examen_2011-ii_uni _matematicas ii_solucionado por la academia cesar vallejo

8/4/2019 EXAMEN_2011-II_UNI _MATEMATICAS II_SOLUCIONADO POR LA ACADEMIA CESAR VALLEJO

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PREGUNTA n 21En unc ono circular recto Iy una cuerda d I . a generatriz mid 12mid e a CIrCU f e cm

1 e 16 cm. S. I. n erencia de Ichou f Ia distancia d I a basen erencia a la e centro de di hvolume cuerda es 4 IC an del co no (en c 3) em, entonces elm es:A) 640n

3B) 641n

3C) 642n

30) 643n3E) 644n

3

Reempl azando en ( I )

RESPUESTA640n3

. ?

RESOLUCIONTema Cono de revoluci6n

ALTERNAT~

Calcule el 1 y 3 cm resoecti 'o umen ( 3 pechvamentrecto '. en cm ) die.circunscrito I e cono .as dos f circulares eras.

A) 80n0) 83n

B) 81n C) 82nE ) 84n

RESOLUCIONTema Esf era

Se sabe que W = nr2h3Al trazar OM j_ AB --7LOMB: OB= 4J5

(I )

MB=MA=8


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Andlisis y procedimientNos piden W 0cone:

r - - - - - - -I2I

,,," "

m1:H0102=30o

Como OlH II VM , entoncesm


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Como O Centro d I--;. e cuadrado ABeDOA=J2COM)

Si el cilindro C21 es tal q /su area lateral e t ue su area total es 3n onces el / vecesarea lateral de C1es:

Se trazaG --E//AOyGF//OMPor teorfa de la base mediaAO=2(EG)OM=2(GF)

Por teorfa de I .e aClones met .cas~EGP:_2_ _ 1 182-h2+--(mJ2)2~FGP: _ 2 _ _ 1 162 - h2 +--m2

A) nR2

( J 2 ) 4 0B) nR2( J 2 ) 3 0

Luego

:. OP=24J2 RESOLUCIONTema: CI d1 In roArea de la superficie del cili dIn roRESPUESTA

24J2ALTERNAT IVA l>fj) Th1 ,

PREGUNTAN 0E 24n la figura Cradio R ' 1es un cilindro .y altura h S. circular reet dreg I . I en C 0 eu ar cuadr 1se Inscribeangul un proinscrib ar y luego ismaI e un T en e tel C1 IndTO cireula s e prisma seproceso b. r recto C /teniendo I . . 2Y aSIse repitos cilindros C C e, 4, C5, ...

Area totalIA.sT=2n~ +2nRh

Area de la s .perficie lateralIA.SL=2nRh


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Andlisis y procedimientoNos piden IA.SL de C1.

I1

Dato: En el cilindro 21 se tieneIA.T(C21) =3IA.SL(C21)

Sea R21 el radio de la base del cilindro 21.

L(c1)=2nRh (II)Reemplazando (I) en (II)tenemos

IA.sL(Cl)=nR(R21) ( I I I )Hallando R21 en funci6n de R tenemos 1 0 si-guiente.Analizamos las bases.

Del grafieo se observa que

R J 2C2 ---7 R2= --2

RC3 ---7 R3= -2R 1 2C4 ---7 R4=4RC5 ---7 R5= -4

Por indueei6n se tiene queR RC21 ---7 R -----21 - 1024 - 210

( IV) t . CRESPUESTA

ALTERNATIVA ./0

PREGUNTA N .O 25En la figura ABCDEF. ... es un polfgono regulareuyo lado mide 2 em. Calcule PF (en em).

