notas de mecanica

5/28/2018 Notas de Mecanica

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Fsica Contempornea

Profesor: Dr. Fernando Ramrez Martnez([email protected])

Ayudante: Jorge Oswaldo Gmez Muoz([email protected])

Fernando Ramrez Martnez

2 de octubre de 2013


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Introduccin

Este curso

Los objetivos:

1. Preparar a los estudiantes para dar el paso entre la fsica que les en-

searon en la preparatoria y la fsica a la que se enfrentarn a lo largo

de su carrera universitaria;

2. Motivar a los estudiantes con temas de investigacin contemporneos

para incitarlos a que aprendan a buscar informacin por s mismos.

El reto:

Cul es el nivel acadmico medio de los estudiantes al entrar a lacarrera?

Qu tan homogneo y disperso es este nivel?

Cmo podemos no slo aumentar el nivel acadmico si no que ade-ms homogeneizar y reducir la dispersin en nuestros grupos para que

se tengan grupos ms compactos en los cursos de mecnica vectorialen particular y en el resto de la carrera en general?

Despertar el inters temprano por algn rea de investigacin en par-ticular e incitar a que se acerquen a los investigadores y participen en

alguna tarea o proyecto de investigacin lo antes posible.

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LA FSICA: La carrera, la disciplina, la investigacin...

Qu es la fsica?

Por qu decidieron estudiar la carrera de fsica? En qu estaban pensan-

do cuando decidieron entrar a esta carrera?

En qu consiste hacer fsica?

La palabra fsica tiene su origen en la palabra griega physis, que se traduce

como naturaleza". Por lo tanto, la meta de la investigacin en fsica es explicar

los procesos que se producen en la naturaleza por medio del establecimiento de

relaciones entre las cantidades fsicas (naturales).

Una cantidad fsica es esencialmente cualquier cosa susceptible de ser me-

dida. Ejemplos a los que estamos habituados pueden ser cantidades como la

posicin, la velocidad, la fuerza, la energa, la temperatura, la presin, etc., pero

tambin puede tratarse de parmetros exticos como el spin de un electrn, el

momento magntico de un tomo, el ndice de refraccin de un material, entre

muchos otros.

Las relaciones establecidas por medio de un anlisis fsico deberan en prin-

cipio ser comprobadas por medio de nuevas mediciones. En caso de que en un

momento dado no existan las herramientas para realizar las mediciones que va-

liden dichas relaciones, usualmente el anlisis mismo indica en que direccin es

necesario impulsar a las tcnicas experimentales para poder realizar la compro-

bacin requerida. De esta manera teora y experimento son actividades que estn

siempre ligadas.

Dr. Fernando Ramrez Martnez Fsica Contempornea


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La medicin en fsica

Qu es medir? Nuestra manera de conocer e interactuar con la naturaleza,

es decir, con el universo que nos rodea y del cual somos parte.

Medir consiste en comparar una cantidad fsica dada con un patrn o estn-

dar previamente establecido.

Los sistemas de unidades son los conjuntos bsicos de patrones de medida:

el sistema internacional de unidades, el sistema ingls, el sistema cgs ( cmg s)

El sistema internacional (SI):

longitud metro (m)

masa kilogramo (kg)

tiempo segundo (s)

carga elctrica Coulomb (C)

corriente elctrica Ampere (A = C/s)

iluminacin Candela (cd)

temperatura kelvin (K)

Nota: Inicio clase 14/08/2013.La definicin de cada una de las unidades de un patrn debe de cumplir dos

caractersticas bsicas:

1. Accesibilidad: cualquiera que requiera reproducir el patrn debe de ser ca-

paz de hacerlo.



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2. Reproducibilidad: siempre que el patrn sea construido, el resultado debe

de ser el mismo.

La incertidumbre:

Toda medicin tiene que ir acompaada por la incertidumbre asociada al m-

todo de medicin.

Suma de mediciones: las incertidumbres se suman. Resta de mediciones: las

incertidumbres se suman. Multiplicacin y divisin de mediciones: productos cru-

zados de mediciones e incertidumbres.



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ndice general

1 Mecnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 Semana I: Cinemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 La cinemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Movimiento rectilneo uniforme: la velocidad constante . . . . 91.1.3 Movimiento uniformemente acelerado: la cada libre. . . . . . 11

1.1.4 El tiro parablico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2 Semana II: Dinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.1 Dinmica en una dimensin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.2 La fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.3 Las fuerzas de friccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3 Semana III: Fuerzas restitutivas y mov. peridicos . . . . . . . . . . 29

1.3.1 La fsica de un resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.2 Movimiento circular uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.3.3 El pndulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.4 Semana IV: El trabajo y la energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.4.1 El trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.4.2 La energa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.4.3 La ley de la gravitacin universal de Newton . . . . . . . . . . 46

1.4.4 Las leyes de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

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6 NDICE GENERAL



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Captulo 1

Mecnica

1.1. Semana I: Cinemtica

Matemticas: Trigonometra, derivadas, integrales.

Cinemtica: Movimiento en una dimensin.

Movimiento rectilneo uniforme: la velocidad constante.

Movimiento uniformemente acelerado: la cada libre.

Tiro parablico (movimiento en dos y tres dimensiones).

Resistencia del aire. Cuando la aceleracin no es constante.

1.1.1. La cinemtica

La cinemtica es una rama de la mecnica clsica que estudia el movimiento

de los cuerpos sin tomar en consideracin las causas que lo producen.

Para estudiar el movimiento primero tenemos que entender dos conceptos b-

sicos, posicin y tiempo, con los que se describe el estado de un sistema en un

momento dado. Se comienza por establecer un sistema de referencia, a partir

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8 1.1. SEMANA I: CINEMTICA

del cual la posicin en una, dos o tres dimensiones se define como el desplaza-

miento a lo largo de cada una de las direcciones de un sistema de coordenadas

previamente establecido.

La posicin es un conjunto de cantidades escalares (nmeros reales) que nos

permiten determinar el lugar que ocupa un cuerpo u objeto en un espacio de coor-

denadas espaciales (1D: lnea; 2D: plano; 3D: espacio tridimensional; ND...). En

mecnica se considera que estas cantidades tienen unidades de desplazamiento

espacial y dependiendo del sistema de coordenadas que utilicemos este puede

tratarse por ejemplo de desplazamientos lineales o angulares.

Discutir: Los sistemas de coordenadas y los sistemas de referencia.

El objetivo de la cinemtica consiste en describir la trayectoriade un cuerpo

a lo largo de un perodo de tiempo determinado. De una manera muy simple, la

trayectoria la podemos pensar como una grfica en la que asociamos un valor de

posicin a cada instante de tiempo. Entonces se necesita construir el conjunto

de posiciones por las que pasar un cuerpo a medida que avanza el tiempo.

En trminos de cinemtica, la situacin ms simple en la que podemos pensares aquella en la que la posicin de un cuerpo no cambia, es decir que permanece

constante al pasar el tiempo. A esta situacin tan particular se le conoce como

reposo. En este caso se dice que la posicin es independiente del tiempo, ya que

a pesar de que el tiempo avanza sin detenerse, la posicin del objeto no presenta

ningn cambio.

Entonces la trayectoria en una dimensin de una partcula en reposo que al

tiempo de referencia t = t0 se encuentra en la posicin x = x0 estar dada

simplemente porx(t) =x0dondex0es una constante. (Quizs aqu un estudiante

podra pasar al pizarrn a dibujar esta trayectoria).

x(t) =x0 = cte.



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CAPTULO 1. MECNICA 9

Esta situacin es un caso particular (v = 0) del problema que analizaremos a

continuacin.

1.1.2. Movimiento rectilneo uniforme: la velocidad constante

Cuando un cuerpo no se encuentra en reposo, para describir el estado de

movimiento es necesario conocer tambin el ritmo de cambio de la posicin como

funcin del tiempo. Esta cantidad fsica es la que conocemos con el nombre de

velocidady sus unidades estarn dadas en trminos de las unidades elegidas

para determinar la posicin del objeto y de la unidad elegida para medir el paso

del tiempo. En otras palabras este parmetro nos indica la distancia recorrida por

un cuerpo (el desplazamiento) a lo largo de un periodo de tiempo dado.

Discutir: las unidades de la velocidad.

