financial data mining fsrm588 - rutgers...
TRANSCRIPT
Financial Data Mining FSRM588
Lecture 01: Introduction and Linear Regression
Department of Statistics & BiostatisticsRutgers University
September 03 2013
Outline
1 Introduction
2 Linear Regression
What is Data Mining and Machine Learning?
Background: rapid growth of data
more automated and efficient data gathering and generation processhigh storage capabilitycomputational power
Requires efficient methods to analyze data (mining)Methods to automatically discover patterns or structures in data
e.g. more car accidents when it snows
Methods to predict missing (unobserved) information usingobservation
e.g. will housing price go up or down?
Active research field: intersection of statistics, computer science,optimization, finance, control, engineering and so on.
Steps in Data Mining Applications
Defining the problem (what to mine or learn?)
Data preparation (put data in electronic form)
data cleaning (remove abnormal data)representation (put in a form data mining algorithm can understand)
Learning/mining
feature selection/filteringlearning algorithmoutput mining results
Interpretation/validation
Supervised Learning
We have an outcome measurement, usually quantitative (such as astock price) or categorical (such as heart attack/no heart attack),that we wish to predict based on a set of features (such as diet andclinical measurements).
We have a training set of data, in which we observe the outcomeand feature measurements for a set of objects (such as people).Using this data we build a prediction model, or learner, which willenable us to predict the outcome for new unseen objects.
A good learner is one that accurately predicts such an outcome.
Unsupervised Learning
The supervised learning is so called because of the presence of theoutcome variable to guide the learning process.
In the unsupervised learning problem, we observe only the featuresand have no measurements of the outcome. Our task is rather todescribe how the data are organized or clustered.
Supervised Learning: Hand Written Digits Recognition
4 1. Introduction
FIGURE 1.2. Examples of handwritten digits from U.S. postal envelopes.
prostate specific antigen (PSA) and a number of clinical measures, in 97men who were about to receive a radical prostatectomy.The goal is to predict the log of PSA (lpsa) from a number of measure-
ments including log cancer volume (lcavol), log prostate weight lweight,age, log of benign prostatic hyperplasia amount lbph, seminal vesicle in-vasion svi, log of capsular penetration lcp, Gleason score gleason, andpercent of Gleason scores 4 or 5 pgg45. Figure 1.1 is a scatterplot matrixof the variables. Some correlations with lpsa are evident, but a good pre-dictive model is difficult to construct by eye.This is a supervised learning problem, known as a regression problem,
because the outcome measurement is quantitative.
Example 3: Handwritten Digit Recognition
The data from this example come from the handwritten ZIP codes onenvelopes from U.S. postal mail. Each image is a segment from a five digitZIP code, isolating a single digit. The images are 16×16 eight-bit grayscalemaps, with each pixel ranging in intensity from 0 to 255. Some sampleimages are shown in Figure 1.2.The images have been normalized to have approximately the same size
and orientation. The task is to predict, from the 16 × 16 matrix of pixelintensities, the identity of each image (0, 1, . . . , 9) quickly and accurately. Ifit is accurate enough, the resulting algorithm would be used as part of anautomatic sorting procedure for envelopes. This is a classification problemfor which the error rate needs to be kept very low to avoid misdirection of
Supervised Learning: Stock Price Prediction
IBM Monthly Log Return (in Percentage)
Time
log
retu
rn
40 60 80 100
−30
−20
−10
010
2030
Time
AIG
−0.
100.
00
Time
C
−0.
030.
00
Time
CO
P
−0.
040.
00
Time
F
−0.
050.
05
Time
GE
−0.
020.
02
Time
GM
−0.
060.
00
Time
IBM
−0.
020.
010.
04
Time
XO
M
−0.
030.
00
Time
SP
I
−0.
015
0.00
5
0 50 100 150 200 250
Unsupervised Learning: News Articles
church, bishop, prayerchurch, prayer, islam
stock, price, bear, marketstock, price, analyst, company
Clustering: partition documents into distinct groups so thatdocuments within each groups are similar, and documents acrossgroups are different.
