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惑星の運動の摂動計算
龍谷大学 理工学部数理情報学科学籍番号 T010029氏名 加藤 豊
指導教員 飯田 晋司
目次
はじめに
• １ ケプラーの法則• ２ 使用する文字の説明• ３ 摂動ポテンシャル• ４ 定数変化法• ５ ケプラー要素を用いた運動方程式• ６ 摂動展開による微分方程式の解• ７ sinu,cosuのフーリエ級数展開• ８ 惑星方程式の修正• ９ １次までの摂動展開の結果まとめ
はじめに
• 万有引力のもとで運動している宇宙空間の物体は、地球の周りを回る人工衛星や太陽系内の惑星・彗星、恒星や銀河など数え切れないほど多く存在する。今回の卒業研究では、太陽と木星と小惑星の3体を扱い、木星と小惑星の間に働く摂動力が数式でどのような形をしているのかということを考え、微分方程式の解を1次まで摂動展開で求めることを目的とする。
１ ケプラーの法則
• 第一法則：惑星は太陽を焦点とする楕円上を運動する。
• 第二法則：面積速度は一定である。
• 第三法則：公転周期の自乗と楕円軌道の長半径の３乗は比例する。
２ 使用する文字の説明
uax cos= ueay sin1 2−=
)(coscos* euafrx −== ueafry sin1sin 2* −==
23
−= an µ σ
ω au
te l
：平均運動 ：元期近点離角
sinu e u nt lσ− = + =
：近点引数 ：軌道長半径：離心近点離角
：時間：離心率 ：平均近点離角
)( 21 mmG +=µ
y
x B A
O ( ,0)F c′ − ( ,0)F c f
( , )Px y
図１．１
O
bC
aC
A H F
u f
R Q
P
図１．２
** )sin()cos( yxx ωω −= ** )cos()sin( yxy ωω +=
* 21 siny a e u= −)(cos* euax −=
ω
*x
*y
x
y
l nt σ= + sinu e u nt lσ− = + =
σ l
0t= ｔ
３ 摂動ポテンシャル
12 2 2(( ) ( ) )j j
Rx x y y
α=
− + − jGmMα =
2 ( cos( ) sin( ))j jj j
R x t y tr rα α
≅ + Ω + Ω
cos( ),j j jx r t= Ω sin( )j j jy r t= Ω
と定義して上式に代入すると
摂動ポテンシャルを一般的に表すと
jrjΩ G
mjM ：小惑星の質量：小惑星に摂動を与える木星の質量
：角速度 ：万有引力定数：木星の公転周期の半径
４ 定数変化法
定数変化法に基づく摂動論とは、位置と速度に関する運動方程式の代わりに、軌道６要素についての運動方程式を考え、軌道６要素を微小パラメーターについて展開する方法である。この卒業研究では式の導出の見通しをよくするために天体が２次元上を運動すると考える。 すなわち軌道４要素（軌道長半径、離
心率、近点引数、近点通過時刻（元期近点離角））となる.
2
2 3
d r r Xdt r
µ+ =
慣性系における摂動力が働く運動方程式は
（１）
である。この式を１階連立の運動方程式に書き換えると
3,i ii i i
dx duu x Xdt dt r
µ= = − + （２）
となる。
0iX =摂動 がないときの式（１）の解は
1 2 3 4( , , , , )i ix f c c c c t= 1 2 3 4( , , , , )i iu g c c c c t= ic は積分定数
if igと は としたときの式（２）の解であるから0iX =
ii f
rtg
3
µ−=
∂∂
,ii gtf=
∂∂
である。
これらの式を使い代入、整理すると
4 2 2
1 1 1
ji i i i ii
j i il j l j l
cf g g f f Xc c c c t c= = =
⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂− =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∑ ∑ ∑
上式の括弧式は
2 2 2
1 1 1
( , ) [ , ]( , )
i i i i i i i i i il j
i i il j l j l j l j l j
f g g f x x x x x x c cc c c c c c c c c c= = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑ ∑
と書ける。
,[ ]l jc c はラグランジュの括弧式と呼ばれる
上式２式と摂動ポテンシャルを用いて表すと
4
1[ , ] j
l jj l
c Rc ct c=
∂ ∂=
∂ ∂∑
となる。
５ ケプラー要素を用いた運動方程式
[ , ] a Rat
σσ
∂ ∂=
∂ ∂
[ , ] [ , ]a e Ra et t
ω ωω
∂ ∂ ∂+ =
∂ ∂ ∂
[ , ] [ , ] Ra at t aσ ωσ ω∂ ∂ ∂+ =
∂ ∂ ∂
[ , ] Ret eωω ∂ ∂=
∂ ∂
1[ , ]2
a naσ =1[ , ]2
a naω η=2
[ , ] na eeωη
= −
を代入
eR
enaaR
nadtd
∂∂
−∂∂
−= 2
22 ησ
σ∂∂
=R
nadtda 2
ωη
ση
∂∂
−∂∂
=R
enaR
enadtde
22
2