Introduccin a la utilizacin de las herramientas del clculo diferencial e inte-

gral en la fsica: velocidad promedio y velocidad instantnea.

v= xt

v= lmt0

x

t =

dx

dt

v=dx

dt

Supongamos ahora que tenemos un cuerpo que se mueve con velocidad

constante, digamos v0, distinta de cero. Cmo podemos extraer la trayectoria

de la partcula nicamente a partir de esta informacin? De acuerdo con lo que

acabamos de ver,

v=dx

dt



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Entonces, la pregunta que hemos planteado nos dice que v = v0, lo cual es

equivalente a:dx

dt =v0 = cte

Esto es una ecuacin diferencial y tal como las igualdades y desigualdades es-

tudiadas en lgebra, esta herramienta matemtica establece una relacin o regla

que deben cumplir una serie de parmetros y variables pero en este caso involu-

cra adems a los cambios (derivadas) en las variables mismas. Ahora, as como

la suma y la resta o la multiplicacin y la divisin, la derivada y la integral son

operaciones complementarias y opuestas. Por lo tanto, para encontrar la ecua-

cin de la trayectoria para el cuerpo que se desplaza a velocidad constante a

continuacin lo que tenemos que hacer es integrar a ambos lados la ecuacin

anterior: dx=

v0dt

x(t) =v0t+C0

nota: Fin clase 14/08/2013.

Discusin:

Qu tipo de grfica representa esta ecuacin?

Qu significado fsico tiene la constante de integracin C0? Quizs con-

venga reescribir las integrales incluyendo los lmites de integracin. Ponernfasis en que cada trmino que aparece en una expresin matemticatie-

ne que tener un significado fsico.

Hacer grficas de velocidad como funcin del tiempo y de posicin como

funcin del tiempo en las que se observe el significado de las operaciones



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de derivacin e integracin.

1.1.3. Movimiento uniformemente acelerado: la cada libre.

Aceleracin: ritmo de cambio de la velocidad como funcin del tiempo.

Discutir: las unidades de la aceleracin.

Aceleracin promedio e instantnea. Una vez ms el clculo.

a=v

t

a= lmt0

v

t =

dv

dt

a= d

dt

dx

dt

=

d2x

dt2

Veamos ahora que pasa cuando tenemos un cuerpo que se desplaza con

aceleracin constantea0.

d2

xdt2

=a0

Una vez ms nos encontramos con una ecuacin diferencial que tenemos que

resolver.

A continuacin se realiza prcticamente el mismo proceso que se sigui en

la seccin anterior y quizs convenga involucrar a uno o ms estudiantes para

que realicen los pasos del clculo, deduzcan la ecuacin de movimiento, interpre-

ten las constantes de integracin, den un significado fsico claro a cada uno de

los trminos de las ecuaciones de posicin y velocidad, dibujen las grficas en

pizarrn, etc...

dv

dt =a0



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dv=

a0dt

v(t) =a0t+C0

v(t) =a0t+v0

dx

dt =a0t+v0

dx=

a0tdt+

v0dt

x(t) =1

2a0t

2 +v0t+C1

x(t= 0) =C1 = x0

Por lo tanto,

x(t) =x0+v0t+1

2a0t

2

Ahora con los lmites en la integral:

v(t)v0

dv= t

t0a0dt

(v(t) v0) =a0(t t0)

v(t) =v0+a0(t t0)

dx

dt =v0+a0(t t0)

xx0

dx= t

t0v0dt+

tt0

a0(t t0)dt

(x(t) x0) =v0(t t0) + t

t0

a0tdt t

t0

a0t0dt

(x(t) x0) =v0(t t0) +12

a0t2t

t0 a0t0(t t0)



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+

T

mg

Figura 1.1: Caida libre

(x(t) x0) =v0(t t0) +12

a0t2 1

2a0t

20 a0t0t+a0t20

(x(t) x0) =v0(t t0) +1

2a0t

2

+

1

2a0t

2

0 a0t0t(x(t) x0) =v0(t t0) +1

2a0(t t0)2

Finalmente,

x(t) =x0+v0(t t0) +12

a0(t t0)2

La cada libre: sin friccin

Movimiento de un cuerpo bajo la influencia de la fuerza de gravedad.

1. Ignorando la friccin del aire.

2. Considerando la friccin del aire como una fuerza directamente proporcional

a la velocidad del cuerpo.

Si se ignora la friccin del aire (resistencia fluido dinmica), el objeto en cada

libre cerca de la superficie de la tierra es un sistema con aceleracin constante.

Nuestra experiencia nos dice que los cuerpos caen hacia el suelo. Pero, Qu

caractersticas tiene este movimiento? Nos han enseado que se trata de un mo-

vimiento uniformemente aceleradoa = g 9.81 ms1, pero cmo sabemos es-



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to?, Qu experimentos podramos hacer para llegar a esta conclusin o en todo

caso para corroborar esta suposicin?

Pasar a un estudiante a que escriba la ecuacin de movimiento de la cada

libre utilizando la informacin obtenida en la seccin anterior.

Plantear los casos en los que el objeto es dejado caer desde el reposo,

cuando es lanzado hacia arriba, cuando es lanzado hacia abajo, etc, etc...

Dibujar las grficas de posicin y velocidad como funcin del tiempo. Identifi-

car puntos importantes en estas grficas: posiciones y velocidades iniciales

y finales.

Ejercicio: cada libre

Cul es la ecuacin de movimiento de un objeto que es dejado caer a partir

de una alturay = y0desde el reposo (vy0= 0 ms1) a un tiempot0 = 0 s?

a=

g

vy(t) = (vyO g(t t0))

y(t) =

y0+vyO (t t0) 1

2g(t t0)2

Dado que el objeto parte del reposovy0 = 0 ms1 a una alturay = y0,

y(t) =(y0

1

2

gt2)

vy(t) = gt(1.1)

Cunto tiempo le toma llegar al sueloy = 0?

y(ts) = (y0 12

gt2)= 0



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Despejando,

ts=

2y0

g (1.2)

Qu velocidadvystena el objeto al golpear el suelo?

vys = vy(ts) = gts= g

2y0g

=

2y0g

Cul fue la velocidad promedio de la cada?

y

t

= y0

2y0/g

=

1

2

y0g

La cada no tan libre: con friccin

Observaciones:

El anlisis anterior nos lleva a concluir que sin importar sus masas, todos

los cuerpos caen de la misma manera, es decir, tardan el mismo tiempo en

recorrer distancias iguales.

Sin embargo, nuestra experiencia nos dice que una pluma y una bola de

plomo no tardan el mismo tiempo en llegar al piso cuando son soltados

simultneamente desde la misma altura.

Las diferencias en las trayectorias perecen tener que ver no slo con la

masa de los objetos sino tambin con la forma de los mismos y sobre todo

con la superficie que presentan en la direccin del desplazamiento.

El aire presenta una fuerza que se opone al movimiento y cuanto ms rpido

es el desplazamiento, mayor es la fuerza de friccin ejercida por el aire.



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+y

f= v

mg

Figura 1.2: Cada libre con friccin del aire fdirectamente proporcional a la velo-cidad.

Hiptesis: La fuerza friccin que ejerce el aire sobre un cuerpo en movimiento

es directamente proporcional a la velocidad del cuerpo y siempre se opone al

movimiento. En general esto lo escribiramos de la siguiente manera:

f= v (1.3)

El parmetro de proporcionalidad es conocido como el coeficiente de friccin

fluido dinmica y contiene informacin concerniente a la forma y composicin,

tanto del cuerpo en movimiento como del medio en el que se produce el movi-

miento, en este caso el aire. Nota: el coeficiente es en principio distinto a nivel

del mar y en la ciudad de Mxico.

Ahora el problema de cada en presencia del aire lo planteamos desde un

principio escribiendo una suma de fuerzas y utilizando la primera ley de Newton,

F =ma(fuerzas y leyes de Newton se vern con ms detalle en el siguiente tema.

