financiera intereses

GUSTAVO SERGIO BIONDO

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INTERESES

CAPITALIZACIN y ANATOCISMO1

INDICE GENERAL

INDICE GENERAL __________________________________________________________ 1

PRESENTACIN DEL CASO __________________________________________________ 3

Antecedentes: _____________________________________________________________ 3

En particular ______________________________________________________________ 3

Liquidaciones _____________________________________________________________ 3

Conclusin ________________________________________________________________ 4

MARCO TEORICO ___________________________________________________________ 5

Consideraciones previas: ____________________________________________________ 5

Variaciones absolutas y variaciones relativas ___________________________________ 5

Tiempo: periodos y subperodos ______________________________________________ 6

Tasa _____________________________________________________________________ 7

Sincronizacin ____________________________________________________________ 7

Capitalizacin _____________________________________________________________ 7

Equivalencia financiera _____________________________________________________ 8

Tasas equivalentes y/o efectivas ______________________________________________ 8

Presentacin de la frmula: potencias y/o races _________________________________ 8

CUESTIONES PRCTICAS: _________________________________________________ 10

Formas de plantear la tasa de inters _________________________________________ 10

Tasa peridica o tasa subperidica ? _________________________________________ 10

Tasa peridica: nominal o efectiva Tasa subperidica: proporcional o equivalente ? 10

1 Este trabajo ha sido publicado en los Anales de las Jornadas de PUMF y en la Revista Escritos Contables que edita el Departamento de Ciencias de la Administracin de la UNS.-


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VARIACIONES EN EL TIEMPO ______________________________________________ 13

CONCLUSIN: ____________________________________________________________ 15

ANEXO I - Tasa de descuento y tasa de inters ____________________________________ 16

Una alternativa ___________________________________________________________ 16

Tasa de descuento________________________________________________________ 16

Tasa de inters __________________________________________________________ 16

Otra manera: ____________________________________________________________ 16

Ejemplo: ________________________________________________________________ 17

Una manera de resolverlo: _________________________________________________ 17

Otra forma: _____________________________________________________________ 17

CASO PRACTICO __________________________________________________________ 18

Planteo __________________________________________________________________ 18

Consideraciones previas a la resolucin: ______________________________________ 18

Rendimientos reales ______________________________________________________ 18

Aplicaciones: ___________________________________________________________ 18

Ejemplo: _______________________________________________________________ 19

Resultados: ______________________________________________________________ 21

Anlisis de los resultados: __________________________________________________ 22

BIBLIOGRAFA ____________________________________________________________ 24


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PRESENTACIN DEL CASO

Antecedentes:

El trabajo que se presenta tiene como base un caso real.-

Todo se inicia a partir de la contratacin de mis servicios profesionales por un Estudio Jurdico

para que dictamine sobre los argumentos a utilizar en una expresin de agravios ante la Cmara

de Apelaciones, en la debe sostener que la capitalizacin de intereses en la liquidacin practicada

y no aprobada en Primera Instancia, no afecta la norma del art. 6232 del Cdigo Civil que

prohbe el anatocismo.-

En el caso, el Juez en Primera Instancia desoy el planteo del acreedor y acept el del deudor,

resolviendo que resultaba aplicable el procedimiento aritmtico denominado Inters Simple.-

Hasta aqu es una simple demostracin terica, luego: el caso no presenta problemas.-

Pero se presenta otra cuestin y es de fondo: se debe tener especial cuidado en demostrar a los

Sres. Jueces de la Excelentsima Cmara de Apelaciones que si se procediera a capitalizar

subperidicamente los intereses no se estara cometiendo un delito.-

Si as no fuere las posibilidades de xito del reclamo seran prcticamente nulas.-

En particular

Concretamente es un caso donde una empresa constructora tiene pendiente de cobro un saldo de

dinero por obras realizadas.-

En el contrato de locacin de servicios se haba pactado como tasa de inters compensatoria por

mora a la tasa anual de inters que cobra el Banco de la Provincia de Buenos Aires para

descuentos de certificados de obras pblicas.-

Para tal operatoria y en tal sentido el Banco de la Provincia de Buenos Aires publica una Tasa

nominal anual vencida para operaciones a 30 das la cual, obviamente, vara peridicamente

sin razn alguna de variabilidad.-

Liquidaciones

2 Art. 623: No se deben intereses de los intereses, sino por obligacin posterior, convenida entre deudor y acreedor,

que autorice la acumulacin de ellos al capital, o cuando liquidada la deuda judicialmente con los intereses, el Juez mandase pagar la suma que resultare, y el deudor fuese moroso en hacerlo.-


