システムの信頼性 - osaka university・lrfd (load and resistance factor design)...

信頼性工学資料T.Kurashiki

1

講義「信頼性工学」

担当：倉敷哲生（ビジネスエンジニアリング専攻）

システムの信頼性

内容

１．信頼性向上のための手法


2

信頼性向上のための方法（１）

フェールセーフ（fail-safe）

システムの一部が故障しても，ある一定期間，機能が維持できるようにシステムを設計．

（例）ボイラの安全弁：破壊に至る高圧力となる前に圧力を逃がす

フールセーフ（fool-safe）

間違えない工夫．不安全行為のできないような機構にすること．

ジャックを差し間違えることはない信号系統の故障発生時に必ず赤表示が点灯


3

信頼性向上のための方法（２）

フェールソフトリィ（fail-softly）

部分的な故障がすぐ破局的破壊に繋がらず，徐々に機能が低下．

劣化故障（degradation failure）破局的故障（catastrophic failure）

(http://www.michelin.co.jp/innov/p11.htm)


4

ＦＴＡ (Fault Tree Analysis)

故障（破損のメカニズム）を階層的に表現する方法．

対象とするシステムの故障を頂上減少として，それに関与する

下位事象をＡＮＤあるいはＯＲの論理で結合していく．

（トップダウン型）

下位事象について同様な操作を

繰り返し，それ以上展開する

ことができない基本事象に至る

まで続けていく．

基本事象の確率値を定めると，

頂上現象の確率が求まる．


5


ＡＮＤゲート

入力イベントが同時に生じた際に出力イベントが生起

ＯＲゲート

入力イベントの中の一つでも起これば出力イベントが生起

並列システム

直列システム


6


並列系のフォルトツリー

直並列系のフォルトツリー

頂上事象，中間事象

基本事象

省略事象

ＡＮＤゲート

ＯＲゲート

ＦＴＡで用いる主な記号


7

プール代数による演算

分配則

))((

)(

CABABCA

ACABCBA

++=+

+=+

C

BA

幅等則

AAA

AAA

=

=+

吸収則

AABA

ABAA

=+

=+ )(

ド・モルガンの法則

BABA

BABA

=+

+=

))(( CABABCA ++=+

BAA

BA

A+BB

A

AB


8

フォルトツリーの簡略化

T

X1

X1

X2

X1

1

11

111

21

X

XX

XXX

XXT

=

+=

+=

+=

T

X1

T

X1

X1

X2

X4

X3

31

3411

321

)(

XX

XXXX

XXXT

=

+=

=

吸収則幅等則

X1

T

X3

同一事象がＦＴ中に多数含まれる場合，プール代数による演算が有効


9

講義「信頼性工学」

担当：倉敷哲生（ビジネスエンジニアリング専攻）

信頼性指標と破壊確率

内容

１．荷重－強度の関係

２．一次近似法による平均値，分散

３．安全係数と信頼性指標

４．破壊確率


10

荷重－強度

要求量 (Stress) 許容量

・荷重，応力 (Load, Stress)

・汚染濃度

・負荷電圧

・温度変化

・構造物の荷重

（風，死荷重など）

・強度 (Strength)

・人体許容濃度

・電気容量

・融点

・材料の抵抗する特性

故障は，要求量（荷重）が，許容量（強度）を超えた場合に発生


11

安全係数（安全率）

安全係数（安全率） (factor of safety)

（要素に与えられる許容荷重）（要素に作用する最大の荷重）≦

安全係数許容荷重

要素の強度==

S

R

x

xf

荷重強度係数設計法 (LRFD: Load and Resistance Factor Design)

