(factorial analysis of variance) - watpon.in.th · (factorial analysis of variance) ˘ˇˆ ˙...

25
(Factorial Analysis of Variance) !"#!$%&!#% (One-way ANOVA) "’!() (MCPs) *" +$%$, %$-%&$ !-%!"#!$.)%&!#%/$ ) 2 3 %&!#% $$!-%+$%$,%!*2 "2"%&!#% %&! !*%&" +$%)"$4& 5( $++$%.%& % 3 "-%% *$%&!"#22% $&+$!"#!$"$4&%&!#% /$)%"+$!"#!$"%&!#% 64 &+$ $-,%"$,24&!"#!$) 2 %&!#% %& $$++$-%"$&-%7&.$ %% 58 &$2 &$,$%9!-%-%"$&-%*"$+$7 ,$ %%&!-%7&$.$ :$.%&$4;% % 58 &$ %&4;%$$++$-% "$&-% 3 (A, B C) 3 7& (7&7, &$ 9$) $$!2( .+$’ "&2.’ .%&-%"$&-%7&.$ "$4& $$%2(+"$+$7&9$+7"$&-% A $!!"#*$%&!"#!$"$4& %&!#% $%$,$!+" !-% %" (main effects) 5.%&?$# (interaction effects) "’!() *"%"5?$# %% /$% (nonorthogonal designs) (The Two-Factor ANOVA Model) +$".%$,%!’);).%& ANOVA 2 %&!#% !&&.%& .%( 7&$ %" ?$# .%&-,%&$.%& !*$)5*&%& &’ ANOVA !*&%&!"& "’!()

Upload: others

Post on 14-Oct-2019

41 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

��������������� � ������������ ����� (Factorial Analysis of Variance)

�������� ���� �������

���������������������������� ���������!���"#!�� ������$���%&!#����%�

���� (One-way ANOVA) ��������������������"'!() (MCPs) �*�"��� ��� +$�%����$�,��

��%�$-�%&��$ !-% ���������!���"#!�� ������$ �.������)� �%&!#����%���������/$

��)� � 2 ��� 3 %&!#����%� $��$!-%+$�%����$�,���%�!*�2� ������ "2�� �"��%&!#����%����

��%&������������!������� !�����*�%��&��" +$%����)�"$4�& 5(������$+�+$%������.%&���

���%������� � 3 ���"�-% ��������� ���%�������� �*�$%&�������������!���"#���2�2% ���

�� ���������$���&����������������+$������!���"#!�� ������$���"$4�&%&!#����%�

����/$��)� �������%����"������+$������!���"#!�� ������$���"��%&!#����%� 64�&+$

�$-,%"�$�,�������24& ���������!���"#!�� ������$��)� � 2 %&!#����%�

���%��& � �����$�������$+�+$�����-%�"$�&�-%���7��&�����.�����$��� �%��������%

5��� 8������&������$�2��� ��&$�,$������%�����9!-%�����-%�"$�&�-%�*�"������$+$7�,$������

���%�����������%&!-%7��&�������$����.�����$ � ��:�$.%&$�������4�;�%��������� ���%

5��� 8������&������$ ���%��&����4�;��%�������$�������$+�+$�����������������-%�

"$�&�-% 3 ��� (A, B ��� C) ��� 3 7��&���� (7��&�7��, ���&��$ ����9$) $�����$!����2(�

�'� �.��+$�������'� ���"�����&�2����.����'� .%&�����-%�"$�&�-%���7��&�����.�����$ ��'� "$4�&

$�����$%����2(�+"����$+$7��&�9$���+7�"$�&�-% A�$�!��������!���"#���*�$%&�������������!���"#!�� ������$���"$4�&

%&!#����%� $%����$�, ��$�!��+" � !-% %������"��� (main effects) 5�.%&�?��� ��$�# (interaction effects) �����������������"'!() �*�"���%������"������5��?������� ��$�# ���

���%%�������� ���/$%���� (nonorthogonal designs) �������������������� � ��������� ����� (The Two-Factor ANOVA Model) +$"��.�%$�,��%����!')���;)�.%& ��� ANOVA 2 %&!#����%� !�&���&.%&

.�% (� ����7�&���$ %������"��� ����?��� ��$�# .�%���&��-,%&��$.%& ������������ ��

���!*�$�)5��� �*���&�%& ����&��'� ANOVA !��������*���&�%&!��"��& ����������

����������"'!()

http://www.watpon.com 2

����������������� (Characteristics of the Model) !')���;)����.%& ��� ANOVA 2 %&!#����%�!�� �!�� ��� 7�� !�� �.��+�+$

��������)�%������.%& 2 %&!#����%�"�-%������%���� 2 ����$�������� ������

%&!#����%��� ��������,&��� 2 �����.4,$�� 64�&��������� factorial design ����� � ������ 1

%&!#����%�+$ ��� ������"9$��� ANOVA 2 %&!#����%���.����� ��� ANOVA 1

%&!#����%� �*�� 5(�������%&!��6��6�%$.4,$ ���/$%&!#����%�����%& � 3 �"�'5�+$.)�$�, !-%

�"�'5���� 5(�����%���� �!�� �$+�!��������4�;�%&!#����%�����%& ���������4�;������

%&!#����%�����/$%���������$ 5(������� ��,&�%&%&!#����%�%(�+$����4�;����� 64�&+$

������%�� ���� ������%������.%&�����%&!#����%�����$�,$��� �%������.%&%&!#����%���,&

�%&�����9������ �����% ��$ $%����$�,%&!#����%�����%&����&5�%��&%�������%��

%&!#����%�"$4�& (� � ��?��� ��$�#��$) "�-%%&!#����%���,&�%& ������&5���� ��$ +$��&

%������������� .4,$ � ( ��?��� ��$�#) 2�� �����4�;� 2 7�,$�������$ �����7�,$�4�;���������

%������������ � � �����$����������&�%�24&5�.%&�?��� ��$�#

�"�'5�����%&�*�"�������� %&!#����%��.������/$!�� ��� +$�����!��

!����!�-�%$ ("�-%A�+$��'� ) 64�&!�� ������$���� ��� ��2%����������%&!#����%�����

$��$!-%�" -%$�����������$+�+7�������!���"#���2�2%�"'!()����� ������%����"�� B ���

������!���"#�����$ (��/$�����!�� !����!�-�%$.%&!�� ������$64�&��7������ !�� R2) +$

���+7�%&!#����%���� 2 �����*�"$�+"� ������� �)!��!�� !����!�-�%$���2(���%&�$�$%$

�*�"����"�'5�$�, ���%%������� � 2 %&!#����%� ��������� �%*�$�� ���������%%����

%&!#����%����� 2 !��,& 64�&%&!#����%�����%&��7��!��!' ������� .4,$.%&!�� ������$���

�������A�$%� �"�'5������ �*�"�����������)� 2 %&!#����%�!-%!�� �� ��2+$�����'�%��&%�&5�

��� ���������A����� �!�� ���"��+$���+7��"��&������� ��&$�,$5��������� ��2��'�

%��&%�&���&��)�%-�$ B �������4�;��� ���$�'$ �����+$��% .%&�������&���� �) $%����$�, +$ ANOVA 2 %&!#����%� �'������.%&%&!#����%���� ("�-%�������

factor A) �����!(�����'������.%&%&!#����%��%& ("�-%������� factor B) +$%����)�"$4�& �'�

B ��'� .%&%&!#����%� A ��� B ���� %(�+$ �������4�;����2(�%��&%�&������� fully crossed design 2�� ���&��'� � �2(��� ���� ���%%������ non fully crossed ���%����

���������/$��� nested design +$�����!����&�����2(��� �+"����������&���������.%&��,&

�%&%&!#����%� ��������!����&������%�������&!��,&���� 2�������!����&����%���� ������

1 !��,&����!������%&������� repeated measures design +$�%����$�,%����A�+��

%&!#����%������/$���%�������*�"$� (fixed-effects factors) ��&$�,$�(������,&" �����/$

������%�������*�"$� (fixed-effects model) 2�� � 1 %&!#����%� "�-% �����������/$

http://www.watpon.com 3

%�������'� �������%%������� �+7��(����%�������*�"$� 64�&�����%����+$ %�����%��

�*�"���+$�%����$�,���%�!��%&����������� ���2(����%��&$�%+$�����7��& (interval level) +$�%����$�,��� ������*�$�$.%&!����&���+$�������'� ��������$ 64�&����/$���

%%����%���� (orthogonal design) 64�&%�������$-�%&���%&!#����%�%���� �����%����+$

��)���� n �������'� � �������$ $%����$�,��� ����� �%��&$�% 2 !����&�����%��'� ��� ���%

!�� !����!�-�%$%�$�$-�%& ����!�� ������$A�+$��'� ���������%��?��� ��$�# +$�����'� !')���;)�.%& ���������!���"#%&!#����%�����%&%&!#����%�

���%�������*�"$� ���&$�, 1) �������%���� 2 ���������������������,&��� 2 �����.4,$�� 2)

�����.%&������%������,&�%&�����2(��*�"$� �5(����� 3) ��'� ���%��&2(��'� �.��+$�������'�

���%&���&��'� ���� 4) ��,&�%&%&!#����%��������� fully crossed ��� 5) ��������

��2(����%��&$�%+$�����7��& +$�$-,%"�$�,���%%����������%& ������!���"#!�� ������$

����%&%&!#����%���2(�%��&%�&�����/$�(�����'� � �(�)# (the conpletely randomized factorial design) ����������������� (The Layout of the Data) ��%$�������24&�8;E�����*����.%&������!���"#.�% (� ��%&�.��+�24& !�&���&.%&

.�% (� ���+"�!����&��������!����$ Yijk � -�% j !-%�����.%&%&!#����%� A ���$ k !-%�����

.%&%&!#����%� B ��� i !-%�*�������.%&!����&������%(�A�+$�����.%&%&!#����%� A ���

�����.%&%&!#����%� B �7�$ Y321 " �24&��/$!����&��������� 3 ���%(����������%&.%&

%&!#����%� A �����������"$4�&.%&%&!#����%� B ����"�%�������� �������� i = 1, -,n ���"�%����%& �������� j = 1, -, J ������"�%����� �������� k = 1, -, K ��&������

���%��;�����"9$���"�%�%&�������&�%�24&�6�.%&!����&��� �������� Y321 ��/$!����&���!����� 3

+$�6� 21 ��&$�,$ J �����.%&%&!#����%� A, K �����.%&%&!#����%� B �����'� ���%��& n

+$������6� �*�"�����'� ���%��&�� !-% JKn = N ������ �������'� ���%��& n +$������6�

64�&" �24&�*�$�$ n +$�������'� ������$ !�&���&.%&.�% (������'� ���%��&���&+$����& 1 ������"9$���������2������&!��

��&����*�"�������������.%&%&!#����%� A ���������� A#�����&!����&���+$����������

.%&%&!#����%� B +$7��&���&.%&������� A#����/$!��������� �*�"���������� A# (Y..k ) ���$.��.%&������2���/$!��������� �*�"���������2� (Y.j. ) ������$���&.�� -%��& ' ��

��/$!��������� ��,&" � (Y- ) 64�&�*���/$��%&!*�$�)!�������+$������6� (Y.jk ) 64�&�����&+$

���$���&.%&������6��# ���'� !�&���&.%&.�% (��� ��(�������5(���������%&��$���.�% (��&��

+$����&��%$���� ��$���!���"#

http://www.watpon.com 4

����& 1 !�&���&.�% (����!���"#!�� ������$����%&%&!#����%�

�����.%&%&!#����%� B 1 2 ... K

Row Mean

Y111

Y211

:Yn11

Y112

Y212

:Yn12

...

... :...

Y11K

Y21K

:Yn1K

Y.1.

1

Y.11 Y.12 ... Y.1K

Y121

Y221

:Yn21

Y122

Y222

:Yn22

...

... :...

Y12K

Y22K

:Yn2K

Y.2.

2

Y.21 Y.22 ... Y.2K

�����.%&%&!#����%� A : : : : : Y1J1

Y2J1

:YnJ1

Y1J2

Y2J2

:YnJ2

...

... :...

Y1JK

Y2JK

:YnJK

Y.J.

J

Y.J1 Y.J2 ... Y.JK Column Mean Y..1 Y..2 ... Y..K Y...

�������������������� � ������������ ����� +$"��.�%$�,���$�$*� ���������!���"#!�� ������$�7�&���$��& ��������� �)

!������ ���%�#+$ ��� ���������!���"#!�� ������$����%&%&!#����%���/$ ����7�&

���$��&!������ ������2�2%%��&&�����2�2%�"'!() ��� ���������!���"#

%&!#����%����"$4�&%&!#����%� � ���$�,����/$ ���%�������*�"$� (fixed-effects) ���

�.�$%(�+$��% ���� ���%�#.%&���7��������&$�, Yijk = µ + αj + βk + (αβ)jk + εijk

� -�% Yijk !-%!��$$��&���.%&�������� �*�"�����'� ���%��&��� i +$�������� j .%&

%&!#����%� A ����������� k .%&%&!#����%� B ("�-%+$�6��# jk), µ !-%!��������� ��,&" �

http://www.watpon.com 5

αj !-% %������.%&����� j +$%&!#����%� A , βk !-%%������.%&����� k +$%&!#����%� B,

(αβ)jk !-%5�.%&�?��� ��$�#�*�"�������� ��$.%&����� j +$%&!#����%� A �������� k +$

%&!#����%� B ��� εijk !-%!�� !����!�-�%$%��&�'� .%&�'!!���� i +$�6� jk !�� !���

�!�-�%$��� ����!�� ������&.%&������'!!� !�� !����!�-�%$+$������ ���/"�-%

%&!#����%�%-�$ B "�-%%������%-�$ B ���� ����%(�+$����4�;� %������.%&���7������!��

!����!�-�%$�� ��2!*�$�)�����&$�, αj = µ.j. - µβk = µ..k - µ

(αβ)jk = µ.jk - (µ.j. + µ..k - µ)

��� εijk = Yijk - µ.jk

$��$!-% %�������$��2����������!�� ������&��"���&!�������+$����� j .%&

%&!#����%� A ���!��������� ��,&" � %�������$��� A#���������!�� ������&��"���&

!�������+$����� k .%&%&!#����%� B ���!��������� ��,&" � 5�.%&�?��� ��$�#��/$%������

.%&����� ��$+$�����.%&%&!#����%� A ��� B ���!�� !����!�-�%$�������!�� ������&

��"���&!����&��������!�����!�������.%&�6��# jk !�� !����!�-�%$+$������!���"#!��

������$��!������!�� !����!�-�%$+$������!���"#���2�2% 64�&��,&�%&��)���$*���$%

!�� ������$.%&�������� ���� ��� ��2%����������������%���� �*�� �(�" -%$���5�.%&�?��� ��$�#�� �!�� ������&$�%����%�� 2 %������ � ���

.%&5��?��� ��$�#%�����.�$+" ������&$�, (αβ)jk = µ.jk - αj - βk - µ

64�&����.�$���.�$���&%�������$��2������ A# ��$�,������"9$���5�.%&

�?��� ��$�#��������� !�������.%&�6��# ����� 1) %�������$��2� 2) %�������$��� A# ���

3) !��������� ��,&" � +$%����)�"$4�& �?��� ��$�#���.�$��/$HI&7�,$.%&!�������+$�6��# �

�������%������.%&�2������ A#���!��������� ��,&" � ���������$������/$%��&��� (αβ)jk = µ.jk - αj - βk - µ

= µ.jk - (µ.j. - µ) - (µ..k - µ) - µ= µ.jk - (µ.j. + µ..k - µ)

�&-�%$�.����;.%& ��� �*�"��� ������ � n ������$ ��&-�%$�.!-%

jΣ αj = 0

kΣ βk = 0

jΣ (αβ)jk = 0

http://www.watpon.com 6

��� kΣ (αβ)jk = 0

��&$�,$ 5��� .%&%�������$��2�������� 0 5��� .%&%�������$��� A#������� 0

���5��� .%&5��?��� ��$�#������� 0 ��,&!(�.%&�$��2������ A# +$���$*���+7� ���%��& 2��

%������.%&�$��2�� ���/$ 0 ����%������.%&�$��2���� �'�%(��%� B 0 64�& ���&!����/$

��������&!����/$ 0 ������ �)!������ ���%�#.%& ��� µ, αj, βk, (αβ)jk ��� εijk �����*���&�%&��*��'���

2(�+7�+$������ �)!�� �����*���&�%&��*��'� ����������" ��� �*�"��� ����7�&���$��& (���

2�2% ANOVA ����2���%-�$ B) ������ �)!��.%&��'� ���%��&�����&��� Y-, aj, bk,

(ab)jk ��� eijk �� �*���� ��,&���!���� ��2!*�$�)�����&$�, aj = Y.j. - Ybk = Y..k - Y

(ab)jk = Y.jk - (Y.j. +Y..k -Y)

��� eijk = Yijk -Y.jk ��&���������Y �����&!��������� ��,&" �.%&��'� ���%��&,Y.j. ���&!�������.%&

��'� ���%��&�*�"����������� j .%&%&!#����%� A, Y..k ���&!�������.%&��'� ���%��&�*�"���

�������� k .%&%&!#����%� B ���Y.jk ���&!�������.%&��'� ���%��&�*�"����6��# jk � -�%�'����

"�%%(����&+"��"9$24&!�������.%&�'���'� ��,& i, j ��� k ��% ������)�� ��:�$�*�"������2�2%$��*�!�L +$��)�.%&������!���"#!��

������$����%&%&!#����%� �� �� ��:�$24& 3 7'��*�"���+$�����%������"������5�.%&

�?��� ��$�# � ��:�$�($#���� ��:�$��&��-%� �*�"���������%�%������.%&%&!#����%�

A !-%

H01 : µ.1. = µ.2. = - = µ.J. H11 : � �+7��'� µ.J. �����������$

� ��:�$�*�"������%�%������.%&%&!#����%� B !-% H02 : µ..1 = µ..2 = - = µ..K H12 : � �+7��'� µ..K �����������$

�'���� � ��:�$�*�"���������%�5��?��� ��$�#!-%

H03 : (µ.jk - µ.j. - µ..k + µ) = 0 �*�"����'� j ��� k H13 : � �+7��'� (µ.jk - µ.j. - µ..k + µ) �����������$

� ��:�$�($#�� ��2�.�$+$��% .%&%������.%&�$��2� %������.%&�$��� A#

���5��?��� ��$�# !-%

http://www.watpon.com 7

H01 : α1 = α2 = - = αJ = 0

H02 : β1 = β2 = - = βK = 0

H03 : (αβ)jk = 0 �*�"����'� j ��� k � ��:�$�($#%���� �����.�$����%-�$ ����������.�$���� � ������&����" ���

2�� �� ��:�$�($#2(��?���� ����5(�����%������%&�������������"'!()��-�%"�!�� ������&

.%&!�������������&��$%��& �$��*�!�L 64�&��%������%��

�� !�"�������#� $����"��! (Main Effects and Interaction Effects) ��% ���%������������%������"������5��?��� ��$�# %������"���.%&%&!#����%� A $�� �����/$%������.%&%&!#����%� A �$�������� Y 64�&�����&%������.%&

%&!#����%� A �$ Y +$��&�2����� ����!��!' %&!#����%� B �%������� �*�$%&������$���

%������"���.%&%&!#����%� B �$�!�����������?��� ��$�# � ����6��6�%$ �?��� ��$�#�� ��2$�� +$��&+���&

"$4�&��%��$�, 1) ��/$����� ��$.%& 2 %&!#����%�"�-%��� �%��������� ��$.%&��,&�%&

%&!#����%� 2) !�� ������&.%&!���������"���&�����.%&%&!#����%� A ���� �!&���+$�����

�����.%&%&!#����%� B 3) ��/$%��������� .%&%&!#����%� A ��� B �$ Y 4) ��/$%������

���� ��� ��22(��*�$����%������"���������� ���%��&.%&5��?��� ��$�# ���%��&���

�?��� ��$�#.%&!�� 2$���������������*� (Aptitude-Treatment Interaction : ATI) !�� " �$�, �%������.%&���+"�����������*�.4,$%(����!�� 2$��.%&������'!!� +$��)�%-�$ B

���&����������*���� �%������������*�"����'!!����!$��� �!�� 2$���(&�������������*�%-�$ B

�%������ � ���*�"���!�� 2$����*� ���%��&����%&�?��� ��$�#��"���&����������*������� �

��&����������*����%���� �%������ ���*�"������7����%���� �%������ ���*�"���"L�&���

��/$&�$������������)�!�� ������&��"���&��� �5$A��������&��/$�5$A���*�"���%������"������5��?��� ��$�# %&�(�5$A��

+$A������%� 1 +$�������9%������&7'�.%&!�������+$�6� ��&!��,&%��&%�&��� profile plot �$��$ X ��/$�����.%&%&!#����%� A �����$ Y ��/$!�������+$�6��#�$�������� Y ���

���$A�+$�����9%��&�������&�����.%&%&!#����%� B Profile plots �����&����$���

��������!�� ��/$�����.%&%������"����*�"��� A %������"����*�"��� B ���5��?��� ��$�#

%������"���.%&%&!#����%� A �� ��2�����%� ������)�!�������+$����������.%& A

���!�������.%& A +$����������.%& B 2��!��������� �*�"��������.%& A �!���" -%$��$"�-%

+����!�&��$ ����&7�,���� � �%������"����*�"���%&!#����%� A %������"����*�"���

%&!#����%� B !����2(����� �$ ����$*�!��������*�"�������������.%& B ���!�������.%& B +$����������.%& A 2��!��������� .%&�����.%& B �" -%$��$"�-%+����!�&��$���� �����

http://www.watpon.com 8

��'����� � �%������"����*�"���%&!#����%� B 5�.%&�?��� ��$�#��2(��*�"$� �!�������.%&

�6��*�"��������.%& A ��� �����*�+"������.%& B !&��� ("�-%+$��&������$) 64�&�����&&�� B

��/$ profile plot ���������%��"9$���� ���/$���$��&���!(�.$�$��$ ���$��&���!(�.$�$��$��

��&7�,24&���� � ��?��� ��$�# � -�%���$���� �!(�.$�$��$�����&24&��� ��?��� ��$�# �$�$%$��� ����

���%�$��*�!�L��&�2����*�"���%������"������5��?��� ��$�# ����+7�%�������$ F �*�"��� profile plots �����&+"��"9$24&��� �%(�.%&�?��� ��$�# ���%��& ���$��&�����-%�!(�.$�$��$

��/$����������� ����&24&��� �$��*�!�L.%&�?��� ��$�#

�5$A�����&��&A������%� 1 ���&24& 8 ����5$���%������/$�����+$���

%%���� 2 %&!#����%� ����& 2 �����+$�����%&!#����%� ��9%� a) ��&7�,24&���� � �

%������"�����,&%&!#����%� A ��� B ���� � �5��?��� ��$�# ���$��$$$%$ (� � �%������.%& A) ��,&�%&���$�.��+�����$ (� � �%������.%& B) ���!(�.$�$��$ (� � ��?��� ��$�#) ��9%� b) ���&24&��� �%(�.%&%������%�$�$-�%& ���� A ������ (���$� ���/$��$$%$��������!�������

.%& A1 �(&����!�������.%& A2) �����,&�%&���$�.��+�����$ (� � �%������.%& B) ���!(�.$�$��$

(� � ��?��� ��$�#) +$��9%� c) ����/$��������$��"���&���$�*�"��������.%& B (B1 �(&���� B2) ��&$�,$ �%������"���.%& B �����/$���$�$�$%$ (� � �%������.%& A) ���!(�.$�$��$ (� � �

�?��� ��$�#)

�*�"�����9%� d) � � �%������"��� (!��������*�"��������.%& A ������$ ���!�������

�*�"��������.%& B ������$) ��� ��?��� ��$�# ���,&�%&���$� �!(�.$�$��$ ��9%� e) ���&

%������"���.%&��,&�%&%&!#����%� � �!�������������&��$ (A1 ��*����� A2 ��� B1 �(&����

B2) ���� � ��?��� ��$�#��$ (���$!(�.$�$��$) +$��9%� f) ���"9$%������"���.%& A (A1 ��*�����

