Placas y Alambres compuestos

REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITCNICA ANTONIO JOS DE SUCRE VICE-RECTORADO LUIS CABALLERO MEJAS Mecnica Racional

CENTROIDES Y CENTRO DE GRAVEDAD Integrantes:Joel PalaciosCarlos MaciasJendryAlejandro GerardPlacas y Alambres compuestosPLACAS COMPUESTASCentro de gravedad de placas y alambres compuestos. En muchos casos se puede dividir una placa en rectngulos, tringulos, semicrculos, cuartos de crculos u otras formas corrientes. Para determinar el c. de g. de placas compuestas se emplean las expresiones.

Donde:xi e yi: son las coordenadas del c. de g. de cada una de las reas componentes.Ai: es el rea de cada figura componente.A: es el rea totalHay que tener en cuenta de anotar con el signo apropiado el momento de cada rea.As mismo el rea de un agujero debe anotarse siempre con signo negativo.

EJEMPLOS Determine las coordenadas del c. de g. de las siguientes reas compuestas.

Solucin:Para el caso a):Se divide el rea en cuatro figuras geomtricas conocidas.

Luego se confecciona la siguiente tabla:

Por tanto el c. de g. est situado en: G(1.3; 4.35)

Para el caso b).Tambin se divide el rea en figuras conocidas:

Se confecciona la siguiente tabla:Como el eje X es eje de simetra, la coordenada Y es cero

Por tanto:G (- 0.48; 0)Determinacin de Centroides por integracin. El centroide de un rea limitada por curvas analticas (curvas definidas por ecuaciones algebraicas) por lo general se determina evaluando las integrales x A = x dA y A = y dA Ejemplo: Determinar el centroide de la figura mostrada.

determinando el valor de la constante ksustituimos x = a e y = b en la ecuacin dada por lo que al seleccionar el elemento diferencial mostrado para determinar el rea total de la figura, tenemos

x dA el es el primer momento del elemento diferencial con respecto al eje y Por lo tanto el primer momento de toda el rea con respecto al eje y

como Q xA y = tenemos el por lo que

del mismo modo, el primer momento del elemento diferencial con respecto al eje x es el el primer momento de toda el rea es

como Q yA x = tenemos el por lo que

teorema de Pappus-GuldinEl rea A, de una superficie de revolucin generada mediante la rotacin de una curva plana C alrededor de un eje externo a tal curva sobre el mismo plano, es igual a su longitud L, multiplicada por la distancia, d recorrida por su centroide en una rotacin completa alrededor de dicho eje. A = Ld

El volumen, V, de un slido de revolucin generado mediante la rotacin de un rea plana alrededor de un eje externo, es igual al producto del rea, A, por la distancia, d recorrida por su centroide en una rotacin completa alrededor del eje.V = Ad

Solucin:

Ecuacion de Equilibrio

Resultado:

Centroide de un Volumencuando el peso especifico de un cuerpo sea homogneo tendremos los siguientes planteamientos de las coordenadas.

Estas coordenadas (Centroide) solo dependen de la configuracin geomtrica del cuerpo y son independientes de sus propiedades fsicas.

Puntos importantes : 1- el centroide representa el centro geomtrico de un cuerpo. Este punto coincide con el centro de masa o con el centro de gravedad solo si el material que compone el cuerpo es uniforme u homogneo 2- las formulas utilizadas para hallar el centro de gravedad o el centroide simplemente representan un balance entre la suma de momentos de todas las partes del sistema y el momento de la resultante para el sistema 3- en algunos casos, el centroide se ubica en un punto fuera dl objeto, como en el caso de un anillo, donde el centroide esta en el centro del anillo. Adems, este punto se encontrara sobre cualquier eje de simetra del cuerpo

Cuerpos compuestosSi puede dividirse una lnea, superficie o volumen en partes cuyos respectivoscentroides tengas posiciones conocidas, se podr determinar sin integracin elmomento de la lnea, superficie o volumen total obteniendo la suma algebraica de losprimeros momentos (producto de la longitud, rea o volumen por la distancia delcentroide al eje o plano) de las partes en que se haya dividido la lnea, superficie o volumen.Procedimiento de Anlisis Partes Brazo del momento Establecer los ejes de coordenadas y de reminar las coordenadas del centro de gravedad o centroide de cada parteProcedimiento de Anlisis Sumas Determinar las coordenadas del centro de gravedad aplicando las ecuaciones del centro de gravedad Si un objeto es simtrico respecto a un eje. El centroide est localizado en ese eje Dividir el cuerpo en un nmero finito de partes que tengan una forma ms simple Los huecos se tratan como una parte con peso o tamao negativo

Ejemplo: localice el centroide del rea de la placa.