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Estadística para la toma de decisiones
ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.
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Sesión No. 7
Nombre: Distribuciones de probabilidad para variables continúas.
Objetivo
Al término de la sesión el estudiante diferenciará las distribuciones de
probabilidad continuas, a través de la resolución de ejercicios para practicar el
cálculo de probabilidad con la distribución normal estándar y resolver problemas
del área económica administrativa.
Contextualización En esta sesión se estudian las variables aleatorias continuas tipo uniforme,
exponencial y normal; así como la distribución de probabilidad normal estándar
mayormente utilizada en los procesos estadísticos.
Trabajaremos directamente con el cálculo de probabilidades a través de la
variable normal estándar y aprenderemos a usar la tabla de probabilidades de
esta misma distribución.
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Introducción al Tema ¿Cuál es la característica primordial de una variable aleatoria continua?
¿Sabes definir una variable como aleatoria continúa?
¿Cuál es la característica principal de una variable aleatoria normal?
Fuente: http://files.apuntes-de-analisis-de-sistemas.webnode.es/200000005-160df17a77/Imagen2.jpg
Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar valores dentro de un
rango ininterrumpido.
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Explicación Las distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas son:
• Distribución uniforme, Distribución exponencial
• Distribución normal y normal estandarizada.
Distribución uniforme
Si definimos una variable aleatoria continua x como aquella que está entre a≤x≤b
cuya función de probabilidad es: 𝑓(𝑥) = 1𝑏−𝑎
, entonces decimos que x tiene una
distribución uniforme continua.
Características:
Una distribución uniforme en el rango de cero a uno, es la base para generar
valores a otras distribuciones de probabilidad. Sirve para estimar el
comportamiento de las variables aleatorias cuando se tiene poca información
sobre estas, porque se asume que varían aleatoriamente entre dos valores (a, b).
Distribución exponencial
Esta distribución se usa en fenómenos de líneas de espera para representar los
tiempos entre llegadas de clientes a un sistema. Otras aplicaciones son el
tiempo para completar una tarea y el tiempo de falla en componentes
electrónicos. Su función está dada por: 𝑓(𝑥, 𝜆) = 𝜆𝑒−𝜆𝑥 , para 0 < x < ∞
Fuente: http://www.biorom.uma.es/contenido/UIB/bioinfo/imagenes/dexponencial.gif
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Distribución normal
La variable aleatoria normal x representa el comportamiento de muchos
fenómenos naturales, sociales, económicos, industriales, etc. Por lo que es de
bastante uso.
La distribución se origina cuando el número de ensayos en una variable aleatoria
discreta se vuelve muy grande.
Fuente: http://www.matematicasypoesia.com.es/Estadist/distribucion-normal-01.gif
Características de la curva normal:
• También es llamada Campana de Gauss, curva de Gauss o curva normal.
• Es simétrica respecto a su valor central (𝜇)
• Su punto máximo coincide con la media(𝜇)
• Tiene puntos de inflexión situados a ambos lados de la media (𝜇) a una
distancia (±𝑛𝜎) de ella. (n = 1,2,3)
• Su área total bajo la curva es 1 (100%)
• Esta función no tiene una solución sencilla para calcular valores de
probabilidad, por lo que se requiere de una variable especial llamada
variable normal estándar (z).
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Distribución normal estándar.
La distribución de probabilidad normal es una curva simétrica en forma de
campana. La curva en su totalidad vale 1, como es simétrica si se divide a la
mitad, cada una de ellas vale 0.5, porque 0.5 + 0.5 = 1.00 que es el área total de
esta curva. Observe la Figura 1.
Figura 1. Distribución de probabilidad normal
Para trabajar con la distribución normal se utiliza la distribución normal estándar,
esta distribución se divide a la mitad con la media que vale cero y con
desviaciones estándar de valor 1. Observe la Figura 2.
Figura 2. Distribución normal estándar
Recuerde que la desviación estándar es la distancia promedio que hay entre un
punto y la media, por ejemplo, la distancia que hay entre x (0) y s (1) es una
desviación estándar o la distancia que hay entre x y -3s es tres desviaciones
estándar. Observe la Figura 3. No existen distancias negativas, entonces una
desviación estándar negativa sólo indica que ésta ubicada a la izquierda de la
media y una desviación estándar positiva ésta ubicada a la derecha de la media.
