アポロニウスの円錐曲線論

. – p.1/16

アポロニウスの円錐曲線論アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる曲線 (円錐曲線)についての考察を行った。

circle

ellipse

hyperbola parabola

. – p.2/16

アポロニウスの円錐曲線論アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる曲線 (円錐曲線)についての考察を行った。

circle

ellipse

hyperbola parabola

. – p.2/16

アポロニウスの円錐曲線論

. – p.3/16

アポロニウスの円錐曲線論定理楕円は、平面上の二定点 F, F ′ (焦点)に対し PF + PF ′ が一定である様な点 P の軌跡である。

F' F

P

. – p.4/16

アポロニウスの円錐曲線論定理楕円は、平面上の二定点 F, F ′ (焦点)に対し PF + PF ′ が一定である様な点 P の軌跡である。

F' F

P

. – p.4/16

アポロニウスの円錐曲線論証明

AAAA

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Q

P

Q'F'

F

H

円錐を平面 で切った切り口の楕円を考える。円錐に内接し、 に上からと下から接する球との接点を とする。

楕円上の点 を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を とすると

は の一によらず一定である。ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。

. – p.5/16

アポロニウスの円錐曲線論証明

AAAA

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Q

P

Q'F'

F

H

円錐を平面 H で切った切り口の楕円を考える。

円錐に内接し、 に上からと下から接する球との接点を とする。

楕円上の点 を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を とすると

は の一によらず一定である。ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。

. – p.5/16

アポロニウスの円錐曲線論証明

AAAA

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Q

P

Q'F'

F

H

円錐を平面 H で切った切り口の楕円を考える。円錐に内接し、H に上からと下から接する球とH の接点を F, F ′ とする。

楕円上の点 を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を とすると

は の一によらず一定である。ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。

. – p.5/16

アポロニウスの円錐曲線論証明

AAAA

AAAAAA

AAAAAAAAAA

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Q

P

Q'F'

F

H

円錐を平面 H で切った切り口の楕円を考える。円錐に内接し、H に上からと下から接する球とH の接点を F, F ′ とする。楕円上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。

ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。

. – p.5/16

アポロニウスの円錐曲線論証明

AAAA

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AAAAAA

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AAAAAAAAA

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Q

P

Q'F'

F

H

円錐を平面 H で切った切り口の楕円を考える。円錐に内接し、H に上からと下から接する球とH の接点を F, F ′ とする。楕円上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。ここで PQと PF は同じ球に対する接線なので PQ = PF。同様に PQ′

= PF ′

従って 一定、となる。

. – p.5/16

アポロニウスの円錐曲線論証明

AAAA

AAAAAA

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AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAA

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AAAAAA

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AAAAAAAAA

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AAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAAA

Q

P

Q'F'

F

H

円錐を平面 H で切った切り口の楕円を考える。円錐に内接し、H に上からと下から接する球とH の接点を F, F ′ とする。楕円上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。ここで PQと PF は同じ球に対する接線なので PQ = PF。同様に PQ′

= PF ′

従って PF + PF ′= QQ′

=一定、となる。

. – p.5/16

アポロニウスの円錐曲線論定理双曲線は、平面上の二定点 F, F ′ (焦点)に対し |PF − PF ′|

が一定である様な点 P の軌跡である。

F' F

P

. – p.6/16

アポロニウスの円錐曲線論定理双曲線は、平面上の二定点 F, F ′ (焦点)に対し |PF − PF ′|

が一定である様な点 P の軌跡である。

F' F

P

. – p.6/16

アポロニウスの円錐曲線論証明

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

AAAA

H

F

F'P

Q'

QAAAAAA

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AAAAAAAAA

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円錐を平面 で切った切り口の双曲線を考える。円錐に内接し、 に接する球との接点を とする。

双曲線上の点 を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を とすると

は の一によらず一定である。ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。

. – p.7/16

アポロニウスの円錐曲線論証明

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAA

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AAAAAA

AAAA

H

F

F'P

Q'

QAAAAAA

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円錐を平面 H で切った切り口の双曲線を考える。

円錐に内接し、 に接する球との接点を とする。

双曲線上の点 を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を とすると

は の一によらず一定である。ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。

. – p.7/16

アポロニウスの円錐曲線論証明

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

AAAA

H

F

F'P

Q'

QAAAAAA

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AAAAAAAAA

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AAAAAAAAA

AAAAAAAAA

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円錐を平面 H で切った切り口の双曲線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F, F ′ とする。

双曲線上の点 を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を とすると

は の一によらず一定である。ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。

. – p.7/16

アポロニウスの円錐曲線論証明

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAA

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AAAAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

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H

F

F'P

Q'