・安全係数を荷重，強度ごとに与える．

SR fff = fR: 強度係数fS: 荷重係数

中央安全係数==

xS

xRf

強度の平均値

荷重の平均値


12

荷重係数の例

土木構造物

死荷重

活荷重

風荷重

１．２

１．５～１．７

～１．２５

一般１．２～１．８

荷重係数

道路橋

鉄道橋

新幹線

鉄筋コンクリート

１．０～１．７

１．１５～１．７

１．１５～１．７

１．０～１．６５

荷重係数

機械要素（歯車）

機械の条件機械係数

・衝撃を受けない

回転機械

・往復部分をもつ

機械

・衝撃を受ける機械

１．０～１．２

１．２～１．５

１．５～３．０

fd 歯車の種類機械係数

・精密歯車

・普通機械加工

歯車

１．０５～１．１

１．１～１．３

fz

zdS fff =


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安全係数を用いる設計手法

１．新材料の使用や，未経験の過酷な使用条件に対する設計にも，安全係数を主観的に決定することは危険．

安全係数を用いる設計手法の問題点

２．安全性に対する要求が厳しくなり，現行の安全係数の見直しを迫られる場合にも，安全係数を主観的に決定することは危険．

強度や応力のばらつきを考慮し，確率変数として扱う信頼性工学的手法の適用

統計学的に破壊確率を考え，それが実際上問題とならないような小さな値となるように許容応力を設定．

信頼性に基づく設計手法


14

確率論的設計手法

レベルⅠ

レベルⅡ

レベルⅢ

・強度や荷重の公称値に対し，安全係数を求めて設計．

・LRFD (Load and Resistance Factor Design)

・信頼性指標 b を用いて設計．

・破壊確率を用いて設計．

・関係する因子の確率分布を仮定する必要有り．

・確率分布が不明でも，平均値と分散が判れば適用可能．


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荷重－強度

要求量 (Stress) 許容量

・荷重，応力 (Load, Stress)

・汚染濃度

・負荷電圧

・温度変化

・構造物の荷重

（風，死荷重など）

・強度 (Strength)

・人体許容濃度

・電気容量

・融点

・材料の抵抗する特性



16

限界状態関数


SRSR xxxxG −=),(

荷重，強度の変数をそれぞれ xS, xRとすれば

G( ): 限界状態関数

確率変数である設計変数 x1, x2, …,xnを確率変数とし，これらの変数によって評価する設計のための目的関数

),,,( 21 nxxxGZ =

0

0

0

ZZ

ZZ

ZZ

= 限界状態

不満足状態

満足状態

限界状態関数の平均値および分散を求めることを考える


17

分布する量の平均値，分散

平均値 (mean value)

−= dxxfx )(

分散

−−= dxxfx )()( 22

x に関する一次のモーメント

x に関する二次のモーメント


18

一次近似法による平均値および分散

例題１

一次近似法を用いて関数 y=g(x) の平均値および分散を求めなさい．

一次近似法 (First Order approximation)

関数をテイラー展開して一次の項で打ち切る近似手法

関数 y=g(x) を x の平均値 xまわりにテイラー展開

+−+−+== 2))((''2

1))((')()( xxxxx xgxggxgy

一次の項で打ち切り

))((')( xxx xgg −+


19

一次近似法による平均値

関数 y=g(x)の平均値 y

−

−

−

−

−+=

−+

=

dxxfxgdxxfg

dxxfxgg

dxxfxg

xxx

xxx

y

)()()(')()(

)()})((')({

)()(

)( xg

（f(x): xの確率密度関数）

= 1

−

−

−

−=

−

dxxfdxxfx

dxxfx

x

x

)()(

)()(

=x = 1

= 0

x の分布が未知であっても，x の平均値が既知であれば，x の関数 g(x) の平均値を近似的に求めることができる．


20

一次近似法による分散

関数 y=g(x)の分散 y2 （f(x): xの確率密度関数）

−−= dxxfxg yy )(})({ 22

−

−

−=

−−+=

dxxfxg

dxxfgxgg

xx

xxxx

)()()('

