ESTIMATION AND

CONFIDENCE

INTERVALS

GOALS

1. Menjelaskan estimasi titik.

2. Menjelaskan tingkat kepercayaan.

3. Menghitung interval kepercayaan pada rata-rata populasi ketika standar deviasi populasi diketahui.

4. Menghitung interval kepercayaan pada rata-rata populasi ketika standar deviasi populasi tidak diketahui.

5. Menghitung interval kepercayaan pada proporsi populasi.

6. Menghitung ukuran sampel yang diperlukan untuk memperkirakan proporsi populasi atau rata-rata populasi.

Sampling and Estimates

Alasan pengambilan sampel:

1. Menghubungi keseluruhan populasi memakan waktu.

2. Meneliti seluruh item di dalam populasi seringkali terlalu mahal.

3. Hasil-hasil sampel umumnya memadai.

4. Tes tertentu bersifat merusak.

5. Memeriksa seluruh item seluruh item secara fisik tidak memungkinkan.

Estimasi Titik vs. Interval Kepercayaan

• Estimasi titik merupakan angka tunggal yang digunakan untuk memperkirakan parameter populasi.

• Interval kepercayaan merupakan jangkauan nilai yang dibentuk dari data sampel, sehungga parameter populasi kemungkinan muncul dalam jangkauan tersebut pada probabilitas tertentu.

Faktor-faktor yang menentukan luasnya Interval Kepercayaan

1.Besar sampel, n.

2.Keragaman populasi, biasanya σ dilperkirakan oleh s.

3.Tingkat kepercayaan yang diinginkan.

Interval Estimates - Interpretation

Untuk interval kepercayaan sebesar 95% sekitar 95% kesamaan Also 95% of the sample

means for a specified sample size will lie within 1.96 standard deviations of the

hypothesized population

How to Obtain z value for a Given

Confidence Level

The 95 percent confidence refers to

the middle 95 percent of the

observations. Therefore, the

remaining 5 percent are equally

divided between the two tails.

Following is a portion of Appendix B.1.

Point Estimates and Confidence Intervals for a Mean –

σ Known

sample in the nsobservatio ofnumber the

deviation standard population the

level confidence particular afor value-z

mean sample

n

σ

z

x

1. The width of the interval is determined by the level of confidence and the size of the standard error of the mean.

2. The standard error is affected by two values:

- Standard deviation

- Number of observations in the sample

Contoh

American Management Association ingin memiliki informasi rata-rata pendapatan manajer toko di industri eceran. Sampel acak 256 manajer menyataka rata-rata sampelnya $45.420. Standar deviasi populasi ini adalah $2.050.

1. Berapa rata-rata populasinya?

Pada kasus ini, kita tidak tahu. Kita hanya tahu rata-rata sampel $45.420. Dengan demikian, estimasi terbaik kita dari nilai populasi yang tidak dikeahui adalah angka sampel yang sesuai. Jadi, rata-rata sampel $45.420 merupakan estimasi titik dari rata-rata populasi yang tidak diketahui.

2. Berapa jangkauan nilai yang tepat untuk rata-rata populasinya?

Cara biasanya adalah membulatkan titik ujung menjadi $45.169 dan $45.671, ini disebut batas kepercayaan. Tingkat kepercayaan adalah 95% yaitu $45.169-$45.671. $251 disebut sebagi batas kesalahan

3. Apakah maksud hasil tersebut?

Jika dipilih sampel 256 manajer, untuk masing-masing sampel dihitung rata-ratanya dan membentuk interval kepercayaan 95%, kita dapat memperkirakan 95% interval kepercayaan ini memuat rata-rata populasi.

Population Standard Deviation (σ) Unknown – The t-

Distribution

Pada kebanyakan situasi sampling standar

deviasi (σ) tidak diketahui. Berikut

beberapa contoh dimana kami ingin

memperkirakan rata-rata populasi dan

tidak memungkinkan dapat mengetahui

standar deviasi populasi.

