Revista Brasileira de Ensino de Fısica, v. 30, n. 3, 3309 (2008)www.sbfisica.org.br

Estudo da simetria de translacao e de suas consequencias:

uma proposta para o ensino medio(Study of the translation symmetry and its implications: a proposal for High School teaching)

F. Caruso1

Centro Brasileiro de Pesquisas Fısicas, Rio de Janeiro, RJ, BrasilInstituto de Fısica Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, RJ, Brasil

Recebido em 26/3/2007; Revisado em 24/3/2008; Aceito em 12/6/2008; Publicado em 18/9/2008

Neste artigo discute-se a importancia de se explorar o conceito de simetria no programa de fısica basica doensino medio. A partir do exame de um conjunto significativo de livros didaticos de fısica, constata-se que ne-nhuma alusao e feita a ideia de simetria e ao papel deste conceito no desenvolvimento da ciencia. Argumenta-seque, do ponto de vista pedagogico, nao ha qualquer tipo de impedimento a que se fale de simetria para alunosdo ensino medio. Discute-se, a partir daı, a importancia do ensino do conceito geral de simetria nesse nıvel deescolaridade e apresentam-se tres situacoes, como proposta de uma primeira abordagem concreta do problema,envolvendo a relacao entre o movimento retilıneo uniforme e a simetria de translacao, vista sob varios aspectos.Palavras-chave: simetria de translacao, livro didatico, fısica conceitual.

In this paper the relevance of exploring the concept of symmetry in a high school physics course is stressed.A review of a significative set of Brazilian teaching books led to the conclusion that there is no reference to theidea of symmetry and its role in science development. It is argued that there is no psico-pedagogical constraintof any type that prohibit to talk about symmetry to students at this level. Then, it is discussed how teaching thegeneral concept of symmetry at this school level is important and a first specific proposal is made: the relationbetween uniform rectilinear mouvement and translation symmetry.Keywords: translation symmetry, textbook, conceptual physics.

1. Introducao

Simetria (do grego σιµµετρια, que significa original-mente “algo com medida”), nao e apenas um con-ceito estetico ou matematico. Desde os primordiosda fısica, na Grecia Antiga, consideracoes de simetriatem-se demonstrado uma ferramenta muito poderosa eutil (quase indispensavel) para a compreensao e a ex-plicacao racionais da natureza. Alem disto, argumen-tos de simetria vem se constituindo, gradualmente, aolongo de toda a historia da fısica, e com particular des-taque no seculo XX, em um dos principais pilares daformulacao teorica das leis fısicas. Esta afirmativa ecorroborada pelo que disse uma vez Steven Weinberg:

Da fusao da relatividade com a mecanicaquantica resultou uma nova visao do mun-do, onde a materia perdeu seu papel cen-tral. Este papel foi usurpado por princıpiosde simetria, alguns deles ocultos a visao nopresente estado do Universo. [1]

Ja Hill e Lederman [2] afirmam que a “simetria con-trola a fısica de modo extremamente profundo e isto ea licao mais importante do seculo XX”.

Apesar desta marcante mudanca epistemologica,ocorrida ha mais de 75 anos, o ensino de fısica continuaestruturado a partir do programa mecanicista newto-niano, onde a materia desempenha uma papel central,ao lado do conceito de forca.

Assim como cabe aos pesquisadores desvelarem osprincıpios de simetria ainda ocultos na natureza, nabusca de um entendimento maior do Universo, deve ca-ber ao professor de ensino medio uma tarefa de certaforma analoga: fazer ver ao aluno o quanto mesmo afısica basica, objeto de seu estudo, tambem oculta con-ceitos de simetria, de cuja compreensao depende umaprendizado mais amplo e profundo da propria fısica.Aceito isto, as perguntas que inevitavelmente se seguemsao: Por que isto nao e feito? Por que deve ser feito?Como faze-lo? Este artigo dedica-se a abordar estastres questoes.

Na secao 2, analisa-se, ainda que resumidamente, o1E-mail: caruso@cbpf.br ou francisco.caruso@gmail.com.

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conteudo de uma amostragem pequena, mas significa-tiva, de livros didaticos de fısica para o ensino mediono Rio de Janeiro, buscando identificar exemplos quetratem com algum destaque o problema das simetrias.Argumenta-se, na secao 3, que nao ha absolutamentequalquer tipo de impedimento quanto ao ensino e aaprendizagem de nocoes de simetria na faixa etaria ca-racterıstica deste nıvel de escolaridade. Na secao 4,apresentam-se os argumentos a favor da abordagem deconceitos de simetria ja neste segmento, discutindo-sesuas implicacoes genericas e especıficas. O exemplo es-colhido para se dar inıcio a esta tarefa – o movimentoretilıneo e a simetria de translacao – e apresentado ejustificado na secao 5. Por fim, na secao 6, os comen-tarios finais.

2. O livro didatico de fısica: origens deum problema

Atualmente, como os PCNs tratam de temas muito ge-rais, o conteudo programatico especıfico de fısica (as-sim como o das demais disciplinas a serem ministradasnas escolas de ensino medio) tem, na pratica, sua de-terminacao e detalhamento em duas fontes: o examevestibular e o livro didatico. Destacamos, nesta secao,que ambos estabelecem nao somente o que mas tambemo como se deve ensinar e aprender nesta etapa da esco-larizacao.