QAAAAAA

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円錐を平面 H で切った切り口の双曲線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F, F ′ とする。双曲線上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。

ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。

. – p.7/16

アポロニウスの円錐曲線論証明

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

AAAA

H

F

F'P

Q'

QAAAAAA

AAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAAA

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円錐を平面 H で切った切り口の双曲線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F, F ′ とする。双曲線上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。ここで PQと PF は同じ球に対する接線なので PQ = PF。同様に PQ′

= PF ′

従って 一定、となる。

. – p.7/16

アポロニウスの円錐曲線論証明

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAA

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AAAAAA

AAAAAA

AAAA

H

F

F'P

Q'

QAAAAAA

AAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAA

円錐を平面 H で切った切り口の双曲線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F, F ′ とする。双曲線上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。ここで PQと PF は同じ球に対する接線なので PQ = PF。同様に PQ′

= PF ′

従って PF − PF ′= QQ′

=一定、となる。

. – p.7/16

アポロニウスの円錐曲線論定理放物線は、平面上のある定点 F (焦点)と F を通らないある直線 l (準線)に対し、PF = PQ (但し、Qは P から l に下ろした垂線の足)を満たす点 P の軌跡である。

F

P

l Q

. – p.8/16

アポロニウスの円錐曲線論定理放物線は、平面上のある定点 F (焦点)と F を通らないある直線 l (準線)に対し、PF = PQ (但し、Qは P から l に下ろした垂線の足)を満たす点 P の軌跡である。

F

P

l Q

. – p.8/16

アポロニウスの円錐曲線論証明

AAA

AAAAAAAA

AAAA

AAAA

AAAAAAAA

AAAAAAAA

AAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAA

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AAA

P

F

QRR'l' l

m'm

HH'

O

K

円錐を平面 で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、 に接する球との接点を とする。

球と円錐の接円を含む平面を とする。と平行で、円錐に

接する平面を 、その接線を 。放物線上の点 を通り に平行な直線を 。 直線 点 を取る。

. – p.9/16

アポロニウスの円錐曲線論証明

AAA

AAAAAAAA

AAAA

AAAA

AAAAAAAA

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AAAAAAAAAAAAAAAAAA

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AAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAA

AAAA

AAAAAA

AAA

P

F

QRR'l' l

m'm

HH'

O

K

円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。

円錐に内接し、 に接する球との接点を とする。

球と円錐の接円を含む平面を とする。と平行で、円錐に

接する平面を 、その接線を 。放物線上の点 を通り に平行な直線を 。 直線 点 を取る。

. – p.9/16

アポロニウスの円錐曲線論証明

AAA

AAAAAAAA

AAAA

AAAA

AAAAAAAA

AAAAAAAA

AAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAA

AAAA

AAAAAA

AAA

P

F

QRR'l' l

m'm

HH'

O

K

円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F とする。

球と円錐の接円を含む平面を とする。と平行で、円錐に

接する平面を 、その接線を 。放物線上の点 を通り に平行な直線を 。 直線 点 を取る。

. – p.9/16

アポロニウスの円錐曲線論証明

AAA

AAAAAAAA

AAAA

AAAA

AAAAAAAA

AAAAAAAA

AAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAA

AAAA

AAAAAA

AAA

P

F

QRR'l' l

m'm

HH'

O

K

円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F とする。球と円錐の接円を含む平面を K とする。

と平行で、円錐に接する平面を 、その接線を 。放物線上の点 を通り に平行な直線を 。 直線 点 を取る。

. – p.9/16

アポロニウスの円錐曲線論証明

AAA

AAAAAAAA

AAAA

AAAA

AAAAAAAA

AAAAAAAA

AAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAA

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AAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAA

AAAA

AAAAAA

AAA

P

F

QRR'l' l

m'm

HH'

O

K

円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F とする。球と円錐の接円を含む平面を K とする。H と平行で、円錐に接する平面を H ′、その接線を m′ 。

放物線上の点 を通り に平行な直線を 。 直線 点 を取る。

. – p.9/16

アポロニウスの円錐曲線論証明

AAA

AAAAAAAA

AAAA

AAAA

AAAAAAAA

AAAAAAAA

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AAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAA

AAAA

AAAAAA

AAA

P

F

QRR'l' l

m'm

HH'

O

K

円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F とする。球と円錐の接円を含む平面を K とする。H と平行で、円錐に接する平面を H ′、その接線を m′ 。放物線上の点 P を通り m′ に平行な直線をm。

直線 点 を取る。

. – p.9/16

アポロニウスの円錐曲線論証明

AAA

AAAAAAAA

AAAA

AAAA

AAAAAAAA

AAAAAAAA

AAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAA

AAAA

AAAAAA

AAA

P

F

QRR'l' l

m'm

HH'