Como se muestra en la figura, en nuestro problema hay dos fuerzas actuando

sobre el cuerpo mientras cae. La fuerza de gravedad apunta siempre hacia abajo

y es siempre constante e igual amg, donde hemos definido que la direccinpositiva de nuestro eje de coordenadas apunta hacia arriba. Entonces, la suma

de fuerzas es igual a la fuerza total o efectiva Fque es ejercida sobre el cuerpo



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en todo momento y al aplicar la ley de Newton obtenemos:

mg v = ma (1.4)

A continuacin recordamos quea= dvdt

para obtener

mg v = m dvdt

dt= m dv

mg v

La integral del lado izquierdo, evaluada de 0 a t nos da simplemente t. El lado

derecho es un poco ms complicado, ya que tenemos que resolver la integral

m

v0

dv

mg v

Para resolver esta integral recurrimos a un cambio de variable,

u= mg v

du= dv

m

v0

dv

mg v = m

mgvmg

du

u

=

m

ln umgv

mg

= m

ln

mg vmg

= m

ln

1 +

v

mg

=t



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ln

1 +

v

mg

=

mt

Aplicando ahora la funcin exponencial a ambos lados de la ecuacin,

1 +

v

mg

=e

m

t

Ahora despejamos v y obtenemos la primera mitad de nuestra ecuacin de la

trayectoria:

v(t) =mg

e

m

t 1

(1.6)

Para obtener la posicin como funcin del tiempo simplemente tenemos que re-

cordar que en este caso v = dydt , por lo que solamente tenemos que integrar la

ltima ecuacin:

yy0

dy=

t0

mg

e

m

t 1

dt

(y y0) = mg

m

e

m

t 1

+t

Ejercicio: Es posible que un coche haya acelerado hasta55 mphen 268 msi

el coche puede slo acelerar desde0 mphhasta60 mphen 15 s?

Lo primero que tenemos que encontrar es la aceleracin mxima que puede



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alcanzar el coche y lo haremos en m s1.

1 milla = 1609.344 m

1.6 103 m1 h = 3600 s

= 3.6 103 s

amax=vf vi

t

=60 mph 0 mph

1.5 101 s =60 mph(1.6 103 m/milla)/(3.6 103 s/h)

1.5 101 s=

6 1.63.6 1.5

m s2

1.8 m s2

Ahora necesitamos saber cunto tiempo le tomara alcanzar la velocidad de 55 mph

asumiendo que se utilice su velocidad mximaamax.

t= v

amax=

55 mph 0 mph1.8 m s2

=5.5 101 mph(1.6 103 m/milla)/(3.6 103 s/h)

1.8 m s2 =

5.5 1.61.8

3.6

101 s

= 13.5 s

Finalmente nos restara determinar la distancia recorrida por el coche en movi-

miento uniformemente acelerado durante este perodo de tiempo

x= vit+1

2amaxt

2, convi = 0

=1

2amaxt2 =1

2(1.8 m s2)(13.5 s)2

= 164.025 m



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Solucin alternativa:

v2f=v2i + 2a(x xi), convi= 0 y (x xi) = x

=v2f = 2amaxx

i.e. x=v2f

2amax

=v2f

2amax=

[5.5 101 mph(1.6 103 m/milla)/(3.6 103 s/h)]22(1.8 m s2)

166 m

1.1.4. El tiro parablicoMovimiento en ms de una dimensin. La posicin, la velocidad, la acelera-

cin en ms de una dimensin. Los vectores en la fsica.

Aplicacin de las ecuaciones de movimiento deducidas en las secciones

anteriores al movimiento en dos y tres dimensiones.

La trigonometra: magnitudes y direcciones de cantidades vectoriales y sus

significados fsicos.

El tiro parablico consiste en un movimiento en dos o ms dimensiones en las

que al menos una de ellas presenta una aceleracin constante. Se le llama de

esta manera debido a que la trayectoria de un objeto en esta situacin describe

una parbola.

El caso ms simple que podemos pensar consiste en el movimiento de un

objeto que es lanzado cerca de la superficie de la tierra (se asume aceleracin

constante g) y en cuyo anlisis despreciamos la resistencia fluido-dinmica (fric-cin del aire). En este caso nos conviene elegir un sistema de referencia tal que

una de las direcciones coincide con la direccin vertical. De este modo nos ase-

guramos de que la aceleracin de la gravedad acte nicamente a lo largo de



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esta direccin y que en las direcciones perpendiculares el movimiento se reduzca

a un movimiento rectilneo uniforme. A continuacin y sin prdida de la gene-

ralidad, podemos rotar nuestro sistema de referencia alrededor de la direccin

vertical de manera que la direccin del desplazamiento horizontal de nuestro ob-

jeto coincida con uno de los ejes de nuestro sistema de coordenadas. De esta

manera reducimos el movimiento de nuestro objeto a un anlisis en tan slo dos

coordenadas en lugar de tres.

As mismo, la descripcin de nuestro movimiento ha sido separado en dos

direcciones desacopladas de tal modo que:

el desplazamiento en la direccin verticales un movimiento uniformemente

acelerado.

el desplazamiento en la direccin horizontal es un movimiento rectilneo

uniformemente, es decir, con velocidad constante.

Ejercicio: Escriba las ecuaciones de la trayectoria de un objeto que se mueve

en un tiro parablico bajo la influencia de la gravedad cerca de la superficie de la

tierra despreciando la friccin fluido-dinmica debida al aire.

Ejercicio: Un arquero dispara una flecha con una velocidad de 30 m/s a un

ngulo de20 con respecto a la horizontal. Un asistente parado al nivel del piso

(mismo que el arquero) a una distancia de 30 mdesde el punto del lanzamiento

en la direccin del disparo, avienta una manzana directamente hacia arriba con

la mnima velocidad necesaria para intersectar el trayecto de la fecha. Cul es

la velocidad inicial de la manzana y cunto tiempo despus de que la flecha es

disparada tiene que ser lanzada la manzana para que la flecha le pegue a la

manzana?



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22 1.2. SEMANA II: DINMICA

1.2. Semana II: Dinmica

Matemticas: lgebra vectorial, producto punto, producto cruz.

Dinmica en una dimensin.

Fuerza.

Trabajo.

Energa.

1.2.1. Dinmica en una dimensin.

Dinmica: estudio de las causas del movimiento y de los cambios del mismo.

1.2.2. La fuerza

Qu causa el movimiento?

Qu hacemos si queremos mover un objeto?

Una fuerza? Qu es una fuerza?

La primera ley de Newton:La ley de la inercia"

Todo cuerpo se mantendr en su estado de reposo o de movimiento rectilneo

uniforme a menos que se ejerza una fuerza no nula sobre l.

Si F = 0: v= constante

Si adems la masa es constante (velocidades pequeas comparadas con la ve-

locidad de la luzc),

mv= p= constante



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donde pes el momento o cantidad de movimiento. Por lo tanto, la primera ley de

Newton nos dice que a menos de que exista una fuerza neta distinta de cero, la

cantidad de movimiento de un cuerpo permanece constante.

La segunda ley de Newton:La ley de la fuerza"

Cuando se ejerce una fuerza no nula sobre un objeto, el cambio en la cantidad

de movimiento de dicho objeto ser proporcional a la fuerza aplicada.

Fneta=dp

dt

= d

dt

(mv)

Si la masa es constante,

Fneta= mdv

dt

Esto es:

F =ma (1.7)

La tercera ley de Newton:La ley de la accin y de la reaccin"

A toda accin corresponde una reaccin igual en magnitud y de sentido opues-

to.

Validez de las leyes de Newton

Estas leyes son vlidas en sistemas de referencia inerciales, es decir, sis-

temas de referencia en reposo o que se mueven a velocidad constante. Un

sistema de referencia no-inercial es aquel que est siendo acelerado.

Lmite relativista: las velocidades involucradas deben de ser muy pequeas



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en comparacin con la velocidad de la luz.

m= m0

1 v2

c

2

1.2.3. Las fuerzas de friccin

Para ejemplificar la aplicacin de las leyes de Newton, a continuacin estudia-

remos las fuerzas de rozamiento que se producen cuando se aplica una fuerza

sobre un cuerpo que est en contacto con una superficie.

En la vida diaria nos encontramos con que los objetos no parecen obedecerla primera ley de Newton, Por qu es esto? El enunciado de la ley establece que

debe de haber una fuerzano nula, por lo que al analizar a un sistema mecnico

es imprescindible comenzar por la bsqueda de todas las fuerzas que actan

sobre el objeto que estemos analizando.

Es comn encontrar que adems de las fuerzas que son claramente ejercidas

sobre el objeto de estudio, exista en el entorno del mismo interacciones que tienen

como consecuencia fuerzas ocultas que debemos considerar. La friccin es un

ejemplo de estas fuerzas que tiene la peculiaridad de que siempre acta en la

direccin contraria al movimiento que se producira a causa de la suma del resto

de las fuerzas existentes en un momento dado.