No caso da fısica, conceitos fundamentais, comoespaco, tempo, simultaneidade, massa e forca, saofrequentemente tratados com extrema superficialidade,visando apenas a definicao de outras grandezas “uteis”,como se estes conceitos fossem extrınsecos a fısica, semqualquer relacao direta com a sua evolucao; como sepudessemos negar que cada um deles tem uma longahistoria dentro desta ciencia. Com esta forma de apre-senta-la, a fısica perde todo seu encanto e reduz-se, tris-temente, as dificuldades matematicas e ao pragmatismoda resolucao de problemas a partir de exemplos repeti-tivos e aplicacoes diretas de formularios.

O exame vestibular e um conjunto de provas que sepropoe a avaliar conhecimentos e habilidades adquiri-dos pelo aluno durante seu curso de nıvel medio, co-brindo uma quantidade exagerada de assuntos de cadamateria. Este exame, atualmente, e de responsabili-dade de cada universidade ou, em alguns casos, de umgrupo delas formado exclusivamente para essa finali-dade. Cada exame e elaborado e aplicado de acordocom a enfase pedagogica da universidade. Os edi-tais desses concursos ainda geram, nas escolas, umatendencia utilitarista, voltada para a obtencao de umalto ındice de aprovacao de seus alunos no vestibu-lar. Criaram-se, entao, mecanismos de preparacaoespecıfica a cada um dos exames, que nada mais saodo que formas de adestramento para solucao de pro-vas. Talvez o mais triste ıcone desta tendencia seja alastimavel apostila de cursinho, a qual, segundo seus

defensores, integra uma “metodologia de ensino”. Estatendencia, inegavel, ainda que indireta, e um dos mo-tivos de um duplo condicionamento externo impostoao ensino medio: o conteudo programatico e o modeloespecıfico de avaliacao vigente nos vestibulares.

Outro fator determinante dos currıculos do ensinomedio acaba sendo os livros didaticos, que, em geral,balizam o conteudo do curso, sua enfase pedagogica e aordenacao em que seus topicos devem ser ministrados.Claro esta que ha uma ıntima relacao entre esses doisdeterminantes: o vestibular e o livro didatico. Bastaver como proliferam os livros de coletaneas de questoesde Vestibulares por todo o paıs. Alem disto, por umlado, ha de se considerar o poder empresarial das edi-toras, que influencia significativamente a escolha doslivros a serem adotados nas escolas, aliado ao despre-paro e a inevitavel grande dificuldade encontrada porgrande parte dos professores para fazer uma escolhacriteriosa do livro a adotar [3]. Por outro lado, coma mesma intensidade, a manutencao do status quo domodelo de vestibular (que, infelizmente, ainda estimulao adestramento do aluno, em detrimento da elaboracaode seu raciocınio e criatividade) valoriza o tipo de livrovoltado para a aprovacao no vestibular. Cria-se, por-tanto, praticamente um impasse que impede, ou pelomenos dificulta muito, a reforma do conteudo das dis-ciplinas de ensino medio. Por ultimo, mas nao menosimportante, ha de se considerar que muitas vezes o pro-fessor e fortemente dependente do livro, repassando seuconteudo de forma mecanica [3].

Em nossa opiniao, cabe as universidades rompereste ciclo vicioso; seja atraves de seus cursos de licencia-tura (e nao pelas maos de suas comissoes de vestibular),formando novos professores capazes de discutir critica-mente o currıculo e os livros de texto voltados parao ensino medio [3-6], seja atraves de seus Colegios deAplicacao (CAPs), os quais deveriam atuar como verda-deiros laboratorios didaticos em sintonia com a reformados cursos de Licenciatura e com os PCNs – ParametrosCurriculares Nacionais. Esta e, sem duvida, uma dasquestoes mais relevantes para a melhoria da qualidadedo ensino basico, mas, discuti-la aqui foge em muito aoescopo do presente trabalho.

Nosso objetivo neste trabalho limita-se apenas empropor a insercao do conceito de simetria no programade fısica do ensino medio, esperando que esta propostasirva como motivacao para que outros conceitos basi-lares, como os anteriormente mencionados, possam serigualmente abordados neste nıvel de escolaridade. Estenos parece um ponto importante, pois estamos conven-cidos de que a discussao de tais conceitos - a primeiravista, compreendidos pelo senso comum - e continua-mente postergada, inclusive na universidade, ate que,em um dado momento, se diz ao aluno: “isso voce jadeveria saber”. E esta nao e uma tendencia verificadaapenas no Brasil. De fato, como testemunham Hill eLederman [2],

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ate mesmo uma amostra do papel crucialque a simetria desempenha na fısica e com-pletamente omitida no ensino voltado paraalunos iniciantes, tanto no currıculo do en-sino medio, quanto no ensino basico dosprimeiros cursos universitarios, baseados noCalculo. Ele [o papel da simetria] nao apa-rece sequer no National Science EducationStandards.

Um exemplo claro, que sintetiza esta tendencia,pode ser encontrado na introducao ao primeiro capıtulodo famoso livro de mecanica classica de Goldstein [7],normalmente utilizado no terceiro ano da graduacao emfısica:

Ha um numero de conceitos fısicos fun-damentais em qualquer apresentacao damecanica, tais como espaco, tempo, simul-taneidade, massa e forca. Ao discutir ateoria da relatividade especial, as nocoesde simultaneidade e de tempo e escalas decomprimentos serao brevemente examina-das. Na maior parte restante, no entanto,esses conceitos nao serao analizados aquicriticamente; ao contrario, serao tratadoscomo termos indefinidos cujos significadossao familiares ao leitor.