O

K

円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F とする。球と円錐の接円を含む平面を K とする。H と平行で、円錐に接する平面を H ′、その接線を m′ 。放物線上の点 P を通り m′ に平行な直線をm。 直線 l, l′点O,Q,R,R′を取る。

. – p.9/16

アポロニウスの円錐曲線論証明続きm′ と l′ は直交するので、mと l も直交する。

O

R' R Q

P

mm'

平行線 を含む平面上で考える。なので

は二等辺三角形である。と が平行なので

も二等辺三角形。従って、

. – p.10/16

アポロニウスの円錐曲線論証明続きm′ と l′ は直交するので、mと l も直交する。

O

R' R Q

P

mm'

平行線 m,m′ を含む平面上で考える。

なのでは二等辺三角形である。

と が平行なのでも二等辺三角形。

従って、

. – p.10/16

アポロニウスの円錐曲線論証明続きm′ と l′ は直交するので、mと l も直交する。

O

R' R Q

P

mm'

平行線 m,m′ を含む平面上で考える。OR = OR′ なので△ORR′ は二等辺三角形である。

と が平行なのでも二等辺三角形。

従って、

. – p.10/16

アポロニウスの円錐曲線論証明続きm′ と l′ は直交するので、mと l も直交する。

O

R' R Q

P

mm'

平行線 m,m′ を含む平面上で考える。OR = OR′ なので△ORR′ は二等辺三角形である。mと m′ が平行なので△PQRも二等辺三角形。

従って、

. – p.10/16

アポロニウスの円錐曲線論証明続きm′ と l′ は直交するので、mと l も直交する。

O

R' R Q

P

mm'

平行線 m,m′ を含む平面上で考える。OR = OR′ なので△ORR′ は二等辺三角形である。mと m′ が平行なので△PQRも二等辺三角形。従って、 PF = PR = PQ

. – p.10/16

アポロニウスの円錐曲線論定理P を楕円上の点とし、直線 AB を P におけるこの楕円への接線とする。このとき ∠F ′PA = ∠FPB である。

F' F

PA

B

. – p.11/16

アポロニウスの円錐曲線論定理P を楕円上の点とし、直線 AB を P におけるこの楕円への接線とする。このとき ∠F ′PA = ∠FPB である。

F' F

PA

B

. – p.11/16

アポロニウスの円錐曲線論証明∠F ′PA = ∠FPB となる様に直線 AB を引くと、この直線が P 以外では楕円の外にあることを示す。

F' F

PA

B

F"Q

. – p.12/16

アポロニウスの円錐曲線論証明∠F ′PA = ∠FPB となる様に直線 AB を引くと、この直線が P 以外では楕円の外にあることを示す。

F' F

PA

B

F"Q

. – p.12/16

アポロニウスの円錐曲線論定理P を双曲線上の点とし、直線 AB を P におけるこの双曲線への接線とする。このとき ∠F ′PA = ∠FPAである。

F' F

P

A

B

. – p.13/16

アポロニウスの円錐曲線論定理P を双曲線上の点とし、直線 AB を P におけるこの双曲線への接線とする。このとき ∠F ′PA = ∠FPAである。

F' F

P

A

B

. – p.13/16

アポロニウスの円錐曲線論証明∠F ′PA = ∠FPAとなる様に直線 AB を引くと、この直線が P 以外では双曲線の外にあることを示す。

F' F

P

A

B

F"

Q

. – p.14/16

アポロニウスの円錐曲線論証明∠F ′PA = ∠FPAとなる様に直線 AB を引くと、この直線が P 以外では双曲線の外にあることを示す。

F' F

P

A

B

F"

Q

. – p.14/16

アポロニウスの円錐曲線論定理P を放物線上の点とし、直線 AB を P におけるこの放物線への接線とする。P から軸に平衡に引いた直線を PQとする。このとき ∠QPA = ∠FPB である。

F

P

A

B

Q

. – p.15/16

アポロニウスの円錐曲線論定理P を放物線上の点とし、直線 AB を P におけるこの放物線への接線とする。P から軸に平衡に引いた直線を PQとする。このとき ∠QPA = ∠FPB である。

F

P

A

B

Q

. – p.15/16

アポロニウスの円錐曲線論証明∠QPA = ∠FPB となる様に直線 AB を引くと、この直線がP 以外では放物線の外にあることを示す。

F

P

A

B

Q

F'l

R

. – p.16/16

アポロニウスの円錐曲線論証明∠QPA = ∠FPB となる様に直線 AB を引くと、この直線がP 以外では放物線の外にあることを示す。

F

P

A

B

Q

F'l

R

. – p.16/16