eR
enadtd
∂∂
= 2
ηω 21 eη = −
６ 摂動展開による微分方程式の解
0,0 =dt
dE i0
1 )( ii f
dtEd
=∆ ∑
=
∆⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
=∆ n
jj
j
ii EEf
dtEd
11
0
2
),,( 1,0111,021,0 ⋅⋅⋅+∆+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∆+=⋅⋅⋅+
∆+
∆+ nni
iii EEEEfdt
Eddt
Eddt
dE
∑=
⋅⋅⋅+∆⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+=n
jj
j
ii E
Ef
f1
1
0
0)(
右辺の は に を代入することを示していて、第１項は１次の微小量第２項は２次の微小量である。上式の両辺を比べて微小量について同じ次数の項を等しいと置く。
( 0) jii Eff ∂∂, iE ,0
),,,( 1 tEEfdt
dEni
i ⋅⋅⋅= ),,1( ni ⋅⋅⋅= ⋅⋅⋅+∆+∆+= iiii EEEE 21,0
変数を 方程式の右辺を 略記すると運動方程式は,iE if
解を微小パラメーターで展開する
７ のフーリエ級数展開
１次の摂動展開の結果のときに用いる離心近点離角のフーリエ展開の形をここで示す.
はベッセル関数
uu cos,sin
21
1 1cos 2 ( )cos2 j
j
du e J je jlj de
∞
=
= − + ∑
)( jeJ j
∑∞
=
=1
sin)(12sinj
j jljeJje
u
：平均近点離角ueul sin−=
８ 惑星方程式の修正
dadntR
naaR
naaR
na σ∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−=∂∂
−222
上式の右辺第１項の についての偏微分はa
上式には右辺の第２項に時間 が掛かっていて、時間とともに周期項の振幅が増大し理論と観測との比較においても種々の面倒なことを引き起こすので（天体力学ではこのような項を混合永年項という）ここでは時間 が出てこないようにする。その方法を少し述べる。
t
t
右辺第１項の括弧 は周期項の係数に含まれる についての偏微分である。( ) a
)(A
)(B
eR
enaaR
nadtd
∂∂
−∂∂
−= 2
22 ησ
eR
enae
aR
nadtd I
∂∂−
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−= 2
212σ
nldtdnnt
dtd
dtd I
−=−+= )( σσ
∫ +=+= Indtntl σσ
σ∂∂
==R
dadn
nadtda
dadn
dtdn 2
dtdnt
aR
naaR
na−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−=∂∂
−22
eR
enae
dtdnt
aR
nadtd
∂∂−
−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−= 2
212σ
tnt
tdtd I
∂∂
+∂∂
=σσ平均運動 時間微分はn
となる。)(B に代入
)(A に代入
を定義すると
となり混合永年項は現れない。
また 定義式はIσ
と変形できるので平均近点離角 との関係はl
となる。
が得られる。
９ １次までの摂動展開の結果
20 0
0 01 0 0 0
1 220 0 0
0 01 0 0 0
cos(( ) ) 1 11 ( ) ( )2( )
cos(( ) ) 1 11 ( ) ( )
jj j
j j
j jj j
j j
jn t ed J je J jejn j de e
a tn r jn t ed J je J je
jn j de e
α
∞
=
∞
=
⎧ ⎫⎧ ⎫−Ω − −⎪ ⎪⎪ ⎪+⎨ ⎬−Ω⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎭ ⎪= ⎨ ⎬⎧ ⎫⎪ ⎪+Ω − −⎪ ⎪+ −⎪ ⎪⎨ ⎬+Ω⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭
∑
∑
2 220 0 0
1 0 0 02 210 0 0 0 0 0 0 0 0
2 220 0 0
0 020 0 0 0 0 0
3 sin( )2
sin(( ) ) 1 11( ) ( ) ( ) ( )
sin(( ) ) 1 11 ( ) ( )
jj
jj j j
jj j
jj j
j
t
jn t e ed d dt J je J je J jen a e r jn j de de e e de
jn t e ed d dJ je J jejn j de de e e de
η αω∞
=
− ΩΩ
⎛ ⎞⎛ ⎞−Ω − −⎜ ⎟⎜ ⎟= + + +⎜ ⎟−Ω ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞+Ω − −⎜ ⎟+ − −⎜ ⎟+Ω ⎝ ⎠
∑
01
( )jj
J je∞
=
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪
⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