Qu causa la friccin? Desde un punto de vista microscpico, la friccin es

causada por la interaccin entre los tomos molculas que se encuentran en

las superficies que estn en contacto. Las nubes de electrones que rodean a los

ncleos atmicos en la superficie de un material generan campos electromagn-

ticos a su alrededor que interactan con los producidos por la nubes electrnicas

del otro material y esta interaccin es la responsable de que se produzca una

fuerza que se opone al movimiento. Por otro lado, desde un punto de vista ma-



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croscpico las fuerzas de friccin dependen de la rugosidad de las superficies. En

general, es ms fcil generar desplazamiento sobre una superficie lisa que sobre

una superficie rugosa.

En una primera aproximacin, las fuerzas de friccin debidas al rozamiento

dependen de la fuerza con la que las superficies son empujadas entre s.

Friccin esttica

La fuerza de friccin esttica es aquella que se produce cuando no hay movi-

miento relativo entre las superficies que se encuentran en contacto. Esta fuerzaes variable y se ajusta a la fuerza efectiva que es aplicada en la direccin per-

pendicular a la superficie de contacto, cancelndola por completo y evitando por

consiguiente la posibilidad de un desplazamiento hasta un lmite mximo dado

por la ecuacin:

fe eFN (1.8)

dondeFNes la fuerza normal a la superficie de contacto.Siempre que la componente paralela a la superficie de la fuerza aplicada sea

menor o igual que eFN, la fuerza de friccin ser exactamente igual a dicha

componente de la fuerza aplicada y por lo tanto la suma de fuerzas en la direccin

paralela a la superficie de contacto ser igual a cero y no podr haber movimiento.

Una vez que la componente paralela a la superficie de la fuerza aplicada es mayor

queeFN, la friccin esttica no es capaz de evitar el movimiento.

Friccin cintica

A diferencia del caso esttico, asumiendo que la componente perpendicular a

la superficie de la fuerza neta actando sobre un cuerpo (la fuerza normal, FN)



27/64


M

m

+y

+x

FN=M g

fe,cT

W = Mg

+y

T

w= mg

Figura 1.3: Las fuerzas de friccin.

no cambia, la friccin cintica es siempre la misma:

fc= cFN (1.9)

De esta manera, conforme aumentamos la magnitud de la componente de la fuer-

za que acta a lo largo de la direccin paralela a la superficie, es posible producir

un cambio en la cantidad de movimiento y por consiguiente generar una acelera-

cin cada vez mayor en el movimiento relativo entre el objeto y la superficie sobre

la que descansa.

Anlisis de fuerzas

Considrese el sistema mostrado en la figura1.3: dos bloques cuyas masas

sonMy mrespectivamente conectadas por una cuerda cuya masa es desprecia-

ble a travs de una polea que no genera friccin. La masaMdescansa sobre una

superficie plana con coeficientes de friccin esttica y cintica dados respectiva-

mente porey c, mientras que la masa mse encuentra suspendida y podemos

despreciar la friccin del aire.

Nos podemos preguntar si existe o no movimiento relativo entre las masas y la

superficie sobre la que descansaMe incluso de manera ms general podramos



28/64


determinar de qu depende que haya o no movimiento. Para hacer esto debemos

realizar un anlisis de las fuerzas involucradas en el problema, para lo cual ha-

cemos uso de losdiagramas de cuerpo librecorrespondientes a cada una de las

dos masas. En un diagrama de cuerpo libre representamos grficamente median-

te flechas cada una de las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo para ayudarnos a

escribir en lenguaje matemtico la formulacin del problema. El primer paso para

dibujar el diagrama de cuerpo libre consiste en elegir el sistema de coordenadas

adecuado y elegir las direcciones de cada una de las componentes de dicho siste-

ma de coordenadas. Por la geometra del problema, claramente conviene utilizar

un sistema de coordenadas cartesiano en el que una de las direcciones que lodefinen sea paralela a la superficie del plano; esto nos permitir expresar el mo-

vimiento de cada masa por separado nicamente en una dimensin, la direccin

horizontalxpara la masaMy la direccin verticaly para la masam.

Fuerzas actando sobre la masaM

Fuerzas en la direccinx:

M

Fx= (T fe,c)

Fuerzas en la direcciny:

M

Fy = (FN+W) = (FN

Mg)

Debido a que no hay movimiento de esta masa en esta direccin,

MFy =

0, por lo que podemos escribir:

(FNMg) = 0



29/64


+y

+x

N

fR

T

Mg

y+

T

w= mg

Figura 1.4: Las fuerzas de friccin con proyeccin de fuerzas.

FN=M g

Fuerzas actando sobre la masam

Fuerzas en la direccinx: m

Fx = 0

Fuerzas en la direcciny:

m

Fy

= (T +w) = (T

mg)

Ejercicio: Repita el procedimiento efectuado en el ltimo problema para el sis-

tema de la figura1.4



30/64


1.3. Semana III: Fuerzas restitutivas y mov. peridi-

cos

1.3.1. La fsica de un resorte

Estudiemos ahora la fsica involucrada en el funcionamiento de un resorte.

Para esto vamos a estudiar dos casos distintos. Primero comenzaremos anali-

zando lo que sucede cuando se tiene un equilibrio de fuerzas y por lo tanto no

hay movimiento, y despus estudiaremos el caso en el que existe movimiento.

Caso esttico: la ley de Hooke

Lo primero que podemos observares que si sujetamos el extremo de un re-

sorte y no aplicamos ninguna fuerza al otro extremo, el resorte tendr una longitud

fija, digamosx0. Ahora continuamos nuestro experimento estirando el resorte al

aplicar una fuerza al extremo que originalmente habamos dejado suelto y obser-

vamos que el resorte genera una fuerza de oposicin en la direccin contraria a

la fuera aplicada y que se produce un desplazamiento o elongacin del resorte

con respecto a la longitud registrada en nuestra primera observacin. Dado que

si yo aumento la fuerza, la elongacin aumenta, concluimos que la elongacin

depende de la fuerza aplicada

(x

x0)

F

Para determinar el tipo de dependencia, se tiene que realizar una medicin.

Podemos por ejemplo proponer un experimento en el que colgamos un resorte

del techo y colgamos distintas masas desde el extremo inferior del resorte. As

podemos identificar a la fuerza aplicada sobre nuestro resorte con el peso de



31/64

30 1.3. SEMANA III: FUERZAS RESTITUTIVAS Y MOV. PERIDICOS

cada una de las cargas: F =mg. Realizamos entonces una grfica en la queponemos la fuerza aplicada en el eje horizontal y la longitud correspondiente en la

direccin vertical. Observamos que existe una regin en la que el desplazamiento

es directamente proporcional a la fuerza aplicada. Esto quiere decir que (xx0) =cte. | F|. Utilizando la tercera ley de Newton para sustituir la fuerza aplicada porla fuerza ejercida por el resorte para oponerse al desplazamiento, tendremos que:

F = k(x x0) (1.10)

La constante de proporcionalidad ktiene unidades de Newton sobre metro [N m1],

es decir, nos indica cuantos newtons de fuerza es necesario ejercer para obtener

una elongacin de un metro. Esto es:

k=|F|

x

Se puede ver como la derivada de la fuerza con respecto a la elongacin.

La ecuacin1.10es conocida como laley de Hooke. Observe que como mu-chas otras leyes, la ley de Hooke tiene un intervalo de validez fuera del cual lo

que observamos es que el resorte ya no es capaz de mantener el rgimen lineal.

Comnmente fuera de este rgimen se produce una deformacin permanente del

resorte que tiene como consecuencia que cuando se retira la fuerza, el resorte ya

no regresa a su longitud original.

Caso dinmico: el oscilador armnico

F = k(x x0)x



32/64


+x

0

x0

M

+x

0

x0

x (x x0

)

+x

FR

W = mgx

Figura 1.5: El resorte y la ley de Hooke

ma= k(x x0)x

d2x

dt2 = k

m(x x0)x

Esta es una ecuacin diferencial de primer orden que debemos de resolver para

encontrar la trayectoria de la masa sujeta a la accin del resorte. Sin embargo,

la ecuacin no es suficiente ya que nos hace falta conocer la situacin que dio

origen al movimiento, es decir, necesitamos incluir las condiciones iniciales o las

condiciones en algn tiempo dado a partir del cual queremos reconstruir en mo-

vimiento.