De volta aos livros didaticos de ensino medio, anali-samos alguns volumes referentes a mecanica, buscandoencontrar referencia explıcita ao estudo das simetrias.Excetuando-se o v. 1 da colecao de fısica de Gaspar [8],no qual se encontra a descricao do pendulo multiplo,em que o autor sugere uma explicacao baseada na ideiade simetria, nao obtivemos sucesso. Nossa analise foialem de alguns livros aprovados pelo PNLEM – Pro-grama Nacional do Livro para o ensino medio – porentender que, embora este seja um esforco notavel e ne-cessario, varios outros livros, que nao constam da listados considerados adequados, continuam sendo vendi-dos e adotados. Alem disto, nao pretendemos ignorarcomo a fısica tem sido ensinada, antes da criacao doPNLEM, em 2004. Dadas as suas caracterısticas diver-sas, podemos citar [9-11]: Curso de Fısica de autoria deMaximo e Alvarenga (1992); Fısica para o 2◦ Grau, deGuimaraes e Fonte Boa (1994); Fundamentos da Fısica,de Ramalho et al. (1989). Os motivos desta escolha fi-carao evidentes a seguir.

O livro Curso de Fısica [9] tem caracterısticas im-portantes que o tornam um bom livro de texto: suaparte teorica e extensa, discute os conceitos e acres-centa ao conteudo especıfico textos relativos a historiada fısica. Oferece tambem sugestoes de experimentospossıveis de serem realizados em casa ou em sala deaula com um bom numero de exercıcios. Este livro,embora tenha a sua qualidade amplamente reconhecida(inclusive pelo MEC), e ainda pouco adotado nas esco-

las do Rio de Janeiro, sob a estranha alegacao de sermuito trabalhoso para professores e alunos.

O segundo livro aqui considerado [10] e um livro umpouco mais recente, tendo sido publicado no inıcio dadecada dos 90. Possui uma boa apresentacao da teo-ria e procura fazer, sempre que necessario para umaexplicacao, mencao a estrutura atomica da materia.Outra caracterıstica deste livro e a apresentacao daevolucao historica dos conceitos abordados. Seus exer-cıcios sao de bom nıvel e estao dispostos ao longo dotexto, a tıtulo de exemplificacao e fixacao, alem dos tra-dicionais exercıcios propostos ao final de cada capıtulo.

O terceiro deles [11] e um livro ultrapassado masainda muito utilizado em escolas de ensino medio doRio de Janeiro, tendo sua adocao defendida por aque-les que, numa visao tradicionalista da escola brasi-leira, acreditam ser prioritario o adestramento na re-solucao de problemas para o sucesso no exame vestibu-lar. Faz parte de uma gama de livros que apresentam aparte teorica de uma forma bastante resumida, dandomaior enfase ao formulario da fısica e oferecem muitosexercıcios resolvidos, repropondo problemas de vestibu-lares passados.

Cremos, portanto, que os livros selecionados sao re-presentativos de enfases pedagogicas diversas no quese refere ao ensino de fısica basica. No entanto, emnenhum deles foi encontrada uma discussao ou sequeruma mencao explıcita ao conceito de simetria. Na ver-dade, esta nao e nem uma prerrogativa brasileira, nemmesmo do ensino medio. Se analisarmos tambem livrosclassicos de fısica basica para os primeiros anos do en-sino superior, como os de Halliday, Tipler ou Serway[12] constataremos, igualmente, que tambem nao falamde simetria. Mesmo o respeitado Fısica Conceitual deHewitt [13] ignora o papel da simetria na fısica. Seraque este fato e determinado por algum tipo de impossi-bilidade ou barreira que impeca o jovem aluno de ensinomedio de compreeder o conceito abstrato de simetria?

3. E possıvel falar de simetria para alu-nos do ensino medio?

Para responder a esta pergunta e necessario levarem conta o desenvolvimento cognitivo do aluno quefrequenta as salas de aula do ensino medio. Se o estu-dante percorreu todas as etapas anteriores de escola-rizacao sem “tropecos”, ele inicia esta fase de escola-ridade com uma idade que varia entre 14 e 15 anosde idade; portanto, ele e um adolescente, que, segundoInhelder e Piaget [14],

(...)reflete sobre seu pensamento e cons-troi teorias. O fato de que sejam limitadas,inadequadas e, principalmente, pouco ori-ginais, nao tem importancia; do ponto devista funcional, tais sistemas apresentam asignificacao essencial de permitir ao adoles-cente sua integracao moral e intelectual na

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sociedade dos adultos, e isso sem mencio-nar seu programa de vida e seus projetos dereforma.

Embora, em geral, possam haver crıticas a teoria dosestagios cognitivos de Piaget, neste caso particular, ve-rificamos, atraves da pratica de palestras sobre o temaFısica, Arte e a Simetria da Natureza ministradas emdezenas de escolas publicas da periferia e do suburbioda cidade Rio de Janeiro e em varias escolas particula-res, que os alunos ja possuem as habilidades cognitivasnecessarias a compreensao de novos conceitos ligadosa simetria da forma como lhes sao apresentados e quesera objeto da secao 5.