Discovery of previously unknown patterns: each group has a certainsemantic meaning that is consistent with human understanding.
Least Squares
Elements of Statistical Learning (2nd Ed.) c©Hastie, Tibshirani & Friedman 2009 Chap 2
Linear Regression of 0/1 Response
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FIGURE 2.1. A classification example in two di-mensions. The classes are coded as a binary variable(BLUE = 0, ORANGE = 1), and then fit by linear re-gression. The line is the decision boundary defined by
xT β = 0.5. The orange shaded region denotes that partof input space classified as ORANGE, while the blue regionis classified as BLUE.
Nearest Neighbors
Elements of Statistical Learning (2nd Ed.) c©Hastie, Tibshirani & Friedman 2009 Chap 2
15-Nearest Neighbor Classifier
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FIGURE 2.2. The same classification example in twodimensions as in Figure 2.1. The classes are coded asa binary variable (BLUE = 0, ORANGE = 1) and then fitby 15-nearest-neighbor averaging as in (2.8). The pre-dicted class is hence chosen by majority vote amongstthe 15-nearest neighbors.
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Elements of Statistical Learning (2nd Ed.) c©Hastie, Tibshirani & Friedman 2009 Chap 2
1-Nearest Neighbor Classifier
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FIGURE 2.3. The same classification example in twodimensions as in Figure 2.1. The classes are coded asa binary variable (BLUE = 0, ORANGE = 1), and thenpredicted by 1-nearest-neighbor classification.
Comparison
Elements of Statistical Learning (2nd Ed.) c©Hastie, Tibshirani & Friedman 2009 Chap 2
Degrees of Freedom − N/k
Tes
t Err
or
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
2 3 5 8 12 18 29 67 200
151 101 69 45 31 21 11 7 5 3 1
TrainTestBayes
k − Number of Nearest Neighbors
Linear
FIGURE 2.4. Misclassification curves for the simula-tion example used in Figures 2.1, 2.2 and 2.3. A singletraining sample of size 200 was used, and a test sampleof size 10, 000. The orange curves are test and the blueare training error for k-nearest-neighbor classification.The results for linear regression are the bigger orangeand blue squares at three degrees of freedom. The pur-ple line is the optimal Bayes error rate.
Bayes Optimal Classifier
Elements of Statistical Learning (2nd Ed.) c©Hastie, Tibshirani & Friedman 2009 Chap 2
Bayes Optimal Classifier
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FIGURE 2.5. The optimal Bayes decision boundaryfor the simulation example of Figures 2.1, 2.2 and 2.3.Since the generating density is known for each class,this boundary can be calculated exactly (Exercise 2.2).
Curse of Dimensionality
Elements of Statistical Learning (2nd Ed.) c©Hastie, Tibshirani & Friedman 2009 Chap 2
1
1
0
Unit Cube
Fraction of Volume
Dis
tanc
e0.0 0.2 0.4 0.6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
d=1
d=2d=3
d=10
Neighborhood
FIGURE 2.6. The curse of dimensionality is well il-lustrated by a subcubical neighborhood for uniform datain a unit cube. The figure on the right shows theside-length of the subcube needed to capture a fractionr of the volume of the data, for different dimensions p.In ten dimensions we need to cover 80% of the rangeof each coordinate to capture 10% of the data.
Figure : The figure shows the side-length of the subcube needed to capture afraction r of the volume of the data, for different dimensions p.
Elements of Statistical Learning (2nd Ed.) c©Hastie, Tibshirani & Friedman 2009 Chap 2
X
f(X
)
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
•
1-NN in One Dimension
X1
X2
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
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1-NN in One vs. Two Dimensions
Dimension
Ave
rage
Dis
tanc
e to
Nea
rest
Nei
ghbo
r
2 4 6 8 10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
• ••
••
••
•
••
Distance to 1-NN vs. Dimension
Dimension
Mse
2 4 6 8 10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
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•
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••
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•
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• •
MSE vs. Dimension
• MSE• Variance• Sq. Bias
FIGURE 2.7. A simulation example, demonstrat-ing the curse of dimensionality and its effect onMSE, bias and variance. The input features are uni-formly distributed in [−1, 1]p for p = 1, . . . , 10 Thetop left panel shows the target function (no noise)
in IR: f(X) = e−8||X||2 , and demonstrates the er-ror that 1-nearest neighbor makes in estimating f(0).