∑
20 0
0 02 1 0 0 0
1 220 0 0 0 0
0 01 0 0 0
cos(( ) ) 1 11 ( ) ( )
( )cos(( ) ) 1 11 ( ) ( )
jj j
j j
j jj j
j j
jn t ed J je J jejn j de e
e tn a e r jn t ed J je J je
jn j de e
η α
∞
=
∞
=
⎧ ⎫⎛ ⎞−Ω − −⎪ ⎪⎜ ⎟+⎜ ⎟−Ω⎪ ⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎪= ⎨ ⎬⎛ ⎞⎪ ⎪+Ω − −⎜ ⎟+ −⎪ ⎪⎜ ⎟+Ω⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
∑
∑
0
20 0
0 0210 0 0 0 0 0
20 0
0 01 0 0 0
3 cos( ) 12
cos(( ) ) 1 11 ( ) ( )
cos(( ) ) 1 11 ( ) ( )
jj
jj j
jj j
jj j
j j
e t
jn t ed J je J jen a e r jn j de e
jn t ed J je J jejn j de e
η α ∞
=
∞
=
⎧ ⎫⎪ ⎪Ω −⎪ ⎪Ω⎪ ⎪⎪ ⎪⎛ ⎞−Ω − −⎪ ⎪⎜ ⎟− + +⎨ ⎬⎜ ⎟−Ω⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪
⎛ ⎞⎪ ⎪+Ω − −⎜ ⎟− −⎪ ⎪⎜ ⎟+Ω⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
∑
∑
20 0
0 01 0 0 0
1 220 0 0 0
0 01 0 0 0
cos(( ) ) 1 11 ( ) ( )2( )
cos(( ) ) 1 11 ( ) ( )
jj j
j j
j jj j
j j
jn t ed J je J jejn j de e
tn a r jn t ed J je J je
jn j de e
ασ
∞
=
∞
=
⎧ ⎫⎛ ⎞−Ω − −⎪ ⎪⎜ ⎟+⎜ ⎟−Ω⎪ ⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎪= − ⎨ ⎬⎛ ⎞⎪ ⎪+Ω − −⎜ ⎟+ −⎪ ⎪⎜ ⎟+Ω⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
∑
∑
2 22 20 0 0
0 0 02 210 0 0 0 0 0 0 0 0
2 220 0 0
0 020 0 0 0 0 0
3 sin( )2
sin(( ) ) 1 11 ( ) ( ) ( )
sin(( ) ) 1 11 ( ) ( ) (
jj
jj j j
jj j
jj j j
j
t
jn t e ed d dJ je J je J jen a e r jn j de de e e de
jn t e ed d dJ je J je J jjn j de de e e de
η α ∞
=
− ΩΩ
⎛ ⎞⎛ ⎞−Ω − −⎜ ⎟⎜ ⎟− + + +⎜ ⎟−Ω ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞+Ω − −⎜ ⎟+ − −⎜ ⎟+Ω ⎝ ⎠
∑
01
)j
e∞
=
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪
⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
∑
まとめ
• １次の摂動の結果を見ると分母に、 という因子が現れる。したがって惑星の振動数 が の整数倍になる場合摂動の１次の結果が大きくなってしまうが、これはもとの楕円軌道が不安定になることを示していると思われる。
• また本当は離心率が小さい場合は特別な取り扱いが必要なのだが、ここでは時間の都合上扱えなかった。興味がある人はそのことを課題とし考えてほしいと思う。
定数変化法式変形説明
lll cy
yR
cx
xR
cR
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
ll cxX
cxX
∂∂
+∂∂
= 22
11
ll cfX
cfX
∂∂
+∂∂
= 22
11
),( jj yx
),( yx
惑星方程式の修正の式説明
dadntR
naaR
naaR
na σ∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−=∂∂
−222
上式の右辺第二項のｔが出てくる理由
tnl=
∂∂
an
nl
lR
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂aR
lRR∂∂
=∂∂σ
aR∂∂
と ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂aR
の違い
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂aRはaの偏微分 ** , yx のaなど
aR∂∂はlやnを通じての偏微分
000 ,, aen は無摂動の軌道要素 0=t のとき
++= )()( 10 taata ・・・
++= )()( 10 teete ・・・
など