Digamos que a un tiempo dadot= t0, el cuerpo es soltado desde una posicin

x(t0) = xie imprimindole una velocidad v(t0) = vi. Entonces nuestro problema

consiste en resolver el sistema dado por:

d2x

dt2 = k

m(x x0)x (1.11a)

x(t0) =xix (1.11b)

v(t0) =vix (1.11c)



33/64


Basados en la observacin mostrada en el vdeo del profesor Walter Lewin,

proponemos una solucin de la forma:

x(t) = (A cos(t+) +B)x (1.12)

donde:

A: amplitud de la oscilacin

: frecuencia angular de la oscilacin

= 2f; T = 1f

=2

con fla frecuencia (lineal) y Tel periodo (en segundos) de la oscilacin.

Entonces, cada vez quetavanza un mltiplo entero de2/,tcambia en

un mltiplo entero de2y se tiene un ciclo completo de la oscilacin.

f= 1

T

= 1seg. = [Hertz]

: la fase de la oscilacin.

Para demostrar que la forma de onda propuesta (ecuacin1.12) en verdad

describe el movimiento de la masa sujeta a la accin del resorte, tenemos que

encontrar las condiciones que los parmetrosA,ydeben de cumplir para que

se satisfaga el sistema de ecuaciones1.11. Para esto lo que tenemos que hacer

es sustituir la solucin propuesta en el sistema de ecuaciones.

dx

dt = A sin(t+) (1.13a)

d2x

dt2 = 2A cos(t+) (1.13b)



34/64


Observese que la frmula1.13bes equivalente a tener

d2x

dt2 = 2x(t) = k

m(x x0)x

De aqu encontramos que la frecuencia angular es determinada por la constante

del resorte

=

k

m

y que la posicin de equilibrio corresponde al desplazamiento constante alrededor

del cual se produce el desplazamiento

B= x0.

A continuacin necesitamos utilizar las condiciones iniciales1.11by 1.11cpara

determinar Ay . Para simplificar el lgebra, supongamos que t0 = 0,

x(0) =A cos() x= xix

x(0) = A sen() x= vix

Tomemos el cociente de estas dos ltimas expresiones para obtener

vixi

= tan()

que es equivalente a que

= arctan

m

k

vixi

Por ltimo, este resultado lo podemos sustituir en cualquiera de las dos ecuacio-



35/64


nes de valores iniciales para obtener A en trminos de y xiovi, dependiendo

de cual de las dos se elija.

Para analizar el movimiento de oscilacin que hemos encontrado, considere-

mos el caso simple en el que vi = 0, es decir, al momento inicial se desplaza a

la masa de la posicin de equilibrio y se suelta desde el reposo. En este caso es

fcil demostrar que = 0y A = xi(tarea).



36/64


x

y

1 12 1

1

12

12

1

sin

cos

r tan = sin

cos

Theangle is 30 in the exam-ple (/6in radians). Thesineof , which is the height of thered line, is

sin = 1/2.

By the Theorem of Pythagoraswe have cos2 +sin2 = 1.Thus the length of the blue li-ne, which is thecosine of ,must be

cos =

1 1/4 = 12

3.

This shows that tan , which is

the height of the orange line, is

tan = sin

cos = 1/

3.

Figura 1.6: Coordenadas polares y el movimiento circular uniforme.

1.3.2. Movimiento circular uniforme

As como se estudi desde el punto de vista de la cinemtica el movimiento

de un cuerpo que se desplaza con velocidad constante, el movimiento rectilneo

uniforme, a continuacin estudiaremos el case de un objeto que se mueve a lo

largo de una trayectoria circular barriendo angulos iguales en tiempos iguales: El

movimiento circular uniforme.

Suponga que se tiene una partcula que se mueve a lo largo de una trayectoria

de acuerdo con la siguiente expresin,

r(t) =A {cos(t), sen(t)} (1.14)

Recordando que la velocidad es la primera derivada de la posicin con res-



37/64


pecto al tiempo tenemos que:

v(t) = r(t) =A { sen(t), cos(t)} (1.15)

Ms an, el ritmo de cambio de esta velocidad se obtiene al aplicar una vez ms la

derivacin con respecto al tiempo; esto quiere decir que la aceleracin del objeto

est dada por:

a(t) =r(t) =A2 cos(t),2 sen(t) (1.16)

Observe adems que:

a(t) = 2A {cos(t), sen(t)}

esto es,

a(t) = 2r(t) (1.17)

La partcula est siendo constantemente acelerada en una director siempre pa-

ralela al vector de posicin pero en direccin al centro del crculo. Claramente lo

que hemos encontrado es una expresin para laaceleracin centrpeta.

Dado que en todo momento existe una aceleracin, por primera ley de New-

ton tambin sabemos que una fuerza debe de estar actuando sobre el objeto.

Para calcular la fuerza que debe actuar sobre nuestra partcula para que se man-

tenga sobre la trayectoria circular aplicamos entonces la segunda ley de Newton

utilizando la segunda derivada que encontramos antes:

F =ma(t) = m2r(t) (1.18)

Esto implica que la fuerza que mantiene a la partcula sobre la trayectoria circular

apunta en todo momento en la misma direccin que la posicin de la partcula pe-



38/64


ro siembre esta dirigida hacia el centro del crculo, es decir, acabamos de deducir

lafuerza centrpeta, misma que genera una aceleracin centrpeta que habamos

encontrado antes.

Utilicemos ahora el producto punto para encontrar la magnitud de cada una

de las tres variables dinmicas que hemos encontrado.

|r | =

r r=

A2 [cos2(t) + sen2(t)] =A

Lo cual quiere decir que la amplitudAdel movimiento es simplemente el radio R

del crculo.

A continuacin calculemos la magnitud de la velocidad tambin utilizando el

producto punto:

r =r r= A22 [sen2(t) + cos2(t)] =AEsto nos lleva a un resultado interesante que utilizaremos ms adelante cuando

analicemos el movimiento planetario:r =v = R = R ddt

(1.19)

Por ltimo hagamos lo mismo para la aceleracin:

r

=

r r=

A24 [cos2(t) + sen2(t)] =A2

a partir de lo cual obtenemos un resultado anlogo al anterior:

r =a= R2 =v ddt

=v=v2

R (1.20)

Ahora apoymonos en el producto punto para analizar la direcciones relati-



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vas de los vectores que hemos encontrado. Comencemos con los vectores de

posicin y velocidad:

r v= A2 [ cos(t)sen(t) + sen(t)cos(t)] = 0

Por lo tanto, el vector de velocidad es siempre perpendicular al vector de posicin:

r v. Esto implica que la velocidad es siempre tangencial a la trayectoria, lo cuales consistente con el hecho de que si en algn momento la fuerza centrpeta

desapareciera, el objeto continuara con su movimiento a lo largo de una recta

tangente a la trayectoria.

Ahora veamos cul es el ngulo entre el vector de posicin y el vector de

aceleracin:

r a= A22 cos2(t) sen2(t) = A22 = |r| |a| (1) = |r| |a| cos donde hemos utilizado acomo el ngulo entre los vectores de posicin y acele-

racin. Entonces,cos = 1 =

Esto confirma nuestra observacin de que en todo momento la aceleracin apun-

ta en la misma direccin que el vector de posicin pero en sentido contrario.

Cul es el ngulo entre los vectores de velocidad y aceleracin?

El momento angular

El producto vectorial o producto cruz.

L=r p (1.21)



40/64


+

+

+r

+

T

mg cos rW = mg

mg sen

Figura 1.7: El pndulo simple

La torca

=r F (1.22)

1.3.3. El pndulo

Este es un problema clsico de mecnica. Un objeto de masa m se encuen-

tra suspendido en un extremo de una cuerda rgida de longitud que a su vez

est sujeta del techo. Si la masa se coloca directamente por debajo del punto

de sujecin de la cuerda, con esta ltima perfectamente alineada con la vertical,

el sistema se encontrara en equilibrio y no habr movimiento. Por el contrario,

si el cuerpo se desplaza de manera que ahora la cuerda haga un ngulo con

respecto a la vertical y es soltado a partir de ese punto, el objeto describir un

movimiento oscilatorio alrededor de la posicin de equilibrio.