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El acreedor liquida el inters compensatorio de la siguiente manera: toma como capital la suma

adeudada que la mantiene siempre en ese mismo valor y lo multiplica por el tiempo en el que

se mantiene la tasa y luego por esta; y as sucesivamente va agregando factores a medida que

cambian las tasas hasta el da de efectivo pago.-

Evidentemente el error radica en que la tasa de inters a utilizar por el lapso total debe ser la

que efectivamente resulte de la subperidica capitalizacin de cada una de las tasas

vigentes durante todo el perodo de duracin de la deuda.-

Dicho en otras palabras: el inters a pagar / cobrar ser el obtenido por la aplicacin de la tasa

efectiva resultante de las correspondientes proporcionalizaciones y consecuentes capitalizaciones

de todo el perodo.-

Conclusin

Luego y en el marco de lo antes dicho es que, con las modificaciones que corresponden al

cambio del mbito de presentacin, lo he desarrollado para presentarlo ante estas XXII

Jornadas.-


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MARCO TEORICO

Consideraciones previas:

Por sentido comn puede afirmarse que no es lo mismo disponer de una cosa hoy que en otro

momento del tiempo, y por el mismo sentido comn se concluye que debe compensarse esa

carencia.-

Esa compensacin puede acordarse de cualquier manera, sea de la misma o diferente especie que

la cosa en cuestin.-

Cuando la cosa es de absoluta liquidez y la compensacin se pacta en la misma especie, o sea

dinero, la retribucin es agregando o quitando al capital inicial una suma que se llama inters.-

Luego y por el mismo sentido comn puede definirse al inters como la diferencia del valor de

un capital entre dos diferentes momentos del tiempo.-

Luego puede concluirse que es condicin necesaria para la generacin de intereses que:

1. debe transcurrir el tiempo

2. la compensacin sea en la misma especie de la cual se parte.-

Esa diferencia siempre ser expresada como una cantidad de dinero, pero independientemente

de la forma que se le d siempre podr ser expresada como una proporcin ratio, tasa o

porcentaje - del capital inicial.-

Esa compensacin en dinero es una variacin absoluta en tanto que expresado como proporcin

es una variacin relativa.-

Son dos pticas distintas y complementarias de un mismo problema.-

Variaciones absolutas y variaciones relativas

Por lo hasta ahora visto se puede afirmar que segn el tipo de anlisis o fin que se persiga la

variacin o diferencia entre dos cantidades ser posible plantearla o evaluarla - indistintamente -

de dos maneras diferentes: absolutas o relativas.-


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Como dato o premisas partimos de que una variacin absoluta es una cantidad de la misma

especie de la que se esta tratando en tanto que una variacin relativa es un nmero que expresa

la relacin - ratio o tasa - de variabilidad de las magnitudes en cuestin.-

Estas dos maneras son formas distintas de presentar o plantear un mismo problema, es mas son

complementarias.-

Cuando se trate de dinero sern tasas de Inters, donde:

Analticamente 3

Conceptualmente

Monto = Capital mas inters

M = C + I

I = M C Inters = Monto menos capital

La diferencia existente entre el monto y el capital es el

inters.-

Luego es una suma o cantidad, por lo tanto puede afirmarse

que es una variacin absoluta.-

I / C = tasa de inters = i

I / M = tasa de descuento = d

En tanto que si a esa diferencia la expresamos en relacin al

capital inicial o al monto ser un ratio o tasa.-

La tasa de inters expresa que en que proporcin de dinero

va a aumentar la unidad de capital en ese lapso de tiempo.-

La tasa de descuento expresa en que proporcin de dinero

va a disminuir el monto en ese lapso de tiempo.-

Independientemente de la forma en que se acuerde es necesario y conveniente tener presente que

para un anlisis de flujos deben considerarse las variaciones absolutas en tanto que si el anlisis

fuera de rentabilidad deben utilizarse las variaciones relativas.-

Tiempo: periodos y subperodos

El lapso o plazo total de duracin de la operacin puede ser de uno o mas perodos.-