1. Dekan Kampus Bisnis ingin

memperkirakan rata-rata jumlah jam

bekerja mahasiswa paruh waktu yang

bekerja tiap minggu. Ia memilih sampel 30

mahasiswa, menghubungi setiap

mahasiswa dan menanyai berapa jam

mereka bekerja minggu lalu.

2. Dekan Mahasiswa ingin memperkirakan

jarak tempuh mahasiswa ke kampus. Ia

mamilih sampel 40 mahasiswa,

menghubungi setiap mahasiswa, dan

menentukan jarak satu arah dari rumah

setiap mahasiswa ke kampus.

Karakteristik dDistribusi t

1. Distribusinya, seperti distribusi z, merupakan distribusi kontinu.

2. Distribusinya, seperti distribusi z, berbentuk lonceng dan simetris.

3. Tidak hanya ada satu distribusi t, tetapi serumpun distribusi t. Seluruh distribusi t memiliki rata-rata 0, tetapi standar deviasinya berbeda-beda sesuai ukuran sampel, n.

4. Distribusi t lebih tersebar dan lebih landai di tengah daripada distribusi normal baku. Namun, semakin ukuran sampel bertambah distribusi t mendekati distribusi normal baku karena kesalahan dalam penggunaan s untuk memperkirakan σ menurud n dengan sampel yang lebih banyak.

Confidence Interval Estimates for the Mean

Use Z-distribution

If the population standard deviation is known or the sample is greater than 30.

Use t-distribution

If the population standard deviation is unknown and

the sample is less than 30.

Confidence Interval for the Mean – Example using the t-

distribution

EXAMPLE

Pabrik ban ingin menyelidiki tebal jejak ban-ban produksinya. Sampel 10 ban yang menempuh 50.000 mil menyatakan rata-rata sampel jejak yang membekas adalah 0,32 inci dengan standar deviasi 0,09 inci. Gunakan interval kepercayaan 95% untuk rata-rata populasi.

Apakah tepat bagi pabrik untuk menyimpulkan bahwa setelah 50.000 mil rata-rata populasi jumlah jejak yang membekas adalah 0,03 inci?

A Confidence Interval for a Proportion (π)

Ilustrasi skala pengukuran rasio.

1. Direktur pelayanan karier di Southern

Technical Institute melaporkan bahwa

80% lulusannya masuk ke bursa kerja

pada jabatan yang berhubungan

dengan bidang studinya.

2. Perwakilan perusahaan menyatakan

bahwa 45% penjualan Burger King

dilakukan melalui drive-through.

3. Survei rumah-rumah di Chicago

menunjukkan bahwa 85% bangunan

memiliki ventilasi udara terpusat.

4. Survei terkini mengenai pria yang

menikah di antara usia 35 dan 50

tahun menemukan bahwa 63% merasa

bahwa kedua pasangan seharusnya

mencari nafkah.

Using the Normal Distribution to Approximate the Binomial Distribution

Untuk membuat tingkat kepercayaan terhadap proporsi, kita perlu memenuhi asumsi berikut.

1. Kondisi binomial telah terpenuhi. Kondisi tersebut antara lain:

a. Data sampel merupakan hasil penghitungan.

b. Hanya terdapat 2 kemungkinan hasil.

c. Probabilitas keberhasilan tetap sama dari satu percobaan ke percobaan berikutnya.

d. Percobaan-percobaannya saling beba. Ini berarti hasil pada suatu percobaan tidak mempengaruhi hasil percobaan lainnya.

2. Nilai n π dan n(1-π) seharusnya lebih besar atau sama dengan 5. kondisi ini memungkinkan kita untuk menggunakan teorema limit tengah dan menerapkan distribusi normal baku, yakni, z, untuk mencapai suatu interval kemungkinan.

Confidence Interval for a Population Proportion- Example

EXAMPLE Serikat perwakilan Bottle Blowers of America (BBA)

sedang mempertimbangkan proposal untuk bergabung dengan Serikat Teamsters. Menurut anggaran rumah tangga serikat BBA, sedikitnya ¾ anggota serikat harus menyetujui merger apapun. Sampel acak 2.000 anggota BBA saat ini menunjukkan bahwa 1.600 diantaranya akan menyetujui proposal merger tersebut. Berapa estimasi proporsi dan populasinya?