Anlisis con coordenadas polares

Para analizar el problema consideremos la situacin que se muestra en la figu-

ra1.7, tal que en un instante de tiempo dado la masa se encuentra desplazada de



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la posicin de equilibrio con la cuerda haciendo un ngulocon respecto a la ver-

tical. Obsrvese que como se ha especificado que la cuerda sea rgida, no puede

haber movimiento a lo largo de la direccin radial, por lo que resulta natural utilizar

esta direccin para definir nuestro sistema de coordenadas. En consecuencia, al

realizar un diagrama de cuerpo libre tendremos que descomponer todas las fuer-

zas que actan sobre la masa men las direcciones paralela y perpendicular a la

direccin radial, donde la segunda direccin resulta ser la direccin tangencial a

la trayectoria. El sistema de coordenadas que nos conviene adoptar en este caso

es un sistema de coordenadas polares (r, ) en el que la coordenada radial es

siempre igual a una constanter = y la coordenada angular se mide a partir dela direccin vertical y en general depende del tiempo = (t).

Para empezar notamos que la tensin de la cuerda acta nicamente a lo largo

de la direccin radial, por lo que a continuacin el peso del objeto lo debemos

separar en sus componentes a lo largo de cada una de las direcciones del sistema

ortogonal que hemos elegido: la direccin radial r(perpendicular a la trayectoria)

y la direccin tangencial(paralela a la trayectoria).

Aplicando la primera ley de Newton, la suma de fuerzas a lo largo de la direc-

cin radial debe de ser igual a cero porque no hay movimiento en esa direccin

Fr = T mg cos = 0

donde Wr =

mg cos es la componente del peso que apunta a lo largo de la

direccin radial de nuestro sistema de coordenadas. Esto quiere decir que la ten-

sin de la cuerda se adapta continuamente para cancelar en todo momento a la

componente del peso que apunta a lo largo de la direccin radial:

T =mg cos



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Por otro lado, en la direccin tangencial observamos que la velocidad depen-

de de la posicin, es decir, depende del valor que toma la coordenada angular

que elegimos. Por lo tanto, la aceleracin vara y necesitamos hacer uso de la

segunda ley de Newton,

F = mg sen = mat

donde, de acuerdo con la ecuacin1.19,la aceleracin tangencial la podemos

escribir en trminos de la segunda derivada del ngulo con respecto al tiempo

de la siguiente manera:

at =

Por lo tanto, el movimiento angular de nuestro pndulo est enteramente descrito

por la ecuacin diferencial

= g

sen

La solucin de esta ecuacin diferencial implica conocer el valor del ngulo (t)

para todo momento del tiempo.

Para simplificar esta ecuacin usualmente se comienza por analizar el caso

de oscilaciones pequeas, esto es, encontrar la solucin para 0. Obsrveseentonces que en esta situacin se tiene que

lm0

(sen ) =

por lo que la ecuacin diferencial para oscilaciones pequeas se convierte en

= g

Esta ecuacin tiene exactamente la misma forma de la ecuacin diferencial que



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42 1.4. SEMANA IV: EL TRABAJO Y LA ENERGA

encontramos para el resorte y podemos simplemente proponer como solucin

(t) =0cos (t+)

donde la amplitud angular del movimiento0y la faseestarn determinadas por

las condiciones iniciales del movimiento y

=

g

ser la frecuencia angular del desplazamiento angular del pndulo. El periodo del

pndulo serT = 2/ = 2

/g.

Tarea: Anlisis con coordenadas cartesianas

1.4. Semana IV: El trabajo y la energa

1.4.1. El trabajo

El trabajo se define como la cantidad escalar dada por:

W =

F dr (1.23)

Recurdese que el producto punto es la proyeccin de un vector sobre otro.

Por lo tanto, el trabajo es igual a la integral de la proyeccin de la fuerza aplicada

Fa lo largo de la trayetoriardescrita por el cuerpo sobre el que actua la fuerza.

El trabajo tiene unidades de fuerza por distancia:

[W] =

F dr

= N m = Joule



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El Joule es la unidad de energa del sistema internacional, pero qu es la

energa?

1.4.2. La energa

La energa es un concepto abstracto que surge principalmente de la observa-

cin de que existe una cantidad fsica que en un sistema cerrado se conserva:

ley de la conservacin de la energa. La energa es una medida de las acciones

que se ejercen sobre un sistema dado y esta cantidad obedece una ley universal

de conservacin.

Teorema del trabajo y la energa

El trabajo expresa la habilidad de una fuerza de ejercer un cambio en la ener-

ga de un cuerpo o sistema. Considrese una partcula de masa mque se meuve

bajo la influencia de una fuerza neta F= cte.

a= cte.

Si la partcula se desplaza una distanciaden la direccin de la fuerza,

W =F d= (ma)d

dondeFyason respectivamente las magnitudes de la fuerza y de la aceleracin.

Ahora recordando nuestros conceptos de cinemtica podemos escribir

d=1

2(vi+vf)t

a=(vf vi)

t



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con vi = v(t = 0) y vf = v(t) como las velocidades instantneas al momento

cuando se inicia el desplazamiento d y al tiempo t cuando se ha realizado el

desplazamiento. Sustituyendo en la frmula del trabajo

W =m

vf vi

t

1

2(vf vi) t= 1

2m (vf vi) (vf+ vi)

W =12

mv2f1

2mv2i

Cada uno de los dos trminos en la ltima relacin pueden identificarse como

la enera asociada el estado de movimiento de la partcula antes y despus de

aplicada la fuerza, por lo que el trabajo realizado puede ser identificado como el

cambio de la energa de la partcula. Esto es, podemos definir a la energa cintica

de una partcua de masa m que se mueve a una velocidad v de la siguiente

manera:

K=1

2mv2 (1.24)

De esta forma, el teorema de trabajo-energa resulta de relacionar al trabajo rea-

lizado por la fuerza con el cambio en la energa cintica:

W =KfKi = K

Este mismo procedimiento lo podemos repetir an si la fuerza no es constante:

W =

xf

xi

Fx dx=

xf

xi

max dx=

conax= dvdt = dvdx

dxdt =v

dvdx

W = xf

xi

mvdv

dx dx=

vfvi

mv dv



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W =1

2mv2f

1

2mv2i

La energa potencial

La energa potencial es energa almacenada en un sistema que puede rea-

lizar trabajo o transformarse en energa cintica. Energa potencial la podemos

asociar a fuerzas conservativas para las que la energa cintica ganada perdida

por un sistema conforme sus constituyentes cambian sus posiciones relativas es

balanceada por una prdida o ganancia igual en energa potencial. Esto da lugar

al principio de conservacin de la energa mecnica.

Hagamos un ejercicio simple. Cul es la energa potencial de un cuerpo de

masamque se encuentra a una alturahcon respecto al piso? Para resolver este

problema calculemos la cantidad de trabajo que realizara el campo de fuerza

gravitacional sobre el cuerpo cuando este se deja caer desde la altura hy llega

hasta el suelo.

W =

0

h

F dy= F h= mgh= Ug

Donde hemos definido a Ug como la energa potencial gravitacional. Podemos

ahora extender este mismo concepto para dos alturas arbitrarias y calcular el

trabjo requerido para mover al objeto desde una posicin inicial hasta una final:

Wg =Ui

Uf =

(Uf

Ui) =

Ug

Esto quiere decir que el trabajo realizado sobre un cuerpo por la fuerza gravi-

tacional es igual al negativo del cambio en la energa potencial gravitacional del

sistema.

En general, el trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual al nega-



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tivo cambio de la energa potencial generada por la fuerza en el espacio.

W = U (1.25)

1.4.3. La ley de la gravitacin universal de Newton

Observaciones:

los cuerpos ejercen una fuerza de atraccin sobre otros cuerpos.

La fuerza de atraccin gravitacional es proporcional a las masas involucra-

das e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

F =Gm1m2

d2 (1.26)

F mdulo de la fuerza ejercida sobre cada una de las masasm1y m2

d distancia de separacin entre los centros de masa de los cuerpos m1y

m2.

La fuerza de atraccin gravitacional va siempre dirigida a lo largo de la lnea

que une a los centros de masa de los objetos involucrados:

F12 = Gm1m2|r12|2 r12|r12| = G

m1m2

|r12|2r12

La ley de gravitacin universal: La fuerza de atraccin gravitacional ejercida

sobre una masam2debido a la presencia de una masa m1es directamente pro-

porcional al producto de las masas, inversamente proporcional al cuadrado de

|r12| la distancia de separacin entre los centros de masa y apunta siempre en la



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r1

r2

r2 r1

Figura 1.8: La ley de gravitacin universal de Newton

direccin de la lnea que une a dos centros de masar12:

F12= Gm1m2|r12|2r12 (1.27)

Notese que F12es la fuerza de atraccin ejercida por la masa m1sobre la masa

m2. Esto se puede ver como si colocramos a nuestro sistema de referencia en

la posicin de la masa m1 y en consecuencia tenemos una fuerza que apunta

siempre en la direccin del origen de dicho sistema de referencia y por lo tantoen la frmula de la fuerza aparece un signo negativo.