De qualquer forma, o simples fato de o adolescenterefletir sobre seu pensamento e construir teorias e, semduvida, uma condicao necessaria a que se possa en-sinar o papel das simetrias na fısica, mas nao e su-ficiente. Outro requisito importante e saber que, noensino medio, pode-se esperar que a maioria dos alu-nos ja tenham desenvolvido o pensamento formal, ouhipotetico-dedutivo do adolescente. A principal ca-racterıstica desse pensamento e a capacidade de ope-rar “nas proporcoes abstratas, referindo-se, elas mes-mas, a operacoes concretas, concebidas como simples-mente possıveis e colocadas a tıtulo de hipoteses” [15].Atingindo esse nıvel de pensamento, o aluno do ensinomedio ja esta apto a elaborar o conceito de contınuoe de espaco. Este conceito representa a sıntese de to-das as relacoes que lhe permitem construir as nocoestopologicas da sua representacao espacial [16]. Destaforma, o aluno muito provavelmente estara preparadopara evoluir em sua conceituacao de simetria, per-cebendo que este conceito nao se restringe apenas aigualdade de formas, mas esta, sobretudo, relacionadoa algum tipo de transformacao, que pode ser espacialou temporal, por exemplo. Assim, ele podera entendero que significa dizer que uma lei fısica possui determi-nada simetria.

Em nossa opiniao, esse e, portanto, o conjunto derequisitos esperados que, em princıpio, viabiliza a apre-sentacao do conceito e do papel das simetrias na fısicapara estudantes do ensino medio. Esperamos, ainda,que a evolucao do conceito de simetria, suscitada apartir do estudo do movimento de translacao uniformee sua relacao com propriedades de transformacao doespaco, proposto neste trabalho, permita que o aluno,atraves da abstracao, possa identificar em outros pro-blemas de fısica a possibilidade de aplicar corretamenteargumentos de simetria.

4. Sobre a importancia do ensino doconceito de simetria

Vamos abordar esta questao inicialmente no seu aspectogenerico, atraves de uma analogia com o aprendizado

da lıngua materna e, posteriormente, a partir de umavisao especıfica do ensino de fısica.

E obvio que todo ser humano aprende a expressar-se naturalmente em sua lıngua materna, ainda que naovenha a ser alfabetizado; por outro lado, e indiscutıvelque a alfabetizacao e o unico caminho para a cidadaniaplena [17], mas devemos ter a plena consciencia de queela representa apenas os primeiros passos para se chegarla. Uma das etapas indispensaveis do complexo apren-dizado de uma lıngua e o estudo de sua sintaxe, cujoobjetivo, evidentemente, nao e transformar todos emescritores ou gramaticos, mas sim possibilitar que to-dos se expressem corretamente, lendo, compreendendoe interpretando com maior fluencia. E com o crescentedomınio de seu principal instrumento de comunicacao– a sua lıngua – que os demais passos vao sendo dados.E no mundo contemporaneo e um erro excluir desteprocesso a alfabetizacao cientıfica.

Ha muitos anos, a alfabetizacao em fısica vem sendofeita de modo inadequado e insatisfatorio, a medida queesta disciplina e ensinada aos jovens sem qualquer tipode referencia a sua “analise sintatica”, ou seja, semqualquer tipo de referencia ou discussao sobre o con-junto dos conceitos basilares a ela subjacentes e suasrelacoes, como os de espaco, tempo, simultaneidade,massa, forca, e simetria. Isso sem falar na falta decontextualizacao. Mesmo sem a pretensao de trans-formar todos os alunos em fısicos, a compreensao des-tes conceitos contribuira, certamente, para que o jovempasse a se articular e a ver o mundo de outra maneira,preparando-se, assim, para melhor exercer sua cidada-nia numa sociedade cada vez mais marcada pela cienciae pela tecnologia.

O conceito de simetria esta diretamente ligado aideia de ordem que, por sua vez, esta presente de formamarcante na experiencia humana. E indispensavelque existam algumas regularidades no mundo pois, docontrario, como nos ensina Boas [18], o homem naoadquiriria habitos os quais, por si so, estabelecem umaordem na experiencia. Mais do que isto, ainda segundoo mesmo autor [19], “comecamos a demandar do mundoum tipo de ordem, e ha sempre um modo de satisfazeressa demanda”.

Muitas destas ordens sao tao basilares que estaocontidas na propria estrutura logica da Linguagem. Porexemplo, a ordem estabelecida pelas relacoes de causae efeito, bem como os varios tipos de ordem espacial etemporal. Na filosofia, para os gregos, Ordem encon-tra sua representacao no ideal classico de Cosmos – umtodo ordenado – e, muito posteriormente, desempenhaum papel central no programa Cartesiano e no mecani-cismo de Newton-Laplace [20]. Este legado e tao forteque argumentos de simetria sao cada vez mais presentesna formulacao de teorias cientıficas. Um exemplo mar-cante desta tendencia pode ser encontrado facilmenteem qualquer livro de divulgacao sobre caos, onde se en-contram belıssimas figuras coloridas que representam

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padroes “bastante simetricos”. Embora a palavra gregaCaos signifique, exatamente, a negacao do Cosmos,quando se vao estudar os chamados sistemas caoticos,buscam-se encontrar neles seus aspectos regulares ou si-metrias aproximadas, apesar da intrınseca contradicaoque isto possa representar. Estudam-se, na verdade,sistemas caoticos proximos a condicoes de equilıbrio.