A) 4~ PB) 2Ji3C) 3J6D) 612E) 4J6

E


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RESOLUCION PREGUNTA N.o 26Dos circunferencias C1 YC2 de centro 0 Y0',respectivamente, son tangentes exteriormenteen T. Desde 0 se traza una tangente a C2 en PYdesde 0' se traza una tangente a C1en Q (OPno se interseca con O'Q). Si se tiene que PQ seinterseca con 00' en T, entonces la relaci6n delos radios de dichas circunferencias es:

Tema: Polfgonos regularesRecuerde que

A) 13 B)12 C) 1

ABCDEFG ...: polfgono regular

[ mA B ~mBC~mm~ ... ]Andlisis y procedimientoPidenPF.

D) 2 E) 3

RESOLUCIONTema: Circunferencia

re ot.C Del grafico LlBCE

Se cumpIe que

E~mQT=mTP

Andlisis y procedimientorPiden R

m


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Oebido a la propiedad mQT = mTP, tenemosm-xPQO'=m-xQPO=8

EnP, a+8=90---7 m-xQO'P=900

Luego, OPO'Q es un rectangulo---7 r=R

. . _ C _ = 1R

RESPUESTA1

ALTERNAT~

s I om C y CD, respectivamente,ue AM = 2-12 em y BN = ,In em. Si P

es el punta de interseeci6n de los segmentos- -AM y BN, entonees el valor de PM+PN enem es:

A) 2,12+J175

B) 2J2 +2ffi5

C) 3~ +Jfi5

0) 2J2 +3ffi5

E ) 312 +3ffi5

RESOLUCIONTema: Semejanza de triangulos

2b1L--- ~ ~_A D RA ' 20 ---,1--- 20 -----,1'%

Nos pidenPM+PN

PeroAM=2J22-12m+4m =212 ---7 m=--5

Tambien L.BPA y L.NPQ son semejantes, entoneesBP=2x; PN=3x

PeroBN =J17

J172x +Sx = Jfi ---7 x =5

LuegoPN= 3J175

.. PM +PN =2-12+3J175RESPUESTA2, ' f2, + 3 - J 1 75

ALTERNATIVA .e


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PREGUNTA n 28En una eireunfereneia de 10 em de radio, doseuerdas se eortan de manera que el producto delos segmentos que eada una determina sobre sf es1296 em4. Determine a que distaneia (en em) delcentro se halla el punta de interseeci6n.

A) 5B) 6C) 7D) 8E) 9

RESOLUCIONTema: Relaciones metricas en la cireunferenciaReeordemos el teorema de las euerdas en laeircunfereneia.

. ?Andlisis y procedimientoDato:

abcd=1296 y R=10

Nos pidenx.Por teorema de las euerdas tenemos

(R+x)(R-x) =acTambien ac=bd

( I )

En el dato(ac)(bd)=1296

--7 (ac)2=1296

Luegoac=36 y R=lO

En (I) tenemos(10+x)(10-x) =36

Resolviendo x=8.

.0to9 ALTERNAT~ 4 !)PREGUNTA N.O 29Los diarnetros Af y CD de una cireunferencia son~- -perpendieulares. Si E E BD, AE interseea a CDen el punta F y FD =1 em, entonees la longitudde la eireunfereneia eireunserita al triangulo FED(en em) es:

A) nhB) 2nhC) 2nJ3D) 3nJ2E) 3nJ3

RESOLUCIONTema: Circunfereneia y figuras eireunseritasSe sabe que la longitud de una eircunfereneia deradio Res igual a 2nR.


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Andlisis y procedimientNos piden I I 0, a ongitudcircunscrita al L:::D de la circunferen 'E=2nR cia

Datos:

A

---7 m D F = 90En el ~DOF:

notable 45, R = J 22

Luego la longitud de la '

(

t: circunfere '2" ":) ncia es igual a

" nJ2RESPUESTAnJ2

AL lERNA TIVA l>fl'

M a t e _ . . . . . . . a r 1PREGUNTA N.o 30EI volumen /by el area latase tria eral de un 'gular son 50 3 pnsma recto dmente C I I m y 200 2 e. .' a Cll eel radio ( m , respectiva-inscrita en la base del e,n m) de la circunferen 'pnsma, cia