A su vez cada perodo puede ser subdividido en partes o subperodos de tiempo, estos pueden

ser tantos como las partes acuerden.-

3 Se agrega como Anexo I un desarrollo al respecto


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Tasa

Respecto a esta variable debe tenerse presente que no necesariamente la tasa debe estar

expresada en la misma magnitud que el tiempo.-

En caso que no lo estuvieren debe, previo al clculo de intereses, sincronizarse ( adecuarse o

compatibilizarse ) el tiempo con la tasa.-

Sincronizacin

Si el tiempo y la tasa estn expresados en magnitudes diferentes es necesario compatibilizarlos -

sincronizarlos - para recin luego proceder al clculo del inters.-

De otra manera el resultado obtenido va a ser un nmero que no va a representar la diferencia del

valor de ese capital en el tiempo.-

Ello es as pues de proceder de una manera distinta se estara operando con variables que no son

compatibles.-

A manera de ejemplo se puede afirmar que si la tasa esta expresada en una magnitud anual y el

tiempo en das, si previamente - no convertimos la tasa anual a una tasa diaria el resultado

obtenido ser es el inters de ese capital para perodos anuales y no diarios.-

Capitalizacin

Para poder avanzar en el concepto de inters efectivo o rendimiento real es necesario tener en

claro el concepto de capitalizacin.-

Capitalizar: es adicionar al capital inicial del perodo/subperiodo la suma de dinero que en

concepto de intereses se han generado en el mismo.- Esa suma resultante ( C + i ) pasa as a

conformar el capital inicial del siguiente.-

Evidente es que utilizando este procedimiento el resultado obtenido va a ser mayor que el que

resultara de aplicar la tasa nominal peridica sin ningn tipo de capitalizacin en el tiempo

considerado.-

Esa diferencia van a ser los intereses ganados por los mismos intereses y es por este

procedimiento que se genera lo que se le llama anatocismo.-


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Equivalencia financiera

Por todo lo antes visto puede aseverarse que se debe tener como premisa que toda evaluacin y

anlisis financiero debe ser realizado bajo el rgimen de capitalizacin compuesta

obtenindose as resultados efectivos que permitan determinar la real equivalencia financiera

y que por otra parte no necesariamente las tasas de inters a utilizar estarn expresadas en la

magnitud del anlisis y/o en la de los perodos y/o subperodos que se consideren.-

Puede concluirse que para todo anlisis debe previamente determinarse la tasa de inters a

utilizar movindose dentro del eje del tiempo con tasas equivalentes entre si.-

El concepto de equivalencia respecto a las tasas hace que determinado un periodo - cualquiera

que este sea - el razonamiento siempre ser el mismo, luego al momento del anlisis la formula

a utilizar ser siempre la misma.-

Ello es as pues el concepto del cual se parte es el mismo, por lo tanto es la equivalencia el

concepto matriz, general y bsico en tanto que la efectividad de una tasa es una caso particular

de expresar esa equivalencia.-

Tasas equivalentes y/o efectivas

Si definimos a m como el exponente de la frmula a utilizar para la determinacin de tasas

equivalentes y efectivas - por usos y costumbres cuando m es mayor que uno al resultado

obtenido le llamamos tasas efectivas y cuando m es menor que uno al resultado le

llamamos tasas equivalentes.-

Presentacin de la frmula: potencias y/o races

Debe tenerse presente que en toda potencia el exponente puede ser un nmero mayor, igual o

menor que cero, entero o fraccionario y a su vez positivo o negativo.-

Por tratarse de rendimientos y equivalencias solo utilizaremos los exponentes positivos mayores,

menores o iguales a uno, enteros o fraccionarios.-

Por otra parte las potencias pueden expresarse como tales o bien como races o combinacin de

ambas.-


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Si el nmero es entero y mayor que uno la forma usual es ab en tanto que si el exponente es

menor que uno y no peridico usualmente se expresa como una raz c a y si as no fuere como

una combinacin de potencia y raz ead .-

Ejemplos: 1.234,00 5 ; 7 00,234.1 = 1.234,00 1/7 y 310 00,234.1 = 1.234,00 10/3


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CUESTIONES PRCTICAS:

Formas de plantear la tasa de inters

Antes de iniciar el clculo del inters debe tenerse presente la forma en que est planteada la tasa

pues puede estar en uno de los dos siguientes tipos:

Tasa peridica

Tasa subperidica

A su vez si es peridica puede ser:

Tasa nominal

Tasa efectiva

En tanto que si es subperidica puede ser:

Tasa proporcional

Tasa equivalente

Tasa peridica o tasa subperidica ?

Generalmente la tasa que informan las entidades financieras para operaciones de descuento es

una tasa anual, en tanto que los descuentos de pagars o documentos similares no necesariamente

son por lapsos iguales a un ao, pueden se menores o mayores.-

Por lo tanto debe, necesariamente, adecuarse la tasa al perodo en cuestin.-

Este procedimiento puede ser de dos maneras distintas segn se trate de una tasa nominal o una

tasa efectiva para ese perodo anual.-

Si la tasa es nominal debe determinarse una tasa proporcional en tanto que si es una tasa efectiva

corresponde hallar una tasa equivalente.-

Tasa peridica: nominal o efectiva Tasa subperidica: proporcional o equivalente ?

Por lo ya visto si la tasa planteada para el perodo es una tasa nominal debe primeramente -

proporcionalizarse al subperiodo, en tanto que si es una tasa efectiva el procedimiento es otro y

consiste en determinar una tasa equivalente.-


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Luego de la aplicacin de una tasa nominal anual debidamente proporcionalizada resultaran

intereses superiores a los que se hubieran generado de la aplicacin de esa tasa nominal sin

subperodos de capitalizacin.-

Evidente es que el inters ser cada vez mayor cuanto mas subperodos de capitalizacin existan

dentro del perodo.-

Por ejemplo si la tasa es nominal anual y la capitalizacin mensual va a dar como resultado una

suma de intereses mayor que si la capitalizacin fuera semestral.-

En ninguno de los dos casos puede decirse que el resultado sea el no acordado entre las partes y

por supuesto que en ambos casos existe generacin de intereses sobre intereses ya generados.

Otra cosa muy distinta es fijar una tasa efectiva para el perodo, en tal caso se esta diciendo que

el resultado o inters total generado para ese lapso debe ser el mismo que resulte de la aplicacin

de esa tasa para ese plazo si no existieran subperodos de capitalizacin.-

Luego debe encontrarse una tasa tal que capitalizada en cada uno de los subperodos

considerados de cmo resultado el mismo que se hubiera obtenido si no existieren subperodos

de capitalizacin dentro del perodo y el tiempo o plazo de la operacin hubiera sido igual a la

magnitud en que esta expresada la tasa.-

Evidente es que mayor ser la tasa de variabilidad cuanto mayor sea el perodo considerado, lo

que no quiere decir que haya variado mas o menos, es lo mismo pero da lugar a una ilusin

numeraria pues la realidad econmico financiera es una sola mas all del perodo en

consideracin.-

Por ejemplo:

Si la tasa efectiva anual es del 25 %, el plazo de un ao y el rgimen de capitalizacin es

trimestral, la tasa a aplicar para cada uno de esos subperodos debe dar como resultado a

consecuencia de su capitalizacin el 25 % anual.- Decimos que estamos utilizando una

tasa subperidica equivalente.-

En tanto que si fuera el 25 % nominal anual, el plazo de un ao y el rgimen de

capitalizacin trimestral, la tasa a aplicar para cada uno de esos subperodos dar como

resultado un inters superior al 25 % para ese ao.- Decimos que estamos utilizando una