Por outro lado, e claro que, do ponto de vista episte-mologico, esse modo de olhar para a natureza, buscandonela sempre suas simetrias, e restritivo. No entanto, eassim que o homem tem olhado para o mundo e cons-truıdo uma linguagem capaz de descreve-lo ha mais de26 seculos: a ciencia.

Entender o papel central que ideias tao importan-tes como as de ordem e de simetria desempenham nocomplexo processo de construcao do conhecimento hu-mano, por si so, ja justificaria ensinar alguns conceitosbasicos de simetria e ressaltar sua relevancia nos cur-sos do ensino medio. Por outro lado, mesmo de umponto de vista mais especıfico, tais conceitos sao partenao desprezıvel do problema do ciclo vicioso que en-volve a relacao ensino/aprendizagem neste segmento ea formacao de professores, ao qual nos referimos ante-riormente. Cabe aqui, portanto, um breve comentariocom relacao aos currıculos de graduacao em fısica vi-gentes.

E facil constatar que, na grande maioria dos cur-sos de graduacao em fısica, as propriedades de simetriade uma teoria (e suas consequencias) so sao discutidaspela primeira vez no ciclo profissional, seja no curso demecanica analıtica (do quinto perıodo), seja no cursode mecanica quantica (do setimo perıodo). Em ambosos casos, a maioria dos alunos tem grande dificuldadeem perceber o significado profundo das propriedades desimetria e de suas consequencias fısicas, pois seu ensinose apoia quase que exclusivamente em um formalismomatematico novo, com o qual ainda nao esta familia-rizado. Segue-se daı uma visao limitada, meramenteoperacional, do que e simetria. A situacao e aindamais dramatica nos cursos de Licenciatura, principal-mente naqueles em que os alunos nao sao obrigadosa cursar mecanica analıtica e/ou mecanica quantica.Parece-nos, entao, obvio que os conceitos basicos de si-metria devem tambem ser introduzidos ainda nos doisprimeiros anos do curso de licenciatura para que ociclo vicioso acima mencionado seja rompido no menorprazo possıvel. Alem disto, esperamos que este qua-dro especıfico seja modificado (ainda que nao se facamgrandes alteracoes nas grades curriculares das licencia-turas) a partir da introducao do conceito de simetriano currıculo do ensino medio. Nao podemos nos es-quecer que um dos conteudos sugeridos nos PCNs eMovimentos: variacoes e conservacoes. Que tema me-lhor para introduzir e explorar relacoes de simetrias eseus significados, apontando as relacoes entre simetriae quantidade conservada?

5. O movimento retilıneo uniforme ea simetria de translacao: uma pro-posta de ensino

O desafio inicial para se ter exito na proposta que seraapresentada nesta secao e o professor ser capaz de ex-plicar ao aluno como se passa da compreensao intuitivadas simetrias, que se manifestam no mundo concreto,ao conceito abstrato de simetria, indispensavel a com-preensao do significado da expressao a simetria de umalei fısica.

Podemos comecar a abordagem deste tema dandovarios exemplos de simetria da natureza, partindo damais evidente que e a simetria entre direita e esquerda,ou simetria bilateral, ou ainda simetria de paridade,uma vez que ela e evidente no proprio corpo humano,em varias flores (como as orquıdeas, por exemplo) eoutros seres vivos, alem do seu importante papel na ar-quitetura (como nas catedrais goticas). Outro tipo desimetria que todos conhecem e a chamada simetria or-namental ou cristalografica, muito utilizada em tapetese nos desenhos de Escher. O estudo matematico destetipo de simetria, em tres dimensoes, e muito importantepara uma subarea da fısica do estado solido: a cristalo-grafia. No caso limite de uma esfera (ou do cırculo, emduas dimensoes), ha uma simetria perfeita de rotacaoque deve ser mostrada ao vivo aos alunos.

Outro exemplo que se pode dar e a valorizacao doconceito de simetria nas pinturas renascentistas que in-troduzem – e nao se cansam de utilizar – a perspectiva,dentre as quais podemos destacar um pequeno numerode obras: O Batismo de Cristo (1448-1450) e O Fla-gelo de Cristo (1455), ambos de Piero della Francesca;O Martırio de Sao Sebastiao (1475), de Antonio Pol-laiuollo; e o Casamento da Virgem (1504), de Rafael.Nestes casos, os pintores vao buscar nas simetrias dasformas geometricas a causa da harmonia de seus qua-dros, expressa nos desenhos que antecedem a pinturarenascentista [21], como e evidente na Fig. 1.

Figura 1 - O Flagelo de Cristo, de Piero della Francesca.