1.00
0.5 0.5
1s 2s 3s -1s -2s -3s x
-3 -2 -1 0 1 2 3
Variable transformada en valores de
Variable x
x = media aritmética
s = desviación estándar
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Figura 3. Distancia de la media y una desviación estándar
Con la distribución normal se calculan áreas bajo la curva, por ejemplo, el área
que hay entre la media y una desviación estándar positiva se presenta en la
Figura 4. Esta área tiene un valor que a continuación se explicará como
obtenerla.
Figura 4. Área entre la media y una desviación estándar positiva
Cuando se presenta un problema a resolver con la distribución normal la variable
implicada x se transforma a un valor de z, que son las unidades en términos de
desviaciones estándar que utiliza la distribución normal, la fórmula empleada
para esta transformación es la siguiente.
Valor z: s
xxz
−= donde: z = valor en términos de desviaciones
estándar x = media aritmética
s = desviación estándar
s 2s 3s -s -2s -3s x
1 desviación estándar
3 desviaciones estándar
s x
Área
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Para calcular los valores de z se utiliza la Tabla 1 Áreas bajo la curva normal estándar, que se presenta a continuación.
Ejemplo 1. Suponga que a varios solicitantes de trabajo se les hace una prueba de aptitud. Los
resultados de la prueba forman una distribución normal con media aritmética de 80 y
una desviación estándar de 4.
a) ¿Qué proporción de resultados obtuvieron entre 80 y 84? b) ¿Qué proporción de resultados se encuentra entre 75 y 83? c) ¿Qué proporción de resultados quedaron entre 75 y 78? d) ¿Qué proporción de resultados es superior a 85? e) ¿Qué proporción de resultados está abajo de 85?
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a) ¿Qué proporción de solicitudes obtuvieron entre 80 y 84?
80=x s = 4
Si x = 80 04
0
4
8080==
−=
−=
s
xxz como x es la media el valor de z siempre es 0,
la media es el centro entonces NO tiene área.
Si x = 84 14
4
4
8084==
−=
−=
s
xxz una desviación estándar, su área es 0.3413
P(80 ≤ x ≤ 84) = P(0 ≤ z ≤ 1) = 0.3413 ó 34.13%
Para obtener el área se utiliza la Tabla 1 Áreas bajo la curva normal estándar, al valor de 1,
se le agregan dos ceros porque la distribución normal emplea un entero y dos decimales,
es decir, 1.00, entonces se busca 1.0 en la columna z y como falta un cero busco en la
columna .00, la intersección de estas columnas es la área, es decir, 0.3413.
b) ¿Qué proporción de resultados se encuentra entre 75 y 83?
Si x = 75 1.254
5
4
8075−=
−=
−=
−=
s
xxz desviaciones estándar, su área es 0.3944
Si x = 83 75.04
3
4
8083==
−=
−=
s
xxz su área es 0.2734
0.3413
1 0
80 84
Variable transformada en valores de z
Variable x, resultados de la prueba
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P(75 ≤ x ≤ 83) = P(–1.25 ≤ z ≤ 0.75)
= P(–1.25 ≤ z ≤ 0) + P(0 ≤ z ≤ 0.75) = 0.3944 + 0.2734 = 0.6678 ó 66.78%
La Tabla 1 Áreas bajo la curva normal estándar presenta sólo valores positivos, pero,
como es simétrica, la área de –1.25 y 1.25 es el misma. Entones para obtener el área de –
1.25 se busca 1.2 en la columna z y como falta un cinco busco en la columna .05, la
intersección de estas columnas es la área, es decir, 0.3944.
Para la área de 0.75 se busca .7 en la columna z y como falta un cinco busco en la
columna .05, la área es decir, 0.2734.
c) ¿Qué proporción de resultados quedaron entre 75 y 78?
Si x = 78 5.04
2
4
8078−=
−=
−=
−=
s
xxz desviaciones estándar, su área es 0.1915
0.2734
0 0.75 -1.25
0.3944
75 80 83
0.6678
0 -0.5 -1.25
75 80 78
0.2029
0.1915
0.3944
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P(75 ≤ x ≤ 78) = P(–1.25 ≤ z ≤ –0.5)
= P(–1.25 ≤ z ≤ 0) – P(–0.5 ≤ z ≤ 0) = 0.3944 – 0.1915 = 0.2029 ó 20.29%
d) ¿Qué proporción de resultados es superior a 85?