A) 0,25D) 2

B) 0,5 C) 1E) 3

RESOLUCIONTema Pr'lsma rectoSe sabe que

lA . . 6 . =p rdonde

B c

Se pide rDel primer dato

(pr)h=50 m2Del segund d ato

2ph=200 m2Del (I ) 7II)

r=0,5

(I )

(II)

RESPUESTA0,5

ALlERNATIVA l..~


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PREGUNTA n 31En un triangulo Ali C en el espacio, la altura relati-va aAC es 5J3 em. Sus vertices A y C estan en unplano horizontal P y el vertice B es exterior a P demodo que el diedro B-AC-B' (B' es la proyeeei6nde B sobre P) mide 37. SiAB'= 10em, entoneesla longitud de AB (en em) es:

A) 10B) 10,6C)JmD) 5../6E) 6.J5

RESOLUCIONTema: Geometrfa del espacio (angulo diedro)Cuando se pide ealcular la medida de un angulodiedro,recuerdeque podemos utiliz r e:Sade las tres reetas pe en . u es, n e l - i deque di e to minos.It re a.

"na Isisy procedimientoPidenAB.

AB=xB

Al trazar B'M .l AC por teorema de las tresperpendieulares:

BM .lAC

Del dato:m


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M a t e . . . . . . . . a f 1PREGUNTA N.o 33En la figura 0 es el centro del /t. circulo trinco. Si OA-1 M igonorne-_ uy tan 8 _ , , 1 3

I--3 ' calcule 1/

a regi6n e area desombreada ( 2n u ).

B

Se cumple que (lAx


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Andlisis y procedimiento

A) 1 . ( 1- cos8)2 2 -cos8

Del datotan 8 = J33

---7 8=30

1 . ( 1 - COS 8 )2 2+cos8

= : ~ ) 2 - n G r= 9

RESPUESTA8 1 C9

RESOLUCIONTema: clreu ferencia t .igoriometrincaAndlisis y procedimientoSe pide A reaL:ABCDel grafico

ALTERNAT IVA l>~ 6.BHO ~ 6.CPO-cos8 _l-h1 - hPREGUNTA s 34

E n la .ircunferenci .a trigonornet .mostrada, el areo 8 ( 1 C ) nca de la figuraE -.1C2' , calcule el .

la . area deregion sombread r--... AM=8 ---7 h= 11- cos8


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RESOLUCIONTema: Id entidades t .compuestos rigonometricas de arcos

Se sabe que

x

AndlisisfA 1x1 1 Y procedimientL::,.ABc=-2 +_ x 1 Pid 0

en simplificar la ex . /2 (1- cos 8) presion E.

1( E = (1- a2b2) (= " 2 1+ 1 ) tan tx l-tan x)1-cos8 7

=~~12.b tOa a~ot.C

IA -L::,.ABC -IA :: .AOB +IA AL . . . > . O C A

Entonces

ALTERNAT~E=(1_a2b 2h a n ( 4 X 3 X ) (+-tan 4x _ 3 X )777E = (1- a2b2).( a+ b ).( a-b1-ab 1- )+ab

PREGUNTA s 35Si tan(4X) (=a y tan 3 X ) _. 7 -~simplificar

entonces al

E = (1- a2b2) . tan (x ) . tan(~).7 ' se obtiene: Finalmente

A) a-bB) a2_b2C) a+bD) abE) alb ALTERNATIVA J ..


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f (x) = ~ . h+ 21sen xlcos x

Del graficoo < sen2x < 10> -sen2x >-11> 1-sen2x > 01> . J 1 - sen 2x > 01> f(x) > 0

__ Ran ( f ) =(0; I)

PREGUNTA n 36Si x E \ n ; 5 4 n ) , determine el rango de la funci6n

A) \ 0 ; ; )B) (0; I)C) (0; - fi )D) (0; 13)E ) (0; J2 +1)

RESPUESTA(0; I)

ALTERNATIVA J ..