Nao ha duvidas, como ja vimos anteriormente, deque a grande maioria dos alunos do ensino medio po-

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dem entender, ou pelo menos possuem uma boa ideiado que se esta chamando de simetria nesses exemplosconcretos; alem de nossa propria experiencia, Hill eLederman tambem relatam que a maioria dos alunosnorte-americanos aos quais perguntaram “o que e si-metria?” deram respostas corretas, embora algumas ve-zes um pouco imprecisas. Mas e preciso, neste ponto,enunciar, de forma clara e objetiva, o que se entendepor simetria, preparando o aluno para que ele com-preenda logo o significado da expressao simetria de umalei fısica, que e algo abstrato, muito diferente de um servivo, de uma pintura ou de uma catedral gotica. A im-portancia de o aluno compreender isto reside no fatoessencial de qualquer equacao da fısica, nao importa sese refere a uma bola de futebol, a uma bola de gude,aos atomos, as moleculas ou aos quarks, ou mesmo asistemas muito mais complexos, devem ser invariantespor translacoes espaciais. Isso precisa ser explicitadopara o aluno o mais cedo possıvel. Para que ele possacompreender isso, entender o significado da expressaosimetria de uma lei fısica, nada melhor do que usar adefinicao objetiva de simetria que nos ensina o grandematematico Hermann Weyl [22]:

Uma coisa e simetrica se e possıvel mu-dar nela qualquer coisa deixando imutavelseu aspecto.

Aceita esta definicao, vamos agora analisar o casoespecıfico da translacao e suas consequencias, tomandocomo ponto de partida o desenho de Max Ernst [23]reproduzido na Fig. 2.

Figura 2 - Movimento de translacao ilustrado com um desenhode Max Ernst.

Para dar mais concretude ao exemplo, vamos suporque o aperto de maos seja de cera e que o plano sobre

o qual ele se desloca seja um plano metalico infinito.Digamos que este desenho represente a superposicaode sete posicoes distintas das maos (denotadas pelasletras A, B, C, ..., F, ..., a partir da primeira) observa-das, em sequencia, durante um intervalo de tempo domovimento de translacao uniforme em uma particulardirecao do plano infinito.

O que significa dizer que o desenho apresenta umasimetria de translacao? Segundo a definicao de Weyl,dada anteriormente, significa que foi possıvel mudar al-guma coisa (a posicao) referente ao objeto (o apertode maos de cera) deixando imutavel seu aspecto (suaforma). Mas nao e so isso. Podemos aprender muitomais com este exemplo simples. E preciso enfatizar,por exemplo, que a simetria de translacao nao e umaconsequencia unica e exclusivamente derivada de pro-priedades do objeto; ela depende, crucialmente, de pro-priedades do espaco, como veremos a seguir.

De acordo com a fısica newtoniana, o movimentosignifica uma mudanca de posicao espacial no tempo(absoluto). E facil compreender que esta simetria detranslacao depende fundamentalmente da homogenei-dade do espaco ou do plano, nesse exemplo particular.De fato, raciocinando em cima de uma situacao con-creta, se supusermos que, por baixo do plano, possa-mos acender uma pequena vela capaz de aquecer umaregiao do plano circunscrita apenas, digamos, ao pontoD, ao deslocarmos o aperto de maos desde -∞ ate +∞,havera uma posicao (ponto D) onde o aperto de maossofrera uma deformacao devida ao aquecimento loca-lizado do plano. Continuando o movimento, a partirdesta regiao, o aperto de maos deformado mantera suanova forma ate o infinito. Portanto, a forma primi-tiva do aperto de maos se mantem inalterada duranteo movimento de translacao se e somente se nao houverqualquer vela acesa ou, em outras palavras, se todasas regioes do plano na direcao do movimento tiveremrigorosamente as mesmas caracterısticas; o que equi-vale a dizer que o plano e homogeneo. Quando estacaracterıstica se mantem em todas as direcoes, o planoe tambem isotropico. Mais tarde o aluno vai aprenderque a homogeneidade do espaco esta por tras da con-servacao do momento, enquanto a homogeneidade dotempo (translacao temporal) associa-se a conservacaode energia.

Vimos ate aqui que, como consequencia da simetriade translacao, existe algo observavel que se conserva:neste exemplo, a forma do objeto transladado no plano.Entretanto, e importante chamar a atencao para umoutro aspecto desta simetria, de certa forma, comple-mentar ao primeiro: a simetria de translacao implicanecessariamente que uma posicao espacial absoluta (oponto D, no nosso exemplo) nao possa ser observada.Este resultado e muito importante, pois, em ultimaanalise, como enfatiza Lee [24], “a validade de todoprincıpio de simetria baseia-se na hipotese teorica denao-observaveis”. Com esse exemplo simples, o aluno

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nao precisa aguardar os cursos de quantica ou teoria decampos para ser apresentado a esta ideia.

Por outro lado, e da violacao de um princıpio de si-metria que decorrem os observaveis. No nosso exemplo,so podemos intuir a presenca de uma vela nas proximi-dades do ponto D ao percebermos que a simetria detranslacao e violada neste ponto. Esta ideia geral so foicompreendida com clareza por Pierre Curie, em 1894,como atesta a citacao a seguir [25]:

A simetria caracterıstica de um feno-meno e a simetria maxima compatıvel com aexistencia do fenomeno (...) Alguns elemen-tos de simetria podem coexistir com certosfenomenos, mas eles nao sao necessarios. Oque e necessario e que certos elementos de si-metria nao existam: e a assimetria que criao fenomeno.