80=x
s = 4
Si x = 85 25.14
5
4
8085==
−=
−=
s
xxz su área es 0.3944
P(x > 85) = P(z > 1.25)
= P(z ≥ 0) – P(0 ≤ z ≤ 1.25)
= 0.5 – 0.3944
= 0.1056 ó 10.56%
e) ¿Qué proporción de resultados está abajo de 85?
0 1.25
85 80
0.3944
0.5
0.1056
0 1.25
85 80
0.3944
0.5
0.8944
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P(x < 85) = P(z < 1.25)
= P(z ≤ 0) + P(0 ≤ z ≤ 1.25)
= 0.5 + 0.3944
= 0.8944 ó 89.44%
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Conclusión
Las distribuciones continuas vistas en esta sesión son las más importantes en el
uso de variables continuas. De la distribución normal vimos su descripción,
gráfica y características y por qué se utiliza la variable normal estandarizada.
La distribución normal estándar es la de uso más extendido dentro de las
aplicaciones de probabilidad. Ello debido a que modela prácticamente cualquier
fenómeno presente en situaciones de todo tipo.
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Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer
tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando el siguiente sitio de Internet.
• Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias.
http://brd.unid.edu.mx/distribuciones-de-probabilidad
• Distribución normal.
• http://brd.unid.edu.mx/distribucion-normal/
• http://brd.unid.edu.mx/la-distribucion-normal/
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, porque te permitirá
desarrollar los ejercicios con más éxito.
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Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión acerca de la distribución de probabilidad normal
resuelve los siguientes ejercicios:
1. El proceso de empaque de una productora de cereales ha sido ajustado
para que cada paquete contenga un promedio de 13 onzas de cereal. A
causa de las fuentes aleatorias de variabilidad la desviación estándar del
peso neto real es de 0.10 onzas, y se sabe que la distribución de pesos
sigue una distribución normal de probabilidad. Determine la probabilidad
de que:
a) Un paquete aleatoriamente elegido contenga entre 13 y 13.2 onzas. b) El peso del cereal exceda de 13.25 onzas. c) El peso del cereal se encuentre entre 12.9 y 13.1 onzas.
2. Una persona con una buena historia crediticia tiene una deuda promedio
de $15 015. Suponga que la desviación estándar es de $3540 y que los
montos de las deudas están distribuidos normalmente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la deuda de una persona con buena
historia crediticia sea mayor a $18,000?
b) ¿De qué la deuda de una persona con buena historia crediticia sea de
menos de $10,000?
c) ¿De qué de la deuda de una persona con buena historia crediticia este
entre $12,000 y $18,000?
d) ¿De qué la deuda de una persona con buena historia crediticia sea
mayor a $14,000?
3. De acuerdo con la Sleep Foundation, en promedio se duermen 6.8 horas
por noche. Suponga que la desviación estándar es 0.6 horas y que la
distribución de probabilidad es normal.
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a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar
duerma más de ocho horas?
b) ¿De qué una persona tomada aleatoriamente duerma 6 horas o
menos?
c) Los médicos aconsejan dormir entre siete y nueve horas por noche.
¿Qué porcentaje de la población duerme esta cantidad?
Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la
plataforma. Recuerda que la actividad vale el 5% de la calificación final.
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Bibliografía
• Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para
administración y economía. (10ª ed.). México: Editorial Cengage Learning.
ISBN: 970-686-278-1
• Levine, David M., Krehbiel, Timothy C. y Berenson, Mark L. (2012):
Estadística descriptiva. México: Pearson Educación
• Lind Douglas A., Marchal William G. y Wathen Samuel A. (2008):
Estadística aplicada a los negocios y la economía. México: McGraw-Hill.
Cibergrafía
• Ángel, J. Sedano, M. Vila, A. (s.f.). La distribución normal. Recuperado
de: http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Distrib_Normal.pdf
• Hernández, J. (s.f.). Distribuciones de probabilidad para variables
aleatorias. Recuperado de:
http://www.itapizaco.edu.mx/~joseluis/apuntes/estadistica/distribuciones%
20discretas.pdf
• Lejarza, J. (s.f.). Distribución normal. Recuperado
de: http://www.uv.es/ceaces/pdf/normal.pdf