Summary
Supervised learning and unsupervised learing.
Statistical decision theory framework, expected prediction error(EPE).
Training vs testing. It is not fair to compare different methods onthe training set. The performances on an independent test setprovide approximations to the EPE; and hence can be used tocompare different models.
Model complexity, bias-variance tradeoff.
Curse of dimensionality.
Outline
1 Introduction
2 Linear Regression
Regression Problem
Quantitative generic output variable Y .
Generic input vector X = (X1, . . . , Xp)T .
Regression function Y = f(X) to predict Y .
If the pair (X,Y ) has a joint probability distribution, and we takethe loss function as
L(Y, f(X)) = EX,Y (Y − f(X))2,
then the optimal regression function is
f(X) = EY |X(Y |X).
Target
Typically we have a set of training data (x1, y1), . . . , (xN , yN ), fromwhich we want to learn the regression function f(X), or in term ofstatistical language, we want to estimate f(X).
Linear Regression Models
The linear regression model assumes f(X) takes the form
f(X) = β0 +
p∑
j=1
Xjβj .
Under the decision theory frame work, the linear model assumes thateither the regression function E(Y |X) is linear, or that the linear from isa reasonable approximation.The variables Xj can come from different sources:
quantitative inputs;
transformations of quantitative inputs, such as log, square-root orsquare;
basis expansions, such as X2 = X21 , X3 = X3
1 , leading to apolynomial representation;
numeric or “dummy” coding of the levels of qualitative inputs. Forexample, if X is a five-level factor input, we might createXj , j = 1, . . . , 5, such that Xj = I(X = j). Together this group ofXj represents the effect of G by a set of level-dependent constants.
interactions between variables, for example, X3 = X1 ·X2.
Least Square Methods
Training set: (x1, y1), . . . , (xN , yN ).
xi = (xi1, . . . , xip)T .
β = (β0, β1, . . . , βp)T .
The most popular estimation method is least squares, in which we pickthe coefficients β to minimize the residual sum of squares
RSS(β) =
N∑
i=1
yi − β0 −
p∑
j=1
xijβj
2
.
Least Square Methods
Elements of Statistical Learning (2nd Ed.) c©Hastie, Tibshirani & Friedman 2009 Chap 3
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X1
X2
Y
FIGURE 3.1. Linear least squares fitting withX ∈ IR2. We seek the linear function of X that mini-mizes the sum of squared residuals from Y .
Gradient Descent
Suppose we have a cost function J(θ) which depends on theparameter θ = (θ1, . . . , θp)
T , and we want to choose a θ tominimize the cost function.
The gradient descent algorithm starts with some “initial guess”value for θ, and repeatedly performs the update
θj := θj − α ·∂
∂θjJ(θ) 1 ≤ j ≤ p.
Here α > 0 is called the learning rate, which needs to be chosensuitably.
This is a very natural algorithm that repeatedly takes a step in thedirection of steepest decrease of J .
Note that the update is simultaneously performed for all values of j.
Gradient Descent
9
Example of 2D gradient: pic of the MATLAB demo
Illustration of the gradient in 2D
Example of 2D gradient: pic of the MATLAB demo
Gradient descent works in 2D
Normal Equation
xj = (x1j , x2j , . . . , xNj)T denotes the N measurements on the jth
feature/input.
1 is a N -dimensional vector with all entries equal to one.
X = (1,x1,x2, . . . ,xp) is a N × (p+ 1) matrix.
The optimal solution β satisfies the normal equation:
XTXβ = XTy,
and is given by
β =(XTX
)−1XTy.
The fitted values at the training inputs are
y = Xβ = X(XTX
)−1XT
︸ ︷︷ ︸hat matrix
y.