Podemos dar ainda como exemplo o caso da pri-meira lei de Newton, que expressa o princıpio da re-latividade de Galileu (Fig. 3). Esta lei afirma a totalequivalencia entre o movimento retilıneo uniforme e orepouso. Podemos dizer que ha uma simetria perfeitaentre as duas situacoes (movimento retilınio uniforme erepouso). Desta simetria decorre, necessariamente, quenao ha como fazer um experimento de mecanica capazde distinguir se o laboratorio no qual ele esta sendo rea-lizado esta em uma situacao ou na outra. Pelo que sedepreeende das palavras acima de Pierre Curie, pode-se afirmar a mesma coisa de outra forma: se nao hauma assimetria entre as duas situacoes (repouso e mo-

vimento retilınio uniforme), nao ha como observar qual-quer fenomeno que permita distinguir uma situacao daoutra. Essa e a essencia do princıpio de relatividadede Galileu, que deve ser transmitida aos alunos desdecedo.

Temos certeza de que o professor de ensino medionao tera dificuldade em apresentar a proposta acimaa seus alunos, a partir do desenho de Max Ernst. Seele preferir, pode fazer uma atividade ainda mais con-creta em sala de aula, utilizando as proprias cadeirasnas quais os alunos se sentam. Basta que em uma filaele introduza uma unica cadeira diferente das demaise deixe livre todas as primeiras cadeiras de cada fila.Desta forma, ele pode propor aos alunos o desafio deobservar e verificar se ha alguma diferenca entre esta si-tuacao e aquela na qual todos os alunos se levantarame se sentaram na cadeira do colega da frente. Estimuleo debate e, se eles nao notarem qualquer diferenca, dea dica que ha uma cadeira diferente de todas as outras.Pergunte o que isto quer dizer. Lembre-se que o pa-pel da cadeira diferente e analogo ao do ponto D dasituacao proposta anteriormente. Os alunos devem serestimulados a compreender as consequencias desta dife-renca: cada aluno nao mudara sua posicao em relacaoaos demais, mas o aluno que sentara na cadeira dife-rente sera outro. Havera um aluno (e uma posicao)privilegiado(a). Nao deixe de comentar que foi possıvelarrumar as cadeiras nessa forma particular por causadas caracterısticas do espaco da sala. Se ela nao forplana, sem recortes, homogenea em ultima analise, naopodera ser pensada como uma porcao limitada (pelasparedes) de um espaco euclidiano.

c

Figura 3 - Tirinha ilustrativa de uma das leituras possıveis do princıpio de relatividade de Galileu, reproduzida do site www.cbpf.br/

eduhq.

3309-8 Caruso

Outra situacao que o professor pode explorar e ainvariancia por translacao da lei de Hooke para o deslo-camento de uma mola provocado por um corpo de pesoP. Este e um assunto normalmente abordado no ensinomedio e nao e difıcil conseguir fazer pelo menos uma ex-periencia demonstrativa. Normalmente, mostra-se aoaluno que a forca F de natureza elastica resultante daacao do peso P e uma forca restauradora, proporcionalao deslocamento da mola, ou seja,

F = −k∆x = −k(x− x0),

onde k e a constante elastica da mola e x0 , seu com-primento inicial. Se o movimento e unidimensional, nasituacao de equilıbrio, pode-se escrever a equacao ante-rior como

F = −k∆x = −k(x− x0) = P.

Chegar ate este ponto corresponde a apresentar asduas situacoes mais a esquerda da Fig. 4.

Figura 4 - Esquema da distensao de uma mola ideal fixa por umade suas extremidades, devido a um corpo preso em sua outraextremidade.

Entretanto, o experimento pode ser refeito deslo-cando-se a regua paralelamente a direcao do eixo prin-cipal da mola. Os comprimentos agora (tanto damola sozinha, quanto daquela com o peso pendurado)serao medidos em relacao nao mais a origem da regua(x = 0), mas a um outro ponto qualquer x1 (que, nocaso do esquema mais a direita da figura anterior, se-ria x1 = 3 cm). Isto significa que o novo valor docomprimento da mola distendida sera, em centımetros,x − 3, enquanto o comprimento natural da mola (sobacao apenas de seu proprio peso) sera x0 − 3. Logo,tem-se

F = −k [x− x1 − (x0 − x1)] =−k(x− x0) = −k∆x = P.

Portanto, a forma da lei de Hooke e invariantepor translacoes. No caso, fez-se o deslocamento da

regua, mas chegar-se-ıa ao mesmo resultado mantendo-se a regua fixa e movendo-se (transladando) o sistemamassa-mola ou todo o laboratorio. Este e um exemplosimples que o professor nao encontrara dificuldades deexplorar em sala de aula, o qual ilustra uma das ca-racterısticas gerais mais importantes das lei da fısica,a saber: “toda lei fısica descoberta ou testada em umlaboratorio, deve ser a mesma se o laboratorio for mo-vido (transladado) para outro lugar no espaco”. E poresse motivo que, nas publicacoes cientıficas nas quaisse divulgam resultados empıricos, nao e necessario pre-cisar a localizacao do laboratorio, mas sim as condicoesprecisas sob as quais uma experiencia foi feita ou umadeterminada lei foi obtida. Como ja mencionamos an-tes, mas nunca e demais repetir, este fato e uma con-sequencia da natureza (homogenea) do espaco na fısica.