A2) ����?��� ��$�#�& �%(����� � �%������"���.%& B (!�� ������&.%&���$ �$�%) �*�"���

��9%� g) ������?%������"���.%& B (B1 �(&���� B2) ����?��� ��$�# ���� � �%������"���.%& A �'���� ��9%� h) ���"9$%������"���.%&��,&%&!#����%� A ��� B (A1 ��*����� A2 ��� B1

�(&���� B2) ��� ��?��� ��$�# � ������7����$�����5������/$�������,&" ������)���/$�(���� 2

%&!#����%� ����5$���������&��$.4,$%(����!�������.%&�6��# +$%����)�"$4�& 2������4�;�.%&

!') �$��*�!�L�����%������.%& A profile plot � ��*���/$�������%&��/$�" -%$ ��9%� b) �����

%�����" -%$�������5$���� B ��������!�� " �

http://www.watpon.com 9

A������%� 1 ���&!�� ��/$�����.%&%������+$ Two-way ANOVA

http://www.watpon.com 10

+$"$�&�-%�2��������� 5(����&%�������&�$�!����������7$��.%&�?��� ��$�#���&+$ profile plot 64�&%�����*�+"��"9$!�� ������&��"���&�?��� ��$�#��� ��*���� (ordinal interaction) ����?��� ��$�#���� � ��*���� (disordinal interaction) �?��� ��$�#��� ��*�����9!-%���$����&%�� �

�?��� ��$�#%(�� -�%���$��&� �!(�.$�$���� ������$ �*����+$���$�," �24&!�� �� ��$�#����" -%$��$

+$�*����.%&!�������+$�6��#��� �%(�.�� �����.%&%��%&!#����%�"$4�& ���%��&�7�$ !�������

�*�"�������� 1 .%&%&!#����%� B � ������!������������ 2 .%& B +$�'������.%& A �*�"���

�?��� ��$�#���� � ��*���� �9!-%���$���� �!(�.$�$��������$ ���%��&�7�$ !�������.%& B1 �(&����

!�������.%& B2 �������� A1 ���!�������.%& B1 ��*�����!�������.%& B2 �������� A2 �������� �$�,

��/$!�� ������&��"���& 2 7$��.%&�?��� ��$�# ���� ��$�$%$ .4,$%(����%&!#����%����2(�

��9%��&�$��$ X $��$!-%� -�% %&!#����%� A 2(���9%��&�$��$ X %�������&�?��� ��$�#

���� � ��*���� ���� -�%%&!#����%� B 2(���9%��&�$��$ X %�������&�?��� ��$�#��� �

�*���� �'� '�&" �.%& profile plot !-%��+"�&��+$����"9$5�.%&�?��� ��$�# !�� ��&����������

7$��.%&�?��� ��$�#������.4,$%�����*�+"�����!�� ����$+$������!�� " � �����)�+$ 2 ��)������/$�����!-% � -�%5��?��� ��$�# �$��*�!�L"�-%� � �$��*�!�L 2��

� � �$��*�!�L.%&5��?��� ��$�#���� ����%������"����� ��2��'�%��&%�&+$7��&!�� �7-�% ��$���

����&���� +$��)�$�, %������"�������/$������� %������ (additive effects) ������� ����7�&

���$������� � ��?��� ��$�#+$��% ��!����+7�%����.�% (� ���%��&�7�$ 5�%������/$��������

+$%&!#����%� A �������� 1 �!��������(&������������ 2 �� %!-% 10 "$�� +$�'������.%& B

��&$�,$�� ��2��+"������%����������������� .4,$%��&!&���.%&�������� 1 ��� 2 .%&

%&!#����%� A �� ��$+�%&!#����%� B $%����$�,�*�"�����)�� � ��?��� ��$�# %������"���

+$��&�2�������/$%�������%&!#����%�%-�$ $��$!-% %������"���������������/$�������*�$����

��/$%���������$ 2��5��?��� ��$�# �$��*�!�L��������%������"���� ��� ��2��'�%��&%�&����� +$��)�

$�,%������"���� ����� ��� ��?��� ��$�#+$��% �����%&�� %(�+$ ����7�&���$ ���%��&�7�$ 5�

%���� ���� 1) !��������*�"�������� 1 .%&%&!#����%� A �������������� 2 � -�%�����)����

�������� 1 .%&%&!#����%� B ��� 2) !�������.%&�������� 1 %&!#����%� A $�%������������ 2

� -�%�����)������������ 2 .%&%&!#����%� B ��&$�,$���� ��� ��2+"������%����������!��

!&���������� .4,$.%&�������� 1 ��� 2 .%&%&!#����%� A ���� ���.4,$%(���������.%&%&!#����%� B $%����$�, �*�"�����)� ��?��� ��$�# %������"���+$��&�2������ ���/$%�������%&!#����%�

%-�$ $��$!-% +$%������"�������������� ���/$�����������/$%���������$ ��&$�,$+$��� �%(�.%&

$��*�!�L.%&�?��� ��$�# �����'�%��&%�&��������%������"�����%&��/$�7�&��� �) profile plot !����2(������%�������!�� " �����5$A��.%&�?��� ��$�#���%������"������ �%(�

��� �$��*�!�L.%&�?��� ��$�#��/$�����-%$� ��� ��2��'�%��&%�&���&%������"���.%& A +$�'�

http://www.watpon.com 11

B �����.%& B ��� 2��!')�&%��&%�&24&��� �$��*�!�L.%&�?��� ��$�# $��$!-% �!�� �*�!�L+$5����

��� ����%&� ����������$*����(�������!�� " �%������"���

���%�����&'��%��������������������%�����&'��%��

���.�%���&��-,%&��$.%&������!���"#!�� ������$���%&!#����%����� �9��

�*�$%&�������������!���"#!�� ������$����%&%&!#����%� .�%���&��-,%&��$����$�$%$!-%

��������&.%&!�� !����!�-�%$ +$��)��%&%&!#����%�$�, ����������.�%&���!��

!����!�-�%$+$�����.%&�6��# $��$!-%!�� !����!�-�%$���%(�A�+$������6��# .�%���&��-,%&��$.%&��������&.%&!�� !����!�-�%$+$��&�?���������/$7'�.%&

.�%���&��-,%&��$ 3 ��������������!�� !����!�-�%$ εijk !-% ��������� !�� !����!�-�%$

��� �������/$��%��&�'� �����/$%���������$ $��$!-%��� � �!�� !����!�-�%$%��&��/$����

���!�� !����!�-�%$�����!������%&��/$%���������$ +$���+7���'� ���%��&����'� �%��&%���������$�*�!�L+$������!���"#!�� ������$

%�������$ F ��%�%$�"� ��+$������ ��.�%���&��-,%&��$.%&!�� ��/$%����$�,��7������ !��

!����!�-�%$������ I ��� II +"��(&.4,$ ������ ��.�%���&��-,%&��$.%&!�� ��/$%����%���� �

%��������%!�� !����!�-�%$ ���:�$.%&!���������� �%��������&���$24&!��������� +$

�'�����&!#"$4�&.%&����'� ��'� ���%��&�.����'� �������'� !������%&+"���/$%���������$ 2�����

��"$��.%&���%��&2(��'� �.��+$������6��#%��&%���������$���� .�%���&��-,%&��$.%&!��

��/$%����.%&!�� !����!�-�%$$�,����/$���& �����$���%��&&���*�"���������� �$!�� ��/$%����.%&!�� !����!�-�%$ ����

$*�!�� !����!�-�%$������6��# ���9%����H 2��.�%���&��-,%&��$.%&!�� ��/$%����.%&!��

!����!�-�%$��/$���&���� !�� !����!�-�%$����%(�%��&�'� 2��.�%���&��-,%&��$$�,2(���� ��

����!�� !����!�-�%$����%(���/$�&��% ��$ �� ��2+7��2��� Durbin-Watson +$��������%� autocorrelation ������ ��.�%���&��-,%&��$.%&!�� ��/$%����.%&!�� !����!�-�%$ � %���

����.4,$��� 3 ��)�!-% .�% (���/$���%$'�� ���� (time series data) !����&���2(������/$��9%�

��� �������6,*� �*�"����������.�IL"������� ��.�%���&��-,%&��$$�,%����+7�������&�(�.�% (�

"�-%+7�������%����������� ���%�# (nonparametric tests) ���%��&������ ��.�%���&.%&

