∂ψn

∂xdx (47)

Integrando por partes tem-se:

⟨ψ1|Dψn

⟩= [ψ∗1ψn]∞−∞ −

∫ ∞−∞

∂ψ∗1∂x

ψndx =⟨−Dψ1|ψn

⟩(48)

Isto porque o primeiro termo do lado direito da primeira igualdadee nulo ja que ψ1 e ψn sao funcoes de H2. Entao:

D† = −D . (49)

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Operador Hermitiano

Em alguns casos, pode-se encontrar que o adjunto Hermitiano deum operador e ele mesmo, ou seja

A† = A (50)

isto implica que ⟨ψ1|Aψn

⟩=⟨Aψ1|ψn

⟩. (51)

Operadores que tem esta caracterısticas sao chamados deoperadores hermitianos.

Um exemplo de um operador Hermitiano e um numero real a, pois,

〈ψ1|aψn〉 = 〈aψ1|ψn〉 . (52)

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Operador HermitianoSe A e B sao dois operadores Hermitianos, o produto entre eles eHermitiano? Para calcularmos, faz-se:O produto entre os operadores e seu adjunto Hermitiano podemser calculados por:⟨

ψl |(AB)ψn

⟩=⟨

(AB)†ψl |ψn

⟩, (53)

ou ainda, ⟨ψl |ABψn

⟩=⟨ψl |A(Bψn)

⟩=⟨A†ψl |Bψn

⟩⟨ψl |ABψn

⟩=⟨B†A†ψl |ψn

⟩ . (54)

Comparando a Equacao (53) com a Equacao (54), tem-se:

(AB)† = B†A† . (55)

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Operador HermitianoAgora se A e B sao Hermitianos,

(AB)† = BA (56)

e AB nao sao necessariamente Hermitianos.

O quadrado de um operador Hermitiano e Hermitiano?

Para responder esta pergunta, faz-se:

(A2)† = (AA)† = A†A† = AA = (A)2 , (57)

portanto, conclui-se que SIM! Outra forma de responder e⟨ψl |(A)2ψn

⟩=⟨Aψl |Aψn

⟩=⟨AAψl |ψn

⟩⇒

⟨ψl |(A)2ψn

⟩=⟨

(A)2ψl |ψn

⟩ . (58)

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Operador Hermitiano

O operador AB + BA e Hermitiano?

Para calcular, faz-se:

(AB + BA)† = (AB)† + (BA)† = B†A† + A†B† ⇒(AB + BA)† = BA + AB = AB + BA

. (59)

Logo este operador construıdo da forma bilinear de dois operadoresHermitianos e um operador Hermitiano.

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Operador de momentum linear e energia

O operador p e Hermitiano se para todas as funcoes ψl e ψn

pertencentes ao espaco de Hilbert H2 que representam umapartıcula livre obedecer a seguinte relacao

〈ψ1|pψn〉 = 〈pψ1|ψn〉 . (60)

Agora,

〈ψ1|pψn〉 =∫∞−∞ ψ

∗l

(−i~∂ψn

∂x

)dx = −i~ [ψ∗l ψn]∞−∞+

i~∫∞−∞

(−i~∂ψn

∂x

)∗ψndx = 〈pψ1|ψn〉

. (61)

Logo p e Hermitiano.

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Operador de momentum linear e energia

Como consequencia direta, pode-se concluir que o operador H parauma partıcula livre tambem e Hermitiano, ou seja,

H† =

(p2

2m

)†=

((p†)2

2m

)=

(p2

2m

)= H . (62)

Por outro lado, se V (x) e uma funcao real que simplesmentemultiplica as funcoes de H2, entao, para estes casos, o operadorHamiltoniano e Hermitiano.