6. Comentarios finais

Procuramos justificar ao longo do texto o quao seriaimportante comecar a familiarizar os alunos com o con-ceito de simetria, suas consequencias e suas aplicacoesmais simples na fısica classica, ressaltando que nao ha,de fato, qualquer tipo de impedimento para isso. Maisainda, argumentamos que essa tentativa pode abrir oshorizontes do aluno e vir ate mesmo a mudar sua per-cepcao da fısica e do mundo que o cerca. Sugerimostres atividades simples, descritas passo-a-passo, para oprofessor desenvolver em sala de aula. Depois de in-cluir em suas aulas as relacoes entre o movimento re-tilıneo uniforme e a simetria de translacao, propomosque ele motive o aluno a pensar nas relacoes entre as in-variancias de rotacao no plano e a isotropia do espaco.Se o professor quiser tratar tambem desta questao emsala de aula, ele pode continuar utilizando o desenhode Ernst, imaginando que ele esteja fixo em uma ex-tremidade e que possa ser girado de 360◦. Nesta novasituacao, o ponto D passa a ser substituıdo por um con-junto de pontos sobre um cırculo com centro na origemque ficou fixa, mostrando que o espaco e isotropico.Alternativamente, tambem neste caso, pode ser feitauma demonstracao concreta com o jogo das cadeirasdescrito anteriormente. Sugerimos que o professor facaa experiencia em sala de aula e incentive a discussaoentre os alunos. Nossa experiencia e que a resposta dosalunos sera muito boa. Para maiores detalhes e outrostemas a serem explorados, sugerimos a leitura do artigode Hill e Lederman [2] ou que os interessados consultemo livro destes autores [26].

Agradecimentos

Gostarıamos de agradecer a Adolfo Malbouisson(CBPF) e Maria da Conceicao Barbosa (Uerj), porfrutıferas discussoes acerca de alguns pontos deste tra-balho, a Nelson Studart (UFSCar) por nos ter apon-tado a Ref. [2], a Cristina Silveira pela leitura crıtica

Estudo da simetria de translacao e de suas consequencias: uma proposta para o ensino medio 3309-9

do manuscrito e a um arbitro anonimo pelas sugestoese comentarios, os quais tambem contribuıram para oenriquecimento do artigo.

Referencias

[1] S. Weinberg, Dreams of a Final Theory: The Scien-tist’s Search for the Ultimate Laws of Nature (VintageBooks, Nova York, 1993), p. 3.

[2] C.T. Hill e L.M. Lederman, The Physics Teacher 38,348 (2000).

[3] B. Alvarenga, J.M.F. Bassalo, F. Caruso e A.F.S. Pi-menta, in Do atomo Grego a Fısica das Interacoes Fun-damentais, editado por F. Caruso e A. Santoro (CBPF,Rio de Janeiro, 2000), segunda edicao corrigida, p. 215-232.

[4] B. Alvarenga, op. cit., p. 223-245.

[5] F. Caruso, Scientia 6, 93 (1995).

[6] F. Caruso, Alma Mater: Revista de Investigacion dela Universidad Nacional Mayor de San Marcos 15, 143(1998).

[7] Herbert Goldstein, Classical Mechanics (Addison-Wesley, Reading, 1980), 2nd ed., p. 1.

[8] A. Gaspar, Curso de Fısica - Mecanica, v. 1 (EditoraAtica, Rio de Janeiro, 2001).

[9] A. Maximo e B. Alvarenga, Curso de Fısica (HarbraEd., Sao Paulo, 1992), 3a ed.

[10] F. Ramalho Jr., N.G. Ferraro e P.A. Soares, Os Fun-damentos da Fısica (Ed. Moderna, Sao Paulo, 1989),5a ed.

[11] L.A.M. Guimaraes e M.C. Fonte Boa, Fısica para o 2o

Grau (Grafcen Editora, Niteroi, 1994), 3a ed.

[12] D. Halliday, R. Resnick e J. Walker Fundamentosde Fısica (LTC, Rio de Janeiro, 2006); R.A. Ser-way e J.W. Jewett Jr., Porncıpios de Fısica (EditoraThomson Learning, Sao Paulo, 2004); P.A. Tipler eG. Mosca, Fısica para Cientistas e Engenheiros (LTC,Rio de Janeiro, 2006).

[13] P.G. Hewitt, Fısica Conceitual (Bookman, Porto Ale-gre, 2002).

[14] B. Inhelder e J. Piaget, Da Logica da Crianca a Logicado Adolescente (Pioneira, Sao Paulo, 1976), p. 253.

[15] J. Piaget e B. Inhelder, A Representacao do Espaco naCrianca (Artes Medicas, Porto Alegre, 1993), p. 160.

[16] Ibid, p. 163.

[17] F. Caruso, Correio da Cidadania, secao “Opiniao”, se-mana de 24.06 a 01.07 de 2006, p. 2.

[18] George Boas, The Inquiring Mind (The Open CourtPubl., La Salle, 1959).

[19] Ibid, p. 348.

[20] F. Caruso, Revista Brasileira de Ensino de Fısica 20,251 (1998).

[21] C. Bouleau, La Geometria Segreta dei Pittori (Electa,Milano, 1988).

[22] H. Weyl, Symmetry (Princeton University Press, Prin-ceton, 1952).

[23] Max Ernst, Une Semaine de bonte (Societe Nouvelledes editions Jean-Jacques Pauvert, Paris, 1963).

[24] T.D. Lee, Particle Physics and Introduction to FieldTheory (Harwood Academic Publishers, Nova York,1990).

[25] P. Curie, in Œuvres (Gauthier-Villars, Paris, 1908),p. 126-127.

[26] C.T. Hill and L.M. Lederman, Symmetry and the Beau-tiful Universe (Prometheus Books, Nova York, 2004).