El parmetroGes la constante de la gravitacin universal y corresponde a una

constante universal.

G= 6.67384(80) 1011m3Kg1s2

La descripcin moderna de la gravitacin nos dice que la fuerza de gravedad

se debe a la modificacin de la curvatura generada sobre el espacio-tiempo a

causa de la existencia de la masa.



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El potencial gravitacional

De la definicin de la energa potencial,

W = U

vamos a encontrar el valor de la energa potencial del campo gravitacional calcu-

lando el trabajo realizado para traer a un objeto mcerca de otro objeto M. Ob-

servemos que la definicin anterior nicamente indica un cambio en la energa.

Por tal motivo tenemos que definir el cero de la energa potencial y resulta naturalpensar que cuando los dos objetos se encuentran infinitamente lejos el uno del

otro, la energa potencial asociada a esa situacin debe de ser cero. Entonces,

U= r

F dr

Ahora recordemos que la fuerza gravitacional es siempre paralela al vector que

une a los dos objetos interactuantes, por lo que podemos realizar la integral usan-

do nicamente las magnitudes de los vectores

U= r0

GmM

r2

dr= GmM

r0

1

r2

dr

= GmM

1

r0 1

= GmM

r0

Por lo tanto, podemos definir a la energa potencial asociada a un campo defuerza gravitacional de la siguiente manera:

Ug(r) = G

mM

r

conr = (x2 +y2 +x2)1/2.



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Demostremos ahora que este potencial esta asociado a la fuerza gravitacional

mediante F =Ug, es decir, vamos a mostrar que la fuerza gravitacional F lapodemos expresar como el gradiente del potencialUg:

F =

x,

y,

z

Ug

=GmM

x,

y,

z

1

r

=GM m(r2)12

x2 +y2 +x2

1/2 {2x, 2y, 2z}= GMm(r2)1

2(r1) {2x, 2y, 2z}

= GMm{x,y,z

}|r|3 = GMm

r2 r

F = GMmr2

r

Principio de superposicin

Fk =N

i=1

Gmimk|rik|2rik (1.28)

1.4.4. Las leyes de Kepler

1. Los planetas describen rbitas elpticas con el sol en un uno de sus focos.

2. La lnea que une a cualquier planeta con su sol barre reas iguales en tiem-

pos iguales.

3. El cuadrado del periodo de revolucin es proporcional al cubo de la distancia

promedio entre el planeta y su sol:

T2 a3



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52/64


se pueden expresar como el gradiente de un potencial

F = U

Demostramos entonces que la fuerza gravitacional cumple no slo con las tres

condiciones que ya vimos si no tambin con la restante, el caso del rotacional:

rot( F) = F

=

k

/x /y /z

Fx Fy Fz

=

GMm

r

1

r

2

k

/x /y /z

x/r y/r z/r

= 0

Para regresar a las leyes de Kepler, comencemos por ver una propiedad ms

de las fuerzas centrales. Esta propiedad la obtenemos al calcular la torca=r Fejercida por una fuerza central. Para el caso gravitacional tenemos que:

=

k

x y z

x/r y/r z/r

(GMmr2

) = 0

Esto resulta obvio si tomamos en cuenta las propiedades del producto vectorial o

producto cruz () que nos dicen que es igual a cero si los vectores multiplicados

son paralelos. Este es en verdad el caso porque la fuerza gravitacional apunta

siempre en la direccin del vector de separacin entre las masas.

La torca es el anlogo a una fuerza en el caso de un movimiento rotacional.

Por este motivo, aplicando la primera ley de Newton al caso rotacional tendremos

que si la torca es cero, la velocidad angular o, ms en general, el momento angular



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L=r pdebe de ser constante. Esto es,

dL

dt == 0

i.e. L= cte.

Ahora recordemos el significado fsico del producto vectorial. Recordemos pa-

ra empezar que el producto curz L= r pnos da como resultado un vector quees perpendicular tanto arcomo apy que por lo tanto nos define la direccin per-

pendicular a la superficie definida por estos vectores. Por lo tanto, si el momento

angular permance constante, entonces el plano perpendiclar a ry ptambin per-

manece constante y por lo tanto el movimiento se mantiene siempre contenido en

un plano. Esta propiedad nos permite simplificar nuestro estudio del movimiento

planetario discutido por Kepler debido a que nos podemos limitar a analizar el

movimiento sobre un plano, es decir, en slo dos dimensiones.

Consideremos entonces el movimiento de un objeto celeste como un planeta

que se mueve en el campo gravitacional generado por un objeto masivo como

el sol. Podemos entonces colocar nuestro sistema de referencia en el centro del

objeto masivo y analizar el movimiento del planeta. Ahora, utilizando la propiedad

que acabamos de encontrar, limitmonos a estudiar el movimiento en un plano,

para lo cual la velocidad del planeta la vamos a dividir en un instante dado en sus

componentes paralela v y perpendicular v a la direccin de separacin entre

las masas, es decir, al vector de posicin del planeta. De este modo podemos

expresar simplementev= v+ v, de modo que:

L=r p

=m [r v] =m r (v+ v)



54/64


Sin embargo, por propiedades del producto cruz podemos simplificar an ms

nuestro anlisis debido a quer v = 0. Por lo tanto,

L= m(r v) =m |r| |v| sen(/2) =m |r| |v|

Apoyados en el diagrama ??, se puede demostrar que para secciones de la

trayectoria infinitesimalmente pequeasdsen las que se cumple la aproximacin

r sen d rd, el desplazamientods rd:

v dsdt d

dt(r d) =r d

dt =r

En resumen,v ry tenemos que la magnitud del momento angular ser

L =mr2=mr2

d

dt

d

dt =

L

mr2

Ahora utilicemos la informacin de que el momento angular es una constante

escribiendo que el cambio de este en funcin del tiempo debe de ser igual a cero,

dL

dt =m

d

dt

r2

d

dt

= 0

Por lo que necesariamente ddt

r2 ddt

= 0, lo cual implica que

r2 ddt

= cte.Regre-

sando al diagrama ??, observemos que el diferencial de rea dada por el tringulo

formado por el centro del movimiento y los puntos sy s+dses

dA 12

r(rd) =1

2r2d



55/64


Ahora derivamos con respecto al tiempo para encontrar las secciones de rea

barridas por el vector de posicin a medida que avanza el tiempo para encontrar

que

dAdt

=12

r2 ddt

es igual fuera de un factor de1/2al trmino que habamos encontrado antes cuya

derivada con respecto al tiempo era igual a cero. Entonces,

d

dt

dA

dt

=

1

2

d

dt

r2

d

dt

= 0

Por lo tanto, hemos demostrado la segunda ley de Kepler que indica que las reasbarridas por el vector de posicin del planeta barre reas iguales en tiempos

iguales:dA

dt = constante

Observe adems que hasta aqu no hemos introducido la forma funcional de la

ley de gravitacin universal de Newton, por lo que esta regla la debe de cumplir en

general cualquier fuerza que cumpla con las condiciones de una fuerza central.