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Propriedades dos Operadores Hermitianos

A primeira propriedade dos operadores Hermitianos e que seusautovalores associados sao reais. Considere um operadoHermitiano A, {ϕn} autofuncoes e an autovalores de A. A equacaode autovalor fica:

Aϕn = anϕn , (63)

Na notacao de Dirac

|Aϕn

⟩= |anϕn〉 (64)

Multiplicando o bra 〈ϕn| , tem-se⟨ϕn|Aϕn

⟩= 〈ϕn|anϕn〉 = an 〈ϕn|ϕn〉 . (65)

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Como A e Hermitiano,⟨Aϕn|ϕn

⟩= a∗n 〈ϕn|ϕn〉 . (66)

Portanto,

an = a∗n , (67)

o que quer dizer que an e real.

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A segunda propriedade diz que as autofuncoes de um operadorHermitiano sao ortogonais!

Mais uma vez, fazendo as mesma consideracoes para a primeirapropriedade, pode-se escrever⟨

ϕl |Aϕn

⟩= an 〈ϕl |ϕn〉 (68)

e ⟨Aϕl |ϕn

⟩= a∗l 〈ϕl |ϕn〉 = al 〈ϕl |ϕn〉 . (69)

Subtraindo estas duas equacoes tem-se:

(al − an) 〈ϕl |ϕn〉 = 0 . (70)

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Se al 6= an, entao

〈ϕl |ϕn〉 = 0 (71)

que expressa a ortogonalidade das funcoes {ϕn} Caso, todas asfuncoes sejam normalizadas, pode-se escrever:

〈ϕl |ϕn〉 = δln . (72)

Entao, baseado nestas propriedades pode-se concluir que asautofuncoes de um operador Hermitiano sao ortogonais e seusautovalores sao reais.

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Exercıcios

1. Quais sao as autofuncoes e autovalores para um problema deuma caixa unidimensional se a caixa tem extremidades em − a

2e + a

2 ?

2. Para o problema da caixa unidimensional, mostre queP = |ϕ|2 e maximo quando x = xj , dados por:

xj =2j + 1

2na, j = 0, 1, 2, 3, · · ·

3. Escreva as seguintes equacoes para os vetores de estado f , g ,e, assim por diante, na notacao de Dirac: (a)f (x) = g(x)(b)c =

∫g∗(x ′)h(x ′)dx ′

(c)f (x) =∑

n ϕn(x)∫ϕ∗(x ′)f (x ′)dx ′

(d)O ≡ ψ(x)∫dx ′ϕ∗(x)

(e) ∂∂x f (x) = h(x)

∫h∗(x ′)g(x ′)dx ′

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Exercıcios4. Considere o operador O = |ϕ〉〈ψ| e uma funcao de estado

arbitraria f (x), encontre uma expressao e descreva osignificado das seguintes formulas:(a) 〈f | O;(b) O |f 〉;(c) 〈 f | O |f 〉;(d) 〈 f | O |ψ〉.

5. Considere as funcoes

ϕk =1√ae ikx

definidas no intervalo {− a2 ,

a2}.

(a) Mostre que estas funcoes sao todas normalizadas paraunidade e mantem esta normalizacao no limite a→∞.(b) Mostre que estas funcoes compreendem um conjuntoortogonal no limite a→∞.

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Exercıcios

6. A funcaog(x) = x(x − a)e ikx

pertence a H1. Calcule os coeficientes de expansao an destafuncao na representacao de serie, em funcao das contantes a ek. Use as funcoes bases da partıcula numa caixaunidimensional.

7. Dois vetores ψ e ϕ pertencem ao espaco de Hilbert e saoortogonais. Mostre que seus comprimentos obedecem aoteorema de Pitagoras,

||ψ + ϕ||2 = ||ψ||2 + ||ϕ||2 .

8. Mostre que:(a) (aA + bB)† = a∗A† + b∗B†

(b) Se A e Hermitiano, < A > deve ser real.(a) Se A e Hermitiano, < A2 >≥ 0.

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Exercıcios

9. Se A e B sao Hermitianos, quais dos operadores saoHermitianos?(a) i(AB − BA)(b) (AB − BA)

(c)(AB+BA

2

)(d) Se A nao e Hermitiano, o produto A†A e Hermitiano?

10. Considere o operador C ,

Cϕ(x) = ϕ∗(x)

(a) O operador C e Hermitiano?(b) Quais sao as autofuncoes de C?(c) Quais sao os autovalores de C?

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