tasa subperidica proporcional .-


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Tasa nominal o cotizada.- Esta es la tasa que cotizan los prestamistas y prestatarios.- Los

profesionales del mercado de acciones, bonos, hipotecas, prstamos comerciales, prstamos al

consumidor, banca y otros sectores ms expresan todos los contratos financieros en trminos de

tasas nominales.- Por lo tanto si se habla acerca de las tasas con que un banquero, un corredor,

un prestamista de hipotecas, una compaa de financiamiento de automviles o un funcionario de

prstamos para estudiantes, por lo general se referirn a las tasas nominales.- Sin embargo para

que tenga significado, la cotizacin de la tasa nominal tambin debe incluir el nmero de

periodos de composicin por ao.- J. Fred Weston y Eugene F. Brigham, (1993) -


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VARIACIONES EN EL TIEMPO

Para entender claramente el concepto anatocismo debe plantearse el anlisis a la luz de todo

lo antes visto respecto a tasas, tiempo y regmenes de capitalizacin.-

De ese concepto - capitalizacin resulta que el inters es una funcin exponencial y esa forma

de aumentar no es patrimonio exclusivo del dinero.-

Todo lo contrario es un procedimiento comn a todo proceso de crecimiento, a manera de

ejemplo:

La variacin ( crecimiento ) poblacional si bien se expresa en forma anual no lo hace en ese

perodo sino que vara - da a da, hora a hora, minuto a minuto, etc. - sobre la cantidad de

personas existentes al final de cada uno de ellos y no en saltos anuales.- Se puede asimilar

el perodo al lapso anual y los subperodos a la forma en que dividimos ese lapso.-

El costo de la vida, que mensualmente se registra, no es la variacin que en forma

espontnea se da el ltimo da del mes respecto a los precios del primer da.- Es la variacin

que da a da van teniendo los precios y que por una cuestin convencional se expresan en

forma mensual.-

Si un litro de aceite cuesta $ 10,00 el da 01 de marzo y $ 17,00 el da 31 de marzo, en el

perodo considerado ha variado en un 70 % en tanto que si lo subdividimos en subperodos

diarios ha variado 1,7845 % diario.- El 70% mensual no es mas que el 1,7845 % diario,

ambas tasas en trminos relativos expresan lo mismo solo que numricamente difieren pues

estn expresadas en magnitudes de tiempo diferentes.-

Ello es as pues las variaciones siempre se suceden sobre el valor inmediato anterior y no sobre

cualquiera otro del pasado.-

Con el inters ocurre lo mismo: debe calcularse sobre el importe del perodo inmediato anterior,

suma que ya contiene los intereses generados en el tiempo transcurrido.-

Por supuesto que es posible determinar una variacin para un lapso menor (subperiodo), sea este

semanal, quincenal, diario, etc.-

En tal caso debe tenerse presente que esa variacin deber considerar que los valores se alteran

dentro del perodo sobre el valor final del subperiodo inmediato anterior, el cual por supuesto -


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ya contiene el aumento correspondiente al da o perodo inmediato anterior y por lo tanto no ser

matemticamente - una cuestin lineal sino exponencial.-

Luego la tasa de inters expresada usualmente en tanto por ciento - es un ratio que indica en

que parte porcentual va a variar cada unidad de capital en cada unidad de tiempo.-

A medida que se modifique esa unidad de tiempo se alterar el valor de la tasa lo que har que

se altere la variacin absoluta de ese capital; pero el inters, medido en valores relativos, va a

ser siempre el mismo.-

Es as como funcionan las finanzas, la economa y la vida en general, por lo tanto debe

tenerse presente esta realidad para un racional y exacto anlisis.-


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CONCLUSIN:

Por anatocismo se entiende el clculo de intereses sobre el capital inicial mas los intereses

generados hasta el perodo inmediato anterior.-

En este caso se puede afirmar que anatocismo y capitalizacin son sinnimos.-

El sistema financiero en su totalidad funciona en base al crecimiento exponencial, luego el

tratar de impedir que los valores varen sobre su magnitud inmediata anterior es una clara

demostracin de desconocimiento del funcionamiento de las finanzas, es una decisin terica de

impracticable aplicacin prctica.-

Concretamente en esa decisin subyace un error de fondo de tal magnitud que la torna invlida

pues el anatocismo siempre existe y la confusin surge a consecuencia de no tener en claro que

una variacin relativa no es lo mismo que una variacin absoluta.-

Sin duda alguna que el espritu o intencin al considerar ilegal el anatocismo - es la defensa del

deudor y tender a el bien comn, pero evidentemente que no es esa la manera o forma de

hacerlo.-

En la bsqueda del mismo fin - otra cosa muy distinta - es fijar parmetros para el manejo o

aplicacin de tasas de inters por ser abusivas, expropiatorias y/o impagables o el tratar de evitar

que por dolosos manejos en la publicacin o utilizacin de esas tasas se contribuya al engao.-

Un claro ejemplo de esto se daba cuando en las pizarras de las entidades financieras se

publicaban las tasas nominales, ellas por efecto de la capitalizacin - no reflejaban en absoluto

el rendimiento o costos real que esas mismas tasas nominales generan.-

Claro ejemplo de lo antes dicho es que hoy por disposicin del Banco Central de la Repblica

Argentina se deben publicar las tasas efectivas.- Ella es una clara decisin que ratifica que para

el anlisis financiero y/o clculo de intereses deben utilizarse procedimientos de capitalizacin,

acumulativos o exponenciales y no los lineales resultantes de la aplicacin de tasas nominales.-


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ANEXO I - Tasa de descuento y tasa de inters

Monto = Capital + Inters

Inters = Monto Capital

Monto = C ( 1 + i ) n

Interes = C ( ( 1 + i ) n 1 )

Una alternativa

Tasa de descuento

d = ( M C ) / M =

= ( C ( 1 + i ) n C ) / C ( 1 + i ) n

= ( ( C ( 1 + i ) n ) / C ( 1 + i )

n ) / ( C / C ( 1 + i )

n ) =

= 1 ( 1 / ( 1 + i ) n ) =

Para la unidad de tiempo: n = 1

= ( 1 + i 1 ) / ( 1 + i ) =

= i / ( 1 + i ) =

d = i / ( 1 + i )

Tasa de inters

i = ( M C ) / C =

= ( C + I C ) / C =

= I / C = i

Luego

i = d / ( 1 d )

Otra manera:

Partiendo de la base que el valor final de una operacin es igual a su valor

actual multiplicado por un factor de capitalizacin, es decir:

Vn = Vo ( 1+ i )

Luego:

V0 = Vn / (1+ i )

Si Vn = 1

V0 = 1 / (1+ i ) ()


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Por otra parte:

V0 = Vn d

V0 = 1 d ()

Luego de () y ()

1 d = 1 / (1+ i )

d = 1 - ( 1 / (1+ i ) )

d = ( 1 + i - 1 ) / (1+ i )

d = i / (1+ i )

Ejemplo:

Determinar el valor actual de una obligacin cuyo valor nominal es de $ 500.000,00 que

vence dentro de 62 dias, siendo la tasa de inters del 11 % efectivo para 30 dias.-

Una manera de resolverlo:

V0 = Vn / (1+ i )

m1/m2

V0 = 500.000 / (1+ 0,11 ) 62 / 30

V0 = 500.000 / 1.240702

V0 = 402.997,65

Otra forma:

a ) Tasa efectiva para 62 dias:

i = ( 1 + i ) m1/m2

1

i = (1+ 0,11 ) 62 / 30

- 1

i = 0,240702

b) Luego determinar la tasa de descuento:

d = i / (1+ i )

d = 0,240702 / (1+ 0,240702 )

d = 0,194004

c) Luego el Valor actual para la unidad de capital ser:

V0 = 1 d

V0 = 1 0,194004

V0 = 0,8059952

d) Luego el Valor actual para el total ser:

V0 = 500.000,00 * 0,8059952

V0 = 402.997,60


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CASO PRACTICO

Planteo

Dada una tasa del 10 % nominal anual, determinar:

a - La tasa proporcional para 7 das -

b - La tasa proporcional para 70 das -

c - La tasa efectiva a 70 das partiendo de a) -

d - La tasa efectiva a 70 das partiendo de b) -

e - La tasa efectiva anual partiendo de c) -

f - La tasa efectiva anual partiendo de d) -

g - La tasa equivalente a 7 das partiendo de e) -

h - La tasa equivalente a 70 das partiendo de f) -

i La tasa equivalente para un da.-

j La tasa equivalente para 7 das partiendo de i) -

k - La tasa equivalente para 70 das partiendo de i) -

l - La tasa equivalente para 365 das partiendo de i) -

m Las tasas efectivas peridicas partiendo de j, k y l )

Consideraciones previas a la resolucin:

Rendimientos reales

Para determinar la tasa que debe ser utilizada en el anlisis financiero debe aplicarse el concepto

de rendimiento real y sabemos que su frmula es:

( 1 + i ) m

1 = im

Aplicaciones:

Una tasa es equivalente a otra cuando: en un mismo perodo de tiempo pero con diferentes

subperodos de capitalizacin las dos tienen el mismo rendimiento efectivo.-

Siendo la incgnita i1 , m1 y m2 positivos, mayores, iguales o menores que uno (1), enteros o

fraccionarios, se puede expresar como que:

( 1 + i 1 ) m

1 1 = ( 1 + i2 ) m

2 1


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( 1 + i 1 ) m

1 = ( 1 + i2 ) m

2

i 1 = ( 1 + i2 ) (m

2 / m

1 ) 1

Por definicin tanto m2 como m1 son fracciones que indican la cantidad e veces que esa tasa se

va a capitalizar en el perodo, luego: se puede afirmar que tienen el mismo numerador y su

denominador ser la cantidad de unidades que del numerador toma.-

Por lo tanto si:

m1 = a/ b

m2 = a / c

m2 / m1 = (a / c) / ( a / b)

m2 / m1 = b / c

Reemplazando en:

i 1 = ( 1 + i2 ) (m

2 / m

1 ) 1

i 1 = ( 1 + i2 ) (b/c)

1

Luego, como b es el denominador de la tasa que he tomado como incgnita y c es el

denominador de la tasa que tengo como dato, puedo afirmar que la tasa equivalente que estoy

buscando ser igual a la raz c de la tasa que tengo como dato mas uno, luego capitalizada b

veces, todo eso menos 1.-

Se puede interpretar ese resultado como que se esta reduciendo la tasa (dato) a la mnima unidad

de cuenta posible, o sea la tasa equivalente unitaria, y luego se capitalizo tantas veces como sea

necesario.-

Ejemplo:

Dada una tasa del 5 % para perodos de 45 das determinar la tasa equivalente para operaciones a

90 das.-

( 1 + i 1 ) m

1 1 = ( 1 + i2 ) m

2 1

i 1 = ( 1 + i2 ) m

2 / m

1 1

i 1 = ( 1 + i2 ) a/c / a/b

1


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i 1 = ( 1 + i2 ) b/c

1

m1 = a/ b = 365/90

m2 = a / c = 365/45

( 1 + i 1 ) 365/90

1 = ( 1 + 0,05 ) 365/45 1

( 1 + i 1 ) 365/90

= ( 1 + 0,05 ) 365/45

i 1 = ( 1 + 0,05 ) 365/45 * 90/365 1

i 1 = ( 1 + 0,05 ) 90/45 1

i 1 = 0,1025

Comprobacin:

1 Capitalizando ambas tasas al perodo anual

( 1 + 0,1025 ) 365/90

1 = ( 1 + 0,05 ) 365/45 1

( 1,1025 ) 365/90

1 = ( 1,05 ) 365/45 1

0,4854866 = 0,4854866

2 Capitalizando la tasa del subperiodo menor al mayor.-

( 1 + 0,05 ) 90/45 1 = 0,1025


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Resultados:

Item Objetivo m Formula a aplicar Resultado

a T Prop. para 7 das 365/7 ia = i / m 0,0019178

b T Prop. para 70 dias 365/70 ib = i / m 0,0191781

c T Ef. para 70 dias partiendo de a) 70/7 ic = (1 + ia )m - 1 0,0193444

d T Ef. para 70 dias partiendo de b) 70/70 id = (1 + ib )m - 1 0,0191781

e TEA partiendo de c) 365/70 ie = (1 + ic )m - 1 0,1050651

f TEA partiendo de d) 365/70 if = (1 + id )m - 1 0,1041250

g T Eq para 7 dias partiendo de e) 7/365 ig = (1 + ie )m - 1 0,0019178

h T Eq para 70 dias partiendo de f) 70/365 ih = (1 + if )m - 1 0,0191781

i T Eq para 1 dia 1/365 ii = (1 + i )m - 1 0,0002612

j T Eq para 7 dias partiendo de i) 7/1 ij = (1 + ii )m - 1 0,0018295

k T Eq para 70 dias partiendo de i) 70/1 ik = (1 + ii )m - 1 0,0184467

l T Eq para 365 dias partiendo de i) 365/1 il = (1 + ii )m - 1 0,1000000

m T Ef. Peridicas partiendo de j) 365/7 im = (1 + ij )m - 1 0,1000000

m T Ef. Peridicas partiendo de k) 365/70 im = (1 + ij )m - 1 0,1000000

m T Ef. Peridicas partiendo de l) 365/365 im = (1 + ij )m - 1 0,1000000


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Anlisis de los resultados:

Amplitud de los subperodos, consecuencias:

Porqu el resultado de a) es numricamente menor que el de b) ?

Si una tasa nominal peridica permanece constante ante el aumento de dias de duracin

de los subperodos, la consecuencia inmediata respecto a los subperodos es que a

medida que aumentan los das este crece y por lo tanto caben menos subperodos

dentro del perodo.-

Luego:

1. Se suceden menos capitalizaciones dentro del perodo.-

2. Las tasas subperidicas ( proporcionales y equivalentes ) tienden a ser

numricamente mas grandes.-

3. La tasa efectiva resultante disminuye, es decir que tiende a ser numricamente

menor.-

Ello es a consecuencia de que al proporcionalizar la tasa por el mismo valor que luego

se potencia el resultado tiende a disminuir a medida que aumentan los das del

subperodo.-

Es lgico que as sea pues al permanecer constante el numerador y variar el

denominador el resultado tiende a disminuir a medida que aumenta el valor del

denominador.-

Dada una tasa nominal peridica la tasa proporcional para un subperodo es

igual a la tasa equivalente que corresponde al rendimiento efectivo de la

precitada tasa subperidica.-

As es pues antes de la primer capitalizacin el rendimiento efectivo es igual a la tasa

nominal divida la cantidad de subperiodos.-


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Si bien son numricamente iguales conceptualmente son diferentes pues esa tasa es

equivalente respecto a la tasa efectiva peridica y proporcional respecto a la nominal.-

Por ello g) es igual a )

Esa tasa proporcional resulta ser tambin tasa efectiva para ese mismo subperodo.- Por

ello b es igual a d.-

Dada una tasa efectiva peridica determinar a partir de all una tasa

equivalente para un subperodo u otros:

Esa tasa equivalente obtenida para ese subperodo es tambin efectiva respecto a ese

mismo subperodo y equivalente para cualquiera otra que se determine a partir de la

precitada efectiva peridica o bien de alguna otra resultante de capitalizar la equivalente

hallada.-

Luego a y c son equivalentes con e y a su vez e es el rendimiento efectivo de ambas

para el perodo dado.-

A su vez por ello es que b, d y h son iguales.-

Dada una tasa efectiva peridica a partir de all determinar la tasa equivalente

para el menor subperodo posible:

A partir de la tasa efectiva peridica se pueden determinar las tasas equivalentes para

cualquier subperodo que se desee.- Casos i, j, k y l

Esas tasas equivalentes subperidicas as determinadas son tambin efectivas para cada

uno de esos subperodos.-

En tanto que las tasas efectivas peridicas resultantes para esos subperodos van a ser

iguales.- Caso m.-


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BIBLIOGRAFA

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tasa de descuento

efectiva tasa subperidica

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variaciones absolutas

variaciones relativas

consideraciones previas