.�% (������/$%$'�� ���� autocorrelation ��"���&�2�%���� �%������+$������%�.%&�� A#

���+$��&������$ 2�������� ���$-�%& ����%&!#����%�����6�%$A�$%� +$��)�!������

%&!#����%�����6�%$�.�����+$������!���"#��/$������%����%�����"$4�&+$ ������ ���$��� 2 .%&.�%���&��-,%&��$!-%��������&.%&!�� !����!�-�%$�*�"���������6��#

�� �!�� ������$!&��� ( 2resσ ) ��� %���2(�%��&%�&�����/$.�%���&��-,%&��$.%&!�� ��/$�%�

��$�#.%&!�� ������$ (homogeneity of variance or homoscedasticity) +$%����)�"$4�&

http://www.watpon.com 12

�*�"����'� B �6��#���� ��������&��� ��&-�%$�..%&!�� !����!�-�%$�� �!�� ������$

������$ 2��.�%���&��-,%&��$��/$���&���� 2ress ����/$������ �)!������ ��*��%�&.%& 2

resσ �*�"���

������6��# ������ ��.�%���&��-,%&��$.%&!�� ��/$�%���$�#.%&!�� ������$%����$*����(�

!�� �*��%�&+$ SSwith 64�&����/$������� !�� !����!�-�%$������ I �����/$�������������� !��

!����!�-�%$������ II ��� %������.%&������ ��$�,�(�" -%$����9�$�%������%%������������

��'� ����%��&������$"�-%+����!�&��$ (balanced or nearly balanced designs) $%����$�,��)�

��� �������� n +"� ��.4,$ 5����������������� ��.�%���&��-,%&��$$�,�����& ��&$�,$�� ��IL"�

$�%"��+7����%%���������'� ���%��&�������'� ������$"�-%+����!�&��$ ���$��� 3 .%&.�%���&��-,%&��$�9!-% ��������&.%&!�� !����!�-�%$����/$ !�&����

$��$!-%�*�"����'� B �6��#���� !�� !����!�-�%$�� ���������&��/$ !�&���� 5�.%&������ ��

.�%���&��-,%&��$�" -%$���.�%���&��-,%&.%&!�� ��/$�%���$�#.%&!�� ������$ ���!�$"�

������ ��.�%���&��-,%&��$.%&��������&������ ��2+7����H�����)���������&.%&!��

!����!�-�%$.%&������6��# ����&��'�.�%���&��-,%&��$���5�.%&������ ��.�%���&��-,%&��$���&+$����& 2

����& 2 .�%���&��-,%&��$���%������.%&������ ��.�%���&��-,%&��$.%&������!���"#!��

������$����%&%&!#����%�

.�%���&��-,%&��$ 5�.%&������ ��.�%���&��-,%&��$

1. !�� ��/$%����.%&!��

!����!�-�%$ ������� .4,$.%& Type I ��� Type II error +$������%� F

���%��������%!�� !����!�-�%$ ���:�$.%&!�������

%��������%!���������

2. !�� ��/$�%���$�#.%&!��

!����!�-�%$

�!�� �*��%�&+$ SSwith , ������� .4,$.%& Type I ��� Type II error, �%������$�%��%���%%���������'� ���%��&�����

�6��#������$"�-%+����!�&��$, ��� �%������$�%� -�%���� n

+"� ��.4,$

3. ��������&����.%&!��

!����!�-�%$

�%������$�%��%���%%���������'� ���%��&������6��#

������$"�-%+����!�&��$, �%������$�%� -�%���� n +"� ��.4,$

http://www.watpon.com 13

����(����#�����(������� (Sums of Squares) ������&���$5��� �*���&�%&��/$�$�!���*�!�L��,&+$������!���"#���2�2%������

���!���"#!�� ������$ ���� ��$���5��� �*���&�%&.%&�� ��,&" �+$������ Y +7���L���;)#

��� SStotal ��% SStotal �����&��� �).%&!�� ������$�� ��,&" �.%&!����&��� +$.�,$2��

������&���$!�� ������$��� ��/$!�� ������$��"���&�����.%&%&!#����%� A

(��L���;)# SSA) !�� ������$��"���&�����.%&%&!#����%� B (��L���;)# SSB) !��

������$�$-�%&����?��� ��$�#.%&�����+$%&!#����%� A ��� B (��L���;)# SSAB) ���!��

������$A�+$�6� (��L���;)# SSwith) +$������!���"#!�� ������$����%&%&!#����%�

�� ��2���&���$ SStotal �����&$�, SStotal = SSA + SSB + SSAB + SSwith

"�-%�.�$+$��% .%&���� ���%�#.%&���7��������&$�,

∑∑∑ε+∑∑ αβ+∑β+∑α=∑∑∑ µ−n

i

J

j

K

k

2ijk

J

j

K

k

2jk

K

k

2k

J

j

2j

n

i

J

j

K

k

2...ijk )(nnJnK)Y(

%��%��&%�&�(��.%&������&���$5��� �*���&�%&������� definitional formula ��������

+$�������% ����/$$�� �(����.%&!�� ������$ �$-�%&������!*�$�)���6��6�%$ �4&��$*���$%�(�����+7����.�% (����& ��� ��2��$���

!�����& B �&�(�����!*�$�)��� -%��� 64�& ��(��!*�$�)��&$�,

SStotal = NYY2

n

i

J

j

K

kijk

n

i

J

j

K

k

2ijk

∑∑∑−∑∑∑

SSA = NYnKY2

n

i

J

j

K

kijk

J

j

2n

i

K

kijk

∑∑∑−∑

∑∑

SSB = NYnJY2

n

i

J

j

K

kijk

K

k

2n

i

J

jijk

∑∑∑−∑

∑∑

SSAB = ∑

∑∑−∑∑

J

j

2n

i

K

kijk

J

j

K

k

2n

iijk nKYnY

NYnJY2

n

i

J

j

K

kijk

K

k

2n

i

J

jijk

∑∑∑+∑

∑∑−

SSwith = ∑∑

∑−∑∑∑

J

j

K

k

2n

iijk

n

i

J

j

K

k

2ijk nYY

+$��)���� �!�� 6��6�%$ ������"$4�&%&!#����%� 64�&���"9$������7'�.%&� ������ �

�*�$�$ �������% �����%&!*�$�)������&��$ ��24& 5 ��%

http://www.watpon.com 14

%������� ANOVA � -�%�� ��2!*�$�)"�5��� �*���&�%& ����" ����� .�,$2�� �!-%����&����&��'� ANOVA � ��'�����&!#��-�%����'�5�������!���"#!�� ������$+$�(����&������'� �(����

������.%&����&��'��*�"�����)��%&%&!#����%�����?��&����& 3 �� A#�������/$�"��&.%&

!�� ������$+$ ��� ��&������!�� ������$��� ��2(����&%%���/$!�� ������$A�+$

��'� �����"���&��'� 64�&!�� ������$��"���&��'� �����&�%%%���/$!�� ������$

�$-�%& ����%&!#����%� A, B ����?��� ��$�#��"���& A ��� B �*�$%&���������)�"$4�&

%&!#����%�������&%%���/$!�� ������$A�+$��'� ���!�� ������$��"���&��'� �� A#

����%&����/$5��� �*���&�%&���!*�$�) �����(����,&" �+$"��.�%.��&��$

�� A#����� ����/$%&���"�&!�� ��/$%���� (degrees of freedon) �*�"��������

�"��& �����%&���"�&!�� ��/$%�����*���/$�*�$�$.%&!����&��������/$%���� 2��%&!#����%� � J ��������� �*�$�$%&���"�&!�� ��/$%����.%& A ��������� J - 1 �*�� � -�% �!������� J !��

�������(�!��������� ���� �� �!����������& J - 1 !������$�,$����� ��2���!�����%��&%����

�*�"���%&!#����%� B ��*�$�$ K ����� %&���"�&!�� ��/$%������������� K - 1 �*�"���

�?��� ��$�#��"���& A ��� B �9�� �%&���"�&!�� ��/$%������,&.%& A ��� B "�-%������� (J - 1)(K - 1) ���$!�� ������$A�+$��'� ����������*�$�$!����&����� ��,&" �������*�$�$