Andlisis y procedimiento 12nn


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1

M a t e . . . . . . . . a f 1Analisis y procedimiento

logs (tanu) +10 (s tan S + 6) - 11-2 ogs 9logs (tan S)(tan S 6) =logsJ9tan2S+6t Sn =3tan2S+6t Sn -3=0

x

1 _ 12 - -x I-x

2=1-xResolviendo Ia ecuaci /on cuadratica

.. x= J5-12tanS = -6.j36-4(1)(-3)

2

RESPUESTA-1+J5

2

tan S= -3 2.J3

Como SE 10. n )' " 2 ,entonces tanS> o .

p

A~nS- 3

LTERNA~ , _- +2J?

RESPUESTA22 -12.J3ogs (tan S) + log (t 1anS+6)- I2 " ogs 9

Determine Ivalor de sec2SALTERNATIVA l/~

A) 24-12J3B) 22 -12.J3C) 20 -12~,13D) 18 -12.J3E) 12-J12

PREGUNTA N.o 39SiA B yC son I /23 os angulos de u ./, Y3 son las Ion it d n tnangulo 12. 91 u es d ' , ;a dichos an e sus lades 0gulos respe f puestoscalcule el valor de I c ivarnente y senA=La expresi6n si . 'D sen (A gUlente:= + B) +sen CA } C53 cos A + 42 ) + sen (B + C)cosB +35cosCESOLUCION

Tema:Identidades triigonometri sec2e =1+ tan 2 e teas fundamentales

108xA+lo Bx =logx(A B ) n Iog A=108xAn

A) L B) L4 C)L

6L

8

D) -10 E )L-12


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RESOLUCION 1,2 + 2,3 + 3 1,2Tema: Resoluci6n de triangulos oblicuangulos sen A +senB + senC senA

abcTeorema de senos: -- =- =--senA senB senC 6,5 1,2Len A +senB +senCTeorema de proyecciones

a=bcosC+ccosB65L---7 senA+senB+senC=~ (I )

b=acosC+ccosA Por el teorema de proyecci6n tenemos

B

1,2=3cosB +2,3cosC3=1,2cosB+2,3cosA2,3=3cosA + 1,2cosC

c= acosB + bcosA

Sumando las tres relaciones t . CI )

c

b

D.L121800-C 1800-B 1800-A~ ~ ~D = sen(A + B) + sen(A + C) + sen(B + C)53 cos A + 42cosB + 35cosC

RESPUESTAL12

D = senC + senB +senA53 cos A + 42 cos B +35 cos C ( a )

ALTERNATIVA): ..~

BPREGUNTA N.o 402.Cual es la ecuaci6n de la circunferencia cuyocentro esta sobre la recta y+x=O. Ademas, pasapor los puntos (3; 4) y ( 3 . J 2 ; J 7 ) ?

A

1,2 2,3 3

A) )2+y2=5B) 2 2x +y =9C) )2+y2=150) )2+y2=16E ) )2+y2=25

Por el teorema de senos tenemos

-----=senA senB senC


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RESOLUCIONTema: Ecuaci / dn e la .ircunferen .ia

II. (3; 4) /\ (3)2; J 7 ) E re entonces(3_h)2+(4+h)2=r2

( 3 .J 2 " _ h)2 + (. h7 )2j j + h =r2Igualando tenemo s que h=OLuego ,entonces k= O

Andlisis y procedimientoEcuaci6n de la .ircunferencia:

re: (x_h)2+ ( 2 .y-k) =r2Por dato

Como (3 4) O?E'fD---7

re:2+i=25

I. (h; k) L: y+x=O ---7 k=-hPor 1 0 tantore: (x_h)2+ (y+h)2=r2

RESPUESTAx2+y2=25 .c

examen_2011-ii_uni _matematicas ii_solucionado por la academia cesar vallejo

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