Geometric Interpretation
Elements of Statistical Learning (2nd Ed.) c©Hastie, Tibshirani & Friedman 2009 Chap 3
x1
x2
y
y
FIGURE 3.2. The N-dimensional geometry of leastsquares regression with two predictors. The outcomevector y is orthogonally projected onto the hyperplanespanned by the input vectors x1 and x2. The projectiony represents the vector of the least squares predictions
Statistical Inference
xi are fixed.
yi are uncorrelated and have constant variance σ2.
Usually enough for large sample/asymptotic theory.
The variance matrix of the least squares parameter estimates is given by
Var(β) =(XTX
)−1σ2.
The usual estimate of the variance σ2 is
σ2 =1
N − p− 1
N∑
i=1
(yi − yi)2.
Exact Distribution Theory
Generic model.
Y = β0 +
p∑
j=1
Xjβj + ε.
The error ε ∼ N(0, σ2).
For the training data, εi, 1 ≤ i ≤ N are i.i.d.
Under this model assumption,
β ∼ N[β,(XTX
)−1σ2
]and (N − p− 1)σ2 ∼ σ2χ2
N−p−1.
Moreover, β and σ2 are independent.
Simple Linear Regression
Consider a simple linear regression: yi = β0 + β1xi + εi.
From every pair of training data (yi, xi) and (yk, xk), we can get anestimate of β1: (yi − yj)/(xi − xj).
Then take an average of these estimates over all pairs to get a finalestimate of β1.
BUT we should take a weighted average!
β1 =
∑i 6=k
yi−ykxi−xk
· (xi − xk)2∑i 6=k(xi − xk)2
=
∑Ni=1(xi − x)(yi − y)∑Ni=1(xi − x)2
.
Why taking the weights as (xi − xj)2?
Gauss-Markov Theorem
An estimate β is called a linear unbiased estimate (LUE) of β if
(i) it is linear in y, that is, β = CTy for some C ∈ RN×(p+1);
(ii) it is unbiased, that is, Eβ β = β for all β ∈ Rp+1.
Theorem (Gauss-Markov Theorem)
The least square estimate β has smallest variance among all LUE of β.
(a) β is a LUE.
(b) If β is another LUE, then Var(β) � Var(β) in the sense that the
matrix Var(β)−Var(β) is positive semi-definite.
Bias-Variance Tradeoff
38 2. Overview of Supervised Learning
High Bias
Low Variance
Low Bias
High Variance
Pre
dic
tion
Err
or
Model Complexity
Training Sample
Test Sample
Low High
FIGURE 2.11. Test and training error as a function of model complexity.
be close to f(x0). As k grows, the neighbors are further away, and thenanything can happen.
The variance term is simply the variance of an average here, and de-creases as the inverse of k. So as k varies, there is a bias–variance tradeoff.
More generally, as the model complexity of our procedure is increased, thevariance tends to increase and the squared bias tends to decrease. The op-posite behavior occurs as the model complexity is decreased. For k-nearestneighbors, the model complexity is controlled by k.
Typically we would like to choose our model complexity to trade biasoff with variance in such a way as to minimize the test error. An obviousestimate of test error is the training error 1
N
∑i(yi − yi)
2. Unfortunatelytraining error is not a good estimate of test error, as it does not properlyaccount for model complexity.
Figure 2.11 shows the typical behavior of the test and training error, asmodel complexity is varied. The training error tends to decrease wheneverwe increase the model complexity, that is, whenever we fit the data harder.However with too much fitting, the model adapts itself too closely to thetraining data, and will not generalize well (i.e., have large test error). In
that case the predictions f(x0) will have large variance, as reflected in thelast term of expression (2.46). In contrast, if the model is not complexenough, it will underfit and may have large bias, again resulting in poorgeneralization. In Chapter 7 we discuss methods for estimating the testerror of a prediction method, and hence estimating the optimal amount ofmodel complexity for a given prediction method and training set.
Figure : Test and training error as functions of model complexity.
Subset Selection
Two reasons why we are often not satisfied with the least squaresestimates.