�6��#+$ ���"�-%!-% N - JK �'����%&���"�&!�� ��/$%����.%&�� ��������� N - 1 2�� ����$*�5��� �*���&�%& �2��&$,*�"$�����%&���"�&!�� ��/$%�������������

!��������*���&�%& ��&$�,$ MSA = SSA/dfA ����� A#�'����.%&����&��'� ANOVA ����/$!�� F64�&����/$!���2�����'��*�"���������!���"#!�� ������$ � �� ��:�$ 3 .�%�����%&�$+�

���%� �2��� F-test ��,&�� $�, �����%�%������"��� 2 !��������%�5��?��� ��$�# 1 !��

��)���/$������!���"#!�� ������$���%�������*�"$� (fixed-effects) !���2��� F $�,�� ��2

!*�$�)��� ����$*� MS $�,$ B �"����� MSwith ��&$�,$������ ��:�$���2(����%��� �

!�� !����!�-�%$��% ������$ �2��� F �����!����2(�������������!�����8���������������& !�����8��.%&���

���%�%&!#����%� A �������& (1 - α)F(J - 1,N - JK) !�����8���*�"���������%�%&!#����%� B

�������& (1 - α)F(K - 1,N - JK) ���!�����8���*�"���������%�5��?��� ��$�# AB �������&

(1 - α)F[(J - 1)(K - 1),N - JK] �����������%�����/$��������&����64�&�%�!��%&���� ��:�$%-�$���

�*�"$���� � ��:�$�($#��2(��?����2��!�� F ���!*�$�)��� �!�� ������!�� F ���8���������& 2���2������%� F �!�� ������!�����8���������& ���� �!�� 7����$���� ��:�$�($#

��2(��?���� +$��)�$�,%������%& ��������������"'!()��-�%!�$"�!�� ������&.%&!�������

��"���&�������'� +$"��.�%2����

http://www.watpon.com 15

����& 3 ����&��'�5�������!���"#!�� ������$����%&%&!#����%�

�"��&!�� ������$ SS df MS F ��"���&��'� :

A SSA J - 1 MSA MSA / MSwith B SSB K - 1 MSB MSB / MSwith

AB SSAB (J - 1)(K - 1) MSAB MSAB / MSwith A�+$��'� SSwith N - JK MSwith

�� SStotal N - 1

��!)���� �)��� )��"���� (Multiple Comparison Procedures) +$"��.�%$�,�����.��$�!����������.�%&��������������������"'!() (MCPs) ����!

��$%���+$��-�%&������!���"#!�� ������$���"$4�&%&!#����%� 64�&������!���"#!��

������$����%&%&!#����%����� 24&%������"������5��?��� ��$�# 64�&%������%&

�����������,&!(�.%&%������"������5��?��� ��$�# 64�&���� ����������%����������+$��-�%&���

���!���"#!�� ������$���"$4�&%&!#����%������ ��2$*� ����'��#+7������)��%&

%&!#����%���� $��$!-%����� �������������!���������,&+$�$��2������ A# ���!�������

A�+$�6��# ��&$�,$��%& �!�� �� ������&���7����$��������!������������$*� ���������� ���� ��$�*��$�$������������%������"��� 2��%�������*�"���%&!#����%� A �

$��*�!�L��� � ������ 2 �����+$%&!#����%� A �������%&���������!��������*�"��������

�����.%&%&!#����%� A �+7�!�������+$����������.%&%&!#����%� A $%����$�, n !����

�%��������/$�*�$�$.%&!������������%&$*� ���������� ����*�$�$.%&!����&���+$������6��#

��&$�,$��������������������.�%&���%&!#����%� A �*�$�$.%&!����&������������ nK

(��L���;)#!-% nj) ����*�"���������������.%&%&!#����%� B �*�$�$.%&!����&���!-% nJ (��L���;)#!-% nk) �����)������%&!#����%�����$ ��2�����&���������$�$*��*�"������

�����������)���/$ ���%&!#����%�������� ������ JK ������ -�%+7� MCPs +$���

�����%�%������"��� 64�&�� ��%�!��%&������%%������� ��$� $� ����%&�����!���"#���

��%������ ���� ��$�$*� �*�"�����������������������.�%&����?��� ��$�#�� �!�� 6��6�%$ ����� ��$���

����������?��� ��$�# 2��+$ ��� � ������ 4 �6��# ��&$�,$�(���� 4 x 4 ��2(�%%����

�%�!��%&��������%&!#����%� A � 4 ����� ��������%&!#����%� B %�� 4 ����� "�-%%���

http://www.watpon.com 16

����������(����.%& 4 x 2 "�-%��������%$ 4 ��������5(��%$ 2 ����� ���%��&���

���������

)YYYY(41)YYYY(

41

42.32.22.12.41.31.21.11. +++−+++=Ψ′

���!�� !����!�-�%$ ���:�$

)]nc

(MS[)(SEj k jk

2jk

error ∑∑=Ψ′

� -�% njk !-%�*�$�$.%&!����&���+$�6��# jk 64�&������������$�,!���������%�

�?��� ��$�#��"���&���������,& 4 .%&��������%$���%�� 2 �����.%&5(��%$ ������������

�?��� ��$�#���6��6�%$!���������)��?��� ��$�#��"���&��������%$��,& 4 ���5(��%$%�� 2 ��������

�"�-%

2���������������?��� ��$�#���6��6�%$ �$��*�!�L���� �������������?��� ��$�#

%��&&���������.�%&���!���������� ����&�!� 4 �6��# �������.�%&���%&!#����%� A ��� B ��� �

���&%&!#����%��� 2 ���������$�,$ �� ��2��������������&$�, )YY()YY( 22.12.21.11. −−−=Ψ′

�����% .%&!�� !����!�-�%$ ���:�$������$ +7����%��&$�,�*�"���������������

��"���&����������� 2 ��������%$�����������&��� 2 �����.%&5(��%$ �2���%-�$ B ����$�$*�+$���+7��*�"���%������"���+$������%�����?��� ��$�# �

$��*�!�L �������.�%&�����������������.%&%&!#����%� A +$����������.%&%&!#����%� B ��� ���������+7�������&���$5��� �*���&�%& %��&���9�� %������&�� B +$5��� �*���&

�%&�����&������$.%&%������"����� ���5��?��� ��$�#

MCPs � ��������%����������+$��-�%&������!���"#!�� ������$���

%&!#����%������� ��2+7����%�%������"������5��?��� ��$�#���64�&!')��%&�$�+����

�� ��2����������6��#.%&!�����������" ��� ����*�$�$.%&!����&������2(���%&���%&���"�&

!�� ��/$%�������2(���%&

�������������"��! (Measures of Association) �������"���"����������.�%&���!�� �� ��$�#��"���&%��������� Y 64�&�� �������

%(� 2 %��& � �����������6��# �!�� ������$������$���� ���������!-% η264�&!-%%�������$

!�� �� ��$�# 64�&�����&������$.%&!�� ������$+$ Y ���2(�%����������%����������$+�

�4�;� (�7�$ %&!#����%� A "�-%%&!#����%� B "�-%�?��� ��$�# AB) �� ��2!*�$�) η2���

��&$�, totalA

2A SS/SS=η

http://www.watpon.com 17

totalB2B SS/SS=η

totalAB2AB SS/SS=η

�2���$�, ��$�!���*�$%&��������2��� R2+$������!���"#���2�2%

%��������"$4�&�����/$!�� �� ��$�#��"���&%��������� Y !-%�2��� ω2�� ��2!*�$�)

ω2�����&$�,

]MSSS/[]MS)1J(SS[ withtotalwithA2A +−−=ω

]MSSS/[]MS)1K(SS[ withtotalwithB2B +−−=ω

]MSSS/[]MS)1K)(1J(SS[ withtotalwithAB2AB +−−−=ω

.4,$%(����%����������$+��4�;� +$�����������$�,�� �.�%�*����!-%�������'� !�� �!�� ������$������$ "�-% � n

������$ ��&$�,$��/$!�� �*����������$�$*����+7�������$�, $%����$�,�&� � ��E+� B �*�"������

���!�� " �.$��.%&�2��������� 64�& �����!��������!�� �� ��$�# �!����,&��� 0 (� � �

!�� �� ��$�#) �$24& 1 (�� ��$�#��$%��&� �(�)#) .4,$%(����5(�������������!�� " �.$��

.%&!�� �� ��$�#������%�����������!�����������&�$����%-�$ B ��������*�$%&������$$�,

%��������(���� �����)����%��&������!���"#!�� ������$����%&%&!#����%� �����.�����

����$-,%"�������!���"#!�� ������$���"$4�&%&!#����%� ����� %&!#����%�����%&�.����

+$ ��� �������� �9����/$�������+$����.��"�%&��9�+$A�!���$"$4�& � -�%%&!#����%� A

!-%���+7������%$+$"�%&��9� (64�&5(��%$�����!$ �������%&!#����%�������� ��$) ���

%&!#����%� B !-%7��&�������+7�"�%&��9� ��&$�,$5(������$+�������4�;�%������.%&����������

�%$+$"�%&��9� 7��&�������+7�"�%&��9���� �%��������%$�����������.��+7�"�%&��9�.%&$�����$

+$A�!���$"$4�& ������.%&�����%$+$"�%&��9� � 4 �����!-% 1) � �+7�"�%&��9�+$����%$

2) +7�"�%&��9�+$����%$���&��9�$�% 3) +7�"�%&��9�+$����%$��$���& ��� 4) +7�"�%&

��9�+$����%$ �� ���$7��&�������+7�"�%&��9����&%%���/$ 2 �����!-% 1) +7���9�+$�������

��� 2) +7���9�+$�����9$ $�����$�����!$2(��'� �.�����5(��%$��9������!$���7��&�������+7�

��9� � �$�����$ 4 !$ +$������6��#����� ��,&" � � 8 �6��# �� $�����$��,&" � 32 !$

$�����$+7��������$+$����7�$�,��,&" � 30 7��� & ����& 4 �����&.�% (����!�������.%&��'�

���%��&�*�"����6��#��,&" ���,&+$�$��2� �� A#�����

http://www.watpon.com 18

����& 4 .�% (����%��&���+7�"�%&��9�

7��&��� 7��&�9$ !������� (�2�)

� �+7�"�%&��9�+$����%$ 15 12 21 13

10 8

7

3

11.13

15.25 7.00 +7�"�%&��9��%$��9�$�% 20

22 24 25

13 9

18 12

17.88

22.75 13.00

+7�"�%&��9��%$��$���& 24 29 27 25

10 12 21 14

20.25

26.25 14.25

+7�"�%&��9��%$ �� 30 26 29 28

22 20 25 15

24.38

28.25 20.50

!������� (�� A#) 23.13 13.69 18.41 (!��������� )

���� ���!���"#!�� ������$ �����������������%&!*�$�)5��� �*���&�%&

SStotal = NYY2

n

i

J

j

K

kijk

n

i

J

j

K

k

2ijk

∑∑∑−∑∑∑

= 12591 - (346921/32) = 1749.72

http://www.watpon.com 19

SSA = NYnKY2

n

i

J

j

K

kijk

J

j

2n

i

K

kijk

∑∑∑−∑

∑∑

= 11579.88 - (346921/32) = 738.60

SSB = NYnJY2

n

i

J

j

K

kijk

K

k

2n

i

J

jijk

∑∑∑−∑

∑∑

= 11553.81 - (346921/32) = 712.53

SSAB = ∑

∑∑−∑∑

J

j

2n

i

K

kijk

J

j

K

k

2n

iijk nKYnY

NYnJY2

n

i

J

j

K

kijk

K

k

2n

i

J

jijk

∑∑∑+∑

∑∑−

= 12314.25 - 11579.88 - 11553.81 + (346921/32)

= 21.84

SSwith = ∑∑

∑−∑∑∑

J

j

K

k

2n

iijk

n

i

J

j

K

k

2ijk nYY

= 12591 - 12314.25 = 276.75

2�� �!*�$�)!��������*���&�%& MSA = SSA/dfA = 738.60/3 = 246.20 MSB = SSB/dfB = 712.53/1 = 712.53

MSAB = SSAB/dfAB = 21.84/3 = 7.28 MSwith = SSwith/dfwith = 276.75/2 = 11.53

�'����!*�$�)"��2������%� F ���!��

FA = MSA/MSwith = 246.20/11.53 = 21.35 FB = MSB/MSwith = 712.53/11.53 = 61.79 FAB = MSAB/MSwith = 7.28/11.53 = 0.63

�2������%���$*������������!�����8�� .95F3,24 = 3.01 �*�"���%������.%& A ���

%������.%& AB ��� .95F1,24 = 4.26 �*�"���%������.%& B �� ��2�������������& ��������$�

�*�!� 0.05 �2������%� ������!�����8���*�"���%������.%& A ��� B ����$�,$ ��&$�,$�����

http://www.watpon.com 20

�?���� H0 �����'������,&!(�.%&���+7�����+$����%$��9����7��&�����%$��9� �!�� �� ��$�#

�*�+"�����!�� ������&��"���&!�������.%&�������+$���+7���9�.%&5(����$ 5��?��� ��$�#� �

�$��*�!�L $*�!�����& B ���!*�$�)��� ���'��&����& ANOVA ��&����& 5

����& 5 ����&��'�5�������!���"#!�� ������$����%&%&!#����%�

�"��&!�� ������$ SS df MS F ��"���&��'� :

A 738.60 3 246.20 21.35a

B 712.53 1 712.53 61.79b

AB 21.84 3 7.28 0.63 a

A�+$��'� 276.75 24 �� 1749.72 31

a.95F3,24 = 3.01

b.95F1,24 = 4.26

2�� ���� �)!��%������"������5��?��� ��$�# %������"����*�"�������������.%& A ��� �)!�������&$�,

a1 = Y.1. -Y- = 11.13 - 18.41 = -7.28

a2 = Y.2. -Y- = 17.88 - 18.41 = -0.53 a3 = Y.3. -Y- = 20.25 - 18.41 = +1.84 a4 = Y.4. -Y- = 24.38 - 18.41 = +5.97

%������"����*�"��������.%& B ��� �)!�������&$�, b1 = Y..1 -Y- = 23.13 - 18.41 = +4.72 b2 = Y..2 -Y- = 13.69 - 18.41 = -4.72

�'����5��?��� ��$�#�*�"�������� ��$.%&����������.%&%&!#����%� A ��� B ��� �)!�������&$�,

ab11 = Y.11 - (Y.1. +Y..1 -Y...)

= 15.25 - (11.13 + 23.13 - 18.41) = -0.59

ab12 = Y.12 - (Y.1. +Y..2 -Y...)

= 7.00 - (11.13 + 13.69 - 18.41) = +0.59 ab21 = Y.21 - (Y.2. +Y..1 -Y...)

http://www.watpon.com 21

= 22.75 - (17.88 + 23.13 - 18.41) = +0.16 ab22 = Y.22 - (Y.2. +Y..2 -Y...)

= 13.00 - (17.88 + 13.69 - 18.41) = -0.16 ab31 = Y.31 - (Y.3. +Y..1 -Y...)

= 26.25 - (20.25 + 23.13 - 18.41) = +1.28 ab32 = Y.32 - (Y.3. +Y..2 -Y...)

= 14.25 - (20.25 + 13.69 - 18.41) = -1.28 ab41 = Y.41 - (Y.4. +Y..1 -Y...)

= 28.25 - (24.38 + 23.13 - 18.41) = -0.84 ab42 = Y.42 - (Y.4. +Y..2 -Y...)