)()}())((')({

22

2

))((')( xxx xgg −+ )( xg

= x2

22)}('{ xxg =

x の分布が未知であっても，x の平均値・分散が既知であれば，x の関数 g(x) の分散を近似的に求めることができる．


21

平均値，分散

変数 xの平均値，分散

−= dxxfxx )(

−−= dxxfx xx )()( 22

関数 y=g(x) の平均値，分散

)( xy g 222)}('{ xxy g

限界状態関数 Z=G(x1, x2,…, xn) の平均値，分散


22

一次近似法による限界状態関数

設計変数の平均値に関して，限界状態関数をテイラー展開

+

−−+

−+=

=

i j ji

xjjxiii i

xiixnxx

n

xx

Gxx

x

GxG

xxxGZ

2

21

21

))((2

1)(),,,(

),,,(

−+

i i

xiixnxxx

GxG )(),,,( 21

一次の項で打ち切り

限界状態関数の平均値

),,,( 21 xnxxz G

),cov(22

1

2

2

ji

xjji xi

xi

n

i xi

z xxx

G

x

G

x

G

xjjxiixii

+

= == =

限界状態関数の分散

−−= dxdyGxx

xx

xjjxii

ji

))((

),cov(

共分散

変数 x1,…, xnが独立の場合，共分散 cov(xi, xj)=0


23

FOSM法

一次近似二次モーメント法（FOSM法: First Order Second Moment mehod）

・各変数の平均値と分散の情報から信頼性を評価．

仮に確率分布を想定

Z

Z

b =信頼性指標


24

信頼性指標

SRSR xxxxG −=),(

荷重 xS，強度 xRの２変数を考慮する場合

xSxRxSxRz G −= ),(・平均値：

・分散：2

2

2

2

2

xS

xS

xR

xR

z

xSSxRR

x

G

x

G

==

+

22

xSxR +=

・限界状態関数：

信頼性指標（reliability index）

22

xSxR

xSxR

Z

Z

b

+

−==


25

安全係数と信頼性指標

例題２

ある構造物に作用する荷重と強度がともに正規分布と想定される場合，・荷重（平均値 20MPa，標準偏差 10MPa）・強度（平均値 40MPa，標準偏差 10MPa）

この構造物の中央安全係数および信頼性指標を計算しなさい．

中央安全係数

220

40===

S

R

x

xf

信頼性指標

4.11.14

20

1010

2040

22

22

==+

−=

+

−==

xSxR

xSxR

Z

Z

b

(MPa)

b = 1.4


26

安全係数と信頼性指標

例題３過負荷を防ぐシステムの採用により，荷重の分布の標準偏差が減少した．さらに，材料の制御工程を改善し，強度の分布も標準偏差が減少した．・荷重（平均値 20MPa，標準偏差 4MPa）・強度（平均値 40MPa，標準偏差 4MPa）

この構造物の中央安全係数および信頼性指標を計算しなさい．

中央安全係数

220

40===

S

R

x

xf

信頼性指標

54.365.5

20

44

2040

22

22

==+

−=

+

−==

xSxR

xSxR

Z

Z

b

(MPa)

b = 3.5


27

荷重－強度モデル

応力－強度モデル（Stress-Strength model）

・X, Y の確率分布は与えられているものと仮定．

)()|()( yYPyYYXPYXPPf ====

=0

)()( dyyfyFP YXfFX : 強度の分布関数，fY : 荷重の確率密度関数

破壊確率

密度関数 f Y (y)

f X (x)

応力

y

強度

x または y面積 = F X (y)

f Y (y)dy

y+dy


28

荷重・強度が共に正規分布に従う場合

正規分布

−

−=

udu

uu

2exp

2

1)(

2

−

−−=

xdx

xxF

2

)(exp

2

1)(

2

標準正規分布),( 2N )1,0(N

−=

xu

荷重 xSが N(S , S2)に従い，強度 xRがN(R , R

2)に従う場合

SR xxz −= ),(22

SRSRN +−はに従う．・

22

)(

SR

SRzu

+

−−=

−==

0)(]0Pr[ dzzfzP zf・破壊確率：

+

−−=

+

−−=

22221

SR

SR

SR

SRfP

Pf


29

信頼性指標と破壊確率

荷重，強度が共に正規分布に従う場合

𝑃𝑓 = Φ𝜇𝑅 − 𝜇𝑆

𝜎𝑅2 + 𝜎𝑆

2= Φ(𝛽)

Pf = 0.081

b = 1.41

Pf = 0.00023

b = 3.54


30

荷重・強度が正規分布に従う場合の破壊確率

例題４

ある構造物に作用する荷重と強度がともに正規分布と想定される場合，・荷重（平均値 100MPa，標準偏差 20MPa）・強度（平均値 200MPa，標準偏差 40MPa）