The first is prediction accuracy: the least squares estimates oftenhave low bias but large variance. Prediction accuracy can sometimesbe improved by shrinking or setting some coefficients to zero. Bydoing so we sacrifice a little bit of bias to reduce the variance of thepredicted values, and hence may improve the overall predictionaccuracy.
The second reason is interpretation. With a large number ofpredictors, we often would like to determine a smaller subset thatexhibit the strongest effects. In order to get the “big picture,” weare willing to sacrifice some of the small details.
Best Subset Selection
For each k ∈ {0, 1, 2, . . . , p}, find the subset of size k that givessmallest residual sum of squares.
The best subset of size 2, for example, need not include the variablethat was in the best subset of size 1.
The smallest residual sum of squares as a function of k is necessarilydecreasing, so cannot be used to select the subset size k.
The question of how to choose k involves the tradeoff between biasand variance, along with the more subjective desire for parsimony.
Typically we choose the smallest model that minimizes an estimateof the expected prediction error.
Many of the other approaches are similar, in that they use thetraining data to produce a sequence of models varying in complexityand indexed by a single parameter. Popular method for selecting theright parameter (subset size here) include cross validation and AIC,BIC etc. More details later.
Best Subset Selection
Elements of Statistical Learning (2nd Ed.) c©Hastie, Tibshirani & Friedman 2009 Chap 3
Subset Size k
Res
idua
l Sum
−of
−S
quar
es
020
4060
8010
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
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FIGURE 3.5. All possible subset models for theprostate cancer example. At each subset size is shownthe residual sum-of-squares for each model of that size.
Forward-Stepwise Selection
Forward-stepwise selection starts with the intercept, and thensequentially adds into the model the predictor that most improvesthe fit.
Can exploit the QR decomposition for the current fit to rapidlyestablish the next candidate.
It produces a sequence of models indexed by k, the subset size,which must be determined.
Pros: computationally efficient, smaller variance as compared tobest subset selection, but perhaps more bias.
Cons: errors made at the beginning cannot be corrected later.
Backward-Stepwise Selection
Backward-Stepwise Selection starts with the full model, andsequentially deletes the predictor that has the least impact on the fit.
The candidate for dropping is the variable with the smallest Z-score.
Pros: can throw out the “right” predictor by looking at the fullmodel.
Cons: computationally inefficient (start with the full model), cannotwork if p ≥ N .
Hybrid-stepwise Selection
Hybrid-stepwise selection considers both forward and backwardmoves at each step, and select the best of the two.
Pros: computationally efficient, error made at an earlier stage can becorrected later.
Need a criterion to decide whether to add or drop at each step. e.g.AIC takes proper account of both the number of parameters andhow good the model fits.
Forward-Stagewise Regression
Forward-stagewise regression starts with an intercept equal to y, andcentered predictors with coefficients initially all 0.
At each step the algorithm identifies the variable most correlatedwith the current residual. It then computes the simple linearregression coefficient of the residual on this chosen variable, andthen adds it to the current coefficient for that variable.
Can take many more than p steps to reach the least squares fit. Sohistorically viewed as inefficient.
Quite competitive in very high dimensional problems.
Comparison of Four Subset Selection Methods
Elements of Statistical Learning (2nd Ed.) c©Hastie, Tibshirani & Friedman 2009 Chap 3
0 5 10 15 20 25 30
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
Best SubsetForward StepwiseBackward StepwiseForward Stagewise
E||β
(k)−
β||2
Subset Size k
FIGURE 3.6. Comparison of four subset-selectiontechniques on a simulated linear regression problemY = XT β + ε. There are N = 300 observationson p = 31 standard Gaussian variables, with pair-wise correlations all equal to 0.85. For 10 of the vari-ables, the coefficients are drawn at random from aN(0, 0.4) distribution; the rest are zero. The noiseε ∼ N(0, 6.25), resulting in a signal-to-noise ratio of0.64. Results are averaged over 50 simulations. Shownis the mean-squared error of the estimated coefficient
β(k) at each step from the true β.