Gunakan interval kepercayaan 95%. Dengan

mendasarkan keputusan anda pada informasi sampel ini, dapatkah anda mengambil kesimpulan bahwa terdapat cukup proporsi dari populasi yang mendukung merger? Mengapa?

.membershipunion theofpercent 75than

greater valuesincludes estimate interval thebecause

passlikely willproposalmerger The :Conclude

8180 7820

018802,000

80180961800

1C.I.

C.I. 95% theCompute

8002000

1,600

:proportion sample thecompute First,

2

).,.(

..).(.

..

n

)p(pzp

.n

xp

/

Finite-Population Correction Factor

• A population that has a fixed upper bound is said to be finite.

• For a finite population, where the total number of objects is N and the size of the sample is n, the following adjustment is made to the standard errors of the sample means and the proportion:

• However, if n/N < .05, the finite-population correction factor may be ignored. Why? See what happens to the value of the correction factor in the table below when the fraction n/N becomes smaller

• The FPC approaches 1 when n/N becomes smaller!

1

N

nN

nx

1

)1(

N

nN

n

ppp

Standard Error of the Mean Standard Error of the Proportion

CI for Mean with FPC - Example

EXAMPLE There are 250 families in Scandia,

Pennsylvania. A random sample of 40 of these families revealed the mean annual church contribution was $450 and the standard deviation of this was $75.

Could the population mean be $445 or $425?

What is the population mean? What is the best estimate of the population mean?

Given in Problem: N – 250 n – 40 s - $75 Since n/N = 40/250 = 0.16, the finite

population correction factor must be used.

The population standard deviation is not

known therefore use the t-distribution (may use the z-dist since n>30)

1

N

nN

n

stX

interval. confidence thenot within is $425 and interval

confidence e within this $445 value thebecause $425 isit t likely tha

not isit but Yes, $445? bemean population thecould y,another wait put To

$468.35. than lessbut $431.65 than more ismean population t thelikely tha isIt

35468 65431

3518450

84349819450

1250

40250

40

756851450

1250

40250

40

75450 140210

).$,.($

.$$

..$$

$.$

$t$ ,/.

Selecting an Appropriate Sample Size

There are 3 factors that determine the size of a

sample, none of which has any direct relationship to

the size of the population.

• The level of confidence desired.

• The margin of error the researcher will tolerate.

• The variation in the population being Studied.

2

E

zn

EXAMPLE

A student in public administration wants to determine the mean amount members of city councils in large cities earn per month as remuneration for being a council member. The error in estimating the mean is to be less than $100 with a 95 percent level of confidence. The student found a report by the Department of Labor that estimated the standard deviation to be $1,000. What is the required sample size?

Given in the problem:

E, the maximum allowable error, is $100

The value of z for a 95 percent level of confidence is 1.96,

The estimate of the standard deviation is $1,000.

385

16384

619

100

0001961

2

2

2

.

).(

$

),)($.(

E

zn

Sample Size for Estimating a Population

Proportion

2

)1(

E

Zppn

where:

n is the size of the sample

z is the standard normal value

corresponding to the desired level of confidence E is the maximum allowable error

NOTE:

use p = 0.5 if no initial information on the probability of success is available

EXAMPLE 1

The American Kennel Club wanted to estimate the proportion

of children that have a dog as a pet. If the club wanted

the estimate to be within 3% of the population

proportion, how many children would they need to

contact? Assume a 95% level of confidence and that

the club estimated that 30% of the children have a dog

as a pet.

EXAMPLE 2

A study needs to estimate the proportion of cities that have

private refuse collectors. The investigator wants the

margin of error to be within .10 of the population

proportion, the desired level of confidence is 90 percent,

and no estimate is available for the population

proportion. What is the required sample size?

89703.

96.1)70)(.30(.

2

n

cities 69

0625.6810.

65.1)5.1)(5(.

2

n

n