この構造物の破壊確率を計算しなさい．


31

正規分布確率表

u 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641

0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247

0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859

0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483

0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121

0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776

0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451

0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148

0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867

0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611

1 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379

1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170

1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.09853

1.3 0.09680 0.09510 0.09342 0.09176 0.09012 0.08851 0.08691 0.08534 0.08379 0.08226

1.4 0.08076 0.07927 0.07780 0.07636 0.07493 0.07353 0.07215 0.07078 0.06944 0.06811

1.5 0.06681 0.06552 0.06426 0.06301 0.06178 0.06057 0.05938 0.05821 0.05705 0.05592

1.6 0.05480 0.05370 0.05262 0.05155 0.05050 0.04947 0.04846 0.04746 0.04648 0.04551

1.7 0.04457 0.04363 0.04272 0.04182 0.04093 0.04006 0.03920 0.03836 0.03754 0.03673

1.8 0.03593 0.03515 0.03438 0.03362 0.03288 0.03216 0.03144 0.03074 0.03005 0.02938

1.9 0.02872 0.02807 0.02743 0.02680 0.02619 0.02559 0.02500 0.02442 0.02385 0.02330

2 0.02275 0.02222 0.02169 0.02118 0.02068 0.02018 0.01970 0.01923 0.01876 0.01831

2.1 0.01786 0.01743 0.01700 0.01659 0.01618 0.01578 0.01539 0.01500 0.01463 0.01426

2.2 0.01390 0.01355 0.01321 0.01287 0.01255 0.01222 0.01191 0.01160 0.01130 0.01101

2.3 0.01072 0.01044 0.01017 0.009903 0.009642 0.009387 0.009137 0.008894 0.008656 0.008424

2.4 0.008198 0.007976 0.007760 0.007549 0.007344 0.007143 0.006947 0.006756 0.006569 0.006387

2.5 0.006210 0.006037 0.005868 0.005703 0.005543 0.005386 0.005234 0.005085 0.004940 0.004799

2.6 0.004661 0.004527 0.004396 0.004269 0.004145 0.004025 0.003907 0.003793 0.003681 0.003573

2.7 0.003467 0.003364 0.003264 0.003167 0.003072 0.002980 0.002890 0.002803 0.002718 0.002635

2.8 0.002555 0.002477 0.002401 0.002327 0.002256 0.002186 0.002118 0.002052 0.001988 0.001926

2.9 0.001866 0.001807 0.001750 0.001695 0.001641 0.001589 0.001538 0.001489 0.001441 0.001395

3 0.001350 0.001306 0.001264 0.001223 0.001183 0.001144 0.001107 0.001070 0.001035 0.001001

➢ 製品の信頼性とは「ゆりかごから墓場まで」（商品のライフ・サイクルの全段階に関連）

➢ 信頼性技術の本質は「従来品より更なる高機能化」と「不具合の未然防止」

問題発生後，原因を追求し改善するフィードバックの考え方から，問題が起こる前に，予防するフィード・フォワードの考え方へ．

製品価格に見合う期待寿命の間，不具合が発生しないように設計

➢ 同一の規格，同一の材料，同一の製造装置を用いて多数の製品を製造しても，製品の寿命は同一でなくバラツキが生じるのも事実．

バラツキを効果的に狭める管理技術的方法が必要．

信頼性工学の本質

シミュレーション技術：「見えないものを見る．予測不可能な現象を評価する」

高機能化・自己修復技術：「高価値付与・易メンテナンス」

信頼性工学の手法

➢確率論的アプローチ

➢個々の要素の故障が相互にどのように関連し，全体としての機能につながっているか？

➢全体としての信頼性を高めるにはどうするのが効果的か？

➢システム工学的アプローチ

機械・構造物は通常，多数の要素（部品や部材）から構成．

➢従来の経験的手法だけでは対処しきれなくなる可能性

➢サンプル数や試験時間などの設定について，明確な根拠が要求

機械・構造物の設計，強度・寿命評価，保守点検には，使用材料の強度や作用する荷重に不確定性が存在することを考慮する必要有り．

統計データの処理，確率紙による分布解析，信頼性指標と破壊確率，モンテカルロ・シミュレーション，ベイズの理論

信頼度の推定・立証，直列系・並列系・待機冗長系の信頼度，イベントツリー，フォルトツリー，フェールセーフ，フールセーフ

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