Para demostrar que la trayectoria es una elipse, consideremos que tenemos

el cuerpo de masa mmovindose en el potencial gravitacional Ug(r) generado

por la masaM. Entonces, la energa total del sistema en todo momento debe deconservarse y ser:

E=1

2mv2 +Ug(r) (1.29)

Ahora ya sabemos que el movimiento es en un plano y que la velocidad la pode-

mos descomponer en las partes paralela vy perpendicularva la trayectoria de



56/64


modo que podemos escribir

v2 =v2+v2

=v2+r22

con L = mrv = mr2. Entonces,r22 = L2

m2r2y sustituyendo en la frmula del

cuadrado de la velocidad tenemos que

v2 =v2+ L2

m2r2

Ahora sustituimos este resultado en la ecuacin de balance de energa1.29

E=1

2mv2+

L2

2mr2+Ug(r)

Dado que la fuerza es conservativa, la cantidadEexpresada en esta ltima ecua-

cin es una constante. Si ahora identificamos a v = drdt , tendremos la siguiente

relacin:dr

dt =

2

m

E Ug L

2

2mr2

dt=

dr2

m

E Ug L22mr2

Recordando que d

dt = L

mr2

dr

d =2m E

Ug

L2

2mr2 L/mr2

10

d=

r1r0

Ldr

mr2

2m

E Ug L22mr2



57/64


P

A

B

C

D

E

F

X

Y

Figura 1.9: La elipse

Finalmente elevamos al cuadrado para llegar a que:

dr

d

2=

2mE

L2 r4 + 2m2

GM

L2 r3 r2

Cnicas: Curvas generadas por un punto tal que la razn entre la distancia

de este a un punto fijo, el foco, y la distancia a una lnea llamada directriz es

siempre igual a una constante llamada la excentricidad . Estas curvas incluyen

a las elipses, las parbolas y las hiprbolas.

=P F

P Q ; P F =r; P Q= d r cos

= r

d r cos d

r = 1 + cos



58/64


Esta es la ecuacin de las cnicas en coordenadas polares (r, )con el foco en

el origen de coordenadas. Para comparar con el resultado que obtuvimos a partir

del balance de energas, queremos expresar a la derivada de la magnitud del

vector de posicinren funcin del ngulo, para lo cual derivamos con respecto

al ngulo aplicando la regla de la cadena cuando haga falta:

dr2

dr

d = sen

i.e. dr

d = +

r2

d sen

A continuacin elevamos al cuadrado y utilizamos la identidad trigonomtrica

sen2 = (1 cos2 )para llegar a

dr

d

2=

r4

d2sen2 =

r4

d2(1 cos2 )

pero despejando elcos de la ecuacin de las cnicas tenemos que cos= dr 1

.

drd

2= r

4

d2

1 dr 1

2= 1

d2

1 12

r4 + 2d

r3 r2

En este punto podemos regresar a la ecuacin de balance de energas y com-

pararla con la relacin que acabamos de deducir para las cnicas

dr

d

2

=2mE

L2 r4 + 2m2

GM

L2 r3 r2

dr

d

2

= 1

d2

1 1

2

r4 +

2

dr3 r2

en dondeEy Lson constantes, por lo que podemos identificar trmino a trmino

de estas ltima expresiones para encontrar que la ecuacin de las cnicas es

solucin de nuestra ecuacin del movimiento siempre y cuando se cumplan las



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siguientes condiciones:1

d2

1 1

2

=

2mE

L2

i.e

. 2m2 GM

L2 =

2

d

Esto es cierto no slo para la elipse, tambin el crculo, la recta, la parbola y la

hiprbola.



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Derivacin con coordenadas polares

F =

GMm

r2 r= mr

r= rr r = 0

r= cos + sen

= sen + cos

Tomando las primeras dos derivadas

usando regla de la cadena:

r= rr+r r

r= rr+ r r+ r r+r r

= rr+ 2r r+r r

Pero,

r= d

dt(cos + sen )

= sen + cos

=

i.e. r=

r= 2 (cos + sen )

= 2r

con = la velocidad angular y =

la aceleracin angular. Regresando a r,

r= rr+ 2r r+r r

= rr+ 2r+r

2r

= rr+ 2r+r r2r

= (r r2)r+ (2r+r)

Ahora, de acuerdo con la ecuacin de

movimiento que escribimos partiendo

de la segunda ley de Newton tenemos

las siguientes dos ecuaciones,

a) parte radial:

m(r r) = GMmr2

b) parte angular:

2r+r= 0

Comencemos por la parte angular mul-

tiplicando porra ambos lados

2rr+r2= 0

d

dt(r2) = 0

r2= cte. (L= mr2)



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Seah = r2 = = h/r2,

r=dr

dt =

dr

d

d

dt =

dr

d=

h

r2dr

d

= hdd

1r

r=dr

dt =

dr

d

d

dt =

dr

d=

h

r2dr

d

= h

r2d

d

hd

d

1

r

= h2

r2d2

d2 1

rSustituyamos este resultado en la parte

radial del incisoa):

h2

r2d2

d2

1

r

r h

2

r4 = GM

r2

i

.e

.

d2

d21

r

+

1

r =

GM

h2

Seaz = 1r GM

h2, entonces la ecuacin

diferencial anterior quedara como

d2z

d2+z= 0

Esta es la ecuacin diferencial del os-

cilador armnico con frecuencia 1. Po-

demos por consiguiente proponer una

solucin de la forma z() = cos( 0).Sustituyendo esto en la definicin de z

tendremos que

1

r= cos( 0) + GM

h2

r= h2

GM+ h2 cos( 0)=

h2/GM

1 +

h2

GM

cos()

donde hemos elegido un sistema de re-

ferencia tal que 0 = 0. A continuacin

definamos a los parmetros= h2/GM

y = h2/GM, de modo que

r() =

1 + cos()

Esta es la ecuacin paramtrica de las

cnicas en la que el parmetro es la

excentricidad:

= 0 crculo0< 1 hiprbola

El semieje mayoraes

a= (r() r(0)) /2=

h2/GM

1 + +

h2/GM

1

/2

=h2/GM

1 2

Por otro lado, el semieje menor bse ob-



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tiene de las siguientes relaciones

P F1+P F2 = 2a

P F1 = P F2 =

b2 +f2

2

b2 +f2 = 2a, = f /a

i.e. b2 +2a2 =a2

b= a

1 2

Ahora debemos relacionar estos par-

metros con el perodo de revolucin delobjeto celeste alrededor de su sol, pa-

ra lo cual haremos uso del resultado de

que el ritmo de barrido del rea es igual

a una constante. El rea total de la elip-

se esta dada por

A= ab= a21 2

=

dA=

20

1

2r2d

donde hemos hecho uso del resultado

de que el rea del pedazo diferencial

del rea es igual al rea del tringu-

lo formado por el vector de posicin en

dos momentos distintos. Ahora recorda-

mos que el momento angular es igual a

una constante L = mr2 = cte. para

escribir:

r2d= L

mdt

20

r2d= Lm

T0

dt

2A= L

mT

2a2

1 2 = Lm

T

a4(1 2) =

L

2m

2T2

El parmetrohhaba sido dado en tr-

minos del momento angular L = mhy

por otro lado encontramos que el semi-

eje mayor estaba dado por a = h2/GM12

.

Combinando estas dos expresiones lle-

gamos a que:

L2 =GM m2a(1 2)

A su vez esta expresin la podemos

sustituir en la que relaciona al semieje

mayor con el periodo de modo que te-

nemos que

a4(1 2) = GMa(1 2)(2)2

T2

i.e. a3 = GM

(2)2T2



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Con esto hemos demostrado la tercera ley de Kepler al encontrar que el cubo

del semieje mayor el cual es proporcional a la distancia promedio entre el planeta

y el sol, es a su vez proporcional al cuadrado del periodo de revolucin:

a3 = GM

(2)2T2 (1.30)

Curva de rotacin del sistema solar

A continuacin, realicemos un clculo sencillo relacionado con la rotacin de

la tierra alrededor del sol. Para este clculo hagamos la suposicin de que la tierra

se mueve en una rbita circular ( 0).

Aphelio: 152 109 mts.Perihelio: 147 109 mts.

aT

149, 598, 261 km

Ahora procedemos a estimar la velocidad con la que se mueve la tierra alrededor

del sol.

|v| =r con r aT y = 2T

|v| = 2 aTT

El periodo de revolucin es T = 365.256363004 dias (24

60

60 seg./dia) =

31558149.7635456 s. Con esto obtenemos que |v| = 29784.8 m/s. Por comparacin,el valor reportado en Wikipedia es |v| = 29.78 km/s.

Fuerza centrpeta en el movimiento circular

Fc= m2r, con |r| aT y = 2T



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Fc =m

2

T

2aT

= 3.54158 1022 N

Por otro lado, esta fuerza debe de ser causada por la atraccin gravitacional Fg =

(GMm/a2T)r, de modo que al igualar ambas expresiones encontramos que

Fc = Fgm

2

T

2aT = (GMm/a

2T)

Un poco de lgebra nos permite recuperar un resultado que ya conocemos bien,

la tercera ley de Kepler:

a3T =GM

T

2

2

=GM

=

GMa2Tv2

=

v

aT

v= GMaT


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