= 20.50 - (24.38 + 13.69 - 18.41) = +0.84

A������%� 2 Profile Plot .%&.�% (������/$���%��&

�*� profile plot ���&+$A������%� 2 %������.%&%&!#����%� A �$��*�!�L��� �

������ 2 ����� ��%���������)�24&�����������������"'!()���������%� Tukey's HSD

test 64�&��/$������%���� family-wise ��� �!�� �" ��� ���*�"�����������������/$��

!(���� ��(����� �'� ( ��*�$�$.�% (�������$+$������6��#) �� ��2!*�$�)�����&$�, !�����8�� (%��&%�&�������&)

1-αqdf(errof,J) = .95q24,4 = 3.90 !�� !����!�-�%$ ���:�$

ψ′s = ]n/MS[ j)error(

= )8/53.11(

= 1.20

http://www.watpon.com 22

�2������%� q1 = (Y.4. -Y.1.)/ ψ′s

= (24.38 - 11.13)/1.20 = 11.04 ( �$��*�!�L)

q2 = (Y.4. -Y.2.)/ ψ′s

= (24.38 - 17.88)/1.20 = 5.41 ( �$��*�!�L)

q3 = (Y.4. -Y.3.)/ ψ′s

= (24.38 - 20.25)/1.20 = 3.44 (� � �$��*�!�L)

q4 = (Y.3. -Y.1.)/ ψ′s

= (20.25 - 11.13)/1.20 = 4.60 ( �$��*�!�L)

q5 = (Y.3. -Y.2.)/ ψ′s

= (20.25 - 17.88)/1.20 = 1.98 (� � �$��*�!�L)

q6 = (Y.2. -Y.1.)/ ψ′s

= (17.88 - 11.13)/1.20 = 5.62 ( �$��*�!�L)

5���&7�,���!��������*�"��������.%&%&!#����%� A �$��*�!�L������&��$��"���&

����� 1 ��� 4, 2 ��� 4, 1 ��� 3 ��� 1 ��� 2 ��&$�,$�������� 1 � �+7�"�%&��9�+$����%$ �

$��*�!�L������&��������%-�$ B %�� 3 ����� ����������� 2 ��� 4 (+7�"�%&��9�+$����%$���

+7�"�%&��9�+$����%$ ��) �$��*�!�L������&��$ 5�.%&!�� ������&����������

!�� " ��*�$%&�������+$��-�%&.%&������!���"#!�� ������$���"$4�&%&!#����%� ���

�'����%������.%&%&!#����%� B �$��*�!�L 64�& B ����&�!� 2 ���������$�,$�4&� ��*���/$��%&

�����������/$��!(�

�'��������� �)!��������!�� �� ��$�# %�������$!�� �� ��$�# η2 !*�$�)������ totalA

2A SS/SS=η = 738.60/1749.72 = 0.42

totalB2B SS/SS=η = 712.53/1749.72 = 0.41

totalAB2AB SS/SS=η = 21.84/1749.72 = 0.01

!*�$�)!���2��� ω2�����&$�,

]MSSS/[]MS)1J(SS[ withtotalwithA2A +−−=ω

http://www.watpon.com 23

= [738.60 - (3)11.53]/[1749.72 + 11.53] = 0.40

]MSSS/[]MS)1K(SS[ withtotalwithB2B +−−=ω

= [712.53 - (1)11.53]/[1749.72 + 11.53] = 0.40

]MSSS/[]MS)1K)(1J(SS[ withtotalwithAB2AB +−−−=ω

= [21.84 - (3)(1)11.53]/[1749.72 + 11.53] = -0.01 �-,$:�$.%&������!�� �� ��$�#����������!�� �(�+$&�$����%-�$ B ����4�;��*�$%&

������$$�, %������'�5�������!�� �� ��$�#��"���&��� �)���+7������%$��9�.%&5(��%$���

��!$�� ��$�#�������������+7�"�%&��9� ���7��&�������+7��%$��9� �!�� �� ��$�#���

����������+7�"�%&��9� ���� � �!�� �� ��$�#��"���&�?��� ��$�#.%&��� �)���+7������%$

��9����7��&�������+7�"�%&��9��������������+7�"�%&��9�

��������������� � ������) )* n +��� �����

+$"��.�%$�,�������24&��)���� n ������6��#� �������$ (�(����� �� �'�#) 64�&�� ��(��

���� ���!*�$�)!�����& B ���������&��$%%��� �������������/$!�� ������&.%&�(����!-%�(������)���� n ������$����(����

��)����+7�������$.%& n ��)���� n ������$$�,$��&������������ �*�"�����)�+7�������$.%& n +$�6��#

���������6��#!-%

njk = njnk/N �*�"����'� j ��� k � -�% njk !-%�*�$�$.%&!����&���+$�6��# jk ���� nj !-%�*�$�$.%&

!����&���+$�����.%& j .%&%&!#����%� A ��� nk !-%�*�$�$.%&!����&���+$����� k .%&

%&!#����%� B ��� N !-%�*�$�$!����&����� ��,&" � 64�&���%��&.�% (���)� n ��/$������$��$

���&+$����& 7 ���!*�$�)5��� �*���&�%&�� ��2�*������&$�,

NYYSS2

n

i

J

j

K

kijk

n

i

J

j

K

k

2ijktotal

∑∑∑−∑∑∑=

NYnYSS2

n

i

J

j

K

kijk

J

jj

2n

i

K

kijkA

∑∑∑−∑

∑∑=

NYnYSS2

n

i

J

j

K

kijk

K

kk

2n

i

J

jijkB

∑∑∑−∑

∑∑=

∑∑−∑∑

∑=

J

jj

2n

i

K

kijk

J

j

K

kjk

2n

iijkAB nYnYSS

http://www.watpon.com 24

= NYnY2

n

i

J

j

K

kijk

K

kk

2n

i

J

jijk

∑∑∑−∑

∑∑−

∑∑

∑−∑∑∑=

J

j

K

kjk

2n

iijk

n

i

J

j

K

k

2ijkwith nYYSS

� -�%5��� .%& n �!����,&��� i = 1, -, njk

����& 7 ���%��&.�% (���� n ��/$������$��$

���%��&��� 1

b1 b2 b3

a1 n11 = 5 n12 = 5 n13 = 5 n1. = 15 a2 n21 = 7 n22 = 7 n23 = 7 n2. = 21 n.1 = 12 n.2 = 12 n.3 = 12 N = 36

���%��&��� 2

b1 b2 b3

a1 n11 = 4 n12 = 6 n13 = 8 n1. = 18 a2 n21 = 4 n22 = 6 n23 = 8 n2. = 18 n.1 = 8 n.2 = 12 n.3 = 16 N = 36

���%��&��� 3

b1 b2 b3

a1 n11 = 2 n12 = 4 n13 = 6 n1. = 12 a2 n21 = 4 n22 = 8 n23 = 12 n2. = 24 n.1 = 6 n.2 = 12 n.3 = 18 N = 36

��)���� n � ���/$������$��$ � %�������.4,$���� -�% n � �������$+$�������'� ���� �

�� ��2�*�"$���R$������$��� �4&%����/$�"�'+"�%������"������5��?��� ��$�#� ���/$%�������

��$ +$%����)�"$4�& 5��� �*���&�%&� ��� ��2�����&���$%���������%��&%���������$ $*����(�

!�� ��� +7�����������"���"��+$������&���$64�&� ��� ��2���&���$��� ��� �����%(� 3 �������

7������.�IL"���)� n � ���/$������$��$ +$�����������+"�������%�� ��:�$���������&��$

%%��� ���� ���'� ���&$�, 1) the sequential approach "�-% the hierarchical sums of squares approach 2) the partially sequential approach "�-% the partially heirarchical "�-%

http://www.watpon.com 25

experimental design "�-% method of fitting constants approach ��� 3) the regression approach "�-% the marginal means approach ���

+$�$-,%"�$�,����/$���������.�%&���������!���"#!�� ������$����%&%&!#����%�

64�&�������24&���;)��*�!�L.%&������!���"# �� 24& 1) �������%���� 2 ���"�-% ������ ���

�������������%&��/$����*�"$� 2) ��'� ���%��&2(��'� �.��+$����������.%&������%���� 3)

%&!#����%����.����$%��&� �(�)#+$�'������.%&%&!#����%����� ��� 4) �������� 2(����

%��&$�%+$�����7��& (interval scale) ��� ANOVA 2(������%�%������"��� ���5�

�?��� ��$�# .�%���&��-,%&��$.%& ANOVA 5�.%&������ ��.�%���&��-,%&��$ ����&��'�

ANOVA �(���*�"���!*�$�)5��� �*���&�%& !��������*���&�%& ���������%�$��*�!�L���

�2��� F

����������������

Lomax, Richard G. (1992). Statistical Concepts : A Second Course for Education and the Behavioral Sciences. London : Lawrence Erlbaum Associates, Inc.